Phân tích một số câu vận dụng - vận dụng cao trong Đề tham khảo THPTQG năm 2020

Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp tạo hình ẩn, tức là từ hình đa diện ban đầu, tạo thêm những điểm mới để tạo ra hình đa diện mới ở đó tính chất dễ khai thác hơn.. Một[r]

Trang

LỜI GIẢI VÀ PHÂN TÍCH MỘT SỐ CÂU VẬN DỤNG TRONG ĐỀ THAM KHẢO KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020

Câu 38: Cho hàm số f x  có f 3 3 ' 

1

x f x

x x



   với x 0 Khi  

f x dx



A B 197

6 C 292 D 1816

Lời giải 1:

       

3

8 d d 10

1

x

f f f x x x f

x x                      

8 8 8

3

3 3

229 197

d d 8 3 d 80

6

1

x

f x x xf x xf x x f f x

x x



        

  

  

Lời giải 2:

Ta có     

 

1 1 1

1

1 1 1

x x

x f x

x x x x x

   

    

      

Suy f x  x x  1 C

Màf 3    3 C Do f x  x x  1

Vì  

8

197

2 d

6

x  x   x  

Nhận xét:

Với giả thiết ta xử lý theo hai hướng: Hướng 1: Tìm f x  từ suy  

8

d

f x x

 Nếu để ý kỹ thấy

  

 

1 1 1

1

1 1 1

x x

x

x x x x x

   

  

      

Khi đó, dễ dàng tìm f x  Hướng 2: Sử dụng tích phân phần

         

8 8 8 2

3

3 3

d d 8 3 d

1

x

f x x xf x xf x x f f x

x x



    

  

  

Như thế, cần tính f 8 xong

thuvientoan.net

Trang

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 38

Câu 38.1: Cho hàm số f x  liên tục 0;  Biết f x  lnx

x

  f 1 0 Giá trị  

d

e

f x x



A e2 B

2 C 16 D e22

Câu 38.2: Biết xsinx nguyên hàm hàm số f x  R Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x'( )f'(x) cos x thỏa mãn F 0 0 Giá trị

4

F    

 bằng

A  B

4

 C 0 D

2



Câu 38.3:Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn điều kiện:  0 2,

f  f x 0,  x  f x f x       2x 1 1 f x2 ,  x  Khi giá trị f 1

Trang

LỜI GIẢI BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 38

Câu 38.1: Cho hàm số f x  liên tục 0;  Biết f x  lnx

x

  f 1 0 Giá trị  

d

e

f x x



A e2 B

2 C 16 D e22

Lời giải Chọn D

Ta có  d ln d ln d ln  ln2

2

x x

f x x x x x C

x

    

   Nên   ln2

2x

f x  C, với C số Mà  1 0   ln2

2x

f    C f x  Do đó,  

1

ln

d d

2

e e x e

f x x  x  

 

Câu 38.2: Biết xsinx nguyên hàm hàm số f x  R Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x'( )f'(x) cos x thỏa mãn F 0 0 Giá trị

4

F    

 bằng

A  B

4

 C 0 D

2

 Lời giải

Chọn D

sin

x x nguyên hàm hàm số f x   f x    xsin ' sinx  x x cosx ( ) sin cos

f x x x x

   

'( ) 2cos sin

f x x x x

   

   

' 2cos sin

f  x x  x x

    

   

' ' sin

f x f  x  x

   

Khi

( ) '( ) '( ) cos d sin cos d sin2 d cos2

2

F x   f x f x  x x  x x x  x x   x C

Từ (0) 0 C ( ) cos2

2 2

F     F x   x   F         Câu 38.3:Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn điều kiện:

 0 2,

f  f x 0,  x  f x f x       2x 1 1 f x2 ,  x  Khi giá trị f 1

Trang Lời giải Chọn B

Ta có f x f x       2x 1 1 f x2     

   

2

2

1

f x f x

x f x



  



Suy    

   

2

d d

1

f x f x

x x x

f x



 



   22    

d

2 d

2

f x

x x

f x



  



   1f x2   x2 x C Theo giả thiết f 0 2 2, suy 1 2 2   C C

Trang

Câu 43: Có cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn 0 x 2020 log (33 x   3) x 2y9y?

A 2019 B 6 C 2020 D 4

Lời giải

Điều kiện: x 0 nên log (33 x 3) xác định Ta có

3 3

log (3x   3) x 2y 9y log (x    1) (x 1) log 3y 9y

3

log (x 1) (x 1) log 9y 9y

       1

Xét hàm số f t( ) log 3t t t ,  0;  có ( ) 1 0, 0; 

ln

f t t

t

       Do hàm số ln đồng biến 0;

Khi  1   x 9y

Vì 0 x 2020 nên 9  y 2020  0 y log 20219 Do y nguyên nên y0;1;2;3

        x y; 0;0 ; 8;1 ; 80;2 ; 728;3

 

Vậy có cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn Nhận xét:

Trang

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 43

Câu 43.1: Có cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn điều kiện 0 x 2020

log (2x   2) x 3y 8y?

A 2019 B 2018 C D

Câu 43.2: Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số  x y; thỏa mãn đồng thời điều kiện e3 5x y ex y 3   1 2x 2yvà log 323 x   2y 1 m6 log 3x m  9 0?

A 6 B C 8 D 7

Câu 43.3: Cho phương trình 7x  m log7x m  với m tham số Có giá trị nguyên  25;25

m  để phương trình cho có nghiệm?

A 9 B 25 C 24 D 26

Câu 43.4: Cho phương trình  

2

2

1log 2 3 log 1 2 2

2 x x xx x x

    

        

 , gọi S tổng tất nghiệm Khi đó, giá trị S

A S  2 B 13

2

S   C S 2 D 13

2

Trang

LỜI GIẢI BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 43

Câu 43.1: Có cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn điều kiện 0 x 2020

log (2x   2) x 3y 8y?

A 2019 B 2018 C D

Lời giải Chọn D

Do 0 x 2020 nên log (22 x 2) ln có nghĩa Ta có

2

log (2x   2) x 3y 8y

2

log (x 1) x 3log 2y 8y

     

 

2

log (x 1) x log 8y 8y

      (1)

Xét hàm số f t( ) log 2t t t ,  0;  có ( ) 1 0, 0; 

ln2

f t t

t

       Do hàm số ln đồng biến 0;

Khi  1   x 8y 1

Ta có 0 x 2020 nên 0 8  y 1 2020  0 y log 2021 3,668  Mà y nên y0;1;2;3

Vậy có cặp số ( ; )x y nguyên thỏa yêu cầu toán

Câu 43.2: Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số  x y; thỏa mãn đồng thời điều kiện e3 5x y ex y 3   1 2x 2yvà log 323 x   2y 1 m6 log 3x m  9 0?

A B C D

Lời giải Chọn B

Ta có e3 5x y ex y 3   1 2x 2y e3 5x y 3x 5yex y 3 1 x 3y1

Xét hàm số f t  et t  Ta có f t   et nên hàm số đồng biến 

Do phương trình có dạng f x3 5y  f x 3y 1 3x 5y x 3y 12y  1 2x Thế vào phương trình cịn lại ta log23xm6 log 3x m  9

Đặt t log3x , phương trình có dạng t2 m6t m  9

Để phương trình có nghiệm   0 3m2 12m0   0 m Do có số nguyên m thỏa mãn

Câu 43.3: Cho phương trình 7x  m log7x m  với m tham số Có giá trị nguyên  25;25

m  để phương trình cho có nghiệm?

Trang Lời giải Chọn C

ĐK: x m

Đặt t log7x m  ta có

7

x t

m t m x

   

  

 7

x x t t

     1

Do hàm số f u 7u u đồng biến , nên ta có  1  t x Khi đó: 7x     m x m x 7x

Xét hàm số g x  x 7x g x  1 ln 0x    x log ln77  Bảng biến thiên

x  log ln 77  

 

g x  

   log ln 77 

g 

 

g x

 

Từ phương trình cho có nghiệm m g  log ln 77  0,856 (các nghiệm thỏa mãn điều kiện x m 7x 0)

Do m nguyên thuộc khoảng 25;25, nên m   24; 16; ; 1  Câu 43.4: Cho phương trình  

2

2

1log 2 3 log 1 2 2

2 x x xx x x

    

        

 , gọi S tổng tất nghiệm Khi đó, giá trị S

A S  2 B 13

2

S   C S 2 D 13

2

S   Lờigiải

ChọnD

Điều kiện 12

0

x x

    



Ta có  

2

2

1log 2 3 log 1 2 2

2 x x xx x x

    

         

  

2

2 1

log x x log 2

x x

 

                   

         

1

2

f x f

x

Trang Ta có   2 1

ln2

f t t

t

    2ln2 2ln2

.ln

t t

t 

  ,  t Do hàm số f t  đồng biến khoảng 0;

Nên  1 x 2

x

    x32x2 4x  1 0

1

3 13

2

3 13

2

x x x

      

 

   Kết hợp với điều kiện ta

1

3 13

2

x x

      

 Vậy

1 13

2

Trang 10

Câu 46: Cho hàm số bậc bốn y  f x  có đồ thị hình

x y

4

O Số điểm cực trị hàm số g x  f x 3x2

A B C D 11

Lời giải

Từ đồ thị suy hàm số y  f x  có 3 điểm cực trị x1    0 x2 4 x3 Xét hàm số g x  f x 3x2, ta có g x 3x2 6x f x  3x2

  2 2

3

0

3

0

3

3 i, 1;2;3

x

x x

g x x

f x x

x x x i

  

   



          

    

Ta có đồ thị hàm số y x 3x2

x y

x=x2

x=x3

x=x1

-3

4

1

-2 O

Ta có nhận xét phương trình x3 3x2 x1 có nghiệm; phương trình x3 3x2 x2 có nghiệm; phương trình x3 3x2 x3 có nghiệm nghiệm đôi phân biệt, khác 0; 2

Như vậy, g x  có nghiệm đơn phân biệt Do hàm số g x  có 7 điểm cực trị

Nhận xét:

Để xác định số cực trị hàm g x  f u x   ta thường hướng đến việc xét dấu       

g x u x f u x 

Trang 11

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 46

Câu 46.1: Cho hàm số y  f x ax3 bx2  cx d có điểm cực trị 0;a 2 a 3 có đồ thị đường cong hình vẽ

x y

a

2

y=f(x)

3

1

O

Đặt g x 2019f f x   2020 Số điểm cực trị hàm số

A 2 B 8 C 10 D 6

Câu 46.2: Cho hàm số y  f x ax4 bx3 cx2 dx e Biết hàm số y  f x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Hỏi hàm số g x  f x x2  2 có điểm cực đại?

x y

y=f'(x)

-4 O

A B C D

Câu 46.3: Cho f x  đa thức bậc 4 hàm số y  f x  có đồ thị đường cong hình vẽ

x y

1 -2

-4

y=f'(x)

-3 O

Số điểm cực đại hàm số g x  f x 33x

Trang 12

Câu 46.4: Cho f x x4 ax3 bx2  cx d hàm số y f x  có đồ thị đường cong hình vẽ

x y

1 -1 O

Số điểm cực trị hàm số y  f f x    

A B 11 C 9 D 8

Câu 46.5: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm đến cấp hai   0 0;   1,

6

f  f x    x  Biết hàm số y  f x  có đồ thị hình vẽ Hàm số g x  f x 2 mx , với mlà tham số dương, có nhiều điểm cực trị?

x y

y=f'(x)

1 5 3

4 2

O 1

Trang 13

LỜI GIẢI BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 46

Câu 46.1: Cho hàm số y  f x ax3 bx2  cx d có điểm cực trị 0;a 2 a 3 có đồ thị đường cong hình vẽ

x y

a

2

y=f(x)

3

1

O

Đặt g x 2019f f x   2020 Số điểm cực trị hàm số

A 2 B 8 C 10 D 6

Lời giải Chọn B

x y

y=a a

2

y=f(x)

1 O

      

g x  f f x f x 

      

g x   f f x f x        0 f f x f x

  



   

   

0 f x f x a x

x a

 

  

    

, 2 a 3  

f x  có nghiệm đơn phân biệt x1, x2, x3 khác a

Vì 2 a nênf x a có nghiệm đơn phân biệt x4, x5, x6 khác x1, x2, x3, 0, a Suy g x 0 có nghiệm đơn phân biệt

Do hàm số g x 2019f f x   2020có điểm cực trị

Trang 14

x y

y=f'(x)

-4 O

A B 3 C 1 D 2

Lời giải Chọn C

Ta có: y  2 2x f x x   20

2 2

2

x x x

x x x x

 

    

       

1 x

x

 



   

x  1 5 1 5 

2 2 x  |    2 

f  x  0  |  0 

 

g x  0  0  0 

Suy hàm số có cực đại

Câu 46.3: Cho f x  đa thức bậc 4 hàm số y  f x  có đồ thị đường cong hình vẽ

x y

1 -2

-4

y=f'(x)

-3 O

Số điểm cực đại hàm số g x  f x 33x

A B C D

Lời giải Chọn B

Ta có g x 3x2 3 f x 3x,  

 

3

3 (1)

' (2) x

g x

f x x    

   

 

 (1)  x

Dựa vào đồ thị cho

3

3 (2)

3

x x

x x

    

Trang 15 Trong phương trình 3

2 x x  x       x



Cịn phương trình: x3 3x 1 có nghiệm phân biệt:    2 x1 1,   1 x2 0 1 x3 2 Ta có bảng biến thiên hàm số g x 

Vậy hàm số g x  có điểm cực đại

Câu 46.4: Cho f x x4 ax3 bx2  cx d hàm số y f x  có đồ thị đường cong hình vẽ

x y

1 -1 O

Số điểm cực trị hàm số y  f f x    

A B 11 C D

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị giả thiết suy f x x x    1 x3 x f x 3x21 Ta có g x f f x    f f x f x        x3x 3  x3 x  3x21

 

 

x x 1 x 1x3 x 1x3  x 3 x21  

 

3

0

1

1

0 1 0 ( 0,76)

1,32

1

3

3

x x

x x

x x

g x x x x a

x b b x x

x x

 

  

  

  

   

   

 

          

       

 

 

     

 

Trang 16

Câu 46.5: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm đến cấp hai   0 0;   1,

6

f  f x    x  Biết hàm số y  f x  có đồ thị hình vẽ Hàm số g x  f x 2 mx , với mlà tham số dương, có nhiều điểm cực trị?

x y

y=f'(x)

1 5 3

4 2

O 1

A 1 B 2 C D 3

Lời giải Chọn D

Từ đồ thị hàm số y  f x  suy f x    0, x 0;  Do đó, f x 2    0, x 0; 

Xét hàm số h x  f x 2 mx; h x 2 x f x 2 m Với x 0, h x  0 Phương trình h x 0 vơ nghiệm Với x 0 ta có    2  2  2 2

3

x h x  f x  x f x  f x 

Từ đồ thị hàm số y  f x ta thấy với x 0, đồ thị hàm số y  f x luôn nằm đường thẳng

x y 

x y

y=f'(x)

1

4

Trang 17 Do đó,  2 2 0,   0,

3

x

f x     x h x   x hay hàm số y h x  đồng biến 0; Mà h 0   m 0 lim  

xh x   nên phương trình h x 0 có nghiệm

 

0 0;

x   Bảng biến thiên

x  x0 

y   0 

 

y

0

 0

h x

Khi phương trình h x 0 có nghiệm phân biệt

Trang 18 Câu 48: Cho hàm số f x( ) liên tục  thỏa mãn

3 10

( ) (1 ) ,

xf x f x    x x x x  Khi

0

( )d

f x x



 A 17

20

 B 13

4

 C 17

4 D 1

Lời giải 1:

Gọi F x  nguyên hàm hàm f x   Với  x  ta có

3 10

( ) (1 )

xf x f x    x x x

2 ( )3 (1 2) 11 2 (*)2

x f x xf x x x x

      

 

2 ( )d3 (1 2)d 11 2 d2

x f x x xf x x x x x x

        

12

3 2

1 ( )d( ) (1 )d(1 )

3 f x x f x x x12 x8 3x C

          

 3  2 12

1 1

3F x 2F x x12 x8 x3 C

       

Thay x 0 ta  0  1

3F 2F C  1

Thay x 1 ta  1  0

3F 2F   8 C  2

Thay x  1 ta  1  0 17

3F  2F  24 C  3

Từ    1 , suy    1    1

6F F    8 F F  4

Từ    2 , suy    1 32    1

3F    F  24 F    F

Vậy      

0

3 13

d

4

f x x F F



       



Lời giải 2:

Từ xf x( )3 f(1x2)   x10 x6 2x x f x2 ( )3 xf(1x2) 2 x2   x11 x7, x  Suy ra, hàm số x f x2 ( )3 xf(1x2) 2 x2 hàm lẻ Ta có  11 7

0

1 d

24

x x x

  

 Do

0

2 2 2

1

1

( ) (1 ) d ( ) (1 )

24

x f x xf x x x x f x xf x x





            

   

   

Trang 19

       

       

0

3 2

1

1

3 2

0

1 d 1 d 1

3

1 d 1 d 1

3 24

f x x f x x

f x x f x x

                          

0 1

1 0

1 d d d d 15

3 f x x f x x 3 f x x f x x 24

          

     

0 1

1 0

15

2 d d d

4

f x x f x x f x x

              1 13

d d

4

f x x f x x



       Lời giải 3:

Ta có xf x( )3 f(1x2)   x10 x6 2x, x   1

Thay x x ta  xf x( 3)f(1x2)   x10 x6 2x , x   2

Từ    1 , 2 suy xf x   3 xf x3     4 ,x x  f x   3  f x3    4, x  Thay x3 x ta f x      f x

Do đó,

           

0 1

1 1

d d d d d

f x f x x f x x f x x x f x x

   

            

 

 

    

Từ  1 x f x2 ( )3 xf(1x2)   x11 x7 2x2

 

1 1

3 2 11

0 0

1 ( )d( ) (1 )d(1 ) 2 d

3 f x x f x x x x x x

            

1 1

0 0

1 ( )d ( )d ( )d

3 f x x f x x f x x

         

Do đó,

1

3 13

( )d

4

f x x



    



Lời giải 4:

Với  x  ta có xf x( )3 f(1x2)   x10 x6 2x

2 ( )3 (1 2) 11 2 (*)2

x f x xf x x x x

      

 

1 1

2 11

0 0

( )d (1 )d d

x f x x xf x x x x x x

        

1

3 2

0

1 ( )d( ) (1 )d(1 )

3 f x x f x x

       

1 1

0 0

1 ( )d ( )d ( )d

3 f x x f x x f x x

Trang 20

Mặt khác  

0 0

2 11

1 1

(*) x f x x( )d xf(1 x x)d x x dx x

  

        

   

0

2

3

1

1 17

(*) ( )d (1 )d

3 f x x 2 f x  x  24

        

0

1

1 ( )d ( )d 17 ( )d 3 1 17 13

3 f x x f x x 24  f x x 24

  

 

          

  

Lời giải 5: Đi tìm hàm f x 

Ban đầu ta nghĩ đến có f x f  3 , 1x2 bên vế phải đưa liên quan đến x3,1x2 khơng?

Ta có xf x 3 x10 2x x f x     3  x3 2

 

 

Vậy nghĩ thêm việc tạo tiếp 1x23   2 3x2 3x4x6 Hay f1x2  1 x23   2 3x2 3x4 x6

Như ta có

   3 3  2  23 2 4 6 6

2 1 3

x f x  x     f x  x    x  x  x x

   

   3 3  2  23 2 4

2 1 3

x f x x  f x x  x x

             

   

   3 3 4  2  23  2

2 1

x f x x  x f x x  x

            

   

   3 3 3  2  2 3 2

3 1

x f x x x  f x x x 

              

   

Đặt g x    f x  x3 3x 2 ta xg x  3 g 1x20 Thay x x ta

  3 1 2 0

xg x g x

     hay xg x 3   xg x 3 , x  Do g x  hàm lẻ

Như xg x  3 g 1x2 0 xg x  3 g x2   1 , x  Từ giả thiết ta có g   0   g 1 0

Vì f x  liên tục 1;0 nên g x  liên tục 1;0

Đặt  

1;0

max 0, 1;0

M   g x x

   

       

Giả sử M 0   a    1;0 : g a M Chọn x b     1 a  1;0

Ta bg b 3 g a  g b 3 g a  M M

b b

Trang 21 Điều mẫu thuẫn  

1;0

max

M   g x

   



Do   1;0

max  g x 0, x 1;0

    

      

Hay g x    0, x  1;0  f x   x3 3x    2, x  1;0 Vậy

0

3

1

13

( )d ( 2)d

4

f x x x x x

 

     

 

Nhận xét chung:

Ở cách trên, giải toán dạng ta thường hướng tới:  Biến đổi giả thiết đến tính chất  u f u x  d   f u u d

 Dựa theo tính chất hàm chẵn, hàm lẻ

 Sử dụng phép xác định hàm số f x  * Với lời giải 1, 2, 3, 4: Ta sử dụng đến tính chất

 d  d u f u x  f u u

  hay       

   

d d

u b b

a u a

u x f u x x  f x x

 

Vì ta nghĩ đến việc tạo đạo hàm x3;1x2 việc nhân hai vế giả thiết với x để tạo     0 1 d d

x f x x f x x

     ;     1 0 d d

x f x x  f x x

  ;     1

1 d d

2

xf x x f x x



  

     

1

2

0

1

1 d d

2

xf x x  f x x

 

Trong đổi biến xuất  

d

f x x

 buộc ta phải tính thêm  

d

f x x

 Ở đây, cận 1;0;1 cách làm bị phá sản, ví dụ yêu cầu tính  

3

d

f x x

 , lúc cịn cách tìm f x  Vì thế, cận 1;0;1 phải liên hệ mật thiết với x3,1x2

Ngồi ra, với hai tính chất:

 Hàm số x f x2 ( )3 xf(1x2) 2 x2 hàm lẻ;  Hàm số f x      f x hàm chẵn hữu ích cho việc tính tốn nhanh

* Lỗi sai mắc dẫn đến phương án nhiễu 17

20

 , 17

4 sai dấu tính

   

0

2

1

1

1 d d

2

xf x x f x x



  

     

1

2

0

1

1 d d

2

xf x x  f x x

 

* Với lời giải 5: Việc tìm f x  khó khăn, khơng nói mị Nếu f x  hàm quen thuộc đoán việc thử giá trị cân hệ số

Trang 22

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 48 Câu 48.1: Cho hàm f x  liên tục \ 0  thỏa mãn

 2  2 2, \ 0 

2

xf x f x x x

x

     

Giá trị  

d

f x x

 nằm khoảng nào?

A  5;6 B  3;4 C  1;2 D  2;3 Câu 48.2: Cho hàm số y  f x  liên tục đoạn    0;4 thỏa mãn điều kiện

 2  

4xf x 6 2f x  4x ,   x   0;2 Giá trị  

4

d f x x

 A

5

 B

2

 C

20 D 10

Câu 48.3: Cho hàm y f x ( ) liên tục đoạn    0;1 thỏa mãn

   1 2 2 1, 0;1

f x f  x x  x     x    Giá trị

1

( )

f x dx

 A

3 B 23 C 12 D 13

Câu 48.4: Cho hàm số y  f x  liên tục có đạo hàm  thỏa mãn

     

5f x 7 1f  x x 2x , x  Biết  

1

' d a

x f x x b

 

 , với a

b phân số tối giản Giá trị 8a 3b

A 1 B 0. C 16 D 16

Câu 48.5: Cho hàm số f x  liên tục đoạn ;1

3

     

  thỏa mãn

2

2 ( )

3

f x f x

x

       

  x ;1

         Tích phân  

1

ln d

f x x x



A 1ln

Trang 23

LỜI GIẢI BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 48 Câu 48.1: Cho hàm f x  liên tục \ 0  thỏa mãn

 2  2 2, \ 0 

2

xf x f x x x

x

      Giá trị  

2

d

f x x

 nằm khoảng nào?

A  5;6 B  3;4 C  1;2 D  2;3 Lời giải

Chọn D

Ta có  2  2 2, \ 0 

2

xf x f x x x

x

      

  2  

1

1

2 d d

2

xf x f x x x x

x                   

       

2 4

2

1 1

1 d 2 d 2 1ln 2

2 f x x f x x x4 x x

                  4

1 d d 1ln2

2 f x x f x x

       

1

1 d 1ln2

2 f x x

   

   

2

7

d ln2 2;3

2

f x x

    

Câu 48.2: Cho hàm số y  f x  liên tục đoạn   0;4

  thỏa mãn điều kiện

 2  

4xf x 6 2f x  4x ,   x   0;2 Giá trị  

4

d f x x

 A

5

 B

2

 C

20 D 10

Lời giải Chọn A

Ta có 4xf x 2 6 2f x  4x2    

 

2

2

0

4xf x df x x x xd

    

       

2

2

0

2 f x d x f x2 d 2x 

    

     

4 4

0 0

2 d d d

5

f x x f x x  f x x 

Trang 24

Câu 48.3: Cho hàm y f x ( ) liên tục đoạn    0;1 thỏa mãn

   1 2 2 1, 0;1

f x f  x x  x     x    Giá trị

1

( )

f x dx

 A

3 B 23 C 12 D 13

Lời giải Chọn D

Ta có

   1 2 2 1

f x f  x x  x 

1

2

0

(1 ) (2 1)

I f x dx x x dx

      

0

1

(1 ) 0

3

I f x dx  x x x           

(1 )

3

I f x dx

    Xét

1

(1 )

f x dx

 , đặt t     1 x dt dx Đổi cận x   0 t 1;x   1 t

Ta có  

1

0

(1 ) ( )( ) ( )

f x dx  f t dt  f t dt I

  

Từ    1 ; 2

2

2 ( )

3

f x dx

  

0

1 ( )

3

f x dx

  

Câu 48.4: Cho hàm số y  f x  liên tục có đạo hàm  thỏa mãn

     

5f x 7 1f  x x 2x , x  Biết  

1

' d a

x f x x b

 

 , với a

b phân số tối giản Giá trị 8a 3b

A 1 B 0. C 16 D 16

Lời giải Chọn B

Từ 5f x 7 1f  x 3x2 2x thay x 1x ta 5 1f  x 7f x 3x2 1 Do ta có hệ      

     

2

5

7

f x f x x x

f x f x x

    



    

 Suy

         

25f x 49f x 15 x 2x 21 x   1 24f x 36x 30x21

Hay   112 10 7   112 5

8

f x   x  x  f x   x 

Do    

1

0

1

' d 12 d

4

a x f x x x x x

b

Trang 25 Vậy 8a 3b

Câu 48.5: Cho hàm số f x  liên tục đoạn ;1

3

     

  thỏa mãn

2

2 ( )

3

f x f x

x

       

  x ;1

         Tích phân  

1

ln d

f x x x



A 1ln

3 3 B 13 3ln  C 5 13 3ln  D 5 13 3ln 

Lời giải Chọn D

Cách 1:

Từ ( )

3

f x f x

x

       

  thay x 32x ta 2f     32x 3f x  310x

Do 4f x  9f x  10x 10 f x  2x f x  22 2

x x  x

            1 2 3 l

l 1ln

3

n d n d

3

xf x x x x

x                 Cách 2:

Ta có      

1 1

2

2

3

d lnxf x xd f x lnx f x x

x

  

  Từ ( ) , 2;1

3

f x f x x

x

   

   

           Thay x 1

3

x  vào (1) ta hệ

2 (1) 0

2 (1)

3 2 5

2 10

2 (1) 3 3

3 f f f f f f                                                      

Xét   d f x I x x 

Đặt d 22 d ,

3

x x t

t t

    , đổi cận

2 1 3 x t x t           Khi 1

1 2

3

2 1 d d d

3 3

2

3

3

f t f t f x

t t t x

Trang 26

Ta có  

1

2

3

2 d

d 3

2 3

f x

f x x x

I I

x x

         

     1

2

3

5

5 d 5d

3

2 ( )

3

f x f

I x x x I

x

      

          

Vậy        

1 1

2

2

3

d 2 2 1 5 1

ln d ln ln1 ln ln

3 3 3

f x x

f x x x f x x f f

x

      

               

Trang 27

Câu 49: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A AB a SBA SCA,  ,    90 , góc hai mặt phẳng  SAB  SAC 60 Thể tích khối chóp cho

A a3 B

3

a C

2

a D

6

a

Lời giải

Từ giả thiết ta dựng hình chóp S ABDC với ABDC hình vng SD ABDC

Vì SAB  SAC nên BH đường cao SAB tương ứng CH đường cao SAC

Mà SA   SAB  SAC nên    SAB SAC, BH CH, 60 hay BHC 60hoặc BHC 120

Vì BH CH nên HI phân giác góc BHC hay

 30

IHC  hoặc IHC 60

Nếu IHC 30thì

sin 30

CI

CH    a, không thỏa mãn

Do

3 sin 60

CI

CH    a

Mà 2 12 12 32 12 12 2

2 SC a SD SC CD a

CH CA CS  a a SC      

Do vậy, .

3

S ABC ABC a

V  S SD  Chú ý:

Ta tồn hình chóp S ABDC sau:

Gọi D hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC Ta có  

AB SB

AB SBD AB BD

AB SD

 

    

 



Tương tự AC CD ABDC hình vng cạnh a Nhận xét:

Trong toán ta sử dụng phương pháp tạo hình ẩn, tức từ hình đa diện ban đầu, tạo thêm điểm để tạo hình đa diện tính chất dễ khai thác Một số hình quen thuộc mà tính chất dễ khai thác là: Hình lập phương, hình hộp chữ nhật, lăng trụ đứng, hình chóp đều, hình chóp đáy hình chữ nhật cạnh bên vng góc với đáy,…

I a

H

a D

C

B A

Trang 28

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 49

Câu 49.1: Cho tứ diện ABCD có AB CD  10, AD BC  5, AC BD  13 Gọi  góc AB ACD, giá trị cos

A 10

35 B 35865 C 1010 D 1010

Câu 49.2: Cho tứ diện ABCD có AB CD 4;AC BD 5;AD BC 6 Thể tích khối tứ diện ABCD

A 15

4 B 15 62 C 45 64 D 45 62

Câu 49.3: Cho tứ diện ACFG có số đo cạnh AC AF FC a  2,AG a 3,

GF GC a  Thể tích khối tứ diện ACFG A

3

a B

3

a C

12

a D 15

3a

Câu 49.4: Cho tứ diện ABCD có AB BD AD  2 ,a AC  ,a BC  3a Biết khoảng cách hai đường thẳng AB CD, a, tính thể tích khối tứ diện ABCD

A

3

a B 2 2

3

Trang 29

LỜI GIẢI BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 49

Câu 49.1: Cho tứ diện ABCD có AB CD  10, AD BC  5, AC BD  13 Gọi  góc AB ACD, giá trị cos

A 10

35 B 35865 C 1010 D 1010

Lời giải Chọn B

I

H G

E

F D

C B

A

Dựng hình hộp AEDF GBHC

Do cạnh đối tứ diện ABCD nên đường chéo mặt hình hộp suy AEDF GBHC. hình hộp chữ nhật

Đặt AE x AF y AG z x y z ,  ,   , , 0 Ta có hệ

2 2 2

5

13

3 10

x y x

y z y

z z x

 

    

 

 

    

 

 

  

   

 



Ta thấy AB //HF AB ACD; HF ACD;  Gọi I HF CD sin d F ACD ; 

IF



 

Tứ diện FACD vuông F nên:

 

  2

2

1 1 49

36

; FA FD FC

d F ACD    

 

 ; 

7

d F ACD

 

Mà 1 2 10

2 2

FI  FH  FC FD 

6 10 865

sin cos

35 35

 

Trang 30

Câu 49.2: Cho tứ diện ABCD có AB CD 4;AC BD 5;AD BC 6 Thể tích khối tứ diện ABCD

A 15

4 B 15 62 C 45 64 D 45 62

Lời giải Chọn A

D K

N M

C B

A

Dựng tứ diện AMNK , cho B C D, , trung điểm cạnh

, ,

MN NK KM Tứ diện AMNK vuông A

2 2

2 2

2 2

3

64 54

100 10 10

144 90 3 10

AM

AM AN AM

AN AK AN AN

AK AM AK AK



 

      

  

  

      

  

  

  

      

  

  

1 . . 1.3 10.3 10 15 6 15

6

AMNK ABCD

V  AM AN AK   V 

Câu 49.3: Cho tứ diện ACFG có số đo cạnh AC AF FC a  2,AG a 3,

GF GC a  Thể tích khối tứ diện ACFG A

3

a B

3

a C

12

a D 15

3a

Lời giải Chọn A

Dựng hình lập phương hình vẽ

Khi ABCD EFGH hình lập phương cạnh a nên thể tích hình lập phương V a

Thể tích tứ diện ACGF có ta chia hình lập phương theo mặt phẳng ACGE,ACF AGF Khi ta có

3

1 1.

3

ACGF ABC EFG ABCD EFGH a

V  V  V 

H G

E F

D C

B

Trang 31

Câu 49.4: Cho tứ diện ABCD có AB BD AD  2 ,a AC  ,a BC  3a Biết khoảng cách hai đường thẳng AB CD, a, tính thể tích khối tứ diện ABCD

A

3

a B 2 2

3

a . C 2a3 6 D 2a3 2 Lời giải

Chọn B

F G

E H

D

C

B A

Từ giả thiết AB AC

Dựng lăng trụ đứng AGF BCE với D trung điểm EF VAGF BCE. 3.VABCD Khi đó, AB/ /CEFG d AB CD,  d B CE, BH a với H CE BH CE , 

Ta tính 2 2 2

3

BCE ABCD BCE

Trang 32

Câu 50: Cho hàm số f x  Hàm số y  f x  có đồ thị hình sau

x y

4

-2 -2

O

Hàm số g x   f 2 x x2 x nghịch biến khoảng đây? A 1;3

2

       

  B 0;12

       

  C  2; 1 D  2;3 Lời giải

Ta có g x  2 2f  x 2x   1   1

2 x

g x   f  x    Đặt t  1 2x  1 trở thành  

2t

f t   Từ đồ thị hàm số y  f t 

2t

y   Ta có

  2 21 32

4

2

2

x

t x

t

f t t x

x

          

 

           

 

    

Hàm số y g x   nghịch biến khoảng 3;

2

         và

3 ;

2

    

 

 

  Vậy phương án A

Nhận xét:

Đây toán gặp nhiều đề thi THPT quốc gia năm gần đây, ý tưởng xét tính đơn điệu hàm số y  f u x   v x dựa so sánh giá trị hàm u x f x      ,v x khoảng để xét dấu u x f u x    v x  cách sử dụng đồ thị đánh giá

t y

2

-t y= y=f'(t)

4

-2 -2

Trang 33

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 50

Câu 50.1: Cho hàm số f x  liên tục , hàm số y  f x  có đồ thị hình vẽ Xét hàm số   2 3 1 9 6 4

h x  f x   x  x  Hãy chọn khẳng định

x y

4

4 2

2 -2

-2 O

A Hàm số h x  nghịch biến  B Hàm số h x  nghịch biến 1;1

3

          C Hàm số h x  đồng biến 1;1

3

       

  D Hàm số h x  đồng biến  Câu 50.2: Cho hàm số f x  có bảng xét dấu đạo hàm sau

x  

 

f x     

Hàm số y 3f x   2 x3 3x đồng biến khoảng đây?

A 1;. B  ;  C  1;0 D  0;2

Câu 50.3:Cho hàm số f x  có đồ thị hàm số y  f x'  hình vẽ

x y

2

-2

-3

O

Hàm số 2 1 2

3

x

y  f x   x x nghịch biến khoảng sau đây?

Trang 34

Câu 50.4: Cho hàm số y f x  liên tục có đạo hàm  Biết hàm số f x  có đồ thị cho hình vẽ Có giá trị ngun m thuộc 2019;2019 để hàm số

  2019x

g x  f mx  đồng biến    0;1 ?

x y

O 1

A 2028 B 2019 C 2011 D 2020

Câu 50.5: Cho hàm số y  f x  có đồ thị hàm số y  f x  cho hình bên Hàm số

 

2

y   f  x x nghịch biến khoảng

5

3 -1

-2

x y

O

A  3; 2 B  2; 1 C  1;0 D  0;2 Câu 50.6:Cho hàm số y  f x  có đạo hàm  Biết đồ thị hàm

 

y f x hình vẽ Hàm số g x   f x3   1 x3 3x đồng biến khoảng nào?

A 1;

4

       

  B  2;0 C ;1

3

       

  D 4;

x y

4

Trang 35

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 50

Câu 50.1: Cho hàm số f x  liên tục , hàm số y  f x  có đồ thị hình vẽ Xét hàm số   2 3 1 9 6 4

h x  f x   x  x  Hãy chọn khẳng định

x y

4

4 2

2 -2

-2 O

A Hàm số h x  nghịch biến  B Hàm số h x  nghịch biến 1;1

3

          C Hàm số h x  đồng biến 1;1

3

       

  D Hàm số h x  đồng biến  Lời giải

Chọn C

  2 3 1 9 6 4

h x  f x   x  x  h x 6 3f x  1 3  x 1

Xét bất phương trình h x 0 6 3f x  1 3  x  1 0 f x3  1 3x 1(*)

t y y=f'(t)

y=t

4

4

2 -2

-2

O

Quan sát hình vẽta thấy: Xét khoảng  2; f x     x x  * 1

3

x x

         Hàm số h x  đồng biến 1;1

3

Trang 36

Câu 50.2: Cho hàm số f x  có bảng xét dấu đạo hàm sau

x  

 

f x     

Hàm số y 3f x   2 x3 3x đồng biến khoảng đây?

A 1; B  ;  C  1;0 D  0;2

Lời giải Chọn C

Ta có y 3f x  2 x23

 

Với x   1;0   x 2  1;2  f x  2 0, lại có x2       3 0 y 0; x  1;0 Vậy hàm số y 3f x   2 x3 3x đồng biến khoảng  1;0

Chú ý:

+) Ta xét x   1;2     1;  x  3;4  f x  2 0;x2  3 Suy hàm số nghịch biến khoảng  1;2 nên loại hai phương án A,D +) Tương tự ta xét

 ; 2 2  ;0  2 0; 3 0 0;  ; 2

x        x f x   x        y x

Suy hàm số nghịch biến khoảng  ; 2 nên loại hai phương án B Câu 50.3:Cho hàm số f x  có đồ thị hàm số y  f x'  hình vẽ

x y

2

-2

-3

O

Hàm số 2 1 2

3

x

y  f x   x x nghịch biến khoảng sau đây?

A  6; 3 B  3;6 C 6; D  1;0 Lời giải

Chọn D

Ta có y' ' 2 f x     1 x2 2x 2 ' 2f x   1 x 123

Nhận xét: Hàm số y  f x  có f x'     1 3 x 3 '  1

3

x f x     x

 Do ta xét trường hợp

Với       6 x 13 2x   1 suy y' 0 hàm số đồng biến (loại) Với 3   x 2x  1 11 suy y' 0 hàm số đồng biến (loại)

Trang 37

Với      1 x 2x   1 nên ' 2f x  1 0 x 12   3 suy y' 0 hàm số đồng biến (nhận)

Câu 50.4: Cho hàm số y  f x  liên tục có đạo hàm  Biết hàm số f x  có đồ thị cho hình vẽ Có giá trị nguyên m thuộc 2019;2019 để hàm số

  2019x

g x  f mx  đồng biến    0;1 ?

A 2028 B 2019 C 2011 D 2020

Lời giải Chọn D

Ta có g x 2019 ln2019 2019x f xm Ta lại có hàm số y 2019xđồng biến    0;1 Với x     0;1 2019x  1;2019



  mà hàm y  f x đồng biến 1; nên hàm y f 2019xđồng biến    0;1

Mà 2019x 0; 2019f x  0, x  0;1 nên hàm h x 2019 ln2019 2019x f x đồng biến    0;1 Hay h x   h     0, x   0;1

Do vậy, hàm số g x  đồng biến    0;1 g x 0 với x     0;1

 

2019 ln2019 2019 ,x x 0;1

m f x  

        m Vậy m  0

Câu 50.5: Cho hàm số y  f x  có đồ thị hàm số y  f x  cho hình bên Hàm số

 

2

y   f  x x nghịch biến khoảng

5

3 -1

-2

x y

O

A  3; 2 B  2; 1 C  1;0 D  0;2 Lời giải

Chọn C

x y

Trang 38

1

5

3 -1

-2

x y

O

Ta có y  2 (2f      x) x2 y (2 x f) (2   x) 2x 2 (2f  x) 2x (2 ) (2 ) (2 )

y  f    x x f    x x Đặt t  2 x suy f t    t

Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y t 2 cắt đồ thị y f t  ba điểm có hồnh độ liên tiếp

1 a 2;3;4 b

Do từ đồ thị ta có

3

( ) a t a2 x 2x a

f t   t t b       x b     x  b

  

  

 Vì 1     a 2 0 2 a 1 nên ( 1;0) ( 1;2   a) Do đó, hàm số nghịch biến khoảng

1;2a nên nghịch biến  1;0

 Vì 4       b 5 3 2 b 2 nên ( 3; 2) (    ;2 b) Do đó, hàm số nghịch biến khoảng

 ;2 b khơng nghịch biến  3; 2 Vậy hàm số nghịch biến khoảng  1;0

Câu 50.6:Cho hàm số y  f x  có đạo hàm  Biết đồ thị hàm y  f x  hình vẽ

x y

4

O

Hàm số g x   f x3   1 x3 3xđồng biến khoảng nào? A 1;

4

       

  B  2;0 C ;13

       

  D 4; Lời giải

Chọn A

Trang 39 3 1 33 31 11 4 2

1

x x

f x x

x

 

   



         

 

 

3 1 0 23

1

x f x

x

       

  Bảng xét dấu g x 

x  1

3 

3 1

f x    0    

2

1x        

g x  

Vậy hàm số đồng biến khoảng 0;2

3