Đang tải... (xem toàn văn)
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào. Ⓐ.[r]
(1)(2)St-bs: Duong Hung
FB: Duong Hung
Bài ❶: NGUYÊN HÀM
.Phương pháp:
Định nghĩa: Hàm số gọi nguyên hàm hàm số với x thuộc
Tính chất:
Bảng nguyên hàm:
▪ ▪ ▪ ▪
▪ ▪ ▪ ▪
▪ ▪
Phương pháp: Casio.
⬧ Xét hiệu: Nhấn shift
⬧Calc hay ,… mệnh đềđúng
Dạng ①: Nguyên hàm theo định nghĩa tính chất bản
CHƯƠNG ③:
Full Chuyên
(3)St-bs: Duong Hung A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Tất nguyên hàm hàm số ( )
2 f x
x =
+
Ⓐ 1ln
2 x+ +C Ⓑ ( )
1
ln x+ +C
Ⓒ ln 2x+ +3 C. Ⓓ ln ln x+ +C
Lời giải
ChọnA
( ) ( )
1 1
d d d
2 2
1
ln
f x x x x
x x
x C
= = +
+ +
= + +
PP nhanh trắc nghiệm
Casio:
Calc: x= 2.5
Lưu ý: Gặp ln có trị tuyệt đối, rắt dễ chọn nhằm đáp án B
Câu 2: Câu 2: Nếu ( ) d
f x x= x +x +C
hàm số f x( )
Ⓐ ( )
3 x
f x =x + +Cx Ⓑ f x( )=12x2+2x C+
Ⓒ. ( )
12
f x = x + x Ⓓ ( )
3
3 x
f x =x +
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( ) ( ( ) ) ( )
d 12
f x = f x x = x +x +C = x + x
PP nhanh trắc nghiệm
Thửđạo hàm Casio
Chú ý dễ chọn nhằm câu B
Câu 3: Cho hàm số f x( ) có '( )
f x
x =
− với
x f ( )1 =1 Khi giá trị f ( )5
(4)St-bs: Duong Hung
Lời giải
ChọnD
Ta có: f '( )x dx= f x( )+C nên
( ) 1 d 2( 1)
d ln
2 2
x
f x x x C
x x
−
= = = − +
− −
Mặt khác theo đề ta có: f ( )1 =1
ln 2.1 1
2 C C
− + = = nên
( )
ln 1
f x = x− +
Do
( ) 1
5 ln 2.5 1 ln ln
2
f = − + = + = +
PP nhanh trắc nghiệm
Tư Casio
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5
1
5
1
5
5 1
f x dx f f
f f f x dx f x dx
= −
= + = +
Tổng quát:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
; b
a
b
a b
a
f x dx f b f a
f b f a f x dx
f a f b f x dx
= −
• = +
• = −
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Khẳng định sau sai?
Ⓐ Nếu f x dx( ) =F x( )+C f u du( ) =F u( )+C
Ⓑ .kf x dx( ) = k f x dx( ) (k số k0)
Ⓒ. Nếu F x( ) G x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) F x( )=G x( )
Ⓓ. f1( )x + f2( )x dx= f1( )x dx+ f2( )x dx
Câu 2: Hàm số sau nguyên hàm hàm số ( ) ( )4
f x = x− ?
Ⓐ ( ) ( )
5
x
F x = − +x Ⓑ ( ) ( )
5 x
F x = −
Ⓒ. ( ) ( )
5
2020
x
F x = − + Ⓓ. ( ) ( )
5
1 x
F x = − −
Câu 3: Trong khẳng định sau, khẳng định sai?
Ⓐ 0dx=C (C số) Ⓑ 1dx ln x C x
= + (C số)
Ⓒ.
1 x
x dx C
+
= +
+ (C số) Ⓓ. dx= +x C (C số)
Câu 4: Cho hai hàm số f x( ), g x( ) hàm số liên tục Xét mệnh đề sau: (I) k f x dx( ) f x dx( )
k
= với k số thực khác (II) f x( )−g x( )dx= f x dx( ) − g x dx( )
(III) f x g x( ) ( ) dx= f x dx g x dx( ) ( ) (IV) f( )x dx= f x( )+C
Số mệnh đề
Ⓐ 1 Ⓑ Ⓒ. Ⓓ 4
Câu 5: Cho hàm số f x( ) xác định K F x( ), G x( ) nguyên hàm f x( ) K Khẳng
(5)St-bs: Duong Hung
Ⓐ G x( )=F x( ), x K Ⓑ G x( )= f ( )x , x K
Ⓒ.F x( )=G x( )+C, x K Ⓓ. F x( )= f ( )x , x K
Câu 6: Mệnh đềnào sau sai?
Ⓐ Nếu F x( ) nguyên hàm f x( ) ( )a b; C số ( )d ( )
f x x=F x +C
Ⓑ Mọi hàm số liên tục ( )a b; có nguyên hàm ( )a b;
Ⓒ. F x( ) nguyên hàm f x( ) ( )a b; F/( )x = f x( ), x ( )a b;
Ⓓ. ( f x( )dx)/ = f x( )
Câu 7: Hàm số ( )
cos f x
x
= có nguyên hàm trên:
Ⓐ (0;) Ⓑ ;
2
−
Ⓒ. ( ; ) Ⓓ. 2;
−
Câu 8: Hàm sốnào sau nguyên hàm hàm số ( ) ( )4
f x = x− ?
Ⓐ ( ) ( )
5 x
F x = − +x Ⓑ ( ) ( )
5 x
F x = −
Ⓒ. ( ) ( )
5
2017
x
F x = − + Ⓓ. ( ) ( )
5
1 x
F x = − −
Câu 9: Hàm số ( ) x3
F x =e nguyên hàm hàm số
Ⓐ ( ) x3
f x =e Ⓑ ( )
3 x
f x = x e Ⓒ. ( )
3
2
x e f x
x
= Ⓓ. ( ) 3 1
x
f x =x e −
Câu 10: Nếu ( )
3 d
3 x x
f x x= + +e C
f x( )
Ⓐ ( )
x x
f x = +e Ⓑ f x( )=3x2+ex
Ⓒ. ( ) 12
x x
f x = +e Ⓓ. f x( )=x2+ex
Câu 11: Tìm nguyên hàm hàm số ( )
f x x
x
= +
Ⓐ ( ) 2
f x dx x C
x
= + +
Ⓑ. ( )
4 ln x
f x dx= + x C+
Ⓒ. ( ) 2
f x dx x C
x
= − +
Ⓓ ( )
4 ln x
f x dx= + x +C
Câu 12: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? Ⓐ cos d 1sin
2
x x= x+C
Ⓑ d
1 e e x
x x C
e +
= +
+
(6)St-bs: Duong Hung Ⓒ. 1dx ln x C
x = +
Ⓓ d
1 e
e x
x x C
x +
= +
+
Câu 13: Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin f x = x + x Ⓐ
cos
x + x C+ Ⓑ 6x+cosx C+
Ⓒ. cos
x − x C+ Ⓓ 6x−cosx C+
Câu 14: Tất nguyên hàm hàm số ( )
2 f x
x =
+
Ⓐ 1ln
2 x+ +C Ⓑ ( )
1
ln x+ +C Ⓒ.ln 2x+ +3 C Ⓓ ln
ln x+ +C
Câu 15: Giả sử biểu thức sau có nghĩa cơng thức sau sai?
Ⓐ
tan cos xdx= x C+
Ⓑ x x
e dx=e +C
Ⓒ. lnxdx C x = +
Ⓓ sinxdx= −cosx C+ .
Câu 16: Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2x
f x =e +x
Ⓐ ( )
2
x
e x
F x = + +C Ⓑ F x( )=e2x+x3+C
Ⓒ. ( ) 2 x
F x = e + x C+ Ⓓ ( )
3
3 x x
F x =e + +C
Câu 17: Nguyên hàm hàm số ( )
3
f x =x + x+ hàm số hàm số sau ? Ⓐ ( )
3
F x = x + x C+ Ⓑ ( )
4
3
3 x
F x = + x + x C+
Ⓒ. ( ) 2
4
x x
F x = + + x C+ Ⓓ ( )
4 2
4
x x
F x = + + x C+
Câu 18: Họ nguyên hàm hàm số f x( )=e (3 e )x + −x Ⓐ ( ) 3e
e x
x
F x = − +C Ⓑ F x( )=3ex− +x C
Ⓒ.F x( )=3ex+e ln ex x+C Ⓓ F x( )=3ex+ +x C
Câu 19: Họ nguyên hàm hàm số f x( )=ex+cosx
Ⓐ ex−sinx C+ Ⓑ e sin
x
x C
x
+ + +
+
Ⓒ. ex sin
(7)St-bs: Duong Hung
Câu 20: Nguyên hàm hàm số f x x 3x Ⓐ
2 ln x x
F x C Ⓑ
ln x
F x C
Ⓒ.
x x
F x C. Ⓓ
2
3 ln
x x
F x C
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.D 9.A 10.C
11.D 12.D 13.C 14.A 15.C 16.A 17.C 18.D 19.D 20.A
A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho hàm số f x( ) có '( )
f x
x =
− với
x f ( )1 =1 Khi giá trị f ( )5
Ⓐ ln Ⓑ.ln Ⓒ.ln 1+ Ⓓ ln 1+
Lời giải
Chọn D
Ta có: f '( )x dx= f x( )+C nên
( ) 1 d 2( 1)
d ln
2 2
x
f x x x C
x x
−
= = = − +
− −
Mặt khác theo đề ta có: f ( )1 =1
ln 2.1 1
2 C C
− + = = nên ( ) 1ln 1
f x = x− +
Do ( )5 1ln 2.5 1 1ln ln
2
f = − + = + = +
PP nhanh trắc nghiệm
Casio
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
; b
a
b
a b
a
f x dx F b F a
F b F a f x dx
F a F b f x dx
= −
• = +
• = −
-Phương pháp:
Xác định nguyên hàm hàm số cho Tìm nguyên hàm
Thếđiều kiện tìm số C Kết luận cho toán
(8)St-bs: Duong Hung
Câu 2: Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=2x+2x thoả mãn F( )0 =0 Ta có F x( )
Ⓐ 2
ln x
x + − Ⓑ 2
ln x
x + − Ⓒ.1+(2x−1 ln 2) Ⓓ x2+2x−1
Lời giải
Chọn A
Ta có: ( ) 2 2 d
ln x x
x+ x=x + +C
Do
Theo giả thiết ( )
0
2
0 0
ln ln
F = + + = = −C C
Vậy ( ) 2 2
ln ln ln
x x
F x =x + − =x + −
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: Thửđáp án
Câu 3: Tìm nguyên hàm F x hàm số f x sin 2x thỏa mãn
F
Ⓐ ( ) cos( )
2
x
F x Ⓑ ( ) cos( )
2
x
F x
Ⓒ. ( ) cos( )
2 x
F x Ⓓ ( ) cos( )
2
x
F x
Lời giải
Chọn B
sin d cos C
2 x
F x x x
1
2
F C
2 C
Vậy ( ) cos( )
2
x
F x
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: Thửđáp án
B - Bài tập rèn luyện:
Câu Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
( ) 4
f x = x − x+ thỏa mãn F(1)=3
Ⓐ
( )
F x =x − x + x− Ⓑ F x( )=x4−4x2+5x+1
Ⓒ.
( )
F x =x − x + x+ Ⓓ.
( )
2
F x =x − x − x+
Câu Hàm số ( )
5
f x = − x + x − có nguyên hàm F x( ) thỏa F( )3 =1 Tính F( )−3
Ⓐ F( )− =3 226 Ⓑ F( )− = −3 225 Ⓒ. F( )− =3 451 Ⓓ. F( )− =3 225
Câu Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=sin 2x F =
Tính P F =
(9)St-bs: Duong Hung
Ⓐ
4
P= Ⓑ P=0 Ⓒ.
2
P= Ⓓ.
4
P=
Câu Tìm nguyên hàm F x( )của hàm số f x( )=2x+sinx+2 cosxthỏa mãn F( )0 =1
Ⓐ ( )
cos 2sin
F x =x + x+ x− Ⓑ F x( )=x2−cosx+2sinx
Ⓒ. F x( )= +2 cosx+2sinx Ⓓ. F x( )=x2−cosx+2sinx+2
Câu Tìm nguyên hàm F x( )của hàm số ( ) sin 12 cos
f x x
x
= + thỏa mãn
4
F =
Ⓐ F x( )= −cosx+tanx C+ Ⓑ F x( )= −cosx+tanx− 1+
Ⓒ. F x( )=cosx+tanx+ 1− Ⓓ. F x( )= −cosx+tanx+ 1−
Câu Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) e x
f x = thỏa (0)
2
F = Giá trị F
Ⓐ 1
2e+ Ⓑ
1
2e+ Ⓒ. 2e+1 Ⓓ.
1 2e+2
Câu Kí hiệu F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) ( )2
f x = x + ( )1 28
15
F = Khẳng định
nào sau đúng?
Ⓐ ( )
5
x x
F x = + +x Ⓑ ( )
5
2
5
x x
F x = + + +x C
Ⓒ. ( ) ( )
4
F x = x x + Ⓓ. ( )
5
2
1
5
x x
F x = + + +x
Câu Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 1 f x
x =
− F( )2 =1 Tính F( )3
Ⓐ ( )3
F = Ⓑ ( )3
4
F = Ⓒ. F( )3 =ln 1.− Ⓓ.F( )3 =ln 1.+
Câu Tìm nguyên hàm F x( )của hàm số ( ) 2 f x
x =
− thỏa mãnF( )5 =7
Ⓐ F x( )=2 2x−1. Ⓑ F x( )=2 2x− +1
Ⓒ. F x( )= 2x− +1 Ⓓ. F x( )= 2x− −1 10
Câu 10 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) (= 2x−3)2 thỏa ( )0
F = Tính giá trị biểu thức T =log23F( )1 −2F( )2
Ⓐ.T =2 Ⓑ T =4 Ⓒ. T =10 Ⓓ.T = −4
(10)St-bs: Duong Hung 10
1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.A 8.D 9.B 10.A
A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Tìm họ nguyên hàm
cos xsinx dx
ta kết
Ⓐ
cos x C
− + Ⓑ 1
cos
3 x C+ Ⓒ.
3
cos
3 x C
− + Ⓓ
sin
3 x C+
Lời giải
Chọn C
2 ( )
cos sin cos cos cos
3
x x dx= − x d x = − x C+
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: xét hiệu
Câu 2: Nguyên hàm 12 cos dx1 x x
Ⓐ sin1 C x
− + Ⓑ sin1 C
x+ Ⓒ.
1 sin C
x
− + Ⓓ 2sin1 C
x+
Lời giải
Chọn A
Ta có 12 cos1dx cos1d sin1 C
x x x x
x
= − = − +
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: xét hiệu
Câu 3: Tính nguyên hàm d
ln
I x
x x
=
+
Ⓐ
(ln 1)
I = x+ +C Ⓑ I = lnx+ +1 C
Ⓒ.
(ln 1)
I = x+ +C Ⓓ I =2 lnx+ +1 C
-Định lí: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên hàm số
liên tục cho xác định Khi hàm số nguyên hàm , tức là:
-Phương pháp:
Từ ta có hai cách đổi biến số việc tính nguyên hàm sau: Đặt biến số:
Suy ra: đưa việc tính nguyên hàm
đơn giản
(11)St-bs: Duong Hung 11
Lời giải
Chọn D
1
d (ln 1) d(ln 1) ln
ln x x x x C
x x
−
= + + = + +
+
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: xét hiệu
Câu 4: Tìm nguyên hàm hàm số ( ) sin 3cos
x f x
x =
+ .
Ⓐ ( ) d 1ln 3cos
f x x= + x +C
Ⓑ f x( ) dx=ln 3cos+ x +C
Ⓒ. f x( ) dx=3ln 3cos+ x +C Ⓓ ( ) d 1ln 3cos
f x x= − + x +C
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( )
sin 1
d d 3cos ln 3cos
1 3cos 3cos
x
x x x C
x = − x + = − + +
+ +
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: xét hiệu
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Biết f u du( ) =F u( )+C. Mệnh đềnào sau đúng?
Ⓐ f (2x−1)dx=2F(2x− +1) C Ⓑ f (2x−1)dx=2F x( )− +1 C
Ⓒ. f (2x−1)dx=F(2x− +1) C Ⓓ. (2 1) (2 1)
f x dx F x C
− = − +
Câu 2: Nguyên hàm hàm số ( ) ( )9
f x =x x +
Ⓐ ( 2 )10
1
x + +C Ⓑ 2(x2+1)10+C
Ⓒ. ( 2 )10
1
20 x C
− + + Ⓓ. ( 2 )10
1
20 x + +C
Câu 3: Nguyên hàm hàm số f x( )= 2x−1
Ⓐ ( )
3
f x dx x C
= − − + Ⓑ ( )
2
f x dx x C
= − +
Ⓒ ( ) 1(2 1)
f x dx x x C
= − − + Ⓓ. ( ) 2(2 1)
3
f x dx x x C
= − − +
Câu 4: Nguyên hàm hàm số ( ) x2
f x =xe
Ⓐ 2
x
e +C Ⓑ ex2 +C
Ⓒ. 2
2ex +C e.2 x +C Ⓓ. (2x2+1)ex2 +C
Câu 5: Biết hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) lnx x
= thỏa mãn ( )2
(12)St-bs: Duong Hung 12 Mệnh đềnào sau đúng?
Ⓐ ( ) ln2
x
F x = − Ⓑ ( )
2 ln
3
x
F x = +
Ⓒ. ( ) ln2
2 x
F x = − Ⓓ ( ) ln
2
x
F x = +
Câu 6: Tìm hàm số F x( ) biết ( )
3 d
1 x
F x x
x =
+
F( )0 =1
Ⓐ ( ) ( )
ln 1
F x = x + + Ⓑ ( ) ( )
ln
4
F x = x + +
Ⓒ. ( ) 1ln( 1) 1
F x = x + + Ⓓ ( ) ( )
4 ln 1
F x = x + +
Câu 7: Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin cos
x f x
x =
−
Ⓐ −ln cosx− +3 C Ⓑ ln cosx− +3 C
Ⓒ. ln cos
x
C −
− + Ⓓ. ln cosx− +3 C
Câu 8: Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin2 sin e x f x = x
Ⓐ 2 sin2 1
sin x.e x− +C Ⓑ sin
2 e sin
x
C x
+ +
+
Ⓒ. sin2
e x+C Ⓓ. sin
2 e sin
x C x
− +
−
Câu 9: Xét nguyên hàm
I = −x dx với phép đặt x=sint Khi đó
Ⓐ I =2 cos cost tdt Ⓑ I =2 sin cost 2tdt
Ⓒ. I = cos cost tdt Ⓓ. I =4 sin cost tdt
Câu 10: Xét nguyên hàm
I = −x dx với phép đặt x=2sint với 0; t
Khi
Ⓐ I =2 cos 2( + t dt) Ⓑ I =2 cos 3( + t dt)
Ⓒ. I =2 cos 2( + t dt) Ⓓ. I =2 cos 2( + t dt) BẢNG ĐÁP ÁN
(13)St-bs: Duong Hung 13
A - Bài tập minh họa:
Câu Họ nguyên hàm hàm số f x( )=xcos 2x
Ⓐ sin cos
2
x x x
C
+ + Ⓑ sin cos
2 x
x x− +C
Ⓒ. sin cos 2
x
x x+ +C Ⓓ sin cos
2
x x x
C
− +
Lời giải
Chọn A
I =xcos dx x
PP nhanh trắc nghiệm
Casio
-Phương pháp:
Cho hai hàm số 𝑢 𝑣 liên tục đoạn ሾ𝑎; 𝑏ሿ có đạo hàm liên tục đoạn ሾ𝑎; 𝑏ሿ Khi đó:∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ሺ∗ሻ
Để tính nguyên hàm ∫ 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 phần ta làm sau:
Bước Chọn 𝑢, 𝑣 cho 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 = 𝑢𝑑𝑣 (chú ý 𝑑𝑣 = 𝑣′ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥) Sau tính 𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 𝑑𝑢 = 𝑢′ 𝑑𝑥 Bước Thay vào cơng thức ሺ∗ሻ tính ∫ 𝑣𝑑𝑢
①.Dạng 1 , đa thức
⬧.Đặt:
② Dạng 2 , trong đa thứ
⬧.Đặt:
③ Dạng 3. , đa thức ⬧.Đặt:
Casio: Xét hiệu , calc x= {-5,….,5} cách thích hợp Sẽ thu kết bảng xấp xỉ0 đáp án
(14)St-bs: Duong Hung 14 Đặt
d d
1
d cos d sin
2
u x
u x
v x x v x
= =
=
=
Khi
1 1
sin sin d sin cos
2 2
I = x x− x x= x x+ x C+
Calc x=3.5
Chọn A Câu 2: Họ nguyên hàm hàm số f x( )=xln 2x
Ⓐ ln
2
x
x C
− +
Ⓑ
2
ln 2 x
x x− +C
Ⓒ. 2(ln 1)
x
x− +C Ⓓ
2
2 ln 2 x
x−x +C
Lời giải
Chọn A
Đặt 2
1 d ln
d d
2 u
u x x
v x x x
v = =
→
=
=
( ) ( ) 2
2 2
1
d ln d
2
1
ln ln
2 2
x x
F x f x x x x
x
x x x
x C x C
= = −
= − + = − +
PP nhanh trắc nghiệm
Casio
Calc x=1
Chon A
Câu 3: Tìm nguyên hàm hàm số ( ) e x
f x =x
Ⓐ 1e2
2
x
F x x C Ⓑ F x 2e2x x C
Ⓒ 2e2
2
x
F x x C Ⓓ 1e2
2
x
F x x C
Lời giải
ChọnA
Ta có: ( ) e x
F x =x dx
Đặt
( )
2
2 2
d
e
1 1
e e d e
2 2
x x
x x x
du x
u x
v
dv e dx
F x x x x C
= =
=
=
= − = − +
PP nhanh trắc nghiệm
Casio
Calc: x=2
(15)St-bs: Duong Hung 15
Câu 1: Biết hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=lnx thỏa mãn F( )1 =3 Giá trị ( )2
F e
Ⓐ.4 Ⓑ e
− + Ⓒ.
4
e + Ⓓ. 3e2+4
Câu 2: Nguyên hàm hàm f x( )=4x(1 ln+ x)
Ⓐ 2
2x lnx+2x Ⓑ 2x2lnx+3x2
Ⓒ. 2
2x lnx+x +C Ⓓ.2x2lnx+3x2+C
Câu 3: Biết hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) (= x−1)e−x thỏa mãn ( )0 2020
F = Khẳng định sau đúng?
Ⓐ.F x( )=e−x+2019 Ⓑ F x( )=xe−x+2020
Ⓒ.F x( )= −xe−x+2020 Ⓓ.F x( )= −xex+2020
Câu 4: Biết hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) cos
2 x
f x =x thỏa mãn ( )0
F =
Giá trị F( )
Ⓐ 2
+ Ⓑ
4 −
Ⓒ. +
Ⓓ.
4 + Câu 5: Nguyên hàm hàm số f x( )=exsinx
Ⓐ.exsinxdx=exsinx C+ Ⓑ sin 1( sin cos )
x x x
e xdx e x e x C
= + +
Ⓒ.exsinxdx=excosx C+ Ⓓ. sin 1( sin cos )
2
x x x
e xdx e x e x C
= − +
Câu 6: Hàm số f x( )= +(x 1)sinx có nguyên hàm là:
Ⓐ.F x( ) (x 1) cosx s inx C Ⓑ F x( ) (x 1)cosx s inx C
Ⓒ.F x( ) (x 1)cosx s inx C Ⓓ.F x( )= +(x 1) cosx−sinx C+
Câu 7: Tính xcosxdx, ta kết là:
Ⓐ.F x( )=xsinx+cosx C+ Ⓑ F x( )=xsinx−cosx C+
Ⓒ.F x( )= −xsinx+cosx C+ Ⓓ.F x( )= −xsinx−cosx C+
Câu 8: Một nguyên hàm hàm số ( )
( ) x
f x = x + x e
Ⓐ.F x( )=(2x+2).ex Ⓑ F x( )=x e2 x
Ⓒ.
( ) ( ) x
F x x x e Ⓓ.
( ) ( ) x
F x = x − x e
(16)St-bs: Duong Hung 16
Ⓐ 3 3
x
x xe x
xe dx= − e +C
Ⓑ xe dxx =xex −ex +C
Ⓒ.
2
x x x
xe dx e C Ⓓ. xx dx xx 1x C
e e e
−
= − +
Câu 10: Cho
0 ( ) ln
x
f x = tdt Đạo hàm f x'( ) hàm sốnào đây?
Ⓐ 1
x Ⓑ lnx Ⓒ.
2
ln x Ⓓ. 1ln x
Câu 11: Nguyên hàm của hàm số f x( )=xsinx
Ⓐ – cosx x+sinx C+ Ⓑ xsinx+cosx C+ .
Ⓒ.xcosx+sinx C+ Ⓓ xcosx−sinx C+ .
Câu 12: Kết I =xe xxd
Ⓐ
2
x x x
I = e + +e C Ⓑ I = +ex xex+C
Ⓒ.
2 x x
I = e +C Ⓓ I =xex− +ex C
Câu 13: Tính F x( )=xsin 2xdx Chọn kết đúng? Ⓐ ( ) 1(2 cos sin )
4
F x = x x+ x +C Ⓑ ( ) 1(2 cos sin )
F x = − x x+ x +C
Ⓒ. ( ) 1(2 cos sin )
F x = − x x− x +C Ⓓ ( ) 1(2 cos sin )
F x = x x− x +C
Câu 14: Nguyên hàm hàm số f x( ) (= x+1 e) x Ⓐ ex
x +C Ⓑ (x+2 e) x+C Ⓒ.(x−1 e) x+C Ⓓ ex
x +C
Câu 15: Họ nguyên hàm f x( )=xlnx Ⓐ 2
ln
2
x
x+ x +C Ⓑ 2
ln
2
x x− x +C
Ⓒ. 2
ln
2
x
x− x +C Ⓓ ln
2
x x+ x C+
Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=xln(x+2) Ⓐ ( )d ln( 2)
2
x x x
f x x= x+ − + +C
Ⓑ ( )d 4ln( 2)
2
x x x
f x x= − x+ − + +C
Ⓒ. ( )d 2ln( 2)
2
x x x
f x x= x+ − + +C
(17)St-bs: Duong Hung 17 Ⓓ ( )d 4ln( 2)
2
x x x
f x x= − x+ − − +C
Câu 17: Cho hàm số y=xsin dx x Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau
Ⓐ
6 12
y =
Ⓑ
3
6
y =
Ⓒ.
6 12 y =
Ⓓ y 24
=
Câu 18: Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=xe−x Tính F x( ) biết F( )0 =1
Ⓐ F x( ) (= x+1 e) −x+2. Ⓑ F x( )= − +(x e) −x+1 Ⓒ.F x( )= − +(x e) −x+2 Ⓓ F x( ) (= x+1 e) −x+1
Câu 19: Tìm họ nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )=x.e2x
Ⓐ ( ) ( )
2e x
F x = x− +C. Ⓑ ( ) 1e2 ( 2)
2 x
F x = x− +C
Ⓒ. ( ) 2e
2 x
F x = x− +C
Ⓓ ( )
2
1
e
2
x
F x = x− +C
Câu 20: Cho F x( )là nguyên hàm hàm số f x( ) (= 5x+1 e) x F( )0 =3 Tính ( )1
F
Ⓐ F( )1 = +e Ⓑ F( )1 =11e 3− Ⓒ.F( )1 = +e Ⓓ F( )1 = +e
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C 2.C 3.C 4.B 5.D 6.B 7.A 8.B 9.C 10.B
(18)St-bs: Duong Hung 18
FB: Duong Hung
A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Tính tích phân d b
a x
Ⓐ a b− Ⓑ. a.b Ⓒ.b a− Ⓓ. a+b
Lời giải
Chọn C
Ta có: d b
a
b
x x b a
a
= = −
PP nhanh trắc nghiệm
Câu 2: Giá trị
1
1 ex+dx −
Ⓐ 1 e− . Ⓑ. e 1− Ⓒ.−e Ⓓ. e.
Lời giải
Chọn B
Ta có
1
1 ex+dx −
= 10 ex+
− = e 1−
PP nhanh trắc nghiệm
Câu 3: Tích phân
2020
0 d
I =x x
Ⓐ
2021 Ⓑ. Ⓒ.
1
2019 Ⓓ.
Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Bài 2: TÍCH PHÂN DÙNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT
.Phương pháp:
Nhận xét: Tích phân của hàm số từ a đến b kí hiệu hay Tích phân
đó phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số Chú ý:Học thuộc bảng nguyên hàm hàm sốcơ thường gặp
Dạng ①: Tích phân dùng định nghĩa
CHƯƠNG ③:
Full Chuyên
(19)St-bs: Duong Hung 19 Chọn A
Ta có
1
1 2021
2020
0
1 d
2021 2021 x
I =x x= =
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Biếtf x dx( ) =F x( )+C.Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?
Ⓐ b ( ) ( ) ( )
a
f x dx=F b −F a
Ⓑ. ( ) ( ) ( )
b
a
f x dx=F b F a
Ⓒ.b ( ) ( ) ( )
a
f x dx=F a −F b
Ⓓ. ( ) ( ) ( )
b
a
f x dx=F b +F a
Câu 2: Trong phép tính sau đây, phép tính sai?
Ⓐ ( )
2
2
1
1 d x x+ x= +x
Ⓑ. ( )
2
2 cos dx x sinx
=
Ⓒ. ( )
3
1
dx lnx x
−
− − −
=
Ⓓ. ( )
3
3 1
d
x x
e x= e
Câu 3: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm đoạn 1;3 , f ( )3 =5 ( )
1
d
f x x=
Khi f ( )1
Ⓐ −1 Ⓑ. 11 Ⓒ.1. Ⓓ. 10
Câu 4: F x( )là nguyên hàm hàm số f x( ) 32 (x 0)
x x
= + , biết F( )1 =1 Tính F( )3 . Ⓐ F( )3 =3ln 3+ Ⓑ. F( )3 =2 ln 2+ Ⓒ.F( )3 =2 ln 3+ Ⓓ. F( )3 =3
Câu 5: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm , f ( )− = −1 f ( )3 =2 Tính ( )
1
'
I f x dx
− =
Ⓐ I =4 Ⓑ. I =3 Ⓒ.I =0 Ⓓ. I = −4
Câu 6: Cho số thực a, b (ab) Nếu hàm số y= f x( ) có đạo hàm hàm liên tục Ⓐ ( )d = ( )− ( )
b
a
f x x f a f b Ⓑ. ( )d = ( )− ( )
b
a
f x x f b f a
Ⓒ. ( )d = ( )− ( ) b
a
f x x f a f b Ⓓ. ( )d = ( )− ( )
b
a
f x x f b f a
Câu 7: PT 1.2 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) Khi hiệu số F( )1 −F( )2
Ⓐ ( )
1
d −
f x x Ⓑ. ( )
1
2
d
F x x Ⓒ. ( )
2
1
d −
F x x Ⓓ. ( )
2
1
d f x x
Câu 8: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f( )x liên tục a b; , f b( )=5 ( )d b
a
f x x=
,
( ) f a
(20)St-bs: Duong Hung 20
Câu 9: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục 0;1 thoản mãn ( )
0
d
f x x= −
Giá trị biểu thức f ( )0 − f ( )1
Ⓐ −2 Ⓑ. Ⓒ.3 Ⓓ. −3
Câu 10: Cho hàm số =
y x có nguyên hàm F x( ) Khẳng định sau đúng?
Ⓐ F( )2 −F( )0 =16.Ⓑ. F( )2 −F( )0 =1 Ⓒ.F( )2 −F( )0 =8 Ⓓ. F( )2 −F( )0 =4
Câu 11: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn 1;3 thỏa mãn f ( )1 =2 f ( )3 =9 Tính ( )
3
1
d I = f x x
Ⓐ I =11 Ⓑ. I =2 Ⓒ.I =7 Ⓓ. I =18
Câu 12: Tính tích phân
0 d
2 x I
x =
+
Ⓐ 21
100
I = − Ⓑ. ln5
2
I = Ⓒ. log5
2
I = Ⓓ. 4581
5000
I =
Câu 13: Tính tích phân
1
d
I x
x =
−
Ⓐ I =ln 1− Ⓑ. I =ln Ⓒ.I =ln 1+ Ⓓ. I =ln 1−
Câu 14: Cho số thực a b a, ( b) Nếu hàm số y=F x( ) nguyên hàm hàm số y= f x( )
Ⓐ ( )d ( ) ( )
b
a
f x x=F a −F b
Ⓑ. ( )d ( ) ( )
b
a
F x x= f a − f b
Ⓒ. ( )d ( ) ( )
b
a
F x x= f a − f b
Ⓓ. ( )d ( ) ( )
b
a
f x x=F b −F a
Câu 15: Cho hàm số f x( ) liên tục tập , nguyên hàm f x( ) F x( ) thoả mãn ( )1
F = − F( )0 =1 Giá trị ( )
0
d
f x x
Ⓐ −4 Ⓑ. −3 Ⓒ.−2 Ⓓ.
Câu 16: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f ( )0 =1, f( )x liên tục ( )
0
d
f x x=
Giá trị ( )3
f
Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.10. Ⓓ.
Câu 17: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f ( )0 =1, f( )x liên tục ( )
0
d
f x x=
Giá trị ( )3
f
(21)St-bs: Duong Hung 21
Câu 18: Tích phân ( )
2
0
3 d
x x + x
Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.4
7 Ⓓ.
7
Câu 19:
2
1 dx 3x−2
Ⓐ ln Ⓑ. 2ln
3 Ⓒ.ln Ⓓ.
1 ln
Câu 20: Cho hai số thực , 0; a b
thỏa mãn
10 cos
b
a
dx
x =
Giá trị tana−tanb
Ⓐ 10 Ⓑ.
10
− Ⓒ.−10 Ⓓ.
10 BẢNG ĐÁP ÁN
1.A 2.C 3.A 4.C 5.A 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D
11.C 12.B 13 14.D 15.A 16.C 17.C 18.D 19.B 20.C
A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho biết ( )
0
d
f x x=
( )
2
0
d
g x x= −
Tính tích phân ( ) ( )
0
2 d
I = x+ f x − g x x
Ⓐ I =11 Ⓑ I =18 Ⓒ.I =5 Ⓓ I =3
Lời giải
Chọn A
Ta có ( ) ( )
0
2 d
I = x+ f x − g x x
( ) ( )
2 2
0 0
2 dx x f x dx g x xd
= + − = + −4 2.( )− =2 11
PP nhanh trắc nghiệm
.Phương pháp:
Giả sử cho hai hàm số liên tục ba số thuộc Khi ta có
①. ②.
③. ④.
⑤.
(22)St-bs: Duong Hung 22
Câu 2: Cho hàm số f x( ) liên tục có ( ) ( )
2
0
d 9; d
f x x= f x x=
Tính ( )
4
0 d
I = f x x?
Ⓐ
4
I = Ⓑ. I =36 Ⓒ.I =13 Ⓓ. I =5
Lời giải
Chọn C
Ta có ( ) ( ) ( )
4
0
d d d 13
f x x= f x x+ f x x= + =
PP nhanh trắc nghiệm
Câu 3: Cho ( )
0
d
f x x= −
( ( ))
5
1
2f x dx=6
( )
5
0
d
f x x
Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.4 Ⓓ.
Lời giải
Chọn A
( ( )) ( )
5
1
2f x dx= 6 f x dx=3
( ) ( ) ( )
5
0
d d d
f x x= f x x+ f x x= − + =
PP nhanh trắc nghiệm
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Nếu
Ⓐ Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.
Câu 2: Cho hai hàm số liên tục Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau
Ⓐ Ⓑ
Ⓒ. Ⓓ.
Câu 3: Cho hai hàm số liên tục Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau?
Ⓐ
Ⓑ.
Ⓒ.
( ) ( )
2
1
3,
f x dx= f x dx= −
( )
1
f x dx
2 −2
( ) ( ),
f x g x
( )d ( )d
b b
a a
f x x= f y y
( ( ) ( ))d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x −g x x= f x x− g x x
( )d a
a
f x x=
( ( ) ( ) )d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x g x x= f x x g x x
( ) ( ),
f x g x
( ) ( )
b b
a a
f x dx= f y dy
( ) ( )
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x −g x dx= f x dx− g x dx
( )
a
a f x dx=
(23)St-bs: Duong Hung 23
Ⓓ
Câu 4: Cho ,
Ⓐ Ⓑ Ⓒ. Ⓓ
Câu 5: Cho ,
Ⓐ Ⓑ Ⓒ. Ⓓ
Câu 6: Cho ,
Ⓐ Ⓑ Ⓒ. Ⓓ
Câu 7: Cho , Tính
Ⓐ Ⓑ Ⓒ. Ⓓ
Câu 8: Cho ,
Ⓐ Ⓑ Ⓒ. Ⓓ
Câu 9: Cho hàm số liên tục thỏa mãn Giá trị
Ⓐ Ⓑ Ⓒ. Ⓓ
Câu 10: Cho hàm số f x( ) liên tục tập thỏa mãn ( )
1
d
f x x=
, ( )
2
0
d
f x x= −
Giá trị biểu thức ( )
1
0
d
f x x
Ⓐ 8 Ⓑ −11 Ⓒ.−8 Ⓓ −2
Câu 11: Cho hàm số y= f x( ) liên tục Mệnh đề sau đúng?
Ⓐ 1 ( ) ( )
0
1
d d
2
f x x= f x x
Ⓑ ( ) ( )
1
1
d d
f x x f x x
−
=
Ⓒ.1 ( )
d
f x x −
=
Ⓓ ( ) ( )
1
0
d d
f x x= f −x x
Câu 12: Cho hàm số y= f x( )có đạo hàm liên tục đoạn 1; , biết f ( )4 =3,f ( )1 =1 Tính ( )
4
1
2 d
f x x
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx= f x dx g x dx
( ) d
f x x=
( )
0
d
g x x=
( ) ( )
0
2 d
f x g x x
+
− −8 12
( ) ( )
0
2 d 12
f x − g x x=
( )
0
d
g x x=
( )
0
d
f x x
− 12 22
( )
1
d
f x x
−
=
( )
1
d
g x x
−
= −
( ) ( )
1
1
d
f x g x x
− −
−
( )d 50 c
a
f x x=
( )d 20
c
b
f x x =
( )d
a
b
f x x
30
− 0 70 30
( )
0
d
f x x=
( )
0
d
g x x=
( ) ( )
0
2 d
f x − g x x
− 12 −8
( )
f x ( ) ( ) ( )
6 10
0 3
7, 8,
f x dx= f x dx= f x dx=
( ) 10
0
I = f x dx
5
(24)St-bs: Duong Hung 24
Ⓐ 10 Ⓑ 8 Ⓒ.4 Ⓓ 5
Câu 13: Cho hàm số f x( ) ( ),g x liên tục có ( ) ( )
1
3f x +2g x dx=1
; ( ) ( )
2f x −g x dx= −3
Tính ( )
1
0
2 d
f x+ x
Ⓐ
7 −
Ⓑ. 10
7
− Ⓒ.11
14 Ⓓ.
5 14 −
Câu 14: Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đề sau ?
Ⓐ Ⓑ
Ⓒ. Ⓓ
Câu 15: Biết ( )
2
d
f x x=
, ( )
5
2
d
g x x=
Tích phân ( ) ( )
5
2
d
f x +g x x
Ⓐ 10 Ⓑ 3 Ⓒ.6 Ⓓ 12
Câu 16: Cho
0
1
( ) ( )
f x dx f x dx
−
= =
Tính tích phân
3
1 ( ) f x dx −
?
Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.2 Ⓓ.
Câu 17: Cho
0
( )
f x dx= −
1
0
( )
g x dx= −
Khi
1
0
( ) ( )
f x + g x dx
Ⓐ −10 Ⓑ 12 Ⓒ.−17 Ⓓ 1
Câu 18: Cho
0
2
( )d 2, ( )d
f x x f x x
−
= =
Tích phân
2
2 ( )d f x x −
Ⓐ 4 Ⓑ 3 Ⓒ.6 Ⓓ 1
Câu 19: Cho ( )
1
d
f x x
−
= −
( )
4
0
d
f x x=
Khi đó, ( )
4
1
d
I f x x
−
=
Ⓐ I = −4 Ⓑ I =2 Ⓒ.I =4 Ⓓ I = −2 Câu 20: Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn 0;3
2
0
( )d
f x x=
,
2
3
( )d
f x x=
Tính
3
0 ( )d I = f x x
Ⓐ I =5 Ⓑ. I = −3 Ⓒ.I =3 Ⓓ. I =4
BẢNG ĐÁP ÁN
1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.C 7.A 8.C 9.B 10.C
11.D 12.C 13.D 14.B 15.D 16.B 17.C 18.A 19.B 20.B ( )
f x g x( ) a b;
( ) ( )d ( )d ( )d
b b
a b
a a
x f x x g
f x −g x = − x x
( ( ) ( ))d ( )d ( )d
b b
a b
a a
x f x x g
f x −g x = − x x
( ) ( )
( )d ( )d ( )d
b b
b
a a a
x f x x g x x
f x −g x = −
( ( ) ( ))d ( )d ( )d
b b
a b
a a
x f x x g
f x −g x = − x x
(25)St-bs: Duong Hung 25 -Phương pháp:
① Dạng 1:I (với a≠0)
Chú ý: I =
② Dạng 2: ( với ),é
• ,thì
•
thì I =
•
Đặt
③ Dạng 3: .( liên tục đoạn )
• Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm cho:
• Ta có I=
Tích phân =
Tích phân thuộc dạng
(26)
St-bs: Duong Hung 26 A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho biết 1 d ln 2 x
x a b
x
− = +
+
, với a,b số nguyên Giá trị biểu thức a−2b
Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.−5 Ⓓ.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
1
0
1
d d
2 x x x x x − = − + +
( )1
0 3ln
x x
= − +
(1 3ln 3) (0 3ln 2)
= − − − 3ln3
2
= −
Suy a b = = −
Vậy a−2b=7
PP nhanh trắc nghiệm Casio:
Bước 1: Tính tích phân lưu lại A
Bước 2: Rút A ln3
a= −b
Bước 3: Table nhập ( ) A ln3
f x = −x
với Start: −9, End: 9, Step:
Được cặp số x= −3 , f x( )=1 thỏa mãn Suy a=1,b= −3
Câu 2: Cho
( )
1
2
d
ln ln
x
a b c
x x
= + +
+
với a b c, , số hữu tỉ Giá trị a b c+ +
Ⓐ
12 Ⓑ.
5
12 Ⓒ.
1
− Ⓓ.
4
Lời giải
Chọn A
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 1
2 2
0 0
2 1
1 1
2
2
2
d d
d
1
x x
x x
x
x x x
x = + − = − +
+
+ + +
1
1 1 1
ln ln ln
0
4 x 2x 4
= + + = + − = −
+
Vậy 1
6 12
a b c+ + = − + =
PP nhanh trắc nghiệm
Đặt 1,
2 d 2dt t
t= x+ =x − x=
2
3
1 1 1
ln ln
1
4 4
t
I dt t
t t
−
= = + = −
Vậy:
12 a b c+ + =
Câu 3: Cho
2
1
d ln
9 24 16
x
x a b c
x x
− = +
− +
, với a b c, , số hữu tỷ Giá trị 9a+11b+22c
Ⓐ 15 Ⓑ. −10 Ⓒ.7 Ⓓ.
Lời giải
Chọn C
PP nhanh trắc nghiệm
(27)St-bs: Duong Hung 27 Ta có
( )
( )
( )
3 3
2
2
2 2
5 17
3
1 5 3 3
d d d
9 24 16 4
x
x x
x x x
x x x x
− − −
− −
= =
− + − −
( )
( ) ( )
( )
3 5
2
2 2
d d
5 d 17 d 17
3 3 4 9 3 4
x x
x x
x x x x
− −
= − − = − −
− − − −
5
2
5 17 17
ln ln
9 x 3x 11 22
= − − + = −
−
5 17
, ,
9 11 22
5 17
9 11 22 11 22 10
9 11 22
a b c
a b c
= = = −
+ + = + − = −
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Tìm số thực a0 thỏa mãn ( )
875 d
4 a
x − x x=
Ⓐ a= −4 Ⓑ. a= −5 Ⓒ.a= −6 Ⓓ. a= −3
Câu 2: Giá trị tích phân
1 d
2
x x+
1lnb
a c, Tổng a b c+ +
Ⓐ 18 Ⓑ. 14 Ⓒ.16. Ⓓ. 10
Câu 3: Giả sử
5
1
ln(b 1)
dx a
x− = + +
, với a b, số nguyên không âm Tính T = +a b?
Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.-1. Ⓓ.
Câu 4: Biết
0
d ln ln
x
x a b c
x
− = + +
+
(a b c, , số nguyên) Giá trị a b c+ −
Ⓐ Ⓑ. −4 Ⓒ.3 Ⓓ. −1
Câu 5: Cho biết ( )
0
4 sinx dx a b
− = +
, với a b, số nguyên Giá trị biểu thức a b+
Ⓐ −4 Ⓑ. Ⓒ.1 Ⓓ.
Câu 6: Cho
2
0
cos d b
I x x
a c
= = + , với a, b, c sốnguyên dương, b
c tối giản Tính P= + +a b c
Ⓐ P=15 Ⓑ. P=23 Ⓒ.P=24 Ⓓ. P=25
Câu 7: Cho
( )
1
3
2
d ln
1
x x
x a b
x
+ = +
+
với a, b số hữu tỷ Giá trị 16a b+
(28)St-bs: Duong Hung 28
Câu 8: Cho
2
2 ln2 ln3 ln5, ( , , )
3
x dx a b c a b c x x
+ = + +
+ +
Giá trị a b c+ +
Ⓐ -1 Ⓑ. Ⓒ.1 Ⓓ.
Câu 9: Với a b, tham số thực Giá trị tích phân ( )
3 d
b
x − ax− x
Ⓐ
b −b a b− Ⓑ. b3+b a b2 + Ⓒ.b3−ba2−b Ⓓ. 3b2−2ab−1
Câu 10: Cho
0 1d ln x
I x a b
x
= = −
+
với a b, số nguyên dương Giá trị a b+
Ⓐ 3 Ⓑ 4 Ⓒ.5 Ⓓ 6
Câu 11: Có số thực a(0; 2π cho ( )
2
0
1
cos d
2
ax x
a = +
Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.3 Ⓓ.
Câu 12: Cho
2
3
ln ln ln
3
x
dx a b c
x x
+
= + +
+ +
, với a, b, c số nguyên Giá trị a b c+ +
Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.3 Ⓓ.
Câu 13: Cho
( )
1
2
d ln ln
2 x
x a b c
x+ = + +
với a b c, , số hữu tỷ Giá trị 6a b c+ +
Ⓐ Ⓑ. −2 Ⓒ.2 Ⓓ.
Câu 14: Biết
1
d ln
x
I x a b c
x +
= = + , với a, b, c , c9 Tính tổng S= + +a b c
Ⓐ S =7 Ⓑ. S =5 Ⓒ.S=8 Ⓓ. S =6
Câu 15: Cho
2
1
10
d ln
1
x a
x x
x b b
+ = +
+
với a b, Tính P= +a b?
Ⓐ P=1 Ⓑ. P=5 Ⓒ.P=7 Ⓓ. P=2
Câu 16: Giả sử
2
2
1
d ln ln
x
x a b
x x
− = +
+ +
;a b Q, Tính P=a2−2b
Ⓐ P=10 Ⓑ. P=8 Ⓒ.P=3 Ⓓ. P=1
Câu 17: Cho
( )
1
2
d
ln ln
x x
a b c
x+ = + +
với a b c, , số hữu tỷ Giá trị 3a b c+ + bằng:
Ⓐ −2 Ⓑ. Ⓒ.1 Ⓓ. −1
Câu 18: Cho
( )
4
2
1 1
d ln
2
a x
x x+ = b −c
, với a b c, , số hữu tỷ Giá trị a b c+ −
Ⓐ Ⓑ. −5 Ⓒ.14 Ⓓ.
BẢNG ĐÁP ÁN
(29)St-bs: Duong Hung 29
11.A 12.B 13.B 14.A 15.B 16.A 17.D 18.B
Hướng dẫn giải
Câu 1:
Ta có ( )
6 d a
x − x x
1 a x x = − 11 4 a a = − +
Từ giả thiết ta có phương trình:
4
2 11 875
4 4
a a
− + =
12 864
a a − − = 2 36 24 a a = = −
Do a0 nên a= −6
Câu 2:
Ta có ( ) ( )
2
2
1
d
d 1
ln ln
2 2 2
x x x x x + = = + = + +
Vậy a b c+ + = + + =2 18
Câu 3: Ta có 5 1 1
ln (ln ln1) ln ln(2 1)
2 2
dx
x
x− = − = − = = +
Vậy a=0,b= + =2 a b
Câu 4:
Ta có: 2 d x x x − + d x x = − + =( )
2x−3ln x+1 3ln3 3ln 3ln 2
= − = − + +
Do đó: a= −3, b=3, c=1 Vậy a b c+ − = −1
Câu 5:
Ta có 2 2
0
0 0
(4 sin )dx x dx sin dx x 4x cosx
− = − = + = −
Suy 2 1 a a b b = + = − = = − Câu 6:
0
cos d
I x x
=
0
1 cos d x x + = ( )
1 cos d
2 x x
= + 1sin
2 x x = + 16 = + 16 a
= , b=1, c=8
Vậy P= + + = + + =a b c 16 25
(30)St-bs: Duong Hung 30 Ta có
( )
( )
( ) ( )
( )
2
1 1
1
3
0 0
0
1 1
2
d d d d ln ln
1
1
x x
x x
x x x x x x
x
x x
− −
+ − +
+
= = − + = + − = − +
+ −
+ +
Vậy
a= − ; b=1 16a b+ = −5
Câu 8:
Ta có: + = − = + − + = − −
+ +
+ +
3 3 3 31 13
1 1
2 3ln 2 ln 1 3ln5 3ln3 ln2
2
3
x dx dx dx x x
x x
x x
Vậy: a= −1;b= −3;c= + + = −3 a b c
Câu 9:
( ) ( )
0
3 d
b b
x − ax− x= x −ax −x =b −ab −b
Câu 10:
Ta có: 1 ( )
0
1
d d x ln 1 ln
0
1
x
I x x x
x x
= = − = − + = −
+ +
Vậy: a=1, b= + =2 a b
Câu 11: Ta có: ( ) ( ) ( )
1 1
2
0 0
1 cos cos
cos d d d d
2 2
ax ax
ax x = + x = x+ x
Mà
0
1
d x =
( ) ( ) ( )
1 1
0
cos 1
d sin sin
2 4
ax
x ax a
a a
= =
( ) ( )
1
0
1
cos d sin
2
ax x a
a
= +
Theo đề ta có: ( )
2
1
cos d
2
ax x
a = +
Nên sin 2( )a =1 π 2π π π,( )
2
a k a k k
= + = +
Do (0; π π 2π 0;1
4 4
a +k − k k Với π
4 k = =a Với 5π
4 k = =a
Vậy có giá trị a(0; 2π thỏa mãn đề
(31)St-bs: Duong Hung 31
( )( )
( )
3 3
2
1 1
3
3 2
3
2 ln ln 2 ln ln ln
x x
dx dx dx dx
x x x x x x
x x + + = = − + + + + + + = + − + = + −
Suy a=2 , b=1 , c= −1 Nên a b c+ + = + − =2 1
Câu 13: Ta có
( ) ( )
1
1
2
0 0
1 2
d d ln ln ln
2
2
x
x x x
x x x x = − = + + = − − + + + + +
Suy 1, 1,
a= − b= − c=
Vậy 6a b c+ + = −2
Câu 14: Ta có d x I x x + = dx x = +
( ln )3
1
x x
= + = +2 2ln
Mà I = +a blnc, với a, b, c , c9 Suy a=2, b=2, c=3 Vậy S= + + =a b c
Câu 15: Ta có
2 2
2 2
1 1
1 1
d d d
1 1
x x
x x x x x x
x x x
+ − + = + = + − + + +
10 10 10
ln ln ln ln ln
3 3
x a x x b b = + − + = + − = + = +
Suy a=2;b=3 Vậy a+ =b
Câu 16:
Ta có
2
2
2 0
0
1
d d ln ln
4 3
− = − + = − + + +
+ + + +
x x x x x
x x x x =2ln5 3ln3−
2 a
= , b= −3 Vậy
2 10
P=a − b=
Câu 17:
( ) ( )
1
1 1
1
2 0
0
0 0
d d d 1
2 ln 2 ln ln
2
2
x x x x
x x x x x − = − = + − = − − + + + + +
1; 1; 1 3 1
3
a b c a b c
= − = − = + + = −
Câu 18: Ta có:
( ) ( )( )
2
1
1
2
A Bx C
Ax Bx C x
x x x x
+
= + + + +
+ +
(32)St-bs: Duong Hung 32
( ) ( )
4
2
3
1
4 1
0
1 1 4 2
2 d d
4
2
1 A
A B x
B C B x x
x x x x
C
C =
+ =
− +
+ = = − = +
+ +
=
=
Khi ta có:
( )
4
4 4
2
3 3 3
1
1 4 2 d d d d
ln
4 4
x
x x x x
x
x x x x x x x
− +
+
+ = − + = −
+ +
(33)St-bs: Duong Hung 33
FB: Duong Hung
Bài 3: TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
.Phương pháp: Cho hàm số liên tục đoạn Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục đoạn Giả sử viết với liên tục đoạn Khi đó, ta có
Để tính tích phân: ta thực bước: Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt .Bước Thực phép đổi cận:
Với ; (Ghi Nhớ : đổi biến phải đổi cận)
. Bước Đưa dạng đơn giản dễtính
Dấu hiệu nhận biết cách đặt.
Dấu hiệu Có thể đặt Có
Có ngoặc Có mũ
Có hoặc biểu thức chứa Có hoặc biểu thức chứa Có
Có Có
Có
Có mẫu: mẫu
Dạng ①: Phương pháp tích phân cách đổi biến số cơ bản
CHƯƠNG ③:
Full Chuyên
(34)St-bs: Duong Hung 34 A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Tính tích phân
2
0
(1 )
I =x +x dx
Ⓐ 16
5
I = Ⓑ. 31
10
I = Ⓒ.
10
I = Ⓓ
10 I = −
Lời giải ChọnB
Đặt
1
t = +x dt= xdx
Đổi cận x= =0 t 1;x= =1 t Nên
2
1
31
2 10
t
I = dt=
PP nhanh trắc nghiệm
Casio:
Câu 2: Tính tích phân
2
1
2
I = x x − dx cách đặt u=x2−1, mệnh đềnào đúng?
Ⓐ
0
I = udu Ⓑ.
2
1
I = udu
Ⓒ.
I = udu Ⓓ.
2
1
I = udu
Lời giải
Chọn C
2
1
2
I = x x − dx
Đặt
1
u=x − du= xdx
Đổi cận x= =1 u 0;x= =2 u Nên
3
0
I = udu
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: xét hiệu
Câu 3: Tính tích phân
Ⓐ Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
0
cos sin
I x xdx
=
PP nhanh trắc nghiệm
Sử dụng máy tính, tính tích phân hàm lượng giác phải chuyển vềđơn vị radian
3
0
cos sin d
I x x x
= 4
I = − I = −4 I =0
(35)St-bs: Duong Hung 35 Đặt t=cosx = −dt sinxdx − =dt sinxdx
Đổi cận: với x= =0 t 1;vớix= = − t
Vậy ( )
1
1 4
3
1 1
1
0
4 4
t
I t dt t dt
−
− −
−
= − = = = − =
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Cho tích phân ( )
5
0
1 d
I =x −x x Mệnh đề đúng?
Ⓐ ( )
0
1
1 d
I t t t
− = − − Ⓑ. ( ) d
I t t t
−
= − −
Ⓒ. 5( )
0
1 d
I =t −t t Ⓓ. ( )
0
6
1
d
I t t t
−
= − − Câu 2: Cho
4
0
1 d
I =x + x x u= 2x+1 Mệnh đề sai?
Ⓐ
3
1
2
u u
I = −
Ⓑ. ( )
3 2
1
1 d
I =u u − u
Ⓒ. 2( )
1
1 d
I = x x − x Ⓓ. ( )
3 2 1 d
I = u u − u
Câu 3: Tính 2 d x K x x = −
Ⓐ K =ln Ⓑ. 1ln8
2
K = Ⓒ. K =2 ln Ⓓ. ln
3
K =
Câu 4: Tích phân
cos x.sinx dx
Ⓐ
2
− Ⓑ.
3 Ⓒ.
2
− Ⓓ.3
2 Câu 5: Cho
2
1
2 1d
I = x x − x u=x2−1 Mệnh đề sai?
Ⓐ
0 d
I = u u Ⓑ. 27
3
I = Ⓒ.
2
1 d
I = u u Ⓓ.
3 2
3
I =
Câu 6: Cho
3 2 cot d sin x I x x
= u=cotx Mệnh đề
Ⓐ
4 d
I u u
= Ⓑ. d
I =u u Ⓒ.
1
0 d
I = −u u Ⓓ.
1
0 d I =u u Câu 7: Cho ( )
ln ln 1 x x x e e I dx e + = −
(36)St-bs: Duong Hung 36
Ⓐ 4( )
1
2
I = t + dt Ⓑ.
ln
ln
( 2)
I = t + dt
Ⓒ. 2( )
1
2
I = t + dt Ⓓ. ( )
4
1 I = t + dt Câu 8: Cho
4
0
1 d
I =x + x x u= 2x+1 Mệnh đề sai?
Ⓐ
3
1
2
u u
I = −
Ⓑ. ( )
3 2
1
1 d
I =u u − u
Ⓒ. 2( )
1
1 d
I = x x − x Ⓓ. ( )
3 2 1 d
I = u u − u
Câu 9: Tính 2 d x K x x = −
Ⓐ K =ln Ⓑ. 1ln8
2
K = Ⓒ. K =2 ln Ⓓ. ln
3
K =
Câu 10: Cho
3 2 cot d sin x I x x
= u=cotx Mệnh đề
Ⓐ
4 d
I u u
= Ⓑ. d
I =u u Ⓒ.
1
0 d
I = −u u Ⓓ.
1
0 d I =u u Câu 11: Cho ( )
ln ln 1 x x x e e I dx e + = −
Đặt t= ex−1 Chọn mệnh đề
Ⓐ ( )
4
1
2
I = t + dt Ⓑ.
ln
ln
( 2)
I = t + dt
Ⓒ. ( )
2
1
2
I = t + dt Ⓓ. ( )
4
1 I = t + dt Câu 12: Cho
3
2
0
sin cos d
I x x x
= , khẳng định sau đúng?
Ⓐ 1
3 I Ⓑ.
1
3 I
Ⓒ.
2 I Ⓓ.
1 3 I Câu 13: Cho
1 d x I x m = +
, m số thực dương Tìm tất giá trị m để I1
Ⓐ
4 m
Ⓑ.
4
m Ⓒ. m0 Ⓓ.1
8 m Câu 14: Cho tích phân
2
2
0
16 d
I = −x x x=4sint Mệnh đề sau đúng?
Ⓐ 4( )
0
8 cos d
I t t
= + Ⓑ.
4
0 16 sin d
I t t
(37)St-bs: Duong Hung 37
Ⓒ. 4( )
0
8 cos d
I t t
= − Ⓓ.
4
0
16 cos d
I t t
= −
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C 2.B 3.B 4.B 5.C 6.B 7.C 8.B 9.B 10.B
11.C 12.B 13.A 14.A
A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho biết
2
0
1 d
x x + x
= a 1b− với a, b số tự nhiên Giá trị a2−b2
Ⓐ −5 Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.7
Lời giải
Chọn A
Đặt
x + =t x2+ =1 t2x xd =t td Ta có x=0 =t 1, x=1 =t Khi đó:
1
0
1 d
x x + x
2
1 d
t t
=
2
1 t
= 2
3 −
= =a 2, b=3
Vậy 2
a −b = −
PP nhanh trắc nghiệm
Tính tích phân lưu lại A
Rút
A a
b= −
table ( ) A x
f x = − với Start: 0, End: 18, Step:
Được cặp số x=2 , f x( )=3 thỏa mãn Suy a=2,b=3
Câu 2: Cho
( )
e
2
ln
d ln ln
ln x
x a b c
x x+ = + +
với a, b, c số hữu tỷ Giá trị 3a b c+ +
Ⓐ −2 Ⓑ. −1 Ⓒ. Ⓓ.1
-Phương pháp:
Để tính tích phân: ta thực bước:
Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt
.Bước Thực phép đổi cận:
Với ;
.Bước Đưa dạng đơn giản dễtính
(38)St-bs: Duong Hung 38
Lời giải
Chọn B
Đặt t lnx dt 1dx x
= =
Đổi cận: x= =1 t 0; x= =e t Khi đó:
( ) ( )
e
2
1
ln
d d
ln 2
x t
I x t
x x t
= =
+ +
( ) ( )
1
2
0
2 2
d d
2
2
t
t t
t
t t
+ −
= = −
+
+ +
1
0
1
ln 2 ln ln
2
t
t
= + + = − − +
+
Suy ra:
a= − ; b= −1; c=1 Do đó: 3a b c+ + = −1
PP nhanh trắc nghiệm
Câu 3: Biết ln
0 e
d ln ln
1 e
x
x x= +a b +c
+ +
với a, b, c số nguyên Tính T= + +a b c
Ⓐ T = −1 Ⓑ. T=0 Ⓒ. T =2 Ⓓ.T =1
Lời giải
Chọn B
Xét ln
0 e
d
1 e
x
x
I = x
+ +
Đặt t= ex+3 = +t2 ex dt t e dx x
=
Đổi cận x= =0 t 2, x=ln 6 =t Khi
3
2
d t
I t
t =
+
2
2
2 d
1 t t
= − +
( )3
2 2t lnt
= − +
2 4ln 2ln
= − +
Suy a=2, b= −4, c=2 nên T = + + =a b c
PP nhanh trắc nghiệm
(39)St-bs: Duong Hung 39
Câu 1: Tính tích phân d x I x x = +
ta kết I =aln 3+bln Giá trị S =a2+ab+3b2
Ⓐ Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.5
Câu 2: Cho
( )2
1 ln
ln ln ln
e
x c
I dx a b
x x
= = + +
+
, với a b c, , Khẳng định sau đâu
Ⓐ 2
1
a + +b c = Ⓑ. a2+b2+c2 =11 Ⓒ. a2+b2+c2 =9 Ⓓ.a2+ +b2 c2 =3
Câu 3: Cho
2
2
d ln ln
3 2
x
x a b c
x x
+ = +
− −
, với a b c, , số hữu tỷ Giá trị 5a+15b−11c
Ⓐ −12 Ⓑ. −15 Ⓒ. 14 Ⓓ.9
Câu 4: Biết
2
d
ln ln ln x
I a b c
x x
= = + +
+
, a b c, , Tính giá trị T= + +a b c
Ⓐ T =2 Ⓑ. T =3 Ⓒ. T = −1 Ⓓ.T=5
Câu 5: Giả sử tích phân ( )
1
d ln ln , ,
1
I x a b c a b c
x
= = + +
+ +
Khi đó:
Ⓐ
3
a+ + =b c Ⓑ.
3
a+ + =b c Ⓒ.
3
a+ + =b c Ⓓ.
3 a+ + =b c
Câu 6: Cho
0
2 tan
d 2,
1 cos x
x a b
x
+ = +
+
với a b, Tính giá trị biểu thức A= +a b
Ⓐ
3 Ⓑ.
7
12 Ⓒ.
2
3 Ⓓ.
4
Câu 7: Cho
( )
e
2
ln
d ln ln
ln x
x a b c
x x
= + +
+
với a, b, c số hữu tỷ Giá trị 3a b c+ +
Ⓐ −2 Ⓑ. −1 Ⓒ. Ⓓ.1
Câu 8: Cho
( )
3
2
ln
d ln ln
x a
x c
b
x+ = −
với a b c, , * phân số a
b tối giản Giá trị a b c+ +
Ⓐ Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.9
Câu 9: Biết ln
0 e
d ln ln
1 e
x
x x= +a b +c
+ +
với a, b, c số nguyên Tính T= + +a b c
Ⓐ T = −1 Ⓑ. T=0 Ⓒ. T =2 Ⓓ.T =1
Câu 10: Cho biết e ln d 3 x a x b x + = +
, với a,b số nguyên Giá trị biểu thức log2
2b + a
Ⓐ -1 Ⓑ.
2 Ⓒ. Ⓓ.6
Câu 11: Cho biết
2
0
1 d
x x + x
(40)St-bs: Duong Hung 40
Ⓐ −5 Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.7
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.A 7.B 8.A 9.B 10.C 11.A
A - Bài tập minh họa:
Câu : Biết f x( )là hàm liên tục ( )
0
d
f x x=
Khi giá trị ( )
1
3 d
f x− x
Ⓐ Ⓑ. 27 Ⓒ. Ⓓ.24
Lời giải
Chọn C
Đặt u=3x−3, suy du=3dx
Đổi cận: x=1 u=0; x=4 u=9 Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
4 9
1 0
1 1
3 d d d d
3 3
f x− x= f u u= f u u= f x x= =
Vậy ( )
1
3 d
f x− x=
PP nhanh trắc nghiệm
Nếu có ( ) m
n
M
f x dx=
( ) ;
,
f x b dx
n a b m a b
M a
a
+ =
= + = +
Áp dụng:
9 3 =
Câu 2: Cho hàm số f x( ) liên tục R thỏa mãn f x( 3+2x− =2) 3x−1 với x R Tính
tích phân 10
1 ( ) I = f x dx
-Phương pháp:
Tính tích phân .Giả sử được viết dưới dạng
,trong hàm số có đạo hàm , hàm số y=f(u) liên tục cho hàm
hợp xác định hai số thuộc
Khi đó
Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay
cho Như vậy tích phân khơng phụ thuộc vào biến tức
(41)
St-bs: Duong Hung 41
Ⓐ 151
4 Ⓑ. 27 Ⓒ.
121
4 Ⓓ.
105
Lời giải
Chọn A
Đặt ( )
2
x= + − t t dx= t + t dt,
Đổi cận :
3
3
1
10 12
x t t t
x t t t
= + = =
= + = =
Ta có ( ) ( )( )
2
3 2
1
( 2) 3
I =f t + −t t + t dt= t− t + t dt
( )
2
3
1
9t 3t 2t dt
= + −
2
3
1
9 151
4
t
t t
= + − =
PP nhanh trắc nghiệm
Câu 3: Cho Cho hàm số f x( ) liên tục R thỏa mãn 2021
0
( ) f x dx=
Tính tích phân
( )
2021 1
2
0
ln( 1)
e
x
I f x dx
x −
= +
+
Ⓐ Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.−3
Lời giải
Chọn C
Đặt ( )
2
2
ln
1
x x
t x dt dx dx dt
x x
= + = =
+ + ,
Đổi cận :
2021
0
1 2021
x t
x e t
= =
= − =
Ta có
2021 2021
0
1 1
( ) ( )
2 2
I = f t dt= f x dx= =
PP nhanh trắc nghiệm
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Cho ( ) f x dx=4
, ( )
0 f 2x+1 dx
Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.
2 Ⓓ.
3
Câu 2: Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn ( )
1
d
f x x=
Tính
( )
1
0
2 d
I =f x+ + x+ x
(42)St-bs: Duong Hung 42
Câu 3: Cho ( )
4
d 10
f x x=
Tính tích phân ( )
0
5 d
J = f x+ x
Ⓐ J =2 Ⓑ. J =10 Ⓒ. J =50 Ⓓ.J =4
Câu 4: Cho hàm số f x( ) liên tục ( )
2
d 10
f x x=
Tính ( )
3
1
3 d
I = f x− x
Ⓐ 30 Ⓑ. 10 Ⓒ. 20 Ⓓ.5
Câu 5: Cho f x( ) hàm số chẵn, liên tục Biết ( )
1
d
f x x −
=
( )
3
1
2 d
f x x=
Tính
tích phân ( )
1 d f x x −
Ⓐ 14 Ⓑ. 11 Ⓒ. Ⓓ.2
Câu 6: Cho
0
( )d 2018
f x x=
Tính tích phân
2
0
(2 ) (4 ) d
I = f x + f − x x
Ⓐ I =0 Ⓑ. I =2018 Ⓒ. I =4036 Ⓓ.I =1009
Câu 7: Biết ( )
1
5
f x dx=
( )
5
4
20
f x dx=
Tính ( ) ( )
2 ln
2
1
4 x x
f x− dx− f e e dx
Ⓐ 15
4
I = Ⓑ. I =15 Ⓒ.
2
I = Ⓓ.I =25
Câu 8: Cho
0
2018
f x dx Tính tích phân
2
0
(2 ) (4 )
I f x f x dx
Ⓐ I Ⓑ. I 2018 Ⓒ. I 4036 Ⓓ.I 1009
Câu 9: Giả sử hàm số f x( ) liên tục đoạn 0; thỏa mãn ( )
0
d
f x x=
Tính tích phân
( )
2
0
2sin cos d
I f x x x
=
Ⓐ Ⓑ. −3 Ⓒ. Ⓓ.−6
Câu 10: Cho ( )
1
d
I = f t t= Tính tích phân ( )
1
0
3 d
J = f x+ x
Ⓐ Ⓑ. 27 Ⓒ. Ⓓ.1
Câu 11: Cho ( )
0
d 2019
f x x=
Giá trị ( )
0
cos sin d
I f x x x
=
Ⓐ 2019
4 Ⓑ.
2019
− Ⓒ. 4038 Ⓓ.2019
2
Câu 12: Cho tích phân ( )
0
d 32
I = f x x= Tính tích phân ( )
0
2 d
J = f x x
(43)St-bs: Duong Hung 43 Câu 13 ho hàm số f x liên tục có ( )
1
0
2f x dx=2
( )
2
0
1 d
f x+ x=
Tính ( )
3
0
d
I = f x x
Ⓐ I = Ⓑ. I = Ⓒ. I = Ⓓ.I =
Câu 14: Cho hàm số f x( ) liên tục ( )
0
d 2018
f x x
=
Tính ( )2
0
d
I xf x x
=
Ⓐ I =1008 Ⓑ. I =2019 Ⓒ. I =2017 Ⓓ.I =1009
Câu 15: Cho hàm số f x( ) liên tục có ( ) ( )
1
0
d 2; d
f x x= f x x=
Tính ( )
1
1
I f 2x dx −
= −
Ⓐ I =6 Ⓑ.
3
I = Ⓒ. I =5 Ⓓ.
2 I =
Câu 16: Cho ( )
1
d
f x x=
Khi ( )
4
1
d
f x
I x
x
=
Ⓐ Ⓑ.
2 Ⓒ. Ⓓ.2
Câu 17: Cho ( )
3
1 d 10
f x+ x=
Tính ( )
1
0
5 d
J = f x+ x
Ⓐ J =4 Ⓑ. J =10 Ⓒ. J =50 Ⓓ.J =2
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B 2.B 3.A 4.D 5.A 6.B 7.A 8.B 9.A 10.C
(44)St-bs: Duong Hung 44
FB: Duong Hung
Bài 5: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
.Định lí:
Nếu hàm sốcó đạo hàm liên tục thì:
Hay
.Phương pháp chung:
• Bước 1:Viết dạng cách chọn phần thích hợp làm phần cịn lại
• Bước 2:Tính
• Bước 3:Tính
.Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần Đặt u theo thứ tựưu tiên:
Lô-đa-lượng-mũ
u P(x) lnx P(x)
dv P(x)dx cosxdx cosxdx
.Chú ý:Nên chọn phần mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn phần vi phân hàm sốđã biết có ngun hàm dễ tìm
Dạng ①: Phương pháp tính phân phần bản
① Loại 1:
.Phương pháp:
Đặt:
Dạng ①: Tích phân chứa đa thức với lượng giác mũ
CHƯƠNG ③:
Full Chuyên
(45)St-bs: Duong Hung 45 A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Tính tích phân
1 = x
I xe dx
Ⓐ. =
I e Ⓑ I = −e2 Ⓒ I =e Ⓓ
3
= −
I e e
Lời giải Chọn A
Đặt = =
= =
x x
u x du dx
dv e dx v e
( )
2
2 2
1
1
2 2
2
x x x x
I xe dx xe e dx e e e
e e e e e
= = − = − −
= − − − =
PP nhanh trắc nghiệm
Tính tích phân
+ Kiểm tra đáp án:
2
A e− = (đúng)
Câu 2: Tính tích phân
2
0
( 2) x
I = x− e dx
Ⓐ.
4 e
I = − Ⓑ.
2
4 e
I= − Ⓒ.
2
4 e
I = − Ⓓ.
2
4 e
I = −
Lời giải ChọnB
Đặt 22 2
2 x x
du dx
u x
v e
dv e dx
= = −
= =
(chọn C =0)
1
2
0
1
( 2)
2
x x e
I x e e dx −
= − − =
PP nhanh trắc nghiệm
Tính tích phân:
+Kiểm tra đáp án:
Câu 3: Tích phân ( )
3x cos x xd
+
Ⓐ.
4 − Ⓑ.
4 + Ⓒ.
4 + Ⓓ.
(46)St-bs: Duong Hung 46
Lời giải ChọnB
Đặt ( )
0
3 cos d
I x x x
= + Ta có:
( )( )
0
3 cos d
2 x x x
= + +
( ) ( ) ( 2)
0
1
3 d cos d
2 x x x x x I I
= + + + = +
1 ( )
0
3 d
I x x
= + = 2
0
3
2
2x x
+ = +
2 ( )
0
3 cos d
I x x x
= + Dùng tích phân phần Đặt
d 3d
3
1
d cos d sin
2
u x
u x
v x x v x
= = +
= =
Khi
( )
2
0
1
3 sin sin d
2
I x x x x
= + −
( )
0
0 cos
4 x
= + =
Vậy 3
2
2
I = + = +
PP nhanh trắc nghiệm
Tính tích phân:
Kiểm tra đáp án:
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Xét tích phân
2
0
(2 4) x
I = x − e dx Nếu đặt 2
2 4, ' x
u= x − v =e , ta tích phân:
1
0
( ) x
I = x − xe dx, đó:
Ⓐ. 2
( )x (x 2)e x
= − Ⓑ. 2 ( )x (2x 4)e x
= − Ⓒ. ( )x (x 2)ex
= − Ⓓ.
1
( ) (2 4)
x
x x e
= −
Câu 2: Tính tích phân
I x cos xdx
= Ⓐ. I
2
= Ⓑ. I
2
= + Ⓒ. I
3
= Ⓓ. I
3 = −
Câu 3: Tính
x
0 xe dx
Ⓐ. e Ⓑ. e 1− Ⓒ. 1 Ⓓ. 1e
(47)St-bs: Duong Hung 47
Câu 4:
0
L x sin xdx
=
Ⓐ. L= Ⓑ. L= −2 Ⓒ. L=0 Ⓓ. L= −
Câu 5: ( )
0
x cos 2xdx
+
Ⓐ. Ⓑ.
4
− Ⓒ.
4 Ⓓ.
1
Câu 6: 4
0
xcos2xdx
Ⓐ.
8 −
Ⓑ.
4 −
Ⓒ.
2
− Ⓓ.
2 −
Câu 7: Tính tích phân
3
0
( 1) x
I = x+ e dx
Ⓐ.
9
I = e − Ⓑ.
9
I = − e Ⓒ.
9
I = e − Ⓓ.
9
I = e +
Câu 8: Tính tích phân
1
0 x I =xe− dx
Ⓐ. Ⓑ. e−2 Ⓒ. 1−e Ⓓ. −1
Câu 9: Tính tích phân
3
0
( 1) x
I = x+ e dx
Ⓐ.
9
I = e − Ⓑ.
9
I = − e Ⓒ.
9
I = e − Ⓓ.
9
I = e +
Câu 10: Tính tích phân
1
0 x I =xe− dx
Ⓐ. 1 Ⓑ. e−2 Ⓒ. 1−e Ⓓ. −1
BẢNG ĐÁP ÁN
(48)St-bs: Duong Hung 48
A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Tích phân e
1
x ln xdx
Ⓐ. e2
4 +4 Ⓑ.
2 e
1
4 − Ⓒ.
2 e
4 −
Ⓓ.
2 e
2−
Lời giải
Chọn D
e e 2
e e
1
1
x x x x e
x ln xdx ln x dx ( ln x)
2 4
+
= − = − + =
PP nhanh trắc nghiệm
Casio:
Câu 2: Tính tích phân ( ) ( )
4
1 ln d
I = x+ x− x?
Ⓐ. 10ln Ⓑ. 10 ln 19
+ Ⓒ. 19 10 ln
4 − Ⓓ.
19 10 ln
4
−
Lời giải
Chọn D
Đặt ( )
2
d d
ln 3
1
d
2
u x
u x x
v x
v x x
=
= −
−
= +
= +
( )
2
4
1 2
ln d
4
2
x x
I x x x x
x +
= + − −
−
5
4
35 9 3
ln
2 3
x x
dx dx
x x
− + − +
= − −
− −
( )
35
ln ln 3ln
2 2
= − + + − +
PP nhanh trắc nghiệm
Casio:
Kiểm tra đáp án: ② Loại 2:
-Phương pháp:
.Đặt:
(49)St-bs: Duong Hung 49 19
10 ln
= −
Câu 3:Tính
ln d
e
x x x
Ⓐ. 3+1 e
. Ⓑ. 3−1
9 e
. Ⓒ. 3−2
9 e
. Ⓓ. 3+2
9 e
Lời giải ChọnA
= = = = = − = − − + = − =
3 3
1 1 3 ln
1 1
ln
3 3
1
3 9
e e e
du dx
u x x
dv x dx
v x
I x x x dx e x
e e
e
PP nhanh trắc nghiệm
Casio
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Tính tích phân
( 2) ln e
I = x+ xdx
Ⓐ
2
I = Ⓑ
2 2 e
I = − Ⓒ
2 e
I = + Ⓓ.
2 e
I = −
Câu Nếu đặt (ln )
2
u x
dv x dx
=
= +
tích phân 1( ) ln e
I = x+ xdx trở thành
Ⓐ. ( ) ( )
1
1 e e
I = x +x − x+ dx Ⓑ. ( )
1
ln
e e
I =x x − x+ dx
Ⓒ. 1 ln e e
I = x x +xdx Ⓓ. ( ) ( )
1
ln
e e
I = x +x x + x+ dx
Câu 3: Tính tích phân ( )
0
ln
J =x x+ dx
Ⓐ.
ln 3
J = Ⓑ. 5ln
3
J = Ⓒ. 2ln
3
J = Ⓓ. 3ln
4
J =
Câu 4: Tính tích phân ( ) ( )
4
1 ln d
I = x+ x− x?
Ⓐ. 10ln Ⓑ. 10 ln 19
+ Ⓒ. 19 10 ln
4 − Ⓓ.
19 10 ln
4 −
Câu 5: Tích Phân
2
2
ln( )
= −
(50)St-bs: Duong Hung 50
Ⓐ. 3ln 3 Ⓑ. ln Ⓒ. 3ln 2− Ⓓ. 3ln 3−
Câu 6: Tích phân
2
ln = x
I dx
x
Ⓐ. 1( )
1 ln
2 + Ⓑ. ( )
1
1 ln
2 − Ⓒ. ( )
1
ln
2 − Ⓓ. ( )
1
1 ln
4 +
Câu 7: Cho a −b Tích phân ln( d) b
a
I = x+ x biểu thức sau đây? Ⓐ. ( ln) ( 1)b
a
I = x+ x+ − +a b Ⓑ. ( ln) ( 1)b
a
I = x+ x+ − +b a
Ⓒ.
( 11) b
a I
x =
+ Ⓓ. ln( 1) 1d
b b a
a x
I x x x
x
= + +
+
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.A 7B
A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho với , , Tính
Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.
Lời giải
Chọn D
Ta có: nên
PP nhanh trắc nghiệm
Casio
+ Thử C=1,2,3,4,5,6 giải hệ tìm a,b nguyên
e
1 ln d
I =x x x
2 e
a b
c +
= a b c T = + +a b c
5
ln
d d
u x
v x x
= =
1
d d
2
u x
x x v = = e
1
ln d
I =x x x
e e
1
1
ln d
2
x
x x x
= − e2
4 + =
-Phương pháp: Tích phân phần
① ②
(51)St-bs: Duong Hung 51
Vậy
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Cho
3
ln d
e a
e
x x x
b + =
với a b, Tổng a+b
Ⓐ. 20 Ⓑ. 10 Ⓒ. 17 Ⓓ. 12
Câu 2: Biết
2
ln
d = ln
x b
x a
x c+
a ; b, clà số nguyên dương nguyên tố Tính giá trị 2a+ +3b c
Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ. −6
Câu 3: Cho tích phân
2
ln
ln
x b
I dx a
x c
= = + với a số thực, b c sốdương, đồng thời b c phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P=2a+3b c+
Ⓐ. P=6 Ⓑ. P=5 Ⓒ. P= −6 Ⓓ. P=4
Câu 4: Cho ( )
2
1
1 xd
x+ e x=ae +be c+
với a, b, c số nguyên Tính a b c+ + .
Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.
Câu 5: Biết
ln d e
I =x x x=ae +b với a, b số hữu tỉ Giá trị 9(a b+ )
Ⓐ. Ⓑ. 10 Ⓒ. Ⓓ.
Câu 6: Biết
ln d e
I =x x x=ae +b với a, b số hữu tỉ Giá trị 9(a b+ )
Ⓐ. Ⓑ. 10 Ⓒ. Ⓓ.
Câu 7: Cho
( )
2
2
ln
d ln ln
x a
I x c
b x
= = −
+
với a b c, , sốnguyên dương a
b phân số tối giản Tính giá trị biểu thức S a b
c +
=
Ⓐ.
S = Ⓑ.
3
S = Ⓒ.
5
S = Ⓓ. 10
3
S =
Câu 8: Biết ( )
4
0
2x+ex e dx x=a.e +b.e +c
với a b c, , số hữu tỉ Giá trị 2a+ +3b 2c
Ⓐ. Ⓑ. 10 Ⓒ. Ⓓ.
1 a b c
= =
=
(52)St-bs: Duong Hung 52
Câu 9: Biết
2
ln
ln = +
xdx b a
x c Giá trị 2a+3b c+
Ⓐ. −6 Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.
Câu 10 Cho ( )
2
2
ln x −x xd =aln 5+bln 2+c
với a, b, c số nguyên Tính S= +a 2b c−
Ⓐ. S=23 Ⓑ. S=20 Ⓒ. S =17 Ⓓ. S =11
BẢNG ĐÁP ÁN
1.A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.A 7.B 8.B 9.B 10.A
Hướng dẫn giải
Câu 1: Đặt u lnx du 1dx x
= = ;
4
4 x
dv=x dx =v
4 4 4
3
1
1
1 1
ln d
4 4 16 16 16 16
e e e
x e e e e
I x x x x +
= − = − = − + =
4
20 16
a
a b b
=
= + =
Câu 2:
Đặt
2
1
ln d = d
1
1 d = d
u x u x
x
v x
v x
x =
= −
Ta có
2 2
2
2
1
1 1
ln 1 1 1
d = ln d ln ln
2 2
x
x x x
x x x x
− + = − − = − +
Theo đề ta có
a= − , b=1, c=2
Do 2a+ + =3b c
Câu 3:
Đặt
2 2
ln
2
ln ln 1 ln
1 1 2
dx
u x du
x x
x
I dx
dx
x x x x
dv
v x
x
= =
− − −
= + = + = −
= −
=
1
1, 2,
2
b c a − P a b c
= = = = + + =
(53)St-bs: Duong Hung 53
Đặt
d x
u x
dv e x
= +
=
ta d d , x u= x v=e
( ) ( )
2
2 2
1
1
1 xd x xd x
x+ e x= x+ e − e x=xe = e −e
2, 1,
a b c a b c
= = − = + + =
Câu 5:
Đặt ln2
d d
u x
v x x
=
=
ta có
1
d d
3
u x
x x v = =
Suy
3 3
3
1
1
ln
d
3 3 9
e e e
x x x e x
I = − x= − = e +
Vậy
9
a= ,
9
b= nên 9(a b+ )=3
Câu 6:
Đặt ln2
d d
u x
v x x
=
=
ta có
1
d d
3
u x
x x v = =
Suy
3 3
3
1
1
ln
d
3 3 9
e e e
x x x e x
I = − x= − = e +
Vậy
9
a= ,
9
b= nên 9(a b+ )=3
Câu 7:
Ta có:
( )
( )
2 2
2
1 1
2
ln 1 1 1
d ln d ln d ln d
1
1 ( 1)
1
5
1
ln ln ln ln ln 3
1
3 3
3 x
I x x x x x
x x x x x x
x
a
a b
x x b S
c c
= = − = − + = − + −
+ + + +
+
=
+
= − + − + = − = = =
=
(54)St-bs: Duong Hung 54
Đặt: e
d e d x x u x v x = + =
ta
( )
d e d e x x u x v = + =
Khi đó: ( ) ( ) ( )
2
2
0
0
2x+e e dx x x= 2x+ex ex − 2ex+e x dx
( 2) (2 0) 2
0 2.2 e e 2.0 e e 2e e
2 x x = + − + − + e 2e 2 = + +
Theo ta có 1; 2;
2
a= b= c=
Vậy: 2.1 3.2 2.3 10
2
a+ b+ c= + + =
Câu 9:
Gọi
2
ln = x
I dx
x
Áp dụng phương pháp nguyên hàm phần ta có:
Đặt
2 ln 1 = = = = −
u x du dx
x dv dx v x x
2 2
2
1 1
ln 1 ln 1 1 1
ln ln ln
2 2 2
= − − − = − + = − − = − − − = −
x
I dx dx
x x x x x
1
; 1; 2
= −a b= c=
Vậy 2a+3b c+ =4
Câu 10
Đặt ( )
2 ln d d
u x x
v x = − = 2 du x dx
x x v x − = − =
Khi ( ) ( )
5
2
2
5
ln d ln d
2
x
x x x x x x x
x − − = − − − 5ln 20 ln 2 d
1 x x = − − + −
( )2 ( )5
5ln 5.2 ln 2 ln
x x
= − − + −
( )
5ln 8ln 10 ln ln1
= + − − + − =5ln 6ln 6+ −
(55)St-bs: Duong Hung 55
A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho f x( ) hàm sốcó đạo hàm 1; , biết ( )
1
d 20
f x x=
f ( )4 =16, f ( )1 =7 Tính ( )
4
1
d I =xf x x
Ⓐ. I =37 Ⓑ I =47 Ⓒ. I =57 Ⓓ. I =67
Lời giải
Chọn A
Xét ( )
1
d
I =xf x x, dùng phương pháp tích phân phần :
( ) ( )
d d
d d
u x u x
v f x x v f x
= =
= =
Do đó: ( ) ( ) 4
1
d
I =xf x − f x x ( ) ( ) ( )
4
1
4f f f x dx
= − −
4.16 20 37
= − − =
PP nhanh trắc nghiệm
Câu 2: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn 0; thỏa mãn f ( )0 =2,
( ) ( )
2
0
2x−4 'f x dx=4
Tính tích phân ( )
2
0
d
I = f x x
Ⓐ. I =2 Ⓑ I = −2 Ⓒ I =6 Ⓓ I = −6
Lời giải
Chọn B
Ta có: ( ) ( )
0
2x−4 'f x dx=4
Đặt
( )
d ' d
u x
v f x x
= −
=
( )
du 2dx
v f x
=
=
PP nhanh trắc nghiệm
Phương pháp: Tích phân từng phần
Viết dạng hợp làm phần lại
Tính Tính
(56)St-bs: Duong Hung 56
Nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
0
2x−4 'f x dx= 2x−4 f x −2 f x xd
( ) 4.f 2I
= − = −8 2I
Theo giả thiết ta có: 4= −8 2I 2I = =4 I
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Cho f x( ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn ( ) ( )
0
2 16, d
f = f x x= Tính ( )
2
0
d
I =x f x x ta kết
Ⓐ. I =14 Ⓑ. I =20 Ⓒ. I =10 Ⓓ. I =4
Câu 2: Cho f x( ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn ( ) ( )
0
2 16, d
f = f x x= Tính ( )
2
0
d
I =x f x x ta kết
Ⓐ. I =14 Ⓑ. I =20 Ⓒ. I =10 Ⓓ. I =4
Câu 3: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm thỏa mãn ( )
0
2 d
x f x− x=
; f ( )2 =2 Tính ( )
1
2
2 d
I f x x
−
=
Ⓐ. I= −5 Ⓑ. I = −10 Ⓒ. I =5 Ⓓ. I =10
Câu 4: Cho hàm số f x( ) liên tục 0;1 Biết ( ) ( )
0
1
d
2
x f x f x x
− − =
Tính f ( )0
Ⓐ. f ( )0 = −1 Ⓑ. ( )0
f = Ⓒ. ( )0
2
f = − Ⓓ. f ( )0 =1
Câu 5: Cho hàm số f x( ) liên tục f ( )3 =21, ( )
0
d
f x x=
Tính tích phân ( )
0
d
I =x f x x
Ⓐ. I =15 Ⓑ. I =12 Ⓒ. I =9 Ⓓ. I =6
Câu 6: Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đạo hàm thỏa mãn ( ) ( ) ( ) 5f x −7f 1−x =3 x −2x , x Biết tích phân ( )
1
0
' d a
I x f x x
b
= = − Tính T =8a−3b
(57)St-bs: Duong Hung 57
Câu 7: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục tập hợp thỏa mãn ( )
1
3 d
f x− x=
f ( )− =3
Giá trị ( )
3
d
x f x x
−
Ⓐ. −3 Ⓑ. 11 Ⓒ. Ⓓ.
Câu 8: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f( )x liên tục 0; f ( )2 =3, ( )
0
d
f x x=
Tính ( )
0
d
x f x x
Ⓐ. −3 Ⓑ 3 Ⓒ. Ⓓ.
Câu 9: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f '( )x liên tục đoạn [0; 1] f ( )1 =2 Biết ( )
1
0
1
f x dx=
, tính tích phân ( )
0 '
I =x f x dx
Ⓐ I =1 Ⓑ. I = −1 Ⓒ. I =3 Ⓓ. I = −3
Câu 10: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) ( )
0
1 ' 10
x+ f x dx=
2f ( )1 − f ( )0 =2 Tính ( )
0
I = f x dx
Ⓐ. I =8 Ⓑ I = −8 Ⓒ. I =4 Ⓓ. I = −4
Câu 11: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn 0; thỏa mãn f ( )2 =16, ( )
2
0
d
f x x=
Tính tích phân ( )
0
d I =x f x x
Ⓐ. I =12 Ⓑ. I =7 Ⓒ. I =13 Ⓓ. I =20
Câu 12: Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn ,
Tính
Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.
Câu 13: Cho hàm số y f x thỏa mãn f x3 3x 3x 2, x Tính
1
I x f x dx
Ⓐ.
4 Ⓑ.
17
4 Ⓒ.
33
4 Ⓓ. −1761
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B 2.B 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.B 9.A 10.B 11.B 12.B 13.C
Lời giải chi tiết
Câu 1:
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
1
0 0
1
2 d d d 12
2
f x x= f x x = f x x=
( )
y= f x f ( )− =2 ( )
2
1
2 d
f x− x=
( )
2
d
xf x x
−
(58)St-bs: Duong Hung 58 Xét ( )
2
0
d
I =x f x x
Đặt
( ) ( )
d d
d d
u x u x
v f x x v f x
= =
= =
Khi ( ) ( ) ( )
2
0
d 2 12 20
I =xf x − f x x= f − =
Câu 2:
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
1
0 0
1
2 d d d 12
2
f x x= f x x = f x x=
Xét ( )
0
d
I =x f x x
Đặt
( ) ( )
d d
d d
u x u x
v f x x v f x
= =
= =
Khi ( ) ( ) ( )
2
0
d 2 12 20
I =xf x − f x x= f − =
Câu 3:
Xét ( )
3
0
2 d
J =x f x− x=
Đặt u=x d (2 d) d (2 4)
v= f x− x= f x−
, ta du=dx ( )
2
2
v= f x−
( ) ( )
0
1
4 d
0
2
J x f x f x x
= − − − ( ) ( )
0
3
2 d
2 f f x x
= − − ( )
0
3 d
2 f x x
= − −
Vì J =8 ( )
3
0
3 d
2 f x x
− − = ( )
3
0
2 d 10
f x x
− = −
Đặt 2t=2x− 4 2dt=2dxdt=dx Đổi cận:
x
t −2
( ) ( )
1
1
2
2 d d 10
I f t t f x x
− −
= = = −
Vậy I = −10
Câu 4: Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0 0
d d d
A=x f − −x f x x=x f −x x−f x x
Đặt ( )
1
0
d
(59)St-bs: Duong Hung 59 Đặt
( ) ( )
d d
d d
u x u x
v f x x v f x
= =
= − = − −
Khi ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
0
1 d d
I = −f −x x +f −x x= −f +f x x
Do ( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1
0 d d
2
A= −f +f x x−f x x= f = −
Câu 5:
Đặt
d d
d (3 )d (3 )
3
u x
u x
v f x x v f x
= =
= =
Suy
1
0
1
1 1
(3 ) (3 )d (3) ( )d
0
3 3
I = x f x − f x x= f − f x x=
Vậy I =6
Câu 6:
Ta có : 5f x( )−7f (1−x)=3(x2−2x) Lần lượt chọn x=0,x=1 , ta có hệ sau :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
5
5 8
5 7
0 f
f f
f f
f
=
− =
− = −
=
Tính ( )
1
0
' dx
I =x f x
Đặt : ( ) ' dx
u x
dv f x
=
=
Chọn ( )
du dx
v f x
= =
( ) ( )
1
0
5
dx
8
I =x f x −f x = −J
Đặt x= −1 t ( ) ( )
0
1
1 dt dx
J f t f x K
= − − = − = Suy ( )
1
0
5J−7K =3 x −2 dxx = −2
Ta có :
5
J K
J K
J K
=
= =
− = −
Vậy 3
8
a I
b = − = − =
=
=T 8a−3b=0
(60)St-bs: Duong Hung 60 Đặt t=3x− =6 dt 3dx
Đổi cận: x= = −1 t 3, x= =2 t
( ) ( ) ( ) ( )
2 0
1 3
1
3 d d d d
3
f x x f t t f t t f x x
− − −
− = = = =
Đặt
( ) ( )
d d
d d
u x u x
v f x x v f x
= = = =
Khi ( )
0
3
d
x f x x
−
( )0 ( )
3
d
xf x − f x x
−
= − =0.f ( )0 +3.f ( )− − = −3
Câu 8:
Ta có ( )
0
d
x f x x
( ( ))
0 d
x f x
= ( ) ( )
2
0
d
x f x f x x
= − =2f ( )2 − =3
Câu 9: Ta có: ( )
0 '
I =x f x dx
Đặt u= x du=dx, dv= f '( )x dx chọn v= f '( )x dx= f x( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
0
1 0 1
I x f x f x dx f f f x dx
= − = − − = − =
Chọn A Câu 10:
( ) ( )
1
0
1 '
A= x+ f x dx Đặt u= + x du=dx, dv= f '( )x dx chọn v= f x( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1
0 0
1 (1) (0) 10
A x f x f x dx f f f x dx f x dx f x dx
= + − = − − = − = = −
Câu 11:
Đặt
( ) ( )
d d
2
d d
2
u x
u x
f x
v f x x v
= = = =
Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
0 0 0
2 16
2 d d
2 2 4
x f x f
I = − f x x= − f t t= − =
Câu 12:
Đặt , đổi cận ,
Đặt ,
Vậy
Câu 13:
Đặt
5
1
u x du dx
I xf x f x dx
dv f x dx v f x
Từ 5
3
1
f x
f x x x
f x , suy
5
1
23
I f x dx
2 d 2d
t= x− =t x x= = −1 t x= =2 t
( ) ( )
2
1
1
1 d d
2
f x x f t t
−
= − = ( )
0
2
d
f t t
−
= ( )
0
2
d
f x x
−
=
d d
u= x u= x dv= f( )x dx =v f x( ) ( )
0
2
d
xf x x
−
( )0 ( )
2
d
xf x − f x x
−
(61)St-bs: Duong Hung 61 Đặt
2
3 3
3
3
dt x dx
t x x
f t x
Đổi cận: Với
1
t x x x t x3 3x x
Khi
5
2
1
33
23 23 3
4 Casio
(62)St-bs: Duong Hung 62
FB: Duong Hung
A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số cos
y= x, trục hoành, đường thẳngx=0
x= Ⓐ
8
Ⓑ.
6
Ⓒ.
4
Ⓓ.
2
Lời giải
Chọn D
Diện tích S cần tìm:
0
1 cos sin cos
0
2
x x
S = xdx= + dx= x+ =
PP nhanh trắc nghiệm
Casio
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
y=x − x, trục hoành, đường thẳng x= −2 x=4
Bài 5: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
①.Hình phẳng giới hạn
Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục đoạn , trục hồnh hai đường thẳng tính theo cơng thức (1)
② Phương pháp trắc nghiệm:
Tính chất: Hàm số liên tục K (khoảng đoạn, nửa khoảng) ba số
bất kỳ thuộc K Khi đó, ta có
Xác định yếu tố cần thiết công thức
Sử dụng chức tính tích phân có sẵn máy tính Casio để tính
Chú ý:Nếu đềbài chưa cho ( cận tích phân) ta cần giải phương trình hồnh độ giao điểm để tìm cận tích phân
Dạng ①: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
CHƯƠNG ③:
Full Chuyên
(63)St-bs: Duong Hung 63
Ⓐ 44 Ⓑ.24 Ⓒ. 48 Ⓓ.28
Lời giải
Chọn A
Diện tích cần tìm -2 -
S = x x dx
Ta có: ( )
4
2 x
x x x x
x =
− = − =
=
Vậy 3
-2 4
S= x − x dx+ x − x dx+ x − x dx
4 0 2 4
4
4 44
2
4 4
x x x x x x
= − + − + − =
−
PP nhanh trắc nghiệm
Casio
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x( ) x x −
= , trục hoành, hai đường thẳng x=1 x=2
Ⓐ ln2 Ⓑ.ln 1− Ⓒ. ln 1+ Ⓓ.1 ln 2−
Lời giải
Chọn D
Phương trình hồnh độgiao điểm: x x x
− = = Suy
( )
2 2
1 1
2
1 1
1 ln ln
1
x x
S dx dx x x
x x x
− −
= = = − = − = −
PP nhanh trắc nghiệm
Casio
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( )liên tục, trục hoành
hai đường thẳng x=a x, =b tính theo cơng thức:
Ⓐ b ( )
a
S = f x dx Ⓑ. ( )
b
a
S =f x dx
Ⓒ. ( ) ( )
0 b
a
S = f x dx+f x dx Ⓓ. ( ) ( )
0
0 b
a
S = f x dx−f x dx
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường
, 0,
y=x −x y= x= x=2 tính cơng thức:
Ⓐ 2( 2)
x−x dx
Ⓑ. ( ) ( )
2
2
1
x −x dx− x −x dx
Ⓒ. 1( ) 2( )
0
x −x dx+ x −x dx
Ⓓ. ( )
1
0
x −x dx
(64)St-bs: Duong Hung 64
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
y=x , trục hoành hai đường thẳng x= −1, x=3
Ⓐ 28
9 Ⓑ.
28
3 Ⓒ.
1
3 Ⓓ.
4
Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=sinx+1, trục hoành vàhai đường thẳng
x=
6 x=
Ⓐ
2
+ − Ⓑ.
2
+ + Ⓒ.
2
+ + Ⓓ.
4
+ −
Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số
y=x x + , trục Ox đường thẳng x=1 Ⓐ 2 +1
3 Ⓑ.
3
− Ⓒ. 2
3
− Ⓓ.3
3 −
Câu 6: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x.ln 3( x+1), trục hoành
và hai đường thẳng x=0; x=1
Ⓐ
ln
9 12
S= − Ⓑ. 2ln
9 12
S = − Ⓒ. 7ln
9 12
S = − Ⓓ. 8ln
9 12
S = −
Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=lnx, trục Ox đường thẳng x=e
Ⓐ Ⓑ.1
1
e− Ⓒ. e Ⓓ.2
Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x
y=e , trục Ox, trục Oy đường thẳng
x=
Ⓐ e+4 Ⓑ.e2− +e 2 Ⓒ.
2
e +
Ⓓ.
1 e −
Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
2
y=x − x + trục Ox
Ⓐ S=1 Ⓑ.S=2 Ⓒ. S =
2 Ⓓ.S =
16 15
Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 3
y= − +x x trục hoành Ⓐ 27
4 Ⓑ.
5
6 Ⓒ.
4
9 Ⓓ.
24
Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong 2
y= − +x x trục hoành Ⓐ 4
3 Ⓑ.
29
3 Ⓒ.
8
3 Ⓓ.
20
Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
y=x − trục hoành Ⓐ 7
4 Ⓑ.
8
5 Ⓒ.
1
2 Ⓓ.1
BẢNG ĐÁP ÁN
(65)St-bs: Duong Hung 65 A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 2
y= −x y=x
Ⓐ 9
2 Ⓑ.7 Ⓒ Ⓓ 11
2
Lời giải
Chọn A
Phương trình hồnh độgiao điểm hai đồ thị
2 2
2
1 x
x x x x
x = − − = + − =
=
Diện tích hình phẳng cần tìm
1
2
2
1
2
2 ( 2)
9
2
3 2
S x x dx x x dx
x x
x
− −
−
= − − + = − − +
= − − + =
PP nhanh trắc nghiệm
Casio:
Câu 2: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y ln2x x
= , y=0, x=1, x=e Mệnh
đềnào đúng?
-Phương pháp:
Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị: , hai đường thẳng xác định công thức:
Chú ý:Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau:
* Giải phương trình: tìm nghiệm ,
Tính:
Ngồi cách trên, ta dựa vào đồ thị để khử dấu giá trị tuyệt đối
(66)St-bs: Duong Hung 66 Ⓐ e ln d x S x x = Ⓑ. e ln d x S x x
= Ⓒ e 2 ln d x S x x = Ⓓ e ln d x S x x =
Lời giải
Chọn B
Ta có e ln d x S x x = Vì e 2 ln ln
[1; e], ln x xd
x x S x
x x
=
PP nhanh trắc nghiệm
Casio
Câu 3: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường y=(x+1 ln) x , trục hoành đường thẳng x=e
Ⓐ
4 e
S = + Ⓑ.
2 e
S = + Ⓒ
2 e
S = + Ⓓ.
2 e
S = +
Lời giải
Chọn C
Xét phương trình hồnh độ giao điểm: (x+1 ln) x=0 (Điều kiện: x0)
1
ln
x x x x + = = − = =
Vì x0 nên x=1
Ta có: ( ) ( )
1
1 ln d ln d
e e
S = x+ x x= x+ x x
Đặt
( )
1
d d
ln
d d
2
u x
u x x
v x x x
v x = = = + = +
2 2
1
1
2 2
1
1
ln d d
2 2
5
2 4
e e e
e
x x e x
S x x x x e x
x
e x e
e x = + − + = + − + + = + − + =
PP nhanh trắc nghiệm
Casio
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số
y= − +x y= − +x 2? Ⓐ 5
7 Ⓑ.
8
3 Ⓒ.
9
(67)St-bs: Duong Hung 67
Câu 2: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( ): 1 x H y x − =
+ trục tọa
độ Khi giá trị S
Ⓐ 2 ln 1− Ⓑ.ln 1+ Ⓒ. ln 1− Ⓓ.2 ln 1+
Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
y=x + vàđường thẳng y= +x Ⓐ 9
2 Ⓑ.
13
3 Ⓒ.
11
3 Ⓓ.
7
Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y= x; y= −6 x trục hoành Ⓐ 22
3 Ⓑ.
16
3 Ⓒ. Ⓓ.
23
Câu 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
y=x −x y=3x
Ⓐ
3
S = Ⓑ. 16
3
S = Ⓒ. S=9 Ⓓ. 32
3
S=
Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( ) :y x
P = − x đường thẳng ( )d :y=x bằng Ⓐ 17
6 Ⓑ.
11
2 Ⓒ.
9
2 Ⓓ.
23
Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol
y= −x đường thẳng y= − −x Ⓐ 9
2 Ⓑ.
5
2 Ⓒ.
11
2 Ⓓ.
1 2−
Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
y=x đường thẳng y=2x Ⓐ 4
3 Ⓑ.
5
3 Ⓒ.
3
2 Ⓓ.
23 15
Câu 9: Tính diện tích S hình phẳng ( )H giới hạn đường cong y= − +x3 12x y= −x2
Ⓐ 937
12
S= Ⓑ. 343
12
S = Ⓒ. 793
4
S = Ⓓ. 397
4
S=
Câu 10: Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng ( )H xác định đường 3
y= x −x , y=0
, x=0 x=3 quanh trục Ox Ⓐ 81
35
Ⓑ.81
35 Ⓒ.
71 35
Ⓓ.71
35
Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 2
2 1,
y= − +x x+ y= x − x+
Ⓐ 8 Ⓑ.5 Ⓒ. Ⓓ.10
Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn hai parabol 2
y= x y= −6 x2
Ⓐ 2
2 x dx − − Ⓑ.
2
2 x dx − −
Ⓒ. 2
2 x dx − − − Ⓓ.
2
2 x dx − − −
Câu 13: Diện tích Scủa hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y= −x3 y =x2−2x
Ⓐ
4
S = Ⓑ.
3
S = Ⓒ. 37
12
S = Ⓓ.
3
(68)St-bs: Duong Hung 68
Câu 14: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y=x3−3 ;x y=x Tính S?
Ⓐ S=4 Ⓑ.S=8 Ⓒ. S=2 Ⓓ.S=0
Câu 15: Hình phẳng giới hạn đường cong y=x(1−x) y=x3−x có diện tích Ⓐ 37
12 Ⓑ.
5
12 Ⓒ.
8
3 Ⓓ.
9
Câu 16: Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y x= − −2 2x 1 y= − +x2 3
Ⓐ S=9 Ⓑ.S = −9 Ⓒ. S=3 Ⓓ.
2 S=
Câu 17: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số
3 2 y=x − x+ 2.
y= +x
Ⓐ S =8 Ⓑ.S =4 Ⓒ. S =12 Ⓓ.S =16
Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol
3
y=x − x+ đường thẳng y= +x 1được tính theo cơng thức đây?
Ⓐ 4( )
4 d
x − x x
Ⓑ. ( )
4
0
4 d
x x x
− +
Ⓒ. ( )
4
0
4 d
x + x x
Ⓓ. ( )
4
0
2 d
x x x
− −
Câu 19: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
5 0,
y + − =x x+ − =y Ⓐ 19
6 Ⓑ.
15
2 Ⓒ.
37
6 Ⓓ.
9
Câu 20: Diện tích hình phẳng giới hạn đường
, 10
y=x y= −x trục Ox
Ⓐ 32 Ⓑ.26 Ⓒ. 36 Ⓓ.40
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C 2.A 3.A 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.A 10.A
11.C 12.C 13.C 14.B 15.A 16.A 17.A 18.B 19.D 20.C
-Phương pháp:
.Minh họa dạng thường gặp:
có hai loại dấu
Ghi nhớ: Quan sát hình phẳng mang dấu + hay -
(69)St-bs: Duong Hung 69 A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho hàm sốy= f x( )và y=g x( ) có đồ thị giao hai điểm phân biệt có
hoành độ a b Gọi ( )H hình phẳng
được giới hạn đồ thị hai hàm số (phần tơ đậm hình vẽ)
Diện tích ( )H tính theo cơng thức
Ⓐ ( ) ( ) d
b
a
S =f x −g x x Ⓑ ( ) ( ) d b
a
S =g x − f x x
Ⓒ ( ) ( ) d
b
a
S=f x +g x x Ⓓ. ( ) ( ) d b
a
S= −f x +g x x
Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức ( ) ( )d b
a
S = f x −g x x
Quan sát hình vẽ ta thấy g x( ) f x( ) a b, Vậy ( ) ( )d ( ( ) ( ))d
b b
a a
S = f x −g x x= g x − f x x
PP nhanh trắc nghiệm
Quan sát nhanh g x( ) f x( )
( ( ) ( ))d b
a
S= g x − f x x
Câu 2: Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn a b; Gọi D diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( )C :y= f x( ), trục hồnh, hai
đường thẳng x=a, x=b (như hình vẽdưới đây)
Giả sử SD diện tích hình phẳng D Chọn công thức
trong phương án A B C D, , , cho đây?
Ⓐ ( ) ( )
0 b D
a
S = f x dx+f x dx Ⓑ ( ) ( )
0
0 b D
a
S = − f x dx+ f x dx
Ⓒ. ( ) ( )
0 b D
a
S =f x dx− f x dx Ⓓ ( ) ( )
0
0 b D
a
S = f x dx− f x dx
Lời giải
Chọn B
PP nhanh trắc nghiệm
(70)St-bs: Duong Hung 70
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
b b
D
a a
b
a
S f x d x f x d x f x d x
f x dx f x dx
= = +
= − +
Câu 3: Cho hình thang cong ( )H giới hạn đường y=ex,
y= , x=0, x=ln Đường thẳng x=k(0 k ln 4) chia ( )H thành hai phần có diện tích S1 S2như hình vẽ bên Tìm k để S1 =2S2
Ⓐ
ln
k= Ⓑ k=ln 2
Ⓒ. ln8
3
k= Ⓓ k=ln
Lời giải
Chọn D
Ta có 1
0
1 k
k
x k k
S =e dx=e =e −
ln ln
2
0
x x k
k
S = e dx=e = −e
Ta có 1 2 k 4( k) ln
S = S e − = −e =k
PP nhanh trắc nghiệm
Tính Nhập vào máy ln
A x
x
k e dx
e dx
CALC với giá trị A phương án Giá trị cho kết chọn
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thịnhư hình
Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ) trục Oxlà
Ⓐ S = ( ) ( )
2
0
d d
f x x f x x
− −
Ⓑ ( )
1
d
S f x x
−
=
Ⓒ. ( )
1
d
S f x x
−
= −
Ⓓ ( ) ( )
1
d d
S f x x f x x
−
(71)St-bs: Duong Hung 71
Câu 2: Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị ( )C đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( )C , trục hoành hai đường thẳng x=0, x=2
Ⓐ 1 ( ) ( )
0
d d
f x x− f x x
Ⓑ ( )
d
f x x
Ⓒ. ( ) ( )
0
d d
f x x f x x
− +
Ⓓ 2 ( )
d
f x x
Câu 3: Cho đồ thị hai hàm số
3
y=x − x + +x y= − +x2 2x+1như hình sau Diện tích phần hình phẳng gạch sọc tính theo
cơng thức đây?
Ⓐ 1( ) 2( )
1
2 d 2 d
x x x x x x x x
−
− − + + − + + −
Ⓑ.2( )
1
2 d
x x x x
−
− − +
Ⓒ. 1( ) 2( )
1
2 d 2 d
x x x x x x x x
−
− + + − + − − +
Ⓓ.2( )
1
2 d
x x x x
−
− + + −
Câu 4: Cho hàm sốy= f x( ) liên tục có đồ thịlà đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị, trục hoành hai đường thẳng x=0,x=2
Ⓐ
0
( )d ( )d S = − f x x+f x x
Ⓑ.
0
( )d ( )d
S =f x x−f x x
Ⓒ.
0 ( )d
S = f x x
Ⓓ.
0 ( )d S = f x x
Câu 5: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽđược tính theo cơng thức đây?
Ⓐ 2( )
1
2x 2x dx −
− −
Ⓑ.2( )
2x dx −
− +
Ⓒ. 2( )
1
2x dx −
−
Ⓓ ( )
2
1
2x 2x dx −
− + +
(72)St-bs: Duong Hung 72
Câu 6: Cho đồ thị hàm số y= f x( ) hình vẽ.Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ) trục Ox tính cơng thức
Ⓐ ( )
3
d
S f x x
−
=
Ⓑ. ( )
3
d
S f x x
−
=
Ⓒ. ( ) ( )
3
d d
S f x x f x x
−
= −
Ⓓ. ( ) ( )
3
d d
S f x x f x x
−
= +
Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( 2) ,
y= −x đường
cong
y= x trục hoành Ⓐ 11
2 Ⓑ.
73 12 Ⓒ.
12 Ⓓ.
5
Câu 8: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ) trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía trục hồnh có diện tích
8
S = phần nằm phía trục hồnh có diện tích
5 12
S = Tính ( )
1
3
I f x dx
−
= +
Ⓐ
3
I = Ⓑ.
4
I =
Ⓒ. 37
36
I = Ⓓ. 27
4
I =
Câu 9: Diện tích phần tơ đậm hình bên tính theo cơng thức công thức sau?
Ⓐ 1( )
0
3 d
x x x x
− + −
Ⓑ.1( )
0
3 d
x − x + x x
Ⓒ. 2( )
0
3 d
x x x x
− + −
Ⓓ.2( )
0
3 d
x − x + x x
(73)St-bs: Duong Hung 73
Câu 10: Gọi ( )H phần hình phẳng gạch chéo hình vẽdưới
đây giới hạn đồ thị hàm số y= x ,
y= −x trục hồnh Diện tích ( )H bao nhiêu?
Ⓐ 11
2 Ⓑ
9 Ⓒ. 13
2 Ⓓ
7
Câu 11: Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị hình vẽ
dưới Biết diện tích hai phần Avà B 16
63 , tính ( )
3
1
2 d
f x x
−
+
Ⓐ 253
12 Ⓑ
253 24
Ⓒ. 125
24
− Ⓓ. 125
12
−
Câu 12: Tính diện tích S hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn hai đồ thị hàm số
( ) ; ( )
f x = x g x = −x hình sau
Ⓐ 8
3 Ⓑ.
12 Ⓒ.
3 Ⓓ.
10
Câu 12: Gọi S diện tích hình phẳng ( )H giới hạn đường y= f x( ), trục hoành đường thẳng x= −1,x=2 hình vẽ bên
Đặt ( ) ( )
0
1
1
d , d
S f x x S f x x
−
= = Mệnh đềnào sau đúng?
Ⓐ S = +S1 S2 Ⓑ.S = − −S1 S2 Ⓒ. S = −S1 S2 Ⓓ.S =S2−S1
O x
2
(74)St-bs: Duong Hung 74
Câu 13: Diện tích hình mặt phẳng gạch sọc hình vẽ bên Ⓐ 3
1 dx x
Ⓑ. ( )
3
1
2 2− x dx
Ⓒ. 3( )
1
2x−2 dx
Ⓓ.3( )
1
2x+2 dx
Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành hai đường
thẳng x=a, x=b(ab) tính theo cơng thức ?
Ⓐ ( )d ( )d
c b
a c
S =f x x+f x x
Ⓑ. ( )d
b
a
S =f x x
Ⓒ. ( )d ( )d
c b
a c
S = −f x x+ f x x
Ⓓ. ( )d
b
a
S = f x x
Câu 15: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thịnhư hình vẽdưới Diện tích hình phẳng tính công thức nào?
Ⓐ
0 ( ) - ( )
b
a
S = f x dx f x dx
Ⓑ.
0
( ) ( )
b
a
S = f x dx+f x dx Ⓒ.
0 ( )
b
S = f x dx
Ⓓ. ( )
b
a
S = f x dx
x y
(75)St-bs: Duong Hung 75
Câu 16: Cho đồ thị hàm số y= f x( ) Diện tích hình phẳng là:
Ⓐ ( ) ( )
-3
S = f x dx+ f x dx.
Ⓑ. ( )
-3
S = f x dx.
Ⓒ. ( )
-3
S = f x dx
Ⓓ. ( ) ( )
-3
S = f x dx−f x dx
Câu 17: Cho đồ thị hàm số y= f x( ) đoạn 0; hình vẽ có diện tích 1 11, 2
6
S = S = Tính tích phân ( )
0
I =f x dx
Ⓐ
3
I = − Ⓑ. 19
3
I =
Ⓒ.
3
I = Ⓓ. 19
3
I = −
Câu 19: Cho đồ thị hàm số y= f x( ) đoạn −2; 2 hình vẽở bên có diện tích
1
22 76
,
15 15
S =S = S = Tính tích phân ( )
-2
I = f x dx
Ⓐ 32
15
I = Ⓑ.I =8
Ⓒ. 18
5
I = Ⓓ. 32
15
I = −
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D 2.A 3.A 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.B 10.A
11.C 12.D 13.D 14.C 15.C 16.A 17.D 18.D 19.A
x y
4
(76)(77)St-bs: Duong Hung 77
FB: Duong Hung
A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x=1 x=3, biết cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1 x 3)
được thiết diện hình chữ nhật có độ dài hai cạnh 3x 3x2−2 Ⓐ V =32 15.+ Ⓑ. 124
3
V = Ⓒ. 124
V = Ⓓ.V =(32 15) +
Lời giải
Chọn C
Diện tích thiết diện là: ( )
S x = x x −
Thể tích vật thể là:
2
1
124
3
V = x x − dx=
PP nhanh trắc nghiệm
Ta nhập biểu thức
2
1
3 3x x −2dx
sau :
y3Q(s3Q(dp2R1E3= Màn hình hiển thị :
Chọn C
Bài 6: THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Phương pháp:
Gọi phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm ,
Giả sử hàm số liên tục đoạn
Khi đó, thể tích vật thể B xác định:
Dạng ①: Bài tốn Thể tích vật thể:
CHƯƠNG ③:
Full Chuyên
(78)St-bs: Duong Hung 78
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể nằm hai mặt phẳng x=0và x=3 Biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hồnh
độ x(0 x 3)là hình vng cạnh 9−x2 Tính thể tích V vật thể
Ⓐ V =171 Ⓑ. V =171 Ⓒ. V =18 Ⓓ.V =18
Lời giải
Chọn C
Ta tích vật thể ( )
2
0
9 d
V = −x x
( )
3
2
0 0
9 d
3 x
x x x
= − = −
=18
PP nhanh trắc nghiệm
Casio
Chú ý: Diện tích hình vng
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể ( )H giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x=a, x=b a( b) Gọi S x( ) thiếtdiệncủa ( )H cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x với a x b Giả sử hàm số y=S x( ) liên tục đoạn
a b; Khi đóthể tích V củavật thể ( )H cho cơng thức
Ⓐ ( )
d
b
a
V =S x x Ⓑ. ( )d
b
a
V =S x x Ⓒ. ( ) 2d
b
a
V = S x x Ⓓ. ( )d
b
a
V =S x x
Câu 2: Trong không gian , cho vật thểđược giới hạn hai mặt phẳng , vng góc với trục , Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với điểm
có hồnh độ x, a x b cắt vật thể theo thiết diện có diện tích S x với y S x hàm số liên tục Thể tích thểtích tính theo cơng thức
Ⓐ 2( ) b
a
V =S x dx Ⓑ. ( )
b
a
V =S x dx
Ⓒ. ( )
b
a
V =S x dx Ⓓ. 2( )
b
a
V =S x dx
Câu 3: Cho phần vật giới hạn hai mặt phẳng ( )P ( )Q vng góc với trục Ox
x= , x=3 Cắt phần vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 x 3) ta thiết diện hình chữ nhật có kích thước x 3−x Thể tích phần vật thể
Oxyz ( )P ( )Q
Ox x=a x=b (ab) Ox
a b; V
O y
x z
S(x)
(79)St-bs: Duong Hung 79 Ⓐ 27
4
Ⓑ. 12
5
Ⓒ. 12
5 Ⓓ.
27
Câu 4: Cho phần vật thể ( ) giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x=0 x=2 Cắt phần vật thể ( ) mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 x 2), ta
được thiết diện tam giác có độ dài cạnh x 2−x Tính thể tích V phần vật thể ( )
Ⓐ
V = Ⓑ.
3
V = Ⓒ. V =4 Ⓓ.V =
Câu 5: Cho vật thể có mặt đáy hình trịn có bán kính (hình vẽ) Khi cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (− 1 x 1) thiết diện
tam giác Tính thể tích V vật thểđó
Ⓐ V = Ⓑ. V =3 Ⓒ. 3
V = Ⓓ.V =
Câu 6: Cho phần vật thể B giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x=0
x= Cắt phần vật thể B mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x
3
x
ta
được thiết diện tam giác vng có độ dài hai cạnh góc vng 2x cosx Thể tích vật thể B
Ⓐ 3
+
Ⓑ. 3
3
−
Ⓒ. 3
6
−
Ⓓ.
6
Câu 7: Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x=0 x= , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 x ) tam giác cạnh sinx
Ⓐ V =3 Ⓑ. V =3 Ⓒ. V =2 Ⓓ.V =2
Câu Tính thể tích vật thể giới hạn mặt phẳng x=0 x=1, biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 x 1) hình
vng có độ dài cạnh x e( x−1) Ⓐ
2
V = Ⓑ
2 e
V = − Ⓒ.
2
V = Ⓓ. ( 1)
2 e
V = −
Câu Cắt vật thể V hai mặt phẳng song song P , Q vng góc với trục Ox
tại
2 x= − ,
2
x= Một mặt tùy ý vng góc với trục Ox điểm x
2 x
−
cắt V theo thiết diện có diện tích ( ) ( )
1
(80)St-bs: Duong Hung 80
Ⓐ 3,14 Ⓑ.
3 Ⓒ.
13
Ⓓ.8
3
Câu 10 Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x= −1 x=1, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x(− 1 x 1) tam giác vng cân có cạnh huyền 1−x4
Ⓐ.3
4 Ⓑ.
2
5 Ⓒ.4 Ⓓ.
1 BẢNG ĐÁP ÁN
1.D 2.B 3 C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C 9.B 10.B
Hướng dẫn giải
Lời giải Câu
Chọn C
Ta có diện tích thiết diện S x( )=x 3−x Vậy thể tích phần vật thể là: ( )
3
0 d
V =S x x
3
0
3 d
x x x
= − 12
5
=
Câu
Lời giải Chọn B
Diện tích thiết diện: ( )
2
4
x x
S = −
( )
2
0
2
d
x x
V = − x ( )
2
0
2 d
4 x x x
= − ( )
2
0
2 d
4 x x x
= −
2
3
0
3
4 3x 4x
= − =
Câu
Lời giải Chọn C
Tại vị trí có hồnh độ x (− 1 x 1) tam giác thiết diện có cạnh 1−x2 Do tam giác thiết diện có diện tích ( ) ( 2)2
2
4
S x = −x
( 2) x
= −
Vậy thể tích V vật thể ( )
2
1
3 x dx −
−
= 33
Câu
(81)St-bs: Duong Hung 81 Thể tích vật thể B
3
3 3
0 0
0
3
cos d sin sin d sin cos
6
V x x x x x x x x x x
−
= = − = + =
Câu
Lời giải Chọn D
Diện tích tam giác ( ) ( ) sin
4 x
S x = = sinx
Vậy thể tích ( )
d
V S x x
=
0
3 sin dx x
= =2
Câu
Chọn C
Lời giải
Ta có: ( ) ( )
1
0 0
( )d x d x d
V = S x x= x e − x= x e − x
Đặt:
( ) d d
d x d x
u x u x
v e x v e x
=
=
= −
= −
Do đó: ( ) ( )
1
1
1
0
1
d 1
2 2
x x x x
V =x e −x − e −x x= − −e e − = − − + + =e e
Câu Chọn B
Lời giải
Ta tích vật thể V cần tính là: ( ) ( )
2
= d d
V S x x sin x cosx x
− −
= +
Đặt t=sinx =dt cosx xd
Đổi cận: 1;
2
x= − = − t x= =t
( )
1
1
2
1
8
= d
3
t
V t t t
− −
+ = + =
Câu 10
Chọn B
(82)St-bs: Duong Hung 82 Ta có diện tích thiết diện cho bằng: ( ) ( )
2
4
1 1
1
2
x
S x = − = −x
Ta có diện tích thiết diện cho bằng: ( ) ( )
4
4
1 1
1
2
x
S x = − = −x
Thể tích vật thể cần tìm là: ( ) ( )
1
4
1
1
4
V S x dx x dx
− −
= = − =
A - Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn a b; Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành vàhai đường thẳng x=a x, =b a( b) Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo công thức
Ⓐ 2
( ) b
a
V = f x dx Ⓑ. 2( )
b
a
V = f x dx Ⓒ ( )
b
a
V = f x dx Ⓓ. 2( )
b
a
V = f x dx
Lời giải
Chọn B
x [a; ]b ta có 2( ) b
a
V = f x dx
PP nhanh trắc nghiệm
Công thức
Câu 2: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=2ln ,x y=0,x=1,x=e
Ⓐ. Ⓑ.e−2 Ⓒ.(e−2) Ⓓ.4(e−2) Phương pháp:
Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh miền giới hạn ; quay quanh trục
Phương pháp giải: áp dụng công thức:
(83)St-bs: Duong Hung 83
Lời giải
Chọn D
Có
1
4 ln d I e
V = x x=
Đặt
2 d 2 ln 1d ln
d d
u x x
u x
x
v x
v x
= =
=
=
Suy
1
I ln ln d 2I'
e e
x x x x e
= − = −
Đặt
1
ln d d
d d
u x u x
x
v x
v x
= =
=
=
Suy
1
I' ln d 1
e e
x x x e e
= − = − + =
Suy I= −e Vậy V =4(e−2)
PP nhanh trắc nghiệm
Casio
Câu 3: Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đường:y=sinx;Ox;x=0;x= Quay ( )H xung
quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích Ⓐ
2
Ⓑ
2
Ⓒ. Ⓓ.2
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối tròn xoay
( )
2
0
1
sin d d sin
0
2 cos 2
V x x x x x x
= = − = − =
PP nhanh trắc nghiệm
B - Bài tập rèn luyện:
Câu Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đường y= xln ,x trục Ox x, =1,x=e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng ( )H quanh trục Ox
Ⓐ ( 1) e
+
Ⓑ. ( 1) e −
Ⓒ. ( 1) e
+
Ⓓ. ( )
2 e
(84)St-bs: Duong Hung 84
Câu Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn y lnx, trục Ox đường thẳng
x quay xung quanh trục Ox
Ⓐ 2ln Ⓑ. ln 2 Ⓒ 2 ln 2 Ⓓ.2 ln
Câu Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong
y= x + , trục hoành đường thẳng 0,
x= x= Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?
Ⓐ
3
V = Ⓑ. V =2 Ⓒ.
3
V = Ⓓ.V =2
Câu Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y= sin+ x, trục hoành đường thẳng
x= , x= Khối tròn xoay tạo thành quay D quay quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?
Ⓐ
2
V = Ⓑ. V =2 ( +1) Ⓒ. V =2 Ⓓ.V =2( +1)
Câu Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y=x2+3, y=0, x=0, x=2 Gọi V thể tích
của khối tròn xoay tạo thành quay ( )H xung quanh trục Ox Mệnh đề dướiđây
đúng?
Ⓐ 2( 2 )2
0
3
V = x + dx Ⓑ. ( )
2
0
3
V = x + dx
Ⓒ. 2( 2 )2
0
3
V = x + dx Ⓓ. ( )
2
0
3
V = x + dx
Câu 6: Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường thẳng y=x2+2,y=0,x=1,x=2 Gọi V thể
tích khốitròn xoay tạo thành quay ( )H xung quanh trục Ox Mệnh đề
đây đúng?
Ⓐ 2( )2
2
1
2 d
V = x + x Ⓑ ( )
2
2
1
2 d
V = x + x Ⓒ ( )
2
1
2 d
V = x + x Ⓓ. ( )
2
1
2 d
V = x + x
Câu 7: Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới
hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục Ox hai đường thẳng x=a x, =b a( b), xung quanh
trục Ox
Ⓐ 2( )
b
a
V = f x dx Ⓑ. 2( )
b
a
V = f x dx Ⓒ. ( )
b
a
V = f x dx Ⓓ. ( )
b
a
V = f x dx
Câu 8: Kí hiệu ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=2(x−1) ,ex trục tung trục hồnh Tính thể tích V của khối trịn xoay thu quay hình ( )H xung quanh trục Ox
Ⓐ V = −4 2e Ⓑ. V =(4−2e) Ⓒ. V = −e2 Ⓓ.V =(e2 −5)
Câu 9: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
3 ,
y= x−x y=
Ⓐ 16
15 Ⓑ.
16
15 Ⓒ.
81
10 Ⓓ.
(85)St-bs: Duong Hung 85
Câu 10: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
, 0,
y=x y= x=
Ⓐ.
Ⓑ.4
7
Ⓒ.
2
Ⓓ.
7
Câu 11: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số xy=9,y=0,x=1,x=3
Ⓐ.54 Ⓑ.6 Ⓒ.12 Ⓓ.6
Câu 12: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y cos( )x ,y 0,x 0,x
= = = =
Ⓐ. ( 2) +
Ⓑ. (sin 2)
+
Ⓒ.sin 2
+
Ⓓ.
8
+
Câu 13: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
cos , 0, 0,
y= x y= x= x=
Ⓐ. 2
Ⓑ.3
8
Ⓒ.
2
8
Ⓓ.
2
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D 2.C 3 A 4 B 5 A 6 A 7.A 8.D 9.C 10.D
11.A 12.B 13.C
A - Bài tập minh họa:
Phương pháp:
Tính thể tích vật thể trịn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: ; quay quanh trục
Phương pháp giải:
① Giải phương trình: có nghiệm
② Khi thể tích cần tìm :
③ Casio:
(86)St-bs: Duong Hung 86
Câu 1: Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol ( ) :
P y=x
đường thẳng d y: =2x quay quanh trục Oxbằng
Ⓐ 2
0
4x dx x dx
− Ⓑ 2( 2 )2
2
x x dx
−
Ⓒ. 2
0
4x dx x dx
+ Ⓓ ( )
2
0
2
x x dx
−
Lời giải
Chọn B
Phương trình hồnh độgiao điểm ( )P d
2
x = x
2 x x
= =
Thể tích khối tròn xoay ( ) ( )
2 2
0
2x x dx
−
2
2
0
4x dx x xd
= −
PP nhanh trắc nghiệm
Câu 2: Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số
2
y= x − x,y= −4 x2 quanh quanh trục hồnh là: Ⓐ.421
15 Ⓑ.27 Ⓒ.
125
3 Ⓓ.30
Lời giải
Chọn B
Xét phương trình hồnh độ giao điểm:
2
2 2
2 x
x x x x x
x = −
− = − − − =
=
Do quay quanh trục hồnh khối sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x2 −2x, trục hoành,
0;
x= x= nằm khối sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= −4 x2, trục hoành, x=0;x=2 Vậy thể tích cần tính bằng:
( ) ( ) ( )
0
2 2
2 2
1
4
203 38 256 421
15 15 15 15
V x dx x x dx x dx
− −
= − − − + −
= − + =
PP nhanh trắc nghiệm
Chú ý phần dễ thiếu phần
( )
2
2
0
V = −x dx
(87)St-bs: Duong Hung 87
Câu 1: Cho hình phẳng hình (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo thành tính theo cơng thức nào?
Ⓐ 2( ) 2( )
1 d
b
a
V =f x − f x x
Ⓑ 2( ) 2( )
1 d
b
a
V =f x − f x x
Ⓒ 2( ) 2( )
2 d
b
a
V =f x − f x x
Ⓓ. ( ) ( )
1 d
b
a
V =f x − f x x
Lời giải Chọn B
Do f x1( ) f2( )x x ( )a b; nên Chọn B
Câu 2: Tìm cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol
( )
: =
P y x đường thẳng d y: =2x quay xung quanh trục Ox Ⓐ 2( 2 )2
0
2 d
x − x x Ⓑ
2
2
0
4 d d
x x−x x
Ⓒ. 2
0
4 d d
x x+x x Ⓓ. ( )
2
0
2 d
x−x x Lời giải
Chọn A
Phương trình hồnh độ giao điểm:
2
2 = − =
=
x
x x
x
Vậy thể tích khối trịn xoay tính: ( )
2
0
2 d
= −
V x x x
Câu 3: Cho hình ( )H giới hạn trục hoành, đồ thị Parabol đường thẳng tiếp xúc với Parabol điểm A( )2; , hình vẽ bên Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình
( )H quay quanh trục Ox Ⓐ 16
15
Ⓑ 32
5
Ⓒ 2
3
Ⓓ.22
5
Lời giải Chọn A
Parabol có đỉnh gốc tọa độ hình vẽ qua A( )2; nên có phương trình y=x2 Tiếp tuyến Parabol A( )2; có phương trình y=4(x− + =2) 4x−4 Suy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm ( ) ( )
2
2
2
0
d 4 d
V = x x− x− x
( )
2
2
0
32 d
5
x
x x= =
; ( ) ( )
2
2
2 2 2
1 1
16
4 d 16 d 16
3
x
x− x= x − x+ x= −x +x =
(88)St-bs: Duong Hung 88
Vậy ( ) ( )
2
2 2
2
0
32 16 16
d 4 d
5 15
V = x x− x− x= − =
Câu 4: Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=2 ,x y=1−x,y=0
x (phần tơ đậm màu đen hình vẽ bên) Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay (H) quanh trục hoành
Ⓐ
2 ln
V = −
Ⓑ
5
2 ln
V = +
Ⓒ
2 ln
V = −
Ⓓ.
2 ln
3
V = +
Lời giải Chọn A
Phương trình hồnh độ giao điểm y=2x y x x − = là:
2x x x −
= 20
2x x x + − = x x x = = − x =
Phương trình hồnh độ giao điểm y=2x y=0 là: 2x=0 20
2x x x
+ − =
=x
Phương trình hồnh độ giao điểm y=0 y x x − = là:
0 x x
− =
1 x x − = x x =
=x
2 2
4 d x d
V x x x
x − = + 2 d x x x = + −
1
1
1 6 x x dx
= + − +
Câu 5: Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y=x2−4,
y= x− , x=0, x=2 quanh trục Ox Ⓐ 32π
5 Ⓑ
32π
7 Ⓒ
32π
15 Ⓓ.
22π Lời giải
Chọn A
Ta có ( )
2 2 256
π d π
15
V = x − x= , ( )
2
2
0
32
π d π
3
V = x− x=
Vậy thể tích cần tìm 1 2 32π
V = −V V =
Câu 6: Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y=x2, y=2x Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( )H xung quanh trục Ox bằng:
Ⓐ 32 15
Ⓑ 64
15
(89)St-bs: Duong Hung 89 Ⓒ 21
15
Ⓓ.16
15
Lời giải Chọn B
Xét phương trình hồnh độ giao điểm:
2
x − x=
2 x x
= =
Khi quay ( )H xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay giới hạn
2
2
y x
y x
x x = =
= =
Do thể tích khối trịn xoay là: ( ) ( )
2
2
0
64
2 d
15
V = x − x x=
Câu 7: Tính thể tích V vật trịn xoay tạo thành quay hình phẳng ( )H giới hạn đường
y=x ; y= x quanh trục Ox
Ⓐ
10
V = Ⓑ
10
V = Ⓒ
10
V = Ⓓ.
10
V =
Lời giải Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm
x = x
0
x x
− =
( )( )
1
x x x x
− + + = =x x=1
Khi đó:
Thể tích khối trịn xoay sinh hình ( )H
( ) ( )
1 2
2
0
3
d d
10
V = x x− x x=
Câu 8: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong ex
y= − , trục tọa độ phần đường thẳng
= −
y x với x1 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hoành Ⓐ e2 21
3 2e
V = + − Ⓑ ( )
2
2 5e
6e
V = − Ⓒ e
2 e
V = + − Ⓓ.
2 e 2e
V = + −
Lời giải Chọn B
Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong ex
y= − đường thẳng y= −2 x:
ex− = − =2 x x (Vì
ex
y= − hàm đồng biến
y= −x hàm nghịch biến tập xác định nên phương trình có tối đa nghiệm Mặt khác x=1 thỏa mãn pt nên nghiệm pt đó)
Đường thẳng y= −2 x cắt trục hoành x=2
( ) ( )
1
2
1
0
ex d d
V = − x+ −x x
( )
2
3
2
2
1
5e
e
3 6e
x x
x
− −
= + − + =
Câu 9: Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn hai đồ thị
4
y= −x x+ y= − −x2 2x+6
Ⓐ Ⓑ −1 Ⓒ 3 Ⓓ.2
(90)St-bs: Duong Hung 90 Lời giải
Chọn C
Xét phương trình hồnh độ giao điểm 2
4 6
x − x+ = − −x x+ 2x2−2x=0
1 x x
= =
Thể tích vật thể trịn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn hai đồ thị
( ) ( )
1
2
2
0
4 6 d
V = x − x− − − −x x+ x
3
0
12x 36x 24 dx x
= − + −
( )
1
3
0
12x 36x 24x dx
= − + − ( 3 2)1
0 3x 12x 12x
= − + − =3
Câu 10: Gọi ( )H hình giới hạn nhánh parabol y=2x2 (với x0), đường thẳng y= − +x trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo hình ( )H quay quanh trục Ox
Ⓐ 52
15
V = Ⓑ 17
5
V = Ⓒ 51
17
V = Ⓓ. 53
17
V =
Lời giải Chọn A
Phương trình hồnh độ giao điểm:
1
2 3
2 x
x x
x = = − +
= − Thể tích khối trịn xoay tạo ( )H : ( )
3
2 4
1
52
3 d d
15
V = − +x x+ x x=
Câu 11: Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x+ − =y 0; y= x; y=0 quay quanh trục Ox
Ⓐ 5
6 Ⓑ.
6
Ⓒ.
3
Ⓓ.5
6
Lời giải
Chọn D
Hình phẳng cho chia làm phần sau:
Phần 1: Hình phẳng giới hạn đường y= x; y=0; x=0; x=1 Khi quay trục Ox phần ta khối trịn xoay tích
1
1
0
d
2
x
V =x x= =
Phần 2: Hình phẳng giới hạn đường y= −2 x; y=0; x=1; x=2 Khi quay trục Ox phần ta khối tròn xoay tích
( ) ( )3
2
2
1
2
2 d
3
x
V = −x x= − =
Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính 1 2
V = +V V =
Câu 12: Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường x= y, y= − +x
x= quay quanh trục Ox có giá trị kết sau đây?
Ⓐ
3
V = Ⓑ
2
V = Ⓒ 32
15
V = Ⓓ. 11
6
V =
(91)St-bs: Duong Hung 91 Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đường:
0
x y
y x
x =
= − +
=
( )
2
y x x
y x
x
=
= − +
=
Phương trình hồnh độ giao điểm:
2
x = − +x x2+ − =x ( )
( )
1
x nhaän
x loại
=
= − Thể tích vật trịn xoay sinh hình ( )H quay quanh trục Ox là:
(( ) ( ) )
1
2 2
0
2 d
V = − +x − x x ( )
1
2
0
4 d
x x x x
= − + − 32
15
= (đvtt)
Câu 13: Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x, cung trịn có phương trình
y= −x
(− 6 x 6) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh quay hình phẳng D quanh trục Ox
Ⓐ V =8 2− Ⓑ 22
V = + Ⓒ 22
3
V = − Ⓓ. 22
3
V = +
Lời giải Chọn D
Cách1. Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu tích
( )3
6
3
V = =
Thể tích nửa khối cầu V1=4 Xét phương trình:
6
x = −x
2
6 x
x x
+ − =
=x
Thể tích khối trịn xoay có quay hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y= x, cung trịn có phương trình
6
y= −x , hai đường thẳng x=0, x=2 quanh Ox
( )
2 2
0
22
6 d
3
V = −x −x x=
Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm 1 2 22
V = +V V = +
Cách2 Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu tích
( )3
4
6
3
V = =
Xét phương trình:
x = −x
2
6 x
x x
+ − =
=x
Thể tích khối trịn xoay có quay hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y= x, cung trịn có phương trình
6
y= −x đường thẳng y=0 quanh Ox ( )
2
2
0
d d
V =x x+ −x x
12 28
3
−
= + 22
3
(92)St-bs: Duong Hung 92 Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm V = −V1 V2 6 22
3 = − − 22 = +
Câu 14: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y=0, y= x, y= −x
Ⓐ 8
Ⓑ 16
3
Ⓒ 10 Ⓓ.8
Lời giải Chọn B
Ta có:
0
0 2
2
x x
x x
x x x
= = = − = = − =
Dựa vào hoành độgiao điểm ba đường ta có diện tích hình phẳng gồm hai phần Phần thứ
nhất giới hạn y= x, y=0 x=0; x=2 Phần thứ hai giới hạn y= x, y= −x 2;
x= x=
Thể tích vật thể bằng:
( ) ( )
2
2 2
0
d d
V = x x+ x− − x x ( ( ) )
2
2
0
d d
x x x x x
= + − −
( )
2
2
0 2
2 16
2 3
x
x x
−
= + − =
Câu 15: Cho ( )H hình phẳng giới hạn parabol y=x2 đường tròn 2
2
x +y = (phần tơ đậm hình bên) Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục hoành
Ⓐ 44
15
V = Ⓑ 22
15
V =
Ⓒ.
3
V = Ⓓ.
5 V =
Lời giải Chọn A
Với y=x2 thay vào phương trình đường tròn ta
2 1 2 x x x x x x = = + = = − = −
Hơn
2 2 2 2 y x x y y x = − − + = = −
Thể tích cần tìm thể tích vật thể trịn xoay ( )
2 : y x x H x Ox = − = − =
quay quanh Ox bỏ phần thể
tích ( )
2 : y x x H x Ox = = − =
(93)St-bs: Duong Hung 93
Do ( ) ( )
1 2
2
2
1
44
2 d d
15
V x x x x
− −
= − − =
Câu 16: Cho hình phẳng ( )H (phần gạch chéo hình vẽ) Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình ( )H quanh trục hoành
Ⓐ V=8 Ⓑ. V =10
Ⓒ.
3
V = Ⓓ. 16
3
V =
Lời giải Chọn D
Gọi hình phẳng giới hạn đường x=0, x=4, f x( )= x trục hồnh ( )D2 hình phẳng giới hạn đường x=2, x=4, g x( )= −x trục hồnh Kí hiệu V1, V2 tương ứng thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( )D1 , ( )D2 quanh trục hoành
Khi đó, V = −V1 V2 ( ) ( )
4
2
0
d d
f x x g x x
= − ( )
4
2
0
d d
x x x x
= − − 8
3
= − 16
3
=
Câu 17: Thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường tròn ( ) 2 ( )2
:
C x + y− = xung quanh trục hoành Ⓐ 62
Ⓑ. 63
Ⓒ. 32
Ⓓ.6
Lời giải Chọn A
( ) 2 ( )2 ( )2 2
2
2
: 3
3
3
C x y y x
y x y x
y x y x
+ − = − = −
− = − = + −
− = − − = − −
Thể tích V khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường trịn
( ) 2 ( )2
:
C x + y− = xung quanh trục hoành
( ) ( )
2
1
2 2
1
3 6
V x dx x dx
− −
(94)