Phương pháp giải toán về quan hệ vuông góc

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Gọi H là hình chiếu vuông[r]

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

HÌNH HỌC 11

Chương 3

QUAN HỆ VNG GĨC

B

C

J S

D

A

O

góc cạnh bên đáy: SB

góc mặt bên đáy:SJ O’

đáy: hình vng ABCD

các cạnh bên: SA=SB =SC =SD chiều cao:SO

Mục lục

Chương VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG

KHƠNG GIAN

§1 Đường thẳng vng góc với đường thẳng Đường thẳng vng góc với mặt phẳng

I Tóm tắt lý thuyết

1 Đường thẳng vng góc với đường thẳng Đường thẳng vng góc với mặt phẳng

2 Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng:

II Các dạng toán

§2 Hai mặt phẳng vng góc 30

I Tóm tắt lý thuyết 30

1 Hai mặt phẳng vng góc 30

2 Các định lý quan trọng 30

3 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương 31

4 Hình chóp hình chóp cụt 32

5 Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác 34

II Các dạng toán 34

§3 Khoảng cách 59

I Tóm tắt lý thuyết 59

1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng 59 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song 60

3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 60

II Các dạng toán 61

§4 Diện tích hình chiếu 83

I Tóm tắt lý thuyết 83

II Bài tập tự luyện 84

§5 Ơn tập chương III 85

Chương 3

VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN. QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

§1. Đường thẳng vng góc với đường thẳng Đường thẳng vng góc với mặt phẳng

I. Tóm tắt lý thuyết

1 Đường thẳng vng góc với đường thẳng Đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Định nghĩa

• Đường thẳng a vng góc với đường thẳng b góc a b 90◦

• Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) vng góc với đường thẳng nằm mp(α)

2 Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng:

Định nghĩa

Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB mặt phẳng (α) vuông góc với AB trung điểm AB

Tính chất

Nếu(α)là mặt phẳng trung trực AB thì: ∀M ∈(α)⇔M A=M B

II. Các dạng tốn

Dạng 1: Đường vng góc đường Đường vng góc mặt

¬ Đường thẳng vng góc với mặt phẳng:

Nếu đường thẳngdvng góc vớihai đường thẳng cắt nằm mp(α)thì đường thẳng a vng góc với mp(α)

d

a b

I α

d6⊂(α)

d⊥a, b a∩b=I a, b⊂(α)

                

⇒d⊥(α)

­ Đường thẳng vng góc với đường thẳng:

Nếu đường thẳngd vng góc với mặt phẳng (α) d vng góc với tất đường thẳng nằm trong(α)

d

a

α

d6⊂(α)

d⊥(α)

a⊂(α)

          

⇒d⊥a

4! Lưu ý:

a⊥c ckb

  

 

⇒a⊥b

1 Một số ví dụ

Ví dụ

Cho hình chópS.ABCD hình vng SA⊥(ABCD) CMR:BC ⊥(SAB)

a) b) CMR: BD⊥(SAC)

Ví dụ

Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC tam giác vng B SA⊥(ABC) a) BC ⊥(SAB)

b) Gọi AH AK đường cao ∆SAB ∆SAC CMR: SC ⊥(AHK)

Ví dụ

Cho hình chópS.ABCD có ABCD hình vng vàSA⊥(ABCD) a) CMR: ∆SDC tam giác vuông

b) GọiAH đường cao ∆SAC CMR: AH ⊥BD

Ví dụ

Cho hình chóp S.ABCDcó ABCD hình vng SA⊥(ABCD) a) CMR: BD⊥SC

b) Gọi AM, AN đường cao của∆SAB ∆SAD CMR: SC ⊥(AM N)

2 Bài tập tự luyện

Bài Cho tứ diện SABC có∆ABC vng tạiA SB ⊥(ABC) a) CMR: ∆SAC vuông

b) Gọi BM BN đường cao ∆SAB ∆SAC CMR: ∆BM N vuông

Bài Cho tứ diệnSABC có∆ABC vng tạiB vàSA⊥(ABC) Gọi AH vàAK đường cao ∆SAB ∆SAC Đường thẳng HK cắt đường thẳng BC I CMR: ∆AIC tam giác vng

Bài Cho tứ diệnDABC có hai mặt bênABC vàDBC hai tam giác cân có chung đáyBC a) CMR: BC ⊥AD

b) Gọi I trung điểm củaBC, AH đường cao ∆ADI CMR: AH ⊥(BCD)

a) CMR:SO ⊥(ABCD) b) CMR:AC ⊥SD

c) GọiI, K trung điểm SB SD CMR: SC ⊥IK

Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng tâm O SO ⊥(ABCD) Gọi M, N vàP trung điểm cạnh SA, SB CD

a) CMR:SA=SB =SC =SD

b) CMR:M N ⊥SP

(Trích đề tuyển sinh cao đẳng - 2009)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vng A D Cho AB = 2a, AD=DC =a SA⊥(ABCD)

a) CMR:∆SDC ∆SBC tam giác vuông

b) GọiM, N trung điểm củaSA SB CMR: DCN M hình chữ nhật

Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông SM ⊥ (ABCD) với M trung điểm AD

a) Chứng minh tam giác SAB SCD vuông

b) GọiN trung điểm CD Chứng minh: AN ⊥(SM B)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a Hình chiếu S

(ABCD)làH nằm cạnhAC vàAH = AC

4 GọiCM đường cao của∆SAC Chứng minh:

M trung điểm SA

(Trích đề tuyển sinh đại học khối D - 2010)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SH vng góc với mặt phẳng(ABCD) trung điểm H cạnh AD

a) Chứng minh∆SCD tam giác vuông

b) GọiM, K trung điểm cạnh BC vàSA Chứng minh (SCD)k(HKM)

c) Mặt phẳng(HKM) cắt SB N Chứng minh tứ giác HKM N hình thang vng

Bài 10 Cho hình chópS.ABC có hai mặt SBC ABC hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC

b) Gọi M trung điểm củaBC AH đường cao của∆SAM Chứng minh AH ⊥(SBC)

Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình vng SA vng góc với (ABCD)

a) Chứng minh CD ⊥(SAD)

b) Gọi AH đường cao của∆SAC Chứng minh BD⊥AH

c) Gọi M điểm đối xứng A qua B Chứng minh ∆SCM vuông

Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD cóABCD hình vng SA vng góc với (ABCD)

a) CMR: ∆SBC ∆SDC tam giác vuông

b) Chứng minh DB ⊥SC

c) Gọi AH AK đường cao ∆SAB và∆SAD Chứng minh SC ⊥(AHK)

Bài 13 Cho tứ diện S.ABC có∆ABC vng tạiB SA vng góc với (ABC)

a) Chứng minh BC ⊥(SAB)

b) Gọi AH đường cao của∆SAB Chứng minh ∆AHC tam giác vng

Bài 14 Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình vng tâmO vàSH vng góc với mặt phẳng (ABCD), với H trung điểm củaAB

a) Chứng minh AD vng góc với SB

b) Gọi K trung điểm củaBC Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (SHK)

c) Gọi G G0 trọng tâm tam giác SCD tam giác ACD Chứng minh GG0 song song với mặt phẳng (SAD)

3 Bài tập nâng cao

Chứng minh hai đường thẳng vng góc với - Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng:

Bài Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vng tâmO;SAvng góc với(ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc A lên SB, SC, SD

a) Chứng minh BC ⊥(SAB); CD ⊥(SAD); BD⊥(SAC)

b) Chứng minhAH, AK vng góc vớiSC Từ suy ba đường thẳngAH, AK, AI đồng phẳng

Bài Cho hình chóp S.ABCDcóABCDlà hình thoi tâmO Biết rằngSA=SC vàSB =SD

a) Chứng minh:SO ⊥(ABCD)

b) GọiI, J trung điểm BA, BC Chứng minh IJ ⊥(SBD)

Bài Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu O lên (ABC) Chứng minh:

a) BC ⊥(OAH)

b) H trực tâm∆ABC

c) OH2 =

1

OA2 +

1

OB2 +

1

OC2

d) Các góc ∆ABC nhọn

Bài Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông cạnha Mặt bênSAB tam giác đều;SCD tam giác vuông S Gọi I, J trung điểm AB CD

a) Tính cạnh của∆SIJ chứng minh SI ⊥(SCD), SJ ⊥(SAB) b) GọiH hình chiếu S IJ Chứng minh SH ⊥AC

Bài Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD hình vng cạnh a.∆SAB SC =a√2 Gọi H K trung điểmAB AD

a) Chứng minhSH ⊥(ABCD)

b) Chứng minhAC ⊥SK CK ⊥SD Giao tuyến vng góc (dạng 4):

Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vng A B với AB= BC = a, AD= 2a; SA⊥(ABCD) vàSA= 2a Gọi M điểm cạnh AB;(α) mặt phẳng qua M, vng góc với AB Đặtx=AM (0< x < a)

a) Tìm thiết diện hình chóp với (α) Thiết diện hình gì?

b) Tính diện tích thiết diện theoa vàx

Bài Cho tứ diện SABC có ∆ABC cạnh a, SA ⊥ (ABC) SA = 2a Gọi (α) mặt phẳng qua B vng góc với SC Tìm thiết diện tứ diện SABC với (α) tính diện tích thiết diện

a) Tìm thiết diện tứ diện SABC với (α)

b) Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm x để diện tích có giá trị lớn

Bài Cho tứ diện SABC có ∆ABC cạnh a, SA⊥(ABC) SA=a Tìm thiết diện tứ diện SABC với (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:

a) (α)qua S vng góc với BC

b) (α)qua A vng góc với trung tuyến SI ∆SBC

c) (α)qua trung điểm M SC vng góc với AB

4 Bài tập trắc nghiệm

Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông tạiB SA⊥(ABC) Mệnh đề sau đúng?

A AC ⊥(SAB) B BC ⊥(SAB) C AB⊥(SBC) D AC ⊥(SBC)

Câu Cho tứ diện ABCD có hai tam giácABC ABD hai tam giác Gọi M trung điểm AB Mệnh đề sau đúng?

A CM ⊥(ABD) B AB⊥(M CD) C AB⊥(BCD) D DM ⊥(ABC)

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng vàSA⊥(ABCD) Mệnh đề sau sai?

A BC ⊥(SAB) B CD ⊥(SAD) C AC ⊥(SBD) D BD⊥(SAC)

Câu Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ (ABC) đáy ABC tam giác vuông cân A Gọi M trung điểm BC Mệnh đề sau đúng?

A AB ⊥(SBC) B BC ⊥(SAM) C BC ⊥(SAB) D AC ⊥(SBC)

Câu Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCD hình vng cạnh bên Mệnh đề sau đúng?

A SA⊥(ABCD) B AC ⊥(SBC) C AC ⊥(SBD) D AC ⊥(SCD)

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a√2 SA⊥(ABCD) Mệnh đề sau sai?

A BC ⊥SB B CD ⊥SD C BD⊥SC D SA⊥AB

Câu Cho hình chóp S.ABCD có SA =SB =SC = SD đáy ABCD hình thoi tâm O Mệnh đề sau đúng?

A BC ⊥(SAB) B SO ⊥(ABCD) C CD ⊥(SAD) D SA⊥(ABCD)

Câu Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau

B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với C Đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng song song với vng góc với mặt phẳng cịn lại

D Mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng song song với vng góc với đường thẳng cịn lại

Câu Trong khẳng định sau đây, khẳng định đúng?

A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với B Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song với C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với D Hai đường thẳng không cắt không song song với chéo

Câu 10 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) đường thẳng b vng góc với a b vng góc với mặt phẳng (α)

B Nếu đường thẳnga song song với đường thẳngb vàb song song với mặt phẳng(α)thì asong song thuộc mặt phẳng (α)

C Nếu đường thẳng asong song với mặt phẳng (α)và đường thẳng b vng góc với mặt phẳng

(α) a vng góc với b

D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

Câu 11 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng?

A Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với B Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng cắt

C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng vng góc với D Mặt phẳng(α)và đường thẳng a khơng thuộc (α)cùng vng góc với đường thẳngdthì (α)

song song với a

Câu 12 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai?

A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song với

C Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song với

D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với

Câu 13 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng?

D Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song với

Câu 14 Trong khẳng định sau đây, khẳng định đúng?

A.Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng chúng song song với B Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng chúng song song với

C Mặt phẳng (α) vng góc với đường thẳng b mà b vng góc với đường thẳng a a song song với(α)

D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng chúng song song

Câu 15 Trong khẳng định sau đây, khẳng định đúng?

A Hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng chúng song song

B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng chúng song song C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng chúng song song

D Cho hai đường thẳng song song với nhau, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng

Câu 16 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b mặt phẳng (α), a ⊥ (α) Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau

A Nếu b ⊥(α)thì akb B Nếu bk(α) b ⊥a C Nếub ka b ⊥(α) D Nếu a⊥b bk(α)

Câu 17 Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A Nếu ak(α) b⊥a bk(α) B Nếu ak(α) b⊥(α) a⊥b C Nếua k(α)và b ⊥a b⊥(α) D Nếu ak(α) bka bk(α)

Câu 18 Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A Nếu a⊥(α) b⊥a bk(α) B Nếu ak(α) akb b k(α) C Nếua k(α)và b ⊥a b⊥(α) D Nếu ak(α) b⊥(α) b ⊥a

Câu 19 Khẳng định đúng?

A Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

B Có vơ số mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước C Có mặt phẳng qua điểm cho trước song song với đường thẳng cho trước

D Có mặt phẳng chứa đường thẳng cho trước vng góc với đường thẳng khác cho trước

Câu 20 Khẳng định sai?

B Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm mặt phẳng (α) đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α)

C Nếu đường thẳngdvng góc với mặt phẳng(α)thì đường thẳngdvng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (α)

D Nếu đường thẳngdvng góc với mặt phẳng(α)thì đường thẳngdvng góc với hai đường thẳng nằm mặt phẳng (α)

Câu 21 Khẳng định đúng?

A Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

B Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

C Có đường thẳng qua điểm cho trước song song với mặt phẳng cho trước

D Có vơ số đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

Câu 22 Trong không gian, cho đường thẳng dvà mặt phẳng(P) Điều kiện sau đâykhông

đủ để suy đường thẳngd vng góc với mặt phẳng (P)?

A d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (P) B d vng góc với đường thẳng nằm trong(P)

C d vuông góc với vơ số đường thẳng nằm (P)

D d vng góc với cạnh tam giác có đỉnh thuộc (P)

Câu 23 Trong không gian, cho đường thẳng d, d1, d2, đó, hai đường thẳng d1 d2

chéo Gọi (P) mặt phẳng chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 Khẳng

định sai?

A Nếud vng góc với hai đường thẳng d1, d2 d vng góc với (P)

B Nếud vng góc với hai đường thẳng d1, d2 d vng góc với (P)

C Nếu d vng góc với (P) d vng góc với hai đường thẳng d1, d2

D Nếu d vng góc với (P) d vng góc với hai đường thẳng d1, d2

Câu 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O, cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy Hỏi mặt bên hình chóp, có mặt tam giác vuông?

A B C D

Câu 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy Hỏi đường thẳng BD vng góc với mặt phẳng đây?

A (SAB) B (SAD) C (SAC) D (SCD)

A (SAB) B (SAC) C (SAD) D (SCD)

Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O, cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi H vàK hình chiếu A lên SB SD Hỏi đường thẳng SC vng góc với mặt phẳng mặt phẳng sau đây?

A (AHK) B (AHD) C (AKB) D (SBD)

Câu 28 Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA, SB, SC Hỏi mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB, BC, CA, có mặt phẳng chứa điểm S?

A B C D

Câu 29 Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA, SB, SC đơi vng góc với Khi đó, hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC)là

A giao điểm đường trung tuyến tam giác ABC B giao điểm đường phân giác tam giác ABC C giao điểm đường trung trực tam giác ABC D giao điểm đường cao tam giácABC

Câu 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâmO, SA=SC, SB =SD Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A SO ⊥(ABCD) B SA⊥(ABCD) C SC ⊥(ABCD) D SB ⊥(ABCD)

Câu 31 Cho hình chópS.ABC có đáy tam giác vng A, cạnh bênSB vng góc với mặt phẳng đáy Hỏi mặt bên hình chóp, có mặt tam giác vuông?

A B C D

Câu 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA ⊥ (ABCD) Từ A, kẻ AM ⊥SB (với M ∈SB) Mệnh đề sau đúng?

A SB ⊥(M AC) B AM ⊥(SAD) C AM ⊥(SBD) D AM ⊥(SBC)

Câu 33 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) ∆ABC vuông B Gọi AH đường cao ∆SAB Khẳng định sau sai?

A AH ⊥SB B AH ⊥BC C AH ⊥AC D AH ⊥SC

Câu 34 Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA⊥(ABC)và đáy ABC tam giác cân ởC GọiH K trung điểm AB SB Khẳng định sau sai?

A CH ⊥AK B CH ⊥SB C CH ⊥SA D AK ⊥SB

Câu 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình thoi, O giao điểm đường chéo SA=SC Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A SA⊥(ABCD) B BD⊥(SAC) C AC ⊥(SBD) D AB ⊥(SAC)

Câu 36 Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥ (ABCD) đáy ABCD hình thoi tâm O Mệnh đề sau sai?

Câu 37 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO, tam giácSAB vuông A tam giác SCD vuông tạiD Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A AC =BD B SO ⊥(ABCD) C AB⊥(SAD) D BC ⊥AB

Câu 38 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vuông tạiAvàD,AD=CD =a, AB= 2a,SA⊥(ABCD) Gọi E trung điểm AB Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A CE ⊥(SAB) B CB ⊥(SAB)

C ∆SDC vuông C D CE⊥(SDC)

Câu 39 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA = SB = SC Xác định hình chiếu vng góc H S lên mặt phẳng (ABCD)

A H ≡B B H ≡A

C H trung điểm củaAC D H trọng tâm tam giác ABC

Câu 40 Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình vng vàSA⊥(ABCD) Mệnh đề mệnh đề sai?

A A hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) B B chiếu vng góc C lên mặt phẳng (SAB)

C D chiếu vng góc C lên mặt phẳng (SAD) D A hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (SAB)

Câu 41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O SA ⊥(ABCD) Mệnh đề đúng?

A O hình chiếu vng góc củaS lên mp (ABCD) B A chiếu vng góc C lên mặt (SAB)

C Trung điểm AD chiếu vuông góc C lên mp (SAD) D O hình chiếu vng góc B lên mp(SAC)

Câu 42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA ⊥ (ABCD) Đường thẳngBC vng góc với đường thẳng sau đây?

A SC B AC C SB D SD

Câu 43 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vng SA⊥(ABCD) Đường thẳng BD vng góc với đường thẳng sau đây?

A SD B SC C SB D CD

Câu 44 Cho hai hình chữ nhậtABCD vàABEF nằm hai mặt phẳng khác GọiF H đường cao tam giácAF D Đường thẳng F H vng góc với đường thẳng sau đây?

A BF B BE C EH D BH

định sau

A AB ⊥CI B SB ⊥CI C SC ⊥CI D CI ⊥(SAB)

Câu 46 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N, K trung điểm AD, AB, SD Chọn khẳng định khẳng định sau

A DN ⊥(SAB) B DN ⊥KB C DN ⊥(SAC) D DN ⊥KC

Câu 47 Cho tứ diện ABCD cóAB⊥CD, AC ⊥BDvà tam giác BCD tam giác nhọn Gọi H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (BCD) Khi đó, điểm H

A trọng tâm tam giác ABC

B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC C tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC D trực tâm tam giác ABC

Câu 48 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vng tạiAvàD,AD=DC =a, AB = 2a Hình chiếu S lên (ABCD) trùng với điểm A Chọn khẳng định khẳng định sau

A AC ⊥(SBD) B BC ⊥(SAB) C BC ⊥SC D AC ⊥SC

Câu 49 Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA⊥(ABC)và đáy ABC tam giác cân ởC GọiH K trung điểm AB SB Khẳng định sau sai?

A HK ⊥AC B HK ⊥BC C AK ⊥CH D AK ⊥SB

Câu 50 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O SA ⊥ (ABCD) Gọi I trung điểm củaSC Khẳng định sau sai?

A IO ⊥(ABCD) B BC ⊥(SBA)

C AC ⊥(BID) D Tam giác SCD vng cân D

Câu 51 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O SA ⊥ (ABCD) Gọi I, F trung điểm SC, SD Khẳng định sau sai?

A IO ⊥(ABCD) B IF kAB C IF ⊥(SAD) D F O ⊥(ABCD)

Câu 52 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD vng tâm O SA ⊥ (ABCD) Gọi I, F trung điểm SC, SD Khẳng định sau sai?

A IF kAB B (F IO)k(SAB)

C SD ⊥(F AB) D Tam giác IF O vuông tạiI

Câu 53 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O SA vng góc với đáy Gọi I, F trung điểm SC, BC Khẳng định sau đúng?

A IF k(SAD) B SAkIF C AB⊥(SAD) D IO⊥(ABCD)

A Tam giácIF E B IO⊥(ABCD)

C F E ⊥(SAC) D SA⊥(IF E)

Câu 55 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O SO vng góc với đáy Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Khẳng định sau sai?

A SO⊥M N B M P ⊥QN

C SO ⊥(M N P Q) D SM N P Q =

1

2SABCD

Câu 56 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình vng, tam giácSAB tam giác hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm AB Gọi I, F trung điểm AB AD Khẳng định sau sai?

A BDk(SIF) B CF ⊥(SIF) C CF ⊥(SID) D AC ⊥SF

Câu 57 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình vng, tam giácSAB tam giác hình chiếu củaS lên mặt phẳng (ABCD)là trung điểmAB GọiI, F, J trung điểm AB, AD SA Khẳng định sau sai?

A SI ⊥CD B CF ⊥(SID)

C AC ⊥(IF J) D Tam giácSIF vuông tạiI

Câu 58 Trong tứ diện, có tối đa mặt tam giác vuông?

A B C D

Câu 59 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, AB = a, AC =

√

6

3 a Biết

SO⊥(ABCD) SB =a, khẳng định sau tam giác SAC đúng?

A Tam giácSAC vuông, không cân B Tam giác SAC cân, không vuông C Tam giác SAC vuông cân D Tam giácSAC

Câu 60 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật Gọi d1 đường thẳng qua S

vng góc với (ABCD), d2 giao tuyến mặt mặt phẳng (SAB) (SCD), d3 giao

tuyến mặt phẳng(SAD) (SBC) Xét3 mệnh đề sau

(I) d1 ⊥mp(d2, d3),

(II) d2 ⊥mp(d3, d1),

(III) d3 ⊥mp(d1, d2)

Hỏi mệnh đề(I),(II),(III), có tất mệnh đề đúng?

A B C D

Câu 61 Cho tứ diện ABCD cóAB =AC, DB =DC Gọi I trung điểm BC, H hình chiếu củaA lên DI Đường thẳngAH vng góc với mặt phẳng đây?

A (ABC) B (BCD) C (CDA) D (DAB)

A B C D

Câu 63 Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥ (ABCD) đáyABCD hình vng tâm O Gọi I trung điểm SC Khẳng định sau sai?

A BD ⊥SC B IO⊥(ABCD)

C (SAC)là mặt phẳng trung trực đoạn BD D AC ⊥(SBD)

Câu 64 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, cạnh bên SA⊥ (ABC) Mặt phẳng (P) qua trung điểmM AB vuông góc với SB cắt AC, SC, SB N, P, Q Tứ giác M N P Q hình gì?

A Hình thang vng B Hình thang cân C Hình bình hành D Hình chữ nhật

Câu 65 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác SBC ABC Mệnh đề sau sai?

A BC ⊥(SAH) B HK ⊥(SBC)

C BC ⊥(SAB) D SH, AK BC đồng quy

Câu 66 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình chữ nhật, SA⊥(ABCD)Gọi AE,AF đường cao tam giác SAB tam giác SAD Chọn khẳng định khẳng định sau?

A SC ⊥(AF B) B SC ⊥(AEC) C SC ⊥(AED) D SC ⊥(AEF)

Câu 67 Cho tứ diện ABCD cóAB =AC DB =DC Khẳng định sau đúng? A AB ⊥(BCD) B BC ⊥AD C CD ⊥(ABD) D AC ⊥BD

Câu 68 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vng,SA⊥(ABCD) Mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự H, M, K Chọn khẳng định saitrong khẳng định sau

A AH ⊥SB B HK ⊥AM C AK ⊥SD D AK ⊥HK

Câu 69 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Gọi O tâm hình vng ABCD E trung điểm SD Trong (ACE), kẻ OF kAE,F ∈CE Trên cạnhSD lấy điểmM GọiK hình chiếu O trênCM Tìm quỹ tích K

A Đường thẳng qua F song song vớiSD B Đường thẳng quaF song song vớiSO C Đường tròn đường kínhEF

Câu 70 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang cân với hai đáy làAB = 2a, CD=

a, cạnhAD =BC =a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Hỏi tam giác SAB, SAC, SAD, SBC, SBD, SCD, có tất tam giác vuông?

A B C D

Câu 71 Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình vng, cạnh bênSA vng góc với mặt phẳng đáy Cắt hình chóp mặt phẳng quaA vng góc với SC, ta thiết diện

A hình chữ nhật B hình vng

C tứ giác có hai đường chéo vng góc với D hình thoi

Câu 72 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có đáyABC tam giác nhọn, hình chiếu A0 lên mặtABC trực tâm tam giácABC Hỏi mặt bên hình lăng trụ, có mặt hình chữ nhật?

A B C D

Câu 73 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, hình chiếu S lên mặt đáy nằm BD SB =AB Khẳng định sau tam giácSAC chắn đúng?

A Tam giácSAC vuông B Tam giác SAC cân C Tam giác SAC vuông cân D Tam giácSAC

Câu 74 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâmO SA vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC và(P) mặt phẳng qua M vuông góc với đường thẳngSA Diện tích thiết diện mặt phẳng(P) với khối chóp lần diện tích đáy?

A B

2 C

1

4 D

1

ĐÁP ÁN

1 B B C B C C B A A 10.A 11.D 12.B 13.D

14.A 15.B 16.D 17.B 18.D 19.A 20.B 21.B 22.C 23.A 24.D 25.C 26.A

27.A 28.D 29.D 30.A 31.D 32.D 33.C 34.D 35.C 36.D 37.B 38.A 39.C

40.D 41.D 42.C 43.B 44.D 45.B 46.D 47.D 48.C 49.D 50.D 51.D 52.C

53.D 54.A 55.D 56.B 57.C 58.D 59.C 60.D 61.B 62.D 63.D 64.A 65.C

Dạng 2: Góc đường thẳng mặt phng

\ Xỏc nh Ô[AB,(P)]? Ta cú:

A H ⊥(P)

⇒hình chiếu vng góc củaAtrên(P)là H Hình chiếu vng góc B (P) B Suy hình chiếu vng góc củaABtrên (P)

làHB

Ô[AB,(P)] = (ÔAB, HB) = ABH.ữ

A

H B

P 4! Nếu d⊥(P) [ÿd,(P)] = 90◦

1 Một số ví dụ

Ví dụ

Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vng cạnha,SA⊥(ABCD)vàSA=a√3 Tính SB,Ô(ABCD) =?

a) b) Tớnh SC,Ô(SAB) =? c) Tớnh SD,Ô(SAC) =?

2 Bài tập tự luyện

Bài Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vng B, DA vng góc với (ABC), AB =

BC =a AD=a√3 Tính góc giữaBD với mặt phẳng (ABC) (DAC)

Bài Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình vng có cạnh bằnga, SAvng góc với đáy SA=a√6

a) Tính góc SC với mặt phẳng (ABCD)

b) Tính góc SC với mặt phẳng (SBA)

c) Tính góc SC với mặt phẳng (SBD)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có cạnh a, SO vng góc với đáy SO =a√3

a) Tính góc SAvới mặt phẳng (ABCD)

b) Tính góc SO với mặt phẳng (SBC)

Bài Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình vng cạnha, ∆SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với(ABCD) Gọi H trung điểm AB

b) Tính góc SC với mặt phẳng (ABCD)

c) Tính góc hai mặt phẳng (SAD) (SBC)

Bài Cho hình chóp S.ABCDcóABCD hình vng cạnha cạnh bên SAvng góc với đáy Biết SA=a√6

a) CMR: (SAB)⊥(SBC)

b) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD)

c) Tính góc đường thẳng SD mặt phẳng (SAC)

3 Bài tập nâng cao

Bài Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình vuông cạnha, tâm O;SO ⊥(ABCD) GọiM, N trung điểm SA, BC Biết góc M N (ABCD)bằng 60◦

a) Tính M N SO

b) Tính góc M N (SBD)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD) SA = a√6 Tính góc giữa:

SC (ABCD)

a) b) SB (SAC)

SC (SAB)

c) d) AC (SBC)

Bài Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD hình chữ nhật;SA⊥(ABCD) CạnhSC =a, hợp với đáy góc α hợp với mặt bên (SAB) gócβ Tính SA AB

4 Bài tập trắc nghiệm

Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Góc đường thẳnga mặt phẳng (P) góc đường thẳng a hình chiếu

(a) (P)

B Góc đường thẳng a mặt phẳng (P)bằng góc đường thẳng b mặt phẳng (P)

khi a b song song

C Nếu góc đường thẳng a mặt phẳng (P) góc đường thẳng a mặt phẳng

(Q)thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q)

D Nếu góc đường thẳng a mặt phẳng (P)bằng góc đường thẳng b mặt phẳng

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) Góc SB

(SAD) góc phương án đây?

A ÷BSA B SBA.÷ C BSD.÷ D SBD.÷

Câu Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD vng góc với đơi Khẳng định sau đúng?

A Góc giữaCD (ABD) góc CDB÷ B Góc AC (BCD) góc ACB.÷ C Góc CD (ABC)là góc DBC÷ D Góc giữaAC (ABD) góc CAB÷

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, SA ⊥ (ABCD) Góc SA

(SBD)là

A ÷SAB B ASB÷ C ÷ASO D ASD.÷

Câu Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên(ABC)trùng với trung điểmH cạnhBC Biết tam giácSBC tam giác Số đo góc giữaSA (ABC)

A 60◦ B 75◦ C 45◦ D 30◦

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) Góc SC

(SAB)là

A ÷CSA B CSB.÷ C ÷SCA D SCB.÷

Câu Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên tạo với mặt đáy góc Gọi H hình chiếu củaS (ABC) Khẳng định đưới đúng?

A H tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC B H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC C H trọng tâm tam giácABC

D H trực tâm tam giác ABC

Câu Cho hình chóp tam giác đều, cạnh bên có độ dài a tạo với đáy góc60◦ Tính chu vi đáy P hình chóp

A P = 3a B P = 3a

2 C P = 3a√3

2 D P = 3a

√

3

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA=a√6 Gọi α góc SC (ABCD) Tính cosα

A cosα =

√

3

2 B cosα=

√

3

3 C cosα=

√

2

2 D cosα=

Câu 10 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi α góc AC1 (A1B1C1D1) Tính

tanα

A tanα= √1

3 B tanα= 2√3

3 C tanα = D tanα=

√

2

A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 75◦

Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác có đường cao SH vng góc với (ABCD) Gọi α góc BD (SAD) Tínhsinα

A sinα=

√

3

2 B sinα=

2 C sinα =

√

10

4 D sinα=

√

6

Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình vng SA⊥(ABCD) Gọi I,J,K trung điểm AB, BC SB Khẳng định sau sai?

A Góc BD (SAC) là90◦ B Góc BD (SAB) làDBA.÷ C Góc BD (IJ K) là60◦ D Góc BD (SAD) làBDA.÷

Câu 14 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) tam giác (ABC) không vuông Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Số đo góc HK (SBC)là

A 60◦ B 90◦ C 45◦ D 120◦

Câu 15 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 Gọi α góc AC0 (ABCD) Tính

tanα

A tanα= B tanα = √1

2 C tanα=

√

3 D tanα=

√

3

Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳngSA vng góc với mặt phẳng đáy, SA=a Gọi α góc đường thẳng SC mặt phẳng(SAB) Khi đó, tanα nhận giá trị giá trị sau?

A tanα=√2 B tanα =√3 C tanα= √1

2 D tanα=

Câu 17 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M, N trung điểm SA, BC Biết AB=a, góc M N mặt phẳng đáy 45◦ TínhSO

A SO = a

√

10

2 B SO =

a√5

4 C SO =

a√10

4 D SO =

a√5

Câu 18 Cho hình chóp SABC cóSA ⊥(ABC), tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Tính số đo góc α SC (BHK)

A α = 30◦ B α= 45◦ C α= 60◦ D α= 90◦

Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, ABC÷ = 60◦, SA ⊥ (ABCD), SA=a√2 góc giữaSD (SAC)bằng 30◦ Tính diện tích S hình thoi

A S =a2 B S = a

2√2

4 C S =

a2√3

2 D S =

2a2√3

Câu 20 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình chữ nhật với AB=a, AD=a√3và SAvng góc với đáy, SA = 2a Kẻ SM, SN vng góc với SB, SD M, N Tính góc AC (AM N)

A 15◦ B 30◦ C 45◦ D 60◦

A sinα =

√

2

3 B sinα=

√

3

2 C sinα= 2√2

3 D sinα= 3√2

2

Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy vàSA=a GọiM trung điểm củaBD Tính giá trịsinαcủa góc SD và(SAM)

A sinα =

√

2

2 B sinα=

√

2

3 C sinα=

√

2

4 D sinα=

√

2

Câu 23 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình vng cạnha Tam giácSAB hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm AB Gọi M, N trung điểm củaAB, AD Tính giá trị sinϕcủa góc SN mặt phẳng(SCM)

A sinϕ=

√

3

2 B sinϕ=

√

3

5 C sinϕ=

2 D sinϕ=

Câu 24 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình vng cạnha Tam giácSAB hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm AB Tính giá trị sinϕ góc giữaSD (SBC)

A sinϕ=

√

3

2 B sinϕ=

√

6

2 C sinϕ=

√

3

4 D sinϕ=

√

6

Câu 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA=a√3 Kẻ AP ⊥SB, AQ ⊥SD P Q Gọi M trung điểm SD Tính giá trịcosinϕ góc CM (AP Q)

A cosϕ= √1

10 B cosϕ=

√

10 C cosϕ=

3√3 D cosϕ=

√

6

Câu 26 Cho mặt phẳng(P)và đường thẳngdkhông nằm trong(P) Gọi d0 hình chiếu vng góc d lên (P) Đường thẳng a nằm (P) a ⊥ d Mệnh đề sau mệnh đề

đúng?

A akd0 B a ⊥d0

C Hai đường thẳng a d đồng phẳng D Hai đường thẳng a d0 trùng

Câu 27 Cho hình chópS.ABC có đáyABC tam giác vng tạiB vàSA⊥(ABC) Xác định hình chiếu vng góc củaSC lên mặt phẳng (SAB)

A SB B SA C AC D BC

Câu 28 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 Xác định hình chiếu vng góc AC0 lên mặt phẳng(AA0D0D)

A AA0 B AD C AC D AD0

Câu 29 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình chữ nhật có tâm O SA⊥(ABCD) Mệnh đề mệnh đề sai?

A SB hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng (SAB) B SO hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng (SBD) C SD chiếu vng góc SC lên mặt phẳng (SAD) D AC chiếu vng góc SC lên mặt phẳng (ABCD)

1 B A A C C B B C D 10.D 11.D 12.D 13.C

14.B 15.B 16.C 17.A 18.D 19.C 20.C 21.C 22.D 23.D 24.D 26.B 27.A

28.D 29.B

§2. Hai mặt phẳng vng góc

I. Tóm tắt lý thuyết

1 Hai mặt phẳng vng góc

Định nghĩa

Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng

Định nghĩa

Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc hai mặt phẳng góc vng Kí hiệu: (P)⊥(Q)

2 Các định lý quan trọng

Định lý

Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng mà vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng

∆

d P

Q

(P)⊥(Q) (P)∩(Q) = ∆

d⊂(P)

d⊥∆

        

       

⇒d⊥(Q)

Định lý

P Q

R

d

(P)∩(Q) = d

(P)⊥(R) (Q)⊥(R)

     

    

⇒d⊥(R)

3 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Định nghĩa

Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao hình lăng trụ đứng

• Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác, tứ giác, v.v gọi hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, v.v

• Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi làhình lăng trụ • Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành gọi hình hộp đứng • Hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật gọi làhình hộp chữ nhật

• Hình lăng trụ đứng có đáy mặt bên hình vng gọi làhình lập phương

Hình hộp chữ nhật

Hình lập phương Tính chất

Các mặt bên hình lăng trụ đứng ln ln vng góc với mặt phẳng đáy hình chữ nhật

4 Hình chóp hình chóp cụt

Định nghĩa

Hình chóp hình chóp cóđáy đa giác cạnh bên

• ABCDEF đa giác

• SA=SB =SC =SD =SE =SF

O S

A B

D E

C F

Tính chất Trong hình chóp đều:

• Đường thẳng kẻ từ đỉnh vng góc với đáy gọi đường cao

• Đường cao qua tâm đáy (tâm đa giác tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp đa giác đáy)

A

B

C H

S

N M

Hình chóp tam giác (đáy tam giác đều)

A

B

C

D O

S

Hình chóp tứ giác (đáy hình vng)

4! Tứ diện hình chóp tam giác có bốn mặt tam giác (hay hình chóp tam giác có mặt bên tam giác đều)

Định nghĩa

Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt

Tính chất

• Hình A1A2A3A4A5A6.B1B2B3B4B5B6

là hình chóp cụt

• Hai đáy hai đa giác đồng dạng với

• Các mặt bên hình thang cân độ dài cạnh bên

A2 A3

A4

A6

B3

B4

H A1

B1

B2

B6

S

A5

B5

5 Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác

Định nghĩa

Đường thẳng qua tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng góc với mặt phẳng chứa tam giác gọi trục tam giác

Tính chất

Các điểm nằm trục tam giác cách đỉnh tam giác

II. Các dạng tốn

Dạng 1: Hai mặt phẳng vng góc

Để chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau, ta chứng minh mặt phẳng có chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Tường nhà

Nền nhà

a

α β

a⊂(β)

a⊥(α)

  

 

()()

ỵ Thc cht, chng minh hai mặt phẳng vng góc ta thực việc chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng học trước

1 Một số ví dụ

Ví dụ

Cho hình chóp S.ABCDcó ABCD hình vng SA⊥(ABCD) a) Chứng minh (SAB)⊥(SBC)

b) Chứng minh (SAC)⊥(SBD)

Ví dụ

Cho tứ diệnSABC có ∆ABC vng B SA⊥(ABC) a) Chứng minh (SBC)⊥(SAB)

Ví dụ

Cho hình chóp S.ABCDcó ABCD hình vng SA=SB =SC =SD

a) Chứng minh (ABCD)⊥(SBD) b) Chứng minh (SAC)⊥(SBD)

2 Bài tập tự luyện

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, biết AB = a, AD = a√2, SA = a, SA ⊥(ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm củaBM AC CMR:

(SAC)⊥(SM B)

(Trích đề tuyển sinh đại học khối B - 2006)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng (SAB) ⊥ (ABCD) ∆SAB tam giác Gọi M trung điểm AB

a) Chứng minh SM ⊥(ABCD) b) Chứng minh ∆SBC vuông

c) Chứng minh (SAD)⊥(SAB)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh: AM ⊥BP

(Trích đề tuyển sinh đại học khối A - 2007)

Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC GọiH hình chiếu vng góc Atrên cạnh SC Chứng minh: SC ⊥(ABH)

(Trích đề tuyển sinh đại học khối B - 2012)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA vng góc mặt đáy mặt đáyABCD hình thang vuông A vàB BiếtAB =BC AD= 2BC Gọi M trung điểm củaAD

a) CMR: tam giác SBC tam giác vuông b) CMR: BM k(SCD)

c) CMR: (SBM)⊥(SAC)

3 Bài tập nâng cao

Trục đường tròn ứng dụng:

Bài Cho ∆ABC cân đỉnh A có góc A“= 120◦, cạnh BC = a √

3 Lấy điểm S mặt phẳng chứa tam giác choSA =a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp∆SBC Chứng minh OA⊥(SBC) Tính khoảng OA

Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A với BC = 2a, góc B“= 60◦ Gọi M trung điểm cạnh BC BiếtSA=SC =SM =a√5

a) Tính khoảng cách từ S đến (ABC)

b) Tính khoảng cách từ S đến AB

Mặt phẳng vng góc Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng:

Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a ∆SAB (SAB) ⊥

(ABCD) Gọi I trung điểm AB

a) Chứng minhSI ⊥(ABCD)

b) Chứng minh∆SAD ∆SBC vng

c) Chứng minh(SAD)⊥(SAB), (SBC)⊥(SAB) d) Tính góc (SAD) (SBC)

Bài Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) (ABD) vng góc với đáy (DBC) Vẽ đường cao BE, DF ∆BCD; đường caoDK ∆ACD

a) Chứng minh:AB ⊥(BCD)

b) Chứng minh:(ABE)⊥(ADC),(DF K)⊥(ADC) c GọiO vàH trực tâm∆BCD ∆ACD Chứng minh OH ⊥(ADC)

Bài Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, SA⊥(ABCD) a) Chứng minh:(SAC)⊥(SBD)

b) Tính góc (SAD) (SCD)

c) GọiBE DF đường cao của∆∆SBD Chứng minh: (ACF)⊥(SBC);(AEF)⊥(SAC)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a SA⊥ (ABCD) Gọi M, N hai điểm cạnh BC, DC cho BM = a

2;DN = 3a

4 Chứng minh (SAM)⊥(SM N)

Bài Cho ∆ABC vng A Vẽ BB0 vàCC0 vng góc với (ABC)

a) Chứng minh:(ABB0)⊥(ACC0)

b) Gọi AH, AK đường cao ∆ABC ∆AB0C0 Chứng minh (BCC0B0) (AB0C0)

4 Bài tập trắc nghiệm

A Câu hỏi lý thuyết

Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với

B Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

C Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng song song với

D Nếu đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng hai mặt phẳng vng góc với

Câu Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng?

A Một mặt phẳng(α) đường thẳng a khơng nằm (α) vng góc với đường thẳng b (α) song song với a

B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng vng góc với C Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cắt

D Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với

Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với B.Qua đường thẳng có mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với D Qua điểm có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

Câu Cho (α) (β) hai mặt phẳng vng góc với với giao tuyến m = (α)∩(β) a, b, c, d đường thẳng Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Nếu b ⊥m b⊂(α) b ⊂(β) B Nếu d⊥m d⊥(α)

C Nếua ⊂(α)và a⊥m a⊥(β) D Nếu ckm ck(α) ck(β)

Câu Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt điểm M Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Có mặt phẳng qua M vng góc với (P)

B Có vơ số mặt phẳng quaM vng góc với (P)và vng góc với (Q)

C Có mặt phẳng quaM vng góc với (P)và vng góc với (Q) D Khơng có mặt phẳng quaM vng góc với (P)và vng góc với (Q)

Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai mặt phẳng (P) và(Q) vng góc với cắt theo giao tuyếnd Với điểm A thuộc (P) điểm B thuộc (Q)thì ta có AB vng góc với d

B Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với mặt phẳng (R) giao tuyến (P)

C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với D Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

Câu Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A Qua điểm có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

B Cho hai đường thẳng chéo a b đồng thời a ⊥ b Ln có mặt phẳng (α) chứa a

(α)⊥b

C Cho hai đường thẳng a b vng góc với Nếu mặt phẳng (α) chứa a mặt phẳng

(β) chứab (α)⊥(β)

D Qua đường thẳng có mặt phẳng vng góc với đường thẳng khác

Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

B Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

C Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

D Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

Câu Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A Cho hai đường thẳng a b vng góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường song song với đường

B Cho đường thẳnga ⊥(α), mặt phẳng (β)chứa a (β)⊥(α)

C Cho hai đường thẳng chéo a b, ln ln có mặt phẳng chứa đường vng góc với đường thẳng

D Cho hai đường thẳng a b vng góc với nhau, mặt phẳng(α) chứaa mặt phẳng

(β) chứab (α)⊥(β)

Câu 10 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng vng góc với B Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng cắt

D Một mặt phẳng(P) đường thẳnga không nằm trong(P) vng góc với đường thẳng b ak(P)

Câu 11 Chọn mệnh đề mệnh đề sau

C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song

D Đường thẳng a mặt phẳng (α)cùng vng góc với đường thẳng b a song song với b

Câu 12 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A Cho đường thẳng a vng góc với đường thẳng b b nằm mặt phẳng (P) Mọi mặt phẳng (Q) chứaa vuông góc với b (P)vng góc với (Q)

B Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b mặt phẳng (P) chứa a, mặt phẳng (Q)

chứab (P)vng góc với (Q)

C Cho đường thẳng avng góc với mặt phẳng (P), mặt phẳng(Q) chứaathì (P)vng góc với (Q)

D Qua điểm có mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước

Câu 13 Cho hai mặt phẳng (P)và (Q),a đường thẳng nằm (P) Mệnh đề sau sai?

A Nếu akb với b= (P)∩(Q) ak(Q) B Nếu (P)⊥(Q)thì a⊥(Q) C Nếua cắt (Q) (P) cắt (Q) D Nếu (P)k(Q) ak(Q)

Câu 14 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba song song với

B Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

C Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với hai mặt phẳng cắt cho trước

D Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với

Câu 15 Cho a, b, c đường thẳng Mệnh đề sau đúng? A Cho a⊥b Mọi mặt phẳng chứa b vng góc với a

B Nếua⊥b mặt phẳng(α) chứa a; mặt phẳng(β) chứab (α)⊥(β)

C Choa ⊥b vàb nằm mặt phẳng (α) Mọi mặt phẳng (β) chứaa vuông góc với b

(β)⊥(α)

D Cho a k b Mọi mặt phẳng (α) chứa c c ⊥ a c ⊥ b vng góc với mặt phẳng (a,b)

Câu 16 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với

B Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

C Các mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước chứa đường thẳng cố định

Câu 17 Chọn mệnh đề mệnh đề sau A Nếua ⊂(P), b⊂(Q) vàa ⊥b (P)⊥(Q) B Nếua ⊂(P), b⊂(Q) (P)⊥(Q)thì a⊥b C Nếu (P)⊥(Q)và a ⊂(P) a⊥(Q) D Nếu a⊂(P) a⊥(Q)thì (P)⊥(Q)

B Bài tập quan hệ vng góc

Câu 18 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình chữ nhật SA⊥(ABCD) Trong mặt phẳng chứa mặt bên hình chóp, có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

(ABCD)?

A B C D

Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA⊥(ABCD) Trong số mặt phẳng chứa mặt bên mặt đáy hình chóp, có mặt phẳng vng góc với

(SAB)?

A B C D

Câu 20 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình thoi, SA⊥(ABCD) Mệnh đề sau đúng?

A Mặt phẳng (ABCD) vng góc với mặt phẳng (SAC) B Mặt phẳng (ABCD) vng góc với mặt phẳng (SBD) C Mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (SBC) D Mặt phẳng (SAD) vng góc với mặt phẳng (SDC)

Câu 21 Cho hình chóp S.ABC có đáyABC tam giác vng B,SA⊥(ABC) GọiAH AK đường cao tam giácSAB SAC Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau

A Mặt phẳng (SBC)vng góc với mặt phẳng (SAB) B Mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng(AHK) C Mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (AHC) D Mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (AKB)

Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy GọiO giao điểm củaAC BD,I trung điểm AD Trong điểm sau, điểm chân đường cao hình chóp?

A A B B C I D O

Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình thoi tâm O Các mặt phẳng (SAC)

(SBD) vng góc với mặt phẳng đáy Hãy xác định đường thẳng vng góc với (ABCD)

trong đường sau đây?

Câu 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B Gọi I,J trung điểm AB CD Các mặt phẳng (SCI) (SDI) vng góc với (ABCD) Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A AD vng góc với (SAB) B BC vng góc với (SAB) C CD vng góc với (SAB) D IJ vng góc với (SAB)

Câu 25 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình vng cạnha, tâmO SA⊥(ABCD) Biết góc (SBD)và (ABCD)bằng 60◦ TínhSO

A SO = a

√

2

2 B SO =

a√3

2 C SO =a

√

2 D SO = a

√

6

Câu 26 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba song song với B Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với

C Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

D Các mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước ln qua đường thẳng cố định

Câu 27 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB =a, BC =b, CC0 =c Độ dài đường chéo AC0

A AC0 =√a2 +b2+c2. B. AC0

=√a2+b2−c2.

C AC0 =√a2−b2+c2. D. AC0 =√−a2+b2 +c2.

Câu 28 Độ dài đường chéo hình lập phương cạnh 2a

A 2a√2 B 2a√3 C 2a√5 D 4a

Câu 29 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, cạnh bên SA vng góc với đáy, I trung điểm AC, H hình chiếu I lên SC Mệnh đề sau đúng?

A (SBC)⊥(SAB) B (BIH)⊥(SBC) C (SAC)⊥(SAB) D (SAC)⊥(SBC)

Câu 30 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, cạnh bên SA vng góc với đáy, I trung điểm AC, H hình chiếu I lên SC Mệnh đề sau đúng?

A (SAC)⊥(SAB) B (BIH)⊥(SBC) C (SAC)⊥(SBC) D (SBC)⊥(SAB)

Câu 31 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, M trung điểm AB, N trung điểm AC, (SM C)⊥(ABC), (SBN)⊥(ABC), G trọng tâm tam giác ABC, I trung điểm BC Mệnh đề sau đúng?

A AB ⊥(SM C) B IA⊥(SBC) C BC ⊥(SAI) D AC ⊥(SBN)

Câu 32 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, M trung điểm AB, N trung điểm AC, (SM C)⊥(ABC),(SBN)⊥(ABC), Glà trọng tâm tam giác ABC, I trung điểm BC Mệnh đề sau đúng?

Câu 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vng góc với đáy Mệnh đề sau đúng?

A (SCD)⊥(SAD) B (SBC)⊥(SIA) C (SDC)⊥(SAI) D (SBD)⊥(SAC)

Câu 34 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) đáy ABC tam giác cân A Gọi H hình chiếu vng góc củaA lên (SBC) Mệnh đề sau đúng?

A H ∈SC B H ∈SB

C H trùng với trọng tâm ∆SBC D H∈SI (với I trung điểm BC)

Câu 35 Cho tứ diệnABCD có hai mặt bên ACDvàBCD hai tam giác cân có đáyCD Gọi H hình chiếu vng góc B lên (ACD) Mệnh đề sau sai?

A H ∈AM (M trung điểm củaCD) B (ABH)⊥(ACD)

C AB nằm mặt phẳng trung trực CD

D Góc hai mặt phẳng (ACD)và (BCD) góc ADB

Câu 36 Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD hình thoi tâmI, cạnh bênSA vng góc với đáy,H, K hình chiếu củaA lên SC, SD Mệnh đề sau đúng?

A (SIC)⊥(SCD) B (SCD)⊥(AKC) C (SAC)⊥(SBD) D (AHB)⊥(SCD)

Câu 37 Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD hình thoi tâmI, cạnh bênSA vng góc với đáy Mệnh đề sau đúng?

A (SBC)⊥(SIA) B (SBD)⊥(SAC) C (SDC)⊥(SAI) D (SCD)⊥(SAD)

Câu 38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với(ABCD) Trong số mặt phẳng chứa mặt đáy mặt bên hình chóp, có mặt phẳng vng góc với(SAB)

A B C D

Câu 39 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình thoi Mặt phẳng(SAC) vng góc với

(ABCD) Trong mệnh đề sau, cho biết mệnh đề nàođúng

A (SAC) vuông góc với (SBD) B (SBD) vng góc với (ABCD) C (ABCD) vng góc với (SAB) D (SAB)vng góc với (SAD)

Câu 40 Cho tứ diện ABCD cóAB=AC =AD tam giác BCDvuông B Trong cặp mặt phẳng sau, cặp vng góc với nhau?

A (ABC) và(ABD) B (ABD)và (BCD) C (BCD) (ACD) D (ACD) (ABC)

Câu 41 Cho tứ diện ABCD có BCD tam giác vuông B Mặt phẳng (ABC) vng góc với (BCD) Trong cạnh tứ diện cho, cạnh đường cao?

Câu 42 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B với AB = 3a, BC = 4a Biết SA⊥(ABC)và góc giữa(SBC)và(ABC)bằng 60◦, tính diện tích tam giác SBC

A 12a2. B. 18a2. C. 3a2√3. D. 6a2.

Câu 43 Cho hình chópS.ABC có đáy ABC tam giác cạnha SA⊥(ABC), mặt phẳng SBC tạo với đáy (ABC) góc30◦ Tính diện tích tam giác SBC

A a2. B. a

2

2 C a

2√3. D. a 2√3

2

Câu 44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA ⊥ (ABCD) Biết diện tích tam giác SBD a2 Tính SA

A SA= a

√

3

2 B SA=

a√2

2 C SA=

a√6

2 D SA=

a

2

Câu 45 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân B, cạnh bên SA vng góc với đáy,M trung điểmBC, J hình chiếu củaAlênBC Góc giữa2mặt phẳng(SBC)và(ABC)

là

A góc SBA.÷ B góc SJ A.’ C gócSM A.÷ D góc ÷SCA

Câu 46 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân C, (SAB) ⊥ (ABC), SA =

SB =AC, I trung điểm AB Gọi α góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) Tính α

A α = 30◦ B α= 60◦ C α= 90◦ D α= 45◦

Câu 47 Cho hình chóp S.ABC có đáyABC tam giác cân tạiA, cạnh bên SAvng góc với đáy, M trung điểm BC, J trung điểm BM Góc 2mặt phẳng (SBC)và (ABC)

A góc SBA.÷ B góc SJ A.’ C gócSCA.÷ D góc SM A.÷

Câu 48 Cho tứ diện S.ABC có (SBC) ⊥ (ABC) SBC tam giác cạnh a ABC tam giác vng Avà ABC÷ = 30◦ Gọiϕlà góc hai mặt phẳng(SAC)và (ABC) Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A tanϕ= 3√3 B ϕ= 45◦ C ϕ= 30◦ D tanϕ= 2√3

Câu 49 Trong khơng gian cho tam giác SAB hình vuông ABCD cạnh a nằm hai mặt phẳng vuông góc Gọi H, K trung điểm AB, CD Gọi ϕlà góc hai măt phẳng (SAB) (SCD) Tính tanϕ

A √

2

3 B

2√3

3 C

√

3

3 D

√

3

Câu 50 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Gọi I, J trung điểm cạnh AB BC Trong cặp mặt phẳng sau đây, cặp mặt phẳng khơng vng góc với nhau?

A (SAD) (SAB) B (SCI)và (SDJ) C (SAC) (SBD) D (SAB) (SBC)

A (SAB) và(M AC) B (SAC) (SBD) C (SBD) (ABCD) D (ABCD)và (SAC)

Câu 52 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có tất mặt hình thoi Ba cạnh xuất phát từA tạo với góc 60◦ theo đôi Trong cặp mặt phẳng sau đây, cặp vng góc với nhau?

A (ABCD) (ABB0A0) B (ABB0A0) (ADC0B0) C (ADC0B0)và (BCD0A0) D (BCD0A0) (A0B0C0D0)

Câu 53 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D với AB =

AD= 2DC = 2a Gọi I trung điểm AD Các mặt phẳng(SIC) (SIB)cùng vng góc với

(ABCD) Biết góc (SBC)và (ABCD) 60◦ Tính diện tích tam giácSBC

A 3a2 B 3a

2

2 C

3a2

4 D

3a2√3

Câu 54 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình thang vuông tạiA vàD với AB= 2a, AD= 3a DC = a Gọi I điểm thuộc đoạn AD cho IA = 2ID Biết SI ⊥(ABCD) góc giữa(SBC) (ABCD)bằng 60◦, tính chiều cao tam giác SBC

A a √

10

5 B

4a√10

5 C a

√

10 D 4a √

30 15

Câu 55 Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x Với giá trị x hai mặt phẳng (ABC)

(ABD) vng góc?

A x= a

√

3

3 B x=

a

2 C x=

a√2

2 D x=

a

3

Câu 56 Cho hình chóp đềuS.ABC có cạnh đáy bằnga, góc mặt bên mặt đáy

60◦ Tính độ dài đường cao SH hình chóp

A SH = a

√

3

3 B SH =

a√2

3 C SH =

a

2 D SH =

a√3

C Bài tập hình chóp đều, lăng trụ đứng, lăng trụ

Câu 57 Cho hình lăng trụ đứng ngũ giác (H ) Trong khẳng định sau, khẳng định

sai?

A Các cạnh bên (H ) song song với B Các mặt bên (H) song song với C Hai mặt đáy (H )song song với D Các cạnh bên (H)

Câu 58 Cho mệnh đề sau: (1) Hình hộp hình lăng trụ đứng

(4) Hình lăng trụ đứng hình hộp chữ nhật Số mệnh đề sai

A B C D

Câu 59 Các mặt bên hình chóp cụt hình gì?

A Hình thang cân B Hình tam giác cân

C Hình vng D Hình tam giác

Câu 60 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Nếu hình hộp có hai mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật B Nếu hình hộp có ba mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật C Nếu hình hộp có bốn mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật D Nếu hình hộp có năm mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật

Câu 61 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt

B Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt

C Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt

D Phần hình chóp nằm đáy thiết diện không song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt

Câu 62 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD hình vng tâm O Các cạnh bên cạnh đáy a Gọi M trung điểmSA Góc hai mặt phẳng (M BD)

(ABCD)

A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 75◦

Câu 63 Tính độ dàid đường chéo hình hộp chữ nhật biết độ dài ba cạnh xuất phát từ đỉnh a, b, c

A d =√a+b+c B d=a+b+c

C d=√a2+b2+c2. D. d=√a+√b+√c.

Câu 64 Tính chiều cao h hình chóp tứ giác có tất cạnh bằnga A h =a√2 B h= a

√

2

2 C h=

2a D h= 2a

Câu 65 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 Gọiα,β,γ là3 góc tạo đường chéoAC0 với 3cạnh chung đỉnh A Tính A= sin2α+ sin2β+ sin2γ

Câu 66 Cho hình chóp tứ giác S.ABCDcó cạnh đáy avà đường cao a √

6 Mặt

phẳng(α) qua Avà vng góc với SC cắtSB, SC, SD B0, C0,D0 Tính diện tích S tứ giácAB0C0D0

A S = a

2√2

3 B S =

a2√3

3 C S =

2a2√2

3 D S =

2a2√3

Câu 67 Cho tứ diện ABCDcạnh a GọiM trung điểmCD Gọiα góc hai đường thẳngBC AM Tính cosα

A cosα =

√

3

2 B cosα=

2 C cosα=

√

3 D cosα= 2√3

Câu 68 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a Tính diện tíchS thiết diện tạo thành cắt hình lập phương mặt phẳng trung trực AC0

A S = a

2√3

2 B S =a

2. C. S = a 2√3

4 D S =

3a2√3

4

Câu 69 Cho hình lăng trụ lục giác đềuABCDEF.A0B0C0D0E0F0 có cạnh bên bằngavàADD0A0 hình vng Cạnh đáy hình lăng trụ cho

A a

2 B a C

a√2

2 D

a√3

Câu 70 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có cạnh đáy a Gọi M điểm cạnh AA0 cho AM = 3a

4 Tan góc hợp hai mặt phẳng (M BC) (ABC)là

A √

2

2 B

√

3 C √1

3 D

√

3

Câu 71 Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB =a, AC =a√3 hình chiếu vng góc đỉnh A0 lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Cosin góc hai đường thẳng AA0 B0C0

A

4 B

1

√

2 C

1

2 D

√

3

Câu 72 Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a, đường cao SO = 2a Gọi M điểm thuộc đường caoAH tam giác ABC Xét mặt phẳng (P)đi qua điểm M vng góc với AH Đặt AM = x Tìm x để diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P)

đạt giá trị lớn A x= a

√

3

3 B x= 3a√3

8 C x=

a√3

8 D x= 3a√3

4

Câu 73 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 cạnh đáy bằnga ĐiểmM thuộc đoạnAB0 cho M A

M B0 =

5

4 Một mặt phẳng(P)đi qua điểmM song song với đường thẳngA

0C và BC0 cắt đường thẳngCC0 C1 Tính tỉ số

C1C0

CC0 A C1C

0

CC0 =

1

2 B

C1C0

CC0 =

4

9 C

C1C0

CC0 =

5

9 D

C1C0

CC0 =

1

Câu 74 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a Gọi E, F M trung điểm AD, AB CC0 Tính diện tích S thiết diện cắt mặt phẳng (EF M)

A S = 7a

2√11

8 B S =

7a2√11

24 C S = 77a2

72 D S = 7a2

ĐÁP ÁN

1 D A C C C B B D B 10.D 11.B 12.B 13.B

14.C 15.C 16.C 17.D 18.C 19.B 20.A 21.D 22.C 23.C 24.C 25.C 26.D

27.A 28.B 29.C 30.D 31.C 32.D 33.A 34.D 35.D 36.C 37.B 38.C 39.A

40.C 41.D 42.A 43.B 44.C 45.B 46.D 47.D 48.B 49.B 50.C 51.D 52.C

53.A 54.B 55.A 56.C 57.B 58.C 59.A 60.D 61.A 62.B 63.C 64.B 65.C

66.B 67.D 68.D 69.A 70.D 71.A 72.B 73.D 74.B

Dạng 2: Góc hai mặt phẳng

I P

Q

a

b

d

     

    

(P)∩(Q) = d a (P), ad b (Q), b d

[(ÔP),(Q)] =ữ(a, b)

4! Chú ý quan trọng:

1 Nếu (P)(Q) thỡ kt lun Ô[(P),(Q)] = 90

2 Khi giải tập, lúc a, b có sẵn hình a, b khó xác định Khi đó, ta có phương pháp để tìm a, bnhư sau:

? B1: Xác định d= (P)∩(Q);

? B2: Tìm mặt phẳng (R) vng góc vớid; ? B3: Xác định: a= (R)∩(P), b = (R)∩(Q)

(a, b hai đường thẳng cần tìm)

1 Một số ví dụ

Ví dụ

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vng cân B, AB = a Hai mặt phẳng (SAB)

và (SAC) vng góc với đáy, SA=a√3 a) Chứng minh: SA(ABC)

d) Tớnh: [(SABÔ),(SBC)] =?

e) Tớnh: [(SACÔ),(SBC)] =?

2 Bài tập tự luyện

Bài Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vng B SA vng góc với (ABC) Biết AB =BC =a, SA=a√3

a) Tính góc hai mặt phẳng SAB)và (SAC)

b) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC)

c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SAC)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với đáy SO =a√3 Tính góc hai mặt phẳng(SAB) (ABCD)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,SA vng góc với đáy SA=a√3

a) Tính góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC)

b) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD)

c) Tính góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD)

Bài Cho hình chópS.ABCD có đáyABCDlà hình vng cạnha, mặt bên(SAD)vng góc với (ABCD)và SAD tam giác Gọi M trung điểm củaAD

a) Chứng minh SM vng góc với (ABCD)

b) Tính góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD)

c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a Biết SA = 2a SA⊥(ABCD) Gọi M, N trung điểm cạnhSA SB

a) Tính góc đường thẳng SO mặt phẳng (ABCD)

Bài Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD hình vng tâm O, cạnha SO⊥(ABCD) SO=a√3

a) Tính góc đường thẳngSC mặt phẳng(ABCD)

b) Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD)

3 Bài tập nâng cao

Bài Cho hình vng ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a√3 Tính góc mặt phẳng sau đây:

(SBC) (ABC)

a) b) (SBD) (ABD) c) (SAB)và (SCD)

Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân với BA = BC = a; SA ⊥

(ABC)và SA=a Gọi E F trung điểm AB AC Tính góc mặt phẳng sau:

(SAC) (SBC)

a) b) (SEF) (SBC)

Bài Cho hình chópS.ABCD cóSA⊥(ABCD),ABCD hình vng cạnha; SA=a Tính góc hai mặt phẳng(SBC) (SCD)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB= 2a;SA⊥(ABCD) SA=a√3 Tính góc mặt phẳng

(SAD) (SBC)

a) b) (SBC) (SCD)

Bài Cho tứ diện ABCD có ∆ABC vng cân với AB =AC =a; ∆DBC Góc hai mặt phẳng(ABC) (DBC) 30◦

Tính AD khoảng cách từ A đến (BCD) a)

Tính góc hai mặt phẳng (ABD) (BCD); Góc giữa(ADC) (ADB) b)

4 Bài tập trắc nghiệm

A Câu hỏi lý thuyết

Câu Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng

B Góc hai mặt phẳng góc hai véc-tơ phương hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng

Câu Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến ∆ Gọi ϕ góc (P)

(Q) Có tất mệnh đề mệnh đề sau?

• ϕ góc hai đường thẳng a b vng góc với ∆

• ϕ góc hai đường thẳng a b vng góc với ∆, nằm (P)

(Q)

• ϕ góc hai đường thẳng a b đồng quy với ∆, vng góc với ∆, nằm (P) và(Q)

A B C D

Câu Cho đường thẳng d cắt khơng vng góc với mặt phẳng (P) Gọi (Q) mặt phẳng thay đổi chứa d Gọi ϕlà góc (P) (Q) Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A Chỉ tồn giá trị lớn mà không tồn giá trị nhỏ ϕ B Chỉ tồn giá trị nhỏ mà không tồn giá trị lớn củaϕ C Không tồn giá trị lớn không tồn giá trị nhỏ ϕ D Tồn giá trị lớn giá trị nhỏ củaϕ

B Góc hai mặt phẳng

Câu Cho hai mặt phẳng cắt nhau(α)và(β), biết có đường thẳng thỏa mãnd1 ⊥(α),

d2 ⊥(β), d3 k(α), d4 k(β) Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề mệnh đề đúng?

A Góc (α) (β)là góc d3 d4 B Góc (α) (β) góc d1 d2

C Góc (α)và (β) góc d1 d4 D Góc (α) (β) góc d2 d4

Câu Cho hình chópS.ABC có đáyABC vng tạiB, cạnh bênSAvng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABC)bằng góc đây?

A CSA.÷ B SBA.÷ C ÷SCA D ASB.÷

Câu Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, cạnh bên SA = 2a vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính góc tạo hai mặt phẳng (SBC) (ABC)

A 45◦ B 49◦60 C 40◦530 D 62◦140

Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC = 2a Biết cạnh bên SA=a vng góc với mặt phẳng đáy(ABCD) Tính tan góc tạo hai mặt phẳng (SBD)

và (ABCD)

A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 90◦

A SABC =SA0B0C0.cosϕ B SA0B0C0 =SABC.cosϕ C SA0B0C0 =SABC.sinϕ D SABC =SA0B0C0.sinϕ

Câu Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (ABC)

(SBC) Khẳng định sau đúng?

A SABC =SSBC.cosϕ B SABC =SSBC.sinϕ C SABC =SSAB.cosϕ D SABC =SSAC.cosϕ

Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, SA ⊥ (ABCD) Góc hai mặt phẳng(SBD) (ABCD)

A ÷AOS B ADS.÷ C ABS.÷ D BSO.÷

Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, SA ⊥ (ABCD), gọi I, J trung điểm cạnh AB, CD Góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) góc hai đường thẳng nào?

A SA SD B SB SC C SB SD D SI SJ

Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, SA⊥(ABCD) Tính góc hai mặt phẳng(SAB) (SAD)

A 30◦ B 60◦ C 90◦ D 45◦

Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA ⊥(ABCD) SA =a√3 Tính góc hai mặt phẳng(SCD)và (ABCD)

A 30◦ B 60◦ C 90◦ D 45◦

Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, SA⊥(ABCD) Tính góc hai mặt phẳng(SCD)và (SAD)

A 90◦ B 45◦ C 60◦ D 30◦

Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O,SA ⊥(ABCD) Gọi H hình chiếu vng góc O lên cạnh SC Góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) góc hai đường thẳng sau đây?

A SB SD B BH CH C CH DH D BH DH

Cho hình chóp S.ABC có tất cạnh a Tính

tancủa góc mặt bên mặt phẳng đáy hình chóp

A 2√2 B √

2

2 C

√

2 D √3

A C

M B

O S

Câu 17 Cho hình chópS.ABCD có tất cạnh bằnga Tính tang góc mặt bên mặt phẳng đáy chóp

A √

3

2 B

√

2

2 C

√

2 D √3

Câu 18 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a Tính tang góc hai mặt phẳng (DA0C0) mặt phẳng (A0B0C0D0)

A √1

2 B

√

3 C √2 D

2

Câu 19 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình vng, cạnh bênSAvng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết AC = 2a SA=a√6 Tính góc tạo hai mặt phẳng (SBC)

và (ABCD)

A 60◦ B 50◦460 C 39◦130 D 30◦

Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết BD = 2a SA = a√6 Tính góc tạo hai mặt phẳng (SAB) (SAD)

A 60◦ B 30◦ C 47◦250 D 90◦

Câu 21 Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0, tính góc ϕtạo mặt phẳng(A0BD)với mặt phẳng (A0B0C0D0)

A ϕ≈54◦440 B ϕ= 60◦ C ϕ= 45◦ D ϕ≈35◦150

Câu 22 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a√3 Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính góc ϕtạo mặt phẳng (SAB)và (SAC)

A ϕ= 30◦ B ϕ≈53◦240 C ϕ= 60◦ D ϕ≈64◦270

Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình thoi tâm I, có cạnh bằnga vàABC÷ =

60◦ Cạnh bên SC = a

√

6

2 vuông góc với mặt phẳng đáy Xác định độ lớn góc hai

mặt phẳng (SAC)và (SBD)

A 60◦ B 45◦ C 90◦ D 30◦

A ϕ≈75◦20 B ϕ≈73◦530 C ϕ≈75◦310 D ϕ≈72◦140

Câu 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, hình chiếu đỉnh S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm M cạnh AB Giả sử tam giác SAB tam giác đều, tính góc ϕtạo mặt phẳng (SCD) với mặt phẳng (ABCD)

A ϕ= 45◦ B ϕ≈49◦60 C ϕ≈40◦530 D 60◦

Câu 26 Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC có mặt bên tạo với mặt đáy góc 30◦, biết diện tích xung quanh hình chóp 90cm2 diện tích đáy hình chóp gần với giá trị nhất?

A 77cm2. B. 72cm2. C. 75cm2. D. 78cm2.

Câu 27 Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a, gọi M trung điểm SC Tính góc hai mặt phẳng(M BD) (SAC)

A 60◦ B 45◦ C 90◦ D 30◦

Câu 28 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy (ABCD), SA = 2a Tính tan góc hai mặt phẳng (SBD)

(ABCD)

A √5 B √2

5 C

√

5

2 D

1

√

5

Câu 29 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy tam giác vng cân, AB = BC = 2a, A0B = 4a Tính góc ϕtạo hai mặt phẳng (A0BC)và (A0B0C0)

A ϕ= 30◦ B ϕ= 45◦ C ϕ≈53◦350 D ϕ= 60◦

Câu 30 Cho hình chópS.ABC có đáyABC tam giác cạnha, tam giácSAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính độ lớn góc ϕ tạo hai mặt phẳng

(SBC) mặt phẳng (ABC)

A ϕ= 60◦ B ϕ≈54◦230 C ϕ= 45◦ D ϕ≈63◦260

Câu 31 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a M trung điểm AA0 Góc hai mặt phẳng(ABCD) (M BD) gần góc nhất?

A 35◦ B 42◦ C 50◦ D 60◦

Câu 32 Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA=a, đáy ABCD hình thang vng tạiA vàD với AB= 2a,AD =DC =a Tang góc hai mặt phẳng (SBC)và (ABCD)

A B √1

2 C

1

√

3 D

√

3

Câu 33 Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Góc mặt phẳng (A0BD) mặt phẳng chứa mặt hình lập phương

C Góc mặt phẳng (A0BD) mặt phẳng chứa mặt hình lập phương α tanα= √1

2

D Góc mặt phẳng (A0BD) mặt phẳng chứa mặt hình lập phương α tanα= √1

3

Câu 34 Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA, đáy hình chữ nhật ABCD có AB =

a√3, AD=a Độ lớn góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC)

A 90◦ B 60◦ C 45◦ D 30◦

Câu 35 Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA = 3a, đáy hình chữ nhật ABCD có AB =a√3, AD=a Độ lớn góc hai mặt phẳng (SBC)và (DBC)

A 90◦ B 60◦ C 45◦ D 30◦

Câu 36 Cho tứ diện ABCD có BC =a√2, AD= a

√

6

2 cạnh cịn lại a Độ lớn góc

giữa hai mặt phẳng (ABC) (DBC)

A 90◦ B 60◦ C 45◦ D 30◦

Câu 37 Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA = 3a, đáy hình chữ nhật ABCD có AB =a√3, AD=a Tang góc hai mặt phẳng (SBD) (ABD)

A

3 B

√

3 C 2√3 D √2

Câu 38 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy ϕ (0◦ < ϕ <90◦) Tính tang góc α hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo ϕ

A tanα= tanϕ B tanα =√2 tanϕ C tanα=√3.tanϕ D tanα= 2tanϕ

Câu 39 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 cóAA0 = 4AB = 2AD Tính sincủa góc tạo mặt phẳng (A0BD) với mặt phẳng (ABCD)

A 2√5 B

√

105

21 C

√

21

21 D

√

5

Câu 40 Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30cm, chiều dài 40cm, người ta gấp cạnh dài hình chữ nhật thành bốn phần dán lại để tạo thành hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 Tính góc ϕtạo mặt chéo (ABC0D0) (ABCD)

A ϕ≈56◦180 B ϕ≈36◦520 C ϕ≈76◦440 D ϕ≈71◦330

Câu 41 Cho hình chóp S.ABC cóSA =SB =SC, ASB÷= 120◦,BSC÷ = 90◦, ÷CSA= 60◦ Độ lớn góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC)bằng

A 90◦ B 120◦ C 45◦ D 30◦

Câu 42 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, ASB÷ = 120◦, BSC÷ = 90◦, CSA÷ = 60◦ Tang góc hai mặt phẳng (ABC)và (SAC)

A √1

2 B

1

√

3 C

1

Câu 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA=x Xác định x để hai mặt phẳng (SCD) (SBC)tạo với góc 60◦

A a B a√3 C a√2 D a

2

Câu 44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA=x Hai điểmM N thay đổi hai cạnh CB CD, đặt CM =x, CN =y Xác định hệ thức liên hệ xvà y để hai mặt phẳng (SAM) (SAN)tạo với góc 45◦

A 2a2+xy = 2a(x+y). B. 2a2 +xy=a(x+y).

C a2+xy= 2a(x+y) D a2+xy=a(x+y)

Câu 45 Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 Tính số đo góc hai mặt phẳng(DA0B0)

và(DC0B0)

A 90◦ B 120◦ C 60◦ D 30◦

ĐÁP ÁN

1 A C D B B B C B A 10.A 11.A 12.C 13.B

14.A 15.D 16.A 17.C 18.C 19.A 20.A 21.A 22.C 23.C 24.A 25.C 26.D

27.C 28.A 29.D 30.D 31.A 32.B 33.A 34.D 35.B 36.B 37.C 38.B 39.B

40.D 41.C 42.A 43.A 44.A 45.C

§3. Khoảng cách

I. Tóm tắt lý thuyết

1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng

A Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Định nghĩa

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a khoảng cách từ O đến hình chiếu H O a

Kí hiệu: d(O, a) =OH α

a H

O

Định nghĩa

Cho điểmO mặt phẳng (α) GọiH hình chiếu củaOtrên(α) Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α)

Kí hiệu: d(O,(α)) = OH

α

H M

O

2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song

A Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Định nghĩa

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α)

là khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng(α), kí hiệu d(a,(α))

a

α

A0 B0

A B

B Khoảng cách hai mặt phẳng song song Định nghĩa

Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

α

β

M

M0

3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo

Định nghĩa

a

b

A

B

AB đoạn vng góc chung hai đường

thẳng chéo a b ⇔        

      

A∈a, B ∈b AB ⊥a AB ⊥b

B Khoảng cách Định nghĩa

Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

II. Các dạng toán

Dạng 1: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

- CÁCH 1: TRỰC TIẾP \ Xác định d(A,(P))?

Ta tìm hình chiếu A (P), nghĩa tìm A ? ⊥(P)

Ta có: AH ⊥ (P), H ∈ (P) ⇒ d(A,(P)) =

AH

A

H P

- CÁCH 2: GIÁN TIẾP (phương pháp đổi điểm)

1 NếuAB k(P) d(A,(P)) =d(B,(O))

H

A B

K

2.NếuABcắt (P)tạiI d(A,(P)) d(B,(P)) =

IA IB

I H A B

K

P

1 Một số ví dụ

Ví dụ

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông B, AB =a, BC =a√3 Hai mặt phẳng

(SAB) và(SAC) vng góc với đáy, SA=a

Chứng minh: SA⊥(ABC)?

a) b) Tính d(S,(ABC)) =?

Tính d(C,(SAB)) =?

c) d) Tính d(B,(SAC)) =?

Tính d(A,(SBC)) =?

e)

Ví dụ

Trong mặt phẳng (α) cho ∆ABC vng A có BC = 2a, ACB÷ = 60◦ Dựng hai đoạn BB0 = a, CC0 = 2a vng góc với (α) bên (α) Tính khoảng cách từ:

C0 đến (ABB0)

B0 đến (ABC0)

c) d) Trung điểm BC đến (AB0C0)

2 Bài tập tự luyện

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnha, SD = 3a

2 Hình chiếu vng góc

của S mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB

a) CMR:(SAD)⊥(SAB)

b) Tính góc SC (ABCD)

c) Tính khoảng cách từ A đến (SBD)

a) CMR: (SAD)⊥(SCD)

b) Tính góc SB (ABCD)

c) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)

Bài Cho hình chóp S.ABC có đáyABC tam giác vng B,BA= 3a,BC = 4a,∆SBC vuông S ChoSH ⊥(ABC) với SH đường cao của∆SBC BiếtHB = 3a

a) CMR: (SBC)⊥(SAB)

b) Tính góc SA (ABCD)

c) Tính khoảng cách từ H đến (SAB)

Bài Cho hình chóp S.ABC có đáyABC tam giác vng cân A,SH vng góc với đáy H trung điểm AB, tam giác SAB AB =a

a) Chứng minh hai mặt phẳng (SAC)và (SAB) vuông góc với

b) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC)

c) Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách từ điểmM đến mặt phẳng (SAC)theo a

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC÷ = BAD÷ = 90◦, BA = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) SA = a√2 Gọi H hình chiếu A SD CMR: tam giác SCD vuông tính khoảng cách từ H đến (SCB)

(Trích đề tuyển sinh đại học khối D - 2007)

3 Bài tập nâng cao

Bài Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh AB = a Từ trung điểm H AB dựng SH ⊥

(ABCD) với SH =a

a) Tính Khoảng cách từ H đến (SCD), khoảng cách từ O đến (SCD)

b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)

Bài Cho hình chópS.ABCD cóABCD hình vng cạnh a,SA⊥(ABCD)và SA=a√3 a) Hãy dựng đường thẳng qua trung điểm cạnh SC vng góc với (ABCD)

b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)

c) Gọi O tâm hình vng, tính khoảng cách từO đến (SBC)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB =a, AD = 2a; SA ⊥

(ABCD)và SA=a

a) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) Suy khoảng cách từ trung điểm I cạnh SC đến

(SBD)

b) GọiM trung điểm củaCD, tính khoảng cách từ A đến (SBM)

Bài Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ (ABC) SA = 2a; ∆ABC vuông C với AB = 2a, góc BAC÷ = 30◦ Gọi M điểm di động cạnh AC, H hình chiếu vng góc S BM

a) Chứng minhAH ⊥BM

b) Đặt AM = x (0 ≤ x ≤ a√3) Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x Tìm giá trị x để khoảng cách đạt giá trị lớn nhất, nhỏ

4 Bài tập trắc nghiệm

A Câu hỏi lý thuyết, khoảng cách điểm đến mặt phẳng

Câu Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với AB =a, AC =b, AD=c Gọi d khoảng cách từA đến mặt phẳng (BCD) Đẳng thức đúng?

A d2 =

1

a2 +

1

b2 +

1

c2 B d

2 =a2+b2+c2.

C d2 =

a2 +

1

b2 +

1

c2 D d=abc

Câu Cho tam giác ABC vuông tạiA Gọid khoảng cách từ điểm Ađến đường thẳng chứa cạnhBC Đẳng thức đúng?

A d= √ AB.AC

AB2+AC2 B d =

AB2+AC2

AB2.AC2

C d=√AB2+AC2. D. d= AB+AC

AB.AC

Câu Cho đường thẳngM N song song với mặt phẳng(α) Gọid1 vàd2 khoảng cách

từM N đến (α) Khẳng định sau đúng? A d1 =d2 B d1 =

1

2d2 C d1 = 2d2 D d1 =d2 =

Câu Cho hai mặt phẳng (α) (β) song song với Lấy hai điểm M N nằm (α) (β) cho đường thẳng M N khơng vng góc với (α) Khẳng định

sai?

A d (M,(β)) = d (N,(α)) B d (M,(β)) = d ((α),(β)) C d (N,(α)) = d ((α),(β)) D d ((α),(β)) =M N

Câu Cho hai đường thẳng ∆1 ∆2 song song với Lấy hai điểm M, N thuộc

∆1, ∆2 cho M N khơng vng góc với ∆1 Khẳng định đúng?

C d(∆1,∆2) =M N D d(M,∆2) = d(N,∆1) =M N

Câu Cho hai đường thẳng ∆1 ∆2 chéo nhau, đường thẳng ∆3 cắt ∆1 M cắt

∆2 N Khẳng định đúng?

A d(∆1,∆2)≤M N B d(∆1,∆2)> M N

C d(M,∆2) = d(N,∆1) D d(∆1,∆2) = M N

Câu Cho hai đường thẳng ∆1 ∆2 chéo nhau, mặt phẳng(β) chứa∆2 song song với ∆1,

mặt phẳng (α) chứa∆1 song song với∆2 Khẳng định sai?

A d(∆1,∆2) = d(∆1,(β)) B d(∆1,(β)) = d(∆2,(α))

C d(∆1,∆2)<d((α),(β)) D d((α),(β))≤M N, ∀M ∈∆1, N ∈∆2

Câu Cho đường thẳng ∆1 mặt phẳng (α) song song với Mặt phẳng (β) chứa ∆1,

vng góc với (α)và cắt (α)theo giao tuyến ∆2 Khi khẳng định đúng?

A d(∆1,∆2) = d(∆1,(α)) B d(∆1,∆2)<d(∆1,(α))

C d(M,∆2)>d(M,(α)), ∀M ∈∆1 D d(∆1,(α)) =M N,∀M ∈∆1, N ∈∆2

Câu Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) Gọi d khoảng cách từ ∆ đến (α) Mệnh đề sai?

A d khoảng cách từ điểm ∆đến (α) B d khoảng cách từ điểm (α)đến ∆

C d khoảng cách từ mặt phẳng (β) đến (α) với (β) mặt phẳng chứa ∆ song song với (α)

D d khoảng cách giữa∆ hình chiếu vng góc ∆lên (α)

Câu 10 Cho hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2 Gọi d khoảng cách ∆1 ∆2 Mệnh

đề sai?

A d độ dài đoạn vng góc chung ∆1 ∆2

B d khoảng cách giữa∆1 và(β) với (β) mặt phẳng chứa∆2 song song với∆1

C d khoảng cách giữa∆2 (α)với (α) mặt phẳng chứa∆1 song song với∆2

D d độ dài đoạn thẳng M M0 với điểmM thuộc∆1 M0 hình chiếu vng góc

của M lên ∆2

Câu 11 Cho hai mặt phẳng (α) (β) song song với Gọi d khoảng cách (α)

(β) Mệnh đề sai?

A d khoảng cách từ điểm thuộc (α) đến (β)

B d khoảng cách đường thẳng nằm trong(β) đến (α)

C d khoảng cách đường thẳng ∆ nằm (α) đến hình chiếu vng góc ∆lên (β)

Câu 12 Cho tứ diện ABCD Gọid khoảng cách từ điểmD tới mặt phẳng(ABC) Mệnh đề sai?

A d=DGvới Glà trọng tâm tam giác ABC

B d=DH với H hình chiếu vng góc củaD lên mặt phẳng (ABC) C d=DI với I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

D d=DN N trung điểm đoạn AM với M trung điểm đoạn BC

Câu 13 Cho tứ diện ABCD cóAB,AC, ADđơi vng góc với AB= 2,AC = 3, AD= Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (BCD)

A d= 12

√

61

61 B d= 144

61 C d=

√

61

12 D d =

√

61

Câu 14 Khoảng cách lớn hai đỉnh hình lập phương cạnhabằng bao nhiêu?

A a√3 B a√2 C 2a D a√5

Câu 15 Cho mặt phẳng (α) đường thẳng M N cắt (α) điểm I Biết 3M I# » = 2M N# » Gọi d1 d2 khoảng cách từ M N đến (α) Tính tỉ số

d1

d2

A d1

d2

=

3 B

d1

d2

=

2 C

d1

d2

=

3 D

d1

d2

=

Câu 16 Cho mặt phẳng (α) đường thẳng M N cắt (α) điểm I Biết 4IN# » = 3IM# » Gọi d1 d2 khoảng cách từ M N đến (α) Tính tỉ số

d1

d2

A d1

d2

=

3 B

d1

d2

=

4 C

d1

d2

=

4 D

d1

d2

=

Câu 17 Cho hình lăng trụ đềuABC.A0B0C0 GọiO tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC, M trung điểm CC0 d khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A0BC) Mệnh đề

sai?

A d= d(B0,(A0BC)) B d = 2.d(M,(A0BC)) C d= 3.d(O,(A0BC)) D d=

3.d(O,(A

0BC)).

Câu 18 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có ba kích thước AB =a, AD = b, AA0 =c Tính khoảng cáchd từ điểm A đến mặt phẳng (DA0C0)

A d= » abc

(ab)2+ (bc)2+ (ac)2 B d =

abc √

a2+b2+c2

C d= √ bc

b2+c2 D d=

abc √

ab+bc+ac

Câu 19 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với đáy SA=h Tính khoảng cách d từ A đến (SBC)theo a vàh

A d= ah

√

3

√

4a2+ 3h2 B d=

ah√3

√

3a2+ 4h2 C d=

ah √

a2+h2 D d =

ah√5

√

a2+h2

Câu 20 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vng tạiAvàB,AB=BC =a, AD= 2a Tam giác SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi G trọng tâm tam giác SAB Tính khoảng cách d từ điểm G đến mặt phẳng (SCD)

A d= a

√

21

7 B d=

a√15

5 C d=

4a√21

63 D d =

Câu 21 Xét hình chóp tứ giác S.ABCDcó tam giácSAC nội tiếp đường trịn có bán kính bằng9 Gọi dlà khoảng cách từ S đến mặt phẳng(ABCD)vàSlà diện tích tứ giácABCD Tính d biểu thức P =d.S đạt giá trị lớn

A d = 10 B d= 12 C d= 15 D d= 17

B Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Câu 22 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng CC0

A a B a√2 C a√3 D a

2

Câu 23 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng B0D0

A a √

6

2 B

a √

2 C a

√

3 D a√2

Câu 24 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA =a√7, AB = 3a Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)

A a B 2a C a

√

20

√

3 D a

√

10

Câu 25 Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SC, đáy hình chữ nhật Goi H trung điểm SB Khoảng cách từ A đến mặt phẳng(SBC) đoạn thẳng

A AS B AB C AC D AH

Câu 26 Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SC = 2a, đáy hình chữ nhật có AB =

a√2, AD=a GọiK trung điểm củaSA Khoảng cách từK đến mặt phẳng(ABCD)bằng

A a B 2a C a√2 D a√3

Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SC = 2a, đáy hình chữ nhật có AB =

a√2, AD=a Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD)bằng

A a√2 B 2a C √2a

5 D

2a √

3

Câu 28 Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SC, đáy hình chữ nhật Goi H hình chiếu vng góc điểm Dtrên cạnh AC O giao điểm hai đường chéo AC, BD Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC)là đoạn thẳng

A DC B DA C DH D DO

Câu 29 Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD)

A √a

2 B

a

2 C a

√

2 D a

√

3

Câu 30 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình vng tâmO, cạnh a, SA⊥(ABCD) Gọi d h khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (SAD) Tỷ số d

A √1

2 B

√

3 C √2 D

2

Câu 31 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = a√7, AB = 3a Gọi O tâm đáy Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SC

A a √

12

√

7 B a

√

12 C a√3 D 2a

Câu 32 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính khoảng cách từB đến đường thẳngA0C0

A a √

19

2 B a

√

5 C a

√

19

√

2 D

√

21

Câu 33 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳngAC0

A a √

6

2 B a C a

√

2 D a

√

6

Câu 34 Cho hình chóp S.ABCD, giao điểm củaAC vàBD làO Gọi khoảng cách từ điểm O khoảng cách từ trung điểm I AB đến mặt phẳng(SCD)lần lượt dvà h Khi tỉ số h

d A

3 B

1

2 C D

Câu 35 Cho hình chópS.ABCDđáy hình vng tâmO, có đường caoSA GọiH,K hình chiếu vng góc điểmA lên đường thẳng SO,SD Khẳng định sau sai?

A Khoảng cách từ điểm B đến mặt (SAC) đoạn thẳng BO B Khoảng cách từ điểm A đến mặt (SCD) đoạn thẳng AK C Khoảng cách từ điểm A đến mặt (SBD)là đoạn thẳng AH D Khoảng cách từ điểm A đến mặt (SBD) đoạn thẳng AO

Câu 36 Cho tứ diện ABCDcóAD⊥(ABC)vàAD =AC = 4,AB = 3,BC = Tính khoảng cáchd từ điểm A đến mặt phẳng (BCD)

A d=√12

34 B d= 12

34 C d= 12

5 D d =

√

7

Câu 37 Cho hình chóp S.ABCD đường cao SA = 2a có đáy ABCD hình thang vng A vàD,AB = 2a, AD=CD =a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(SBC)

A 2a

3 B

2a √

2 C

2a √

3 D a

√

2

Câu 38 Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA = a, đáy hình chữ nhật có AD = 2a, AB=a Gọi M trung điểm CD Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBM)

A d= √4a

33 B 4a √

17 C

2a √

17 D

2a √

33

Câu 39 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = a√7, AB = 3a Khoảng cách từ A đến đường thẳngSB

A 2a √

10

√

7 B

2√2

2 C

2√2

3 D

Câu 40 Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA= 3a, AB= 2avà ABC÷ = 120◦ Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

A 3a

4 B

3a

2 C

a

2 D

2a

3

Câu 41 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng CB0

A a √

19

2√5 B

a√19

√

5 C

a√19

√

2 D

√

19

Câu 42 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, BC = 2a, B“= 60◦ Gọi I trung điểm BC cho SA = SI = SC = a√5 Tính khoảng cách d từ điểm S đến mặt phẳng (ABC)

A a B 2a C a√5 D a√3

Câu 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A B, BA = BC = a, AD= 2a Cạnh bênSA⊥(ABCD)và SA=a√2 Gọi H hình chiếu vng góc củaAlênSB Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

A a B a

3 C

a

2 D

2a

3

C Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song

Câu 44 Trong mệnh đề sau, đâu mệnh đề đúng?

A Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm A thuộc mặt phẳng (α)tới đường thẳng a

B Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm A thuộc đường thẳnga tới mặt phẳng (α)

C Nếu hai đường thẳng avà bsong song với mặt phẳng (α) khoảng cách từ đường thẳnga đến mặt phẳng (α)bằng khoảng cách từ đường thẳng b đến mặt phẳng (α)

D Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b nằm mặt phẳng (α) thi khoảng từ đường thẳng a đến mặt phẳng (α) khoảng cách hai đường thẳng a b

Câu 45 Trong mệnh đề sau, đâu mệnh đề sai?

A Khoảng cách từ đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với a bé so với khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng a tới điểm thuộc mặt phẳng (α)

B Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

C Khoảng cách hai mặt phẳng song song (α)và (β) nhỏ khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng tới điểm thuộc mặt phẳng

D Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ đường thẳng nằm mặt phẳng tới đường thẳng nằm mặt phẳng

A d(A,(CDD0C0)) = d(B,(CDD0C0))

B d((ABCD),(A0B0C0D0)) = d(B,(A0B0C0D0))

C d((ABCD),(A0B0C0D0)) = d((ABB0A0),(CDC0D0)) D d((ABCD),(A0B0C0D0)) = d((AC),(A0B0C0D0))

Câu 47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Khẳng định sau

sai?

A d(B,(SCD)) = d(A,(SCD)) B d(C,(SAB)) = d(D,(SAB)) C d(C,(SBD)) = d(A,(SBD)) D d(B,(SCD)) = d(BC,(SAD))

Câu 48 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a Tínhd(AB0,(CDD0C0)) A d(AB0,(CDD0C0)) =a B d(AB0,(CDD0C0)) = √a

2

C d(AB0,(CDD0C0)) = √a

3 D d(AB

0,(CDD0C0)) =a√2.

Câu 49 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0, có AB = a, BC = b, CC0 = c Khẳng định sau đâysai?

A d((ABCD),(A0B0C0D0)) =c B d((BB0,(ACC0A0)) = √ab a+b2

C d((AB0,(CDD0C0)) =b D d(BB0,(ACC0A0)) =√a2+b2.

Câu 50 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có AB =a Tính khoảng cách h hai mặt phẳng(BA0C0)và (ACD0)

A h= √a

3 B h=

a

3 C h=

a√2

2 D h =a

Câu 51 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = a, BC = b, CC0 = c Gọi h khoảng cách hai mặt phẳng(A0C0B)và (ACD0) Khẳng định sau đúng?

A h2 =a2+b2+c2 B

h2 =

1

a2 +

1

b2 +

1

c2

C h =

1

a +

1

b +

1

c D h=a+b+c

Câu 52 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) Tính

d(CD,(SAB))

A d(CD,(SAB)) =a B d(CD,(SAB)) =a√2 C d(CD,(SAB))) = a

√

2

2 D d(CD,(SAB)) = 2a

Câu 53 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA=a Tính d(AB,(SCD))

A d(AB,(SCD)) =a B d(AB,(SCD)) =a√2 C d(AB,(SCD)) = a

√

2

2 D d(AB,(SCD)) = 2a

Câu 54 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình chữ nhật,AD= 3a,SA⊥(ABCD) SA= 3a Tính khoảng cách d(AB,(SCD))

A d(AB,(SCD)) = 5a B d(AB,(SCD)) = 5a

Câu 55 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, ABC÷ = 120◦ SA⊥ (ABCD) Gọi M trung điểm SC Tính d(SA,(BM D))

A d(SA,(BM D)) =a B d(SA,(BM D)) =a√3 C d(SA,(BM D)) = a

√

3

2 D d(SA,(BM D)) =a

√

2

Câu 56 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông B với AB = a, BC = a√3, SA⊥ (ABC)và SC tạo với (ABC) góc 45◦ Gọi G1, G2 trọng tâm tam giác

SAB SAC Tính d(G1G2,(SBC))

A d(G1G2,(SBC)) =a

√

5 B d(G1G2,(SBC)) =

4a

3√5

C d(G1G2,(SBC)) =

2a

3√5 D d(G1G2,(SBC)) = 6a √

5

Câu 57 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vuông B, BC =

a√3,AB0 = 2avà đường thẳngAB0 tạo với mặt phẳng đáy góc60◦ Tínhd(BC,(AB0C0)) A d(BC,(AB0C0)) = a

2 B d(BC,(AB

0C0)) = a√3. C d(BC,(AB0C0)) = a

√

3

2 D d(BC,(AB

0C0)) = a √

3

Câu 58 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng canh a, SA⊥(ABCD) Gọi O giao điểm AC BD, M trung điểm SD Tínhd(OM,(SAB))

A d(OM,(SAB)) = a

2 B d(OM,(SAB)) = 2a √

3

C d(OM,(SAB)) = a

3 D d(OM,(SAB)) =

a√2

Câu 59 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy tam giác cân, AB =BC = a, BAC÷ =

120◦ mặt phẳng(AB0C0)tạo với mặt đáy góc 60◦ Tínhd(BC,(AB0C0))

A d(BC,(AB0C0)) =a√3 B d(BC,(AB0C0)) = a

√

3

C d(BC,(AB0C0)) = a

√

3

2 D d(BC,(AB

0C0)) = 2a√3

Câu 60 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC÷ =

120◦, đường thẳng A0B tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ Tính d(B0D0,(A0BD)) A d(B0D0,(A0BD)) =a√15 B d(B0D0,(A0BD)) = a

5

C d(B0D0,(A0BD)) = a√3 D d(B0D0,(A0BD)) = a

√

15

Câu 61 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA= 2a Gọi M trung điểm củaSD Tính d(SB,(ACM))

A d(SB,(ACM)) = a

3 B d(SB,(ACM)) = 2a

3

C d(SB,(ACM)) =a D d(SB,(ACM)) = 3a

Câu 62 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a SA⊥(ABCD) Gọi M, N trung điểmAB vàCD Tính d(M D,(SBN))

A d(M D,(SBN)) = √a

33 B d(M D,(SBN)) = 2a √

C d(M D,(SBN)) = √3a

33 D d(M D,(SBN)) = 4a √

33

Câu 63 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác cạnh a A0A =A0B =

A0C =a Gọi M, N trung điểm BC A0B Tính d(A0C,(AM N))

A d(A0C,(AM N)) = a

√

22

11 B d(A

0C,(AM N)) = a

11

C d(A0C,(AM N)) =a√22 D d(A0C,(AM N)) = a

√

2

D Tỉ số khoảng cách từ hai điểm đến mặt phẳng

Câu 64 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vng tạiAvàD BiếtSA=a√3, AD=a SA vng góc với đáy Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến (SCD)

A a √

3

2 B

a

2 C

a√3

4 D 2a

Câu 65 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng(A0BC)

A a√2 B a

2 C

a√2

2 D a

Câu 66 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theoa khoảng cách từ điểmA đến mặt phẳng(SCD)

A a √

3

7 B

a√21

7 C

2a√21

7 D

2a√3

Câu 67 Cho hình chóp S.ABC, gọiM trung điểm củaAC vàG trọng tâm tam giácSAC Biết khoảng cách từ điểmM đến mặt phẳng(SBC)bằng a

√

6

6 Tính theoa khoảng cách từ điểm

Gđến mặt phẳng (SBC)

A a √

6

18 B

a√6

9 C

a√6

3 D

a√6

Câu 68 Cho hình chóp S.ABCD có O tâm đáy Biết cạnh đáy đường cao bằnga Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

A a √

5

10 B

a√5

5 C

2a√5

5 D

a√5

Câu 69 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình chữ nhật, AB =a,AD=a√3, hai mặt phẳng

(SAB)và(SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Góc cạnhSC mặt phẳng đáy

60◦ Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng

(SBC)

A 2a √

39

13 B

2a√39

39 C

6a√39

13 D

a√39 13

Câu 70 Cho hình chóp S.ABC có SA = a√3 SA vng góc với mặt phẳng đáy, tam giác ABC cạnh a VẽAI vng góc với SB Tính theo a khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng

(SAC)

A a √

3

8 B

a√3

4 C

3a√3

8 D

Câu 71 Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt phẳng (SAB), (SAC) vng góc với mặt phẳng đáy đáy ABCD nửa lục giác Biết SA = a√3 AB = BC = CD = a Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)

A a √

6

2 B a

√

6 C a

√

6

4 D

a√6

Câu 72 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình thoi cạnha√2, cạnh bênSAvng góc với mặt phẳng đáy, BAD÷ = 120◦, góc mặt phẳng (SBC) đáy 30◦ Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng(SBC)

A 3a √

2

4 B

a√3

4 C

3a

2 D

a√6

Câu 73 Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC có cạnh đáy bằnga√3và cạnh bên bằnga√2 Gọi M trung điểm củaAB Tính theoa khoảng cách từ điểmM đến mặt phẳng (SBC)

A a √

5

5 B

3a√5

5 C

3a√5

10 D

2a√5

Câu 74 Cho hình chóp S.ABC có SAvng góc với mặt phẳng đáy Tam giác ABC vng A cóAB =a, AC =a√3 Góc SB mặt phẳng (SAC) 45◦ Lấy điểm M cạnh SA cho AM = a

3 Tính theoa khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC)

A 2a √

21

21 B

a√21

7 C

2a√21

7 D

a√21 21

Câu 75 Cho hình lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a AD=a√3 Hình chiếu vng góc điểm A0 mặt phẳng(ABCD) trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ B0 đến mặt phẳng (A0BD)theo a

A a √

2

2 B a

√

2 C a√3 D a √

3

Câu 76 Cho hình chóp S.ABCDcạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60◦ Gọi M trọng tâm tam giác ABD Tính theo a khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng

(SBC)

A a

3 B

a√3

3 C

a√3

6 D

a

6

Câu 77 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, ACB÷ = 30◦ Mặt bên SAC tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi G trung điểm SA Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC)

A a √

3

4 B

2a√39

13 C

a√39

13 D

a√3

Câu 78 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = 6, AD = AA0 = √5 Gọi I, J trung điểm AB BC Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng

(B0IJ) A

9 B

5

3 C

10

3 D

A a √

21

14 B

a√21

7 C

3a√13

26 D

3a√13 13

Câu 80 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A B, BA = BC = a, AD= 2a Cạnh bênSA vng góc với đáy SA=a√2 Gọi H hình chiếu vng góc củaA cạnh SB Tính khoảng cách từ điểmH đến mặt phẳng (SCD) theo a

A a

2 B

a

4 C

a

3 D a

Câu 81 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 4a Hình chiếu S mặt phẳng ABCD điểm H thuộc AB cho HB = 3HA Góc cạnh bên SC đáy 45◦ Tính theo a khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC), với O tâm hình vng ABCD

A 5a√34 B 5a √

34

17 C

5a√34

34 D

5a√17

Câu 82 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N trung điểm SB SD Tính theoa khoảng cách từ điểmA đến mặt phẳng (CM N)

A 3a √

5

10 B

9a√5

40 C

9a√5

10 D

2a√5

Câu 83 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a Mặt bên SAB vng góc với mặt phẳng đáy SA =a, SB =a√3 Góc mặt phẳng (SBD) đáy

60◦ Tính theo a khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD)

A a √

3

3 B

a√3

4 C

3a

4 D a

ĐÁP ÁN

1 A A A D A A C A B 10.D 11.D 12.D 13.A

14.A 15.D 16.A 17.D 18.A 19.B 20.A 21.B 22.B 23.A 24.B 25.B 26.A

27.D 28.C 29.A 30.A 31.A 32.A 33.D 34.C 35.D 36.A 37.C 38.A 39.A

40.B 41.A 42.B 43.B 44.B 45.D 46.C 47.D 48.A 49.D 50.A 51.B 52.A

53.C 54.B 55.C 56.C 57.C 58.A 59.B 60.D 61.B 62.B 63.A 64.A 65.C

66.B 67.B 68.B 69.B 70.C 71.C 72.D 73.C 74.A 75.D 76.B 77.C 78.D

79.B 80.C 81.B 82.D 83.A

Dạng 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo

Ngoại trừ trường hợp tìm đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo hình vẽ làm theo cách sau đây:

• Dựng mặt phẳng(α)quab song song với a

• Khi đó:d(a, b) =d(a,(α))

• Ta tính d(a,(α)) thay tính d(a, b)

và tốn trở nên đơn giản

a A

B

M

H b α

1 Một số ví dụ

Ví dụ

Cho hình chópS.ABCDcóABCDlà hình vng tâmOcạnha.SA⊥(ABCD)vàSA=a Tính khoảng cách

SC BD

a) b) AC SD

2 Bài tập tự luyện

Bài Cho hình chóp S.ABCDcóABCD hình vng cạnh a, mặt bên(SAD)vng góc với

(ABCD)và SAD tam giác Gọi M trung điểm AD

a) Tính theo a khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)

b) Tính theo a khoảng cách giữaSM BD

c) Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng(SBC)

Bài Cho hình chópS.ABC cóSA⊥(ABC)và∆ABC vng tạiB ChoAB=a,BC =a√2

vàSA=a√3 Gọi AH đường cao∆SAB

a) Tính góc SC (ABC); góc giữa(SAB) (SAC)

b) Tính khoảng cách giữaSA BC c) Tính khoảng cách giữaA (SBC)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a SH ⊥(ABCD)với H trung điểm củaAD Biết góc SC mặt đáy 45◦

a) Chứng minhSCH÷ = 45◦ Tính khoảng cách S (ABCD)

b) Tính khoảng cách giữaSH BD c) Tính góc (SAB)và (ABCD)

Bài Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy làABC tam giác vng tạiA vàSH vng góc với mặt đáy trung điểm H BC Cho AB=a, SB =BC = 2a

a) Tính khoảng cách từ S đến (ABC)và tính góc SA với (ABC)

c) Tính khoảng cách SH AB tính khoảng cách từ H đến (SAB)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a, mặt bên SAD tam giác có trung tuyến SH vng góc với mặt phẳng (ABCD)

a) Chứng minh ∆SAB vng Tính góc hai mặt phẳng (SAB)và (ABCD)

b) Tính khoảng cách SH BD tính góc hai mặt phẳng(SAB)và (ABCD)

c) Tính khoảng cách từ O đến (SAB)

3 Bài tập nâng cao

Bài Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB =

OC =a Gọi I trung điểm củaBC Tính khoảng cách

OA BC

a) b) AI OC

Bài Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) SA = a√6, đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD= 2a

a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD)

b) Tính khoảng cách từ AD đến (SBC)

Bài Cho hình chóp S.ABC cóSA⊥(ABC) SA=a√2,∆ABC vng B với BA =a Gọi M trung điểm AB Tính d(SM, BC)

Bài Cho hia tia chéo Ax, By hợp với góc 60◦, nhận AB = a làm đoạn vng góc chung Trên By lấy điểm C với BC =a Gọi D hình chiếu C Ax

a) Tính AD ((C,(ABD))

b) Tính d(AC, BD)

Bài Cho hình vngABCD cạnha.I trung điểmAB DựngIS ⊥(ABCD)vàIS = a

√

3

Gọi M, N, P trung điểmBC, SD, SB Tính d(N P, AC) d(M N, AP)

Bài Cho lăng trụABC.A0B0C0 có mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, E, F trung điểm cạnh BC, A0C0, C0B0 Tính khoảng cách cặp đường thẳng:

DE AB0

a) b) A0B B0C0

DE A0F c)

a) Tính khoảng cách từ AA0 đến mặt phẳng (BCC0B0)

b) Tính khoảng cách từ A đến (A0BC)

c) Chứng minh rẳngAB vng góc với mặt phẳng (ACC0A0)và tính khoảng cách từ A0 đến mặt phẳng (ABC0)

Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a tâm O SA ⊥(ABCD) SA = 2a; dựngBK ⊥SC

a) CMR:SC ⊥(DBK)

b) Tính d(A,(SBC)); d(A,(SDC)); d(O,(SBC))

c) Tính d(BD, SC); d(AD, BK)

4 Bài tập trắc nghiệm

Câu Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

B Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ điểm đường thẳng đến đường thẳng

C Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn thẳng nối điểm đường thẳng tới điểm đường thẳng

D Khoảng cách hai đường thẳng chéo lớn khoảng cách từ điểm đường thẳng đến đường thẳng

Câu Cho hình chóp S.ABCDcóABCDlà hình vng cạnhavàSA vng góc với đáy Tính khoảng cáchd hai đường thẳng SA vàBD

A d= a

2 B d=a C d=a

√

2 D d = a

√

2

Câu Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đơi vng góc, tam giác ABC cân có AC =a√2 Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA BC

A d=a√2 B d=a C d= a

√

2

2 D d = 2a

Câu Cho tứ diện ABCD có I, J trung điểm cạnh AB, CD Khoảng cách hai đường thẳngAB, CD độ dài đoạn thẳng

A AI B IJ C AB D AJ

Câu Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCD có tất cạnh bằnga Tính khoảng cáchdgiữa hai đường thẳngBD SC

A d= a

4 B d=

a

2 C d=

a√2

2 D d =a

√

Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = AA0 = a, AC = 2a Tính khoảng cách d hai đường thẳngAB0 CD0

A d =a√3 B d=a√5 C d= a

√

3

3 D d=

a√3

Câu Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật với AC = 2a BC =a Tính d(SD, BC)

A d(SD, BC) = 2a

3 B d(SD, BC) =

a√3

C d(SD, BC) = 3a

4 D d(SD, BC) =a

√

3

Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a√2 Gọi M trung điểm AB Tính khoảng cách d hai đường thẳng SM BC

A d = a

√

2

3 B d=

a

2 C d=

a√3

3 D d=

a√3

Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AA0 = 2a, AD = 4a Gọi M trung điểm AD Tính khoảng cách d hai đường thẳngA0B0 C0M

A d = 3a B d= 2a√2 C d=a√2 D d= 2a

Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳngSA vng góc với mặt phẳng đáy SA a Khoảng cách hai đường thẳng SB CD nhận giá trị giá trị sau?

A a B a√2 C a√3 D 2a

Câu 11 Cho tứ diệnOABC, đóOA, OB, OC đơi vng góc với vàOA=OB =

OC =a GọiI trung điểmBC Khoảng cách hai đường thẳngAI OC nhận giá trị giá trị sau?

A a B √a

5 C

a√3

2 D

a

2

Câu 12 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thoi tâmO, cạnh bằngavàBAC÷ = 60◦ Biết SC = a

√

6

2 vuông góc với đáy Khoảng cách hai đường thẳng SA BD nhận giá

trị giá trị sau? A a

2 B

a√6

4 C

a√3

3 D

a√3

Câu 13 Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có tất cạnh a Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB0 CC0

A d = 2a

3 B d=

a√3

2 C d= 3a

4 D d=a

√

3

Câu 14 Cho hình chópS.ABCDcóSA⊥(ABCD), đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAC =a√5

và BC =a√2 Tính khoảng cách d hai đường thẳng SD BC A d = 2a

3 B d=

a√3

2 C d= 3a

4 D d=a

√

3

A d= a

√

3

2 B d=

a√3

3 C d=a

√

3 D d = 2a

Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a, cạnh bênSA vng góc với mặt phẳng đáy(ABCD)vàSA=a Tính khoảng cáchdgiữa hai đường thẳngSB vàAD

A d= a

√

2

3 B d=

a√3

2 C d=

a√2

2 D d =a

Câu 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B, AC = a√2 tất cạnh cịn lại hình chóp Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA BC

A d= a

√

3

2 B d=

a√3

3 C d=

a√6

3 D d =

a√6

Câu 18 Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA = SB = SC = a Gọi M, N trung điểm AB SA Tính khoảng cách d hai đường thẳng SM CN

A d= a

3 B d=

a

2 C d=a

√

2 D d = 2a

Câu 19 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB÷ = 60◦,BSC÷ = 90◦ CSA÷ =

120◦ Tính khoảng cách d hai đường thẳng AC SB

A d= a

√

3

2 B d=

a√3

4 C d=a

√

3 D d = a

√

3

Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có SA = a√3 tất cạnh cịn lại a Tính khoảng cáchd hai đường thẳng BD SC

A d= a

√

3

2 B d=

a√3

3 C d=

a

2 D d =a

ĐÁP ÁN

1 A D B B B A D A B 10.A 11.B 12.A 13.B

14.D 15.B 16.C 17.D 18.A 19.B 20.A

§4. Diện tích hình chiếu

I. Tóm tắt lý thuyết Định lý

S

S0 ϕ

S: diện tích đa giác

S0: diện tích hình chiếu đa giác

ϕ: góc mặt phẳng chứa đa giác mặt phẳng chiếu

II. Bài tập tự luyện

Bài Cho ∆ABC cân A, đường cao AH =a√3, đáy BC = 3a; BC nằm mặt phẳng

(α) Gọi A0 hình chiếu A lên (α) Biết ∆A0BC vng A0 Tính góc giữa(α) (ABC)

Bài Cho ∆ABC cạnh a chứa mặt phẳng (α) Trên đường thẳng vng góc với

(α) vẽ từ B C lấy đoạnBD= a

√

2

2 , CE=a

√

2 nằm bên với (α)

a) Chứng minh ∆ADE vng Tính diện tích∆ADE

b) Tính góc hai mặt phẳng (ADE) (α)

Bài Cho hình chóp S.ABC có mặt bên hợp với đáy góc ϕ Gọi I hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC)

a) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC

b) Chứng minh SSAB +SSBC+SSCA= SSAB

cosϕ

Bài Cho tam giác ABC cạnh a nằm mặt phẳng (α) Trên đường thẳng vng

góc với (α) B, C vẽ BD=a √

2

2 , CE =a

√

2nằm phía với mặt phẳng (α)

a) CMR: ∆ADE vng

b) Tính diện tích tam giác ADE c) Tìm góc (ADE)và (α)

Bài Cho tam giác ABC cóB, C hình chiếu E, F lên (β)sao cho tam giác ABF tam giác cạnh a,CF =a, BE = a

2

a) Gọi I =BC∩EF CMR: AI ⊥AC b) Tính diện tích tam giác ABC

c) Tính góc (ABC) (β)

Bài Cho tam giác ABC cân, đáy BC = 3a, BC ⊥ (β), đường caoa√3 D hình chiếu A lên (β) cho tam giác DBC vng D Tìm góc giữa(ABC) (β)

Bài Cho tam giác ABC cạnh a Từ đỉnh A, B, C vẽ nửa đường thẳng vng góc với mặt phăng chứa ABC Lấy E, E, F nằm phía mặt phẳng chứa ABC cho DA=a, BE = 2a, CF =x

a) Tìm x để tam giácDEF vng tạiD

§5. Ơn tập chương III

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a tâm O Biết SA = a SA ⊥

(ABCD) Gọi M, N trung điểm cạnh SA SB

a) Chứng minhM N ⊥BC

b) Chứng minhBD ⊥(SAC) tính góc đường thẳng SO mặt phẳng(ABCD) c) Tính góc mặt phẳng (DCN M) (ABCD)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình vng cạnh a có tâm làO SO vng góc với mặt phẳng(ABCD) SO =a√3

a) Chứng minh(SAC)⊥(SBD)

b) Tính góc đường thẳngSC mặt phẳng(ABCD)

c) Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD)

Bài Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a có tâm làO SAvng góc với mặt phẳng(ABCD) SA=a√2

a) Chứng minh(SBD)⊥(SAC)

b) Tính góc SC mặt phẳng (ABCD)

c) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng(SBC)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáyABCD hình vng tâm O SH vng góc với mặt phẳng (ABCD)tại trung điểm H đoạn AO Cho SA=AB=a

a) Chứng minh(SAC)⊥(SBD)

b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)

c) Chứng minhSO góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) Tính số đo góc này?

Bài Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình thang vng góc Avà B, biếtBA=BC =a, AD= 2a, SA⊥(ABCD) SA= 2a Gọi M, N trung điểm củaSA, SD

a) Tính khoảng cách giữaAC M N tính góc giữaSC mặt phẳng (ABCD)

b) Tính góc mặt phẳng(DCN M) mặt phẳng(ABCD)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SH ⊥ (ABCD) với H điểm đường chéo AC thỏa AH = AC

4 BiếtSA=a

a) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) tính khoảng cách SH BD

b) Tính góc SD (SAC)

c) Tính góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB =a, AD = 2a Tam giác SAB hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H đoạn thẳng AB Gọi M, N trung điểm SAvà SB

a) Chứng minh (BCM)⊥(SAB)

b) Tính tan góc đường thẳng SD mặt phẳng(ABCD)