Bài 1 : Cho hai đường tròn (O) và (O’). Chứng minh rằng ba điểm O, I, O’ thẳng hàng. Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt Ox tại E, cắt Oy tại F. Chứng tỏ rằng chu vi đó[r]
(1)BÀI TẬP NÂNG CAO CHƯƠNG – HÌNH HỌC 1 Đường trịn xác định đường trịn
Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC); BC CD 1AD a
a) Chứng minh A, B, C, D nằm đường tròn Hãy xác định tâm O bán kính đường tròn
b) Chứng minh AC OB
Bài 2 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác, N, P, Q trung điểm AH, AB, AC Chứng minh OPNQ hình bình hành
Bài 3: Cho ABC, góc nhọn Vẽ đường trịn đường kính AB, vẽ đường trịn tâm O đường kính AC Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) D E, cắt đường tròn (O) H K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K)
a) Chứng minh BD, BE đường phân giác góc ABC; CK, CH
đường phân giác góc ACB
b) Chứng minh BDAE, AHCK hình chữ nhật
Bài 4: Cho đường trịn (O) dường kính AB Vẽ bán kính OC vng góc với AB O Lấy điểm M cung AC Hạ MH OA Trên bán kính OM lấy điểm P cho OP = MH
a) Tìm quĩ tích điểm P M chạy cung AC
b) Tìm quĩ tích điểm P lấy bán kính OM cho OP khoảng cách từ M đến AB M chạy khắp đường trịn (O)
2 Tính chất đối xứng đường tròn
Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; R) (O’; R) hai dây AB, CD theo thứ tự thuộc hai đường tròn cho B C nằm A D AB < 2R
a) Chứng minh AD // OO’
b) Chứng minh AC = OO’ = BD
c) Gọi I trung điểm AD, chứng tỏ điểm I nằm đường cố định dây AB, CD thay đổi vị trí cho AB, CD ln B, C nằm A, D
Bài 7: Cho góc
xOy60 Lấy điểm I cố định tia phân giác Ot góc xOy làm
tâm vẽ đường trịn cho cắt Ox A, Oy B (A B không đối xứng qua Ot) Hạ ID Ox, IE Oy
a) Chứng minh DA = EB
b) Gọi T tâm đường tròn qua A, I, B Chứng minh TAI, TBI tam giác Xác định vị trí T cách nhanh
(2)c) Tìm quĩ tích điểm T đường trịn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng cắt Ox, Oy)
d) Tìm quĩ tích điểm H, trực tâm AIB (theo điều kiện câu c)
Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K dựng hình chữ nhật AHKO Lấy O làm tâm, vẽ đường trịn bán kính OK, đường trịn cắt cạnh AB D, cắt cạnh AC E Gọi F giao điểm thứ hai đường tròn (O) với đường thẳng AB Chứng minh:
a) AEF tam giác cân b) DO OE
c) D, A, O, E nằm đường tròn
3 Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn – Tính chất tiếp tuyến - Tính chất hai tiếp tuyến cắt
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) Một tiếp tuyến chung MM’, tiếp tuyến chung NN’ (M, N nằm (O) ; M’, N’ nằm (O’)) Các đường thẳng MM’ , NN’ cắt tiếp điểm P dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương ứng điểm Q, Q’
a) Chứng minh tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy M 'O ' MP
M ' P MO
b) Chứng minh O 'Q ' PQ
Q ' P QO
c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt điểm I Chứng minh ba điểm O, I, O’ thẳng hàng
Bài 9: Cho góc
xOy60 Một đường trịn tâm I bán kính R = cm, tiếp xúc với Ox
tại A, tiếp xúc với Oy B Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, cắt Ox E, cắt Oy F
a) Tính chu vi OEF Chứng tỏ chu vi có giá trị khơng đổi M chạy cung nhỏ AB
b) Chứng minh EIF có số đo không đổi M chạy cung nhỏ AB
Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R dây AC tạo với AB góc 300 Tiếp tuyến đường trịn C cắt đường thẳng AB D Chứng minh rằng:
a) OAC ~ CAD b) DB.DA = DC2 = 3R2
Bài 11: Cho ABC vuông A, đường cao AH Đường trịn tâm I đường kính BH cắt AB E, đường trịn tâm J đường kính HC cắt AC F Chứng minh rằng: a) AH tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) (J) H
b) EF tiếp tuyến (I) E, tiếp tuyến (J) F
Bài 12: Cho ABC cân A Đường cao AH BK cắt I Chứng minh:
(3)a) Đường trịn đường kính AI qua K
b) HK tiếp tuyến đường tròn đường kính AI
Bài 13: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm D bán kính OB Gọi H trung điểm AD Đường vng góc H với AB cắt nửa đường trịn C Đường trịn tâm I đường kính DB cắt CB E
a) Tứ giác ACED hình ? b) Chứng minh HCE cân H
c) Chứng minh HE tiếp tuyến đường tròn tâm I
Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB Từ A B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Lấy M điểm tùy ý nửa đường tròn, vẽ đường tiếp tuyến, cắt Ax C, cắt By D Gọi A’ giao điểm BM với Ax, B’ giao điểm BM với By Chứng minh rằng:
a) A’AB ~ ABB’ , suy AA’.BB’ = AB2 b) CA = CA’ ; DB = DB’
c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui
Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax điểm A đường tròn Trên Ax chọn hai điểm B, C tùy ý (C nằm A B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường tròn cho
a) Chứng minh: BOCDAE
b) Giả sử B, C hai phía điểm A, chứng minh trường hợp
BOCDAE=1800
4 Vị trí tương đối hai đường trịn
Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; cm) (O’ ; cm) cắt điểm phân biệt A B biết OO’ = cm Từ B vẽ đường kính BOC BO’D
a) Chứng minh điểm C, A, D thẳng hàng;
b) Chứng minh tam giác OBO’ tam giác vng; c) Tính diện tích tam giác OBO’ CBD; d) Tính độ dài đoạn AB, CA, AD
Bài 2: Hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc điểm A Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn (O) (O’) B C (khác điểm A) DE tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn, D (O) ; E (O’) Gọi M giao điểm hai đường thẳng BD CE Chứng minh rằng: a)
90
DME ;
b) MA tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’); c) MD.MB = ME.MC
Bài 4: Cho đường tròn (O ; R), đường tròn (O1 ; r1) tiếp xúc với (O ;
R) đường tròn (O2 ; r2) vừa tiếp xúc với (O ; R) vừa tiếp xúc
với (O1 ; r1)
a) Tính chu vi tam giác OO1O2 theo R
b) Dựng hai đường tròn (O1 ; r1) (O2 ; r2) biết R = cm ; r1 = cm
(4)Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d điểm A nằm d Dựng đường tròn tiếp xúc với (O ; R) đồng thời tiếp xúc với d A
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD) Lấy A làm tâm vẽ đường trịn bán kính AD, cắt AB E Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính BE, cắt tiếp đường thẳng DE F
a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) (B ; BE) tiếp xúc b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng
Bài 11: Cho hai đường trịn (O) (O’) bán kính 3R R tiếp xúc A Đường thẳng d1 qua A cắt (O) B, cắt (O’) B’ Đường thẳng d2
vng góc với d1 A cắt (O) C, cắt (O’) C’
a) Chứng minh BC’, CB’ OO’ đồng qui điểm M cố định b) Chứng minh tiếp tuyến chung PP’ TT’ cắt M
c) Gọi I chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC’ Tìm quĩ tích điểm I d1
d2 thay đổi vị trí (vẫn qua A vng góc với nhau)
Bài 12: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Góc vng xAy quay xung quanh điểm A, Ax cắt (O) B, Ay cắt (O’) C
a) Chứng minh OB // O’C
b) Gọi C’ điểm đối xứng C qua O’ Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng
c) Qua O vẽ d AB, cắt BC M Tìm quĩ tích điểm M dây AB, AC thay đổi vị trí vng góc với