Chuyên đề nâng cao lớp 6 phần đoạn thẳng

Hai đường tròn phân biệt có thể có hai điểm chung, một điểm chung duy nhất hoặc không có điểm chung nào.. M ột con trâu được buộc vào một chiếc cọc cắm trên bãi cỏ. Dây thừng giữ trâu d[r]

 Sưu tầm

PHẦN: HÌNH HỌC Chương I ĐOẠN THẲNG

§ Điểm Đường thẳng Ba điểm thẳng hàng

Kiến thức bản:

1 Vị trí điểm đường thẳng (h.1)

- Điểm A thuộc đường thẳng a, kí hiệu A a∈ - Điểm B khơng thuộc đường thẳng a, kí hiệu

B∉a

2 Ba điểm thẳng hàng chúng có thuộc đường thẳng Ba điểm không thẳng hàng chúng không thuộc đường thẳng

3 Trong ba điểm thẳng hàng, có điểm điểm nằm hai điểm cịn lại Trong hình 2, điểm M nằm hai điểm A B

Nâng cao

1 Nếu có điểm nằm hai điểm khác ba điểm thẳng hàng

2 Quan hệ ba điểm thẳng hàng mở rộng thành nhiểu (4, 5, ) điểm thẳng hàng

Thí dụ 1:

Trên đường thẳng a lấy điểm A, B, C, D theo thứ tự Lấy điểm M ∉a Hãy gọi tên: a) Tất điểm không thẳng hàng;

b) Tất điểm thẳng hàng; c) Tất điểm nằm điểm khác Giải (h.3)

a) Các ba điểm không thẳng hàng là: (M A B, , ); (M A C, , ); (M A D, , ); (M B C, , ); (M B D, , ); (M C D, , ) b) Các ba điểm thẳng hàng là:

(A B C, , ); (A B D, , ); (A C D, , ); (B C D, , )

c) B nằm A C; B nằm A D; C nằm A D; C nằm giữaB D

Nhận xét:

a

Hình 3 M

C

B D

A

Hình 2

M D

A a

Hình 1 B

Có điểm thẳng hàng có nhiêu trường hợp điểm nằm hai điểm khác

Thí dụ 2:

Vẽ điểm M, N, P, Q thẳng hàng cho đồng thời thỏa mãn điều kiện sau: M không nằm N P (1)

N không nằm M P (2) P không nằm N Q (3) Q không nằm N P (4) Bằng lập luận chứng tỏ rằng: a) Điểm P nằm M N b) Điểm N nằm P Q Giải: (h.4)

a) Xét điểm thẳng hàng M , N, P thì:

M khơng nằm N P (1) N không nằm M P (2) P nằm M N

b) P không nằm N Q (3) Q không nằm N P (4) N nằm P Q

BÀI TẬP

1 Trong hình có hai đường thẳng m n ba điểm chưa đặt tên Hãy điền chữ A, B, C vào vị trí biết:

a) Điểm A khơng thuộc đường thẳng m không thuộc đường thẳng n;

b) Điểm B không thuộc đường thẳng m; c) điểm C không thuộc đường thẳng n 2 Vẽ đường thẳng p điểm A, B

p

a) Nêu cách vẽ điểm C thẳng hàng với điểm A, B;

b) Nêu cách vẽ điểm D không thẳng hàng với điểm A, B

3. Hãy vẽ điểm C, D, E, F, G không thẳng hàng ba điểm C, D, E, thằng; ba điểm E, F, G thẳng hàng

4. Vẽ theo cách diễn đạt sau:

n m

Hình 5

Hình 4 P

N Q

a) Điểm I nằm hai điểm A B; điểm B nằm I K;

b) Hai điểm O, P khơng nằm phía Q; hai điểm O R nằm khác phía Q P không nằm O R

5. Cho ba điểm A, B, C; điểm A, B khơng nằm hai điểm cịn lại Hãy nêu điều kiện để:

a) C nằm A B;

b) C không nằm A B

6. Trái đất quay quanh Mặt Trời: Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất Mặt Trời chiếu sáng tới Trái Đất Mặt Trăng Khi ba thiên thể thẳng hàng xảy nhật thực nguyệt thực (là tượng mặt trời mặt trăng sáng nhiên bị che lấp tối đi) Hỏi:

a) Khi xảy nhật thực Mặt Trăng vị trí nào? b) Khi xảy nguyệt thực Trái Đất vị trí nào?

7. Xem hình cho biết: Có trường hợp điểm nằm hai điểm khác?

8. Theo hình 6, ta trồng thành hàng, hàng Hãy vẽ sơ đồ trồng câu thành:

a) hàng, hàng cây; b) 10 hàng, hàng

§ Đường thẳng qua hai điểm Kiến thức bản:

1 Có đường thẳng đường thẳng qua hai điểm A B (h.7) Ba cách đặt tên đường thẳng:

- Dùng chữ in thường, ví dụ a - Dùng hai chữ in thường, ví dụ xy - Dùng hai chữ in hoa, ví dụ AB Vị trí hai đường thẳng phân biệt:

- Hoặc khơng có điểm chung (gọi hai đường thẳng song song Ví dụ hai đường thẳng a, b hình

Hình 7

A B

O

Hình 6

F E

N M

C A

B

- Hoặc có điểm chung (gọi hai đường thẳng cắt nhau) Ví dụ hai đường thẳng m n hình

Nâng cao:

1 Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng ta cần chứng tỏ chúng có điểm chung

2 Ba (hay nhiều) đường thẳng qua điểm gọi ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta xác định giao điểm hai đường thẳng chứng minh đường thẳng lại qua giao điểm

Thí dụ 3:

Cho trước 12 điểm khơng có điểm thẳng hàng, Vẽ đường thẳng qua cặp điểm

a) Hỏi vẽ đường thẳng?

b) Nếu thay 12 điểm n điểm (n∈; n≥2) vẽ đường thẳng?

Giải:

a) Chọn số 12 điểm cho nối điểm với 11 điểm cịn lại ta 11 đường thẳng Làm với tất 12 điểm ta 11.12 đường thẳng Nhưng đường thẳng tính lần (vì đường thẳng AB với đường thẳng BA một) thực có 11.12 66

2 = (đường thẳng)

b) Cũng lập luận trên, với n điểm số đường thẳng vẽ ( 1) n n−

Nhận xét:

- Với n số điểm cho trước cơng thức ( 1) n n−

giúp ta tính số đường thẳng qua tất cặp điểm

a b

Hình 8

n m

- Ngược lại, với n số đường thẳng cho trước (đôi cắt khơng có ba đường thẳng đồng quy) cơng thức ( 1)

2 n n−

giúp ta tính số giao điểm tất cặp đường thẳng

Thí dụ 4:

Cho điểm A, B, C, D ba điểm A, B, C, thẳng hàng, ba điểm B, C, Dthẳng hàng Chứng tỏ điểm A, B, C, D thẳng hàng

Giải:

Ba điểm A, B, C, thẳng hàng nên chúng nằm đường thẳng Ba điểm B, C, Dthẳng hàng nên chúng nằm đường thẳng

Hai đường thẳng có hai điểm chung B C nên chúng phải trùng nhau, suy điểm A, B, C, D thẳng hàng

BÀI TẬP

9 Cho trước hai điểm A B

a) Hãy vẽ đường thẳng m qua A B

b) Hãy vẽ đường thẳng n qua A không qua B

c) Hãy vẽ đường thẳng p khơng có điểm chung với đường thẳng m

10 Cho trước điểm A, B, C, D khơng có ba điểm thẳng hàng Tìm M cho ba điểm M , A, B thẳng hàng; ba điểm M, C, D thẳng hàng

11 Cho trước điểm Vẽ đường thẳng qua cặp điểm

a) Nếu điểm khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng?

b) Nếu điểm có điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng?

12 Giải bóng đá vơ địch quốc gia hạng chun nghiệp có 12 đội tham gia đấu vịng trịn hai lượt Tính tổng số trận đấu

13 Cho trước số điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Biết tổng số đường thẳng vẽ 36 Tính số điểm cho trước 14 Có số đường (thẳng), chúng cắt đơi khơng có ba đường đồng

quy Các đường cắt tạo thành 300 ngã tư Hỏi có tất đường?

15 Cho 11 đường thẳng đôi cắt

b) Nếu 11 đường thẳng có đường thẳng đồng quy có tất giao điểm chúng?

16 Cho ba đường thẳng m, a, b đồng quy O; ba đường thẳng n, a, b đồng quy a) Chứng minh đường thẳng m, n, a, b đồng quy O

b) Vẽ thêm hai đường thẳng c, d không qua O Hỏi đường thẳng m, n, a, b, c, d có nhiều giao điểm?

17 Cho trước n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Tìm n biết có thêm điểm (khơng thẳng hàng với điểm số n điểm cho) số đường thẳng vẽ tăng thêm

§ Tia

Kiến thức bản:

1 Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị chia điểm O gọi tia gốc O

2 Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối

Nhận xét:

Mỗi điểm đường thẳng gốc chung hai tia đối Trong hình 10, hai tia Ox, Oy đối

3 Điểm M thuộc tia Ox(M ≠O) hai tia OM , Ox trùng (h.11)

Nâng cao:

Quan hệ điểm nằm hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau: Xét điểm A, O, B thẳng hàng

1 Nếu hai tia OA, OB đối gốc O nằm A B

2 Ngược lại, Nếu O nằm A B thì:

- Hai tia OA, OB đối

- Hai tia AO, AB trùng nhau: hai tia BO, BA trùng

Thí dụ 5:

Hình 11

x M

O

y

Hình 10

x O

Hình 12 O

Cho điểm O nằm hai điểm A B; điểm M nằm hai điểm A O; điểm N nằm hai điểm B O

a) Nêu tên tia trùng gốc O

b) Chứng tỏ điểm O nằm hai điểm M , N Giải: (h.13)

a) Điểm M nằm hai điểm A O nên hai tia OA, OM trùng (1) Điểm N nằm hai điểm B

O nên hai tia OB, ON trùng (2)

b) Điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA, OB đối (3)

Từ (1); (2); (3) suy hai tia OM , ON đối điểm O nằm hai điểm M N

Nhận xét:

1 Để chứng minh điểm O nằm hai điểm M N ta dùng phương pháp xét tia gốc O

2 Thí dụ cho ta dấu hiệu nhận biết điểm nằm hai điểm khác

BÀI TẬP

18 Xem hình 14 cho biết:

a) Những tia chung gốc O? b) Hai tia đối nhau?

c) Hai tia trùng nhau?

19 Cho đường thẳng xy Lấy điểm O∉xy; điểm A∈xy điểm B tia Ay (B khác A)

a) Kể tên tia đối nhau, tia trùng nhau; b) Kể tên hai tia khơng có điểm chung;

c) Gọi M điểm di động xy Xác định vị trí M tia Ot qua

M không cắt hai tia Ax, By

20 Vẽ hai đường thẳng mn xy cắt O a) Kể tên tia đối nhau;

b) Trên tia Ox lấy điểm P, tia Om lấy điểm E (P E khác O) Hãy tìm vị trí Q để điểm O nằm P Q; tìm vị trí F để hai tia OE, OF trùng

Hình 13 O

M N

A B

z

y x

Hình 14 O

21 Trên đường thẳng xy lấy điểm O Lấy điểm A tia Ox, điểm B tia Oy, điểm M nằm O A Giải thích sao:

a) Hai tia OA, OB đối nhau?

b) Điểm O nằm hai điểm M B?

22 Cho điểm A, B, C O Biết hai tia OA, OB đối nhau; hai tia OA,OC trùng a) Giải thích điểm A, B, C, O thẳng hàng

b) Nếu điểm A nằm C O điểm A có nằm hai điểm B C khơng? Vì sao?

23 Cho điểm O nằm hai điểm A B; điểm I nằm hai điểm O B Giải thích sao:

a) O nằm A I? b) I nằm A B?

§ Đoạn thẳng Độ dài đường thẳng Cộng độ dài hai đường thẳng

Kiến thức bản:

1. Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm hai điểm A B (h.15)

2. Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số dương 3 AB=CD ⇔ AB CD có

độ dài;

AB<CD ⇔ AB ngắn CD; AB>CD ⇔ AB dài CD

4. Nếu điểm M nằm hai điểm A B AM +MB= AB

Ngược lại, AM +MB=AB điểm M nằm hai điểm A B (h.16)

Nâng cao :

1. Mệnh đề sau tương đương với tính chất :

Nếu AM +MB≠ AB điểm M khơng nằm A B 2. Cộng liên tiếp (h.17)

Hình 16

B M

A

Hình 15

Nếu điểm M nằm hai điểmA B; điểm N nằm M B

ThìAM +MN +NB= AB

Thí dụ :

Cho điểmM nằm hai điểm A B Giải thích AM < AB;MB< AB Giải : (h.18)

Vì điểm M nằm hai điểm A B nên AM +MB= AB

Do AM >0 ; BM >0 nên AM < AB; BM < AB

Thí dụ :

Cho ba điểmM ,O ,N thẳng hàng Điểm N không nằm hai điểm MvàO Cho biết MN =3cm ;ON =1cm , so sánh OM với ON

Giải : (h.19)

Nếu điểm M nằm hai điểm O N OM +MN =ON

Thay số : OM + =3 (vơ lí) Vậy điểmM không nằm giữa O N

ĐiểmN không nằm giữaM O (đề bài) Suy điểm O nằm hai điểm M vàN

Ta có :MO ON+ =MN ;MO+ =1 ; MO=2 (cm) Do OM >ON (vì 2>1 )

Nhận xét :

Trong cách giải ví dụ này, để tìm điểm Onằm hai điểm M N ta dùng phương pháp loại trừ Trong ba điểmM , O, N thẳng hàng có điểm nằm hai diểm khác Điểm N không nằm hai điểm lại (đề bài) Điểm M khơng nằm hai điểm cịn lại (tìm nhờ phương pháp phản chứng)

Vậy điểm Ophải nằm hai điểm lại BÀI TẬP

24 Cho điểm A, B, C, D, Etrong khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ đoạn thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ đoạn thẳng, đoạn thẳng ? Kết có thay đổi điểm A, B, C, D, E thẳng hàng ?

Hình 17

B N

M A

Hình 18

B M

A

Hình 19

N O

M

25 Cho trước n điểm (n∈ ; n≥2) Vẽ đoạn thẳng qua cặp điểm tất 28 đoạn thẳng Tìm n

26 Vẽ đoạn thẳng đôi cắt cho tổng số giao điểm 10 GIải thích số giao điểm khơng thể q 10 ?

27 Xem hình 20 cho biết a) Hình có tia ?

b) Hình có đoạn thẳng ?

c) Những cặp đoạn thẳng khơng cắt ?

d) Vì khẳng định tia Ox khơng cắt đoạn thẳng BC ?

28 Cho hai tia chung gốc Ox, Oy Trên tia Ox lấy hai điểm B C cho Bnằm Ovà C Trên tia Oy lấy điểm A cho OA>OC

a) So sánh OA với OB b) So sánh OA OB− với OB

29 Trên đường thẳng a lấy điểm E, F, G, Htheo thứ tự Giả sử EH =7cm ;

EF = cm ;FG=3cm

a) So sánh FG với GH

b) Tìm cặp đoạn thẳng

30 Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối tia AB lấy điểm E, tia đối tia BA lấy điểm F cho AE <BF Hãy so sánh AF với BE

31 Cho ba điểm A, B, C

a) Giả sử AB=2cm; BC=3cm; CA=5cm, chứng tỏ A, B, Cthẳng hàng

b) Giả sử AB=2cm; BC=3cm; CA=4cm, chứng tỏ A, B, Ckhông thẳng hàng 32 Cho đoạn thẳng AB Lấy điểm O nằm A B, Lấy điểm I nằm Ovà B

a) Giả sử AB=5cm; AO=2cm; BI =2cm, Tính OI

b) Giả sử AO =a; BI =b, tìm điều kiện a b để AI =OB

Hình 20 x'

y'

y

x O

C

B

§5 Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài

Kiến thức bản:

1 Trên tia Ox vẽ điểm M cho OM =a (đơn vị dài) (h.21)

2 Trên tia Ox, OM =a, ON =bnếu 0< <a b điểm M nằm hai điểm O N (h.22)

Nâng cao:

Trên toa Ox có ba điểm M, N, P; OM =a; ON =b; OP=cnếu 0< <a bthì điểm N nằm hai điểm M P (h.23) (xem ví dụ 9)

Thí dụ :

Trên tia Ox lấy điểm P Q cho OP=3cm; PQ =2cm Tính OQ Giải : (h.24a, b)

Ta xét hai trường hợp :

a) Trường hợp Q nằm tia đối tia PO (h.24a) lúc P nằm hai điểm O Q, suy

3

OQ=OP+PQ= + = (cm)

b) Trường hợp Q nằm tia PO (h.24b) Vì PQ<PO(2<3) nên Q nằm P

O PQ QO+ =PO

Suy OQ=OP−PQ= − =3 (cm)

Nhận xét :

Trên tia Ox lấy P cho OP = 3cm, điểm Plà điểm nhất, cịn điểm Qthì khơng Tại ?

Điểm Qkhông tia Ox điểm Qkhơng cạc gốc Ocủa tia Ox khoảng 2cm mà cách P khoảng PQ=2cm; điểm Pchỉ điểm thuộc tia Ox Pkhơng phải gốc tia Ox

Thí dụ :

Gọi M , N, P ba điểm tia Ox ; OM =a; ON =b; OP=c; Giải thích a< <b cthì điểm N nằm hai điểm M P

Giải: (h.25)

Hai điểm M, Nthuộc tia Ox mà

( )

OM <ON a<b nên điểm M nằm hai điểm Ovà Nsuy hai tia

NM , NO trùng (1)

Hai điểm Nvà Pthuộc tia Ox mà

( )

ON <OP b<c nên điểm Nnằm hai điểm Ovà P, suy hai tia

NO NPđối (2)

Từ (1) (2) suy hai tia NM , NPđối nhau, điểm Nnằm hai điểm Mvà P BÀI TẬP

33 Gọi M , N, Plà ba điểm tia Ox cho OM =2cm, ON =3cm, OP=5cm So sánh MNvà NP

34 Gọi A Blà hai điểm tia Ox cho OA=4cm; OB=6cm Trên tia BAlấy điểm Csao cho BC =3cm So sánh ABvới AC

35. Cho Avà Blà hai điểm tia Ox cho OA=a cm( )vớia>0 ; AB=2cm.Tính OB 36 Vẽ đoạn thẳng AB=5cm Lấy hai điểm Evà Fnằm Avà Bsao cho AE+BF =7cm

a) Chứng tỏ điểm Enằm hai điểm Bvà F b) Tính EF

37 Vẽ hai tia chung gốc Ox, Oy Trên tia Ox lấy hai điểm Avà B (điểm Anằm Ovà B) Trên tia Oy lấy hai điểm Mvà Nsao cho OM =OA; ON =OB

a) Chứng tỏ điểm Mnằm Ovà N; b) So sánh ABvới MN

38* Trên đoạn thẳng ABlấy hai điểm Ovà Isao cho OA OB< vàAI >IB

Hỏi ba điểm A, O, Ivà B, O, Iđiểm nằm hai điểm lại ? Hình 25

x P N

M O

§6 Trung điểm đoạn thẳng

Kiến thức :

1 Trung điểm đoạn thẳng điểm nằm hai đầu đoạn thẳng cách hai đầu đọa thẳng (h.26)

Nếu M trung điểm đoạn thẳng ABthì:

2 AB MA=MB=

Nâng cao :

1 Nếu Mnằm hai đầu đoạn thẳng ABvà

2 AB

AM = M trung điểm AB (Xem thí dụ 11)

2 Mỗi đoạn thẳng có trung điểm

Thí dụ 10 :

Cho đoạn thẳng AB=a Điểm O nằm A B Gọi Mvà Nthứ tự trung điểm OA OB Tính MN

Giải (h.27)

M trung điểm OA nên M nằm A O;

2 AO OM =

N trung điểm OB nên N nằm O B;

2 OB ON =

Vì có O nằm A B (đề bài) nên

O nằm M N (xem ví dụ 5) Vậy

2 2

AO OB AO OB AB

MN =OM +ON = + = + = hay

2 a MN =

Nhận xét:

Độ dài MN số khơng đổi, phụ thuộc vào vị trí điểm O đoạn thẳng AB Ta ln có

2 AB MN =

Thí dụ 11:

Cho điểm M nằm hai đầu đoạn thẳng AB

2 AB

AM = Giải thích M trung điểm AB

Giải. (h.28)

Điểm M nằm A B ( )1 Nên AM +MB= AB

MB= AB−AM

2

AB AB MB= AB− =

Do AM =MB ( )2

Từ ( )1 ( )2 suy M trung điểm AB

BÀI TẬP

39 Cho ba điểm , ,M N O cho OM =2cm; ON =2cmvà MN =4cm Vì khẳng định O trung điểm đoạn MN

40. Trên tia Ox lấy hai điểm A M cho OA=3cm, OM =4,5cm Trên tia Ax lấy điểm B cho M trung điểm AB Hỏi điểm A có phải trung điểm đoạn thẳng

OB khơng? Vì sao?

41. Trên đường thẳng a lấy điểm M N O P Q R, , , , , theo thứ tự Biết MN =NO=OP=PQ= =QR Tìm điểm trung điểm đoạn thẳng

42. Cho đoạn thẳng AB=6cm Lấy hai điểm ,C D thuộc đoạn thẳng AB cho

AC =BD= cm Gọi M trung điểm AB

a) Giải thích M trung điểm CD

b) Tìm hình vẽ điểm khác trung điểm đoạn thẳng

43 Trên tia Ax lấy hai điểm O B cho AO=2cm; AB=5cm Gọi I trung điểm OB Tính AI

44.Trên đường thẳng xy lấy điểm O hai điểm ,M N cho OM =2cm; ON =3cm Vẽ điểm A B đường thẳng xy cho M trung điểm OA; N trung điểm OB Tính độ dài AB

45* Cho đoạn thẳng AB trung điểm M Lấy điểm O thuộc tia đối tia BA (O khác B) Hãy so sánh OM với trung bình cộng hai đoạn thẳng OA OB,

46*. Cho đoạn thẳng AB=2100( )cm Gọi M1 trung điểm đoạn thẳng AB; gọi M2 trung điểm đoạn thẳng M B1 ; gọi M3 trung điểm đoạn thẳng M B2 , , gọi M100

trung điểm đoạn thẳng M B99 Tính độ dài đoạn thẳng M M1 100

Hình 28

B M

§7 Ơn tập chương I

Thí dụ 12

Cho điểm , , ,A B M N cho hai tia MA MN, đối nhau; hai tia NM NB, đối AM =a; BN =b (a<b)

a) Bốn điểm , , ,A B M N có thẳng hàng khơng? Vì sao?

b) So sánh AN với BM Giải (h.29)

a) Hai tia MA MN, đối nên M nằm A

và N; Ba điểm , ,A M N nằm đường thẳng ( )1

Hai tia NM NB, đối nên điểm N nằm M N ba điểm , ,B M N nằm đường thẳng ( )2

Hai đường thẳng ( )1 ( )2 có hai điểm chung M N nên chúng trùng bốn điểm , , ,A B M N thẳng hàng

b) AN = AM +MN = +a MN ( )1 BM =BN +MN = +b MN ( )2 Vì a<b nên từ ( )3 ( )4 suy AN <BM

Nhận xét:

Để chứng minh bốn điểm , , ,A B M N thẳng hàng ta chứng minh bốn điểm nằm hai đường thẳng chứng minh hai đường thẳng trùng chúng có hai điểm chung

BÀI TẬP

47 Xem hình 30 cho biết: a) Hình có tia?

b)Hình có đoạn thẳng?

c) Độ dài đoạn thẳng AB biết O trung điểm AB OB=a? 48 Gọi O điểm đoạn thẳng

4

AB= cm Xác định vị trí điểm O để: a) Tổng AB+BO đạt giá trị nhỏ nhất; b)Tổng AB+BO=2BO;

c) Tổng AB+BO=3BO

49. Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB C điểm đoạn thẳng Cho biết ( )

6

AB= cm AC=a cm( ) , (0< ≤a 6) Tính khoảng cách CM Hình 29

N

M B

A

b a

Hình 30

B O

A

C z

50.Cho đoạn thẳng CD=5cm Trên đoạn thẳng lấy hai điểm I K cho CI =1cm;

DK = cm

a) Điểm K có phải trung điểm đoạn thẳng CD không? b) Chứng tỏ điểm I trung điểm đoạn thẳng CK

51*.Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi ,M N thứ trung điểm ,

OA OB

a) Chứng tỏ OA OB<

b) Trong ba điểm , ,O M N điểm nằm hai điểm lại ?

Chương II GĨC

§1 Nửa mặt phẳng Kiến thức

1 Hình gồm đường thẳng a phần mặt phẳng bị chia a gọi nửa mặt phẳng bờ a.

Nhận xét:

Bất kì đường thẳng nằm mặt phẳng bờ chung hai nửa mặt phẳng đối

Trong hình 31, nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm A nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm M hai nửa mặt phẳng đối bờ a

2 Tia Oz nằm hai tia Ox Oy tia Oz cắt đoạn thẳng AB điểm M nằm A B

(A Ox∈ ; B∈Oy; A B khác 0) (xem hình 32) Nhận xét:

Nếu hai tia , yOx O đối tia Oz khác Ox Oy, nằm hai tia ,Ox Oy

Nâng cao: Trên hình 33:

− Hai điểm ,A B thuộc nửa mặt phẳng bờ a đoạn thẳng AB khơng cắt a

− Hai điểm A B thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ a đoạn thẳng AC cắt a điểm nằm A C

Thí dụ 13

Cho tia Ot nằm hai tia Oa Ob, không đối nhau; tia

Om nằm hai tia Oa Ot, ; tia On nằm hai tia

,

Ob Ot Giải thích tia Ot nằm hai tia Om On, Giải. (h.34)

y

z

x B

Hình 32 O

M

A

Hình 33

B A

C a

Hình 31 a

Lấy điểm A tia Oa, điểm B tia Ob(A B khác O) Tia Ot nằm hai tia Oa Ob, nên cắt đoạn thẳng AB điểm T nằm A B Tương tự, tia

Om cắt đoạn thẳng AT điểm M nằm A T ; tia On cắt đoạn thẳng BT điểm N nằm B T Từ suy T nằm hai điểm M N, tia Ot nằm hai tia Om On,

Nhận xét

− Nếu hai tia Oa Ob, đối kết luận

− Thí dụ 13 cho ta dấu hiệu nhận biết tia nằm hai tia khác BÀI TẬP

52. Cho bốn điểm , , ,A B C D không nằm đường thẳng a Biết đoạn thẳng AB không cắt a, đoạn thẳng BC cắt a, đoạn thẳng CD không cắt a Hỏi đoạn thẳng AD có cắt đường thẳng a không?

53 Năm bạn , , , ,A B C D E có nhà hai bên đường cao tốc A đến nhà B; B đến nhà C; C đến nhà D; D đến nhà E phải qua đường cao tốc Hỏi bạn đến nhà không qua đường cao tốc?

54.Cho đường thẳng m năm điểm , , , ,A B C D E không thuộc m

a) Chứng tỏ hai nửa mặt phẳng đối bờ đường thẳng m, có mặt phẳng chứa điểm

b) Cứ qua hai điểm vẽ đoạn thẳng Hỏi nhiều có đoạn thẳng cắt m?

55. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau, bờ t t' ta vẽ hai tia Ox Oy (O∈t t' ) Chứng tỏ tia Ot tia Ot' nằm hai tia Ox Oy

56. Trên nửa mặt phẳng bờ a lấy điểm A, nửa mặt phẳng đối lấy hai điểm B C

(A B C, , ∉a) Gọi M N thứ tự giao điểm AB AC với đường thẳng a a) Chứng tỏ tia BN nằm hai tia BA, BC; tia CM nằm hai tia CA CB, b) Giải thích hai đoạn thẳng BN CM cắt

Hình 34

t n

m

b a

B N

T M

A

§2 Góc Số đo góc Cộng số đo hai góc

Kiến thức bản:

1 Góc hình gồm hai tia chung gốc (h.35a)

Góc bẹt góc có hai cạnh hai tia đối (h.35b)

2 Mỗi góc có số đo dương Số đo góc bẹt 180° Sơ đo góc khơng vượt q 180°

3  A= ⇔B A B có số đo  

A< ⇔B số đo A <số đo B  

A> ⇔B số đo A >số đo B

4 0° <góc nhọn <góc vng <góc tù <góc bẹt ( )90° (180°) Hai góc kề hai góc có cạnh chung hai cạnh lại nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ cạnh chung

6 A phụ vớiB ⇔ + = ° A B 90

A bù với B ⇔ + = A B 180°

Hai góc vừa kề, vừa bù gọi hai góc kề bù

Hai góc kề bù có tổng 180° hai cạnh hai tia đối Nếu tia Oy nằm hai tia Ox Oz   xOy+yOz =xOz

Ngược lại   xOy+yOz =xOzthì tia Oy nằm hai tia Ox Oz (h.36) Nâng cao:

1 Mệnh đề sau tương đương với tính chất trên:

x O y

Hình 35b

x y

O

Hình 35a

z

x y

O

Nếu   xOy+ yOz ≠ xOz tia Oy không nằm hai tia Ox Oz

2 Cộng liên tiếp (h.37)

Nếu tia Oy nằm hai tia Ox, Oz; tia Ot nằm hai tia Oy Oz xOy   + yOt+tOz=xOz

3 Hai góc AOB AOC hai góc kề Tia OA’ tia đối tia OA (h.38)

- Nếu  AOB+AOC <180° tia OA nằm hai tia OB, OC

- Nếu  AOB+AOC <180° tia OA’ nằm hai tia OB, OC

Thí dụ 14:

Cho tia OM nằm góc AOB giải thích

   AOM < AOB BOM; < AOB.

Giải: (h.39)

Vì tia OM nằm hai tia OA, OB nên   AOM +BOM = AOB Do AOM >0;BOM >0nên    AOM < AOB BOM; < AOB

Thí dụ 15:

Cho hai góc kề AOB AOC, góc góc tù Giải thích  AOB+BOC =360 °

Giải: (h.40)

Vẽ tia OA’ tia đối tia OA Vì góc AOB, AOC góc tù nên  AOB+BOC >180°

Do tia OA’ nằm hai tia OB, OC Suy BOC  =BOA'+A OC'

Ta có:  AOB+BOA' 180= °(kề bù)

t z

x y

O

Hình 37

A'

B

A C O

Hình 38

M B

A O

Hình 39

A'

B

A

C

O

 A OC' +COA=180°(kề bù)

Xét tổng AOB   +BOC+COA= AOB+(BOA '+A OC' )+COA =(AOB+ +BOA')+( A OC' +COA) =180° +180° =360°

Nhận xét:

Ba tia OA, OB, OC thí dụ tạo thành ba góc khơng có điểm chung AOB, BOC, COA, tổng góc 360°

Tổng quát: Cho n tia gốc O Ox Ox1, 2, ,Oxn tạo thành

n góc phân biệt x Ox x Ox1 2, 2 3, ,x Ox x Oxn−1 n, n 1 cho

hai góc khơng có điểm chung thì:

   

1 2 n n n 360

x Ox +x Ox + +x Ox− +x Ox = ° (h.41) BÀI TẬP

57. Vẽ tia chung gốc Oa, Ob, Oc, Od, Ot hai tia Oa, Ob đối a) Trong hình có góc ? Là góc ?

b) Kể tên cặp góc kề bù

58.Cho trước tia chung gốc O Vẽ thêm tia gốc O Hỏi tăng thêm góc đỉnh O ?

59. Vẽ đường thẳng đồng quy O

a) Chúng tạo thành góc ? số có góc bẹt b) Thay n có góc tạo thành ?

60. Vẽ n tia chung gốc, chúng tạo thành 28 góc Tìm n

61 Vẽ góc xOy khác góc bẹt Lấy A tia Ox, lấy B tia Oy (A B khác O) Hãy lấy điểm C cho góc BOC kề bù với góc BOA

a) Trong ba điểm A, O, C điểm nằm hai điểm lại ? b) Vẽ tia BA, BC Hỏi điểm O nằm góc ?

c) Kể tên cặp góc kề bù đỉnh B

O

xn-1

xn

x1

x2

x3

62. Cho góc AOB tia OM Xác định vị trí tia OM để: a)   AOB+AOM = AOB

b)   AOB+AOM > AOB c)   AOM +MOB=AOB

63. Cho hai góc kề bù AOC BOC BOC góc nhọn Vẽ tia ON nằm hai tia OB, OC Hãy so sánh hai góc AOC BON

64.Trên đường thẳng xy lấy điểm O Vẽ tia Om Vẽ tiếp tia On nằm hai tia Om, Ox Giải thích góc xOn, nOm, mOy có góc lớn 60°

65. Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA = 2cm; OB = 5cm Từ điểm C đường thẳng chứa tia Ox, vẽ tia CO, CA, CB Giả sử OCB=110 ;° OCA= °30 Tính số đo góc ACB

66.Trên đường thẳng xy lấy điểm O Vẽ tia Oa, Ob thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ đường thẳng xy, cho biết  1

2

aOy= bOy Tính số đo góc aOy aOx=3bOx 67. Cho ba tia chung gốc OA, OB, OC tạo thành ba góc khơng có điểm chung, biết

AOB=110 ;° BOC =120 ° Trong ba tia cho, tia nằm hai tia lại

68 Cho hai góc kề AOB BOC có tổng m° Tính số đo góc AOC

§3 Vẽ góc cho biết số đo

Kiến thức bản:

1 Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox, vẽ tia Oy cho xOy=m(độ)

2 Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox, có

 ;

xOy= °m xOz= °n ; m<n tia Oy nằm hai tia Ox, Oz (h.42)

Nâng cao:

Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox; có

O x

y z

Hình 42

t

 ; ;

xOy = °m xOz= °n xOt = °p ; m< <n p tia Oz nằm hai tia Oy Ot (h.43)

Thí dụ 16:

Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox, vẽ ba tia Oy, Oz, Ot cho xOy= °a

(0< ≤a 130 ;) xOz = ° + °a 20 ;xOt = ° + °a 50

So sánh góc yOz zOt Giải: (h.44)

Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox; có

 ( 20 )

xOy<xOz a° < ° + °a nên tia Oy nằm hai tia Ox, Oz đó:  yOz= xOz−xOy= ° + ° − °a 20 a

 20

yOz = °

Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox; có  xOy<xOt a( ° + ° < ° + °20 a 50 )nên tia Oz nằm hai tia Ox, Ot đó:zOt  =xOt−xOz= ° + ° − ° + ° = °(a 50 ) (a 20 ) 30

Vậy  yOz<zOt(20° < °30 )

Nhận xét:

- Vì góc có số đo dương, khơng vượt q 180° nên phải có điều kiện 0< <a 130

- Số đo góc yOz; zOt khơng phụ thuộc vào giá trị a mà phụ thuộc vào giá trị góc xOz, xOt góc xOy độ

BÀI TẬP

69. Cho góc bẹt xOy Vẽ hai tia Om, On nửa mặt phẳng bờ xy cho

 120 ; .

xOm= ° xOn= °a Tìm giá trị a để tia Om nằm hai tia Oy, On

70. Trên mặt phẳng, cho tia Ox Vẽ hai tia Oy, Ot cho xOy=100 ;° xOt =150° Tính số đo góc yOt

a° t

O x

y z

71. Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz cho

 70 ; 30

xOy= ° yOz= ° Tính xOz

72. Cho góc AOB hai tia OM, ON nằm góc cho   AOM +BON < AOB a) Trong ba tia OA, OM, ON tia nằm hai tia lại ?

b) Giả sử AOM = °40 ;BON = °50 ;MON = °30 Tính góc AOB

73. Cho góc AOB Ở góc vẽ hai tia OM, ON Sao cho  AOM <BOM  AON >BON Trong ba tia OA, OM, ON tia nằm hai tia lại ?

74 Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz cho

 40 ; 130

xOy= ° xOz= ° Vẽ tia Ot cho hai tia Ot, Ox thuộc nửa mặt phẳng với bờ chứa tia Oz Cho biết zOt= °60 So sánh ba góc  xOy yOt; zOt

§4 Tia phân giác góc

Kiến thức bản:

1 Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc (h.45) Nếu tia Oz tia phân giác góc xOy

  .

2

xOy

xOz =zOy=

Nâng cao:

1 Nếu tia Oz nằm hai tia Ox, Oy  

2

xOy

xOz = tia Oz tia phân giác góc xOy Đường thẳng chứa tia phân giác góc gọi đường phân giác góc Mỗi góc có đường phân giác

Thí dụ 17:

Cho góc aOb tia Ot nằm Oa, Ob Các tia Om, On thứ tự tia phân giác góc aOt bOt Chứng tỏ  

2

aOb mOn= Giải: (h.46)

m t

n b

hình 45 O

Tia Om tia phân giác góc aOt nên tia Om nằm hai tia Oa, Ot  

2

aOt

mOt=

Tia On tia phân giác góc bOt nên tia On nằm hai tia Ob, Ot  

2

bOt tOn=

Vì có tia Ot nằm hai tia Oa, Ob (đề bài) nên tia Ot nằm hai tia Om, On (xem thí dụ 13)

Vậy        

2 2

aOt bOt aOt bOt aOb

mOn=mOt+tOn= + = + =

Nhận xét: Số đo góc mOn khơng phụ thuộc vào vị trí tia Ot góc aOb Ta ln ln có  

2

aOb mOn= BÀI TẬP

75. Cho hai góc kề bù AOT BOT Gọi OM ON thứ tự tia phân giác hai góc Tính MON

76. Cho hai góc kề bù AOT BOT Vẽ tia phân giác OD góc BOT Biết góc BOT lớn góc AOT 20° Tính góc AOD

77. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ ba tia Oy, Oz, Ot cho xOy= °50 ; xOz= °75 ;

 100

xOt = ° Xác định xem tia tia phân giác góc

78 Cho hai góc kề DOE DOF, góc 150° Hỏi tia OD có phải tia phân giác góc EOF khơng ?

79 Cho ba tia OA, OB, OC tạo thành ba góc khơng có điểm chung AOB, BOC COA Vì khẳng định tia đối tia nói tia phân giác góc tạo bở hai tia cịn lại ?

80 Cho hai góc kề bù xOz yOz xOz = °50 Trên nửa mặt phẳng bờ xy có chứa tia Oz ta vẽ tia Ot Giả sử yOt = °a Xác định giá trị a để Oz tia phân giác góc xOt 81 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA ta vẽ tia OB, OC cho AOB= °50 ;

 150

b) Tia OB có phải tia phân giác góc MON khơng ?

82 Cho góc AOB tia phân giác Ox Trên nửa mặt phẳng có chứa tia OB bờ đường thẳng OA ta vẽ Oy cho  AOy> AOB

Chứng tỏ rằng:

a) Tia OB nằm hai tia Ox, Oy

b)   

2

AOy BOy

xOy = +

83 Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox ta vẽ tia Ox Ox Ox1, 2, 3, ,Oxn cho:

 

 

 

2

3

1

2

n

xOx xOx xOx xOx

xOx nxOx

= =

=

Tìm số n nhỏ cho tia vẽ có tia tia phân giác chung 10 góc

§5 Đường trịn

Kiến thức bản:

1 Đường tròn tâm O, bán kính R hình gồm điểm cách O khoảng R, kí hiệu (O,R)

Hình trịn hình gồm điểm nằm đường trịn điểm nằm bên đường trịn

2 Hai điểm C, D đường tròn chia đường tròn thành hai cung Đoạn thẳng nối hai mút cung dây cung Dây cung qua tâm gọi đường kính

Trên hình 47, đoạn thẳng CD gọi dây cung; đoạn thẳng AB gọi đường kính

Nâng cao:

Giao điểm hai đường trịn:

Hai đường trịn phân biệt có hai điểm chung, điểm chung khơng có điểm chung (sẽ học kỹ lớp 9)

O

A B

D C

Hình 47

1,5 3

2

B A

Thí dụ 18:

Cho đoạn thẳng AB = 3cm Hãy nói cách vẽ điểm C vừa cách A 2cm, vừa cách B 1,5cm

Giải: (h.48)

Vẽ đường tròn (A; 2cm) đường tròn (B; 1,5cm) chúng cắt C

Rõ ràng C cách A 2cm C cách B 1,5cm

Nhận xét:

Vì hai đường trịn (A; 2cm) (B; 1,5cm) cắt hai điểm nên ta có hai điểm C C’ thỏa mãn đầu

BÀI TẬP

84. Một trâu buộc vào cọc cắm bãi cỏ Dây thừng giữ trâu dài 3m Hỏi trâu ăn cỏ phạm vi ?

85.Trên đường tròn (O) lấy điểm A, B, C, D, E Nối cặp điểm ta dây cung a) Hỏi vẽ dây cung ?

b) Hỏi đường tròn có cung

86. Trên đường thẳng xy lấy điểm O Vẽ đường tròn (O; 3cm) cắt Ox, Oy thứ tự A B Vẽ đường tròn (O; 2cm) cắt tia Ox, Oy thứ tự C D Vẽ đường tròn (D; BD) cắt BO M cắt đường tròn (O; 2cm) N

a) So sánh AC BD

b) Chứng tỏ M trung điểm Của OD c) So sánh tổng ON + ND với OB

§6 Tam giác

Kiến thức bản:

1 Tam giác ABC hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng (h.49)

2 Cạnh góc tam giác - Ba cạnh : AB, BC, CA - Ba góc:   A B C; ; Nâng cao:

Nếu đường thẳng không qua đỉnh tam giác cắt cạnh tam giác cắt hai cạnh lại (xem 92)

Thí dụ 19:

a) Vẽ tam giác ABC biết BC = 5cm; AB = 3cm; AC = 4cm

b) Lấy điểm O tam giác ABC nói Vẽ tia AO cắt AC H, tia BO cắt AC I, tia CO cắt tia AB K Trong hình có tam giác

Giải: (h.50)

a) Vẽ đoạn thẳng BC = 5cm Vẽ cung tròn (B; 3cm) Vẽ cung tròn (C; 4cm)

Lấy giao điểm A hai cung

Vẽ đoạn thẳng AB, AC ta ∆ABC

b) Có tam giác “ đơn” AOK; BOK; COH COI Có tam giác “ ghép đôi” là: AOB; BOC; COA

Có tam giác “ ghép ba” là: ABH; BCI; CAK;ABI; BCK’ CAH Có tam giác “ ghép sáu” là: ABC

C B

A

Hình 49

H

I K

O

C B

A

Vậy hình có tất 6 16+ + + = tam giác Nhận xét:

Với 16 hình tam giác hình 50, đếm ta bỏ sót trùng lặp Vì cần phải phân loại theo dấu hiệu Trong cách giải trên,ta phân loại theo dấu hiệu “ đơn”, “ đôi”, “ ba”,…

Với trường hợp, ta nên xét theo trình tự Bài tập

88 Cho điểm A, B, C, D, E Viết tên tam giác có ba đỉnh số điểm nói trường hợp

a) Khơng có ba điểm thẳng hàng

b) Có điểm A, B, C thẳng hàng điểm A, D, E thẳng hàng 89 Xem hình 51 cho biết hình có tam giác, tam giác nào?

Hình 51

90 Vẽ tam giác ABC lấy điểm M nằm tam giác Tia AM cắt đường thẳng BC điểm N

a) Giải thích điểm N nằm hai điểm B C; điểm M nằm hai điểm A N

b) Vẽ hai đoạn thẳng MB MC Kể tên tam giác có hình vẽ

91 a) Vẽ tam giác ABC biết BC =3,5 cm AB; =2cm AC; =3cm

b) Vẽ tiếp tam giác ADE biết D thuộc tia đối tia AB AD =1cm; E thuộc tia đối tia AC AE=1,5 cm

c) Hai tia BE CD cắt O Dùng compa để kiểm tra xem E D có phải trung điểm OB OC khơng?

§7 Ơn tập

Thí dụ 20:

Hai góc xOy xOz bù không kề  xOy< xOz; gọi tia Ot tia đối tia Oz Tia Ox có phải tia phân giác yOt khơng? Vì sao?

Giải: ( Hình 52) Hai góc xOy xOz khơng kề nên hai

tia Oy, Oz thuộc nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox

Vì  xOy<xOz nên tia Oy nằm hai tia Ox Ox, suy

  

zOy<zOx< zOt, tia Ox nằm hai tia Oy Ot ( 1)

Ta có: xOy +xOz =1800( đề bài)

 

180

xOt+xOz = ( kề bù)

Suy  xOt=xOy( 2) ( bù với xOz) Từ (1) ( 2) suy tia Ox tia phân giác góc yOt

Nhận xét:

Trong cách giải thí dụ trên, để chứng tỏ hai góc xOy xOt ta nói bù với góc thứ góc xOz

Tương tự, hai góc phụ với góc thứ ba; nửa góc thứ ba, gấp đơi góc thứ 3… hai góc

Bài tập 93

Trong hình 53,cho biết 

90

AOC= ; tia OD nằm hai tia OB OC

a) Kể tên góc vng, góc nhọn góc tù

b) Nếu góc BOD COD không nhau, chứng tỏ hai góc có góc nhỏ

45

94 Gọi M N hai điểm nằm khác phía đường thẳng xy Đoạn thẳng MN cắt xy O Trên tia Ox, lấy điểm A cho OA=2 cm

a) Giả sử MAx =NAx=1300 Chứng tỏ tia Ay tia phân giác góc MAN Tính góc MAN

b) Trên tia Oy lấy điểm B, giả sử MBN =1000, MBO =400 Tính OBN c) Muốn cho điểm O trung điểm AB OB phải có độ dài bao nhiêu?

95 Gọi tia Oz tia phân giác góc bẹt xOy Vẽ hai góc nhọn kề zOm zOn cho hai tia Om, On thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz zOm =zOn

a) Tia Oz có phải tia phân giác góc mOn khơng? Vì sao?

b) Vẽ tia Ot tia đối tia On Vì khẳng định tia Ox tia phân giác góc mOt 96 Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Vẽ điểm N nằm M B

Cho biết MN = a ( cm); NB= b ( cm)

b) Lấy điểm O nằm đường thẳng AB Giả sử AOB=100 ;0 AOM =60 ;0 MON =200 Hỏi tia ON có phải tia phân giác MOB khơng? Vì sao?

97 Cho ba tia phân biệt, chung gốc Ox, Oy Ot Tia Ot có nằm hai tia Ox Oy không nếu:

a) xOt =750 xOy=450 b) xOt =750 tOy =1100 c) xOt =900 tOy =900

98 Cho hai điểm M N nằm phía A, nằm phía B Điểm M nằm A B Biết AB=5 cm AM; =3cm BN; =1cm

Chứng tỏ rằng:

a) Bốn điểm A, B, M,N thằng hàng

b) Điểm N điểm trung điểm đoạn thằng MB

ĐÁP ÁN PHẦN HÌNH HỌC CHƯƠNG I: ĐOẠN THẲNG Câu 1: Xem hình 54

Câu 2: Xem hình 55

a) Vẽ điểm C∈p C không trùng với điểm A B b) Vẽ điểm D∉p

Câu 3: Có thể vẽ hình 56 57

Câu 4:

a) Xem hình 58a b) Xem hình 58b

Câu 5:

a) Ba điểm , ,A B C thẳng hàng;

b) Ba điểm , ,A B C không thẳng hàng Câu 6:

n m

Hình 54 A

B C

Hình 55 D

A B C

p

Hình 56 G

D E

F

C

Hình 57 C

G E

F

D

Hình 58a K B

A I

Hình 58b R Q

a) Mặt Trăng nằm Mặt Trời Trái Đất; b) Trái Đất nằm Mặt Trời Mặt Trăng

Câu 7:Có trường hợp điểm nằm hai điểm khác là: M nằm A, B ; N nằm C, D E nằm A, D ; F nằm B, C O nằm M, N ; O nằm E, F O nằm A, C ; O nằm B, D Câu 8:

a) Có thể vẽ hình 59 b) Có thể vẽ hình 60

Câu 9: Xem hình 61

Câu 10: (h.62) Hình 59

Hình 61 p

n m

A B

Vẽ đường thẳng AB CD; chúng cắt M, điểm M điểm cần tìm Nếu hai đường thẳng AB CD khơng cắt khơng tìm điểm M Câu 11:

a) 6.5 15

2 = (đường thẳng)

b) Nếu khơng có ba điểm thẳng hàng số đường thẳng vẽ 15

Bây xét đến ba điểm thẳng hàng, qua chúng có đường thẳng Nếu ba điểm khơng thẳng hàng có đường thẳng

Số đường thẳng giảm 2− = Vậy có tất 15 13− = (đường thẳng) Câu 12: ( 1).2 12.11.2 132

2

n n−

= = (trận đấu)

Câu 13:

Gọi số điểm cho trước n ( 1)

36;

n n−

= n n( − =1) 72=9.8; n=9

Câu 14: Coi ngã tư giao điểm hai đường thẳng Gọi số đường n, ta có ( 1)

300;

n n−

= n n( − =1) 600=25.24 suy n=25 Câu 15:

a) 11.10 55

2 = (giao điểm)

b) Nếu khơng có ba đường thẳng đồng quy số giao điểm 55

Bây xét đến đường thẳng không đồng quy mà cắt đơi số giao

Hình 62

A

B

D M

điểm 5.4 10

2 = (giao điểm)

Số giao điểm giảm 10 9− = Vậy có tất 55 46− = (giao điểm) Câu 16:

a) Ba đường thẳng , ,m a b đồng quy tạiO Vậy O điểm chung hai đường thẳng a b

Ba đường thẳng , ,n a b đồng quy điểm giả sử điểm 'O Vậy 'O điểm chung hai đường thẳng a b

Hai đường thẳng phân biệt a b mà có điểm chung có điểm chung nên O O' trùng nhau, từ suy đường thẳng , , ,m n a b đồng quy O

b) Đáp số: 10 giao điểm (xem hình 63)

Câu 17: Nếu vẽ thêm điểm qua điểm điểm số n điểm cho ta vẽ thêm đường thẳng Vì tổng số đường thẳng tăng thêm nên n=8

Câu 18: (h.14)

a) Ba tia Ox Oy Oz, , chung gốc O b) Ox Oy đối

c) OH Oz trùng Câu 19: (h.64)

Hình 63

d

c

b a

n m

a) Các tia đối Ax Ay ; Bx By , ta trùng AB Ay , BA Bx b) Hai tia Ax By khơng có điểm chung

c) M nằm A B Câu 20: (h.65)

a) Hai tia đối Om On, Oxvà Oy

b) Q thuộc tia Oy(Q khác O) Fthuộc tia Om (Fkhác 0) Câu 21: (h.66)

a) Điểm O nằm đường thẳng xy nên hai tia Ox Oyđối (1)

Điểm A thuộc tia Ox, điểm Bthuộc tia Oynên hai tia OA Ox, trùng nhau; hai tia OB Oy, trùng (2)

Từ (1) (2) suy hai tia OA OB, đối (3)

b) Điểm M nằm hai điểm O vàA nên hai tia OM ,OA trùng (4)

Hình 64 t

y x

A B

O

M

Hình 65 y

n m

F O

P

E

Q

Hình 66

y x

Từ (3) (4) suy hai tia OM OB, đối điểm O nằm hai điểm M B Câu 22: (h.67)

a) Hai tia OA OB, đối nên ba điểm , ,O A B thuộc đường thẳng Hai tia OA OC, trùng nên ba điểm , ,O A C thuộc đường thẳng

Hai đường thẳng có điểm chung O A nên chúng trùng nhau, suy điểm , , ,

A B C O thẳng hàng

b) Hai tia OA OB, đối nên điểm O nằm A vàB suy hai tia AO AB, trùng (1)

Điểm A nằm O C, nên hai tia AO AC, đối (2)

Từ (1) (2) suy hai tia AB AC, đối điểm A nằm hai điểm B C Câu 23: (h.68)

a) Điểm O nằm hai điểm A B suy hai tia OA OB, đối (1) Điểm I nằm hai điểm O B suy hai tia OI OB, trùng (2)

Từ (1) (2) suy hai tia OA OI, đối nhau, điểm O nằm hai điểm A I b) Điểm I nằm hai điểm O B, suy hai tia OI IB, đối (3)

Điểm O nằm hai điểm A I suy hai tia IO IA, trùng (4)

Từ (3) (4) suy hai tia ,IA IB đối điểm I nằm hai điểm A B Câu 24: (h.69)

Có 5.4 10

2 = đoạn thẳng là:

C B

Hình 67

A O

A B

Hình 68

O I

A

E

D C

B

- AB AC AD AE, , , - BC BD BE, , - CD CE, - DE

Nếu điểm , , , ,A B C D E thẳng hàng kết không thay đổi

Câu 25: ( 1) 28

n n−

= ; n n( − =1) 56=5.8 ; n=8 Câu 26:

Có thể vẽ hình 70 Mỗi đoạn thẳng có số giao điểm với đoạn thẳng lại nhiều Vậy với đoạn thẳng số giao điểm nhiều 5.4=20 Nhưng giao điểm tính hai lần số giao điểm nhiều có

5.4 10

2 = , suy số giao điểm 10 Câu 27: (h.20)

a) Có 12 tia tia Ax Ay Bx By Cx Cy Dx Dy Ox Oy Ox Oy; ; ; ; '; '; '; '; ; ; '; ' b) Có đoạn thẳng OA OB OC OD AD BC AB CD, , , , , , ,

c) Những cặp đoạn thẳng không cắt là: AD BC, AD OB, AD OC, BC OA, BC OD

d) Tia Oy cắt đoạn thẳng BC điểm B Vậy tia Ox tia đối tia Oy không cắt đoạn thẳng BC

Câu 28: (h.71)

a) Vì B nằm O C nên OB<OC mà OC <OA nên OB<OA hay OA>OB b) Vì OB>0 nên OA OB− <OA

Câu 29: (h.72)

a) Điểm F nằm E G nên EG=EF+FG, EG= + =2 (cm)

2 cm a

7 cm

3 cm Hình 72

E F G H

Hình 70

O

A

B

Hình 71

Điểm G nằm E H nên EG+GH =EH Thay số tính GH =2cm Vậy FG>GH(3>2)

b) FG>GH =2cm EG; =FH =5cm Câu 30: (h.73)

Điểm B nằm A vàF nên AF = AB+BF (1)

Điểm A nằm E B nên BE =BA+AE (2) mà AE<BF nên từ (1) (2) suy AF >BE

Câu 31:

a) Vì AB+BC = AC(2 3+ =5) nên điểm B nằm hai điểm A C suy , ,A B C thẳng hàng

b) Vì AB+BC ≠ AC(2 3+ ≠ 4) nên điểm B không nằm hai điểm A C Vì BC+CA≠BA(3 4+ ≠ 2) nên điểm C không nằm hai điểm B A Vì BA+AC ≠BC(2+ ≠4 3) nên điểm A khơng nằm hai điểm B C Vậy ba điểm , ,A B C khơng có điểm nằm hai điểm cịn lại từ suy

ra ba điểm , ,A B C khơng thẳng hàng , ,A B C thẳng hàng phải có điểm nằm hai điểm lại

Câu 32: (h.74)

a) Dùng cách cộng liên tiếp ta AO OI+ +IB= AB Thay số OI =1cm

b) Điểm O nằm A B; điểm I nằm O B nên điểm O nằm A I (xem 23)

Suy AI = AO OI+ (1) BO=BI +OI (2)

Từ (1) (2) suy

AI =BO⇔ AO=BI ⇔ =a b Câu 33:Hướng dẫn

E F

Hình 73

A B

2 cm 2 cm

5 cm

Hình 74

A O I B

x 6 cm

Hình 75 3 4

O

C

Điểm M nằm O N, từ tính MN =1cm

Điểm N nằm O P, từ tính NP =2 suy MN <NP Câu 34: (h.75)

Hai điểm A B tia Ox mà OA<OB(4<6) nên điểm A nằm O B, suy ;

AB=OB−OA AB= − =6 (cm)

Hai điểm A vàC tia BA mà BA<BC(2<3) nên điểm A nằm hai điểm B C Suy AC =BC−BA= − =3 1(cm)

Vậy AB> AC(2 1)>

Câu 35: a) Trường hợp điểm B nằm tia đối tia AO (h.76a)

Lúc A nằm O B nên

OB=OA+AB= +a (cm)

b) Trường hợp điểm B nằm tia AO - Nếu a>2 (h.76.b) điểm B nằm

A O, suy OB=OA−AB= −a (cm)

- Nếu a=2 điểm B trùng với O; khoảng cách hai điểm O Bbằng - Nếu a<2 O nằm A B

Trường hợp không xảy O gốc tia Ox, khơng thể nằm hai điểm tia Ox

Tóm lại, tốn có đáp số: 2;

OB= +a OB= −a

Hoặc khoảng cách O B Câu 36: (h.77)

a) Điểm E nằm hai điểm A B nên

AE+BE =AB= (cm) ) nên

AE+FE+EB= (cm); (AE+EB)+FE =7(cm)

Hình 76b

x a

O A

B 2

a

Hình 76a 2 cm

x

O A B

Hình 77

B 5

F E

5(cm)+FE=7(cm) suy FE =2(cm) Câu 37: (h.78)

a) Điểm A nằm O B nên OA<OB mà ;

OM =OA ON =OB nên OM <ON suy điểm M nằm hai điểm O N

b) Ta có OB=OA+AB (1)

ON =OM +MN (2) Vì OB=ON OA; =OM nên từ (1) (2) suy AB=MN

Câu 38: (h.79)

Điểm O nằm A B nên AO OB+ =AB Vì AO<OB nên 2AO< AB Hay

2 AB AO< (1)

Điểm I nằm A B nên AI +IB= AB Vì IA>IB nên 2AI > AB hay

2 AB AI > (2)

Từ (1) (2) suy AO< AI, O nằm A I Lập luận tương tự ta I nằm B O

Câu 39: Ta thấy MO ON+ =MN (vì 2+2=4) Vậy điểm O nằm hai điểm M N (1) Mặt khác OM =ON (2) nên từ (1) (2) suy O trung điểm đoạn thẳng MN Câu 40: (h.80)

Hai điểm A M thuộc tia Ox mà

M (3 4,5)

OA<OM < nên điểm A nằm O suy AM =OM −OA AM; =4,5 1,5(− = cm) Điểm M trung điểm AB nên

2 2.1,5 3( )

AB= AM = = cm Vậy

( ) AB=AO = cm (1)

Điểm A nằm hai điểm O M nên hai tia AO AM đối (2) Điểm M nằm hai điểm A B nên hai tia AM AB trùng (3)

Hình 79

B O I

A

x

4,5 cm

Hình 80

3 cm

O A M B

Hình 78

O M

A

N

Từ ( )2 ( )3 suy hai tia AO AB đối điểm A nằm hai điểm O B( )4

Từ ( )1 ( )4 suy A trung điểm OB 41.(h.81)

− N trung điểm MO

− O trung điểm NP MQ − P trung điểm OQ NR - Q trung điểm PR

42.(h.82)

a) M trung điểm AB nên M nằm A B;

MA=MB= AB= cm Trên tia AB có AC< AM(2<3) nên C nằm A M

Trên tia BA có BD<BM (2<3) nên D nằm B M từ suy M nằm hai điểm C D ( )1

Ta có MC = AM −AC = − =3 1( )cm ( ) MD=MB−BD= − = cm

Vậy MC =MD ( )2 Hình 82

Từ ( )1 ( )2 suy M trung điểm CD

b) Điểm C trung điểm đoạn thẳng AD; điểm D trung điểm đoạn thẳng CB

43.(h.83)

O nằm A B nên OB=3cm suy 1,5

OI = cm

Điểm O nằm A B; điểm I nằm O B suy O nằm A I (xem 23) Vậy AI=AO+OI=2+1,5=3,5( )cm

hình 83 44.Trường hợp M N nằm hai tia đối gốc O AB=10cm

Trường hợp M N nằm tia gốc O AB=2cm 45. (h.84)

M trung điểm AB nên M nằm A B, MA=MB( )1

Hai tia BM BA, trùng nhau; hai tia ,

BO BA đối suy hai điểm ,

BM BO đối nhau, B nằm hai điểm M O Vậy OM =OB=BM( )2

Hai tia MA MB, đối , hai tia MB MO, trùng suy hai tia MA MO, đối M nằm A O Vậy OM =OA MA− ( )3

Từ ( ) ( ) ( )1 , , suy 2OM =OA OB+ hay

2 OA OB

OM = +

46. (h.85) Có 100 2 AB M B= =

100 3 2 M B

M B= =

… 100 100 100 2

M B= =

Vì BM100 <BM1(1<299) nên điểm M100 nằm hai điểm B M1

Do 99 ( )

1 100 100

M M =M B−M B= − cm 47.

a) Có tia Ax; Ay; Az; Bx; By; Bz; Ox; Oy; Oz b) Có đoạn thẳng CA; CO; CB; AO;AB;OB c) AB=2a

48.a) tổng AB+BO đạt GTNN cm điểm O trùng với điểm B b) AB OB+ =2BO⇔ AB=BO⇔O trùng A

c) AB+BO=3BO⇔ AB=2BO⇔O trung điểm AB 49. (h.86)

M trung điểm AB nên

3

AM = AB= cm Nếu a<3 CM = −3 a

Nếu a=3 khoảng cách hai điểm C M Nếu 3< <a CNM = −a

Tóm lại: với trường hợp khoảng cách CM = −a 50. (h.87)

a) Điểm K nằm C D nên ( )

5

CK =CD−DK = − = cm

Hình 84

Hình 85

Vậy KC <KD K khơng phải trung điểm CD

b) Hai điểm I K nằm tia CD mà CI <CK (1<2) nên điểm I nằm hai điểm C K mặt khác

2

CI = CK nên I trung điểm CK 51. (h.88)

a) Hai tia OA, AB đối nên điểm A nằm hai điểm O B, suy OA<OB

b) Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OB nên ;

2

OA OB

OM = ON = OA<OB nên OM <ON

Hai điểm M N thuộc tia OB mà OM <ON nên điểm M nằm hai điểm O N

c) Ta có OM +MN =ON suy MN =ON −OM hay

2

OA OB AB

MN = − =

Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi

Hình 87

Chương II GÓC 52. (h.89)

Đoạn thẳng AB khơng cắt a, hai điểm A,B nằm phía đường thẳng a, chẳng hạn nằm nửa mặt phẳng ( )I

Đoạn thẳng BC cắt a nên B thuộc nửa mặt phẳng ( )I C thuộc nửa mặt phẳng ( )II Đoạn thẳng CD không cắt a nên C D thuộc nửa mặt phẳng ( )II

Hai điểm A D thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ a nên đoạn thẳng AD cắt a

53. Ba bạn A, C, E đến nhà qua đường cao tốc

hai bạn B,D đến nhà qua đường cao tốc

54. a) Theo nguyên lý Dirricle, có điểm mà thuộc hai nửa mặt phẳng đối nên phải có mặt phẳng chứa ba điểm

b)- Nếu điểm thuộc nửa mặt phẳng khơng có đoạn thẳng cắt m - Nếu có điểm thuộc nửa mặt phẳng, điểm thuộc nửa mặt phẳng đối

có đoạn thẳng cắt m

- Nếu có điểm thuộc nửa mặt phẳng, hai điểm thuộc nửa mặt phẳng đối có đoạn thẳng cắt m(h.90) Vậy nhiều có đoạn thẳng cắt m

55. (h.91 ,a b)

Lấy điểm A∈Ox B; ∈Oy Vì A B nằm khác phía đường thẳng 't t nên đoạn thẳng AB cắt 't t điểm M nằm A B Do đó, có hai tia

; '

Ot Ot cắt đoạn thẳng AB M Điều chứng tỏ tia Ot tia 'Ot nằm hai tia Ox;Oy

Hình 89

Hình 91a Hình 91b 56. (h.92)

Điểm N nằm A C nên tia BN nằm hai tia BA, BC

Điểm M nằm A B nên tia CM nằm hai tia CA; CB

Tia BN nằm hai tia BA, BC tia BN phải cắt đoạn thẳng CM điểm nằm C M

Tương tự, tia CM cắt đoạn thẳng BN điểm nằm B N, suy hai đoạn thẳng BN CM cắt

57. a) Số góc có 5.4 10

2 = (góc) Đó góc



aOb, aOc, aOd,aOt; bOc,bOd,bOt; cOd,cOt; dOt

b) Có cặp góc kề bù là: aOc bOc; aOd bOd; aOt bOt 58. Số góc tăng thêm là: 7.6 4.3 21 15

2 − = − = (góc) 59.

a) Ba đường thẳng đồng quy O tạo thành tia gốc O Số góc tạo thành là: 6.5 15

2 = (góc) có góc bẹt

b) Nếu có n đường thẳng đồng quy O tạo thành 2n tia gốc O Số góc đươc tạo thành là: (2 1) 2( 1)

2 n n

n n

−

= − (góc)

60. ( 1) 28; ( 1) 56 8.7;

n n

n n n

−

= − = = =

61. (h.93)

a) Hai góc BOC BOA bù nên hai tia OC OA đối điểm O nằm hai điểm A C

b) Tia BO nằm hai tia BA BC nên điểm O nằm góc ABC

c) Các cặp góc kề bù đỉnh B là: ABO ABy; CBO CBy 62.

a) Nếu tia OM trùng với tia OA, ta coi AOM “góc khơng” lúc   AOB+AOM = AOB b) Nếu tia OM nằm khơng trùng với tia OA AOM >0, lúc   AOB+AOM > AOB c) Tia OM nằm hia tia OA, OB tia OM trùng với tia OA trùng với tia OB

thì   AOM +MOB>AOB 63. (h.94)

Hai góc AOC BOC kề bù, mà BOC góc nhọn nên AOC góc tù

Vậy BOC <AOC( )1

Tia ON nằm hai tia OB, OC nên

 ( )2

BON <BOC

Từ ( )1 ( )2 suy  BON < AOC 64. (h.95)

Ta có  xOm+mOy=1800 (kề bù) mà tia On nằm hai tia Ox, Om nên   xOm=xOn+nOm

Do đó:   

180 xOn+nOm+mOy=

Nếu góc   xOn nOm mOy, , nhỏ 60 tổng chúng nhỏ 180

Từ suy góc   xOn nOm mOy, , có góc lớn 60 65. (h.96)

Hai điểm A B tia Ox mà OA<OB(2<5) nên A nằm O B suy tia CA nằm hai tia CO CB

Vậy   ACB=OCB OCA− =1100−300 =800 66. (h.97)

Hai góc aOx aOy kề bù; bOx bOy kề bù nên

 

180

aOx= −aOy, bOx =1800−bOy

Đặt 

aOy =m , theo đề ta có: ( )

180− =m 180−2m

Hình 93

Hình 94

Hình 95

Giải m=720

67. (h.98)

Ba góc   AOB BOC COA, , khơng có điểm chung nên

  

360 AOB+BOC+COA=

Suy ra: COA =3600−(1100+1200)=1300

Ta có   AOB+BOC≠ AOC (1100+1200 ≠1300)

Nên tia OB không nằm hai tia OA, OC Tóm lại, ba tia cho, khơng có tia nằm hai tia cịn lại

68.Nếu m≤1800 AOC=m0

Nếu m>1800 AOC =3600−m0 69. (h.99)

Hai góc xOm yOm kề bù nên

  0

180 180 120 60

yOm= −xOm= − =

Tia OM nằm hai tia Oy On

  



0

0

60

120 120

yOm yOn yOn

xOn a

⇔ < ⇔ >

⇔ < ⇔ <

70.Nếu hai tia Oy Ot, thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox 

50 yOt =

Nếu hai tia Oy Ot, thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa tia Ox

 ( 0)

360 100 150 110

yOt = − + =

71.Hướng dẫn: Xét hai trườn hợp vị trí tia Oz Đáp số

100 40 72. (h.100)

a) Tia ONnằm hai tia OA OB, nên

  AON+BON = AOB

Mà   AOM +BON < AOB (đề bài) Suy  AOM < AON

Do tia OM nằm hai tia OA, ON b) AOB=400+300+500 =1200

73. (h.100)

Tia OM nằm hai tia OA, OB

Hình 97

Hình 98

nên   AOM +BOM = AOB Vì  AOM <BOM

nên 2 AOM < AOB;   AOB AOM < ( )1 Tia ON nằm hai tia OA, OB nên   AON+BON = AOB

Vì  AON >BON nên 2   ; AOB AON > AOB AON > ( )2

Từ ( )1 ( )2 suy  AOM < AON suy tia OM nằm hia tia OA, ON 74. (h.101)

Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Oxcó  xOy< xOz(400 <1300) nên tia Oy nằm hai tia ,Ox Oz suy ra:

   0

130 40 90 yOz =xOz−xOy= − =

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz, có

 

zOt <zOy (600 <900) nên tia Ot nằm hai tia Oz, Oy suy

   0

90 60 30 yOt =zOy−zOt= − =

Vậy   yOt<xOy< zOt(300 <400 <600) 75. (h.102)

Vì hai góc AOT BOT kề bù nên tia OT nằm hai tia OA OB,

  

180 AOT+BOT = AOB=

Các tia OM, ON thứ tự tia phân giác góc AOT BOT nên  

2 AOB

MON = (xem thí dụ 17)



90 MON = 76. (h.103)

Ta có BOT +AOT =1800 (kề bù) Mà BOT −AOT =200

Nên BOT =(1800+200): 2=1000

Hình 100

Hình 101

Tia OD phân giác góc BOT nên 

0

100 50

BOD= =

Suy AOD=1800−500 =130 77. (h.104)

Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chua tia Ox, có

  ( 0 0)

50 75 100

xOy< xOz<xOt < < nên tia Oy nằm hai tia Ox Ot, ( )1 đồng thời tia Oy nằm hai tia Ox,Oz tia Oz nằm hai tia , Ox Ot đồng thời Oz nằm hai tia Oy Ot, ( )2

Ta có   yOt =xOt−xOy =1000−500 =50

Vậy xOy = yOt kết hợp với ( )1 suy tia Oy tia phân giác góc xOt

Ta có   

  

0 0

0 0

75 50 25 100 75 25 zOy xOz xOy

zOt xOt xOz

= − = − =

= − = − =

Vậy  zOy=zOt, kết hợp với ( )2 suy Oz phân giác góc yOt 78.Tia OD khơng nằm hai tia OE, OF nên tia OD

không phải tia phân giác góc EOF 79. (h.105)

Ba góc   AOB BOC COA, , khơng có điểm chung nên   AOB+BOC+COA=3600

Suy   AOB=BOC=COA=1200

Hai góc kề AOB AOC có tổng lớn 180 nên tia OA' tia đối tia OA nằm hai tia

, OB OC

Ta có  A OB' = A OC' (cùng bù với hai góc nhau) Suy tia OA' tia phân giác góc

Chứng minh tương tự ta tia đối tia OB tia phân giác góc AOC ; tia đối tia OC tia phân giác góc AOB

80. (h.106)

Hai góc xOt yOt kề bù nên xOt =1800−a0

Muốn cho tia Oz phân giác góc xOt

 

2 100 xOt = xOz=

Vậy 1800−a0 =100 ,0 suy a=800

Hình 103

Hình 104

Hình 105

81. (h.107)

a)   

0 50 25 2 AOB

BOM = AOM = = =

  1500

75

2

AOC

AON = = =

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, có

 ( 0)

25 75

AOM < AON < nên tia OM nằm hai tia OA ON,

Suy MON  = AON−AOM =750−250 =500

b) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có   AOM < AOB< AON(250 <500 <750) nên tia OB nằm hai tia OM ON

ta có:  

0

0 50

25

2

MON

BOM =  = 

  nên tia OB phân giác góc MON

82. (h.108)

a) Tia Oxlà tia phân giác góc AOB suy

 

AOx< AOB mà  AOB< AOy (đề bài) nên

  

AOx< AOB< AOy

Suy tia OB nằm hai tia Oxvà Oy ( )1 Đồng thời tia Ox nằm hai tia OA Oy( )2 b) Từ ( )1 suy   xOy =xOB+BOy

Từ ( )2 suy xOy  = AOy−AOx

Do 2  xOy= AOy+BOy (vì  AOx =BOx) hay   

2 AOy BOy

xOy = +

83. (h.109) 20

n= ; lúc tia Ox10 tia phân giác chung 10 góc:

   

20; 19; 18, , 10

xOx x Ox x Ox x Ox

84.Con trâu ăn cỏ hình trịn có tâm cọc bán kính 3m 85.

a) Số dây cung 5.4 10

2 = (dây cung)

b) Số cung đường trịn 10.2 20= cung

Hình 107

Hình 108

86. (h.110)

a) Điểm C nằm hai điểm O A( bạn đọc tự giải thích)

Suy AC =OA OC− = − =3 1( )cm Tương tự BD=1cm Vậy AC =BD b) Vì DB=1cm nên DM =1cm Điểm M

nằm D O (bạn đọc tự giải thích)mà

2

DM = DO nên M trung điểm OD

c) ON+ND=OD+DB=OB

87.Gọi C điểm số 97 điểm lại

Ba điểm , ,A B C lập thành nhóm Theo đề bài, nhóm ba điểm chọn hai điểm có khoảng cách nhỏ Ta suy ra:

Vì AB>1 nên AC<1C nằm ( )A;1 BC<1,C nằm ( )B;1

Như vậy, 97 điểm lại , nằm ( )A;1 nằm ( )B;1 Theo ngun lí Điricle phải có đường trịn chứa 49 điểm, thêm điểm A B nên phải có đường trịn chứa 50 điểm số điểm cho

88.

a) Có 10 tam giác là: ABC, ABD, ABE, ACE, ACD, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE b) Chỉ tam giác (bớt tam giác ABC

ADE)

89. (h.51) có tam giác BOE, COD,BOC, ABD, ACE, BEC, BDC, ABC

90. (h.111)

a) Tia AM nằm hai tia AB AC, nên điểm N nằm hai tia hai điểm B C

Tia BM nằm hai tia BA BC nên điểm M nằm hai điểm A N

b) Có tam giác hình (bạn đọc tự viết ra)

91. a,b xem hình 112

c) E trung điểm OB; D trung điểm OC

Hình 111 Hình 110

92. (h.113 ,113a b)

Đường thẳng a bờ chung hai nửa mặt phẳng đối Hai điểm A B nằm hai nửa mặt phẳng đối

Xét điểm C

- Nếu C A nằm khác phía a C B phía a(H.113a)do đường thẳng a cắt cạnh AC không cắt cạnh BC

- Nếu C A nằm phía a C B nằm khác phía a(H.113b) đường thẳng a không cắt cạnh AC mà cắt cạnh BC

Hình 113a Hình 113b

93.

a) Các góc  AOC BOC; vng; BOD COD ; nhọn; AOD tù b) Vì tia OD nằm hai tia OB OC, nên

  

90 BOD+COD=BOC =

Do BOD COD hai góc khơng nên hai góc phải nhỏ

0

45 94. (h.114)

a)  MAx+MAy=1800 (kề bù) Suy MAy =1800 −1300 =500 Tương tự: 

50 NAy= Vậy MAy =NAy

Mặt khác tia Ay nằm hai tia AM AN, nên tia Ay tia phân giác MAN

 0

50 50 100

MAN = + =

b) Tia Bx nằm hai tia BM BN nên

  

OBN =MBN −MBO

 0

100 40 60

OBN = − =

c) Điểm O nằm hai điểm A B; muốn cho O trung điểm AB OA=OB Vì OA=2cm nên OB=2cm

95. (h.115)

a) Có  zOm= zOn( )1 (đề bài)



zOm zOn hai góc nhọn nên

 

180 zOm+zOn<

Suy tia Oz nằm hai tia Om On, ( )2

Từ ( )1 ( )2 suy tia Oz tia phân giác góc mOn

b) Dễ thấy  xOn= yOn (cùng phụ với hai góc nhau)

 

xOt = yOn (cùng bù với góc yOt) Suy xOm = yOt ( )3

Ta chứng minh xOn góc tù,  xOm<xOn

Vậy tia Om nằm hai tia ,Ox On suy nOm  <nOx<nOt nên tia Ox nằm hai tia Om Ot, ( )4 Từ ( )3 ( )4 suy tia Ox tia phan giác hóc mOt 96. (h.116)

a) AB=2(a+b)

b) Tính NOB=200

Từ suy tia ON tia phân giác góc MOB

97.

a) Giả sử tia Ot nằm hai tia Ox,Oy Ta có   xOt+tOy =xOy Thay số



0

75 +tOy =45

Điều vơ lí nên tia Ot không nằm hai tia Ox,Oy b) Giả sử tia Ot nằm hai tia Ox,Oy Ta có:

  

xOt+tOy=xOy Thay số ta đươc 0 

75 +110 = xOy

Hay xOy=1850 điều vơ lí nên tia Ot khơng nằm hai tia Ox,Oy

c) Nếu hai tia ,Ox Oy thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ot hai tia Ox,Oy trùng nhau, trái đề Vậy hai tia ,Ox Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa tia Ot

Ta có  xOt+tOy=900+900 =1800 nên tia Ot nằm hai tia Ox, Oy 98. (h.117)

Hình 115

a) Bốn điểm , , ,A B M N thẳng hàng chúng nằm đường thẳng MN

b) Ta tính BM =2cm

Hai điểm N, M tia BA mà (1 2)

BN <BM < nên điểm N nằm B M

Dễ thấy NB=NM suy N trung điểm đoạn MB

c) Đường tròn tâm N qua B nên có bán kính 1cm Đường trịn tâm A qua N nên có bán kính 4cm Chu vi ∆CAN =CA+AN+NB= + + =4 9( )cm

MỤC LỤC

PHẦN: HÌNH HỌC 1

Chương I ĐOẠN THẲNG 1

§ Điểm Đường thẳng Ba điểm thẳng hàng

§ Đường thẳng qua hai điểm

§ Tia…

§ Đoạn thẳng Độ dài đường thẳng Cộng độ dài hai đường thẳng

§5 Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài 11

§6 Trung điểm đoạn thẳng 13

§7 Ơn tập chương I 15

Chương II GÓC 17

§1 Nửa mặt phẳng 17

§2 Góc Số đo góc Cộng số đo hai góc 19

§3 Vẽ góc cho biết số đo 22

§4 Tia phân giác góc 24

§5 Đường trịn ………26

§6 Tam giác … ……… 28