Đang tải... (xem toàn văn)
Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp tạo hình ẩn, tức là từ hình đa diện ban đầu, tạo thêm những điểm mới để tạo ra hình đa diện mới ở đó tính chất dễ khai thác hơn.. Một[r]
(1)Trang
LỜI GIẢI VÀ PHÂN TÍCH MỘT SỐ CÂU VẬN DỤNG TRONG ĐỀ THAM KHẢO KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020
Câu 38: Cho hàm số f x có f 3 3 '
1
x f x
x x
với x 0 Khi
f x dx
A B 197
6 C 292 D 1816
Lời giải 1:
3
8 d d 10
1
x
f f f x x x f
x x
8 8 8
3
3 3
229 197
d d 8 3 d 80
6
1
x
f x x xf x xf x x f f x
x x
Lời giải 2:
Ta có
1 1 1
1
1 1 1
x x
x f x
x x x x x
Suy f x x x 1 C
Màf 3 3 C Do f x x x 1
Vì
8
197
2 d
6
x x x
Nhận xét:
Với giả thiết ta xử lý theo hai hướng: Hướng 1: Tìm f x từ suy
8
d
f x x
Nếu để ý kỹ thấy
1 1 1
1
1 1 1
x x
x
x x x x x
Khi đó, dễ dàng tìm f x Hướng 2: Sử dụng tích phân phần
8 8 8 2
3
3 3
d d 8 3 d
1
x
f x x xf x xf x x f f x
x x
Như thế, cần tính f 8 xong
thuvientoan.net
(2)Trang
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 38
Câu 38.1: Cho hàm số f x liên tục 0; Biết f x lnx
x
f 1 0 Giá trị
d
e
f x x
A e2 B
2 C 16 D e22
Câu 38.2: Biết xsinx nguyên hàm hàm số f x R Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x'( )f'(x) cos x thỏa mãn F 0 0 Giá trị
4
F
bằng
A B
4
C 0 D
2
Câu 38.3:Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn điều kiện: 0 2,
f f x 0, x f x f x 2x 1 1 f x2 , x Khi giá trị f 1
(3)Trang
LỜI GIẢI BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 38
Câu 38.1: Cho hàm số f x liên tục 0; Biết f x lnx
x
f 1 0 Giá trị
d
e
f x x
A e2 B
2 C 16 D e22
Lời giải Chọn D
Ta có d ln d ln d ln ln2
2
x x
f x x x x x C
x
Nên ln2
2x
f x C, với C số Mà 1 0 ln2
2x
f C f x Do đó,
1
ln
d d
2
e e x e
f x x x
Câu 38.2: Biết xsinx nguyên hàm hàm số f x R Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x'( )f'(x) cos x thỏa mãn F 0 0 Giá trị
4
F
bằng
A B
4
C 0 D
2
Lời giải
Chọn D
sin
x x nguyên hàm hàm số f x f x xsin ' sinx x x cosx ( ) sin cos
f x x x x
'( ) 2cos sin
f x x x x
' 2cos sin
f x x x x
' ' sin
f x f x x
Khi
( ) '( ) '( ) cos d sin cos d sin2 d cos2
2
F x f x f x x x x x x x x x C
Từ (0) 0 C ( ) cos2
2 2
F F x x F Câu 38.3:Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn điều kiện:
0 2,
f f x 0, x f x f x 2x 1 1 f x2 , x Khi giá trị f 1
(4)Trang Lời giải Chọn B
Ta có f x f x 2x 1 1 f x2
2
2
1
f x f x
x f x
Suy
2
d d
1
f x f x
x x x
f x
22
d
2 d
2
f x
x x
f x
1f x2 x2 x C Theo giả thiết f 0 2 2, suy 1 2 2 C C
(5)Trang
Câu 43: Có cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn 0 x 2020 log (33 x 3) x 2y9y?
A 2019 B 6 C 2020 D 4
Lời giải
Điều kiện: x 0 nên log (33 x 3) xác định Ta có
3 3
log (3x 3) x 2y 9y log (x 1) (x 1) log 3y 9y
3
log (x 1) (x 1) log 9y 9y
1
Xét hàm số f t( ) log 3t t t , 0; có ( ) 1 0, 0;
ln
f t t
t
Do hàm số ln đồng biến 0;
Khi 1 x 9y
Vì 0 x 2020 nên 9 y 2020 0 y log 20219 Do y nguyên nên y0;1;2;3
x y; 0;0 ; 8;1 ; 80;2 ; 728;3
Vậy có cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn Nhận xét:
(6)Trang
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 43
Câu 43.1: Có cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn điều kiện 0 x 2020
log (2x 2) x 3y 8y?
A 2019 B 2018 C D
Câu 43.2: Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số x y; thỏa mãn đồng thời điều kiện e3 5x y ex y 3 1 2x 2yvà log 323 x 2y 1 m6 log 3x m 9 0?
A 6 B C 8 D 7
Câu 43.3: Cho phương trình 7x m log7x m với m tham số Có giá trị nguyên 25;25
m để phương trình cho có nghiệm?
A 9 B 25 C 24 D 26
Câu 43.4: Cho phương trình
2
2
1log 2 3 log 1 2 2
2 x x xx x x
, gọi S tổng tất nghiệm Khi đó, giá trị S
A S 2 B 13
2
S C S 2 D 13
2
(7)Trang
LỜI GIẢI BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 43
Câu 43.1: Có cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn điều kiện 0 x 2020
log (2x 2) x 3y 8y?
A 2019 B 2018 C D
Lời giải Chọn D
Do 0 x 2020 nên log (22 x 2) ln có nghĩa Ta có
2
log (2x 2) x 3y 8y
2
log (x 1) x 3log 2y 8y
2
log (x 1) x log 8y 8y
(1)
Xét hàm số f t( ) log 2t t t , 0; có ( ) 1 0, 0;
ln2
f t t
t
Do hàm số ln đồng biến 0;
Khi 1 x 8y 1
Ta có 0 x 2020 nên 0 8 y 1 2020 0 y log 2021 3,668 Mà y nên y0;1;2;3
Vậy có cặp số ( ; )x y nguyên thỏa yêu cầu toán
Câu 43.2: Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số x y; thỏa mãn đồng thời điều kiện e3 5x y ex y 3 1 2x 2yvà log 323 x 2y 1 m6 log 3x m 9 0?
A B C D
Lời giải Chọn B
Ta có e3 5x y ex y 3 1 2x 2y e3 5x y 3x 5yex y 3 1 x 3y1
Xét hàm số f t et t Ta có f t et nên hàm số đồng biến
Do phương trình có dạng f x3 5y f x 3y 1 3x 5y x 3y 12y 1 2x Thế vào phương trình cịn lại ta log23xm6 log 3x m 9
Đặt t log3x , phương trình có dạng t2 m6t m 9
Để phương trình có nghiệm 0 3m2 12m0 0 m Do có số nguyên m thỏa mãn
Câu 43.3: Cho phương trình 7x m log7x m với m tham số Có giá trị nguyên 25;25
m để phương trình cho có nghiệm?
(8)Trang Lời giải Chọn C
ĐK: x m
Đặt t log7x m ta có
7
x t
m t m x
7
x x t t
1
Do hàm số f u 7u u đồng biến , nên ta có 1 t x Khi đó: 7x m x m x 7x
Xét hàm số g x x 7x g x 1 ln 0x x log ln77 Bảng biến thiên
x log ln 77
g x
log ln 77
g
g x
Từ phương trình cho có nghiệm m g log ln 77 0,856 (các nghiệm thỏa mãn điều kiện x m 7x 0)
Do m nguyên thuộc khoảng 25;25, nên m 24; 16; ; 1 Câu 43.4: Cho phương trình
2
2
1log 2 3 log 1 2 2
2 x x xx x x
, gọi S tổng tất nghiệm Khi đó, giá trị S
A S 2 B 13
2
S C S 2 D 13
2
S Lờigiải
ChọnD
Điều kiện 12
0
x x
Ta có
2
2
1log 2 3 log 1 2 2
2 x x xx x x
2
2 1
log x x log 2
x x
1
2
f x f
x
(9)Trang Ta có 2 1
ln2
f t t
t
2ln2 2ln2
.ln
t t
t
, t Do hàm số f t đồng biến khoảng 0;
Nên 1 x 2
x
x32x2 4x 1 0
1
3 13
2
3 13
2
x x x
Kết hợp với điều kiện ta
1
3 13
2
x x
Vậy
1 13
2
(10)Trang 10
Câu 46: Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị hình
x y
4
O Số điểm cực trị hàm số g x f x 3x2
A B C D 11
Lời giải
Từ đồ thị suy hàm số y f x có 3 điểm cực trị x1 0 x2 4 x3 Xét hàm số g x f x 3x2, ta có g x 3x2 6x f x 3x2
2 2
3
0
3
0
3
3 i, 1;2;3
x
x x
g x x
f x x
x x x i
Ta có đồ thị hàm số y x 3x2
x y
x=x2
x=x3
x=x1
-3
4
1
-2 O
Ta có nhận xét phương trình x3 3x2 x1 có nghiệm; phương trình x3 3x2 x2 có nghiệm; phương trình x3 3x2 x3 có nghiệm nghiệm đôi phân biệt, khác 0; 2
Như vậy, g x có nghiệm đơn phân biệt Do hàm số g x có 7 điểm cực trị
Nhận xét:
Để xác định số cực trị hàm g x f u x ta thường hướng đến việc xét dấu
g x u x f u x
(11)Trang 11
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 46
Câu 46.1: Cho hàm số y f x ax3 bx2 cx d có điểm cực trị 0;a 2 a 3 có đồ thị đường cong hình vẽ
x y
a
2
y=f(x)
3
1
O
Đặt g x 2019f f x 2020 Số điểm cực trị hàm số
A 2 B 8 C 10 D 6
Câu 46.2: Cho hàm số y f x ax4 bx3 cx2 dx e Biết hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ bên Hỏi hàm số g x f x x2 2 có điểm cực đại?
x y
y=f'(x)
-4 O
A B C D
Câu 46.3: Cho f x đa thức bậc 4 hàm số y f x có đồ thị đường cong hình vẽ
x y
1 -2
-4
y=f'(x)
-3 O
Số điểm cực đại hàm số g x f x 33x
(12)Trang 12
Câu 46.4: Cho f x x4 ax3 bx2 cx d hàm số y f x có đồ thị đường cong hình vẽ
x y
1 -1 O
Số điểm cực trị hàm số y f f x
A B 11 C 9 D 8
Câu 46.5: Cho hàm số y f x có đạo hàm đến cấp hai 0 0; 1,
6
f f x x Biết hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Hàm số g x f x 2 mx , với mlà tham số dương, có nhiều điểm cực trị?
x y
y=f'(x)
1 5 3
4 2
O 1
(13)Trang 13
LỜI GIẢI BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 46
Câu 46.1: Cho hàm số y f x ax3 bx2 cx d có điểm cực trị 0;a 2 a 3 có đồ thị đường cong hình vẽ
x y
a
2
y=f(x)
3
1
O
Đặt g x 2019f f x 2020 Số điểm cực trị hàm số
A 2 B 8 C 10 D 6
Lời giải Chọn B
x y
y=a a
2
y=f(x)
1 O
g x f f x f x
g x f f x f x 0 f f x f x
0 f x f x a x
x a
, 2 a 3
f x có nghiệm đơn phân biệt x1, x2, x3 khác a
Vì 2 a nênf x a có nghiệm đơn phân biệt x4, x5, x6 khác x1, x2, x3, 0, a Suy g x 0 có nghiệm đơn phân biệt
Do hàm số g x 2019f f x 2020có điểm cực trị
(14)Trang 14
x y
y=f'(x)
-4 O
A B 3 C 1 D 2
Lời giải Chọn C
Ta có: y 2 2x f x x 20
2 2
2
x x x
x x x x
1 x
x
x 1 5 1 5
2 2 x | 2
f x 0 | 0
g x 0 0 0
Suy hàm số có cực đại
Câu 46.3: Cho f x đa thức bậc 4 hàm số y f x có đồ thị đường cong hình vẽ
x y
1 -2
-4
y=f'(x)
-3 O
Số điểm cực đại hàm số g x f x 33x
A B C D
Lời giải Chọn B
Ta có g x 3x2 3 f x 3x,
3
3 (1)
' (2) x
g x
f x x
(1) x
Dựa vào đồ thị cho
3
3 (2)
3
x x
x x
(15)Trang 15 Trong phương trình 3
2 x x x x
Cịn phương trình: x3 3x 1 có nghiệm phân biệt: 2 x1 1, 1 x2 0 1 x3 2 Ta có bảng biến thiên hàm số g x
Vậy hàm số g x có điểm cực đại
Câu 46.4: Cho f x x4 ax3 bx2 cx d hàm số y f x có đồ thị đường cong hình vẽ
x y
1 -1 O
Số điểm cực trị hàm số y f f x
A B 11 C D
Lời giải Chọn A
Từ đồ thị giả thiết suy f x x x 1 x3 x f x 3x21 Ta có g x f f x f f x f x x3x 3 x3 x 3x21
x x 1 x 1x3 x 1x3 x 3 x21
3
0
1
1
0 1 0 ( 0,76)
1,32
1
3
3
x x
x x
x x
g x x x x a
x b b x x
x x
(16)Trang 16
Câu 46.5: Cho hàm số y f x có đạo hàm đến cấp hai 0 0; 1,
6
f f x x Biết hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Hàm số g x f x 2 mx , với mlà tham số dương, có nhiều điểm cực trị?
x y
y=f'(x)
1 5 3
4 2
O 1
A 1 B 2 C D 3
Lời giải Chọn D
Từ đồ thị hàm số y f x suy f x 0, x 0; Do đó, f x 2 0, x 0;
Xét hàm số h x f x 2 mx; h x 2 x f x 2 m Với x 0, h x 0 Phương trình h x 0 vơ nghiệm Với x 0 ta có 2 2 2 2
3
x h x f x x f x f x
Từ đồ thị hàm số y f x ta thấy với x 0, đồ thị hàm số y f x luôn nằm đường thẳng
x y
x y
y=f'(x)
1
4
(17)Trang 17 Do đó, 2 2 0, 0,
3
x
f x x h x x hay hàm số y h x đồng biến 0; Mà h 0 m 0 lim
xh x nên phương trình h x 0 có nghiệm
0 0;
x Bảng biến thiên
x x0
y 0
y
0
0
h x
Khi phương trình h x 0 có nghiệm phân biệt
(18)Trang 18 Câu 48: Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn
3 10
( ) (1 ) ,
xf x f x x x x x Khi
0
( )d
f x x
A 17
20
B 13
4
C 17
4 D 1
Lời giải 1:
Gọi F x nguyên hàm hàm f x Với x ta có
3 10
( ) (1 )
xf x f x x x x
2 ( )3 (1 2) 11 2 (*)2
x f x xf x x x x
2 ( )d3 (1 2)d 11 2 d2
x f x x xf x x x x x x
12
3 2
1 ( )d( ) (1 )d(1 )
3 f x x f x x x12 x8 3x C
3 2 12
1 1
3F x 2F x x12 x8 x3 C
Thay x 0 ta 0 1
3F 2F C 1
Thay x 1 ta 1 0
3F 2F 8 C 2
Thay x 1 ta 1 0 17
3F 2F 24 C 3
Từ 1 , suy 1 1
6F F 8 F F 4
Từ 2 , suy 1 32 1
3F F 24 F F
Vậy
0
3 13
d
4
f x x F F
Lời giải 2:
Từ xf x( )3 f(1x2) x10 x6 2x x f x2 ( )3 xf(1x2) 2 x2 x11 x7, x Suy ra, hàm số x f x2 ( )3 xf(1x2) 2 x2 hàm lẻ Ta có 11 7
0
1 d
24
x x x
Do
0
2 2 2
1
1
( ) (1 ) d ( ) (1 )
24
x f x xf x x x x f x xf x x
(19)Trang 19
0
3 2
1
1
3 2
0
1 d 1 d 1
3
1 d 1 d 1
3 24
f x x f x x
f x x f x x
0 1
1 0
1 d d d d 15
3 f x x f x x 3 f x x f x x 24
0 1
1 0
15
2 d d d
4
f x x f x x f x x
1 13
d d
4
f x x f x x
Lời giải 3:
Ta có xf x( )3 f(1x2) x10 x6 2x, x 1
Thay x x ta xf x( 3)f(1x2) x10 x6 2x , x 2
Từ 1 , 2 suy xf x 3 xf x3 4 ,x x f x 3 f x3 4, x Thay x3 x ta f x f x
Do đó,
0 1
1 1
d d d d d
f x f x x f x x f x x x f x x
Từ 1 x f x2 ( )3 xf(1x2) x11 x7 2x2
1 1
3 2 11
0 0
1 ( )d( ) (1 )d(1 ) 2 d
3 f x x f x x x x x x
1 1
0 0
1 ( )d ( )d ( )d
3 f x x f x x f x x
Do đó,
1
3 13
( )d
4
f x x
Lời giải 4:
Với x ta có xf x( )3 f(1x2) x10 x6 2x
2 ( )3 (1 2) 11 2 (*)2
x f x xf x x x x
1 1
2 11
0 0
( )d (1 )d d
x f x x xf x x x x x x
1
3 2
0
1 ( )d( ) (1 )d(1 )
3 f x x f x x
1 1
0 0
1 ( )d ( )d ( )d
3 f x x f x x f x x
(20)Trang 20
Mặt khác
0 0
2 11
1 1
(*) x f x x( )d xf(1 x x)d x x dx x
0
2
3
1
1 17
(*) ( )d (1 )d
3 f x x 2 f x x 24
0
1
1 ( )d ( )d 17 ( )d 3 1 17 13
3 f x x f x x 24 f x x 24
Lời giải 5: Đi tìm hàm f x
Ban đầu ta nghĩ đến có f x f 3 , 1x2 bên vế phải đưa liên quan đến x3,1x2 khơng?
Ta có xf x 3 x10 2x x f x 3 x3 2
Vậy nghĩ thêm việc tạo tiếp 1x23 2 3x2 3x4x6 Hay f1x2 1 x23 2 3x2 3x4 x6
Như ta có
3 3 2 23 2 4 6 6
2 1 3
x f x x f x x x x x x
3 3 2 23 2 4
2 1 3
x f x x f x x x x
3 3 4 2 23 2
2 1
x f x x x f x x x
3 3 3 2 2 3 2
3 1
x f x x x f x x x
Đặt g x f x x3 3x 2 ta xg x 3 g 1x20 Thay x x ta
3 1 2 0
xg x g x
hay xg x 3 xg x 3 , x Do g x hàm lẻ
Như xg x 3 g 1x2 0 xg x 3 g x2 1 , x Từ giả thiết ta có g 0 g 1 0
Vì f x liên tục 1;0 nên g x liên tục 1;0
Đặt
1;0
max 0, 1;0
M g x x
Giả sử M 0 a 1;0 : g a M Chọn x b 1 a 1;0
Ta bg b 3 g a g b 3 g a M M
b b
(21)Trang 21 Điều mẫu thuẫn
1;0
max
M g x
Do 1;0
max g x 0, x 1;0
Hay g x 0, x 1;0 f x x3 3x 2, x 1;0 Vậy
0
3
1
13
( )d ( 2)d
4
f x x x x x
Nhận xét chung:
Ở cách trên, giải toán dạng ta thường hướng tới: Biến đổi giả thiết đến tính chất u f u x d f u u d
Dựa theo tính chất hàm chẵn, hàm lẻ
Sử dụng phép xác định hàm số f x * Với lời giải 1, 2, 3, 4: Ta sử dụng đến tính chất
d d u f u x f u u
hay
d d
u b b
a u a
u x f u x x f x x
Vì ta nghĩ đến việc tạo đạo hàm x3;1x2 việc nhân hai vế giả thiết với x để tạo 0 1 d d
x f x x f x x
; 1 0 d d
x f x x f x x
; 1
1 d d
2
xf x x f x x
1
2
0
1
1 d d
2
xf x x f x x
Trong đổi biến xuất
d
f x x
buộc ta phải tính thêm
d
f x x
Ở đây, cận 1;0;1 cách làm bị phá sản, ví dụ yêu cầu tính
3
d
f x x
, lúc cịn cách tìm f x Vì thế, cận 1;0;1 phải liên hệ mật thiết với x3,1x2
Ngồi ra, với hai tính chất:
Hàm số x f x2 ( )3 xf(1x2) 2 x2 hàm lẻ; Hàm số f x f x hàm chẵn hữu ích cho việc tính tốn nhanh
* Lỗi sai mắc dẫn đến phương án nhiễu 17
20
, 17
4 sai dấu tính
0
2
1
1
1 d d
2
xf x x f x x
1
2
0
1
1 d d
2
xf x x f x x
* Với lời giải 5: Việc tìm f x khó khăn, khơng nói mị Nếu f x hàm quen thuộc đoán việc thử giá trị cân hệ số
(22)Trang 22
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 48 Câu 48.1: Cho hàm f x liên tục \ 0 thỏa mãn
2 2 2, \ 0
2
xf x f x x x
x
Giá trị
d
f x x
nằm khoảng nào?
A 5;6 B 3;4 C 1;2 D 2;3 Câu 48.2: Cho hàm số y f x liên tục đoạn 0;4 thỏa mãn điều kiện
2
4xf x 6 2f x 4x , x 0;2 Giá trị
4
d f x x
A
5
B
2
C
20 D 10
Câu 48.3: Cho hàm y f x ( ) liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn
1 2 2 1, 0;1
f x f x x x x Giá trị
1
( )
f x dx
A
3 B 23 C 12 D 13
Câu 48.4: Cho hàm số y f x liên tục có đạo hàm thỏa mãn
5f x 7 1f x x 2x , x Biết
1
' d a
x f x x b
, với a
b phân số tối giản Giá trị 8a 3b
A 1 B 0. C 16 D 16
Câu 48.5: Cho hàm số f x liên tục đoạn ;1
3
thỏa mãn
2
2 ( )
3
f x f x
x
x ;1
Tích phân
1
ln d
f x x x
A 1ln
(23)Trang 23
LỜI GIẢI BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 48 Câu 48.1: Cho hàm f x liên tục \ 0 thỏa mãn
2 2 2, \ 0
2
xf x f x x x
x
Giá trị
2
d
f x x
nằm khoảng nào?
A 5;6 B 3;4 C 1;2 D 2;3 Lời giải
Chọn D
Ta có 2 2 2, \ 0
2
xf x f x x x
x
2
1
1
2 d d
2
xf x f x x x x
x
2 4
2
1 1
1 d 2 d 2 1ln 2
2 f x x f x x x4 x x
4
1 d d 1ln2
2 f x x f x x
1
1 d 1ln2
2 f x x
2
7
d ln2 2;3
2
f x x
Câu 48.2: Cho hàm số y f x liên tục đoạn 0;4
thỏa mãn điều kiện
2
4xf x 6 2f x 4x , x 0;2 Giá trị
4
d f x x
A
5
B
2
C
20 D 10
Lời giải Chọn A
Ta có 4xf x 2 6 2f x 4x2
2
2
0
4xf x df x x x xd
2
2
0
2 f x d x f x2 d 2x
4 4
0 0
2 d d d
5
f x x f x x f x x
(24)Trang 24
Câu 48.3: Cho hàm y f x ( ) liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn
1 2 2 1, 0;1
f x f x x x x Giá trị
1
( )
f x dx
A
3 B 23 C 12 D 13
Lời giải Chọn D
Ta có
1 2 2 1
f x f x x x
1
2
0
(1 ) (2 1)
I f x dx x x dx
0
1
(1 ) 0
3
I f x dx x x x
(1 )
3
I f x dx
Xét
1
(1 )
f x dx
, đặt t 1 x dt dx Đổi cận x 0 t 1;x 1 t
Ta có
1
0
(1 ) ( )( ) ( )
f x dx f t dt f t dt I
Từ 1 ; 2
2
2 ( )
3
f x dx
0
1 ( )
3
f x dx
Câu 48.4: Cho hàm số y f x liên tục có đạo hàm thỏa mãn
5f x 7 1f x x 2x , x Biết
1
' d a
x f x x b
, với a
b phân số tối giản Giá trị 8a 3b
A 1 B 0. C 16 D 16
Lời giải Chọn B
Từ 5f x 7 1f x 3x2 2x thay x 1x ta 5 1f x 7f x 3x2 1 Do ta có hệ
2
5
7
f x f x x x
f x f x x
Suy
25f x 49f x 15 x 2x 21 x 1 24f x 36x 30x21
Hay 112 10 7 112 5
8
f x x x f x x
Do
1
0
1
' d 12 d
4
a x f x x x x x
b
(25)Trang 25 Vậy 8a 3b
Câu 48.5: Cho hàm số f x liên tục đoạn ;1
3
thỏa mãn
2
2 ( )
3
f x f x
x
x ;1
Tích phân
1
ln d
f x x x
A 1ln
3 3 B 13 3ln C 5 13 3ln D 5 13 3ln
Lời giải Chọn D
Cách 1:
Từ ( )
3
f x f x
x
thay x 32x ta 2f 32x 3f x 310x
Do 4f x 9f x 10x 10 f x 2x f x 22 2
x x x
1 2 3 l
l 1ln
3
n d n d
3
xf x x x x
x Cách 2:
Ta có
1 1
2
2
3
d lnxf x xd f x lnx f x x
x
Từ ( ) , 2;1
3
f x f x x
x
Thay x 1
3
x vào (1) ta hệ
2 (1) 0
2 (1)
3 2 5
2 10
2 (1) 3 3
3 f f f f f f
Xét d f x I x x
Đặt d 22 d ,
3
x x t
t t
, đổi cận
2 1 3 x t x t Khi 1
1 2
3
2 1 d d d
3 3
2
3
3
f t f t f x
t t t x
(26)Trang 26
Ta có
1
2
3
2 d
d 3
2 3
f x
f x x x
I I
x x
1
2
3
5
5 d 5d
3
2 ( )
3
f x f
I x x x I
x
Vậy
1 1
2
2
3
d 2 2 1 5 1
ln d ln ln1 ln ln
3 3 3
f x x
f x x x f x x f f
x
(27)Trang 27
Câu 49: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A AB a SBA SCA, , 90 , góc hai mặt phẳng SAB SAC 60 Thể tích khối chóp cho
A a3 B
3
a C
2
a D
6
a
Lời giải
Từ giả thiết ta dựng hình chóp S ABDC với ABDC hình vng SD ABDC
Vì SAB SAC nên BH đường cao SAB tương ứng CH đường cao SAC
Mà SA SAB SAC nên SAB SAC, BH CH, 60 hay BHC 60hoặc BHC 120
Vì BH CH nên HI phân giác góc BHC hay
30
IHC hoặc IHC 60
Nếu IHC 30thì
sin 30
CI
CH a, không thỏa mãn
Do
3 sin 60
CI
CH a
Mà 2 12 12 32 12 12 2
2 SC a SD SC CD a
CH CA CS a a SC
Do vậy, .
3
S ABC ABC a
V S SD Chú ý:
Ta tồn hình chóp S ABDC sau:
Gọi D hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC Ta có
AB SB
AB SBD AB BD
AB SD
Tương tự AC CD ABDC hình vng cạnh a Nhận xét:
Trong toán ta sử dụng phương pháp tạo hình ẩn, tức từ hình đa diện ban đầu, tạo thêm điểm để tạo hình đa diện tính chất dễ khai thác Một số hình quen thuộc mà tính chất dễ khai thác là: Hình lập phương, hình hộp chữ nhật, lăng trụ đứng, hình chóp đều, hình chóp đáy hình chữ nhật cạnh bên vng góc với đáy,…
I a
H
a D
C
B A
(28)Trang 28
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 49
Câu 49.1: Cho tứ diện ABCD có AB CD 10, AD BC 5, AC BD 13 Gọi góc AB ACD, giá trị cos
A 10
35 B 35865 C 1010 D 1010
Câu 49.2: Cho tứ diện ABCD có AB CD 4;AC BD 5;AD BC 6 Thể tích khối tứ diện ABCD
A 15
4 B 15 62 C 45 64 D 45 62
Câu 49.3: Cho tứ diện ACFG có số đo cạnh AC AF FC a 2,AG a 3,
GF GC a Thể tích khối tứ diện ACFG A
3
a B
3
a C
12
a D 15
3a
Câu 49.4: Cho tứ diện ABCD có AB BD AD 2 ,a AC ,a BC 3a Biết khoảng cách hai đường thẳng AB CD, a, tính thể tích khối tứ diện ABCD
A
3
a B 2 2
3
(29)Trang 29
LỜI GIẢI BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 49
Câu 49.1: Cho tứ diện ABCD có AB CD 10, AD BC 5, AC BD 13 Gọi góc AB ACD, giá trị cos
A 10
35 B 35865 C 1010 D 1010
Lời giải Chọn B
I
H G
E
F D
C B
A
Dựng hình hộp AEDF GBHC
Do cạnh đối tứ diện ABCD nên đường chéo mặt hình hộp suy AEDF GBHC. hình hộp chữ nhật
Đặt AE x AF y AG z x y z , , , , 0 Ta có hệ
2 2 2
5
13
3 10
x y x
y z y
z z x
Ta thấy AB //HF AB ACD; HF ACD; Gọi I HF CD sin d F ACD ;
IF
Tứ diện FACD vuông F nên:
2
2
1 1 49
36
; FA FD FC
d F ACD
;
7
d F ACD
Mà 1 2 10
2 2
FI FH FC FD
6 10 865
sin cos
35 35
(30)Trang 30
Câu 49.2: Cho tứ diện ABCD có AB CD 4;AC BD 5;AD BC 6 Thể tích khối tứ diện ABCD
A 15
4 B 15 62 C 45 64 D 45 62
Lời giải Chọn A
D K
N M
C B
A
Dựng tứ diện AMNK , cho B C D, , trung điểm cạnh
, ,
MN NK KM Tứ diện AMNK vuông A
2 2
2 2
2 2
3
64 54
100 10 10
144 90 3 10
AM
AM AN AM
AN AK AN AN
AK AM AK AK
1 . . 1.3 10.3 10 15 6 15
6
AMNK ABCD
V AM AN AK V
Câu 49.3: Cho tứ diện ACFG có số đo cạnh AC AF FC a 2,AG a 3,
GF GC a Thể tích khối tứ diện ACFG A
3
a B
3
a C
12
a D 15
3a
Lời giải Chọn A
Dựng hình lập phương hình vẽ
Khi ABCD EFGH hình lập phương cạnh a nên thể tích hình lập phương V a
Thể tích tứ diện ACGF có ta chia hình lập phương theo mặt phẳng ACGE,ACF AGF Khi ta có
3
1 1.
3
ACGF ABC EFG ABCD EFGH a
V V V
H G
E F
D C
B
(31)Trang 31
Câu 49.4: Cho tứ diện ABCD có AB BD AD 2 ,a AC ,a BC 3a Biết khoảng cách hai đường thẳng AB CD, a, tính thể tích khối tứ diện ABCD
A
3
a B 2 2
3
a . C 2a3 6 D 2a3 2 Lời giải
Chọn B
F G
E H
D
C
B A
Từ giả thiết AB AC
Dựng lăng trụ đứng AGF BCE với D trung điểm EF VAGF BCE. 3.VABCD Khi đó, AB/ /CEFG d AB CD, d B CE, BH a với H CE BH CE ,
Ta tính 2 2 2
3
BCE ABCD BCE
(32)Trang 32
Câu 50: Cho hàm số f x Hàm số y f x có đồ thị hình sau
x y
4
-2 -2
O
Hàm số g x f 2 x x2 x nghịch biến khoảng đây? A 1;3
2
B 0;12
C 2; 1 D 2;3 Lời giải
Ta có g x 2 2f x 2x 1 1
2 x
g x f x Đặt t 1 2x 1 trở thành
2t
f t Từ đồ thị hàm số y f t
2t
y Ta có
2 21 32
4
2
2
x
t x
t
f t t x
x
Hàm số y g x nghịch biến khoảng 3;
2
và
3 ;
2
Vậy phương án A
Nhận xét:
Đây toán gặp nhiều đề thi THPT quốc gia năm gần đây, ý tưởng xét tính đơn điệu hàm số y f u x v x dựa so sánh giá trị hàm u x f x ,v x khoảng để xét dấu u x f u x v x cách sử dụng đồ thị đánh giá
t y
2
-t y= y=f'(t)
4
-2 -2
(33)Trang 33
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 50
Câu 50.1: Cho hàm số f x liên tục , hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Xét hàm số 2 3 1 9 6 4
h x f x x x Hãy chọn khẳng định
x y
4
4 2
2 -2
-2 O
A Hàm số h x nghịch biến B Hàm số h x nghịch biến 1;1
3
C Hàm số h x đồng biến 1;1
3
D Hàm số h x đồng biến Câu 50.2: Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm sau
x
f x
Hàm số y 3f x 2 x3 3x đồng biến khoảng đây?
A 1;. B ; C 1;0 D 0;2
Câu 50.3:Cho hàm số f x có đồ thị hàm số y f x' hình vẽ
x y
2
-2
-3
O
Hàm số 2 1 2
3
x
y f x x x nghịch biến khoảng sau đây?
(34)Trang 34
Câu 50.4: Cho hàm số y f x liên tục có đạo hàm Biết hàm số f x có đồ thị cho hình vẽ Có giá trị ngun m thuộc 2019;2019 để hàm số
2019x
g x f mx đồng biến 0;1 ?
x y
O 1
A 2028 B 2019 C 2011 D 2020
Câu 50.5: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x cho hình bên Hàm số
2
y f x x nghịch biến khoảng
5
3 -1
-2
x y
O
A 3; 2 B 2; 1 C 1;0 D 0;2 Câu 50.6:Cho hàm số y f x có đạo hàm Biết đồ thị hàm
y f x hình vẽ Hàm số g x f x3 1 x3 3x đồng biến khoảng nào?
A 1;
4
B 2;0 C ;1
3
D 4;
x y
4
(35)Trang 35
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÂU 50
Câu 50.1: Cho hàm số f x liên tục , hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Xét hàm số 2 3 1 9 6 4
h x f x x x Hãy chọn khẳng định
x y
4
4 2
2 -2
-2 O
A Hàm số h x nghịch biến B Hàm số h x nghịch biến 1;1
3
C Hàm số h x đồng biến 1;1
3
D Hàm số h x đồng biến Lời giải
Chọn C
2 3 1 9 6 4
h x f x x x h x 6 3f x 1 3 x 1
Xét bất phương trình h x 0 6 3f x 1 3 x 1 0 f x3 1 3x 1(*)
t y y=f'(t)
y=t
4
4
2 -2
-2
O
Quan sát hình vẽta thấy: Xét khoảng 2; f x x x * 1
3
x x
Hàm số h x đồng biến 1;1
3
(36)Trang 36
Câu 50.2: Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm sau
x
f x
Hàm số y 3f x 2 x3 3x đồng biến khoảng đây?
A 1; B ; C 1;0 D 0;2
Lời giải Chọn C
Ta có y 3f x 2 x23
Với x 1;0 x 2 1;2 f x 2 0, lại có x2 3 0 y 0; x 1;0 Vậy hàm số y 3f x 2 x3 3x đồng biến khoảng 1;0
Chú ý:
+) Ta xét x 1;2 1; x 3;4 f x 2 0;x2 3 Suy hàm số nghịch biến khoảng 1;2 nên loại hai phương án A,D +) Tương tự ta xét
; 2 2 ;0 2 0; 3 0 0; ; 2
x x f x x y x
Suy hàm số nghịch biến khoảng ; 2 nên loại hai phương án B Câu 50.3:Cho hàm số f x có đồ thị hàm số y f x' hình vẽ
x y
2
-2
-3
O
Hàm số 2 1 2
3
x
y f x x x nghịch biến khoảng sau đây?
A 6; 3 B 3;6 C 6; D 1;0 Lời giải
Chọn D
Ta có y' ' 2 f x 1 x2 2x 2 ' 2f x 1 x 123
Nhận xét: Hàm số y f x có f x' 1 3 x 3 ' 1
3
x f x x
Do ta xét trường hợp
Với 6 x 13 2x 1 suy y' 0 hàm số đồng biến (loại) Với 3 x 2x 1 11 suy y' 0 hàm số đồng biến (loại)
(37)Trang 37
Với 1 x 2x 1 nên ' 2f x 1 0 x 12 3 suy y' 0 hàm số đồng biến (nhận)
Câu 50.4: Cho hàm số y f x liên tục có đạo hàm Biết hàm số f x có đồ thị cho hình vẽ Có giá trị nguyên m thuộc 2019;2019 để hàm số
2019x
g x f mx đồng biến 0;1 ?
A 2028 B 2019 C 2011 D 2020
Lời giải Chọn D
Ta có g x 2019 ln2019 2019x f xm Ta lại có hàm số y 2019xđồng biến 0;1 Với x 0;1 2019x 1;2019
mà hàm y f x đồng biến 1; nên hàm y f 2019xđồng biến 0;1
Mà 2019x 0; 2019f x 0, x 0;1 nên hàm h x 2019 ln2019 2019x f x đồng biến 0;1 Hay h x h 0, x 0;1
Do vậy, hàm số g x đồng biến 0;1 g x 0 với x 0;1
2019 ln2019 2019 ,x x 0;1
m f x
m Vậy m 0
Câu 50.5: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x cho hình bên Hàm số
2
y f x x nghịch biến khoảng
5
3 -1
-2
x y
O
A 3; 2 B 2; 1 C 1;0 D 0;2 Lời giải
Chọn C
x y
(38)Trang 38
1
5
3 -1
-2
x y
O
Ta có y 2 (2f x) x2 y (2 x f) (2 x) 2x 2 (2f x) 2x (2 ) (2 ) (2 )
y f x x f x x Đặt t 2 x suy f t t
Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y t 2 cắt đồ thị y f t ba điểm có hồnh độ liên tiếp
1 a 2;3;4 b
Do từ đồ thị ta có
3
( ) a t a2 x 2x a
f t t t b x b x b
Vì 1 a 2 0 2 a 1 nên ( 1;0) ( 1;2 a) Do đó, hàm số nghịch biến khoảng
1;2a nên nghịch biến 1;0
Vì 4 b 5 3 2 b 2 nên ( 3; 2) ( ;2 b) Do đó, hàm số nghịch biến khoảng
;2 b khơng nghịch biến 3; 2 Vậy hàm số nghịch biến khoảng 1;0
Câu 50.6:Cho hàm số y f x có đạo hàm Biết đồ thị hàm y f x hình vẽ
x y
4
O
Hàm số g x f x3 1 x3 3xđồng biến khoảng nào? A 1;
4
B 2;0 C ;13
D 4; Lời giải
Chọn A
(39)Trang 39 3 1 33 31 11 4 2
1
x x
f x x
x
3 1 0 23
1
x f x
x
Bảng xét dấu g x
x 1
3
3 1
f x 0
2
1x
g x
Vậy hàm số đồng biến khoảng 0;2
3