Cho hình choùp S.ABC coù SA ^ (ABC) vaø tam giaùc ABC vuoâng taïi B. Goïi AH, AK laàn löôït laø caùc ñöôøng cao cuûa caùc tam giaùc SAB vaø SAC. a) Chöùng minh raèng naêm ñieåm A, B, [r]
(1)›š & ›š
BÀI TẬP HÌNH HỌC 12 TẬP
(2)I Mặt cầu – Khối cầu: 1 Định nghóa
· Mặt caàu: S O R( ; )={M OM R= } · Khối cầu: V O R( ; )={M OM R£ }
2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) mặt phẳng (P) Gọi d = d(O; (P))
· Nếu d < R (P) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn nằm (P), có tâm H bán kính r= R2-d2
· Nếu d = R (P) tiếp xúc với (S) tiếp điểm H ((P) đgl tiếp diện (S))
· Nếu d > R (P) (S) điểm chung
Khi d = (P) qua tâm O đgl mặt phẳng kính, đường trịn giao tuyến có bán kính R đgl đường trịn lớn
3 Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) đường thẳng D Gọi d = d(O; D)
· Nếu d < R D cắt (S) hai điểm phân biệt
· Nếu d = R D tiếp xúc với (S) (D đgl tiếp tuyến (S))
· Neáu d > R D (S) điểm chung
4 Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất đỉnh hình đa diện
đều nằm mặt cầu Tất mặt hình đa diện tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ Hai đường trịn đáy hình trụ nằm mặt cầu
Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy đường sinh hình trụ
Hình nón Mặt cầu qua đỉnh đường trịn đáy hình nón
Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy đường sinh hình nón
5 Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
· Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh đa diện nhìn hai đỉnh cịn lại góc vng tâm mặt cầu trung điểm đoạn thẳng nối hai đỉnh
· Cách 2: Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
– Xác định trục D đáy (D đường thẳng vng góc với đáy tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy)
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) cạnh bên
– Giao điểm (P) D tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
II Diện tích – Thể tích
Cầu Trụ Nón
Diện tích S=4pR2 Sxq =2pRh
2
tp xq đáy
S =S + S
xq
S =pRl
tp xq đáy
S =S +S
Thể tích
3
V = pR V =pR h2
3
V = pR h
CHƯƠNG II
(3)VẤN ĐỀ 1: Mặt cầu – Khối cầu
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B SA^(ABC) a) Gọi O trung điểm SC Chứng minh: OA = OB = OC = SO Suy bốn điểm A, B, C, S nằm mặt cầu tâm O bán kính
2 SC R=
b) Cho SA = BC = a AB=a Tính bán kính mặt cầu nói
Bài 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d điểm A ngồi d Một góc xAy di động quanh A, cắt d B C Trên đường thẳng qua A vng góc với (P) lấy điểm S Gọi H K hình chiếu vng góc A SB SC
a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc mặt cầu
b) Tính bán kính mặt cầu trên, bieát AB = 2, AC = 3, ·BAC 6= 00.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA^(ABCD)
3 a
SA= Gọi O tâm hình vuông ABCD K hình chiếu B SC
a) Chúng minh ba điểm O, A, K nhìn đoạn SB góc vng Suy năm điểm S, D, A, K B nằm mặt cầu đường kính SB
b) Xác định tâm bán kính mặt cầu nói
Bài 4. Cho mặt cầu S(O; a) điểm A, biết OA = 2a Qua A kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (S) B qua A kẻ cát tuyến cắt (S) C D, biết CD=a a) Tính AB
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD
Bài 5. Cho hình chóp tam giác S.ABC, có cạnh đáy a góc hợp mặt bên đáy 600 Gọi O tâm tam giác ABC Trong tam giác SAO dựng đường trung trực cạnh SA, cắt SO K
a) Tính SO, SA
b) Chứng minh DSMK: DSOA( với M trung điểm SA) Suy KS c) Chứng minh hình chóp K.ABC hình chóp suy ra: KA = KB +KC d) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC biết có mặt cầu bán kính R tiếp xúc với cạnh hình chóp tâm I mặt cầu nằm đường cao SH hình chóp
a) Chứng minh S.ABC hình chóp b) Tính chiều cao hình chóp, biết IS = R
Bài 7. Cho tứ diện ABCD có cạnh a
a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu
Bài 8. Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600
a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu
(4)Bài 10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh 13, 14, 15 Một mặt cầu tâm O, bán kính R = tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC tiếp điểm nằm ba cạnh Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác
Bài 11. Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC tam giác cạnh a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 12. Cho hình chóp từ giác S.ABCD có cạnh đáy a góc hợp mặt bên đáy 600 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 13. Hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đường cao h Gọi O tâm ABCD H trung điểm BC Đường phân giác góc SHO cắt SO I Chứng minh I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp Tính bán kính mặt cầu
Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC) tam giác ABC vuông B Gọi AH, AK đường cao tam giác SAB SAC
a) Chứng minh năm điểm A, B, C, H, K mặt cầu b) Cho AB = 10, BC = 24 Xác định tâm tính bán kính mặt cầu
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a, SA = a vaø SA ^
(ABCD) Một mặt phẳng (P) qua A vng góc với SC, cắt SB, SC, SD H, M, K
a) Chứng minh bảy điểm A, B, C, D, H, M, K mặt cầu b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu
VẤN ĐỀ 2: Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ
Bài 1. Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O¢, bán kính đáy cm Trên đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B cho AB = cm Biết thể tích tứ diện OO¢AB cm3 Tính chiều cao hình trụ thể tích khối trụ
Bài 2. Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O¢, bán kính đáy cm Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A cho AO¢ hợp với mặt phẳng đáy góc 600
Tính chiều cao hình trụ thể tích khối trụ
Bài 3. Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O¢, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường trịn đáy tâm O¢ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO¢AB
Bài 4. Một khối trụ có chiều cao 20 cm có bán kính đáy 10 cm Người ta kẻ hai bán kính OA O’B’ hai đáy cho chúng hợp với góc 300 Cắt khối trụ mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ song song với trục OO’ khối trụ Hãy tính diện tích thiết diện
Bài 5. Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách hai đáy h = 56 cm Một thiết diện song song với trục hình vng Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện
Bài 6. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO¢ = h, A B hai điểm thay đổi hai đường tròn đáy cho độ dài AB = a không đổi (h a> < h2+4R2)
a) Chứng minh góc hai đường thẳng AB OO’ không đổi
(5)Bài 7. Trong khơng gian cho hình vng ABCD cạnh a Gọi I H trung điểm cạnh AB CD Khi quay hình vng xung quanh trục IH ta hình trụ trịn xoay
a) Tính diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay tạo nên
b) Tính thể tích khối trụ trịn xoay tạo nên hình trụ trịn xoay
Bài 8. Một hình trụ có bán kính đáy R có thiết diện qua trục hình vng a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ
b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ cho
Bài 9. Một hình trụ có bán kính đáy R đường cao R 3; A B hai điểm
hai đường trịn đáy cho góc hợp AB trục hình trụ 300 a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính khoảng cách AB trục hình trụ
Bài 10. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h Gọi A B hai điểm nằm hai đường trịn đáy (O, R) (O¢, R) cho OA O¢B hợp với góc x và hai đường thẳng AB, O¢O hợp với góc y
a) Tính bán kính R theo h, x, y
b) Tính Sxq, Stp thể tích V hình trụ theo h, x, y
Bài 11. Cho hình trụ bán kính đáy a trục OO’ = 2a OA OB’ hai bán kính hai đường trịn đáy (O), (O’) cho góc OA OB’ 300
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB’
b) Tính tang góc AB’ OO’ c) Tính khoảng cách AB’ OO’
Bài 12. Một khối trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính R có đường cao
2 R
h= Gọi A điểm đường tròn tâm O B điểm đường tròn tâm O’ cho OA vng góc với O’B
a) Chứng minh mặt bên tứ diện OABO’ tam giác vng Tính tỉ số thể tích khối tứ diện OABO’ khối trụ
b) Gọi ( )a mặt phẳng qua AB song song với OO’ Tính khoảng cách trục OO’ mặt phẳng( )a
c) Chứng minh ( )a tiếp diện mặt trụ có trục OO’ có bán kính đáy
2
R
VẤN ĐỀ 1: Mặt nón – Hình nón – Khối nón
Bài 1. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh đáy a, chiều cao 2a Biết O¢ tâm A¢B¢C¢D¢ (C) đường trịn nội tiếp đáy ABCD Tính thể tích khối nón có đỉnh O¢ đáy (C)
(6)Bài 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Gọi (C) đường trịn ngoại tiếp đáy ABCD Tính thể tích khối nón có
đỉnh S đáy (C)
Bài 4. Trong không gian cho tam giác OIM vng I, góc IOM 300 cạnh IM = a Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón trịn xoay
a) Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay tạo thành b) Tính thể tích khối nón tròn xoay tạo thành
Bài 5. Thiết diện qua trục hình nón tam giác vuông cân có cạnh góc vuông a
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện
Bài 6. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ điểm O đến AB a ·SAO 3= 00, ·SAB=600 Tính độ dài
đường sinh hình nón theo a
Bài 7. Thiết diện qua trục khối nón tam giác vng cân có cạnh huyền a Tính thể tích khối nón diện tích xung quanh hình nón cho
Bài 8. Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh hình nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng A’B’C’D’
Bài 9. Cắt hình nón mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình thể tích khối nón
Bài 10. Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên a góc mặt bên mặt đáy a Một hình nón đỉnh S có đường trịn đáy nội tiếp tam giác ABC, Hãy tính diện tích xung quanh hình nón theo a a
Bài 11. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao SO = h ·SAB=a (a> 450) Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S có đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng ABCD
Bài 12. Một hình nón có độ dài đường sinh góc đường sinh đáy a a) Tình diện tích xung quanh thể tích khối nón
b) Gọi I điểm đường cao SO hình nón cho =k (0<k <1) SO
SI Tính diện
(7)Bài 1. Cho tứ diện có cạnh a
a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tương ứng
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600
a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tương ứng
Bài 3. Hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc mặt bên đáy a a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp hình chóp
b) Tính giá trị tana để mặt cầu có tâm trùng
Bài 4. Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b Hai mặt phẳng (ACD) (BCD) vng góc với
a) Chứng minh tam giác ACD vng
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Bài 5. Cho hình cầu tâm O bán kính R đường kính SS¢ Một mặt phẳng vng góc với SS¢ cắt hình cầu theo đường tròn tâm H Gọi ABC tam giác nội tiếp đường tròn Đặt SH = x (0 < x < 2R)
a) Tính cạnh tứ diện SABC theo R, x
b) Xác định x để SABC tứ diện đều, tính thể tích tứ diện chứng minh đường thẳng S¢A, S¢B, S¢C đơi vng góc với
Bài 6. Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a Trên nửa đường thẳng Ax vng góc với (P) ta lấy điêm di động S Một mặt phẳng qua A vng góc với SB, cắt SB, SC, SD P, Q, R
a) Chứng minh bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R thuộc mặt cầu cố định tính diện tích mặt cầu
b) Co SA = a Tính diện tích tứ giác APQR
Bài 7. Cho đoạn thẳng IJ có chiều dài c Trên đường thẳng vng góc với IJ I ta lấy hai điểm A, A¢ đối xứng qua I IA = IA¢ = a Trên đường thẳng vng góc với IJ J khơng song song với AA¢ ta lấy hai điểm B, B¢ đối xứng qua J JB = JB¢ = b a) Chứng minh tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B nằm đường thẳng IJ
b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B theo a, b, c
Bài 8. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b Hai mặt phẳng (BCD) (ABC) vng góc với ·BDC=900 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD
Bài 9. Cho hình cầu bán kính R Từ điểm S mặt cầu, dựng ba cát tuyến nhau, cắt mặt cầu A, B, C cho: ·ASB ASC =BSC =· · =a Tính thể tích V tứ diện SABC theo R a
Bài 10. Cho tứ diện SABC có SA ^ (ABC), SA = a, AB = b, AC = c Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trường hợp sau:
(8)a) ·BAC=900 b) ·BAC=600, b = c c) ·BAC=1200, b = c
Bài 11. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Xác định tâm, bán kính tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho
Bài 12. Một hình trụ có bán kính đáy R có thiết diện qua trục hình vng a) Tính Sxq Stp hình trụ
b) Tính V khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ cho
Bài 13. Một hình trụ có bán kính đáy R đường cao R A B điểm đường
trịn đáy cho góc hợp AB trục hình trụ 300
a) Tính Sxq Stp hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tương ứng
Bài 14. Bên hình trụ trịn xoay có hình vng ABCD cạnh a nội tiếp mà đỉnh liên tiếp A, B nằm đường trịn đáy thứ hình trụ, đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hình trụ Mặt phẳng chứa hình vng tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ
Bài 15. Thiết diện qua trục hình nón tam giác vuông cân có cạnh góc vuông a
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng
Bài 16. Cho hình nón có đường cao SO = h bán kính đáy R Gọi M điểm đoạn OS, đặt OM = x (0 < x < h)
a) Tính diện tích thiết diện (C) vng góc với trục M
b) Tính thể tích V khối nón đỉnh O đáy (C) theo R, h x Xác định x cho V đạt giá trị lớn
Bài 17. Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH = h đường sinh đường kính đáy Một hình cầu có tâm trung điểm O đường cao SH tiếp xúc với đáy hình nón a) Xác định giao tuyến mặt nón mặt cầu
b) Tính diện tích phần mặt nón nằm mặt cầu
c) Tính S mặt cầu so sánh với diện tích tồn phần mặt nón
Bài 18. Cho hình nón trịn xoay đỉnh S Trong đáy hình nón có hình vng ABCD nội tiếp, cạnh a Biết ·ASB=2a, (00 < <a 450) Tính thể tích khối nón
diện tích xung quanh hình nón
Bài 19. Cho hình nón có bán kính đáy R góc đỉnh 2a Trong hình nón có hình trụ nội tiếp Tính bán kính đáy chiều cao hình trụ, biết thiết diện qua trục hình trụ hình vng
Bài 20. Cho hình nón có bán kính đáy R, góc đường sinh đáy hình nón a Một mặt phẳng (P) song song với đáy hình nón, cách đáy hình nón khoảng h, cắt hình nón theo đường trịn (C) Tính bán kính đường trịn (C) theo R, h a
(9)Bài 1. Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA ^ (ABC) SA = a M điểm thay đổi cạnh AB Đặt ACM· = a, hạ SH vng góc với đường thẳng CM
a) Tìm quỹ tích điểm H Suy giá trị lớn thể tích tứ diện SAHC b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH Tính độ dài SK, AK thể tích tứ diện SAKI HD: a) Quĩ tích điểm H cung tròn MaxVSAHC=
3
12a
b) AK =
2 asin sin a a
+ , SK = 1
a sin a
+ , V =
3
2 24
a sin
( sin )
a a
+
Bài 2. Cho DABC cân A có AB = AC = a góc BAC = 2· a Trên đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S cho SA = 2a Gọi I trung điểm BC Hạ AH ^ SI
a) Chứng minh AH ^ (SBC) Tính độ dài AH theo a, a b) K điểm thay đổi đoạn AI, đặt AK
AI = x Mặt phẳng (R) qua K vng góc với AI cắt cạnh AB, AC, SC, SB M, N, P, Q Tứ giác MNPQ hình gì? Tính diện tích tứ giác
HD: a) AH =
2 a.cos cos a
a+ b) SMNPQ = ( )
2
4a x 1– sinx a
Bài 3. Cho tứ diện ABCD cú AB = CD = 2x ỗỗ ữữ
è ø
2 < x <
2 AC = AD = BC = BD = Gọi I J trung điểm cạnh AB CD
a) Chứng minh AB ^ CD IJ đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB CD
b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x Tìm x để thể tích lớn tính giá trị lớn
HD: b) V = 2 2
3
x - x ; MaxV =
9 x = 3
Bài 4. Trong mặt phẳng (P), cho hình vng ABCD cạnh a, có tâm O Trên nửa đường thẳng Ax, Cy vng góc với (P) phía (P) lấy hai điểm M, N Đặt AM = x, CN = y
a) Tính độ dài MN Từ chứng minh điều kiện cần đủ để DOMN vuông O là: 2xy a= 2
b) Giả sử M, N thay đổi cho DOMN vng O Tính thể tích tứ diện BDMN Xác định x, y để thể tích tứ diện a3
4
HD: a) MN = 2a2+ -(x y)2 b) V =
6
a x y( + ), (x, y) =
2
a a;
ỉ
ỗ ữ
ố ứ hoc 2a a;
ổ
ỗ ữ
ố ứ
(10)Bài 5. Trong mặt phẳng (P), cho hình vng ABCD cạnh a Gọi O giao điểm đường chéo hình vng ABCD Trên đường thẳng Ox vng góc (P) lấy điểm S Gọi a góc nhọn tạo mặt bên mặt đáy hình chóp SABCD
a) Tính thể tích diện tích tồn phần hình chóp SABCD theo a a
b) Xác định đường vuông góc chung SA CD Tính độ dài đường vng góc chung theo a a
HD: a) V =
6
a tana , S
tp = a2 1 cosa
ổ
+
ỗ ữ
ố ø b) d = a
tan cos
a a
Bài 6. Trên nửa đường trịn đường kính AB = 2R lấy điểm C tùy ý Dựng CH vng góc với AB (H thuộc đoạn AB) gọi I trung điểm CH Trên nửa đường thẳng It vng góc với mặt phẳng (ABC) I lấy điểm S cho góc ASB = 90· o
a) Chứng minh tam giác SHC tam giác
b) Đặt AH = h Tính thể tích V tứ diện SABC theo h R
HD: b) V = ( )
2 Rh 2R h–
Bài 7. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a Trên đường thẳng d qua trung điểm I cạnh AB vng góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm E cho IE = a M điểm thay đổi cạnh AB, hạ EH ^ CM Đặt BM = x
a) Chứng minh điểm H di động đường trịn Tính độ dài IH
b) Gọi J trung điểm đoạn CE Tính độ dài JM tìm giá trị nhỏ JM
HD: a) IH =
2
2
a x a
a x
-+ b) JM =
2 2 a a x ổ - + ỗ ữ
ố ø , MinJM =
5
a khi x =
2
a
Bài 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' điểm M cạnh AD Mặt phẳng (A'BM) cắt đường chéo AC' hình hộp điểm H
a) Chứng minh M thay đổi cạnh AD đường thẳng MH cắt đường thẳng A'B điểm cố định
b) Tính tỷ số thể tích hai khối đa diện tạo mặt phẳng A'BM cắt hình hộp trường hợp M trung điểm cạnh AD
c) Giả sử AA' = AB MB vng góc với AC Chứng minh mặt phẳng A'BM vng góc với AC' điểm H trực tâm tam giác A'BM
HD: a) MH cắt A¢B trung điểm I A¢B b)
1 11
V
V =
Bài 9. Cho hình vng ABCD cạnh a I trung điểm AB Qua I dựng đường vng góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S cho 2IS = a
a) Chứng minh tam giác SAD tam giác vng
b) Tính thể tích khối chóp S.ACD suy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD)
HD: b) V = 3
12
a , d =
2 a
Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = a a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD’ B’C
b) Gọi M điểm chia đoạn AD theo tỷ số AM
(11)c) Tính thể tích tứ diện AB’D’C
HD: a) d(AD¢, B¢C) = a b) d(M, (AB¢C)) =
2
a c) V = 2
3a
Bài 11. Trong mặt phẳng (P), cho hình vng ABCD có cạnh a S điểm nằm đường thẳng At vng góc với mặt phẳng (P) A
a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD SA = 2a
b) M, N hai điểm di động cạnh CB, CD (M Ỵ CB, N Ỵ CD) đặt CM = m, CN = n Tìm biểu thức liên hệ m n để mặt phẳng (SMA) (SAN) tạo với góc 45°
HD: a) V = pa 63 b) 2a2–2 m n a mn( + ) + =0
Bài 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA^(ABCD)và
2
SA a= Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi Đặt góc ·ACM =a Hạ SN ^CM a) Chứng minh N ln thuộc đường trịn cố định tính thể tích tứ diện SACN theo a a
b) Hạ AH ^SC, AK ^SN Chứng minh SC^(AHK) tính độ dài đoạn HK
HD: a)N thuộc đường trịn đường kính AC cố định, V = 2
6
a sin a
b) HK = cos
2 sin
a a
+ a
Baøi 13. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA, SB, SC đôi vuông góc Đặt SA = a, SB = b, SC = c Gọi G trọng tâm tam giác ABC
a) Tính độ dài đoạn SG theo a, b, c
b) Một mặt phẳng (P) tuỳ ý qua S G cắt đoạn AB M cắt đoạn AC N i) Chứng minh AB AC
AM + AN =
ii) Chứng minh mặt cầu qua điểm S, A, B, C có tâm O thuộc mặt phẳng (P) Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a, b, c mặt phẳng (P) song song với BC
HD: a) SG = 1 2
3 a +b +c b) V =
1 9abc
Bài 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo Trên nửa đường thẳng Ox vng góc với mặt phẳng chứa hình vng, ta lấy điểm S cho góc
· = °60
SCB
a) Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SD
b) Gọi (a) mặt phẳng chứa BC vng góc với mặt phẳng (SAD) Tính diện tích thiết diện tạo (a) hình chóp S.ABCD
HD: a) d(BC, SD) =
3
a b) S =
4 a
Bài 15. Cho hình vng ABCD có cạnh a Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM = x (0 £ x £ a) Trên nửa đường thẳng Ax vng góc với mặt phẳng (ABCD) điểm A, lấy điểm S cho SA = y (y > 0)
a) Chứng minh (SAB) ^ (SBC)
(12)d) Biết x2 + y2 = a2 Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S.ABCM
HD: b) d(M, (SAC)) =
2
x c) V = 1
( )
6ya a x+
d) MaxV = 3
8
a x =
a
Bài 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A; ·ABC=300; SBC
tam giác cạnh a Mặt bên SAB vng góc với đáy ABC M trung điểm SB a) Chứng minh AM đoạn vuông góc chung SB AC Tính cosin góc mặt phẳng (SAC) (ABC)
b) Tính thể tích hình chóp S.ABC
HD: a) ·
3
SAB
cos = b) V =
24
a
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, góc µA=1200, BD = a >
Cạnh bên SA vng góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC) đáy 600 Một mặt phẳng (P) qua BD vng góc với cạnh SC Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp mặt phẳng (P) tạo cắt hình chóp
HD:
2
1 12
V
V =
Bài 18. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = AD = a, AA’ =
2 a vaø
góc ·BAD=600 Gọi M N trung điểm cạnh A’D’ A’B’ Chứng
minh AC¢ vng góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN
HD: V = 3
16a
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vng góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60o Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM =
3
a Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD điểm N Tính thể tích
khối chóp S.BCNM
HD: V =
27 10 a3
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc ·BAD=600, SA
vng góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a Gọi C’ trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC’ song song với BD, cắt cạnh SB, SD hình chóp B’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
HD: V =
18
3
a