Bài tập mặt cầu - khối cầu

cầu đó. Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S APQR. và diện tích của tứ giác APQR. Cho hình chóp S ABCD. c) Chứng minh AD tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện [r]

BÀI GIẢNG MẶT CẦU, KHỐI CẦU PHẦN

Bài toán Xác định mặt cầu Phương pháp:

 Muốn chứng minh nhiều ểm thuộc mặt cầu ta m h ểm ó cù cách ều ểm O cố ịnh kho ng R0 khô ổi

 Muốn chứng minh ờng thẳng D tiếp xúc với mặt cầu S O R( ; ), ta chứng minh ( , )

d O D R

 Muốn chứng minh mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu S O R( ; ), ta chứng minh ( ,( ))

d O P R

 Tập hợp ểm M tro khơ a hì oạn thẳng AB cố ị h d ới góc vng là mặt cầu ờng kính AB

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S ABCD có đáy nửa hình lục giác đều,AB2 ,a BCCDDAa,

 ,

SA ABCD SA h Mặt phẳng qua A vng góc với SB, cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Chứng minh điểm A,B,C,D, B’,C’,D’ thuộc mặt cầu Xác định tâm bán kính mặt cầu

Giải

Ta có điểm B C D', ', ' hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SC SD, ,

Do ABCDlà nửa lục giác với AB2 ,a BCCDDAa, nên gọi O trung điểm AB OAOBOCOD  1

Suy ACBvng C, ADBvng D Vì BCSA BC,  ACBCSACBC AC' Mặt khác

 

' ' ' '

AC SCAC  SBC AC BC

Tương tự ta có AD'BD' Do

'

AB B

 vuông B'OAOBOB'  2 '

AC B

Từ (1), (2), (3), (4) ta có OAOBOCODOB'OC'OD'a

Vậy điểm A,B,C,D, B’,C’,D’ thuộc mặt cầu tâm O bánh kính a Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC , cạnh a, nội tiếp đường tròn tâm ( )O chứa mặt phẳng (P) Vẽ đường kính AD đường trịn ( )O , dựng SD P SDa

1) Chứng minh SAC SAB vuông

2) Xác định tâm mặt cầu qua điểm S A B C D, , , , Giải 1) Do ADlà đường kính (O) nên

0 90

DCA CA DC

   

Mà SDABCSDCA

 

CA SDC CA SC

   

SAClà tam giác vuông C. Tương tự ta có

 

AB BD

AB SDB AB SB

AB SD



    

  

SAB

 tam giác vuông B (đpcm)

2) Gọi K là trung điểm cuả SA

Theo chứng minh câu ta có SAClà tam giác vuông C

KA KS KC

  

SABlà tam giác vuông B KA KS KB

  

SADlà tam giác vuông D KA KS KD

  

KA KA KC KD KS

    

Vậy K tâm mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S Bài tập

2. Cho mặt cầu đường kính AB2R Cắt mặt cầu mặt phẳng vng góc với

AB cho AH x (0 x )R ta thiết diện đường tròn ( )T Gọi MNPQ hình vng nội tiếp đường trịn ( )T

a) Tính theo R x bán kinh đường tròn ( )T , cạnh hình vng MNPQ

đoạn thẳng AM BM, Đáp số: Cạnh hình vng :

2 2xRx , AM  2xR;

4

BM  R  xR

b) Tính thể tích khối đa diện tạo hai hình chóp AMNPQ BMNPQ Tính x

để thể tích đạt giá trị lớn  2

2

V  R xRx ; ax

4

M

V  R  x R

3. Trong mặt phẳng ( )P cho hình thang cân ABCD với AB2a, BCCDDAa Trên nửa đường thẳng Ax vng góc với mặt phẳng ( )P ta lấy điểm di động S Một mặt phẳng ( )Q qua A vng góc với SB cắt SB SC SD, , P Q R, , theo thứ tự

a) CMR điểm , , , , , ,A B C D P Q R ln thuộc mặt cầu cố định Tính diện tích mặt

cầu đó.Đáp số: Mặt cầu ờng kính AB

4

S  a

b) CMR tứ giác CDRQ tứ giác nội tiếp đường thẳng QR qua điểm cố định S chạy nửa đường thẳng Ax

c) Cho SAa Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S APQR diện tích tứ giác APQR.Đáp số:

2

3 45

,

4 APQR 224

a a

R S  .

4. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D với ,

AB a ADDC a SA, (ABC), SA a

a) Tìm tâm mặt cầu ( )S qua điểm S A C D, , , Tìm chu vi đường tròn giao tuyến (SAB) với mặt cầu ( )S Đáp số: Pa

b) Chứng minh (SBC)(SAC)

BÀI GIẢNG MẶT CẦU, KHỐI CẦU PHẦN

Bài toán 1: Diện tích thể tích khối cầu Phương pháp:

 Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S 4R2  Khối cầu bán kính R tích là:

:

V R

Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDcó cạnh a

AB cạnh lại

đều a

Giải Trong mặt phẳng BCD

gọi K trung điểm CD, G trọng tâm

BCD



Do BCD ACDđều nên

 

,

BKCD AKCDCD ABK

Trong mặt phẳng ABKdựng

 

AHBKAH BCD

Qua G dựng đường thẳng

 

/ /

d AH d BCD

Dựng đường trung trực AB cắt d I

Khi I tâm mặt cầu

Tam giác BCDđều cạnh a,BK đường cao

2 a BK

 

3 a AK

 

ABK

  cạnh

2 a

3 3

2

MK  a a

1 3

;

3

a a a

GK  BK   BG GK 

3

4 6

3

4

a a

BM MK BM GK a

KBM KIG GI

GI GK MK

a

       

2 2

2

2 2 13 13

3 36

a a a a

BI BG IG       BI 

   

Vậy khối cầu ngoại tiếp tứ diệnABCDcó tâm I,bán kính

3 a

RBI  Khối cầu tích

 

3

3

4 13 13 13

3 162

a

V  R      a dvtt

 

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a gọi M, N trung điểm SB SD, Biết

Do AM CN

 

2

AS AB CS CD

AM CN

AS CS AB CS AS CD AB CD

 

   

   

Đặt xSASBSCSD, ta có  

 

 

2

2

1 os cos cos

os cos

x c ASC ax SCD ax SAB a

x c ASC ax a

SAB SCD                    Xét ASBcó

 

2 2

2 2

2

2 cos cos

2 cos

SB AS AB AS AB SAB

x x a ax SAB

a ax SAB

   

    

  

Xét ASCcó

 

2 2

2

2 2

2 cos

2 2 cos

cos

SC AS AC AS AC SAC

a x ax SAC

x SAC x a

   

   

   

Từ (2), (3), (4) ta có xa

Gọi O giao điểm AC BD, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABCD I giao điểm SO với mặt phẳng trung trực SD Nghĩa ISO IN, SD

Ta có SINđồng dạng với SDO SI SN

SD SO

  

2

2 2

2

2 3

2

2

SD SD

SN SD a a a

SI

SO SO SD OD a

a

     





Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD có tâm I bánh kính

2

Diện tích mặt cầu  

2 18

4

5

a

S  R     a dvdt

 

Thể tích khối cầu  

3

3

4

3 5

a

V  R     a dvtt

 

Bài tập

Cho hình chóp tứ giác S ABCD có chiều cao

R

SH  , nội tiếp mặt cầu ( ; )O R Gọi M N, trung điểm cạnh SA SC,

a) Tìm giao tuyến (BMN) (ABCD) Chứng minh giao tuyến tiếp xúc với mặt cầu ( ; )O R

b) Chứng minh điểm , , , ,A B C D M N, thuộc mặt cầu Tính diện tích mặt

cầu này.Đáp số:

3

S  a .

c) Mặt phẳng ( ) vng góc với SB S, cắt khối cầu ( ; )O R Tính diện tích thiết diện thu được.Đáp số:

2

4 R S  .

d) Tìm tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABC

Bài tốn 2: Tiếp tuyến mặt cầu Phương pháp:

1) Đ ều kiện cầ v ủ ể ờng thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S O R( ; ) tạ ểm H  vng góc với bán kính OH tạ ểm H

2) Đ ờng thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S O R( ; )d O( , ) R 3) Tro tr ờng hợp ểm A nằm ngồi mặt cầu thì:

 Độ d oạn thẳng nối A với tiếp ểm ều

 Tập hợp tiếp ểm ờng trịn nằm mặt cầu Ví dụ 1:

Cho hình cầu  S tâm O bán kính R5 Tam giác ABCvới ba cạnh BC13,CA14,AB15, ba cạnh tiếp xúc với mặt cầu Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng ABC

Giải

Giả sử AB BC CA, , tiếp xúc với mặt cầu N, M, P Như ta có

, ,

ONAB OM BC OPCA

Kẻ OH ABC Theo định lí ba đường vng góc ta có

, ,

HM BC HNBC HPCA

Vì OM ONOP R HM HNHP

Vậy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với bán kính rHM

Áp dụng cơng thức r S

p



Ta có 13 14 15 21

2 p   

Theo cơng thức Hê-rơng ta có

    21.8.7.6 84

S  p p a p b p c   Từ

đó ta có r4

Do theo định lí Pitago khoảng cách từ O tới ABClà OH  5242 3

Ví dụ 2:

Bài tập

1. Cho khối cầu tâm O bán kính R đường kính SS' Một mặt phẳng vng góc với '

SS cắt khối cầu theo đường tròn tâm H Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Đặt SH  x (0 x )R

a) Tính cạnh tứ diện S ABC theo R x.Đáp số: SASBSC 2xR b) Xác định x để S ABC tứ diện đều, tính thể tích tứ diện CMR

' , ' , '

S A S B S C đôi vng góc.Đáp số

3

R x

2. Cho mặt cầu S O R( ; ) ( )P cách O khoảng cách h (0 h R) Gọi ( )L giao tuyến mặt cầu ( )S ( )P Lấy A điểm cố định thuộc ( )L Một góc vng

xAy ( )P quay quanh điểm A Các cạnh Ax Ay, cắt ( )L C D Đường thẳng

đi qua A vuông góc với ( )P cắt mặt cầu B a) CMR BC2AD2 BD2AC2 không đổi b) Với vị trí CD diện tích BCD lớn nhất?

c) Gọi H hình chiếu vng góc B lên đường thẳng CD CMR H thuộc đường tròn cố định

3. Trên nửa đường tròn đường kính AB2R, lấy điểm C tùy ý Kẻ CH  AB (H thuộc đoạn AB) Gọi I trung điểm CH Trên nửa đường thẳng Ix(ABC) I , lây điểm S cho ASB 90

a) CMR CAB SAB

b) CMR C chạy nửa đường trịn (SAB) cố định

c) Cho AH x Tính thể tích tứ diện S ABCD theo ,R x Tìm x để thể tích đạt giá

trị lớn nhất. Đáp số: 2 

6

V  Rx Rx ,

ax

M

V  R  x R

d) CMR C chạy nửa đường trịn tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện