[toanmath.com] Bài tập Mặt cầu Khối cầu Nguyễn Đăng Dũng

BÀI GIẢNG MẶT CẦU, KHỐI CẦU .PHẦN Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng Bài toán Xác định mặt cầu Phương pháp:  Muốn chứng minh nhiều ểm thuộc mặt cầu ta ổi cách ều ểm O cố ịnh kho ng R  khô  Muốn chứng minh d (O, D)  R m h ểm ó cù ờng thẳng D tiếp xúc với mặt cầu S (O; R) , ta chứng minh  Muốn chứng minh mặt phẳng ( P) tiếp xúc với mặt cầu S (O; R) , ta chứng minh d (O,( P))  R  Tập hợp ểm M tro khơ mặt cầu ờng kính AB Ví dụ 1: Cho hình chóp a hì oạn thẳng AB cố ị h d ới góc vng đáy nửa hình lục giác đều, AB  2a,BC  CD  DA  a , SA   ABCD , SA  h Mặt phẳng qua A vng góc với SB, cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ S ABCD có Chứng minh điểm A,B,C,D, B’,C’,D’ thuộc mặt cầu Xác định tâm bán kính mặt cầu Giải Ta có điểm B ', C ', D' hình chiếu vng góc A lên cạnh SB, SC, SD Do ABCD nửa lục giác với AB  2a,BC  CD  DA  a , nên gọi O trung điểm AB OA  OB  OC  OD 1 Suy ACB vng C, ADB vng D Vì BC  SA, BC  AC  BC   SAC   BC  AC ' Mặt khác AC '  SC  AC '   SBC   AC '  BC ' Tương tự ta có AD '  BD ' Do AB ' B vng B '  OA  OB  OB '  2 AC ' B vuông C '  OA  OB  OC '  3 AD ' B vuông D '  OA  OB  OD '  4 Từ (1), (2), (3), (4) ta có OA  OB  OC  OD  OB '  OC '  OD '  a Vậy điểm A,B,C,D, B’,C’,D’ thuộc mặt cầu tâm O bánh kính a Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , cạnh a, nội tiếp đường tròn tâm (O) chứa mặt phẳng (P) Vẽ đường kính AD đường tròn (O) , dựng SD   P  SD  a 1) Chứng minh SAC SAB vuông 2) Xác định tâm mặt cầu qua điểm S , A, B, C, D Giải 1) Do AD đường kính (O) nên DCA  900  CA  DC Mà SD   ABC   SD  CA  CA   SDC   CA  SC SAC tam giác vng C Tương tự ta có  AB  BD  AB   SDB   AB  SB   AB  SD  SAB tam giác vuông B (đpcm) 2) Gọi K trung điểm cuả SA Theo chứng minh câu ta có SAC tam giác vng C  KA  KS  KC SAB tam giác vuông B  KA  KS  KB SAD tam giác vuông D  KA  KS  KD  KA  KA  KC  KD  KS Vậy K tâm mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S Bài tập Cho hình chóp S.ABC , cạnh đáy AB  a , cạnh bên hợp với đáy góc 60 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Đáp số : R  2a Cho mặt cầu đường kính AB  2R Cắt mặt cầu mặt phẳng vng góc với AB cho AH  x (0  x  2R) ta thiết diện đường tròn (T ) Gọi MNPQ hình vng nội tiếp đường tròn (T ) a) Tính theo R x bán kinh đường tròn (T ) , cạnh hình vuông MNPQ đoạn thẳng AM , BM Đáp số: Cạnh hình vng : 2xR  x2 , AM  xR ; BM  4R  2xR b) Tính thể tích khối đa diện tạo hai hình chóp AMNPQ BMNPQ Tính x để thể tích đạt giá trị lớn V  R  xR  x  ; VMax  R3  x  R 4 3 Trong mặt phẳng ( P) cho hình thang cân ABCD với AB  2a , BC  CD  DA  a Trên nửa đường thẳng Ax vng góc với mặt phẳng ( P) ta lấy điểm di động S Một mặt phẳng (Q) qua A vng góc với SB cắt SB, SC, SD P, Q, R theo thứ tự a) CMR điểm A, B, C, D, P, Q, R thuộc mặt cầu cố định Tính diện tích mặt cầu đó.Đáp số: Mặt cầu ờng kính AB S  4 a2 b) CMR tứ giác CDRQ tứ giác nội tiếp đường thẳng QR qua điểm cố định S chạy nửa đường thẳng Ax c) Cho SA  a Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S APQR diện tích tứ giác APQR Đáp số: R  a 45 7a , S APQR  224 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D với AB  2a, AD  DC  a , SA  (ABC ), SA a a) Tìm tâm mặt cầu ( S ) qua điểm S , A, C, D Tìm chu vi đường tròn giao tuyến ( SAB) với mặt cầu ( S ) Đáp số: P   a b) Chứng minh (SBC )  (SAC ) c) Chứng minh AD tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC BÀI GIẢNG MẶT CẦU, KHỐI CẦU .PHẦN Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng Bài tốn 1: Diện tích thể tích khối cầu Phương pháp:  Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4 R2  Khối cầu bán kính R tích là: V :  R3 Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có cạnh AB  a Giải Trong mặt phẳng  BCD  gọi K trung điểm CD, G trọng tâm BCD Do BCD ACD nên BK  CD, AK  CD  CD   ABK  Trong mặt phẳng  ABK  dựng AH  BK  AH   BCD  Qua G dựng đường thẳng d / / AH  d   BCD  Dựng đường trung trực AB cắt d I Khi I tâm mặt cầu Tam giác BCD cạnh a, BK đường cao  BK  a Tam giác ACD cạnh a, AK đường cao a cạnh lại  AK  a  ABK cạnh MK  a 3 3 a a 2 a 1 a a GK  BK   ; BG  2GK  3 KBM BM MK BM GK KIG    GI   GI GK MK a a a a  a   a 2 13a a 13  BI  BI  BG  IG        36   6 2 Vậy khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm I,bán kính R  BI  2a Khối cầu tích 3 4  a 13  13 13  a  dvtt  V   R3      3   162 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a gọi M, N trung điểm SB, SD Biết AM  CN Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Giải Do AM  CN AS  AB CS  CD 0 2 AS CS  AB.CS  AS CD  AB.CD  1  AM CN   Đặt x  SA  SB  SC  SD , ta có 1  x 2cosASC  ax cos SCD  ax cos SAB  a   x cosASC  2ax cos   a   2   SAB  SCD  Xét ASB có SB  AS  AB  AS AB.cos SAB  x  x  a  2ax.cos SAB  3  a  2ax.cos SAB Xét ASC có SC  AS  AC  AS AC.cos SAC  2a  x  2ax.cos SAC  x cos SAC  x  a  4 Từ (2), (3), (4) ta có x  a Gọi O giao điểm AC BD, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD I giao điểm SO với mặt phẳng trung trực SD Nghĩa I  SO, IN  SD Ta có SIN đồng dạng với SDO  SI SN  SD SO SD.SD SN SD 3a  SI     SO SO SD  OD 3a 2 3a  a 2  2a Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I bánh kính R  SI  2a  2a  18 Diện tích mặt cầu S  4 R  4.     a  dvdt  5   4  2a  Thể tích khối cầu V   R3     a  dvtt    3   5 Bài tập Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao SH  3R , nội tiếp mặt cầu (O; R) Gọi M , N trung điểm cạnh SA, SC a) Tìm giao tuyến ( BMN ) ( ABCD) Chứng minh giao tuyến tiếp xúc với mặt cầu (O; R) b) Chứng minh điểm A, B, C, D, M , N thuộc mặt cầu Tính diện tích mặt cầu này.Đáp số: S  3 a c) Mặt phẳng ( ) vng góc với SB S , cắt khối cầu (O; R) Tính diện tích thiết diện thu được.Đáp số: S   R2 d) Tìm tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABC Bài tốn 2: Tiếp tuyến mặt cầu Phương pháp: 1) Đ ều kiện cầ v ủ ể ờng thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S (O; R) tạ vng góc với bán kính OH tạ ểm H ểm H  2) Đ ờng thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S (O; R)  d (O, )  R 3) Tro tr ờng hợp ểm A nằm ngồi mặt cầu thì:  Qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu, chúng nằm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu A  Độ d oạn thẳng nối A với tiếp  Tập hợp tiếp ểm ểm ều ờng tròn nằm mặt cầu Ví dụ 1: Cho hình cầu  S  tâm O bán kính R  Tam giác ABC với ba cạnh BC  13, CA  14, AB  15 , ba cạnh tiếp xúc với mặt cầu Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng  ABC  Giải Giả sử AB, BC, CA tiếp xúc với mặt cầu N, M, P Như ta có ON  AB, OM  BC, OP  CA Kẻ OH   ABC  Theo định lí ba đường vng góc ta có HM  BC, HN  BC, HP  CA Vì OM  ON  OP  R  HM  HN  HP Vậy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với bán kính r  HM Áp dụng cơng thức r  Ta có p  S p 13  14  15  21 Theo cơng thức Hê-rơng ta có S  p  p  a  p  b  p  c   21.8.7.6  84 Từ ta có r  Do theo định lí Pitago khoảng cách từ O tới  ABC  OH  52  42  Ví dụ 2: Giải Bài tập Cho khối cầu tâm O bán kính R đường kính SS ' Một mặt phẳng vng góc với SS ' cắt khối cầu theo đường tròn tâm H Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Đặt SH  x (0  x  2R) a) Tính cạnh tứ diện S.ABC theo R x Đáp số: SA  SB  SC  2xR b) Xác định x để S ABC tứ diện đều, tính thể tích tứ diện CMR S ' A, S ' B, S ' C đôi vng góc.Đáp số x  4R Cho mặt cầu S (O; R) ( P) cách O khoảng cách h (0  h  R) Gọi ( L) giao tuyến mặt cầu ( S ) ( P) Lấy A điểm cố định thuộc ( L) Một góc vng xAy ( P) quay quanh điểm A Các cạnh Ax, Ay cắt ( L) C D Đường thẳng qua A vng góc với ( P) cắt mặt cầu B a) CMR BC  AD2 BD2  AC khơng đổi b) Với vị trí CD diện tích BCD lớn nhất? c) Gọi H hình chiếu vng góc B lên đường thẳng CD CMR H ln thuộc đường tròn cố định Trên nửa đường tròn đường kính AB  2R , lấy điểm C tùy ý Kẻ CH  AB ( H thuộc đoạn AB ) Gọi I trung điểm CH Trên nửa đường thẳng Ix  ( ABC ) I , lây điểm S cho ASB  90 a) CMR CAB  SAB b) CMR C chạy nửa đường tròn ( SAB) cố định c) Cho AH  x Tính thể tích tứ diện S.ABCD theo R, x Tìm x để thể tích đạt giá trị lớn Đáp số: V  3 R  x  R Rx  2R  x  , VMax  d) CMR C chạy nửa đường tròn tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABI thuộc đường thẳng cố định  ... diện SABC BÀI GIẢNG MẶT CẦU, KHỐI CẦU .PHẦN Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng Bài toán 1: Diện tích thể tích khối cầu Phương pháp:  Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4 R2  Khối cầu bán kính... thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S (O; R)  d (O, )  R 3) Tro tr ờng hợp ểm A nằm ngồi mặt cầu thì:  Qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu, chúng nằm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu A  Độ d oạn... tuyến tiếp xúc với mặt cầu (O; R) b) Chứng minh điểm A, B, C, D, M , N thuộc mặt cầu Tính diện tích mặt cầu này.Đáp số: S  3 a c) Mặt phẳng ( ) vng góc với SB S , cắt khối cầu (O; R) Tính diện