BÀI GIẢNG MẶT CẦU, KHỐI CẦU .PHẦN Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng Bài toán Xác định mặt cầu Phương pháp: Muốn chứng minh nhiều ểm thuộc mặt cầu ta ổi cách ều ểm O cố ịnh kho ng R khô Muốn chứng minh d (O, D) R m h ểm ó cù ờng thẳng D tiếp xúc với mặt cầu S (O; R) , ta chứng minh Muốn chứng minh mặt phẳng ( P) tiếp xúc với mặt cầu S (O; R) , ta chứng minh d (O,( P)) R Tập hợp ểm M tro khơ mặt cầu ờng kính AB Ví dụ 1: Cho hình chóp a hì oạn thẳng AB cố ị h d ới góc vng đáy nửa hình lục giác đều, AB 2a,BC CD DA a , SA ABCD , SA h Mặt phẳng qua A vng góc với SB, cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ S ABCD có Chứng minh điểm A,B,C,D, B’,C’,D’ thuộc mặt cầu Xác định tâm bán kính mặt cầu Giải Ta có điểm B ', C ', D' hình chiếu vng góc A lên cạnh SB, SC, SD Do ABCD nửa lục giác với AB 2a,BC CD DA a , nên gọi O trung điểm AB OA OB OC OD 1 Suy ACB vng C, ADB vng D Vì BC SA, BC AC BC SAC BC AC ' Mặt khác AC ' SC AC ' SBC AC ' BC ' Tương tự ta có AD ' BD ' Do AB ' B vng B ' OA OB OB ' 2 AC ' B vuông C ' OA OB OC ' 3 AD ' B vuông D ' OA OB OD ' 4 Từ (1), (2), (3), (4) ta có OA OB OC OD OB ' OC ' OD ' a Vậy điểm A,B,C,D, B’,C’,D’ thuộc mặt cầu tâm O bánh kính a Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , cạnh a, nội tiếp đường tròn tâm (O) chứa mặt phẳng (P) Vẽ đường kính AD đường tròn (O) , dựng SD P SD a 1) Chứng minh SAC SAB vuông 2) Xác định tâm mặt cầu qua điểm S , A, B, C, D Giải 1) Do AD đường kính (O) nên DCA 900 CA DC Mà SD ABC SD CA CA SDC CA SC SAC tam giác vng C Tương tự ta có AB BD AB SDB AB SB AB SD SAB tam giác vuông B (đpcm) 2) Gọi K trung điểm cuả SA Theo chứng minh câu ta có SAC tam giác vng C KA KS KC SAB tam giác vuông B KA KS KB SAD tam giác vuông D KA KS KD KA KA KC KD KS Vậy K tâm mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S Bài tập Cho hình chóp S.ABC , cạnh đáy AB a , cạnh bên hợp với đáy góc 60 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Đáp số : R 2a Cho mặt cầu đường kính AB 2R Cắt mặt cầu mặt phẳng vng góc với AB cho AH x (0 x 2R) ta thiết diện đường tròn (T ) Gọi MNPQ hình vng nội tiếp đường tròn (T ) a) Tính theo R x bán kinh đường tròn (T ) , cạnh hình vuông MNPQ đoạn thẳng AM , BM Đáp số: Cạnh hình vng : 2xR x2 , AM xR ; BM 4R 2xR b) Tính thể tích khối đa diện tạo hai hình chóp AMNPQ BMNPQ Tính x để thể tích đạt giá trị lớn V R xR x ; VMax R3 x R 4 3 Trong mặt phẳng ( P) cho hình thang cân ABCD với AB 2a , BC CD DA a Trên nửa đường thẳng Ax vng góc với mặt phẳng ( P) ta lấy điểm di động S Một mặt phẳng (Q) qua A vng góc với SB cắt SB, SC, SD P, Q, R theo thứ tự a) CMR điểm A, B, C, D, P, Q, R thuộc mặt cầu cố định Tính diện tích mặt cầu đó.Đáp số: Mặt cầu ờng kính AB S 4 a2 b) CMR tứ giác CDRQ tứ giác nội tiếp đường thẳng QR qua điểm cố định S chạy nửa đường thẳng Ax c) Cho SA a Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S APQR diện tích tứ giác APQR Đáp số: R a 45 7a , S APQR 224 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D với AB 2a, AD DC a , SA (ABC ), SA a a) Tìm tâm mặt cầu ( S ) qua điểm S , A, C, D Tìm chu vi đường tròn giao tuyến ( SAB) với mặt cầu ( S ) Đáp số: P a b) Chứng minh (SBC ) (SAC ) c) Chứng minh AD tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC BÀI GIẢNG MẶT CẦU, KHỐI CẦU .PHẦN Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng Bài tốn 1: Diện tích thể tích khối cầu Phương pháp: Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S 4 R2 Khối cầu bán kính R tích là: V : R3 Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có cạnh AB a Giải Trong mặt phẳng BCD gọi K trung điểm CD, G trọng tâm BCD Do BCD ACD nên BK CD, AK CD CD ABK Trong mặt phẳng ABK dựng AH BK AH BCD Qua G dựng đường thẳng d / / AH d BCD Dựng đường trung trực AB cắt d I Khi I tâm mặt cầu Tam giác BCD cạnh a, BK đường cao BK a Tam giác ACD cạnh a, AK đường cao a cạnh lại AK a ABK cạnh MK a 3 3 a a 2 a 1 a a GK BK ; BG 2GK 3 KBM BM MK BM GK KIG GI GI GK MK a a a a a a 2 13a a 13 BI BI BG IG 36 6 2 Vậy khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm I,bán kính R BI 2a Khối cầu tích 3 4 a 13 13 13 a dvtt V R3 3 162 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a gọi M, N trung điểm SB, SD Biết AM CN Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Giải Do AM CN AS AB CS CD 0 2 AS CS AB.CS AS CD AB.CD 1 AM CN Đặt x SA SB SC SD , ta có 1 x 2cosASC ax cos SCD ax cos SAB a x cosASC 2ax cos a 2 SAB SCD Xét ASB có SB AS AB AS AB.cos SAB x x a 2ax.cos SAB 3 a 2ax.cos SAB Xét ASC có SC AS AC AS AC.cos SAC 2a x 2ax.cos SAC x cos SAC x a 4 Từ (2), (3), (4) ta có x a Gọi O giao điểm AC BD, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD I giao điểm SO với mặt phẳng trung trực SD Nghĩa I SO, IN SD Ta có SIN đồng dạng với SDO SI SN SD SO SD.SD SN SD 3a SI SO SO SD OD 3a 2 3a a 2 2a Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I bánh kính R SI 2a 2a 18 Diện tích mặt cầu S 4 R 4. a dvdt 5 4 2a Thể tích khối cầu V R3 a dvtt 3 5 Bài tập Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao SH 3R , nội tiếp mặt cầu (O; R) Gọi M , N trung điểm cạnh SA, SC a) Tìm giao tuyến ( BMN ) ( ABCD) Chứng minh giao tuyến tiếp xúc với mặt cầu (O; R) b) Chứng minh điểm A, B, C, D, M , N thuộc mặt cầu Tính diện tích mặt cầu này.Đáp số: S 3 a c) Mặt phẳng ( ) vng góc với SB S , cắt khối cầu (O; R) Tính diện tích thiết diện thu được.Đáp số: S R2 d) Tìm tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABC Bài tốn 2: Tiếp tuyến mặt cầu Phương pháp: 1) Đ ều kiện cầ v ủ ể ờng thẳng tiếp xúc với mặt cầu S (O; R) tạ vng góc với bán kính OH tạ ểm H ểm H 2) Đ ờng thẳng tiếp xúc với mặt cầu S (O; R) d (O, ) R 3) Tro tr ờng hợp ểm A nằm ngồi mặt cầu thì: Qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu, chúng nằm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu A Độ d oạn thẳng nối A với tiếp Tập hợp tiếp ểm ểm ều ờng tròn nằm mặt cầu Ví dụ 1: Cho hình cầu S tâm O bán kính R Tam giác ABC với ba cạnh BC 13, CA 14, AB 15 , ba cạnh tiếp xúc với mặt cầu Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng ABC Giải Giả sử AB, BC, CA tiếp xúc với mặt cầu N, M, P Như ta có ON AB, OM BC, OP CA Kẻ OH ABC Theo định lí ba đường vng góc ta có HM BC, HN BC, HP CA Vì OM ON OP R HM HN HP Vậy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với bán kính r HM Áp dụng cơng thức r Ta có p S p 13 14 15 21 Theo cơng thức Hê-rơng ta có S p p a p b p c 21.8.7.6 84 Từ ta có r Do theo định lí Pitago khoảng cách từ O tới ABC OH 52 42 Ví dụ 2: Giải Bài tập Cho khối cầu tâm O bán kính R đường kính SS ' Một mặt phẳng vng góc với SS ' cắt khối cầu theo đường tròn tâm H Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Đặt SH x (0 x 2R) a) Tính cạnh tứ diện S.ABC theo R x Đáp số: SA SB SC 2xR b) Xác định x để S ABC tứ diện đều, tính thể tích tứ diện CMR S ' A, S ' B, S ' C đôi vng góc.Đáp số x 4R Cho mặt cầu S (O; R) ( P) cách O khoảng cách h (0 h R) Gọi ( L) giao tuyến mặt cầu ( S ) ( P) Lấy A điểm cố định thuộc ( L) Một góc vng xAy ( P) quay quanh điểm A Các cạnh Ax, Ay cắt ( L) C D Đường thẳng qua A vng góc với ( P) cắt mặt cầu B a) CMR BC AD2 BD2 AC khơng đổi b) Với vị trí CD diện tích BCD lớn nhất? c) Gọi H hình chiếu vng góc B lên đường thẳng CD CMR H ln thuộc đường tròn cố định Trên nửa đường tròn đường kính AB 2R , lấy điểm C tùy ý Kẻ CH AB ( H thuộc đoạn AB ) Gọi I trung điểm CH Trên nửa đường thẳng Ix ( ABC ) I , lây điểm S cho ASB 90 a) CMR CAB SAB b) CMR C chạy nửa đường tròn ( SAB) cố định c) Cho AH x Tính thể tích tứ diện S.ABCD theo R, x Tìm x để thể tích đạt giá trị lớn Đáp số: V 3 R x R Rx 2R x , VMax d) CMR C chạy nửa đường tròn tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABI thuộc đường thẳng cố định ... diện SABC BÀI GIẢNG MẶT CẦU, KHỐI CẦU .PHẦN Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng Bài toán 1: Diện tích thể tích khối cầu Phương pháp: Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S 4 R2 Khối cầu bán kính... thẳng tiếp xúc với mặt cầu S (O; R) d (O, ) R 3) Tro tr ờng hợp ểm A nằm ngồi mặt cầu thì: Qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu, chúng nằm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu A Độ d oạn... tuyến tiếp xúc với mặt cầu (O; R) b) Chứng minh điểm A, B, C, D, M , N thuộc mặt cầu Tính diện tích mặt cầu này.Đáp số: S 3 a c) Mặt phẳng ( ) vng góc với SB S , cắt khối cầu (O; R) Tính diện