Bồi dưỡng đại số 8

152. C ộng từng vế các bất đẳng thức trên.. Có th ể chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học.. Cách 1: hai s ố có giá trị tuyệt đối bằng nhau khi chúng bằng nhau ho[r]

(1)



Sưu tầm tổng hợp

BỒI DƯỠNG TOÁN

(2)

MỤC LỤC

Chương PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC

§1 NHÂN ĐA THỨC

§2 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

§3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

§4 CHIA ĐA THỨC 16

§5 TÍNH CHIA HẾT 20

§6 MỘT SỐ HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG QUÁT 23

Chương II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 27

§1 TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ RÚT GỌN PHÂN THỨC 27

§2 CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC 28

§3 DÃY CÁC PHÂN THỨC VIẾT THEO QUY LUẬT 32

§4 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 33

Chương III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 36

§1 KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH, PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 36

§2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 37

§3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 41

§4 TỐN BẬC NHẤT MỘT ẨN 42

Chương IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 45

§1 LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG, PHÉP NHÂN 45

§2 TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC 52

§3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 58

§4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 60

§5 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 62

§6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TÍCH BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THƯƠNG 63

Phần đề thi 65

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC 65

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 67

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 68

BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 69

(3)

Chương PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC §1 NHÂN ĐA THỨC

Phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức thực sau:

( )

A B C+ = A B+A C

(A+B) ( C+D)= A B +A D +B C +B D

Ví dụ Cho biểu thức:

3 1 432

229 433 229 433 229.433

M =  + − −

 

a) Bằng cách đặt

229 =a;

433=b, rút gọn biểu thức M theo a b b) Tính giá trị biểu thức M

Giải:

a) M =3a(2+ −b) (a 1− −b) 4ab=5a

b) 5

229 229

M = a= =

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức

5

5 5

A=x − x + x − x + x− x =

Giải

Cách 1 Thay x = 4, ta có

5

4 5.4 5.4 5.4 5.4

A= − + − + −

( ) ( ) ( ) ( )

5

4 4 4 4 4

= − + + + − + + + −

5 4 3 2

4 4 4 4 4

= − − + + − − + + −

3

=

Cách 2 Thay = x + 1, ta có

( ) ( ) ( ) ( )

5

1 1 1

A=x − +x x + x+ x − +x x + x+ x−

5 4 3 2

(4)

= x− =1

Nhận xét: Khi tính giá trị biểu thức, ta thường thay chữ số Nhưng ví dụ cách ví dụ 2, ta lại thay số chữ Ở ví dụ 1, số

229và

433 lặp lại nhiều lần biểu thức Mđược thay a b Ở ví dụ 2, số lặp lại nhiều lần biểu thức Ađược thay x +

Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức

( )( ) ( )( ) ( )( )

x a− x b− + x b− x c− + x c− x a− =ab bc ca+ + −x

Biết 2x= + +a b c

Giải:

Biến đổi vế trái, ta

2 2

x −bx−ax+ab+x −bx−cx+bc+x −ax cx− +ca

( ) ( )

2

3x 2x a b c ab bc ca

= − + + + + +

Thay a+ + =b c 2x, vế trái − +x2 ab bc+ +ca, vế phải Hằng đẳng thức chứng minh

BÀI TẬP

1. Rút gon biểu thức:

( )

{ }

2y− −x 2x− −  +y y 3x− 5y− x 

Với x=a2+2ab b+ 2; 2

2

y=a − ab+b

2. Thực phép tính:

( ) 1( )

3xn 4xn− − −1 2xn+ 6xn− −1

3. Rút gọn biểu thức: a) 10n+1−6.10n;

b) 90.10k −10k+2+10k+1;

c)

2,5.5n− 10+5n−6.5n−

4. a) Chứng minh rằng: 210 +211+212 chia hết cho

b) Viết 32 thành tổng ba lũy thừa số với số mũ ba số tự nhiên liên tiếp

5. Tính 5118

(5)

6. Tính giá trị x15 −8x14 +8x13 −8x12 + − 8x2+8x−5 với x =

7. Rút gọn: (a+ +b c a)( 2+b2+c2−ab bc ca− − )

8. Chứng minh đẳng thức:

( 2 )( ) ( ) ( ) ( )

a +b + −c ab bc ca a− − + +b c =a a −bc +b b −ca +c c −ab

9. Chứng minh đẳnt thức:

(100+a)(100+b) (= 100+ +a b).100+ab

Từ suy quy tắc nhân nhẩm hai số lớn 100 chút

10. Hãy xây dựng quy tắc nhân nhẩm hai số nhỏ 100 chút dựa vào đẳng thức

(100−a)(100−b) (= 100+ +a b).100+ab

11. Rút gọn biểu thức: (x+a)(x b+ )(x+c)

Biết rằng: a+ + =b c ab+bc+ca= −7 abc = −60

§2 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

Bảy đẳng thức đáng nhớ học chương trình cho ta kết cuối phép nhân đa thức với đa thức

( )2 2 2

2

a+b =a + ab+b (1)

( )2 2 2

2

a−b =a − ab+b (2)

( )( ) 2

a b a b+ − =a −b (3)

( )3 3 2 2 3

3

a+b =a + a b+ ab +b (4)

( )3 2

3

a−b =a − a b+ ab −b (5)

( )( 2) 3

a+b a −ab b+ =a +b (6)

( )( 2) 3

a b a− +ab b+ =a −b (7)

Các công thức (4) (5) viết dạng:

( )3 3 ( )

3

a+b =a +b + ab a+b

( )3 3 3 ( )

3

a−b =a −b − ab a−b

Từ cơng thức (1) suy cơng thức bình phương đa thức:

( )2 2 2 2

2 2

(6)

Ví dụ Cho đa thức: 2x2−5x+3 Viết đa thức dạng đa thức biến y, y = x +

Giải: Thay x y – 1, ta

( )2 ( )

2

2x −5x+ =3 y−1 −5 y− +1 =2(y2−2y+ −1) 5y+ +5

2y 9y 10

= − +

Ví dụ Số lớn hai số A B?

( )( )( )( )( 16 )

2 2 2

A= + + + + +

32

2

B=

Giải: Nhân hai vế A với – 1, ta được:

( )( )( )( )( )( 16 )

2 2 2

A= − + + + + +

Áp dụng đẳng thức (a b a b+ )( − )=a2−b2 nhiều lần, ta

32

2

A= − Vậy A < B

Ví dụ Rút gọn biểu thức:

( ) (3 )3 ( )2

6

A= a+ +b c + a− −b c − a b+c Giải:

( ) ( ) ( )2

6

A=  +a b+  +  − +  −c  a b c  a b+c

( ) ( ) (2 )3 ( )

3

3 3

a a b c a b c b c a a b c

= + + + + + + + − + +

( ) (2 )3 ( )2

3a b c b c 6a b c

+ + − + − +

3 2a

=

BÀI TẬP

(7)

b) 28 8−(184+1 18)( 4−1 ;)

c) 1002−992+982−972+ + 22−1 ;2

d) (202+182+162+ + 42+22) (− 192 +172+152+ + + 32 ;2) e)

2

780 220

;

125 150.125 75

−

+ +

13.So sánh hai số sau, số lớn hơn? a) A=1989.1991và

1990 ;

B=

b) A x y

x y

− =

+

2

x y

B

x y

− =

+ với x> >y 0;

c) A= +(3 3)( 2+1 3)( 4+1 3)( 8+1 3)( 16 +1) 32

3 1;

B= −

14. Rút gọn biểu thức:

a) 2( x−1)2+4(x−1)(x+ −3) (2 3− x)2; b) (2a2+2a+1) (2 2a2−2a+1) (2− 2a2+1 ;)2 c) (9x−1) (2+ −1 5x)2+2 9( x−1 5)( − x);

d) (x2−5x+1)2+2 5( x−1)(x2−5x+ +1) (5x−1 ;)2

15. Rút gọn biểu thức:

a) (a2+b2−c2) (2− a2−b2+c2)2; b) (a+ +b c) (2+ a+ −b c)2−2(a+b)2;

c) (a+ +b c) (2+ a− +b c) (2+ a+ −b c) (2+ b+ −c a)2;

16. Chứng minh đẳng thức: a) (a2−b2)2+(2ab)2 =(a2+b2)2;

b) (a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd) (2− ad −bc)2;

c) (ax+b) (2− a−bx)2+c x2 2+c2 =(a2+b2 +c2)(x2+1 ;)

d) 1( ) ( ) (2 ) (2 )2 3 3 ;

2 a b c a b b c c a a b c abc

 

+ +  − + − + −  = + + −

e) 2 2 2

1000 +1003 +1005 +1006 =1001 +1002 +1004 +1007 ;

17. Cho 10a2 =10b2+c2 Chứng minh rằng:

( )( ) ( )2

7a−3b+2c 7a−3b−2c = 3a−7b

18. Cho a+ + =b c 2p Chứng minh rằng: a) 2bc b+ 2+ −c2 a2 =4p p( −a)

b) ( ) (2 ) (2 )2 2 2

p−a + p−b + p−c =a +b +c − p

(8)

20. Hiệu bình phương hai số tự nhiên chẵn liên tiếp 36 Tìm hai số

21. Hiệu bình phương hai số tự nhiên lẻ liên tiếp 40 Tìm hai số

22. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tổng tích cặp hai số ba số 74

23. Tổng ba số a, b, c bằng 9, tổng bình phương chúng 54 Tính ab bc+ +ca

24. Tìm x và y, biết rằng: 2

2

x + x+ y − y+ =

25. Cho a2+b2+c2−ab bc ca− − =0 Chứng minh: a= =b c

26. Cho (a−b) (2+ b−c) (2+ −c a)2 =4(a2+b2+c2−ab bc− −ca)

Chứng minh: a= =b c

27. Tính giá trị biểu thức: a) x2−10x+26 với x=105;

b)

0, 0, 01

x − x+ với x=0,9;

c) 2(a−5)(a+ −1) (a−5)2+36 với a=99;

28. Chứng minh rằng: a) a a( − +6) 10>0; b) (x−3)(x− + >5) 0;

c) a2+ + >a

29. Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a)

4 1;

x − x+

b)

4x +4x+11; c) 3x2−6x−1

30.Tìm giá trị lớn biểu thức:

a)

5 8− x−x ; b) 4x−x2+1

31. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) (x−1)(x+2)(x+3)(x+6)

b) x2−2x+y2 −4y+6

B – CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC (4), (5), (6), (7) 32. Tính giá trị biểu thức:

a) a3+ +1 3a+3a2 với a=9; b) x3+3x2+3x với x=19; c) a3+3a2+3a+6 với a=29; d) a3−3a2+3a+1 với a=101

(9)

a) x x( −1)(x+ −1) (x+1)(x2− +x ;)

b) 3x2(x−1)(x+ −1) (x2−1)(x4+x2+ −1) (x2−1 ;)3 c) (a+ +b c) (3+ a− −b c) (3+ b− −c a) (3+ − −c a b)3

34.Tìm x, biết:

( )2 ( )3 ( )( 2 )

6 x+1 −2 x+1 +2 x−1 x + + =x 1 35. Chứng minh đẳng thức:

a) (a+b)3 =a3+b3+3ab a( +b)

b) ( )3 3 ( )( )( )

3

a+ +b c =a +b + +c a+b b+c c+a

36. Cho a+ + =b c Chứng minh rằng: a3+ +b3 c3 =3abc

37* Cho a+ + + =b c d Chứng minh rằng: a3+ + +b3 c3 d3 =3(ab cd− )(c+d)

38 Cho a+ =b Tính giá trị M =2(a3+b3) (−3 a2−b2)

§3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Ví dụ Phân tích thành nhân tử:

a)

6 8;

x − x+

b) 9x2+6x−8;

Giải: Ba hạng tử đa thức khơng có nhân tử chung, khơng lập thành bình phương nhị thức Do ta nghĩ đến việc tách hạng tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn năm hạng tử

a) Cách 1: x2−6x+ =8 x2−2x−4x+ =8 x x( − −2) (4 x−2)

(x 2)(x 4)

= − −

Ba phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử:

− Đặt nhân tử chung

− Nhóm hạng tử

− Dùng đẳng thức

(10)

Cách 2: 2 ( )2

6

x − x+ = x − x+ − = x− −

=(x−2)(x−4)

Cách 3: x2− +4 6x+12=(x+2)(x− +2) (6 x+2)

=(x−2)(x−4)

Cách 4: x2− −16 6x+24=(x+4)(x− −4) (6 x−4)

=(x−2)(x−4)

Cách 5: x2−4x+ −4 2x+ =4 (x−2)2−2(x−2)

(x 2)(x 4)

= − −

b) Có nhiều cách tách hạng tử thành hai hạng tử khác, hai cách sau thơng dụng nhất:

Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung

2

9x +6x− =8 9x −6x+12x−8

( ) ( ) ( )( )

3x 3x 3x 3x 3x

= − + − = − +

Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương

( ) ( )( )

2

9x +6x+ − =1 3x+ −1 = 3x+4 3x−2

Chú ý: Cách tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dựa vào đẳng thức:

( ) ( )( )

2

mpx + np+mq x+nq = mx+n mp+q Như tam thức:

ax +bx+c, hệ số bđược tách thành b1+b2 cho b b1 2 =ac Trong thực hành ta làm sau:

1. Tìm tích ac

2. Phân tích ac ra tích hai thừa số nguyên cách

3. Chọn hai thừa số có tổng b Trong đa thức:

9x +6x−8 a=9,b=6,c= −8

(11)

Bước 2: Phân tích −72 tích hai thừa số trái dấu, thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn (để tổng hai thừa số 6)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

72 72 36 24 18

− = − = − = − = − = −

Bước 3: Chọn hai thừa số có tổng Đó – 12 Trong trường hợp tam thức

ax +bx+ccó b số lẻ, a khơng bình phương số ngun giải theo cách gọn so với cách

Ví dụ Phân tích thành nhân tử: (x2+x)2+4x2+4x−12

Giải: Ta nhận thấy đặt:

x + =x y đa thức có dạng: y2+4y−12 tam thức bậc hai y Ta có:

( ) ( )

2

4 12 12 6

y + y− = y + y− y− = y y+ − y+

=(y+6)(y−2)

=(x2+ +x 6)(x2+ −x 2) =(x2+ +x 6)(x2+2x− −x 2) =(x2+ + x 6)x x( +2) (− x+ 2) =(x2+ +x 6)(x+2)(x−1) Cách làm gọi đổi biến

Chú ý: Tam thức bậc hai ax2+bx+c khơng phân tích tiếp thành nhân tử phạm vi số hữu tỉ nếu:

Theo cách 1, phân tích ac ra tích hai thừa số ngun cách, khơng có hai thừa số có tổng b,

Theo cách 2, sau tam thức dạng ax2−k k khơng bình phương số

hữu tỉ

Tam thức x2+ +x khơng phân tích thành nhân tử (trong phạm vi số hữu tỉ) vì:

Theo cách 1, tích ac= =6 1.6=2.3, khơng có hai thừa số có tổng Còn theo cách 2,

2

2 1 23 23

6

2 4

x + + =x x + x+ + =x+  +

(12)

Ta thấy 23

4 khơng bình phương số hữu tỉ

Ví dụ Phân tích thành nhân tử: x3+3x2−4

Giải: Ta tách hạng tử đa thức phương pháp tìm nghiệm đa thức

Ta nhắc lại a nghiệm đa thức f x( ) f a( )=0 Như vậy, đa thức f x( )chứa nhân tử x−a a phải nghiệm đa thức Ta lại ý đa thức có nhân tử x−athì nhân tử cịn lại x2+bx+c suy − = −ac 4, tức a phải ước – Tổng quát, đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên có phải ước hạng tử không đổi Ước – ±1, ±2, ±4 Kiểm tra, ta thấy nghiệm đa thức Như vậy, đa thức chứa nhân tử x−1, ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung x−1

Cách 1: x3+3x2− =4 x3−x2+4x2−4

= x2(x− +1) (4 x+1)(x− =1) (x−1)(x2+4x+4)

=(x−1)(x+2 )2

Cách 2: x3+3x2− =4 x3− +1 3x2−3

( )( ) ( )( )

1 1

x x x x x

= − + + + + −

( )( )

1 3x

x x x

= − + + + +

( )( )2

1

x x

= − +

Ta ý đa thức có tổng hệ số đa thức chứa nhân tử x−1, đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ đa thức chứa nhân tử x+1 9xem ví dụ 14)

Ví dụ 10 Phân tích thành nhân tử: 2x3−5x2+8x−3

Giải: Các số ±1, ±3 không nghiệm đa thức, đa thức nghiệm nguyên Nhưng đa thức có nghiệm hữu tỉ Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ có phải có dạng p

q , p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao

(bạn đọc tự chứng minh)

Như vậy, nghiệm hữu tỉ có đa thức ±1,

± , ±3

± Sau kiểm tra ta thấy

2

x= nghiệm nên đa thức chứa nhân tử

x− hay 2x−1 Do đó,

(13)

3

2x −5x +8x−3

3 2

2x x 4x 2x 6x

= − − + + −

( ) ( ) ( )

2

2 2

x x x x x

= − − − + −

( )( )

2x x 2x

= − − +

Có thể giải tập phương pháp hệ số bất định: đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng:

( )( )

ax b cx+ +dx+m

Phép nhân cho kết quả:

( ) ( )

3

acx + ad +bc x + am bd x bm+ +

Đồng đa thức với

2x −5x +8x−3, ta được:

2

ac= , ad+bc= −5, am bd+ =8, bm= −3

Có thể giả thiết a>0(vì a<0 ta đổi dấu hai nhân tử), a=2

1

a=

Xét a=2 c=1, ta có: 2d+ = −b 5, 2m bd+ =8, bm= −3; b ±1, ±3 Xét b= −1 m=3, d = −2 thỏa mãn điều kiện

Vậy a=2, c=1, b= −1, m=3, d = −2

Ta có: 2x3−5x2+8x− =3 (2x−1)(x2−2x+3)

Ví dụ 11 Phân tích thành nhân tử: P=ab a b( − +) bc b c( − +) ca c a( − )

Giải:

Cách 1 Khai triển hai hạng tử cuối:

P=ab a b( − +) b c bc2 − 2+c a ca2 −

( ) 2 2

= ab a b− −bc +c a ca− +b c

( ) 2( ) ( )( )

= ab a b− +c a b− −c a b a b+ −

( )( )

(14)

( ) ( ) ( )

= a b− a b c− −c b c− 

( )( )( )

= a b b c c− − −a

Cách Tách b c− thành −  − + − (a b) (c a)

( ) ( ) ( ) ( )

P=ab a b− −bc − + −  + a b c a  ca c−a

( )( ) ( )( )

= b a b a c− − +c c−a a b−

( )( )( )

= a b b c c− − −a

BÀI TẬP 39 Phân tích thành nhân tử:

a)

4 8;

x − x − x+

b)

1 6+ x−6x −x ;

c)

6x −x −486x+81;

d)

4 1;

x − x + x−

e) x2(x2+4)−x2+4;

f) x2(x+4) (2− x+4)2−(x2−1 )

40 Phân tích thành nhân tử: a) (xy+1) (2− x+ y)2;

b) ( ) (2 )2

4 ;

a+ +b c + a+ −b c − c

c) 4a b2 2−(a2+b2−c2)2;

d) a b( 2−c2) (+b c2−a2) (+c a2−b2); e) ab a b( + +) bc b c( + +) ca c( +a)+2abc;

g) ab a b( + +) bc b c( + +) ca c( +a)+3abc;

h) a b( 3−c3) (+b c3−a3) (+c a3−b3); i*) a b3( 2−c2) (+b c3 2−a2) (+c a3 2−b2);

j*) a b( −c)2+b c( −a)2+c a( −b)2−a3−b3− +c3 4abc

(15)

a) 3

3 ;

a +b +c − abc b) (a+ +b c)3−a3−b3−c3

42 Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử: a)

7 12;

x − x+ b)

5 14;

x − x− c) 4x2−3x−1

43 Phân tích thành nhân tử cách đổi biến để đưa dạng tam thức bậc hai biến mới:

a)

6x −11x +3;

b) (x2+x) (2+3 x2+x)+2; c) x x( +1)(x+2)(x+ +3) 1;

d) 2

7 12 ;

x − xy+ y

e) 2

2 3 10

x − xy+y + x− y−

44 Phân tích x3−7x−6 thành nhân tử nhiều cách

45 Phân tích thành nhân tử:

a)

5 4;

x − x + x−

b) x3−3x+2;

c) x3−5x2+3x+9;

d) x3+8x2+17x+10; e) x3+3x2+6x+4

46 Phân tích thành nhân tử: a)

2 4;

x − x−

b) 2x3−12x2+17x−2; c) x3+x2+4;

d) x3+3x2+3x+2;

e) x3+9x2+24x+26; g) 2x3−3x2+3x−1; h) 3x3−14x2+4x+3

47 Phân tích thành nhân tử:

a)

2 1;

x + x +x + +x

b) (1+x2)2−4x(1−x2);

c) (x2−8)2+36

48 Phân tích thành nhân tử; a)

4;

x + b)

64;

(16)

c)

64x +1; d) 81x4+4

49* Phân tích thành nhân tử:

a) x5+ +x 1; b) x7 +x2+1

50* Phân tích thành nhân tử phương pháp hệ số bất định: a) 3x2−22xy−4x+8y+7y2+1;

b) 12x2+5x−12y2+12y−10xy−3; c) x4+6x3+11x2+6x+1

51* Tìm số nguyên a cho đa thức (x+a x)( − +5) phân tích thành (x b x+ )( +c) với b, c số nguyên

52* Tìm số nguyên m cho (x+m x)( + +5) phân tích thành (x+a x)( +b) với a, b

là số nguyên

53 Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức sau số nguyên tố: a) A=n3−4n2+4n−1; b) B=n3−6n2+9n−2

54* Trong đẳng thức (x+1)3 =x3+3x2+3x+1, thay x 1, 2,3, ,n cộng đẳng thức lại Bằng cách tính:

2 2

1

S = + + + +n

55* Bằng cách tương tự 54, tính:

3 3

1

S = + + + +n

(17)

§4 CHIA ĐA THỨC

Đa thức ( )A x gọi chia hết cho đa thức ( )B x khác tồn đa thức ( )Q x cho ( ) ( ) ( )

A x =B x Q x

Với cặp đa thức ( )A x B x( ), ( ) 0B x ≠ , tồn cặp đa thức ( )

Q x R x( )sao choA x( )=B x Q x( ) ( )+R x( ), ( ) 0R x = bậc ( )R x nhỏ bậc ( )B x Khi ( )Q x thương ( )R x dư phép chia ( )A x choB x( )

Nếu ( ) 0R x = , ta phép chia hết Nếu ( ) 0R x ≠ , ta phép chia có dư

Ta nhắc lại hai đa thức gọi chúng có giá trị với giá trị biến Do hai đa thức (được viết dạng thu gọn) có hệ số tương ứng đơn thức đồng dạng chứa hai đa thức hai đa thức

Ví dụ 12 Xác định số asao cho đa thức x3−3x+a chia hết cho (x−1)2

Giải:

Cách Đặt phép chia:

3

x − x+a x2−2x+1

− x3−2x2+x x+2

2x2−4x+a

− 2x2−4x+2

a−2

Muốn phép chia khơng dư, ta phải có a− =2 hay a=2;

Cách (Phương pháp hệ số bất định)

Nếu đa thức bậc ba x3−3x+a chia hết cho đa thức bậc hai x2−2x+1 thương nhị thức bậc có hạng tử cao x3:x2 =x, hạng tử thấp a:1=a

Như

3

x − x+a đồng với (x2−2x+1)(x+a) tức đồng

( ) ( )

3

2

x + a− x + − a x+a Do hệ số tương ứng phải tức là:

2

1

a a

− = 

 − = −

 hay a=2

(18)

Gọi thương phép chia ( )Q x , ta có ( )2

3 ( )

x − x + =a x− Q x với x Với x=1 3.1− + =a (1)Q hay − + =2 a tức a=2

Thử lại: (x3−3x+a) (: x2−2x+ = +1) x

Ví dụ 13 Chứng minh định lí “Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x a−

bằng giá trị đa thức x=a”

Giải: Chia đa thức f(x) cho nhị thức x a− , ta thương ( )Q x dư số r Ta có f x( )=(x−a Q x) ( )+rvới x, x=athì f x( )=r

Chú ý: Định lí gọi định lí Bê-du mang tên nhà tốn học Pháp Bézout (1730 – 1783) Định lí Bê-du giúp ta tính số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x a− mà không cần thực phép chia đa thức

Từ định lí Bê-du, ta thấy đa thức f(x) chia hết cho x a− a nghiệm đa thức

Ví dụ 14 Cho đa thức f x( )=a x0 4+a x1 3+a x2 2+a x3 +a4 Chứng minh rằng: a) Đa thức f(x) chia hết cho x−1 tổng hệ số

b) Đa thức f(x) chia hết cho x+1 tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ

Giải:

a) Theo định lí Bê-du, số dư r phép chia f(x) cho x−1

0

(1)

r = f =a + +a a +a +a

Nếu a0+ +a1 a2+a3+a4 =0 r =0

b) Theo định lí Bê-du, số dư r phép chia f(x) cho x+1

0

( 1)

r = f − =a − +a a −a +a

Nếu a0 +a2+a4 = +a1 a3 r=0

Chú ý: Chứng minh khơng đa thức f(x) có bậc bốn mà cịn với đa thức f(x) có bậc

Ví dụ 15 Tìm giá trị ngun n để giá trị biểu thức 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị biểu thức 2n−1

(19)

2n2+3n+3 2n−1

− 2n2−n n+2

4n+3

− 4n−2

Đa thức

2n +3n+3 không chia hết cho đa thức 2n−1, có giá trị nguyên nđể giá trị 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị 2n−1

Muốn 2n−1 phải ước Ước 1, 5.± ± Với 2n− =1 ta có n=1

Với 2n− = −1 ta có n=0 Với 2n− =1 ta có n=3 Với 2n− = −1 ta có n= −2

Vậy với n 1,0,3, 2− giá trị biểu thức 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị biểu thức 2n−1

BÀI TẬP 56 Rút gọn biểu thức:

a) 49 : ; 12

b)

25 50

25

:

16

   

   

    ; c)

25 10

3

:

4 16

   

   

   

57 Rút gọn biểu thức: a)

100 160 298 80 125

5 ;

b)

8

9 27 ;

c) (15.311+4.274): 97;

d) ( )

5

8

2

x y

+

58 Xác định số a cho: a) 27x2+a chia hết cho 3x+2;

b) x4+ax2+1 chia hết cho x2+2x+1;

c) 3x2+ax+27 chia cho x+5 có số dư

(20)

a) x4+ax2+b chia hết cho x2+ +x 1; b) ax3+bx−24 chia hết cho (x+1)(x+3);

c) x4−x3−3x2+ax+b chia cho x2− −x có dư 2x−3; d) 2x3+ax b+ chia cho x+1 dư −6, chia cho x−2 dư 21

60 Không làm phép chia đa thức, xác định xem đa thức 4x3−7x2− −x có hay khơng chia hết cho:

a) x−2; b) x+2?

61 Xác định dư phép chia đa thức x+x3+x9+x27 +x81 cho:

a) x−1; b) x2−1

62 Chứng minh (x2+ −x 1) (10+ x2− +x 1)10 −2 chia hết cho x−1

63 Tìm giá trị nguyên xđể:

a) Giá trị biểu thức 2x2+ −x chia hết cho giá trị biểu thức x−2 b) Giá trị biểu thức 10x2−7x−5 chia hết cho giá trị biểu thức 2x−3

64 Tìm số tự nhiên nđể giá trị biểu thức 25n2−97n+11 chia hết cho giá trị biểu thức

n−

(21)

§5 TÍNH CHIA HẾT

Định nghĩa: Cho hai số nguyên a b b≠0 Ta nói a chia hết cho b tìm số nguyên q cho a=bq

Các tính chất chia hết

1 Bất số khác chia hết cho

2 Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c acũng chia hết cho c (tính chất bắc cầu) Số chia hết cho số b≠0

4 Bất số chia hết cho

5 Nếu a b chia hết cho m a b+ chia hết cho m, a b− chia hết cho m

6 Nếu hai số a b chia hết cho m, số khơng chia hết cho m a b+ khơng chia hết cho m, a b− không chia hết cho m

7 Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n ab chia hết cho mn

Hệ quả: Nếu a chia hết cho b an chia hết cho bn

9 Nếu a chia hết cho số nguyên dương m và n thì a chia hết cho BCNN m và n

Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố m n a chia hết cho tích mn 10 Nếu tích chia hết cho số nguyên tố p tồn thừa số tích chia hết cho p

Hệ quả: Nếu an chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p

11 Nếu tích ab chia hết cho m, b m hai số nguyên tố a chia hết cho m

Các nhận xét sau dùng chứng minh chia hết:

1 Trong k số nguyên liên tiếp, có số chia hết cho k

2 Khi chia số nguyên n cho số nguyên m≠0, xảy m dạng sau:

, 1, 2, , ( 1)

n=mk n=mk+ n=mk+ n=mk+ m− với k số nguyên

Ví dụ 16 Chứng minh với số nguyên n thì: a) n3−n chia hết cho 3;

(22)

c) n7−n chia hết cho

Giải:

a) n3− =n n n( 2− =1) (n−1) (n n+1 )

Trong ba số nguyên liên tiếp, có bội Vậy n3−n chia hết cho

b) Cách Phân tích n5−n thành tổng, có số hạng tích năm số nguyên liên tiếp, số hạng có thừa số

( )( )

5 2

1

n − =n n n − n +

( )( )

1

n n n

= − − +

( )( ) ( )

1

n n n n n

= − − + −

( )( ) ( )( ) ( )

2 1

n n n n n n n

= − − + + + −

Cũng giải cách xét hiệu

n −n tích năm số nguyên liên tiếp:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2 1 5

n −n − n− n− n n+ n+ = n −n − n − n + n = n − n Cách Xét số dư n trong phép chia cho

( ) ( )( )

5 2

1 1

A=n − =n n n − =n n + n −

Nếu n=5k (k nguyên) n chia hết cho Nếu n=5k±1 n2−1 chia hết cho Nếu n=5k±2 n2+1 chia hết cho

Trường hợp có thừa số A chia hết cho c) Cách Xét hiệu

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )

3 1 7 ,

n −n − n− n− n− n n+ n+ n+ = n n − n + chia hết cho

Cách Phân tích n7 −n thành n n( 3+1)(n3−1) xét trường hợp

7 , 1, 2,

(23)

Chú ý: n9−1 không chia hết cho với số nguyên n (ví dụ 29− =2 510 không chia hết cho 9) Tổng quát tốn ta có: Nếu p số nguyên tố np−n chia hết cho p với số nguyên n(định lí Phéc-ma)

BÀI TẬP

66 Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng chia hết cho 4, hiệu bình phương hai số lẻ chia hết cho

67 Chứng minh số phương chẵn chia hết cho 4, số phương lẻ chia cho dư (số phương bình phương số nguyên)

68 Chứng minh chia số phương cho 3, không số dư b) Tổng bình phương bốn số nguyên liên tiếp khơng số phương

c) Tổng bình phương năm số ngun liên tiếp khơng số phương

70 Số có dạng n2+ +n ( n số nguyên dương ) số phương khơng?

71 Chứng minh số có dạng 1n+ khơng chia hết cho với số tự nhiên n

72 Chứng minh rằng:

a) Một số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn b) Một số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn

73 Một số phương có chữ số hàng chục Chứng minh chữ số hàng đơn vị

nó

74 Chứng minh 2n3+3n2+n chia hết cho với số nguyên n

75 Chứng minh a b3 −ab3 chia hết cho với số nguyên a b

76 Chứng minh rằng:

a) Tổng lập phương hai số nguyên chia hết cho tổng hai số nguyên chia hết cho

b) Tổng lập phương ba số nguyên chia hết cho tổng ba số nguyên chia hết cho

77 Cho hai số lẻ có hiệu lập phương chia chết cho Chứng minh hiệu hai số

cũng chia hết cho

78 Chứng minh bình phương thiếu tổng hai số ngun chia hết cho tích

hai số chia hết cho

79 Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 80 Chứng minh n5−5n3+4n chia hết cho 120 với số nguyên n

81 Chứng minh n3−3n2− +n 3chia hết cho 48 với số lẻ n

82 Chứng minh n4+4n3−4n2−16n chia hết cho 384 với số chẵn n

83* Chứng minh với số nguyên n:

(24)

84 Chứng minh lấy tích bốn số nguyên liên tiếp cộng với 1, ta số

phương

85 Chứng minh với số tự nhiên n > 1:

a) Số 4

n + hợp số

b*) Số 4

4

n + k ( k tự nhiên)

86 a) Tính giá trị biểu thức: (1+ab b− 4)a4+1với a=2 ,7 b=5 b) Số 32

2 +1có số nguyên tố không?

87 Chứng minh số 11 22 2  tích hai số nguyên liên tiếp với số n nguyên dương

88 Chứng minh số 11 22 2− số phương với số n nguyên dương

89 Tìm số có ba chữ số cho chia cho 11 thương tổng chữ số

số bị chia

90 Tìm số có bốn chữ số cho chữ số hàng nghìn hàng trăm giống nhau, chữ số

hàng chục hàng đơn vị giống nhau, số phải tìm viết thành tích ba thừa số, thừa số số có hai chữ số chia hết cho 11

91* Chứng minh với số n nguyên dương:

a) (n+1)(n+2)(n+3 2) ( )n chia hết cho 2n b) (n+1)(n+2)(n+3 3) ( )n chia hết cho 3n

§6 MỘT SỐ HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG QUÁT

Tổng quát đẳng thức ( 3), ( 6), ( 7), phép nhân đa thức, ta chứng minh

được đẳng thức sau: ( )( 2 1) ( )

n n n n n n n

a −b = a b a− − +a − b+a − b + +ab − +b − với

mọi n nguyên dương

( )( 2 1) ( )

n n n n n n n

a +b = a+b a − −a − b+a − b − −ab − +b − với n lẻ

Ví dụ: 4 ( )( 2 3)

a −b = a b a− +a b+ab +b

( )( )

5 2

a b a b a a b a b ab b

a b a b a a b a b ab b

− = − + + + +

+ = + − + − +

Tổng quát đẳng thức ( 1), ( 2), ( ), ( ), ta có cơng thức lũy thừa bậc n nhị thức ( Nhị thức Niu- tơn)

(a+b)n =an +C a1n n−1b+C an2 n−2b2+ + Cnn−1abn−1+bn ( )10 với n nguyên dương Trong công thức trên,

n chữ số n chữ số

(25)

( ) ( )( )

1 2 3

, ,

1.2 1.2.3

n n n

n n n n n n

n n n n n

C =C − =n C =C − = − C =C − = − −

Tổng quát: ( 1)( ) ( 1)

1.2.3

k n

n n n n k

C

k

− −  − − 

= ( Cnk gọi tổ hợp chập k n phần tử )

Ví dụ: ( )4 4 3 2 2 3 4

4

a+b =a + a b+ a b + ab +b

( )5 2

5 10 10

a−b =a − a b+ a b − a b + ab −b

Để xác định hệ số khai triển Niu – tơn nói trên, ngồi cách dùng cơng thức trên, cịn có cách sau:

- Dùng bảng tam giác Pa-xcan:

1 →

↓

1 → →

↓ ↓

1 → → →

↓ ↓ ↓

1

Trong bảng này, số dọc theo cạnh huyền cạnh góc vng cộng với số liền bên phải số đứng hàng ( xem hình trên)

- Hệ số hạng tử thứ - Hệ số hạng tử thứ k+1bằng AB

k , A hệ số hạng tử thứ k, B số

mũ a hạng tử thứ k

Áp dụng đẳng thức vào tính chất chia hết, ta có với số nguyên a, b, số tự nhiên n:

n n

a −b chia hết cho (a−b) ( từ đẳng thức 8)

2n 2n

a + +b + chia hết cho (a+b) ( từ đẳng thức 9)

( )n

a+b =(bằng bội số a) +bn ( từ đẳng thức 10)

Ví dụ 17: Chứng minh 10

11 −1chia hết cho 100

Giải: theo đẳng thức ( 8)

1110− =1 (11 11− )( 9+118+ + + 11 1)



Vậy 10

11 −1chia hết cho 100 thừa số chia hết cho 10

Ví dụ 18: Chứng minh 1000

2 −1 chia hết cho

Giải: 1000 500

2 − =1 −1 chia hết cho 1− (hằng đẳng thức )

(26)

Giải:

Xét n chẵn (n=2k) 2n− =1 22k − =1 4k −1 chia hết cho 1− =3 (hằng đẳng thức ) Xét n lẻ (n=2k+1) 2n− =1 22k+1− =1 2( 2k −1 4) k +1 không chia hết cho (hằng đẳng thức )

Vậy 2n−1chia hết cho n chẵn Ví dụ 20 Chứng minh 45 30

19 +19 chia hết cho 20

Giải

Cách 1: 1945 +1930 =1930(1915 +1) mà (1915+1 20) (hằng đẳng thức )

Cách 2: 1945 +1930 =1945+145+1930 −130 Ta thấy ( 45 )

19 +1 20 (hằng đẳng thức )

( 30 30) ( 15 15)( 15 15)

19 −1 = 19 −1 19 +1 20 (1915 +1)(19 1+ ) (hằng đẳng thức )

Cách 3: Theo công thức Niu- tơn:

( )45 ( )30

45 30

19 +19 = 20 1− + 20 1− =20a− +1 20b+ =1 20c với , ,a b c∈

Ví dụ 21 Tìm số dư chia 1964

1963 cho

Giải Ta thấy 1963 số chia cho dư Do đó:

( )1964 ( )

1964 1964

1963 = 7a+3 =7b+3 ; a b, ∈ Lại xét tiếp số dư chia 1964

3 cho

Lũy thừa sát với bội x3 Do ta viết:

( )654 ( )654 ( )

1964

3 =3 =9 28 1− =9 7c+ =1 7d+ =9 7m+2 với , ,c d m∈ Vậy 1964

3 chia cho 7dư

Ví dụ 22 Tìm hai chữ số tận 1000

2

Giải

Tìm hai chữ số tận số 1000

2 tìm số dư chia 21000 cho 100 Trước hết ta xét số dư 1000

2 chia cho 25 Lũy thừa sát với bội 25 10

2 =1024 1025 1= − =25a−1;a∈

Ta có: 21000 =( )210 100 =(25a−1)100 =25b+1;b∈

Do 1000

2 chia cho 25 dư Số chia cho 25 dư có tận 01hoặc 26;51;76

Số 1000 1000

2 4⇒2 khơng thể có tận 01; 26;51 Vậy 1000

2 có hai chữ số tận 76

BÀI TẬP

92 Chứng minh 8.16 8n− chia hết cho 120

93 Chứng minh 100 01 hợp số (4n+1 chữ số 0)

94 Chứng minh 16 1n− chia hết cho 15 không chia hết cho 17 với n số lẻ 95 Tìm số dư phép chia 48 cho 13

(27)

( )4

)

a x− b) 5( x−3)10

97* Tìm giá trị n nguyên dương để 2n−1chia hết cho

(28)

Chương II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

§1 TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ RÚT GỌN PHÂN THỨC Ví dụ 23 Tìm giá trị x để phân thức

2

2 10 12

4

x x

+ +

−

Giải Phân thức tử mẫu khác Xét tử

( )( )

2

2 10 12

2

2 x x x x x x + + = ⇔ + + = = −  ⇔  = − 

* Với x= −2 mẫu x3−4x= − =8 * Với x= −3 mẫu x3−4x= − +27 12≠0 Vậy phân thức x= −3

Chú ý: Cũng phân tích mẫu thành nhân tử x x( −2)(x+2) nhận xét với x= −2 mẫu 0, với x= −3 mẫu khác

Ví dụ 24 Cho 3a2+3b2 =10ab b; > >a Tính giá trị biểu thức P a b a b

− =

+

Giải

Cách 1: Cần biến đổi biểu thức P để sử dụng điều kiện 3a2+3b2 =10ab Do ta xét biểu thức:

2 2 2 2 2

2

2 2

2 3

10

10 16

a b a b ab a b ab

P

a b a b ab a b ab

ab ab ab

− + − + −   =  = = + + + + +   − = = = +

Do b> >a 0nên a b− <0;a+ > ⇒ <b P

Vậy

2

P = −

Cách 2: từ 3a2+3b2 =10ab⇒3a2−9ab−ab+3b2 = ⇔0 (a−3b)(3a−b)=0 Trường hợp a−3b= ⇔ =0 a 3b khơng xảy 3b> > >b a

Vậy 3a− = ⇔ =b b 3a thay vào P ta được:

3

;

3

a b a a

P

a b a a

− −

= = =

+ + (vì a≠0)

BÀI TẬP

99 Tìm giá trị x để phân thức

3

1

2

x x x

x x

+ − −

+ −

(29)

4 ) ; a a a

a a a

− +

− − −

( ) ( ) ( )

2 2

4 2 2 2

) a b c b c a c a b ;

b

a b c b c a c a b

− + − + −

2 )

3

x x x

c

x x

− + +

− + với x<0;

2 16 40 ) 24 a ab d a ab − − với 10 a

b =

101 Cho 4a2+b2 =5ab a; > >b Tính giá trị biểu thức 2 2 ab M a b = −

§2 CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC Ví dụ 25: Thực phép tính:

2 2 2

1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )

P

b c a ac b bc c a b ab c ac a b c bc a ab

= + +

− + − − − + − − − + − −

Giải:

Phân tích mẫu thành nhân tử:

2 2

( ) ( ) ( )( )

a +ac b− −bc = a −b +c a b− = a b a b c− + + (1)

2 2

( ) ( ) ( )( )

b +ab c− −ac= b −c +a b c− = −b c b c+ +a (2)

2 2

( ) ( ) ( )( )

c +bc−a −ab= c −a +b c−a = −c a c+ +a b (3) Mẫu chung (MC) (a−b b)( −c c)( −a a)( + +b c)

Do ( ) ( ) ( ) 0

( )( )( )( )

c a a b b c

P

a b b c c a a b c MC

− + − + −

= = =

− − − + +

vớia b c, , khác a+ + ≠b c

Chú ý: Nếu đẳng thức

2

( )( )

a +ac b− −bc= a b a b c− + + (1)

Ta thay a b, b c, c a được:

2

( )( )

b +ba c− −ca = −b c b c+ +a (2)

(30)

2

( )( )

c +bc−a −ab= −c a c+ +a b (3)

Cách làm gọi hốn vị vịng quanh Bằng cách hốn vị vịng quanh, ta có đẳng thức (2) (3) mà khơng cần lặp lại biến đổi q trình chứng minh dẳng thức (1)

Ví dụ 26: Tìm sốa b cho phân thức 3x x x +

− − viết thành

2 ( 1)

a b

x− + x+

Giải: Cách (Phương pháp hệ số bất định)

2

( 1) ( 2) ax (2a ) ( )

2 ( 1) ( 2)( 1) 3x

a b a x b x b x a b

x x x x x

+ + − + + + −

+ = =

− + − + − −

Đồng với phân thức

3x

x x

+

− − ta được:

1 2a a b a b =   + =   − = 

Suy a=1;b= −2

Vậy

3

5

3x 2 ( 1)

x

x x x

+ = −

− − − +

Cách (Phương pháp xét giá trị riêng)

2

( 1) ( 2)

2 ( 1) ( 2)( 1)

a b a x b x

x x x x

+ + −

+ =

− + − +

Đồng với phân thức

3x

x x

+

− − ta có:

2

( 1) ( 2)

a x+ +b x− = x + với x (1)

Với x= −1 3− =b suy b= −2 Với x=2 9a=9 suy a=1

Chú ý: Trong cách giải này, với x= −1;x=2, phân thưc khơng có nghĩa (1) với x nên để xá định a b; (1) ta cho x= −1;x=2

Ví dụ 27: Cho 1

a+ + =b c Tính giá trị biểu thức 2

bc ca ab

N

a b c

= + +

(31)

Chú ý x+ + =y z x3+y3+z3 =3xyz Thật x+ + =y z nên z= − +(x y)

Do 3 3 3 2

( ) 3x 3x 3x ( ) 3x

x +y +z = +x y − +x y = − y− y = − y x+y = yz Áp dụng nhận xét trên, nếu1 1

a+ + =b c 3

1 1 1

3

a +b +c = a b c = abc Do đó:

2 2 3

3 3

1 1

bc ca ab abc abc abc

N

a b c a b c

abc abc

a b c abc

= + + = + +

 

=  + +  = =

 

với a b c, , ≠0

BÀI TẬP 102 Rút gọn biểu thức:

a)

3

2 4 8

1 2a 4a 8a

a−b+a+b+a +b +a +b + a +b

b) 21 2 2 2 2

3a 5a 7a 12 9a 20

a +a+a + + +a + + +a + + +a + +

103 Rút gọn biểu thức:

a) 2a 2a 24a

2

b b

M a

b b b

+ −

= + − +

− + − với

a b

a

= +

b)

2

1 1 ( )

1 :

2ax

a x

N

a x a x

 − + 

   

= +   −   − 

+ +

      với

1

x a

= −

104 Cho a3+b3+c3 =3abc với a b c, , ≠0

Tính giá trị biểu thức P a b c

b c a

   

= +  +  + 

   

105 Viết phân thức 10x3 4x

x

−

− dạng tổng ba phân thức mà mẫu theo thứ tự

, 2,

(32)

106 Xác định số a b c, , cho 12

(x−1)(x − +x 1) viết thành x

1

a b c

x x x

+ +

− − +

107 Cho 1 1

a + + =b c a+ +b c

Chứng minh ba số a b c, , có hai số đối

108 Cho

2 2 2 2 2

1

2a 2a

a b c b c a c a b

b bc c

+ − + − + −

+ + =

Chứng minh rằng:

a) Trong ba số a b c, , có số tổng hai số

b) Trong ba phân thức cho có phân thức 1− , hai phân thức lại

109 Chứng minh đẳng thức:

32 16

2 16

2

1

( 1)( 1)( 1)( 1)

1

x x

x x x x x x x x

x x

+ +

− + − + − + − + =

+ +

110 Cho x y z

a = = ≠b c Rút gọn biểu thức:

2 2 2

2

( )( )

(ax z)

x y z a b c

by c

+ + + +

+ +

111 Cho a+ + =b c (1)

2 2

1

a +b +c = (2)

x y z

a = =b c (3)

Chứng minh ax+by+cz=0

112 Cho abc=1 Chứng minh rằng:

1 1

a b c

ab+ +a +bc b+ + +ac+ +c =

113 Cho 2y 2z x 2z 2x y 2x 2y z

a b c

+ − = + − = + −

trong a b c b, , , +2c a c− , +2a b− , 2a+2b c− khác Chứng minh rằng:

2 2 2a 2a

x y z

b+ c−a = c+ −b = + b c−

114 Chứng minh có đẳng thức

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

(33)

trong , ,a b c≠0 với moi x, y 1

a + =c b

115 Cho

2 2 2

x y z x y z

a b c a b c

+ + = = =

+ + Chúng minh x= = =y z

116 Gọi a b c, , ba cạnh tam giác h h ha, ,b clà đường cao tương ứng Chứng

minh hệ thức:

1 1 1

( ) ( a b c)

a b c

a b c h h h

 

+ +  + + = + +  + + 

   

117 Tìm số tự nhiên n để phân thức

4

2

n n

n

− +

− có giá trị số nguyên

§3 DÃY CÁC PHÂN THỨC VIẾT THEO QUY LUẬT Ví dụ 28: Rút gọn biểu thức sau với n số tự nhiên (n≥2):

2 2

2 1

2

n A

n

− − − −

=

Giải:

2

2 2

1.3 2.4 3.5 1.2.3 ( 1) 3.4.5 ( 1)

2 2.3.4 ( 1) 2.3.4

n n n n

A

n n n n

− − +

= =

−

1 1

2

n n

+ +

= =

Ví dụ 29: Chứng minh đẳng thức sau với n số tự nhiên (n≥1):

1 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)

n

n n n

+ + + + =

+ +

Giải:

Không thể quy đồng mẫu phân thức vế trái, ý 1

1 ( 1)

n−n+ = n n+ nên

(34)

1 1 1 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 ( 1) 2 3 1

n

n n n n n n

+ + + + = − + − + − + + − = − =

+ + + +

BÀI TẬP

Rút gọn với n số nguyên dương:

118 1 1 1 2

3 15 n 2n

 +  +  +   + 

     + 

     

119 2 2

4 10 18 n 3n

 +  +  +   + 

     + 

     

Chứng minh đẳng thức sau với n số tự nhiên:

120 1 ( 1)

1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1)

n n

n n n

+ + + + = ≥

− + +

121 1 ( 1) ( 1) ( 2)

1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1) ( 1) ( 1)

n n n

n

n n n n n

− +

+ + + + = ≥

− + +

§4 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC

Để chứng minh 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)

n

n n n

+ + + + =

+ + , ngồicách giải ví dụ 29, cịn

có thể giải phương pháp quy nạp toán học

Người ta goi phép quy nạp phép lập luận suy từ trường hợp riêng tới kết luận tổng quát Phép quy nạp gọi hoàn toàn xét tất trường hợp riêng để tới kết luận tổng quát, chẳng hạn 97, ta xét trường hợp n=3 ,k n=3k+1,n=3k+2 để kết luận cho số tự nhiên n Phép quy nạp gọi khơng hồn tồn ta xét số trường hợp đến kết luận tổng quát Chẳng hạn: Từ nhận xét:

2

2 1

1

= + = + + = + + + =

ta kết luận

1 (2+ + + + + n− =1) n (1)

(35)

Phép quy nạp khơng hồn tồn cho ta dự đốn, để khẳng định hay bác bỏ chúng phải chứng minh Trong hai kết luận trên, kết luận (1) đúng, cịn kết luận (2) sai Chính nhà tốn học Pháp Phéc-ma kỉ XVII đưa giả thuyết (2) ơng tin ràng giả thuyết Đến kỉ XVIII, Ơ-le bác bỏ giả thuyết cách 32

2 +1 hợp số chia hết cho 641(một cách chứngminh điều này, xem 86)

Ta chứng minh kết luận (1) với số tự nhiên n≥1 phương pháp quy nạp toán học

Nội dung phương pháp là: Nếu khẳng định số tự nhiên n với

n= , giả thiết với n=k chứng minh với n= +k khẳng định với số tự nhiên n≥1

Ta chứng minh kết luận (1) nói sau: 1) Khẳng định (1) với n=1 S1= =1 12

2) Giả sử (1) với n=k tức Sk = + + +1 (2k− =1) k2

Ta chứng minh (1) với n= +k 1, tức là:

1 (2 1) [2( 1) 1] ( 1)

k

S + = + + + k+ − + k+ − = k+

Thật Sk+1=Sk +2(k+ − =1) k2+2(k+ − =1) (k+1)2 Vậy (1) với số tự nhiên n≥1

Ví dụ 30: Giải ví dụ 29 phương pháp quy nạp toán học

Giải:

1) Đẳng thức 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)

n

n n n

+ + + + =

+ + (1)

Đúng với n=1 1

S =

2)Giả sử (1) với n=k, tức 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)

n

k k k

+ + + + =

+ + với k số tự nhiên

bất kì

Ta chứng minh đẳng thức với n= +k 1, tức 1

k

k S

k

+

+ =

+

Thật vậy,

2

1 1

( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)

k k

k k k k

S S

k k k k k k k k

+

+ + +

= + = + = =

(36)

Vậy (1) với số tự nhiên n≥1

Ví dụ 31 Chứng minh rằng4n +6n−1 chia hết cho với số tự nhiên n≥1. Giải:

1) Mệnh đề vớin = vì4+6-1 = chia hết cho

2) Giả sử mệnh đề với n = k, tức 4k +6k−1 chia hết cho Ta chứng minh rằng4k+1+6(k+ −1) chia hết cho

Thật vậy4k+1+6(k+ − =1) 4.4k +6k+ =5 4(4k +6k− −1) 18k+9chia hết cho 4k +6k−1 chia hết cho giả thiết quy nạp, 18k hiển nhiên chia hết cho Vậy mệnh đề với số tự nhiên n≥1

BÀI TẬP

Chứng minh phương pháp quy nạp toán học với số tự nhiên n≥1:

122* 10n−9n−1 chia hết cho 27

123* 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) = ( 1)( 2)

n n+ n+

124* 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n(3n - 1) = n (2 n+1)

125* 1.4 + 2.7 +3.10 + + n(3n + 1) = n(n+1)

(37)

Chương III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

§1 KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH, PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Ví dụ 32 Giải phương trình a x b2 + =a x b( + )

Giải: a x b2 + =ax+ab ⇔ a x2 −ax=ab b− ⇔ (ax a− =1) b a( −1).(1) Nếu a≠0, a ≠1 phương trình có nghiệm x b

a

=

Nếu a = (1) có dạng 0x = 0, phương trình nghiệm với x

Nếu a = (1) có dạng 0x = -b, phương trình nghiệm với x b =0, vô nghiệm b≠0

Kết luận: Nếu a≠0, a ≠1 phương trình có nghiệm x b

a

=

Nếu a = a = b = 0, phương trình nghiệm với x Nếu a = 0, b≠0 phương trình vơ nghiệm

Ví dụ 33 Giải phương trình: 23

1 1

a x a x a

a a a

+ −

− =

− + −

Giải: Phương trình có hệ số chữ mẫu ta phải có a≠ ±1 Với điều kiện ấy, phương trình cho tương đương với(a+x a)( + −1) (a−x a)( − =1) a

Sau biến đổi ta 2ax = a ( )

Nếu a≠0, phương trình có nghiệm

x=

Nếu a = 0, phương trình ( ) trở thành 0x = 0, nghiệm với x Kết luận: Nếu a≠0, a ≠ ±1, phương trình có nghiệm

2

x=

Nếu a = phương trình nghiệm với x Nếu a= ±1 phương trìnhvơ nghiệm

BÀI TẬP 127 Tìm giá trị m cho phương trình:

(38)

b) 3(2x+m)(3x+ −2) 2(3x+1)2 =43 có nghiệm x = Giải phương trình:

128

65 63 61 59

x+ + x+ = x+ + x+

129 315 313 311 309

101 103 105 107

x x x x

− + − + − + − + =

130 4x− =2 a(ax -1)

131 2

4 16

x a x a x a

a a a

− + + − + − =

− + −

132

2

4

1 2 ( 1)

1 1

x x x a x

a a a a

− + − − − = −

− + − −

133

2

ax b bx a a b

a b a b a b

− + + = +

+ − −

134 x b c x c a x a b

a b c

− − − − − −

+ + =

§2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Nhờ phương trình tích, ta giải nhiều phương trình bậc cao dạng f(x) = cách phân tích đa thức f(x) thành nhân tử Trong ta xét đa thức f(x) phân tích thành tích đơn thức bậc

Ví dụ 34 Giải phương trình:

3 3

(x−1) +x + +(x 1) =(x+2)

Giải: Sau biến đổi phương trình ta được:

3

x − x − x− =

3

1 3

x x x

⇔ − − − − =

2

( 1)( 1) 3( 1)

( 1)( 4)

x x x x x

x x x

⇔ − + + − + + =

⇔ + + − =

(39)

(x+2)(x−2)(x2−10)=72

Giải: (x2−4)(x2−10)=72.

Đặt

x − = y, phương trình trở thành:

2

( 3)( 3) 72

81

y y

+ − =

⇔ = ⇔ = ±

Xét x2− =7 9, x= ±4 Xét

7

x − = − ,

2

x = − , vô nghiệm Vậy x= ±4 nghiệm phương trình cho Chú ý: Trong cách giải ta đặt ẩn phụ

Khi giải phương trình bậc bốn (x+a)4+ +(x b)4 =c ta thường đặt ẩn phụ

2

a b y= +x +

Khi giải phương trình đối xứng bậc chẵn, chẳng hạn

4

0

ax +bx +cx +bx+ =a ta thường đặt ẩn phụ y x

x

= +

Ví dụ 36* Giải phương trình: (x+3)4+ +(x 5)4 =2

Giải:

Đặt x+ =4 y, phương trình trở thành:

4

(y 1)− + +(y 1) =2

Sau biến đổi ta đượcy y2( 2+6)=0, y = Vậy x= −4 nghiệm phương trình

Ví dụ 37 Giải cácphương trình:

3

4

) 7 0;

) x

a x x x

b x x x

+ + + =

− + − + =

(40)

Hai phương trình hai phương trình đối xứng ( ý hệ sốcó tính đối xứng) Trong phương trình đối xứng, a nghiệm

a nghiệm

Phương trình đối xứng bậc lẻ có nghiệm x = -1

Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đưa phương trình bậc n cách đặt ẩn phụ

y x

x

= +

a) Biến đổi phương trình thành (x+1)(x+2)(2x+ =1)

Phương trình có ba nghiệm:

1 1; x 2; x

2

x = − = − = −

b) Cách Đưa phương trình dạng (x−1) (2 x2− + =x 1) Phương trình có nghiệm x =

Cách Chia hai vế phương trình cho x2( x≠0 ) ta được:

x2 12 x

x x

 + −  + + =

   

   

Đặty x

x

= + thìx2 12 y2

x

+ = − , ta được:

y2−3y+ =2 nên y1=1; y2 =2 Với y = 1, ta có

1

x − + =x , vơ nghiệm Với y = 2, ta cóx2−2x+ =1 0, nên x =

4

1

x +x +x + + =x

Giải: Ta thấyx− ≠1 x=1 khơng nghiệm phương trình Nhân hai vế phương trình vớix− ≠1 ta

1

x − = hay 1x= , không thoả mãn điều kiện

Vậy phương trình vơ nghiệm

BÀI TẬP

(41)

a) 3x2+7x−20=0;

b) 6ax2+4ax−9x− =6 ( a tham số )

136 Giải phương trình bậc ba: a)x3−5x2+8x− =4 ;

b)9ax3−18x2−4ax+ =8 ( a tham số ) c)x3+x2+ =4 0;

d)(x−1) (3+ x+2) (3= 2x+1 )3

137 Giải phương trình bậc bốn: a)(x2+x) (2+4 x2+x)=12; b)x x( −1)(x+1)((x+2)=24; c)(x−7)(x−5)(x−4)(x−2)=72; d)(x−1)(x−3)(x+5)(x+7)=297; e) (6x+7) (32 x+4)(x+ =1) 6. 138* Giải phương trình:

a) (x2−4)2 =8x+1;

b) (x2−4 )x 2+2(x−2)2 =43; c) (x−2)4+ −(x 6)4 =82;

d) x6+x5+x4+x3+x2+ + =x 0;

e)

2x +x −6x + + =x

139 Cho phương trình x3−(m2− +m 7)x−3(m2− −m 2)=0

(42)

§3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Ví dụ 39 Giảiphương trình:

2

3

1 4 16

x

x x x

+

= −

− + −

Giải: Điều kiện xác định ( ĐKXĐ ) phương trình

x≠ ± Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:

3(4x+ =1) 2(1 )− x + +(8 )x 14x

⇔ =

1

x

⇔ =

Giá trị thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có nghiệm

x=

3

5x−1+3 5− x = (1 )(5− x x−3)

Giải: ĐKXĐ 1; x

5

x≠ ≠

Với điều kiện đó, phương trình tương đương với 3(3 )− x +2(5x− =1) Giải phương trình này, ta

5

x= , giá trị không thỏa mãn ĐKXĐ phương trình Vậy phương trình cho vơ nghiệm

BÀI TẬP

Giải phương trình:

140 2 2 4 2

1 ( 1)

x x

x x x x x x x

+ − − =

+ + − + + +

141 5−x + =7 x−1 +

(43)

142

2 2

a a b a b b

a b bx b ax bx

− +

+ = −

+ +

143 11 10

10 ( )( 10)

x a x

x a x x a x

+ + − + =

+ + + +

144

3

x a x

x x a

+ + + =

− −

145 Với giá trị a phương trình sau có nghiệm nhất?

2

1

x

x a x a

x x

− − + =

− −

§4 TỐN BẬC NHẤT MỘT ẨN

Ví dụ 41: Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 /km h Đi 15 phút, người gặp tơ từ B đến, vận tốc 50 /km h Ơ tơ đến A nghỉ 15 phút trở B gặp người xe máy cách B 20km Tính quãng đường AB

Giải:

Gọi C D nơi ô tô gặp người xe máy lần thứ lần thứ hai Gọi quãng đường

CD x ( )km Quãng đường AC dài 40.1 10( )

4= km Thời gian người xe máy từ C đến

D 40

x

Thời gian đó, tơ đoạn CA AD, nghỉ 15 phút Ta có phương trình:

10 10

40 50

x = + +x+

Do x=130 Quãng đường AB dài: 10 130 20+ + =60 ( )km

Ví dụ 42: Một cơng trường giao cho đội công nhân sửa đoạn đường sau: Đội nhận 10m

10 phần lại Đội nhận 20m

10 phần lại Đội nhận 30m

(44)

Cứ chia đội cuối hết phần đất đội Tính số đội tham gia sửa đường chiều dài toàn đoạn đường phải sửa

Giải:

Cách 1: Gọi chiều dài đoạn đường phải sửa x m( )

Đoạn đường đội nhận dài: 10 0,1+ (x−10) mét tức 0,1x+9 mét Phần lại sau đội nhận là: x−(0,1x+9), tức 0,9x−9 mét

Đoạn đường đội nhận dài 20+0,1 0,9( x− −9 20) mét, tức 0, 09x+17,1 mét Vì chiều dài đoạn đường hai đội làm nên:

0,1x+ =9 0, 09x+17,1

Do x=810 Đoạn đường dài 810 mét Mỗi đội phải làm 0,1.810+ =9 90m Số đội tham gia sửa đường là: 810 : 90=9 (đội)

Cách 2: Gọi số đội tham gia sửa đường x Do đoạn đường chia hết nên đội cuối nhận 10x (mét), chiều dài toàn quãng đường là:

10x (mét)

Chiều dài đoạn đường đội nhận là:

2

10 10

10

x −

+ hay 10+x2−1

Vì chiều dài đoạn đường đội nên 2 ( )

10+x − =1 10x⇔ x − =1 10 x−1 Do x≠1 nên x+ =1 10, hay x=9

Vậy có đội tham gia sửa đường Cả quãng đường dài

10.9 =810 (mét)

BÀI TẬP

146 Tổng bốn số 45 Nếu lấy số thứ cộng thêm 2, số thứ hai trừ 2, số thứ nhân với hai, số thứ tư chia cho hai bốn kết Tìm bốn số ban đầu

147 Cho một số tự nhiên có năm chữ số BNếu viết thêm chữ số vào sau số ta

số A có sáu chữ số Nếu viết thêm chữ số vào trước số ta số B có chữ số Biết A=3B Tìm số có năm chữ số ban đầu

148 Một ô tô phải quãng đường AB dài 60km thời gian định Ơ tơ nửa đầu quãng đường với vận tốc lớn dự định 10 /km h nửa sau quãng đường với

vận tốc dự định /km h Biết ô tô đến B thời gian định Tính thời

(45)

149. Hai vịi nước chảy vào bể bể đầy 20 phút Người ta cho vòi thứ

chảy giờ, vòi thứ hai chảy hai vịi chảy

5 bể Tính thời gian vịi chảy đầy bể?

150. Người ta đặt vòi nước chảy vào bể nước vòi chảy lưng chừng bể

Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nước Cịn đóng vịi chảy ra, mở vịi chảy vào sau rưỡi đầy bể Biết vịi chảy vao mạnh gấp lần vòi chảy

a)Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy b)Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể bao

nhiêu?

151 Một hàng bán trứng số ngày Ngày thứ cửa hàng bán 150

9 số lại Ngày thứ hai bán 200

9 số lại, ngày thứ ba bán 250 số lại…

(46)

Chương IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN §1 LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG, PHÉP NHÂN

Định nghĩa bất đẳng thức: Cho hai số a b Ta nói:

a> ⇔ − >b a b , a< ⇔ − <b a b

Ta thường gặp không bất đẳng thức chặt, chẳng hạn a>b, mà gặp bất đẳng thức không chặt, chẳng hạn a≥b

Khi chứng minh bất đẳng thức, cần nhớ các tính chất bất đẳng thức: a> ⇔ <b b a

2 Tính chất bắc cầu: a>b b, > ⇒ >c a c

3 Tính chất đơn điệu phép cộng: Cộng số vào hai vế bất đẳng thức

a> ⇒ + > +b a c b c

4. Cộng vế hai bất đẳng thức chiều, bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho

,

a>b c> ⇒ + > +d a c b d

Chú ý: Không trừ vế hai bất đẳng thức chiều

5. Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều, bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ

a>b, c< ⇒ − > −d a c b d

6. Tính chất đơn điệu phép nhân

a) Nhân hai vế bất đẳng thức với số dương: a>b c, > ⇒0 ac >bc b) Nhan hai vế bất đẳng thức với số âm đổi chiều bất đẳng thức:

,

a>b c< ⇒ac<bc

7. Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm:

0,

a≥ ≥b c≥ ≥ ⇒d ac≥bd

8. Nâng lên lũy thừa hai vế bất đẳng thức:

0 n n

a> > ⇒b a >b

n n

a> ⇔b a >b với n lẻ

n n

a > b ⇒a >b với n chẵn

9. So sánh hai lũy thừa số:

Với m> >n

1 m n

a> ⇒a >a

1 m n

a= ⇒a =a 0< < ⇒a am <an

10.Lấy nghịch đảo đổi chiều bất đẳng thức có hai vế dấu

1

,

a b ab

a b

(47)

2

a ≥ Xảy đẳng thức: a=0

a ≥a Xảy đẳng thức: a≥0

a+ ≤b a + b Xảy đẳng thức: ab≥0

Để chứng minh bất đẳng thức, người ta thường dùng cách sau:

Cách 1: Dùng định nghĩa: Để chứng minh A>B, ta xét hiệu A B− chứng minh A B− >0

Cách 2: Dùng phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức phải chứng minh bất đẳng thức biết

Cách 3: Từ bất đẳng thức biết, dùng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức phải chứng minh

Cách 4: Chứng minh phản chứng

Cách 5: Chứng minh quy nạp toán học

Ví dụ 43: Chứng minh bất đẳng thức: (a+b)2 ≥4ab

Giải: Cách 1: Xét hiệu ( )2 2 ( )2

4

a+b − ab=a − ab+b = a−b ≥ Vậy (a+b)2 ≥4ab Xảy dấu a=b

Cách 2: Biến đổi tương đương:

( )2

4

a+b ≥ ab

( )2

4

a b ab

⇔ + − ≥

2

a ab b

⇔ − + ≥

( )2

0

a b

⇔ − ≥

Bất đẳng thức cuối đúng, mà phép biến đổi tương đương Vậy

( )2

4

a+b ≥ ablà Cách 3: Ta có: (a−b)2 ≥0

⇒a2−2ab+b2 ≥0 ⇒(a+b)2−4ab≥0 (a+b)2≥4ab

(48)

Giả sử: (a+b)2 <4ab 2

2

a + ab+b < ab

2

a ab b

⇒ − + <

( )2

a b

⇒ − <

Bất đẳng thức cuối sai, phải có (a+b)2 ≥4ab

Ví dụ 44: Cho a>2, b>2 Chứng minh rằng: ab> +a b

Giải: Cách 1: Vì a>2, b>2 nên a>0, b>0 Vì a>2, b>2 nên ab>2b ( )1

Vì a>2, b>2 nên ab>2a ( )2

Cơng vế tương ứng bất đẳng thức ( )1 ( )2 , ta được: 2ab>2(a+b), đó:

ab> +a b

Cách 2: Do a>2 hai vế dấu nên 1

a < ( )1

Do b>2 hai vế dấu nên: 1

b < ( )2

Cộng ( )1 với ( )2 ta a b

ab

+ <

Nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ab, ta a+ <b ab

Cách 3: Vì a>2, b>2 nên a>0, b>0 Giả sử a≥b (do vai trò a b nhau),

2,

b> a> nên ab>2a ( )1 Vì a≥b nên a+ ≥ +a a b hay 2a≥ +a b ( )2 Từ ( )1 ( )2 suy ab> +a b

Cách 4: Ta có a>2, b>2 đặt a= +2 x, b= +2 y x y, >0 Xét hiệu ab−(a+b) (= 2+x)(2+ y) (− 4+ +x y)= + +x y xy >0 Vậy ab> +a b

Ví dụ 45: Chứng minh bất đẳng thức: a)

2

a b

ab

+

  ≥

(49)

b)

4

a b c d

abcd

+ + +

  ≥

 

  với a b c d, , , ≥0;

c)

3

a b c

abc

+ +

  ≥

 

  với a b c, , ≥0

Giải:

a) Xem ví dụ 43

b) Đặt a+ =b m, c+ =d n Theo câu a) ta có:

2 m n mn +   ≥    

Do m n, >0 nên

4 2 m n m n −   ≥  

  ( )1 Mặt khác, theo câu a) ta có ( )

2

4

m = a+b ≥ ab ( )2 ,

( )2

2

4

n = c+d ≥ cd ( )3

Do a b c d, , , ≥0 nên nhân ( )2 với ( )3 2

16

m n ≥ abcd ( )4 Từ ( )1 ( )4 suy ra:

4 16 m n abcd +   ≥     Vậy 4 m n abcd +   ≥  

  , tức

4

a b c d

abcd

+ + +

  ≥

 

 

Xảy đẳng thức m=n, a=b, c=d tức a= = =b c d c) Cách 1:

Theo câu b) ta có:

4

a b c d

abcd

+ + +

  ≥

 

  Đặt

a b c

d = + +

Ta có:

4

a b c

abc + +  + + +    + + ≥       Hay 4

3

a b c a b c

abc

+ + + +

  ≥

 

  ( )5

Chia hai vế bất đẳng thức ( )5 cho

a+ +b c >

(50)

3

a b c

abc

+ +

  ≥

 

 

Xảy đẳng thức

3

a b c

a= = =b c + + tức là: a= =b c

Cách 2: Giả sử a≤ ≤b c

2

a b c≥ + Đặt

2

a b x

+ =

x≥0và c= +x y với y≥0 Ta có

3 3

2

3 3

a b c x c x x y y

x

+ + + + +

  =  =  = + 

       

       

3 2( )

3

y

x x x x y x c

≥ + = + = Nhưng 2 a b

x = +  ≥ab

  (câu a),

3

a b c

abc

+ +

  ≥

 

 

Xảy đẳng thức a=b, y=0 tức a= =b c

Chú ý: Các bất đẳng thức trường hợp riêng bất đẳng thức Cơ-si (Cauchy, nhà tốn học Pháp, 1789 – 1857) Cách giải gợi ý cho ta cách chứng minh bất dẳng thức Cô – si tổng quát với n số không âm phương pháp quy nạp toán học

1

n n

n

a a a a

a a a a n

+ + + +

  ≥

 

  ( )1

Thật vậy, bất đẳng thức ( )1 với n=2

Giả sử bất đẳng thức với n=k tức là:

1 k k k

a a a

a a a k

+ + +

  ≥

 

 

Ta chứng minh bất đẳng thức với n= +k Giả sử: a1≤a2 ≤ ≤ ak ≤ak+1

1

k

a a a

a

k

+

+ + +

≥

Đặt a1 a2 ak x

k

+ + + =

(51)

Ta có

1 1

1

1 1

k k k

k k

a a a a kx x y y

x

k k k

+ + +

+

+ + + + + +

  =  = +  ≥

   

 +   +   + 

 

( ) ( )

1

k k k

k k

y

x k x x x y a a a a

k

+

≥ + + = + ≥

+

Vậy bất đẳng thức ( )1 với số tự nhiên n≥2 Xảy đẳng thức a1=a2 = = an (đpcm)

Trong số trường hợp, chứng minh bất đẳng thức, ta cần xét khoảng giá trị biến

Ví dụ 46: Chứng minh bất đẳng thức:

12

1

x −x +x − + >x

Giải: Gọi vế trái bất đẳng thức f x( )

Xét trường hợp:

a) x≥1 Viết f x( ) dạng x9(x3− +1) (x x3− +1)

Do x≥1 nên x3− ≥1 (tính chất 8), cịn x9≥1, x≥1do f x( )>0 b) x<1 Viết f x( ) dạng x12 +x4(1−x5)+ −(1 x)

Do 1> x nên

1−x >0 (tính chất 8), 1− >x cịn x12 ≥0,x4 ≥0 f x( )>0

BÀI TẬP

Chứng minh bất đẳng thức:

152.

2 2 2

2

a+b a +b

  ≤

 

 

153. (a10+b10)(a2+b2) (≥ a8+b8)(a4+b4)

154.

2

1

a a

+ + >

− +

155. 2

a +b +c ≥ab+bc+ca

156. a2+b2+c2+ ≥3 2(a+ +b c)

157. 1

a >b với a<b, a b dấu

158. a) 2

(52)

b) 2

a +b +c ≥ với a+ + =b c c) a12 a22 an2

n

+ + + ≥ với a1+ + + +a2 a3 an =1 d)

2

2 2

1 n

k

a a a

n

+ + + ≥ với a1+ + + +a2 a3 an =k

159. 2

a +b > với a+ >b

160.

2

x y x y

− < −

+ + với x> >y

161. a+ < +b ab với a <1, b <1

162. (x−1)(x−3)(x−4)(x− + ≥6)

163. ( )( )( )

4a a+b a+1 a+ + +b b ≥0

164. x8−x5+x2− + >x

165. 4a b2 >(a2+b2−c2)2 với a b c, , độ dài ba cạnh tam giác

166. a b( −c)2+b c( −a)2+c a( +b)2 >a3+b3+c3 với a b c, , độ dài ba cạnh tam giác

167. a) a b

b+ ≥a với ab>0;

b) (a b c) 1

a b c

 

+ +  + + ≥

  với a b c, , >0

c)

2

x y z

y+z + x+z+ x+y ≥ với x y z, , >0

168. 12 12 12 12

2 +3 +4 + +n < với số tự nhiên n≥2

169.

( )2

2 2

1 1 1

2 +4 +6 + + 2n < với số tự nhiên n≥2

170. Cho ba số dương a b c, , có tích a b c 1

a b c

+ + > + + Chứng minh rằng: a) (a−1)(b−1)(c− >1)

b) Trong ba số dương a b c, , có số lớn 1, hai số nhỏ

171. Cho a b c, , >0 Chứng minh bất đẳng thức: a) a3+ + ≥b3 c3 3abc;

b) (a+b b)( +c c)( +a)≥8abc;

c) Áp dụng hai bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức Cô – si với ba số không âm

(53)

C =a b1 1+a b2 2+a b3 3+ + a bn n a) Chứng minh với x ta có:

2

Ax − Cx+ ≥B b) Bằng cách thay x C

A

= vào bất đẳng thức trên, chứng minh AB≥C2

(Giả thiết A≠0 Trường hợp A=0 a1=a2 =a3 = an =0, bất đẳng thức

2

AB≥C hiển nhiên đúng)

173. Viết kết số 21982 51982 liên tiếp Hỏi số tạo thành có chữ số?

174. Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp quy nạp toán học:

a)

2n >n với số tự nhiên n≥5

b) 1 13

1 24

n+ +n+ +n+ + + n > với số tự nhiên n≥2

§2 TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC

Để tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức A, ta cần chứng minh A≥k

A≤k (k số) với giá trị biến trường hợp xảy đẳng thức

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức vấn đề không đơn giản Chúng ta đề cập tới số dạng đặc biệt

Dạng 1: Tìm giá trị nhỏ lớn tam thức bậc hai

Ví dụ 47

a) Tìm giá trị nhỏ

4

A=x − x+ b) Tìm giá trị nhỏ B=2x2−8x+1 c) Tìm giá trị lớn C= +1 6x−x2 d) Cho tam thức bậc hai

P=ax +bx+c

Tìm giá trị nhỏ P a>0 Tìm giá trị lớn P a<0

Giải:

(54)

c) C= +1 6x−x2 = −(x2−6x+ +9) 10= − −(x 3)2+10 10≤ Giá trị lớn C 10 x=3 d)

2

2 2

2

2 4

b b b b

P ax bx c a x x c a a x c

a a a a

    = + + =  + + =  + + + −     2 b

a x k

a

 

=  +  +

  với

2 b k c a = − Do 2 b x a  +  ≥  

  nên:

Nếu a>0

2 b a x a  +  ≥  

  , P≥k

Nếu a<0

2 b a x a  +  ≤  

  , P≤k

Vậy

2

b x

a

= − P có giá trị nhỏ k (nếu a>0) có giá trị lớn k

nếu (a>0)

Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn đa thức bậc cao

Ví dụ 48: Tìm giá trị nhỏ A=(x2+ +x 1)2

Giải: Mặc dù A≥0 giá trị nhỏ A khơng phải

1

x + + ≠x Ta có:

2

2 3

1

4 4

x + + =x x + + + =x x+  + ≥

 

Do A nhỏ ⇔(x2+ +x 1) nhỏ Giá trị nhỏ A

2

3

4 16

  =  

 

1

x= −

Ví dụ 49: Tìm giá trị nhỏ

6 10

x − x + x − x+

(55)

0

3

x

x x

x

 =

 = ⇔ =

  = 

Giá trị nhỏ biểu thức với x=3

Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn đa thức có dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 50: Tìm giá trị nhỏ A= − + −x x

Giải:

Cách 1 a) Trong khoảng x<1 A= − + − = −1 x x 2x Do x<1 nên −2x> −2, 2− x>2

b) Trong khoảng 1≤ ≤x A= − + − =x x c) Trong khoảng x>3 A= − + − =x x 2x−4 Do x>3 nên 2x− >4

So sánh giá trị A khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ A 1≤ ≤x

Cách 2: Giá trị tuyệt đối số lớn số Do đó:

1 3

A= − + − ≥ − + − =x x x x

1

2

3

x

A x

x

− ≥ 

= ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ≤



Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn phân thức có tử số, mẫu tam thức

bậc hai

Ví dụ 51 Tìm giá trị lớn 2

4

M

x x

=

− +

Giải:

( )2

2

3

4

M

x x x

= =

− + − +

Ta thấy (2x−1)2 ≥0 nên (2x−1)2+ ≥4 Do

( )2

3

4 2x−1 +4≤

(56)

Vậy max

M = với

x=

Chú ý: Sẽ khơng xác lập luận M có tử số nên M lớn mẫu nhỏ

Lập luận dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức 21

x −

Mẫu x2−3 có giá trị nhỏ −3 x=0 Nhưng với x=0 21

3

x − = −

là giá trị lớn phân thức (chẳng hạn, với x=2 21

3

x − = , lớn

1

− ) Như − <3 suy 1

3

− > Từ a<b suy 1

a >b ,a b hai số

cùng dấu

Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn phân thức có mẫu bình phương

nhị thức

Ví dụ 52: Tìm giá trị nhỏ

( ) 2 1 x x A x + + = + Giải:

Cách 1: Viết tử dạng lũy thừa x+1 đổi biến, đặt 1 y x = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2

2 1 1 1

1

x x x

A x x x + + − + + = = − + + + +

2 3

1

2 4

y y y 

= − − = −  + ≥

 

3

min

4

A= ⇔ = ⇔ =y x

Cách 2: Viết A dạng tổng

4 với biểu thức không âm

( ) ( ) ( () () )

2

2 2

3 1

1 4

x x

x x x x

A

x x x

+ + −

+ + + +

= = =

(57)

( )

2

3

,

4

x x  −  = +  ≥ +  

A= với x=1

Dạng 6: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn phân thức khác

Ví dụ 53* Tìm giá trị nhỏ lớn x B x + = +

Giải: Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta viết 42

1

x x

+

+ dạng:

( )2

2

4x

1 1 x x x x x + + + − − = − ≥ − + +

minB= −1 với x= −2

Để tìm giá trị lớn nhất, ta viết 42

x x

+

+ dạng:

( ) ( ) ( )2

2

2 2

4 4 2x 1

4 4

4

1 1

x x x

+ − − + −

+ − + − = = −

+ + +

maxB=4 với

x=

BÀI TẬP

175 a) Tìm giá trị nhỏ A=2x2−20x+53 b) Tìm giá trị nhỏ B=2x +3x 12 +

c) Tìm giá trị lớn C= −5x2−4x+1

176 a) Tìm giá trị nhỏ

4

2x 8x 16

2x 8x 8x 16

x A x + + + = − + − +

b) Tìm giá trị nhỏ 12 2x - x

B=

−

c) Tìm giá trị lớn

2

3x 10

x

(58)

177 a) Tìm giá trị nhỏ

2

4x 2x

A

x

− +

=

b) Tìm giá trị nhỏ 2x 12 x

B= +

c) Tìm giá trị lớn

2

x 3

x

x C

x

− +

=

− +

d) Tìm giá trị lớn

( )2

x D

x

= +

178 Tìm giá trị lớn của: a)

2

3x 14

4

A x

+ =

+ b) 2x

2

B x

+ =

+

179 Tìm giá trị nhỏ của: a) A= − + −x x

b) B=(x−1)(x+2)(x+3)(x+6) c) C =x4 −2x3+3x2−2x + d) D=x2−2x+y2+4y+5

180* Tìm giá trị lớn tổng x+ +y z biết

5 21; 2x 3z 51; , ,

x+ y= + = x y z≥

181 a) Chứng minh hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số

b) Áp dụng tìm giá trị lớn A= x3(16−x3)

182 a) Chứng minh hai số dươngcó tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số

b) Áp dụng tìm giá trị nhỏ

2

4x

B

x

+

= với x>0 c*) Áp dụng tìm giá trị nhỏ

2

x 15x 16

3

B

x

+ +

= với x>0

183 Chứng minh rằng:

(59)

b) Trong hình chữ nhật diện tích, hình vng có chu vi nhỏ

184 Người ta dùng đoạn dây dài 40m căng ba phía thành sân hình chữ nhật, cịn

một phía tường Xác định dạng hình chữ nhật để diện tích sân lớn

185 Người ta chia đoạn thẳng dài 12cm thành ba phần dựng hình vng có cạnh ba đoạn thẳng Tính giá trị nhỏ tổng diện tích ba hình vng dựng

186 Tìm số tự nhiên có hai chữ số cho tỉ số số với tổng chữ số có giá trị:

a) Lớn nhất; b) Nhỏ

§3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Ví dụ 54 Giải bất phương trình ax+ >4 2x+a2 (a số biết)

Giải: ( )

2

a− x>a −

⇔(a−2)x>(a+2)(a−2) (1) Nếu a>2 x> +a

Nếu a<2 x< +a

Nếu a=2 (1) trở thành 0x>0, vơ nghiệm

Ví dụ 55 Giải bất phương trình

( )

1

2

x x

x a x

a a

− +

+ < − − với a số biết

Giải:

Không nên nhân hai vế bất phương trình với a, phải xét hai trường hợp

a> , a<0

Chuyển vế ta được:

( ) 1

2 x x

a x x

a a

+ −

− + < −

( )

1 (1)

a x

a

(60)

Nếu a>1

( 1)

x

a a

<

− nghiệm bất phương trình

Nếu a<1,a≠0

( 1)

x

a a

>

− nghiệm bất phương trình

Nếu a=1 (1) có dạng 0x<2, gnhiệm với x

BÀI TẬP

187 Rút gọn biểu thức tìm giá trị biến để biểu thức: a)

2

3

4x

2x 4x

x A

x

− +

=

− − + có giá trị dương;

b)

3

8 2x 4

:

2

x x x

B

x x x x

 − − + 

= − 

+ + − +

  có giá trị âm

Giải bất phương trình:

188 ax b− >bx+a

189 x a x

a+ > + với a>1

190 1

1

ax ax

a a

+ > −

− + với a>1

191* (a 1)x ax 1

a a

−

+ + >

192 Tìm giá trị x thoả mãn hai bất phương trình: a) 2x 1+ > +x x+ >3 3x - ;

b) 3x - 1> +x 4x+ >1 6x -

193 Kí hiệu [ ]a số nguyên lớn không vượt a (như [ ]a =n n số nguyên 0≤ − <a n 1)

a) 3x ;

12 x

+

  =

 

  b)

4x -

;

9 x

  =

 

  c)

3x

2

5 x

+

  = −

 

(61)

§4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Khi giải phương trình mà ẩn nàm dấu giá trị tuyệt đối, để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta xét khoảng giá trị biến Cần nhớ:

a) Định nghĩa giá trị tuyệt đối:

0

A voi A A

A voi A

≥ 

= − <



b) Định lí dấu nhị thức bậc ax+b a( ≠0 :)

Nhị thức dấu với a x b a

> − , nhị thức trái dấu với a x b a

< − Chứng minh: Xét ax b x b

a a

+ = +

Nếu x b a

> − x b

a

+ > , ax b

a

+

> , tức ax+b dấu với a Nếu x b

a

< − x b

a

+ < , ax b

a

+

< , tức ax+b trái dấu với a (đpcm)

Chú ý: Vì b

a

− nghiệm nhị thức nên định lí phát biểu:

Nhị thức ax+b a( ≠0), cùng dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức, trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức

3

x− + + =x

Giải: a) Trong khoảng x< −2, phương trình có dạng 3− − − = ⇔ = −x x x 3, thuộc khoảng xét

b) Trong khoảng − ≤ ≤2 x 3, phương trình có dạng: 3− + + = ⇔x x 0x =2, vơ nghiệm

c) Trong khoảng x>3, phương trình có dạng:

3

x− + + = ⇔ =x x , thuộc khoảng xét Vậy phương trình có nghiệm x1= −3 ; x2 =4

(62)

4

x− + − =x

Giải: Cách a) Trong khoảng x<4, phương trình có dạng 4− + − = ⇔ =x x x 4, không thuộc khoảng xét

b) Trong khoảng 4≤ ≤x 9, phương trình có dạng: x− + − = ⇔4 x 0x =0,nghiệm với x thuộc khoảng xét, tức 4≤ ≤x

c) Trong khoảng x>9, phương trình có dạng:

4 9,

x− + − = ⇔ =x x

khơng thuộc khoảng xét

Vậy phương trình có nghiệm 4≤ ≤x

Cách Viết phương trình dạng x− + − =4 x Chú ý A ≥ A nên x− + − ≥ − + − =4 x x x

Xảy đẳng thức x− ≥4 9− ≥x 0, tức 4≤ ≤x Vậy phương trình có nghiệm 4≤ ≤x

BÀI TẬP

Giải phương trình:

194 x− − =3 x

195 x+ = −3 x

196 x − 2x+ = −3 x

197 x− + +x 2x− =1

198 x + − = + −1 x x x

(63)

§5 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Cần ý đến dạng sau:

Dạng a) f x( ) < ⇔ − <a a f x( )<a voi a>0 b) f x( ) <g x( )⇔ −g x( )< f x( )<g x( ) Dạng a) ( ) ( )

( )

f x a

f x a voi a

f x a

 < −

> ⇔ >

> 

b) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

 < −

> ⇔ 

> 

Dạng f x( ) > g x( ) ⇔ f x( ) > 2 g x( )2

Ví dụ 58 Giải bất phương trình x− < +1 x

Giải: Bất phương trình cho tương đương với:

( )

1 1 2x

2x

2 1

x x x

x

x x

− − < − − − < −

 ⇔

  − < +

− < + 



3x 1

3

3 x

x

− < − 

⇔  < ⇔ < <



BÀI TẬP

200 a) 2x+ <3 ; b) 2x - <x

201 a) 2x - >5 ;

b) x -

2

x+

>

202 x− > +3 x

(64)

§6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TÍCH BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THƯƠNG

Để giải bất phương trình dạng tích, bất phương trình dạng thương, cần phân tích đa

thức thành nhân tử xét dấu nhân tử

Ví dụ 59 Giải bất phương trình (x+5 7)( −2x)>0

Giải: Lập bảng xét dấu:

x -5 3,

5

x+ - + +

7−2x + + -

(x+5 7)( −2x) - + -

Vậy nghiệm bất phương trình − < <5 x 3,5

Ví dụ 60 Giải bất phương trình 2x 1

x

+ ≤

+

Giải:

Chuyển sang vế trái ta được:

2x 2x

1 0

2 2

x x

x x x

+ − ≤ ⇔ + − − ≤ ⇔ − ≤

+ + +

Lập bảng xét dấu:

x -2

1

x− - - +

2

x+ - + +

1

x x

−

+ + - +

Vậy nghiệm bất phương trình − < ≤2 x

BÀI TẬP

(65)

205

2

2x 10x

0

1 x

+ ≤

−

206

3x

4

x

− ≥

+

207

1

4

x+ ≤ x−

(66)

Phần đề thi

GIỚI THIỆU MỘT SỐ ĐỀ THI VÀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI CỦA HÀ NỘI

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC 208 Tìm số tận

( )7 ( )6

7

7 :

P=     

   

(Đề dự bị thi vào lớp chuyên toán năm 1978 – 1979)

209 Chứng minh biểu thức z2+ y(2x−y)−x2 chia hết cho biểu thức x− +y z

(Đề dự bị chọn học sinh giỏi tốn lớp vịng năm 1981 – 1982)

210 Tìm a, b, csao cho đa thức x4+ax2+bx+c chia hết cho (x−3)3

(Đề thi học sinh giỏi toán lớp năm 1979 – 1980)

211 Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức x3−3x2−3x−1 chia hết cho giá trị biểu thức x2+ +x

(Đề kiểm tra học sinh giỏi toán lớp năm 1977 – 1978)

212 Phân tích đa thức sau thừa số: a4+8a3+14a2−8a−15

(Đề thi vào lớp chuyên toán năm 1981 – 1982)

213 Chứng minh đa thức sau: (a2+3a+1)2−1 chia hết cho 24 với a số tự nhiên

214 Chứng minh hiệu bình phương hai số lẻ chia hết cho

215 Chứng minh biểu thức 10 18 1n+ n− chia hết cho 27 với n số tự nhiên

216 Chứng minh 25n4+50n3−n2−2n chia hết cho 24 n số nguyên dương tuỳ ý

(67)

chia hết cho 31 n số nguyên dương

(Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp năm 1978 – 1979)

Nếu a và b khơng chia hết cho a6−b6 chia hết cho

220 Chứng minh rằng: 4a2+3a+5 chia hết cho a số nguyên không chia hết cho không chia hết cho

221 Hai lần số lẻ hiệu bình phương hai số nguyên không?

222 Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết tổng tích cặp hai số ba số 242

223 Chứng minh số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ

224 Chứng minh số tự nhiên n có tận n2 tận 25 Số

n tận 125 khơng?

225 Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho

(Đề kiểm tra học sinh giỏi năm 1979 – 1980)

226 Phân tích thành nhân tử: a) 4x2−3x−1 ;

b) 3x2−22xy−4x+8y+7y2+1

(Đề thi vào lớp chuyên toán quận Đống Đa năm 1992 – 1993)

227* Giả sử a, b, c, d là số nguyên Chứng minh

( ) (2 )2 ( 2 2) ( )2

a c b d a b ad bc

 − + −  + − −

(68)

(Đề thi vào lớp chuyên toán quận Hai Bà Trưng năm 1992 – 1993)

228* Cho x+ =y ; x3+y3 =a x; 5+y5 =b Chứng minh 5a a( + =1) 9b+1

(Đề thi vào lớp chuyên toán quận Hai Bà Trưng năm 1992 – 1993)

229 Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho

(Đề thi vào lớp chun tốn quận Hồn Kiếm năm 1992 – 1993)

230 Tìm giá trị tự nhiên n cho n2+3n+39 n2+ +n 37 chia hết cho 49

(Đề thi vào lớp chun tốn quận Hồn Kiếm năm 1992 – 1993)

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 231 Rút gọn phân số 19

99

với n chữ số tử n chữ số mẫu (n số tự nhiên)

232 Tính số trị phân thức sau cách nhanh nhất:

3

4

7 14

a a a

− − +

− + − với a=102

233 Số lớn hơn: 1981 1980

1981 1980

−

+ hay

2

1981 1980

?

1981 1980

− +

234 Số lớn hơn: 1979

1980

10

+

+ hay

1980 1981

10

?

10

+ +

235 Tìm giá trị a b

a b

+

−

2

(69)

236 Chứng minh nếu:

( )

2

2 0, 0,

c + ab−ac−bc = b≠ a+ ≠b c

( )

2

a a c a c

b c

b b c

+ − = −

− + −

237 Rút gọn phân thức sau:

( )( )

2 2

1

x a a a x

+ + + +

− − + +

Chứng minh phân thức khơng phụ thuộc vào x, có nghĩa với x và a

238 Chứng minh nếu:

( )1 , ( )2 , ( )3

x=by+cz y=ax+by z=ax+by x+ + ≠y z

1 1

2 1+a+1+b+1+c =

239 Thực phép tính:

( )( 2 ) ( )( 2 ) ( )( 2 )

1 1

b c a− +ac b− −bc + c−a b +ab c− −ac + a b c− +bc−a −ab

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

240 Cho 102+112+122 =132+142 Hỏi năm số cịn có năm số ngun có tính chất khơng?

(Đề thi vào lớp chun tốn năm 1979 – 1980)

241 Chứng minh nghiệm phương trình sau số nguyên:

29 27 25 23 21 19

1970 1972 1974 1976 1978 1980

(70)

1970 1972 1974 1976 1978 1980

29 27 25 23 21 19

x− + x− + x− + x− + x− + x−

(Đề thi chọn học sinh giỏi lớp năm 1977 – 1979)

242 Đầu năm học, tổ học sinh mua số sách phải trả 72 đồng Nếu bớt

đi người người cịn lại phải trả thêm đồng Hỏi tổ có người?

BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 244 Chứng minh 2a4+ ≥1 2a3+a2 với a số

(Đề thi chọn học sinh giỏi năm 1977 – 1979)

245 Với giá trị x biểu thức:

( 1)( 2)( 3)( 6)

P= x− x+ x+ x+ có giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ

246 Chứng minh rằn với n số tự nhiên ta ln có

( )2

1 1 1

5+13+25+ +n + n+1 <

(Đề thi chọn học sinh giỏi tốn vịng năm 1980 – 1981)

247 Cho x1 số dương nhỏ

( )

2

1 1,

k k k

x =x −x + k =

Chứng minh x12+x22+ + xn2 <1 (n số tự nhiên)

248 Cho bảy số tự nhiên khác có tổng 100 Chứng minh bảy số có ba số mà tổng chúng lớn 50

249 Chứng minh tam giác, ta ln có

0

60 aA bB cC 90

a b c

+ +

< <

+ + với A, B, C là số đo (độ) góc tam giác a, b, c

(71)

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 250 Có số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức

2

15x −7y =9 khơng?

(Đề thi chọn học sinh giỏi tốn lớp năm 1980 – 1981)

251 Tìm số tự nhiên biết ta bỏ ba chữ số cuối số ta số mà lập phương số cần tìm

(Đề thi chọn học sinh giỏi tốn lớp năm 1979 – 1980)

252 Giải phương trình n S n+ ( )=1982 với S n( ) tổng chữ số n(n số nguyên không âm)

(Đề chọn lọc học sinh giỏi toán lớp năm 1981 – 1982)

253 Tổng sáu cố ngun khơng âm tích chúng Tìm số

(Đề thi chọn lọc học sinh giỏi toán lớ 8, năm 1981 – 1992)

254 Cặp số 44 18 có tính chất sau: Tổng hiệu chúng số có hai chữ số, vị trí đổi chỗ

Hãy tìm cặp số mà số có hai chữ số có tính chất

255 Cho biểu thức:

2

2 2

2 21

:

4 12 13 20 20 4

x x x x

P

x x x x x x x

− − + −

 

= + −  +

− + − − − + −

 

a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức P

(Đề thi vào lớp chun tốn quận Ba Đình năm học 1992 -1993)

256 Chứng minh x+ + =y z x3+ y3+z3 =3xyz Tính giá trị biểu thức M bc2 ca2 ab2

a b c

= + + biết 1 0(a b c, , 0)

a+ + =b c ≠

(Đề thi vào lớp chuyên toán quận Hai Bà Trưng năm học 1992 - 1993)

(72)

1992

1

1992 1992 1992

x y z

xy+ x+ + yz+ +y + xz+ +z =

(Đề thi vào lớp chuyên toán quận Đống Đa năm học 1992 – 1993)

258 Tìm hai phân số dương có tử 1, cho tổng chúng cộng với

6 tích chúng

6

(Đề thi vào lớp chuyên tốn quận Hồn Kiếm năm 1992 – 1993)

259* Tìm nghiệm tự nhiên phương trình:

6 2

2

x −x + x + x = y

(Đề thi vào lớp chun tốn quận Hồn Kiến năm học 1992 – 1993)

260* Cho biểu thức:

2

15 1992

A= x + y +xy+ x+ +y

Tìm giá trị nhỏ A

(Đề thi vào lớp chuyên toán quận Ba Đình năm 1992 -1993)

261 Chứng minh a b c, , số dương a b c+ + =1 thì:

2 2

1 1

33

a b c

 +  + +  + +  >

     

     

(Đề thi vào lớp chuyên toán quận Ba Đình năm học 1992 – 1993)

262 Giải bất phương trình:

1 1992

1

x

+ >

+ +

+

(Đề thi vào lớp chuyên toán quận Đống Đa năm học 1992 – 1993)

263 Chứng minh với a b, số dương a3−3ab2+2b3 số dương

(Đề kiểm tra học sinh giỏi năm học 1983 – 1984)

(73)

Chứng minh rằng:

[ ] [ ] [ ] [ ]a b1, + b c1, + c d1, + d e1, <1

Với [ ]x y, kí hiệu BCNN x y

265 Chứng minh số có tám chữ số chia hết cho 101 viết chữ số cuối lên đầu số có tám chữ số chia hết cho 101

266 Cho tổng năm số nguyên Chứng minh tổng lũy thừa bậc năm năm số nguyên chia hết cho 15

267 Thực phép tính:

1 1

1

1 2 3 1986

 −  −   − 

 +  + +   + + + + 

    

4 4 2

4

40 51 91 40 51 91

79 79

+ + = + +

269 Chứng minh x+ =y xy ≠0

( )

3 2

2

1

x y

y x

x y x y

−

− =

− − +

(Đề chọn học sinh giỏi năm 1984 – 1985)

270 So sánh hai biểu thức A B:

1 1

124

1.1985 2.1986 3.1987 16.2000

A=  + + + + 

 ,

1 1

1.17 2.18 3.19 1984.2000

B= + + + +

(74)

271 Có tồn số nguyên dương mà ta bỏ chữ số số giảm đi: a) 57 lần?

b) 58 lần?

272 Cho bốn số a b c d, , , cho ab=1, ac+bd =2 Chứng minh 1−cd số âm

273 Cho dãy số nguyên dương a ii( =1, 2, ,k) ak <ak−1 < < a2 <a1 ≤n với n giá trị

lớn BCNN hai số dãy ai Chứng minh rằng: m a m ≤n m( =2,3, ,k)

274 Tìm x biết:

1986 1987 1985 1987 1985 1986

3

1985 1986 1987

x− − + x− − + x− − =

(Đề thi học sinh giỏi năm 1985 – 1986)

275 Tìm x biết:

( ) ( )( ) ( )

2

1985 1985 1986 1986 19

49

1985 1985 1986 1986

x x x x

− + − − + −

=

− − − − + −

276 Cho bốn số a b c d, , , khác c+ =d c d

a+ =b ac+bd

Chứng minh a=b

277 Chứng minh bất đẳng thức:

( )

2 2 2

1 5

x + + + +x x x x ≥x x + + +x x x

(75)

278 Cho 2

1

x

a

x + +x = Tính

2

4

1

x P

x x

=

− + theo a

279 Chứng minh nn − + −n2 n chia hết cho (n−1)2 với số nguyên n lớn

280 Chứng minh đa thức P x( )= x5−3x4+6x3−3x2+9x−6 có nghiệm chuyên

281 Xét biểu thức

0 1991

1 1992

2 2

S = + + + +

Chứng minh rằng: S<4

282 Xét hai biểu thức:

x y z

P

y z z x x y

= + +

+ + + ;

2 2

x y z

Q

y z z x x y

= + +

+ + +

a) Chứng minh P=1 Q=0 b) Nếu Q=0 có thiết P=1 khơng?

283 Chứng minh số A−2B+1 số phương, đó: chu so

111

k

A=;

chu so 444

k

B=

(76)

LỜI GIẢI HOẶC CHỈ DẪN

Chương I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC

1 Rút gọn theo x y, x−y Sau rút gọn theo a b, 4ab

2 2.xn+1−3.xn

3 a) 10n+1−6.10n =10.10n−6.10n =4.10n

b)

90.10k −10k+ +10k+ =20.10k −100.10k +10.10k =0 c)

4 a) 10 11 12 10 10 10 10

2 +2 +2 =2 +2.2 +4.2 =7.2 chia hết cho b) 7.32=7.25 =25+2.25+4.25 =25+26+27

5 Đặt

117 =a,

119=b, ta có:

( )

3 24

117.119

ab− a − −b ab+ a= ab=

6 Thay x+1 Đáp số:

7 a3+b3+c3−3abc

8 Cả hai vế a3+b3+c3−3abc

9 Gọi x số lớn 100, ta gọi hiệu x−100 phần Muốn nhân hai số lớn 100 chút, ta lấy số cộng với phần số kia, viết tiếp vào sau tích hai phần (bằng hai chữ số) Ví dụ: 112.103 11536= ; 102.104 10608=

10 Gọi x số nhỏ 100, ta gọi hiệu 100−x phần bù Muốn nhân hai số nhỏ 100 chút, ta lấy số trừ phần bù số kia, viết tiếp vào sau tích hai phần bù (bằng hai chữ số) Ví dụ: 98.94=9212

11 (x+a)(x+b)(x+c)=(x2+bx+ax+ab)(x+c)

3 2

x cx bx bcx ax acx abx abc

= + + + + + + +

( ) ( )

3

x a b c x ab bc ca x abc

= + + + + + + +

6 60

x x x

= + − −

12 a) (127+73)2 =2002 =40000 b) 188−(188− =1)

(77)

100 99 98 97 5050

= + + + + + + =

d) Biến đổi thành 2 2 2

20 −19 +18 −17 + + −1 giải nhưu toán Đáp số: 210

e) ( )( )

( )2

780 220 780 220 1000.560

14 200.200 125 75

+ −

= =

+

13 a) Đặt 1990=x A=(x−1)(x+ =1) x2 −1,

B= x Vậy B lớn A

b) ( )( )

( )2

x y x y

x y A

x y x y

− +

−

= =

+ +

2 2

2

x y x y

B

x xy y x y

− −

= < =

+ + + (vì x> >y 0)

c) (3 1− )A=332−1 nên

32

3

2

A= − Vậy B lớn gấp đôi A

14 a)

6x +48x−57

b)( )( ) ( )2

2a +2a+1 2a −2a+ −1 2a +1 =(2a2 + +1 2a)(2a2+ −1 2a) (− 2a2 +1)2

( 2 )2 2 ( 2 )2 2

2a 4a 2a 4a

= + − − + = −

c) Đặt 9x− =1 a, 5− x=b, biểu thức trở thành:

( ) (2 ) ( )2

2 2

2 1 16

a +b + ab= a+b = x− + − x = x = x

d) Giải toán Đáp số:

x

15 a) Áp dụng: x2 −y2 =(x+ y)(x− y) ta được:

( 2 2 2)( 2 2 2)

a +b − +c a −b +c a +b − −c a +b −c 2( 2) 2 2

2a 2b 2c 4a b 4a c

= − = −

b) (a+ +b c) (2+ a+ −b c)2 −2(a+b)2

( )2 ( ) 2 ( )2 ( ) 2 ( )2 2

2 2

a b c a b c a b c a b c a b c

= + + + + + + − + + − + =

(78)

( )2 ( ) 2 ( )2 ( )2 2 ( )2

2

a b c a b c a b c a b c a b

= + + + + + − + − + + +

( ) 2 2 ( ) ( )2

2c a b c c 2c a b a b

− + + + − − + −

( )2 ( )2 2

2 a b a b 4c

= + + − +

( 2) ( 2)

2 a 2ab b a 2ab b 4c

= + + + − + +

( 2 2)

4 a b c

= + +

16 c) Xét hiệu vế trái vế phải:

2 2 2 2

1000 +1003 +1005 +1006 −1001 −1002 −1004 −1007

( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

1003 1002 1005 1004 1007 1006 1001 1000

= − + − − − − −

(1003 1002) (1005 1004) (1007 1006) (1001 1000)

= + + + − + − +

2005 2009 2013 2001

= + − − =

17 Biến dổi vế trái thành (7a−3b) ( )2− 2c thay c2 =10a2 =10b2

18 a) Biến đổi vế phải thành:

( ) ( )( ) ( )2 2

2p 2p−2a = a+ +b c b+ −c a = b+c −a 2

2

b bc c a VT

= + + − =

b) VP=3p2 −2p a b c( + + +) a2 + +b2 c2 =3p2−4p2 +a2 + +b2 c2

2 2

a b c p VT

= + + − =

19 (x−1)2+5(x− +1)

20 Gọi hai số chẵn liên tiếp x x+2 (x chẵn) Ta có:

( )2 2

2 36

x+ −x = , suy x=8 Đáp số: 10

21 11

22 Gọi ba số tự nhiên liên tiếp x−1, ,x x+1

Ta có: x x( − +1) (x−1)(x+ +1) (x x+ =1) 74 suy

25

x = , mà x>0 nên x=5 Đáp số: 4,5,

(79)

Đáp số: ab bc ca+ + =14

24 (x−1) (2 + y+2)2 =0, x− = + =1 y Vậy x=1,y= −2

25 Biến đổi 2(a2+b2+ −c2 ab−ac bc− )=0 thành (a b− ) (2 + −b c) (2 + −c a)2 =0

26 Biến đổi đẳng thức cho dạng:

( ) (2 ) (2 )2

0

a b− + −b c + −c a =

27 a) (x−5)2+ =1 1002+ =1 10001 b) (x+0,1)2 = =12

c) (a+1)2 =100 10000=

28 a) Vế trái a2 −6a+10=(a−3)2+1 b) Vế trái x2−8x+19=(x−4)2 +3 c)

2

2 1 3

1

2 4

a + + =a a + a + + =a+  +

 

29 a) Biến đổi: x2 −4x+ =1 x2 −4x+ − =4 (x−2)2 −3

Do đó: (x−2)≥0 nên (x−2)2 − ≥ −3 Giá trị nhỏ biểu thức −3 x=2 b) 4x2 +4x+ =11 (2x+1)2 +10 Giá trị nhỏ biểu thức 10

2

x= − c) 3x2 −6x− =1 3(x−1)2−4 Giá trị nhỏ biểu thức 4− x=1

30 a) 8− x−x2 = −(x2 +8x+16)+21= − +(x 4)2 +21 Do − +(x 4)2 ≤0 nên − +(x 4)2+21≤21

Giá trị lớn biểu thức 21 x= −4

b) 4x−x2 + = − −1 (x 2)2 +5 có giá trị lớn x=2

(80)

Giá trị nhỏ biểu thwucs −36

5

x + x= , tức x=0 x= −5 b) Biến dổi thành (x−1) (2 + y−2)2+1

Giá trị nhỏ biểu thức x=1, y=2

32 a) (a+1)3 =1000 b) (x+1)3 − =1 7999 c) (a+1)3+ =5 27005 d) (a−1)3+ =2 1000002

33 a) − −x 1; b)

c)  +a (b+  +  − +  +  − −  −  − + c)3 a (b c)3 (b c) a3 (b c) a3 Đáp số: 24abc

34

6

x= −

35 Bạn đọc tự giải

36 Ta có a b c+ + =0 nên c= − +(a b) Do đó:

( )3 ( )

3 3 3

3

a + +b c =a + −b a+b = − ab a+b = abc

37 Ta có: a b c d+ + + =0 nên a+ = − +b (c d) Suy (a+b)3 = − +(c d)3, tức ;à:

( ) ( )

3 3

3

a + +b ab a b+ = − −c d − cd c+d Hay a3+ + +b3 c3 d3 = −3ab a b( + −) 3cd c( +d)

Chú ý rằng: a+ = − +b (c d) nên vế phải đẳng thức

( ) ( ) ( )( )

3ab c+d −3cd c+d =3 c+d ab−cd

38 M =2(a+b a)( 2−ab b+ 2) (−3 a2 +b2) =2(a2−ab b+ 2) (−3 a2 +b2)= − +(a b)2 = −1

39 a) ( )( )

2

(81)

b) (1−x)(1 7+ x+x2) c) (6x−1)(x−9)(x+9)

d) x4 −(4x2 −4x+ =1) ( )x2 −(2x−1)2 =(x2 +2x−1)(x−1)2

e) 2 ( )2 ( )( )

4 2

x + x + −x = x + −x = x + +x x − +x g) (x+1)(x−1)(x+5)(x+3)

40 a) (xy+1) (2 − x+y) (2 = xy+ + +1 x y)(xy+ − −1 x y)

(x 1)(y 1)(x 1)(y 1)

= + + − −

b) Cách 1: (a+ +b c) (2 + a+ −b c)2 −4c2

( )2 ( ) 2 ( )2 ( ) 2 2

2

a b c a b c a b c a b c c

= + + + + + + − + + −

( )2 2 ( )( )

2 a b 2c a b c a b c

= + − = + + + −

Cách 2: (a+ +b c) (2 + a+ − +b c 2c a)( + − −b c 2c)

( ) (2 )( )

3

a b c a b c a b c

= + + + + + + −

(a b c)(a b c a b 3c)

= + + + + + + −

( )( )

2 a b c a b c

= + + + −

c) 2 ( 2 2)2

4a b − a +b −c =(2ab+a2 +b2−c2)(2ab−a2− +b2 c2)

(a b c)(a b c)(c a b)(c a b)

= + + + − + − − +

d) (a−b b)( −c)(c−a) e) (a+b b)( +c)(c+a)

g) ab a( +b)+bc b( +c)+ca c( +a)+3abc

( ) ( ) ( )

ab a b abc bc b c abc ac c a abc

= + + + + + + + +

(a b c)(ab bc ca)

= + + + +

(82)

Đáp số: (a−b b)( −c)(c−a)(a+ +b c) i) (a−b b)( −c)(a−c)(ab+bc+ca)

k) a b c( − )2+b c( −a)2+c a b( − )2−a3− − +b3 c3 4abc

( )2 3 ( )2 3 ( )2 3

4

a b c c abc b c a b c a b c

= − − + + − − + − −

( )2 2 ( )2 2 ( )2 2

4

a b c bc a  b c a b  c a b c 

=  − + − +  − − +  − − 

( )2 2 ( )2 2 ( )2 2

a b c a  b c a b  c a b c 

=  + − +  − − +  − − 

( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c a b c a b c a b c a b c a b a a b c

= + + + − + − + − − + − + − −

(b c a) (a b c a) (b c a b) c a( b c)(a b c)

= + −  + + + − −  + − + − −

( ) 2 ( )( )

b c a ab ac a bc ab b  c a b c a b c

= + −  + + + − − + − + − −

(b c a) (c a b) (a b)(a b) c a( b c)(a b c)

= + −  + + − +  + − + − −

(b c a)(a b)(a b c) (c a b c)(a b c)

= + − + − + + − + − −

(a b c) (a b b)( c a) (c a b c)

= − +  + + − + − − 

( )( 2 2)

a b c ab ac a b bc ab ac bc c

= − + + − + + − + − −

( ) 2 ( )2 ( )( )( )

a b c a a c  a b c b a c b a c

= − +  − − = − + + − − +

41 a) Viết 3

a +b dạng (a+b)3−3a b2 −3ab2

Do đó: 3 3 3 ( )3 3 2 2

3 3

a + + −b c abc= a+b + −c a b− ab − abc

( ) ( )2 ( ) 2 ( )

3

a b c  a b c a b c  ab a b c

= + +  + − + + − + +

( )( 2 )

a b c a b c ab bc ca

= + + + + − − −

b) Áp dụng (x+ y)3 =x3+y3+3xy x( + y) ta có:

( )3 3 3 3

a+ +b c −a − −b c =(a+b)3+ +c3 3c a( +b a)( + + −b c) a3 − −b3 c3

( ) ( )( )

3 3 3

(83)

( )( 2) ( )( )( )

3 a+b ab+ac+bc+c =3 a+b b+c c+a

42 a) (x−3)(x−4) b) (x−7)(x+2) c) (x−1 4)( x+1)

43 Đặt x2 = y Đáp số: (3x2 −1 2)( x2 −3) b) Đặt

x + =x y Đáp số: ( )( )

1

x + +x x + +x c) x x( +1)(x+2)(x+ + =3) (x2 +3x)(x2 +3x+2)+1 Đặt

3

x + x= y, đa thức bằng: ( ) ( )2 ( )2

2 1

y y+ + = y + y+ = y+ = x + x+ d) (x−3y)(x−4y)

e) Viết đa thức thành (x−y)2 +3(x−y)−10 Đáp số: (x− +y 5)(x− −y 2)

44 (x+1)(x+2)(x−3)

Cách 3

7 7

x − x− =x + − x−

Cách 3

7 6

x − x− =x − −x x−

Cách 3

7 6

x − x− =x − x− x−

Cách 3

7 27 21

x − x− = x − − x+

45 a) Chú ý đa thức có tổng hệ số

3 2

5 4 4

x − x + x− = x −x − x + x+ x−

( ) ( ) ( )

2

1 4

x x x x x

= − − − + − ( )( )2

1

x x

= − −

b) Cách Đa thức có tổng hệ số

( )( ) ( )

3

3 3 1

x − x+ = x − − x+ = x− x + + −x x− =(x−1)(x2 + −x 2) Tiếp tục phân tích x2 + − =x (x−1)(x+2)

(84)

Cách Đa thức có nghiệm −2

3

x − x+ =x + − x− =(x+2)(x2 −2x+4)−3(x+2) ( )( )

2

x x x

= + − +

( )( )2

2

x x

= + −

c) (x+1)(x−3)2

d) (x+1)(x+2)(x+5)

e) 3

3 12

x + x + x+ = x − + x + x+

( )( ) ( )

2 4

x x x x x

= − + + + + +

( )( )

2

x x x

= + + +

46 a) nghiệm đa thức

Đáp số: ( )( )

2 2

x− x + x+

b) nghiệm đa thức Đáp số: (x−2 2)( x2−8x+1) c) −2 nghiệm đa thức

Cách

4

x +x +

3 2

2

x x x

= + − +

( ) ( )( )

2

2 2

x x x x

= + − + −

( )( )

2

x x x

= + − +

Cách 3

4

x +x + =x + +x −

( )( ) ( )( )

2 2

x x x x x

= + − + + + −

( )( )

2

x x x

= + − +

d) −2 nghiệm đa thức Đáp số: (x+2)(x2 + +x 1)

(85)

g)

2 nghiệm đa thức Đáp số: ( )( )

2

2x−1 x − +x

h)

3

− nghiệm đa thức Đáp số: (3x+1)(x2−5x+3)

47 a) (x+1)(x3+x2+1)

b) ( 2)2 ( 2) ( 2)2 ( 2)

1+x −4x 1−x = −1 x +4x −4x 1−x =(1−x2)−2x2 =(x2 +2x−1)2 c) (x2−8)2+36=x4 −16x2+100 =(x2+10)2 −36x2 =(x2 +6x+10)(x2 −6x+10)

48 a) Thêm bớt hạng tử

4x Đáp số: (x2 +2x+2)(x2 −2x+2) b) Thêm bớt

16x Đáp số: (x2 +4x+8)(x2−4x+8) c) (8x2−4x+1 8)( x2+4x+1)

d) (9x2 −6x+2 9)( x2 +6x+2)

49 a) Cách Để “nối” từ

x đến x, ta thêm bớt

, ,

x x x

Ta có 5 4 3 2

1

x + + =x x +x −x +x −x +x −x + +x

( ) ( ) ( )

3 2 2

1 1

x x x x x x x x

= + + − + + + + + ( )( )

1

x x x x

= + + − +

Cách Thêm bớt

x để làm xuất nhận tử chung x2 + +x Ta có:

5 2

1

x + + =x x −x +x + +x =x2(x3 − +1) (x2+ +x 1)

( )( ) ( )

2 2

1 1

x x x x x x

= − + + + + + ( )( )

1

x x x x

= + + − +

b) Thêm bớt x Đáp số: (x2 + +x 1)(x5−x4 +x2 − +x 1) Chú ý: Các đa thức 3

1

m n

x + +x + + x7 +x2+1, x7+x5 +1,

1

x+x + ,

1

x+x + phân tích thành nhân tử

50 a) Đồng với đa thức (3x ayb b+ + )(x cy d+ + ) Đáp số: (3x− −y 1)(x−7y−1 )

(86)

Đáp số: (4x−6y+3 3)( x+2y−1 )

c) Dễ thấy đa thức khơng có nghiệm hữu tỉ Nếu đa thức phân tích thành nhân tử phải

có dạng ( )( )

ax 1

x + + x +bx+ ( )( )

ax -1

x + x +bx−

Xét dạng thứ nhất, ta a= =b Vậy đa thức phân tích thành ( )2

3

x + x+ Cũng giải sau:

( ) ( )

4 2

6 11

x + x + x + x+ =x + x x+ + x + x+

( ) ( )2

4

2 3

x x x x

= + + + +

( 2 )2

3

x x

= + +

51 Với x, ta có (x a+ )(x− + = +5) (x b x c)( + ) (1), Với x=5 2= +(5 b)(5+c)

Vì b c nguyên nên (5+b)(5+c) tích hai số nguyên Số viết dạng tích hai số nguyên hai cách 1.2 ( )( )−1 −2

Giả sử b≤c, ta xét hai trường hợp:

5

b c

+ =   + =

 Suy b= −4,c= −3

Thay vào ( )1 (x a+ )(x− + = −5) (x 4)(x−3) với x Với x=4 − + + =(4 a) suy a= −2

Đa thức phân tích thành (x−2)(x− + = −5) (x 4)(x−3)

2)

5

b c

+ = − 

 + = −

 Suy b= −7,c= −6

Thay vào ( )1 (x a+ )(x− + = −5) (x 7)(x−6) với x

Với x=6 (6+ + =a) nên a= −8 Đa thức phân tích thành (x−8)(x− + = −5) (x 7)(x−6)

(87)

(x+1)(x+ + = +5) (x 2)(x+4)

53 a) Phân tích thành nhân tử ( )( )

1

A= n− n − n+ Nếu n=0;1; A thứ tự −1; 0; 1−

Nếu n=3 A=2 số nguyên tố

Nếu n≥4 n− ≥1 cịn n2−3n+ =1 n n( − + ≥3) nên A hợp số Vậy cịn n=3 A số nguyên tố

b) ( )( )

2

B= n− n − n+ Đáp số: n=1 n=4

54 Thay x=1, 2, 3, , vào đẳng thức ( )3

1 3

x+ =x + x + x+ , ta được:

( )

3

3 3 2

2 3.1 3.1 3.2 3.2

1 3

n n n n

= + + +

+ = + + +

Cộng vế tương ứng đẳng thức ta được:

( )3 ( 2 2 2) ( )

1

n+ = + + + +n + + + +n +n

Do ( 2 2 ) ( )3 ( 1) ( )

3 1

2

n n

n n + n

+ + + = + − − +

( 1) ( 1)2

n

n  n 

= +  + − − 

 

Suy 2 ( 2)( 1)

1

6

n n n n + +

+ + + =

55 Giải tương tự áp dụng kết

Đáp số: ( )

2

1

n n

S= +

56 a) Đổi thành lũy thừa số

Cách 1: 12 ( )2 12 24 20

49 : = : =7 : =7

Cách 2: 12 12 24 20

(88)

c)

5      

57 a)

300 160 298 160

5 25

5 = =

b) 15 c)

d) ( ) ( )

( ) ( )

5

4

8

4

2 2

x y x y

x y

x y x y

+ +

= = +

+ +

58 a) a= −12 b) a= −2

c) Gọi thương phép chia Q x( ) 3x2+ax 27+ = +(x ) ( )Q x +2 với x Sau cho x= −5 ta a=20

59 a) Cách 1: Làm phép chia, ta thương

x − +x a, dư (1−a x) (+ −b a) Muốn chia hết đa thức dư phải đồng 0, tức 1− =a 0,b a− =0 Do a= =b

Cách 2: Nhận xét thương đa thức bậc hai có hạng tử cao 2

:

x x =x , hạng tử thấp b:1=b

Gọi thương

x +cx b+ đồng ( )( )

x + +x x +cx b+ với ( ) ax

x + +b , ta

1 0, ,

c+ = b c+ + =a b c+ = , suy c= −1,b=1,a=1 b) Đáp số: a=2,b= −26

Cách 1: Thực phép chia, thương ax−4a, dư (13a b x+ ) (+ 12a−24)

Cách 2: Đồng đa thức

ax +bx−24 với ( )( ) ax-8

x + x+ suy 4a− =8 0, 3a−32=b

Cách 3: Với x, ta có ax3+ −bx 24= +(x 1)(x+3 ) ( )Q x Lần lượt cho x= −1,x= −3 c) a=3,b= −1

d) Với x, ta có 2x3+ax+ = +b (x ) ( )P x −6 (1)

( ) ( )

(89)

Với x= −1 − − + = −1 a b Với x=2 16 2+ a b+ =21 Do a=3,b= −1

60 a) 4x3−7x2− − = −x (x 2) ( )P x +r với x Với x=2

4.2 −7.2 − − =2 nên r=0

Vậy

4x −7x − −x chia hết cho x−2 b) Số dư phép chia -60

61 a) Dư phép chia cho x−1 số Gọi thương phép chia Q x( ), dư r, với x ta có x+ + +x3 x9 x27 +x81 = −(x ) ( )Q x +r

Với x=1 1 1 1+ + + + =r hay r=5 Vậy dư phép chia

b) Dư phép chia cho

1

x − có bậc cao bậc Gọi thương phép chia

( )

Q x dư ax+b, với x ta có:

( ) ( )

3 27 81

1 ax

x+x +x +x +x = x − Q x + +b

Với x=1 5= +a b, Với x= −1 5− = − +a b Từ a=5,b=0 Dư phép chia

5x

62 Trong đẳng thức (x2+ −x 1) (10+ x2− +x 1)10 − =2 (x−1 ) ( )Q x +r ta cho x=1,

0

r =

63 a) 3;1;5; 1− b) 2;1; 2;5−

64 n−4 phải ước 23 Đáp số: 5;3; 27

65 Ta phải có

n −n ước Điều không xảy n2−n số chẵn

66 Gọi hai số lẻ 2a+1 2b+1 ,(a b∈N)

( ) (2 )2 2

2a+1 + 2b+1 =4a +4a+4b +4b+2 không chia hết cho 4;

Chia hết cho ( ý tích hai sơ ngun liên tiếp chia hết cho 2)

67 Số phương chẵn bình phương số Ta có ( )2

(90)

Số phương lẻ bình phương số lẻ Ta có (2k+1)2 =4k k( + +1) chia dư

68 Xét ( ) (3k 2, 3k+1 , 3) (2 k−1)2

69 a) Xét tổng ( )2 ( )2

1

n− +n + n+ b) Xét tổng ( )2 ( ) (2 )2

1

n− +n + n+ + n+

c) Xét tổng (n−2) (2+ −n 1)2+n2+ +(n 1) (2+ +n 2)2 =5(n2+2) Ta thấy

n không tận 3, nên

2

n + không chia hết cho Do ( ) n +2

khơng số phương

70 Nhận xét

n <

1

n + +n < (n+1)2 với n nguyên dương Số

1

n + +n nằm lọt hai số phương liên tiếp nên khơng phải số phương

71 Biến đổi ( )2 ( )2 ( )2

9n+ =1 n+ =1 3n + =1 2k+1 + =1 4k +4k+2 không chia hết cho

72 a) Số phương tận bình phương số tận hay 9, tức bình phương số có dạng 10a±1

Xét ( )2 ( )

10a±1 =100a ±20a+ =1 10 10a ±2a +1 Ta thấy

10a ±2a số hàng chục số phương Đó số cawhnx Vậy chữ số hàng chục số phương có tận chữ số chẵn

b) Cách 1: Xét (10a±2)2

Cách 2: Số phương tận chẵn chia hết cho Giả sử chữ số hàng chục số phương số lẻ số phương tận 14, 34, 54, 74 94 không chia hết cho Vậy chữ số hàng chục số phương chữ số chẵn

73 Biết chữ số hàng chục số phương Nếu số phương chẵn tận 32, 36 (để chia hết cho 4) Nếu số phương lẻ tận 33, 37 (để chia cho dư 1) Nhưng số phương khơng tận 2, 3, Vậy số phương tận 36

74 3 ( ) ( ) ( )( ) ( )

2n +3n + =n 2n −2n+3n =2n n − +1 3n n+ =1 2n n−1 n+ +1 3n n+1 chia hết cho hạng tử chia hết cho

75 3 3 ( ) ( )

a b−ab =a b−ab−ab +ab=b a −a −a b −b Các số

a −a

(91)

76 a) Gọi số nguyên a b Xét hiệu ( 3) ( ) ( ) ( )

a +b − a+b = a −a + b −b chia hết cho Do a b+ chia hết cho 3

a +b chia hết cho a b+ chia hết cho

b) Xết hiệu ( 3 3) ( )

a +b +c − a b c+ + chứng minh hiệu chia hết cho

77 Nếu 3

a −b chia hết cho ( )( 2)

a b− a +ab b+ chia hết cho Nhưng a b số lẻ

nên 2

, ,

a ab b số lẻ, 2

a +ab b+ số lẻ Vậy a b− chia hết cho

78 Ta có 2 ( )2

3

a +ab b+ = a b− + ab Nếu 2

a +ab b+ chia hết cho chia hết cho 3, nên (a−b)2 chia hết cho 3, suy a b− chia hết cho (vì số ngun tố) Do (a−b)2 chia hết cho

Theo giả thiết (a b− )2+3ab chia hết cho Suy 3ab chia hết cho 9, ab chia hết cho Do số nguyên tố nên hai thừa số a b, tồn thừa số chia hết cho chẳng hạn a chia hết cho Nhưng a b− chia hết b chia hết cho Vậy ab chia hết cho

79 Cách Gọi ba số nguyên liên tiếp n−1, ,n n+1 Ta có:

( )3 3 ( )3 3 3 ( 3 )

1 3 3

n− +n + n+ = n + n= n − n+ n+ n= n − +n n chia hết cho

Cách Cũng biến đổi ( )

3n +6n=3n n +2 xét trường hợp ,

n= k n= k±

Cách Trong ba số nguyên liên tiếp, có số chia hết cho 3, số chia dư 1, số chia dư Tổng lập phương chúng có dạng ( ) (3 ) (3 )3

3a + 3b+1 + 3c−1 Khai triển, ta thấy tổng chia hết cho

80 ( ) ( )( ) ( )( )( )( )

5 4 1 2

n − n + n=n n − n + =n n − n − =n n+ n− n+ n− , tích năm số nguyên liên tiếp

Trong năm số ngun liên tiếp, có hai bội (trong có bội 4), bội 3, bội Do tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 8.3.5 120= (vì số 8,3,5 nguyên tố đôi một)

81 n3−3n2− + =n n n2( − − − = −3) (n 3) (n 3)(n−1)(n+1)

Thay n=2k+1 (k nguyên)_ ta (2k−2 2) (k k+2) hay 8(k−1 ) (k k+1), chia hết cho 48 (chú ý tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6)

(92)

83 a) Cách 1: Viết biểu thức dạng

( )( )

2

11 39 11 18 21

n + n+ =n + n+ + = +n n+ = A

Ta thấy n+9 n+2 có hiệu nên chúng chia hết cho 7, không chia hết cho

Nếu n+9 n+2cùng chia hết cho (n+9)(n+2) chia hết cho 49, 21 không chia hết cho 49, nên A không chia hết cho 49

Vậy

11 39

n + n+ không chia hết cho 49 với số nguyên n Chú ý: Trong biến đổi trên, ta đưa biểu thức

11 39

n + n+ dạng (n a n b+ )( + +) c

(n a− − + =) (n b) 7,a b+ =11

Như cần chọn a b cho a b− =7,a b+ =11 Do ta chọn a=9,b=2

Cách 2: Chứng minh phản chứng Giả sử có số nguyên n mà

11 39

n + n+ chia hết cho 49

11 39

n + n+ chia hết cho 7,

4

n + n+ hay (n+2)2 chia hết cho Suy n+2 chia hết cho Vậy n=7k−2

Nhưng ( )2 ( )

11 39 11 39 49 49 21

n + n+ = k− + k− + = k + k+ không chia hết cho 49,

Mâu thuẫn Vậy

11 39

n + n+ không chia hết cho 49 với số nguyên n b) Viết

1

n + +n thành (n+2)(n− +1)

84 Xem 43c

85 a) Để chứng tỏ

4

n + hợp số, ta chứng minh

4

n + phân tích tích hai

thừa số lớn Thêm bớt

4n vào biểu thức, ta đực:

( ) ( )2

4

4 2 1

n + = n + n+  n− +  Với n >1, hai thừa số lớn

b) 4 ( 2)( 2)

4 2 2

n + k = n + nk+ k n − nk+ k chứng minh thừa số lớn

86 a) 32

2 +1

b) Dựa vào câu a) chứng minh ( 4)

1+ab b− a +1 chia hết cho 1+ab Do 32

2 +1 chia hết

1 5+ =641

87 Đặt 11 1 n

k

= 99 10 n

n

(93)

Ta có 11 122 2  11 1.10n 2.11 1

n n n n

A= = +

=k.10n +2k =k(10n+2)=k(9k+ +1 2) =3k(3k+1)

Vậy A tích hai sô nguyên liên tiếp 33 n



1

33 34 n−

88 Cũng đặt 11 1 n

k

= ,

Ta có ( ) ( ) 

2

.10n 10n 10n 33

n

k + −k k=k − =k k − =k k = k =  

 

89 Gọi số phải tìm xyz (x y z, , nguyên, 1≤ ≤x 9; 0≤ y z, ≤9 ) Ta có xyz=11(x+ +y z)

100x 10y z 11x 11y 11z

⇒ + + = + +

89x 10z y

⇒ = +

89x zy

⇒ =

Như 89x số không hai chữ số, x= =1, 89, nên z=8,y=9 Số phải tìm 198 Thử lại 198 11 8= ( + + )

90 Gọi số phải tìm xxyy ( x, y nguyên, 1≤ ≤x 9, 0≤ ≤y Ta có xxyy=aa .bb cc

1100x 11y 11 11 11a b c

⇒ + =

100x y 121abc

⇒ + =

0 121

x y abc

⇒ =

Như x y0 chia hết cho 121 Các bội 121 có ba chữ số

121, 242, 363, 484, 605, 726,847, 968 có số 605 có chữ số hàng chục Vậy 605

(94)

91 a) Ta cần viết tích (n+1)(n+2)(n+3 2) ( )n thành tích có n thừa số Viết tích thành:

( ) ( ) ( )

1.2.3 2.4.6

1.3.5

1.2.3 1.2.3

n n

n

n = −  n

Biểu thức 2.4.6 2( )

1.2.3

n

n rút gọn thành

(1.2.3 ).2 1.2.3

n n

n

n =

Như (n+1)(n+2)(n+3 2) ( )n chia hết cho 2n

Chú ý: cịn nói tích chứa n thừa số biểu thức dấu móc tích số lẻ nên không chứa thừa số

b) Viết tích (n+1)(n+2)(n+3 2) ( )n dang

( ) ( ) ( ) ( )

1.2.3 3.6.9

1.4.7 2.5.8

1.2.3 1.2.3

n n

n = +    +  n

92 8.16n− =8 16( n−1) chai hết cho 8.15 120=

93 2

4

100 01 10 n 100 n n

+ +

+

= + = +

 chia hết cho 100 1+ (hằng đẳng thức 9) nên hợp số

94 16n −1 chia hết cho 15 (hằng đẳng thức 8) 16n− =1 16n+ −1

không chia hết cho 17, 16n+1

chia hết cho 17

95 13 ( )13

48 = 49 1− =bs7 1− Vậy 13

48 chia cho dư

96 a) Với x, ta có ( )4 10

0

3x−2 =c x +c x + + c cho x=1 210 = + + +c0 c1 c9

Vậy tổng hệu số 1024

97 Nếu n=3k

2n − =1 k− =1 8k−1 chia hết cho

Nếu n=3k+1 ( )

2n− =1 k+ − =1 2 k− +1 không chia hết cho

Nếu n=3k+2 ( )

2n− =1 k+ − =1 k− +1 không chia hết cho Vậy 2n−1 chia hết cho n bội

98 Lũy thừa sát với số bội số 100

7 =2401

Do 1990 4 ( ) ( )

7 =7 k+ =49.7 k =49 2400 1+ k =49 bs100 1+ =bs100+49 Vậy 1990

(95)

Chương II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

99 x±1

100 a) Tử ( )( )

1

a − +a a − −a , mẫu ( )( )

1

a + −a a − −a

Phân thức

2 1 a a a a + −

+ + , điều kiện

1

a − − ≠a

b) Tử (a b b c a c− )( − )( − ), Mâu thuẫn ( 2)( 2)( 2)

a −b b −c a −c

Phân thức

(a b b c+ )( 1+ )(a+c) với a b c, , khác

c) Với x <0 x−1 <0 nên x− = −1 x x, = −x

Do 2 ( )( )

1 1

3 3 1 3

x x x x x x x

x x x x x x x x

− + + = − − + = − =

− + − − + − − −

d) ta có ( )

( )

2

10

2 5

8

16 40 3

5 10

8 24

3

a

a a b

a ab b

a

a ab a a b

b

− −

−

− = = = =

− − − −

101 Từ 2 ( )2

4a +b =5ab⇒ 2a+b =9ab (2a b− )2 =ab

( )

( )( )

2

4 2

a b

ab a b

M M

a b a b a b a b

− −

= = = ⇒ =

− − + + nên

1

M = M >0

102 a) Không nên quy đồng mẫu tất cá phân thức Nên cộng hai phân thức đầu, cộng

tiếp vào phân thức thứ ba, …Cuối ta

15

16 16

16a a −b

b) Mẫu phân thức Tách phân thức thành hiệu hai phân thức

Đáp số: 1 ( )

5

a−a+ =a a+

103 a) Cộng ba phân thức cuối, ta 4 2 4 ( 1)2

4

b a a ab b a

b b + − + − = − − Thay a b a =

+ vào biểu thức ta có

4 4 a a b − = −

(96)

( điều kiện b≠ ±2 thay

3

a≠ − a≠ −2 )

b) Rút gọn N ( )

2

1

a x ax

+ +

thay 1

x a

=

− vào biểu thức, ta ( )

3

2

a N

a

=

− , điều

kiện a≠0,a≠1

(Khi điều kiện x≠ + ≠,a x 0,a+ ≠x thỏa mãn)

104 Áp dụng đẳng thức

( )( )

3 3 2

3

a +b + −c abc= a+ +b c a +b +c −ab bc− −ca (xem 41a) Theo đề

3 3

3

a + + −b c abc nên a b c+ + =0 2

0

a +b + −c ab bc ca− − = a) Nếu a b c+ + =0 P a b b c a c c a b

b c c b c a

+ + + − − −

= = = −

b) Nếu 2

0

a +b + −c ab bc ca− − = a= =b c (xem 25) Khi P= +( )( )( )1 1 1 1+ + =8

Vậy P= −1 P=8

105 103

4 2

x

x x x x x

− = − +

− + −

106

( )( )

1

x x x x x− x − +x = − − − +

107 Từ 1 1

a+ + =b c a b c+ + suy

1

bc ac ab

abc a b c

+ + =

+ +

Do (a b c ab bc ca+ + )( + + )−abc=0 ( )1

Để chứng tỏ ba số a b c, , có hai số đối nhau, ta chứng minh

(a b b c c a+ )( + )( + )=0 Hãy phân tích vế trái ( )1 thành nhân tử

108 a) Để chứng tỏ ba số a b c, , có số tổng hai số kia, ta chứng minh:

(a b c a c b b c a+ − )( + − )( + − )=0

Từ giả thiết, ta có ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)

(97)

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

2 2

a +b − +c ab c+ b +c −a − bc a+ c +a −b − ac b=

(a b c a b c c+ + )( + − ) (+ − +b c a b c a a)( − − ) (+ − +c a b c a b b)( − − ) =0 Đặt a b c+ − làm nhân tử chung vế trái, ta được:

( )( 2 2)

2

a+ −b c c −a + ab b− =

(a b c c a b c a b+ − )( + − )( − + =) Suy điều phải chứng minh

b) Trường hợp a b c+ − =0 phân thức đầu −1, hai phân thức sau Tương tự hai trường hợp lại

109 Nhân hai vế đẳng thức với

1

x + +x ý

( )( )

1 1

x + +x x − + =x x +x +

110 Đặt x y z k

a = = = ≠b c x=ak y, =bk z, =ck Do đó:

( )( )

( )

( )( )

( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

ax

x y z a b c a k b k c k a b c

by cz a k b k c k

+ + + + + + + +

=

+ + + +

( )

2

2 2

2

2 2

k a b c k a b c

+ +

= =

+ +

111 Đặt x y z k

a = = =b c x=ak y, =bk z, =ck

Khi 2 2( )

xy+ +xz yz=abk +ack +bck =k ab ac bc+ + ( )4 Từ ( )1 ta có (a+ +b c)2 =1 hay 2

2 2

a +b + +c ab+ ac+ bc=

Do ( )2 nên 2ab+2ac+2bc=0 tức Thay vào ( )4 xy+xz+yz=0

112 Đế ba phân thức có mẫu giống ( chẳng hạn bc b+ +1 ), ta nhân tử mẫu phân thức thứ ba với b, phân thức thứ với c, biến đổi tương tự phân thức thứ ba ý abc=1

113 Đặt 2y 2z x 2z 2x y 2x 2y z k

a b c

+ − = + − = + − =

(98)

4 4 2

2 2

z x y x y z y z x x k

b c a b c a

+ − + − − − +

= = = =

− + −

Tương tự (do hốn vị vịng quanh):

9

;

2 2

y z

k k

c a b a b c

= =

+ − + −

Vậy

2 2 2

x y z

b+ c a− = c+ a b− = a+ b c−

114 Vì đẳng thức với x y, nên cho x=1,y=0 x=0,y=1 vào đẳng thức

115 Từ đẳng thức cho, ta có:

2 2 2

x y z x y z a b c a b c

+ +

+ + − =

+ +

2 2 2

2 2 2 2 2 2

x x y y z z a a b c b a b c c a b c

⇒ − + − + − =

+ + + + + +

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1

0

x y z

a a b c b a b c c a b c

     

⇒  − +  − +  − =

+ + + + + +

     

Hãy chứng tỏ dấu ngoặc dương

116 Gọi S diện tích tam giác Ta có , ,

a b c

S S S

a b c

h h h

= = = ,

Nên

( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1

2

a b c

a b c a b c

a b c

h h h a b c

a b c a b c h h h h h h

a b c S S h h h

  + + + +     + +  + + = + +  = + + = + +  + +       

117 Biến đổi:

4

3

2 5

2 n n n n n − + = + − −

Muốn biểu thức có giá trị ngun n−2 phải ước Đáp số: 1;3;

118 Xét ( )

( )

2

1

2 2

n

n n

n n n n n n

+

+ +

+ = =

+ + +

Đáp số: 2( 1)

2

n n

+

119 Xét ( )( )

( )

2

1

2

1

3 3

n n n n

n n n n n n

+ +

+ = =

(99)

Đáp số: 3( 1) n n + +

120 Nhận xét

( )( )

1

2n−1−2n+1= 2n−1 2n+1

Đặt 1 ( )(1 )

1.3+3.5+5.7+ + 2n−1 2n+1 =S, trước hết tính 2S, Được

2

n n+

121 Cần tách phân số vế trái thành hiệu hai phân số để làm xuất biểu thức số hạng đối Đó hiệu hai phân số nào? Ta xét hiệu:

1 1

, , ;

1.2−2.3 2.3−3.4 tổng quát ( ) ( )

1

k k− −k k+ Gọi vế trái đẳng thức phải chứng minh S Do

( 1) ( 1) ( 1) (2 1)

k k− −k k+ = k− k k+ nên

( ) ( )

2 2

2

1.2.3 2.3.4 3.4.5 1

S

n n n

= + + + +

− +

( ) ( )

1 1 1 1

1.2 2.3 2.3 3.4 4.5 n n n n

= − + − + + + −

− +

( ) ( ) ( ()( ) )

2 1 2

1

2 2

n n n n

n n n n n n

− +

+ −

= − = =

+ + +

Vậy ( )( )

( ) n n S n n − + = +

122 Mệnh đề với n=1 10 1− − chia hết cho 27 Giả sử mệnh đề với n=k, tức 10k

k

− − chia hết cho 27 Ta có:

( ) ( )

1

10k+ −9 k+ − =1 10.10k−9k−10=10 10k−9k− +1 81k chai hết cho 27 Vậy 10n−9n−1 chia hết cho 27 với số tự nhiên n≥1

Cách khác: 10n−9n− =1 10n− −1 9n

 

99 9 11

n n

n  n

= − =  − 

  Sau chứng minh 

11 n

n

(100)

(Chú ý n số có tổng chữ số n có số dư phép chia cho )

123 Đẳng thức với n=1 1.2 1.2.3

=

Giả sử đẳng thức với n=k, tức là:

( ) ( 1)( 2)

1.2 2.3

3

k

k k k

S = + + +k k+ = + +

Ta có Sk+1 =Sk + +(k 1)(k+2)

( 1)( 2) ( )( )1

3

k k k

k k

+ +

= + + +

( 1)( 1) ( 1)( 2)( 3)

3

k k k k

k k   + + +

= + +  + =

 

Cách khác: S=1.2 2.3 3.4 + + + +n n( +1)

Với mục đích làm xuất biểu thức số đối nhau, ta nhân hai vế đẳng thức với 3, thừa số vế phải viết dạng hiệu

( ) ( )

3 0, 1,5 2, ,− − − n− − −2 n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3S =1 0. − +2 1. − +3 2. − + + n n+1  n+2 − n−1  =1 3 . +2 3 5 . − . + . −2 4 . + + n n( +1)(n+2) (− n−1) (n n+1) =n n( +1)(n+2).

Vậy ( 1)( 2)

3

n n n

S = + + .

124 Sk+1=Sk +(k +1 3) ( k + −1) 1 =k2(k + +1) (k +1 3)( k +2)

=(k +1)(k2 +3k +2) =(k +1) (2 k +2).

125 Giải tương tự

(101)

Bài 91a Mệnh đề với n=1 1+ chia hết cho 21 Giả sử mệnh đề với n=k tức (k +1)(k +2) ( ) 2k chia hết cho 2k Ta chứng minh mệnh đề với n= +k 1,

tức (k +2)(k +3) 2(k +1) chia hết cho 2k+1

Xét (k +2)(k+3) ( )( 2k 2k +1 2) ( k +1)=2(k +1)(k +2) ( )( 2k 2k +1) chia hết cho 2 2. k =2k+1. Vậy mệnh đề với số tự nhiên n≥1.

Chương III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

127 a) Thay x=2 vào phương trình 15(m+6)−20=80 2 3

m=

b) m=3.

128 Nếu nhân hai vế phương trình với mẫu chung theo thứ tự bước giải phương trình phức tạp Ta thấy cộng vào phân thức phân thức có tử

1 1

65 63 61 59

x+ x+ x+ x+

 + +  + =  + +  + 

       

       

66 66 66 66

65 63 61 59

x+ x+ x+ x+

⇔ + = +

( ) 1 1

66

65 63 61 59

x   .

⇔ +  + − − =

 

Rõ ràng biểu thức dấu ngoặc thứ hai khác Do x+66=0. Phương trình có nghiệm x = −66.

129 Viết phương trình có dạng:

315 313 311 309

1 1

101 103 105 107

x x x x

.

− − − −

 + +  + +  + +  + =

       

       

Đáp số x=416.

130 Nếu a≠ ±2 phương trình có nghiệm

x .

a

=

+

(102)

131 Điều kiện a≠ ±4 Sau biến đổi được: (2a−1)x=4 2( a−1).

Nếu

2

a≠ x =4

Nếu

2

a= phương trình nghiệm với x

132

4

x= với a≠ ±1.

133 x =0 với a≠ ±b.

134 Trừ vào phân thức vế trái, trừ vào vế phải, ta được:

( ) 1

x a b c .

a b c

 

− − −  + + =

 

Nếu 1 1 1 0,

a + + ≠b c phương trình có nghiệm x= + +a b c.

Nếu 1 1 1 0,

a + + =b c phương trình có nghiệm với x

135 a) 4 5 3

; −

b) a≠0, phương trình có hai nghiệm 2

3

−

2a.

Nếu a=0, phương trình có nghiệm

3.

−

136 a) (x−1)(x−2)2 =0. Nghiệm b) Nếu a≠0, phương trình có nghiệm

a,

2 3.

± Nếu a=0, phương trình có nghiệm

3.

±

(103)

( )3 3

0

a +b − a+b =

( ) ( )

3 3

3 0

a b a b ab a b ab a b .

⇔ + − − − + = ⇔ + =

Xét x− =1 0; x+ =2 0 2; x+ =1 0, phương trình có ba nghiệm 1; 2− ;

2.

−

137 a) Đặt ẩn phụ y= x2 + x.ta y2 +4y−12=0, nên y1= −6, y2 =2. Với y = −6 x2 + + =x 6 0, vô nghiệm

Với y=2 x2 + − =x 2 0 có hai nghiệm 2− 1.

b) Nên nhân đa thức vế trái cách hợp lý làm xuất biểu thức chứa ẩn nhau, từ mà đặt ẩn phụ

Biến đổi phương trình thành (x2 +x)(x2 + −x 2)=24. Đặt

1

x + − =x y ta (y+1)(y− =1) 24.Do y = ±5.

Với y=5 ta có x2 + − =x 1 5 hay x2 + − =x 6 0 Suy x1 = −3; x2 =2. Với y = −5 ta có x2 + − = −x 1 5 hay x2 + + =x 4 0, vô nghiệm

c) (x2 −9x+14)(x2 −9x+20)=72. Đặt x2 −9x+17= y ta y = ±9 Do x1 =1; x2 =8.

d) −8.

e) Nhân hai vế phương trình với với 12 (6x+7) (2 6x+8 6)( x+6)=72. Đặt 6x+ =7 y, y = ±3. Nghiệm

3

−

3.

−

138 a) Thêm 16x2 vào hai vế ta được:

( 2 )2 ( )2

4 4 1

x + = x+

( )( )

4 4

x x x x .

⇔ + + + + − − =

(104)

b) (x2 −4x) (2 +2 x2 −4x+4)=43.

Đặt ( )

4

x − x+ = y y≥ y1=9; y2 = −3 (loại) Do x1 =5,x2 = −1.

c) d) Vô nghiệm

e)

2

;− −; .

139 a) Thay x=1 vào phương trình ta −4m2 +4m=0, tức m2 − =m 0 nên m=0 m=1.

b) Thay m2− =m 0 vào phương trình ban đầu, x3−7x+ =6 0. Phương trình có ba

nghiệm: ; 2; -3

140 Nghiệm phương trình, có, phải thỏa mãn điều kiện x≠0 ( x2 + +x 1,

2

1

x − +x , x4 +x2 +1luôn dương)

Chú ý (x2 + +x 1)(x2 − + =x 1) x4 +x2 +1 Sau biến đổi ta 2x=3. Vậy

2

x= nghiệm phương trình

141 Sau biến đổi ta x2−3x+ =2 0. Phương trình có nghiệm x=1 ( giá trị x=2 bị loại)

142 x =2 với điều kiện b≠0,a+ ≠b 0.

143 Nếu a=0, phương trình có nghiệm với x, trừ x=0 x= −10. Nếu a≠0, phương trình vơ nghiệm

144 Điều kiện nghiệm, có x≠a,x≠3. Sau biến đổi ta được: 2(a+3) (x= a+3)2. (1) a) Nếu a≠ −3

2

a

x= + . Giá trị nghiệm phương trình 3

2

a a

a;

+ ≠ + ≠

tức a≠3.

(105)

Kết luận:

Nếu a≠ ±3, phương trình có nghiệm

2

a x= + .

Nếu a= −3, phương trình nghiệm với x trừ x=3,x= −3. Nếu a=3, phương trình vơ nghiệm

145 Điều kiện nghiệm, có, x≠ ±1. Viết phương trình dạng:

2

1

1 1

x x a x a

x x

− + = −

− −

⇔

1

x−a x+ =a

( 2) ( )

1 a x a.

⇔ − = −

Nếu a≠ ±1 1 1

x .

a =

+ Giá trị nghiệm

1

1+a ≠ ± , tức a≠0,a≠ −2

Nếu a=1, phương trình (1) có dạng 0x=0, trình nghiệm với x ≠ ±1. Nếu a= −1, phương trình (1) có dạng 0x=2,vơ nghiệm

Vậy muốn phương trình cho có nghiệm a≠ ±1, a≠0,a≠ −2

146 Gọi x kết số sau thay đổi Ta có phương trình:

( 2) ( 2) 45

x

x− + x+ + + x= . Ta x=10. Các số ban đầu 8 12 20; ; ; .

147 Gọi số phải tìm abcde=x Ta có

( )

1 31

10 100000 42857

abcde abcde

x x

x .

=

⇔ + = +

⇔ =

148 Gọi vận tốc dự định AB x ( km/h) Ta có phương trình:

30 30 60

10 .

x+ + x− = x

(106)

149 5 10

150 a) Gọi thời gian nước chảy vào từ lú bể cạn đến lúc mức nước ngang chỗ đặt vòi chảy x

Trong vòi chảy vào được: 1 2 1 5, = 3 bể

Trong vòi chảy được: 2 2 1 3: =3 bể

Nếu mở hai vòi, lượng nước chảy vào bể được: 2 1 1 3 − =3 3 bể

Trong x đầu, có vịi chảy vào làm việc nên lượng nước chảy vào bể là: 2 3x bể Trong 42 phút – x ( tức 2, – x ) lại, hai vòi làm việc nên lượng nước chảy vào bể là: 1(2 7 )

3 , −x

Ta có phương trình: 2 1(2 7 ) 1 3x+3 , −x = . Do x=0 3,

Thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc mực nước ngang chỗ đặt vòi chảy 0 3, b) Theo đề bài, riêng vòi chảy vào làm việc 1, mực nước cao 2m Vậy riêng vịi chảy vào làm việc 0, mực nước cao: 2 0 3 0 4

1 5

m ,

, m.

, =

Khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể 0, 4m

(107)

Chương IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

152 Xét hiệu

( 2) ( 2) ( )2

2 2 2 2

2

0

2 2 4 4 4

a b a ab b a b

a b a b a ab b

.

+ − + + −

+ − +  = = − + = ≥

 

 

153 Xét hiệu (a10 +b10)(a2+b2) (− a8+b8)(a4 +b4) phân tích thành nhân tử

( ) (2 )

2 2 2

0

a b a −b a +a b +b ≥ .

154 Tử dương

2

2 1 3

1 0

2 4

a + + =a a+  + > ,

 

Mẫu dương

2

2 1 3

1 0

2 4

a − + =a a−  + >

 

155 Ta có a2 +b2 ≥2ab,b2 +c2 ≥2bc,c2 +a2 ≥2ac. Cộng vế bất đẳng thức

156 Cách Xét hiệu hai vế

( ) ( ) (2 ) (2 )2

2 2

3 2 1 1 1

a +b +c + − a+ +b c = a− + b− + −c .

Cách Cộng vế bất đẳng thức

2 2

1 2 1 2 1 2

a + ≥ a, b + ≥ b, c + ≥ c.

157 Xét hiệu 1 b a

a b ab

−

− = mà b− >a 0, ab>0.

158 a) Cách Từ a+ =b suy (a+b)2 =1 hay a2 +2ab+b2 =1 1( ). Từ (a−b)2 ≥0 suy a2 +2ab+b2 ≥0 ( )2

Cộng vế tương ứng ( )1 ( )2 ta có 2(a2 +b2)≥1 nên 2

2

a +b ≥ .

2

a b .

⇔ = =

Cách Đặt

2

a= +x 1

2

(108)

Khi

2

2 1 1 1 1

2

2 2 2 2

a +b = +x + − x = x + ≥ .

   

2

x a b .

⇔ = ⇔ = =

b) Đặt 1 1 1

3 3 3

a= +x, b= + y, c= +z.

Do a+ + =b c 1 nên x+ + =y z 0.

Xét

2 2

2 2 1 1 1

3 3 3

a +b +c = +x + + y + +z .

     

2 2

1 2 1 2 1 2

9 3x x 9 3 y y 9 3z z

= + + + + + + + + +

( ) 2

1 2

3 3 x y z x y z

= + + + + + +

2 2

1 1

3 x y z 3.

= + + + ≥

Xảy đẳng thức 0 1

3

x y z a b c .

⇔ = = = ⇔ = = =

c) Đặt 1 2

1 1

n n

a x , a x , , a x

n n n

= + = + = +

Do a1+a2 + + an =1 nên x1+x2 + + xn =0. Sau giải tương tự câu b)

d) Giải tương tự câu c)

159 Bình phương hai vế a+ >b ( hai vế dương )

Ta 2

2 4

a + ab+b > ( )1

Mặt khác (a−b)2 ≥0 nên a2 −2ab+b2 ≥0. ( )2 Cộng vế tương ứng ( )1 ( )2

160 Nhân tử mẫu x− y

(109)

161 Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với (a+b) (2 < +1 ab )2 Xét hiệu: (1+ab) (2 − a+b)2 = +1 a b2 −a2 −b2 = −(1 a2)(1−b 2) Do a <1, b <1 nên a2 <1, b2 <1, suy

( 2)( 2)

1−a 1−b >0. Vậy (a+b) (2 < +1 ab)2, a+ < +b 1 ab

162 Xét (x−1)(x−3)(x−4)(x−6)+ =9 (x2−7x+6)(x2 −7x+12)+ =9 A. Đặt

7 9

x − x+ = y A=(y−3)(y+3)+ =9 y2 ≥0.

163 4a(a+b a)( +1)(a+ + +b 1) b2 =4(a2 +ab+a a)( +ab+ +a b)+b 2 Đặt

a +ab+ =a m biến đổi biểu thức thành bình phương đa thức

164 Gọi A=x8 −x5 +x2 − +x 1.

Cách Xét x≥1 viết A dạng x5(x3 − +1) x x( − +1) 1. Xét x<1 viết A dạng x8 +x2(1−x3)+ −(1 x )

Cách 2A=2x8 −2x5 −2x2 −2x+ =2 (x4 −x)2 +(x−1)2 +x8+ >1 0.

165 a, b, c độ dài ba cạnh tam giác gợi cho ta bất đẳng thức a+ >b c, c+ >a b, c+ >b a.

Xét hiệu4a b2 −(a2 +b2 −c2)2, phân tích thành nhân tử sử dụng bất đẳng thức

166 Xét hiệu

( )2 ( )2 ( )2 3 3 3

a b−c +b c−a +c a+b −a − −b c

( )2 2 ( )2 2 ( )2 2

a b c a  b c a b  c a b c 

=  − − +  − − +  + − 

(110)

167 a) ( )

2

2 a b 0

a b a b ab

b a ab ab

−

+ −

 + − = = ≥

 

  ab>0.

Xảy đẳng thức ⇔ =a b.

b) Xét (a b c) 1 a b c

 

+ +  + + 

 

1 a a b 1 b c c 1

b c a c a b

= + + + + + + + +

3 a b a c b c .

b a c a c b

     

= + +  + +  + + 

     

Do a, b, c dương nên theo câu a) ta có a b 2

b + ≥a , 2

a c

c + ≥a , 2

b c

. c + ≥b

Do (a b c) 1 9.

a b c

 

+ +  + + ≥

 

Xảy đẳng thức ⇔ =a b, b=c, c= ⇔ = =a a b c.

c) Trong bất đẳng thức (a b c) 1

a b c

 

+ +  + + ≥

  với a, b, c>0( câu b)

thay a= +y z, b= +x z, c= +x y ta được:

( ) 1 1 1

2 x y z 9

y z x z x y

 

+ +  + + ≥

+ + +

 

⇒ ( ) 1 1 1 9

2

x y z

y z x z x y

  + +  + + ≥ + + +   9 2

x y z x y z x y z

y z x z x y

+ + + + + +

⇒ + + ≥

+ + +

9

1 1 1

2

x y z

y z x z x y

⇒ + + + + + ≥

+ + +

3 2

x y z

.

y z x z x y

⇒ + + ≥

+ + +

(111)

168 Cách Đặt 12 12 12 12

2 +3 + 4 + + n = A.

Để chứng minh A<1, ta xét biểu thức trung gian B cho A< <B biểu thức B

có thể rút gọn dễ dàng Ta thấy:

( )

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 <1 3. , < 2 4. , <3 4. , , n < n−1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 2 2 3 3 4 1

n

n n n

−

= − + − + − + + − = <

− ( xem ví dụ 29)

Từ suy điều phải chứng minh

Cách Chọn biểu thức trung gian

2 2

1 1 1 1

2 1 3 1 4 1 1

B

n

= + + + +

− − − − A<B.

Còn

( )( )

1 1 1 1

1 3 2 4 3 5 1 1

B

. . . n n

= + + + +

− +

1 1 1 1

1

2 n n

 

=  − + − + − + + − 

− +

 

1 1 1

1

2 n n

 

=  + + + − − − − 

− −

 

1 1 1

1

2 n n 3. 4.

 

=  + − − < =

+

 

Vậy

4

A< .

169 Nếu họn biểu thức trung gian

( )

1 1 1 1

1 2. +3 4. +5 6. + + 2n−1 2n rút gọn khó

Cách Đặt

( )2

2 2

1 1 1 1

2 4 6 2

A .

n

= + + + +

(112)

( )2

2 2

1 1

2 2 1

B

n

= + + + +

− − − − Dễ thấy A<B,

( )( )

1 1

1.3 3.5 5.7 2

n B

n n n

= + + + + =

− + + ( xem 120)

Vậy

2 2

n n

A

n n

< < =

+

Cách

( )2

2 2

1 1

2 2

A

n

= + + + +

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2. 2 3. 2 .n

= + + + +

2 2

1 1

1

2 n

 

=  + + + + 

 

Theo 168 1 12 12 12 1

2 3 n

+ + + + <

Do 1(1 1)

4

A< + = .

Chú ý: có thể giải 168, 169 phương pháp quy nạp toán học

170 a) Từ a b c 1 1 1

a b c

+ + > + + với a, b, c>0.

Ta có: abc a( + +b c)>bc+ac+ab( )1 .

Xét (a−1)(b−1)(c− =1) abc−ab−bc−ca+ + + −a b c 1

(a b c) (ab bc ca) 0

= + + − + + > (1)

b) Xét (a−1)(b−1)(c−1) dương nên số thừa số âm chẵn, tức số

1 1 1

a− , b− , c− có số dương ba số dương

Trường hợp a−1, b−1, c−1đều dương a>1, b>1, c>1 nên abc>1, trái với giả thiết abc=1 Vậy số a−1, b−1, c−1 có số dương, hai số âm, tức ba số a, b, c có số lớn 1, hai số nhỏ

(113)

( ) ( ) (2 ) (2 )2

3 3

3

2

a +b + −c abc= a+ +b c  a−b + b−c + −c a  b) Ta có:

( ) ( ) ( )

2

4 4

a b ab

b c bc c a ca

+ ≥

Vì hai vế bất đẳng thức không âm nên nhân vế ta

( )( )( ) [ ]2

8

a+b b+c c+a ≥ abc

 

 

Vì biểu thức dấu ngoặc vuông không âm nên

(a+b b)( +c c)( +a)≥8abc.

c) Chú ý (a+ +b c)3 =a3+b3 + +c3 3abc a( +b b)( +c c)( +a) ( xem 41)

172 a) Với x ta có:

( )2 2 2 2

1 0 2 1 0

a x b− ≥ ⇒a x − a b x+b ≥

( )2 2 2 2

2 0 2 2 0

a x−b ≥ ⇒a x − a b x+b ≥

…

( )2 2 2 2

0 2 0

n n n n n n

a x−b ≥ ⇒a x − a b x+b ≥

Cộng vế tương ứng bất đẳng thức ta được:

( 2 2) ( ) ( 2 2)

1 n 1 2 n n n

a +a + + a x − a b +a b + + a b x+ b +b + + b ≥ . Tức Ax2 −2Cx+ ≥B 1( ).

b) Vì ( )1 với x nên thay x C A

= vào ( )1 ta được:

2

2 2 0

C C

A B

A − A + ≥

2

C C

B

A A

(114)

2

C AB C

⇒ + ≥ ( A>0 )

2

AB C

⇒ ≥

Xảy đẳng thức a x1 =b , a x1 2 =b , , a x2 n =bn

Tức

1

n n

b b b

a = a = = a ( quy ước mẫu tử 0)

Chú ý: Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Svac – Bu – nhi – a – cốp – xki Có thể chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp toán học

173 Giả sử 21982 viết hệ thập phân có x chữ số Số nhỏ có x chữ số 10x−1, số nhỏ có x+1 chữ số 10x Do đó: 10x−1<21982 <10x ( )1

Giả sử 51982 có y chữ số Ta có: 10y−1<51982 <10y ( )2

Số 21982,51982 viết liên tiếp tạo thành số có x+ y chữ số Ta cần tìm x+ y Nhân vế (1) (2) ( hai vế dương ta ):

1 1982 1982

10x−.10y− <2 .5 <10 10x. y 2 1982

x y x y.

⇒ + − < < +

Vì x+ y nguyên nên 1982= + −x y 1 Do x+ =y 1983

Vậy viết liên tiếp kết số 21982,51982 ta số có 1983 chữ số

174 Bất đẳng thức với n=5 25 >52

Giả sử 2k >k2 với k ≥5 Ta chứng minh 2k+1>(k +1)2. Xét 2k+1−(k +1)2

( )

( ) ( )

2 2

2

2 2 2 1 2 2 1 2

2 1 1 2 0 5

k k

. k k k k k k

k k k k

= − − − > − − − >

= − − = − − > ≥

b) Bất đẳng thức với n=2 2 13

12 24

(115)

Giả sử bất đẳng thức với n=k tức 13

24

k

S > Ta chứng minh bất đẳng thức với 1

n= +k , tức 1 13

24

k

S + >

Ta có 1 1 1 13

1 2 2 24

k

S .

k k k

= + + + >

+ +

( )

1

1 1 1

2 3 2 1

k

S

k k k

+ = + + + + + +

Do ( )( )

1 1 1 1

0

2 1 2 2 1 2 1 2 1

k k

S S .

k k k k k

+ − = + + + − + = + + >

Suy Sk+1 >S ,k mà 13

24

k

S > . Vậy 1 13

24

k

S + > .

175 a) A=2(x−5)2 + ≥3 3.Do min A= ⇔ =3 x 5. b)

2

3 1 1

2

4 8 8

B= x+  − ≥ − .

  Do

1 3

8 4

min B= − ⇔ = −x .

c)

2

2 9 9

5

5 5 5

C= − x+  + ≤ .

  Do

9 2

5 5

max C= ⇔ = −x .

176 a) Rút gọn ( )

2 2 4 x A . x + =

+ Do min A= ⇔ = −0 x 2.

b)

( )2

2

1 1 1

2 4 2 4 1 3

B

x x x x x

= = − = −

− − − + − +

Ta có (x−1)2 ≥ ⇒0 (x−1)2 + ≥3 3

( )2 ( )2

1 1 1 1

3 3

1 3 1 3

x x ⇒ ≤ ⇒ − ≥ − − + − + 1

min B= − ⇔ =x .

c)

( )

2

3 6 10 1 1

3 3

2 3 2 3 1 2

x x

C

x x x x x

+ +

= = + = +

(116)

3 5 1

max C = , ⇔ = −x .

177 a) Cách

2

4 2 1 2 1

4 4 2

x x

A y y

x x x

− +

= = − + = − + với y 1.

x

=

Ta có A=(y−1)2 + ≥3 3, min A= ⇔ = ⇔ =3 y 1 x 1.

Cách

2

2 2

2

4 2 1 3 2 1 1

3 3

x x x x x x

A .

x x x

− + + − +  − 

= = = +  ≥

 

3 1

min A= ⇔ =x .

b) Cách B 2x2 1 2 12 2y y2

x x x

+

= = + = + với y 1

x

=

( )2

1 1 1

B= y+ − ≥ − , min B= − ⇔ = − ⇔ = −1 y 1 x 1.

Cách ( )

2 2

2

1

2 1 1

1 1

x x

B .

x x x

+ −

+  + 

= = =  − ≥ −

 

1 1

min B= − ⇔ = −x .

c) 3

4

minC = ⇔ =x .

d) 1

4

max D= ⇔ =x .

178 a)

2

2 2

3 14 3( 4) 2

3 3,5

4 4

x x

A

x x x

+ + +

= = = + ≤

+ + +

maxA = 3,5 x = 0⇔

b)

2 2

2 2 ( 1)

1

2

x x x x x

B

x x x

+ + − + − −

= = = − ≤

+ + +

max B =1 ⇔ x =

179 a) minA= ⇔ ≤ ≤3 x

b) B=(x2+5x+6)(x2+5x− =6) (x2+5 )x 2−36≥ −36

1

36 ( 5) 0;

inB x x x x

(117)

c) C=(x2− +x 1)2, Chú ý x2− + >x 0nên ( 1)2min ( 1)min

x − +x ⇔ x − +x ⇔ =x

9

16

min C = ⇔ =x

Chú ý C =(x2− +x 1)2≥0nhưng giá trị C =0không đạt d) D=(x−1)2+(y+2)2 ≥0

minD= ⇔ =0 x 1;y= −2

180 Cộng vế đẳng thức 21x + y = x + z = 51,

Ta 3(x + y + z) + y = 72 Như 3(x + y + z) lớn nhất⇔ 2y nhỏ Vì y≥0 nên 2y nhỏ 0⇔ y = Khi x = 21, z =

( )

3 x + y +z lớn bẳng 72

Vậy x + y +z lớn 24⇔ =x 21,y=0,z=3

181 a) Xét đẳng thức 4xy =(x+y)2− −(x y)2 Nếu x + y = k(hằng số)

2

4xy =k − −(x y)

k

≤ Vậy xy lớn

2

k

khi x = y

b) A = x3(16−x3) Hai số x3 16 – x3 có tổng khơng đổi (bằng 16) nên có giá trị lớn chúng Giải phương trìnhx3 =16−x3, ta 2x =

Vậy với x = A đạt giá trị lớn 64

182 a) Xét đẳng thức (x+ y)2 =(x−y)2+4xy Nếu xy = k (hằng số) (x+ y)2 ≥4k

Vì x, y > nên x + y nhỏ (x+y)2 nhỏ  x = y b)

2

4 1

4

x

B x

x x

+

= = + Với 0x > 4x

x hai số dương, tích chúng 4,

khơng đổi Do tổng chúng nhỏ 4x =

x

2 1

4

x = ⇔ =x (vì

x > )

(118)

2

15 16 16 16

5

3 3 3

x x x x

x x x

+ + = + + = + + 

 

 

Sau lập luận câu b)

Cách 2: Viết biểu thức cho thành

2 2

15 16 16 23 ( 4) 23

3 3

x x x x x x

x x x

+ + = − + + = − +

Vì x > 0nên

2

( 4)

0

x x

− ≥

(xảy đẳng thức 4x = )

Từ giá trị nhỏ biểu thức 23

3 4x = Chú ý: Nếu viết biểu thức thành

2

8 16 ( 4)

3 3

x x x x

x x

+ + + +

= + kết luận giá trị nhỏ biểu thức

3khi x = - 4thì khơng đúng, đề cho x >

183 Áp dụng kết 181, 182

184 Gọi độ dài hai cạnh hình chữ nhật vng góc với mặt tường x (mét), cạnh song song với mặt tường dài 40 2− x(mét)

Tìm giá trị lớn S = x( 2− x)được:

200 10

Max S = ⇔ x =

Hình chữ nhật có diện tích lớn

200m chiều rộng 10m, chiều dài 20m

185 Gọi độ dài phần bị chia x, y, z (cm) diện tích hình vng tương ứng 2

, ,

x y z (cm2)

Ta có: x + y + z 12=

Cần tìm giá tri nhỏ x2 +y2+z2(xem 158d )

186 Gọi số có hai chữ số ab(1≤ ≤a 9;0≤ ≤b 9) Tỉ số số với tổng chữ số bằng:

10 9

1

a b a b a a

k

b

a b a b a b

a

+ + +

= = = + = +

(119)

a) k lớn 

1 b

a

+

lớn  1+ b

a nhỏ  b

a nhỏ nhất b = 0, a ≠0

Vậy k lớn số có hai chữ số 10, 20, 30, … 90 Lúc tỉ số k 10 b) Tương tự trên, k nhỏ b

alớn  b = 9, a =1

Số phải tìm 19, tỉ số k 19 : 9( + )=1,9

187 a)

A x

=

+ với x≠ −2

1 0

2

A

x+

⇔ >

> x≠ −2⇔ x 2> −

b)

2

B x

= −

+ với x≠ −2

B < 0⇔x >2

188 Nếu a > bthì x a b a b

+ >

−

Nếu a < bthì x a b a b

+ <

−

Nếu a = bthì x > 2b, nghiệm với x 0b < , vô nghiệm b≥0

189 Do a> 1nên nhân hai vế bất phương trình với số dương a, ta được:

2

> ax ax > a a (1 ) (1 )

x+a + ⇔ −a x − ⇔ x −a >a −a ⇔ <x a (vì – a < 0)

190 Nhân hai vế bất phương trình với số dương(a−1)(a+1) Đáp số 1x >

191 Điều kiện để bất phương trình có nghĩa a≠0

Ở không nên nhân hai vế bất phương trình với a phải xét hai trường hợp

a > a < Nên viết bất phương trình cho thành:

1

(a 1)x x (a 2)x

a a a

+ + − > ⇔ + >

Nếu a<2thì

( 2)

x a a

(120)

Nếu a > (a≠0)thì

( 2)

x a a

< +

Nếu 2a = bất phương trình nghiệm với x

192 a) 3< <x 4; b) x>5

193 a) Giải bất phương trình 12

x

+

≤ − < với x số nguyên, ta được:

9 x

− < ≤

x∈ Ζ, x=0 b) 1x =

c) Giải bất phương trình (2 1) (1)

5

x

+

≤ − − < với 1x − ∈ Ζ (2)

Nghiệm (1)

7< ≤x Từ

5

2

7 x

− < − ≤

Do (2 ) nên 2x− =1 Vậy

x=

194 x= −2

195 Cách 1: hai số có giá trị tuyệt đối chúng đối Xét hai trường hợp:

3

x+ = −x, 1x =

3

x+ = −x , vơ nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm 1x =

Cách 2: Vì hai vế khơng âm nên bình phương hai vế ta được:

2

6 25 10 16 16

x + x+ = − x+x ⇔ x= ⇔ =x

196

x= −

197 1 1; 2

2

x = − x =

198 x=2

(121)

b) Giải− <x 2x− <3 x, < <x

201 a) Giải 2x− >3 2x− < −3 Đáp số 4; 1x > x < b) x> 7;

3

x<

202

x<

203 x< 0; x <

204 4≤ ≤x

205 5− ≤ ≤x

206 Đưa dạng 12

x x

+ ≤

+ Đáp số: 12− ≤ < −x

207 x<4; x >

PHẦN ĐỀ THI

208 P=7343: 7216 =7127 =74.31 3+ =74k+3(k=31)=(7 ) 74 k 3mà 74 = 2401nên ( )74 ktận Còn 73 = 343tận Do P có tận

209 Cách 1:

2 2 2 2 2

(2 ) ( ) ( ) ( )( )

z + y x−y −x =z + xy−y −x =z − x − xy+ y = z − −x y = + −z x y z− +x y

Do biểu thức chia hết cho – x y + z

Cách 2: z2+y(2x−y)−x2 = z2+2xy−y2−x2 −

2 2

2

z + xy−y −x x – y + z

2

z +xz−yz z + y − x

−

2

2xy−y −x −xz+yz

2

xy−y +yz

−

2

xy−x +xz

2

xy−x +xz

Do biểu thức 2

(2 )

(122)

210 Chia đa thức

x +ax +bx+ccho (x−3)3được thương 9x + dư

2

ax +54x +bx−216x+243+c

Muốn cho đa thức x4+ax2+bx+c chia hết cho (x−3)3thì số dư phỉ 0, tức

( 54) ( 216) 243

x a+ +x b− + + =c với x Từ suy 54

a + = hay 54a = −

216

b − = hay b = 216

243 + c = 0hay 243c = −

211 Thực phép chia:

− x33−3x22−3x−1 x2+ +x

x +x +x x −

−

2

4x 4x

− − −

2

4x 4x

− − −

Suy giá trị

3

x − x − x− chia hết cho giá trị

1

x + +x , chia hết cho

2

1

x + +x Do đó: x2+ +x 1= 3± x2+ +x 1= 1± Biến đổi

1

x + +x =

2 x  +  +  

  , suy

2

1

x + + >x với x Vậy loại trường hợp

1

x + +x =−3

1

x + +x = −1 a) Từ

1

x + + =x , suy

2

x + − =x Do x2+ − =x (x−1)(x+2)=0 Vậy x = 2.x = −

b) Từ

1

x + + =x , suy x2+x=0⇔ x(x+1)=0 Vậy 0x = 1x = c) Trả lời có giá trị nguyên x: 1; 0; 2x = ± x = x = −

212

8 14 15

a + a + a − a−

4 2

2 2

2

8 16 16

( 16 ) ( 16) ( 1)

( ) ( 4) ( 1)

( 4) ( 4) ( 1)

( 4) ( 1) ( 1)

( 1) ( 4)

( 1)( 1)( 3)( 5)

a a a a a a

a a a a

a a a a

a a a

a a

a a a a

(123)

213 Trước hết phân tích đa thức cho thành nhân tử:

( )2

2 2

2

3 1 ( 1)( 1)

( 2)( )

( 2)( 1)( 3)

( 1)( 2)( 3)

a a a a a a

a a a a

a a a a

+ + − = + + + + + −

= + + +

Như đa thức cho tích bốn số tự nhiên liên tiếp Ta biết rằng:

a) Trong ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho 3, đa thức cho chia hết cho

b) Trong bốn số tự nhiên liên tiếp có hai số chẵn liên tiếp nên hai số chia hết cho số lại chia hết cho 4, đa thức cho chia hết cho c) Nhưng (3, 8)=1 nên tích bốn số ự nhiên liên tiếp ln ln chia hết cho 24,

( )2

2

3 1

a + a+ − chia hết cho 24

214.Gọi hai số l p + 2q+1với p, q hai số nguyên Ta phải chứng minh (2p+1)2−(2q+1)2chia hết cho

Thực vậy:

( )2 2 2 2

2p+1 −(2q+1) =4p +4p+ −1 4q −4q−1=4 (p p+ −1) (q q+1)

( 1)

p p+ q q( +1)là tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Vậy 4p p( +1)và 4q q( +1)chia hết cho biểu thức cho chia hết cho

215.Ta có: 10n 99 9

n chữ số

− =

Vậy 10n 18 99 9 9.2

n chữ số

n n

+ − = +



9.( 11 )

n chữ số

n

= +

Tích chia hết cho thừa số cần chứng minh tổng ngoặc chia hết cho Biến đổi tổng ngoặc:

 

11 11

n chữ số n chữ số

n n n

(124)

Số n số có tổng chữ số n có số dư phép chia cho (theo dấu hiệu chia hết cho 3) nên 11 1

n chữ số

n

− chia hết cho Vậy 10 18 1n+ n− chia hết cho 27

216.Bằng cách thêm, bớt hạng tử có:

4 2 2

2

4 4 ( 2) (2 )

( 2)( 2)

( 1) ( 1)

m a a a a a

a a a a

a a

= + + − = + −

= + + − +

   

= + +   − + 

Giá trị nhỏ thừa số th 1a = − , giá trị nhỏ thừa số thứ hai 1a = Còn tất trường hợp khác tích lớn

Vậy ta nói ngồi trường hợp 1a = 1a = − (khi m=5) m phân

tích thành tích hai thừa số lớn 1, m số nguyên tố

217.25n4+50n3−n2−2n=n(25n3+50n2− −n 2)

2 2

3

( 2)(25 1) ( 2)24 ( 2)( 1)

24 ( 2) ( 1) ( 1)( 2)

n n n n n n n n n

n n n n n n

= + − = + + + −

= + + − + +

Biểu thức cuối có số hạng thứ chia hết cho 24 Cịn số hạng thứ hai tích bốn số nguyên liên tiếp phải chia hết cho =24

Vậy đa thức 25n4+50n3−n2−2n chia hết cho 24

218 Nhóm năm số hạng đặt thừa số chung nhóm:

0 2 5

2 +2 +2 + + n− +2 n− +2 n−

2 5.2

5.( 1)

2 5.2 5( 1)

5 5.2 5( 1)

1 2 2 (1 2 2 ) (1 2 2 )

(1 2 2 )

(1 2 2 )(1 2 )

31.(1 2 )

n

−

− −

= + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + +

= + + + + + + + +

= + + + +

Vậy 20+22+22+ + 25n−3+25n−2+25n−1 chia hết cho 31

219 Trước hết phân tích đa thức cho: a6−b6 =(a2−b2) ( a2−b2 2) +3a b2 2

Vì a b không chia hết cho 3, cho nên:

3 1,

= ± = ±

a p b q

2

3 ’ 1; ’

= + = +

(125)

ta thấy hai thừa số chia hết tích chia hết cho Vậy a b không chia hết cho a6−b6 chia hết cho

220 Trước hết, ta biến đổi đa thức cho:

Dựa vào tính chất chia hết tổng cho số, ta cần chứng minh (a+1 4)( a−1) chia hết cho Đặt A= (a+1 4)( a−1)

- Nếu 2a = kthì A = (2k+1 8)( k−1)Cả hai thừa số A lẻ nên tích lẻ Một số lẻ không chia hết A không chia hết cho

- Nếu 3a = kthì A = (3k+1 12)( k− =1) 36k2+9k−1 Ta thấy 36k2 chia hết cho 6, 9k-1 không chia hết cho Vậy A không chia hết cho

- Nếu a = k +1thì A=(6k+2 24)( k+3)=144k2+66k+6 Các số hạng A chia hết A chia hết cho

- Nếu a = k −1thì A=6k(24k−5) Có thừa số chia hết A chia hết cho

Vậy 4a2+3a+5chỉ chia hết cho a số nguyên không chia hết cho không chia hết cho

221 Giả sử được, ta gọi số lẻ 2a+1và có:

2

2(2a+ =1) b −c =(b+c b)( −c)với b, c số nguyên

Ta thấy 2(2a+1)chia hết cho không chia hết cho (b+c b c)( − ) chia hết cho không chia hết cho (1)

a)

Nếu b c số chẵn (b+c), (b c− )chẵn, (b+c b c)( − )cũng chẵn chia hết cho 4, điều mâu thuẫn với (1)

b) Nếu b chẵn, c lẻ (hoặc ngược lại) (b+c), (b c− )lẻ, (b+c b c)( − )lẻ khơng chia hết cho Điều mâu thuẫn với (1)

c) Nếu b c số lẻ (b+c), (b c− )chẵn (b+c b c)( − )chi hết cho Điều mâu thuẫn với (1)

Vậy hai lần số lẻ khơng thể hiệu bình phương hai số nguyên

222 Giải tương tự 22 Đáp số 8;9;10

223 Giải tương tự 72

(126)

Xétn2 =(10a+5)2 =100a2+100a+25 100 (= a a+ +1) 25

Vậy n2 tận bẳng 25, số trăm số chẵn a(a+1) tích hai số nguyên liên tiếp, nên n2 tận 125

225 Gọi hai số a b, ta có a + b chia hết cho Ta có a3+b3 =(a b a+ )( 2−ab b+ 2)

2

(a b) (a 2ab b ) 3ab

= + ≤ + + − 

2

(a b) ( a b) 3ab

= +  + − 

Chia hết cho

226 a) Đáp số: b) Đáp số:

227 P=(a2+b2)+(c2+d2)−2(ac+bd) ( a2+b2)−(ad+ −bc)2

2 2 2 2 2

(a b ) 2(a b )(ac bd) (c d )(a b ) (ad bc)

= + − + + + + + − −

Biến đổi hai hạng tử cuối thành (ac + bd)2, đó:

2 2 2

( ) ) ( )

P= a +b − ac+bd  = a +b −ac bd−

Biến đổi hai hạng tử cuối thành (ac + bd)2, đó:

228 Ta có: (x + y)3 = x3+ y3+ 3xy x( + y)nên:

1

3

−

= +a xy⇒ xy= a

5 5 3 2 3

2 3 3 2

2 3 2

( ) ( ) )( )

( )( ) ( )

+ = + + + − −

= + + + − +

= + + − +

x y x y x y x y x y x y

x x y y x y x y x y

x y x y x y x y

Do

2

( )

3

−

 

 

= + −  −  

 

a

b x y xy a

2

2(1 )

1

3

− −

   

= −  −  

   

a a

a

Rút gọn biểu thức điều phải chứng minh

(127)

A chia hết cho 49 n+5 n-2 chia hết cho  n =7k+2(1)

Đặt

37 ( 4)( 3) 49

B=n + +n = n+ n− +

B chia hết cho 49  n + 4và n − 3chia hết cho  n = m +3(2)

Từ (1) (2) suy A, B không đồng thời chia hết cho 49, khơng tồn số tự nhiên n để A B chia hết cho 49

Đặt A, A chia hết cho 49 n+5 n-2 chia hết cho  (1)

231 Cách 1: Nếu lấy mẫu chia cho tử lần Vậy 199

99 95=5

Cách 2: 19 = 20 – = 2.10 1−

199=200 1− =2.10 −1 199 9=2.10n−1

2 1

95 100 10= − = − =5 10+ −5

3

995 1000 10= − = − =5 10 + −5 …

1 99 95 10= n+ −5

Vậy 1

1 10

199 2.10

1

99 95 10 5

10 10

+

 − 

 

−  

= = =

−  − 

 

 

n n

n

232 Trước hết phân tích tử mẫu thành nhân tử:

3

4 4

− − + = − − +

a a a a a a

2

( 1) 4( 1)

( 1)( 4)

( 1)( 1)( 4)

= − − −

= − −

= − + −

a a a

a a

a a a

3 3

7 14 14

a − a + a− =a − − a + a

2

(a 2)(a 2a 4) (a a 2)

= − + + − −

2

(a 2)(a 2a )a

(128)

2

(a 2)(a 5a 4)

= − − +

(a 2)(a 1)(a 4)

= − − −

Vậy:

3

4 ( 1)( 1)( 4)

7 14 ( 2)( 1)( 4)

− − + = − + − = +

− + − − − − −

a a a a a a a

Tính số trị:

1 102 103

1, 03

2 102 100

+ +

= = =

− −

a a

233 Theo tính chất phân thức ta có:

2 2

1981 1980 1981 1980 1981 1980 1981 1980 1981 1980

1981 1980 1981 1980 1980 1981 (1981 1980) 1981 2.1981.1980 1980

− = − + = − = −

+ + + + + +

Vậy

2 2

1981 1980 1981 1980 1981 1980

1981 1980 1981 2.1981.1980 1980 1981 1980

− = − < −

+ + + +

Từ tốn có thẻ tốn tổng quát sau: Số lớn hơn: −

+

x y x yhay

2

− +

x y

x y với x > y > 0?

234

1979 1979 1979

1980 1980 1979 1980

10 (10 0,1) 0,9 (10 0,1) 0,9 0,9

10 10 10(10 0,1) 10 10

+ + + + +

= = = +

+ + + +

Còn

1980 1980 1980

1981 1981 1980 1981

10 (10 0,1) 0,9 (10 0,1) 0,9 0,9

10 10 0,1.10 10(10 0,1) 10 10

+ + + + +

= = = +

+ + + +

Bằng cách so sánh hai phân số có tử ta có: 1979 1980 10 10 + + > 1980 1981 10 10 + +

Từ tốn trên, ta toán tổng quát sau: Số lớn hơn: 10 1

10 +

+ +

n

n hay

1 10 10 + + + + n

n với n số tự nhiên?

235 2a2+2b2 =5ab, suy 2a2−5ab+2b2 =0suy (2a−b a)( −2b)=0(1) Vì b> a > nên a≠2b Để thảo mãn (1) 2b = a

Vậy 3

2

a b a a a

+ = + = = −

− − −

(129)

2 2

2 2 ( ) ( ) (1)

2 2 ( ) ( ) (2)

= + − − + = − + −

a c ab ac bc a a c b a c

b c ab ac bc b b c b b c

Từ (1) (2), suy vế trái đẳng thức phải chứng minh có dạng:

2 2

2

( ) ( ) ( ) ( )

2( ) ( ) 2( )( )

a a c a c b a c a c

b b c b c a b c b c

a c b a c a c a c b a c

b c a b c b c b c a b c

+ − = − + − + −

+ − − + − + −

− + − − − + −

= = =

− + − − − + −

Vậy đẳng thức chứng minh

237

2 2 2 2

( )(1 ) 1

+ + + + = + + + + +

− − + + − − + + +

x a a a x x x a a a a x

2 2 2

( 1) ( 1) ( 1)( 1)

+ + + + + + + + + +

= = =

− + + − + + − + − +

x a a a a x a a a a

x a a a a x a a a a x

2 + 1

0

≠

Điều chứng tỏ phân thức cho không phụ thuộc vào x Xét mẫu

2

1

2

 

− + = −  +

 

a a a phân thức

2 1 + + − + a a a a Hay

2 2

( )(1 )

+ + + +

− − + +

x a a a x

x a a a x có nghĩa với x a

238 Cộng vế tương ứng (1), (2), (3) được:

( )

x + y + z = by + cz+ ax + cz + ax + by = ax + by + cz

Thay ax +by = zvào vế phải đẳng thức ta được:

( ) ( )

2

x + y +z = z +cz = z +c Suy

1

z c = x y z

+ + +

Tương tự được:

1

x a = x y z

+ + +

1

y b = x y z

+ + +

(130)

1 1 2( )

1 1

x y z

a b c x y z

+ +

+ + = =

+ + + + +

239 Phân tích thành nhân tử:

Mẫu chung (MC) (a − b b)( − c c)( − a)(a + b + c)

Điều kiện a+ + ≠b c 0, a≠ ≠b c

Quy đồng mãu phân thức được:

c a a b b c

MC MC MC

− + − + − =

240 Gọi năm số nguyên liên tiếp x−2,x−1, ,x x+1,x+2thì

( ) (2 )2 2 ( ) (2 )2

2 1

− + − + = + + +

x x x x x

Sau rút gọn chuyển vế được:

12 ( 12)

− = ⇔ − =

x x x x Suy rax1=0;x2 =12 (như đầu bài)

Vậy ngồi năm số cịn năm số sau có tính chất đầu bài: −2; −1; 0; 1;

241 Nhận xét tất số hạng hai vế, ta cộng mẫu với số trừ tử 1999 Vì vậy, tất số hạng hai vế trừ để tử x−1999 Chuyển số hạng vế trái sang vế phải đặt x−1999 làm nhân tử chung ta được:

( ) 1 1 1

1999

29 27 19 1970 1972 1980

 

−  + + + − − − − 

 

x

Nhân tử thứ hai Vậy x−1999 0= , suy 1999.x =

242 Gọi x số người tổ (x ngun dương) Ta có phương trình:

2

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

a ac b bc a a c b b c

a a b c b a b c

a b a b c

b ab c ac b b a c c a

b a b c c a b c

b c a b c

c bc a ab c c b a a b

c a b c a a b c

c a a b c

+ − − = + − +

= + + − + +

= − + +

+ − − = + − +

= + + − + +

= − + +

+ − − = + − +

= + + − + +

(131)

( ) 72

x 72

x

 

−  + =

 

Giải phương trình: x2−3x−54=0 ⇔(x−9)(x+6)=0 Suy x1=9; x2 = −6 (loại bỏ) Vậy số người tổ người

243 Xét hai trường hợp: a) Trường hợp 1: x 1+ − =

x

⇔ + =

x

+ = 

⇔  + = −



1

x

= 

⇔  = −



b) Trường hợp 2: x 3+ − = −1

x 2

⇔ + =

x 2

+ = 

⇔  + = −



3

x

= 

⇔  = −



Vậy phương trình có bốn nghiệm: x1=2; x2 = −6; x3 =0; x4= −4

244 Xét hiệu: (2a4+ −1) (2a3+a2)

4 2 2

a 2a a 2a a (a 1) (a a)

= − + + − + = − + −

Vì (a2−1)2≥0, a( 2−a)2≥0 nên (2a4+ −1) (2a3+a )2 ≥0 hay 2a4+ ≥1 2a3+a

245 Biến đổi: P=(x 1)(x− +2)(x 3)(x+ +6)

=(x+2)(x+3)(x 1)(x− +6)=(x2+5x−6)(x2+5x+6)

=(x2+5x)2−36≥ −36 (x2+5x)2 ≥0

(132)

246 Vì n2+ +(n 1)2 =2n2+2n 1+ >2n2+2n nên:

2 2

1 1 1

:

2n(n 1) n n

n (n 1) 2n 2n

 

< = = − 

+  + 

+ + +

Do ta có:

1 1 1 1 1

: 2; : 2; : 2;

5 13 25

     

< −  < −  < − 

     

2

1 1

:

n n

n (n 1)

 

< − 

+

 

+ +

Cộng vế tương ứng bất đẳng thức ta được:

2

1 1 1

:

5 13 25 n (n 1) n

 

+ + + + < −  <

+

 

+ +

247 Vì 0<x1<1 nên x2 =x (1 x )1 − 1 >0

Mặt khác x , x , , x3 4 n 1+ >0, x1−xk 1+ <x1<1 Theo giả thiết có x2k =xk −xk 1+ Với k=1, 2,3, thì:

2

1

x =x −x

2

x =x −x

2

n n n

x =x −x +

Do 2

1 n n 1

x +x + + x =x −x + <x <1

248 Gọi số theo thứ tự giảm dần:

a> > > > > >b c d e f g (1) Ta chứng tỏ a b c 50 (2).+ + ≥ Nếu c 15> a+ + ≥ + + + + ≥b c (c 2) (c 1) c 51

Nếu c 15≤ d e f+ + + ≤ − + − + − + − ≤g (c 1) (c 2) (c 3) (c 4) 50 Vậy trường hợp (2) tổng số 100

(133)

(a−b)(A−B) (b c)(B C) (c a)(C A)+ − − + − − ≥0

aA aB bA 2bB bC cB 2cC cA aC aA

⇒ − − + − − + − − + ≥

2aA 2bB 2cC aB aC bC bA cA cB

⇒ + + − − − − − − ≥

Cộng hai vế với aA bB cC+ + chuyển vế ta được:

3(aA+bB cC)+ ≥aA+bB cC aB aC bC bA cA cB+ + + + + + + =

A(a b c) B(a b c) C(a b c)

= + + + + + + + + =

o

(a b c)(A B B) (a b c).180

= + + + + = + +

Suy aA bB cC 60 o (1)

a b c

+ + ≥

+ +

Mặt khác tam giác ta có: a< +b c hay 2a < + +a b c, b< +c a hay 2b< + +a b c, c< +a b hay 2c< + +a b c

Nhân hai vế với A, B, C ta được:

2aA<A(a+ +b c),

2bB<B(a+ +b c),

2cC<C(a+ +b c)

Do 2(aA+bB cC)+ <(A+ +B C)(a+ + =b c) 180 (ao + +b c).

Suy aA bB cC 90 o (2)

a b c

+ + <

+ +

Kết hợp (1) (2) ta có điều phải chứng minh

250 Từ 15x2−7y2 =9 suy y2 15

−

=

Ta thấy 15x2 tận hay nên 15x2−9 tận hay Do y2

(134)

Vậy khơng có số ngun x, y thỏa mãn đẳng thức

251 Số phải ó năm chữ số có bốn chữ số mà bỏ ba chữ số số cịn lại lớn mà 93 =729, ó chữ số Giải thích tương tự số có chữ số

Gọi số cần tìm z abcde= Đặt ab x,cde y= = z=x3, 1000x+ =y x3 Suy 1000x≤x2nên 1000≤x2, x>31 (1) Vì y < 1000 nên x3−1000x <1000 hay x(x2−1000) 1000<

Với x≥33 x(x2−1000)≥33.89=2937>1000 nên ta có x < 33 (2) Từ (1) (2) ta có x = 32 Vậy số z=x3=323=32768

252 Vì n≤1982 nên n có nhiều bốn chữ số Gọi bốn chữ số x, y, z, t với

0≤ ≤x 9; 0≤ ≤y 9; 0≤ ≤z 9; 0≤ ≤t Ta có xyzt+ + + + =x y z t 1982 (1)

Do 0≤ + + + ≤x y z t 36 nên từ (1) suy 1982 36 xyzt 1982,− ≤ ≤ suy x=1, y=9 Thay vào (1) có 19zt 9+ + + + =z t 1982,

hay zt+ + =z t 72

hay 11z+2t=72 (2) Do 0≤ ≤t nên 0≤2t≤18 suy

72 18 11z− ≤ +2t≤72 hay 54 11z≤ ≤72 hay 410 z 6 ,

11≤ ≤ 11 suy z=5 z=6 Thay vào (2) với z=5 t =8,5 (loại) với z=6 t =3

Vậy n=1963

253 Nếu sáu số cho có số tích Như tổng số nên số

(135)

Theo đề ta có abcdeg a b c d e g 6g (1).= + + + + + ≤ Suy abcde≤6 (vì g>0)

Khơng thể có ba số lớn hay 2 = >6, a b c 1.= = = Thay vào (1) ta có deg= + + +3 d e g (2)

và de≤6 (3)

Nếu d 1= (2) eg= + +4 e g

eg e g

⇔ − − + =

(e 1)(g 1)

⇔ − − =

Suy e 1,g 5,− = − = e=2, g=6 Nếu d 2= (3) nên e=2

Nếu e=2 (2) 4g= + ⇒7 g 3g=7, loại Nếu e=3 (2) 6g= + ⇒8 g 5g=8, loại Nếu d 3≥ e>d nên e≥3, trái với (3)

Kết luận: Các số (0, 0, 0, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 1, 2, 6)

254 Gọi hai số phải tìm A B Ta có:

A+ =B 10x+y, A B 10y− = +x với x y 1.≥ ≥ ≥ (1) Suy A 11(x y) 11a

2

+

= = với a x y

2

+

= (2) 9(x y)

B 9b

2

−

= = với b x y

2

−

= (3)

Vì A, B có hai chữ số y 0≠ nên 9≥ > ≥a b (4) Từ (2) (3) suy x a b, y a b.= + = −

Do (4) suy a+ ≥b 5, (1) suy a+ ≤b Nếu a b 9+ = a=7, b=2, A=77, B 18.=

(136)

Nếu a b 8+ = a=6, b=2, A=66, B 18.= a=5, b=3, A=55, B=27

Nếu a b 6+ = a=4, b=2, A=44, B 18.= Nếu a b 5+ = a=3, b=2, A=33, B 18.= Vậy có cặp số (kể 44 18)

255 a) Phân tích:

2

4x −12x+ =5 (2x 1)(2x− −5)

2

13x−2x −20=(x−4)(5 2x)−

2

21 2x+ −8x = +(3 2x)(7−4x)

2

4x +4x− =3 (2x 1)(2x− +3)

Điều kiện để P có nghĩa: x 1, x 5, x 4, x 3, x

2 2

≠ ≠ ≠ ≠ − ≠

b) Kết rút gọn: P 2x

2x

− =

−

256 Xem ví dụ 27

257 Nhận xét: 1992x 1992 1992 ;

1992

xy 1992x 1992 y 1992 y 1992 yz

x

= =

+ + + + + +

z yz yz

xz+ +z 1= xyz+yz+y =1992+ +y yz

Vậy P 1992 y yz

1992 y yz 1992 y yz 1992 y yz

= + + =

+ + + + + +

258 Ta có 1 1 6y 6x xy

x+ + = ⇒y z + + =

⇒(x 6)(y 6)− − =37 Giả sử x y≥ thì: x

y 37

− = − 

 − = −



x 37

y

− = 

 − =

(137)

259 Biến đổi vế trái:

6 2 2

M =x −x +2x +2x =x (x 1)+ (x 1)− +1  Nếu x=0 (x 1)− +1 khơng số phương Nếu x 1= M = ⇒ =4 y

Nếu x 2≥ (x 1)− +1 khơng số phương

260

2

2 y 59

A x xy y 8x y 1992

4

 

= + + + + + +

 

2

y 59

x y 8x y 1992

2

 

= +  + + + +

 

2

y 59

x y 3y 1992 16

2

 

= + +  + − + −

 

2

y 59 12

x y y 1976

2 59

   

= + +  +  − +

   

2

y 59

x y 1976

2 59 59

   

= + +  +  −  + −

   

Vậy Min A 197550 x

59 59

= ⇔ = −

261 Nếu A, B, C > A2+B2+C2 >AB+BC+CA

2

2 2 2 2 (A B C)

3(A B C ) (A B C) A B C

3

+ +

⇒ + + ≥ + + ⇒ + + ≥

Đặt A a 1, B b 1, C c 1,

a b c

= + = + = + vế trái P

Ta có:

2

1 1

P a b c

3 a b c

 

>  + + + + + 

 

2

1 a b c a b c a b c

a b c

3 a b c

+ + + + + +

 

=  + + + + + 

(138)

2

1 b c a c a b

1 1

3 a a b b c c

 

=  + + + + + + + + + 

 

Chú ý a b

b+ ≥a (với a, b > 0) nên:

2

1 100

P (4 6) 33

3

≥ + = >

262 Biến đổi thành 5x 1992

3x

+ >

+

Giải bất phương trình (giải tương tự ví dụ 60) được:

3981

x

5971

− < < −

263 M =a3−3ab2 +2b3

2 2

a(a b ) 2b (b a)

= − + −

2

(a b)(a ab 2b )

= − + −

2

(a b) a b b(a b)

= −  − + − 

2

(a b) (a 2b)

= − +

Do a≥0, b≥0 nên M≥0

264 Vì [x, y] BCNN x y nên y[x, y] x[x, y] bội xy Hiệu chúng bội xy Nếu hiệu khác giá trị tuyệt đối nhỏ xy

Vậy x y< < y[x, y] x[x, y]− ≥xy

1 1 1 1 1 1 1

1 [a, b]+[b, c]+[c, d]+[d, e] ≤ − + − + − + − = − <a b b c c d d e a e

265 Gọi số gồm bảy chữ số đầu a, chữ số thứ tám b, ta có 10a b+ chia hết cho 101 Viết chữ số cuối lên đầu ta 10 b7 +a

Ta có: 10 b7 + =a 10b(106 + +1) 101a 10(10a− +b)

Biểu thức chia hết cho 101 ( ý 106+ =1 101.9901 )

(139)

a+ + + + =b c d e Ta có:

5 5 5 5 5

a +b +c +d +e =(a − +a) (b − +b) (c − +c) (d − +d) (e −e) Chứng minh dấu ngoặc chia hết cho 15

267 A 1 1 1

(1 2).2 (1 3).3 (1 1986).1986

2 2

    

    

= − +  − +   − + 

    

    

2 1987.1986

3 10 1986.1987

−

=

4 10 18 1987.1986

6 12 20 1986.1987

−

= (1)

Biến đổi tử phân số cuối cùng:

1987.1986 1986(1988 1) 1986 1988− = − + −

1986(1988 1) 1988 1988(1986 1)

= − + − = −

1988.1985

= (2) Từ (1) (2) ta có:

4.1 5.2 6.3 1988.1985

A

2.3 3.4 4.5 1986.1987

=

(4.5.6 1988)(1.2.3 1985) (2.3.4 1986)(3.4.5 1987)

=

1988 994

1986.3 2979

= =

268 Đặt 40 a,51 b,91 a b= = = + Ta có: a4+b4+ +(a b)4

4 4 2

a b a 4a b 6a b 4ab b

= + + + + + +

4 2

2(a b 2a b 3a b 2ab )

= + + + +

2 2

2(a ab b )

= + +

2 2 2

(140)

2 2

(a ab b ) 79

⇒ + + =

Từ suy điều phải chứng minh

269 Biến đổi:

3 2

y y (x 1)

x (x 1)(x x 1) (x 1)(x x 1) x x

− − −

= = =

− − + + − + + + +

(điều kiện x 1≠ )

Tương tự: 3x 2 (y 1)

y y y

−

= ≠

− + +

Ta có:

2

3 2 2

y x 1 x x y y

x y x x y y (x x 1)(y y 1)

− + + − − −

− = + =

− − + + + + + + + +

2

2 2

(x y ) (x y)

[x y (x y 1)] (x y ) xy(x y 1)

− + −

=

+ + + + + + + +

2 2 2

(x y)(x y 1) 2(x y)

(x y 2) (x y 2xy) x y

− + + −

= =

+ + + + +

270 A 124 1 1 1

1984 1985 1986 16 2000

 

=  − + − + + − 

 

1 1 1

1

16 16 1985 1986 2000

   

=  + + +  − + + + 

   

 

1 1 1

B

16 17 18 1984 2000

 

=  − + − + + − 

 

1 1 1

1

16 1984 17 18 2000

   

=  + + +  − + + + 

   

 

1 1 1 1 1

1

16 16 17 1984 17 18 1984 1985 2000

   

=  + + + + + + − − − − − + + 

   

 

1 1 1

1

16 16 1985 1986 2000

   

=  + + +  − + + + 

   

 

(141)

271 Gọi a chữ số số A có n chữ số Gọi B số sau bỏ chữ số a ta có:

n

A =a.10 − +B (1)

a) Nếu A=57B theo (1) có:

n

a.10 − =56B=7.8B (2) Giả sử a=7 thì:

n n

3

10 10

10 8B B 125.10

2 10

− −

− = ⇒ = = = −

Vậy có số nguyên dương dạng 7125.10 (kk ≥0) mà bỏ chữ số số giảm 57 lần b) Nếu A=58B từ (1) ta có:

n

a.10 − =57B=3.19B

Vế trái a.10n 1− không chia hết cho 19 a số có chữ số

Vậy khơng có số ngun dương mà bỏ chữ số số giảm 58 lần

272 Vì ab=1 nên ta có: ac+bd = =2 2ab=ab+ab

ac ab ab bd

⇒ − = −

a(c b) b(a d)

⇒ − = −

Tích hai số số âm nên:

ab(c b)(a− − ≥d)

ac bd ab cd

⇒ + − − ≥

2 cd

⇒ − − ≥

1 cd

⇒ − ≥

273 Gọi t BCNN am 1− a , vm ậy t n,≤ ta có: am <am 1−

m m m m

1 t t

a a − a a −

⇒ > ⇒ >

m m m m

t t n n

1

a a − a a −

(142)

Từ n≥a1 suy

1

n

1

a

≤ Ta có:

1

n

a

≤

2

n n

1

a a

≤ −

m m

n n

1

a a −

≤ −

Cộng vế tương ứng bất đẳng thức trên:

m m

n

m m.a n (m 2,3, , k)

a

≤ ⇒ ≤ =

274 trừ vào phân thức vế trái Đáp số x=5958

275 Theo tính chất tỉ kệ thức tính chất dãy tỉ số nhau:

a c a b a b a b a b c d

b d c d c d c d a b c d

+ − + +

= ⇒ = = = ⇒ =

+ − − −

Áp dụng nhận xét ta có:

2

2 (1985 x) (x 1986) 68

2(1985 x)(x 1986) 30

 − + − 

  =

− − −

2

(1985 x) (x 1986) 34

2(1985 x)(x 1986) 30

− + −

⇒ =

− − −

Lại áp dụng nhận xét trên:

2

( 1)

64 (3971 2x)

− =

−

Do đó:

1

2x−3971= ±4

(143)

276 c d a+ =b ac+bd

bc ad

ab ac bd

+

⇒ =

+

2 2

abc b cd a cd abd ab

⇒ + + + − =

2 2

cd(a b ) ab(c d 1)

⇒ + + + − = (1)

Từ c d 1+ = , bình phương hai vế ta được:

2 2

c +d +2cd= ⇒1 c +d = −1 2cd (2) Từ (1) (2) suy ra:

2

cd(a +b )−2abcd =0

2

cd(a b)

⇒ − =

Do c≠0, d≠0 nên a=b

277 Xét hiệu:

( )

2 2 2

1 5

x +x +x +x +x − x x +x x +x x +x x Vì

2

1

x

2

 

=  

  nên hiệu bằng:

2 2

1 1

2

x x x x

2 2

 −  + −  + −  + −  ≥

       

       

Xảy dấu x1 x2 x3 x4 x 5

2 = = = =

278 Nếu a=0 x=0, P=0

Nếu a ≠0 P có nghĩa ( mẫu x4−x2+ =1 (x2−1)2+x2 >0 ) P≠0

Ta tính: 1 x x 1

a = + + ⇒ + = −x x a

Mặt khác:

2 2

2

1 1 1 2a 2a

x x 3

P x x a a

− −

   

= + − = +  − = −  − =

(144)

Do P a2 2

1 2a 2a

=

− − (1)

Với biểu thức (1), a =0 ta có P=0 Vậy

2

a P

1 2a 2a

=

− − với giá trị

x

a

x x

=

+ +

279 Với n 2= nn −n2+ − =n 1, chia hết cho (n 1)− =(2 1)− =1 Với n 2> , ta có:

n

A=n −n + −n =(nn 2− −1)n2 +(n 1)−

=(n 1)(n− n 3− + + 1)n2 +(n 1)−

=(n 1)(n− n 1− + + n2 +1)

Xét tổng B=nn 1− + + n2+1, B có n 1− số hạng, viết:

n n 2

B=(n − − +1) (n − − + +1) (n − + − +1) (1 1) (n 1).− Mỗi hiệu ngoặc chia hết cho n 1.−

Vậy A chia hết cho (n 1) −

280 Với x∈Z có: P x( )=x5−3x4+6x3−3x2+9x−6

Nếu x chia hết cho năm số hạng đầu (x)P chia hết cho 9, cịn khơng chia hết cho 9, P(x)khơng chia hết cho 9, nghĩa P(x)≠0

Nếu x khơng chia hết cho x5 khơng chia hết cho 3, ác số hạng khác P(x) chia hết cho 3, (x)P khơng chia hết cho 3, nghĩa (x) 0.P ≠

281 Nhân hai vế S với 2:

0 1 1989 1990

2 4 1991 1992

2S

2 2 2

= + + + + + +

2 1989 1990

2 1991

4

2 2 2

   

 

= + +  + + + + + 

     

(145)

1989

1991

1

1 1992

3 S

1

2 2 1

2   −    = + − + − 1990 1991

1 1992 1

3 S

2 2

  = + − + −     1990 1991 1992

S 4

2

 

⇒ = − −  <

 

282 Nhân hai vế P với x, y, z được:

2

x xy xz

Px

y z z x x y

= + +

+ + +

2

yx y yz

Py

y z z x y x

= + +

+ + +

2

xz zy z

Pz

y z z x y x

= + +

+ + +

Suy ra:

2 2

x y z y(x z) z(x y) x(y z)

P(x y z)

y z z x y x x z x y (y z)

+ + +

+ + = + + + + +

+ + + + + + = +Q (x+ +y z)

Do đó: (P 1)(x y z) Q (1)− + + = a) Nếu P 1= từ (1) ta có Q 0.=

b) Nếu Q 0= P 1≠ mà x+ + =y z 0, chẳng hạn với x=1, y=2, z= −3, ta có:

1

P

1

−

= + + = − ≠

− −

Vậy Q 0= khơng thiết P 1.=

283 Đặt 

/ 11

k c s

a

=  

/ /

11 11 10k

k s k s

A= =a +a



/

4.11

k s

B= = a Do 

/

10k 99 9

k s

a

= + = +

nên A−2B+ =1 a(9a+ + −1) a 2.4a+1

2

9a 6a (3a 1)

(146)

Định dạng
Số trang	146
Dung lượng	2,36 MB