Một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan

Một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan Một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan Một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

N O N N - Lại hị hu MỘ SỐ UỖ N ẪU N VÀ Á VẤN Ề L N i - 2017 N N QU N U N O N N - Lại hị hu MỘ SỐ UỖ N ẪU N VÀ Á VẤN Ề L N QU N LTXS v t ố ố LU V TS T 60460106 S UYỄ T Ị N i - 2017 N k toá ọc Lời cảm ơn Luận văn hồn thành với hướng dẫn tận tình nghiêm khắc TS Nguyễn Thịnh Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy đáng kính Thầy ln tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả muốn gửi tới toàn thể thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2014 - 2016, đặc biệt thầy tham gia giảng dạy nhóm Xác suất thống kê 2014 - 2016 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ suốt thời gian khóa học Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp anh chị em nhóm Xác suất thống kê 2014 - 2016 quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên tinh thần để tác giả hồn thành khóa học Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Học viên Lại Thị Thu Mục lục Lời cảm ơn Kí hiệu Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các dạng hội tụ 1.2 Các dãy Bernoulli, dãy Gauss chuẩn tắc dãy α- ổn định chuẩn tắc 10 1.3 Modun khơng gian tuyến tính 12 1.4 Lọc thời điểm dừng 14 1.5 Martingale giá trị thực 14 1.6 Các bất đẳng thức 17 1.7 Một số kết martingale thực 18 Một số bất đẳng thức cho tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên độc lập 21 2.1 Bất đẳng thức Levy - Octaviani 21 2.2 Bất đẳng thức co 25 2.3 Bất đẳng thức Moment 27 Sự hội tụ nguyên lí trội chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập 32 3.1 Định lý Ito-Nisio 33 3.2 Sự hội tụ theo trung bình cấp p 35 MỤC LỤC 3.3 Moment mũ moment khác chuỗi ngẫu nhiên 40 3.4 Phép trội yếu 45 3.5 Phép trội mạnh 50 Martingale nguyên lí trội cho Martingale 56 4.1 Các bất đẳng thức Doob 56 4.2 Sự hội tụ martingale 61 4.3 Các dãy tách rời dãy tiếp xúc 65 4.4 Phép trội yếu cho martingale 68 4.5 Phép trội mạnh cho martingale 72 Kết luận 80 Kí hiệu Những kí hiệu sử dụng lời giải kí hiệu khơng phải định nghĩa thức |A| - lực lượng (số phần tử) tập hợp A A0 - Đại số tập A- σ− đại số tập B- σ− đại số tập Borel C - số phức C-các hàm lồi liên tục không âm D(T ) - Không gian Skorohod T E (X ) - Kì vọng biến ngẫu nhiên X E , F - Không gian Banach thực khả ly khơng gian metric tuyến tính đầy đủ E , F - Không gian đối ngẫu E , F F, G- σ− đại số tập (F(t )), (Fi )-Các lọc H -Không gian Hilbert h, g -Tích khơng gian Hilbert HC- Lớp siêu co I A (.)-Hàm tiêu tập A L p -Không gian hàm p− khả tích L -Khơng gian hàm đo L ϕ -Không gian Musielak-Orlicz L(X )-Phân phối biến ngẫu nhiên X m, n -Các độ đo ngẫu nhiên Kí hiệu N -Tập số ngun khơng âm N + -Tập số nguyên dương p, p -Các lũy thừa liên hợp Holder, 1/p + 1/p = p ∗ = max{p, p/(p − 1)} P -Các trình tiên đốn dãy với giá trị tuyệt đối ≤ P Q -Tích độ đo độ đo hạt nhân (kernel) chuyển Q -Tập số hữu tỷ Q n∗∗ = max{∥ Q k,l ∥: ≤ i < j ≤ n, i ≤ k, j ≤ l } R -Tập số thực R + -Tập số thực dương R0 - Hàm f liên tục: R → R cho với r, c > 0, | f (x)| ≤ c f (x) = với |x| ≤ r Sn = X1 + · · · + Xn S n∗ = max ∥ S k ∥ 1≤k≤n S ∗ = sup ∥ S k ∥ 1≤k X c = c X /c ( Xˆ i )- Dãy tiếp xúc tách rời tới (X i ) X ∗ = sup X (t ) t ∈T Kí hiệu X n∗ = sup ∥ X k ∥ k≤n V ar X = E ∥ X − E X ∥2 - phương sai Z - Tập số nguyên α - Số nguyên bé lớn α α - Số nguyên lớn nhỏ α α ∧ β = min{α, β} α ∨ β = max{α, β} (γi )- Dãy Gauss tắc biến ngẫu nhiên có phân phối N (0, 1) đồng độc lập δx - Độ đo Dirac tập trung điểm x δnk = n = k, = n = k (εk )- Các biến ngẫu nhiên Bernoulli (Rademacher) dãy ±1 µ X = L(X )- độ đo phân phối X π, ρ - Các modun σ(A), σ(X )- σ− trường sinh A, X ∗ - max sup tổng riêng ξ, η- Các biến ngẫu nhiên thực ϕ, Φ- Hàm Musielak- Orlicz modun φε -Hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên ξ (Ω, F, P )-Không gian xác suất Lời mở đầu Hiện nay, xác suất thống kê ngày đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực ngày phổ biến cách rộng rãi Cũng lẽ đó, Lý thuyết xác suất trở thành ngành nghiên cứu đặc biệt coi trọng ứng dụng tính thực tiễn việc dự báo, tính tốn tìm quy luật tự nhiên sống hàng ngày Tất nhiên, quan trọng phát triển quãng thời gian dài hai biến ngẫu nhiên có giá trị khơng gian Banach F G tương ứng, đồng thời cho G σ- trường F Khi X gọi làm G- trội mạnh theo Y (kí hiệu X ≺G Y ) với t ≥ P (∥ X ∥> t |G) ≤ P (∥ Y ∥> t |G) Thấy X Y độc lập G định nghĩa trùng với định nghĩa phép trội mạnh (1,1) phần 3.5 Hai ví dụ quan trọng biến ngẫu nhiên G- trội mạnh Ví dụ 4.5.2 Nếu ∥ X ∥≤∥ Y ∥ hầu chắn X ≺G Y với G Trong trường hợp X gọi phụ thuộc vào Y 72 4.5 PHÉP TRỘI MẠNH CHO MARTINGALE Ví dụ 4.5.3 Nếu L(X |G) = L(Y |G) hầu chắn X ≺G Y Trong trường hợp X Y gọi G- tiếp xúc Rõ ràng, ta trường hợp tầm thường mà phép trội mạnh dãy sai phân mactigan kế thừa mactigan Tuy nhiên, phép trội mạnh dãy sai phân mactigan kéo theo số kêt so sánh cho mactigan Một số kết trình bày phần Ban đầu, ta xét dãy (Fi )- tương thích tổng quát (X i ) biến ngẫu nhiên có giá trị F mà với i = 1, 2, , n làm (Fi )- trội mạnh biến ngẫu nhiên không âm Yi Kí hiệu n n X i Nn = Mn = i =1 Yi i =1 Ngoài ra, để thuận tiện việc chứng minh phần này, ta chấp nhận quy ước, nhờ với i > n , biến ngẫu nhiên X i Yi Các kết biết trường hợp đến từ: Định lý 4.5.4 Cho X , , X n Y1 , , Yn hai dãy biến ngẫu nhiên (Fi )- tương thích có giá trị F R + tương ứng Giả sử rằng, với i = 1, , n , X i ≺Fi −1 Yi Khi đó: (i) Với t ≥ 0, P (X n∗ > t ) ≤ 2P (Yn∗ > t ); (ii) Với hàm lõm ϕ : R + → R + E ϕ(M n∗ ) ≤ 3E ϕ(Nn ); (iii) Với t , s > P (M n∗ > t ) ≤ s + 2P (Nn > s); t (iv) Với hàm tăng liên tục ϕ : R + → R + có tăng trưởng ơn hịa, tồn số c , phụ thuộc vào ϕ cho E ϕ(M n∗ ) ≤ cE ϕ(Nn ) Chứng minh Vì Mn∗ ≤ n i =1 ∥ X i ∥, chứng minh quy trường hợp X , , X n biến ngẫu nhiên không âm 73 ... luận Nhìn chung, chuỗi ngẫu nhiên tính chất vấn đề liên quan phần thú vị quan trọng lý thuyết xác suất Do khả có hạn nên tác giả tìm hiểu chuỗi ngẫu nhiên, martingale vấn đề xoay quanh khái niệm... phối biến ngẫu nhiên X m, n -Các độ đo ngẫu nhiên Kí hiệu N -Tập số nguyên không âm N + -Tập số nguyên dương p, p -Các lũy thừa liên hợp Holder, 1/p + 1/p = p ∗ = max{p, p/(p − 1)} P -Các q trình... 14 1.6 Các bất đẳng thức 17 1.7 Một số kết martingale thực 18 Một số bất đẳng thức cho tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên độc