Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng dành cho học sinh trung bình - yếu

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào. Ⓐ.[r]

St-bs: Duong Hung

FB: Duong Hung

Bài ❶: NGUYÊN HÀM

.Phương pháp:

 Định nghĩa: Hàm số gọi nguyên hàm hàm số với x thuộc

 Tính chất:







 Bảng nguyên hàm:

   

▪ ▪ ▪ ▪

     

▪ ▪ ▪ ▪

 

▪ ▪

Phương pháp: Casio.

⬧ Xét hiệu: Nhấn shift

⬧Calc hay ,… mệnh đềđúng

 Dạng ①: Nguyên hàm theo định nghĩa tính chất bản

CHƯƠNG ③:

Full Chuyên

St-bs: Duong Hung A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Tất nguyên hàm hàm số ( )

2 f x

x =

+

Ⓐ 1ln

2 x+ +C Ⓑ ( )

1

ln x+ +C

Ⓒ ln 2x+ +3 C. Ⓓ ln ln x+ +C

Lời giải

ChọnA

 ( ) ( )

1 1

d d d

2 2

1

ln

f x x x x

x x

x C

= = +

+ +

= + +

  

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio:

Calc: x= 2.5

Lưu ý: Gặp ln có trị tuyệt đối, rắt dễ chọn nhằm đáp án B

Câu 2: Câu 2: Nếu ( ) d

f x x= x +x +C

 hàm số f x( )

Ⓐ ( )

3 x

f x =x + +Cx Ⓑ f x( )=12x2+2x C+

Ⓒ. ( )

12

f x = x + x Ⓓ ( )

3

3 x

f x =x +

Lời giải

Chọn B

 Ta có:

( ) ( ( ) ) ( )

d 12

f x = f x x = x +x +C = x + x

PP nhanh trắc nghiệm

 Thửđạo hàm  Casio

Chú ý dễ chọn nhằm câu B

Câu 3: Cho hàm số f x( ) có '( )

f x

x =

− với

x f ( )1 =1 Khi giá trị f ( )5

St-bs: Duong Hung

Lời giải

ChọnD

 Ta có:  f '( )x dx= f x( )+C nên

( ) 1 d 2( 1)

d ln

2 2

x

f x x x C

x x

−

= = = − +

− −

 

Mặt khác theo đề ta có: f ( )1 =1

ln 2.1 1

2 C C

 − + =  = nên

( )

ln 1

f x = x− +

Do

( ) 1

5 ln 2.5 1 ln ln

2

f = − + = + = +

PP nhanh trắc nghiệm

 Tư Casio

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5

1

5

1

5

5 1

f x dx f f

f f f x dx f x dx

 = −

 

 = + = +



 

 Tổng quát:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

; b

a

b

a b

a

f x dx f b f a

f b f a f x dx

f a f b f x dx

 = −



 • = +



• = −



  B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Khẳng định sau sai?

Ⓐ Nếu  f x dx( ) =F x( )+C  f u du( ) =F u( )+C

Ⓑ .kf x dx( ) = k f x dx( ) (k số k0)

Ⓒ. Nếu F x( ) G x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) F x( )=G x( )

Ⓓ. f1( )x + f2( )x dx=  f1( )x dx+  f2( )x dx

Câu 2: Hàm số sau nguyên hàm hàm số ( ) ( )4

f x = x− ?

Ⓐ ( ) ( )

5

x

F x = − +x Ⓑ ( ) ( )

5 x

F x = −

Ⓒ. ( ) ( )

5

2020

x

F x = − + Ⓓ. ( ) ( )

5

1 x

F x = − −

Câu 3: Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

Ⓐ 0dx=C (C số) Ⓑ 1dx ln x C x

 = + (C số)

Ⓒ.

1 x

x dx C

 

 +

 = +

+ (C số) Ⓓ. dx= +x C (C số)

Câu 4: Cho hai hàm số f x( ), g x( ) hàm số liên tục Xét mệnh đề sau: (I) k f x dx( ) f x dx( )

k

 =  với k số thực khác (II) f x( )−g x( )dx=  f x dx( ) − g x dx( )

(III) f x g x( ) ( ) dx=  f x dx g x dx( )  ( ) (IV)  f( )x dx= f x( )+C

Số mệnh đề

Ⓐ 1 Ⓑ Ⓒ. Ⓓ 4

Câu 5: Cho hàm số f x( ) xác định K F x( ), G x( ) nguyên hàm f x( ) K Khẳng

St-bs: Duong Hung

Ⓐ G x( )=F x( ),  x K Ⓑ G x( )= f ( )x ,  x K

Ⓒ.F x( )=G x( )+C,  x K Ⓓ. F x( )= f ( )x ,  x K

Câu 6: Mệnh đềnào sau sai?

Ⓐ Nếu F x( ) nguyên hàm f x( ) ( )a b; C số ( )d ( )

f x x=F x +C



Ⓑ Mọi hàm số liên tục ( )a b; có nguyên hàm ( )a b;

Ⓒ. F x( ) nguyên hàm f x( ) ( )a b; F/( )x = f x( ),  x ( )a b;

Ⓓ. ( f x( )dx)/ = f x( )

Câu 7: Hàm số ( )

cos f x

x

= có nguyên hàm trên:

Ⓐ (0;) Ⓑ ;

2  

− 

 

  Ⓒ. ( ; ) Ⓓ. 2;  

− 

 

 

Câu 8: Hàm sốnào sau nguyên hàm hàm số ( ) ( )4

f x = x− ?

Ⓐ ( ) ( )

5 x

F x = − +x Ⓑ ( ) ( )

5 x

F x = −

Ⓒ. ( ) ( )

5

2017

x

F x = − + Ⓓ. ( ) ( )

5

1 x

F x = − −

Câu 9: Hàm số ( ) x3

F x =e nguyên hàm hàm số

Ⓐ ( ) x3

f x =e Ⓑ ( )

3 x

f x = x e Ⓒ. ( )

3

2

x e f x

x

= Ⓓ. ( ) 3 1

x

f x =x e −

Câu 10: Nếu ( )

3 d

3 x x

f x x= + +e C

 f x( )

Ⓐ ( )

x x

f x = +e Ⓑ f x( )=3x2+ex

Ⓒ. ( ) 12

x x

f x = +e Ⓓ. f x( )=x2+ex

Câu 11: Tìm nguyên hàm hàm số ( )

f x x

x

= +

Ⓐ ( ) 2

f x dx x C

x

= + +

 Ⓑ. ( )

4 ln x

f x dx= + x C+



Ⓒ. ( ) 2

f x dx x C

x

= − +

 Ⓓ ( )

4 ln x

f x dx= + x +C



Câu 12: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? Ⓐ cos d 1sin

2

x x= x+C

 Ⓑ d

1 e e x

x x C

e +

= +

+

St-bs: Duong Hung Ⓒ. 1dx ln x C

x = +

 Ⓓ d

1 e

e x

x x C

x +

= +

+



Câu 13: Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin f x = x + x Ⓐ

cos

x + x C+ Ⓑ 6x+cosx C+

Ⓒ. cos

x − x C+ Ⓓ 6x−cosx C+

Câu 14: Tất nguyên hàm hàm số ( )

2 f x

x =

+

Ⓐ 1ln

2 x+ +C Ⓑ ( )

1

ln x+ +C Ⓒ.ln 2x+ +3 C Ⓓ ln

ln x+ +C

Câu 15: Giả sử biểu thức sau có nghĩa cơng thức sau sai?

Ⓐ

tan cos xdx= x C+

 Ⓑ x x

e dx=e +C



Ⓒ. lnxdx C x = +

 Ⓓ sinxdx= −cosx C+ .

Câu 16: Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2x

f x =e +x

Ⓐ ( )

2

x

e x

F x = + +C Ⓑ F x( )=e2x+x3+C

Ⓒ. ( ) 2 x

F x = e + x C+ Ⓓ ( )

3

3 x x

F x =e + +C

Câu 17: Nguyên hàm hàm số ( )

3

f x =x + x+ hàm số hàm số sau ? Ⓐ ( )

3

F x = x + x C+ Ⓑ ( )

4

3

3 x

F x = + x + x C+

Ⓒ. ( ) 2

4

x x

F x = + + x C+ Ⓓ ( )

4 2

4

x x

F x = + + x C+

Câu 18: Họ nguyên hàm hàm số f x( )=e (3 e )x + −x Ⓐ ( ) 3e

e x

x

F x = − +C Ⓑ F x( )=3ex− +x C

Ⓒ.F x( )=3ex+e ln ex x+C Ⓓ F x( )=3ex+ +x C

Câu 19: Họ nguyên hàm hàm số f x( )=ex+cosx

Ⓐ ex−sinx C+ Ⓑ e sin

x

x C

x

+ + +

+

Ⓒ. ex sin

St-bs: Duong Hung

Câu 20: Nguyên hàm hàm số f x x 3x Ⓐ

2 ln x x

F x C Ⓑ

ln x

F x C

Ⓒ.

x x

F x C. Ⓓ

2

3 ln

x x

F x C

BẢNG ĐÁP ÁN

1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.D 9.A 10.C

11.D 12.D 13.C 14.A 15.C 16.A 17.C 18.D 19.D 20.A

A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho hàm số f x( ) có '( )

f x

x =

− với

x f ( )1 =1 Khi giá trị f ( )5

Ⓐ ln Ⓑ.ln Ⓒ.ln 1+ Ⓓ ln 1+

Lời giải

Chọn D

 Ta có:  f '( )x dx= f x( )+C nên

( ) 1 d 2( 1)

d ln

2 2

x

f x x x C

x x

−

= = = − +

− −

 

Mặt khác theo đề ta có: f ( )1 =1

ln 2.1 1

2 C C

 − + =  = nên ( ) 1ln 1

f x = x− +

Do ( )5 1ln 2.5 1 1ln ln

2

f = − + = + = +

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

; b

a

b

a b

a

f x dx F b F a

F b F a f x dx

F a F b f x dx

= −

 • = +

• = −



 

-Phương pháp:

Xác định nguyên hàm hàm số cho Tìm nguyên hàm

Thếđiều kiện tìm số C  Kết luận cho toán

St-bs: Duong Hung

Câu 2: Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=2x+2x thoả mãn F( )0 =0 Ta có F x( )

Ⓐ 2

ln x

x + − Ⓑ 2

ln x

x + − Ⓒ.1+(2x−1 ln 2) Ⓓ x2+2x−1

Lời giải

Chọn A

 Ta có: ( ) 2 2 d

ln x x

x+ x=x + +C

 Do

Theo giả thiết ( )

0

2

0 0

ln ln

F =  + + =  = −C C

Vậy ( ) 2 2

ln ln ln

x x

F x =x + − =x + −

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio: Thửđáp án

Câu 3: Tìm nguyên hàm F x hàm số f x sin  2x thỏa mãn

F 

Ⓐ ( ) cos( )

2

x

F x  Ⓑ ( ) cos( )

2

x

F x 

Ⓒ. ( ) cos( )

2 x

F x  Ⓓ ( ) cos( )

2

x

F x 

Lời giải

Chọn B

 sin d cos C

2 x

F x  x x 

 1

2

F  C

2 C

 Vậy ( ) cos( )

2

x

F x 

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio: Thửđáp án

B - Bài tập rèn luyện:

Câu Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số

( ) 4

f x = x − x+ thỏa mãn F(1)=3

Ⓐ

( )

F x =x − x + x− Ⓑ F x( )=x4−4x2+5x+1

Ⓒ.

( )

F x =x − x + x+ Ⓓ.

( )

2

F x =x − x − x+

Câu Hàm số ( )

5

f x = − x + x − có nguyên hàm F x( ) thỏa F( )3 =1 Tính F( )−3

Ⓐ F( )− =3 226 Ⓑ F( )− = −3 225 Ⓒ. F( )− =3 451 Ⓓ. F( )− =3 225

Câu Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=sin 2x F  = 

  Tính P F    =  

St-bs: Duong Hung

Ⓐ

4

P= Ⓑ P=0 Ⓒ.

2

P= Ⓓ.

4

P=

Câu Tìm nguyên hàm F x( )của hàm số f x( )=2x+sinx+2 cosxthỏa mãn F( )0 =1

Ⓐ ( )

cos 2sin

F x =x + x+ x− Ⓑ F x( )=x2−cosx+2sinx

Ⓒ. F x( )= +2 cosx+2sinx Ⓓ. F x( )=x2−cosx+2sinx+2

Câu Tìm nguyên hàm F x( )của hàm số ( ) sin 12 cos

f x x

x

= + thỏa mãn

4

F  =   

Ⓐ F x( )= −cosx+tanx C+ Ⓑ F x( )= −cosx+tanx− 1+

Ⓒ. F x( )=cosx+tanx+ 1− Ⓓ. F x( )= −cosx+tanx+ 1−

Câu Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) e x

f x = thỏa (0)

2

F = Giá trị F  

 

Ⓐ 1

2e+ Ⓑ

1

2e+ Ⓒ. 2e+1 Ⓓ.

1 2e+2

Câu Kí hiệu F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) ( )2

f x = x + ( )1 28

15

F =  Khẳng định

nào sau đúng?

Ⓐ ( )

5

x x

F x = + +x Ⓑ ( )

5

2

5

x x

F x = + + +x C

Ⓒ. ( ) ( )

4

F x = x x + Ⓓ. ( )

5

2

1

5

x x

F x = + + +x

Câu Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 1 f x

x =

− F( )2 =1 Tính F( )3

Ⓐ ( )3

F =  Ⓑ ( )3

4

F =  Ⓒ. F( )3 =ln 1.− Ⓓ.F( )3 =ln 1.+

Câu Tìm nguyên hàm F x( )của hàm số ( ) 2 f x

x =

− thỏa mãnF( )5 =7

Ⓐ F x( )=2 2x−1. Ⓑ F x( )=2 2x− +1

Ⓒ. F x( )= 2x− +1 Ⓓ. F x( )= 2x− −1 10

Câu 10 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) (= 2x−3)2 thỏa ( )0

F = Tính giá trị biểu thức T =log23F( )1 −2F( )2 

Ⓐ.T =2 Ⓑ T =4 Ⓒ. T =10 Ⓓ.T = −4

St-bs: Duong Hung 10

1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.A 8.D 9.B 10.A

A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Tìm họ nguyên hàm

cos xsinx dx

 ta kết

Ⓐ

cos x C

− + Ⓑ 1

cos

3 x C+ Ⓒ.

3

cos

3 x C

− + Ⓓ

sin

3 x C+

Lời giải

Chọn C

 2 ( )

cos sin cos cos cos

3

x x dx= − x d x = − x C+

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio: xét hiệu

Câu 2: Nguyên hàm 12 cos dx1 x x



Ⓐ sin1 C x

− + Ⓑ sin1 C

x+ Ⓒ.

1 sin C

x

− + Ⓓ 2sin1 C

x+

Lời giải

Chọn A

 Ta có 12 cos1dx cos1d sin1 C

x x x x

x

 

= −  = − +

 

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio: xét hiệu

Câu 3: Tính nguyên hàm d

ln

I x

x x

=

+



Ⓐ

(ln 1)

I = x+ +C Ⓑ I = lnx+ +1 C

Ⓒ.

(ln 1)

I = x+ +C Ⓓ I =2 lnx+ +1 C

-Định lí: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên hàm số

liên tục cho xác định Khi hàm số nguyên hàm , tức là:

-Phương pháp:

Từ ta có hai cách đổi biến số việc tính nguyên hàm sau:  Đặt biến số:

 Suy ra: đưa việc tính nguyên hàm

 đơn giản

St-bs: Duong Hung 11

Lời giải

Chọn D



1

d (ln 1) d(ln 1) ln

ln x x x x C

x x

−

= + + = + +

+

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio: xét hiệu

Câu 4: Tìm nguyên hàm hàm số ( ) sin 3cos

x f x

x =

+ .

Ⓐ ( ) d 1ln 3cos

f x x= + x +C

 Ⓑ  f x( ) dx=ln 3cos+ x +C

Ⓒ. f x( ) dx=3ln 3cos+ x +C Ⓓ ( ) d 1ln 3cos

f x x= − + x +C



Lời giải

Chọn D

 Ta có:

( )

sin 1

d d 3cos ln 3cos

1 3cos 3cos

x

x x x C

x = − x + = − + +

+ +

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio: xét hiệu

B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Biết  f u du( ) =F u( )+C. Mệnh đềnào sau đúng?

Ⓐ  f (2x−1)dx=2F(2x− +1) C Ⓑ  f (2x−1)dx=2F x( )− +1 C

Ⓒ.  f (2x−1)dx=F(2x− +1) C Ⓓ. (2 1) (2 1)

f x dx F x C

 − = − +

Câu 2: Nguyên hàm hàm số ( ) ( )9

f x =x x +

Ⓐ ( 2 )10

1

x + +C Ⓑ 2(x2+1)10+C

Ⓒ. ( 2 )10

1

20 x C

− + + Ⓓ. ( 2 )10

1

20 x + +C

Câu 3: Nguyên hàm hàm số f x( )= 2x−1

Ⓐ ( )

3

f x dx x C

 = − − + Ⓑ ( )

2

f x dx x C

 = − +

Ⓒ ( ) 1(2 1)

f x dx x x C

 = − − + Ⓓ. ( ) 2(2 1)

3

f x dx x x C

 = − − +

Câu 4: Nguyên hàm hàm số ( ) x2

f x =xe

Ⓐ 2

x

e +C Ⓑ ex2 +C

Ⓒ. 2

2ex +C e.2 x +C Ⓓ. (2x2+1)ex2 +C

Câu 5: Biết hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) lnx x

= thỏa mãn ( )2

St-bs: Duong Hung 12 Mệnh đềnào sau đúng?

Ⓐ ( ) ln2

x

F x = − Ⓑ ( )

2 ln

3

x

F x = +

Ⓒ. ( ) ln2

2 x

F x = − Ⓓ ( ) ln

2

x

F x = +

Câu 6: Tìm hàm số F x( ) biết ( )

3 d

1 x

F x x

x =

+

 F( )0 =1

Ⓐ ( ) ( )

ln 1

F x = x + + Ⓑ ( ) ( )

ln

4

F x = x + +

Ⓒ. ( ) 1ln( 1) 1

F x = x + + Ⓓ ( ) ( )

4 ln 1

F x = x + +

Câu 7: Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin cos

x f x

x =

−

Ⓐ −ln cosx− +3 C Ⓑ ln cosx− +3 C

Ⓒ. ln cos

x

C −

− + Ⓓ. ln cosx− +3 C

Câu 8: Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin2 sin e x f x = x

Ⓐ 2 sin2 1

sin x.e x− +C Ⓑ sin

2 e sin

x

C x

+ +

+

Ⓒ. sin2

e x+C Ⓓ. sin

2 e sin

x C x

− +

−

Câu 9: Xét nguyên hàm

I = −x dx với phép đặt x=sint Khi đó

Ⓐ I =2 cos cost tdt Ⓑ I =2 sin cost 2tdt

Ⓒ. I = cos cost tdt Ⓓ. I =4 sin cost tdt

Câu 10: Xét nguyên hàm

I = −x dx với phép đặt x=2sint với 0; t  

  Khi

Ⓐ I =2 cos 2( + t dt) Ⓑ I =2 cos 3( + t dt)

Ⓒ. I =2 cos 2( + t dt) Ⓓ. I =2 cos 2( + t dt) BẢNG ĐÁP ÁN

St-bs: Duong Hung 13

A - Bài tập minh họa:

Câu Họ nguyên hàm hàm số f x( )=xcos 2x

Ⓐ sin cos

2

x x x

C

+ + Ⓑ sin cos

2 x

x x− +C

Ⓒ. sin cos 2

x

x x+ +C Ⓓ sin cos

2

x x x

C

− +

Lời giải

Chọn A

I =xcos dx x

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio

-Phương pháp:

Cho hai hàm số 𝑢 𝑣 liên tục đoạn ሾ𝑎; 𝑏ሿ có đạo hàm liên tục đoạn ሾ𝑎; 𝑏ሿ Khi đó:∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ሺ∗ሻ

Để tính nguyên hàm ∫ 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 phần ta làm sau:

Bước Chọn 𝑢, 𝑣 cho 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 = 𝑢𝑑𝑣 (chú ý 𝑑𝑣 = 𝑣′ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥)  Sau tính 𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 𝑑𝑢 = 𝑢′ 𝑑𝑥 Bước Thay vào cơng thức ሺ∗ሻ tính ∫ 𝑣𝑑𝑢

①.Dạng 1 , đa thức

⬧.Đặt:

② Dạng 2 , trong đa thứ

⬧.Đặt:

③ Dạng 3. , đa thức ⬧.Đặt:

 Casio: Xét hiệu , calc x= {-5,….,5} cách thích hợp Sẽ thu kết bảng xấp xỉ0 đáp án

St-bs: Duong Hung 14 Đặt

d d

1

d cos d sin

2

u x

u x

v x x v x

=  =

 

 = 

=

 

Khi

1 1

sin sin d sin cos

2 2

I = x x−  x x= x x+ x C+

Calc x=3.5

Chọn A Câu 2: Họ nguyên hàm hàm số f x( )=xln 2x

Ⓐ ln

2

x

x C

 − +

 

  Ⓑ

2

ln 2 x

x x− +C

Ⓒ. 2(ln 1)

x

x− +C Ⓓ

2

2 ln 2 x

x−x +C

Lời giải

Chọn A

 Đặt 2

1 d ln

d d

2 u

u x x

v x x x

v  =  =

 →

 = 

  =





( ) ( ) 2

2 2

1

d ln d

2

1

ln ln

2 2

x x

F x f x x x x

x

x x x

x C x C

= = −

 

= − + =  − +

 

 

PP nhanh trắc nghiệm

Casio

Calc x=1

Chon A

Câu 3: Tìm nguyên hàm hàm số ( ) e x

f x =x

Ⓐ 1e2

2

x

F x x C Ⓑ F x 2e2x x C

Ⓒ 2e2

2

x

F x x C Ⓓ 1e2

2

x

F x x C

Lời giải

ChọnA

Ta có: ( ) e x

F x =x dx

Đặt

( )

2

2 2

d

e

1 1

e e d e

2 2

x x

x x x

du x

u x

v

dv e dx

F x x x x C

=  =

 

  =

=

 

 

 = − =  − +

 



PP nhanh trắc nghiệm

 Casio

Calc: x=2

St-bs: Duong Hung 15

Câu 1: Biết hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=lnx thỏa mãn F( )1 =3 Giá trị ( )2

F e

Ⓐ.4 Ⓑ e

− + Ⓒ.

4

e + Ⓓ. 3e2+4

Câu 2: Nguyên hàm hàm f x( )=4x(1 ln+ x)

Ⓐ 2

2x lnx+2x Ⓑ 2x2lnx+3x2

Ⓒ. 2

2x lnx+x +C Ⓓ.2x2lnx+3x2+C

Câu 3: Biết hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) (= x−1)e−x thỏa mãn ( )0 2020

F = Khẳng định sau đúng?

Ⓐ.F x( )=e−x+2019 Ⓑ F x( )=xe−x+2020

Ⓒ.F x( )= −xe−x+2020 Ⓓ.F x( )= −xex+2020

Câu 4: Biết hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) cos

2 x

f x =x thỏa mãn ( )0

F = 

Giá trị F( )

Ⓐ 2 

+  Ⓑ

4  −

Ⓒ.  + 

Ⓓ.

4  + Câu 5: Nguyên hàm hàm số f x( )=exsinx

Ⓐ.exsinxdx=exsinx C+ Ⓑ sin 1( sin cos )

x x x

e xdx e x e x C

 = + +

Ⓒ.exsinxdx=excosx C+ Ⓓ. sin 1( sin cos )

2

x x x

e xdx e x e x C

 = − +

Câu 6: Hàm số f x( )= +(x 1)sinx có nguyên hàm là:

Ⓐ.F x( ) (x 1) cosx s inx C Ⓑ F x( ) (x 1)cosx s inx C

Ⓒ.F x( ) (x 1)cosx s inx C Ⓓ.F x( )= +(x 1) cosx−sinx C+

Câu 7: Tính xcosxdx, ta kết là:

Ⓐ.F x( )=xsinx+cosx C+ Ⓑ F x( )=xsinx−cosx C+

Ⓒ.F x( )= −xsinx+cosx C+ Ⓓ.F x( )= −xsinx−cosx C+

Câu 8: Một nguyên hàm hàm số ( )

( ) x

f x = x + x e

Ⓐ.F x( )=(2x+2).ex Ⓑ F x( )=x e2 x

Ⓒ.

( ) ( ) x

F x x x e Ⓓ.

( ) ( ) x

F x = x − x e

St-bs: Duong Hung 16

Ⓐ 3 3

x

x xe x

xe dx= − e +C

 Ⓑ xe dxx =xex −ex +C

Ⓒ.

2

x x x

xe dx e C Ⓓ. xx dx xx 1x C

e e e

−

= − +



Câu 10: Cho

0 ( ) ln

x

f x = tdt Đạo hàm f x'( ) hàm sốnào đây?

Ⓐ 1

x Ⓑ lnx Ⓒ.

2

ln x Ⓓ. 1ln x

Câu 11: Nguyên hàm của hàm số f x( )=xsinx

Ⓐ – cosx x+sinx C+ Ⓑ xsinx+cosx C+ .

Ⓒ.xcosx+sinx C+ Ⓓ xcosx−sinx C+ .

Câu 12: Kết I =xe xxd

Ⓐ

2

x x x

I = e + +e C Ⓑ I = +ex xex+C

Ⓒ.

2 x x

I = e +C Ⓓ I =xex− +ex C

Câu 13: Tính F x( )=xsin 2xdx Chọn kết đúng? Ⓐ ( ) 1(2 cos sin )

4

F x = x x+ x +C Ⓑ ( ) 1(2 cos sin )

F x = − x x+ x +C

Ⓒ. ( ) 1(2 cos sin )

F x = − x x− x +C Ⓓ ( ) 1(2 cos sin )

F x = x x− x +C

Câu 14: Nguyên hàm hàm số f x( ) (= x+1 e) x Ⓐ ex

x +C Ⓑ (x+2 e) x+C Ⓒ.(x−1 e) x+C Ⓓ ex

x +C

Câu 15: Họ nguyên hàm f x( )=xlnx Ⓐ 2

ln

2

x

x+ x +C Ⓑ 2

ln

2

x x− x +C

Ⓒ. 2

ln

2

x

x− x +C Ⓓ ln

2

x x+ x C+

Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=xln(x+2) Ⓐ ( )d ln( 2)

2

x x x

f x x= x+ − + +C



Ⓑ ( )d 4ln( 2)

2

x x x

f x x= − x+ − + +C



Ⓒ. ( )d 2ln( 2)

2

x x x

f x x= x+ − + +C

St-bs: Duong Hung 17 Ⓓ ( )d 4ln( 2)

2

x x x

f x x= − x+ − − +C



Câu 17: Cho hàm số y=xsin dx x Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau

Ⓐ

6 12

y   =

  Ⓑ

3

6

y   =

 

Ⓒ.

6 12 y   = 

  Ⓓ y 24

 

   =

 

Câu 18: Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=xe−x Tính F x( ) biết F( )0 =1

Ⓐ F x( ) (= x+1 e) −x+2. Ⓑ F x( )= − +(x e) −x+1 Ⓒ.F x( )= − +(x e) −x+2 Ⓓ F x( ) (= x+1 e) −x+1

Câu 19: Tìm họ nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )=x.e2x

Ⓐ ( ) ( )

2e x

F x = x− +C. Ⓑ ( ) 1e2 ( 2)

2 x

F x = x− +C

Ⓒ. ( ) 2e

2 x

F x = x− +C

  Ⓓ ( )

2

1

e

2

x

F x = x− +C

 

Câu 20: Cho F x( )là nguyên hàm hàm số f x( ) (= 5x+1 e) x F( )0 =3 Tính ( )1

F

Ⓐ F( )1 = +e Ⓑ F( )1 =11e 3− Ⓒ.F( )1 = +e Ⓓ F( )1 = +e

BẢNG ĐÁP ÁN

1.C 2.C 3.C 4.B 5.D 6.B 7.A 8.B 9.C 10.B

St-bs: Duong Hung 18

FB: Duong Hung

A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Tính tích phân d b

a x 

Ⓐ a b− Ⓑ. a.b Ⓒ.b a− Ⓓ. a+b

Lời giải

Chọn C

 Ta có: d b

a

b

x x b a

a

= = −



PP nhanh trắc nghiệm



Câu 2: Giá trị

1

1 ex+dx −

Ⓐ 1 e− . Ⓑ. e 1− Ⓒ.−e Ⓓ. e.

Lời giải

Chọn B

 Ta có

1

1 ex+dx −

= 10 ex+

− = e 1−

PP nhanh trắc nghiệm



Câu 3: Tích phân

2020

0 d

I =x x

Ⓐ

2021 Ⓑ. Ⓒ.

1

2019 Ⓓ.

Lời giải PP nhanh trắc nghiệm

Bài 2: TÍCH PHÂN DÙNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT

.Phương pháp:



Nhận xét: Tích phân của hàm số từ a đến b kí hiệu hay Tích phân

đó phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số  Chú ý:Học thuộc bảng nguyên hàm hàm sốcơ thường gặp

 Dạng ①: Tích phân dùng định nghĩa

CHƯƠNG ③:

Full Chuyên

St-bs: Duong Hung 19 Chọn A

 Ta có

1

1 2021

2020

0

1 d

2021 2021 x

I =x x= =



B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Biếtf x dx( ) =F x( )+C.Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

Ⓐ b ( ) ( ) ( )

a

f x dx=F b −F a

 Ⓑ. ( ) ( ) ( )

b

a

f x dx=F b F a



Ⓒ.b ( ) ( ) ( )

a

f x dx=F a −F b

 Ⓓ. ( ) ( ) ( )

b

a

f x dx=F b +F a



Câu 2: Trong phép tính sau đây, phép tính sai?

Ⓐ ( )

2

2

1

1 d x x+ x= +x

 

 Ⓑ. ( )

2

2 cos dx x sinx



  

=



Ⓒ. ( )

3

1

dx lnx x

−

− − −

=

 Ⓓ. ( )

3

3 1

d

x x

e x= e



Câu 3: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm đoạn  1;3 , f ( )3 =5 ( )

1

d

f x x=

 Khi f ( )1

Ⓐ −1 Ⓑ. 11 Ⓒ.1. Ⓓ. 10

Câu 4: F x( )là nguyên hàm hàm số f x( ) 32 (x 0)

x x

= +  , biết F( )1 =1 Tính F( )3 . Ⓐ F( )3 =3ln 3+ Ⓑ. F( )3 =2 ln 2+ Ⓒ.F( )3 =2 ln 3+ Ⓓ. F( )3 =3

Câu 5: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm , f ( )− = −1 f ( )3 =2 Tính ( )

1

'

I f x dx

− =

Ⓐ I =4 Ⓑ. I =3 Ⓒ.I =0 Ⓓ. I = −4

Câu 6: Cho số thực a, b (ab) Nếu hàm số y= f x( ) có đạo hàm hàm liên tục Ⓐ  ( )d = ( )− ( )

b

a

f x x f a f b Ⓑ.  ( )d = ( )− ( )

b

a

f x x f b f a

Ⓒ. ( )d = ( )− ( ) b

a

f x x f a f b Ⓓ.  ( )d = ( )− ( )

b

a

f x x f b f a

Câu 7: PT 1.2 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) Khi hiệu số F( )1 −F( )2

Ⓐ ( )

1

d −

 

 

 f x x Ⓑ. ( )

1

2

d

F x x Ⓒ. ( )

2

1

d −

 

 

 F x x Ⓓ. ( )

2

1

d  f x x

Câu 8: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f( )x liên tục  a b; , f b( )=5 ( )d b

a

f x x=

 ,

( ) f a

St-bs: Duong Hung 20

Câu 9: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục  0;1 thoản mãn ( )

0

d

f x x= −

 Giá trị biểu thức f ( )0 − f ( )1

Ⓐ −2 Ⓑ. Ⓒ.3 Ⓓ. −3

Câu 10: Cho hàm số =

y x có nguyên hàm F x( ) Khẳng định sau đúng?

Ⓐ F( )2 −F( )0 =16.Ⓑ. F( )2 −F( )0 =1 Ⓒ.F( )2 −F( )0 =8 Ⓓ. F( )2 −F( )0 =4

Câu 11: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn  1;3 thỏa mãn f ( )1 =2 f ( )3 =9 Tính ( )

3

1

d I = f x x

Ⓐ I =11 Ⓑ. I =2 Ⓒ.I =7 Ⓓ. I =18

Câu 12: Tính tích phân

0 d

2 x I

x =

+



Ⓐ 21

100

I = − Ⓑ. ln5

2

I = Ⓒ. log5

2

I = Ⓓ. 4581

5000

I =

Câu 13: Tính tích phân

1

d

I x

x =

−



Ⓐ I =ln 1− Ⓑ. I =ln Ⓒ.I =ln 1+ Ⓓ. I =ln 1−

Câu 14: Cho số thực a b a, ( b) Nếu hàm số y=F x( ) nguyên hàm hàm số y= f x( )

Ⓐ ( )d ( ) ( )

b

a

f x x=F a −F b

 Ⓑ. ( )d ( ) ( )

b

a

F x x= f a − f b



Ⓒ. ( )d ( ) ( )

b

a

F x x= f a − f b

 Ⓓ. ( )d ( ) ( )

b

a

f x x=F b −F a



Câu 15: Cho hàm số f x( ) liên tục tập , nguyên hàm f x( ) F x( ) thoả mãn ( )1

F = − F( )0 =1 Giá trị ( )

0

d

f x x



Ⓐ −4 Ⓑ. −3 Ⓒ.−2 Ⓓ.

Câu 16: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f ( )0 =1, f( )x liên tục ( )

0

d

f x x=

 Giá trị ( )3

f

Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.10. Ⓓ.

Câu 17: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f ( )0 =1, f( )x liên tục ( )

0

d

f x x=

 Giá trị ( )3

f

St-bs: Duong Hung 21

Câu 18: Tích phân ( )

2

0

3 d

x x + x



Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.4

7 Ⓓ.

7

Câu 19:

2

1 dx 3x−2



Ⓐ ln Ⓑ. 2ln

3 Ⓒ.ln Ⓓ.

1 ln

Câu 20: Cho hai số thực , 0; a b  

  thỏa mãn

10 cos

b

a

dx

x =

 Giá trị tana−tanb

Ⓐ 10 Ⓑ.

10

− Ⓒ.−10 Ⓓ.

10 BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.C 3.A 4.C 5.A 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D

11.C 12.B 13 14.D 15.A 16.C 17.C 18.D 19.B 20.C

A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho biết ( )

0

d

f x x=

 ( )

2

0

d

g x x= −

 Tính tích phân ( ) ( )

0

2 d

I = x+ f x − g x  x

Ⓐ I =11 Ⓑ I =18 Ⓒ.I =5 Ⓓ I =3

Lời giải

Chọn A

 Ta có ( ) ( )

0

2 d

I = x+ f x − g x  x

( ) ( )

2 2

0 0

2 dx x f x dx g x xd

= + −  = + −4 2.( )− =2 11

PP nhanh trắc nghiệm



.Phương pháp:

Giả sử cho hai hàm số liên tục ba số thuộc Khi ta có

①. ②.

③. ④.

⑤.

St-bs: Duong Hung 22

Câu 2: Cho hàm số f x( ) liên tục có ( ) ( )

2

0

d 9; d

f x x= f x x=

  Tính ( )

4

0 d

I = f x x?

Ⓐ

4

I = Ⓑ. I =36 Ⓒ.I =13 Ⓓ. I =5

Lời giải

Chọn C

 Ta có ( ) ( ) ( )

4

0

d d d 13

f x x= f x x+ f x x= + =

  

PP nhanh trắc nghiệm



Câu 3: Cho ( )

0

d

f x x= −

 ( ( ))

5

1

2f x dx=6

 ( )

5

0

d

f x x



Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.4 Ⓓ.

Lời giải

Chọn A

 ( ( )) ( )

5

1

2f x dx= 6 f x dx=3

 

 ( ) ( ) ( )

5

0

d d d

f x x= f x x+ f x x= − + =

  

PP nhanh trắc nghiệm



B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Nếu

Ⓐ Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.

Câu 2: Cho hai hàm số liên tục Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau

Ⓐ Ⓑ

Ⓒ. Ⓓ.

Câu 3: Cho hai hàm số liên tục Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau?

Ⓐ

Ⓑ.

Ⓒ.

( ) ( )

2

1

3,

f x dx= f x dx= −

  ( )

1

f x dx 

2 −2

( ) ( ),

f x g x

( )d ( )d

b b

a a

f x x= f y y

  ( ( ) ( ))d ( )d ( )d

b b b

a a a

f x −g x x= f x x− g x x

  

( )d a

a

f x x=

 ( ( ) ( ) )d ( )d ( )d

b b b

a a a

f x g x x= f x x g x x

  

( ) ( ),

f x g x

( ) ( )

b b

a a

f x dx= f y dy

 

( ) ( )

( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x −g x dx= f x dx− g x dx

  

( )

a

a f x dx=

St-bs: Duong Hung 23

Ⓓ

Câu 4: Cho ,

Ⓐ Ⓑ Ⓒ. Ⓓ

Câu 5: Cho ,

Ⓐ Ⓑ Ⓒ. Ⓓ

Câu 6: Cho ,

Ⓐ Ⓑ Ⓒ. Ⓓ

Câu 7: Cho , Tính

Ⓐ Ⓑ Ⓒ. Ⓓ

Câu 8: Cho ,

Ⓐ Ⓑ Ⓒ. Ⓓ

Câu 9: Cho hàm số liên tục thỏa mãn Giá trị

Ⓐ Ⓑ Ⓒ. Ⓓ

Câu 10: Cho hàm số f x( ) liên tục tập thỏa mãn ( )

1

d

f x x=

 , ( )

2

0

d

f x x= −

 Giá trị biểu thức ( )

1

0

d

f x x



Ⓐ 8 Ⓑ −11 Ⓒ.−8 Ⓓ −2

Câu 11: Cho hàm số y= f x( ) liên tục Mệnh đề sau đúng?

Ⓐ 1 ( ) ( )

0

1

d d

2

f x x= f x x

  Ⓑ ( ) ( )

1

1

d d

f x x f x x

−

=

 

Ⓒ.1 ( )

d

f x x −

=

 Ⓓ ( ) ( )

1

0

d d

f x x= f −x x

 

Câu 12: Cho hàm số y= f x( )có đạo hàm liên tục đoạn  1; , biết f ( )4 =3,f ( )1 =1 Tính ( )

4

1

2  d

 f x x

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx= f x dx g x dx

       ( ) d

f x x=

 ( )

0

d

g x x=

 ( ) ( )

0

2 d

f x g x x

 + 

 



− −8 12

( ) ( )

0

2 d 12

f x − g x x=

 

 

 ( )

0

d

g x x=

 ( )

0

d

f x x



− 12 22

( )

1

d

f x x

−

=

 ( )

1

d

g x x

−

= −

 ( ) ( )

1

1

d

f x g x x

−  −      

−

( )d 50 c

a

f x x=

 ( )d 20

c

b

f x x =

 ( )d

a

b

f x x



30

− 0 70 30

( )

0

d

f x x=

 ( )

0

d

g x x=

 ( ) ( )

0

2 d

f x − g x x

 

 



− 12 −8

( )

f x ( ) ( ) ( )

6 10

0 3

7, 8,

f x dx= f x dx= f x dx=

  

( ) 10

0

I = f x dx

5

St-bs: Duong Hung 24

Ⓐ 10 Ⓑ 8 Ⓒ.4 Ⓓ 5

Câu 13: Cho hàm số f x( ) ( ),g x liên tục có ( ) ( )

1

3f x +2g x dx=1

     ; ( ) ( )

2f x −g x dx= −3

 

 

 Tính ( )

1

0

2 d

f x+ x



Ⓐ

7 −

Ⓑ. 10

7

− Ⓒ.11

14 Ⓓ.

5 14 −

Câu 14: Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đề sau ?

Ⓐ Ⓑ

Ⓒ. Ⓓ

Câu 15: Biết ( )

2

d

f x x=

 , ( )

5

2

d

g x x=

 Tích phân ( ) ( )

5

2

d

f x +g x x

 

 



Ⓐ 10 Ⓑ 3 Ⓒ.6 Ⓓ 12

Câu 16: Cho

0

1

( ) ( )

f x dx f x dx

−

= =

  Tính tích phân

3

1 ( ) f x dx −

?

Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.2 Ⓓ.

Câu 17: Cho

0

( )

f x dx= −



1

0

( )

g x dx= −

 Khi  

1

0

( ) ( )

f x + g x dx



Ⓐ −10 Ⓑ 12 Ⓒ.−17 Ⓓ 1

Câu 18: Cho

0

2

( )d 2, ( )d

f x x f x x

−

= =

  Tích phân

2

2 ( )d f x x −

Ⓐ 4 Ⓑ 3 Ⓒ.6 Ⓓ 1

Câu 19: Cho ( )

1

d

f x x

−

= −

 ( )

4

0

d

f x x=

 Khi đó, ( )

4

1

d

I f x x

−

= 

Ⓐ I = −4 Ⓑ I =2 Ⓒ.I =4 Ⓓ I = −2 Câu 20: Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn  0;3

2

0

( )d

f x x=

 ,

2

3

( )d

f x x=

 Tính

3

0 ( )d I = f x x

Ⓐ I =5 Ⓑ. I = −3 Ⓒ.I =3 Ⓓ. I =4

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.C 7.A 8.C 9.B 10.C

11.D 12.C 13.D 14.B 15.D 16.B 17.C 18.A 19.B 20.B ( )

f x g x( )  a b;

( ) ( )d ( )d ( )d

b b

a b

a a

x f x x g

f x −g x = − x x

 ( ( ) ( ))d ( )d ( )d

b b

a b

a a

x f x x g

f x −g x = − x x

 ( ) ( )

( )d ( )d ( )d

b b

b

a a a

x f x x g x x

f x −g x = −

   ( ( ) ( ))d ( )d ( )d

b b

a b

a a

x f x x g

f x −g x =  − x x

St-bs: Duong Hung 25 -Phương pháp:

① Dạng 1:I  (với a≠0)

Chú ý: I =

② Dạng 2: ( với ),é

• ,thì

•

thì I =

•

Đặt

③ Dạng 3: .( liên tục đoạn )

• Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm cho:

• Ta có I=

Tích phân =

Tích phân thuộc dạng

St-bs: Duong Hung 26 A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho biết 1 d ln 2 x

x a b

x

− = +

+

 , với a,b số nguyên Giá trị biểu thức a−2b

Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.−5 Ⓓ.

Lời giải

Chọn D

 Ta có:

1

0

1

d d

2 x x x x x − =  −    +  + 

  ( )1

0 3ln

x x

= − +

(1 3ln 3) (0 3ln 2)

= − − − 3ln3

2

= −

 Suy a b =   = −

 Vậy a−2b=7

PP nhanh trắc nghiệm Casio:

 Bước 1: Tính tích phân lưu lại A

Bước 2: Rút A ln3

a= −b

Bước 3: Table nhập ( ) A ln3

f x = −x

với Start: −9, End: 9, Step:

Được cặp số x= −3 , f x( )=1 thỏa mãn Suy a=1,b= −3

Câu 2: Cho

( )

1

2

d

ln ln

x

a b c

x x

= + +

+

 với a b c, , số hữu tỉ Giá trị a b c+ +

Ⓐ

12 Ⓑ.

5

12 Ⓒ.

1

− Ⓓ.

4

Lời giải

Chọn A



( )

( )

( ) ( ) ( )

1 1

2 2

0 0

2 1

1 1

2

2

2

d d

d

1

x x

x x

x

x x x

x = + − =  −  +

 + 

+ +  + 

  

1

1 1 1

ln ln ln

0

4 x 2x 4

   

=  + +  =  + − = −

+

   

Vậy 1

6 12

a b c+ + = − + =

PP nhanh trắc nghiệm

 Đặt 1,

2 d 2dt t

t= x+  =x − x=



2

3

1 1 1

ln ln

1

4 4

t

I dt t

t t

−  

= = +  = −

 



Vậy:

12 a b c+ + =

Câu 3: Cho

2

1

d ln

9 24 16

x

x a b c

x x

− = +

− +

 , với a b c, , số hữu tỷ Giá trị 9a+11b+22c

Ⓐ 15 Ⓑ. −10 Ⓒ.7 Ⓓ.

Lời giải

Chọn C

PP nhanh trắc nghiệm

St-bs: Duong Hung 27  Ta có

( )

( )

( )

3 3

2

2

2 2

5 17

3

1 5 3 3

d d d

9 24 16 4

x

x x

x x x

x x x x

− − −

− −

= =

− + − −

  

( )

( ) ( )

( )

3 5

2

2 2

d d

5 d 17 d 17

3 3 4 9 3 4

x x

x x

x x x x

− −

= − − = − −

− − − −

   

5

2

5 17 17

ln ln

9 x 3x 11 22

 

= − − +  = −

−

 

5 17

, ,

9 11 22

5 17

9 11 22 11 22 10

9 11 22

a b c

a b c

 = = = −

 + + = + − = −

B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Tìm số thực a0 thỏa mãn ( )

875 d

4 a

x − x x=



Ⓐ a= −4 Ⓑ. a= −5 Ⓒ.a= −6 Ⓓ. a= −3

Câu 2: Giá trị tích phân

1 d

2

x x+

 1lnb

a c, Tổng a b c+ +

Ⓐ 18 Ⓑ. 14 Ⓒ.16. Ⓓ. 10

Câu 3: Giả sử

5

1

ln(b 1)

dx a

x− = + +

 , với a b, số nguyên không âm Tính T = +a b?

Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.-1. Ⓓ.

Câu 4: Biết

0

d ln ln

x

x a b c

x

− = + +

+

 (a b c, , số nguyên) Giá trị a b c+ −

Ⓐ Ⓑ. −4 Ⓒ.3 Ⓓ. −1

Câu 5: Cho biết ( )

0

4 sinx dx a b 



− = +

 , với a b, số nguyên Giá trị biểu thức a b+

Ⓐ −4 Ⓑ. Ⓒ.1 Ⓓ.

Câu 6: Cho

2

0

cos d b

I x x

a c





= = + , với a, b, c sốnguyên dương, b

c tối giản Tính P= + +a b c

Ⓐ P=15 Ⓑ. P=23 Ⓒ.P=24 Ⓓ. P=25

Câu 7: Cho

( )

1

3

2

d ln

1

x x

x a b

x

+ = +

+

 với a, b số hữu tỷ Giá trị 16a b+

St-bs: Duong Hung 28

Câu 8: Cho

2

2 ln2 ln3 ln5, ( , , )

3

x dx a b c a b c x x

+ = + + 

+ +

 Giá trị a b c+ +

Ⓐ -1 Ⓑ. Ⓒ.1 Ⓓ.

Câu 9: Với a b, tham số thực Giá trị tích phân ( )

3 d

b

x − ax− x



Ⓐ

b −b a b− Ⓑ. b3+b a b2 + Ⓒ.b3−ba2−b Ⓓ. 3b2−2ab−1

Câu 10: Cho

0 1d ln x

I x a b

x

= = −

+

 với a b, số nguyên dương Giá trị a b+

Ⓐ 3 Ⓑ 4 Ⓒ.5 Ⓓ 6

Câu 11: Có số thực a(0; 2π cho ( )

2

0

1

cos d

2

ax x

a = +



Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.3 Ⓓ.

Câu 12: Cho

2

3

ln ln ln

3

x

dx a b c

x x

+

= + +

+ +

 , với a, b, c số nguyên Giá trị a b c+ +

Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.3 Ⓓ.

Câu 13: Cho

( )

1

2

d ln ln

2 x

x a b c

x+ = + +

 với a b c, , số hữu tỷ Giá trị 6a b c+ +

Ⓐ Ⓑ. −2 Ⓒ.2 Ⓓ.

Câu 14: Biết

1

d ln

x

I x a b c

x +

= = + , với a, b, c , c9 Tính tổng S= + +a b c

Ⓐ S =7 Ⓑ. S =5 Ⓒ.S=8 Ⓓ. S =6

Câu 15: Cho

2

1

10

d ln

1

x a

x x

x b b

 +  = +

 + 

 

 với a b,  Tính P= +a b?

Ⓐ P=1 Ⓑ. P=5 Ⓒ.P=7 Ⓓ. P=2

Câu 16: Giả sử

2

2

1

d ln ln

x

x a b

x x

− = +

+ +

 ;a b Q,  Tính P=a2−2b

Ⓐ P=10 Ⓑ. P=8 Ⓒ.P=3 Ⓓ. P=1

Câu 17: Cho

( )

1

2

d

ln ln

x x

a b c

x+ = + +

 với a b c, , số hữu tỷ Giá trị 3a b c+ + bằng:

Ⓐ −2 Ⓑ. Ⓒ.1 Ⓓ. −1

Câu 18: Cho

( )

4

2

1 1

d ln

2

a x

x x+ = b −c

 , với a b c, , số hữu tỷ Giá trị a b c+ −

Ⓐ Ⓑ. −5 Ⓒ.14 Ⓓ.

BẢNG ĐÁP ÁN

St-bs: Duong Hung 29

11.A 12.B 13.B 14.A 15.B 16.A 17.D 18.B

Hướng dẫn giải

Câu 1:

Ta có ( )

6 d a

x − x x



1 a x x   = −    11 4 a a = − +

Từ giả thiết ta có phương trình:

4

2 11 875

4 4

a a

− + =

12 864

a a  − − = 2 36 24 a a  =   = − 

Do a0 nên a= −6

Câu 2:

Ta có ( ) ( )

2

2

1

d

d 1

ln ln

2 2 2

x x x x x + = = + = + +  

Vậy a b c+ + = + + =2 18

Câu 3: Ta có 5 1 1

ln (ln ln1) ln ln(2 1)

2 2

dx

x

x− = − = − = = +



Vậy a=0,b=  + =2 a b

Câu 4:

Ta có: 2 d x x x − +  d x x   =  −  +    =( )

2x−3ln x+1 3ln3 3ln 3ln 2

= − = − + +

Do đó: a= −3, b=3, c=1 Vậy a b c+ − = −1

Câu 5:

Ta có 2 2

0

0 0

(4 sin )dx x dx sin dx x 4x cosx

  

 



− = − = + = −

  

Suy 2 1 a a b b =   + = − =  = −  Câu 6:



0

cos d

I x x



=

0

1 cos d x x  +   =   ( )

1 cos d

2 x x



=  + 1sin

2 x x    =  +    16  = + 16 a

 = , b=1, c=8

Vậy P= + + = + + =a b c 16 25

St-bs: Duong Hung 30 Ta có

( )

( )

( ) ( )

( )

2

1 1

1

3

0 0

0

1 1

2

d d d d ln ln

1

1

x x

x x

x x x x x x

x

x x

− −

+ − +

+

= = − + = + − = − +

+ −

+ +

   

Vậy

a= − ; b=1 16a b+ = −5

Câu 8:

Ta có: + = − = + − + = − −

+ +

+ +

3 3 3 31 13

1 1

2 3ln 2 ln 1 3ln5 3ln3 ln2

2

3

x dx dx dx x x

x x

x x

Vậy: a= −1;b= −3;c=  + + = −3 a b c

Câu 9:

( ) ( )

0

3 d

b b

x − ax− x= x −ax −x =b −ab −b



Câu 10:

Ta có: 1 ( )

0

1

d d x ln 1 ln

0

1

x

I x x x

x x

 

= =  −  = − + = −

+  + 

 

Vậy: a=1, b=  + =2 a b

Câu 11: Ta có: ( ) ( ) ( )

1 1

2

0 0

1 cos cos

cos d d d d

2 2

ax ax

ax x = + x = x+ x

   

Mà

0

1

d x =

 ( ) ( ) ( )

1 1

0

cos 1

d sin sin

2 4

ax

x ax a

a a

= =



( ) ( )

1

0

1

cos d sin

2

ax x a

a

 = +

Theo đề ta có: ( )

2

1

cos d

2

ax x

a = +



Nên sin 2( )a =1 π 2π π π,( )

2

a k a k k

 = +  = + 

Do (0;  π π 2π  0;1

4 4

a    +k   −    k k Với π

4 k =  =a Với 5π

4 k =  =a

Vậy có giá trị a(0; 2π thỏa mãn đề

St-bs: Duong Hung 31

 ( )( )

( )

3 3

2

1 1

3

3 2

3

2 ln ln 2 ln ln ln

x x

dx dx dx dx

x x x x x x

x x + + = = − + + + + + + = + − + = + −    

Suy a=2 , b=1 , c= −1 Nên a b c+ + = + − =2 1

Câu 13: Ta có

( ) ( )

1

1

2

0 0

1 2

d d ln ln ln

2

2

x

x x x

x x x x     =  −  = + +  = − − + +  +  +  +   

Suy 1, 1,

a= − b= − c=

Vậy 6a b c+ + = −2

Câu 14: Ta có d x I x x + = dx x   =  +   

 ( ln )3

1

x x

= + = +2 2ln

Mà I = +a blnc, với a, b, c , c9 Suy a=2, b=2, c=3 Vậy S= + + =a b c

Câu 15: Ta có

2 2

2 2

1 1

1 1

d d d

1 1

x x

x x x x x x

x x x

+ −  +  =  +  =  + −   +   +   +          

10 10 10

ln ln ln ln ln

3 3

x a x x b b   = + − +  = + − = + = +  

Suy a=2;b=3 Vậy a+ =b

Câu 16:

Ta có

2

2

2 0

0

1

d d ln ln

4 3

− =  − +  = − + + + 

   

+ +  + + 

 x x  x x x

x x x x =2ln5 3ln3−

2 a

 = , b= −3 Vậy

2 10

P=a − b=

Câu 17: 

( ) ( )

1

1 1

1

2 0

0

0 0

d d d 1

2 ln 2 ln ln

2

2

x x x x

x x x x x − = − = + − = − − + + + + +   

 1; 1; 1 3 1

3

a b c a b c

 = − = − =  + + = −

Câu 18: Ta có:

( ) ( )( )

2

1

1

2

A Bx C

Ax Bx C x

x x x x

+

= +   + + +

+ +

St-bs: Duong Hung 32 

( ) ( )

4

2

3

1

4 1

0

1 1 4 2

2 d d

4

2

1 A

A B x

B C B x x

x x x x

C

C  =

  

+ =

   − + 

 + =  = −  = +

  +  + 

 =   

  =  



 

Khi ta có:

( )

4

4 4

2

3 3 3

1

1 4 2 d d d d

ln

4 4

x

x x x x

x

x x x x x x x

 − + 

   + 

+ = − + = −

 +  +  

 

 

 

   

St-bs: Duong Hung 33

FB: Duong Hung

Bài 3: TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ

.Phương pháp: Cho hàm số liên tục đoạn Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục đoạn Giả sử viết với liên tục đoạn Khi đó, ta có

 Để tính tích phân: ta thực bước:  Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt .Bước Thực phép đổi cận:

 Với ; (Ghi Nhớ : đổi biến phải đổi cận)

. Bước Đưa dạng đơn giản dễtính

 Dấu hiệu nhận biết cách đặt.

Dấu hiệu Có thể đặt  Có

 Có ngoặc  Có mũ

 Có hoặc biểu thức chứa  Có hoặc biểu thức chứa  Có

 Có  Có

 Có

 Có mẫu: mẫu

 Dạng ①: Phương pháp tích phân cách đổi biến số cơ bản

CHƯƠNG ③:

Full Chuyên

St-bs: Duong Hung 34 A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Tính tích phân

2

0

(1 )

I =x +x dx

Ⓐ 16

5

I = Ⓑ. 31

10

I = Ⓒ.

10

I = Ⓓ

10 I = −

Lời giải ChọnB

 Đặt

1

t = +x dt= xdx

Đổi cận x=  =0 t 1;x=  =1 t Nên

2

1

31

2 10

t

I = dt=

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio:

Câu 2: Tính tích phân

2

1

2

I = x x − dx cách đặt u=x2−1, mệnh đềnào đúng?

Ⓐ

0

I =  udu Ⓑ.

2

1

I = udu

Ⓒ.

I = udu Ⓓ.

2

1

I =  udu

Lời giải

Chọn C



2

1

2

I = x x − dx

Đặt

1

u=x − du= xdx

Đổi cận x=  =1 u 0;x=  =2 u Nên

3

0

I = udu

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio: xét hiệu

Câu 3: Tính tích phân

Ⓐ Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.

Lời giải

Chọn C

Ta có:

0

cos sin

I x xdx



=

PP nhanh trắc nghiệm

Sử dụng máy tính, tính tích phân hàm lượng giác phải chuyển vềđơn vị radian

3

0

cos sin d

I x x x



= 4

I = −  I = −4 I =0

St-bs: Duong Hung 35 Đặt t=cosx = −dt sinxdx − =dt sinxdx

Đổi cận: với x=  =0 t 1;vớix=  = − t

Vậy ( )

1

1 4

3

1 1

1

0

4 4

t

I t dt t dt

−

− −

−

= − = = = − =

B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Cho tích phân ( )

5

0

1 d

I =x −x x Mệnh đề đúng?

Ⓐ ( )

0

1

1 d

I t t t

− = − − Ⓑ. ( ) d

I t t t

−

= − −

Ⓒ. 5( )

0

1 d

I =t −t t Ⓓ. ( )

0

6

1

d

I t t t

−

= − − Câu 2: Cho

4

0

1 d

I =x + x x u= 2x+1 Mệnh đề sai?

Ⓐ

3

1

2

u u

I =  − 

  Ⓑ. ( )

3 2

1

1 d

I =u u − u

Ⓒ. 2( )

1

1 d

I = x x − x Ⓓ. ( )

3 2 1 d

I = u u − u

Câu 3: Tính 2 d x K x x = − 

Ⓐ K =ln Ⓑ. 1ln8

2

K = Ⓒ. K =2 ln Ⓓ. ln

3

K =

Câu 4: Tích phân

cos x.sinx dx





Ⓐ

2

− Ⓑ.

3 Ⓒ.

2

− Ⓓ.3

2 Câu 5: Cho

2

1

2 1d

I = x x − x u=x2−1 Mệnh đề sai?

Ⓐ

0 d

I = u u Ⓑ. 27

3

I = Ⓒ.

2

1 d

I = u u Ⓓ.

3 2

3

I =

Câu 6: Cho

3 2 cot d sin x I x x  

= u=cotx Mệnh đề

Ⓐ

4 d

I u u

  = Ⓑ. d

I =u u Ⓒ.

1

0 d

I = −u u Ⓓ.

1

0 d I =u u Câu 7: Cho ( )

ln ln 1 x x x e e I dx e + = −

St-bs: Duong Hung 36

Ⓐ 4( )

1

2

I =  t + dt Ⓑ.

ln

ln

( 2)

I =  t + dt

Ⓒ. 2( )

1

2

I =  t + dt Ⓓ. ( )

4

1 I = t + dt Câu 8: Cho

4

0

1 d

I =x + x x u= 2x+1 Mệnh đề sai?

Ⓐ

3

1

2

u u

I =  − 

  Ⓑ. ( )

3 2

1

1 d

I =u u − u

Ⓒ. 2( )

1

1 d

I = x x − x Ⓓ. ( )

3 2 1 d

I = u u − u

Câu 9: Tính 2 d x K x x = − 

Ⓐ K =ln Ⓑ. 1ln8

2

K = Ⓒ. K =2 ln Ⓓ. ln

3

K =

Câu 10: Cho

3 2 cot d sin x I x x  

= u=cotx Mệnh đề

Ⓐ

4 d

I u u

  = Ⓑ. d

I =u u Ⓒ.

1

0 d

I = −u u Ⓓ.

1

0 d I =u u Câu 11: Cho ( )

ln ln 1 x x x e e I dx e + = −

 Đặt t= ex−1 Chọn mệnh đề

Ⓐ ( )

4

1

2

I =  t + dt Ⓑ.

ln

ln

( 2)

I =  t + dt

Ⓒ. ( )

2

1

2

I =  t + dt Ⓓ. ( )

4

1 I = t + dt Câu 12: Cho

3

2

0

sin cos d

I x x x



= , khẳng định sau đúng?

Ⓐ 1

3 I Ⓑ.

1

3 I

  Ⓒ.

2 I Ⓓ.

1 3 I Câu 13: Cho

1 d x I x m = +

 , m số thực dương Tìm tất giá trị m để I1

Ⓐ

4 m

  Ⓑ.

4

m Ⓒ. m0 Ⓓ.1

8 m Câu 14: Cho tích phân

2

2

0

16 d

I =  −x x x=4sint Mệnh đề sau đúng?

Ⓐ 4( )

0

8 cos d

I t t



=  + Ⓑ.

4

0 16 sin d

I t t



St-bs: Duong Hung 37

Ⓒ. 4( )

0

8 cos d

I t t



=  − Ⓓ.

4

0

16 cos d

I t t



= − 

BẢNG ĐÁP ÁN

1.C 2.B 3.B 4.B 5.C 6.B 7.C 8.B 9.B 10.B

11.C 12.B 13.A 14.A

A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho biết

2

0

1 d

x x + x

 = a 1b− với a, b số tự nhiên Giá trị a2−b2

Ⓐ −5 Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.7

Lời giải

Chọn A

 Đặt

x + =t x2+ =1 t2x xd =t td Ta có x=0  =t 1, x=1 =t Khi đó:

1

0

1 d

x x + x

 2

1 d

t t

= 

2

1 t

= 2

3 −

=  =a 2, b=3

Vậy 2

a −b = −

PP nhanh trắc nghiệm

Tính tích phân lưu lại A

Rút

A a

b= −

 table ( ) A x

f x = − với Start: 0, End: 18, Step:

Được cặp số x=2 , f x( )=3 thỏa mãn Suy a=2,b=3

Câu 2: Cho

( )

e

2

ln

d ln ln

ln x

x a b c

x x+ = + +

 với a, b, c số hữu tỷ Giá trị 3a b c+ +

Ⓐ −2 Ⓑ. −1 Ⓒ. Ⓓ.1

-Phương pháp:

 Để tính tích phân: ta thực bước:

 Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt

.Bước Thực phép đổi cận:

 Với ;

.Bước Đưa dạng đơn giản dễtính

St-bs: Duong Hung 38

Lời giải

Chọn B

 Đặt t lnx dt 1dx x

=  =

Đổi cận: x=  =1 t 0; x=  =e t Khi đó:

( ) ( )

e

2

1

ln

d d

ln 2

x t

I x t

x x t

= =

+ +

 

( ) ( )

1

2

0

2 2

d d

2

2

t

t t

t

t t

 

+ −

= =  − 

+

+  + 

 

1

0

1

ln 2 ln ln

2

t

t

 

= + +  = − − +

+

 

Suy ra:

a= − ; b= −1; c=1 Do đó: 3a b c+ + = −1

PP nhanh trắc nghiệm



Câu 3: Biết ln

0 e

d ln ln

1 e

x

x x= +a b +c

+ +

 với a, b, c số nguyên Tính T= + +a b c

Ⓐ T = −1 Ⓑ. T=0 Ⓒ. T =2 Ⓓ.T =1

Lời giải

Chọn B

 Xét ln

0 e

d

1 e

x

x

I = x

+ +

 Đặt t= ex+3  = +t2 ex dt t e dx x

 =

Đổi cận x=  =0 t 2, x=ln 6 =t Khi

3

2

d t

I t

t =

+



2

2

2 d

1 t t

 

=  −  +

 

 ( )3

2 2t lnt

= − +

2 4ln 2ln

= − +

Suy a=2, b= −4, c=2 nên T = + + =a b c

PP nhanh trắc nghiệm



St-bs: Duong Hung 39

Câu 1: Tính tích phân d x I x x = +

 ta kết I =aln 3+bln Giá trị S =a2+ab+3b2

Ⓐ Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.5

Câu 2: Cho

( )2

1 ln

ln ln ln

e

x c

I dx a b

x x

= = + +

+

 , với a b c, ,  Khẳng định sau đâu

Ⓐ 2

1

a + +b c = Ⓑ. a2+b2+c2 =11 Ⓒ. a2+b2+c2 =9 Ⓓ.a2+ +b2 c2 =3

Câu 3: Cho

2

2

d ln ln

3 2

x

x a b c

x x

+ = +

− −

 , với a b c, , số hữu tỷ Giá trị 5a+15b−11c

Ⓐ −12 Ⓑ. −15 Ⓒ. 14 Ⓓ.9

Câu 4: Biết

2

d

ln ln ln x

I a b c

x x

= = + +

+

 , a b c, ,  Tính giá trị T= + +a b c

Ⓐ T =2 Ⓑ. T =3 Ⓒ. T = −1 Ⓓ.T=5

Câu 5: Giả sử tích phân ( )

1

d ln ln , ,

1

I x a b c a b c

x

= = + + 

+ +

 Khi đó:

Ⓐ

3

a+ + =b c Ⓑ.

3

a+ + =b c Ⓒ.

3

a+ + =b c Ⓓ.

3 a+ + =b c

Câu 6: Cho

0

2 tan

d 2,

1 cos x

x a b

x



+ = +

+

 với a b,  Tính giá trị biểu thức A= +a b

Ⓐ

3 Ⓑ.

7

12 Ⓒ.

2

3 Ⓓ.

4

Câu 7: Cho

( )

e

2

ln

d ln ln

ln x

x a b c

x x

= + +

+

 với a, b, c số hữu tỷ Giá trị 3a b c+ +

Ⓐ −2 Ⓑ. −1 Ⓒ. Ⓓ.1

Câu 8: Cho

( )

3

2

ln

d ln ln

x a

x c

b

x+ =  − 

 với a b c, ,  * phân số a

b tối giản Giá trị a b c+ +

Ⓐ Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.9

Câu 9: Biết ln

0 e

d ln ln

1 e

x

x x= +a b +c

+ +

 với a, b, c số nguyên Tính T= + +a b c

Ⓐ T = −1 Ⓑ. T=0 Ⓒ. T =2 Ⓓ.T =1

Câu 10: Cho biết e ln d 3 x a x b x + = +

 , với a,b số nguyên Giá trị biểu thức log2

2b + a

Ⓐ -1 Ⓑ.

2 Ⓒ. Ⓓ.6

Câu 11: Cho biết

2

0

1 d

x x + x

St-bs: Duong Hung 40

Ⓐ −5 Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.7

BẢNG ĐÁP ÁN

1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.A 7.B 8.A 9.B 10.C 11.A

A - Bài tập minh họa:

Câu : Biết f x( )là hàm liên tục ( )

0

d

f x x=

 Khi giá trị ( )

1

3 d

f x− x



Ⓐ Ⓑ. 27 Ⓒ. Ⓓ.24

Lời giải

Chọn C

 Đặt u=3x−3, suy du=3dx

 Đổi cận: x=1 u=0; x=4 u=9  Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

4 9

1 0

1 1

3 d d d d

3 3

f x− x= f u u= f u u= f x x= =

   

 Vậy ( )

1

3 d

f x− x=



PP nhanh trắc nghiệm

 Nếu có ( ) m

n

M

f x dx=



( ) ;

,

f x b dx

n a b m a b

M a

a





 

+ =

= + = +



 Áp dụng:

9 3 =

Câu 2: Cho hàm số f x( ) liên tục R thỏa mãn f x( 3+2x− =2) 3x−1 với  x R Tính

tích phân 10

1 ( ) I = f x dx

-Phương pháp:

Tính tích phân .Giả sử được viết dưới dạng

,trong hàm số có đạo hàm , hàm số y=f(u) liên tục cho hàm

hợp xác định hai số thuộc

Khi đó

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay

cho Như vậy tích phân khơng phụ thuộc vào biến tức

St-bs: Duong Hung 41

Ⓐ 151

4 Ⓑ. 27 Ⓒ.

121

4 Ⓓ.

105

Lời giải

Chọn A

 Đặt ( )

2

x= + − t t dx= t + t dt,

 Đổi cận :

3

3

1

10 12

x t t t

x t t t

 =  + =  = 



=  + =  =



Ta có ( ) ( )( )

2

3 2

1

( 2) 3

I =f t + −t t + t dt= t− t + t dt

( )

2

3

1

9t 3t 2t dt

= + −

2

3

1

9 151

4

t

t t

 

= + −  =

 

PP nhanh trắc nghiệm



Câu 3: Cho Cho hàm số f x( ) liên tục R thỏa mãn 2021

0

( ) f x dx=

 Tính tích phân

( )

2021 1

2

0

ln( 1)

e

x

I f x dx

x −

= +

+



Ⓐ Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.−3

Lời giải

Chọn C

 Đặt ( )

2

2

ln

1

x x

t x dt dx dx dt

x x

= +  =  =

+ + ,

 Đổi cận :

2021

0

1 2021

x t

x e t

=  = 



= −  =

  Ta có

2021 2021

0

1 1

( ) ( )

2 2

I =  f t dt=  f x dx= =

PP nhanh trắc nghiệm



B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Cho ( ) f x dx=4

 , ( )

0 f 2x+1 dx



Ⓐ Ⓑ. Ⓒ.

2 Ⓓ.

3

Câu 2: Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn ( )

1

d

f x x=

 Tính

( )

1

0

2 d

I =f x+ + x+  x

St-bs: Duong Hung 42

Câu 3: Cho ( )

4

d 10

f x x=

 Tính tích phân ( )

0

5 d

J = f x+ x

Ⓐ J =2 Ⓑ. J =10 Ⓒ. J =50 Ⓓ.J =4

Câu 4: Cho hàm số f x( ) liên tục ( )

2

d 10

f x x=

 Tính ( )

3

1

3 d

I =  f x− x

Ⓐ 30 Ⓑ. 10 Ⓒ. 20 Ⓓ.5

Câu 5: Cho f x( ) hàm số chẵn, liên tục Biết ( )

1

d

f x x −

=

 ( )

3

1

2 d

f x x=

 Tính

tích phân ( )

1 d f x x −

Ⓐ 14 Ⓑ. 11 Ⓒ. Ⓓ.2

Câu 6: Cho

0

( )d 2018

f x x=

 Tính tích phân  

2

0

(2 ) (4 ) d

I = f x + f − x x

Ⓐ I =0 Ⓑ. I =2018 Ⓒ. I =4036 Ⓓ.I =1009

Câu 7: Biết ( )

1

5

f x dx=

 ( )

5

4

20

f x dx=

 Tính ( ) ( )

2 ln

2

1

4 x x

f x− dx− f e e dx

 

Ⓐ 15

4

I = Ⓑ. I =15 Ⓒ.

2

I = Ⓓ.I =25

Câu 8: Cho

0

2018

f x dx Tính tích phân

2

0

(2 ) (4 )

I f x f x dx

Ⓐ I Ⓑ. I 2018 Ⓒ. I 4036 Ⓓ.I 1009

Câu 9: Giả sử hàm số f x( ) liên tục đoạn  0; thỏa mãn ( )

0

d

f x x=

 Tính tích phân

( )

2

0

2sin cos d

I f x x x



=

Ⓐ Ⓑ. −3 Ⓒ. Ⓓ.−6

Câu 10: Cho ( )

1

d

I = f t t= Tính tích phân ( )

1

0

3 d

J = f x+ x

Ⓐ Ⓑ. 27 Ⓒ. Ⓓ.1

Câu 11: Cho ( )

0

d 2019

f x x=

 Giá trị ( )

0

cos sin d

I f x x x



=

Ⓐ 2019

4 Ⓑ.

2019

− Ⓒ. 4038 Ⓓ.2019

2

Câu 12: Cho tích phân ( )

0

d 32

I = f x x= Tính tích phân ( )

0

2 d

J = f x x

St-bs: Duong Hung 43 Câu 13 ho hàm số f x liên tục có ( )

1

0

2f x dx=2

 ( )

2

0

1 d

f x+ x=

 Tính ( )

3

0

d

I = f x x

Ⓐ I = Ⓑ. I = Ⓒ. I = Ⓓ.I =

Câu 14: Cho hàm số f x( ) liên tục ( )

0

d 2018

f x x



=

 Tính ( )2

0

d

I xf x x



=

Ⓐ I =1008 Ⓑ. I =2019 Ⓒ. I =2017 Ⓓ.I =1009

Câu 15: Cho hàm số f x( ) liên tục có ( ) ( )

1

0

d 2; d

f x x= f x x=

  Tính ( )

1

1

I f 2x dx −

= −

Ⓐ I =6 Ⓑ.

3

I = Ⓒ. I =5 Ⓓ.

2 I =

Câu 16: Cho ( )

1

d

f x x=

 Khi ( )

4

1

d

f x

I x

x

=

Ⓐ Ⓑ.

2 Ⓒ. Ⓓ.2

Câu 17: Cho ( )

3

1 d 10

f x+ x=

 Tính ( )

1

0

5 d

J = f x+ x

Ⓐ J =4 Ⓑ. J =10 Ⓒ. J =50 Ⓓ.J =2

BẢNG ĐÁP ÁN

1.B 2.B 3.A 4.D 5.A 6.B 7.A 8.B 9.A 10.C

St-bs: Duong Hung 44

FB: Duong Hung

Bài 5: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

.Định lí:

Nếu hàm sốcó đạo hàm liên tục thì:

Hay

.Phương pháp chung:

• Bước 1:Viết dạng cách chọn phần thích hợp làm phần cịn lại

• Bước 2:Tính

• Bước 3:Tính

.Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần Đặt u theo thứ tựưu tiên:

Lô-đa-lượng-mũ

u P(x) lnx P(x)

dv P(x)dx cosxdx cosxdx

.Chú ý:Nên chọn phần mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn phần vi phân hàm sốđã biết có ngun hàm dễ tìm

 Dạng ①: Phương pháp tính phân phần bản

① Loại 1:

.Phương pháp:

Đặt:

 Dạng ①: Tích phân chứa đa thức với lượng giác mũ

CHƯƠNG ③:

Full Chuyên

St-bs: Duong Hung 45 A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Tính tích phân

1 = x

I xe dx

Ⓐ. =

I e Ⓑ I = −e2 Ⓒ I =e Ⓓ

3

= −

I e e

Lời giải Chọn A

Đặt  =  =

= =

 x  x

u x du dx

dv e dx v e

( )

2

2 2

1

1

2 2

2

x x x x

I xe dx xe e dx e e e

e e e e e

= = − = − −

= − − − =

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Tính tích phân

+ Kiểm tra đáp án:

2

A e− = (đúng)

Câu 2: Tính tích phân

2

0

( 2) x

I = x− e dx

Ⓐ.

4 e

I = − Ⓑ.

2

4 e

I= − Ⓒ.

2

4 e

I = − Ⓓ.

2

4 e

I = −

Lời giải ChọnB

 Đặt 22 2

2 x x

du dx

u x

v e

dv e dx

=  = −

 



 

= =

  (chọn C =0)

1

2

0

1

( 2)

2

x x e

I x e e dx −

 = − −  =

PP nhanh trắc nghiệm

 Tính tích phân:

+Kiểm tra đáp án:

Câu 3: Tích phân ( )

3x cos x xd



+



Ⓐ.

4 − Ⓑ.

4 + Ⓒ.

4 + Ⓓ.

St-bs: Duong Hung 46

Lời giải ChọnB

 Đặt ( )

0

3 cos d

I x x x



= + Ta có:

( )( )

0

3 cos d

2 x x x



=  + +

( ) ( ) ( 2)

0

1

3 d cos d

2 x x x x x I I

 

 

=  + + + = +

  

 1 ( )

0

3 d

I x x



= + = 2

0

3

2

2x x



 

 +  = +

 

 

 2 ( )

0

3 cos d

I x x x



= + Dùng tích phân phần Đặt

d 3d

3

1

d cos d sin

2

u x

u x

v x x v x

=  = +

 

 =  =

 

Khi

( )

2

0

1

3 sin sin d

2

I x x x x

 

= + − 

( )

0

0 cos

4 x



= + =

Vậy 3

2

2

I =   + =  +

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Tính tích phân:

Kiểm tra đáp án:

B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Xét tích phân

2

0

(2 4) x

I = x − e dx Nếu đặt 2

2 4, ' x

u= x − v =e , ta tích phân:

1

0

( ) x

I = x − xe dx, đó:

Ⓐ. 2

( )x (x 2)e x

 = − Ⓑ. 2 ( )x (2x 4)e x

 = − Ⓒ. ( )x (x 2)ex

 = − Ⓓ.

1

( ) (2 4)

x

x x e

 = −

Câu 2: Tính tích phân

I x cos xdx 

= Ⓐ. I

2 

= Ⓑ. I

2 

= + Ⓒ. I

3 

= Ⓓ. I

3  = −

Câu 3: Tính

x

0 xe dx 

Ⓐ. e Ⓑ. e 1− Ⓒ. 1 Ⓓ. 1e

St-bs: Duong Hung 47

Câu 4:

0

L x sin xdx 

=

Ⓐ. L=  Ⓑ. L= −2 Ⓒ. L=0 Ⓓ. L= −

Câu 5: ( )

0

x cos 2xdx 

+



Ⓐ. Ⓑ.

4

− Ⓒ.

4 Ⓓ.

1

Câu 6: 4

0

xcos2xdx 



Ⓐ.

8  −

Ⓑ.

4  −

Ⓒ.

2 

− Ⓓ.

2  −

Câu 7: Tính tích phân

3

0

( 1) x

I = x+ e dx

Ⓐ.

9

I = e − Ⓑ.

9

I = − e Ⓒ.

9

I = e − Ⓓ.

9

I = e +

Câu 8: Tính tích phân

1

0 x I =xe− dx

Ⓐ. Ⓑ. e−2 Ⓒ. 1−e Ⓓ. −1

Câu 9: Tính tích phân

3

0

( 1) x

I = x+ e dx

Ⓐ.

9

I = e − Ⓑ.

9

I = − e Ⓒ.

9

I = e − Ⓓ.

9

I = e +

Câu 10: Tính tích phân

1

0 x I =xe− dx

Ⓐ. 1 Ⓑ. e−2 Ⓒ. 1−e Ⓓ. −1

BẢNG ĐÁP ÁN

St-bs: Duong Hung 48

A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Tích phân e

1

x ln xdx



Ⓐ. e2

4 +4 Ⓑ.

2 e

1

4 − Ⓒ.

2 e

4 −

Ⓓ.

2 e

2−

Lời giải

Chọn D

e e 2

e e

1

1

x x x x e

x ln xdx ln x dx ( ln x)

2 4

+

= − = − + =

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio:

Câu 2: Tính tích phân ( ) ( )

4

1 ln d

I = x+ x− x?

Ⓐ. 10ln Ⓑ. 10 ln 19

+ Ⓒ. 19 10 ln

4 − Ⓓ.

19 10 ln

4

−

Lời giải

 Chọn D

Đặt ( )

2

d d

ln 3

1

d

2

u x

u x x

v x

v x x

 = 

 = −

  −

 

= +

  = +



( )

2

4

1 2

ln d

4

2

x x

I x x x x

x +

 

= +  − −

−

  

5

4

35 9 3

ln

2 3

x x

dx dx

x x

− + − +

= − −

− −

 

( )

35

ln ln 3ln

2 2

 

= −  + + − +

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio:

 Kiểm tra đáp án: ② Loại 2:

-Phương pháp:

.Đặt:

St-bs: Duong Hung 49 19

10 ln

= −

Câu 3:Tính 

ln d

e

x x x

Ⓐ. 3+1 e

. Ⓑ. 3−1

9 e

. Ⓒ. 3−2

9 e

. Ⓓ. 3+2

9 e

Lời giải ChọnA

 =   =     =   =     =  − = −   − + = − = 

3 3

1 1 3 ln

1 1

ln

3 3

1

3 9

e e e

du dx

u x x

dv x dx

v x

I x x x dx e x

e e

e

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio

B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Tính tích phân

( 2) ln e

I = x+ xdx

Ⓐ

2

I = Ⓑ

2 2 e

I = − Ⓒ

2 e

I = + Ⓓ.

2 e

I = −

Câu Nếu đặt (ln )

2

u x

dv x dx

= 

 = +

 tích phân 1( ) ln e

I = x+ xdx trở thành

Ⓐ. ( ) ( )

1

1 e e

I = x +x − x+ dx Ⓑ. ( )

1

ln

e e

I =x x − x+ dx

Ⓒ. 1 ln e e

I = x x +xdx Ⓓ. ( ) ( )

1

ln

e e

I = x +x x + x+ dx

Câu 3: Tính tích phân ( )

0

ln

J =x x+ dx

Ⓐ.

ln 3

J = Ⓑ. 5ln

3

J = Ⓒ. 2ln

3

J = Ⓓ. 3ln

4

J =

Câu 4: Tính tích phân ( ) ( )

4

1 ln d

I = x+ x− x?

Ⓐ. 10ln Ⓑ. 10 ln 19

+ Ⓒ. 19 10 ln

4 − Ⓓ.

19 10 ln

4 −

Câu 5: Tích Phân

2

2

ln( )

= −

St-bs: Duong Hung 50

Ⓐ. 3ln 3 Ⓑ. ln Ⓒ. 3ln 2− Ⓓ. 3ln 3−

Câu 6: Tích phân

2

ln = x

I dx

x

Ⓐ. 1( )

1 ln

2 + Ⓑ. ( )

1

1 ln

2 − Ⓒ. ( )

1

ln

2 − Ⓓ. ( )

1

1 ln

4 +

Câu 7: Cho a  −b Tích phân ln( d) b

a

I = x+ x biểu thức sau đây? Ⓐ. ( ln) ( 1)b

a

I = x+ x+ − +a b Ⓑ. ( ln) ( 1)b

a

I = x+ x+ − +b a

Ⓒ.

( 11) b

a I

x =

+ Ⓓ. ln( 1) 1d

b b a

a x

I x x x

x

= + +

+



BẢNG ĐÁP ÁN

1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.A 7B

A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho với , , Tính

Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.

Lời giải

 Chọn D

 Ta có: nên

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio

+ Thử C=1,2,3,4,5,6 giải hệ tìm a,b nguyên

e

1 ln d

I =x x x

2 e

a b

c +

= a b c T = + +a b c

5

ln

d d

u x

v x x

=   =



1

d d

2

u x

x x v  =    =  e

1

ln d

I =x x x

e e

1

1

ln d

2

x

x x x

= −  e2

4 + =

-Phương pháp: Tích phân phần

① ②

St-bs: Duong Hung 51

Vậy

B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Cho

3

ln d

e a

e

x x x

b + =

 với a b,  Tổng a+b

Ⓐ. 20 Ⓑ. 10 Ⓒ. 17 Ⓓ. 12

Câu 2: Biết

2

ln

d = ln

x b

x a

x c+

 a ; b, clà số nguyên dương nguyên tố Tính giá trị 2a+ +3b c

Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ. −6

Câu 3: Cho tích phân

2

ln

ln

x b

I dx a

x c

= = + với a số thực, b c sốdương, đồng thời b c phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P=2a+3b c+

Ⓐ. P=6 Ⓑ. P=5 Ⓒ. P= −6 Ⓓ. P=4

Câu 4: Cho ( )

2

1

1 xd

x+ e x=ae +be c+

 với a, b, c số nguyên Tính a b c+ + .

Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.

Câu 5: Biết

ln d e

I =x x x=ae +b với a, b số hữu tỉ Giá trị 9(a b+ )

Ⓐ. Ⓑ. 10 Ⓒ. Ⓓ.

Câu 6: Biết

ln d e

I =x x x=ae +b với a, b số hữu tỉ Giá trị 9(a b+ )

Ⓐ. Ⓑ. 10 Ⓒ. Ⓓ.

Câu 7: Cho

( )

2

2

ln

d ln ln

x a

I x c

b x

= = −

+

 với a b c, , sốnguyên dương a

b phân số tối giản Tính giá trị biểu thức S a b

c +

=

Ⓐ.

S = Ⓑ.

3

S = Ⓒ.

5

S = Ⓓ. 10

3

S =

Câu 8: Biết ( )

4

0

2x+ex e dx x=a.e +b.e +c

 với a b c, , số hữu tỉ Giá trị 2a+ +3b 2c

Ⓐ. Ⓑ. 10 Ⓒ. Ⓓ.

1 a b c

=    =

 = 

St-bs: Duong Hung 52

Câu 9: Biết

2

ln

ln = +

 xdx b a

x c Giá trị 2a+3b c+

Ⓐ. −6 Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.

Câu 10 Cho ( )

2

2

ln x −x xd =aln 5+bln 2+c

 với a, b, c số nguyên Tính S= +a 2b c−

Ⓐ. S=23 Ⓑ. S=20 Ⓒ. S =17 Ⓓ. S =11

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.A 7.B 8.B 9.B 10.A

Hướng dẫn giải

Câu 1: Đặt u lnx du 1dx x

=  = ;

4

4 x

dv=x dx =v

4 4 4

3

1

1

1 1

ln d

4 4 16 16 16 16

e e e

x e e e e

I  x  x x  x  +

 =  − = −  = − + =

 

  

4

20 16

a

a b b

= 

 =  + =



Câu 2:

Đặt

2

1

ln d = d

1

1 d = d

u x u x

x

v x

v x

x  =

 

 

 

  = −

 

Ta có

2 2

2

2

1

1 1

ln 1 1 1

d = ln d ln ln

2 2

x

x x x

x x x x

−  + = − − = − +

 

 

 

Theo đề ta có

a= − , b=1, c=2

Do 2a+ + =3b c

Câu 3:

Đặt

2 2

ln

2

ln ln 1 ln

1 1 2

dx

u x du

x x

x

I dx

dx

x x x x

dv

v x

x 

= =

  − − −

   = + = +  = −

 =  −  

 

  =

  

1

1, 2,

2

b c a − P a b c

 = = =  = + + =

St-bs: Duong Hung 53

Đặt

d x

u x

dv e x

= +  

=

 ta d d , x u= x v=e

( ) ( )

2

2 2

1

1

1 xd x xd x

x+ e x= x+ e − e x=xe = e −e

 

2, 1,

a b c a b c

 = = − =  + + =

Câu 5:

Đặt ln2

d d

u x

v x x

= 

 =

 ta có

1

d d

3

u x

x x v  =    = 

Suy

3 3

3

1

1

ln

d

3 3 9

e e e

x x x e x

I = − x= − = e +

Vậy

9

a= ,

9

b= nên 9(a b+ )=3

Câu 6:

Đặt ln2

d d

u x

v x x

=  

=

 ta có

1

d d

3

u x

x x v  =    = 

Suy

3 3

3

1

1

ln

d

3 3 9

e e e

x x x e x

I = − x= − = e +

Vậy

9

a= ,

9

b= nên 9(a b+ )=3

Câu 7:

Ta có:

( )

( )

2 2

2

1 1

2

ln 1 1 1

d ln d ln d ln d

1

1 ( 1)

1

5

1

ln ln ln ln ln 3

1

3 3

3 x

I x x x x x

x x x x x x

x

a

a b

x x b S

c c

     

= = −  = −  + = − +  − 

+ + + +

     

+

= 

+ 

= − + − + = −  =  = =

 = 

   

St-bs: Duong Hung 54

Đặt: e

d e d x x u x v x  = +   =

 ta

( )

d e d e x x u x v  = +   = 

Khi đó: ( ) ( ) ( )

2

2

0

0

2x+e e dx x x= 2x+ex ex − 2ex+e x dx

 

( 2) (2 0) 2

0 2.2 e e 2.0 e e 2e e

2 x x   = + − + − +    e 2e 2 = + +

Theo ta có 1; 2;

2

a= b= c=

Vậy: 2.1 3.2 2.3 10

2

a+ b+ c= + + =

Câu 9:

Gọi

2

ln = x

I dx

x

Áp dụng phương pháp nguyên hàm phần ta có:

Đặt

2 ln 1  = =       =   = −  

u x du dx

x dv dx v x x

2 2

2

1 1

ln 1 ln 1 1 1

ln ln ln

2 2 2

   

 = − − −  = − + = − − = − − − = −

   

 

x

I dx dx

x x x x x

1

; 1; 2

 = −a b= c=

Vậy 2a+3b c+ =4

Câu 10

Đặt ( )

2 ln d d

u x x

v x  = −   =   2 du x dx

x x v x −  =  −   = 

Khi ( ) ( )

5

2

2

5

ln d ln d

2

x

x x x x x x x

x − − = − − −   5ln 20 ln 2 d

1 x x   = − −  +  −  

 ( )2 ( )5

5ln 5.2 ln 2 ln

x x

= − − + −

( )

5ln 8ln 10 ln ln1

= + − − + − =5ln 6ln 6+ −

St-bs: Duong Hung 55

A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho f x( ) hàm sốcó đạo hàm  1; , biết ( )

1

d 20

f x x=

 f ( )4 =16, f ( )1 =7 Tính ( )

4

1

d I =xf x x

Ⓐ. I =37 Ⓑ I =47 Ⓒ. I =57 Ⓓ. I =67

Lời giải

Chọn A

 Xét ( )

1

d

I =xf x x, dùng phương pháp tích phân phần :

( ) ( )

d d

d d

u x u x

v f x x v f x

= =

 

 

 =   =

 

 

 Do đó: ( ) ( ) 4

1

d

I =xf x − f x x ( ) ( ) ( )

4

1

4f f f x dx

= − −

4.16 20 37

= − − =

PP nhanh trắc nghiệm



Câu 2: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn  0; thỏa mãn f ( )0 =2,

( ) ( )

2

0

2x−4 'f x dx=4

 Tính tích phân ( )

2

0

d

I = f x x

Ⓐ. I =2 Ⓑ I = −2 Ⓒ I =6 Ⓓ I = −6

Lời giải

Chọn B

 Ta có: ( ) ( )

0

2x−4 'f x dx=4



Đặt

( )

d ' d

u x

v f x x

= −

  =

 ( )

du 2dx

v f x

= 

  =



PP nhanh trắc nghiệm



 Phương pháp: Tích phân từng phần

 Viết dạng hợp làm phần lại

 Tính  Tính

St-bs: Duong Hung 56

Nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

0

2x−4 'f x dx= 2x−4 f x −2 f x xd

 

( ) 4.f 2I

= − = −8 2I

 Theo giả thiết ta có: 4= −8 2I 2I =  =4 I

B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Cho f x( ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn ( ) ( )

0

2 16, d

f =  f x x= Tính ( )

2

0

d

I =x f x x ta kết

Ⓐ. I =14 Ⓑ. I =20 Ⓒ. I =10 Ⓓ. I =4

Câu 2: Cho f x( ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn ( ) ( )

0

2 16, d

f =  f x x= Tính ( )

2

0

d

I =x f x x ta kết

Ⓐ. I =14 Ⓑ. I =20 Ⓒ. I =10 Ⓓ. I =4

Câu 3: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm thỏa mãn ( )

0

2 d

x f  x− x=

 ; f ( )2 =2 Tính ( )

1

2

2 d

I f x x

−

= 

Ⓐ. I= −5 Ⓑ. I = −10 Ⓒ. I =5 Ⓓ. I =10

Câu 4: Cho hàm số f x( ) liên tục  0;1 Biết ( ) ( )

0

1

d

2

x f x f x x

 − −  =

 

 Tính f ( )0

Ⓐ. f ( )0 = −1 Ⓑ. ( )0

f = Ⓒ. ( )0

2

f = − Ⓓ. f ( )0 =1

Câu 5: Cho hàm số f x( ) liên tục f ( )3 =21, ( )

0

d

f x x=

 Tính tích phân ( )

0

d

I =x f x x

Ⓐ. I =15 Ⓑ. I =12 Ⓒ. I =9 Ⓓ. I =6

Câu 6: Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đạo hàm thỏa mãn ( ) ( ) ( ) 5f x −7f 1−x =3 x −2x , x Biết tích phân ( )

1

0

' d a

I x f x x

b

= = − Tính T =8a−3b

St-bs: Duong Hung 57

Câu 7: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục tập hợp thỏa mãn ( )

1

3 d

f x− x=

 f ( )− =3

Giá trị ( )

3

d

x f x x

− 



Ⓐ. −3 Ⓑ. 11 Ⓒ. Ⓓ.

Câu 8: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f( )x liên tục  0; f ( )2 =3, ( )

0

d

f x x=



Tính ( )

0

d

x f x x



Ⓐ. −3 Ⓑ 3 Ⓒ. Ⓓ.

Câu 9: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f '( )x liên tục đoạn [0; 1] f ( )1 =2 Biết ( )

1

0

1

f x dx=

 , tính tích phân ( )

0 '

I =x f x dx

Ⓐ I =1 Ⓑ. I = −1 Ⓒ. I =3 Ⓓ. I = −3

Câu 10: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) ( )

0

1 ' 10

x+ f x dx=

 2f ( )1 − f ( )0 =2 Tính ( )

0

I = f x dx

Ⓐ. I =8 Ⓑ I = −8 Ⓒ. I =4 Ⓓ. I = −4

Câu 11: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn  0; thỏa mãn f ( )2 =16, ( )

2

0

d

f x x=

 Tính tích phân ( )

0

d I =x f x x

Ⓐ. I =12 Ⓑ. I =7 Ⓒ. I =13 Ⓓ. I =20

Câu 12: Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn ,

Tính

Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.

Câu 13: Cho hàm số y f x thỏa mãn f x3 3x 3x 2, x Tính

1

I x f x dx

Ⓐ.

4 Ⓑ.

17

4 Ⓒ.

33

4 Ⓓ. −1761

BẢNG ĐÁP ÁN

1.B 2.B 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.B 9.A 10.B 11.B 12.B 13.C

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )

1

0 0

1

2 d d d 12

2

f x x=  f x x =  f x x=

  

( )

y= f x f ( )− =2 ( )

2

1

2 d

f x− x=



( )

2

d

xf x x

− 



St-bs: Duong Hung 58 Xét ( )

2

0

d

I =x f x x

Đặt

( ) ( )

d d

d d

u x u x

v f x x v f x

= =

 

 

 =   =

 

 

Khi ( ) ( ) ( )

2

0

d 2 12 20

I =xf x − f x x= f − =

Câu 2:

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )

1

0 0

1

2 d d d 12

2

f x x=  f x x =  f x x=

  

Xét ( )

0

d

I =x f x x

Đặt

( ) ( )

d d

d d

u x u x

v f x x v f x

= =

 

 

 =   =

 

 

Khi ( ) ( ) ( )

2

0

d 2 12 20

I =xf x − f x x= f − =

Câu 3:

 Xét ( )

3

0

2 d

J =x f  x− x=

Đặt u=x d (2 d) d (2 4)

v= f x− x=  f x− 

 , ta du=dx ( )

2

2

v= f x−

( ) ( )

0

1

4 d

0

2

J x f x f x x

 = − −  − ( ) ( )

0

3

2 d

2 f f x x

= −  − ( )

0

3 d

2 f x x

= −  −

Vì J =8 ( )

3

0

3 d

2 f x x

 −  − = ( )

3

0

2 d 10

f x x

 − = −

Đặt 2t=2x− 4 2dt=2dxdt=dx Đổi cận:

x

t −2

( ) ( )

1

1

2

2 d d 10

I f t t f x x

− −

=  =  = −

Vậy I = −10

Câu 4: Ta có ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

0 0

d d d

A=x f − −x f x  x=x f −x x−f x x

Đặt ( )

1

0

d

St-bs: Duong Hung 59 Đặt

( ) ( )

d d

d d

u x u x

v f x x v f x

= =

 

 

 =  −  = − −

 

 

Khi ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

0

1 d d

I = −f −x x +f −x x= −f +f x x

Do ( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1

0 d d

2

A= −f +f x x−f x x=  f = −

Câu 5:

Đặt

d d

d (3 )d (3 )

3

u x

u x

v f x x v f x

=  =

 

 =   =

 

Suy

1

0

1

1 1

(3 ) (3 )d (3) ( )d

0

3 3

I = x f x − f x x= f −  f x x=

Vậy I =6

Câu 6:

Ta có : 5f x( )−7f (1−x)=3(x2−2x) Lần lượt chọn x=0,x=1 , ta có hệ sau :

 ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

5

5 8

5 7

0 f

f f

f f

f

 =



− =

 

 − = − 

  =

 Tính ( )

1

0

' dx

I =x f x

Đặt : ( ) ' dx

u x

dv f x

= 

 =

 Chọn ( )

du dx

v f x

=   = 

 ( ) ( )

1

0

5

dx

8

I =x f x −f x = −J

Đặt x= −1 t ( ) ( )

0

1

1 dt dx

J f t f x K

 = − − = − = Suy ( )

1

0

5J−7K =3 x −2 dxx = −2

Ta có :

5

J K

J K

J K

= 

 = =

 − = − 

Vậy 3

8

a I

b =  − = − =  

=

  =T 8a−3b=0

St-bs: Duong Hung 60 Đặt t=3x−  =6 dt 3dx

Đổi cận: x=  = −1 t 3, x=  =2 t

 ( ) ( ) ( ) ( )

2 0

1 3

1

3 d d d d

3

f x x f t t f t t f x x

− − −

− = =  =  =

   

Đặt

( ) ( )

d d

d d

u x u x

v f x x v f x

= =      =   =    

Khi ( )

0

3

d

x f x x

− 

 ( )0 ( )

3

d

xf x − f x x

−

= − =0.f ( )0 +3.f ( )− − = −3

Câu 8:

Ta có ( )

0

d

x f x x

 ( ( ))

0 d

x f x

= ( ) ( )

2

0

d

x f x f x x

= − =2f ( )2 − =3

Câu 9: Ta có: ( )

0 '

I =x f x dx

Đặt u= x du=dx, dv= f '( )x dx chọn v= f '( )x dx= f x( )

 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

0

1 0 1

I x f x f x dx f f f x dx

 = − = − − = − =

Chọn A Câu 10:

 ( ) ( )

1

0

1 '

A= x+ f x dx Đặt u= + x du=dx, dv= f '( )x dx chọn v= f x( )

 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1

0 0

1 (1) (0) 10

A x f x f x dx f f f x dx f x dx f x dx

 = + − = − − = − =  = −

Câu 11:

Đặt

( ) ( )

d d

2

d d

2

u x

u x

f x

v f x x v

=  =    =   =  

Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

0 0 0

2 16

2 d d

2 2 4

x f x f

I = −  f x x= −  f t t= − =

Câu 12:

Đặt , đổi cận ,



Đặt ,

Vậy

Câu 13:

Đặt

5

1

u x du dx

I xf x f x dx

dv f x dx v f x

Từ 5

3

1

f x

f x x x

f x , suy

5

1

23

I f x dx

2 d 2d

t= x−  =t x x=  = −1 t x=  =2 t

( ) ( )

2

1

1

1 d d

2

f x x f t t

−

= − =  ( )

0

2

d

f t t

−

  = ( )

0

2

d

f x x

−

  =

d d

u= x u= x dv= f( )x dx =v f x( ) ( )

0

2

d

xf x x

− 

 ( )0 ( )

2

d

xf x − f x x

−

St-bs: Duong Hung 61 Đặt

2

3 3

3

3

dt x dx

t x x

f t x

Đổi cận: Với

1

t x x x t x3 3x x

Khi

5

2

1

33

23 23 3

4 Casio

St-bs: Duong Hung 62

FB: Duong Hung

A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số cos

y= x, trục hoành, đường thẳngx=0

x= Ⓐ

8



Ⓑ.

6



Ⓒ.

4



Ⓓ.

2



Lời giải

Chọn D

 Diện tích S cần tìm:

0

1 cos sin cos

0

2

x x

S = xdx= + dx= x+  =

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio

Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

y=x − x, trục hoành, đường thẳng x= −2 x=4

Bài 5: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

①.Hình phẳng giới hạn

 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục đoạn , trục hồnh hai đường thẳng tính theo cơng thức (1)

② Phương pháp trắc nghiệm:

Tính chất: Hàm số liên tục K (khoảng đoạn, nửa khoảng) ba số

bất kỳ thuộc K Khi đó, ta có

Xác định yếu tố cần thiết công thức

Sử dụng chức tính tích phân có sẵn máy tính Casio để tính

Chú ý:Nếu đềbài chưa cho ( cận tích phân) ta cần giải phương trình hồnh độ giao điểm để tìm cận tích phân

 Dạng ①: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

CHƯƠNG ③:

Full Chuyên

St-bs: Duong Hung 63

Ⓐ 44 Ⓑ.24 Ⓒ. 48 Ⓓ.28

Lời giải

Chọn A

 Diện tích cần tìm -2 -

S = x x dx

Ta có: ( )

4

2 x

x x x x

x = 

− = − =  

=  

Vậy 3

-2 4

S= x − x dx+ x − x dx+ x − x dx

4 0 2 4

4

4 44

2

4 4

x x x x x x

     

=  −  +  −  + −  =

−

     

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio

Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x( ) x x −

= , trục hoành, hai đường thẳng x=1 x=2

Ⓐ ln2 Ⓑ.ln 1− Ⓒ. ln 1+ Ⓓ.1 ln 2−

Lời giải

Chọn D

 Phương trình hồnh độgiao điểm: x x x

− =  = Suy

( )

2 2

1 1

2

1 1

1 ln ln

1

x x

S dx dx x x

x x x

− −  

= = =  −  = − = −

 

  

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio

B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( )liên tục, trục hoành

hai đường thẳng x=a x, =b tính theo cơng thức:

Ⓐ b ( )

a

S = f x dx Ⓑ. ( )

b

a

S =f x dx

Ⓒ. ( ) ( )

0 b

a

S = f x dx+f x dx Ⓓ. ( ) ( )

0

0 b

a

S = f x dx−f x dx

Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường

, 0,

y=x −x y= x= x=2 tính cơng thức:

Ⓐ 2( 2)

x−x dx

 Ⓑ. ( ) ( )

2

2

1

x −x dx− x −x dx

 

Ⓒ. 1( ) 2( )

0

x −x dx+ x −x dx

  Ⓓ. ( )

1

0

x −x dx

St-bs: Duong Hung 64

Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

y=x , trục hoành hai đường thẳng x= −1, x=3

Ⓐ 28

9 Ⓑ.

28

3 Ⓒ.

1

3 Ⓓ.

4

Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=sinx+1, trục hoành vàhai đường thẳng

x=

6 x= 

Ⓐ

2



+ − Ⓑ.

2



+ + Ⓒ.

2



+ + Ⓓ.

4



+ −

Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số

y=x x + , trục Ox đường thẳng x=1 Ⓐ 2 +1

3 Ⓑ.

3

− Ⓒ. 2

3

− Ⓓ.3

3 −

Câu 6: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x.ln 3( x+1), trục hoành

và hai đường thẳng x=0; x=1

Ⓐ

ln

9 12

S= − Ⓑ. 2ln

9 12

S = − Ⓒ. 7ln

9 12

S = − Ⓓ. 8ln

9 12

S = −

Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=lnx, trục Ox đường thẳng x=e

Ⓐ Ⓑ.1

1

e− Ⓒ. e Ⓓ.2

Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x

y=e , trục Ox, trục Oy đường thẳng

x=

Ⓐ e+4 Ⓑ.e2− +e 2 Ⓒ.

2

e +

Ⓓ.

1 e −

Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2

y=x − x + trục Ox

Ⓐ S=1 Ⓑ.S=2 Ⓒ. S =

2 Ⓓ.S =

16 15

Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 3

y= − +x x trục hoành Ⓐ 27

4 Ⓑ.

5

6 Ⓒ.

4

9 Ⓓ.

24

Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong 2

y= − +x x trục hoành Ⓐ 4

3 Ⓑ.

29

3 Ⓒ.

8

3 Ⓓ.

20

Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

y=x − trục hoành Ⓐ 7

4 Ⓑ.

8

5 Ⓒ.

1

2 Ⓓ.1

BẢNG ĐÁP ÁN

St-bs: Duong Hung 65 A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 2

y= −x y=x

Ⓐ 9

2 Ⓑ.7 Ⓒ Ⓓ 11

2

Lời giải

Chọn A

 Phương trình hồnh độgiao điểm hai đồ thị

2 2

2

1 x

x x x x

x = −  − =  + − =  

= 

 Diện tích hình phẳng cần tìm

1

2

2

1

2

2 ( 2)

9

2

3 2

S x x dx x x dx

x x

x

− −

−

= − − + = − − +

 

= − − +  =

 

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio:

Câu 2: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y ln2x x

= , y=0, x=1, x=e Mệnh

đềnào đúng?

-Phương pháp:

Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị: , hai đường thẳng xác định công thức:

Chú ý:Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau:

* Giải phương trình: tìm nghiệm ,

Tính:

Ngồi cách trên, ta dựa vào đồ thị để khử dấu giá trị tuyệt đối

St-bs: Duong Hung 66 Ⓐ e ln d x S x x  =  Ⓑ. e ln d x S x x

= Ⓒ e 2 ln d x S x x   =   Ⓓ e ln d x S x x    =     

Lời giải

Chọn B

 Ta có e ln d x S x x =  Vì e 2 ln ln

[1; e], ln x xd

x x S x

x x

      =

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio

Câu 3: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường y=(x+1 ln) x , trục hoành đường thẳng x=e

Ⓐ

4 e

S = + Ⓑ.

2 e

S = + Ⓒ

2 e

S = + Ⓓ.

2 e

S = +

Lời giải

Chọn C

 Xét phương trình hồnh độ giao điểm: (x+1 ln) x=0 (Điều kiện: x0)

1

ln

x x x x + = = −     = =  

 Vì x0 nên x=1

 Ta có: ( ) ( )

1

1 ln d ln d

e e

S = x+ x x= x+ x x

 Đặt

( )

1

d d

ln

d d

2

u x

u x x

v x x x

v x  =  =    = +    = + 

2 2

1

1

2 2

1

1

ln d d

2 2

5

2 4

e e e

e

x x e x

S x x x x e x

x

e x e

e x       = +  −  +  = + −  +          + = + − +  =    

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio

B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số

y= − +x y= − +x 2? Ⓐ 5

7 Ⓑ.

8

3 Ⓒ.

9

St-bs: Duong Hung 67

Câu 2: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( ): 1 x H y x − =

+ trục tọa

độ Khi giá trị S

Ⓐ 2 ln 1− Ⓑ.ln 1+ Ⓒ. ln 1− Ⓓ.2 ln 1+

Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

y=x + vàđường thẳng y= +x Ⓐ 9

2 Ⓑ.

13

3 Ⓒ.

11

3 Ⓓ.

7

Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y= x; y= −6 x trục hoành Ⓐ 22

3 Ⓑ.

16

3 Ⓒ. Ⓓ.

23

Câu 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

y=x −x y=3x

Ⓐ

3

S = Ⓑ. 16

3

S = Ⓒ. S=9 Ⓓ. 32

3

S=

Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( ) :y x

P = − x đường thẳng ( )d :y=x bằng Ⓐ 17

6 Ⓑ.

11

2 Ⓒ.

9

2 Ⓓ.

23

Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol

y= −x đường thẳng y= − −x Ⓐ 9

2 Ⓑ.

5

2 Ⓒ.

11

2 Ⓓ.

1 2−

Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

y=x đường thẳng y=2x Ⓐ 4

3 Ⓑ.

5

3 Ⓒ.

3

2 Ⓓ.

23 15

Câu 9: Tính diện tích S hình phẳng ( )H giới hạn đường cong y= − +x3 12x y= −x2

Ⓐ 937

12

S= Ⓑ. 343

12

S = Ⓒ. 793

4

S = Ⓓ. 397

4

S=

Câu 10: Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng ( )H xác định đường 3

y= x −x , y=0

, x=0 x=3 quanh trục Ox Ⓐ 81

35



Ⓑ.81

35 Ⓒ.

71 35



Ⓓ.71

35

Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 2

2 1,

y= − +x x+ y= x − x+

Ⓐ 8 Ⓑ.5 Ⓒ. Ⓓ.10

Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn hai parabol 2

y= x y= −6 x2

Ⓐ 2

2 x dx −   −      Ⓑ.

2

2 x dx −   −     

Ⓒ. 2

2 x dx −   −  −     Ⓓ.

2

2 x dx −   −  −    

Câu 13: Diện tích Scủa hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y= −x3 y =x2−2x

Ⓐ

4

S = Ⓑ.

3

S = Ⓒ. 37

12

S = Ⓓ.

3

St-bs: Duong Hung 68

Câu 14: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y=x3−3 ;x y=x Tính S?

Ⓐ S=4 Ⓑ.S=8 Ⓒ. S=2 Ⓓ.S=0

Câu 15: Hình phẳng giới hạn đường cong y=x(1−x) y=x3−x có diện tích Ⓐ 37

12 Ⓑ.

5

12 Ⓒ.

8

3 Ⓓ.

9

Câu 16: Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y x= − −2 2x 1 y= − +x2 3

Ⓐ S=9 Ⓑ.S = −9 Ⓒ. S=3 Ⓓ.

2 S=

Câu 17: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số

3 2 y=x − x+ 2.

y= +x

Ⓐ S =8 Ⓑ.S =4 Ⓒ. S =12 Ⓓ.S =16

Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol

3

y=x − x+ đường thẳng y= +x 1được tính theo cơng thức đây?

Ⓐ 4( )

4 d

x − x x

 Ⓑ. ( )

4

0

4 d

x x x

− +

 Ⓒ. ( )

4

0

4 d

x + x x

 Ⓓ. ( )

4

0

2 d

x x x

− −



Câu 19: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường

5 0,

y + − =x x+ − =y Ⓐ 19

6 Ⓑ.

15

2 Ⓒ.

37

6 Ⓓ.

9

Câu 20: Diện tích hình phẳng giới hạn đường

, 10

y=x y= −x trục Ox

Ⓐ 32 Ⓑ.26 Ⓒ. 36 Ⓓ.40

BẢNG ĐÁP ÁN

1.C 2.A 3.A 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.A 10.A

11.C 12.C 13.C 14.B 15.A 16.A 17.A 18.B 19.D 20.C

-Phương pháp:

.Minh họa dạng thường gặp:

có hai loại dấu

 Ghi nhớ:  Quan sát hình phẳng mang dấu + hay -

St-bs: Duong Hung 69 A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho hàm sốy= f x( )và y=g x( ) có đồ thị giao hai điểm phân biệt có

hoành độ a b Gọi ( )H hình phẳng

được giới hạn đồ thị hai hàm số (phần tơ đậm hình vẽ)

Diện tích ( )H tính theo cơng thức

Ⓐ ( ) ( ) d

b

a

S =f x −g x  x Ⓑ ( ) ( ) d b

a

S =g x − f x  x

Ⓒ ( ) ( ) d

b

a

S=f x +g x  x Ⓓ. ( ) ( ) d b

a

S= −f x +g x  x

Lời giải

Chọn B

 Áp dụng công thức ( ) ( )d b

a

S = f x −g x x

 Quan sát hình vẽ ta thấy g x( ) f x( )  a b,  Vậy ( ) ( )d ( ( ) ( ))d

b b

a a

S = f x −g x x= g x − f x x

PP nhanh trắc nghiệm

 Quan sát nhanh g x( ) f x( )

 ( ( ) ( ))d b

a

S= g x − f x x

Câu 2: Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn  a b; Gọi D diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( )C :y= f x( ), trục hồnh, hai

đường thẳng x=a, x=b (như hình vẽdưới đây)

Giả sử SD diện tích hình phẳng D Chọn công thức

trong phương án A B C D, , , cho đây?

Ⓐ ( ) ( )

0 b D

a

S = f x dx+f x dx Ⓑ ( ) ( )

0

0 b D

a

S = − f x dx+ f x dx

Ⓒ. ( ) ( )

0 b D

a

S =f x dx− f x dx Ⓓ ( ) ( )

0

0 b D

a

S = f x dx− f x dx

Lời giải

Chọn B



PP nhanh trắc nghiệm

St-bs: Duong Hung 70

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0

0

b b

D

a a

b

a

S f x d x f x d x f x d x

f x dx f x dx

= = +

= − +

  

 

Câu 3: Cho hình thang cong ( )H giới hạn đường y=ex,

y= , x=0, x=ln Đường thẳng x=k(0 k ln 4) chia ( )H thành hai phần có diện tích S1 S2như hình vẽ bên Tìm k để S1 =2S2

Ⓐ

ln

k= Ⓑ k=ln 2

Ⓒ. ln8

3

k= Ⓓ k=ln

Lời giải

Chọn D

 Ta có 1

0

1 k

k

x k k

S =e dx=e =e −



ln ln

2

0

x x k

k

S =  e dx=e = −e

Ta có 1 2 k 4( k) ln

S = S e − = −e  =k

PP nhanh trắc nghiệm

 Tính Nhập vào máy ln

A x

x

k e dx

e dx  

CALC với giá trị A phương án Giá trị cho kết chọn

B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thịnhư hình

Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ) trục Oxlà

Ⓐ S = ( ) ( )

2

0

d d

f x x f x x

− −

 

Ⓑ ( )

1

d

S f x x

−

= 

Ⓒ. ( )

1

d

S f x x

−

= −

Ⓓ ( ) ( )

1

d d

S f x x f x x

−

St-bs: Duong Hung 71

Câu 2: Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị ( )C đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( )C , trục hoành hai đường thẳng x=0, x=2

Ⓐ 1 ( ) ( )

0

d d

f x x− f x x

 

Ⓑ ( )

d

f x x



Ⓒ. ( ) ( )

0

d d

f x x f x x

− +

Ⓓ 2 ( )

d

f x x



Câu 3: Cho đồ thị hai hàm số

3

y=x − x + +x y= − +x2 2x+1như hình sau Diện tích phần hình phẳng gạch sọc tính theo

cơng thức đây?

Ⓐ 1( ) 2( )

1

2 d 2 d

x x x x x x x x

−

− − + + − + + −

 

Ⓑ.2( )

1

2 d

x x x x

−

− − +



Ⓒ. 1( ) 2( )

1

2 d 2 d

x x x x x x x x

−

− + + − + − − +

 

Ⓓ.2( )

1

2 d

x x x x

−

− + + −



Câu 4: Cho hàm sốy= f x( ) liên tục có đồ thịlà đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị, trục hoành hai đường thẳng x=0,x=2

Ⓐ

0

( )d ( )d S = − f x x+f x x

Ⓑ.

0

( )d ( )d

S =f x x−f x x

Ⓒ.

0 ( )d

S =  f x x

Ⓓ.

0 ( )d S = f x x

Câu 5: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽđược tính theo cơng thức đây?

Ⓐ 2( )

1

2x 2x dx −

− −

 Ⓑ.2( )

2x dx −

− +



Ⓒ. 2( )

1

2x dx −

−

 Ⓓ ( )

2

1

2x 2x dx −

− + +

St-bs: Duong Hung 72

Câu 6: Cho đồ thị hàm số y= f x( ) hình vẽ.Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ) trục Ox tính cơng thức

Ⓐ ( )

3

d

S f x x

−

= 

Ⓑ. ( )

3

d

S f x x

−

=

Ⓒ. ( ) ( )

3

d d

S f x x f x x

−

=  −

Ⓓ. ( ) ( )

3

d d

S f x x f x x

−

=  +

Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( 2) ,

y= −x đường

cong

y= x trục hoành Ⓐ 11

2 Ⓑ.

73 12 Ⓒ.

12 Ⓓ.

5

Câu 8: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ) trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía trục hồnh có diện tích

8

S = phần nằm phía trục hồnh có diện tích

5 12

S = Tính ( )

1

3

I f x dx

−

= +

Ⓐ

3

I = Ⓑ.

4

I =

Ⓒ. 37

36

I = Ⓓ. 27

4

I =

Câu 9: Diện tích phần tơ đậm hình bên tính theo cơng thức công thức sau?

Ⓐ 1( )

0

3 d

x x x x

− + −



Ⓑ.1( )

0

3 d

x − x + x x



Ⓒ. 2( )

0

3 d

x x x x

− + −



Ⓓ.2( )

0

3 d

x − x + x x

St-bs: Duong Hung 73

Câu 10: Gọi ( )H phần hình phẳng gạch chéo hình vẽdưới

đây giới hạn đồ thị hàm số y= x ,

y= −x trục hồnh Diện tích ( )H bao nhiêu?

Ⓐ 11

2 Ⓑ

9 Ⓒ. 13

2 Ⓓ

7

Câu 11: Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị hình vẽ

dưới Biết diện tích hai phần Avà B 16

63 , tính ( )

3

1

2 d

f x x

−

+



Ⓐ 253

12 Ⓑ

253 24

Ⓒ. 125

24

− Ⓓ. 125

12

−

Câu 12: Tính diện tích S hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn hai đồ thị hàm số

( ) ; ( )

f x = x g x = −x hình sau

Ⓐ 8

3 Ⓑ.

12 Ⓒ.

3 Ⓓ.

10

Câu 12: Gọi S diện tích hình phẳng ( )H giới hạn đường y= f x( ), trục hoành đường thẳng x= −1,x=2 hình vẽ bên

Đặt ( ) ( )

0

1

1

d , d

S f x x S f x x

−

=  = Mệnh đềnào sau đúng?

Ⓐ S = +S1 S2 Ⓑ.S = − −S1 S2 Ⓒ. S = −S1 S2 Ⓓ.S =S2−S1

O x

2

St-bs: Duong Hung 74

Câu 13: Diện tích hình mặt phẳng gạch sọc hình vẽ bên Ⓐ 3

1 dx x

 Ⓑ. ( )

3

1

2 2− x dx



Ⓒ. 3( )

1

2x−2 dx

 Ⓓ.3( )

1

2x+2 dx



Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành hai đường

thẳng x=a, x=b(ab) tính theo cơng thức ?

Ⓐ ( )d ( )d

c b

a c

S =f x x+f x x

Ⓑ. ( )d

b

a

S =f x x

Ⓒ. ( )d ( )d

c b

a c

S = −f x x+ f x x

Ⓓ. ( )d

b

a

S =  f x x

Câu 15: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thịnhư hình vẽdưới Diện tích hình phẳng tính công thức nào?

Ⓐ

0 ( ) - ( )

b

a

S = f x dx f x dx

Ⓑ.

0

( ) ( )

b

a

S = f x dx+f x dx Ⓒ.

0 ( )

b

S = f x dx

Ⓓ. ( )

b

a

S = f x dx

x y

St-bs: Duong Hung 75

Câu 16: Cho đồ thị hàm số y= f x( ) Diện tích hình phẳng là:

Ⓐ ( ) ( )

-3

S = f x dx+ f x dx.

Ⓑ. ( )

-3

S =  f x dx.

Ⓒ. ( )

-3

S = f x dx

Ⓓ. ( ) ( )

-3

S = f x dx−f x dx

Câu 17: Cho đồ thị hàm số y= f x( ) đoạn 0; hình vẽ có diện tích 1 11, 2

6

S = S = Tính tích phân ( )

0

I =f x dx

Ⓐ

3

I = − Ⓑ. 19

3

I =

Ⓒ.

3

I = Ⓓ. 19

3

I = −

Câu 19: Cho đồ thị hàm số y= f x( ) đoạn −2; 2 hình vẽở bên có diện tích

1

22 76

,

15 15

S =S = S = Tính tích phân ( )

-2

I = f x dx

Ⓐ 32

15

I = Ⓑ.I =8

Ⓒ. 18

5

I = Ⓓ. 32

15

I = −

BẢNG ĐÁP ÁN

1.D 2.A 3.A 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.B 10.A

11.C 12.D 13.D 14.C 15.C 16.A 17.D 18.D 19.A

x y

4

St-bs: Duong Hung 77

FB: Duong Hung

A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x=1 x=3, biết cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1 x 3)

được thiết diện hình chữ nhật có độ dài hai cạnh 3x 3x2−2 Ⓐ V =32 15.+ Ⓑ. 124

3

V =  Ⓒ. 124

V = Ⓓ.V =(32 15) + 

Lời giải

Chọn C

 Diện tích thiết diện là: ( )

S x = x x −

 Thể tích vật thể là:

2

1

124

3

V = x x − dx=

PP nhanh trắc nghiệm

 Ta nhập biểu thức

2

1

3 3x x −2dx

 sau :

y3Q(s3Q(dp2R1E3= Màn hình hiển thị :

Chọn C

Bài 6: THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

 Phương pháp:

Gọi phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm ,

Giả sử hàm số liên tục đoạn

 Khi đó, thể tích vật thể B xác định:

 Dạng ①: Bài tốn Thể tích vật thể:

CHƯƠNG ③:

Full Chuyên

St-bs: Duong Hung 78

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể nằm hai mặt phẳng x=0và x=3 Biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hồnh

độ x(0 x 3)là hình vng cạnh 9−x2 Tính thể tích V vật thể

Ⓐ V =171 Ⓑ. V =171 Ⓒ. V =18 Ⓓ.V =18

Lời giải

Chọn C

 Ta tích vật thể ( )

2

0

9 d

V = −x x

( )

3

2

0 0

9 d

3 x

x x  x 

= − = − 

 

 =18

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio

 Chú ý: Diện tích hình vng

B - Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể ( )H giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x=a, x=b a( b) Gọi S x( ) thiếtdiệncủa ( )H cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x với a x b Giả sử hàm số y=S x( ) liên tục đoạn

 a b; Khi đóthể tích V củavật thể ( )H cho cơng thức

Ⓐ ( )

d

b

a

V =S x  x Ⓑ. ( )d

b

a

V =S x x Ⓒ. ( ) 2d

b

a

V = S x  x Ⓓ. ( )d

b

a

V =S x x

Câu 2: Trong không gian , cho vật thểđược giới hạn hai mặt phẳng , vng góc với trục , Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với điểm

có hồnh độ x, a x b cắt vật thể theo thiết diện có diện tích S x với y S x hàm số liên tục Thể tích thểtích tính theo cơng thức

Ⓐ 2( ) b

a

V =S x dx Ⓑ. ( )

b

a

V =S x dx

Ⓒ. ( )

b

a

V =S x dx Ⓓ. 2( )

b

a

V =S x dx

Câu 3: Cho phần vật  giới hạn hai mặt phẳng ( )P ( )Q vng góc với trục Ox

x= , x=3 Cắt phần vật thể  mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 x 3) ta thiết diện hình chữ nhật có kích thước x 3−x Thể tích phần vật thể 

Oxyz ( )P ( )Q

Ox x=a x=b (ab) Ox

 a b; V

O y

x z

S(x)

St-bs: Duong Hung 79 Ⓐ 27

4



Ⓑ. 12

5



Ⓒ. 12

5 Ⓓ.

27

Câu 4: Cho phần vật thể ( ) giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x=0 x=2 Cắt phần vật thể ( ) mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 x 2), ta

được thiết diện tam giác có độ dài cạnh x 2−x Tính thể tích V phần vật thể ( )

Ⓐ

V = Ⓑ.

3

V = Ⓒ. V =4 Ⓓ.V =

Câu 5: Cho vật thể có mặt đáy hình trịn có bán kính (hình vẽ) Khi cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (−  1 x 1) thiết diện

tam giác Tính thể tích V vật thểđó

Ⓐ V = Ⓑ. V =3 Ⓒ. 3

V = Ⓓ.V =

Câu 6: Cho phần vật thể B giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x=0

x= Cắt phần vật thể B mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x

3

x 

   

 

  ta

được thiết diện tam giác vng có độ dài hai cạnh góc vng 2x cosx Thể tích vật thể B

Ⓐ 3

 +

Ⓑ. 3

3

 −

Ⓒ. 3

6

−

Ⓓ.

6



Câu 7: Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x=0 x= , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 x ) tam giác cạnh sinx

Ⓐ V =3 Ⓑ. V =3 Ⓒ. V =2 Ⓓ.V =2

Câu Tính thể tích vật thể giới hạn mặt phẳng x=0 x=1, biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 x 1) hình

vng có độ dài cạnh x e( x−1) Ⓐ

2

V = Ⓑ

2 e

V = − Ⓒ.

2

V = Ⓓ. ( 1)

2 e

V = −

Câu Cắt vật thể V hai mặt phẳng song song P , Q vng góc với trục Ox

tại

2 x= − ,

2

x= Một mặt tùy ý vng góc với trục Ox điểm x

2 x

 

−   

 

  cắt V theo thiết diện có diện tích ( ) ( )

1

St-bs: Duong Hung 80

Ⓐ 3,14 Ⓑ.

3 Ⓒ.

13



Ⓓ.8

3



Câu 10 Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x= −1 x=1, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x(−  1 x 1) tam giác vng cân có cạnh huyền 1−x4

Ⓐ.3

4 Ⓑ.

2

5 Ⓒ.4 Ⓓ.

1 BẢNG ĐÁP ÁN

1.D 2.B 3 C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C 9.B 10.B

Hướng dẫn giải

Lời giải Câu

Chọn C

Ta có diện tích thiết diện S x( )=x 3−x Vậy thể tích phần vật thể  là: ( )

3

0 d

V =S x x

3

0

3 d

x x x

= − 12

5

=

Câu

Lời giải Chọn B

Diện tích thiết diện: ( )

2

4

x x

S = −

 ( )

2

0

2

d

x x

V = − x ( )

2

0

2 d

4 x x x

=  − ( )

2

0

2 d

4 x x x

=  −

2

3

0

3

4 3x 4x

 

=  −  =

 

Câu

Lời giải Chọn C

Tại vị trí có hồnh độ x (−  1 x 1) tam giác thiết diện có cạnh 1−x2 Do tam giác thiết diện có diện tích ( ) ( 2)2

2

4

S x = −x

( 2) x

= −

Vậy thể tích V vật thể ( )

2

1

3 x dx −

−

 = 33

Câu

St-bs: Duong Hung 81 Thể tích vật thể B

3

3 3

0 0

0

3

cos d sin sin d sin cos

6

V x x x x x x x x x x

 

    −

= = − = + =

Câu

Lời giải Chọn D

Diện tích tam giác ( ) ( ) sin

4 x

S x = = sinx

Vậy thể tích ( )

d

V S x x

 =

0

3 sin dx x 

= =2

Câu

Chọn C

Lời giải

Ta có: ( ) ( )

1

0 0

( )d x d x d

V = S x x=  x e −  x= x e − x

 

  

Đặt:

( ) d d

d x d x

u x u x

v e x v e x

=

  =

 

 = − 

= −





Do đó: ( ) ( )

1

1

1

0

1

d 1

2 2

x x x x

V =x e −x − e −x x= − −e e −  = − − + + =e e

 



Câu Chọn B

Lời giải

Ta tích vật thể V cần tính là: ( ) ( )

2

= d d

V S x x sin x cosx x

 

 

− −

= +

 

Đặt t=sinx =dt cosx xd

Đổi cận: 1;

2

x= −  = − t x=  =t

 ( )

1

1

2

1

8

= d

3

t

V t t t

− −

 

+ = +  =

 



Câu 10

Chọn B

St-bs: Duong Hung 82 Ta có diện tích thiết diện cho bằng: ( ) ( )

2

4

1 1

1

2

x

S x =  −  = −x

 

Ta có diện tích thiết diện cho bằng: ( ) ( )

4

4

1 1

1

2

x

S x =  −  = −x

 

Thể tích vật thể cần tìm là: ( ) ( )

1

4

1

1

4

V S x dx x dx

− −

=  = − =

A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn a b;  Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành vàhai đường thẳng x=a x, =b a( b) Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo công thức

Ⓐ 2

( ) b

a

V =  f x dx Ⓑ. 2( )

b

a

V = f x dx Ⓒ ( )

b

a

V =  f x dx Ⓓ. 2( )

b

a

V =  f x dx

Lời giải

Chọn B

  x [a; ]b ta có 2( ) b

a

V = f x dx

PP nhanh trắc nghiệm

 Công thức

Câu 2: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=2ln ,x y=0,x=1,x=e

Ⓐ. Ⓑ.e−2 Ⓒ.(e−2) Ⓓ.4(e−2)  Phương pháp:

Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh miền giới hạn ; quay quanh trục

 Phương pháp giải: áp dụng công thức:

St-bs: Duong Hung 83

Lời giải

Chọn D

 Có

1

4 ln d I e

V =  x x= 

 Đặt

2 d 2 ln 1d ln

d d

u x x

u x

x

v x

v x



 =  =

 

=

  =

 Suy

1

I ln ln d 2I'

e e

x x x x e

= −  = −

 Đặt

1

ln d d

d d

u x u x

x

v x

v x



= =

 

 = 

  =

 Suy

1

I' ln d 1

e e

x x x e e

= − = − + =

 Suy I= −e  Vậy V =4(e−2)

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio

Câu 3: Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đường:y=sinx;Ox;x=0;x= Quay ( )H xung

quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích Ⓐ

2



Ⓑ

2



Ⓒ.  Ⓓ.2

Lời giải

Chọn A

 Thể tích khối tròn xoay

( )

2

0

1

sin d d sin

0

2 cos 2

V x x x x x x

     

  

= = − =  −  =

 

 

PP nhanh trắc nghiệm



B - Bài tập rèn luyện:

Câu Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đường y= xln ,x trục Ox x, =1,x=e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng ( )H quanh trục Ox

Ⓐ ( 1) e

 +

Ⓑ. ( 1) e  −

Ⓒ. ( 1) e

 +

Ⓓ. ( )

2 e

St-bs: Duong Hung 84

Câu Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn y lnx, trục Ox đường thẳng

x quay xung quanh trục Ox

Ⓐ 2ln Ⓑ. ln 2  Ⓒ 2 ln 2  Ⓓ.2 ln

Câu Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong

y= x + , trục hoành đường thẳng 0,

x= x= Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?

Ⓐ

3

V =  Ⓑ. V =2 Ⓒ.

3

V = Ⓓ.V =2

Câu Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y= sin+ x, trục hoành đường thẳng

x= , x= Khối tròn xoay tạo thành quay D quay quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?

Ⓐ

2

V =  Ⓑ. V =2 ( +1) Ⓒ. V =2 Ⓓ.V =2( +1)

Câu Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y=x2+3, y=0, x=0, x=2 Gọi V thể tích

của khối tròn xoay tạo thành quay ( )H xung quanh trục Ox Mệnh đề dướiđây

đúng?

Ⓐ 2( 2 )2

0

3

V = x + dx Ⓑ. ( )

2

0

3

V = x + dx

Ⓒ. 2( 2 )2

0

3

V = x + dx Ⓓ. ( )

2

0

3

V = x + dx

Câu 6: Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường thẳng y=x2+2,y=0,x=1,x=2 Gọi V thể

tích khốitròn xoay tạo thành quay ( )H xung quanh trục Ox Mệnh đề

đây đúng?

Ⓐ 2( )2

2

1

2 d

V = x + x Ⓑ ( )

2

2

1

2 d

V = x + x Ⓒ ( )

2

1

2 d

V = x + x Ⓓ. ( )

2

1

2 d

V = x + x

Câu 7: Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới

hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục Ox hai đường thẳng x=a x, =b a( b), xung quanh

trục Ox

Ⓐ 2( )

b

a

V = f x dx Ⓑ. 2( )

b

a

V = f x dx Ⓒ. ( )

b

a

V = f x dx Ⓓ. ( )

b

a

V = f x dx

Câu 8: Kí hiệu ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=2(x−1) ,ex trục tung trục hồnh Tính thể tích V của khối trịn xoay thu quay hình ( )H xung quanh trục Ox

Ⓐ V = −4 2e Ⓑ. V =(4−2e) Ⓒ. V = −e2 Ⓓ.V =(e2 −5)

Câu 9: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

3 ,

y= x−x y=

Ⓐ 16

15 Ⓑ.

16

15 Ⓒ.

81

10 Ⓓ.

St-bs: Duong Hung 85

Câu 10: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

, 0,

y=x y= x=

Ⓐ.



Ⓑ.4

7



Ⓒ.

2



Ⓓ.

7



Câu 11: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số xy=9,y=0,x=1,x=3

Ⓐ.54 Ⓑ.6 Ⓒ.12 Ⓓ.6

Câu 12: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y cos( )x ,y 0,x 0,x



= = = =

Ⓐ. ( 2)   +

Ⓑ. (sin 2)

 +

Ⓒ.sin 2

+

Ⓓ.

8

 +

Câu 13: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

cos , 0, 0,

y= x y= x= x=

Ⓐ. 2 

Ⓑ.3

8



Ⓒ.

2

8 

Ⓓ.

2



BẢNG ĐÁP ÁN

1.D 2.C 3 A 4 B 5 A 6 A 7.A 8.D 9.C 10.D

11.A 12.B 13.C

A - Bài tập minh họa:

 Phương pháp:

Tính thể tích vật thể trịn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: ; quay quanh trục

Phương pháp giải:

① Giải phương trình: có nghiệm

② Khi thể tích cần tìm :

③ Casio:

St-bs: Duong Hung 86

Câu 1: Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol ( ) :

P y=x

đường thẳng d y: =2x quay quanh trục Oxbằng

Ⓐ 2

0

4x dx x dx

 − Ⓑ 2( 2 )2

2

x x dx

 −

Ⓒ. 2

0

4x dx x dx

 + Ⓓ ( )

2

0

2

x x dx

 −

Lời giải

Chọn B

 Phương trình hồnh độgiao điểm ( )P d

2

x = x

2 x x

=    =



Thể tích khối tròn xoay ( ) ( )

2 2

0

2x x dx

  − 

 



2

2

0

4x dx x xd

 

=  − 

PP nhanh trắc nghiệm



Câu 2: Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số

2

y= x − x,y= −4 x2 quanh quanh trục hồnh là: Ⓐ.421

15  Ⓑ.27 Ⓒ.

125

3  Ⓓ.30

Lời giải

Chọn B

 Xét phương trình hồnh độ giao điểm:

 2

2 2

2 x

x x x x x

x = − 

− = −  − − =  

=



 Do quay quanh trục hồnh khối sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x2 −2x, trục hoành,

0;

x= x= nằm khối sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= −4 x2, trục hoành, x=0;x=2  Vậy thể tích cần tính bằng:

( ) ( ) ( )

0

2 2

2 2

1

4

203 38 256 421

15 15 15 15

V  x dx  x x dx  x dx

   

− −

 

= − − − + −

 

= − + =

  

PP nhanh trắc nghiệm



 Chú ý phần dễ thiếu phần

( )

2

2

0

V = −x dx

St-bs: Duong Hung 87

Câu 1: Cho hình phẳng hình (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo thành tính theo cơng thức nào?

Ⓐ 2( ) 2( )

1 d

b

a

V =f x − f x  x

Ⓑ 2( ) 2( )

1 d

b

a

V =f x − f x  x

Ⓒ 2( ) 2( )

2 d

b

a

V =f x − f x  x

Ⓓ. ( ) ( )

1 d

b

a

V =f x − f x  x

Lời giải Chọn B

Do f x1( ) f2( )x  x ( )a b; nên Chọn B

Câu 2: Tìm cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol

( )

: =

P y x đường thẳng d y: =2x quay xung quanh trục Ox Ⓐ 2( 2 )2

0

2 d

 x − x x Ⓑ

2

2

0

4 d d

 x x−x x

Ⓒ. 2

0

4 d d

 x x+x x Ⓓ. ( )

2

0

2 d

 x−x x Lời giải

Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm:

2

2 =  − =  

= 

x

x x

x

Vậy thể tích khối trịn xoay tính: ( )

2

0

2 d



=  −

V x x x

Câu 3: Cho hình ( )H giới hạn trục hoành, đồ thị Parabol đường thẳng tiếp xúc với Parabol điểm A( )2; , hình vẽ bên Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình

( )H quay quanh trục Ox Ⓐ 16

15 

Ⓑ 32

5 

Ⓒ 2

3 

Ⓓ.22

5 

Lời giải Chọn A

Parabol có đỉnh gốc tọa độ hình vẽ qua A( )2; nên có phương trình y=x2 Tiếp tuyến Parabol A( )2; có phương trình y=4(x− + =2) 4x−4 Suy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm ( ) ( )

2

2

2

0

d 4 d

V = x x− x− x

( )

2

2

0

32 d

5

x

x x= =

 ; ( ) ( )

2

2

2 2 2

1 1

16

4 d 16 d 16

3

x

x− x= x − x+ x=  −x +x =

 

St-bs: Duong Hung 88

Vậy ( ) ( )

2

2 2

2

0

32 16 16

d 4 d

5 15

V = x x− x− x= − = 

 

 

Câu 4: Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=2 ,x y=1−x,y=0

x (phần tơ đậm màu đen hình vẽ bên) Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay (H) quanh trục hoành

Ⓐ

2 ln

V = − 

  Ⓑ

5

2 ln

V = + 

 

Ⓒ

2 ln

V = − 

  Ⓓ.

2 ln

3

V = + 

 

Lời giải Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm y=2x y x x − = là:

2x x x −

= 20

2x x x    + − =   x x x         =  =   − x  =

Phương trình hồnh độ giao điểm y=2x y=0 là: 2x=0 20

2x x x



 

+ − = 

  =x

Phương trình hồnh độ giao điểm y=0 y x x − = là:

0 x x

− =

1 x x    − =   x x   = 

   =x

 2 2

4 d x d

V x x x

x    −  = +       2 d x x x     = +  −   



1

1

1 6  x x dx

 

= +  − + 

 



Câu 5: Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y=x2−4,

y= x− , x=0, x=2 quanh trục Ox Ⓐ 32π

5 Ⓑ

32π

7 Ⓒ

32π

15 Ⓓ.

22π Lời giải

Chọn A

Ta có ( )

2 2 256

π d π

15

V =  x − x= , ( )

2

2

0

32

π d π

3

V =  x− x=

Vậy thể tích cần tìm 1 2 32π

V = −V V =

Câu 6: Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y=x2, y=2x Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( )H xung quanh trục Ox bằng:

Ⓐ 32 15



Ⓑ 64

15 

St-bs: Duong Hung 89 Ⓒ 21

15 

Ⓓ.16

15 

Lời giải Chọn B

Xét phương trình hồnh độ giao điểm:

2

x − x=

2 x x

=    =



Khi quay ( )H xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay giới hạn

2

2

y x

y x

x x  =  =  

=   = 

Do thể tích khối trịn xoay là: ( ) ( )

2

2

0

64

2 d

15

V = x − x x= 

Câu 7: Tính thể tích V vật trịn xoay tạo thành quay hình phẳng ( )H giới hạn đường

y=x ; y= x quanh trục Ox

Ⓐ

10

V =  Ⓑ

10

V =  Ⓒ

10

V =  Ⓓ.

10

V = 

Lời giải Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm

x = x

0

x x

 − =

( )( )

1

x x x x

 − + + =  =x x=1

Khi đó:

Thể tích khối trịn xoay sinh hình ( )H

( ) ( )

1 2

2

0

3

d d

10

V = x x− x x= 

Câu 8: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong ex

y= − , trục tọa độ phần đường thẳng

= −

y x với x1 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hoành Ⓐ e2 21

3 2e

V = + − Ⓑ ( )

2

2 5e

6e

V = − Ⓒ e

2 e

V = + −  Ⓓ.

2 e 2e

V = + −

Lời giải Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong ex

y= − đường thẳng y= −2 x:

ex− = −  =2 x x (Vì

ex

y= − hàm đồng biến

y= −x hàm nghịch biến tập xác định nên phương trình có tối đa nghiệm Mặt khác x=1 thỏa mãn pt nên nghiệm pt đó)

Đường thẳng y= −2 x cắt trục hoành x=2

( ) ( )

1

2

1

0

ex d d

V = − x+ −x x

( )

2

3

2

2

1

5e

e

3 6e

x x

x 

 −   −

= +  − +  =

 

Câu 9: Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn hai đồ thị

4

y= −x x+ y= − −x2 2x+6

Ⓐ  Ⓑ −1 Ⓒ 3 Ⓓ.2

St-bs: Duong Hung 90 Lời giải

Chọn C

Xét phương trình hồnh độ giao điểm 2

4 6

x − x+ = − −x x+ 2x2−2x=0

1 x x

=    =

 Thể tích vật thể trịn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn hai đồ thị

( ) ( )

1

2

2

0

4 6 d

V = x − x− − − −x x+ x

3

0

12x 36x 24 dx x



=  − + −

( )

1

3

0

12x 36x 24x dx 

=  − + − ( 3 2)1

0 3x 12x 12x



= − + − =3

Câu 10: Gọi ( )H hình giới hạn nhánh parabol y=2x2 (với x0), đường thẳng y= − +x trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo hình ( )H quay quanh trục Ox

Ⓐ 52

15

V =  Ⓑ 17

5

V =  Ⓒ 51

17

V =  Ⓓ. 53

17

V = 

Lời giải Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm:

1

2 3

2 x

x x

x =   = − + 

 = −  Thể tích khối trịn xoay tạo ( )H : ( )

3

2 4

1

52

3 d d

15

V = − +x x+ x x= 

Câu 11: Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x+ − =y 0; y= x; y=0 quay quanh trục Ox

Ⓐ 5

6 Ⓑ.

6



Ⓒ.

3 

Ⓓ.5

6 

Lời giải

Chọn D

Hình phẳng cho chia làm phần sau:

Phần 1: Hình phẳng giới hạn đường y= x; y=0; x=0; x=1 Khi quay trục Ox phần ta khối trịn xoay tích

1

1

0

d

2

x

V =x x= =

Phần 2: Hình phẳng giới hạn đường y= −2 x; y=0; x=1; x=2 Khi quay trục Ox phần ta khối tròn xoay tích

( ) ( )3

2

2

1

2

2 d

3

x

V = −x x= − =

Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính 1 2

V = +V V = 

Câu 12: Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường x= y, y= − +x

x= quay quanh trục Ox có giá trị kết sau đây?

Ⓐ

3

V =  Ⓑ

2

V =  Ⓒ 32

15

V =  Ⓓ. 11

6

V = 

St-bs: Duong Hung 91 Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đường:

0

x y

y x

x  = 

= − + 

 = 

( )

2

y x x

y x

x

 = 



 = − +

 = 

Phương trình hồnh độ giao điểm:

2

x = − +x x2+ − =x ( )

( )

1

x nhaän

x loại

=   

= −  Thể tích vật trịn xoay sinh hình ( )H quay quanh trục Ox là:

 (( ) ( ) )

1

2 2

0

2 d

V = − +x − x x ( )

1

2

0

4 d

x x x x



=  − + − 32

15

= (đvtt)

Câu 13: Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x, cung trịn có phương trình

y= −x

(− 6 x 6) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh quay hình phẳng D quanh trục Ox

Ⓐ V =8 2−  Ⓑ 22

V =  +  Ⓒ 22

3

V =  −  Ⓓ. 22

3

V =  + 

Lời giải Chọn D

Cách1. Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu tích

( )3

6

3

V =  = 

Thể tích nửa khối cầu V1=4 Xét phương trình:

6

x = −x

2

6 x

x x

   

+ − =

  =x

Thể tích khối trịn xoay có quay hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y= x, cung trịn có phương trình

6

y= −x , hai đường thẳng x=0, x=2 quanh Ox

( )

2 2

0

22

6 d

3

V = −x −x x= 

Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm 1 2 22

V = +V V =  + 

Cách2 Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu tích

( )3

4

6

3

V =  = 

Xét phương trình:

x = −x

2

6 x

x x

 

  + − =

  =x

Thể tích khối trịn xoay có quay hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y= x, cung trịn có phương trình

6

y= −x đường thẳng y=0 quanh Ox ( )

2

2

0

d d

V =x x+  −x x

12 28

3

 − 

= + 22

3  

St-bs: Duong Hung 92 Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm V = −V1 V2 6 22

3      = − −    22   = +

Câu 14: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y=0, y= x, y= −x

Ⓐ 8



Ⓑ 16

3 

Ⓒ 10 Ⓓ.8

Lời giải Chọn B

Ta có:

0

0 2

2

x x

x x

x x x

 =  =  = −  =   = −  = 

Dựa vào hoành độgiao điểm ba đường ta có diện tích hình phẳng gồm hai phần Phần thứ

nhất giới hạn y= x, y=0 x=0; x=2 Phần thứ hai giới hạn y= x, y= −x 2;

x= x=

Thể tích vật thể bằng:

( ) ( )

2

2 2

0

d d

V = x x+ x− − x x ( ( ) )

2

2

0

d d

x x x x x

 

=  +  − −

( )

2

2

0 2

2 16

2 3

x

x x 

  − 

= +  −  =

 

Câu 15: Cho ( )H hình phẳng giới hạn parabol y=x2 đường tròn 2

2

x +y = (phần tơ đậm hình bên) Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục hoành

Ⓐ 44

15

V =  Ⓑ 22

15

V = 

Ⓒ.

3

V =  Ⓓ.

5 V =

Lời giải Chọn A

Với y=x2 thay vào phương trình đường tròn ta

2 1 2 x x x x x x  =  = + =   = − = −  

Hơn

2 2 2 2 y x x y y x  = − −  + =   = − 

Thể tích cần tìm thể tích vật thể trịn xoay ( )

2 : y x x H x Ox  = −   = −  =  

quay quanh Ox bỏ phần thể

tích ( )

2 : y x x H x Ox  =  = −   =  

St-bs: Duong Hung 93

Do ( ) ( )

1 2

2

2

1

44

2 d d

15

V  x x x x 

− −

 

=  − − =

  

Câu 16: Cho hình phẳng ( )H (phần gạch chéo hình vẽ) Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình ( )H quanh trục hoành

Ⓐ V=8 Ⓑ. V =10

Ⓒ.

3

V =  Ⓓ. 16

3

V = 

Lời giải Chọn D

Gọi hình phẳng giới hạn đường x=0, x=4, f x( )= x trục hồnh ( )D2 hình phẳng giới hạn đường x=2, x=4, g x( )= −x trục hồnh Kí hiệu V1, V2 tương ứng thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( )D1 , ( )D2 quanh trục hoành

Khi đó, V = −V1 V2 ( ) ( )

4

2

0

d d

f x x g x x

 

=  −  ( )

4

2

0

d d

x x x x

 

=  −  − 8

3  

= − 16

3 

=

Câu 17: Thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường tròn ( ) 2 ( )2

:

C x + y− = xung quanh trục hoành Ⓐ 62

Ⓑ. 63

Ⓒ. 32

Ⓓ.6

Lời giải Chọn A

( ) 2 ( )2 ( )2 2

2

2

: 3

3

3

C x y y x

y x y x

y x y x

+ − =  − = −

 − = −  = + −

 

 

 − = − −  = − −

 

Thể tích V khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường trịn

( ) 2 ( )2

:

C x + y− = xung quanh trục hoành

 ( ) ( )

2

1

2 2

1

3 6

V  x dx  x dx   

− −