Chuyên đề mặt nón mặt trụ và mặt cầu

- Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ theo thứ tự là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ. - Điểm không thuộc khối trụ gọi là điểm ngoài của khố[r]

CHUYÊN ĐỀ:

MẶT NÓN – MẶT TRỤ- MẶT CẦU

2 BÀI 1: MẶT NĨN – HÌNH NĨN – KHỐI NĨN

a) Mặt tròn xoay:

Một mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng d (C), quay ( ) quanh d góc 360thì điểm M thuộc (C) vạch đường trịn có tâm O thuộc d Tập hợp tất điểm (C) tạo thành đường trịn có tâm d ( ) quay quanh d gọi mặt tròn xoay

(C) gọi đường sinh, d trục mặt tròn xoay

b) Mặt nón, hình nón khối nón trịn xoay

Mặt nón trịn xoay Hình nón trịn xoay Khối nón trịn xoay Khi (C) đường thẳng

trong mặt phẳng( ) quay quanh d (C) sinh mặt tròn xoay gọi mặt nón trịn xoay (gọi tắt mặt nón)

Khi đó:

- (C) đường sinh mặt nón

-d trục mặt nón -

 ( ,( ))

0 90

d C 



 

   

  

- Góc 2 góc đỉnh mặt nón

Cho tam giác OIM vng I Khi quay tam giác quanh cạnh OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón)

Khi đó:

- O đỉnh hình nón - OI đường cao hình nón - OM đường sinh hình nón

- Đường trịn tâm I,bán kính IM mặt đáy hình nón

- Phần mặt tròn xoay sinh cạnh OM quay quanh OI gọi mặt xung quanh hình nón

Là phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình nón (gọi tắt khối nón)

Khi đó:

- Đỉnh, mặt đáy, đường sinh hình nón theo thứ tự đỉnh, mặt đáy, đường sinh khối nón

- Điểm khơng thuộc khối nón gọi điểm ngồi khối nón

- Điểm thuộc khối nón khơng thuộc hình nón gọi điểm khối nón * Lưu ý:

Mặt nón hình học dài vơ hạn, hình nón hình học có giới hạn, phần mặt nón có đỉnh trùng với đỉnh mặt nón Do mà số trường hợp, thiết diện mặt phẳng với mặt nón khác với hình nón

c) Các cơng thức tính diện tích thể tích hình nón:

Xét hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r chiều dài đường sinh l, đó: Diện tích xung quanh Sxq rl

Diện tích đáy Sđ¸yr2

Diện tích tồn phần Stp SxqSđ¸y rlr2 Thể tích khối nón

¸

2

1

3 y

3 * Lưu ý:

- Nếu cắt mặt xung quanh hình nón theo đường sinh trải mặt phẳng ta hình quạt có bán kính độ dài đường sinh hình nón cung trịn có độ dài chu vi đường trịn đáy hình nón Khi diện tích hình quạt diện tích xung quanh hình nón

- Mối quan hệ đường sinh l bán kính r:

Gọi  số đo góc cung AmB, ta có độ dài cung AmB:  AmB

C l Vì độ dài cung AmB chu vi đường trịn có bán kính r đáy hình chóp ban đầu nên ta có:

2

2 l

l r

r



 



  

d)Thiết diện mặt phẳng với hình nón: - Mặt phẳng cắt hình nón qua đỉnh:

Mặt phẳng qua đường sinh Mặt phẳng qua đường sinh

Thiết diện tam giác cân đỉnh hình nón

Khi mặt phẳng tiếp xúc với hình nón (gọi tiếp diện)

- Mặt phẳng cắt hình nón khơng qua đỉnh: Mặt phẳng vng góc với trục cắt tất

đường sinh hình nón

Mặt phẳng khơng vng góc cắt tất đường sinh hình nón

4 Mặt phẳng song song với đường cao

hình nón

Mặt phẳng song song với đường sinh hình nón

Thiết diện nhánh hypebol có đáy đường thẳng

* Lưu ý: Nếu mặt nón thiết diện nhánh hypebol

Thiết diện parabol có đáy đường thẳng

* Lưu ý: Nếu mặt nón thiết diện đường parabol

BÀI TẬP:

+ Dạng 1: Tính diện tích – thể tích hình nón, khối nón

Phương pháp: Cần nắmvững cơng thức tính diện tích, thể tích hình nón khối nón: - Công thức liên hệ đường sinh, đường cao

bán kính đáy:  2

l h r

- Diện tích xung quanh: Sxq rl - Diện tích đáy: Sđ¸y r2

- Diện tích tồn phần: Stp SxqSđ¸y rlr2 - Thể tích khối nón:

¸

2

1

3 y

V S h r h đ

VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Cho hình nón có bán kính đáy 4a, chiều cao 3a Tính độ dài đường sinh, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình nón

Hướng dẫn: - Độ dài đường sinh hình nón:

+ Xét tam giác SOA có: h = SO = 3a; r = AO = 4a

   

   2  2 2 

=

l SA SO OA a a a

- Diện tích xung quanh:

 

    

4 20 xq

S rl  a a a dvdt - Diện tích đáy:

   

  

   

đ

2

2

4 16

S r a a dvdt

- Diện tích tồn phần:

 

  

  đ  2 

20 16 36

tp xq

S S S a a a dvdt

- Thể tích hình nón:

   

  

   

đ

2

2

1 1

16 )

3 3

5 Ví dụ 2: Cho hình nón có đường sinh l = a (cm), góc đường sinh mặt phẳng đáy 30º Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón theo a

Hướng dẫn: - Bán kính đáy hình nón:



    

cos cos30

2 a

r l SAO a

- Chiều cao hình nón:

 

     

 

2

2 2

2

a a

h l r a

- Diện tích xung quanh hình nón:

 



 

    

2

xq

a a

S rl a dvdt

- Diện tích đáy hình nón:

 



   

    

 

đ

2

2

2 3

2

a a

S r dvdt

- Thể tích hình nón:

 

 

 

      

 

đ

2

1

)

3

a a a

V S h dvtt

+ Dạng 2: Các toán thiết diện mặt phẳng qua đỉnh hình nón Phương pháp: Ta cần nắm tính chất sau

Gọi:

+ Mặt phẳng (SAC) thiết diện mặt phẳng giao với hình nón đỉnh O, đáy có tâm H

+ M trung điểm AC + K hình chiếu H lên OM Khi ta có:

- Khoảng cách từ tâm H tới thiết diện (OAC): Ta có:

(OHM) (OAC) OM

HK OM HK (OAC)

HK (OMH)

 



   



 



Vậy khoảng cách từ H tới (OAC) HK - Khoảng cách đường thẳng AC OH: Ta có: AC MH d(AC;OH) MH

OH MH



  

 



Vậy MH khoảng cách đường thẳng AC OH - Góc thiết diện (OAC) OH:

Ta có: HK(OAC)OK hình chiếu OH lên (OAC)

(OH,(OAC)) (OH,OK) HOK

Vậy góc thiết diện (OAC) OH HOK

6

Ta có:   

(OAC) (ABC) AC

OM AC ( OAC cân O) ((OAC),(ABC)) (OM,HM) (OMH)

HM AC

 



     



 



Vậy góc thiết diện (OAC) đáy hình nón (ABC) OMH VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Một hình nón có đường sinh a góc đỉnh 90 Cắt hình nón mặt phẳng (P) qua đỉnh cho góc (P) mặt đáy hình nón 60 Khi diện tích thiết diện

Hướng dẫn:

Gọi H tâm mặt đáy (ABC), M trung điểm AC, mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện làOAC

- Đường cao OH hình nón:

Xét AOBtại O có OH đường cao, ta có:

2 2 2

1 1 1

OH OA OB  a a

OH

2 a

 

- Góc mặt (P) đáy (ABC): Vì M trung điểm, AC nên:

 

((P),(ABC))OMH60 - Độ dài cạnh OM:

Xét OHMtại H, ta có:OM OH sin 60 sin OMH

a a



  

- Độ dài cạnh AM:

Xét OMAtại M, ta có:

2

2 2

AM OA OM

3

a  a a

     

 

- Diện tích thiết diện OAC:

2 OAC

1

OM.AC OM.2AM

2 3

S    a a a

Ví dụ 2: Cho hình nón có bán kính đáy 3cm có đường sinh l=5cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh tạo với trục góc 30 Diện tích thiết diện

Hướng dẫn:

Gọi H tâm mặt đáy (ABC), M trung điểm AC, mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện làOAC

- Đường cao OH hình nón: Xét OHBtại H, ta có:

2 2

OH OB BH  3 4cm - Góc mặt (P) đường cao OH Vì M trung điểm AC nên:

 

((P),OH)MOH30 - Độ dài cạnh OM:

7 

OH

OM

cos30

cos MOH 

   (cm)

- Độ dài cạnh AM:

Xét OMAtại M, ta có:

2

2 2 33

AM OA OM

3

 

     

  (cm)

- Diện tích thiết diện OAC:

OAC

1 33 11

OM.AC OM.2AM

2 3

S     (cm2)

Ví dụ 3: Cho hình nón đỉnh S, có chiều cao h=a bán kính đáy r=2a Mặt phẳng (P) qua S, cắt đường tròn đáy A B cho AB=2 3a Tính khoảng cách d từ tâm đường tròn đáy đến mặt (P)

Hướng dẫn:

Gọi H tâm mặt đáy (ABC), M trung điểm AB, K hình chiếu H lên SM ,mặt (P) cắt hình nón theo thiết diện làSAB

- Độ dài cạnh AM:

Xét AMHtại M, ta có:

2

2 2 AB 2

MH AH AM AH (2 ) ( )

2 a a a

 

       

 

- Khoảng cách từ H tới mặt (P):

Vì K hình chiếu H lên SM nên: d(H;(P))HK

Xét SHMtại H, ta có:

2 2 2

1 1 1

HK SH MH  a a

HK

2 a

 

+ Dạng 3: Hình nón ngoại tiếp, nội tiếp hình chóp

Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD Hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Hình nón nội tiếp có đỉnh S đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD có tâm O Ta có:

- Bán kính đáy: OM 1AB r  - Đường cao: hSO - Đường sinh: lSM

Hình nón ngoại tiếp có đỉnh S đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD có tâm O Ta có:

8 Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC Hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Hình nón nội tiếp có đỉnh S đáy đường trịn nội tiếp tam giác ABC có tâm O Ta có:

- Bán kính đáy: OM 1CM r  - Đường cao: hSO - Đường sinh: lSM

Hình nón nội tiếp có đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O Ta có:

- Bán kính đáy: CO 2CM r  - Đường cao: hSO - Đường sinh: lSA VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác có cạnh a Hướng dẫn:

Gọi O tâm đáy ABCD - Độ dài cạnh OB:

Vì ABCD hình vng cạnh a nên ta có:

1

OB BD

2 a

 

- Độ dài đường cao SO: Xét SOBtại O, ta có:

2

2 2 2

SO SB OB

2

a  a a

     

 

- Thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD:

2

2

¸

1 1 2

.SO OB SO=

3 3 2 12

V S    a a a

 

đ y

Ví dụ 2:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a, góc mặt bên mặt phẳng đáy 30 Hình nón đỉnh S có đường trịn đáy nội tiếp hình vng ABCD, tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón tạo nên

Hướng dẫn:

Gọi M trung điểm BC, O tâm đáy, b độ dài cạnh đáy - Góc mặt bên đáy ABCD:

Ta có:

 

(SBC) (ABCD) BC

SM BC ( SBC cân S) ((SBC),(ABCD)) SMO 30

OM BC ( BOC cân O)



 



     



  



9 O : Trung điểm AC

OM l đường trung bình ABC M : Trung ®iĨm BC

  

 

1

OM AB b

2

  

- Độ dài cạnh SO:

Xét SOMtại O, ta có:



SO OM tan SOM b tan 30

2 b

   

- Độ dài cạnh OC:

Vì ABCD hình vng cạnh b OC 1AC

2 b

  

- Giá trị b theo a: Xét SOCtại O, ta có:

2 2

SC SO OC

2

2

4

a  b  b

    

   

4 11 11

b a

 

- Độ dài cạnh SM:

Xét SOMtại O, ta có: 

OM

SM

2 cos30 cosSMO

b

b



  

- Diện tích xung quanh hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD:

2

2

1 3 11

.OM.SM

2 6 11 33

xq

S   b b b   a  a

 

- Thể tích khối nón:

3

2 3

¸

1 1 3 11 64 33

.SO OM SO

3 3 4 48 48 11 5808

V S     b b b   a  a

 

đ y

Ví dụ 3: Tính thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác SABC tích V Hướng dẫn:

Gọi O tâm đáy, M N trung điểm AB BC, a độ dài cạnh đáy - Diện tích tam giác ABC:

Vì ABC cạnh a nên ta có:

2 ABC

3 S  a

- Thể tích hình chóp SABC:

2 ABC

1

.SO SO

3 12

V S  a (1)

- Độ dài bán kính OC đáy hình nón ngoại tiếp SABC

2 3

R CO CM

3 a a

   

10

2

2

¸

3

R

3

S   a  a

 

đ y

- Thể tich khối nón:

2 ¸

1

.SO SO

3

nãn

V  Sđ y  a (2)

Từ (1) (2), ta suy ra:

2

2

.SO

4

9

9

3 SO 12

nãn

nãn

a V

V V

V

a



 

   

Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích khối nón nội tiếp hình chóp

Hướng dẫn:

Gọi O tâm đáy, M,N K trung điểm AB,BC AC - Độ dài cạnh CM:

Vì ABC tam giác cạnh a, nên ta có:

CM

2 a



-Bán kính đáy hình nón nội tiếp hình chóp đều: Ta có: R OM 1CM

3 a

  

- Góc mặt bên đáy ABC: Ta có:

 

(SAB) (ABC) AB

SM AB ( SAB cân S) ((SAB),(ABC)) SMC 60

CM AB ( ABC đều)



 



     



  



- Độ dài đường cao SO:

XétSOMtại O, ta có:SO OMtanSOM tan 60

6 a 2a



  

- Thể tích khối nón:

2

2

¸

1 1 1

.SO R SO

3 3 72

V S     a a a

 

đ y

+ Dạng 4: Bài toán hình nón cụt

Phương pháp: Gọi r,R,h,l bán kính đáy bé, đáy lớn, chiều cao đường sinh - Diện tích xung quanh: Sxq l r( R)

- Diện tích đáy (2 đáy): Sđ¸y (r2R2) - Diện tích tồn phần : Stp SxqSđ¸y

- Thể tích khối nón cụt: ( 2 )

V h R  r Rr

* Lưu ý:

11 Hướng dẫn:

Gọi O,O’ tâm đáy, r bán kính đường trịn đáy nhỏ; dựng AB vng góc với O’C hình vẽ

- Độ dài cạnh BC:

Xét ABCtại B, ta có:

2 2

BC AC AB  10 8 6(cm) - Độ dài cạnh O’B:

Ta có: O'BO'C BC 12 6   6(cm) - Độ dài bán kính đường trịn đáy nhỏ: Ta có OABO’ hình chữ nhật nên:

rO'B6(cm)

- Thể tích khối nón cụt:

2 2

1

OO'(O'C O'C.r) 8(12 12.6) 672 (cm )

3

V   r      

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho khối nón có chiều cao h, đường sinh l bán kính đường trịn đáy r Thể tích khối nón là:

A V r h2 B V 3r h2 C

3

V  rh D V  r h

Câu 2: Với V thể tích khối nón trịn xoay có bán kính đáy r chiều cao h cho công thức sau đây:

A

3

V  r h B

V  r hC V r h2 D 2 V   r h

Câu 3: Cho khối nón có chiều cao h, đường sinh l bán kính đường trịn đáy r Diện tích tồn phần khối nón là:

A Stp r1r B tStp r21r C Stp 2r1r D Stp 2r1 2 r Câu 4: Cho khối nón có chiều cao bán kính đường trịn đáy Thể tích khối nón là:

A 160 B 144 C 120 D Đáp án khác

Câu 5: Cho khối nón có chiều cao bán kính đường trịn đáy Thể tích khối nón là:

A 160 B 144 C 128 D 120

Câu 6: Cho khối nón có chiều cao độ dài đường sinh 10 Thể tích khối nón là:

A 96 B 140 C 128 D 124

Câu 7: Cắt khối nón mặt phẳng qua trục tạo thành tam giác ABC có cạnh a; Biết B, C thuộc đường trịn đáy Thể tích khối nón là:

A.a3 B.

2 a 

C.

3 24 a

D.

3

3

a 

Câu 8: Cắt khối nón mặt phẳng qua trục tạo thành tam giác ABC vuông cân A; Biết A trùng với đỉnh khối nón, AB = 4a Bán kính đường trịn đáy khối nón là:

A a3 B a

C a

12 Câu 9: Cho khối nón có độ dài đường sinh diện tích xung quanh 30 Thể tích khối nón là:

A 6 11

5  B

25 11

3  C 11

3  D

5 11 

Câu 10: Cho khối nón có bán kính đường trịn đáy 10 diện tích xung quanh 120 Chiều cao h khối nón là:

A 11

2 B

11

3 C 2 11 D 11

Câu 11: Cho khối nón có đỉnh S, cắt khối nón mặt phẳng qua đỉnh khối nón tạo thành thiết diện tam giác SAB Biết khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến thiết diện 2, AB = 12, bán kính đường tròn đáy 10 Chiều cao h khối nón là:

A 8 15

15 B

2 15

15 C

4 15

15 D 15

Câu 12: Cho hình nón có đỉnh S, tâm đáy O, bán kính đáy a, góc tạo đường sinh SM đáy

60 Tìm kết luận sai:

A.l2a B Sxq 2a2 C.Sxq 4a2 D.

3 3 a V 

Câu 13: Cho hình nón đỉnh O, tâm đáy I, đường sinh OA = 4, Sxq =  Tìm kết luận sai: A R = B h = C Sday 4 D

3 V  

Câu 14: Cho tam giác ABC cạnh a quay quanh đường cao AH tạo nên hình nón Diện tích xungquanh hình nón là:

A

2a B

a  C. 2 a 

D.

2

3

a



Câu 15: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân, cạnh góc vng a; Tìm kết luận đúng:

A.

2

2

3 a

V   B.

3 a

V  C.

3

2

3 a

V   D.

3

4

3 a V  

Câu 16: Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh huyền

2

a Diện tích xung quanh hình nón là: A. 2 a 

B.

2 a 

C

2

a

 D Đáp án khác

Câu 17: Cắt hình nón mặt phẳng qua trục thiết diện thu tam giác cạnh 2a;Tìm kết luận đúng:

A Sday a2 B

2 a

h C Sxq 2a2 D.

3

3

a V 

Câu 18: Một hình nón có đỉnh S, tâm đáy O, độ dài đường sinh 5, bán kính đáy Một hìnhvng ABCD có đỉnh nằm đường trịn đáy Thể tích khối chóp SABCD là:

A 32 B 16 C 8 D 64

Câu 19: Cho hình nón đỉnh S, tâm O, hai đường sinh SA,SB tạo với góc

0

60 vàABC vng O Tìm kết luận đúng:

A R = B R 2 C R = D R 4

Câu 20: Cho hình chóp tam giac SABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Một hình nón có đỉnh S vàđáy đường trịn ngoại tiếp ABC Tìm kết luận đúng:

A R a B. 33

3 a

h C.

2

4

xq

a

S  D.

3

9

13 Câu 21: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R có BAC750 ,



60

ACB Kẻ BH AC Quay ΔABC quanh AC ΔBHC tạo thành hình nón xoay có diện tích xung quanhbằng:

A 3

2 xq

S   R B.

4 xq

S   R

C. 2

4 xq

S   R D Đáp án khác

Câu 22: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a; Một hình nón có đỉnh tâm hìnhvng ABCD có đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng A’B’C’D’ Diện tích xung quanh hìnhnón là:

A. a  B. 2 a  C. a 

D.

2 a 

Câu 23: Cho tam giác ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên hình nón Diệntíchxung quanh hình nón là:

A a

 B

2a C

2

2

a



D

2

3

a



Câu 24: Một tứ diện cạnh a có đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh cịn lại nằm trênđường trịn đáy hình nón Khi diện tích xung quanh hình nón là:

A. a  B. 2 3 a 

C.

3 a 

D a2

Câu 25: Một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3, cạnh bên BC = DA =

2 Chohình thang quay quanh AB vật trịn xoay tích bằng: A

3

V   B

3

V   C

3

V   D V 3

Câu 26: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh đáy a; Một hình nón có đỉnh tâm củahình vng ABCD có đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng A’B’C’D’ Diện tích xung quanh củahình nón là:

A. 3 a  B. a 

C.

2 a  D. 2 a 

Câu 27: Trong không gian cho hình vng ABCD có cạnh a; Gọi H, K trung điểm củaDC AB Khi quay hình vng xung quanh trục HK ta hình trụ trịn xoay (H) Gọi Sxq, Vlần lượt diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay (H) khối trụ trịn xoay giới hạn hìnhtrụ (H) Tỉ số

xq V S bằng: A. a

B.

2 a C a D.2 a

Câu 28: Một tam giác vng ABC vng A, có AB = , AC = Kẻ AHBC Cho tam giácquay quanh BC, tam giác AHB AHC tạo thành hình nón có diện tích xung quanh

1,

S S thểtích V1, V2 Xét câu:

(I) S2 = S1 (II) 2V2 = 3V1

A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả câu sai D Cả câu Câu 29: Cho hình bình hành ABCD có BAD(00 < α <

90 ), AD = a ADB900 Quay ABCDquanh AB, ta vật trịn xoay c ó thể tích là:

A V a3sin2 B Va3sincos

C 3sin2 cos

V a   D 3cos2

14 Câu 30: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC) cạnh BD vng góc vớicanh BC Khi quay cạnh tứ diện xung quanh trục cạnh AB, có hình nón tạothành ?

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 31: Cho hình nón trịn xoay có đường cao h = 20cm bán kính đáy r = 25cm Gọi diện tích xungquanh hình nón trịn xoay thể tích khối nón trịn xoay Sxq V Tỉ số

xq

V

S bằng:

A 100

3 41cm B 200

3 41cm C 3001

5 41cm D Đáp án khác

Câu 32: Cho hình trịn có bán kính Cắt bỏ 4hình trịn bán kính OA, OB, ghép bán kính lại cho thành hình nón (như hình vẽ) Thể tích khối nón tương ứng là:

A 81 

B 9

8  C 81

4 

D Đáp án khác

Câu 33: Cho hai điểm cố định A,B điểm M di động không gian thỏa mãn điều kiệnMAB với 00  900 Khi điểm M thuộc mặt mặt sau:

A mặt nón B mặt trụ C mặt cầu D mặt phẳng

Câu 34: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có diện tích 50cm2 Thể tíchkhối nón là:

A 250 3 cm 

B.200

3 cm 

C

150 2cm cm³ D 100

3 cm



3

Câu 35: Cho hình nón đỉnh O, chiều cao h Một khối nón có đỉnh tâm đáy đáy thiết diện song song với đáy hình nón cho Chiều cao x khối nón để thể tích lớn nhất, biết < x < h ?

A. h

x B

2 h

x C

3 h

x D

3 h x

Câu 36: Cho ΔABC vuông cân C, nội tiếp đường trịn tâm O, đường kính AB Xét điểm S nằmngoài mặt phẳng (ABC) cho SA, SB, SC tạo với (ABC góc

45 Hãy chọn câu đúng:

A Hình nón đỉnh S, đáy đường trịn ngoại tiếp ΔABC hình nón trịn xoay B Thiết diện qua trục hình nón tam giác vuông cân

C Khoảng cách từ O đến thiết diện qua đỉnh (SAC) (SBC) D Cả câu

Câu 37: Cho hình nón xoay chiều cao SO Gọi ABCD hình vng nội tiếp đường trịn đáy củahình trịn Cho biết AB = a thể tích hình nón

6

a

V  Gọi M, N trung điểm BC SAthì độ dài đoạn MN là:

A MN a 14 B 14

2 a

MN  C 14

3 a

MN  D 14

15 Câu 38: Cho hình chóp SABCD có cạnh đáy a, góc SAC

45 Tính thể tích khối chóp.Tính diện tích xung quanh mặt nón ngoại tiếp hình chóp SABCD

A.

3

2

;

6

a  a

B.

3

5 2

;

6

a  a

C.

3

2

;

6

a  a

D.

3

7 2

;

6

a  a

Câu 39: Cho hình nón có đáy đường trịn có đường kính 10.Mặt phẳng vng góc với trục cắt hình nón theo giao tuyến làmột đường trịn hình vẽ Thể tích khối nón có chiều caobằng bằng:

A 8 B 24

C 200



D 96

Câu 40: Cho hình nón (N)có bán kính đáy 10, mặt phẳngvng góc với trục hình nón cắt hình nón theo đườngtrịn có bán kính 6, khoảng cách mặt phẳng vớimặt phẳng chứa đáy hình nón (N)là Chiều cao hìnhnón (N)bằng:

A 12,5 B 10

C 8,5 D 7

Câu 41: Một hình nón đỉnh S có chiều cao SO = h Gọi AB dây cung đường tròn (O) cho tamgiác OAB mặt phẳng (SAB) hợp với mặt phẳng chứa đường trịn đáy góc

0

60 Diện tíchxung quanh thể tích khối nón A.

2 13

; 9 h h   B. 13 ; 27 h h   C. 13 ; 9 h h   D. 13

;

9 27

h h

 

Câu 42: Một hình nón có đỉnh S, tâm đường tròn đáy O Mặt phẳng (P) qua trục hình nón cắthình nón theo thiết diện tam giác SAB Biết diện tích tam giác SAB 81a2 (với a >0 cho trước)và đường sinh hình nón hợp với mặt đáy góc 300 Diện tích xung quanh

và thể tích khốinón

A 162a2; 243 3a3 B 162a2; 243 34 a3 C.

2

3

81

; 243 a a   D. 81 243 ; a a  

Câu 43: Cho hình nón đỉnh S, đáy hình trịn tâm O, bán kính R, đường sinh 2R Mặt phẳng (P)qua đỉnh S, cắt hình nón theo thiết diện tam giác SAB có góc ASB300 Tính khoảng cách từ điểmO đến mặt phẳng (SAB) ?

A 3

2 R   B 3 R   C

3 3 R



 D

3 3

R

 

Câu 44: Cho hình nón trịn xoay có đường cao h = 20cm, bánh kính đáy r = 25cm.Một thiệt diện quađỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12cm Diện tích củathiết diện bằng:

A SSAB 400 cm2 B SSAB 600 cm2 C SSAB 500 cm2 D SSAB 800 cm2 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

16 BÀI 2: MẶT TRỤ TRÒN XOAY

a) Định nghĩa:

Trong mặt phẳng ( ) cho hai đường thẳng d l song song cách khoảng r Khi quay mặt phẳng ( ) xung quanh d đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay (gọi tắt mặt trụ)

Đường thẳng d gọi trục, đường thẳng l đường sinh r bán kính mặt trụ

b) Hình trụ trịn xoay khối trụ trịn xoay

Hình trụ trịn xoay Khối trụ trịn xoay

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB, đường gấp khúc ADCB tạo thành hình gọi hình trụ trịn xoay (gọi tắt hình trụ)

Khi đó:

- Hai đường tròn (A,AD) (B,BC) gọi đáy hình trụ

- DC đường sinh hình trụ

- Phần mặt tròn xoay sinh DC gọi mặt xung quanh

- AB đường cao hình trụ

Phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ khối trụ trịn xoay (gọi tắt khối trụ)

Khi đó:

- Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính hình trụ theo thứ tự mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính khối trụ

- Điểm khơng thuộc khối trụ gọi điểm ngồi khối trụ

- Điểm thuộc khối trụ không thuộc hình trụ gọi điểm khối trụ

c) Thiết diện mặt phẳng với hình trụ -Mặt phẳng cắt trục hình trụ:

Mặt phẳng vng góc với trục Mặt phẳng khơng vng góc với trục

17 - Mặt phẳng song song với trụ hình trụ:

Khoảng cách từ mặt phẳng tới trục bán kính hình trụ

Khoảng cách từ mặt phẳng tới trục nhỏ bán kính hình trụ

Mặt phẳng hình trụ có chung đường sinh Lúc này, mặt phẳng tiếp xúc với hình trụ (gọi tiếp diện)

Thiết diện hình chữ nhật, có cạnh đường sinh, cạnh lại dây cung đáy hình trụ

d) Các cơng thức tính diện tích thể tích hình trụ Xét hình trụ có chiều cao h, bán kính r đường sinh l, ta có: Diện tích xung quanh Sxq 2rl

Diện tích đáy Sđ¸y 2r2 (2 đáy) Diện tích tồn phần Stp SxqSđ¸y 2r l( r)

Thể tích khối trụ  đ 

2 ¸y

V S h r h

 BÀI TẬP Phương pháp:

Ta cần nắm vững toán sau:

Thể tích tứ diện tạo đường kính chéo nhau nằm đáy (AB DC)

Góc đường thẳng nối tâm đường thẳng nối điểm đường tròn

đáy



'sin( , )

ABCD

V  AB CD OO AB CD

'sin AB CD OO 



Dựng BC song song với OO’, đó:

  

18 Khoảng cách đường thẳng nối tâm

đáy đường thẳng nối điểm đường tròn đáy

Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác tích V

Dựng BC song song với OO’ OH vng góc với AC, ta có:

d(OO',AB)OH

Thể tích khối trụ: trơ

4 V

9V



Diện tích xung quanh hình trụ nội tiếp trong hình lăng trụ tứ giác có diện tích

xung quanh S

Mối liên hệ diện tích xung quanh, tồn phần thể tích khối trụ

toán tối ưu

Diện tích xung quanh hình trụ: xq

S  S

Xét khối trụ tích V khơng đổi: - Bán kính chiều cao hình trụ để diện tích tồn phần nhỏ nhất:

3

3

2 V R

V h

 

       

- Bán kính chiều cao hình trụ để diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy nhỏ nhất:

3

3

V R

V h

  

      

* Lưu ý:

- Nếu hình vng nội tiếp hình trụ đường chéo hình vng đường chéo hình trụ

19 Hướng dẫn:

Gọi O,O’ trung điểm BC B’C’

- Bán kính r đáy đường trịn hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’:

Vì ABCtại A nên đường trịn ngoại tiếpABC có tâm O trung điểm BC

1

r OC BC

2 a

   

- Diện tích đường trịn tâm O:

2 2

( 3)

Sr  a  a

- Thể tích khối trụ nội tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’:

2

.AA' VS  a a a

Ví dụ 2: Cho khối trụ có bán kính đường tròn đáy 6cm Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có A,B thuộc đáy khối trụ Biết AB=10cm, khoảng cách từ trục khối trụ đến thiết diện tạo thành

Hướng dẫn: Gọi O,O’ tâm đường trịn đáy hình trụ, H hình chiếu O lên cạnh AB

- Xác định khoảng cách từ O tới mặt (ABCD): Ta có: AD OH(AB (AOB)) OH (ABCD)

AB OH

 



 

 



d(O,(ABCD)) OH

 

- Độ dài khoảng cách AH:

Vì OABcân O nên OH đường trung tuyến

AH AB

2

   (cm)

- Độ dài khoảng cách OH:

XétOAHvuông H, ta có:

2 2

OH OA AH  5  11(cm)

Ví dụ 3: Một hình trụ trịn xoay bán kính R=1 Trên đường tròn (O) (O’) lấy điểm A B cho AB=2 góc AB trục OO’ 30 Tính thể tích khối trụ

Hướng dẫn: Dựng BC song song với OO’ hình vẽ

- Góc đường thẳng AB OO’:

Vì BC OO' (AB,OO') (AB,BC) ABC30 - Độ dài đường cao BC khối trụ:

Xét ACBtại C(BC(AOC)), ta có: 

BCAB cos ABC2 cos30  - Diện tích đường trịn đáy hình trụ:

2

OC S 

- Thể tích khối trụ: BC

20 Ví dụ 4: Cho hình trụ có hai đáy hai đường trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao a Đường kính AB đường trịn tâm O vng góc với đường kính CD đường trịn tâm O’ Tính thể tích tứ diện ABCD

Hướng dẫn: - Thể tích tứ diện ABCD:

Áp dụng cơng thức tính thể tích tứ diện tạo từ đường kính chéo mặt phẳng đáy, ta có:



ABCD

1

AB.CD.OO'.sin(AB,CD) 2 sin 90

6

V   a a a   a

Ví dụ 5:Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCDcó AB 1 AD 2 Gọi M ,N trungđiểm ADvà BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN, ta hình trụ Diệntích tồn phần hình trụ

Hướng dẫn:

Khi quay hình chữ nhật ABCD quay cạnh MN ta hình trụ có đáy đường trịn (M;MD) (N;NC)

- Diện tích đáy hình trụ quay hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh MN:

2

¸

AD MD

2 y

S    

 

đ

- Diện tích xung quanh hình trụ:

2 NC.MN 1.1

xq

S      

- Diện tích tồn phần hình trụ:

¸

2 2

tp y xq

S  Sđ S      

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho khối trụ có khoảng cách hai đáy 10, biết diện tích xung quanh khối trụbằng 80 Thể tích khối trụ là:

A 160 B 164 C 64 D 144

Câu 2: Cho khối trụ có độ dìa đường sinh 10, biết thể tích khối trụ 90 Diện tích xung quanh khối trụ là:

A 81 B 60 C 78 D Đáp án khác

Câu 3: Cho khối trụ có khoảng cách hai đáy h, độ dài đường sinh l bán kính củađường trịn đáy r Diện tích tồn phần khối trụ là:

A Stp r1r B Stp r21r C.Stp 2r1r D Stp 2r1 2 r

Câu 4: Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có ABvà CD thuộc hai đáy khối trụ Biết AB = 4a, AC = 5a Thể tích khối trụ là:

A 16a3 B 8a3 C 4a3 D 12a3

Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 2a, AD = 4a Gọi M, N trung điểm ABvà CD Quay hình vng ABCD quanh trục MN ta khối trụ trịn xoay Thể tích khối trụ là:

A

4a B

2a C

a

 D

21 Câu 6: Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện hình vng cócạnh 3a Diện tích tồn phần khối trụ là:

A. 3a2 B.

27

a



C.

2 a 

D.

13

a



Câu 7: Cho khối trụ có chiều cao 8cm, bán kính đường tròn đáy 6cm Cắt khối trụ bởimột mặt phẳng song song với trục cách trục 4cm Diện tích thiết diện tạo thành là:

A 16 cm B 32 cm C 32 cm D 16 cm

Câu 8: Một hình trụ có chiều cao h, thiết diện song song cách trục khoảng d chắn trênđáy dây cung cho cung nhỏ trùng dây cung có số đo 2

 0

0   90 Diện tích thiết diện là: A 4 hd.sin B hd

sin C 2 hd sin

cos



 D 2 hd.tan

Câu 9: Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao 12cm, đường kính đáy 4cm, lượng nướctrong cốc cao 10cm Thả vào cốc nước viên bi có đường kính 2cm Hỏi nước dâng cao cách mépcốc xăng - ti - mét ? (Làm tròn sau dấu phẩy chữ số thập phân)

A 0,33cm B 0,67cm C 0,75cm D 0,25cm

Câu 10: Trung điểm đoạn nối tâm hai đáy gọi tâm hình trụ B điểm đườngtròn đáy (O) A điểm đối xứng với B qua tâm hình trụ Khoảng cách ngắn từ B đến A mặttrụ bao nhiêu, biết chiều cao hình trụ 4cm chu vi đường tròn đáy 6cm ?

A 5cm B. 16 362



 cm C 362



 cm D 7cm

Câu 11: Một hình chữ nhật ABCD có AB = a BAC  0

0   90 Cho hình chữ nhật quayquanh cạnh AB, tam giác ABC tạo thành hình nón có diện tích xung quanh cho kết sau đây.Hỏi kết sai ?

A

2

tan cos

xq

a

S  



 B

2

tan cos

xq

a

S  

 

C Sxq a2sin1 tan 2 D Sxq a2tan

Câu 12: Hình chữ nhật ABCD có AB = 6, AD = Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB,BC, CD, DA Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật trịn xoay có thểtích là:

A V = 8 B V = 6 C V = 4 D V = 2

Câu 13: Một hình trụ trịn xoay bán kính R = Trên đường tròn (O) (O’) lấy A B cho AB= góc AB trục OO’ 300 Xét hai câu:(I) Khoảng cách O’O AB

2 (II) Thể tích hình trụ V =

A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả câu sai D Cả câu Câu 14: Cho ABA’B’ thiết diện song song với trục OO’ hình trụ (A, B thuộc đường tròn tâm O).Cho biết AB = 4, AA’ = thể tích hình trụ V = 24 Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng(AA’B’B) là:

A d = B d = C d = D d =

Câu 15: Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có ABvà CD thuộc hai đáy khối trụ Biết AD = 12 góc ACD 600 Thể tích khối trụ là:

22 Câu 16: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 2a, AD = 4a Gọi M, N trung điểm ABvà CD Quay hình vng ABCD quanh trục MN ta khối trụ trịn xoay Diện tích xung quanh củakhối trụ là:

A 24 B 12a3 C 3a3 D 8a2

Câu 17: Cho khối trụ có bán kính đường trịn đáy Cắt khối trụ mặt phẳng songsong với trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có A, B thuộc đáy khối trụ BiếtAB = 10 Khoảng cách từ trục khối trụ đến thiết diện tạo thành là:

A 15 B 11 C 2 D 41

Câu 18: Cho hình vng ABCD có cạnh a; Gọi I, H trung điểm AB CD Cho hìnhvng quay quanh trục IH tạo nên hình trụ Tìm kết luận sai:

A Sxq a2 B la C.

3

4

a

V  D Sday a2

Câu 19: Một hình trụ có tâm hai đáy O, O’ OA OB’ hai bán kính hai đáy vnggóc nhau, l = a, R = a; Tìm kết luận sai:

A OA (OO'B) B OA OB C '

2 OO AB

V a D. '

2

2

OO AB

a

V 

Câu 20: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’ Bán kính đáy chiều cao a; Trên đường tròn O lấy điểm A, đường tròn O’ lấy điểm B cho AB = 2a Thể tích khối tứ diệnOO’AB tính theo a bằng:

A.

3 12 a

B.

3 a

C.

3 a

D.

3 a

Câu 21: Một hình trụ có bán kính đáy a; A B điểm đường tròn đáy cho AB = 2a tạo với trục hình trụ góc

30 Tìm kết luận đúng: A h

2 a

 B ha C h

3 a

 D h

6 a



Câu 22: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a; Gọi S diện tích xung quanh hìnhtrụ có hai đường trịn đáy ngoại tiếp hai hình vng ABCD A’B’C’D’ Diện tích S là:

A

a

 B

2

a

 C a2 D.

2 2 a 

Câu 23: Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt hình lập phương cạnh a; Thểtích khối trụ là:

A 1

2a B

3

1

4a C

3

1

3a D

3

a



Câu 24: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có cạnh đáy a; Cạnh A’B tạo với đáy góc450.Một hình trụ có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A’B’C’ Tìm kết luận đúng:

A ha B h

2 a

 C.

2

3

day

a

S  D Đáp án khác Câu 25: Trong hình trụ tích V khơng đổi, người ta tìm hình trụ có diện tích toàn phần nhỏ Hãy so sánh chiều cao h bán kính đáy R hình trụ này:

A.hR B hR C.h

2

R

 D h2R

Câu 26: Cho hình trụ bán kính r Gọi O, O’ tâm hai đáy với OO’ = 2r Một mặt cầu (S) tiếp xúc với đáy hình trụ O O’ Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai ?

A diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình trụ B diện tích mặt cầu

23 C thể tích khối cầu

4thể tích khối trụ

D thể tích khối cầu

3thể tích khối trụ

Câu 27: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD = Quay hình chữ nhật ABCD quanh AD vàAB, ta hình trụ trịn xoay tích V1, V2 Hệ thức sau ?

A V1 = V2 B V2 = 2V1 C V1 = 2V2 D 2V1 = 3V2

Câu 28: Giả sử viên phấn viết bảng có dạng hình trụ trịn xoay đường kính đáy 1cm, chiều dài6cm Người ta làm hộp carton đựng phấn dạng hình hộp chữ nhật có kích thước x x cm Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp, ta kết khả sao:

A Vừa đủ B Thiếu 10 viên C Thừa 10 viên D Không xếp Câu 29: Người ta xếp viên bi có bán kính r vào lọ hình trụ cho tất viên bi đềutiếp xúc với đáy, viên bi nằm tiếp xúc với viên bi xung quanh viên bi xung quanh đềtiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ Khi diện tích đáy lọ hình trụ là:

A

16r B

18r C

9r D

36r

Câu 30: Từ tơn hình chữ nhật kích thước 50cm 240cm, người ta làm thùng đựng nướchình trụ có chiều cao 50cm, theo hai cáchsau (xem hình minh họa đây) :

Cách 1: Gò tôn ban đầu thành mặt xungquanh thùng

Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai tấmbằng

nhau, gị thành mặt xungquanh thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gò

được theocách V2 tổng thể tích hai thùng gịđược theo cách Tính tỉ số

2 V V A

2 V

V  B

1

1 V V  C

2 V

V  D

1

4 V V  Câu 31. Xét mệnh đề

(I) Tập hợp đường thẳng d thay đổi luôn song song cách đường thẳng  cố định khoảng không đổi mặt trụ

(II) Hai điểm A, B cố định Tập hợp điểm M không gian mà diện tích tam giác MAB khơng đổi mặt trụ

Trong mệnh đề trên, mệnh đề đúng? A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả (I) (II) D Khơng có mệnh đề

Câu 32. Mặt phẳng qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vng cạnh a Thể tích khối trụ bằng:

A a3 B

3

2a



C 3a3 D

3

a



Câu 33. Cho hình trụ có bán kính đáy Rvà có chiều cao R Diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình có giá trị là:

A 1  R2và 3R2 B 3R2và 1  R2 C 3R2và 2R2 D 3R2và 3R2R2

Câu 34. Mặt phẳng qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vng cạnh có cạnh bằn 2R Diện tích tồn phần khối trụ bằng:

24 Câu 35. Một hình trụ có bán kính đáy R = 70cm, chiều cao hình trụ h = 20cm Một hình vng có đỉnh nằm hai đường trịn đáy cho có cạnh khơng song song khơng vng góc với trục hình trụ Khi cạnh hình vng bao nhiêu?

A 80cm B 100cm C 100 2cm D 140cm

Câu 36. Bán kính đáy hình trụ 4cm, chiều cao 6cm Độ dài đường chéo thiết diện qua trục bằng:

A. 10cm B. 6cm C. 5cm D 8cm

Câu 37. Cho hình trụ có bán kính đáy R có chiều cao R Hai điểm A, B nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục hình trụ 300 Khoảng cách AB trục hình trụ bằng:

A R B R C

2 R

D R

Câu 38 Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn  O  O' , thiết diện qua trục hình trụ hình vng Gọi A, B hai điểm nằm hai đường tròn  O  O' Biết AB = 2a khoảng cách hai đường thẳng AB OO’

2 a

Bán kính đáy bằng: A 14

4 a

B 14 a

C 14 a

D 14 a

Câu 39. Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = AD = Gọi M, N trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN, ta hình trụ Diện tích tồn phần hình trụ bằng:

A.2 B 3 C.4 D.8

Câu 40. Một nhơm hình chữ nhật có hai kích thước a 2a (a độ dài có sẵn) Người ta nhơm thành hình trụ Nếu hình trụ tạo thành có chu vi đáy 2athì thể tích bằng:

A.a3 B a3 C

3

2 a

 D.2a3

Câu 41. Một nhơm hình chữ nhật có hai kích thước avà 2a (a độ dài có sẵn) Người ta nhơm thành hình trụ Nếu hình trụ tạo thành có chiều dài đường sinh 2a bán kính đáy bằng:

A.a B

2

a

C

2

a

 D.2a

Câu 42.Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn  O  O' , chiều cao 2R bán kính đáy R Một mặt phẳng   qua trung điểm OO' tọa với OO' góc 30 Hỏi   cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài bao nhiêu?

A.2

3

R

B

3

R

C 2

3 R

D.2

3 R

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM:

25 BÀI 3: MẶT CẦU VÀ KHỐI CẦU

a) Định nghĩa:

Mặt cầu Khối cầu

Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng không đổi r (r>0) gọi mặt cầu tâm O bán kính r Kí hiệu: S(O;r)

- Đoạn thẳng nối điểm trênS(O;r)gọi dây cung mặt cầu

-Dây qua tâm đường kính mặt cầu Một mặt cầu xác định biết tâm bán kính

Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O;r) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu hình cầu tâm O bán kính r

Tâm, bán kính mặt cầu tâm bán kính khối cầu

b) Đường kinh tuyến vĩ tuyến mặt cầu - Giao tuyến mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ trục mặt cầu gọi kinh tuyến mặt cầu

- Giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng vng góc với trục gọi vĩ tuyến mặt cầu

- Hai giao điểm mặt cầu với trục gọi hai cực mặt cầu

c) Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Mặt phẳng mặt cầu

khơng có điểm chung

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (gọi tiếp diện)

Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện đường tròn

( ;( ))

d O  OHR

( ;( ))

d O  OHR (H tiếp điểm)

( ;( ))

d O  OHR * Lưu ý: 2

r R d

*Lưu ý:

26 d) Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng

Mặt cầu đường thẳng khơng có điểm chung

Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (gọi tiếp tuyến)

Đường thẳng cắt mặt cầu 2 điểm phân biệt

( ; )

d O a OHR d O a( ; )OHR (H tiếp điểm)

( ; )

d O a OHR

* Lưu ý: 2

R d HM

* Lưu ý:

- Qua điểm H nằm mặt cầu, có vơ số tiếp tuyến vng góc với bán kính OH mặt cầu H nằm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu H

- Qua điểm A nằm ngồi mặt cầu có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu, tiếp tuyến tạo thành mặt nón đỉnh A Khi đó, độ dài từ A tới tiếp điểm

e) Diện tích thể tích mặt cầu Với R bán kính mặt cầu, ta có: - Diện tích mặt cầu: S4R2 - Thể tích mặt cầu:

3 V R

f) Mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp hình đa diện, hình trụ hình nón

Mặt cầu nội tiếp Mặt cầu ngoại tiếp Hình đa diện Khi mặt cầu tiếp xúc với tất

mặt hình đa diện

Khi mặt cầu qua tất đỉnh hình đa diện

Hình trụ Khi mặt cầu tiếp xúc với đáy tất đường sinh hình trụ

Khi mặt cầu qua đường tròn đáy hình trụ

Hình nón Khi mặt cầu tiếp xúc với đáy tất đường sinh hình nón

Khi mặt cầu qua đỉnh đường trịn đáy hình nón

* Lưu ý:

- Để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy hình chóp phải nội tiếp đường tròn

- Trục đa giác đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp vng góc với đa giác đó; điểm nằm trục cách đỉnh đa giác

27

 BÀI TẬP Phương pháp:

- Nắm vững lý thuyết mặt cầu, khối cầu, vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu; đường thằng mặt cầu Cần lưu ý trường hợp mặt phẳng đường thẳng giao với mặt cầu - Các toán chủ đề mặt cầu thường tập trung xác định tâm, tính bán kính, thể tích,… hình cầu ngoại tiếp hình đa diện, hình trụ… Để làm tốt dạng toán ta cần nắm cách xác định tâm bán kính mặt cầu trường hợp sau:

Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn

- Tâm: Là giao điểm I đường chéo hình hộp chữ nhật, hình lập phương - Bán kính: RIDIAIC' 

- Tâm: Là trung điểm I đoạn nối tâm trục đáy OO’

- Bán kính: RIAIBICIA'  Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có đỉnh

nhìn đoạn thẳng nối đỉnh cịn lại (S,C) dưới góc vng

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

- Tâm: Là trung điểm I SC

- Bán kính:

2 SC

R IAIB

- Tâm: Là giao điểm I trục đáy SO mặt trung trực cạnh bên

- Bán kính:

2

2

SA

R IS IA

SO

   

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vng góc với đáy

- Tâm: Là giao điểm I trục đáy mặt trung trực cạnh vng góc với đáy SC

- Tâm: Là giao điểm I của trục đáy b trục mặt vng góc với đáy a

28 - Bán kính:

2

2 SC RISIA  CO   

 

2

2

1

2 AD RISIA  O A O A   

 

+ O1A bán kính đáy

+ O2A bán kính mặt bên vng góc với đáy

+ AD giao tuyến mặt bên vng góc với đáy đáy

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:

Câu 1: Cho ba điểm A, B, C nằm mặt cầu, biết góc

90

ABC

  Trong khẳng địnhsau, khẳng định ?

A AB đường kính mặt cầu

B Ln có đường trịn nằm mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC C Tam giác ABC vuông cân C

D Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn lớn

Câu 2: Trong đa diện sau đây, đa diện không ln ln nội tiếp mặt cầu: A hình chóp tam giác (tứ diện) B hình chóp ngũ giác

C hình chóp tứ giác D hình hộp chữ nhật Câu 3: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai ?

A Mặt trụ mặt nón có chứa đường thẳng B Mọi hình chóp ln nội tiếp mặt cầu

C Có vơ số mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường trịn

D Ln có hai đường trịn có bán kính khác nhay nằm mặt nón Câu 4: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai ?

A Bất kì hình tứ diện có mặt cầu ngoại tiếp B Bất kì hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp C Bất kì hình hộp có mặt cầu ngoại tiếp

D Bất kì hình hộp chữ nhật có mặt cầu ngoại tiếp Câu 5: Số mặt cầu qua đường tròn cho trước là:

A 1 B 2 C Vô số D 3

Câu 6: Cho ba điểm phân biệt A, B, C khơng thẳng hàng Tìm tập hợp tâm O mặt cầu thỏamãn điều kiện qua hai điểm A, B;

A Đường trung trực cạnh AB B Mặt trung trực cạnh AB C Đường tròn đường kính AB D Đường trịn ngoại (ABC)

Câu 7: Cho ba điểm phân biệt A, B, C khơng thẳng hàng Tìm tập hợp tâm O mặt cầu thỏamãn điều kiện qua ba điểm A, B, C;

A Trục đường tròn ngoại (ABC) B Mặt trung trực cạnh AB C Đường trung trực cạnh AB D Đường tròn ngoại (ABC) Câu 8: Chọn mệnh đề sai

A hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu B hình lập phương nội tiếp mặt cầu

C Lăng trụ đáy tam giác nội tiếp mặt cầu D Lăng trụ đứng tam giác nội tiếp mặt cầu

Câu 9: Trong hình hộp nội tiếp mặt cầu xác định hình hộp có diện tích tồn phần lớn

A hình hộp chữ nhật B hình hộp lập phương C hình hộp đáy hình thoi D hình hộp đứng

Câu 10: Diện tích S mặt cầu có bán kính r xác định công thức sau đây: A S 4r B

4

S r C. 2

4

S   r D

4

S r

Câu 11: Cho ABCD tứ diện Mệnh đề sau sai ? A Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc đường cao tứ diện vẽ từ A

29 C Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc đoạn nối trung điểm AB, CD

D Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trung điểm đoạn nối đỉnh A chân đường cao vẽ từ A đếnmp(BCD)

Câu 12: Thể tích V mặt cầu có bán kính r xác định cơng thức sau đây: A

3

r

V   B.

2

4

r

V   C.

3

4

r

V   D.

2

4

r

V  

Câu 13: Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c Khi mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhậtcó bán kính r bằng:

A 1 2

2 a b c B

2 2 a  b c C  2 2

2 a b c D 1 2

3 a b c

Câu 14: Hình chóp SABC có SA, AB, BC đơi vng góc, SA = a, AB = b, BC = c Mặt cầu quacác đỉnh S, A, B, C có bán kính r bằng:

A 2 

3

a b c

B 2 a2 b2 c2 C 1 2

2 a b c D

2 2 a  b c

Câu 15: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA = a, OB = 2a, OC = 3a.Diện tích mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp OABC bằng:

A

14

S a B

12

S a C

10

S a D.

8

S  a

Câu 16: Cho hình tứ diện SABC có cạnh SA, SB, SC đơi vng góc SA = a, SB = SC= 2a Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC Gọi S’ diện tích mặt cầu (S) V thể tíchcủa khối cầu tạo nên mặt cầu (S) Tỉ số

'

S

V bằng:

A a B 4a C 2a D 3a

Câu 17: Cho tứ diện ABCD có cạnh a; Bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất mặt củatứ diện ABCD bằng:

A a

B a

C

2 a

D 3 a

Câu 18: Cho tứ diện ABCD cạnh a; (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCD, thể tích khốicầu là:

A.

3

8

a

V  B.

3 a

V  C.

3

3

a

V   D Đáp án khác

Câu 19: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông cân B, AB = a, biết SA = 2a SA (ABC), gọi H K hình chiếu A cạnh SB SC Xác định tâm I tính bán kínhR mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

A I trung điểm AC, R = a B I trung điểm AC, R = 2 a

C I trung điểm SC, R = a

D I trung điểm SC, R = a

Câu 20: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông cân B, AB = a, biết SA = 2a SA (ABC), gọi H K hình chiếu A cạnh SB SC Xác định tâm I tính bán kínhR mặt cầu qua điểm A, B, C, H, K

A I trung điểm AC, R = a B I trung điểm AC, R = 2 a

C I trung điểm AB, R = a D I trung điểm AB, R =

2

30 Câu 21: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, SB = 2a Tính thể tích V khối cầungoại tiếp hình chóp

A 64 14 147

V  a B 16 14

49

V  a

C 64 14 147

V  a D 16 14

49

V  a

Câu 22: Cho hình chóp SABCD Đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O, SAB tam giác cótrọng tâm G nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Xác định tâm I mặt cầu ngoạitiếp hình chóp

A Là O B I nằn đthẳng qua O(ABCD) C I nằn đthẳng qua G(SAB) D Cả B C

Câu 23: Cho hình chóp SABCD Đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O, SAB tam giác cótrọng tâm G nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính bán kính R mặt cầu ngoạitiếp hình chóp

A 21

6

R a B

6

R a C

3

R a D

2

a R

Câu 24: Cho hình chóp SABCD có AB = SA = a, SA (ABCD), đáy ABCD hình vng Gọi (P) làmặt phẳng qua A vng góc với SC, (P) cắt SB, SC, SD H, I K Chọn mệnh đề sai

A Các điểm A, B, C, D, S nằm mặt cầu B Các điểm A, B, C, D, H, K nằm mặt cầu C Các điểm A, B, C, D, H, I, K nằm mặt cầu D Các điểm A, B, C, D, H, I, K,S nằm mặt cầu

Câu 25: Cho hình chóp SABCD có AB = SA = a, SA (ABCD), đáy ABCD hình vng Gọi (P) làmặt phẳng qua A vng góc với SC, (P) cắt SB, SC, SD H, I K Tính bán kính mặtcầu ngoại tiếp hình chóp SABCD

A 2 a

B a

C a

D a

Câu 26: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a BSD2 Tính bán kính mặtcầu ngoại tiếp hình chóp

A

8sin a

 B

8 2sin

a

 C

2 2sin

a

 D Đáp án khác Câu 27: Cho tứ diện SABC có ABC tam giác cạnh a; Xác định tâm tính bán kính mặt cầungoại tiếp tứ diện biết SA = 2a SA (ABC)

A.2 3 a

B 3 a

C a

D 2 a

Câu 28: Cho hình chóp SABC có SA  (ABC), SA = a; Đáy ABC tam giác vuông B,



30

ACB AB = a; Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC Tìm mệnh đề sai: A Tâm (S) trung điểm SC B (S) có bán kính

2 a R C Diện tích (S)

5

S a D Thể tích khối cầu

3

6 a V  

Câu 29: Cho hình chóp SABCD có SA (ABCD), SA = a; Đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD Tìm mệnh đề đúng:

31 C Diện tích (S) S6a2 D Thể tích khối cầu

3

24

a V 

Câu 30: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a, cạnh bên

a Tìm mệnh đề đúng:

A Khơng có mặt cầu qua điểm S, A, B, C

B Mặt cầu qua điểm S, A, B, C có tâm trung điểm BC C Mặt cầu qua điểm S, A, B, C có tâm trọng tâm củaABC D Mặt cầu qua điểm S, A, B, C có bán kính

6 a R

Câu 31: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy cạnh bán a, tâm đáy O Gọi (S)là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD Tìm mệnh đề sai:

A Tâm (S) O B (S) có bán kính a R C Diện tích (S) D Thể tích khối cầu

3 a V 

Câu 32: Cho tứ diện SABC, đáy ABC tam giác vuông B với AB = 3, BC = Hai mặt bên (SAB)và (SAC) vng góc với (ABC) SC hợp với (ABC) góc

45 Thể tích hình cầu ngoại tiếp SABClà:

A

3

V  B 25

3

V  C 125

3

V  D 125

3 V 

Câu 33: Diện tích hình trịn lớn hình cầu p Một mặt phẳng (P) cắt hình cầu theo đườngtrịn có bán kính r, diện tích

2

P

Biết bán kính hình cầu R, chọn đáp án đúng: A

2

R

r B.

2

R

r C.

3

R

r D Đáp án khác Câu 34: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA (ABCD) SA = 2a Bán kínhR mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp SABC bằng:

A

3 a

R B

2 a

R C

4 a

R D

4 a R

Câu 35: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác vng cân B, AB = a; Cạnh bên SA vng gócmp(ABC) SC hợp với đáy góc

60 Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC Thể tíchcủa khối cầu tạo nên mặt cầu (S) bằng:

A. a  B. a 

C.

3 a  D. 2 a 

Câu 36: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a; Cạnh bên SA vng góc với mp(ABCD)và SC hợp với mp(ABCD) góc 450 Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD Thể tích củakhối cầu tạo nên mặt cầu (S) bằng:

A. 3 a  B. a  C. 3 a  D. a 

Câu 37: Cho hình chóp SABCD có cạnh đáy a, cạnh bên SA = a; Gọi (S) mặt cầu ngoạitiếp hình chóp SABCD Thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu (S) bằng:

A. 2 a  B. 3 a  C. 3 a 

D.

3

32 Câu 38: Cho hình chóp SABC có SA = 5a SA vng góc mp(ABC) Tam giác ABC vng B,AB = 3a, BC = 4a Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC Gọi S’ diện tích mặt cầu (S) vàV thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu (S) Tỉ sốV'

S bằng:

A 3

4 a B

5

6 a C

3

4 a D

4 a

Câu 39: Cho hình chóp SABCD có SA (ABC), SA = a, đáy hình thang vng Avà B, AB =BC = a AD = 2a Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SACD Thể tích khối cầu tạo nên bởimặt cầu (S) bằng:

A. 5 a  B. 5 a 

C.

3 5 a  D. 5 12 a 

Câu 40: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cạnh a; Cạnh bên SA vng góc với mp(ABC)và SA = 2a Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC Diện tích mặt cầu (S) bằng: A. 19 a 

B.

2 16 a  C. 22 a 

D Đáp án khác Câu 41: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a; SA (ABC) SA = 2a Bánkính R mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp SABC bằng:

A

3 a

R B

3 a

R C

4 a

R D

4 a R

Câu 42: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a; Tam giác SAB nằm mặtphẳng vng góc với mp(ABCD) Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD Tính diện tích củamặt cầu (S):

A. a 

B.

2 a  C. a  D. a 

Câu 43: Cho hình chóp SABC có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc

60

Gọi (S)làmặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC Thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu (S) bằng: A. 32 81 a  B. 64 77 a  C. 32 77 a 

D.

3

72 77

a



Câu 44: Cho hình lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy tam giác vng A, AB = a; Đường chéoBC’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc 300 Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho.Bán kính mặt cầu (S) bằng:

A

2

a

B a C 2a D 3a

Câu 45: Cho hình lăng trụ ABCDA’B’C’D’ có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi (S) mặt cầungoại tiếp hình lăng trụ cho Diện tích mặt cầu (S) là:

A

4a B

a

 C

6a D Đáp án khác

Câu 46: Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’ có AB = a, góc mp(A’BC) mp(ABC)

60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ bằng: A 43

4 a

B 43

3 a C. 43 a D. a

Câu 47: Người ta bỏ ba bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy bằnghình trịn lớn bóng bàn chiều cao ba lần đường kính bóng bàn Gọi S tổng diệntích ba bóng bàn, S2là diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số

2 S

S bằng:

33 Câu 48: Cho hình chóp SABCD có cạnh đáy hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a SA vnggóc với mặt phẳng (ABCD) Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD Gọi V thể tích khốicầu tạo nên mặt cầu (S) Tỉ số 2V3

a bằng:

A 4 B 2 C 3 D 

Câu 49: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = a 3,

 

90

SABSCB khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a Tính diện tích mặt cầu ngoạitiếp hình chóp SABC theo a;

A

2

S  a B

8

S a C

16

S a D

12

S a

Câu 50: Một hình chóp tứ giác có cạnh đáy a cạnh bên 2x Điều kiện cần đủ xđể tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ngồi hình chóp là:

A

2

a

x B

2 2

a a

x

  C

2 2

a a

x

  D.

2

a x



Câu 51: Cho mặt phẳng (P) (Q) vng góc với theo giao tuyến (Δ) Lấy A, B cố định trên(Δ) Gọi S mặt cầu có tâm O, đường kính AB Gọi (C1) giao tuyến (S) với (P), (C2)

là giaotuyến (S) với (Q) Gọi C điểm thuộc (C1) trung điểm dây cung ABvà D điểmtùy ý thuộc (C2) Thể tích lớn tứ diện ABCD là:

A.

2

R

B.

3

R

C.

3

6

R

D.

3

12

R

Câu 52: Cho tứ diện ABCD Giả sử tập hợp điểm M không gian thỏa mãn:

MA MB MCMD

   

(với a độ dai khơng đổi) tập hợp M nằm trên: A Nằm mặt cầu tâm O (với O trung điểm đường nối cạnh đối) bán kính

4

a R

B Nằm mặt cầu tâm O (với O trung điểm đường nối cạnh đối) bán kính

2

a R

C Nằm đường tròn tâm O (với O trung điểm đường nối cạnh đối) bán kính R = a D Nằm mặt cầu tâm O (với O trung điểm đường nối cạnh đối) bán kính

3

a R

Câu 53: Trên nửa đường trịn đường kính AB = 2R, lấy điểm C cho C khác A B Kẻ CHvuông với AB H, gọi I trung điểm CH Trên nửa đường thẳng Ix vuông với mặt phẳng (ABC),lấy điểm S cho ASB900 Nếu C chạy nửa đường trịn thì:

A Mặt (SAB) cố định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI chạy đường cố định

B Mặt (SAB) (SAC) cố định

C Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI chạy đường cố định đoạn nối trung điểm củaSI SB không đổi

D Mặt (SAB) cố định điểm H chạy đường tròn cố định ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM