Quy tắc đạo hàm trong bài toán tích phân

Bài tập vận dụng. Bài tập 1.[r]

QUY TẮC ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÍCH PHÂN

I) VẬN DỤNG QUY TẮC  uv  u v uv  

1 Quy tắc

- Nếu uu x  vv x thì  uv u v uv   - Nếu f x g x      h x  f x g x    h x dx 

2 Bài tập áp dụng

Bài tập 1 (HSG cấp tỉnh – Phú Thọ 2018 – 2019): Cho hàm số f x  thỏa mãn f  0 4

   

,

f x  f x x  x  Giá trị f 1

A 10

e

  B 10 C 2 D 10

e

 

Lời giải Chọn D

+) Từ giả thiết, ta có e f xx   e fx  x x e3 x e f xx   x e3 x e f xx   x e dx3 x

  

      

  3  

3 6

x x x x x x x x x

e f x x e x e dx x e x e xe dx x e x e x e C

            

+) Lại có     10   10

0 10 6 x

f C f x x x x f

e e

            

Bài tập 2 (Trường Lệ Thủy – Quảng Bình – Lần năm 2018 – 2019): Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục khoảng 0; thỏa mãn điều kiện f  1 3 x4 f x  f x   1, x Giá trị f 2

A 6. B 5. C 3. D 2

Lời giải

Chọn B

+)Từ giả thiết, ta có x4 f x  f x  1 xf x  f x 4x1

       

4

xf x  x xf x x dx xf x x x C

           

+) Lại có f  1  3 C 0 f x 2x 1 f  2 5

Bài tập 3 (Toán học tuổi trẻ tháng – 2019): Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục khoảng

 1;  thỏa mãn đẳng thức      

3

2

2

2

2

3

x x x

f x x f x

x

 



  

A f  0  2 3. B f  0  e 3.

C f  0  3. D Chưa đủ điều kiện để tính f  0

Lời giải Chọn A

+) Từ giả thiết, ta có               

2

3

2

2

1

2 1

3

x x

x x x

f x x f x f x x x f x

x x



 

 

       

 

 

 2      

2 1

1 1

1 3

f x x x x x x

f x f x f x

x x x

x x x

 

 

 



  

 

     

  

  

       

2

1 1

*

1 3 3

x x x x x

f x f x dx f x x C

x x x x x

 

 

 



  

       

     +) Lại có

 * thỏa mãn với x   1;  nên thay x1 vào  * ta có C  2 Suy  

1

x

f x x

x



  

 Do f  0  2

II)VẬN DỤNG QUY TẮC u u v uv2

v v

     

    

1 Quy tắc

- Nếu uu x  u u v uv2

v v

     

  

  với v0 - Nếu  

   

f x

h x g x



 



 

 

 

 

   

f x

h x dx

g x 

2 Bài tập áp dụng

Bài tập 1 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn f  1 2

      2   

1 , 1;

f x  x f x  xf x  x Giá trị  

1

f x dx



A 1 ln 2. B 1 ln 2. C.1 ln

2 D

1 ln 2

Lời giải Chọn D

+) Từ giả thiết, ta có                

2

1 f x x f x

f x x f x xf x x

f x



 



     

2

1 1

2

x x x

x xdx x C

f x f x f x



    

       

  

+) Lại có      

2

2

1

1 1

1

f C f x f x dx dx

x x x x

 

          

 

 

2

ln ln

1

x x

   

Bài tập 2 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn  0

f 

     

f x  f x f x  với x 0;1 Tính diện tíchS hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng x0;x1

A ln 2. B ln

3 C ln12. D

3 ln

4

Lời giải

Chọn B

+) Ta có          

 

   

 

2

2

x x

x

f x f x e f x e f x

f x f x f x e

f x f x

 

 

   

   

 

 



     

     

     

x x x x

x x e x x

e dx e

e f x e f x e

e e C

f x f x

f x

 

  

   

 

   

      

+) Lại có  

   

1

0 2

3

x x

x

x

e e

f C e f x

f x e

       



+) Do  

ln

0

ln

ln ln ln ln

0

2

x

x x

e

S dx e

e

     





Bài tập 3 Cho hàm số f x  xác định có đạo hàm liên tục khoảng 0; thỏa mãn

 1

f  x f x  x f x   1, x Giá trị f e 

A e2 e. B e2 1. C e2e. D e21.

Lời giải

Chọn B

+) Từ giả thiết, ta có          

1

x f x x  f x  xf x  f x x 

           

2 2 2

1 1

1

xf x f x x xf x x f x x f x

x x x x x x

 

 

 

 

     

 

x f x

x C

x

   

+) Lại có  1 f x  x f x  x2 f e  e2

x x

f  C         

III)VẬN DỤNG QUY TẮC u2

u u

    

    

1 Quy tắc

- Nếu u u x  u2

u u

    

  

  với u0 - Nếu

   

1

g x f x



 



 

 

 

   

1

g x dx f x 

2 Bài tập áp dụng

Bài tập 1 (Đề THTP Quốc Gia năm 2018 – Mã đề 101): Cho hàm sốf x thỏa mãn  2

f       2,

f x  x f x    x  Giá trị f  1

A 35 36

 B

3

 C 19

36

 D

15 

Lời giải Chọn B

+)Ta có      

     

2

2

1

2 f x 2

f x x f x x x xdx

f x f x

f x



 



            

   

  

 

2

x C

f x

   

+) Lại có  

   

2

2 1

2

9 2

f C x f

f x

           

Bài tập 2 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn  1

f  

    2 2 2 ,  1;

f x xf x  x x f x  x Giá trị tích phân  

1

xf x dx



A ln

3 B

3 ln

4 C ln 3. D 0.

+) Từ giả thiết, ta có            

 

3 2

2

2 f x xf x

f x xf x x x f x x

xf x

  

     

 

 

       

2

1 1

2x 2x dx x x C

xf x xf x xf x



 

             

  

+) Lại có    

     

2

1

1 1

1

2 1

f C xf x xf x dx dx

x x x x



        

   

2

1

2

1 1

ln ln

1

1

x dx

x x x



 

     



 



Bài tập 3 (Sở GDĐT Lâm Đồng năm 2018): Cho hàm số f x  thỏa mãn  1

f 

   

f x  xf x  với x Giá trị f 2

A 2

3 B

3

2 C

16

3 D

3 16 Lời giải

Chọn B

+) Từ giả thiết, ta có  

     

3

2 2

2

1

3

f x x

x x x dx C

f x f x f x

   

          

  

+) Lại có  

     

3

1 10 10

1

3 3

x

f C f

f x f

 

        

IV)VẬN DỤNG QUY TẮC  

2

u u

u

 



1 Quy tắc

- Nếu u u x   

u u

u

 

 với u0

- Nếu  f x   h x 

  f x  h x dx 

2 Bài tập áp dụng

Bài tập 1 Cho hàm số f x  đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn  f  0 1   2  

16

f x x f x

 

     với x 0;1 Giá trị tích phân  

1

0

I f x dx

A 28

15 B

8

15 C

2

 D 4

3

Chọn A

+) Từ giả thiết, ta có      

 

   

2

2 2 2

2

16

4 x

f x f x

f x x f x x

f x f x

 

 

 

 

 

     

  2x   2xdx   x2 C.

f x f x f x

      

 



  

+) Lại có      2   1 2

0

1 28

0 1

15

x

f  C  f x   I  f x dx x  dx

Bài tập 2 Cho hàm số f x  đồng biến có đạo hàm lên tục đoạn  1; thỏa mãn f 1 1

và f x xf x 2 4f x , x  1; Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng x1,x4

A 42 ln 2. B 4 2ln 2. C 4 ln 2. D 4 ln 2. Lời giải

Chọn B

+) Ta có              

   

 

 

2

2

4

4

f x xf x f x xf x

f x xf x f x

f x xf x x

 

 



     

   

 

     

 

 

 

    

1 1

2 2

xf x

f x xf x x f x xf x

xf x

x x x x

xf x xf x  xf x

 

 

  

      

   

xf x dx xf x x C

x

    

+) Lại có        

2

2

1 1 x

f C xf x x f x

x 

        

+) Do  

2

4

1

2 4 1 4 4 4

4 ln ln

1 1

x

S dx dx x x x

x x x

  

          

 

 

Bài tập 3 Cho hàm số f x  đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn

   

f x  f x ,  x 0;1 f  0 1 Giá trị tích phân  

0

f x dx



A 8

3 B 7. C

1

3 D

7

+) Từ giả thiết, ta có

     

        

2 1

2

f x

f x f x f x f x dx f x x C

f x

 

          

+) Lại có            

1

2

0

1

1

0 1 1

0

3

f  C  f x  x f x dx x dx x 

V)VẬN DỤNG QUY TẮC  eu u e u

1 Quy tắc

- Nếu uu x   eu u e ;u

- Nếu ef x  g x  ef x  g x dx 

2 Bài tập áp dụng

Bài tập 1 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f  0 1

     

f x x , 0;1

f x e   x x

   Giá trị  

0

f x dx



A 4

3 B 2. C

4

 D.2.

Lời giải Chọn A

+) Ta có     1       

1

f x x f x x f x x

f x e    x f x e  xe   e  xe 

  1   1

2

f x x f x x

e xe dx e e  C

    

+) Lại có f  0  1 C 0 ef x ex21 f x x21.

+) Do    

1

2

0

1

1

1

0

3

f x dx x  dx x x 

 

 

Bài tập 2.(Chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk năm 2018 – 2019): Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện    

 

3

1 2

3f x ef x x x 0, x

f x

 

    

và f  0 1 Giá trị tích phân  

0

I   xf x dx

A 11

2 B

15

4 C

45

8 D

9

Chọn C

+) Ta có    

     

 

3 1

2

2

3f x ef x x x 3f x f x ef x 2xex f x

  

     

     

3 3

1 1

2

f x x f x x f x x

e  xe  e xe dx e e  C

 

      

  

+) Lại có   3   

7

1 3

0

45

0 1

8

f x x

f  C e e   f x  x   I x x  dx

Bài tập 3 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f  0 0

 1 f x  1 x, .

f x e  e  x  Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng x1,x3

A 4. B 2. C.8. D 5.

Lời giải Chọn A

+) Ta có f x 1 ef x  1 ex f x f x ef x  1 ex f x  ef x  1 ex

           

  f x  x .

f x e x e C     

+) Lại có      

0 0 f x x

f  C  f x e xe

Xét hàm số g t  t et với t.

  t 0,

g t  e   t  nên g t  đồng biến  Suy    

 

f x x

f x e  x e  f x x Do

3

2

3

4

Sxdx x 

VI)VẬN DỤNG QUY TẮC lnu u u

  

1 Quy tắc

- Nếu uu x  nhận giá trị dương K lnu u u



  K

- Nếu lnf x   g x  lnf x g x dx 

2 Bài tập vận dụng

Bài tập 1 Cho hàm số f x  nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn điều kiện f  1 1 f x  f x 3x  1, x Mệnh đề ?

A 1 f  5 2. B 2 f  5 3. C 4 f  5 5. D 3 f  5 4

+) Từ giải thiết, ta có      

   

1

3 ln

3

f x

f x f x x f x

f x x x

 



       

 

   

ln ln

3

3

f x dx f x x C

x

     





+) Lại có      

4

4

1 ln 3,79

3

x

f  C    f x     f e 

Bài tập 2 Cho hàm số f x  đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f  0 0 f x 2x 1 f x   , x  Giá trị  

1

0

2xf x dx



A.e2 B.e1 C.e2 D.e

Lời giải Chọn A

+) Từ giải thiết, ta có  

 

 

    

1

2 ln

1

f x f x

x x f x x

f x f x



  

   

 

      

 

   

ln f x 2xdx ln f x x C

           

+) Lại có f  0 0C0ln 1  f x   x2  1 f x ex2  f x ex2 1

+) Vậy    

1

2

0

1

2 2

0

x x

xf x dx x e  dxe x  e

 

Bài tập 3 Cho hàm số f x  đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn điều kiện

 1

f  f  x f x , x  1;

x

    Tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng x1,x2 quay quanh trục hoành

A.7  B 7

3



C.5

3



D 3 

Lời giải Chọn B

+) Từ giả thiết, ta có      

   

1 1

ln

f x

f x f x f x

x f x x x

 

       

   

ln f x dx ln f x lnx C

x

    

+) Lại có      

2

2

1

2

1

1

3

x