CÁC BÀI TOÁN MINH H Ọ A.. Kh ẳng định nào dưới đây đúng và.. Lại một dạng toán khá là cơ bản nữa, sự đơn giản ở đây là trên tử chỉ xuất hiện mỗi biểu thức x và dưới mẫu chỉ là dạng c[r]
(1)CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN
(2)KỸ THUẬT GIẢI TỐN TÍCH PHÂN
(3)(4)(5)LỜI GIỚI THIỆU
(6)MỤC LỤC
Giới thiệu đôi nét lịch sử……… ……… … …………2
CHƯƠNG Nguyên hàm – Tích phân hàm phân thức hữu tỷ……… …5
CHƯƠNG Nguyên hàm – Tích phân phần……….……… 46
I GIỚI THIỆU……… ………….46
II MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN……… ………47
III MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP……… ………….66
CHƯƠNG Các toán hàm lượng giác……….……118
I GIỚI THIỆU CÁC LÝ THUYẾT CẦN NHỚ……… …118
II CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP……… … 119
III CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI TỔNG HỢP……….… 145
CHƯƠNG Ngun hàm tích phân hàm vơ tỷ, thức……… …… 151
I GIỚI THIỆU……… …… ………151
II CÁC DẠNG TOÁN……… ……… 151
KỸ THUẬT LƯỢNG GIÁC HÓA……… ……….167
III TỔNG KẾT……… ……… 175
CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP……… 177
CHƯƠNG Các loại tích phân đặc biệt……… … 203
I TÍCH PHÂN LIÊN KẾT……… ….………203
II KỸ THUẬT ĐƯA BIỂU THỨC VÀO DẤU VI PHÂN……… ………206
III KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ HÀM SỐ……… ……….212
IV TÍCH PHÂN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI……… ……….214
V TÍCH PHÂN CĨ CẬN THAY ĐỔI………219
VI TÍCH PHÂN HÀM PHÂN NHÁNH………224
VII TÍCH PHÂN TRUY HỒI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN DÃY SỐ….…228 VII CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP………241
CHƯƠNG Phương pháp đổi cận đổi biến – Hàm ẩn……….249
I KỸ THUẬT ĐỔI ẨN VÀ TÍNH CHẤT CÁC HÀM ĐẶC BIỆT……….249
II CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH HÀM……….263
BÀI TẬP TỔNG HỢP……… 267
CHƯƠNG Các toán phương trình vi phân……….… 321
BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI TÍCH………321
BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI TỔNG……… 325
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP………329
CHƯƠNG Các ứng dụng tích phân……… 357
A ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG………360
B ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH……….423
C ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG THỰC TIỄN………480
CHƯƠNG Bất đẳng thức tích phân……… 514
PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG……… 514
(7)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
GIỚI THIỆU ĐÔI NÉT VỀ LỊCH SỬ ác ý tưởng giúp hình thành mơn
vi tích phân phát triển qua thời gian dài Các nhà toán học Hi Lạp người bước tiên phong Leucippus, Democritus
Antiphon có đóng góp vào phương pháp “vét cạn” Hi Lạp,
sau Euxodus, sống khoảng 370
trước Công Nguyên, nâng lên thành lí luận khoa học Sở dĩ gọi phương pháp “vét cạn” ta xem diện tích
hình tính vơ số hình, lúc lấp đầy hình Tuy nhiên, có Archimedes (287-212 B.C), người Hi Lạp kiệt xuất Thành tựu to lớn
đầu tiên ông tính diện tích giới hạn tam giác cong parabol
4
3 diện tích tam giác có đáy đỉnh
3 diện tích hình bình
hành ngoại tiếp Để tìm kết này, Archimedes dựng dãy vô tận tam giác, bắt đầu với tam giác có diện tích A tiếp tục ghép thêm tam giác nằm xen tam giác có
với đường parabol Hình parabol
được lấp đầy tam giác có tổng diện tích là:
A A A A A A
A,A ,A ,A
4 16 16 64
+ + + + + +
Diện tích giới hạn parabol
phân, nhờ ông tìm giá trị gần
đúng số pi khoảng hai phân số
310/71 31/7 Trong tất khám phá mình, Archimedes tâm đắc cơng thức tính thể tích hình cầu “Thể tích hình cầu 2/3 thể tích hình trụ ngoại tiếp“ Thể theo nguyện vọng lúc sinh thời, sau ông mất, người ta cho dựng mộ bia có khắc hoa văn hình cầu nội tiếp hình trụ Ngồi tốn học, Archimedes cịn có phát minh học, thủy động học Tất
học sinh quen thuộc với định luật mang tên ông sức đẩy vật thể nhúng vào chất lỏng với câu bất hủ “Eureka! Eureka!” (Tìm rồi! Tìm rồi!) ơng tắm Ơng tìm
các định luật vềđịn bẩy câu nói tiếng “Hãy cho một điểm tựa, nhấc bổng quảđất“).
Dù ơng thích tốn học
vật lí, Archimedes kỹ sư thiên tài Trong năm quân xâm lược La Mã hùng mạnh công đất nước
Syracuse quê hương ông, nhờ có khí tài ơng sáng chếnhư máy bắn đá,
cần trục kéo lật tàu địch, gương parabol đốt cháy chiến thuyền, giúp dân thành
Syracuse cầm chân quân địch năm
Cuối quân La Mã tràn vào thành Dù có lệnh tướng La Mã
(8)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
đường tròn ta !” Thế tên lính nỗi
cáu, đâm chết ơng Sau ơng mất, tốn học rơi vào bóng tối
cho đến kỹ thứ 17 Lúc nhu cầu kỹ thuật, phép tính vi tích phân trở
lại để giải toán
biến thiên đại lượng vật lý Phép tính vi tích phân phát triển nhờ tìm cách giải bốn toán lớn thời đại:
1 Tìm tiếp tuyến đường
cong
2 Tìm độ dài đường cong
3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
một đại lượng ; ví dụ tìm khoảng cách gần xa hành tinh mặt trời, khoảng cách tối đa mà đạn đạo bay tới theo góc bắn
4 Tìm vận tốc gia tốc vật thể theo thời gian biết phương trình vật thể
Vào khoảng kỷ 17, anh tài thời đại, Fermat,
Roberval, Descartes, Cavalieri lao vào giải toán Tất cố gắng họđã đạt đến đỉnh cao Leibniz Newton hồn thiện phép tính vi tích phân Leibniz ( 1646-1716) Ông nhà bác học thiên tài, xuất sắc nhiều lãnh vực: nhà luật học, thần học, triết gia, nhà trị
Ơng giỏi địa chất học, siêu hình học, lịch sửvà đặc biệt toán học Leibniz sinh Leipzig, Đức Cha giáo sư
triết học Đại học Leipzig, ông vừa sáu tuổi Cậu bé suôt ngày vùi đầu thư viện cha, ngấu nghiến tất
mới 15 tuổi, ông nhận vào học luật Đại học 20 tuổi đậu tiến sĩ luật Sau đó, ơng hoạt động ngành luật ngoại giao, làm cố vần luật pháp cho ông vua bà chúa Trong chuyến cơng cán Paris, Leibnz có dịp gặp gỡ nhiều nhà toán học tiếng, giúp niềm say mê tốn học
ơng thêm gia tăng Đặc biệt, nhà vật lí học lừng danh Huygens dạy ơng tốn học Vì khơng phải dân tốn học chun nghiệp, nên có nhiều ơng khám phá lại định lí tốn học nhà tốn học khác biết trước Trong có
sự kiện hai phe Anh Đức tranh cãi suốt 50 năm Anh cho Newton cha đẻ phép tính vi tích
phân Đức nói vinh dự
phải thuộc Leibniz Trong hai
đương khơng có ý kiến Đúng hai người tìm chân lý
cách độc lập: Leibniz tìm năm 1685, mười năm sau Newton, cho in
cơng trình trước Newton hai
mươi năm Leibniz sống độc thân suốt
đời có đóng góp kiệt xuất, ơng khơng nhận vinh
quang Newton Ơng trải qua
năm cuối đời cô độc cay
đắng Newton(1642-1727) - Newton sinh làng Anh Quốc Cha ông trước ông đời, tay mẹ nuôi nầng dạy dỗ nông trại nhà Năm
(9)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
hành khắp châu Âu lan truyền nhanh
chóng đến London, ơng phải trở lại làng quê trú ngụ hai năm 1665,
1666 Chính thời gian này, ơng
xây dựng tảng khoa học đại: khám phá nguyên tắc chuyển
động hành tinh, trọng lực, phát chất ánh sáng Tuy ông không phổ biến khám phá Ơng trở lại Cambridge năm 1667 để lấy cao học Sau tốt nghiệp, ông dạy học Trinity Năm 1669, ông giữ chức
giáo sư trưởng khoa toán, kế nhiệm giáo
sư Barrow, chức danh vinh dự giáo dục Trong năm sau đó, ơng cơng thức hố đinh luật hấp dẫn, nhờ giải thích chuyễn
động hành tinh, mặt trăng
thủy triều Ơng chế tạo kính viễn vọng đại Trong đời ơng, ơng chịu cho in khám phá vĩ đại mình, phổ biến phạm vi bạn
bè đồng nghiệp Năm 1687, trước
khuyến khích nhiệt tình nhà thiên
văn học Halley, Newton chịu cho xuất Những nguyên tắc toán học Tác phẩm
đánh giá tác phẫm có
ảnh hưởng lớn lao nhân loại
Cũng tương tự thế, sau biết
Leibniz in công trình minh, ơng cơng bố tác phẩm phép
tính vi tich phân Vĩ đại thế,
khi nói minh ơng ln cho ơng có đơi nhìn xa kẻ khác ơng
đứng vai vĩ nhân Và với khám phá lớn lao mình, ơng
(10)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
guyên hàm phân thức hữu tỷ toán bản, phát
triển nhiều tốn khó, tốn ngun hàm – tích phân
khó sau biến đổi ta đưa chúng dạng nguyên hàm – tích phân
hàm hữu tỷ Trong mục ta tìm hiểu cách giải dạng tốn
Tổng quát Với hàm hữu tỉ, bậc tử lớn bậc mẫu phải chia
tách phần đa thức để cịn lại hàm hữu tỉ với bậc tửbé mẫu Nếu bậc tửbé bậc
của mẫu phân tích mẫu thừa số bậc (x a+ ) hay (x2+px q+ ) bậc hai vô
nghiệm đồng hệ số theo phần tửđơn giản: A ; 2Bx C
x a x px q
+
+ + + ( Đồng hệ sốở tử
thức tính số A, B, C, … Kết hợp với biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh)
CÁC DẠNG TỐN
CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐA THỨC HỮU TỶ.
• b ( )
a
P x dx
: Chia miền xét dấu P x( ),
• b ( )
a
x mx n dx+
: Đặt u mx n= + phân tích,
• b( )( )
a
mx n px+ +qx r dx+
: Đặt u px= 2+qx r+ ,
• b( ) ( )
a
x m x m dx+ +
: Nếu đặt u x n= +
CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC
1 Dạng
b a
1
dx px +qx r+
Lập =q2−4pr
• Nếu
( )
b
2 a
dx
mx n
=
+
, dùng công thức hàm đa thức
N
CH
ƯƠ
NG
(11)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
• Nếu
b
2
a dx
x k
+
, đặt x k tan t=
• Nếu
b
2
a
dx
x k
−
, biến đổi 2 2 1
x k 2k x k x k
= −
− − +
2 Dạng
b a
mx n dx px qx r
+ + +
Lập =q2−4pr
• Nếu 0 Phân tích dùng cơng thức
• Nếu ( )
( )
2
2
2 2
A px qx r '
mx n B
0
px qx r px qx r x k
+ + +
= +
+ + + + + +
3 Dạng
( ) ( )
b b n
m m
n n n
a a
dx x dx x x x x
− =
+ +
, đặt t x= + n
Chú ý Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn −a;a
• Nếu f x( ) lẻ ( )
a a
f x dx
−
=
• Nếu f x( ) chẵn ( ) ( )
a a
a
f x =2 f x dx
CÁC CƠNG THỨC NÊN NHỚ.
•
(x a x b)(1 )dx a b1 ln x ax b C
−
= +
− − − −
•
( )2 ( )2
mx n A B ax b
ax b ax b
+ = +
+
+ +
•
( ) (2 ) ( )2
mx n A B C
cx d ax b ax b cx d ax b
+
= + +
+ +
+ + +
• 21 2dx 1arctanx C x +a =a a+
•
( )2 2
ax b arctan
1 dx c C
ac ax b c
+
= +
+ +
CÔNG THỨC TÁCH NHANH PHÂN THỨC HỮU TỶ
( ) P x A
(12)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
• ( )
( )( )
( )
( ) ( )
2
x m 2
2
x 1000
P x A
ax bx c
P x A Bx C
P x A ax bx c x m ax bx c
x m ax bx c
Bx C
x m
=
=
=
+ +
+
= +
− + +
− + +
− + +
+ =
−
Sau ta sẽcùng vào ví dụ minh họa cụ thể cho dạng toán này!
Câu
Tính tích phân sau : a)
2
1 x
I dx
2x
= +
b)
3
x
I dx
x
− =
+
c)
1
2
x dx x −1
Lời giải
a) Ta có: ( ) ( )
( )
( )
3 2
3 2x 3x 2x 3x 2x 27
x 1. 2 4 4 x 3x 27
2x 2x 8 2x
+ − + + + −
= = − + −
+ + +
( )
2 2
1
2
3
1
x dx x 3x 27 dx 2x 8 2x
1 27 13 27
x x x ln 2x ln 35
3 8 16 16
= − + −
+ +
= − + − + = − −
b) Ta có:
2
x x 4
x
x x x
− = − − = − −
+ + +
3
3
2
5
5
x 5dx x 1 dx 1x x 4ln x 1 5 4ln
x x
− +
+ = − − + = − − + = − +
c) Ta có: ( )
2
2 2
x x x
x x x .
x x x
− +
= = +
− − −
1 1
3
2 2
2 2
0
x x xdx
dx x dx xdx
x x x
= + = +
− − −
1
1 2
2
0
x 1
ln x ln
2
= + − = +
Câu
Tính tích phân:
1
4x 11
I dx
x 5x
+ =
+ +
Lời giải Cách Phương pháp đồng thức
Ta có ( )
( )( ) (( ) ()( ) )
2
A x B x 4x 4x 11 A B
f x
x 5x x x x x x x
+ + +
+ +
= = = + =
+ + + + + + + +
Thay x= −2 vào hai tử số: A= thay x= −3 vào hai tử số: − = −1 B suy B 1=
(13)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Vậy
1
1
2 0
0
4x 11 dx dx 3ln x ln x 3 2 ln ln 2
x 5x x x
+ = + = + + + = −
+ + + +
Cách Nhảy tầng lầu
Ta có: ( ) ( )
( )( )
2 2
2 2x 2x 2x 1
f x 2
x 5x x 5x x x x 5x x x
+ + + +
= = + = + −
+ + + + + + + + + +
( )
1
2
0
1
0
2x 1
I f x dx dx
x 5x x x x
2 ln x 5x ln ln ln x
+
= = + −
+ + + +
+
= + + + = −
+
Câu
Tính tích phân sau a)
3
2
x
I dx
x 2x
=
+ +
b)
1
4x
I dx
4x 4x
=
− +
Lời giải
a)
Cách 1. Thực cách chia đa thức x3 cho đa thức x2+2x 1+ học ởchương trình lớp
Ta
3
2
x x 2 3x
x 2x x 2x
+ = − +
+ + + +
( )
( )
( ) ( )
3 3
2
0 0
3 3 2 3
2
2
0
0
3
2
0 0
x 3x
I dx x dx dx
x 2x x 2x d x 2x
x 2x dx
2 x 2x x 1
3 3ln x 1 3ln 16 1 6 ln 2.
2 x 2 4
+ −
= = − +
+ + + +
+ +
= − + −
+ + +
= − + + + = − + + − = − + +
Cách Ta có
( )
3 3
2
0
x x
dx dx
x +2x 1+ = x 1+
Đặt t x 1= + dx dt; x t 1= = − Đổi cận x t
x t
= =
= =
( ) ( )
3
3 4
2
2 2
0 1
t
x 1
dx dt t dt t 3t 3ln t ln
t t t t
x
−
= = − + − = − + + = − +
+
b) Ta có
( )2
(14)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
Câu
Tính tích phân sau a)
2
x
I dx
x 4x
=
+ +
b)
2
2
x 2x 4x
I dx
x
+ + +
=
+
Lời giải
a) Ta có
( )
2
2
0
x dx x dx
x +4x 5+ = x 2+ +1
Đặt x tan t+ = , suy dx 12 dt
cos t
= Đổi cận x tan t
x tan t
= =
= =
Do
( ) ( ) ( )
2
2
1
t t
2 t
2 2 t
0 t t
x tan t dt sin t
dx dt ln cos t 2t
1 tan t cos t cos t
x
−
= = − = − −
+
+ +
Ta có
2
1
2
2
1
tan t tan t cos t cos t
5
1
tan t tan t 17 cos t cos t
17 17
= + = = =
= + = = =
( ) ( ) ( ) ( )
1
t 2
2 1
t
1 cos t
ln cos t 2t ln cos t 2t ln cos t 2t ln t t
cos t
− − = − − − − = − + −
( ) ( )
2 arctan arctan ln arctan arctan ln
2 17
17
= − − = − −
b) Ta có
3
2 2
x 2x 4x x 4x 2x x 2
x x x
+ + + + + + +
= = + +
+ + +
Do đó: ( )
2
2 2
2
2 2
0 0
x 2x 4x 9dx x 2 dx 1x 2x dx 6 J 1
x x x
+ + + = + + = + + = +
+ + +
• Tính tích phân
2
1 J dx
x
= +
Đặtx tan t= suy ra: dx 22 dt
cos t
= Đổi cận
x t x t
4
= =
= =
Ta có t 0;4 cos t
→
Khi
2 4 4
2 2
0
0 0
1 1 1
J dx dt dt t
x 4 tan t cos t 2
= = = = =
+ +
Từ ( )1 I
8
= +
Câu
Tính tích phân sau a)
( )
1
3
x
I dx
x
= +
b)
( )
0
3
x
I dx
x
− =
−
Lời giải
a) Cách 1.Đặt x t+ = , suy x t 1= − Đổi cận x t
x t
= =
= =
(15)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Do
( )
2
1 2
3 3
0 1
x dx t 1dt 1 dt 1 1 t t t t t x
−
= = − = − + =
+
Cách 2.Ta có
( )3 (( ))3 ( ) (2 )3
x 1
x 1
x x x x
+ −
= = −
+ + + +
Do
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
3 0
0
0
x dx 1 dx 1 1
x
x x x x
= − = − + =
+
+ + + +
b) Đặt x t− = , suy x t 1= + Đổi cận x t
x t
= − = −
= = −
Do
( ) ( )
4
0 1
3 3
1 2
t
x dx dt t 4t 6t 4t 1dt t 4 dt
t t t t t
x
− − −
− − − −
+ + + + +
= = = + + + +
−
1
2
1 1 33
t 4t 6ln t 6ln
2 t t
−
−
= + + − − = −
Câu
Tính tích phân ( )
6
4
3
4
4x x
dx a b c
x
+
− + − = + + + +
Với a, b, c số nguyên
Khi biểu thức a b+ 2+c4 có giá trị ?
Lời giải
Ta có
6 6
4 2
2 2
4 4
1 1
4x x 3dx 4 x dx 4 dx x 1dx I J
x x x
+ + + +
− + − = − + + = − + + = +
+ + +
• Tính
6
2
2 1
I dx 4x 2
+
+
= − = − = − − +
• Tính
6 6
2
2 2 2
2
2
1 1
2
1
1
x x x
J dx 1 dx dx
x x x 2
x x
+ + +
+ +
+
= = =
+ +
− +
Đặt t x dt 12 dx
x x
= − = +
Khi
x t
x t
2
= =
= + =
Khi
2
dt
(16)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
Vậy ( )
6
4
2
4
a b 16 4x x
dx 16 16
c
x
+
= = −
− + − = − −
+ + =
+
+a b2+c4 =241
Câu
Tính tích phân sau a)
( )( )
3
3
1
I dx
x x
=
− +
b)
( ) ( )
3
2
x
I dx
x x
=
− +
Lời giải
a) Cách 1.Phương pháp đồng thức
Ta có
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )()( ) ) ( ) ( )
2
2 2
A x B x x C x
1 A B C 1
x x
x x x x x
+ + − + + −
= + + =
− +
− + + − +
Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số
1 A
1 4A 4
1 2C C
2
= =
= −
= −
( ) ( ) ( )
( )( )
2
2
A B x 2A C x A B C 1
1 A B C B A C 1
4
x x
+ + + + − −
− − = = − − = + − = −
− +
Do
( )( ) ( ) ( )
3
2
2
1 dx 1. 1. 1 dx x x
x x x
= + −
− +
− + +
( )( )
( )
3
1 1
ln x x ln ln
4 x 4
= − + + = =
+
Cách Phương pháp đổi biến
Đặt t x 1= + , suy x t 1= − Đổi cận x t
x t
= =
= =
Khi
( )( ) ( ) (( )) ( )
3 4 4
2 2
2 3
t t
1 dt 1 1
I dx dt dt dt
t t 2 t t 2 t t t x x
− −
= = = = −
− − −
− +
4
4
2 3
1 1 1 t
I dt dt ln ln t ln
2 t t t t
−
= − − = − = −
b) Đặt t x 1= − , suy x t 1= + , dx dt= Đổi cận x t
x t
= =
= =
Do
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
2
3 2 2
2 2
2 1
t
x t 2t
dx dt dt
t t t t x x
+ + +
= =
+ +
− +
Cách Phương pháp đồng thức
Ta có
( ) ( )(( )) ( ) (( ) )
2
2
2 2
At B t Ct A C t 3A B t 3B
t 2t At B C
t t t t t t t t
+ + + + + + +
+ + +
= + = =
(17)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Đồng hệ số hai tử số
( )
2
2
1 B
3 A C
5 t 2t 1 t 3A B A
9 t t t t
3B 4
C
= + =
+ + +
+ = = = +
+ +
=
=
( )
2 2
2
1
2
t 2t 1dt 1 dt t t t t t
1 ln t 4ln t 3 17 4ln 5 7ln 2
9 t 9
+ + = + + + +
= − + + = + −
Cách 2:
Ta có
( ) ( ) (( ))
2
2 2
2 3 2 2
t t t 2t 1 3t 6t 3t 6t 3t 6t
t t 3 t 3t t 3t t t 3 t 3t t t
− −
+ + + + + +
= = + = +
+ + + + + +
2
3 2 2
1 3t 6t 1 t 3t 6t 1 1
3 t 3t t t t 3t t t t
+ − +
= + − = + − −
+ + + +
( )
2
2 2
3
2 2
1 1
t 2t 1 3t 6t 1 1 t 3
dt dt ln t 3t ln
t t 3 t 3t t t t 27 t t
+ + + +
= + − + = + + −
+ + +
Do I 17 4ln 7ln
6 9
= + −
Câu
Tính tích phân sau a)
( )
3 2
1
I dx
x x
=
−
b)
( )
4
x
I dx
x x
+ =
−
c)
( )( )
3
2
x dx
x −1 x 2+
Lời giải
a) Cách Phương pháp đồng thức
Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( )( ) ) ( )
2
A x Bx x Cx x
1 A B C
f x
x x x x x x x x x x x
− + + + −
= = = + + =
− + − + − +
−
Đồng hệ số hai tử số cách thay nghiệm: x 0; x 1= = x= −1 vào hai tử ta có
( ) A
x A
1 1 1
x 1 2C B f x
2 x x x
= − = → = −
= − → = = = − + +
− +
(18)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
Ta có
( ) (( ))
2
2
2
x x
1 x 1 2x
x x x x x x x x
− −
= = − = −
− −
− −
Do
( ) ( )
3
3 3
2
2
2 2
1 dx 2xdx 1dx 1ln x 1 ln x 5ln 2 3ln 3
2 x x 2
x x
= − = − − = −
−
−
b) Cách 1 Phương pháp đồng thức
Ta có
( ) ( )( ) ( ) (( )) ( )
2
2
A x Bx x Cx x
x x A B C
x x x x x x
x x x x
− + + + −
+ = + = + + =
− + − +
− −
Thay nghiệm mẫu số vào hai tử số:
• Khi x 0= A
4
= −
• Khi x= −2C
8
= −
• Khi x 2= B
8
=
Do đóf x( ) 1 1
4 x x x
= − − +
− +
( )
4 3
2
3 2
3
x dx 1dx 1 dx dx x x x x x
1ln x 1ln x 2 3ln x 2 5ln 3 3ln 5 1ln 2
4 8 8
+
= − − +
− +
−
= − − − + + = − −
Cách Phương pháp nhảy lầu
Ta có
( ) ( ) ( ) (( ))
2
2 2
x x
x 1 1 1
4 x x
x x x x x x x
− −
+ = + = − +
− +
− − − −
1 1 2x2
4 x x 2 x x
= − + −
− + −
Do đó:
( ) ( )
4
4
2
2
3 3
x 1 1 2x dx 1ln x 1ln x 4 ln x x x 2 x x x 2
x x
+ = − + − = − + − −
− + − +
−
c) Cách Phương pháp đồng thức
Ta có
( )( ) ( )( )( )
2
2
x x A B C
x x x x x x
x −1 x 2+ = − + + = − + + + +
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
2
A x x B x x C x x x
+ + + − + + −
=
− +
Thay nghiệm mẫu số vào hai tử số:
Thay x 1= ta có1 2A= , suy A
2
(19)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Thay x= −1 ta có 1= −2B, suy B
2
= −
Thay x= −2 ta có 4= −5C, suy C
4
= −
Do
( )( )
3
3
2
2 2
x 1 1 1 x
I dx dx ln ln x ln
2 x x x 2 x 2 x x
−
= = − − = − + =
− + + +
− +
Cách Nhảy tầng lầu
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) (( ) ()( )()( ) )
2
2
x x x x
x x 1 1 1
x x x x x 2 x x x
x x x x
+ − − +
− +
= = + = +
+ − + + + − + +
− + − +
( )( )
1 x 1 1 1
1
x 2 x x x x 2 x x x
= + − = + + − −
+ − + + + − + +
Từđó suy kết
Câu
Tìm ngun hàm, tính tích phân sau:
4
x
dx
x x
− −
2
( 8)
dx
x x+
3
2
4
x
dx
x x
−
+ +
4
2
x x
K dx
x
− + =
+
5
1
6
x x
L dx
x
+ +
=
+
6
4
1
8
xdx N
x
=
−
7
( )
2
7
8x
Q dx
x x
+ =
+
8
4
x
J dx
x
+ =
+
9
10
3
x dx
x +1
10
2 1 4
x 1dx
x
− +
Lời giải
1 Ta có
( )( )
4 2
3
x x x x x x x x x x x x
− − −
= + = +
− − − +
Đặt
( )( )
2
x A B C x x x x x x
− = + +
− + − + ( ) ( )
2
x A B C x B C x A
(20)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
2 Ta có
( ) ( ) (( ) )
8
7
8
8 8 8
d x
dx x dx 1 x
ln C
8 x
x x+ = x x+ = x x+ = + +
3 Ta có
2
2
4 2
1 d x
x dx x 1ln x x C x x 1 x x
x
x
+
− = = − + +
+ + + +
+ −
4 Đặt x tan t, x 0; t 0;
4
=
( ) ( )
/4 /4
4
2
0
16 tan t tan t 2dt
K 16 tan t tan t dt
cos t tan t
− +
= = − +
+
( )
( )
/4
2 2
0
1 16 tan t tan t 16 tan t tan t dt
2
= + − − +
Từđó tính K 16 17 ln
3
= − + −
5 Ta có ( )
( )
3
1 1
2
2 3
0 0
d x
1 2x dx
L dx
x x x x 1
= + = +
+ + +
+
Lần lượt đặt x tan t, x= =tan u L
12
= Đặt t x= xdx 1dt
2
= Khi x 0= t 0, x 41
3
= = t
3
=
( )
1 1
3 3
4 2
0 0
1 dt 1 1 t 1
N dt ln arctan t ln
2 t t t t 24
−
= = − = − = − −
− − + +
7 Ta có
( ) ( )
2 7
8
7
1 1
8x 1 8x 1
Q dx dx dx
x x
x x x x
+ + +
= = +
+
+ +
( )2 ( ) (( )7 )
8
7 7
1
1
d x
x
ln x x dx ln 129
x x x x
= + + = +
+ +
2
7
1 x 256
ln 129 ln ln 129 ln
7 x 129
= + = +
+
8 Ta có J 21 4 12 dx C arctan x 4 dx2
x x x x x
= + = + +
+ − + − +
Như ta cần tính K 4 dx2
x x
=
− +
(21)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
2
2
2
1
dx d
x x
K 1
1
x x 1
x x
= = −
− + − +
Đặt
2
4 2
1 t dt 1 dt
t K dt
x t t t 3t t 3t t t
= = = + −
− + + − + + − +
2 2
1 1 1 1
dt K K dt
2 t 3t t 3t t 3t t 3t
= + − = +
+ − + + + − + +
Phần lại xin nhường lại cho bạn đọc!
9 Biến đổi tích phân cần tính ta
10
3 7 4
3
4
3 7 4
2
2
x dx x x x 1 dx
x x x x
1
x x x dx
x
1
x
2
= − + − +
+ − + +
= − + − +
+
− +
Tính ( )
( ) ( ) ( () )( )
3 3
3 2
4 4
d x d x
1
I dx
x x x x x x x
+ +
= = =
+ + − + + + − + +
Đặt t x 1= + dt dx= ( ) ( )
( )
2
4 4
2
5 5
t 3t t 3t
1 dt t
I dt dt
3 t t 3t 3 t t 3t
− + − − −
= = −
− + − +
4 4
2
5 5
1 dt 1 2t dt dt t t 3t t 3t
−
= − −
− + − +
Đến xin nhường lại cho bạn đọc!
10 Ta có
1 2
2
1
2
4
2
2
1
1 dx d x
x x x
I dx
1
x x 1
x
x x
− +
−
= = =
+ +
+ −
Đặt x t
x
+ = ta được:
( )( )
( ) ( )
5 5
2
2 2
2
2
2
dt dt 1
I dt
t t t 2 t t d t d t
1 1 t 2 19
= = = −
− + − − +
− + − −
(22)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
KỸ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU
Khi gặp toán nguyên hàm phân thức hữu tỷ bạn thường giải
nào? Biến đổi đưa dạng bản, đặt ẩn, hay lượng giác hóa…? Trong chủ đề
mình giới thiệu cho bạn kỹ thuật hay để giải toán phân thức
hữu tỷ mà ta gọi kỹ thuật nhảy tầng lầu – phương pháp tách tích phân hữu tỉ
thành nhiều tích phân có khoảng cách bậc tử mẫu không lớn, hạ bậc mẫu
tích phân ban đầu xuống mức tối giản có thể, từđó tính tốn dễ dàng Kỹ thuật
này trích từ “ TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH
TÍCH PHÂN” thầy Trần Phương phương pháp xử lý khác mạng
Sau ví dụ minh họa trích từ tích phân thầy Trần Phương
Câu
Tính tích phân sau
1 I 3dx
x 3x
= −
I 7 dx 3
x 10x
= −
I 4dx
x
= −
4 I xdx4
x
= −
2
x
I dx
x
− =
+
2
x
I dx
x
+ =
+
7 I 4dx
x
= +
2 x dx I
x
= +
4 x dx I
x
= +
10 ( )
2
4
x dx
x 5x 4x 5x
−
− − − +
11 I 4 dx2
x x
=
+ +
12 I 3dx
x
= −
13 I 3dx
x
= +
14 I xdx3
x
= −
15 I xdx3
x
= +
Lời giải
1 Ta có
( ) (( ))
2
3 2
x x
dx dx 1 xdx dx
I dx
x 3x x x 3 x x 3 x x
− −
= = = = −
− − − −
( ) 2
2
2
d x
1 dx 1ln x 3 ln x c 1ln x C
3 x x x
− −
= − = − − + = +
−
2 Ta có ( ) (( ))
4
7 3 4
x x 10
dx dx 1 xdx dx
I dx
x 10x x x 10 10 x x 10 10 x 10 x
− −
= = = = −
− − − −
( ) ( )
2 2
2 2
2
d x
1 dx 1 x 10
ln C
10 x 10 x 20 10 x 10 x
−
= − = + +
− +
3 Ta có
( )( ) (( ) ()( ))
2
4 2 2
x x
dx dx 1 x 1
I dx ln arctan x C
x x x x x x
+ − − −
= = = = − +
− − + − + +
(23)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
4 Ta có ( )
( )( ) ( )
2 2
2
4 2 2
d x
xdx 1 1 x
I d x ln C
x x x x x x
−
= = = − = +
− − + − + +
5 Ta có
( )
2 2
2
2
2
1
1 d x
1 x
x x x x
I dx dx ln C
1
x x x 2 2 x 2
x x x
+
− + −
−
= = = = +
+ + + +
+ −
6 Ta có
( )
2 2
2
2
2
1
1 d x
1
x x x x
I dx 1 dx arctan C
x x x 2 x
x x
−
+
+ −
= = = = +
+ +
− +
7 Ta có ( ) ( )
2 2 2
4 4
x x
dx 1 x x
I dx dx dx
x x x x
+ − − + −
= = = −
+ + + +
2
2
1 arctanx 1 ln x x C 2 x 2 x x
− − +
= − +
+ +
8 Ta có ( ) ( )
2
2 2
4 4
x x
x dx 1 x x
I dx dx dx
x x x x
+ + − + −
= = = +
+ + + +
2
2
1 arctan x 1 ln x x C 2 x 2 x x
− − +
= + +
+ +
9 Ta có ( )
4
4 2
4
x 1
x dx 1 x 1 x x
I dx x arctan ln C
x x 2 x 2 x x
+ − − − +
= = = − − +
+ + + +
10 Ta có ( )
2 2
2
4
2
1
1 dx d x
x dx x x
I
1
x 5x 4x 5x x 5 x 4 x 5 x 6
x x x x
− +
−
= = =
− − − + + − + −
+ − + −
( )( )
2
2
du du 1 du 1ln x 6x C
u 5u u u u u x x
− +
= = = − = +
− − − + − + + +
11 Ta có ( ) ( )
2 2 2
4 4
x x
dx 1 x x
I dx dx dx
x x x x x x x x
+ − − + −
= = = −
+ + + + + + + +
2
2
2
2
1 1
1 dx dx d x d x
1 x x x x
1
2 x 1 x 1 x 3 x 1
x x x x
+ − − +
= − = −
+ + + + − + + −
(24)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
12 Ta có
( )( ) ( ) ( () )( )
3 2
d x
dx dx
I
x x x x x 1 x 1 3 x 1 3
−
= = =
− − + + − − + − +
( ) ( ( ) ( ) ) ( )
2
2
2
t 3t t 3t t dt
dt 1 dt
dt
3 t t 3t
t t 3t t t 3t
+ + − + +
= = = −
+ +
+ + + +
( )
2 2
2t dt
1 dt dt x 2x 1 2x
ln arctan C
3 t t 3t t 3t x x 3
+
− + +
= − − = − +
+ + + + + +
13 Ta có
( )( ) ( ) ( () )( )
3 2
d x
dx dx
I
x x x x x x x
+
= = =
+ + − + + + − + +
( ) ( ( ) ( ) ) ( )
2
2
2
t 3t t 3t t dt
dt dt dt
3 t t 3t
t t 3t t t 3t
− + − − −
= = = −
− +
− + − +
( )
2
d t 3t
1 dt dt
3 t t 3t 3 3 t
2
− +
= − +
− +
− +
2
2
1 1ln t 3 arctan2t C 1ln x 2x 1 arctan 2x C
3 t 3t 3 x x 3
− + + −
+ + = + +
− + − +
14 Ta có
( )( ) ( )
( )
( )( )
2
3 2
x x x
xdx xdx
I dx
x x x x x x x
+ + − −
= = =
− − + + − + +
( )
2
2 2
2x dx
1 x 1 dx dx
dx
3 x x x x x x 1 3 x
2
+
−
= − = − +
− + + − + +
+ +
2
1 ln x 1 1ln x x 1 3 arctan 2x C
3
+
= − − + + + +
15 Ta có
( )( ) ( )
( )
( )( )
2
3 2
x x x
xdx xdx
I dx
x x x x x x x
− + − + −
= = =
+ + − + + − +
( )
2
2 2
2x dx
1 x dx dx dx
3 x x x x x x 1 3 x
2
−
+ −
= − − = − −
+ − + + − +
− +
2
1ln x 2x 1 arctan 2x C
6 x x 3
− + + −
= − +
(25)CH INH PH Ụ C OL YM PIC T O ÁN Câu
Tính nguyên hàm sau
1 I 6dx
x
= −
I xdx6
x
= −
3
6 x dx I x = − x dx I x = − x dx I x = − 6 x dx I x = − 6 x dx I x = − x I dx x − = + x I dx x + = +
10 I 6dx
x = + 11 x x I dx x + = +
12 I 100dx
3x 5x
=
+
13
( 50 )2
dx I
x 2x
=
+
14
( n )k
dx I
x ax b
=
+
15 ( )
( )
2000 2000
1 x dx I
x x
− = + 16 ( ) 19 10 x dx I x = + 17 ( ) 99 50 x dx I 2x = − 18 ( ) 2n k n x dx I ax b − = +
Lời giải
1 Ta có
( )( )
6 3 3
dx dx dx dx
I
x x x x x
= = = − − − + − + 2 2
1 1ln x 2x 1 arctan2x 1ln x 2x 1 arctan2x x x 3 x x 3
− + + + + − = − − + + + − + ( )( ) ( )( ) 2 2
x 2x x x
1 ln arctan2x arctan 2x C 12 x 2x x x 3
− + − + + −
= − + +
+ + + +
2 Ta có ( )
( )
2 4 2 2
3
6 2
d x
xdx 1 x 2x 1 2x
I ln arctg C
x x 1 12 x x 3
− + +
= = = − +
− − + +
3 Ta có ( )
3
2 3
6 3
d x
x dx 1 x 1 x
I ln C ln C
x x x x
− −
= = = + = +
− − + +
4 Ta có ( )
( )( )
2
3
6
x d x
x dx 1 udu udu I
x x u u u u
= = = =
− − − − + +
( )2 4 2 2
2
u
1 ln arctan 2u C ln x 2x 1 arctan 2x C 12 u u 3 12 x x 3
− + − + +
= + + = + +
+ + + +
( ) ( )
4 x x x
x dx dx dx dx
(26)T Ạ P CH Í VÀ TƯ LI Ệ U T O ÁN H Ọ C
6 Ta có ( )
6
6
6
d x
x dx 1
I ln x C
x x
= = = − +
− −
7 Ta có ( )
6
6 6
x 1
x dx dx
I dx dx
x x x
− + = = = + − − − ( )( ) ( )( ) 2 2
x 2x x x
1 2x 2x
x ln arctan arctan C
12 x 2x x x 3
− + − + + −
= + − + +
+ + + +
8 Ta có ( )( )
( )( ) ( )
2 2
4
6 4
2
1 dx
x x dx x dx
x x
I dx
1
x x x x x x x 1
x − + − − − = = = = + + − + − + + − ( )
2 2
1 1
d x x 3
1 x x
x ln x C ln C
1
2 3 x x
1 x 3
x x
x + + − − + = = + = + + + + − + +
9 Ta có ( )
( )( )
4 2
4
6 2
x x x
x dx x dx
I dx dx
x x x x x x
− + + +
= = = +
+ + − + + +
( )3 ( )
3
2
d x
dx 1
arctan x arctan x C
x x
= + = + +
+ +
10 Ta có ( ) ( )
4
6
x x
dx
I dx
x x
+ − −
= =
+ +
( )3
2
1 1 x x
arctan x arctan x ln C
2 3 x x
− +
= + − +
+ +
11 Ta có ( ) ( )
3
2
6 6
d x d x
x x 1
I dx
x x x
+
= = +
+ + +
( ) 2
3
4
1 arctan x 1ln x 2x 1 arctan 2x C
3 x x 3
+ + −
= + + +
− +
12 Ta có
( ) ( ( ) )
99 99 98
100 99 99 99
3x 3x
dx dx 1 dx 3x dx
I dx
3x 5x x 3x 5 x 3x 5 x 3x
+ −
= = = = −
+ + + +
( 99 ) 99
99
99 99
d 3x
1 dx 1 1 x
ln x ln 3x C ln C x 99 3x 5 99 495 3x
+ = − = − + + = + + +
13 Ta có
( ) ( ( ) ) ( ) ( )
50 50 49
2 50
50 50 50
2x 2x
dx 1 dx 2x dx
I dx
7 x 2x
x 2x x 2x 2x
+ − = = = − + + + + ( ) ( ) ( ) ( )
50 50 49 49 49
2 50
50 50 50
2x 2x
1 2x dx dx 2x dx 2x dx dx
7 x 2x 2x 7 49 x 2x 7 2x 7
+ −
= − = − −
+ + + +
(27)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
( ) ( )
( )
50 50
2
50 50
d 2x d 2x
1 dx 1
49 x 50 2x 350 2x 7
+ +
= − −
+
+
( ) ( )
50 50
50
50 50
1 1 x
ln x ln 2x ln C
49 49.50 350 2x 49.50 2x 350 2x
= − + + = + +
+
+ +
14 Ta có
( ) ( ( ) ) ( ) (( ))
n n n
k k k k
n n n n
ax b ax d ax b
dx 1 dx
I dx
b b nb
x ax b x ax b x ax b − ax b
+ − +
= = = −
+ + + +
( ) ( ( ) ) (( ))
( )( ) ( )
( )( ) ( )
n n
k k k
2 n n n
n k
k n k n k
n
k
k n n k n
d ax b d ax b
1 dx 1
b x ax b nb ax b nb ax b
1 1 1
ln x ln ax b C
b n b k ax b b ax b b
1 ln x 1 C
nb ax b n b k ax b b ax b
− −
− −
− −
+ +
= − − =
+ + +
= + + + − + +
− + +
= + + + +
+ − + +
15 Ta có ( )
( ) ( ( ) )
2000 2000 2000 1999
2000
2000 2000
1 x dx x 2x dx 2x dx
I dx
x x x x x x
− + −
= = = −
+
+ +
( )
( )
2000 1000
2000
2000 2000
d x
dx ln x ln x C ln x C
x 1000 x 1000 x
+
= − = − + + = +
+ +
16 Ta có
( ) ( ) ( ( )) (( )) ( )
10 10 10
19 10
10
2 2
10 10 10 10
x d x x 3 x dx x 10x dx 1
I d x
10 10 10
3 x x x x
+ −
= = = = +
+ + + +
( ) ( )
( ) ( )
10 10
10
10 10 10
d x d x
1 3 ln x C
10 x 3 x 10 10 x
+ +
= − = + + +
+ + +
17 Ta có
( ) ( ) (( )) ( )
50
99 50 49
50
7 7
50 50 50
2x 3 x dx x x dx
I d 2x
200
2x 2x 2x
− +
= = = −
− − −
( )
( ) (( )) ( ) ( )
50 50
6
50 50 50 50
d 2x d 2x
1 3 1 C
200 2x 3 2x 3 200 5 2x 3 2 2x 3
− −
= + = − + +
− − − −
( )
( ) ( )
50 50
6
50 50
2 2x
1 4x
C C
200 10 2x 2000 2x
− + −
= − + = +
(28)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
n n
k k
2 n 2 n
b k k ax b
1 kax b
C C
na k ax b − na k kx b −
− − − + − −
= + = +
− + − +
Dạng toán I f e dx( )x
=
CÁCH GIẢI CHUNG Đặt
( )
x kx
x x n
m x
t e t e t ae b t ae b t ae b
= = = +
= +
= +
Sau đưa tích phân vềtích phân
Sau sẽđi vào ví dụ cụ thể!
Câu
Tính tích phân sau:
3
1 x
1 dx I
e
= −
ln
2 x x
ln
dx I
e 2e−
=
+ −
1
3 2x
0 dx I
e
=
+
4
1 2x
4 x
0 e
I dx
1 e
− − =
+
1 x
5 x x
0
e dx I
e e−
= +
( )
3 x
6 x
0
1 e
I dx
e
+
=
ln 2x x
7 2x x
0
e 3e
I dx
e 3e
+ =
+ +
Lời giải
1 Đặt t e= x dt e dx= x
( ) ( )
3
3 e
3 x e e
1 x x
1 e e e
e dx dt 1 t e e
I dt ln ln
t t t t t e e e
− + +
= = = − = =
− −
−
2 Đặt t e= x dt e dx= x
( )( )
5
ln x 5
2 2x x
ln 3 3
e dx dt dt 1 t
I dt ln ln
e 3e t 3t t t t t t
−
= = = = − = =
+ − − + − − − − −
3 Đặt t e= 2xdt 2e dx= 2x
( ) ( )
2
2 e
1 2x e e
3 2x 2x
0 1
e dx dt 1 1 t 6e
I dt ln ln
2 t t 10 t t 10 t 10 e e e
= = = − = =
+ + + +
+
4 Đặt t e= −x dt= −e dx−x
( )
1
1 x x e 1 1
1
4 x
e e dx t t e 1
I − −− dt dt 1 dt t ln t ln +
= = − = = − = − + = −
+ + + +
(29)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
5 Ta có
1 x 2x
5 x x 2x
0
e dx e dx
I
e e− e
= =
+ +
Đặt t e= 2xdt 2e dx= 2x
2
2
e e
5 1
1
1 dt 1 e I ln t ln
2 t 2
+
= = + =
+
6 ( )
3 x
6 0 x
1 e
I dx
e
+
= Đặt
x x
x
dt e dx t e
e t
= = +
= −
( )
( ) ( )
3
x x 3
1 4e e
6 0 2x 2 2
1 e e t 3t 2
I dx dt t dt
e t 1 t 1
+
+ −
= = = + +
− −
( )
( ) ( )
1 e e
2
2
1 e
2
2
3 t 1
t dt t dt
t
t t
t 2t 3ln t 1 e 6e e
2 t 2e
+ +
+
− +
= + + = + + +
−
− −
+ + −
= + + − − = −
7
2x x
ln
7 0 2x x
e 3e
I dx
e 3e
+ =
+ +
Đặt t e= x dt e dx= x
( x ) x
ln 2
7 0 2x x 1
e e t 3
I dx dt
e 3e t 3t
+ +
= =
+ + + +
( ) ( )
( )( )
2
2 2
2
1 1
1 2t 3
d t 3t
1 dt
2 2 dt
t 3t 2 t 3t 2 t t
+ + + +
= = +
+ + + + + +
( )
2
2
1
d t 3t
1 1
dt
2 t 3t 2 t t
+ +
= + −
+ + + +
( )
1
1 t
ln t 3t ln 3ln 4ln
2 t
+
= + + + = −
+
Từ ( )* em có thểdùng phương pháp đồng hệ số
( )( )
2
t t A B
t 3t t t t t
+ = + = +
+ + + + + + ( ) ( )( )
*
t A t B t
+ = + + +
Ta tìm A,B theo cách
Cách Chọn t= − 1 A 2= chọn t= − = −2 B
Cách ( )2* t (A B t 2A B) A B A
2A B B
+ = =
+ = + + + + = = −
( )
2
(30)T Ạ P CH Í VÀ TƯ LI Ệ U T O ÁN H Ọ C
4 4 ln
x dx I e = +
( )
x ln
5 0 3
x e dx I e = +
6
2x x
0
dx I
2e 2e
=
+ +
Lời giải
1
2 x x
1
1 0 x
x e 2x e
I dx 2e + + = +
Nhận xét.Vì biểu thức dấu tích phân có phần đa thức liên hệ phép toán cộng nên ta sẽ nghĩ tới việc “triệt tiêu” cách lập (tách) thành hai tích phân để tính
( )
2 x x x 3
1 2
1 0 x 0 0 x
0
x 2e e e dx x 1
I dx x dx I I
1 2e 2e 3
+ + = = + = + = + + + Tính x x e dx I 2e = +
Đặt t 2ex dt 2e dxx e dxx dt
2
= + = =
1 2e 2e
1
3
1 dt 1 2e 1 2e
I ln ln I ln
2 t t 3
+ + + +
= = = = +
Các bạn tính I theo kĩ thuật vi phân
( x)
x
1 x1
x x 0
0
d 2e
e dx 1 2e
I ln 2e ln
11 2e 2e 2
+ + = = = + = + + 2x ln ln 2 x
e dx I e = − Đặt x
x x
x
2tdt e dx t e t e
e t
= = − = −
= +
( )
x
ln x 2 2
2 ln 2 x 1 1
1
e t t t 23
I e dx 2tdt t t dt
t 3
e + = = = + = + = − ( )
3x 2x x
ln
3 0 x
e 2e e
I dx
2 e
+ + =
+ +
Đặt t (1 ex)3 dt e( x)2e dxx e ex( x)2dx dt
3
= + = + + =
( )
( ) ( ( ) )
2
x 2x x x x
ln ln 27 27
3 x x 8
e e 2e e e dx 1 dt 1 1 29
I dx ln ln
3 t 3 10
2 e e t
+ + + = = = = = + + + + + +
4 4 ln
x dx I e = + Đặt x
x x
x
2tdt e dx t e t e
e t
= = + = + = − ( ) ( ) x
h3 2
4 x x 2 2
2
e dx 2tdt dt t
I ln ln ln
t t t t
e e
(31)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
5
( )
x ln
5 0 3
x
e dx I
e
=
+
Đặtt e= x+ 1 dt e dx= x
4
4
2
5 2 3 2
2
dt
I t dt 2
t t
− −
= = = = −
6 6
2x x
0
dx I
2e 2e
=
+ +
Nhận xét
Nếu toán ta đặt t= 2e2x+2ex+ 1 t2 =2e2x+2ex + 1 tdt=(2e2x+e dxx)
chúng ta phải chỉnh lại tích phân (đểrút theo tdt) cách biến đổi
( )
( )
2x x
6 0 2x x 2x x
2e e dx I
2e e 2e 2e
+ =
+ + +
Nhưng ta không rút biểu thức (2e2x+ex) mẫu sốtheo t Như hướng
đi không khả thi Nếu ta chuyển sang hướng khác cách đặt t e= xthì
1 x e
6 x 2x x 2
0
e dx dt
I
e 2e 2e t 2t 2t
= =
+ + + +
làm tiếp dài phức tạp Nhưng
chúng ta quan sát kĩ lại biểu thức: 2e2x+2ex+ =1 (1 e+ x)2+ex có dạng
2
u +a Điều gợi ý nhận thêm
( ) ( )2
2x 2x 2x x x 2x x
e− : e− 2e +2e +1 = +2 2e− +e− = e+ − +1
Và ta có lời giải toán sau: Đặt t=(1 e+ −x)dt= −e dx−x
( ) ( ) 1 ( )
2
1 x x 2
6 2x 2x x 2 2 2 2
x
0 e e
t t dt
e dx e dx dt
I
t 1 t t
e 2e 2e 1 e 1 − −
− −
− −
+ +
+ +
= = = =
+ + + +
+ + + +
( )
( ) ( )
1
2
2 2
2
2
2 1 e
1 e
d t t e
ln t t ln
e 2e 2e
t t −
− +
+
+ + +
= = + +
+ + + +
+ + =
PHƯƠNG PHÁP OXTROGRATXKY
Khi đứng trước tốn ngun hàm tích phân hàm phân thức hữu tỷta thường có nhiều phương pháp giải khác từđưa dạng cách đặt ẩn phụ, đặt ẩn
lượng giác, phân tích nhân tử hệ số bất định sốphương pháp khác Trong
(32)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP OXTROGRATXKY.
Trước hết ta xét tốn có dạng ( )
( ) P x I dx
Q x
= , P x ,Q x( ) ( ) đa thức thỏa mãn deg P deg Q Trong đa thức Q x( ) có nghiệm bội tập số phức ta
biểu diễn nguyên hàm ban đầu dạng ( )
( ) 1( )( ) 2( ) ( )
P x F x H x
I dx dx *
Q x Q x Q (x)
= = + Trong
• Đa thức Q x1( )=UCLN Q x ;Q' x ( ) ( )
• Đa thức ( ) ( )
( )
2
1
Q x Q x
Q x
=
• F x ,K x( ) ( ) đa thức với hệ số chưa xác định thỏa mãn
2
deg F deg Q
deg K deg Q
= −
= −
Bước để giải toán ta sẽđi lấy đạo hàm vế biểu thức ( )*
đồng hệ sốtìm đa thức Nhìn chung phức tạp việc giải hệ
phương trình ☺ Sau bạn qua toán để hiểu rõ phương
pháp nhé!
CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA
Câu
Tìm nguyên hàm hàm số sau
( )
2 2
x dx I
x 2x
=
+ +
Lời giải
Đầu tiên ta nhận thấy toán khủng đó, ý Q x( )=(x2+2x 2+ )2
có nghiệm bội nghiệm phức nên ta có thểdùng phương pháp
Đến ta làm bước 1, ta có Q x'( )=4 x x( + )( 2+2x+2), ta tìm Q x1( ), ý Q x( ) Q' x( ) có đại lượng ( )
2
x +2x 2+ có nghĩa đa thức
chính ước chung lớn đa thức Q x ,Q' x( ) ( )Q x2( )=Q x1( )=x2 +2x 2+
Áp dụng công thức tổng quát vào ta giả sử
( )
2
2 2
2
x dx Ax B Cx D
I dx
x 2x x 2x x 2x
+ +
= = +
+ + + +
+ +
Lấy đạo hàm vếta
( ) ( )
( )( )
( )
2
2 2
2
A x 2x Ax B 2x
x Cx D
x 2x x 2x x 2x
+ + + + + +
= +
+ +
+ + + +
( ) ( ) ( )
2
x Cx A 2C D x 2B 2C 2D x 2A 2B 2D
(33)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
C A
A 2C D B 2B 2C 2D C 2A 2B 2D D
= =
− + + = =
− + + = =
− + = =
Đến tích phân ban đầu trở thành dạng vô đơn giản
( ) ( )
2
2 2
2
x dx dx
I arctan x C
x 2x x 2x x 2x x 2x
= = + = + + +
+ + + + + +
+ +
Nhận xét Qua ví dụđầu ta thấy phương pháp tương đối mạnh việc giải tốn hàm phân thức hữu tỷ, nhiên có mặt cả, khó khăn
của phương pháp nằm việc giải hệ phương trình, với giải nhanh,
nhưng với số khác sẽkhơng đơn giản thế, sau ta tìm hiểu ví dụđể
thấy nhược điểm nhé!
Câu
Tìm nguyên hàm hàm số sau
( )
2
2
4
x
I dx
x x
+ =
+ +
Lời giải
Như trước, ta sẽđi tìm đa thức Q x ,Q x1( ) 2( )
Ta có Q' x( )=4 2x( 3+x x)( 4+x2+1)Q x1( )=Q x2( )=x4+x2 +1
Ta giả sử
( )
2 3
2 4
4
x Ax Bx Cx D Ex Fx Gx H
I dx dx
x x x x x x
+ + + + + + +
= = +
+ + + +
+ +
Lấy đạo hàm vế ta có
( ) ( ( )( ) ) ( ()( ) )
2 3
2
2 2
4 4
3
4
3Ax 2Bx C x x 4x 2x Ax Bx Cx D x
x x x x x x
Ex Fx Gx H x x
+ + + + + + + +
+
= −
+ + + + + +
+ + + +
+ +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
3
x Ex A F x 2B G E x A 3C F H x
4D G E x 3A C F H x 2B 2D G x C H
+ = + − + + − + + + − + + +
− + + + − + + + − + + +
B D E G E A F
1 A F 2B G E A F E
= − + = = = =
− + = − + + = =
(34)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
Quá khủng phải không nào? Đến nguyên hàm ban đầu trở thành
( ) ( )
2
2 4
4
x x 2x x
I dx dx
6 x x x x
x x
+ + +
= = +
+ + + +
+ +
Ta để ý
2
4 2
x dx 3x 3x dx
x x x x x x
+ = + − −
+ + + + − +
2
3lnx x arctan 2x arctan2x C
4 x x 3
+ + + −
= + + +
− +
Từđó nguyên hàm ban đầu ta tính
( )
3
2
4
x 2x x x 2x 2x
I ln arctan arctan C
8 x x
6 x x 12 3
+ + + + −
= + + + +
− +
+ +
Nhận xét Quả thật lời giải tự luận khủng phải khơng nào? Nhìn chung
phương pháp có hay nó, phương pháp nhảy tầng lầu có hay,
(35)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
BÀI TẬP TỔNG HỢP
ĐỀ BÀI
Bài 1. Cho
3
x a c
I dx ln
3x b d
+
= = +
−
với a, b, c,d sốnguyên dương a c,
b d
phân số tối giản Biết a c b d+ − ( + )=m ,m 02 m sốnào sau
A 10 B 11 C 12 D 13
Bài Tính nguyên hàm hàm số ( )
( )3
ln x f x
x
= − A
( )2 ( )
ln x 1 x
ln C
4 x x
2 x
−
− − − +
−
− B ( )2 ( )
ln x 1 x
ln C
4 x x
2 x
−
+ + +
− −
C
( )2 ( )
ln x 1ln x C
4 x x
2 x
−
+ − +
−
− D ( )2 ( )
ln x 1ln x C
4 x x
2 x
−
− − +
− −
Bài 3. Cho
6
2
2
2x ln 2
I dx
4x 12x 11 a b
− −
+
= = −
+ +
Biết a, b số nguyên dương Tính
giá trị biểu thức ab
A 12 B 24 C 48 D 96
Bài 4. Cho
( )( )
2
2
1
x dx ln a ln b
x 5x 2x 9x
−
− = −
+ + + +
, với a
b phân số tối giản Giá trị
a b+
A 23 B 24 C 25 D 26
Bài 5. Cho
2
4
0
x a
dx x x b
+ = + +
với a số nguyên tố Tính a b2
A 75 B 54 C 108 D 45
Bài 6. Cho
( ) ( )
1
2 2
25 dx aln b c
6
x x
−
+ + =
− +
Tính a b c+ +
A 53 B 54 C 55 D 56
Bài 7.Đặt
( )
2n
n 1 n
x
F dx
x
− =
+
Tính
( )
2n
n 1 n
x
lim F dx x
− =
+
A 0 B 1 C ln D +
Bài 8. Cho ( )
2
1 x a b
dx
+ −
=
(36)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
A 2001; 2019
2001.2 2019.2 B 2001 2019
1 ; 2002.2 2020.2
C 2000 ; 2018
4000.2 4036.2 D 2001 2019
1
;
4002.2 4038.2
Bài 10. Cho
( )
4
2
4
1
x 13x 13x ln ln
dx
a b
x x 11x 12x 11x
− + − = −
− + − +
, với a, b cá số nguyên dương
Tính a b2
A 3 B 27 C 108 D 72
Bài 11. Cho f x( ) liên tục / 0; 2 thỏa mãn f x( ) f x
2 x
+ =
−
Tính ( )
5
3 f x dx
A 3 ln ln 3− + B 9 3ln ln 3− + C 6 ln ln 3− + D 12 ln 8ln 3− + Bài 12.Đâu họ nguyên hàm hàm số ( )
2
5x
f x
x
+ =
+ A
2
2
1 ln x x 3arctan x C x x x
+ + −
+ +
− +
B
2
2
1 ln x x 3arctan x C x x x
+ + −
− +
− +
C
2
2
1 x x x
ln 3arctan C
2 x x x
− + −
− +
+ +
D
2
2
1 ln x x 3arctan x C x x x
− + −
+ +
+ +
Bài 13. Cho f x( ) liên tục / 1;1
2
−
thỏa mãn
( ) ( )
2
x 3x
f
2x x
− −
= +
− Tính ( )
4
2 f x dx
A 148 ln
75 − 25 B
296 14ln
75 − 25 C
148 ln
25 − 75 D
296 14ln 25 − 75
Bài 14. Cho đa thức P x( ) hệ số thực thỏa mãn (x P x 1− ) ( + −) (x P x+ ) ( )= 0 x
( )
P =6 Tính 2 ( )
1 P x
I dx
x x
− =
+ +
A 2
3
− + B 3
2
− − C 2
3
− − D 3
2
− +
Bài 15. Cho f x( ) thỏa mãn (x y f x y− ) ( + ) (− x y f x y+ ) ( − )=4xy x( 2−y2) Biết f 2( )=16,
tính ( )2
0
f x 4x
I dx
x 3x
− +
=
+ +
A 4ln ln 3
2
− + B 4ln ln
2
− + C 4ln ln
2
− − D 4ln ln
2
(37)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Bài 16. Cho f x( ) g x( ) xác định x thỏa mãn
( ) ( )
f 2x g x x (1)
x
f 2g (2) x 2x
− + − = +
+ =
+ +
Tính giá trị tích phân ( )
( )
10
g x dx f x
A 5 ln 2+ B 5 ln 2− C 2 ln 5+ D 2 ln 5− Bài 17. Cho f x( ) g x( ) thỏa mãn
( )2 ( )2
2 x x x
f g
x x x
x x
− − −
= +
+ + +
+ + Biết
( ) ( )
1
3
1
5
g x dx 1; g x dx 2= =
Tính ( ) ( )
3
5
1
2
P= f x dx f x dx+
A 8 6ln7 12 ln10
6
+ − B 8 6ln7 12 ln10
6
+ +
C 8 6ln7 12 ln10
6
− + D 8 6ln7 12 ln10
6
− −
Bài 18. Cho f x( ) thỏa mãn f x( ) f y( ) 2 xy2
x y
+ =
+ + Tính ( )
1
0 f x dx
A
4 16
− B
2
− C
4
− D
2 2
−
Bài 19 Gọi S tập hợp tất số nguyên dương k thỏa mãn bất phương trình
2 k
kx
2018.e 2018
e dx
k
−
Số phần tử tập hợp S
A 7 B 8 C Vô số D 6
Bài 20 Cho ( ) ( )
2 x
1
x
x x e
dx a.e bln e c
x e−
+
= + +
+
với a, b, c Tính P a 2b c= + − ?
A P 1= B P= −1 C P 0= D P= −2
Bài 21 Biết tích phân
1
0
x 2x 3
dx bln
x a
+ + = +
+
(a,b 0 ) tìm giá trị thực tham số
k để ( )
2 ab
x
k x 2017
dx lim
x 2018
→+
+ +
+
A k 0 B k 0 C k 0 D k
Bài 22 Biết ln có hai số a b để F x( ) ax b
x
+ =
+ (4a b 0− ) nguyên hàm hàm số
( )
(38)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu
Cho
3
x a c
I dx ln
3x b d
+
= = +
−
với a, b, c,d số nguyên dương a c,
b d phân
số tối giản Biết a c b d+ − ( + )=m ,m 02 m sốnào sau
A 10 B 11 C 12 D 13 Lời giải
Phân tích Bài dạng hàm phân thức hữu tỉ Ta sẽ dùng phép chia đa
thức (x3+1 : 3x 5) ( − ) kết ( )
2
3 x 25 152
x 3x x
3 27 27
+ = − + + +
3
2
3
2 152
x 25 27 x 5x 25 152
I x dx x ln 3x
3 27 3x 18 27 27
= + + + = + + + −
−
149 152 104 152 239 152
I ln ln ln
18 81 27 81 54 81
= + − + = +
( )
a 239, b 54, c 152,d 81 a c b d 121 11 m 11
= = = = + − + = = =
Chọn ý B
Câu
Tính nguyên hàm hàm số ( )
( )3
ln x f x
x
= − A
( )2 ( )
ln x 1ln x C
4 x x
2 x
−
− − − +
−
− B ( )2 ( )
ln x 1ln x C
4 x x
2 x
−
+ + +
− −
C
( )2 ( )
ln x 1 x
ln C
4 x x
2 x
−
+ − +
−
− D ( )2 ( )
ln x 1 x
ln C
4 x x
2 x
−
− − +
− −
Lời giải
Đặt
( )3 ( )
2
dx u ln x du
x
1 1
dv dx v
x 2 x 2
= =
=
− = −
−
( )3 ( )2 ( )2 ( )2
ln x ln x 1 ln x
I dx dx J
2
x 2 x x x 2 x
= = − + = − +
− − − −
J hàm phân thức hưu tỉcơ quen
( )
( )2 ( )2 ( ) 1x x 2
1 1
2
J dx dx
2 x x x x x
− −
= = −
−
− −
(39)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
( )
1 1 1 1 x
dx ln
2 x x x 2 x x
−
= − − = −
− − −
( )2 ( )
ln x 1 x
I ln C
4 x x
2 x
−
= − − − +
− −
Chọn ý A
Câu
Cho
6
2
2
2x ln 2
I dx
4x 12x 11 a b
− −
+
= = −
+ +
Biết a, b số nguyên dương Tính giá trị
của biểu thức ab
A 12 B 24 C 48 D 96 Lời giải
Ta có
6
2
2 2
2 3
2
1 8x 8x 12
I dx dx
4 4x 12x 11 4x 12x 11 4x 12x 11
− −
− −
+ +
= = −
+ + + + + +
( )
( )
2
6
2
2
2
2 3
2 2
d 4x 12x 11
1 2dx
ln 4x 12x 11 J 4x 12x 11 2x
−
− −
− − −
+ +
= − = + + −
+ + + +
( )
1 ln ln 4 J 1ln J
4
= − − = −
Xét J Đặt 2x tan t,t ;
2
+ = −
dt 2dx
cos t
=
3
2
4
1 dt 2
J
2 tan t cos t 24
= = =
+
I ln 2 a 4,b 24 ab 96
4 24
= − = = =
Chọn ý D
Câu
Cho
( )( )
2
2
1
x dx ln a ln b
x 5x 2x 9x
−
− = −
+ + + +
, với a
b phân số tối giản Giá trị a b+
là
A 23 B 24 C 25 D 26 Lời giải
2 2
1
3
(40)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
( )( )
4
4
4
4
dt 2t 17
I dt ln ln ln 17 ln
t 2t 2t t t
− −
− +
= = − = = = −
+ + + + +
a 17, b a b 26
= = + =
Chọn ý D
Câu
Cho
2
4
0
x a
dx x x b
+ = + +
với a số nguyên tố Tính a b2
A 75 B 54 C 108 D 45 Lời giải
Ta có
2
1 1
4 2
0 0
x x x x dx xdx
I dx dx J K
x x x x x x x x
+ + + −
= = = − = −
+ + + + − + + +
Xét 2
0
dx J
1 x
2
=
− +
Đặt x 3tan t,t ;
2 2
− = −
3 dx dt
2 cos t
=
( )
6
2
6
1 3
J 3 dt dt
2 cos t tan t
4
− −
= = =
+
Xét 2
0
x
K dx
1 x
2
=
+ +
Đặt x2 3tan u, u ; xdx 32 du
2 2 cos u
+ = − =
( )
3
2
6
1 3
K du du
3 tan u 1 cos u 18
= = =
+
2
I J K a 3,b a b 54
6
= − = = = =
Chọn ý B
Câu
Cho
( ) ( )
1
2 2
25 dx aln b c
6
x x
−
+ + =
− +
Tính a b c+ +
A 53 B 54 C 55 D.56 Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )( )
1
2 2
1
25 25
I dx dx
x 4x x
x x
− −
= =
− + +
− +
Nhận thấy (x2−4x ' 2x 4; x+ ) = − ( 2+1 ' 2x) = nên ta tách
( ) ( )( ) ( ) ( )
(41)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
có hệ pt sau
2A 2B
8A 4B C D 8A 2B 4C
4B 4C D
+ =
− − + + =
+ − =
− + + =
Giải hệta
A B C D
= = − = =
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
2 2
1
2
1
25 2.2x x 4x 2x x x 4x x
I dx
x 4x x
−
= − + − − + + − + + +
=
− + +
1 1
2 2
1 1
2x 2x dx dx
2 dx dx
x x 4x x x 4x
− − − −
−
= − + +
+ − + + − +
Ta có 2
1
2x dx ln x 1 0 x
− + = + − =
; 2
1
2x dx ln x 4x 4 2 ln 3 x 4x
− −
− = − + = −
− +
( )
1
1
2
1
1
dx dx
x 4x x x
− −
−
= = − =
− + − −
Xét 2
1
dx x
− +
Đặt x tan t dx dt2
cos t
= =
1
4
2 2
1
4
dx . dt dt
x tan t cos t
− − −
= = =
+ +
10 24ln 20
I 4ln a 24,b 20,c a b c 53
3
+ +
= + + = = = = + + =
Chọn ý A
Câu
Đặt
( )
2n
n 1 n
x
F dx
x
− =
+
Tính
( )
2n
n 1 n
x
lim F dx x
− =
+
A 0 B 1 C ln D +
Lời giải
Ta có
( ) ( )
2n n
2 n 1
n 1 n 1 n
x x
F dx x dx
x x
−
−
= =
+ +
Đặt u x= n + 1 du nx dx= n 1−
n n
2
n 2 2
u du 1
F du
u n n u u
+ − +
= = −
( ) ( ) ( )
n
2 n
n
n n
2
1 ln ln
1 1 1 2
ln u ln ln
n u n 2 n n n
+ + +
= + = + + − − = + −
+ +
Có
( n )
n
1 ln
1 2
lim
n
n
→+
+
− =
+
(42)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
Câu
Cho ( )
( )
2
3
x a b dx
8 x
+ −
= +
Tính a b− ?
A 3 B 6 C 12 D 15 Lời giải
Ta có ( )
( ) ( ) ( ) (( )) ( )
2
3 6 3 2 2
1 1
3 3
0 2
x x 2x 1 x 3x x 2x x 2x
dx dx dx
x x x
+ + + + − + + + −
= =
+ + +
( ) ( ) ( )
2
1 1
2
0 2
x 2x 2x
dx dx dx dx
x x x
= − + −
+ + +
Có
0dx 1=
;
( ) (( ))
2
1
2 2
0 2
0
d x
2x 1
dx
x
x x
+
= = − =
+
+ +
( ) (( )) ( )
1
1
3
0 2
0
d x
2x dx
8 x x x
+
= = − =
+ + +
( )
2
2
x
K dx
x
=
+
Đặt x tan t dx dt2
cos t
= =
( ) ( )
2
2
4 4
2
0 0
tan t dt
K sin tdt cos 2t dt
cos t
tan t
= = = −
+
4
1 t sin 2t 1 2
= − = − = −
1 15 I
8 8
−
= − − + − =
=a 15, b 3= − =a b 12
Chọn ý C
Câu
Cho
( )
2n
n 0 2 n
x
F dx
x
− =
+
Giá trị F2001 F2019
A 2001; 2019
2001.2 2019.2 B 2001 2019
1 ; 2002.2 2020.2
C 2000 ; 2018
4000.2 4036.2 D 2001 2019
1 ; 4002.2 4038.2 Lời giải
Đặt x tan t dx dt2
cos t
(43)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
( )
2n
2n
4
n 0 0
n
tan t dt
F sin t.cos tdt cos t
cos t
−
−
= =
( )
2n 2n
n
1
sin 2
2n 2n 2 n
−
−
−
= = =
− − − 2001 2000 2019 2018
1
F ;F
4000.2 4036.2
= =
Chọn ý C
Câu 10
Cho
( )
4
2
4
1
x 13x 13x dx ln ln
a b
x x 11x 12x 11x
− + − = −
− + − +
, với a, b cá số nguyên dương Tính
2
a b
A 3 B 27 C 108 D 72 Lời giải
Xét thấy tử mẫu chứa đa thức bậc đối xứng nên chia tử mẫu cho x2
2
2
2
1 2
2
1
13 x x 13
x 13x x x
x
I dx dx
11 1 1
x x 11x 12 x x 11 x 10
x x x x
− + −
− + −
= =
− + − +
+ − + +
Đến đây, ta nhìn ẩn phụ Đặt 2
1 x
1 x
u x du dx dx
x x x
−
= + = − =
5
5 2
2
2
2
2
u 13 1 1
I du du ln u ln u 10 ln ln
u 11u 10 u u 10 3
−
= = − = − − − = −
− + − −
2
a 1, b a b 27
= = =
Chọn ý B
Câu 11
Cho f x( ) liên tục / 0; 2 thỏa mãn f x( ) f x
2 x
+ =
−
Tính ( )
5
3f x dx
A 3 ln ln 3− + B 9 3ln ln 3− + C 6 ln ln 3− + D 12 ln 8ln 3− +
Lời giải ( )
(44)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
( )
2 x
4 4 4
f f 4 f f
2 x 2 x x x x
2 x
−
+ = + =
− − − −
−
−
( )2
Thay x
2 x− vào ( )2 , ta
( ) ( ) ( )
2 x 2 x
f f x
x x
− −
+ =
( )3
Lấy ( )1 cộng ( )3 trừđi ( )2 ,
( ) x 2( ) ( ) x 2
2f x x f x
x x x x
−
= + − = + − +
− −
( )
5
5
3
x
f x dx x ln x x ln ln
= + − + − = − +
Chọn ý C
Câu 12
Đâu họ nguyên hàm hàm số ( )
2
5x
f x
x
+ =
+ A
2
2
1 ln x x 3arctan x C x x x
+ + −
+ +
− +
B
2
2
1 x x x
ln 3arctan C
2 x x x
+ + −
− +
− +
C
2
2
1 ln x x 3arctan x C 2 x x x
− + −
− +
+ +
D
2
2
1 ln x x 3arctan x C x x x
− + −
+ +
+ +
Lời giải
Đặt ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
4 4
5x x x
F x f x dx dx dx dx 2G x 3H x
x x x
+ − +
= = = + = +
+ + +
Xét ( )
2 2
2
2
1 d x
x x x
G x dx 1 dx
x x x 2
x x
+
−
−
= = =
+ +
+ −
2
2
1
x
dt ln t C ln x C ln x x C
1
t 2 t x 2 x x
x
+ −
− − +
= = + = + = +
− + + + + +
(45)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Xét ( )
2 2
2
2
1
1 1 dx
1
x x x
H x dx 1 dx
x x x 2
x x
+
+
+
= = =
+ +
− +
Đặt x tan u 12 dx du2
x x cos u
− = + =
( ) ( )
2
2
x arctan
1 du u x
H x du C C
cos u
2 tan u 2
−
= = = + = +
+
( ) ( ) ( ) x22 x x2 F x 2G x 3H x ln 3arctan C
2 x x x
− + −
= + = + +
+ +
Chọn ý D
Câu 13
Cho f x( ) liên tục / 1;1
2
−
thỏa mãn
( ) ( )
2
x 3x
f
2x x
− −
= +
− Tính ( )
4
2f x dx
A 148 ln
75 − 25 B
296 14ln
75 − 25 C
148 ln
25 − 75 D
296 14ln 25 − 75 Lời giải
Đặt u 3x 2xu u 3x x u
2x 2u
− +
= + = − =
+ −
( ) ( )
( )
2
2
2
u 3
7u 2u
f u
5u u 2
3 2u
+
−
− −
= =
− +
− −
( ) ( ( ) ) ( )
2
4
2
2
7 x 1
f x dx dx
25 x 1
− −
=
−
( ) ( )
( ) ( )
2
4
2
2
49 x 14 x 1
1 dx 49 14 dx
25 x 25 x x
− − − +
= = − +
−
− −
4
1 49x 14ln x 1 296 14ln
25 x 75 25
= − − − = −
−
Chọn ý B
Câu 14
(46)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
Có (x P x 1− ) ( + −) (x P x+ ) ( )= 0 x (*)
Thay x 1= (*) P 1( )=0
Thay x= −2 (*) P 1( )− =0
Thay x 0= (*) P 0( )=0
( ) P x
nhận x 0; x= = 1 nghiệm P x( )=(x3−x Q x) ( )
Thay P x( ) (*) (x x− )( 3+3x2+2 Q x 1) ( + −) (x x+ )( 3−x Q x) ( )=0
( ) ( ) ( ) Q x Q x x Q x
+ = đa thức
( ) ( )
P x a x x
= − Mà P 2( )= = 6 a P x( )=x3−x
( )
3
0 0
2 2
1 1
x x x 1 x x
I dx dx x dx dx
x x x x x x
− − − −
− − + − −
= = = − +
+ + + + + +
0
2
1
3 dx 2x dx 2 − x x − x x
+
= − + −
+ + + +
Có 2
1
2x dx ln x x 1 0 x x
− −
+ = + + =
+ +
Xét
( )
0
6
2
1 2
6
3 3 du
dx dx 3
x x x tan u 1 cos u
2
− + + = − = −
+ + +
6
2 3 du
3
−
= = I 3
2
= − +
Chọn ý D
Câu 15
Cho f x( ) thỏa mãn (x y f x y− ) ( + ) (− x y f x y+ ) ( − )=4xy x( 2−y2) Biết f 2( )=16, tính
( )
1
f x 4x
I dx
x 3x
− +
=
+ +
A 4ln ln 3
− + B 4ln ln
− + C 4ln ln
− − D 4ln ln
− −
Lời giải
Đặt
u v x
u x y 2 v x y u v
y
+ = = +
= − −
=
Đẳng thức đề vf u( )−uf v( )=(u2−v uv2)
Thay v 2= 2f u( )−uf 2( )=(u2−4 u.2) f u( )=u3+4u
( )( )
3
1 1
2
0 0
x 7x 10
I dx x dx dx
x 3x x x 2 x x
+ +
= = − + = − + +
+ + + + + +
( )1
(47)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Chọn ý C
Câu 16
Cho f x( ) g x( ) xác định x thỏa mãn
( ) ( )
f 2x g x x (1)
x
f 2g (2) x 2x
− + − = +
+ =
+ +
Tính giá trị tích phân ( )
( )
10
g x dx f x
A 5 ln 2+ B 5 ln 2− C 2 ln 5+ D 2 ln 5−
Lời giải
Đặt x 2u x 2u
x 2u
− = − =
+ − , thay vào ( )2
( ) ( ) ( ) ( )
f 2u 2g 2u 1 f 2x 2f x 3
2
2 2u
− + = − + − =
−
+
−
Lấy ( )3 trừđi ( )1 , g x( − )= − 2 x g x( )= +x
Thay vào ( )1 f 2x 1( − + − = = ) x x f 2x 1( − )=2x 1− f x( )=x
( )
( ) ( )
10 10 10
5
5
g x dx x 1dx x ln x 5 ln 2
f x x
+
= = + = +
Chọn ý A
Câu 17
Cho f x( ) g x( ) thỏa mãn
( )2 ( )2
2 f x g x x
x x x
x x
− − −
= +
+ + +
+ +
Biết ( ) ( )
1
3
1
5
g x dx 1; g x dx 2= =
Tính ( ) ( )
3
5
1
2
P= f x dx f x dx+
A 8 6ln7 12 ln10
6
+ − B 8 6ln7 12 ln10
6
+ +
C 8 6ln7 12 ln10
6
− + D 8 6ln7 12 ln10
6
− −
Lời giải
Có
( )2 ( )2
2 f x g x x
x x x
x x
− − −
= +
+ + +
(48)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
( ) ( ) ( ) ( )
3
4
5
1 3 3
2
3
7
4
5 6 6
7
x x f x dx g x dx dx dx
x x x x f x dx g x dx dx dx
x x
− −
= + = +
+ +
− −
= + = +
+ +
4
3
x x
P dx 2 dx
x x
− −
= + + +
+ +
( )4 ( )7
3
7 10 x 6ln x x 6ln x 6ln 12 ln
6
= + − + + − + = − −
Chọn ý D
Câu 18
Cho f x( ) thỏa mãn f x( ) f y( ) 2 xy2
x y
+ =
+ + Tính ( )
1
0 f x dx
A
4 16
− B
2
− C
4
− D
2 2
−
Lời giải
Cho x y= ( ) ( )
2
2
x x
2f x f x
2x 2x
= =
+ +
( )
1 2 1
2 2 2
2 2
0 0 0
1 x 2x 1 1
f x dx dx dx dx dx J
2 2x 2x 2x 4
= = = − = −
+ + +
Xét J Đặt x tan t=
2
0
1 dt
J
tan t cos t
= =
+
I
4 16
= −
Chọn ý A
Câu 19
Gọi S tập hợp tất số nguyên dương k thỏa mãn bất phương trình
2 k
kx
2018.e 2018
e dx
k
−
Số phần tử tập hợp S
A 7 B 8 C Vô số D 6
Lời giải
Ta có:
2
kx kx
1
1
e dx e
k
=
=e2kk−ek
( ) ( )( )
( )( )
2 k 2k k k
kx
k k k
k k k
2018.e 2018 e e 2018.e 2018 e dx
k k k
e e 2018 e k
e e 2018 e 2018 k ln 2018 7.6
− − −
− −
− −
(49)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Chọn ý A
Câu 20
Cho ( ) ( )
2 x
1
x
x x e
dx a.e bln e c
x e−
+
= + +
+
với a, b, c Tính P a 2b c= + − ?
A P 1= B P= −1 C P 0= D P= −2 Lời giải
Ta có ( )
2 x
1
x
x x e
I dx
x e−
+ =
+
1( x) x x
0
x e xe dx
xe
+ =
+
Đặt t xe= x+1 dt=(1 x e dx+ ) x
Đổi cận x 0= =t 1; x 1= = +t e
Khi đó:
e 1
t
I dt
t
+ −
= e
1
1
1 dt
t
+
= −
(t ln t)e
1
+
= − = −e ln e 1( + )
Suy ra: a 1= , b= −1, c 1= Vậy P a 2b c= + − = −2
Chọn ý D
Câu 21
Biết tích phân
1
0
x 2x 3dx bln3
x a
+ + = +
+
(a,b 0 ) tìm giá trị thực tham số k để
( )
ab x
k x 2017
dx lim
x 2018
→+
+ +
+
A k 0 B k 0 C k 0 D k
Lời giải
Biến đổi giả thiết ta có:
1
2
0
x 2x 3
dx x dx
x x
+ + = +
+ +
0
1x 3ln x 2 3ln3
3
= + + = + a
b
=
=
ab
8
dx dx
= =
Mặt khác ta lại có ( )
2 ab
x
k x 2017
dx lim
x 2018
→+
+ +
+
x ( )
k x 2017
1 lim
x 2018
→+
+ +
+
Mà ( )
2
2 x
k x 2017
lim k
x 2018
→+
+ +
= +
+
Vậy để ( )
2
ab k 1 x 2017
dx lim + +
+
(50)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U T
O
ÁN
H
Ọ
C
Câu 22
Biết ln có hai số a b để F x( ) ax b
x
+ =
+ (4a b 0− ) nguyên hàm hàm số f x( )
thỏa mãn điều kiện 2f x2( )=F x( )−1 f ' x ( ) Khẳng định đầy đủ
nhất?
A a 1= ,b 4= B a 1= ,b= −1 C a 1= ,b \ 4 D a ,b
Lời giải
Ta có F x( ) ax b
x
+ =
+ nguyên hàm f x( ) nên ( ) ( ) ( )2
4a b f x F' x
x
−
= =
+ ( ) ( )3
2b 8a f ' x
x
− =
+ Do 2f x2( )=(F x( )−1 f ' x) ( ) ( )
( ) ( )
2
4
2 4a b ax b 1 2b 8a x
x x
− + −
= −
+
+ +
( )
4a b ax b x
− = − + − − (x a+ )( − )= =0 a (do x 0+ ) Với a 1= mà 4a b 0− nên b 4
Vậy a 1= , b \ 4
(51)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
ỹ thuật phần kỹ thuật hiệu tốn tính tích phân, phần ta khơng nhắc lại tốn mà đề cập tới số toán nâng cao Trước tiên ta nhắc lại chứng minh cơng thức tính ngun hàm – tích phân phần
Giả sử u x , v x( ) ( ) hàm liên tục miền D ta có:
( )= + ( )= +
= + = −
d uv udv vdu d uv udv vdu
uv udv vdu udv uv vdu
Chú ý Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễdàng tìm v nguyên hàm
vdu
dễtính udv Ngồi ta cịn ý tới thứ tựđặt u Nhất – Log, Nhì – Đa,
Tam –Lượng, Tứ - Mũ Nghĩa có ln hay log xa chọn u ln= hay a
ln x u log x
ln a
= =
và dv= lại Nếu khơng có ln; log chọn u= đa thức dv= cịn lại Nếu khơng
cólog, đa thức, ta chọn u= lượng giác,….cuối mũ
Ta thường gặp dạng sau ,với P x( ) là đa thức
Dạng
đặt ( )
sin x
I P x dx
cos x
=
I= P x e( ) ax b+ dx
I=P x ln mx n dx( ) ( + ) I sin x e dxx
cos x
=
u P x( ) P x( ) ln mx n( + ) sin xcos x
dv sin xcos xdx
+
ax b
e dx P x dx( ) e dxx
• Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm
• Dạng mũnhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi
K
CH
ƯƠ
NG
2 NGUYÊN HÀM – TÍCH
(52)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
Câu
Tìm họnguyên hàm sau
a) (x e dx+ ) 2x b) (2x cos xdx− )
c) (3x2−1 ln xdx) d) (4x ln x dx− ) ( + ) Lời giải a)Xét (x e dx+ ) 2x Đặt 2x 2x
du dx u x
1
dv e dx v e
2 = = +
= =
Khi đó (x e dx) 2x 1(x e) 2x 1e dx2x 1(x e) 2x 1e2x C
2 2
+ = + − = + − +
Vậy (x e dx) 2x 1(2x e) 2x C
4
+ = + +
b)Xét (2x cos xdx− ) Đặt u 2x du 2dx
dv cos xdx v sin x
= − =
= =
Khi đó (2x cos xdx− ) =(2x sin x− ) −2 sin xdx=(2x sin x cos x C− ) + +
Vậy (2x cos xdx− ) =(2x sin x cos x C− ) + + c)Xét (3x2−1 ln xdx) Đặt ( 2 )
3
1
u ln x du dx
x
dv 3x dx v x x
=
=
= −
= −
Khi đó (3x2 ln xdx) (x3 x ln x) (x2 dx) (x3 x ln x) 1x3 x C
3
− = − − − = − − − +
d) Xét (4x ln x dx− ) ( + ) Đặt ( )
( )
1
u ln x du dx
x
dv 4x dx v 2x x
= +
=
+
= −
= −
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2x x
4x ln x dx 2x x ln x dx x
−
− + = − + −
+
(2x2 x ln x 1) ( ) 2x 3 dx
x
= − + − − +
+
=(2x2−x ln x 1) ( + −) (x2−3x 3ln x 1+ ( + ))+C (2x2 x ln x 1) ( ) x2 3x C
= − − + − + +
Câu
Hàm số y f x= ( ) thỏa mãn f x sin xdx( ) = −f x cos x( ) + xcos xdx Tìm y f x= ( )? Lời giải
(53)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Đặt u f x( ) du f ' x dx( )
dv sin xdx v cos x
= =
= = −
f x sin xdx( ) = −f x cos x( ) +f ' x cos xdx( )
Mà theo giả thiết f x sin xdx( ) = −f x cos x( ) + xcos xdx Suy ( ) ( )
x
x x
f ' x f x dx C
ln
= = = +
Câu
Tìm nguyên hàm I=xln x dx( + 2)
Lời giải
Cách giải thông thường Đặt ( )
=
= +
+
=
=
2 2
2
2x
du dx
u ln x 2 x
x
dv xdx v
2
Khi đó: ( ) ( )
2
2
1
x x x
I ln x dx ln x I
2 x
= + − = + −
+
+ Tìm
3
1
x
I dx
2 x =
+
Đặt t x2 dt 2xdx xdx dt
2
= + = =
( ) ( 2) ( 2)
1
t dt 1
I dt t ln t C x ln x C
t 2 t 2
−
= = − = − + = + − + +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
= + − = + − + − + +
+ + +
= + − + = + − +
2
2 2
1
2 2
2
x x
I ln x I ln x x ln x C
2 2
2 x x x x
ln x C ln x C
2 2
Cách giải theo “kĩ thuật chọn hệ số”.
Đặt ( )
=
= +
+
+ =
= + =
2 2
2
2x
du dx
u ln x 2 x
x x
dv xdx v 1
2
Vì
2
x
v xdx C
2
= = + ta chọn C 1= nên
2
x
v
2
= + Khi đó: ( ) ( )
2 2
2
2 x x x
I ln x xdx ln x C
2 2
+ +
= + − = + − +
Nhận xét Qua toán làm quen thêm kĩ thuật chọn hệ số cho phương
(54)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Kĩ thuật chọn hệ số.
Khi tính tích phân phần, khâu đặt u f x( )( ) du f ' x dx( )( )
dv g x dx v G x C
= =
= = +
với C
hằng sốbất kỳ ( chọn số ) Và theo “thói quen” thường
chọn C 0= Nhưng việc chọn C 0= lại làm cho việc tìm nguyên hàm (tích phân) vdu
khơng “đẹp” cho Vì ta có quyền chọn C số thực nên ta chọn hệ số
C thích hợp mà đó biếu thức vdu đơn giản Cách làm gọi “kĩ
thuật chọn hệ số”
Sau ta tìm hiểu số ví dụđể hiểu rõ vềphương pháp này!
Câu
Tìm nguyên hàm ln sin x cos x( 2 )dx
cos x +
Lời giải Cách giải thông thường
Đặt
( )
2
cos x sin x
u ln sin x cos x du dx
sin x cos x dx
dv v tan x
cos x
−
= + =
+
=
=
( ) tan x cos x sin x( )
I tan xln sin x cos x dx sin x cos x
−
= + −
+
Khi đó việc tìm tan x cos x sin x( )dx
sin x cos x − +
trở nên khó khăn Lúc cần “lên
tiếng” “kĩ thuật chọn hệ số”.
Cách giải theo “kĩ thuật chọn hệ số”.
Đặt
( )
2
cos x sin x
u ln sin x cos x du dx
sin x cos x
dx sin x C cos x
dv v tan x C
cos x cos x
−
= + =
+
+
=
= + =
Khi đó: vdu sin x C cos x cos x sin x dx
cos x sin x cos x
+ −
=
+
Để nguyên hàm đơn giản ta “Chọn
C 2= ” lúc ta vdu cos x sin xdx
cos x − =
( ) − ( )
=I tan xln sin x cos x+ −cos x sin xdx tan xln sin x cos x= + − −x ln cos x C.+ cos x
Câu
(55)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
+ Xét I=x sin 3x dx2 ( − ) Đặt
( ) ( )
2 du 2xdx
u x
1
v cos 3x
dv sin 3x dx
3 = =
= − = −
Khi đó I x sin 3x dx2 ( ) 1x cos 3x2 ( ) 2x cos 3x dx( )
3
= − = − − −
+ Xét J 2x cos 3x dx( )
3
= − Đặt lại
( )
2
u x
3
dv cos 3x dx =
= −
( )
2
du dx
3
v sin 3x
3 =
= − −
( ) ( ) ( )
2 2
J x cos 3x dx xsin 3x sin 3x dx
3 9
= − = − − + −
( ) ( )
2xsin 3x cos 3x C
9 27
= − − + − +
Vậy, I x sin 3x dx2 ( ) 1x cos 3x2 ( ) 2xsin 3x( ) cos 3x( ) C
3 27
= − = − + − − − +
Lưu ý.Trên là bài giải chuẩn, nhiên, cần tìm đáp sớ ći ta thực
theo phương pháp từng phân theo sơ đồđường chéo
Phương pháp phần sơ đồ đường chéo.
• Bước 1: Chia thành cột:
+ Cột 1:Cột u lấy đạo hàm đến
+ Cột 2:Cột dv lấy nguyên hàm tương ứng với cột
• Bước 2: Nhân chéo kết cột với Dấu phép nhân có
dấu ( )+ , sau đó đan dấu ( ) ( ) ( )− , + , − ,
• Bước 3: Kết tốn tổng phép nhân vừa tìm
Áp dụng cho toán
Lấy đạo hàm Dấu Lấy nguyên hàm
2
u x= + dv sin 3x= ( − )
2x
−
( )
1cos 3x
3 −
(56)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu
Tìm nguyên hàm x e dx5 x
Lời giải
Nhận xét: Về mặt lý thuyết ta hồn tồn giải phương pháp tích phân
từng phần Song ta phải sử dụng tới lần tích phân phần ( bậc đa thức x5 dài ) Lúc ta sẽlàm theo sơ đồtích phân đường chéo
Đạo hàm Dấu Nguyên hàm
5
u x= dv e= x
4
5x + ex
3
20x − ex
2
60x + ex
120x − ex
120 + ex
0 − ex
Kết quảtìm được: x e dx x e5 x = x−5x e4 x+20x e3 x−60x e2 x+120xex−120ex+C
(x5 5x4 20x3 60x2 120x 120 e) x C.
= − + − + − +
Cách Ta sử dụng công thức: f x( )+f ' x e dx f x e( ) x = ( ) x+C *( ) Thật f x e( ) x+C ' f ' x e = ( ) x+f x e( ) x =f x( )+f ' x e( ) x (đpcm)
Áp dụng công thức ( )* ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= x = 5+ − + + 3+ − 2+ + + − x
I x e dx x 5x 5x 20x 20x 60x 60x 120x 120x 120 120 e dx
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= + − + + +
− + + + −
5 x x x
2 x x
x 5x e dx x 4x e dx 20 x 3x e dx
60 x 2x e dx 120 x e dx 120 xdx
=(x5−5x4+20x3−60x2 +120x 120 e− ) x+C
Tích phân đường chéo nguyên hàm lặp
Nếu ta tính tích phân theo sơ đồ đường chéo mà lặp lại nguyên hàm ban đầu cần tính
(khơng kể dấu hệ số) dừng lại ln dịng đó, khơng chia dịng
Cách tính Các dịng nhân chéo trường hợp trên, thêm
(57)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Sau ví dụ minh họa
Câu
Tìm nguyên hàm I=e cos 3xdx2x
Lời giải
Sử dụng sơ đồđường chéo ta có!
Đạo hàm Dấu Nguyên hàm
u cos 3x=
+
2x
dv e= 3sin 3x
−
−
2x
1 e cos 3x
−
+
2x
1e
Ta có I 1e cos 3x2x ( 3sin 3x)1e2x ( cos 3x)1e dx2x
2 4
= − − + − 1e cos3x2x 3e sin3x2x 9I
2 4
= + −
2x 2x 2x 2x
13I 1e cos 3x 3e sin 3x C I e cos 3x e sin 3x C
4 13 13
= + + = + +
Câu
Tìm nguyên hàm e sin xdxx
Lời giải Cách Cách giải phần thơng thường
• Xét F x( )=e sin xdxx Đặt u sin xx
dv e dx =
=
x
du cos xdx v e
=
=
Khi đó: F x( )=e sin xx −e cos xdx e sin x G xx = x − ( ) (1)
• Với G x( )=e cos xdxx Đặt u cos xx
dv e dx =
=
x
du sin xdx v e
= −
=
Khi đó: G x( )=e cos xx +e sin xdx Cx + =e cos x F xx + ( )+C (2)
Từ ( ) ( )1 , ta có ( ) ( ) ( ) ( )
x
x x e sin x cos x C
F x e sin x e cos x F x C F x
2
−
= − − − = −
Vậy ( ) ( )
x
x e sin x cos x
(58)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Đạo hàm
( )u Dấu
Nguyên hàm
( )dv sin x
+
x
e
cosx
−
x
e sin x
−
+
x
e
( ) x( )
x x x x e sin x cos x
I e sinx e cos x e sin xdx I e sin x cos x I I C
2 −
= − − = − − = +
Câu
Tìm nguyên hàm I=e cos 2x dxx 1+ ( + )
Lời giải Cách 1. Cách giải phần thông thường
Đặt: u cos 2x 1(x 1 ) du sin 2x dx(x 1 )
dv e dx+ v e +
= + = − +
= =
Khi đó I e= x 1+ cos 2x 1( + +) e x 1+ sin 2x dx e( + ) = x 1+ cos 2x 1( + +) 2J Xét tích phân J = e sin(2x 1).dxx 1+ +
Đặt u sin(2x 1)x 1 du cos 2x dx(x 1 )
v e
dv e dx+ +
= +
= +
= =
Khi đó J e= x 1+ sin 2x 1( + −) e x 1+ cos 2x dx e( + ) = x 1+ sin 2x 1( + − +) 2I C
Suy I e= x 1+ cos 2x 1( + +) 2J e= x 1+ cos 2x 1( + +) e x 1+ sin 2x 1( + −) 2I+C
( ) ( ) ( ( ) ( ))
x x 1 x
5I e cos 2x 2e sin 2x I e cos 2x sin 2x C
5
+ + +
= + + + = + + + +
Cách (Phương pháp đường chéo)
Đạo hàm
( )u Dấu
Nguyên hàm
( )dv
( )
cos 2x 1+
+
x
e +
( )
2 sin 2x − +
−
x
e +
( )
4 cos 2x
− +
+
x
(59)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
( ) ( )
x
e + cos 2x sin 2x 4I
= + + + − ( ) ( )
x
e cos 2x sin 2x
I C
5
+ + + +
= +
Tính nguyên hàm sau
2
x x
I ln dx
1 x x
=
−
−
Đặt ( )
2
x 1 1
u ln du dx
1 x x x
xdx
dv v 1 x
1 x
=
− = +
−
=
= − −
−
( )
2 2
2
x 1 x
I x ln x dx x ln J
x x
1 x x
= − − + − + = − − +
−
− −
Ta có
( ) (( )() )
2
2
1 x x
1 1 x
J x dx dx dx
x x x x 2 x x
− − +
= − + = +
− − − −
2
2 2
dx dx xdx 1 x
L arcsin x
2 2
x x x x
−
= + − = + +
− − −
Xét tích phân
2
dx x L
x −
= , đặt x sin t; t , dx cos tdt; x2 cos t
2
= − = − =
− −
=L cos tdt = dt =ln tan t + =C ln 1 x2 +C
sin t cos t sin t x
2
1 x x
J ln arcsin x C
x 2
− − −
= + + +
− − −
= − − + + + +
−
2
2
2
x 1 x x
I x ln ln arcsin x C
x 2
1 x
2 I=x sin ln x dx2 ( )
Ta có I x sin ln x dx2 ( ) sin ln x d x( ) ( )3 1x sin ln x3 ( ) x d sin ln x3 ( ( ))
3 3
= = = −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= − = −
= − = − +
= − − = − −
3 3
3 3 3
3 3
1 dx 1
x sin ln x x cos ln x x sin ln x x cos ln x dx
3 x 3
1x sin ln x cos ln x d x 1x sin ln x 1x cos ln x x d cos ln x
3 9
1x sin ln x 1x cos ln x x sin ln x dx 1x sin ln x 1x cos ln x 1I
(60)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2x 2x
2x 2x
2x 2x
2x
2x 2x
2x
2x 2x
e sin 3x e sin 3xdx e sin 3x e d cos 3x
3 3
e sin 3x 2e cos 3x cos3xd e
3 9
e 3sin 3x cos 3x e 3sin 3x cos 3x
e cos 3xdx I
9 9
e 3sin 3x cos 3x e 3sin 3x cos 3x
13I I C
9 13
− −
− −
− −
−
− −
−
− −
= + = −
= − +
− −
= − = −
− −
= = +
4 I ex sin xdx
1 cos x + =
+
Ta có I ex sin xdx sin xd e( )x ex sin x e dx sin x
1 cos x cos x cos x cos x
+ + + +
= = = −
+ + + +
( ) ( )
x x
x x x
2
1 sin x cos x sin x sin x e dx e sin xdx
e e dx e
1 cos x cos x cos x cos x cos x
+ + + +
= − = − −
+ + + + +
( )
( )
x x
x
2
1 sin x e dx e sin xdx
e K J ;K ; J
1 cos x cos x 1 cos x
+
= − − = =
+ + +
Xét tích phân
( )
x
2
e sin xdx J
1 cos x =
+
, đặt
( ) ( ( ) )
x x
2
du e dx u e
d cos x
sin xdx
dv v
1 cos x
1 cos x cos x
= =
− +
= = =
+ + +
( )
x x x
e e dx e
J K
1 cos x cos x cos x
= − = −
+ + +
Thay ( )2 vào ( )1 ta có
x x
x sin x e x sin x e
I e K K C e C
1 cos x cos x cos x cos x
+ +
= − − − + = − +
+ + + +
Phương pháp đường chéo dạng f x ln ax b dx( ) n( + )
Đối với dạng tìm nguyên hàm f x ln ax b dx( ) n( + ) ưu tiên đặt u ln ax b= n( + )
nhưng đó đạo hàm "u" khơng được, phải chuyển lượng t x( ) từ
cột đạo hàm sang cột nguyên hàm để giảm mũ lnđi bậc cột đạo hàm Tiếp tục
làm tương tự cột đạo hàm dừng lại Nhân chéo từ hàng đạo hàm
đã thực chuyển t x( ) sang hàng kề cột nguyên hàm, sử dụng quy tắc
đan dấu bình thường
Sau ta tìm hiểu số ví dụ liên quan tới dạng
Câu 10
Tìm nguyên hàm I=x ln xdx2
(61)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Đặt
= =
=
=
2
2
2 ln x
du dx
u ln x x
dv x x
v
Khi đó:
2
2
1
x x
I ln x xln xdx ln x I
2
= − = −
+ Tìm I1 =x ln xdx Đặt 2
dx du
u ln x x
dv x x
v
=
=
=
=
Khi đó
2 2
1
x x x x
I ln x dx ln x C
2 2
= − = − +
2 2
2
x x x x
I ln x ln x C ln x ln x C
2 2
= − − + = − + +
Cách
Chuyển Đạo hàm Dấu Nguyên
hàm Nhận
2
ln x + x
2 x
2 ln x x
2
x
2 x ln x
− x
1 x
1 x
2
x
1 x
+
x
2
x
Kết
2 2
2
x x x x
I ln x ln x C ln x ln x C
2 2
= − + + = − + +
Câu 11
Tìm nguyên hàm I=(x2+4x ln x dx+ ) 2( + ) Lời giải
Đặt t x 1= + dt dx; x= +4x 3+ =(x x 3+ )( + ) (=t t 2+ )= +t2 2t
( ) 2( ) ( )
I x 4x ln x dx t 2t ln tdt
(62)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( )
3 3
2 2 2 2
1
t t ln t t t t
I t ln t t dt t ln t t ln tdt t ln t 2I *
3 t 3
= + − + = + − + = + −
+ Tính
2
t
I t ln tdt
= +
Đặt
3
dt
u ln t du
t t
dv t dt v t t
3
9
=
=
= +
= +
Khi đó:
3 2 3
1
t t t t t t t t
I ln t dt ln t C
9 9 27
= + − + = + − − +
Thay I1 vào ( )* , ta được: ( )
3 3
2 2
t 2t 2t t
I t ln t t ln t C * *
3 27
= + − + + + +
Thay t x 1= + vào ( )* * ta nguyên hàm(x2+4x ln x dx+ ) 2( + ) Cách
Chuyển Đạo
hàm( )u Dấu
Nguyên
hàm( )dv Nhận
2
ln t
+ t2+2t
2 t
2 ln t t
3
t t +
2 t
ln t − 2t2 2t
3 +
t
1 t
3
2t t +
1 t
1 + 2t2 t
9 +
0 2t3 t2
27 +
Kết ( )
3 3
2 2
t 2t 2t t
I t ln t t ln t C * *
3 27
= + − + + + +
Thay t x 1= + vào ( )* * ta nguyên hàm(x2+4x ln x dx+ ) 2( + )
Câu 12
Tính tích phân sau a)
2
I x sin xdx
= b) ( )
e
I xln x dx −
= + c) ( )
1
2
xln x dx+
d)
1
(63)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
a) Đặt u x du dx
dv sin xdx v cos x
= =
= = −
Do đó ( )
2
2
0
0
I x sin xdx x cos x cos xdx sin x
= = − + = + =
b) Đặt ( ) 2
1
du dx
u ln x x 1
dv xdx v x
2
=
= +
+
= −
=
Khi đó ( ) ( )
e
e e
0
0
x 1
I x ln x dx ln(x 1) x dx
2
−
− − −
= + = + − −
e
2 2 2
0
e 2e x x e 2e e 4e e 1.
2 2 2
−
− + − + − + +
= − − = − =
c) Đặt: ( )
2 2
2
2xdx du
u ln x 1 x
1
dv xdx v x
2 =
= +
+
=
=
Khi đó ( ) ( )
2
1
2
2
0 0
x x x
1 x ln
I x ln x dx dx
2 x x
+ −
= + − = −
+ +
1
2
ln x x dx
2 x
= − − +
( 2)
0
ln 1x 1ln x ln 2 1.
2 2
= − − + = −
d) Biến đổi I dạng
1
1
1 1
1
2
0 0
I
1 xdx x
I x dx xdx I I
cos x cos x 2
= − = − = − = −
Tính I1 Đặt
2
u x dx dv
cos x =
=
du dx v tan x
= =
Khi đó: ( ) ( )
1 1
1
1 0
0
I =x tan x −tan xdx= x tan x ln cos x+ =tan ln cos1 +
Suy I tan ln cos1( )
2
(64)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 13
Biết
( )
2
2
x dx a b
I
c d x sin x cos x
−
= =
− +
đó a, b, c,d 5 số nguyên dương Tính
giá trị biểu thức
2
2
a 2b c 2d
− +
A 1
4 B
2
3 C
1
3 D
3
Lời giải Ta có
( ) ( )
2
4
2
0
x dx x cos x x
I dx
cos x x sin x cos x x sin x cos x
= =
+ +
Đặt
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
cos x x sin x
x du dx
u
cos x cos x
d x sin x cos x
d x sin x cos x
x cos x v
dv dx
x sin x cos x x sin x cos x
x sin x cos x x sin x cos x
+
= =
+ +
= = = = −
+ +
+ +
Khi đó
( )
4
4
2
0
x dx 2
I tan x
x sin x cos x cos x cos x 4
−
= − + = − + = − + =
+ + + +
Chọn ý C
Câu 14
Biết ( )
4
2
ln sin x cos x a c
I dx ln e
cos x b d
+
= = − + đó c,d,e số nguyên tố a
b tối
giản Tính
2
2
a 2b c 2d 3e
−
+ +
A 31
41
− B 32
41
− C 17
23
− D 18
23 −
Lời giải
Ta thấy (xsin x cos x ' sin x x cos x sin x x cos x+ ) = + − = nên ta tách
( ) ( )
2
2
x x cos x . x
cos x xsin x cos x+ = xsin x cos x+
( ) ( ( ))
4
2
0
ln cos x tan x ln sin x cos x
I dx dx
cos x cos x
+ +
= =
( ) ( )
4
2
0
ln cos x ln tan x dx
cos x cos x
+
= +
( ) ( )
0
ln cos x ln tan x
dx dx I J
cos x cos x
+
(65)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Đặt
2
sin x
u ln cos x du dx
cos x
dv dx , v tan x
cos x
= = −
= =
, đó tích phân cần tính trở thành
( ) ( )
( )
4
2
2
0
4
0
ln cos x
I dx tan x.ln cos x tan xdx
cos x
1
tan x.ln cos x x tan x ln
2
= = +
= + − + = − − +
Tính ( )
4
2
ln tan x
J dx
cos x
+
= Đặt t tan x dt 12 dx
cos x
= + =
1
J ln t dt
=
Đặt
1
u ln t du dt
t dv dt , v t
= =
= =
( )
2
2
1
1
J ln tdt t ln t dt t ln t t ln
= = − = − = −
Vậy ( )
4
2
ln sin x cos x dx 3ln 2
cos x
+ = − +
Chọn ý A
Lời giải
Cách Đặt
( )
( ) ( )
2
2
2
8x
u ln 4x 8x du dx
4x 8x
dx 1
dv v
x 2 x 1
+
= + + =
+ +
=
+ = −
+
( )
( ) ( )( ) ( )
1
2 1
1
2
0
ln 4x 8x dx ln 15 ln 3
I 4I *
8
x 4x 8x
2 x
− + +
= + = − + +
+ + +
+
Tính
( )( )
1
1 2
0
dx I
x 4x 8x =
+ + +
Ta phân tích
( )( ) ( )( )( )
1 A B C .
x 2x 2x x 2x 2x
x 4x+ +8x 3+ = + + + = + + + + +
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )*
A 2x 2x B x 2x C x 2x 1
+ + + + + + + + =
Chọn x giá trị 1; 1;
2
− − − thay vào ( )2* ta được: A
B C = −
= =
( )
1
1 −1 1 1 1 1 15
(66)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Đặt
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
8x
du dx
u ln 4x 8x
4x 8x
dx 1 4x 8x 3
dv v 2
x 2 x 1 2 x 1
+
= + + =
+ +
= + +
+ = − + =
+ +
Trong đó
( )3 ( )2
dx
v C
x x
= = − +
+ +
chọn C 2=
( ) ( )
1
2
0
4x 8x dx
I ln 4x 8x
x x
15ln 15 3ln ln x 1 15ln 15 3ln ln 2.
8
+ +
= + + −
+ +
= − − + = − −
Chọn ý B.
Câu 15
Biết ( )
( )
2
3
ln 4x 8x a c e
I dx ln 15 ln ln
b d f
x + +
= = − −
+
đó a c e, ,
b d f phân số tối
giản Tính
2
2
a 2b 4e c 2d 3e
− +
+ +
A 353
758 B
353
785 C
335
758 D
353 875
Lời giải
Cách Đặt
( )
( ) ( )
2
2
2
8x
u ln 4x 8x du dx
4x 8x
dx 1
dv v
x 2 x 1
+
= + + =
+ +
=
+ = −
+
( )
( ) ( )( ) ( )
1
2 1
1
2
0
ln 4x 8x dx ln 15 ln 3
I 4I *
8
x 4x 8x
2 x
− + +
= + = − + +
+ + +
+
Tính
( )( )
1
1
0
dx I
x 4x 8x =
+ + +
Ta phân tích
( )( ) ( )( )( )
1 A B C .
x 2x 2x x 2x 2x x 4x+ +8x 3+ = + + + = + + + + +
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )*
A 2x 2x B x 2x C x 2x 1
+ + + + + + + + =
Chọn x giá trị 1; 1;
2
− − − thay vào ( )2* ta được: A
B C = −
= =
( )
1
2
0
1 1 1 15
I dx ln x ln 4x 8x ln ln * *
x 2x 2x 2
−
= + + = − + + + + = − +
+ + +
(67)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Thay ( )* * vào ( )* ta được: I 15ln 15 3ln 4ln
8
= − −
Cách giải theo “kĩ thuật chọn hệ số”.
Đặt
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
8x
du dx
u ln 4x 8x
4x 8x
dx 1 4x 8x 3
dv v 2
x 2 x 1 2 x 1
+
= + + =
+ +
= + +
+ = − + =
+ +
Trong đó
( )3 ( )2
dx
v C
x x
= = − +
+ +
chọn C 2=
( ) ( )
1
2
0
4x 8x dx
I ln 4x 8x
x x
15ln 15 3ln ln x 1 15ln 15 3ln ln 2.
8
+ +
= + + −
+ +
= − − + = − −
Chọn ý B.
Câu 16
Biết ( ) ( )
( )
2
x
2
a e b I e sin x dx
2 c d
−
= =
+
đó a, b, c,d số nguyên dương Tính
c d
P a= +b
A 246 B 266 C 257 D 176
Lời giải Cách Cách giải tích phân từng phần thơng thường
Ta có ( ) ( )
1
1 1
1
x x x x
1
0 0
I
I
1 1 1 e
I e cos x dx e dx e cos x dx e I
2 2 2 2
−
= − = − = − = − ( )*
Tính I1bằng phương pháp phần Đặt
( )
x
u cos x dv e dx
=
=
( )
x
du sin x dx v e
= −
=
( ) ( ) ( )
2
1
x x
1 0
0 I
I e cos x e sin x dx e I
= + = − +
Tính I2 phương pháp phần Đặt
( )
x
u sin x dv e dx =
=
( )
x
du cos x dx v e
=
(68)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Thay I1 vào ( )* ta ( )
( )
( )
2
2
4 e e e
I
2 4
−
− −
= − =
+ +
Cách Cách giải tích phân từng phần theo sơ đờđường chéo
Ta có ( ) ( )
1
1 1
1
x x x x
1
0 0
I
I
1 1 e
I e cos x dx e dx e cos x dx e I
2 2 2
−
= − = − = − = −
Ta có sơ đồđường chéo
( ) ( ( ) ) ( )
( ) ( )
1
x x x
1
0
0
x 2
1 1
0
I cos x e sin x e e cos x dx
e
cos x sin x e I e I I
4
= − − −
− = + − = − − =
+
Thay vào (*) ta ( )
( )
2
4 e
I
2
−
=
+
Nhận xét Bài toán dùng phương pháp sơ đồđường chéo cho tốn tích phân lặp Chọn ý C
Câu 17
Biết ( ) ( )
e
2
3
3
e be d
I 2x ln 3x dx
a c e
= + = − + đó b d,
c e phân số tối giản b,c,d,e
sốnguyên dương Tính a b c2 3
d e
+ + + ?
A 35
23427 B
41
2535 C
41
2533 D
41 2353
Lời giải
Đạo hàm Dấu Nguyên hàm ( )
u cos x=
+
x
dv e=
( )
2 sin x −
−
x
e
( )
2
4 cos x −
+
x
(69)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Đặt ( )
( )
( )
2
2
3ln 3x
u ln 3x du dx
x
dv 2x dx
v x x
= =
= +
= +
( ) ( ) ( ) ( )
e
e
2 3
1
3
e e
I x x ln 3x x ln 3x dx 3J
9
= + − + = + −
Tính ( ) ( )
e
2
3
J= x ln 3x dx+ Đặt ( )
( )
( )
2
2
2 ln 3x
du dx
u ln 3x x
dv x dx x
v x
2
= =
= +
= +
( ) ( ) ( )
e e
2 3
2
1 1
3
x e e
J x ln 3x x ln 3x dx K
2 18
= + − + = + −
Tính ( ) ( )
e 3
K= x ln 3x dx+ Đặt ( )
( )
dx du
u ln 3x x
x
dv x dx v 2x
2
=
=
= +
= +
( )
e
e e
2 3 2
1
1
3
3
x x e 2e x e 25
K 2x ln 3x dx 2x
2 18 36 36
= + − + = + − + = +
2 2 2 2
e e e e e e e e e e e 25 e 2e 25
I 3J K
9 18 18 36 36 36 12
= + − = + − + − = + − + − − = − +
Cách Cách giải theo sơ đồđường chéo Chuyển
(Chia)
Đạo hàm
( )u Dấu
Nguyên hàm ( )dv
Nhận (Nhân)
3
ln 3x
+ 2x 1+
3 x
2
3ln 3x x
2
x +x
x
2
ln 3x − 3x 3+
2 x
2 ln 3x x
2
3x 3x +
(70)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
0 3x2 6x
4 +
Kết quả: ( )
e/3
2 2
3 2
1/3
3x 3x 3x
I ln 3x x x ln 3x 3x ln 3x 6x 6x
2
= + − + + + − −
2 2 2
e e e e e e 2e 25
e 2e 2e
9 6 12 12 36 12
= + − + + + − − − − − = − +
(71)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
ĐỀ BÀI
Câu 1: Biết ( )
( )
2
1 x 3 x x
2
a aln c
e sin x x e x.2 dx be
e d lnb
−
−
+ + = − +
Với a,b,c,d số nguyên
dương Tính P a b c d= − − −
A P 0= B P 1= C P 2= D P 3= Câu 2: Biết ( )
3
e 2 2
1
ae I x ln x dx b
c c
= = − với a,b,c số nguyên dương Tính
2
P a= +2b c−
A P 0= B P 1= C P 2= D P 3= Câu : Biết
1
1 x a c
I xln dx ln
1 x b d
+
= = −
−
với a,b,c,d sốnguyên dương nhỏhơn 10
và a
b tối giản, tính P a b c= ( + + −) d?
A P 1= B P 2= C P 3= D P 4= Câu 4: Biết ( 2) ( )
0
I= ln x+ x dx ln+ = a+ b + −a bvới a,b số nguyên tố Tính
2
P a= +b
A P 8= B P 9= C P 11= D P 14= Câu 5: Biết ( ) ( )
2
2
x ln x x
I dx a ln b
1 x c
+ +
= = + −
+
với a,c số nguyên tố Tính
2
P 2a= +b +c
A P 23= B P 24= C P 25= D P 27= Câu 6: Biết ( ) ( ) ( )
2
2
x ln x x a ln 2 2
I dx
c
x x b
+ + − + +
= == −
+ +
với a,b,c số
nguyên dương Tính P a= 2+b2−c
A P 1= B P 2= C P 3= D P 4= Câu 7: Biết ( 2) ( )
0
b
I xln x x d a
c
x ln
4
= + + = − + + với a,b,c sốnguyên dương
và c 5 Tính P abc=
A P 18= B P 24= C P 25= D P 27=
0 63
(72)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 10: Biết
( )
3
2
1
xln xdx
I a lnb lnc
20
x = −
=
+
với a,b,c số nguyên, tính P ab c= −
A P 0= B P 1= C P 2= D P 4= Câu 11: Biết ( )
0
I xln x d a
c d
x b
= + = − với a,b,c,d số nguyên dương b
d tối
giản đồng thời c 7 Tính P a= −b2+c2 −d
A P 9= B P 10= C P 1= D P 8= Câu 12: Biết
a
2x
0
e b I e sin xdx
2c
−
= = với a,b,c sốnguyên dương, tính P a b c= −
A P 1= B P 0= C P 2= D P= −1 Câu 13: Biết e ( ) ( )
1
I cos ln x dx a e b
2
= = + với a,b số nguyên Tính
2
a P
b =
A P 1= B P 2= C P
2
= D P
3 =
Câu 14: Biết e 2( ) ( )
1
a
I cos ln x dx e c
b
= = − với a,b,c số nguyên tố Tính giá trị biểu thức P a= +b2 −c3
A P 31= B P 35= C P 33= D P 34= Câu 15: Biết ( )
2 x
sin x
I dx a c e
e b
−
= = − với a,b,c số nguyên tố Tính P a= 2− +b c
A P 0= B P= −1 C P 1= D P 2= Câu 16: Tính a 2 ( )
0
I= a −x dx a 0
A
2
a I
4
= B
2
I a
= C
2
I a
= D
2
3 a I
4 =
Câu 17: Biết a 2 ( ) ( )
0
ln
I a x dx b c
d
a + + a
= + = với b,c,d ẩn số nguyên, tính
( )2
P= b c d− − + −b cd
A P 0= B P 1= C P 2= D P 4= Câu 18: Biết a 2 ( ) ( )
0
b ln
I x a x dx d
2c
a − + a
= + = với b,c,d ẩn số thực, tính
2
P b= + −c d
A P 3= B P 5= C P 6= D P 8= Câu 19: Tính a 2 ( )
0
I= x a −x dx a 0
A
4
I 16
a
= B
4
I a
= C
4
I a
= D
4
(73)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu 20: Cho tích phân ( )
2
2a 2 2
a
a c
I x a dx b ln
2 d
b
+
= − = − −
+
với b,c,d ẩn số
thực dương, tính
2
b c P
d =
−
A P 1= B P 2= C P
2
= D P 4=
Câu 21: Biết 3 ( )
4
2 dx ln
I
sin x
a b
c
+ +
= = với a,b,c số thực dương Tính
2
a b P
c a − =
−
A P 1= B P
2
= C P
4
= D P 2=
Câu 22: Biết 5 ( )
dx a
I c
2b ln
sin x d
= = + + với a,b,c,d số thực dương, c
d phân
số tối giản Tính P 3a b cd= + −
A P 0= B P 1= C P 2= D P= −1 Câu 23: Cho tích phân ( )
3
a ln c dx
I
o
d c x
b s
+ +
= = với a,b,c,d số thực dương,
tính P a= 2+b2 +c2 −d2
A P 11= B P 12= C P 8= D P 9= Câu 24: Biết ( )
5
dx 11
I a c ln
b
cos x 2d
= = + + với a,b,c,d số thực dương, c
d phân
số tối giản, a 4 Tính P a b c d= + + +
A P 0= B P 1= C P 2= D P= −1 Câu 25: Cho tích phân
5
3
x 2x a
K dx
b x
+
= =
+
với a,b sốnguyên dương, a
b phân
số tối giản Tính 2a
b +2?
A 26
27 B
26
11 C
13
9 D
13 19
Câu 26: Tính sin x2
K e sin x cos xdx
=
A K e
2
= − B K e
2
= − C K e
4
= − D K e
2 = +
Câu 27: Biết I 2cosxln cos x dx( ) lnb 1
2
a
2c
(74)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 28: Biết ( ) ( )
I sin xln tan x dx a b c ln ln
= = + − với a,b,c số thực dương, b
c
phân số tối giản Tính P=(a b c+ − )2
A P 0= B P 1= C P 4= D P 9= Câu 29: Biết ( )
0
2 x
I x dx
1 x 2c
b a
−
= + = +
+
với a,b,c số thực dương b
c tối giản
Tính P a= +b2−c2
A P 8= B P 9= C P 24= D P 13= Câu 30: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) ( )
3
f x
x.f ' x e dx 8=
f 3( )=ln Tính ( )
3 f x
I=e dx
A I 1.= B I 11.= C I ln 3.= − D I ln 3.= +
Câu 31: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục 0; ,
2
vàđồng thời thỏa mãn hai điều
kiện ( )
2
2
f ' x cos xdx 10
=
f 0( )=3 Tích phân ( )
2
f x sin 2xdx
bằng?
A I= −13 B I= −7 C I 7.= D I 13.=
Câu 32: Cho ( 2)
1 ln 16 x dx aln bln cln d− = + + +
với a, b, c,d số nguyên Giá trị
biểu thức a b c d+ + +
A 20 B 28 C 6 D 9 Câu 33: Tính nguyên hàm hàm số f x( ) ln x
x = +
A xln x x arctan x C
x
+ − + +
B
1
xln x x arctan x C
x
+ − − +
C xln x x arctan x C
x
+ + − +
D
1
xln x x arctan x C x
+ + + +
Câu 34 : Biết
( )
2 x
1
2
x e dx a be, c x 2+ = −
với a, b, c sốnguyên dương b
c phân số tối
giản Tính P a b= + +c3
A P 13= B P 12= C P 29= D P 34= Câu 35: Tính nguyên hàm hàm số f x( )=(x3+1 cos 2x.)
A
3
2x 3x 2sin 2x 6x 3cos 2x C
4
− − +
+ + B
3
2x 3x 2sin 2x 6x 3cos 2x C
8
+ − +
− +
C
3
2x 3x 2sin 2x 6x 3cos 2x C
4
− + −
+ + D
3
2x 3x 2sin 2x 6x 3cos 2x C
8
− − +
+ +
Câu 36: Tính
2
xdx
I
x =
−
(75)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
A 3x tan x 9ln cos x C
4
− + − +
B
x x
3x tan 9ln sin C
4
− − − +
C 3x cot x 9ln cos x C
4
− − − +
D
x x
3x cot 9ln sin C
4
− + − +
Câu 37: Biết ( )
2
0
I x sin 2x dx b a
= + = − (a, b ).Tính P a 2b = − −2
A P 2= B P 4= C P 0= D P 1= Câu 38: Biết e
1
1
I 3x ln xdx a.e b
x
= + = +
(a, b ) Tính P a= 2+8b
A P 11
2
= B P 29
9
= C P 6= D P 5= Câu 39: Đâu nguyên hàm hàm số f x( )=ln x.2
A x ln x x ln x x C2 + + + B x ln x x ln x x C2 − − + C x ln x x ln x x C2 + − + D x ln x x ln x x C2 − + + Câu 40: Cho ( )
3
1 2 3x
0
ae b x e dx
c −
+ =
(a, b, clà sốnguyên dương) Tính P a b c.= + −
A P 5= B P= −2 C P= −3 D P 6= Câu 41: Cho tích phân
1 c
x 12
x d
1 12
1 a
1 x e dx e
x b
+
+ − =
đó a, b, c,d nguyên dương
a c,
b d phân số tối giản Giá trị biểu thức bc ad−
A 24 B 1
6 C 12 D 1
Câu 42: Cho tích phân
( ) ( )
2
4 x
2
1
1 x e e
e dx
a b
x 48 x 48
2 x x 48
− = −
+ + +
(a, b ) Tính
ab
A 42 B 56 C 81 D 45
Câu 43: Cho hai hàm số liên tục f x( ) g x( ) có nguyên hàm F x( ) G x( )
trên đoạn 1; Biết F 1( )=1, F 2( )=4, G 1( )
2
= , G 2( )=2 ( ) ( )
2
67 f x G x dx
12 =
Tính ( ) ( )
2
F x g x dx
(76)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
A 46 B 35 C 11 D 48 Câu 45: Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn 1;e , biết ( )
e
f x
dx
x =
, f e( )=1 Khi đó
( )
e
I=f ' x ln xdx bằng?
A I 4= B I 3= C I 3= D I 0=
Câu 46: Cho y f x= ( ) hàm số chẵn, liên tục biết đồ thị hàm số y f x= ( ) qua
điểm M 1;
2 −
( )
1
f t dt 3=
, tính ( )
0
6
I sin 2x.f ' sin x dx
−
=
A I 10= B I= −2 C I 1= D I= −1
Câu 47: Cho hàm số f x( ) g x( ) liên tục, có đạo hàm thỏa mãn f ' f ' 2( ) ( )0
và g x f ' x( ) ( )=x x e( − ) x Tính giá trị tích phân ( ) ( )
2
I=f x g ' x dx?
A −4 B e 2− C 4 D 2 e− Câu 48: Biết
2
2
x cos x dx a
b c
1 x x
−
= + + + +
với a,b,c,d số nguyên Tính
M a b c= − +
A M 35= B M 41= C M= −37 D M= −35 Câu 49: Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm liên tục 0;
4
thỏa mãn f
=
,
( )
4
f x
dx cos x
=
( )
4
sin x.tan x.f x dx
=
Tích phân ( )
4
sin x.f ' x dx
bằng?
A 4 B 2
2 +
C 1
2 +
D 6 Câu 50: Cho tích phân ( )
1
0
1 a ln bcln c x ln x dx
x
− +
+ + =
+
,với a, b, c Tính
T a b c= + + ?
A T 13= B T 13= C T 17= D T 11= Câu 51: Cho hàm số f x( ) liên tục có đạo hàm cấp hai 0;1 thỏa ( )
1
x f '' x dx 12=
và 2f 1( )−f ' 1( )= −2 Tính ( )
1
f x dx
(77)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu 52: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) ( )
2
f ' x ln f x dx 1 =
f 1( )=1, f 2( )1 Giá trị
( )
f bằng?
A f 2( )=2 B f 2( )=3 C f 2( )=e D f 2( )=e2 Câu 53: Biết
2
e
2 e
1 dx ae be+c
ln x ln x
+
− =
, đó a, b, c số nguyên Giá trị
2 2
a +b +c bằng?
A 5 B 3 C 4 D 9
Câu 54: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm thỏa mãn f x( )−2018f x( )=2018.x2017.e2018x
với x f 0( )=2018 Tính giá trị f ( )
A f 1( )=2019e2018 B f 1( )=2018.e−2018 C f 1( )=2018.e2018 D f 1( )=2017.e2018 Câu 55: Cho hàm số y f x= ( ) với f 0( ) ( )=f =1 Biết ( ) ( )
1 x
e f x +f ' x dx ae b = +
Tính Q a= 2017+b2017
A Q 2= 2017+1 B Q 2= C Q 0= D Q 2= 2017−1
Câu 56: Cho hàm số f x( ) nhận giá trịdương, có đạo hàm liên tục 0; Biết f 0( )=1 f x f x( ) ( − )=e2x2−4x với x 0; Tính ( ) ( )
( )
3
2
x 3x f ' x
I dx
f x − =
A I 14
3
= − B I 32
5
= − C I 16
3
= − D I 16
5 = −
Câu 57: Cho biểu thức ( )
2
2
2 cot x n
4 m
S ln sin 2x e dx
+
= + −
với số thực m 0. Chọn khẳng
định khẳng định sau
A S 5.= B S 9.=
C S cot 2 ln sin 2
4 m m
= +
+ +
D S tan 4 m2 ln 4 m2
= +
+ +
Câu 58: Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm cấp hai liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa
mãn điều kiện x ( ) x ( ) x ( )
0e f x dx= 0e f ' x dx= 0e f '' x dx 0
Tính ( ) ( )
( ) ( )
ef ' f ' ef f
− −
(78)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
A 1 B 1
4 C 2 D
1.
Câu 60: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm 0;
4
có f a; =
thỏa mãn đồng thời
điều kiện ( ) f x dx b
=
(a; b ).Biết ( )
0
1 tan x.f ' x dx
2
=
Tính ( )
0
I tan x.f ' x dx
= theo
a b
A a b
2
− + B a b
2
+ − C a b
2
− − D a b
2 + +
Câu 61: Cho tích phân
( )
4
2
2 2 c
4
cos x 2x sin x a b
dx
1 x 1 x d
−
− =
+ + +
với a,dlà số nguyên b, clà số nguyên tố Giá trị biểu thức a b c d+ + +
A 28 B 44 C 29 D 36 Câu 62: Cho biểu thức tích phân sau
( ) ( )( )
2
2
3
2
x 2018 cot x x ln sin x
dx a ln ln b 2018 c 2018
x 2018
+ +
= − + − +
+
Trong đó (a; b; c ).Mệnh đềnào sau
A a b c + B a b c + C a b c= + D a2 = +b c
Câu 63: Cho hàm số f x( )có đạo hàm liên tục khoảng (0;+)thỏa mãn điều kiện
( ) ( )( )2
f ' x f x =x x (0;+).Biết ( ) ( ) ( )
2
1
x
f a; f b; dx c
f 2x
= = =
Tính ( )
2f x dx
theo a, b, c
A 4b 2a 8c+ − B 8c 2b 4a− − C 4b 2a 2c− − D 4b 2a 8c− −
Câu 64: Cho hàm số f x( ) liên tục 0;+ thỏa mãn 2x.f x( )=f ' x , x( ) 0;+.Cho
( )
( )
1
0x f ' x dx 2=
f 0( )=0.Biết f 1( )0tính f ( )
A 1 B 3 C 2 D 4
Câu 65: Hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn đồng thời điều kiện
( ) e ( ) e ( ) 1( x ) ( )
1
1
f 0; f ln x dx 1; f x dx ; e 2x f ' x dx e
= = = + = Tính f ( )
A 1 B e C 0 D 2 Câu 66: Cho f x( ) liên tục có đạo hàm 0;
2
f a a( );
=
f 0( )=0;
( ) ( ( )) ( )
2
0
3
f x sin 2xdx a ; sin x f x f ' x dx
2
= − + =
Giá trị a
(79)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu 67: Cho n
n 0
I sin xdx
= với n nguyên dương Tính n
n
I
lim
I +
A −1 B 1 C 2 D + Câu 68: Với sốnguyên dương n ta kí hiệu ( )
1 n
2
n
I =x x− dx Tính n
n n
I lim
I +
→+
A 1 B 2 C 3 D 5
Câu 69: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1( )=0,
( )
1
2
f ' x dx 7=
( )
1
1 x f x dx
3 =
Tích phân ( )
1
f x dx
bằng?
A 7
5 B 1 C
7
4 D 4
Câu 70: Cho tích phân ( )
0
a
x ln x dx ln c
b
+ = −
với a,b,c sốnguyên dương a
b
là phân số tối giản Tính giá trị a b c+ + ?
A 18 B 19 C 20 D 21
Câu 71: Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn f x( )+f ' x( )=1 Biết f 1( )=1
( )
f =0, tính giá trị tích phân 2x ( )
0
I= e f x dx
A
2
e
+
B − −e2 C e
2 −
D e
Câu 72: Cho f x( ) liên tục đồng biến thỏa mãn f x2( )=f x f ' x4( ) ( )2−1 Biết f 1( )=2 ; f 0( )= Tính ( ) ( )
0
I= f x f ' x dx
A 3 B 5 C 6 2
2
− + D 6 2
2 − −
Câu 73: Cho nguyên hàm F x( ) cos x sin 2x ln tan x dx( )
4 −
= − +
Biết giá trị biểu thức F ln
4
= −
Tính ( ( ) )
2016
S= F −1 ?
A B C D
Câu 74: Tính giá trị tích phân ( ) ( )
1
I=xf x f ' x dx Biết ( ) ( ) ( )
e
f ln x dx= −f e f 0+ +2
( )
1
f ' x dx e 1= −
(80)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 76: Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn f ' x cos x f x sin x sin x( ) + ( ) = Tính tích phân 2( ( ) ( ))
0 f x f '' x cos xdx
+
?
(81)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu
Biết ( )
( )
2
1 x 3 x x
2
a aln c
e sin x x e x.2 dx be
e d lnb
−
−
+ + = − +
Với a,b,c,d số nguyên dương
Tính P a b c d= − − −
A P 0= B P 1= C P 2= D P 3=
Lời giải
Ta có 1( x2 x x) x2 x x
1 1
I=− e sin x x e+ +x.2 dx=− e sin xdx+− x e dx+− x2 dx I J K= + +
Xét x2 ( )u2 ( ) ( ) u2
1 1
I e sin xdx − e− sin u d u e sin udu I I
− −
= = − − = − = − =
Xét x ( )x x11 x ( )3 x
1 1
1
J x e dx x d e x e e d x e x e dx
e −
− − − −
= = = − = + −
( ) ( )
( )
1 2 x x 1 x 2 x
1
1 1
1 x x 1 x x1
1
2
1
1
e x d e e 3x e e d x 2e xe dx
e e e
16
4
4
e xd e 2e 6xe e dx 4e 6e 2e
e e e e
0 −
− − −
− −
− −
= + − = + − + = − + +
= − + + = − + + − = + − = − +
Xét ( )
( ) ( )
1
x x
1 x x x
2
1 1
1 1
1 x.2 5ln
K x2 dx xd 2 dx
ln ln ln 2 ln ln 2 ln
− − −
− −
−
= = = − = − =
( )2
10 10ln
I J K 2e
e ln
− = + + = − + Vậy P 1=
Chọn ý B
Câu
Biết ( )
3
e 2 2
1
ae I x ln x dx b
c c
= = − với a,b,c sốnguyên dương Tính P a= 2+2b c−
A P 0= B P 1= C P 2= D P 3=
Lời giải
Ta có e 2( )2 e( )2 ( )3 3( )2 e e ( )2
1 1
1
I x ln x dx ln x d x x ln x x d ln x
3
= = = −
( ) ( )
e e e
3 3 3
1 1
1 e 2x ln xdx e 2x ln xdx e lnxd x
3 x 3
= − = − = −
(82)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu
Biết
1
1 x a c
I xln dx ln
1 x b d
+
= = −
−
với a,b,c,d sốnguyên dương nhỏhơn 10 a
b tối
giản, tính P a b c= ( + + −) d?
A P 1= B P 2= C P 3= D P 4=
Lời giải
Ta có ( )
1
1 2
2 2
0 0
2
0
2 x 1 x 1 x x
I x ln dx ln d x x ln x d ln
1 x x x x
+ + + +
= = = −
− − − −
( )
1 2
0
1
2
2
0
x x
1 x dx
ln x ln dx
8 x
8 x
−
= −
+ − = − −
1 1
2
2 2
2
0
1
1 1
ln 1 dx ln x dx
8 x
1ln 3 1ln x 1 3ln 3
8 2 x
x
8
= + = + −
− −
= + + = −
+ −
−
Vậy P 4= Chọn ý D
Câu
Biết ( 2) ( )
0
I= ln x+ x dx ln+ = a+ b + −a bvới a,b số nguyên tố Tính
2
P a= +b
A P 8= B P 9= C P 11= D P 14=
Lời giải
Ta có ( ) ( ) ( )
1
1 2 2 2
0 0
I= ln x+ x dx+ =xln x+ x+ − xd ln x + x+
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 2
0
2
1
1 2
2
0 0
x dx xdx
ln x ln
1 x x x x
d x
ln ln x ln 2
2 1 x
= + − + = + −
+ + + +
+
= + − = + − + = + + −
+
(83)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu
Biết ( ) ( )
2
2
x ln x x
I dx a ln b
1 x c
+ +
= = + −
+
với a,c số nguyên tố Tính
2
P 2a= +b +c
A P 23= B P 24= C P 25= D P 27=
Lời giải
Ta có ( ) ( ) ( )
2
1 2 2
2
0
x ln x x
I dx ln x x d x
1 x + +
= = + + +
+
( ) ( ( ))
( )
( ) ( )
1 1
2 2
0
1 2
2
0
1 x ln x x x d ln x x
x dx
2 ln x
1 x x x
2 ln dx ln
= + + + − + + +
= + − + +
+ + +
= + − = + −
Vậy P 25= Chọn ý C.
Câu
Biết ( ) ( ) ( )
2
2
x ln x x a ln 2 2
I dx
c
x x b
+ + − + +
= == −
+ +
với a,b,c số nguyên
dương Tính P a= 2+b2−c
A P 1= B P 2= C P 3= D P 4=
Lời giải
Ta có ( )
2
2
x ln x x
I dx
x x
+ + =
+ +
Đặt
( )
( )
2
2
u ln x x
xdx
dv x x x dx
x x
= + +
= = + −
+ +
2
2
x
dx x
du dx
x x x
+ +
= =
+ + + ( ) ( ) ( )
1
2 2 2 32
1
v x d x x dx x x
2
= + + − = + −
( 2) 3 ( 2) 1 ( 2)
2
3
3
0
3
1 dx
I x x ln x x x
3 x 1 x
−
= + − + + − +
+
(84)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2
2 2
0
1
2 2
0
2 ln 4 1
1 x x d x
3
2 ln 4 2
1 x x
3
−
− +
= − + + − + +
− +
= − + + − +
( ) ( )
( ) ( )
2 ln 4 2 2
2 2
3 3
2 ln 2 2
3
− +
= − + − − +
− + +
= −
Vậy P 4= Chọn ý D
Câu
Biết ( 2) ( )
0
b
I xln x x d a
c
x ln
4
= + + = − + + với a,b,c số nguyên dương
c 5 Tính P abc=
A P 18= B P 24= C P 25= D P 27=
Lời giải
Ta có ( 2) ( 2) ( )2
0
1
I xln x x dx ln x x d x
2
= + + = + +
( ) ( )
2
1 2
0
x ln x x 1
x d ln x x
2
+ +
= − + +
( ) 1 ( ) 1
2
2 2
0
1ln 1 2 x 1 x dx 1ln 1 2 x dx
2 1 x x 1 x 2 1 x
= + − + = + −
+ + + +
Xét tích phân
2
2
x dx J
1 x =
+
, đặt x tan t; t 0,
2
=
( )
2 2
1
2
4
2
0 0
4
x dx tan t dt sin t sin t
J dt d sin t
cos t cos t cos t x tan t
= = = =
+ +
( )
( ) ( ) (( ) ()( ))
2
2 2
2
2
0
4
0
2
sin t d sin t u du 1 u u
4 u u
1 sin t u du
+ − −
= = =
+ −
− −
( ) ( )
( )
2
2 2
0
2
2
2
0
0
1 1 du 1 du
4 u u 1 u 1 u u
1 1 ln u 1ln 1 2
4 u u u 2
= − = + −
− + −
− +
+
= − + = − +
− + −
(85)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2
I ln J ln ln ln
2 2 2 4
= + − = + − − + = − + +
Vậy P 24= Chọn ý B
Câu
Biết
8
63
I xln xdx a lnc
b −
= − = − với a,b,c số nguyên Tính P a
bc =
A P 1= B P 2= C P 3= D P 4=
Lời giải
Ta có 0 ( )2 0 ( )
8 8
1 1
I xln xdx ln xd x x ln x x d ln x
2 2
− − − −
= − = − = − − −
( ) ( )
2
0 2
8
2
0
8
0
8
1 dx x dx
32 ln x 32 ln
2 x x x
1 x
1 1
32 ln dx 32 ln x dx
4 x x
1 1 63
32 ln ln x x x 32 ln ln ln
4 2
− −
− −
− −
= − − = − +
−
− −
− −
= − + = − + − +
− −
= − + − − − − = − + + = −
Vậy P 1= Chọn ý A
Câu
Biết
( )
0
ln x
I dx a lnb
1 x x −
−
= = −
− −
tính P 2a b= − 2+5 với a,b số nguyên
A P 1= B P 2= C P 3= D P 4=
Lời giải
Đặt t= x− 3 ( ) 2
2 i
ln t dt
I 2t dt lnt lntd
t t t
−
= − = =
2
2
2
1
1
2 ln t 2 1d(ln t) ln 2 dt ln 2 1 ln 2
t t t t
− −
= − = − + = − − = −
(86)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Ta có
( ) ( ( ) )
2
3 3
2 2
1 2
ln xd x
x ln xdx 1
I lnxd
2 x
x x
+ −
= = =
+
+ +
( ) ( ) ( )
3
3
2
2
1
1
ln x 1 d ln x ln dx
2 x 20
2 x x x
− −
= + = +
+
+ +
( )
( )
2
3
2
1
x x
ln dx ln 1 x dx
20 x x 20 x x
+ −
− −
= + = + −
+
+
( 2)
1
ln 1 ln 1 ln
ln x ln x ln ln ln
20 2 20 2 20
= − + − + = − + − = −
Vậy P 2= Chọn ý C
Câu 11
Biết ( )
0
I xln x d a
c d
x b
= + = − với a,b,c,d sốnguyên dương b
d tối giản đồng
thời c 7 Tính P a= 2−b2+c2−d
A P 9= B P 10= C P 11= D P 12=
Lời giải Ta có ( )
0
I= xln x +1 dx ( )
3
1 2
3
0
x x 1
1 3x
ln x dx ln dx
2 x 2 x
+ −
= − = −
+ +
( )
( ) ( )
( )
2 2
1 2 1
3 0
0 0
3
1
2
0
2
1 1
3
2
2 2
0
0
x x x
1 3 3 xdx x dx
ln xdx dx ln x
2 2 x x x x
d x
2x 1
1ln 2 3 dx
2 4 x x x
d x x
1ln 2 1ln x 1 3 dx
2 4 x x 1 3
x
2
3 3l 4
+ −
= − + = − −
+ − + +
+ − +
= − + −
− + +
− +
= − − + + +
− +
− +
= −
+
+
1
2
0
0
3 2x 3
n x x arctan
2
−
− + + = −
(87)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu 12
Biết
a
2x
0
e b I e sin xdx
2c
−
= = với a,b,c số nguyên dương, tính P a b c= −
A P 1= B P 0= C P 2= D P= −1
Lời giải
Ta có ( )
2x
2x 2x 2x
0 0
0
1 e e 1
I e sin xdx e cos 2x dx e cos 2xdx J
2 4
−
= = − = − = −
Xét tích phân 2x 2x ( ) 2x 0 ( )2x
0 0
1 1
J e cos 2xdx e d sin 2x e sin x sin2xd e
2 2
= = = −
( ) 2
2x 2x 2x
0 0
2 2
1 e e e
e sin2xdx e d cos 2x e cos 2xdx J J
2 2
e 1 e e e
I J
4 8
− − −
= − = = − = − =
− − − −
= − = − =
Vậy P 0= Chọn ý B
Câu 13
Biết e ( ) ( )
1
I cos ln x dx a e b
2
= = + với a,b số nguyên Tính
2
a P
b =
A P 1= B P 2= C P=
2 D =
2 P
3
Lời giải
Ta có e ( ) ( )1e e ( ( )) ( ) e ( )
1 1
I= cos ln x dx x cos ln x= − xd cos ln x = − e+ +1 sin ln x dx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e e e
1
1
e
e sin ln x dx e xsin ln x xd sin ln x
1
e cos ln x dx e I 2I e I e
2
= − + + = − + + −
−
= − + − = − + − = − + = +
Vậy P 1= Chọn ý A
Câu 14
Biết e 2( ) ( )
1
a
I cos ln x dx e c
b
= = − với a,b,c số nguyên tố Tính giá trị biểu thức
2
(88)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Xét e ( ) ( )e1 e ( ( )) e ( )
1 1
2 sin ln x J cos ln x dx xcos ln x xd cos ln x e x dx
x
= = − = − +
( ) ( ) ( ( ))
e e e
1
1
e sin ln x dx e 2xsin ln x xd sin ln x
= − + = − + −
( ) ( )
e e
1
2 cos ln x
e x dx e cos ln x dx e 4J x
= − − = − − = − −
( )
e e e
5J e J I e
0
5
− − −
= − = = + = −
Vậy P 33= Chọn ý C
Câu 15
Biết ( )
2 x
sin x
I dx a c e
e b
−
= = − với a,b,c số nguyên tố Tính P a= − +b c
A P 0= B P= −1 C P 1= D P 2=
Lời giải
Ta có ( )
2
x x x
x
0 0
sin x 1
I dx e cos 2x dx e dx e cos 2xdx
e 2
− − −
= = − = −
x
x x
0
0
e e cos 2xdx e e cos 2xdx e 1J
2 2 2
− − −
− −
− − −
= − = − = −
Xét tích phân ( ) ( )
x
x x x
0 0
0
1 e sin 2x
J e cos 2xdx e d sin 2x sin2xd e
2 2
−
− − −
= = = −
( ) x ( )
x x x
0 0
0
1 e cos 2x
e sin 2xdx e d cos 2x cos2xd e
2 4
−
− − − −
= = = − +
x
1 e 1 e e e
e cos 2xdx J J J
4 4 4
− − − −
−
− − − −
= − = − = =
( )
1 e 1 e e
I J e
2 2 10
− − −
−
− − −
= − = − = −
Vậy P 0= Chọn ý A
Câu 16
Tính a 2 ( )
0
I= a −x dx a 0
A I a2
4
= B I
2 a
= C I
8 a
= D I a2
4 =
Lời giải Ta có a 2 ( )
0
(89)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
( ) 2 ( 2)
a a a a
2 2
2 2
0 0
0
a a x
x dx
x a x xd a x dx
a x a x
− −
= − − − = =
− −
a 2 2 2
a a a
2 2 2
2
0 0
0
dx x a a a
a a x dx a arcsin a x dx I 2I I
a 2
a x
= − − = − − = − = =
−
Chọn ý A
Câu 17
Biết a 2 ( ) ( )
0
ln
I a x dx b c
d
a + + a
= + = với b,c,d ẩn số nguyên, tính
( )2
P= b c d− − + −b cd
A P 0= B P 1= C P 2= D P 4=
Lời giải
Ta có ( )
2
a a a
2 2 2
2
0
0
x
I x a x xd a x a dx
a x
= + − + = −
+
( 2)
a a a
2 2 2
2 2
0 0
a x a dx
a dx a a x dx a
a x a x
+ −
= − = − + +
+ +
( )a a ( )
2 2 2 2
0
a a ln x a x a x dx a a ln I
= + + + − + = + + −
( ) ( )
2 2 ln 2
2I a a ln I a
2
+ +
= + + =
Vậy P 2= Chọn ý C
Câu 18
Biết a 2 ( ) ( )
0
b ln
I x a x dx d
2c
a − + a
= + = với b,c,d ẩn số thực, tính
2
P b= + −c d
A P 3= B P 5= C P 6= D P 8=
Lời giải Ta có a 2 ( )
0
I= x a +x dx a 0 , đặt
( 2)3
2 2
du dx u x
1
v a x
dv x a x dx
3 = =
= +
= +
(90)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( ) ( ) ( )
2
4 ln 2 ln ln
4I 2a a a a I a
3 3
+ + − + − +
= − = =
Vậy P 5=
Câu 19
Tính a 2 ( )
0
I= x a −x dx a 0
A I
16 a
= B I
8 a
= C I= a4
4 D
= a4
I
Lời giải Ta có a 2 ( )
0
I= x a −x dx a 0 , đặt
( 2)3
2 2
du dx u x
1
v a x
dv x a x dx
3 = =
=− −
= −
( 2 2)3 a a( 2 2)3 ( a 2 2 2 a 2 2 2 )
2
0 0
0
x 1
I a x a x dx a a x dx x a x dx
3 3
= − − + − = − − −
2 a a 4
2 2
0
a a x dx 1I I a a x dx a I a
3 3 12
4
16
= − − = − = =
Câu 20
Cho tích phân ( )
2
2a 2 2
a
a c
I x a dx b ln
2 d
b
+
= − = − −
+
với b,c,d ẩn số thực
dương, tính
2
b c P
d =
−
A P 1= B P 2= C P
2
= D P 4=
Lời giải
Ta có ( )
2a
2a 2 2 2 2 2a 2 2
a a 2 a
I= x −a dx x x= −a − xd x −a
( ) 2a ( ) 2a ( 2)
2
2 2
a a
a x a
x
2 a dx a dx
x a x a
+ −
= − − = − −
− −
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2a 2a
2 2
2
a a
2a
2 2 2
a
2
2 2a a
2
dx
2 a a x a dx
x a
2 a a ln x x a x a dx
2
2 a a ln I
1
2 a
2I a a ln I ln
2
1 2
= − − − −
−
= − − + − − −
+
= − − −
+
+ +
= − − = − −
+ +
(91)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu 21
Biết 3 ( )
4
2 dx ln
I
sin x
a b
c
+ +
= = với a,b,c số thực dương Tính giá trị biểu thức
2
a b P
c a − =
−
A P 1= B P
2
= C P
4
= D P 2=
Lời giải
Ta có 2 ( ) 2
3
4 4
4
dx cot x
I d cot x cot xd
sin x sin x sin x sin x
= = − = − +
4
2
2
4
cos x 1
2 cot x dx dx
sin x sin x sin x
= − = − −
2
4
2
2
4
dx dx sin xdx
2 I
sin x sin x cos x
= + − = + −
−
( ) ( )
4
2 ln
1 cos x
2I ln ln I
2 cos x
+ +
+
= − = + + =
−
Vậy P 1=
Câu 22
Biết 5 ( )
4
dx a
I c
2b ln
sin x d
= = + + với a,b,c,d số thực dương, c
d phân số tối
giản Tính P 3a b cd= + −
A P 0= B P 1= C P 2= D P= −1
Lời giải
Ta có 2 ( ) 2
4 4
4
5 3
dx cot x
I d cot x cot xd
sin x sin x sin x sin x
= = − = − +
2
4 4
3cos x 1
2 cot x dx 2 dx
sin x sin x sin x
= − = − −
2 2
4
dx dx dx
2 3 2 3I
sin x sin x sin x
(92)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 23
Cho tích phân ( )
3
a ln c dx
I
o
d c x
b s
+ +
= = với a,b,c,d số thực dương, tính
2 2
P a= +b +c −d
A P 11= B P 12= C P 8= D P 9=
Lời giải
( )
3 3
3
0 0
0
dx tan x sin x
I d tan x tan xd tan x dx
cos x cos x cos x cos x cos x
= = = = −
−
( ) ( ) ( )
2
0 0
2
3 3
3
0
3
1 dx dx cos xdx
2 dx 3 I
cos x cos x cos x cos x sin x
2 ln
d sin x 1 sin x
2I 3 ln ln I
1 sin x sin x
= − − = + − = + −
−
+ +
+
= + = + = + + =
− −
Vậy P 8=
Câu 24
Biết ( )
5
dx 11
I a c ln
b
cos x 2d
= = + + với a,b,c,d số thực dương, c
d phân số tối
giản, a 4 Tính P a b c d= + + +
A P 0= B P 1= C P 2= D P= −1
Lời giải
Ta có 5 3 ( ) 3 3
0
3
0
3
0
dx tan x
I d tan x tan xd
cos x cos x cos x cos x
= = = −
( ) ( )
4 3
0 0
3
0
3
3
3
3sin x 1 dx dx
8 tan x dx 3 dx 3
cos x cos x cos x cos x cos x
2 ln
dx 11 3
8 3 3I 4I 3 I ln
cos x
= − = − − = + −
+ +
= + − = + = + +
Vậy P 0=
Câu 25
Cho tích phân
5
3
x 2x a
K dx
b x
+
= =
+
với a,b số nguyên dương, a
b phân số tối
giản Tính 2a
b +2?
A 26
27 B
26
11 C
13
9 D
13 19
(93)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Ta có ( ) ( )
3
5 3
3 3
2 2
0 0
x x x x
x 2x x
K dx dx dx dx
x x x x
+ +
+
= = = +
+ + + +
3 2 2 2
2
0
xdx
x x x 1dx x I J
x
= + + = +
+
Xét tích phân 2
0
I= x x x +1dx, đặt
( )
2
3 2
2
du 2xdx u x
1
v x
dv x x 1dx
3 = =
= +
= +
( )3 3 ( )3 3( ) (3 )
2 2 2 2
0
0
2
1
I x x x x dx x d x
3 3
= + − + = − + +
( )52
0
2 58
8 x
15 15
= − + =
Xét tích phân
2
xdx
J x
x
=
+
, đặt
2
2
u x du 2xdx
xdx
dv v x 1
x
= =
=
= +
+
( ) ( )3
3 3 3
2 2 2 2
0
0
0
2
J x x 2x x 1dx x 1d x x
3
= + − + = − + + = − + =
58 26 K I J
15
= + = + =
Câu 26
Tính sin x2
K e sin x cos xdx
=
A K e
2
= − B K e
= − C K e
= − D K e = +
Lời giải
Ta có sin x2 2 ( ) sin x2
0
1
K e sin x cos xdx cos x sin x cos x e dx
= =
( ) ( )2 2 ( )
2 sin x sin x sin
0
x
0
1 1 cos 2x d e 1(1 cos 2x)e e d cos 2x
4 4
= + = + − +
( )
2 2 2
2 sin x sin x sin x
0 0
2
1 1 1 e
e sin 2xdx d e e
2 2 2 2
−
(94)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 27
Biết ( )
3
I cosxln cos x dx lnb
2
a
2c
= − = − − + với a,b,c số thực dương Tính
2
P 3a b c= − +
A P 16= B P 18= C P 20= D P 24=
Lời giải
( ) ( ) ( )
2
3
I cosxln cos x dx ln cos x d sin x
= − = −
( )2 ( ( ))
3 3
3 sin xdx
sin xln cos x sin xd ln cos x ln sin x
2 cos x
= − − − = −
−
( )
2
2
3
3ln 2 cos xdx 3ln 2 1 cos x dx
2 cos x
−
= − = − +
−
( )2
3 3
ln x sin x ln
2
= − + = − − +
Vậy P 16=
Câu 28
Biết ( ) ( )
4
I sin xln tan x dx a b c ln ln
= = + − với a,b,c số thực dương, b
c phân số
tối giản Tính P=(a b c+ − )2
A P 0= B P 1= C P 4= D P 9=
Lời giải
Có ( ) ( ) ( ) ( )3 ( ( ))
4 4
I sin xln tan x dx ln tan x d cos x cos xln tan x cos xd ln tan x
= = − = − +
( )
3
4
3
4
1ln 3 cos xdx 1ln 3 dx 1ln 3 sin xdx
4 cos x tan x sin x sin x
= − + = − + = − +
( ) ( )
4
4
3 d cos x
1ln 3 1ln 3 1ln cos x ln 1 2 3ln 3
4 cos x cos x
+
= − − = − − = + −
− −
Vậy P 1=
Câu 29
Biết ( )
0
2 x
I x dx
1 x 2c
b a
−
= + = +
+
với a,b,c số thực dương b
c tối giản Tính
2 2
P a= +b −c
(95)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Ta có ( ) ( ) ( )
2
1
1
2
0
0
x
1 x 1 x x
I x dx d x
1 x x x
+
− − −
= + = + =
+ + +
( ) ( )
( )
2
2
2
0
1
1 x d x 3 x 1 x dx
2 x x x
− − +
− + = + +
+ − +
01
2
3 1 xdx
8 x
− +
= +
−
Đặt
( )
2
2
2 2
1 x u 4udu
u x dx
1 x u u 1
+ −
= = =
− + + ( )
2
2
0
2
2
1 x 4u du
J dx
1 x u 1
+
= =
− +
Đặtu tan t du dt2
cos t
= =
( ) ( )
2 2
3 2
2 2
1
3 3
4 4
2
4u du tan t dt tan tdt
J sin tdt
cos t tan t
u 1 tan t
= = = =
+
+ +
( ) ( )
3
4
3
2 cos 2t dt 2t sin 2t I J
6 12
3
−
= − = − = + − = + = +
Vậy P 9=
Câu 30
Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) ( )
3
f x
x.f ' x e dx 8=
f 3( )=ln Tính ( )
3 f x
I=e dx
A I 1.= B I 11.= C I ln 3.= − D I ln 3.= +
Lời giải
Đặt
( ) f x( ) f x( )
u x du dx
dv f x e dx v e
= =
= =
Khi đó ( )
( ) ( ) ( )
3
3
f x f x f x
0 0
x.f x e dx x.e = − e dx
( ) ( ) ( )
f f x f x
0
8 3.e e dx e dx
= − = − =
Chọn ý A
Câu 31
Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục 0; ,
2
đồng thời thỏa mãn hai điều kiện
( )
2
2
f ' x cos xdx 10
=
f 0( )=3 Tích phân ( )
2
f x sin 2xdx
bằng?
(96)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
0
0
2
0
10 f ' x cos xdx cos xf x f x sin 2xdx
10 f f x sin 2xdx f x sin 2xdx 10 f 13
= = +
= − + = + =
Chọn ý D
Câu 32
Cho ( 2)
1ln 16 x dx aln bln cln d− = + + +
với a, b, c,d số nguyên Giá trị biểu thức a b c d+ + +
A 20 B. 28 C 6 D 9
Lời giải
Đặt ( )
2
2
2x
u ln 16 x du dx
16 x
dv dx v x
−
= − =
−
=
= ( ) ( )
2
2 2 2
2
1 1
2x
I ln 16 x xln 16 x dx
16 x
= − = − +
−
2
2
x
I ln 12 ln 15 dx ln 12 ln 15 2J 16 x
= − + = − +
−
(với
2
2
x
J dx
16 x =
−
)
Ta có
( )( )
2
2 2
2
1 1
x x 16 16 16
J dx dx dx
16 x 16 x x x
− +
= = = −
− − − +
2 2 2
1
1 1
2 1
J dx dx dx x
4 x x x x
= + − = − −
− + + −
2
1
x
J 2.ln ln ln 4ln ln
x
+
= − = − − = − −
−
Thay vào ta I ln 12 ln 15 ln ln 1= − + ( − − )=4 ln ln 5ln 2+ − −
a 4, b 9, c 5,d a b c d
= = = − = − + + + =
Chọn ý C
Câu 33
Tính nguyên hàm hàm số f x( ) ln x
x = +
A xln x x arctan x C
x
+ − + +
B
1
xln x x arctan x C
x
+ − − +
C xln x x arctan x C
x
+ + − +
D
1
xln x x arctan x C
x
+ + + +
(97)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
1
I ln x dx
x = +
Đặt ( )
2
2
1
1 x 1
1 x du dx
u ln x du 1 dx
x x
x x
x
dv dx v x
v x
−
−
= + = =
+
+
= =
=
2
2
1 x 1
I xln x dx xln x dx
x x x x
−
= + − = + − −
+ +
2
1 1
I xln x dx dx xln x x dx
x x x x
= + − + = + − +
+ +
Ta sẽđi tính 21 dx
x +1
phương pháp đổi biến quen thuộc
Đặt
2
2
2
1
x tan t
cos t x tan t
dt dx
cos t
+ = + =
= =
2
2
1 dt
dx cos t dt t C arctan x C
x cos t
= = = + = +
+
1
I xln x x arctan x C
x
= + − + +
Chọn ý A
Câu 34
Biết
( )
2 x
1
2
x e b
dx a e, c x 2+ = −
với a, b, c số nguyên dương b
c phân số tối giản
Tính P a b= + +c3
A P 13= B P 12= C P 29= D P 34=
Lời giải
Ta thấy, tích phân đềbài khó để áp dụng phương pháp Nguyên
hàm phần Tuy nhiên, ta có bước biến đổi thú vịnhư sau
( ) ( ( ))
2 x
2 x
1 1 x
2
0 0
x 2 e
x e
I dx dx e dx
x
x x
+ −
= = = −
+
+ +
( ) ( )
1 x x x x
2
0 0
4 4
I e dx e dx e dx e dx
x x 2 x x 2
= − + = − −
+ + + +
4
4 du − dx
(98)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
a 1, b 1, c
= = = Do P a b= + 2+c3 =29 Chọn ý C
Câu 35
Tính nguyên hàm hàm số f x( )=(x3+1 cos 2x.)
A
3
2x 3x 2sin 2x 6x 3cos 2x C
4
− − +
+ + B
3
2x 3x 2sin 2x 6x 3cos 2x C
8
+ − +
− +
C
3
2x 3x 2sin 2x 6x 3cos 2x C
4
− + −
+ + D
3
2x 3x 2sin 2x 6x 3cos 2x C
8
− − +
+ +
Lời giải
Bài khơng cịn cách khác ngồi cách ngồi chịu khó nguyên hàm phần nhiều lần
Đặt
2
3 du 3x dx
u x
sin 2x
dv cos 2xdx v
2 =
= +
=
=
( ) ( )sin 2x ( )sin 2x
I x cos 2xdx x x sin 2xdx x J
2 2
= + = + − = + −
Đặt
2 du 2xdx
u x
cos 2x
dv sin 2xdx v
2 =
=
= −
=
2 cos 2x cos 2x
J x x cos 2xdx x K
2
= − + = − +
Đặt
du dx u x
sin 2x
dv cos 2xdx v
2 = =
= =
xsin 2x xsin 2x cos 2x
K sin 2xdx
2 2
= − = +
2 cos 2x xsin 2x cos 2x
J x
2
= − + + I (x3 1)sin 2x x2 cos 2x xsin 2x cos 2x
2 2
= + − − + +
3
2x 3x 6x
I sin 2x cos 2x C
4
− + −
= + +
Chọn ý C
Câu 36
Tính
2
xdx
I
x sin
4 =
−
A 3x tan x 9ln cos x C
4
− + − +
B
x x
3x tan 9ln sin C
4
− − − +
C 3x cot x 9ln cos x C
4
− − − +
D
x x
3x cot 9ln sin C
4
− + − +
(99)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Đặt
2
u x
du dx dx
dv v cot x
x
sin 4 3
=
=
=
= −
−
x x
I 3x cot cot dx
4
= − − −
x cos
x x
3x cot dx 3x cot 3J
x
4 sin
4
−
= − − = − −
−
Ta tính J phép đổi biến Đặt y sin x dy 1cos x
4 3
−
= − = −
3dy dy x
J 3ln y 3ln sin
y y
−
= = − = − = − −
x x
I 3x cot 9ln sin C
4
= − + − +
Chọn ý D
Nhận xét Bài khơng q khó vấn đềnghĩ ý tưởng việc dùng Nguyên hàm từng phần và Phép đổi biến Tuy nhiên, phép biến đổi lời giản, phải thực cẩn thận việc tính đạo hàm của hàm hợp dấu của chúng
Câu 37
Biết ( )
2
0
I x sin 2x dx b a
= + = − (a, b ).Tính P a 2b = − −2
A P 2= B P 4= C P 0= D P 1=
Lời giải
Đặt
( )
u x du dx
dv sin 2x dx v x sin x
= =
= +
= +
( )4 4( ) 4
0 0
0
1
I x x sin x x sin x dx xdx sin xdx 4
= + − + = + − −
2 4 2 4
4
0
0
x cos 2x 1
I dx x cos 2xdx
16 2 16 32 2
−
= + − − = + − − +
2 4
2
a 32
1 sin 2x
I 1 P a 2b
32 8 2 32 b
4
− =
= + − + = + = − =
(100)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 38
iết e
1
1
I 3x ln xdx a.e b
x
= + = +
(a, b ) Tính P a= +8b
A P 11
2
= B P 29
9
= C P 6= D P 5=
Lời giải
Đặt 2
3
u ln x du dx
x
dv 3x dx v x ln x
x =
=
= +
= +
( 3 ) e e 2
1
ln x
I x ln x ln x x dx
x
= + − +
e
e 2
3
3 3
1
ln x
x e 1
I e e e
3 3
= + − − = + − − − = +
2 a
3 b
6 =
=
=P a2+8b2 =6
Chọn ý C
Câu 39
Đâu nguyên hàm hàm số f x( )=ln x.2
A x ln x x ln x x C2 + + + B x ln x x ln x x C2 − − + C x ln x x ln x x C2 + − + D x ln x x ln x x C2 − + +
Lời giải
Ta tính I=ln xdx.2
Đặt
2 du ln xdx
u ln x
x
dv dx v x
= =
=
=
2
I xln x ln xdx xln x ln xdx
= − = −
Lại tiếp tục tính ln xdx Nguyên hàm phần
Đặt
dx
u ln x du
x
dv dx v x
= =
=
= ln dx xln x= −dx xln x x= −
( )
2
I x ln x x ln x x C x ln x x ln x x C
= − − + = − + +
Chọn ý D
(101)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu 40
Cho ( )
3
1 2 3x
0
ae b x e dx
c −
+ =
(a, b, clà sốnguyên dương) Tính P a b c.= + −
A P 5= B P= −2 C P= −3 D P 6=
Lời giải
Đặt
2
3x 3x
du 2xdx
u x
e v dv e dx
3 = = +
= =
( ) ( )
1 3x
1 2 3x 2 3x
0
0
e
I x e dx x xe dx
3
= + = + −
3
2
I e J
3 3
= − − ( 3x
0
J= xe dx) Ta tính J lại nguyên hàm phần
Đặt 3x
3x
du dx u x
e
dv e dx v
3 = =
=
=
1
3x 3x
1 3x
0
e e e
J x e dx
3 3 3
= − = −
3 3
e e 2e J
3 3 9
= − − = −
Do đó
3
3
2 2e 14e 11 I e
3 9 27
−
= − − =
=a 14; b 11= c 27= = + − = −P a b c
Chọn ý B
Câu 41
Cho tích phân
1 c
x 12
x d
1 12
1 a
1 x e dx e
x b
+
+ − =
đó a, b, c,d nguyên dương a c,
b d
phân số tối giản Giá trị biểu thức bc ad−
A 24 B 16 C 12 D 1
Lời giải Có
1 1
x x x
12 12 12
x x x
1 1
12 12 12
1
I x e dx e dx x e dx
x x
+ + +
= + − = + −
Đặt
1
1 x
x x x
2
1
du e dx
u e x
dv dx v x
+
+
= −
=
=
=
12
1 1
x x x
12 12
x x x
1
1
12 12
12
1
e dx xe x e dx
x
+ + +
= − −
12
1 1 145
(102)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 42
Cho tích phân
( ) ( )
2
4 x
2
1
1 x e e
e dx
a b
x 48 x 48
2 x x 48
− = −
+ + +
(a, b ) Tính ab
A 42 B 56 C 81 D 45
Lời giải
Phân tích: Tương tựnhư tích phân cờng kềnh khác, ta tách tích phân thành phần
( ) ( ) ( )
x x
4 x 4
2 2 2
1 1
1 x e xe
I e dx dx dx
x 48 x 48 x x 48 x 48 x 48
2 x x 48
= − = −
+ + + + + +
Đặt ( )
2
2
x
x
1 x
u du dx
x 2018 x 2018 x 2018
e
dv dx v e
2 x
= −
+ =
+ +
= =
( )
4
x x x
4
2 2
1
1
e dx e xe dx
2 x x 48 x 48 x 48 x 48
−
= −
+ + + +
4
x
2
e e e
I
8
x 48
= = −
+
a
ab 56 b
=
= =
Chọn ý B
Hai ví dụ mởđầu dừng mức dễ áp dụng công thức, từ thứ trởđi thứ
sẽnâng cao nhiều yêu cầu phải biến đổi và có tư việc đặt u, dv!
Câu 43
Cho hai hàm số liên tục f x( ) g x( ) có nguyên hàm F x( ) G x( ) đoạn
1; Biết F 1( )=1, F 2( )=4, G 1( )
2
= , G 2( )=2 ( ) ( )
2
67 f x G x dx
12 =
Tính
( ) ( )
2
F x g x dx
?
A 11
12 B
145 12
− C 11
12
− D 145
12
Lời giải
Đặt ( )
( )
u F x dv g x dx
= =
( ) ( )
du f x dx v G x
=
=
( ) ( )
2
F x g x dx
( ( ) ( ))2 ( ) ( )
1
F x G x f x G x dx
= −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
F G F G f x G x dx
= − − 4.2 1.3 67
2 12
= − − 11
(103)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu 44
Biết
( )
3
2
3 ln x a ln b ln c dx
4 x
+ = + −
+
với a, b, c sốnguyên dương Giá trị biểu thức
P a b c= + + bằng?
A 46 B 35 C 11 D 48
Lời giải Ta có
( ) ( ) ( )
3 3
2
1
1 1
3 ln xdx 3 ln x d ln x d ln x
x x x
x
+ = − + = − + + +
+ + +
+
3 3
1
1
3 ln 3 1 ln 1 ln x
dx dx ln
4 x x x x x
+ − −
= − + + = + − = +
+ + +
3 ln ln3 ln1 ln ln ln ln 2 ln ln ln 2
4 4
− − −
= + − = + − + = + −
a 3 3ln ln ln 27 ln 16
b 27 P 46
4
c 16 =
+ − + −
= = = =
=
Chọn ý A
Câu 45
Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn 1;e , biết ( )
e
f x
dx
x =
, f e( )=1 Khi đó
( )
e
I=f ' x ln xdx bằng?
A I 4= B I 3= C I 2= D I 0=
Lời giải
Cách 1. Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
e e
e
1
1
I f ' x ln xdx f x ln x f x dx f e 1 x
= = − = − = − =
Cách Đặt ( )
( )
dx
u ln x du
x dv f ' x dx v f x
= =
=
=
Suy ( ) ( ) ( ) ( )
e e
e
1
f x
I f x ln xdx f x ln x dx f e 1 x
= = − = − = − =
(104)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 46
Cho y f x= ( ) hàm số chẵn, liên tục biết đồ thị hàm số y f x= ( ) qua điểm
1
M ;
2 −
( )
1
f t dt 3=
, tính ( )
0
6
I sin 2x.f ' sin x dx
−
=
A I 10= B I= −2 C I 1= D I= −1
Lời giải
Xét tích phân ( ) ( )
0
6
I sin 2x.f ' sin x dx sin x.f ' sin x cos xdx
− −
= =
Đặt t sin x= dt cos xdx= Đổi cận
1
x t
6
x t
= − = −
= =
( )
0
I t.f ' t dt −
=
Đăt
( ) ( )
u 2t du 2dt
dv f ' t dt v f t
= =
= =
( ) ( ) ( )
0
1
2
0
1
I 2t.f t 1 f t dt f f t dt
2
2 − −
= − = − −
−
• Đồ thị hàm số y f x= ( ) qua điểm DA f
2
− =
• Hàm số y f x= ( ) hàm số chẵn, liên tục
( ) ( ) ( )
1
0 2
1 0
2
f t dt f t dt f x dx −
= = =
Vậy I 2.3= − = −2 Chọn ý B
Câu 47
Cho hàm số f x( ) g x( ) liên tục, có đạo hàm thỏa mãn f ' f ' 2( ) ( )0
( ) ( ) ( ) x
g x f ' x =x x e− Tính giá trị tích phân ( ) ( )
2
I=f x g ' x dx?
A −4 B e 2− C 4 D 2 e−
Lời giải
Ta có g x f ' x( ) ( )=x x e( − ) x g 0( )=g 2( )=0 (vì f ' f ' 2( ) ( )0)
( ) ( )
2
I=f x g ' x dx ( ) ( )
0
f x dg x
= ( ( ) ( ))2
0
f x g x
= ( ) ( )
0
g x f ' x dx
− 2( ) x
0
x 2x e dx
= − − =
(105)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu 48
Biết
2
2
x cos x dx a
b c
1 x x
−
= + + + +
với a,b,c,d số nguyên Tính M a b c= − +
A M 35= B M 41= C M= −37 D M= −35
Lời giải Ta có
6
2
x cos x dx
1 x x
− + +
0
x cos x dx x cos x dx
1 x x x x
−
= +
+ + + +
= +I J
Xét
0
2
x cos x
I dx
1 x x
− =
+ +
Đặt t= −x ( )Cm ; Đổi cận x 0= =t 0; x t
6
= − =
0
2
x cos x
I dx
1 x x
− =
+ +
( )( )2 ( )
6
t cos t
dt
1 t t
− −
= −
+ − −
0
t cos t dt
1 t t
− =
+ −
0
x cos x dx
1 x x
− =
+ −
Khi đó
6
2
x cos x dx
1 x x
− + +
6
0
x cos x dx x cos x dx
1 x x x x
−
= +
+ − + +
6
2
0
1
x cos x dx
1 x x x x
= −
+ + + −
0
2x cos xdx
= −
Đến sử dụng sơ đồđường chéo ta dễdàng suy đáp án toán
6
2
x cos x dx
1 x x
− + +
( )6
0
2x sin x 4x cos x 4sin x
= − − + 2
36
= + +
− −
Khi đó a 2= ; b= −36; c= −3 Vậy M a b c 35= − + =
Chọn ý A
Câu 49
Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm liên tục 0;
4
thỏa mãn f = ,
( )
4
f x
dx cos x
=
và ( )
4
sin x.tan x.f x dx
=
Tích phân ( )
4
sin x.f ' x dx
(106)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Ta có ( )
4
I sin x.f ' x dx
= Đặt ( ) ( ) ( )1 , , ( ) ( )
4
0
I sin x.f x cos x.f x dx
= − I1
2
= −
Ta có ( )
4
2 sin x.tan x.f x dx
= ( )
f x
sin x dx
cos x
=
( ) ( )
4
2
f x
1 cos x dx
cos x
= −
( ) ( )
0
f x
dx cos x.f x dx cos x
= −
= −1 I1
1
I
= − I 2
= + 2
2 + =
Chọn ý B
Câu 50
Cho tích phân ( )
1
0
1 a ln bcln c
x ln x dx
x
− +
+ + =
+
,với a, b, c Tính
T a b c= + + ?
A T 13= B T 14= C T 17= D T 11=
Lời giải
Ta nhận thấy rằng biểu thức tích phân có tổng của hàm logarit hàm phân thức nên ta tách thành tích phân dạng thường gặp Một tích phân của hàm đa thức hàm logarit ta dùng tích phân từng phần, tích phân của hàm phân thức bậc bậc
Ta có ( ) ( )
1 1
1
0 0
1 x
I x ln x dx xln x dx dx I I
x x
= + + = + + = +
+ +
• Tính ( )
1
0
I =xln x dx+ Đặt ( ) 2
dx du
u ln x x 2
dv xdx v x
2
=
= + +
=
=
( )2 1
2 2
1
0
0
1
1
0 0
x x 1 x 4
I ln x dx ln dx
2 x 2 x
1 1 x
ln x dx ln 2x ln x
2 x 2 2
1 1 3
ln ln ln ln ln
2 2
− +
= + − = −
+ +
= − − + = − − + +
+
= − − + + = − + +
• Tính
1
0
x
I dx
x =
+
( )
1 1 1
2 0
0 0
x x 2
I dx dx dx x ln x 2 ln ln
x x x
+ −
= = = − = − + = − +
+ + +
(107)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
2
1
7 ln 2.7 ln I I I 4ln ln
2 4
− +
= + = − + =
Ta có a 4, b 2, c 7= = = Vậy T a b c 13= + + = + + = Chọn ý A
Câu 51
Cho hàm số f x( ) liên tục có đạo hàm cấp hai 0;1 thỏa ( )
1
x f '' x dx 12=
( ) ( )
2f −f ' = −2 Tính ( )
1
f x dx
A 10 B 14 C 8 D 5
Lời giải
Đặt
( ) ( )
2 du 2xdx
u x
v f ' x dv f '' x dx
=
=
=
=
Khi đó ( ) ( )
1
0
I x f ' x= −2x.f ' x dx
Đặt
( ) ( )
u 2x du 2dx
dv f ' x dx v f x
= =
= =
Suy ( ) ( ) ( )
1
1
0
2x.f ' x dx 2x.f x= − 2f x dx
Do đó ( ) ( ) ( ) ( )
1
0
12 f ' 1= −2f +2 f x dx f x dx 5=
Chọn ý D
Câu 52
Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) ( )
2
f ' x ln f x dx 1 =
f 1( )=1, f 2( )1 Giá trị f 2( ) bằng?
A f 2( )=2 B f 2( )=3 C f 2( )=e D f 2( )=e2
Lời giải
Đặt ( )
( )
u ln f x dv f ' x dx =
=
( ) ( ) ( )
f ' x
du dx
f x v f x
=
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1
1
f ' x ln f x dx f x ln f x f ' x dx
= −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 f ln f f ln f f f = − − −
( ) ( ) ( )
f ln f f
(108)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 53
Biết
2
e
2 e
1 ae be+c
dx
ln x ln x
+
− =
, đó a, b, c số nguyên Giá trị
2 2
a +b +c bằng?
A 5 B 3 C 4 D 9
Lời giải Xét tích phân
2
e e
1 dx ln x
Đặt u
ln x
=
1
du dx
x ln x dv dx = − =
2
2 e
e e
2 e
e e
1 dx x dx
ln x ln x ln x
= +
2
e
2 e
1 dx e 2e
ln x ln x − +
− =
Do đó a= −1; b 2; c 0= = Vậy a2 +b2+c2 =5
Chọn ý A
Câu 54
Cho hàm số f x( ) có đạo hàm thỏa mãn f 0( )=2018.và đồng thời điều kiện
( ) ( ) 2017 2018x
f ' x −2018f x =2018.x e với x Tính giá trị f ( )
A f 1( )=2019e2018 B f 1( )=2018.e−2018 C f 1( )=2018.e2018 D f 1( )=2017.e2018
Lời giải
Ta có: f ' x( )−2018f x( )=2018.x2017.e2018x f ' x( ) 2018x2018.f x( ) 2018.x2017
e −
=
( ) ( )
1
2017 2018x
0
f ' x 2018.f x
dx 2018.x dx
e −
= ( )1
Xét ( ) ( )
1
2018x
f ' x 2018.f x
I dx
e −
= ( ) 2018x ( ) 2018x
0
f ' x e− dx 2018.f x e− dx
= −
Xét ( )
1
2018x
0
I = 2018.f x e− dx
Đặt u f x( ) 2018x du f ' x dx( )2018x
dv 2018.e− dx v e−
= =
= = −
( ) ( 2018x)1 ( ) 2018x ( ) 2018x
1 0
0
I f x e− f ' x e− dx I f e− 2018
= − + = −
(109)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu 55
Cho hàm số y f x= ( ) với f 0( ) ( )=f =1 Biết ( ) ( )
1 x
e f x +f ' x dx ae b = +
Tính
2017 2017
Q a= +b
A Q 2= 2017+1 B Q 2= C Q 0= D Q 2= 2017−1
Lời giải
Đặt u f x( )x du f ' x dxx ( )
dv e dx v e
= =
= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2
x x x x
1
0 0
e f x f ' x dx e f x e f ' x dx e f ' x dx
+ = − + =ef 1( ) ( )−f = −e
Do đó a 1= , b= −1Q a= 2017+b2017 =12017 + −( )1 2017 =0 Vậy Q 0=
Chọn ý C
Câu 56
Cho hàm số f x( ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục 0; Biết f 0( )=1
( ) ( ) 2x2 4x
f x f x− =e −
với x 0;2 Tính ( ) ( )
( )
3
2
x 3x f ' x
I dx
f x − =
A I 14
3
= − B I 32
= − C I 16
= − D I 16 = −
Lời giải
Một tốn vận dung cao khó, bât ta sẽđi tìm biểu thức dv, ta dễ ràng thấy ( )
( ) ( )
f ' x
dx ln f x
f x =
, từđây ta giải tóa sau
Từ giả thiết f x f x( ) ( − )=e2x2−4xf 2( )=1 Ta có ( ) ( )
( )
3
2
x 3x f ' x
I dx
f x −
= Đặt ( )
( )
( )
( )
3
2
u x 3x du 3x 6x dx
f ' x
dv dx v ln f x
f x
= − = −
=
=
( 3 2) ( ) 2( 2 ) ( ) 2( 2 ) ( )
0
0
I x 3x ln f x 3x 6x ln f x dx x 2x ln f x dx 3J
= − − − = − − = −
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 x t
2
0
(110)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( ) ( )( )
2
2 2x 4x 2
0
32 16
x 2x ln e dx x 2x 2x 4x dx J
15 15
−
= − = − − = =
Vậy I 3J 16
5 = − = −
Chọn ý D
Câu 57
Cho biểu thức ( )
2
2
2 cot x n
4 m
S ln sin 2x e dx
+
= + −
với số thực m 0. Chọn khẳng định
đúng khẳng định sau
A S 5.= B S 9.=
C S cot 2 ln sin 2
4 m m
= +
+ +
D S tan 4 m2 ln 4 m2
= +
+ +
Lời giải Ta có ( )
2 2
2 2
2 cot x cot x cot x
4 m m m
2 sin 2x e dx e dx sin 2xe dx
+ + +
− = −
( )1
Xét ( )
2
2 2
2 2
2 cot x cot x 2 cot x 2 2 cot x
2 m
4 m m m
2
sin 2xe dx e d sin x sin x.e sin x e dx
sin x
+
+ + +
= = − −
2
2
2
2 cot x 2 cot x
4 m
4 m
sin x.e e dx
+
+
= + ( )2
Từ ( )1 ( )2 , suy
2
2 cot
2 cot x 2 4 m
2 m
I sin x.e sin e
4 m
+
+
= = − +
+
2
2cot
2 m
2 2
S ln sin e cot ln sin
4 m m m
+
= = +
+ + +
Chọn ý C
Câu 58
Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm cấp hai liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn
điều kiện x ( ) x ( ) x ( )
0e f x dx= 0e f ' x dx= 0e f '' x dx 0
Tính ( ) ( )
( ) ( )
ef ' f ' ef f
− −
A −2 B −1 C 2 D 1
(111)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 x x
0
1 x x
0
a e d f ' x e.f ' f ' e f ' x dx e.f ' f ' 2a ef ' 1 f ' 0 ef f
a e d f x e.f f e f x dx e.f f 2a
= = − − − = −
=
−
= = − − − =
Chọn ý D
Câu 59
Cho hàm số f x( ) có đạo hàm 1;e ( )= e ( ) =
1
1 f e 1; ln x.f ' x dx
2 Tính giá trị
biểu thức tích phân e ( )
1
f x dx x
A 1 B 1
4 C 2 D
1
Lời giải
Phân tích Nhận thấy tích phân của đề có xuất f ' x( ), vậy, ta có thểnghĩ đến tích phân từng phần
Ta có e ( )
1
1 ln x.f' x dx
2 =
Đặt ( )
( )
dx
u ln x du
x dv f ' x dx v f x
= =
=
= ( )
( )
e e
1
f x ln x.f x dx
2 x
= −
( ) ( ) ( )
e
f x dx ln e.f e ln 1.f 1 1 1.
x 2
= − − = − =
Chọn ý D
Câu 60
Cho hàm số f x( ) có đạo hàm
0;4 có =
f a;
4 thỏa mãn đồng thời điều
kiện ( )
=
4
0 f x dx b(a; b ).Biết ( )
= 4
0
1 tan x.f ' x dx
2 Tính ( )
=4
0
I tan x.f ' x dx theo a
b
A a b
2
− + B a b
+ − C a b
− − D a b + +
Lời giải
Đặt ( )
( )
2
dx
u tanx du
cos x dv f ' x dx v f x
= =
=
= ( ) ( )
( )
4 4
2
0
f x tan x.f ' x dx tan x.f x dx
cos x
= −
( )
f x
(112)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 61
Cho tích phân
( )
−
− =
+ + +
4
2
2 2 c
4
cos x 2x sin x dx a b
1 x 1 x dvới a,dlà số nguyên b, clà số
nguyên tố Giá trị biểu thức a b c d+ + +
A 28 B 44 C 29 D 36
Lời giải
Phân tích Thoạt tiên, nhìn tích phân trên, ta thấy khá là “cờng kềnh” nên thường nghĩ
khá khó chấp nhận chịu bó tay vừa mới đọc đề! Nhưng thực chất, cần tính một phần của tích phân “cờng kềnh” trên.
Đặt ( 2)2
2x
1 du dx
u
1 x x
dv cos xdx v sin x −
= =
+
+
=
= ( )
4
4
2
2 2
4
4
cos x sin x 2x
dx sin x dx
1 x x 1 x
− −
−
−
= −
+ + +
( )
4
2
2 2
4
cos x 2x sin x
dx dx
1 x 1 1 x
16
− −
= +
+ + +
Chuyển vế biểu thức tích phân vế phải, ta tích phân ”cồng kềnh” đề yêu cầu
( )
4
2
2 2
4
cos x 2xsin x dx 16 a b c d 36
1 x 1 x 1 16
16
−
− = = + + + =
+ + + +
Chọn ý D
Câu 62
Cho biểu thức tích phân sau
( ) ( )( )
+ +
= − + − +
+
23 2
2
x 2018 cot x x ln sin x
dx a ln ln b 2018 c 2018
x 2018
Trong đó (a; b; c ).Mệnh đềnào sau đúng?
A a b c + B a b c + C a b c= + D a2 = +b c
Lời giải
Phân tích Tương tự trên, biểu thức tích phân này khá “cờng kềnh” Nhưng ta dễ
dàng chia tích phân thành tích phân gọn và Nguyên hàm từng phần
Ta có ( )
2
2
2
3
2
3
x 2018 cot x
A dx x 2018.cot xdx
x 2018
+
= = +
+
(113)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Đặt
2 2
2
x x
du dx du dx
u x 2018 x 2018 x 2018
cos xdx
dv cot xdx dv v ln sin x
sin x
=
=
= +
+
+
=
= =
Do đó ta có
2 2
3
2 3
2
3
x
A x 2018.ln sin x ln sin x dx x 2018
= + −
+
2
3
3
3
xln sin x
A dx x 2018.ln sin x
x 2018
+ = +
+
(aln ln 2)( b 2018 c 2018) ln 3. 2018 2018
2 9
− + − + = + − +
2
1ln ln 2 2018 2018
2 9
= − + − +
Ta tìm a 1; b 4; c
2 9
= = = Kiểm tra mệnh đề, ta thấy mệnh đềB
Chọn ý B
Câu 63
Cho hàm số f x( )có đạo hàm liên tục khoảng (0;+)thỏa mãn điều kiện
( ) ( )( )2
f ' x f x =x x (0;+).Biết ( ) ( )
( )
2
1
x
f a; f b; dx c
f 2x
= = =
Tính ( )
2 f x dx
theo
a, b, c
A 4b 2a 8c+ − B 8c 2b 4a− − C 4b 2a 2c− − D 4b 2a 8c− −
Lời giải
Trước tiên, để liên kết liệu đề bài, ta sẽdùng phép đổi biến
Đặt
dy 2dx
y 2x y
x = =
=
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2 4
1 2
y
dy y
x 2 1 x
dx dy dx
f 2x f y f y f x
= = =
Có ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 x
f ' x f x x f ' x x
f x = =
Do đó ( )
4
1
c f ' x xdx
=
Đến bước nay, ta dùng nguyên hàm tích phân quen thuộc
u x= du dx=
(114)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 64
Cho hàm số f x( ) liên tục 0;+ thỏa mãn 2x.f x( )=f ' x , x( ) 0;+.Cho
( )
( )
1
0x f ' x dx 2=
f 0( )=0.Biết f 1( )0tính f ( )
A 1 B 3 C 2 D 4
Lời giải
Để liên kết liệu đề bài, ta biến đổi đẳng thức ban đầu
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ( ))2
2x.f x =f ' x 2x f x f ' x =x f ' x ( Nhân vế với xf ' x( ))
( )
( ) ( ) ( )
1 2
0
2 x f ' x dx 2x f x f ' x dx
= =
Nhận thấy (f x( )2)' 2f ' x f x = ( ) ( ) Nên ta dùng nguyên hàm phần cách đặt
( ) ( ) ( )
2
2
du 2xdx u x
dv 2f ' x f x dx v f x = =
= =
Do đó ( ) ( ) ( )2 1 ( )2
0 0
2= 2x f x f ' x dx x f x= − 2x.f x dx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 2
02x.f x dx f 0f x f ' x dx f
= − = − ( )* (Vì f ' x( )=2xf x( ))
Đặt f x( )= y dy f ' x dx= ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
f
2
1 f
0
0
f y
f x f ' x dx ydy
2
= = =
Thay vào ( )* ta ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
f
f f f
2 = − = =
Chọn ý C
Câu 65
Hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn đồng thời điều kiện
( ) e ( ) e ( ) 1( x ) ( )
1
1
f 0; f ln x dx 1; f x dx ; e 2x f ' x dx e
= = = + = Tính f ( )
A 1 B e C 0 D 2
Lời giải
Đặt
( ) ( )( )
x
x du e 2 dx
u e 2x
dv f ' x dx v f x = + = +
=
=
( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )
1 x x x
0 0
e e 2x f ' x dx e 2x f x e f x dx
= + = + − +
( ) ( ) ( x ( ) ( ) ) ( ) ( ) x ( )
0 0
e e f e f x dx f x dx e f 1 e f x dx
= + − + = + − − ( )*
Đặt
x x dy e dx
y e
x ln y
=
=
=
( ) ( )
1 x e
0e f x dx f lny dy
(115)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Chọn ý A
Câu 66
Cho f x( ) liên tục có đạo hàm 0;
2
f a a( );
=
f 0( )=0;
( ) ( ( )) ( )
2
0
3
f x sin 2xdx a ; sin x f x f ' x dx
2
= − + =
Giá trị a là?
A −1 B
2
− C 1 D 1
2
Lời giải
Nhận thấy, tích phân xuất f ' x( ) nên theo tự nhiên, ta dùng Nguyên hàm phần cách đặt ( )
( ) ( )( ( ))
2 du 2 sin x cos x f ' x dx
u sin x f x
dv f ' x dx v f x
= + = +
= =
( )
( ) ( ) ( ( )) ( )2 ( ( )) ( )
2
0 sin x f x f ' x dx sin x f x f x 0 sin x cos x f ' x f x dx
+ = + − +
( ) ( ) ( ) ( )
0
1
1 a a sin 2x.f x dx f x f ' x dx
= + − −
( ) ( ) 2
0
3
f x f ' x dx a a a
2
= + − − −
( )2
0
f x a a
2
= − +
2
2
a a 1
a 4a 4a a
2
= − + − + = =
Chọn ý D
Câu 67
Cho n
n 0
I sin xdx
= với n nguyên dương Tính n
n
I
lim
I +
A −1 B 1 C 2 D +
Lời giải Xét n 2 n
n 0 0
I sin xdx sin x.sin xdx
+ +
+ = =
Đặt ( )
n
n du n sin x.cosxdx
u sin x
dv sin xdx v cos x
+
= = +
=
= −
(116)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
(n I) n 2+ (n I) n
+ = + n
n
I n
I n
+ +
=
+
n n
I n
lim lim
I n
+ +
= =
+
Chọn ý B
Câu 68
Với sốnguyên dương n ta kí hiệu ( )
1 n
2
n
I =x x− dx Tính n
n n
I lim
I +
→+
A 1 B 2 C 3 D 5
Lời giải Cách 1. Tự luận
Xét ( )
1 n
2
n
I =x x− dx Đặt
( 2)n
u x
dv x x dx
=
= −
( ( ))
n
du dx x v
2 n + =
− −
=
+
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 n
2 1
n n
2
n
0
0
x x 1 1
I x dx x dx
n n n
+
+ +
− −
= + − = −
+ + +
( ) ( )( )
1 n 1
2
n
0
1
I x x dx
2 n
+ +
= − −
+ ( ) ( ) ( )
1 n 1 n 1
2 2
n
0
1
I x dx x x dx
2 n
+ +
+
= − − −
+
( ) ( )
n n n
1
I n I I
2 n
+ +
= + −
+ n n n
n n
I 2n I
lim
I 2n I
+ +
→+ +
= =
+
Cách 2. Trắc nghiệm
Ta thấy 0(1−x2)1 với x 0;1 , nên
( ) ( ) ( ) ( )
1 n 1 n n
2 2 2 2
n
0 0
n
I + =x x− + dx=x x− x dx− x x− dx I= ,
Suy n
n
I I
+ , nên n n
I
im
l I
+ Dựa vào đáp án, ta chọn A
Chọn ý A
Nhận xét Qua câu 38,39 ta sẽ được giới thiệu qua dạng tích phân mới là tích phân truy
(117)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu 69
Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1( )=0, ( )
1
2
f ' x dx 7=
và ( )
1
1 x f x dx
3 =
Tích phân ( )
1
f x dx
bằng?
A 7
5 B 1 C
7
4 D 4
Đề tham khảo BGD năm 2017-2018 Lời giải
Phân tích Đây là trào lưu gây bão năm 2018 và chắn không muốn nhìn lại kì thi năm này phải khơng nào, là câu bất đẳng thức tích phân mà lần đầu tiên Bộ phù hợp hóa từchương trình toán cao cấp x́ng kì thi THPT Q́c Gia, phần
này giới thiệu, bạn ḿn tìm hiểu sâu ta tìm hiểu phần sau nhé!
Cách 1.Tính ( )
1
x f x dx
Đặt ( )
( )
3
du f ' x dx u f x
x
dv x dx v
3 = =
= =
Ta có ( ) ( ) ( )
1
1
2
0 0
x f x
x f x dx x f ' x dx
3
= −
( ) ( ) ( ) ( )
0
1.f 0.f 1
x f ' x dx x f x dx
3 3
−
= − = −
Mà ( )
1
1 x f x dx
3 =
( ) ( )
0
1
x f ' x dx x f ' x dx
3
− = = −
Ta có ( )
1
2
f ' x dx 7=
( )1
•
1
1
6
0
x
x dx
7
= =
0
1
49x dx 49
7
= = ( )2
• ( ) ( )
0
x f ' x dx= − 1 14x f ' x dx= −14
( )3
Cộng hai vế ( ) ( ) ( )1 , , suy ( ) ( )
1 1
2 6 3
0 0
f ' x dx+ 49x dx+ 14x f ' x dx 7 14 0= + − =
( ) ( )
( )
1
2 3 6
0
f ' x 14x f ' x 49x dx
+ + = ( )
f ' x 7x dx
+ = Do f ' x( )+7x32 0 ( )
1
2
f ' x 7x dx
(118)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Vậy ( )
1
1
0 0
7x 7x 7
f x dx dx x
4 20
= − + = − + =
Cách 2.Tương tựnhư ta có: ( )
1
x f ' x dx= −1
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 1
2 2
3
0 0 0
1
7 x f ' x dx x dx f ' x dx f ' x dx f ' x dx
7
= = =
Dấu xảy f ' x( )=ax3, với a Ta có ( )
1
1
3 3
0 0
ax
x f ' x dx x ax dx 1 a 7
= − = − = − = −
Suy ( ) ( )
4
3 7x
f ' x 7x f x C
4
= − = − + , mà f 1( )=0 nên C
4 =
Do đó f x( ) 7(1 x4) x
4
= − Vậy ( )
1
0
1
7x 7x 7
f x dx dx x
0
4 20
= − + = − + =
Chú ý Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f x( ) g x( ) liên tục đoạn a; b
Khi đó, ta có ( ) ( ) ( ) ( )
2
b b b
2
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Chứng minh
Trước hết ta có tính chất
• Nếu hàm số h x( ) liên tục khơng âm đoạn a; b ( )
b a
h x dx 0
Xét tam thức bậc hai f x( ) ( )+g x 2 = 2 2f x( )+ 2 f x g x( ) ( )+g x2( )0, với Lấy tích phân hai vếtrên đoạn a; b ta
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
2 2
a a a
f x dx f x g x dx g x dx
+ + , với ( )* Coi ( )* tam thức bậc hai theo biến nên ta có
( ) ( ) ( )
2
b b b
2 2
a a a
f x dx f x dx g x dx
−
( ) ( ) ( )
2
b b b
2 2
a a a
f x dx f x dx g x dx
(119)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu 70
Cho tích phân ( )
0
a
x ln x dx ln c
b
+ = −
với a,b,c sốnguyên dương a
b phân
số tối giản Tính giá trị a b c+ + ?
A 18 B 19 C 20 D 21
Lời giải
Đặt ( )
2 2
4
2x
du dx
u ln x x 1
x
dv x dx v
4
=
= +
+
=
=
( ) ( )
2
4 5
2 3 2
2
0
0
x ln x 1 x
2 x ln dx dx
4 x
x +
+ = −
+
( )( ) ( )
2 3
2
0 0
2
4 2
2 0
x x x x
1 1 x
4 ln dx ln x x dx dx
2 x 2 x
1 x x 1 15
4 ln ln x ln ln ln
2 4 4
a 15, b 4, c a b c 20
+ − +
= − = − − −
+ +
= − − − + = − − = −
= = = + + =
Chọn ý C
Câu 71
Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn f x( )+f ' x( )=1 Biết f 1( )=1 f 0( )=0, tính giá trị tích phân 2x ( )
0
I= e f x dx
A e2
2 +
B − −e2 1 C e
2 −
D e
Lời giải
Xét tích phân ( ) ( ( )) ( )
1 2x
1 2x 2x 2x
0 0
0
e
I e f x dx e f ' x dx e f ' x dx
= = − = − e2 J
2 −
= −
Xét tích phân 2x ( )
0
J= e f ' x dx, đặt
( ) ( )
2x 2x
u e du 2e
dv f ' x dx v f x
= =
= =
( ) ( ) ( )
2x 2x 2
0
1 e e
J e f x e f x dx e 2I I e 2I I
2
− +
= − = − = − − =
Câu 72
(120)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Biến đổi giả thiết ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0
f x =f x f ' x − 1 f x + =1 f x f ' x =I f ' x f x +1dx
Đặt ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
f x f ' x
du dx
u
2 dv f d
f x
f
x x
x
v
1 '
f x +
=
=
+
=
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 0
2
f x f ' x
f x
f x
1
I f x dx
1
2
+
+
= − = − −
Câu 73
Cho nguyên hàm F x( ) cos x sin 2x ln tan x dx( )
4 −
= − +
Biết giá trị biểu thức
F ln
4
= −
Tính ( ( ) )
2016
S= F −1 ?
A 1 B 5 C 2 D 0
Lời giải
Đặt ( )
( ) 2
1
ln tan x u dx du
cos x tan x
cos x sin 2x dx dv sin x cos x sin x v
+ =
=
+
− =
− + =
2
2
1 . dx du
cos x tan x sinxcosx cos x v
=
+
+ =
( ) ( )( ) ( )
2
1
F x ln tan x sin x cos x sin x sin x cos x cos x dx
cos x tan x
= + − + − +
+
( )
ln I
= F ln c c
4
= − − =
( ) ( ( ) )
2016
F 0 S F 1
= = − =
Chọn ý A
Câu 74
Biết ( ) ( ) ( )
e
f ln x dx= −f e f 0+ +2
( )
1
f ' x dx e 1= −
Tính giá trị tích phân ( ) ( )
1
I=xf x f ' x dx
A 1 B
2 −
C −1 D 1
2
(121)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Đặt ( ) ( ) 2( )
du dx u x
f x dv f x f ' x dx v
2 = =
=
=
( )1 ( ) ( )
2 1
2
0
0
x.f x 1
I f x dx f x dx
2 2
= − = −
Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e e
e
1
1
u f ln x du f ' ln x dx f ln x dx f ln x x x f ' ln x dx1 x
x
dx dv x v
=
=
= −
=
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
f e f f f f e f f e
= − − + = − = −
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
f e f f e e f f f f
e
− + + = − − + = + =
−
Mặt khác ta có ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 0
e 1− =f ' x dx f x= =f −f
( ) ( ) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))
2
f f f f f f
− = − + =
( )1 ( ) ( )
2 2
0
1 1 1
I f x f f
2 2 2
−
= − = − − = Chọn ý B
Câu 75
Biết ( ) ( )
2
f x f ' x
I dx
x 16
= = , ( )
2
169 f x dx
48 = −
Tính giá trị f 3( ) ?
A −27 B 25 C −1 D −15
Lời giải Xét tích phân ( ) ( )
2
f x f ' x
I dx
x 16
= =
Đặt
( ) ( ) ( )
2
1
1 du dx
u x
x
f x dv f x f ' x dx v
2 = −
=
= =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
1 1
1
f x 1 f x 1 f x f x
I dx dx dx
2 x x x x
= + = − =
Mặt khác ta lại có
2
(122)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Chọn ý A
Câu 76
Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn f ' x cos x f x sin x sin x( ) + ( ) = Tính tích phân
( ) ( )
( )
2
0 f x f '' x cos xdx
+
?
A 1 B 2 C D 2
Lời giải Xét tích phân ( )
0
I f '' x cos xdx
= Đặt u cos x( ) du ( )sin xdx
dv f '' x dx v f ' x = −
=
= =
( ) 2 ( )
0
I f ' x cos x f ' x sin xdx
= +
Đặt
( ) ( )
u sin x du cos xdx f ' x dx dv v f x
= =
= =
( ) ( ) ( )
2 2
0
0 f ' x sin xdx f x sin x f x cos xdx
= −
( ) ( )
( )
2 2
0 f x f '' x cos xdx sin x
+ =
=
(123)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
au chương nguyên hàm tích phân hàm phân thức hữu tỷ phương pháp phần tiếp tục tìm hiểu dạng tốn ngun hàm tích phân tiếp
theo ngun hàm –tích phân lượng giác Để làm tốt toán nguyên hàm –tích phân hàm lượng giác ta cần nắm biến đổi hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ t tanx
2
= ,… •
( ) ( ) ( ) (( ) () ( ))
sin x a x b 1 .
sin x a sin x b sin a b sin x a sin x b
+ − +
=
+ + − + +
•
( )
2
1 . asin x b cos x+ = a +b sin x+ •
( )
2 2
1 1
1 cos x asin x b cos x+ a +b = a +b +
• sin x cos x A asin x b cos x c '( ) B
asin x b cos x c asin x b cos x c asin x b cos x c
+ +
+ +
= +
+ + + + + +
• 2 2 2 12
asin x bsin x cos x cos x a tan x b tan x c cos x+ + = + + •
( ) (( ))
2 2
2 2 2 2
A a sin x b cos x ' sin x cos x
a sin x b cos x a sin x b cos x
+ =
+ +
Đặc biệt cận tích phân đối, bù, phụ đặt tương ứng t x, t x, t x
2
= − = − = − Tích phân liên kết, đểtính I đặt thêm J mà việc tính tích phân I J+ I J− I kJ+ I mJ− dễ
dàng lợi Tích phân truy hồi In theo In 1− hay In 2− sin x, cos xn n tách lũy thừa dùng phương pháp tích phân phần tan x, cot xn n tách lũy thừa dùng
phương pháp tích phân đổi biến số Ngoài ta cần phải nhớ: Nếu hàm số f x( ) liên tục đoạn a; b thì:
S
CH
ƯƠ
NG
3 NGUYÊN HÀM – TÍCH
(124)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
• b ( ) b ( )
a a
P x sin xdx, P x cos xdx
: đặt u P x , v' sin= ( ) = cos x
• ( )
0
R x,sin x, cos x dx
: đặt x t
2
= −
• ( )
0
R x,sin x, cos x dx
: đặt x= −t
• ( )
0
R x,sin x, cos x dx
: đặt x 2= −t
• b ( )
a
R sin x, cos x dx
: đặt t tan ,x
2
= đặc biệt: Nếu R(−sin x, cos x)= −R sin x, cos x( ) đặt t cos x= Nếu R sin x, cos x( − )= −R sin x, cos x( ) đặt t sin x=
Nếu R(−sin x, cos x− )= −R sin x, cos x( ) đặt t tan x, cot x=
Để tìm hiểu sâu ta sẽcùng vào dạng tốn cụ thể
CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP
1 CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng Tính tích phân tổng quát sau I1 =(sin x dx;I)n 2(cos x dx)n
• Ta ý công thức hạ bậc sau
2 cos 2x cos 2x sin 3x 3sin x cos 3x 3cos x
sin x ;cos x ;sin x ;cos x
2 4
− + − + +
= = = =
• Phương pháp
1 Nếu n chẵn n 3= ta sử dụng cơng thức hạ bậc triệt để
2 Nếu n lẻ lớn ta sử dụng phép biến đổi sau
+ Với I1 (sin x dx)n (sin x)2p 1dx (sin x)2psin xdx (1 cos x d cos x2 )p ( )
+
= = = = − −
( ) ( ) ( ) ( )
( 0 1 2 k k 2 k p p 2 p) ( )
p p p p
L C C cos x C cos x C cos x d cos x
= − − ++ − ++ −
( )k ( ) ( )p ( )
2k p 2p
0 k
p p p p
1
1
C cos x C cos x C cos x C cos x C
3 2k 2p
+ +
− −
= − − ++ ++ +
+ +
+ Với I2 =(cos x dx)n =(cos x)2p 1+ dx=(cos x)2pcos xdx=(1 sin x d sin x− )p ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 0 1 2 k k 2 k p p 2 p) ( )
p p p p
C C sin x C sin x C sin x d sin x
= − ++ − ++ −
( )k ( ) ( )p ( )
2k p 2p
0 1 k
C sin x C sin x C sin x + C sin x + C
− −
(125)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Nhìn chung dạng tốn khơng khó, khó phép biến đổi tương đối dài cồng kềnh ,và mấu chốt hạ bậc để đưa nguyên hàm Sau
ta tìm hiểu ví dụ phần này!
Câu
Tìm nguyên hàm sau
a) I=cos xdx6 c) I=(cos 2x dx)13 b) I=(sin 5x dx)9 d) I=(3 cos x dx+ )5
Lời giải
a) Ta có ( )
3
6 cos 2x
I cos xdx cos x dx dx
2
+
= = =
( ) ( )
( )
( )
3 2 3
1 1 cos 2x dx 1 cos 2x cos 2x cos 2x dx
4
3 cos 4x
1 cos 3x cos x
1 cos 2x dx
4
1 7 12 cos 2x 12 cos 4x cos 3x cos x dx 16
1 7x sin 2x 3sin 4x 1sin 3x 3sin x C
16
= + = + + +
+
+
= + + +
= + + + +
= + + + + +
b) Ta có I (sin 5x dx)9 (sin 5x) (8 sin 5x dx) (1 cos 5x d cos 5x2 )4 ( )
5
= = = − −
( ) ( )
3
1 1 cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x d cos 5x
1 cos 5x 4cos 5x 6cos 5x 4cos 5x 1cos 5x C 5
= − − + − +
= − − + − + +
c) Ta có I (cos 2x dx)13 (cos 2x)12cos 2xdx (1 sin 2x d sin 2x2 )6 ( )
2
= = = −
( 10 12 ) ( )
3 11 13
1
1 6sin 2x 15sin 2x 20sin 2x 15sin 2x 6sin 2x sin 2x d sin 2x
1 sin 2x sin 2x 3sin 2x 20sin 2x 5sin 2x sin 2x sin 2x C
2 11 13
= − + − + − +
= − + − + − + +
d) Có I=(3 cos x dx+ )5 =(35+5.3 cos x 10.3 cos x 10.3 cos x 5.3cos x cos x dx4 + + + + )
( ) 45( ) 15( )2 5
243 405 cos x 135 cos 2x cos 3x cos x cos 2x cos x dx
(126)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( ) ( ) ( )
4
2
1557 945cos x 150 cos 2x 45cos 3x 15cos 4x cos x cos xdx
4 2
1 1557 1890 cos x 600 cos 2x 90 cos 3x 15cos 4x dx 1 sin dx
x d sin x
= + + + + +
=
+ + + + + −
( ) ( )
3
1 15
1557x 1890 sin x 300 sin 2x 30 sin 3x sin 4x sin x sin x d sin x
4
1 15
1557x 1894 sin x 300 sin 2x 30 sin 3x sin 4x sin x sin x C
4
= + + + + + − +
= + + + + − + +
Tóm lại Qua ví dụtrên ta phần nắm dạng toán này, riêng ví dụ4 ta sử dụng
tới công thức khai triển hệ số Newton để khai biểu thức dấu nguyên hàm bước cịn lại biến đổi thơng thường
Dạng Đôi làm tính tích phân ta bắt gặp tốn liên tuan tới tích biểu thức sin x, cos x ta sử dụng cơng thức biến tích thành tổng để
giải tốn Sau cơng thức cần nhớ • I (cosmx cos nx dx)( ) (cos m n x cos m n x dx( ) ( ) )
2
= = − + +
• I (sin mx sin nx dx)( ) (cos(m n)x cos m n x dx( ) )
= = − − +
• I (sin mx cos nx dx)( ) (sin m n x sin m n x dx( ) ( ) )
= = + + −
• I (cosmx sin nx dx)( ) (sin m n x sin m n x dx( ) ( ) )
= = + − −
Nhìn chung dạng toán bản, sau ta tìm hiểu tốn
Câu
Tìm nguyên hàm sau
a) I=(cos x sin 8xdx)3 b) I=(cos 2x dx)13
Lời giải
a) Ta có I (cos x sin 8xdx)3 (3cos x cos 3x)sin 8xdx
4
+
= =
( ) ( ) ( )
1
3 cos x sin 8x cos 3x sin 8x dx sin 9x sin 7x sin 11x sin 5x dx
4 2
1 3 1
cos 9x cos7x cos 11x cos 5x C
8 11
= + = + + +
= − + + + +
b) Ta có I (sin x) (4 sin 3x cos10x dx)( ) (1 cos 2x) (2 sin 13x sin 7x dx)
8
(127)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
( )( )
( )
( )( )
2
1
1 cos 2x cos 2x sin 13x sin 7x dx
1 cos 4x
1 cos 2x sin 13x sin 7x dx
8
1 3 cos 2x cos 4x sin 13x sin 7x dx 16
= − + +
+
= − + +
= − + +
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
(
( )
1
3 sin 13x sin 7x cos 2x sin 13x sin 7x cos 4x sin 13x sin 7x dx
1 3 sin 13x sin 7x 2 sin 15x sin 11x sin 9x sin 5x
1 sin 17x sin 9x sin 11x sin 3x dx
= + − + + +
= + − + + + +
+ + + +
Dạng Tính tích phân tổng quát sau I=sin x cos xdxm n
• Trường hợp Nếu m, n số nguyên
+ Nếu m n chẵn dùng cơng thức hạ bậc biến tích thành tổng + Nếu m chẵn n lẻ ta biến đổi
( ) (m )2p ( ) (n )2p ( )m( 2 )p ( )
I= sin x cos x + dx= sin x cos x cos xdx= sin x sin x d sin x−
( )m( 0 1 2 ( )k k( 2 )k ( )p p( 2 )p) ( )
p p p p
sin x C C sin x C sin x C sin x d sin x
= − ++ − ++ −
( )m ( )m ( ) ( )2k m ( ) ( )2p m
k p p
0 k
p p p p
sin x sin x sin x sin x
C C C C C
m m 2k m 2p m
− + + + + +
= − ++ − ++ − +
+ + + + + +
+ Nếu m lẻ n chẵn ta biến đổi tương tựnhư trường hợp
+ Nếu m lẻ n lẻ dùng ta tách biểu thức cosxhoặc sin x để đưa vào
trong dấu vi phân
• Trường hợp Nếu m, n số hữu tỷ
Trong trường hợp ta đặt u sin x= tùy theo trường hợp ta biến đổi
đểđưa vềbài tốn Ta tìm hiểu kỹ thuật qua toán
Sau tìm hiểu ví dụ cụ thể!
Câu
Tìm nguyên hàm sau
a) I=(sin x) (2 cos x dx)4 c) I=(sin 5x) (9 cos 5x)111dx
(128)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( )( ) ( )
( )
( )
1
1 cos 4x cos 2x dx cos 2x cos 4x cos 2x cos 4x dx
16 16
1
1 cos 2x cos 4x cos 6x cos 2x dx
16
1 sin 2x sin 4x sin 6x
2 cos 2x cos 4x cos 6x dx 2x C
32 32 2
= − + = + − −
= + − − +
= + − − = + − − +
b) Ta có I=(sin 3x) (10 cos 3x dx)5 =(sin 3x) (10 cos 3x cos 3xdx)4
( )10( 2 )2 ( ) ( )10( 2 4 ) ( )
1 sin 3x 1 sin 3x d sin 3x sin 3x 1 sin 3x sin 3x d sin 3x
3
= − = − +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 10 12 14
0
1 sin 3x 2 sin 3x sin 3x d sin 3x
= − +
( )11 ( )13 ( )15
sin 3x sin 3x sin 3x
1 C
3 11 13 15
= − + +
c) Ta có I=(sin 5x) (9 cos 5x)111dx=(cos 5x) (111 sin 5x sin 5xdx)8
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
111
111 2 4 6 8
112 114 116 118 120
1 cos 5x 1 cos 5x d cos 5x
1 cos 5x 1 cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x d cos 5x
cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x
1 C
5 112 114 116 118 120
−
= −
= − − + − +
= − − + − + +
d) Ta có ( ) ( ) ( )
7 1
6
5
sin 3x
I dx cos 3x sin 3x sin 3xdx cos 3x
−
= =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4 3
2
4
2
5
1 11 21 31
5 5
1 cos 3x 1 cos 3x d cos 3x
1 cos 3x 1 cos 3x cos 3x cos 3x d cos 3x
1 5 cos 3x 15 cos 3x 15 cos 3x cos 3x C
3 11 21 31
−
− −
= −
−
= − + −
−
= − + − +
Dạng Tính tích phân tổng quát sau I1 =(tan x dx;I)n 2 =(cot x dx n)n ( )
Trong toán ta cần ý tới cơng thức sau
• tan xdx sin xdx d cos x( ) ln cos x C cos x cos x
= = − = − +
• cot xdx cos xdx d sin x( ) ln sin x c sin x sin x
= = = +
• ( ) ( )
2
dx
1 tan x dx d tan x tan x C
cos x
+ = = = +
• ( ) ( )
2
dx
1 cot x dx+ = − = − d cot x = − cot x C+
(129)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Để làm tốn tính (tan x dx)n ta cần cố gắng tách dạng tan x tan x 1m ( + ) đến cuối đểđưa vềbài toán
Sau tìm hiểu ví dụ minh họa để hiểu rõ toán
Câu
Tìm nguyên hàm sau
a) I=(tan x dx)8 c) I=(cot x dx)12
b) I=(tan 2x)13dx d) I=(cot 4x dx)9 e) I=(tan x cot x dx+ )5
Lời giải
a) Ta có I=(tan x dx)8
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( tan x 1 tan x2 tan x 1 tan x2 tan x 1 tan x2 tan x 1 tan x2 1 dx)
= + − + + + − + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
6
7
tan x tan x tan x tan x d tan x dx tan x tan x tan x tan x x C
7
= − + − +
= − + − + +
b) Ta có I=(cot x dx)12
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( cot x 10 1 cot x2 cot x 1 cot x2 cot x 1 cot x2
= + − + + +
(cot x)4(1 cot x2 ) (cot x)2(1 cot x2 ) (cot x)0(1 cot x2 ) 1 dx)
− + + + − + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10
11
cot x cot x cot x cot x cot x cot x d cot x dx cot x cot x cot x cot x cot x cot x x C
11 5
= − − + − + − +
= − − + − + − + +
c) Ta có I=(tan 2x)13dx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
11 2 2 2
5 2 2 2
11
12 10
1 tan 2x tan 2x tan 2x
1 tan 2x tan 2x tan 2x tan 2x
tan 2x tan 2x tan 2x
tan 2x tan 2x
tan 2x tan 2x tan 2x tan 2x tan 2x tan 2x
tan 2x dx
1 tg 2x d tan
tan 2x tan 2x ta
2xdx
1
2 12 10
n 2x
= + − + + +
− + + + − + +
= − + − + − +
= − +
( ) (6 ) (4 )2
tan 2x tan 2x tan 2x
ln cos 2x C
6
− + − − +
(130)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 2
7
8
cot 4x cot 4x cot 4x cot 4x dx cot 4x
1 cot 4x cot 4x cot 4x cot 4x d cot 4x cot 4xdx
cot 4x cot 4x cot 4x cot 4x
1 1ln sin 4x C
4 4
+ + − + +
= − − + − +
−
= − + − + +
e) Ta có I=(tan x cot x dx+ )5 =(tan x)5+5 tan x cot x 10 tan x( )4 + ( ) (3 cot x)2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
5 3
5
3 2 2
3
10 tan x cot x tg x cot x cot x dx
tan x cot x tan x cot x 10 tan x 10 cot x dx tan x tan x 10 tan x dx cot x cot x 10 cot x dx tan x tan x tan x tan x tan x dx
cot x
+ + +
= + + + + +
= + + + + +
= + + + +
+ +
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) (( ) ) ( )
2
3
cot x cot x cot x cot x dx
tan x tan x d tan x tan xdx cot x cot x d cot x cot xdx
+ + +
= + + − + +
( )4 ( )4
2
tan x cot x
2 tan x 6ln cos x cot x 6ln sin x C
4
= + − − − + +
Tóm lại Qua ví dụ trên ta phần hiểu phương pháp làm tập dạng toán
này, mấu chốt đưa về nguyên hàm tích phân hàm đa thức qua phép biến đổi thêm bớt,
đồng thời cần áp dụng linh hoạt công thức khai triển hệ thức Newton để giải toán dễ dàng Về phần tập luyện tập có lẽ khơng cần thêm bạn bịa tốn
tương tự với mẫu!
Dạng Tính tích phân tổng quát sau ( )
( )
( )
( ) m m
n n
cotg x tan x
I dx,I dx
cos x sin x
= =
Ta xét dạng ( )
( ) m n
tan x
I dx
cos x
= dạng tương tự
• Trường hợp Nếu n chẵn ta biến đổi sau
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m k
k
m m
n 2
tan x dx
I dx tan x tan x tan x d tan x
cos x cos x cos x
−
−
= = = +
( )m( 0 1 ( 2 )1 p ( 2 )p k 1( 2 )k 1) ( )
k k k k
tan x C C tan x C tan x C − tan x − d tan x
− − − −
= + ++ ++
( )m ( )m ( )m 2p ( )m 2k
p
0 k
k k k k
tan x tan x tan x tan x
C C C C C
m m m 2p m 2k
+ + + + + −
−
− − − −
= + ++ ++ +
+ + + + + −
• Trường hợp Nếu m n lẻ ta biến đổi sau
( )2k ( ) 2h ( ) 2h
k 2k
tan x + tan x sin x
(131)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
( )
k 2h
k
2 2h
2
1 1 d u 1 u du u cos x cos x cos x cos x
= − = − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( k k p p k p k )
2h 2 k
k k k k
u C u C u − C u − C du
= − ++ − ++ −
( ) 2k 2h 2p ( )
2k 2h 2k 2h 2h
p p k
0 k
k k k k
u u u u
C C C C C
2k 2h 2k 2h 2k 2h 2p 2h
+ − +
+ + + − +
= − ++ − ++ − +
+ + + − + − + +
• Trường hợp Nếu m chẵn n lẻ ta biến đổi sau
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2k 2k 2k
2h k h 2 k h
sin x cos x (sin x)
I dx dx d sin x
cos x cos x
ta x
sin x n
+ + + + +
= = =
−
Đặt u sin x= ta có
( ) ( () ) ( ) ( )
2k 2
2k 2k 2k
k h k h k h k h
2 2
u 1 u
u du u du u du
I du
1 u u u u
− − −
+ + + + + + +
− −
= = = −
− − − −
Hệ thức hệ thức truy hồi bạn tham khảo phần sau, tính I Nhìn chung tốn mang tính tổng qt có lẽ nhìn vào lời giải tổng quát
đó ta thấy thật lằng nhằng phức tạp, vào ví dụ cụ thể ta thấy cách làm dạng toán dễ Sau ta sẽđi vào minh họa
Câu
Tìm nguyên hàm sau
a) ( )
( ) 10
8
cot 5x
I dx
sin 5x
= c) ( )
( ) 41
cot 3x
I dx
sin 3x
=
b) ( )
( )
7 95
tan 4x
I dx
cos 4x
= d) ( )
( )
7
tan 3x
I dx
cos 3x
=
Lời giải
a) Ta có ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 10
10
8 2
cot 5x dx
I dx cot 5x
sin 5x sin 5x sin 5x
= =
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
10 2
10
11 13 15 17
1 cot 5x 1 cot 5x d cot 5x
1
cot 5x cot 5x cot 5x cot 5x d cot 5x
cot 5x cot 5x cot 5x cot 5x
1 3 3 C
5 11 13 15 17
= − +
= − + + +
= − + + + +
(132)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( ) ( )
( )
3 94
3 94 2
101 99 97 95
94
1 1 1
1 d u u du
4 cos 4x cos 4x cos 4x
1 u u u u
u u 3u 3u du 3 C
4 101 99 97 95
= − = −
= − + − = − + − +
c) Ta có ( )
( ) ( )
9 40
8 41
cot 3x cot 3x
I dx cot 3x dx
sin 3x sin 3x sin 3x
= =
( )
( )
4 40
4 40 2
49 47 45 43 41
4
40
1 1 d 1 u u 1 du
3 sin x sin 3x sin 3x
1 u u 4u 6u 4u 1 du u 4u 6u 4u u C
3 49 47 45 43 41
= − − = − −
= − − + − + = − − + − + +
d) Ta có ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
7 2
2
1 dx
I tan 3x tan 3x tan 3x d tan 3x
3 cos 3x cos 3x
= = +
( )7 ( ) (2 )4 ( ) (tan 3x)8 (tan 3x)10 (tan 3x)12
1
tan 3x tan 3x tan 3x d tan 3x C
3 10 10
= + + = + + +
Tóm lại Qua ví dụ ta thấy đó, mấu chốt cơng thức lượng giác phân tích hợp lý,
này phần hướng dẫn có đầy đủ Tương tự phần trước tập tự luyện có lẽ khơng cần vì bạn tựnghĩ câu để làm Ta chuyển tiếp sang phần sau!
2 CÁC DẠNG TOÁN BIẾN ĐỔI NÂNG CAO
Các tốn ngun hàm tích phân lượng giác phong phú khơng dừng lại dạng toán bên Ở phần ta tìm hiểu dạng tốn nâng cao hơn, với phép biến đổi phức tạp Sau vào dạng toán cụ
thể!
Dạng Xét tích phân tổng quát
( dx) ( )
I
sin x a sin x b
=
+ +
1 PHƯƠNG PHÁP.
Dùng đồng thức:
( )
( ) sin x a( () (x b) ) ( ) ( )( )( ) ( )
sin a b sin x a cos x b cos x a sin x b
sin a b sin a b sin a b
+ − +
− + + − + +
= = =
− − −
Từđó suy I (1 ) sin x a cos x b( ) (( )) (cos x a sin x b( )) ( )dx
sin a b sin x a sin x b
+ + − + +
=
− + +
(1 ) cos x b(( )) cos x a(( )) dx
sin a b sin x b sin x a
+ +
= −
− + +
(133)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
2 CHÚ Ý
Với cách này, ta có thểtìm ngun hàm:
•
( dx) ( )
J
cos x a cos x b
=
+ +
cách dùng đồng thức ( )
( )
sin a b
sin a b
− =
− •
( dx) ( )
K
sin x a cos x b
=
+ +
cách dùng đồngnhất thức ( )
( )
cos a b
cos a b
− =
−
Sau ví dụ minh họa cho toán
Câu
Tính tích phân sau a) I dx
sin x sin x
=
+
b) I dx
cos 3x cos 3x
=
+
c)I dx
sin x cos x
3 12
=
+ +
Lời giải
Tính nguyên hàm, tích phân sau:
a) Ta có
sin x x sin 6
6
1 sin x cos x cos x sin x
1 6
sin
6
+ −
= = = + − +
sin x cos x cos x sin x cos x 6 cos x
I dx dx
sin x
sin xsin x sin x
6
+ − + +
= = −
+ +
( ) d sin x
d sin x sin x
2 2 ln C sin x sin x sin x
6
+
= − = +
+ +
b) Ta có
sin 3x 3x sin 6
6
1 1 sin 3x cos 3x cos 3x sin 3x
6
sin
6
+ −
= = = + − +
sin 3x cos 3x cos 3x sin 3x sin 3x
6 6 sin 3x
+ − + +
(134)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( )
d cos 3x
d cos 3x
2 2 cos 3x
ln C cos 3x cos 3x cos 3x
6
+
= − + = +
+ +
c) Ta có
cos x x cos 3 12
4
2 cos
4 2
+ − +
= =
2 cos x cos x sin x sin x 12 12
= + + + + +
cos x cos x sin x sin x 12 12
I dx
sin x cos x 12
+ + + + +
=
+ +
cos x sin x 12 dx dx
sin x cos x 12
+ +
= +
+ +
d sin x d cos x sin x
3 12
2 2 ln C
sin x cos x cos x
3 12 12
+ + +
= − = +
+ + +
Dạng Xét tích phân tổng quát I=tan x a tan x b dx( + ) ( + )
1 PHƯƠNG PHÁP.
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
sin x a sin x b tan x a tan x b
cos x a cos x b
+ +
+ + =
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( () () )
sin x a sin x b cos x a cos x b cos a b
1
cos x a cos x b cos x a cos x b
+ + + + + −
= − = −
+ + + +
Từđó suy ( )
( dx) ( )
I cos a b cos x a cos x b
= − −
+ +
Đến ta gặp tốn tìm ngun hàm ởDạng 1.
2 CHÚ Ý
Với cách này, ta có thểtính ngun hàm:
• J=cot x a cot x b dx( + ) ( + ) • K=tan x a tan x b dx( + ) ( + )
(135)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu
Tính tích phân sau
a) I cot x cot x dx
3
= + +
b) K tan x cot x dx
3
= + +
Lời giải
a) Ta có
cos x cos x cot x cot x
3 sin x sin x
+ +
+ + =
+ +
cos x cos x sin x sin x
3 6 1 sin x sin x
3
+ + + + +
= −
+ +
cos x x
3 1 3. 1
2
sin x sin x sin x sin x
3 6
+ − +
= − = −
+ + + +
Từđó I dx dx 3I1 x C
2 sin x sin x
3
= − = − +
+ +
Tính I1 dx
sin x sin x
3
=
+ +
Ta có
sin x x sin 3 6
6
1 1
sin
6
+ − +
= =
sin x 3 cos x 6 cos x 3 sin x 6
= + + − + +
Từđó 1
sin x cos x cos x sin x 6
I dx
sin x sin x
+ + − + +
=
+ +
cos x cos x sin x
6
2 dx dx ln C
+ + +
= − = +
(136)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
b) Ta có
sin x cos x tan x cot x
3 cos x sin x
+ +
+ + =
+ +
sin x cos x cos x sin x
3 6 1 cos x sin x
3
+ + − + +
= +
+ +
sin x x
3 1 1. 1
2
cos x sin x cos x sin x
3 6
+ − +
= + = +
+ + + +
Từđó
1 1
K dx dx K x C
2 cos x sin x
3
= + = + +
+ +
Đến đây, cách tính Dạng 1, ta tính được:
1
sin x
dx
K ln C
3
cos x sin x cos x
3
+
= = +
+ + +
K 3ln sin x x C
3 cos x
3
+
= + +
+
Dạng Xét tích phân tổng quát I dx
a sin x b cos x
=
+
PHƯƠNG PHÁP.
Biến đổi 2
2 2
a b
asin x b cos x a b sin x cos x a b a b
+ = + +
+ +
( )
2
a sin x b cos x a b sin x
+ = + +
( )
2 2
1 dx x
I ln tan C sin x a b a b
+
= = +
+
+ +
Sau ví dụ minh họa cho tốn
Câu
Tính tích phân sau a) I 2dx
3 sin x cos x
=
+
b) J dx
cos 2x sin 2x
=
−
(137)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
a) Ta có I 2dx dx dx
3 sin x cos x 3sin x 1cos x sin x cos cos x sin
6
2
= = =
+ + +
d x x
dx ln tan 6 C ln tan x C 2 12 sin x sin x
6
+ +
= = = + = + +
+ +
b) Ta có J dx dx
2
cos 2x sin 2x 1cos 2x 3sin 2x
2
= =
− −
d 2x dx dx sin cos 2x cos sin 2x sin 2x sin 2x
6 6
−
= = = −
− − −
2x
1ln tan 6 C 1ln tan x C 4 12
−
= − + = − − +
Dạng Xét tích phân tổng quát I dx
asin x b cos x c
=
+ +
PHƯƠNG PHÁP.Đặt
2
2 2
2
2dt dx
1 t 2t sin x
x t
tan t
2 cos x t
1 t 2t tan x
1 t
=
+
=
+
= −
=
+
=
−
Sau ví dụ minh họa cho toán
Câu
Tính tích phân sau a) I dx
3cos x 5sin x
=
+ +
b) J 2dx
2 sin x cos x
=
− +
c) K dx
sin x tan x
=
+
d)
1 sin x I ln dx
1 cos x
+
=
+
(138)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
a) Đặt
2
2 2
2dt dx
1 t
x 2t
tan t sin x
2 t
1 t cos x
1 t
=
+
= =
+
= −
+
Từđó ta có 2 2 2
2
2dt
2dt t
I
1 t 2t 3t 10t 3t
3
1 t t
+
= =
− + + − + + +
+ +
2dt 10t
=
+
d 5t 3( ) 1ln 5t C 1ln 5tanx C 5t 5
+
= = + + = + +
+
b) Đặt
2
2
2
2dt dx
x t tan t
2 2t t sin x , cos x
1 t t
=
+
=
−
= =
+ +
( )
2 2
2
2dt
2 4dt 4dt dt
1 t
J
2t t 4t t t 2t 4t t t
2
1 t t
+
= = = =
− − + + + + +
− +
+ +
1 dt ln t ln t C ln tanx ln tanx 2 C
t t 2
= − = − + + = − + +
+
c) Đặt
2
2dt dx
x 1 t
tan t
2t 2t
2 sin x , tan x
1 t t
= + =
= =
+ −
2
2
2dt
1 t dt
1 t
K dt tdt
2t 2t t t
1 t t
− +
= = = −
+
+ −
2
1ln t 1t C 1ln tanx 1tan x C 2
= − + = − +
d) Biến đổi giả thiết ta có
2
2
0 2
x x x x
sin cos sin cos
1 sin x 2 2
ln dx ln dx
x
1 cos x 2 cos
2
+ + +
=
+
2
0
1 ln tan x 2 tanx 1 dx 2
= + +
Đặt 1( ) ( )
0
x
tan t I t ln t t dt
2 = =2 + + +
Đến sử dụng tính chất b ( ) b ( ) a f x dx= a f a b x dx+ −
tốn sẽđược giải
Cách 2. Ta có ( ) ( )
0
I ln sinx dx ln cosx dx
= + − +
Sử dụng nguyên hàm phần ta
xcosx
(139)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
• ( )
0
xsinx ln cosx dx dx
1 cosx
+ =
+
2
0
xcosx xsinx I ln2 dx dx
2 sinx cosx
= − +
+ +
Từđây ta sẽđi tính
xcosx dx sinx
+
Đặt t x
2
= − ta
2 2
0 0
xcosx sinx xsinx
dx dx dx I sinx cosx cosx
= − =
+ + +
Dạng Xét tích phân tổng quát I 2 dx 2
a.sin x b.sin x cos x c.cos x
=
+ +
PHƯƠNG PHÁP.
( )
dx I
a tan x b tan x c cos x
=
+ +
Đặt tan x t dx2 dt
cos x
= = Suy I 2 dt
at bt c
=
+ +
Sau ví dụ minh họa cho toán
Câu
Tính tích phân sau
a) I 2 dx 2
3sin x sin x cos x cos x
=
− −
b) J 2 dx 2
sin x sin x cos x cos x
=
− −
Lời giải
a) Ta có
( )
2 2
dx dx
I
3sin x sin x cos x cos x 3tan x tan x cos x
= =
− − − −
Đặt tan x t dx2 dt
cos x
= =
( )( )
dt dt I
3t 2t t 3t
= =
− − − +
( )
d 3t 1 dt dt
4 t 3t t 3t
+
= − = −
− + − +
1ln t C 1ln tan x C
4 3t 3tan x
− −
= + = +
+ +
(140)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( ) ( ) ( )2
2 2
d t
dt t
J ln C
t 2t t 1 3 t
− − −
= = = +
− − − − − +
ln tan x C tan x
− −
= +
− +
Dạng Xét tích phân tổng quát 1
2
a sin x b cos x
I dx
a sin x b cos x
+ =
+
PHƯƠNG PHÁP.
Ta tìm A,B cho:a sin x b cos x A a sin x b cos x1 + = ( + )+B a cos x b sin x( − )
Sau ví dụ minh họa cho tốn
Câu
Tính tích phân sau a) I 4sin x 3cos xdx
sin x cos x
+ =
+
b) J 2 dx 2
sin x sin x cos x cos x
=
− −
Lời giải
a) Ta tìm A,B cho 4sin x 3cos x A sin x cos x+ = ( + )+B cos x sin x( − )
( ) ( ) A 2B A
4sin x 3cos x A 2B sin x 2A B cos x
2A B B
− = =
+ = − + +
+ = = −
TừđóI sin x cos x( ) (cos x sin x)dx
sin x cos x
+ − −
=
+
dx d sin x cos x( ) 2x ln sin x cos x C
sin x cos x
+
= − = − + +
+
b) Ta tìm A,B cho 3cos x sin x A cos x 4sin x− = ( − )+B sin x cos x(− − )
( ) ( )
3 cos x sin x A 4B cos x 4A B sin x
− = − + − −
11 A
A 4B 17
4A B 10
B 17
= − =
+ =
= −
Từđó
( ) ( )
11 cos x sin x 10 sin x cos x
17 17
J dx
cos x sin x
− − − −
=
−
11 dx 10 d cos x 4sin x( ) 11x 10ln cos x 4sin x C
17 17 cos x 4sin x 17 17
−
= − = − − +
−
CHÚ Ý
1 Nếu gặp
( 1 )2
2
a sin x b cos x
I dx
a sin x b cos x
+ =
+
ta tìm A,B cho:
( ) ( )
1 2 2
(141)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
2 Nếu gặp 1
2 2
a sin x b cos x c
I dx
a sin x b cos x c
+ +
=
+ +
ta tìm A,B cho:
( ) ( )
1 1 2 2
a sin x b cos x c+ + =A a sin x b cos x c+ + +B a cos x b sin x− +C
Chẳng hạn
1 Tính nguyên hàm
( )2
8 cos x
I dx
3 sin x cos x
=
+
Ta tìm A,B cho:
( ) ( )
8cos x A= sin x cos x+ +B cos x sin x−
( ) ( )
8cos x A B sin x A B cos x
= − + + A B A
B A B
− = =
=
+ =
Từđó ( ) ( )
( )2
2 sin x cos x 3 cos x sin x
I dx
3 sin x cos x
+ + −
=
+
( )
( )2
d sin x cos x
dx
2 2I C
3 sin x cos x 3 sin x cos x sin x cos x
+
= + = − +
+ + +
Tìm I1 dx dx dx
2
3 sin x cos x 3sin x 1cos x sin x cos cos x sin
6
2
= = =
+ + +
d x x
1 dx 1ln tan 6 C 1ln tan x C sin x sin x 2 2 12
6
+ +
= = = + = + +
+ +
Vậy I ln tan x C
2 12 sin x cos x
= + − +
+
2 J 8sin x cos x 5dx
2 sin x cos x
+ +
=
− +
Ta tìm A,B,C cho:
( ) ( )
8sin x cos x A sin x cos x 1+ + = − + +B cos x sin x+ +C
( ) ( )
8sin x cos x 2A B sin x A 2B cos x A C
+ + = + + − + + +
2A B A
A 2B B
A C C
+ = =
− + = = + = =
Từđó: J sin x cos x 1( ) (2 cos x sin x) 2dx
2 sin x cos x
− + + + +
=
− +
(142)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
• Tìm J1 dx
2 sin x cos x
=
− +
Đặt
2
2
2
2dt dx
x t tan t
2 2t t sin x , cos x
1 t t
=
+
=
−
= =
+ +
( )
1 2
2
2dt
dt dt 1
1 t
J dt
2t t t 2t t t 2 t t
2
1 t t
+
= = = = −
− + + +
− +
+ +
x tan t 2
ln C ln x C t 2 tan 2
2
= + = +
+ +
Vậy
x tan
2 J 3x ln sin x cos x ln x C
tan 2
= + − + + +
+
Dạng Xét tích phân tổng quát ( ) ( )
2
a sin x bsin x cos x c cos x
I dx
m sin x n cos x
+ +
=
+
PHƯƠNG PHÁP.Đặt S a sin x= ( )2+bsin x cos x c cos x+ ( )2
Giả sử S=(psin x q cos x m sin x n cos x+ )( + )+r sin x cos x( + )
( )( ) (2 ) ( )( )2
S mp r sin x np mq sin x cos x nq r cos x
= + + + + +
( ) ( )
2
2
2
2
a c m bn p
m n
mp r a mp r a
a c n bm
np mq b np mq b q
m n
nq r c mp nq a c an cm bmn
r
m n
− +
=
+
+ = + =
− −
+ = + = =
+
+ = − = −
+ −
=
+
Khi ta có
( ) ( ) 2
2 2 2
a c m bn a c n bm an cm bmn dx I sin x cos x dx
m n m n m n m sin x n cos x
− + − −
+ −
= + +
+ + + +
( ) ( ) 2
2 2 2
a c n bm a c m bn an cm bmn dx sin x cos x
m n m n m n m sin x n cos x
− − − + + −
= − +
+ + + +
Tích phân cuối ta tìm hiểu dạng trước!
(143)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu
Tính tích phân sau
a) ( )
2
0
cos x dx I
sin x cos x
=
+
b) ( )( ) ( ) ( )
2
3 sin x 3 sin x cos x cos x
I dx
3sin x cos x
− + + +
=
+
Lời giải
a) Giả sử (cos x) (2 = asin x b cos x sin x+ )( + cos x)+c sin x cos x( + )
( ) (2 )( )2 ( ) ( )( )2
cos x a c sin x a b sin x cos x b c cos x
= + + + + +
1 a
4 b
4 c
4
= − =
=
3
0
1 1 dx I cos x sin x dx
2 2 sin x cos x
= − +
+
3
0
1 cos cos x sin sin x dx dx
2 6 cos sin x sin cos x
3
= − +
+
3
3
0
0
1 cos x dx dx 1sin x 1ln tg x
2 sin x
3
= + + = + + +
+
( )
1 1ln 3 1ln 3 1ln 3 1 ln 3
2 8 4
= + − − = + = +
b) Giả sử (3 sin x− )( )2 +(4 3 sin x cos x cos x+ ) + ( )2
(asin x b cos x 3sin x cos x)( ) c sin x cos x( 2 )
= + + + +
3
0
3a c 3 a 3
1 dx 4a 3b 3 b I sin x cos x dx
2 2 3sin x cos x 4b c c
+ = − =
+ = + = = + − +
+ = = −
3
0
1 sin sin x cos cos x dx dx
3
2 3 sin arcsin sin x cos arcsin cos x
= + −
+
(144)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( ) ( )
/3
/3
0
1 sin x u
1sin x 1ln 1ln1 sin x cos u sin u cos x
2 sin x u sin x cos u sin u cos x
+ − − + −
= − − = −
− − − +
( )
5 sin cos
3 1ln 3 3 1ln 4 1ln 13 3
4 5 sin 3 cos 5 4 3
3
− + −
= − + − = −
+
+ −
Dạng Xét tích phân tổng quát
( )2 ( )2
m sin x n cos x
I dx
a sin x 2bsin x cos x c cos x
+ =
+ +
PHƯƠNG PHÁP.
Gọi 1, nghiệm phương trình
a b b c
−
= −
( ) ( )2
2
1,2
a c a c 4b a c ac b
2
+ − +
− + + − = =
Biến đổi xíu: a sin x( )2 +2bsin x cos x c cos x+ ( )2 = 1A12+ 2A22
( ) ( )
2
1
2
1
2
1
b b
cos x sin x cos x sin x
b a b a
1
a a
− + −
− −
+ +
− −
=
Đặt 1 2 1 2
1 2
b b 1
u cos x sin x;u cos x sin x;k ;k
a a a a
= − = − = =
− − − −
( ) ( )
1 2 2 2 2
1
1
A cos x bk sin x ;A cos x bk sin x
1 b k b k
= − = −
+ +
Để ý A21+A22 = 1 1A21+ 2A22 = − ( 2)A12 + = − 2 ( 1)A22+ 1 Giả sử
1
b b
m sin x n cos x p sin x cos x q sin x cos x
a a
+ = + + +
− −
( )
( ) (2 1) ( ( ) (1) 2)
2 1
1
p q m
bm n a bm n a
p a ;q a
p q n
b b
a a b
+ =
− − − −
= − = −
+ = − −
− −
( )2 ( ) 12 ( ) 22
1 2 2
pdu qdu m sin x n cos x
I dx
A A
a sin x 2bsin x cos x c(cos x)
− −
+
= = +
− + − +
+ +
( ) ( )
2 2 2
1 2
1 2 2
dA dA
p b k q b k
A A
= − + − +
− + − +
(145)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu
Tính tích phân sau I 2 (sin x cos x dx) 2
2 sin x 4sin x cos x 5cos x
+ =
− +
Lời giải
Gọi 1, nghiệm phương trình
2
0 1;
− −
= = =
− −
Ta có ( )
2
2 24
2 sin x 4sin x cos x 5cos x cos x sin x cos x sin x
5
− + = + + −
( ) 2
1 2
1
A cos x sin x ;A cos x sin x ;A A
2
5
= + = − + =
( ) ( )
( )2 ( ( ) )2
2
sin x cos x dx sin x cos x dx sin x cos x dx I
2 sin x 4sin x cos x 5cos x 2 cos x sin x 1 6 cos x sin x
+ + −
= = −
− + − + − +
( )
( )2 (( ))2
d sin x cos x d cos x sin x
3
5 sin x cos x cos x sin x
− +
= +
− + − +
( )
3 cos x sin x arctg sin x cos x ln C 10 6 cos x sin x
+ +
= − + +
− −
Dạng Biến đổi nâng cao với dạng tích phân
( )n
dx sin x
( )n
dx cos x
Thực chất chia dạng tốn thành dạng tốn nhỏ tính ngun hàm tích phân ta gặp tốn kiểu thếnày, muốn giới thiệu cho bạn cách để xử lý
• Xét toán
( )n
dx sin x
+ 1
2
x d tan
dx dx dx x
I x x x x x ln tan C
sin x 2 sin cos 2 tg cos tg
2 2 2
= = = = = +
+ I2 dx2 d cot x( ) cot x C
sin x
= = − = − +
+
2
3 3
x x
1 tan d tan
dx dx dx 2
I
sin x x x x x x
+
= = = =
(146)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
+ I4 dx4 (1 cot x d cot x2 ) ( ) cot x cot x3 C
sin x
= = − + = − + +
+ I5 dx5 dx 5 dx5 10
sin x 2 sin cosx x 32 tan x cosx
2 2
= = =
4
2 2 4 6 8
5
x x x x x x
1 tan d tan 1 tan 6 tan 4 tan tan
1 2 2 2 2 2 d tan x
16 tanx 16 tan x
2
+
+ + + +
= =
2
4
1 x x x
6 ln tan tan tan C
16 4 tan x tanx 2
2
−
= − + + + +
+ 6 dx6 (1 cot x d cot x2 )2 ( ) cot x cot x3 cot x5 C
sin x
I = = − + = − + + +
+
6
7 7 14
7
7
x x
1 tan d tan
dx dx dx 2
sin x x x x x x
2 sin cos tan cos tan
2 2
I
2
+
= = = =
2 10 12
7
x x x x x x tan 15 tan 20 tan 15 tan tan tan
1 2 2 2 2 2 2 d tan x
2 tanx
2
+ + + + + +
=
6
2
1 15 20ln tanx
64 x x x
6 tan tan tan
2 2
15 tanx tanx tanx C
2 2
−
= − − +
+ + + +
+ 8 dx8 (1 cot x d cot x2 )3 ( )
sin I
x
= = − + = − (1 cot x cot x cot x d cot x+ + + ) ( )
3
cot x cot x cot x cot x C
5
= − + + + +
+
( )
9 2n 2n
dx dx
sin x 2 sin cosx x
2
I = + = +
2n
2n 4n 2n 2n
x x
1 tan d tan
dx 2
2
x + x + x +
+
= =
(147)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
2 2n
0 n n 2n
n
2n 2n 2n 2n
2n
2n
2n
C C C C
1 C ln tanx tanx tanx C
2 x x 2 2n
2n tan tan
2
− +
−
= −− + + ++ +
+ I10 dx2n 2 (1 cot x d cot x2 )n ( )
sin + x
= = − +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k n
0 k n
n n n n
1 k n
2k 2n
0 n n n
11
C C cot x C cot x C cot x d cot x
C C C
C cot x cot x cot x cot x C 2k 2n
+ +
= − + ++ ++
= − + ++ ++ +
+ +
• Xét tốn
( )n
dx I
cos x
=
+ 1
2
d x
dx du du du I
u u u u cos x sin x sin u 2 sin cos 2 tan cos
2 2 2
+
= = = = =
+
u d tan
u x
2 ln tan C ln tan C
u 2
tan
= = + = + +
+ I2 dx2 d tan x tan x C( )
cos x
= = = +
+ 3 3
3
d x
dx du du du
I
cos x sin x sin u u u u u
2 sin cos tan cos
2 2 2 2 2
+
= = = = =
+
2
2
3
u u
1 tan d tan
1 2 1 2 ln tanu tanu C
4 u u 2
tan tan
2
+
−
= = + + +
2
1 2 ln tan x tan x C
4 x 2
2 tan
2
−
= + + + + +
+
( ) ( )
dx
(148)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
4
2 2 4 6 8
5
u u u u u u
1 tan d tan 1 tan 6 tan 4 tan tan
1 2 2 2 2 2 d tanu
16 tanu 16 tanu
2
+
+ + + +
= =
2
4
1 6 ln tanu 2 tanu tanu C
16 4 tanu tanu 2
2
−
= − + + + +
+ I6 dx6 (1 tan x2 )2d tan x( ) tan x tan x3 tan x C5
cos x
= = + = + + +
+ 7 7 14
7 7
d x
dx du du
cos x sin x sin u u u
2 tan cos
2 2
I
2
+
= = = =
+
6
7
u u
1 tan d tan
1 2
2 tanu
2
+
=
2 10 12
7
u u u u u u tan 15 tan 20 tan 15 tan tan tan
1 2 2 2 2 2 2 d tanu
2 u
tan
+ + + + + +
=
6
2
1 15 u
20 ln tan
64 6 tanu 2 tanu 2 tanu
2 2
15 u u u
tan tan tan C
2 2
−
= − − +
+ + + +
+ 8 dx8 (1 tan x d tan x2 )3 ( )
cos x
I = = +
(1 tan x2 3 tan x tan x d tan x tan x tan x4 6) ( ) 3 tan x5 1 tan x C7
5
= + + + = + + + +
+
( )
9 2n 2n 2n
2n
d x
dx du du
cos x sin x sin u u u
2 sin cos I
2 2
+ +
+
+ +
= = = =
+
2n
2n 4n 2n 2n
2n
u u
1 tan d tan
du 2
2
u u u
2 tan cos tan
+ + +
+
+
= =
(149)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
n 2n
0 1 n 2n
2n 2n 2n 2n 2n
2n 2n
u u u
C C C tan C tan C tan
1 2 d tanu
2 tanu
2
+
+ + ++ ++
=
2 2n
0 n n 2n
n
2n 2n 2n 2n
2n
2n
2n
C C C C
1 C ln tan u tanu tanu C
2 2n tanu 2 tanu 2 2n
2
− +
−
= −− + + ++ +
+ I10 dx2n 2 (1 tan x d tan x2 )n ( )
cos + x
= = +
( ) ( )
( 0 1 2 k 2 k n 2 n) ( )
11 n n ta n
C C tan x C n x C tan x d tan x
= + ++ ++
( ) k ( )2k ( )2n
0 n n n
n
n
C C C
C tan x tan x tan x tan x C 2k 2n
+ +
= + ++ ++ +
+ +
Tóm lại: Qua tốn với lời giải kinh khủng làm bạn đọc choáng rồi,
tuy nhiên để ý có mấu chốt cảnhé Đầu tiên dạng tương tự nên chỉ
nói dạng Các bạn ý tới sốmũ chẵn, mấu chốt sử dụng công thức theo tan sin, sốmũ lẻta sử dụng cách tách sin x sin cosx x
2
= , chìa khố tốn trên, lời giải khủng chẳng qua biến đổi dài chứ khơng có khó khăn
(150)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI TỔNG HỢP
Câu
Tính tích phân sau a)
3
4
tan xdx
b)
4
cos xdx sin x
c)
6
sin xdx cos x
d)
2
2
sin 2x dx cos x
−
e)
2
0
1 sin xdx sin 2x
−
+
Lời giải
a) Ta có ( )
2
4
4 4
1 cos x
sin x 1 tan x
cos x cos x cos x cos x
−
= = = − +
Do ( )
3 3
4
4 2
4
4 4
1 dx
I tan xdx dx tan x tan x x
cos x cos x cos x
= = − + = + − +
3
4
1
tan x tan x 2 3
3 12 12 12
= + − − + = − − − + = +
Chú ý: Ta cịn cách phân tích khác:
( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2 2 2
tan x tan x tan x 1= + − =tan x tan x+ −tan x tan x tan x= + − tan x 1+ +1
Vậy ( ) ( )
3 3
2 2
2
4 4
dx dx
I tan x tan x tan x 1 dx tan x dx
cos x cos x
= + − + + = − +
3
4
1tan x tan x x 13 3 3 1
3 3 12
= − + = − + − − + = +
b) Ta có ( )
6
2
4 4
1 sin x
cos x 3sin x 3sin x sin x 1
3 sin x sin x sin x sin x sin x sin x
− − + −
= = = − + −
( )
6
2 2 2
2
4 2
4 4 4
cos x dx dx cos 2x
I dx cot x 3 dx dx
sin x sin x sin x
−
= = + − + −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
4 4
1
1 cot x d cot x d cot x dx cos 2x dx
(151)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
2
4
3
4
1 1
cot x cot x cot x 3x x sin 2x
3
1cot x cot x 5x 1sin 2x 23.
3 12
= − − + + − +
= − + + + = +
c)
2
4 4
6 6
0 0
sin xdx cos xdx 1 dx
cos x cos x cos x cos x
−
= = −
( )
4
2
4 2
0
1 dx 1 tan x dx
cos x cos x cos x
= − +
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4 2
2
2
0
4
2
0
1
1 tan x dx tan x dx cos x cos x
1 tan x tan x d tan x tan x d tan x
= + − +
= + + − +
4
3 3
0
2 1 1
tan x tan x tan x tan x tan x tan x tan x
3 3 15
= + + − − = + =
d) Ta có
2 2
2
0 0
sin 2x dx sin 2x dx sin 2x dx cos 2x
4 cos x 4 cos 2x
2
= =
+
− − −
( )
2
2 0
d cos 2x ln cos 2x ln3
7 cos 2x
−
= − = − − =
−
e) ( )
2
4 4 4
0
0 0
d sin 2x
1 sin xdx cos 2x dx 1ln sin 2x 1ln 2
1 sin 2x sin 2x sin 2x 2
+
− = = = + =
+ + +
Câu
Tính tích phân sau
a) ( )
2
10 10 4
0
I sin x cos x sin x cos x dx
= + − b)
6
1
I dx
sin x sin x
=
+
(152)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
2 2 cos 4x cos8x 15 1
cos 2x sin 2x cos 2x sin 4x cos 4x cos8x
4 16 32 32 32
+ −
= − = − = − = + +
Vậy
2 2 2
0
0
15 1 15 1 15
I cos 4x cos 8x dx sin 4x sin 8x
32 32 32 32.8 64
= + + = + + =
b)
6
1
I dx
sin x sin x
=
+
Ta có
( )
2
1
3 sin x cot x
sin x sin x sin x sin x cos x
6 2 2
= =
+ +
+
Vậy ( )
( )
3
3
6
6
2d cot x
2
I dx ln cot x ln
sin x
3 cot x cot x
+
= = − = − + =
+ +
Lời giải
a) ( )
2
0
2 cos x sin x sin 2x sin x
I dx dx
1 cos x cos x
+ +
= =
+ +
Đặt
2
t cos x sin xdx tdt
3
t 3cos x
x t 2; x t
= − = −
= +
= = = =
Khi
2
2
1 2
3
2 1
t
2
3 2t 34
I tdt dt t t
t 9 27
− +
+
= − = = + =
b)
2
2 2
0 0
sin 2x cos x sin x cos x cos x
I dx dx sin xdx
1 cos x cos x cos x
= = =
+ + +
Đặt t cos x= + dt= −sin xdx Đổi cận:
x t
x t
2
= → =
= → =
( )2
1
2
2
0 2
t
cos x 1
I sin xdx dt t dt t 2t ln t ln
cos x t t
−
= = = − + = − + = −
+
c)
2
0
sin 2x
I dx
cos x sin x
=
+
Đặt t= cos x sin x2 + t2 =cos x sin x2 +
Do
( )
2tdt sin x cos x 8sin x cos x dx 3sin 2xdx sin 2xdx tdt
= − + = =
(153)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Vậy
2
2
2
2
1
0 1
sin 2x tdt 2
I dx dt t
3 t 3
cos x sin x
= = = = =
+
d) Ta có
( ) ( ) ( )
3 2
cos 3x cos x 3cos x= − = cos x cos x− = 4sin x cos x− − = 4sin x cos x−
Cho nên ( )
2
1 4sin x
cos 3x dx cos xdx sin x sin x
− =
+ +
Đặt t sin x= + dt cos xdx= Đổi cận
x t
x t
2
= =
= =
( )
( )
2
2
2 2
2
1
0 1
1 t
cos 3x
I dx dt 4t dt 8t 2t 3ln t 3ln
sin x t t
− −
= = = − − = − − = −
+
Câu
Tính tích phân sau a)
2
0
sin 2x sin x
I dx
1 cos x
+ =
+
b)
0
sin 2x cos x
I dx
1 cos x
=
+
c)
2
0
sin 2x
I dx
cos x sin x
=
+
d)
0
cos 3x
I dx
sin x
=
+
Lời giải
a)
( ) ( ) ( ( )) ( )
2
2 2
3 3
0 0
cos x sin x
cos 2x cos x sin x
I dx dx cos x sin x dx
sin x cos x sin x cos x sin x cos x
− −
= = = +
− + − + − +
Đặt t sin x cos x 3= − + dt=(cos x sin x dx+ ) Đổi cận
x t
x t
2
= → =
= → =
4
4
3 2
2 2
3 t 1 1 I dt dt
t t t 2t t 32
−
= = − = − + =
b)
0
cos 2x
I dx
1 sin 2x
=
+
Đặtt sin 2x dt cos 2xdx cos 2xdx 1dt
4
= + = = Đổi cận
x t
x t
= =
= =
(154)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
c) ( )
2
3
6 6
0 0
sin 3x sin 3x
sin 3x sin 3x sin 3x.cos 3x
I dx dx dx
1 cos 3x cos 3x cos 3x
− −
= = =
+ + +
Đặt t cos 3x dt 3sin 3xdx sin 3xdx 1dt
3
= + = − = − Đổi cận
x t
x t
6
= =
= =
s
( )2
1
2
2 1
t
1 1 1 1 I dt t dt t 2t ln t ln
3 t t
−
= − = − + = − + = − +
Câu
Tính tích phân sau a)
( )
2
3
cos 2x
I dx
sin x cos x
=
− +
b)
0
cos 2x
I dx
1 sin 2x
=
+
c)
3
0
sin 3x sin 3x
I dx
1 cos 3x
− =
+
Lời giải
a)
2
2
1
J cos 5xdx cos9xdx
2
− −
= − 2
2
1
sin 5x sin 9x
10 18 45
− −
= − =
b)
( )
2 2
2
2 0
2
0 0
sin xdx sin xdx sin x
I dx ln cos x ln
x sin x cos x cos x cos x sin x cos x.cos
2
= = = = − + =
+ + +
+
c) Ta có cos x sin x cos x( + )=cos x sin x cos x( + )2 −2 sin x cos x2
( )
( )
2
1
cos x sin 2x cos x 1 cos 4x
2
3cos x 1cos x cos 4x 3cos x cos 5x cos 3x 4
= − = − −
= + = + +
( )
2 2
4
0 0
3 1
I cos x sin x cos x dx cos xdx cos 5xdx cos 3xdx
4 8
= + = + +
2 2
0 0
3 1 1 11
sin x sin 5x sin 3x
4 40 24 40 24 15
= + + = + − =
d)
( )
2 2
2
4 4
sin x cos x sin x cos x sin x cos x
I dx dx dx
sin x cos x sin 2x sin x cos x
− − −
= = =
+
+ +
(1)
Vì sin x cos x sin x ; x x sin x
4 2 4
+ = + + +
(155)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Cho nên ( )
2
2 4
d sin x cos x
I ln sin x cos x ln ln ln
sin x cos x
+
= − = − + = − − =
+
(156)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
guyên hàm tích phân hàm vơ tỷ - thức tốn thường xuyên bắt gặp đề thi Các dạng toán hầu hết người khai thác đưa cách giải hợp lý nhất, chương bản, cần phải học kĩ làm nhiều tập để nắm Sau ta vào dạng tốn cụ thể
CÁC DẠNG TỐN
Dạng Xét tích phân tổng quát
2
dx I
ax bx c
=
+ +
Phương pháp Nhìn chung dạng phương pháp giải Ta có trường hợp sau
•
( ) ( ) ( )
2
2
dx dx
I ln mx n mx n k C
m
ax bx c mx n k
= = = + + + + +
+ + + +
•
( ) ( )
2 2
dx dx mx n
I arcsin p
m p
ax bx c p mx n
+
= = =
+ + − +
Chứng minh
• Đối với nguyên hàm đầu ta xét dạng khác
2
du ln u u k C u +k = + + +
Ta có ( ) ( )
2
2
2 2
u
u u k ' u k 1 ln u u k c '
u u k u u k u k
+
+ + +
+ + + = = =
+ + + + +
• Đối với nguyên hàm thứ 2, ta lượng giác hóa, bạn tham khảo phần sau!
Nhìn chung phần khơng có khó khăn nên ta qua vài ví dụ
Câu
Tìm nguyên hàm hàm số sau a)
2
dx I
2 2x 6x
=
− +
b) 01 2
dx I
2x x
− =
+ +
N
CH
ƯƠ
NG
4 NGUYÊN HÀM – TÍCH
(157)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
a) Ta có
2
2
dx dx I
6 2x 6x 2 x x
2 2
= =
− + − +
4
2
1 dx dx
8 x x 3 6 9 x
2 2 2 2 8
= =
−
− + − +
2
1 ln x x C
8 2 2
−
= − + − + +
b) Ta có
0
0
1 2 2
4 1
4
dx dx 1 23
I ln x x
4 16
2
2x x x 23
4
− −
−
= = + + + +
+ +
+ +
1 ln ln 23 ln1 ln 23 ln1 16 4
2 2 23
+ +
= + − = − =
Dạng Xét tích phân tổng quát ( )
2
mx n dx I
ax bx c
+ =
+ +
Phương pháp. Ý tưởng ta biến đổi để đưa nguyên hàm ban đầu nguyên hàm toán dạng Ta biến đổi sau:
( ) ( ) ( )
2 2
d ax bx c
mx n dx m 2ax b dx mb dx m mb
I J
2a 2a 2a 2a
ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c
+ +
+ +
= = − = −
+ + + + + + + +
Trong ngun hàm J ta tính phần trước, lại nguyên hàm Nhìn chung phần khơng có khó khăn so với dạng tốn trước nên ta xét vài ví dụ
Câu
Tìm nguyên hàm hàm số sau
a) ( )
2
x dx I
x 2x
− + =
+ +
b) ( )
2
x dx I
x 4x
−
− =
− − +
Lời giải
a) Ta có ( ) ( ) ( )
2
0 0
2 2
1 1
d x 2x
x dx 2x dx dx
I
2
x 2x x 2x x 2x x 2x
− − − −
+ +
+ +
= = + =
+ + + + + + + +
(158)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( )
0
0 2
2
2
dx x 2
3 x 4x 3arcsin 3arcsin
3
9 x
−
− +
− = − − − + − = − −
− +
Dạng Xét tích phân tổng quát
( )
dx I
px q ax bx c
=
+ + +
Phương pháp Ý tưởng ta làm phần (px q+ )bằng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa nguyên hàm số Đặt px q pdx dt2 ; x 1 q
t t p t
−
+ = = = −
( ) 2
2
dx dt dt
I
px q ax bx c pt a q b q c t t p t p t
−
= = =
+ + + + +
− + − +
Trong nguyên hàm sau tính phần trước! Tóm lại dạng toán
Sau ta vào ví dụ sau để hiểu rõ phương pháp
Câu
Tìm nguyên hàm hàm số sau a)
( )
2
dx I
x x 2x
=
− − +
b)
( )
2
dx I
2x 3x x
=
− + +
Lời giải
a) Đặt x 1 x t
t t
+ − = =
( )
1
2
2 2 2 1 2
dx dt I
x x 2x t t 2 t 2 t t
−
= =
− − + + +
− +
( )
1
1 2
1 2 1
2 2
dt ln t t 1 ln 1 2 ln1 ln2 2
2
t
+ +
= = + + = + − =
+ +
b) Đặt 2x 1 x t
t 2t
+
− = = 13
2
1
2
dt
dx 2t
I
(2x 1) 3x x 3(t 1) t 2
t 4t 2t
−
= =
− + + + + + +
1 1
1 2 1 2
3 3
4 d t dt dt 13
13 13
13t 8t t t 4 23 t
13 13 13 169
+
= = =
+ + + +
+ +
1
1
1 ln t t 23 ln 17 24 ln 25 64 13 13 169 13 13 39 117
13 13
= + + + + = + − +
(159)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
1 ln17 78 ln25 13 ln51 78
13 39
13 13 25 13
+ + +
= − =
+
Dạng 4 Xét nguyên hàm tổng quát ( )
( )
mx n dx I
px q ax bx c
+ =
+ + +
Phương pháp Nhìn sơ qua na ná với dạng nhiên vướng tử có xuất thêm đại lượng Giờ bạn tinh ý phát cách xử lý dạng này, đưa dạng toán 2, ta biến đổi thử nhé!
( )
( )
( )
( )
2
mq m px q n
p p mx n dx
I dx
px q ax bx c px q ax bx c
+ + −
+
= =
+ + + + + +
( )
2
mq
m dx dx
I n
p ax bx c p px q ax bx c
= + −
+ + + + +
Rồi đó, đến q đơn giản phải khơng, toán nguyên hàm biết!
Ở phần ta cần ví dụ thơi nha, na ná nhau!
Câu
Tìm nguyên hàm hàm số sau ( )
( )
2
2x dx K
x x 3x
−
− =
− + +
Lời giải
Ta có ( )
( )
( ) ( )
0
2
1
2x dx x 1
I dx
x x 3x x x 3x
− −
− − +
= =
− + + − + +
( )
0
2
1
dx dx
2 2I J
x 3x x x 3x
− −
= + = +
+ + − + +
• Tính tích phân
0
0
2
1
1
dx dx 3
I ln x x
2
x 3x 3 3
x
2
− −
−
= = = + + + +
+ +
+ +
3 3 3
ln ln ln ln ln
2 2
+ +
= + − + = − =
(160)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
1 1
2 2
2
1 1
2
dt dt dt 7
7t 5t t t 5 3 t
7 14 196
− − −
− − −
= = =
+ + + +
+ +
1/2
1
1 ln t t ln 14 14 196
7 21
−
−
−
= + + + + =
−
3
K 21 J ln ln
3 21
+ −
= + = +
−
Dạng 5 Xét nguyên hàm tổng quát
( )
xdx I
ax b cx d
=
+ +
Phương pháp Lại dạng toán nữa, đơn giản tử xuất biểu thức x mẫu dạng cx2 +d, ta đặt ẩn phụ để đưa nguyên hàm không chứa
Đặt
2
2 2 t d tdt
t cx d t cx d x xdx
c c
−
= + = + = =
( ) 2 ( )
1 tdt dt I
c a t d c at bc ad b t
c
= =
+ −
−
+
Rồi nguyên hàm cuối nguyên hàm phân thức hữu tỷ mà ta có cách giải dạng trước!
Nhìn chung dạng dễ nhỉ? Ta qua tập đơn giản để làm quen với
Câu
Tìm nguyên hàm hàm số sau
( )
1
2
0
xdx I
3x x
=
− −
Lời giải
Đặt
x t t x x t
xdx tdt
= =
= − = = = −
( ) ( )( )
2
1 2
2
2
2 1
1
d t
tdt dt 1 t
I ln
1 3t
1 3t t 1 t 3 t
− +
= = = =
−
− − −
(7 3)( )
1 ln ln 1 ln
10 3
+ −
+ +
= − =
− −
(161)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Dạng Xét nguyên hàm tổng quát
( )
dx I
ax b cx d
=
+ +
Phương pháp Dạng tốn khó dạng tốn trước nhiều, sau giới thiệu phương pháp giải dạng cho bạn
Đặt
( )
2
2
2 2
d td.dt
xt cx d x xdx
t c t c
−
= + = =
− −
( )
( )
2
2
2
td.dt t c
dx xdx dt x(xt) td t c t c cx d
−
− −
= = =
− −
+
( 2 ) 2 ( )
2
dx dt dt I
ad bt ad bc ax b cx d b t c
t c
− −
= = =
+ −
+ + + −
−
Rồi nguyên hàm cuối nguyên hàm phân thức hữu tỷ mà ta có cách giải dạng trước!
Sau ta lướt qua vài toán để bạn hiểu rõ nhé!
Câu
Tìm nguyên hàm hàm số sau a)
2
2
x
I dx
x
+ =
+
b)
( )
2
2
1
dx I
x x x x
=
+ + + −
c) ( )
( )
3
2
2
4x dx I
x 2x 3x 6x
+ =
− − − +
Lời giải
a) Trước tưởng ta đưa dạng tổng quát phải tách nguyên hàm ban đầu thành nguyên hàm khác dễ tính
Ta có
( ) ( )
2
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1
x x dx dx I dx dx
x x 1 x 2 x 2 x 1 x 2
+ +
= = = +
+ + + + + +
Xét tích phân ( ) ( )
2
2 2
1 1 2
1
dx
I ln x x ln ln ln x
+
= = + + = + − + =
+ +
Xét tích phân thứ hai
( )
2
2 1 2 2
dx I
x x
=
+ +
Đặt
( )
( )
2
2
2 2 2
2
2 2
x t
x
xt x 2 2tdt x t x t x x xdx
t t 1
+
=
= + −
= + − = = =
−
−
(162)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( ) ( )
3
2
2 1 2 2 3
6
2 /2
2
2 2 dt
dx t 1 dt t
I ln
2 t t x
1 x
t
− −
−
= = = =
−
− +
+
− +
( )( )
( )
1 ln ln2 ln 3
4 2
−
= − = − +
− +
Vậy I ln2 ln 3(( )( ))
1
+
= + − +
+
Một giải khủng phải không ☺, ta làm nhé!
b) Ta có
( )
2
2 2
1
1 d x
dx
I
x x x x 1 3 1 5 x x
2 4
+
= =
+ + + −
+ + + −
( )
5
2
2
3
2
2
du du
3 4u 4u u u
4
= =
+ − + −
Đặt
( )
( )
2
2
2 2 2
2
2 2
4u t
u
ut 4u 5 10tdt u t 4u t u u 2udu
4 t 4 t
−
= = −
= − − = = =
−
−
Ta có ( )
2
2
2
2
5tdt t
du udu dt 5t t 4u u 4u
4 t
−
= = =
−
− −
−
( )
( )( ) ( ) ( )( )
2
4 4
5 5
2
2
4 4
3 3
d t dt t dt 1
32 3t
32 3t t 4 2 t 3 I= − = =
− −
− −
( )( )
( )( )
4
4
10 1 ln t ln 10 ln 1 ln
8 t 10 10
+ −
+ + +
= = − =
− − − − +
Vậy qua dạng hy vọng bạn rút kinh nghiệm làm cho mình, sau chốt lại dạng toán tổng hợp sau
c) Ta có ( )
( ) ( )( ) ( )
3
2 2
2
4 x dx 4x dx
I
x 2x 3x 6x x 1 5 3 x 1 2
− +
+
= =
− − − + − − − +
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
1 1
(4u 7)du 4 udu 7 du 4J 7K
u 3u u 3u u 3u
+
= = + = −
− + − + − +
2 udu
(163)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
( ) ( )
14
2 14 14
2
2
1 5
5
udu tdt dt t 17
J ln
t 17
t 17 t 17 t 17 u 3u
−
= = = =
−
− +
− +
( )( )
( 17 17)( 17 5)
1 ln 17 14 ln 17 ln
2 17 17 14 17 17 17 17 17
− +
− −
= − =
+ + + −
Xét tích phân
( )
2
2
1
du K
u 3u
=
− +
, đặt ut 3u2 u t2 3u2 u2 22
t
= + = + =
−
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2
2tdt t
2tdt du udu dt udu
2t
u ut t 3u
t
t
− − −
= = = =
− +
−
−
( ) ( )
14 14
2
2
2
2
1 2
2
du dt dt K
2 17 5t u 3u 5 t 3
t
= = =
−
− + − −
−
( ) ( ) ( )
14
14
2
2
2
2
d t
1 1 ln 17 t 5 17 t 5 17 17 t
+
= =
− −
( )( )
( 70 17 5)( 17)
1 ln 70 17 ln2 17
2 85 70 17 17 85 70 17 17
+ −
+ +
= − =
− − − +
( )( )
( 17 17)( 17 5) (( 70 17 5)()( 17))
A
I 4J 7K ln ln
2 17 17 17 17 85 70 17 17
− + + −
= − = −
+ − − +
Dạng Xét nguyên hàm tổng quát n( )
2
x dx I
ax Q
bx c =
+ +
, deg Q xn( )2
Phương pháp Để giải dạng toán ta sử dụng phương pháp đồng hệ số, cụ thể ta giả sử
( ) ( ) ( )
n
n
2
x dx dx
I P x ax bx c k , deg P n
ax bx c ax bx c
Q
−
= = + + + = −
+ + + +
• Bước lấy đạo hàm vế ta có
( ) ( ) ( )( )
n n
2 2
Q x P' x ax bx c x 2ax b k , x
ax bx c ax bx c ax bx
P
c
− +
= + + + +
(164)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu
Tìm nguyên hàm hàm số sau
3
2
3x 4x 2x
I dx
x 4x
− − +
=
− +
Lời giải
Giả sử ( )
3
2
2
3x 4x 2x dx
I dx ax bx c x 4x k , x
x 4x x 4x
− − +
= = + + − + +
− + − +
Lấy đạo hàm vế ta có
( ) ( )( )
3
2
2 2
ax bx c x
3x 4x 2x k
2ax b x 4x
x 4x x 4x x 4x
+ + −
− − + = + − + + +
− + − + − +
( )( ) ( )( )
3 2
3x 4x 2x 2ax b x 4x ax bx c x k
− − + = + − + + + + − +
( ) ( ) ( )
3
3x 4x 2x 3ax 2b 10a x 10a 6b c x 5b 2c k
− − + = + − + − + + − +
3a a 2b 10a b 10a 6b c c 5b 2c k k
= =
− = − =
− + = − =
− + = =
( )
3
2
2
3x 4x 2x dx
I dx x 3x x 4x
x 4x x 4x
− − +
= = + + − + +
− + − +
( )
( )
2
2
dx
x 3x x 4x
x
= + + − + +
− +
(x2 3x x) 4x ln x 2( ) (x 2)2 1 C
= + + − + + − + − + +
Dạng 8 Phương pháp Euler
Phương pháp Ý tưởng phương pháp ta khử đại lượng ax2+bx c+ cụ thể qua phép đặt sau:
• Khi a 0 ta đặt ax2 +bx c+ = ax t+
Bình phương vế ta có ax2+bx c ax+ = 2 axt t+ 2, giả sử trường hợp dấu " "− trước a ta
2
t c
x
b at − =
+
( )
2
2
2
t a bt c a t a bt c a ax bx c dx dt
2 at b 2 at b
+ + + +
+ + = =
+ +
• Khi c 0 ta đặt ax2+bx c tx+ = c
Bình phương vế rút gọn làm tương tự trường hợp ta giải tốn
• Khi ax20+bx0+ =c ta đặt ( )
0
(165)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
toán Chú ý phương pháp áp dụng cho mà ax2+bx c a x x+ = ( − 0)(x x− 1)
Ý tưởng đơn giản thế, sau ta tìm hiểu qua toán cụ thể
Câu
Tìm nguyên hàm hàm số sau a) x x2 2+4dx b)
2
dx I
x x x
=
+ + +
c)
2
dx I
1 2x x
− − =
+ + −
d) ( )
( )
2
2
2 x dx I
x x 4x
− =
− − + −
e)
2
dx I
1 x 4x
=
+ − +
f)
2
2
x x x
I dx
x x x
+ − −
=
− − −
Lời giải
a) Đặt
2
2 2 t
x x t x x 2xt t x
2t −
+ = − + = − + =
2
2
2
t dx dt
2t
t t x t
2t 2t
+
=
− +
+ = − = −
( )2
2
2 2
2
t 16 t t t
I dt dt
2t 2t 2t 16t
− − + +
= − = −
Đến nguyên hàm hàm phân thức rồi, mời bạn chiến
Ngồi muốn giới thiệu cho bạn phương pháp hay sưu tầm từ thầy Nguyễn Đăng Ái
Đặt ( )
t t
t t t t
e e
x e e dx e e dt
2 −
− −
−
= = − = +
Ta có x2+ =4 (et −e−t)2+ =4 e2t− +2 e−2t+ =4 e2t+ +2 e−2t = (et +e−t)2 = +et e−t
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2 ln t t t t t t ln 2t 2t
0 0
I x x 4dx + e e− e e− e e dt− + e e− dt
= + = − + + = −
( )
( ) ln 1( 2) ( )
ln 4t tt 4t 4t
0
0
1
e e dt e 2t e 2 ln 4
+
+ − −
= − + = − − = − +
b) Đặt x2+ + = − + x x t x2 + + = − +x ( x t)2 =x2−2xt t+
( ) ( )
( ) 2
2
2
2 t t t
x 2t t x dx dt 2t 2t
+ + −
+ = − = =
+ +
( )
( ) ( )
2
1 3
2
2
0 1
2 t t dt
dx 3
I dt
t 2t
t 2t 2t x x x
+ + + +
= = = − −
+
+ +
+ + +
(166)T Ạ P CH Í VÀ TƯ LI Ệ U TO ÁN H Ọ C ( ) ( )
2 2
2
2 2
2t 2t 4t 2x x 2xt x t x t 2t x dx dt
t t 1
− − + + + = − + = − = = + + ( ) ( )
1
2
2 2
2
t 2t dt dx
I
2t
1 2x x 1 .t 1 t 1 t − − − − − − + + = = − + − − + − + +
2( ( )( ) )
2
t 2t dt t t t
− − − − + + = − + ( ) 2 1
1 dt ln t 2 arctan t 2 arctan 1 2 1ln 2 t t t t 2
− − − − − − − = − + − == − = + − − − +
d) Ta nhận thấy − +x2 4x 3− =(x x− )( − ), đặt − +x2 4x 3− =(1 x t− )
( )2 ( )
2 2
x 4x x t x t x
− + − = − − = − ( ) ( ) 2 2 2
t 4tdt x t t x dx
t t 1
+ − + = + = = + + ( ) ( ) ( ) 2
2 1
2
2 3
2
2 x dx t 4tdt t 1dt 4t t 1 x x 4x t
t
I= − = −− − − = −− − + − − + − + + ( ) ( ) ( ) 1 3
1 dt t arctan t arctan arctan t − − − − = − = − = − + − − + + ( )
3 arctan arctan 3
4
= − + − = − + − = − −
e) Tương tự ta thấy x2−4x 3+ =(x x 3− )( − ), đặt x2−4x t x 1+ = ( − )
( )2 ( ) ( )
2 2 2
2
3 t
x 4x t x x t x x t t x
1 t − − + = − − = − − = − = − ( ) ( ) 12
2 0 2 3 2
2
2
2
4tdt dx 4tdt dx I
3 t x 4x
t t 1 t 1 t − − = = = − + − + − − + − − ( ) ( )
3 5
2 2
3 3
4t 4 dt 2t dt
4tdt 2 4 dt
t 2t t 2t t 2t t 2t
− − − − − − − − − + − = = = + − − − − − − − − ( ) ( )
3 2
2
3
3
d t 2t dt t 1 2 ln t 2t ln
t 2t t t
− − − − − − − − − − = + = − − + − − − − − + ( )( )
(1 1)( 2)
4
2 ln ln
2
+ + + −
+
= +
+ + − + +
f) Đặt x2− − =x t x 1( + ) ( )
( ) 2 2 2 2
t 6tdt x x t x x dx
1 t 1 t
+ − − = + = = − − ( ) ( ( ) ( )() ) 10 10 2 5
1 2
2
3
6t 18t dt x x x t 3t 6tdt
I dx
t 3t t t t x x x t
(167)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
10 10 10 39 15 10 19 10
20ln ln ln
5 5
− + − −
= − − +
Sau ta chuyển sang dạng tích phân tổng quát việc giải tốn vơ tỷ, kể tới tích phân Chebyshev, sau ta bắt đầu với nó!
Dạng Tích phân Chebyshev có dạng I=x a bxm( + n)pdx với m, n,p số hữu tỷ Tích phân gọi tích phân Chebyshev, ơng đưa điều kiện để nguyên hàm tính Cụ thể tính phép tốn đặt phép tốn thơng thường rơi vào trường hợp sau
• Nếu p Z gọi k mẫu số chung nhỏ phân số tối giản biểu diễn m n
• Nếu m Z
n
+
ta gọi S mẫu số p đặt a bx+ n =t
( ) ( )
1
1 m m 1
n n p 1
n n
t a t a
x dx dt F m, n,p b t t a dt
b n b n
− − + +
−
− −
= = = −
• Nếu m p Z
n
+
+ ta gọi S mẫu số p đặt
n s n
a bx t
x +
=
( )p m np( )p
m n n
x a bx dx x + ax− b dx
+ = +
Ta có m np m p Z
n n
+ + = − + +
−
Đến ta quay trường hợp ban đầu
Sau ta tìm hiểu số ví dụ phần nhé!
Câu
Tìm nguyên hàm hàm số sau a)
4
xdx I
1 x
= +
b)
( )2
3
xdx K
1 x
= +
c)
3
xdx I
1 x
= + d)
3
3
dx I
x x
=
−
e) I=3 3x x dx− f)
4
dx I
x x
=
+
Lời giải
a) Ta có
1
1
4
4
3
xdx
I x x dx m ;n ;p Z k
4
1 x
−
−
= = + = = = − =
+
(168)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
2
2
2
dt t dt dt 2t 2
t t 1
t
2
= − − +
+ +
− +
4
3
4
4 x
2 x arctan ln x ln x C
3
3
−
= − − + + + +
b) Ta có
( )
2 1
3
2
xdx 1
K x x dx m ; n ;p Z k
1 x
−
= = + = = = − =
+
Đặt t= x = x t6 dx 6t dt= ( )
( ) ( )
3 8
2
2
t 6t dt 6t dt K
1 t t
= =
+ +
( ) ( )
2
4
2 2
2
4t dt t 2t dt t 2t dt
t
t t
+
= − + − = − + − +
+ + +
5
t 2t
6 3t arctan t 6J
5
= − + − +
, đặt ( )2
dt dt
I ; J
t t 1
= =
+ +
Xét nguyên hàm
( )
2
2 2 2
1 t t t dt I dt td
t t t t t 1
= = − = +
+ + + + +
( )
( ) ( )
2
2
2 2 2 2
t 1
t t dt dt t
2 dt 2 2I 2J t t 1 t t t 1 t
+ −
= + = + − = + −
+ + + + + +
( )
2
t t
2J J arctan t C t t
= + = + +
+ +
( )
5
2
t 2t t
K 3t arctan t arctan t C t
= − + − + + +
+
8 8
8
3 21 arctan x x 20 x 90 x C
x
− +
= − + +
+ c) Ta có
1 2 3
xdx m
I x x dx m 1; n ;p Z n
1 x
+
= = + = = = =
+
Đặt t= 1+3x2 t2 = +1 x2 (t2−1)3 =x2 2xdx 6t t= ( 2−1 dt)2
( 2 )2 ( ) ( )
2
2
3
3t t dt xdx
I t dt t 2t dt t
1 x
−
= = = − = − +
+
( ) (5 ) (3 )
2
3 3
5 2
3t 2t 3t c 1 x 2 1 x 3 1 x C
5
= − + + = + − + + + +
d) Ta có ( )
1
3 3
dx m
I= = x− x− − dxm= −3;n 3,p= =− + + = − p Z
(169)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Đặt
( )
3 3
3
2
3 3 3
2 x x 2 2t dt t t x x dx
x x x t t 1
− − −
= = = − = =
+ +
( )
2
2
3
3 3
6
3
dx x dx 2t dt I
2
x x x x t t t
x
−
= = =
− − +
+
2
2
1 tdt t C x C 2x
− − −
= = + = − +
e) Ta có I 3x x dx3 m 1; n 2,p m p Z
3 n
+
= − = = = + =
Đặt
( )
3 3
3
2
3 3
3x x 3x x 3 9t dt t t x 2xdx
x x x t t 1
− − −
= = = − = =
+ +
( )
( ) ( )
3 3
3
2 3
3
1 3x x t dt 3t dt I 3x x dx 2xdx td
2 x t 1 t t t
− −
= − = = = = −
+ + +
+
Ta có
( )( )
2
3 2
dt dt 1ln t 2t 1 arctan 2t C
t t t t t t 3
+ + −
= = + +
+ + − + − +
( )
2
3t t 2t 1 2t I ln arctan C
2 t t
2 t 3
+ + −
= − + +
− +
+
( )3
3
3 x 3x x x 3
x 3x x 1ln 3 arctan2 3x x x C 4 x
− +
− − −
= − − +
f) Ta có ( )
1
4 2
4
dx m
I x x dx m 4,n 2,p p Z
2 n
x x
−
− − +
= = + = − = = + = −
+
Đặt
( )
2
2
2
2 2 2
1 x x 1 tdt t t x xdx
x x x t t 1
+ + −
= = = + = =
− −
( )
( ) ( )
3
2
4 2
6
t
dx xdx tdt
I t dt
t
x x x x t x
− −
= = = = − −
+ + −
( 2)3 ( 2 ) 2
3
3
1 x 2x 1 x t t C x C C 3x x 3x
− + − +
− +
(170)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Nhìn chung phương pháp có đơn giản thơi, sau ta vào ví dụ cụ thể
Câu 10
Tìm nguyên hàm hàm số sau a)
( )
8
4
x x I dx
x x
− =
+
b)
3
x x
I dx
x x
+ =
+ +
c)
1 3
dx I
x x
=
+
Lời giải
a) Ta có
( ) ( )
1
4
4
8
x x x x I dx dx
x x x x
− −
= =
+ +
, nhận thấy BCNN 4,8( )=8 nên ta đặt
( )
2
8 7
8
2 2
t t t
t x x t dx 8t dt I 8t dt dt
t
t t
− −
= = = = =
+ +
2
4ln t arctan t C 4ln x arctan x C
= + − + = + − +
b) Đặt t= 32 x+ t3 = + 2 x dx 3t dt=
( ) ( ) 6 3 2
2
3 3
t t t 2t t 2t 4
I 3t dt dt t t dt
t t t t t t
− − − −
= = = − − +
− + + − + −
4 2
3
t t t 2t
3 2t dt
4 t t
− −
= − − +
+ −
4
2
t t 2t
3 2t ln t ln t t arctan C
4 7
− +
= − − + − + + + + +
c) Đặt t= 3x t3 = x dx 3t dt=
2
2
3 3
1
3t dt dt
I
t t t t
= =
+ +
Đặt u= 31 t+ u3 = + 1 t dt 3u du=
( ) ( )( )
3
3
2
2 3
3
3
1 2
dt 3u du 3udu
I 3
u u u u u
t t
= = =
− − + +
+
( )
( )
3
3 3 3
3
3
3ln 3 arctan 2 3 arctan 2 2 2 2 1 3
− + +
= + −
−
Dạng 11 Nguyên hàm
n
s r n
ax b ax b I R x, , , dx
cx d cx d
+ +
=
+ +
với m,n, ,r,s số
nguyên dương
Phương pháp
Đặt
( ) ( )
r m
s n
ax b td b ad bc td b ad bc
t x ;dx dt I R ,t , ,t dt
+ = = − = − = − −
(171)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Gọi k bội số chung nhỏ số n, s Đặt t u= k
( ) i ( )
r
m k
m k
s n
2
r
2 k
td b ad bc u td b ad bc
I R , t , , t dt R , u , , u ku du a ct a ct a ct a cu
−
− − − −
= =
− − − −
Nhìn chung phương pháp có đơn giản thơi, sau ta vào ví dụ
Câu 11
Tìm nguyên hàm hàm số sau a)
( )( )2
dx I
x x =
− +
b)
2
3
2
1 x x
I dx
x x x
+ +
= −
− − −
c)
( ) (n )n n
dx I
x a + x b −
=
− −
Lời giải
a) Biến đổi nguyên hàm ta
( )( )2 3
dx x 1
I dx
x x x x
+
= =
− +
− +
Đặt
( )
3
3
2
3 3
x x t 6t dt t t x dx
x x x t t 1
+ + + −
= = = + = =
− − − − −
( )
3
3
2
3 3
x dx t 6t dt dt
I t
x x 2t t 1 t
+ − −
= = = −
− + − −
( ) ( )
2
2
1 t t 2t 1 t 2t
ln arctan c ln arctan C
2 t t
+ + + − +
= + + = + +
− −
( )
3
3 3
3
1 2 x x ln arctg C x 1 x 1 x
+ + −
= + +
− + − −
b) Ta có
2
2
3
3
2
1 x x 1 x x
I dx dx
x x x x x x
+ + + +
= − = −
− − − − − −
Đặt
( )
5
6
2
6 6
x x 2 12t dt t t x dx
x x x t t 1
+ + −
= = = + − = =
(172)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
c) Ta có
( ) (n )n n 1( )
n 2
n
dx dx I
x a x b x b x a x a
+ − −
= =
− − − −
−
Đặt ( )
( )
n n
n
2
n n
b a nt dt x b x b a b a b
t t x a dx
x a x a x a t t 1
− −
− − − −
= = = + − = =
− − − − −
( ) n
1 n n
b a nt dt
1 nt
I dt C
b a b a a b
t
t
−
−
−
= = +
− −
−
−
KỸ THUẬT LƯỢNG GIÁC HÓA
Đơi tính tích phân ta gặp số toán dấu thức chứa số hàm có dạng đặc biệt mà khó tính bình thường ( đặt ẩn phụ khơng ra, ), ta nghĩ tới phương pháp lượng giác hóa Với dạng sau ta sử dụng phương pháp
Dấu hiệu Cách đặt
2
a −x
t ; 2 t 0; x a sin t
x a cos t
−
=
=
2
x −a
t ; \ 2
a x
sin t a
t x
cost ; \
=
=
−
2
a +x
( )
t ; 2 t 0; x a tan t
x a cot t
−
=
=
a x
a x +
− (
a x a x −
+ ) x a.cos 2t= với t 0;
(
t 0; )
(x a b x− )( − ) x a= +(b a− )sin2t
với t 0;
2
(173)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu
Tính tích phân sau:
1 2
0
I= x dx−
( )
1
2
0
dx I
4 x x
=
− −
3 2
0
I= x x dx−
( )
1
2
3
0 2
x dx I
1 x
=
−
5
5
5 x
I dx
5 x + =
−
Lời giải
Hãy thửđặt bút làm câu theo cách bình thường xem vấn đềởđây nhé!
Trước tiên ta thấy dấu hiệu 1, ta áp công thức vào! Đặt x sin t, t ; dx cos tdt
2
= − =
( )
2
2
0
0
1 I cos tdx cos 2t dt t sin 2t
2
= = + = + =
2 Đặt x sin t, t ; dx cos tdt
2
= − =
( )
6
6
2
0 2
0
2 cos tdt dt 1 I tan t
4 cos t 4 4 sin t
= = = =
−
3 Đặt x sin t= dx cos tdt= Ta được:
( )
2 2
2 2
0 0
0
1 1 I sin t sin t cos tdt sin t cos tdt cos 4t dt t sin 4t
8 16
= − = = − = − =
4 Đặt x sin t,t ; dx cos tdt
2
= − =
( ) ( )
= = = = − = −
−
6 6 6 6
2
3
0 2 0
sin t cos tdt sin tdt I tan tdt tan t t
cos t sin t
(174)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( )
( ) ( )
+
= − = = + = +
−
− = +
6 4 4
4 6
6
5 cos 2t sin 2t I 10 sin 2tdt 10 cos t 10 cos 2t dt 10 t
5 cos 2t 2
10
12
Câu
Tìm nguyên hàm sau:
2
dx I
a x
=
−
2 I 2dx 2 a x
= +
3
2
x
I dx
4 x =
−
4
2
x dx I
1 x =
−
( 2)3
1
dx x+
Lời giải
1
2
dx I
a x
=
−
Đặt x a sin t= , t ; cos t
2
−
, dx a cos tdt= ,
x t arcsin
a
=
Do = = = = +
− −
2 2
dx a cos tdt
I dt t C
a x a a sin t
Vậy
2
dx x
I arcsin C
a
a x
= = +
−
2 I 2dx 2
a x
= +
Đặt x a tan t= , t ;
2
−
= = ( + )
2
adt
dx a tan t dt cos t , =
x t arctan
a
Do = = + = = +
+ +
2 22 a(tan t 1)dt
dx dt t
I C
a x a a tan t a a
Vậy = = +
+
2
x arctan dx a I C
a x a
3
2
x
I dx
4 x =
−
Đặt x cos t= với t(0;), dx= −2 sin tdt
( )
( )
2 2
2
2
x cos t.2 sin tdt cos t.2 sin tdt
I dx cos tdt sin t
4 x cos t cos 2t dt 2t sin 2t C
= = − = − = −
− −
= − + = − − +
(175)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Ta có x cos t= với t(0;)sin t 0 Nên
2
x x x x
sin 2t sin t.cos t
4 2
−
= = − =
Vậy
2
2
x x x x
I dx arccos C
2
4 x
−
= = − − +
−
4
3
x dx I
1 x =
−
Đặt x sin t= dx cos tdt= với − cos t 0 cos t= −
2
t x
2
( ) ( ) ( )
3
3 2
2
3
x dx sin t.cos t
I dt sin tdt sin t.sin t dt cos t d cos t cos t
1 x
cos t cos t C
3
= = = = = − −
−
= − + +
Vậy = = − − +( − ) − +
−
2
2
1 x x x dx
I x C
1 x ( có thể giải cách đặt t =
2
1 x− )
5
( 2)3
dx x+
Đặt x tan t,= − t cost 0
2 ,
dt dx
cos t
=
( 2)3
2
2
dx dt
I cos tdt sin t C
1 x cos t
cos t
= = = = +
+
Ta có
=
+ =
− +
=
=
+
2
2
2
x sin t
sin t cos t
1 x , t ; cos t
sin t 2 2 1 x cos t
cos t
1 x
Vậy
( 2)3
dx x
I C
1 x x
= = +
+ +
Câu
Tính tích phân tìm ngun hàm sau:
1 ( )
3
2
1
1 x I dx
x
− =
2
( )
2 2
1
xdx I
x 2x x
− − =
− + −
1 x dx2
=
6
( 2) 2 ( )
dx
I a
x a x a
=
− −
2
2a a
x a
I dx
x − =
8
2
2a x a
(176)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
5
2
2
x dx I
x
=
−
Lời giải
1 Đặt = −
x sin t; t , \ 2
( 2 )3 ( )
4
4
1 2
6
3
6 6
1 sin t cos tdt cos tdt cos tdt cos td cos t I
sin t sin t sin t sin t
−
= = = = −
( )
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
4
4
2 0 0 2
3 3
6 2
0
2 2
2
2
1 u
cos td cos t u du du u
du du
1 u cos t u u u
− − +
= = = = −
−
− − − −
( ) ( ) ( )( )
3 3
2
2 2
2
2
0 0
2
0
1 u u
1 du u du 1 du u du u u u u u u
+ + − + +
= − = + −
+ − − − + −
( ) (2 )2
3
2
0
2
2
1 1 du 1 du 1 u 1 u u u
= + + − −
− −
− +
( )
3
0
1 1 3ln u 4u 3 3ln 3 3 ln 2 3 u u u 2
+ +
= − − + = − + = − +
− + − −
2 Ta có
( ) ( ) ( )
( )
1 2
2 2 2 2 2 2
1 3
u du xdx xdx
I
x 2x x x 1 4 x 1 u u
− − −
− − −
+
= = =
− + − − − − −
Đặt = −
u sin t; t ; \ 2
( ) ( ) −
− − −
− − −
−
+ +
= = = − +
2 2
4
4 4
3 3
3
1 sin t cos tdt sin t dt 1 dt
I cot t
4 sin t sin t sin t cos t
( )
−
−
− −
− −
− − − +
= + = − = −
− − −
3
3 d cos t
3 sin tdt 3 3 1 cos t ln
12 cos t 12 cos t 12 cos t
− + − +
= − − = −
−
3 2 3 2
ln ln ln
12 2 12
3 Đặt = −
u sin t; t ; 2
( ) ( )
2
2
4
6
6
5
6
0 2 0
0
sin t cos tdt sin tdt 1 I tan td tan t tan t
cos t sin t
= = = = =
−
4 Đặt =
1
x ;t 0; ;
(177)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
= = = = = − =
−
2
3 3
4 4
sin t dt
sin tdt sin tdt cos t
I dt
cos t.tan t 12 1 1 cos t tan t
cos t cos t
5
2
2
x dx
I ,
x
=
−
đặt =
1
x ;t 0; ; cos t 2
3
2 2 2 4
2
4
2
2
4
3
4
2
1 sin t dt sin t
x dx cos t cos t cos t cos tdt
I
cos t
x 1 sin t
cos t cos t
= = = =
− −
( )
( ) (( ) ()( )) ( )
2
2
4 2
4 4
3cos tdt d sin t sin t sin t d sin t
cos t 1 sin t sin t sin t
+ + −
= = =
+ −
−
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
4
3
1 1 d sin t 1 d sint sin t sin t 1 sin t 1 sin t sin t
= + = + +
− + −
− +
4
1 1 ln sin t 2 ln sin t sin t sin t 3
+ +
= − + = − + −
− + − − + −
+ − +
− + = +
− + − +
1 2 ln 2 1ln7 4 2 2 2 2
6 Đặt x a ;t 0, ,
cos t 2
=
2 3
2
2
1 a sin tdt a tan tdt I
cos t a cos t tan t 1
a a cos t cos t
= =
− −
( )
2 2 2 2
d sin t
dt cos tdt 1 C
a cos t tan t a sin t a sin t a sin t
−
= = = = +
Trong tan t 0 =1, tan t 0 = −1 Đặt =
a
x ;t 0; ; cos t 2
2
2 2
2
4 4
3 3
1 asin tdt
a
cos t cos t a tan t sin tdt
I a tan tdt
a cos t
cos t
−
(178)T Ạ P CH Í VÀ TƯ LI Ệ U TO ÁN H Ọ C − = = =
3 3 3
2
4 4
2 2 2
2
1 a sin tdt a
cos t cos t a tan t sin tdt sin t
I dt
a cos t a cos t + = − = − − −
=3 3 3 3
4 4
2
2
4
sin t 1 sin t
d(sin t) d(sin t) d(sin t) ln sin t cos t sin t sin t
+ −
= −
+
1ln 3
2 2
9 Ta có ( )
5 1 x I dx x +
= , đặt =
x tan t; t 0; ; 2
( 2 )5 ( )
2
8 8
4 4
6 6
1 dt dt
1 tan t cos t cos t cos tdt d sin t cos t
I
tan t tan t sin t sin t
+
= = = =
( ) (8 ) ( )
7 4
6
6
1 128 sin t d sin t 128
7 sin t 7
− − −
= = − = − =
10 Ta có
0
2 x
I dx
1 x + =
−
, đặt
( )
2
2
2 2
1 x u 4udu u x ;dx
1 x u u 1
+ − = = = − + + ( ) 2 4u du I u = +
Đặt =
u tan t; t 0; ; 2
( ) /3
2
4 /
4
3 3
I 4sin udu cos 2u du u sin 2u
2
= = − = − = + − Câu
Tính tích phân sau: 2 2
x x 2x dx
I
x 2x
x x 2x
− − + = − + + − + ( ) 2 x dx I
x x
=
+ +
3 ( )
3
2
1
3
x x I dx x + + =
2 x
I x dx
3 x + = − ( )( )( ) a b 3a b dx
I a b
x a b x +
+
=
− −
(179)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
1 Ta có
( )
( ) ( )
− − +
− − + + − +
= = =
− + − + +
+ − + + − + + + +
2
2
2
2
2
2 2
1
x x 1
x x 2x dx dx u u du I
x 2x x 1 u x x 2x x x 1 u u
Đặt u tan t; t 0,
2
=
( )
2
2 0
4
2
0
4
tan t tan t dt sin t cos t
I dt
sin t cos t cos t tan t
tan t tan t
+ − + + −
= =
+ +
+
+ + +
0
4
4 1 dt 2 dt 2J
sin t cos t sin t cos t
= − = − = −
+ + + +
0
4 4
0 2 2
dt dt dt J
t t t t t sin t cos t 2 sin cos 2 cos 2 cos 1 tan
2 2 2
= = =
+ + + +
4
12
4
0
t d tan
t
2 ln tan ln tan ln 2 I 2 ln 2 ln 2
t 2 8 4 4
1 tan
= = + = + = = − = −
+
2 Đặt x tan t; t 0,
=
( ) 4 ( )
2 2
4
2 2
2
0 0
4
tan t dt sin t sin t cos t sin t
I dt dt d sin t cos t cos t cos t sin t
1 tan t tan t
= = = =
−
+ +
( ) ( )
0
4
2
0
1 1 d sin t 1ln sin t sin t ln 1 2 sin t sin t
+
= − = − = + −
− −
3 Đặt x tan t; t 0,
2
=
( )
4 4
6
2
3
6
2
1 tan t tan t dt dt sin t
I dt
tan t cos t sin t.cos t sin t cos t
+ +
= = =
( ) ( ) ( ) ( )
4 4
6
2
2 2
6
d cos t d cos t
cos t cos t
d cos t d cos t
1 cos t cos t cos t cos t cos t
= + = + +
− − −
( )
4
2
0
1 cos t 1 1
2 ln d cos t cos t cos t cos t cos t
+
= − + −
− − +
/4
9
9ln cos t 1 1 9ln1 2 1 2 cos t cos t cos t cos t 2 3
−
+ +
= − + − = + − −
− − + +
(180)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
( ) ( ) ( )
4 4
6 6
2 2
54 cos 2t cos t dt 54 cos 2t cos 2t dt 54 cos 2t cos 2t dt
= = + = +
4
6
6
1 cos 4t cos6t cos 2t 27 1 54 dt 2t sin 4t sin 6t sin 2t
2 2
+ +
= + = + + +
27 3 3 27 3 2 4
= − + − + + = + −
5 Ta có
( )( )( ) a b
2 3a
4 b
dx
I a b
x a b x +
+
=
− −
, đặt
( )
= + −
2
x a b a sin t t 0;
2
( )
( ) ( )
4 4
2 2
6
2
6
b a sin 2tdt sin t cos tdt
I 2dt
4 6 sin t cos t
b a sin t sin t
−
= = = = − =
− −
Tổng kết lại Cùng nhìn lại phương pháp ta thấy dạng tích phân đưa hàm
lượng giác mà hàm ta tìm hiểu ởchương trước nên khơng có mới mẻ lạ lẫm Mấu chốt toán phát dấu đểđặt ẩn phụ, việc phát khơng việc bạn ☺
TỔNG KẾT
Ở ta tìm hiểu dạng tốn hay gặp dạng tính ngun hàm tích phân hàm vơ tỷ ta rút ra: thường có loại tập tính tích phân hàm vô tỉ với cách giải đặc thù sau:
• Phân tích, biến đổi để làm thức ( biến đổi thành bình phương đưa ngoài; nhân lượng liên hợp để )
• Sử dụng phương pháp đổi biến, phương pháp phổ biến để giải tốn tích phân hàm vơ tỷ, ta thường gặp dạng sau đây:
Dạng I R x, ax b dx( n )
= + (với R x( ) hàm số hữu tỉ biến x)
Cách giải Đặt t=nax b+
Dạng I R x, x , x , , x dx( m p n q s r)
= (với R x( ) hàm số hữu tỉ biến x)
Cách giải Với k BCNN m,n, ,s= ( ) ta đặt t=kx =x tk
Dạng 3. I R x, ax( bx c dx)
= + +
+ Cách Đặt t= ax2+bx c+ (nếu giải được)
(181)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
2 2
ax +bx c+ = A −u đặt u A cos t= với t (hoặc u A sin t= với t
2
− )
2 2
ax +bx c+ = u +A đặt u A tan t= với t
2
− ( )*
2 2
ax +bx c+ = u −A đặt u A
cos t
= với t t
2
( )* * (với u biểu thức chứa biến x và A số)
+ Cách Sử dụng cách biến đổi phần
Dạng I R x,n ax b dx
cx d
+ =
+
(với R x( ) hàm số hữu tỉ biến x)
Cách giải Đặt
'
n n
n n
n n
ax b ax b b dt b dt t t x dx dt
cx d cx d ct a ct a
+ + − −
= = = =
+ + − −
Dạng 5.I R x, a x dx
a x
− =
+
I R x, a x dx
a x
+ =
−
Cách giải Đặt x a cos 2t= sử dụng công thức cos 2t sin t− = , cos 2t cos t+ =
Dạng
( )( )
1
I R x, dx ax b cx d
=
+ +
(với R x( ) hàm số hữu tỉ biến x)
Cách giải: Đặt t= ax b+ + cx d+
Các em có thểxem thêm cách đặt biến số hàm vô tỉở phần phương pháp đổi biến số dạng và dạng
Chú ý Đối với tốn tính
2
dx
x k
ta khơng cần lượng giác hóa cách đặt phần ( )* ,( )* * ta trình bày sau:
Cách 1: Biến đổi ( )
( ) (( ) () )
2
2
2 2
x x k dx d x x k
dx ln x x k x k x x k x k x x k
+ +
= = = + =
+ +
Cách 2: Đặt
2
2 2
x x x k tdx dt dx
t x x k dt dx dx
t
x k x k x k x k
+
= + = + = = =
Đổi cận
2
x t t
x t t
= =
= =
2
2 1
t
t 2
t
1 t
t
dx dt ln t ln .
t t
x k
= = =
(182)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP
ĐỀ BÀI
Câu Tính tích phân hàm số sau a)
1
0
dx I
x x
=
+ +
b)
1
2
x dx I
x x
=
+ +
c)
( )
1
dx I
x x x x =
+ + +
Câu Tính tích phân hàm số sau a)
3
1
1 x
I dx
x +
= b)
1
dx I
x 4x
=
+ +
Câu Thực yêu cầu a) Cho
2
3 a
x 28
I dx
3 x
= + =
+
, tính 6a+ a+
b) Cho ( )
a
dx
I ln , a
4
x x
= =
+
, tính a2
Câu Tính tích phân sau a)
6
4
x I dx
x x
− =
+ +
b)
( )
3
2
2 x I dx
2 x x
− − =
+ −
c)
3 5
1
I dx
x
=
−
d)
1
a
I dx 3x 12
=
+
Câu Cho tích phân
( )
5
x a b
dx ,
c x
+ = −
+
với a, b, c số nguyên dương b
c
phân số tối giản Giá trị biểu thức a b c+ +
A 14 B 20 C 28 D 38 Câu Đặt ( ) ( )
( ) ( )
2n 2
1
n n
n 0 2 2n 2 n
x 2x 2x 1
I dx
x + x +
+ +
+
= −
+ +
Tính n
n
I lim
I +
A 1 B 1
2 C −1 D
Câu Cho tích phân
3
2
3
1
x x dx a. c
x b d
−
= −
a, b, c,d số nguyên dương, a c,
b d
các phân số tối giản Giá trị biểu thức a b c d+ + +
A 48 B 66 C 41 D 61 Câu Cho f x( ) liên tục có đạo hàm \ Biết ( )
2
4
x
f x dx
x x x
= −
+ +
Biết f( )3 30 15,
3
+
(183)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
A 2 5+ B 6 C 5+ D 10 Câu Đâu họ nguyên hàm hàm số ( ) ( )
2
x x 2x f x
x 2x
+ + −
=
+ −
A
2
2
1ln x 2x 1 x 2x C x 2x 1
+ − + − + − + + − −
B
2
2
1ln x 2x 1 x 2x C x 2x 1
+ − +
+ + − + + − −
C
2
2
1 x 2x 1
ln x 2x C x 2x 1
+ − − − + − + + − +
D
2
2
1ln x 2x 1 x 2x C x 2x 1
+ − −
+ + − + + − +
Câu 10 Cho
5
3
x x a c
dx ln ,
x b d
+ + = +
với a, b, c,d số nguyên dương, a c,
b d
phân số tối giản Giá trị biểu thức a b c d+ + +
A 104 B 238 C 204 D 190 Câu 11 Cho tích phân
3
2
1
9
cos cos
b 8 8
I 2x 2dx a
c a a
= − + + = − −
+ −
, với a, b, c
các số nguyên dương b
c phân số tối giản Biểu thức a b c+ + có giá trị
A 38 B 53 C 87 D 58 Câu 12 Cho ( )
( )
x
F x dx x 4x 6x
− =
+ + +
Biết F 0( ) 1ln 4ln
2
= + + −
Gọi
M GTNN F x( ) đoạn 1; M có giá trị xấp xỉ
A 0.3364 B 0.3365 C 0.3367 D 0.3368 Câu 13 Cho ( )
4 m
2
x x
F m dx
x x
−
− − =
+ +
Tìm khoảng đồng biến F m( )
m 1+
A (−1;0) B 0;1
2
C
1
; 2
D
3 ;
+
Câu 14 Cho ( )
3
2 dx
(184)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 15 Cho f x( ) liên tục có đạo hàm \ 0 , a ( ) ( )
1
I= f ' x f x dx Biết
( ) ( ) 3
x 2018x
f x f y
2018y y
+ = + f 1( )=m số Tìm GTNN I theo m
A m B 1 m m− C 2(1 m m)
3 − D ( )
1 m m −
Câu 16 Tính nguyên hàm hàm số f x( )=x x2 +a theo a
A ( )
3 2
2x ax x a a ln x x a C
+ + − + +
+
B ( )
3 2
2x ax x a a ln x x a C
+ + + + +
+
C ( )
3 2
2x ax x a a ln x x a C
+ + − + +
+
D ( )
3 2
2x ax x a a ln x x a C
+ + + + +
+
Câu 17 Cho
( )( )
3
0 2
dx a b ln c ln I
6 x x x
+ +
= =
+ + + +
với a, b, c số nguyên
Tính a b c+ +
A 6 B 4 C 0 D −2 Câu 18 Cho
1
1 xdx a b 3
c d
1 x
−
= − −
+
với a, b, c,d số nguyên dương b
c
phân số tối giản Tính ac bd+
A 22 B 24 C 26 D 28
Câu 19 Giả sử tồn f x( ) g x( ) liên tục có đạo hàm thỏa mãn
( ) ( ) ( ) ( )
f x g ' x =g x f ' x Biết f 1( )=2g 1( )=4 f 0( )=3g 0( )=9, tính giá trị biểu thức tích phân ( ) ( ) ( )
( )
0
g ' x f x ln g x dx g x
A ln ln 2+ − B ln ln 27 2− + C ln ln 2− + D ln ln 27 2− − Câu 20 Ta đặt ( )
n n
n n
x x
F x dx
x + −
= Biết F 1n( )= 0 n Tính nlim F 2→+ n( ) A 1 B − C −1 D + Câu 21 Cho tích phân ln x
ln e +1dx aln bln c= + +
với a, b, c số nguyên dương
Tính − + +a b c
(185)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu 22 Tính tích phân
2
x
4 x
I dx
4
− − =
+
A 4 B C 2 D 2 Câu 23 Tính nguyên hàm hàm số ( )
2
x x
f x
1 x x + =
+
A. ( )
4 1 x x C
9 + + B. ( )
3
2 1 x x C + +
C. ( )
4 1 x x C
3 + + D. ( )
3
2 1 x x C + +
Câu 24 Cho tích phân
( ) ( )
2
2
0
x
dx a bln 1+ x+ 2+ x+ = +
Tính ab
A −634 B 504 C 634 D −504 Câu 25 Biết
2
3
3
2 11
1
1 1 a
x dx c
x x x b
− + − =
, với a, b, c nguyên dương, a
b tối giản
c a Tính S a b c= + + ?
A S 51= B S 67= C S 39= D S 75=
Câu 26 Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn f( x 1)dx 2( x 3) C
x x
+ + +
= +
+ +
Nguyên hàm hàm số f 2x( ) tập + là:
A
( )
x C
2 x
+ +
+ B
x C x
+ +
+ C ( )
2x C x
+ +
+ D ( )
2x C x
+ + +
Câu 27 Tìm tất giá trị dương tham số m cho m x 12 500 m2
0 xe dx e
+ = +
A m 2= 250 2500−2 B m= 21000+1 C m 2= 250 2500+2 D m= 21000−1 Câu 28 Giả sử a,b,c số nguyên thỏa mãn
4
0
2x 4x 1dx
2x
+ +
+
3( )
1
1 au bu c du
2
= + + ,
trong u= 2x 1+ Tính giá trị S a b c= + +
A S 3= B S 0= C S 1= D S 2=
Câu 29 Biết ( )
4
0
2x 1dx
a bln cln a,b,c
3 2x 2x
+ = + +
+ + +
Tính T 2a b c= + +
(186)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 31 Biết
4 x
b c
2x
1 x e
dx a e e
4x xe
+
+ = + −
với a, b, c Tính P a b c.= + +
A P= −5 B P= −4 C P= −3 D P 3.= Câu 32 Biết
2
0
2 xdx a b c
2 x
+
= + +
−
với a, b, c Tính P a b c.= + +
A P= −1 B P 2.= C P 3.= D P 4.=
Câu 33 Trong giải tích, I=x axm( n+b dx)p với a, b m, n,p \ 0 gọi tính (có thể biểu diễn hàm đa thức, hữu tỷ, lượng giác, logarit, .) số p,m 1,p m
n n
+ + +
là số nguyên Xét nguyên hàm
( )
a a
x dx I
x
=
+
, hỏi có số a2, 3, 4, 5,6,7,8,9,10 để I tính được?
(187)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu
Tính tích phân hàm số sau a)
1
0
dx I
x x
=
+ +
b)
1
2
x dx I
x x
=
+ +
c)
( )
1
dx I
x x x x =
+ + +
Lời giải
a) Ta có
( )( )
1 1
0 0
dx x x x x
I dx dx
x x x x x x x x
+ − + −
= = =
+ −
+ + + + + −
( ) ( ) ( )
1 3
2
0 0
2
x x dx x x 2
3
= + − = + − = −
b) Ta có ( )
( ) ( )
3 1
1 1
3
2
2
0 0
x x x dx
x dx x x x dx x x dx x J 1. 5 x x
x x
− +
= = + − = + − = −
− + + +
Tính
1
3 2
0
J=x x dx+ =x x xdx+
Đặt t= x+ t2 = +1 x2 tdt xdx= Đổi cận: x t
x t
= =
= =
( ) ( )
2
2
1 1
t t 2 1 2 J t t.tdt t t dt
5 5 15 15
= − = − = − = − − − = +
2 2 2
I
15 15 15 15
= + − = −
Nhận xét Ở câu a) câu b) ta nhân lượng liên hiệp để khử mẫu đưa tốn dễ tính
c) Do ( x 1+ + x)( x 1+ − x)=1 nên ta có
( )
2 2
1
1 dx 2 x x 1 4 2 2
x x
= − = − + = − −
+
(188)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu
Tính tích phân hàm số sau a)
3
1
1 x
I dx
x +
= b)
1
dx I
x 4x
=
+ +
Lời giải
a) Đặt t= x+ t2 = +1 x2 tdt xdx= Đổi cận x t
x t
= =
= =
Khi
3 2 2
2 2
1 2
1 x t t 1 I xdx tdt dt dt
x t t t
+ − +
= = = = +
− − −
( )
2
2
1 1 t 1 dt t ln 2 ln ln
2 t t t
−
= + − = + = − + + −
− + +
b) Đặt t= x 1+ + x 3+ Đổi cận x t
x t 2
= = +
= = +
( )( ) ( )( )
( )( )
2
2 3
1 x x dx dt dx dx t
2 x x x x x x dx 2dt dt 2
I 2 ln t ln
t t x x
+
+ + +
+ + +
= + = =
+ + + + + +
+
= = = =
+
+ +
Câu
Thực yêu cầu a) Cho
2
3 a
x 28
I dx
3 x
= + =
+
, tính 6a+ a+
b) Cho ( )
a
dx
I ln , a
4
x x
= =
+
, tính a2
Lời giải
a) Ta có
2 2
3
a a
x I 4dx dx
1 x
= +
+
Tính
2
3 a
x B dx
1 x
= +
Đặt x3 t x3 t2 x dx2 2tdt
3
+ = + = = Khi
2
2
3
3
a a
x 2
B dx x b
3
1 x
= = + = − +
+ Ta có
2
3
a
2
I 4x x 10 4a a
3
= + + = − + +
3 3
28 10 4a 1 a 4a 1 a 6a 1 a 1
(189)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Vậy P 6a= + a+ =1
b) Đặt t= x2 + 4 t2 =x2+ 4 tdt xdx.= Đổi cận: x t 2
x a t a
= =
= = +
2 2
2
a a a a
2
2
3 3
5
a 2
2
xdx dt dt 1
I dt
t (t 2)(t 2) t t x x
1 t a ln ln
4 t a 4 2
+ + +
+
= = = = −
− − + − +
+
− + −
= =
+ + +
Ta có ( )
2
1 a
I ln ln ln , a 4 a 4 2
+ −
= =
+ +
( )
2
2 2
2
a 3 a 4 2 a 4 2 a 4 4 a 3 a 12.
a
+ −
= + − = + + + = = =
+ +
Câu
Tính tích phân sau a)
6
4
x I dx
x x
− =
+ +
b)
( )
3
2
2 x I dx
2 x x
− − =
+ −
c)
3 5
1
I dx
x
=
−
d)
1
a
I dx 3x 12
=
+
Lời giải
a) Đặt ( )
2
2 2
x x 2t 12tdt t t x x * dx
x x t t (1 t )
− − +
= = = = − =
+ + − − −
Từ ( )*
2
6 1 t x
1 t x
−
+ = =
− + Đổi cận
x t x t
2
= =
= =
Vậy
( )
1
6 2
2
4
x dx t 12tdt I t
x x 1 t
− −
= =
+ + −
1 1
2
2 2
2
0 0
t 1 t
2 dt dt ln t ln 1 t t t
+
= = − = − = −
− − −
b) Đặt ( ) ( )
( )
3
3
2
3
2 x x 2t 12t dt t t , * x x , * * dx
2 x x t t
− − − −
= = = = − =
(190)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Vậy
( )
( )
( )
3
3
3
3
1 2 1
3
1 3 3
3
2 3 3
3
1 3
1 t
2 x 12t dt dt 3
I dx t
2 x x 16t t t 8t
−
+
− −
= = = − = = −
+ − +
c) Đặt
2
2 2
x x x udx du dx
u x x du dx dx
u
x x x x
+ −
= + − = + = = =
− − − −
Đổi cận x u
x u
= =
= = +
( )
6 6 5
9
du I ln u ln
u
+ + +
= = =
d)
1
2
0
a a I dx dx
3
3x 12 x
= =
+ +
Đặt
2
2
x x du dx
u x x du dx
u
x x
+ +
= + + = =
+ +
( )1 5
2
a a a I du ln u ln
u
3 3
+
+ +
= = =
Câu
Cho tích phân
( )
5
x dx a b,
c x
+ −
= +
với a, b, c số nguyên dương b
c phân
số tối giản Giá trị biểu thức a b c+ +
A 14 B 20 C 28 D 38
Lời giải
Ta tách
( ) ( )
1
5
0
x x dx
I dx
x
x x
+ +
= =
+
+ +
Đổi biến, đặt
( )2 ( )2
x 2dx dx du u du
x x x
+ − −
= = =
+ + +
3
1 2
2
2
3
2
du 1 x 27 27 I u u du
3
2 2 3
− −
= = = = − =
a 27, b 8, c a b c 38
= = = + + = Chọn ý B
Câu
Đặt ( ) ( )
( ) ( )
2n 2
1
n n
n 0 2 2n 2 n
x 2x 2x 1
I dx
x + x +
+ + +
= −
+ +
Tính n
n
I lim
I +
A 1 B 1
(191)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Ta có bước biến đổi sau ( )
( )
2
2
1
n n
n 0 2 2
x
2x 2x 1 I dx
x x 1 x x
+ + +
= −
+ + + +
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
1
n n
2
2
0 2
x x
2x 1. dx 2x 2xdx. x x 1 x x 1
+ − +
+ +
= =
+ + + +
Đến lúc ta đổi biến Đặt
( )
2
2
2x 2xdx
u du
x x
+
= =
+ +
3
n n 1
3 n
n n
2 n
n 1 1
1
u n I udu u du n 1
n n
+ +
= = = = −
+ +
n n
n n
n
n n 1 n
n . 1
n
I lim I 1
I n 3 I
n 2 +
+
+ + +
−
+
= =
+ −
+
Chọn ý A
Câu
Cho tích phân
3
2
3
1
x x dx a. c
x b d
−
= −
a, b, c,d số nguyên dương, a c,
b d
phân số tối giản Giá trị biểu thức a b c d+ + +
A 48 B 66 C 41 D 61
Lời giải
Ta có phép biến đổi sau
3 3
2 2
3
4 3
1 1
x x x x 1 dx
I dx dx
x x x x x
− −
= = = −
Đặt y 12 dy 23 dx dx3 dy
x x x
− −
= − = =
0
3 3
0
3
4
3
dy 1 y I y y dy 4
2 2
−
−
− −
= = =
4
3
3
1 81 I 4
2 256 32
−
− −
(192)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Cho f x( ) liên tục có đạo hàm \ Biết ( )
2
4
x
f x dx
x x x
= −
+ +
Biết
( ) 30 15
f ,
3 +
= GTNN f x( )
A 2 5+ B 6 C 5+ D 10
Lời giải
Ta có ( )
2 3
4 4
2
1 x x x x f x dx dx dx
1 x x x x x x
x
−
−
= − = =
+ + +
+
Đặt x2 12 y dy x 13 dx
x x
+ = = −
( )
2
dy
dy
f x y C x C x y y
= = = + = + + Mà f( )3 30 C f x( ) x2 12 5
3 x
+
= = = + + + min f x( )= 5.+
Chọn ý C
Câu
Đâu họ nguyên hàm hàm số ( ) ( )
2
x x 2x f x
x 2x
+ + −
=
+ −
A
2
2
1ln x 2x 1 x 2x C x 2x 1
+ − + − + − + + − −
B
2
2
1ln x 2x 1 x 2x C x 2x 1
+ − + + + − + + − −
C
2
2
1 x 2x 1
ln x 2x C x 2x 1
+ − − − + − + + − +
D
2
2
1ln x 2x 1 x 2x C x 2x 1
+ − −
+ + − + + − +
Lời giải
Nhận thấy ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
x x 2x x 2x
F x x dx x 2x x 2x 1 1
+ + − + −
= = +
+ − + − −
Đặt x2 2x sin t,t2 0;
2
+ − =
(x dx sin t.cos tdt+ ) =
( ) ( ) 24 2
sin t sin t cos t
F x G t sin t.cos tdt dt dt
cos t cos t cos t
−
(193)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
ln sin t ln sin t
1 dt cos tdt sin t C
cos t
+ − −
= − = − +
Bây giờ, ta “trả lại tên cho em”
( )
2
2
ln x 2x 1 ln x 2x 1
F x x 2x C
+ − + − + − −
= − + − +
( ) 2
2
1 x 2x 1
F x ln x 2x C x 2x 1
+ − +
= − + − +
+ − − Chọn ý A.
Câu 10
Cho
5
3
x x a c
dx ln ,
x b d
+ + = +
với a, b, c,d số nguyên dương, a c,
b d phân số
tối giản Giá trị biểu thức a b c d+ + +
A 104 B 238 C 204 D 190
Lời giải
Có
5
3
7 2
8
x x x x
I dx dx
x x x x 1
+ + + +
= =
+ +
5 5
3 3
7 2 2 2
8 8
xdx dx dx
M N P
x x x x x x x
= + + = + +
+ + + + + +
Xét bổ đề 2 dx ln x x2 x
x + +x 1= + +2 + +
(Bổ đề để bạn tự chứng minh nhé)
5 5
3 3
7 2 2 2
8 8
xdx 2x 1 dx
M dx
2
x x x x x x
+
= = −
+ + + + + +
5
5 3
3
2
3
7 2 2 7
7
8 8
8
1 2x 1 dx 1
M N dx x x ln x x x x x 1 x x 1 2
+
+ = + = + + + + + + +
+ + + +
17 17 M N ln ln ln
24 2 24 2
+ = + − = +
5
7 2
8
dx P
x x x
=
+ +
Đặt x dx dt2
t t
− = =
8
3 7
2
5
8 2
3
7
5
tdt dt 7 P ln t t t ln ln ln
2 2 1 t t
t
= − = = + + + + = − =
+ + + +
(194)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 11
Cho tích phân
3
2
1
9
cos cos
b 8 8
I 2x 2dx a
c a a
= − + + = − −
+ −
, với a, b, c số
nguyên dương b
c phân số tối giản Biểu thức a b c+ + có giá trị
A 38 B 53 C 87 D 58
Lời giải
Nhận thấy 2x 1− = −(2x 2− ) nên ta đặt 2x sin t, t2 0;
2
− =
sin 2t dx dt
2
=
4
2 2
0 0
1 t t
I cos t sin 2tdt 2.cos sin 2tdt cos sin 2tdt
2 2 2
= + + = + = +
2
4 4
2
0
0
9t 7t 9t 7t sin sin cos cos 2 cos sin 2tdtt 4 4 dt 4 4
9 2
4
+
= = = − +
1
4
9
cos cos 1 1 16 cos cos
8 8
8
9 63
= − + − + = − −
a 8, b 16, c 63 a b c 87
= = = + + = Chọn ý C.
Câu 12
Cho ( )
( )
x
F x dx
x 4x 6x
− =
+ + +
Biết F 0( ) 1ln 4ln
2
= + + −
Gọi M
GTNN F x( ) đoạn 1; M có giá trị xấp xỉ
A 0.3364 B 0.3365 C 0.3367 D 0.3368
Lời giải
Có ( )
( ) 2 ( )
x dx dx
F x dx I 4J x 4x 6x 4x 6x x 4x 6x
−
= = − = −
+ + + + + + + +
Bổ đề
( ) ( )
2
dx 1ln ax b ax b c C
a
ax b+ +c = + + + + +
(Các bạn tự chứng minh bổ đề nhé)
Có
2
dx
I ln 2x 4x 6x C 2
3 11 2x
2
= = + + + + +
+ +
(195)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Ta có
( )
dx J
x 4x 6x
=
+ + +
Đặt
dt dx
1 t
x
1
t x 2
t −
=
+ =
= −
2
2
2
1 dt dt dt
J
t 10 9t 10t 1 4 2 6 2 5 t 9
t t t t t
−
= = − = −
− + − + − + − +
( )
2
2
dt
J ln 3t 9t 10t 3
5 11 3t
3
1 10
ln
3 x x x
= − = − − + − +
− +
= − − + − +
+ + +
( )
( )
2
1 10 F x I 4J ln 2x 4x 6x ln
2 x x x
= − = + + + + + − + − +
+ + +
(Vì F 0( ) 1ln 4ln
2
= + + −
C 0= )
Xét ( )
( )
x F' x
x 4x 6x
− =
+ + +
( ) ( ) ) ( ) (
F' x x 2,F' x x 1; ,F' x x 2;
= =
( )
F x
đạt x 2= Bấm máy tính ta F 2( )0.3367 Chọn ý C.
Câu 13
Cho ( )
4 m
2
x x
F m dx
x x
−
− − =
+ +
Tìm khoảng đồng biến F m( )
m 1+
A (−1;0) B 0;1
C
1;
2
D
3;
+
Lời giải
Ta có ( ) ( )( )
( )( )
4
4
m m
2 2
1
x x x x x x
F m dx dx x x x x x x
− −
− − − + − −
= =
+ + + + − +
m
(196)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Có G' m( ) 2m 1 m
= − −
+ , G m( ) đồng biến G' m( )0
(2m m 0) m m ;
2
− + +
Chọn ý D.
Câu 14
Cho ( )
3 2
dx
I 2 ln a ln b c
3
x 2x
= = − + − +
+ + +
Vớia, b, c số nguyên dương
Biểu thức a b c+ + có giá trị
A 10 B 25 C 15 D 20
Lời giải
Ta có
3 3
2 2
1 2
2 2
dx x 2x 1 2x
I dx dx
x x x x
x 2x
+ − + +
= = = + −
+ + +
3
3 2
2
1 1
2
2
1 2x ln x dx ln J
x x
+
= − − = + −
Đặt 2x tan t, t2 0; dx tan t2 dt
2 cos t
= =
2
3
2
4
tan t tan t dt J dt
tan t cos t sin t
+
= =
Đặt
2
2
1 cos t u du dt
sint sin t
1 cos t dv dt v cot t
sin t sin t
−
= =
−
= = − =
2
3
2
4
J cost cos tdt sin t sin t
−
= −
2
3
3
4
J 2 sin tdt 2 J dt
4 sin t sin t
−
= − − = − − +
( )
( )
3
4
J 2 ln cos t J 2 2 ln ln 1 2 sin t
+
= − − = − − − +
( ) 8 ( )
I ln ln 2 2 ln ln 3
= − + + − = − + − +
a 9, b 3, c a b c 20
(197)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
Câu 15
Cho f x( ) liên tục có đạo hàm \ 0 , a ( ) ( )
1
I= f ' x f x dx Biết
( ) ( ) 3
x 2018x
f x f y
2018y y
+ = + f 1( )=m số Tìm GTNN I theo m
A m B 1 m m− C 2(1 m m)
3 − D ( ) 1 m m −
Lời giải
Thay y x= ( ) ( )
2
2
x 2018 x 2018
2f x f x
2018 x 2018 x
= + = +
Đặt
( )
( ) ( ) ( )
f ' x
du dx
u x
2 f x dv f ' x dx
v f x
=
=
=
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a a
1
f ' x f x
I f x f x dx f a f a m m I
2 f x
= − = − −
( ) ( ) ( ) ( )
3I f a f a m m m m I 1 m m minI 1 m m
2 3
= − − − = −
Chọn ý C.
Câu 16
Tính nguyên hàm hàm số f x( )=x x2 2+a theo a
A ( )
3 2
2x ax x a a ln x x a C
+ + − + +
+
B ( )
3 2
2x ax x a a ln x x a C
+ + + + +
+
C ( )
3 2
2x ax x a a ln x x a C
+ + − + +
+
D ( )
3 2
2x ax x a a ln x x a C
+ + + + +
+
(198)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Tiếp tục tính J= x2+adx Đặt
2
2
xdx du
u x a
x a dv dx v x
= + =
+
=
=
2
2
2
x dx x a a
J x x a x x a dx
x a x a
+ −
= + − = + − =
+ +
2 2
2
dx
x x a x a a x x a J aI x a
= + − + + = + − +
+
2 x a
2J x x a aln x x a C J x a ln x x a C 2
= + + + + + = + + + + +
Cuối tính K=x x2 +adx Đặt 2 ( 2 ) 2
du dx u x
1
v x a x a dv x x a
3
= =
= + +
= +
( ) ( ) ( )
x x a
K x a x a x a x adx x a x a K J
3 3 3
= + + − + + = + + − −
( ) x a
4K x x a x a a x a ln x x a
2
= + + − + + + +
( ) 2
3
2 2 2x ax x a a ln x x a
x ax ax a
K x a x a ln x x a C
4 8
+ + − + +
+
= + − + − + + = +
Chọn ý C.
Câu 17
Cho
( )( )
3
0 2
dx a b ln c ln I
6 x x x
+ +
= =
+ + + +
với a, b, c số nguyên Tính giá
trị biểu thức a b c+ +
A 6 B 4 C 0 D −2
Lời giải
Ta thử sử dụng lượng giác để phá sau Đặt x cot u, u 0; dx du2
2 sin u
−
= =
( )( )
2
6
2 2
2
2
du
du sin u
I
1 cos u cot u cot u cot u sin u. 1
sin u sin u sin u
= − =
+ + + + + +
2 2
2
6 6
u u u sin cos sin sin u 2 2 2
I du u u udu u udu sin u cos u 2 sin cos 2 cos sin cos
2 2 2
= = =
+ + + +
(199)CH
INH
PH
Ụ
C
OL
YM
PIC T
O
ÁN
2
2
6 6
6
u u u u u u
sin cos sin cos cos sin
1 2 2 2 2 2 2 x u u
I u u du u u du ln sin cos
2 sin cos sin cos 2
2 2
+ + − −
= = − = − +
+ +
( )2
3
2I ln sin u ln ln
2
= − − + = − −
3 6ln 3ln
I ln ln a 1,b 6,c a b c 6
− +
= − + = = = − = + + = −
Chọn ý D
Câu 18
Cho
1
1 x b
dx a
c d
1 x
− = − −
+
với a, b, c,d số nguyên dương b
c phân số tối
giản Tính ac bd+
A 22 B 24 C 26 D 28
Lời giải
Đặt x cos u, u 0; dx d cos u( ) sin u.cos udu
2
= = = −
2
4
0 2
2
u sin x cos u 2
dx sin u.cos udu u sin u.cos udu cos u
1 x 2 cos
− −
= − =
+ +
( )
2
2 2
3 3
u
sin u
2
2 usin u.cos udu 2 sin cos udu cos u cos udu
cos
= = = −
( )
2
2 2
3 3
2 cos udu cos udu sin u cos 2u du
= − = − +
2
3
sin 2u 3
2 x a 2, b 3, c 4,d ac bd 26
= − − + = − − = = = = + =
(200)T
Ạ
P
CH
Í VÀ
TƯ
LI
Ệ
U TO
ÁN
H
Ọ
C
Câu 19
Giả sử tồn f x( ) g x( ) liên tục có đạo hàm thỏa mãn f x g ' x( ) ( )=g x f ' x( ) ( ) Biết f 1( )=2g 1( )=4 f 0( )=3g 0( )=9, tính giá trị biểu thức tích phân
( ) ( ) ( ) ( )
1
g ' x f x ln g x dx g x
A ln ln 2+ − B ln ln 27 2− + C ln ln 2− + D ln ln 27 2− −
Lời giải
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
g ' x f ' x f x g ' x g x f ' x
g x f x
= =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
0 0
g ' x f x ln g x f' x f x ln g x f' x ln g x
I dx dx dx
g x f x f x
= = =
Đặt
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
g ' x
u ln g x 2 g x g ' x du dx dx f ' x g x 2g x dv dx
f x
v f x
=
= =
=
=
( ) ( )1 ( ) ( )( ) ( ) ( )1 ( ) ( )( )
0
0
g' x f' x
I f x ln g x f x dx f x ln g x f x dx
g x f x
= − = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0
f ' x
f ln g f ln g dx ln 3ln f x ln ln 27
f x
= − − = − − = − +
Chọn ý B
Câu 20
Ta đặt ( )
n n
n n
x x
F x dx
x + −
= Biết F 1n( )= 0 n Tính nlim F 2→+ n( )
A 1 B − C −1 D +
Lời giải
Ta có ( )
n
n n 1 n
n
n n 1
n n n n
1 1 x 1
x
x x x
F x dx dx dx
x x x
− −
+ +
−
−
−
= = =
Đặt u n 11 du nn dx dxn du
x − x x n
−
= − = =
−
( ) ( )
n
n n
n n
u u
F x G u du n 1 C n n
n
+
= = = +
+
− −
n