Tài liệu tự học nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Nguyễn Trọng

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?.?. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đâ[r]

B I 1: NGUYÊN HÀM _ Dạng Định nghĩa, tính chất nguyên hàm

-Phương pháp:

_ Sử dụng bảng nguyên hàm

Hàm sơ cấp Hàm số hợp uu x  Thường gặp

. dx x C . du u C  Vi phân  

d ax b dx a  

.

1

d

1

x

x x C

 





 





  1

.

1

d

1

u

u u C

 





 





  1

.

  1

d ( )

1

a x b x ax b C

a

 





    



 .

 

d

ln

x

x C x

x   



.

 

 

d

ln

u

u C u x

u   

 .  

d

ln

x

ax b C a

ax b  a   



.cos dx xsinxC .cos du usinuC . cos(ax b x)d 1sin(ax b) C

a

   



.sin dx x cosx C .sin du u cosuC . sin(ax b x)d 1cos(ax b) C

a

    

 . 12 d tan

cos x x x C



Với

x  k

. 12 d tan cos u u u C



Với  

2

u x   k

. 2d  1tan 

cos x

ax b C

ax b  a  



.

2

1

d cot

sin x x  x C



Với xk

. 12 d cot

sin u u  u C



Với u x k

. 2d  1cot 

sin x

ax b C

ax b a



  





.e xxd exC .e uud eu C . ax bd ax b

e x e C

a

   



. d

ln x

x a

a x C

a

 



0 a 1

. d

ln u

u a

a u C

a

 



0 a 1

. d

.ln

px q px q

a x a C

p a

   



0 a 1 _ Dùng máy tính cầm tay

Cho  f x dx F( )  (x)C Tìm f x( ) F( )x

 Nhấn shift ( ( )) ( ) x X

d

F X f X

dx  

 Nhấn phím Calc nhập X = 2.5

_Bài tập minh họa:

Câu Tất nguyên hàm hàm số  

2

f x x 



A 1ln

2 x C B  

1

ln x C

C ln 2x 3 C D ln

ln x C

Lời giải

Chọn A

  1  

d d d ln

2 2

f x x x x x C

x x

     

 

  

PP nhanh trắc nghiệm

 Dùng máy tính cầm tay:

1

( ln(| |)) |

2 x X

d

x

dx x

CALC X = -2

Lưu ý: Trong kết A C cho X = cho kết Vậy có trị tuyệt đối cho X giá trị cho biểu thức trị tuyệt đối âm

Câu Nếu  f x x d 4x3x2C hàm số f x  

A  

3

3

x

f x x  Cx B f x 12x22x C

C f x 12x22x D  

3

3

x

f x x 

Lời giải

Chọn C

Ta có: f x f x x d 4x3x2C12x22x

PP nhanh trắc nghiệm

 Dùng máy tính cầm tay tương tự câu

Câu Cho hàm số f x có   ' 

f x

x 

 với

1

x f  1 1 Khi giá trị f  5 A ln B ln C ln 1 D ln 1

Lời giải

Chọn D

Ta có:  f ' x dx f x C nên

  1

d ln

2

f x x x C

x

   





Mặt khác theo đề ta có:  1

f  1ln 2.1 1

2 C C

      nên

 

ln 1

f x  x 

Do  5 1ln 2.5 1 1ln ln

2

f       

PP nhanh trắc nghiệm

 Tư :

     

       

5

1

5

1

5

5 1

f x dx f f

f f f x dx f x dx

  

 

    



 

 Quy trình bấm máy : Sử dụng chức tính tích phân:

- Tính

5

1 2x1dx

- Tìm phương án có giá trị + A A

D

- Là giá trị nhỏ gần đến nên thỏa mãn

Chọn D

_Bài tập áp dụng:(10 câu NB; 10 câu TH)

1 Nhận biết: (10 câu)

Câu Tìm nguyên hàm hàm số  

f x x

x  

A f x dx  3x2 12 C x

  

 B  

4

ln

x

f x dx  x C



C f x dx  3x2 12 C x

  

 D  

4

ln

x

f x dx  x C



Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A cos d 1sin

2

x x x C

 B

1 d

1

e

e x

x x C

e



 



 C 1dx ln x C

x  

 D

1 d

1

e

e x

x x C

x



 



 Câu Họ nguyên hàm hàm số f x 3x2 sinx là:

A x3cosx C B 6xcosx C C

cos

x  x C D 6xcosx C

Câu Tất nguyên hàm hàm số  

2

f x x 



A 1ln

2 x C B  

1

ln x C

C ln 2x 3 C D ln

ln x C Câu Giả sử biểu thức sau có nghĩa cơng thức sau sai?

A 12 tan

cos xdx x C

C lnxdx c x  

 D sinxdx cosx C

Câu Họ nguyên hàm hàm số f x e2xx2 A  

2

2

x

e x

F x   C B F x e2xx3C

C F x 2e2x2x C D  

3

3 x x

F x e  C

Câu Nguyên hàm hàm số  

3

f x x  x hàm số hàm số sau? A  

3

F x  x  xC B  

4

3

3

x

F x   x  x C

C  

4

3

4

x x

F x    x C D  

4

2

4

x x

F x    x C

Câu Họ nguyên hàm hàm số f x( )e (3 e )x  x A ( ) 3e

e x

x

F x   C B ( ) 3ex

F x   x C C F x( )3exe ln ex xC D F x( )3ex x C Câu Họ nguyên hàm hàm số f x excosx

A exsinx C B e sin

1 x

x C x

  



C xex1sinx C D exsinx C Câu 10 Nguyên hàm hàm số f x x 3x là:

A

2

3 ln

x

x

F x C B

ln x

F x C

C

2

3

x

x

F x C D

2

3 ln

x

x

F x C

2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x sinxcosx thoả mãn 2 F   

 

A F x cosxsinx3 B F x  cosxsinx3 C F x  cosxsinx1 D F x  cosxsinx1 Câu 12 Tìm nguyên hàm cos 22 2 d

sin cos

x x

x x



A F x  cosxsinx C B F x cosxsinx C C F x cotxtanx C D F x  cotxtanx C

Câu 13 Cho F x  nguyên hàm hàm số f x( )4e2x 2x thỏa mãn F 0 1 Tìm F x  A F x 4e2xx23 B F x 2e2xx21

Câu 14 Cho hàm số yF x  nguyên hàm hàm số yx2 Biểu thức F 25

A 125 B 625 C 5 D 25

Câu 15 Biết F x là nguyên hàm hàm số   2

1

  x f x

x F 0 1 Tính F 1

A F 1 ln 1 B  1 1ln 2

 

F C F 1 0 D F 1 ln 22

Câu 16 Biết F x nguyên hàm hàm số     2x

f x  x thoả mãn F 0 0 Ta có F x  

bằng

A 2 ln

x

x   B 2

ln x

x   C 12x1 ln 2 D x22x1 Câu 17 Cho F x nguyên hàm hàm số    

2

f x x 

 Biết F 1 2 Giá trị F 2

A  2 1ln 2

F   B F 2 ln 2. C  2 1ln 2

F   D F 2 2 ln 2. Câu 18 Nguyên hàm F x  hàm số   12

sin

f x x

x

  thỏa mãn

4 F    

 

A

2

cot

16

x x 

   B

2

cot

16

x x  C cotxx21 D

2

cot

16

xx 

Câu 19 Tìm nguyên hàm F x hàm số f x sin  2x thỏa mãn

F 

A ( ) cos( )

2

x

F x  B ( ) cos( )

2

x

F x 

C ( ) cos( )

x

F x  D ( ) cos( )

2

x

F x 

Câu 20 Tìm F x nguyên hàm hàm số   f x ex1  ; , biết F 0 2 A F x lnx x B F x ex x

C F x  1x x

e

   D F x ex x

Bảng đáp án

1.D 2.D 3.C 4.A 5.C 6.A 7.C 8.D 9.D 10.A

11.D 12.D 13.B 14.B 15.D 16.A 17.A 18.A 19.B 20.D Hướng dẫn giải

Câu Tìm nguyên hàm hàm số  

f x x

x  

A  

2

1

f x dx x C

x

  

 B  

4

ln

x

f x dx  x C



C  

2

1

f x dx x C

x

  

 D  

4

ln

x

f x dx  x C



Ta có:  

4

3

ln

x

f x dx x dx x dx dx x C

x x

 

        

 

   

Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A cos d 1sin

2

x x x C

 B

1 d

1

e

e x

x x C

e



 





C 1dx ln x C

x  

 D

1 d

1

e

e x

x x C

x



 





Lời giải Chọn D

Câu Họ nguyên hàm hàm số f x 3x2 sinx là: A

cos

x  x C B 6xcosx C C cos

x  x C D 6xcosx C Lời giải

Chọn C

Ta có  

3x sinx dxx cosx C



Câu Tất nguyên hàm hàm số  

2

f x x 



A 1ln

2 x C B  

1

ln x C

C ln 2x 3 C D ln

ln x C Lời giải

Chọn A

  1

d d ln

2

f x x x x C

x

   



 

Câu Giả sử biểu thức sau có nghĩa cơng thức sau sai?

A 12 tan

cos xdx x C

 B e dxx exC

C lnxdx c x  

 D sinxdx cosx C

Lời giải Chọn C

Theo bảng nguyên hàm ta chọn câu sai lnxdx c x  



Câu Họ nguyên hàm hàm số f x e2xx2 A  

2

2

x

e x

F x   C B F x e2xx3C

C F x 2e2x2x C D  

3

3 x x

F x e  C

Lời giải Chọn A

Ta có      

2

2

d d

2

x

x e x

Vậy  

2

2

x

e x

F x   C

Câu Nguyên hàm hàm số f x x33x2 hàm số hàm số sau? A  

3

F x  x  xC B  

4

3

3

x

F x   x  x C

C  

4

3

4

x x

F x    x C D  

4

2

4

x x

F x    x C

Lời giải Chọn C

Ta có:    

4

3

( ) 2

4

x x

F x  f x dx x  x dx   x C

Câu Họ nguyên hàm hàm số f x( )e (3 e )x  x A ( ) 3e

e x

x

F x   C B F x( )3ex x C

C F x( )3exe ln ex xC D F x( )3ex x C Lời giải

Chọn D

 

e (3 e )dx  x x 3ex1 dx3ex x C

 

Câu Họ nguyên hàm hàm số f x excosx

A exsinx C B e sin

1 x

x C x

  



C ex sin

x   x C D ex sin

x C

 

Lời giải Chọn D

Ta có: excosxdxexsinx C Câu 10 Nguyên hàm hàm số f x x 3x là:

A

2

3 ln

x

x

F x C B

ln x

F x C

C

2

3

x

x

F x C D

2

3 ln

x

x

F x C

Lời giải Chọn A

Ta có:

2

3

2 ln x

x x

f x dx x dx C

Câu 11 Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x sinxcosx thoả mãn 2 F   

 

Chọn D

Có cos du usinuC; sin du u cosuC

nên  f x dx  sinxcosx dx  cosxsinx C

cos sin

π π π

F        C C

 2 2 Mà F      2 C



Do F x  cosxsinx1 Câu 12 Tìm nguyên hàm cos 22 2 d

sin cos

x x

x x



A F x  cosxsinx C B F x cosxsinx C

C F x cotxtanx C D F x  cotxtanx C Lời giải

Chọn D Ta có:

2

2 2 2

cos cos sin 1

d d d cot tan

sin cos sin cos sin cos

x x x

x x x x x C

x x x x x x

  

        

 

  

Câu 13 Cho F x  nguyên hàm hàm số f x( )4e2x 2x thỏa mãn F 0 1 Tìm F x  A F x 4e2xx23 B F x 2e2xx21

C F x 2e2x x2 D F x 2e2x x2 Lời giải

Chọn B

Ta có: F x 4e2x 2x dx 2e2xx2 C

  2.0

0 2

F  e    C C Mà F 0     1 C C  1 Do đó:   2

2 x

F x  e x 

Câu 14 Cho hàm số yF x( )là nguyên hàm hàm số yx2 Biểu thức F'(25) bằng:

A 125 B 625 C 5 D 25

Lời giải

Chọn B

Ta có:F x được gọi nguyên hàm f x   Knếu F x'( ) f x( ), x K

Mà yF x( )là nguyên hàm hàm số yx2nên F x'( )x2

Vậy

'(25) 25 625

F  

Câu 15 Biết F x là nguyên hàm hàm số  

2

1

  x f x

x F 0 1 Tính F 1

A F 1 ln 1 B  1 1ln 2

 

F C F 1 0 D F 1 ln 22

Lời giải Chọn B

     

2

1

1

ln

2

1



    

 

  x d x

f x dx dx x c

x x

Vì F x là nguyên hàm hàm số f x nên      

ln

2

  

 

0 ln1 1

2

     

F c c

Do    

ln 1

2

  

F x x

Vậy    

1 ln 1 ln

2

    

F

Câu 16 Biết F x nguyên hàm hàm số   f x 2x2x thoả mãn F 0 0 Ta có F x  

bằng

A 2 ln

x

x   B 2

ln x

x   C 12x1 ln 2

D

2x

x  

Lời giải Chọn A

Ta có:   2

2 d

ln x x

x xx  C

 Do

Theo giả thiết  

0

2

0 0

ln ln

F        C C

Vậy   2 2

ln ln ln

x x

F x x   x  

Câu 17 Cho hàm số f x có   ' 

f x

x 

 với

1

x f  1 2 Khi giá trị f  2

bằng

A  2 1ln 2

F   B F 2 ln 2 C F 2 2 ln 2 D  2 1ln 2

F  

Lời giải Chọn D

Ta có:  f ' x dx f x C nên   d d 2 1 1ln

2 2

x

f x x x C

x x



    

 

 

Mặt khác theo đề ta có: f  1 2 1ln 2.1 2

2 C C

      nên   1ln 2

2

f x  x 

Do  2 1ln 2.2 1ln

2

f     

Câu 18 Nguyên hàm F x  hàm số   12 sin

f x x

x

  thỏa mãn

4 F    

 

A

2

cot

16

x x 

   B

2

cot

16

x x  C cotxx21 D

2

cot

16

xx  Lời giải

Chọn A

Ta có ( ) 12 cot

sin

F x x dx x x C

x

 

      

 



2 2

1 cot

4 4 16

F               C C 

Vậy F(x) =

2

cot

16

x x 

  

Câu 19 Tìm nguyên hàm F x hàm số f x sin  2x thỏa mãn

F 

A ( ) cos( )

2

x

F x  B ( ) cos( )

2

x

F x 

C ( ) cos( )

x

F x  D ( ) cos( )

2

x

F x 

Lời giải Chọn B

+ sin d cos C

2

x

F x  x x 

+ 1

2

F  C

2

C

Vậy ( ) cos( )

2

x

F x 

Câu 20 Tìm F x nguyên hàm hàm số   f x ex1  ; , biết F 0 2 A F x lnx x B F x ex x C F x  1x x

e

   D F x ex x Lời giải

Chọn D

Ta có: F x  f x dxex1 d xex x C

Theo bài: F 0  2 e0       0 C C C Vậy F x ex x

_ Dạng Đổi biến

_Bài tập minh họa:

-Phương pháp:

_  Chọn t  x Trong  x hàm số mà ta chọn thích hợp

 Tính vi phân hai vế: dt' x dx

 Biểu thị: f x dx( ) g   x ' x dxg t dt( )

 Khi đó: I  f x dx( ) g t dt( ) G t( )C

_Casio: Cho  f x dx F( )  (x)C Tìm f x( ) F( )x

 Nhấn shift ( ( )) ( ) x X

d

F X f X

dx  

 Nhấn phím Calc nhập X 2.5

_Bài tập minh họa:

Câu Tìm nguyên hàm hàm số ( ) sin 3cos

x f x

x 



A ( ) d 1ln 3cos

f x x  x C

 B  f x( ) dxln 3cos x C

C  f x( ) dx3ln 3cos x C D ( ) d 1ln 3cos

f x x   x C



Lời giải

Chọn D

 Đặt t  1 3cosxdt  3sinxdx

1 1

( ) d ln | | ln 3cos

3 3

f x x dt t C x C

t



       

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Dùng máy tính cầm tay

Câu Tính nguyên hàm d ln

I x

x x







A (ln 1)3

I  x C B I  lnx 1 C

C (ln 1)2

I  x C D I 2 lnx 1 C

Lời giải

Chọn D

 Đặt

ln ln

t x t x tdt dx

x

      

1

d 2 ln

ln

I x dt t C x C

x x

      



 

PP nhanh trắc nghiệm

 Dùng máy tính cầm tay

Câu Tìm họ nguyên hàm hàm số f x x.3 x21? A  

4

2 3

3

( 1)

F x   x  C B  

4

2 3

8

( 1)

F x  x  C

C  

3

2

3

( 1)

F x  x  C D  

4

2

3

( 1)

F x  x  C

Lời giải

Chọn D

 Đặt t  3x2  1 t3 x2 1 3t dt2 2xdx

4

3 3 3

( 1)

2 8

x x  dx t dt t  C x  C

 

PP nhanh trắc nghiệm

_Bài tập áp dụng:(10 câu NB; 10 câu TH) 1 Nhận biết: (10 câu)

Câu Tìm lnxdx

x có kết

A ln lnx C B

2 ln

2  x

C C  

2

ln

2  

x

x C D 1ln2

2 x C Câu Nguyên hàm d

1 x x



A 2 x2ln | x 1| C B 2 xC

C 2ln | x 1| C D 2 x2ln | x 1 | C Câu Cho hàm số  

2d

F x x x  x Biết  2

F  , tính F 7

A 7 B 11 C 23

6 D

40 Câu Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x e2x  0

2

F  Giá trị

2 F  

 là:

A 1e

2  B 2e 1 C

1 e

2  D

1

e 2 Câu Tính nguyên hàm d

2x x

 

  

 



A 2 ln 2x 3 C B 1ln

2 x C C ln 2x 3 C D  

ln x C Câu Xét I x34x435dx Bằng cách đặt

4

u x  , khẳng định sau đúng?

A

4

I  u du B I u du5 C

12

I  u du D

16

I  u du Câu Họ nguyên hàm hàm số f x x2 4x3 là:

A 2  33

4

9 x C B

3

2 4x C C 1  33

4

9 x C D  

3

2 4x C

Câu Nguyên hàm  

 

10 12

2 d

x

x x

 

 bằng:

A

11

1

33

x

C x



  

  

  B

11

1

11

x

C x



  

  

 

C

11

1

3

x

C x



  

  

  D

11

1

11

x

C x



 

   



 

Câu Nguyên hàm hàm số f x( ) sin cos3x x là: A 1cos3

4 x C B

3

1 sin

C 1sin4

4 x C D

4

1

sin cos

4 x x C

Câu 10 Nguyên hàm F x  hàm số   sin cos

f x  x x thỏa

4 F   

  là:

A  

sin sin

6 10 15

F x  x x B  

sin sin

6 10 15

F x  x x

C  

sin sin

6 10 15

F x  x x D  

sin sin

6 10 15

F x  x x

2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Nếu    

2

1 d

2

x

F x x

x x

 

 



A  

2

1 ln

2

x

F x C

x x



 

  B    

2

1

ln

2

F x  x  x C

C F x  x22x 3 C D   2

F x  x  x C

Câu 12 Cho F x nguyên hàm hàm số f x ln x

x Tính F e F 1

A

2

I B I 1 C

e

I D I e

Câu 13 Hàm số sau nguyên hàm hàm số  

f x x 

 ?

A F x  x1 B F x 4 x1 C F x 2 x1 D   1

F x x 



Câu 14 Nguyên hàm hàm số  

2

x x

e

y f x

e

 

 là:

A I  x ln x C B I exlnex 1 C

C I  x ln x C D x ln x 1

I e   e  C Câu 15 Một nguyên hàm hàm số yx 1x2 là:

A  

6

1

3 x B  

3

1

3 x C  

2 2

2 x

x

 D  

2 3

2 x

x



Câu 16 Tìm nguyên hàm d x

x I

e 





A I   x ln 1ex C B I  x ln 1ex C C I  x ln 1ex C D I  x ln 1ex C

Câu 17 Cho 2x3x26dxA3x28B3x27 C với A, B C Giá trị biểu

thức 12A7B bằng:

Câu 18 Tìm họ nguyên hàm hàm số:   3sin 2cos d 3cos 2sin

x x

f x x

x x

 





A  f x dxln 3sinx2 cosx C B  f x dx ln 3cos x2 sinx C C  f x dxln 3cosx2 sinx C D  f x dx ln 3cos x2 sinx C Câu 19 Khi tính nguyên hàm d

1

x x x

 

 , cách đặt u x1 ta nguyên hàm nào? A  

2 u 4 du

 B  

3 d

u  u

 C  

2u u 4 du

 D  

4 d

u  u



Câu 20 Kết phép tính d

x x

x

e  e 

 bằng:

A 1ln

3

x x

e

C e

 

 B

1 ln

2 x x

e

C e

 



C lnex2ex 1 C D 1ln

3

x x

e

C e

 



Bảng đáp án

1.D 2.D 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A 9.D 10.C

11.C 12.A 13.B 14.D 15.B 16.D 17.D 18.B 19.A 20.A Hướng dẫn giải

Câu Tìm lnxdx

x có kết

A ln lnx C B

2 ln

2  x

C C  

2

ln

2  

x

x C D 1ln2

2 x C Lời giải

Chọn D Ta có

2

ln ln

d ln d ln

2

  

 x x  x x x C

x

Câu Nguyên hàm d 1 x x



A 2 x2ln | x 1| C B 2 xC

C 2ln | x 1| C D 2 x2ln | x 1 | C Lời giải

Chọn D

Đặt

d dt

x    t x t x t

2

d d 2 ln 2 ln | 1|

1

t

t t t t C x x C

t t

 

           

   

 

Câu Cho hàm số F x x x2 2dx Biết  2

F  , tính F 7

A 7 B 11 C 23

6 D

40

Lời giải

Ta có:  

2d

F x x x  x 2d 2

2 x x

    1 3

2

3 x C

  

Mà  2

F 

3 C

     C Vậy F 7   9

Câu Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x e2x  0

F  Giá trị

2 F  

 là

A 1e

2  B 2e 1 C

1 e

2  D

1

e 2 Lời giải

Chọn B

Ta có:     2

d e d e

2

x x

F x  f x x x C

Theo giả thiết:  0

F   C Vậy

2

F     e

 

Câu Tính nguyên hàm d 2x x

 

  

 



A 2 ln 2x 3 C B 1ln

2 x C C ln 2x 3 C D  

ln x C Lời giải

Chọn B

Ta có: d 1 d 2 3 1ln

2x x 2x x x C

        

     

   

 

Câu Xét I x34x435dx Bằng cách đặt

4

u x  , khẳng định sau

A

4

I  u du B I u du5 C

12

I  u du D

16

I  u du Lời giải

Chọn C

Ta có 4 16 3

16

du

u x  du x dxx dx ; Suy ra: 34 35 16

I x x  dx u du

Câu Họ nguyên hàm hàm số f x x2 4x3 là: A 2 4 33

9 x C B

3

2 4x C C 1 4 33

9 x C D  

3

2 4x C

Lời giải Chọn A

Ta có

4 d

x x x

  3

4 d

3 x x

     3 12 3

4 d

3 x x

    2 332

3 x C

  

 33

2

9 x C

  

Câu Nguyên hàm  

10

2 d

x

x 

A 11 33 x C x       

  B

11 11 x C x          C 11 x C x       

  D

11 11 x C x           Lời giải Chọn A

Biến đổi  

  10 12 d x I x x     =   10 2 d 1 x x x x          

Đặt

1 x t x  

   2

3 d d t x x  

Do 10

d

I  t t = 11

33t C =

11 33 x C x         

Câu Nguyên hàm hàm số f x( ) sin cos3x x là: A 1cos3

4 x C B

3

1 sin

4 x C

C 1sin4

4 x C D

4

1

sin cos

4 x x C

Lời giải Chọn C

Sử dụng casio: đạo hàm đáp án trừ hàm dấu tích phân chọn đáp án

Câu 10 Nguyên hàm F x  hàm số f x sin cos 22 x x thỏa F   

 

A  

sin sin

6 10 15

F x  x x B  

sin sin

6 10 15

F x  x x

C  

sin sin

6 10 15

F x  x x D  

sin sin

6 10 15

F x  x x

Lời giải Chọn D

Đặt tsin 2x  dt 2.cos dx x 1d cos d

2 t x x

 

Ta có:

 

sin cos d

F x  x x x 1 2d

2 t t t

    4

d

2 t t t

  

6t 10t C

  

3

1

sin sin

6 x 10 x C

  

0 F   

 

3

1

sin sin

6 10 C

 

   

15

C

  

Vậy  

sin sin

6 10 15

F x  x x

Câu 11 Nếu    

2

1 d

2

x

F x x

x x

 

 

A  

2

1 ln

2

x

F x C

x x



 

  B    

2

1

ln

2

F x  x  x C

C F x  x22x 3 C D   2

F x  x  x C

Lời giải Chọn C

Đặt 2    

2 3 d d d d

t x  x  t x  x  t t  x x x xt t

Do    

2

1 d d

2

2

x x t t

F x t C x x C

t

x x



       

 

 

Câu 12 Cho F x nguyên hàm hàm số f x ln x

x Tính F e F

A

2

I B I 1 C

e

I D I e

Lời giải Chọn A

Đặt t lnx dt dx x

2

ln ln

d d

2

x t x

x t t C C F x C

x

1

e

2

F F

Câu 13 Hàm số sau nguyên hàm hàm số  

f x x 

 ?

A F x  x1 B F x 4 x1 C F x 2 x1 D   1

F x x 



Lời giải Chọn B

Ta có:   d d 1

1

x

F x x x C

x x



    

 

 

Họ nguyên hàm hàm số cho d

1 x x C

x   

 , nên hàm số cho có nguyên hàm hàm F x 4 x1

Câu 14 Nguyên hàm hàm số  

2

x x

e

y f x

e

 

 là:

A I  x ln x C B I exlnex 1 C C I  x ln x C D I ex 1 lnex 1 C

Lời giải Chọn D

2

d d

1

x x

x

x x

e e

I x e x

e e

 

 

 

Ta có 1d 1 d ln

t

I t t t t C

t

  

       

 

 

Trở lại biến cũ ta x ln x 1

I e   e  C

Câu 15 Một nguyên hàm hàm số

yx x là:

A  

6

1

3 x B  

3

1

3 x C  

2

2 x

x

 D  

2

2 x

x



Lời giải Chọn B

Đặt 2

1

t x   t x  tdt xdx

 3

2

2

1

3

x t

x x dx t dt C C



      

Câu 16 Tìm nguyên hàm d x

x I

e 





A I   x ln 1ex C B I  x ln 1ex C C I  x ln 1ex C D I  x ln 1ex C

Lời giải Chọn D

 

1

x

x x x

dx e dx

I

e e e

 

 

 

Đặt x x

te dte dx

1  1  11

x

x x

e dx dt

I

t t t t

e e

 

     

 

  

   ln t lnt 1 C ln ex ln ex 1 C

 x ln ex 1 C

Câu 17 Cho 2x3x26dxA3x28B3x27 C với A, B C Giá trị biểu

thức 12A7B bằng: A 23

252 B

241

252 C

52

9 D

7 Lời giải

Chọn D

Đặt t3x2

3

t

x 

  1d d

3 t x

 

Ta có: 2 d6

3

t

t t 

  6

+2 d

9 t t t

 

9

t t

C

    8  7

36 x 63 x C

    

Suy 36

A ,

63

B , 12 7

36 639

Câu 18 Tìm họ nguyên hàm hàm số:   3sin 2cos d 3cos 2sin

x x

f x x

x x

 





C  f x dxln 3cosx2 sinx C D  f x dx ln 3cos x2 sinx C Lời giải

Chọn B

Ta có:  dx d 3cos 2sin  ln 3cos 2sin  3cos 2sin

x x

f x x x C

x x



     



 

Câu 19 Khi tính nguyên hàm d

x x x

 

 , cách đặt u x1 ta nguyên hàm nào? A  

2 u 4 du

 B  

3 d

u  u

 C  

2u u 4 du

 D  

4 d

u  u



Lời giải Chọn A

Đặt u x1, u0 nên u2  x d d2

1

x u u

x u

   

 



Khi d

x x x

 

 u2 3.2 du u

u  

  

2 u du

 

Câu 20 Kết phép tính d

x x

x

e  e 

 bằng:

A 1ln

3

x x

e

C e

 

 B

1 ln

2 x x

e

C e

 



C lnex2ex 1 C D 1ln

3

x x

e

C e

 

_ Dạng Từng Phần

-Phương pháp:

_ Định lý Cho hai hàm số u v liên tục đoạn  a b; có đạo hàm liên tục đoạn  a b;

Khi đó:u vd uvv ud  *

_ Tự luận Để tính nguyên hàm  f x dx phần ta làm sau:

Bước Chọn u v, cho f x dxu vd (chú ý dvv x' dx)

Sau tính vdv duu'.dx

Bước Thay vào công thức  * tính v ud

Chú ý : Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân d

v u

 dễ tính u vd Ta thường gặp dạng sau:

⍟Dạng   sin d cos

x

I P x x

x

 

  

 

 , P x  đa thức

Với dạng này, ta đặt

  sin

d d

cos

u P x

x

v x

x 

 

  



  

 



⍟ Dạng I P x e  ax b dx, P x  đa thức

Với dạng này, ta đặt   d ax bd

u P x

v e  x

   





⍟ Dạng I P x  ln mxndx, P x  đa thức

Với dạng này, ta đặt     ln

d d

u mx n

v P x x

 

 





_ Casio: Cho  f x dx( )  F(x) C Tìm f x( ) F( )x

 Nhấn shift d ( ( ))f X x X F X( )

dx  

 Nhấn phím Calc nhập X 2.5

 Nếu kết (gần ) đáp án cần chọn

Nguyên tắc chung để đặt u dv : Tìm v dễ dàng v du tính

_Bài tập minh họa:

Câu Họ nguyên hàm hàm số f x xcos 2x là: A sin cos

2

x x x

C

  B sin cos

2

x

x x C

C sin cos 2

x

x x C D sin cos

2

x x x

C

 

Lời giải

Chọn A

cos d I x x x

Đặt

d d

1

d cos d sin

2

u x

u x

v x x v x

  

 

   

 

Khi

1 1

sin sin d sin cos

2 2

I  x x  x x x x x C

PP nhanh trắc nghiệm

 Máy tính cầm tay

Câu Họ nguyên hàm hàm số f x xln 2x là: A

2

1 ln

2

x

x C

  

 

  B

2

ln 2

x

x x C

C  

2

ln 2

x

x C D

2

2

ln 2

x

x x C

Lời giải

Chọn A

 Đặt 2

1 d ln

d d

2

u

u x x

v x x x

v

 

 

 

  

  



    2

2 2

1

d ln d

2

1

ln ln

2 2

x x

F x f x x x x

x

x x x

x C x C

  

 

      

 

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Máy tính cầm tay

Câu Tìm nguyên hàm hàm số f x x.e2x

A 1e2

2

x

F x x C B F x 2e2x x C

C 2e2

2

x

F x x C D 1e2

2 x

F x x C

Lời giải

Chọn A

Ta có: F x x.e2xdx Đặt

PP nhanh trắc nghiệm

 

2

2 2

d

e

1 1

e e d e

2 2

x x

x x x

du x

u x

v

dv e dx

F x x x x C

  

 

  



 

 

      

 



_Bài tập áp dụng:(10 câu NB; 10 câu TH)

1 Nhận biết: (10 câu)

Câu Nguyên hàm hàm số f x xsinx là:

A – cosx xsinx C B xsinxcosx C . C xcosxsinx C D xcosxsinx C . Câu Kết I xe xxd là:

A

2

2

x x

x

I  e  e C B I  ex xexC

C

2

2 x

x

I  e C D I xex ex C

Câu Tính F x( )xsin 2xdx Chọn kết đúng?

A ( ) 1(2 cos sin )

F x  x x x C B ( ) 1(2 cos sin )

F x   x x x C

C ( ) 1(2 cos sin )

F x   x x x C D ( ) 1(2 cos sin )

F x  x x x C

Câu Nguyên hàm hàm số f x   x1 e x

A xexC B x2 e xC C x1 e xC D 2 ex xC Câu Họ nguyên hàm f x xlnx là:

A

2

2

1

ln

2

x

x x C B 2ln

2

x x x C

C

2

2

1

ln

2

x

x x C D ln

2

x x x C

Câu Tìm nguyên hàm hàm số f x xlnx2

A    

2

4

d ln

2

x x x

f x x x   C

 B    

2

4

d ln

2

x x x

f x x  x   C



C    

2

4

d ln

2

x x x

f x x x   C

 D    

2

4

d ln

2

x x x

f x x  x   C



Câu Cho hàm số yxsin dx x Chọn mệnh đề mệnh đề sau:

A

6 12

y   

  B

3

6

y   

 

C

6 12

y    

  D y 24

 

   

Câu Gọi F x nguyên hàm hàm số   f x xex Tính F x biết   F 0 1 A F x   x1 e x2 B F x   x e x1

C F x   x e x2 D F x   x1 e x1 Câu Tìm họ nguyên hàm F x hàm số   f x x.e2x

A F x 2e2xx 2 C

. B    

e

2 x

F x  x C

C   2e2

x

F x  x C

  D  

2

1

e

2

x

F x  x C

 

Câu 10 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x   5x1 e x F 0 3 TínhF 1 A F 1  e 2 B F 1 11e 3 C F 1  e 3 D F 1  e 2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Kết ln dx x là:

A xlnx x C B xlnx C C xlnx x C D xlnxx Câu 12 Tìm nguyên hàm hàm số f x  xlnx

A    

3

2

d 3ln

9

  

 f x x x x C B    

3

1

d 3ln

9

  

 f x x x x C

C    

3

2

d 3ln

3

  

 f x x x x C D    

3

2

d 3ln

9

  

 f x x x x C

Câu 13 Biết xcos dx xaxsin 2xbcos 2xC với a , b số hữu tỉ Tính tích ab ?

A

4

ab  B

8

ab C

4

ab D

8

ab  Câu 14 Biết xe2xdxaxe2xbe2xC a b,   Tính tích ab

A

4

ab B

8

ab  C

8

ab D

4 ab 

Câu 15 Biết  

2

2

3 d

x

I  x e x a be với a b, số nguyên Tính S  a b

A S8 B S 10 C S12 D S16

Câu 16 Ta có  

dx x

x e x x mxn e C

 m n

A 0 B 4 C 5 D 4

Câu 17 Nguyên hàm hàm 2018 f x x.e2x là: A ( ) 1e2  2

2 x

F x  x C B ( ) 1e2

2

x

F x  x C

 

C ( ) 2e2 x

F x  x C

  D  

2

( ) 2e x

Câu 18 Cho F x ax2bxce2x nguyên hàm hàm số f x 2018x23x1e2x

trên khoảng  ;  Tính T  a 2b4c

A T 1011 B T 3035 C T 1007 D T  5053

Câu 19 Biết   2  

3 xd x

x e x e x n C

m

 

    

 , với m n,  Khi tổng S m2 n2 có giá trị

A 5 B 65 C 41 D 10

Câu 20 Tìm nguyên hàm sin x x d

A sin x xd  2cos x2sin x C B sin x xd  cos x C C sin x xd cos x C D sin d  cos 

2

x x x C

x

Bảng đáp án

1.A 2.D 3.C 4.A 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.D

11.C 12.B 13.B 14.B 15.C 16.B 17.B 18.B 19.B 20.A Hướng dẫn giải

Câu Nguyên hàm hàm số f x xsinx

A – cosx xsinx C B xsinxcosx C C xcosxsinx C D xcosxsinx C

Lời giải Chọn A

Ta có: xsin dx x Đặt

d sin d

u x

v x x

    

d d

cos

u x

v x

     



Vậy xsinxdx  xcosxcosxdx  xcosxsinx C Câu Kết I xe xxd

A

2

2

x x

x

I  e  e C B I  ex xexC

C

2

2 x

x

I  e C D I xex ex C

Lời giải Chọn D

Cách 1: Sử dụng tích phân phần ta có

d d d

x x x x x x

I xe xx e xe e xxe  e C

Cách 2: Ta có  x x  x x x x

I  xe  e C  e xe e xe

Câu Tính F x( )xsin 2xdx Chọn kết đúng?

A ( ) 1(2 cos sin )

F x  x x x C B ( ) 1(2 cos sin )

C ( ) 1(2 cos sin )

F x   x x x C D ( ) 1(2 cos sin )

F x  x x x C

Lời giải Chọn C

Đặt 1

sin co

d

d s

2

d

d

u x

u x

v x x v x

  

 

  

 

  , ta

1

( ) cos cos

2 d

F x   x x  x x cos 1sin

2x x x C

    1(2 cos sin )

4 x x x C

   

Câu Nguyên hàm hàm số f x   x1 e x

A xexC B x2 e xC C x1 e xC D 2 ex xC Lời giải

Chọn A

Xét  d  e d x  de x  e x e dx  e x ex ex

f x x x x x  x  x x   C x C

   

Câu Họ nguyên hàm f x xlnx là: A

2

2

1

ln

2

x

x x C B 2

ln

2

x x x C C

2

2

1

ln

2

x

x x C D ln

2

x x x C

Lời giải: Chọn C

Đặt ln

v x

xdx dv

x u

du x    

 

  

  



2

1

1 Suy

2

2

1 1

ln d ln d ln

2 2

x

x x x x x x x x x C

 

Câu Tìm nguyên hàm hàm số f x xlnx2

A    

2

4

d ln

2

x x x

f x x x   C

 B    

2

4

d ln

2

x x x

f x x  x   C



C    

2

4

d ln

2

x x x

f x x x   C

 D    

2

4

d ln

2

x x x

f x x  x   C



Lời giải

Chọn D

Đối với nguyên hàm dạng P x lnQ x dx ta đặt     ln

d d

u Q x

v P x x

   

  

 

 để tính theo phương pháp

nguyên hàm phần

Câu Cho hàm số yxsin dx x Chọn mệnh đề mệnh đề sau:

A

6 12

y   

  B

3

6

y   

  C y 12

 

   

  D y 24

 

   

 

sin d sin ; sin

6 6 12

y x x x yx x y       

   



Câu Gọi F x nguyên hàm hàm số   f x xex Tính F x biết   F 0 1 A F x   x1 e x2 B F x   x e x1

C F x   x e x2

D F x   x1 e x1

Lời giải

Chọn C

Đặt d d

d e dx e x

u x u x

v  x v 

 

 



 

  

 

Do xe dx x xexe dx x xexex C F x C ;   0

F 

e C C

      Vậy F x   x e x2 Câu Tìm họ nguyên hàm F x hàm số   f x x.e2x

A F x 2e2xx 2 C. B    

e

2 x

F x  x C

C  

2e

2

x

F x  x C

  . D  

2

1

e

2

x

F x  x C

 

Lời giải Chọn D

Đặt 2

e dx

u x

v x

  





d d

1 e

x

u x

v     

 

   d

F x  f x x e2 e d2

2

x x

x x

   1

e e

2 2

x x

x C

  

e

2

x

x C

 

   

 

Câu 10 Cho F x( )là nguyên hàm hàm số f x   5x1 e x F 0 3 TínhF 1 A F 1  e B F 1 11e 3 C F 1  e D F 1  e

Lời giải Chọn D

Ta có   5 e d x

F x  x x

Đặt

d e dx

u x

v x

 

   

d 5d

ex

u x

v

 

  



  5 e x 5e dx

F x  x  x 5x1 e x5exC 5x4 e xC Mặt khác F 0 3   4 C 3 C

  5 e x

F x x

   

Vậy F 1  e Câu 11 Kết ln dx x

Chọn C Đặt

1

ln d dx

dv=dx



 

 

 

  

u x u

x

v x

1

ln dx ln x dx ln x

 x x  x x  x C

x

Câu 12 Tìm nguyên hàm hàm số f x  xlnx

A    

3

2

d 3ln

9

  

 f x x x x C B    

3

1

d 3ln

9

  

 f x x x x C

C    

3

2

d 3ln

3

  

 f x x x x C D    

3

2

d 3ln

9

  

 f x x x x C

Lời giải Chọn B

 d ln d

 

I f x x x x x

Đặt: d d d d

2

    

t x t x t t x

x

2 2

2 ln d ln d

 I t t t t t t

Đặt: 2 3

1

d d

ln

d d

3

 

 

 



 



  



u t

u t t

v t t t

v

 

3 3

1 1

2 ln d ln 3ln

3 3 9

   

          

    

I t t t t t t t C t t C

 

3

2

3ln

9

 x x C  

3

1

3ln

 x x C

Câu 13 Biết xcos dx xaxsin 2xbcos 2xC với a , b số hữu tỉ Tính tích ab ?

A

4

ab  B

8

ab C

4

ab D

8

ab  Lời giải

Chọn B Đặt

d d

1

d cos d sin

2

u x

u x

v x x v x

  

 

   

 

Khi cos d sin sin d

2

x x x x x x x

  sin 1cos

2x x x C

  

1

a

  ,

4

b

Vậy

ab

Câu 14 Biết 2  

d ,

x x x

xe xaxe be C a b

 Tính tích ab

A

4

ab B

8

ab  C

8

ab D

Đặt 2 2

d d

1

d d

2 x x

u x

u x

v e

v e x

  

 

   

 

Suy ra: d 2 d

2

x x x

xe x xe  e x

  2

2

x x

xe e C

  

Vậy: 1; 1

2

a b  ab 

Câu 15 Biết  

2

2

3 d

x

I  x e x a be với a b, số nguyên Tính S  a b

A S8 B S 10 C S12 D S16 Lời giải

Chọn C

 

2

2

3 d

x

I  x e x Đặt

2

3 d 3d

d e dx 2e

x x

u x u x

v v

  

 

 

 

   

 

Ta có:  

2 2

2 2

0

0

2 d 10 12 10 12 12 14

x x x

I  x e  e x e  e  e  e   e

Vậy a b 12

Câu 16 Ta có x e x2 dx x2mxn e xC m n

A 0 B 4 C 5 D 4

Lời giải Chọn B

Đặt

2 d 2 d

d xd x

u x x

u x

v e

v e x



  

 

 

 

 



2

dx x xd

x e x x e xe x

  

Đặt d 2d

d xd x

u x u x

v e x v e

 

 



 

 

 

2xe xxd 2xex de xx 2xex 2ex C

     

 

2

dx 2 x

x e x x x e C

    

Khi m n 4

Câu 17 Nguyên hàm hàm 2018 f x x.e2x là: A ( ) 1e2  2

2 x

F x  x C B ( ) 1e2

2

x

F x  x C

 

C ( ) 2e2 x

F x  x C

  D  

2

( ) 2e x

F x  x C

Đặt 2 2

d d

1 e d e d

2 x x

u x

u x

v

v x

  

 

   

 

Khi đó:   2 2 2

.e d e e d e e e

2 2 2

x x x x x x

F x  x x x  x x   C x C

 

 

Câu 18 Cho    e2x

F x  ax bxc nguyên hàm hàm số     2018 e x

f x  x  x

trên khoảng  ;  Tính T  a 2b4c

A T 1011 B T 3035 C T 1007 D T  5053 Lời giải

Chọn B

Vì    e2x

F x  ax bxc nguyên hàm hàm số     2018 e x

f x  x  x khoảng  ;  nên ta có: F x   f x , với x   ; 

 

   

2ax x 2b 2a 2c b e x 2018x 3x e x

        , với x   ;  2018

2

2

a

b a

c b   

   

   

1009 2021

2 2023

4

a b c        

    

Vậy T  a 2b4c 1009 2021 2023

2

   

     

     3035

Câu 19 Biết   2  

3 xd x

x e x e x n C

m

 

    

 , với ,m n Khi tổng S m2 n2 có giá trị bằng:

A 5 B 65 C 41 D 10

Lời giải Chọn B

Đặt 2 2

d d

3

1

d d

2 x x

u x

u x

v e

v e x 

   

 

    

 

Khi   2  

3 d d

2

x x x

x e x  e x  e x

   

2

x x

e x e C

    

2 1 2 7

4

x x

e x C e x C

          m 4;n7

2

65

m n

  

Câu 20 Tìm nguyên hàm sin x xd

A sin x xd  2 cos x2 sin xC B sin x xd  cos xC C sin x xd cos xC D sin d cos

2

x x x C

x

 

Chọn A

Đặt t x, ta có sin xdx2 sint tdt

Đặt

sin

u t

dv tdt

 

 

 ta có

2 cos

du dt

v tdt

    



2 sint tdt 2 cost t costdt 2 cost t2 sint  C xcos x2 sin xC

 

B I 2: TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ _ Dạng Đổi biến số dạng

-Phương pháp:

_Định lí Cho hàm số f liên tục đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số uu x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [ ; ]a b u x( ) Giả sử viết f x( )g u x u x x( ( )) '( ), [ ; ],a b

với g liên tục đoạn [ ; ].  Khi đó, ta có

( ) '

( )

( ) ( ( )) ( ) ( )

u b

b b

a a u a

I f x dxg u x u x dx  g u du

_Phương pháp Để tính tích phân:   b a

I g x dx ta thực bước:  Bước Biến đổi để chọn phép đặt tu x dtu x dx( )  Bước Thực phép đổi cận:

 Với xa thìtu a 

 Với x b tu b  (Nhớ : đổi biến phải đổi cận)  Bước Đưa dạng

( )

( )

( ) u b

u a

I   f t dt đơn giản dễ tính _Dấu hiệu nhận biết cách tính tích phân

Dấu hiệu Có thể đặt

Có f x   t  f x( )

Có (ax b )n tax b

Có af x( ) t f x( )

Có dx và lnx

x t lnx biểu thức chứa ln x

Có e dx x tex biểu thức chứa e x

Có sin xdx tcosx

Có cos xdx tsinxdx

Có 2 cos

dx

x ttanx

Có 2 sin

dx

_Bài tập minh họa:

Câu Tính tích phân

1

2

(1 )

I x x dx:

A 16

I  B 31

10

I  C

10

I  D

10

I  

Lời giải

Chọn B

 Đặt

1

t x dt xdx  Đổi cận: x  0 t 1; x  1 t  Nên

2

1

2 31

2 10 10

t t

I  dt 

PP nhanh trắc nghiệm

 Để tính giá trị tích phân xác định máy tính 570ES

 Bước Sử dụng lệnh để hình máy tính cầm tay hiện:

 Bước Nhập hàm số f(x)  Bước Nhập cận

 Bước Ấn phím = Câu Tính tích phân

2

2

I  x x  dx cách đặt ux21, mệnh đề đúng? A

3

0

2

I   udu B

2

1

I  udu C

3

0

I  udu D

2

1

I   udu

Lời giải

Chọn C  Đặt

1

ux  du xdx

 Đổi cận x  1 u 0;x  2 u  Nên

3

0

I  udu

PP nhanh trắc nghiệm

+ Tính tích phân I MTCT

+ Tính tích phân đáp án A, B, C, D + Đối chiếu kết quả, chọn đáp án C

Câu Tính tích phân

0

cos sin d

I x x x





A

4

I    B I  4 C I 0 D

4

I  

Lời giải

Chọn C

 Đặt tcosxdt sinxdx  dt sinxdx

 Đổi cận: với x  0 t 1; với x    t

 Vậy  

1

1 4

3

1 1

1

0

4 4

t

I t dt t dt



 



      

PP nhanh trắc nghiệm

_Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH) 1 Nhận biết: (10 câu)

Câu Tính tích phân

0( 2) (2 1)d

I  x  x x x chọn cách đổi biến hợp lí

A

( ) d

t x x x B t2x1

C

( ) (2 1)

t x x x D

2 tx  x Câu Tính tích phân

0 1(5 )

I  x  x x  x dx chọn cách đổi biến hợp lí

A t(x5x3)dx B t5x43x2 C t x5x31 D t x5x3dx Câu Tính tích phân

3

1

4

0

4

d

x x

I x

x x

 

 

 chọn cách đổi biến hợp lí A 4 13

2

t

x x



  B

3

4

t x  x C

3

4

4

2

x x

t

x x

 

  D

4

2 tx x 

Câu Tính tích phân

1

1 ln d e

I x x

x

 chọn cách đổi biến hợp lí A t

x

 B tlnx C tln5 x D t dx x 

Câu Tính tích phân

0 (2x 1)d

x x

I  e   x chọn cách đổi biến hợp lí

A tx23x1 B t2x1 C tx2x D tex2x(2x1)

Câu Tính tích phân

3

1 2

03 (3 1)d

x x

I x x



  chọn cách đổi biến hợp lí

A tx33x2 B t3x2x C tx3x D t3x3x(3x21) Câu Tính tích phân

0 sin cos d

I x x x



 chọn cách đổi biến hợp lí

A

sin

t x B tsinx C tcosx D

sin cos

t x x

Câu Tính tích phân

0 cos sin d

I x x x



 chọn cách đổi biến hợp lí

A

os

tc x B tsinx C tcosx D

os sin tc x x Câu Tính tích phân

2

1

tan d

cos

I x x

x



 chọn cách đổi biến hợp lí

A ttan6x B ttanx C tcosx D tcos2x Câu 10 Tính tích phân

2

1 cot

sin

I x dx

x

 

 chọn cách đổi biến hợp lí

A tcot6x B tsinx C tcotx D tsin2x 2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Tích phân

2

d

x x

x 



ln

a b

 Khi a b bằng:

Câu 12 Cho tích phân

1

1x xd

 , với cách đặt

t x tích phân cho với tích phân sau đây?

A

1

0

3 dt t B

1

d

t t

 C

1

3t dt D

1

3t td Câu 13 Cho

1 d x I x x  

 ,với cách đặt

1

t x  tích phân cho với tích phân sau đây? A d t t

 B

2

1 d

2 t t C

2

d

t t

 D

2

1 dt

 Câu 14 Tích phân

0

cos x.sinx dx





A

 B 2

3 C

2

 D 3

2

Câu 15 Cho f hàm số liên tục thỏa  

1

0

d

f x x

 Tính  

2

0

cos sin d

I x f x x





A 1 B 9 C 3 D 7

Câu 16 Cho

4

0

( )d 2018

f x x

 Tính tích phân  

2

0

(2 ) (4 ) d

I  f x  f  x x

A I 0 B I 2018 C I 4036 D I 1009 Câu 17 Cho tích phân  

4

0

d 32

I  f x x Tính tích phân  

2

0

2 d

J f x x

A J 32 B J 64 C J 8 D J 16

Câu 18 Cho

1

d x

I xe x.Biếtrằng

2

ae b

I   Khiđó, a b bằng:

A 1 B 0 C 2 D 4

Câu 19 Với cách đổi biến u 3ln x tích phân

1 ln d 3ln e x x

x  x

 trở thành:

A  

2 2

1 d

3 u  u B  

2 2

1 d

9 u  u C  

2

2 u 1 du D

2 2 d u u u  

Câu 20 Tính tích phân e 1 3ln d x I x x 

 cách đặt t 3ln x, mệnh đề sai?

A

1

2

I  t B

2

1

d

I  t t C

2 2 d

I  t t D 14

9

I 

11.D 12.D 13.A 14.B 15.D 16.B 17.A 18.C 19.B 20.B Hướng dẫn giải( phần TH)

Câu 11 Tích phân

2

d

x x

x 

 1ln

2

a b

 a b

A 6 B 8 C 9 D 10

Lời giải

Chọn D Đặt

3

tx  dt xdx

Đổi cận x  0 t 3;x  2 t Nên

7

3

1 ln

2

dt I

t  

Câu 12 Cho tích phân

1

1x xd

 , với cách đặt

t x tích phân cho với tích phân sau đây?

A

1

0

3 dt t B

1

d

t t

 C

1

3t dt D

1

3t td

Lời giải

Chọn D

Đặt 3

1 (1 ) 3t

t     x t x  dx Đổi cận x  0 t 1;x  1 t Nên

0

2

1

.3

I  t t dt t dt

Câu 13 Cho

1

0

x

I dx

x 



 ,với cách đặt

1

t x  tích phân cho với tích phân sau đây?

A

2

0

d

t t

 B

2

1 d

2 t t C

2

d

t t

 D

2

1 dt



Lời giải

Chọn D

Đặt 2

1

t x   t x  tdtxdx Đổi cận x  0 t 1;x  1 t Nên

2

1

t

I dt dt

t

    Câu 14 Tích phân

0

cos x.sinx dx





A

 B 2

3 C

2

 D 3

2 Lời giải

Đặt tcosx tdtsin x dx

Đổi cận: x  0 t 1, x    t Khi đó:

1

2

I t dt



 

Câu 15 Cho f hàm số liên tục thỏa  

1

0

d

f x x

 Tính  

2

0

cos sin d

I x f x x





A 1 B 9 C 3 D 7

Lời giải Chọn D

Đặt tsinxdtcos x dx

Đổi cận x  0 t 0;

x   t

Khi đó:

1

0

( )

I f t dt Câu 16 Cho

4

0

( )d 2018

f x x

 Tính tích phân  

2

0

(2 ) (4 ) d

I  f x  f  x x

A I 0 B I 2018 C I 4036 D I 1009 Lời giải

Chọn B Ta có

2 2

0

1

(2 )d ( )dt

2 x t

f x x f t





 

2 4 2

0

1

(4 )d ( )dt ( )dt

2

x t

f x x f t f t

 

   

  

Suy  

2 4

0 0

(2 ) (4 ) d ( )dt ( )d 2018

I  f x  f  x x f t  f x x

Câu 17 Cho tích phân  

4

0

d 32

I  f x x Tính tích phân  

2

0

2 d

J  f x x

A J 32 B J 64 C J 8 D J 16

Lời giải Chọn D

Đặt d 2d d d

2

t

t x t x  x

Đổi cận: x  0 t 0;x  2 t

     

2 4

0 0

1 1

2 d d d 16

2 2

J  f x x f t t  f t t I 

Câu 18 Cho

1

d x

I xe x Biết

2

ae b

I   Khi đó,a b bằng:

A 1 B 0 C 2 D 4

36 Chọn C

Đặt

1 d d

t x  t   x x

Đổi cận: x  0 t 1;x  1 t

0

1

1 1

e dt e d

2 2

t t e

I      t 

Câu 19 Với cách đổi biến u 3ln x tích phân

1 ln

d 3ln

e

x x

x  x

 trở thành:

A  

2 2

1 d

3 u  u B  

2 2

1 d

9 u  u C  

2

2 u 1 du D

2

1

2

d

u

u u





Lời giải Chọn B

Đặt 2

1 3ln 3ln d du

3

u

u x u x x

x

      

Đổi cận: 1

2

x u

x e u

   

    

Khi    

2

2

2

1

1 2

u 3

u u

I   dt  u  du

Câu 20 Tính tích phân e

1

1 3ln d

x

I x

x 

 cách đặt t 3ln x, mệnh đề sai?

A

1

2

I  t B

2

1

d

I  t t C

2 2

d

I  t t D 14

9

I 

Lời giải Chọn C

Đặt 2

1 3ln 3ln d d

3

t

t x t x x t

x

      

Đổi cận: 1

2

x t

x e t

   

   



Khi

2

2

1

2 14

t

3

t

I t dt  dt

_ Dạng Đổi biến số dạng

_ Phương pháp: Để tính tích phân:  d b

a

I  f x x, mà biểu thức dấu tích phân có dạng

1 a2x2 : đặt | | sin ; ; 2 x a t t   

 

2 x2a2 : đặt | | ; ; \ {0}

sin 2

a

x t

t

 

 

   

 

3 x2a2: tan ; ; 2 x a t t    

 

4 a x

a x





a x

a x



_Bài tập minh họa:

Câu Tính tích phân sau:

1

2

1

I  x dx A

4



B 1 C 0 D

4

 

Lời giải

Chọn A

 Đặt xsint ta có dxcostdt Đổi cận: 0;

2

x  t x  t  Vậy

1 2

2

0 0

1 | cos |cos cos

I x dx t tdt tdt

 

   

0

1 cos

2

t dt

  

 

PP nhanh trắc nghiệm

  Bước Sử dụng lệnh để hình máy tính cầm tay hiện:

 Bước Nhập hàm số f(x)  Bước Nhập cận

 Bước Ấn phím = Câu Tính tích phân sau:

1 01

dx I

x 





A

4



B

12



C

6



D

6

 

Lời giải

Chọn A

 Đặt xtan ,t ta có   tan

dx  t dt

Đổi cận:

0

1

4

x t

x t 

   



   



Vậy

1

4

0

|

1

dx

I dt t

x



 

   



 

PP nhanh trắc nghiệm

  Bước Sử dụng lệnh để hình máy tính cầm tay

 Bước Nhập hàm số f(x)  Bước Nhập cận

 Bước Ấn phím = Câu Khi đổi biến x tant tích phân

5

0

dx I

x 



 trở thành tích phân sau đây? A

4

0

5dt

I



 B

4

0

5 dt

I



 C

6

0

5tdt

I



 D

6

0

1 dt t

I





Lời giải ChọnB

Đặt

5 tan t 5(1 tan t)dt

x dx 

Đổi cận

4

x  t  ;x  0 t

I trở thành

PP nhanh trắc nghiệm



+ Tính tích phân I mt

   

4 4

2

0 0

5 tan t dt tan dt 5dt

5 tan t 5(tan 1)

t t

  

 

 

 

  

_Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH)

1 Nhận biết:(10 câu)

Câu Tính tích phân

1

d

x I

x 



 chọn cách đổi biến hợp lí nhất:

A tx23 B x tant C t sinx D x t2 3

Câu Tính tích phân

4

d 16

x I

x 



 chọn cách đổi biến hợp lí nhất:

A tx216 B t4sinx C x4 tant D x t2 4

Câu Tính tích phân

5

d 25

x I

x 



 chọn cách đổi biến hợp lí nhất:

A tx225 B x t2 C t5sinx D x5 tant Câu Tính tích phân

7

d

x I

x 



 chọn cách đổi biến hợp lí nhất:

A tx27 B x tant C t7sinx D x t2 7 Câu Tính tích phân

2

d

x I

x 



 chọn cách đổi biến hợp lí nhất:

A

4

t x B x4 tant C t4sinx D x t

Câu Tính tích phân

2

2

4 d ,

I  x x chọn cách đổi biến hợp lí nhất:

A x2 tant B t 4 x2 C x2sint D t2sinx Câu Tính tích phân

3

2

9 d

I  x x chọn cách đổi biến hợp lí nhất:

A x3cost B t 9 x2 C x3tant D t3tanx

Câu Tính tích phân

5

2

25 d

I  x x chọn cách đổi biến hợp lí nhất:

A t25x2 B x5cost C x5 tant D t5 tanx

Câu Tích phân

4

2

16x dx

 chọn cách đổi biến hợp lí nhất:

A t16x2 B x4 tant C t4sinx D x4cost Câu 10 Tích phân

3

2

3x dx

 chọn cách đổi biến hợp lí nhất:

2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Đổi biến số x4sint tích phân

8

2

16x dx

 ta được:

A

4

16 cos d

I t t



   B  

4

0

8 cos d

I t t

    C

16 sin d

I t t



  D  

4

0

8 cos d

I t t



  

Câu 12 Tích phân

1

2

1x dx

 bằng:

A 2 sin t.dx 

 B

2

sin t.dt 

 C

2

cos t.dt 

 D

2 cos t.dt  

Câu 13 Đổi biến x2sint tích phân

1 dx x 

 trở thành: A

6

0

tdt 

 B

6

0

dt 

 C

6 dt t 

 D

3

0

dt   Câu 14 Khi đổi biến x3tant tích phân

3 dx I x  

 trở thành tích phân sau đây? A 3dt   B 3dt   C 3dt   D 3dt   Câu 15 Tích phân

3 5 d 25 x x 

 bằng:

A dt  

B

4 dt  

C

4 dt  

  D

4 dt    

Câu 16 Tích phân

2 2 d a x

a x

 với a0 bằng: A

4

0

dt 

 B

3

0

dt 

 C

6

0

dt 

 D

12

0

dt 



Câu 17 Tích phân: I = 2

0

a

a x dx

 với a > bằng: A

4

a 

B

4

a 

C

4

a 

D

4

a 

Câu 18 Tích phân: I =

3

2

9x dx

 bằng:

A 81

8



B 81

4



C

4

81 16



D 81

32



Câu 19 Tích phân: I =

4

2

16x dx

 bằng:

A 32 B 64 C 16 D 8

Câu 20 Tích phân: I =

5

2

25 x dx

 bằng:

A 32 B 64 C 16 D 8

Bảng đáp án

1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.C 7.A 8.B 9.D 10.B

11.B 12.C 13.A 14.B 15.A 16.A 17.B 18.C 19.B 20.B Hướng dẫn giải( phần TH)

Câu 11 Đổi biến số x4sint tích phân

8

2

16x dx

 ta được:

A

4

16 cos d

I t t



   B  

4

0

8 cos d

I t t



  

C

4

16 sin d

I t t



  D  

4

0

8 cos d

I t t



  

Lời giải Chọn B

Đặt x4sint ta có dx4costdt

Đổi cận: 0;

4

x  t x  t 

Vậy :

8 4

2 4

0

0 0

1 16 | cos |cos 16 cos (1 cos )

I x dx t tdt tdt t dt

 



         

Câu 12 Tích phân

1

2

1x dx



A

2

sin t.dx 

 B

2

sin t.dt 

 C

2

cos t.dt 

 D

2

cos t.dt 



Lời giải Chọn D

Đặt xsint ta có dxcostdt Đổi cận: 0;

2

Vậy

1 2

2

0 0

1 | cos |cos cos

I x dx t tdt tdt

 

   

Câu 13 Đổi biến x2sin t tích phân

1

2

dx x 

 trở thành: A

6

0

tdt 

 B

6

0

dt 

 C

6

0

1 dt t 

 D

3

0

dt   Lời giải

Chọn B

Đặt x2sint ta có dx2costdt Đổi cận: 0;

6

x  t x  t 

Vậy:

1 6

2

0 0

2 cos

4 4sin

dx t

I dx dt dt

x t

 

  

 

  

Câu 14 Khi đổi biến x3tant tích phân

3

0

dx I

x 



 trở thành tích phân sau đây? A

4

0

3dt 

 B

4

0

1 3dt 

 C

4

0

3dt 

 D

4

0

3dt   Lời giải

Chọn B

Đặt  

3 tan t, t ; d tan t dt 2

x     x 

 

Đổi cận: x  0 t 0; t

x  

Suy ra:  

4

2

0

1

.3 tan t dt dt

9 tan t

I

 

  



B I 3: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

_ Dạng   sin cos d

ax

ax

f x ax x

e

 

 

 

 

 

 



_Bài tập minh họa:

Câu Tính tích phân

2

1  x

I xe dx A 

I e B  

I e C I e D

3

 

I e e

Lời giải Chọn A

Đặt    

 

 x  x

u x du dx

dv e dx v e

 

2

2 2

1

1

2 2

2

x x x x

I xe dx xe e dx e e e

e e e e e

     

    

 

PP nhanh trắc nghiệm

- Tính tích phân

- Lưu kết biến A

- Kiểm tra đáp án: A

Câu Tính tích phân

1

2

( 2) x

I  x e dx A

2

5

e

I   B

2

5

e

I   C

2

5

e

I   D

2

5

e

I  

Lời giải Chọn B

PP nhanh trắc nghiệm

 Tính tích phân: -Phương pháp:

Đặt:

  ' 

sin sin

cos d cos d

ax ax

u f x du f x dx

ax ax

dv ax x v ax x

e e

 

 

 

   

 

      

     

     

 

 Đặt 22 1 2

2

x x

du dx

u x

v e

dv e dx

   

 



 

 

  (chọn C0)

1

2

0

1

( 2)

2

x x e

I x e e dx 

      - Lưu kết biến B

- Kiểm tra đáp án: B

Câu Tích phân  

3x cos x xd





 bằng:

A 3

4  B

2

3

4  C

2

1

4  D

2

1

4  Lời giải

Chọn B

 Đặt  

0

3 cos d

I x x x



  Ta có:

  

0

1

3 cos d

2 x x x



   

     2

0

1

3 d cos d

2 x x x x x I I

 

 

      

  

 

1

3 d

I x x



   2

0

3

2

2x x



 

    

 

 

 

2

3 cos d

I x x x



  Dùng tích phân phần Đặt

d 3d

3

1

d cos d sin

2

u x

u x

v x x v x

 

 

 

  



 

Khi

 

2

0

1

3 sin sin d

2

I x x x x

 

   

 

0

3

0 cos

4 x



  

Vậy 3

2

2

I       

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Tinh tích phân:

- Lưu kết biến C

_Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH) 1 Nhận biết:(10 câu)

Câu Cho tích phân  

4

0

1 sin d

I x x x



  Tìm đẳng thức đúng?

A  

4

0

1 cos2 cos2 d

I x x x x



    B  

4

0

1 cos2 cos2 d

I x x x x

 

   

C  

4

0

1

1 cos2 cos2 d

2

I x x x x

 

     D  

4

0

1 cos2 cos2 d

I x x x x

 

   

Câu Tính tích phân  

2

0

2 cos

I x xdx



 

A 2 B 3 C  1 D 4

Câu Giá trị

4

0

cos

I x xdx



 là:

A

8



B

8



+

4 C 4



-

4 D 8



-

4

Câu Tính tích phân  

6

0

2 x sin 3xdx





 bằng:

A 4

9 B

7

9 C

8

9 D

5

Câu Tính tích phân  

2

1 sin

I x xdx



  bằng:

A I   B

2

I   C I  1  D

2

I  

Câu 6. Tính tích phân

2

0

I (2x 1) sin 3xdx 

 

A 5

9 B

5

 C 5

8 D

5



Câu Tính tích phân

4

0

I x(1 sin 2x)dx 

 

A

2 32

 

B

2 32

 

C

2 32

 

D

2 32

 

Câu Tính tích phân

2

x

1

A e2e B e2 e 1 C e2e D e2 e Câu Tính tích phân  

1

3x

I x e dx

A

2

9 e



B

3

9 e



C

3

9 e



D

3

9 e



Câu 10 Tính tích phân  

1

2x x

0

I e x e dx

A 2

e

 B 3

e

 C 1

e

 D 4

e 

2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Tính tích phân

1

2 x

0

I(x 1)e dx

A 2e5 B 2e3 C 2e1 D 2e4

Câu 12 Tính tích phân  

1

2

1

x

I x e  x dx

A 1

4e 8 B

2

1

4e 10 C

2

1

4e 14 D

2

1

4e 14 Câu 13 Cho  

1

0

2 x

I  x e dx Đặt u 2xx

dv e dx

 

 



 Chọn khẳng định

A

1

0

3 x

I  e  e dx B

1

0

3 x

I  e  e dx C

1

0

3 x

I  e e dx D

1

0

3 x

I  e e dx Câu 14 Biết tích phân 1 

0

x

x  e dx  a be

 với ,a b Tìm tổng a+b

A a  b B a b 25 C a b  4 e D a   b 1.

Câu 15 Cho biết tích phân

4

2

(2 ln )

4

e

a e b e c

I x x  x dx   với a b c, , ước nguyên

Tính tổng: a b c 

A 4 B 1 C 3 D 2

Câu 16 Cho  

1

0

1 '( ) x

x f x d 

 (1)f  f(0)1 Tính

1

0

( ) x ? f x d 



A I  1 B I 1 C I  2 D I 2.

Câu 17 Cho  

1

0

2x1 f x d'( ) x3

 (1)f  f(0) 1 Tính

1

0

( ) x ? f x d 



A I  1 B

2

I   C I 1 D

2

I  Câu 18 Tính

π

0

sin d

A π B π C π

4 D

π Câu 19 Biết

1

0

(x2020)e dxx a e b 

 Với a b,  Tính T  a b

A T 1 B T 2 C T 3 D T 4 Câu 20 Tính

2

1 e dx

I x x

A I e2 B I  e2 C I 3e22 e D I e Bảng đáp án

1.C 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B 7.A 8.C 9.D 10.A

11.B 12.C 13.B 14.A 15.D 16.A 17.A 18.B 19.A 20.A

_ Dạng

_Bài tập minh họa:

Câu Cho

e

1 ln d I x x x

2

.e

a b

c 

 với a, b , c Tính T   a b c

A 5 B 3 C 4 D 6

Lời giải

Chọn D

Ta có: ln

d d

u x

v x x

 

 

 nên

1

d d

2

u x

x x v

 

    

e

1 ln d I x x x

e e

2

1

1

ln d

2

x

x x x

   e2

4





1

a b c

    

  

Vậy T   a b c6

PP nhanh trắc nghiệm

 _ Dạng : f x( ) ln(ax dx)





-Phương pháp:

Đặt: ln( )

( )

( )

dx du

u ax

x

dv f x dx

v f x dx

 



 

  

  

Câu Tính tích phân    

5

4

1 ln d

I  x x x?

A 10ln B 10ln 19

 C 19 10ln

4  D

19 10ln

4



Lời giải

 Chọn D

Đặt  

2

1

d d

ln 3

1

d

2

u x

u x x

v x

v x x

 



  

  

 

 

   



 

2

4

1

1 2

ln d

4

2

x x

I x x x x

x 

 

    



  

5

4

35 9 3

ln

2 3

x x

dx dx

x x

   

  

 

 

 

35

ln ln 3ln

2 2

 

      

 

19 10ln

4

 

PP nhanh trắc nghiệm

Quy trình bấm máy.  Bấm máy tính:

 Lưu kết quả:

 Kiểm tra kết quả:

Câu Biết  

2

0

2 lnx x1 dxa.lnb

 , với a b,  *, b số nguyên tố Tính 6a7b

A 33 B 25 C 42 D 39

Lời giải

Chọn D

 Xét  

2

0

2 ln d

I  x x x 6

Đặt ln 1

d d

u x

v x x

  

 



1

d d

1

u x

x

v x

 



 

   

Ta có:

   2 2

2

0

1

1 ln d

1

x

I x x x

x 

   





 

2

0

3ln x dx

  

2

0

3ln 3ln

2

x x

 

    

 

Vậy a3, b36a7b39

PP nhanh trắc nghiệm

 _Quy trình bấm máy

Ta có a.lnblnba

Bước

Bước Alnba ba eA

Bước Bấm Shift + FACT

_Bài tập áp dụng:(10 câu NB; 10 câu TH) 1 Nhận biết:(10 câu)

Câu Tính tích phân

1

( 2) ln e

I  x xdx:

A

2

I  B

2

2

e

I   C

2

1

e

I   D

2

1

e

I  

Câu Nếu đặt ln 

2

u x

dv x dx

 

  

 tích phân 1 

2 ln e

I  x xdx trở thành:

A    

1

1 e e

I  x x  x dx B  

1

ln

e e

I x x  x dx

C

1

ln e e

I x x xdx D    

1

ln

e e

I  x x x  x dx

Câu Tính tích phân

2

0

ln(x 1)

J x  dx

A 4ln 3

J  B 5ln

3

J  C 3ln

2

J  D 3ln

4

J 

Câu Biết  

2

1

ln x1 dxaln 3bln 2c

 với a, b , c số nguyên Tính S  a b c A S 0 B S 1 C S2 D S  2

Câu Biết  

2

0

2 lnx x1 dxa.lnb

 , với *

,

a b , b số nguyên tố Tính a b

A 33 B 25 C 42 D 6

Câu Tính tích phân    

5

4

1 ln d

I  x x x?

A 10ln B 10ln 19

 C 19 10ln

4  D

19 10ln

4



Câu Biết  

2

0

2 ln 1x x dxa.lnb

 , với *

,

a b , b số nguyên tố Tính 3a4b

A 42 B 21 C 12 D 32

Câu Biết

3

2

ln(x1)dxaln 2b

 với a b, số nguyên Khi đó, a b

A 0 B 1 C 3 D 2

Câu Tính

 

2

2

ln

ln ln

x

I dx a b

x

  



 Tính T  a 3b

A T 1 B T 5 C T 3 D T 4 Câu 10 Tích Phân

3 2

ln( )

 

I x x dx :

2 Thơng hiểu: (10 câu)

Câu 11 Tích phân

2

ln

 x

I dx

x bằng:

A 11 ln 2

2  B  

1

1 ln

2  C  

1

ln

2  D  

1

1 ln

4 

Câu 12 Tích phân

2

1

(2 1) ln

 

K x xdx bằng: A 3ln

2

 

K B

2



K C K3ln D ln

2

 

K

Câu 13 Cho

1

3

ln d

e a

e

x x x

b  

 với a b,  Tổng a b

A 20 B 10 C 17 D 12

Câu 14 Biết

1

ln d e

I x x xae b với a, b số hữu tỉ Giá trị 9 a b  

A 3 B 10 C 9 D 6

Câu 15 Biết  

2

0

2 lnx x1 dxalnb

 , với a b,  *, b số nguyên tố Tính 6a7b

A 33 B 25 C 42 D 39

Câu 16 Biết

2

0

(4x1) lnx dxaln b.

 , với a b,  Tính 2a b

A 5 B 8 C 13 D 10

Câu 17 Cho tích phân

2

ln

d ln

x b

I x a

x c

   với a số thực, b c số nguyên dương, đồng thời b

c phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P2a3b c

A P6 B P 6 C P5 D P4 Câu 18 Cho  

5 2

ln x x xd aln 5bln 2c

 với a, b , c số nguyên Tính S a 2b c A S 23 B S 20 C S17 D S 11 Câu 19 Cho

 

2

2

ln

d ln

1

x x a

I x

b c

x



  



 với a , b , m số nguyên dương phân số tối giản

Tính giá trị biểu thức S a b c 



A

3

S B

6

S C

2

S D

3

S 

Câu 20 Cho a  b Tích phân ln d b

a

A  ln  1b a

I  x x  a b B  ln  1b

a

I  x x  b a

C

 11 b

a

I x



 D ln 1 1d

b b a

a

x

I x x x

x

  





Bảng đáp án

1.C 2.D 3.C 4.A 5.D 6.D 7.B 8.B 9.D 10.C

11.A 12.D 13.A 14.A 15.D 16.D 17.D 18.B 19.B 20.B _ Dạng

_Bài tập minh họa:

Câu Tính tích phân

2

0

cos dx

I x e x





A

2

e

2 



B

2

e

2 



C

2

e 



D

2

e 



Lời giải

Chọn D 

2

0

cos dx

I x e x





Đặt: sin

ex ex

u cosx du xdx

dv dx v

  

 



 

 

 

2

2

0

x sin x sin x (*)

I cosx e x e dx x e dx

 



    

2

0

sin dx

J x e x





Đặt: sin

ex ex

u x du cosxdx

dv dx v

 

 



   

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Tính:

Kiểm tra đáp án: _ Dạng .sin 

 

 ax ax

e dx

cosax





-Phương pháp:

Đặt:

os sin

sin cos

1 ax ax

ac ax

ax du dx

u a ax

ax

v e

dv e dx

a

  

     

    

   

   

2 2

0

0

2

sin co s cos

(2*)

x x x

J x e x e dx e x e dx

e I

 

 



   

 

 

Thay (2*) vào (*) ta có:

2 1

2

e I



 

Câu Tính tích phân

2

0

sin xd

I x e x







A

2

-e 2  



B

2

-e 2  



C

2

-e  



D

2

-e  



Lời giải

Chọn D 

2

0

sin xd

I x e x







Đặt: sin

e x e x

u x du cosxdx

dv  dx v 

 

 



 

  

 

2

2

0

sin x cos x e (*)

I x e x e dx J





 

 

     

2

0

cos xd

J x e x







Đặt: sin

e x ex

u cosx du xdx

dv  dx v

  

 



    

 

2

0

s sin

1 (2*)

x x

J co x e x e dx

I

 

 

  

 

 Thay (2*) vào (*) ta có:

2 1

2

e I

 

 



PP nhanh trắc nghiệm

 Tính:

Kiểm tra đáp án:

Câu

2 sinx

.sin

I e xdx





Lời giải

Chọn B

I 2esinx x xdx

2 sin cos



 

Đặt u xx du xxdx

dv esin xdx v esin

sin cos cos                      x x x

I xe e xdx

e e

2 sin sin

0 sin

0

2sin cos

2 2

PP nhanh trắc nghiệm

 Tính:

_Bài tập áp dụng:

Câu Tính tích phân

4

0

e cos2x

I xdx   : A 1 e I  

 B

4 2 e I  

 C

4 3 e I  

 D

4 4 e I   

Câu Tính tích phân

4

0

e cos2x

I x xd

   : A e I   

 B

4 2 e I   

 C

4 3 e I   

 D

4 e I    

Câu Tính tích phân

2

0

e sinx x

I dx





A I e2 2



  B I e2 1



  C I e2 3



  D

2

I e



  .

Câu Tính tích phân

4

0

e sin 2x

I xdx   A 3 e I  

 B

4 1 e I  

 C

4 2 e I  

 D

4 4 e I   

Câu Tính tích phân

6

0

e sin 3x

I xdx   A 1 e I  

 B

6 1 e I  

 C

6 1 e I  

 D

Câu Tính tích phân

6

e cosx

I xdx





A ( 1)

10 10

I e



   B ( 1)

10 10

I e



  

C ( 1)

10 10

I e



   D ( 1)

10 10

I e



  

Câu Tính tích phân

4

0

e xsin

I x xd

   A 2 e I   

 B

4 2 e I   

 C

4 2 e I  

 D

4 2 e I   

Câu Tính tích phân

3 e sin x I xdx   A

( 2)

2 e I



 

 B

6

( 2)

3 e I



 

 C

6

( 2)

4 e I



 

 D

6

( 2) e I    

Câu Tính tích phân

4

e cosx x

I dx   A 3 e I  

 B

4 e I  

 C

4 e I  

 D

4 e I   

Câu 10 Tính tích phân

4

e sinx

x I dx   A e I  

 B

4 2 e I  

 C

4 e I  

 D

4 e I   

Bảng đáp án

B I 4: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC _ Dạng Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

_ Dạng Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

-Phương pháp:

 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ) liên tục đoạn  a b; , trục hoành hai đường thẳng xa, xb xác định: ( )

b a

S  f x dx

 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ), yg x( ) liên tục đoạn  a b;

và hai đường thẳng xa, xb xác định: ( ) ( ) b

a

S  f x g x dx

Chú ý:

- Nếu đoạn [ ; ]a b , hàm số f x( ) khơng đổi dấu thì: ( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx

 

- Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích hình phẳng giới hạn đường xg y( ), xh y( ) hai đường thẳng yc,

yd xác định: ( ) ( ) d

c

S g y h y dy

          

( ) ( )

y f x y 0 H

x a x b a c1 c2

 ( ) y f x y

O c b3 x

( )

b

a

S  f x dx

 

 

 

    

1

2

( ) : ( )

( ) : ( )

( )

C y f x

C y f x

H

x a x b

1

( )C

2

( )C

1( ) 2( )

b

a

S  f x  f x dx

a c1 y

2

y = - 1 3x+

4 3 y = x2

1

4

y

O

x

_Bài tập minh họa:

Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 2 x2 yx

A 9

2 B 7 C 5 D

11

Lời giải

Chọn A

 Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị

là: 2 2

1 x

x x x x

x

  

        



Diện tích hình phẳng cần tìm

1

2

2

1

3

2

2 ( 2)

9

2

3 2

S x x dx x x dx

x x

x

 



       

 

     

 

 

PP nhanh trắc nghiệm

  Trên 1; 2 hàm số

( )

y f x    x x

không đổi dấu nên

1

2

( ) ( )

f x dx f x dx

 



 

 Quy trình bấm máy - Nhập biểu thức

1 2

2

x x dx



  

 vào hình

bằng cách bấm phím sau: - Khi hình xuất

Câu Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y ln x2 x

 , y0, x1, xe Mệnh đề đúng?

A

e

ln d

x

S x

x 

  B

e

ln d

x

S x

x

 C

2 e

2

ln d

x

S x

x

 

   D

2 e

2

ln d

x

S x

x

  

  

 



Lời giải

Chọn B  Ta có

e

ln d

x

S x

x



Vì

e

2

1

ln ln

[1; e], ln x xd

x x S x

x x

      

PP nhanh trắc nghiệm

 Xét dấu hàm số y ln x2 x

 đoạn [1;e]

Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x , 2

3

y x trục hoành hình vẽ

A 7

3 B

56

3 C

39

2 D

11

Lời giải

Chọn D

 Dựa vào đồ thị ta có:

Diện tích hình phẳng cần tìm

PP nhanh trắc nghiệm

  Quy trình bấm máy - Nhập biểu thức

1

2

3

x dx  x dx

 

4

1

2

0

0 1

1 4

3 3

1 11

3 6

x

S x dx  x dx x    x

   

   

  hình (thao tác tương tự câu 1) - Khi hình xuất

_Bài tập áp dụng:(10 câu NB; 10 câu TH)

1 Nhận biết:(10 câu)

Câu Diện tích phần hình phẳng tơ đen hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A  

3

2

( ) ( ) d

f x g x x





 B  

3

2

( ) ( )

g x f x dx







C    

0

2

( ) ( ) d g( ) ( ) d

f x g x x x f x x



  

  D    

0

2

( ) ( ) ( ) ( )

g x f x dx f x g x dx



  

 

Câu Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường yx311x6 y6x2

A 52 B 14 C 1

4 D

1 Câu Diện tích hình phẳng giới hạn yx2;y0;x1;x2

A 7

3 B

4

3 C

8

3 D 1

Câu Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A  

2

2x 2x dx



 

 B  

2

2x 2x dx



 

C  

2

2x 2x dx



  

 D  

2

2x 2x dx



  



Câu Tính diện tích S hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn hai đồ thị hàm số

  ;  

f x  x g x  x hình sau

A

3

S B 10

3

S  C 11

3

S  D

3

S

Câu Tính diện tích S hình phẳng (H) giới hạn đường cong y  x3 12x y x2 A 937

12

S B 343

12

S  C 793

4

S D 397

4

S

Câu Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số  : 1

 

 x

H y

x trục tọa độ

Khi giá trị S

A S 2ln 1 B S ln 1 C S ln 1 D S 2ln 1

Câu Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A  

3

4 d

x x x

  

 B  

3

2 11 d

x x x

  



C  

3

2 11 d

x  x x

 D  

3

4 d

x  x x



Câu Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A  

0

3 d

x  x x

 B  

0

3 d

x x x

 



O x

C  

0

5 d

x x x



  

 D  

0

5 d

x x x



 



Câu 10 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A  

1

3

1

2x 3x dx



  

 B  

1

3

1

2x x 2x dx



  



C  

1

3

1

2x 3x dx



 

 D  

1

3

1

2x x 2x dx



   



2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A  

3

3

1

5 d

x  x  x x

 B  

3

3

1

5 d

x x x x

   



C  

3

3

1

9 d

x x x x

   

 D  

3

3

1

9 d

x x  x x



Câu 12 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A  

1

2

5x dx







 B  

1

2

2x 5x dx





 

C  

1

2

5x dx





 

 D  

1

2

2x 5x dx





  



Câu 13 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 

y x  y x ?

A S 1 B S 2 C

6



S D

3



S

Câu 14 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường yx22x, y0, x 10, x10 A 2000

3

S  B S 2008 C S 2000 D 2008

3

S .

Câu 15 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A  

2

2x 2x dx



 

 B  

2

1

2x dx



 



C  

2

1

2x dx





 D  

2

2x 2x dx



  



Câu 16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y4xx2 trục Ox

A 11 B 34

3 C

31

3 D

32

Câu 17 Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số ye2 x, trục Ox Oy, đường thẳng

x Tính S hình phẳng A

1

e  B 1 

1

2 e  C

4

1

2e D  

4

1

1 e  Câu 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị  : y 1 7

3

P   x  x ,  :

3

x

H y

x  



A 3, 455 B 9 8ln 2 C 3 ln 4 D 161 4ln 8ln

9  

Câu 19 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường yx22x, y0, x 10, x10 A 2000

3

S  B S2008 C S 2000 D 2008

3

S

A

0

2

( ) ( )

S f x dx f x dx



   B

1

2 ( )

S f x dx





C

2

0

( ) ( )

S f x dx f x dx



   D

0

2

( ) ( )

S f x dx f x dx



 

Bảng đáp án

1.C 2.D 3.A 4.C 5.B 6.A 7.A 8.A 9.B 10.C

11.C 12.D 13.C 14.D 15.D 16.D 17.B 18.B 19.D 20.D Hướng dẫn giải( phần TH)

Câu Diện tích phần hình phẳng tơ đen hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A  

3

2

( ) ( ) d

f x g x x





 B  

3

2

( ) ( )

g x f x dx







C    

0

2

( ) ( ) d g( ) ( ) d

f x g x x x f x x



  

  D    

0

2

( ) ( ) ( ) ( )

g x f x dx f x g x dx



  

 

Lời giải Chọn C

Từ đồ thị hai hàm số y f x( ) yg x( ) ta có diện tích phần hình phẳng tơ đen hình vẽ bên tính là:

   

3

2

0

2

0

2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

S f x g x dx

f x g x dx f x g x dx

f x g x dx g x f x dx







 

   

   



 

 

Câu Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường yx311x6 y6x2

A 52 B 14 C 1

4 D

Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là:

11 6

x  x  x

1

x x x

    

  

Diện tích hình phẳng :    

2

3

1

6 11 6 11

S  x  x  x dx   x  x  x dx

2

4

3

1

11 11

2 6

4

x x

x x x x x x

   

           

   

1 1 4

  

Câu Diện tích hình phẳng giới hạn

; 0; 1;

yx y x x A 7

3 B

4

3 C

8

3 D 1

Lời giải Chọn A

Diện tích hình phẳng

2

2

2

1 1

7

3

x

S  x dxx dx 

Câu Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A  

2

2x 2x dx



 

 B  

2

2x 2x dx



 



C  

2

2x 2x dx



  

 D  

2

2x 2x dx



  



Lời giải Chọn C

Từ đồ thị ta thấy 2

3

x x x

     ,   x  1; 2 Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ

   

2

2

1

3 d

S x x x x



 

          

1

2x 2x dx



    

Câu Tính diện tích S hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn hai đồ thị hàm số

  ;  

A

S B 10

3

S  C 11

3

S  D

3

S

Lời giải Chọn B

   

4

4

2

0 2

2 10

2 2

3

x

S  x x dx x x dx x   x 

 

 

Câu Tính diện tích S hình phẳng (H) giới hạn đường cong y  x3 12x y x2 A 937

12

S B 343

12

S  C 793

4

S D 397

4

S

Lời giải Chọn A

Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường cong:

3 2

0

12 ( 12)

4

x

x x x x x x x

x   

          

  

Diện tích cần tìm là:

4

3 3

3

12 d 12 d 12 d

S x x x x x x x x x x x x

 

          

   

0 4

3 2

3 3 0

12 d 12 d 6

4

x x x x

x x x x x x x x x x

 

   

              

   

 

99 160 937

4 12

 

  

Câu Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số  : 1

 

 x

H y

x trục tọa độ

Khi giá trị S

A S 2ln 1 B S ln 1 C S ln 1 D S 2ln 1 Lời giải

Chọn A

 

:

1

 

 x

H y

x ,  H cắt trục Ox Oy, A  1; ,B 0; 1 

Gọi  K hình phẳng giới hạn đường 1, 0,

1



  

 x

y y x

x

Suy

1

0

dx

 



 x

S x

1

0

2

1 dx

1

 

   



 

 x (do

1

x x



 không đổi dấu với x 0;1 )

1

2ln

x x

     2 ln 1 Vậy S2ln 1

O x

Câu Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A  

3

4 d

x x x

  

 B  

3

2 11 d

x x x

  



C  

3

2 11 d

x  x x

 D  

3

4 d

x  x x



Lời giải Chọn A

Ta thấy:  x  1;3 :  x2 3x  4 x nên

   

3

3 d

S   x x  x  x  

3

4 d

x x x

   

Câu Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A  

0

3 d

x x x





 B  

0

3 d

x x x



 



C  

0

5 d

x x x



  

 D  

0

5 d

x x x



 



Lời giải Chọn B

Ta thấy:   x  3; 0: x 1 x24x1 nên

   

0

2

1 d

S x x x x



 

        

0

3 d

x x x



   

A  

1

3

1

2x 3x dx



  

 B  

1

3

1

2x x 2x dx



  



C  

1

3

1

2x 3x dx



 

 D  

1

3

1

2x x 2x dx



   



Lời giải Chọn C

Ta thấy: 1;1

x  

     :

3 2

2x 2x   x x  x nên

   

3

3 2

1

2 2 d

S  x  x   x x  x  x  

3

1

2x 3x dx

  

Câu 11 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A  

3

3

1

5 d

x  x  x x

 B  

3

3

1

5 d

x x x x

   



C  

3

3

1

9 d

x x x x

   

 D  

3

3

1

9 d

x x  x x



Lời giải Chọn C

Ta thấy:  x  1;3 :2x29x 8 x33x21 nên

   

3

2

1

2 d

S   x  x  x  x   x  

3

3

1

9 d

x x x x

    

A  

1

2

5x dx







 B  

1

2

2x 5x dx





 



C  

1

2

5x dx





 

 D  

1

2

2x 5x dx





  



Lời giải Chọn D

Ta thấy: 2;

x  

      :

2

5

x x x

     nên

   

1

2

2

5 d

S x x x x





 

          

1

2

2x 5x dx





    

Câu 13 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số yx3 yx5?

A S 1 B S 2 C

6



S D

3



S

Lời giải Chọn C

Xét phương trình hồnh độ giao điểm 

x x  x5x30  x3x2 1 

1

        

x x x

Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 

y x yx5 là:

1

5

1

d

S x x x



 

Cách 1: Bấm máy tính Ta

1

5

1

1 d

6

S x x x



   

Cách 2: Giải tự luận

1

5

1

d

S x x x



   0 3 1 3

1

d d

x x x x x x



  

  =

0

6

1

1 1 1

6x 4x  6x 4x

      

   

   

Câu 14 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường yx22x, y0, x 10, x10 A 2000

3

S  B S 2008 C S2000 D 2008

3

S 

Cách 1: Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường  C :yx22x  d :y0 là:

2

2

2 x

x x

x

 

    



Bảng xét dấu:

Diện tích cần tìm:

     

10 10

2 2

10 10

2 d d d d

S x x x x x x x x x x x x

 

         

0 10

3 3

2 2

10

3 3

x x x

x x x



     

        

     

1300 704 2008

3 3

   

Cách 2: Dùng MTCT Casio fx 580VN X

Câu 15 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo công thức đây?

A  

2

2x 2x dx



 

 B  

2

1

2x dx



 



C  

2

1

2x dx





 D  

2

2x 2x dx



  



Lời giải Chọn D

Từ đồ thị hai hàm số

3

     

2

2 2

1

3 d 2 d

S x x x x x x x

 

 

          

Câu 16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y4xx2 trục Ox

A 11 B 34

3 C

31

3 D

32 Lời giải

Chọn D

Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y4xx2 trục Ox

Xét phương trình 0

4 0

4 x

x x

x

 

    



Ta có

4

4

2 2

0 0

32

4 (4 ) (2 )

3 3

x

S  xx dx  xx dx  x  

Câu 17 Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số ye2 x, trục Ox Oy, đường thẳng

x Tính S hình phẳng A e4 1 B 1 1

2 e  C

4

1

2e D  

4

1

1 e  Lời giải

Chọn B Ta có:

2

2

2

0

1 1

2

x x

S e dx e e

Câu 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị  : y 1 7

P   x  x ,  :

3

x

H y

x  



A 3, 455 B 9 8ln 2 C 3 ln 4 D 161 4ln 8ln

9  

Lời giải Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm 1 

8

3

x

x x

x



   

   

2

7

x x x

   

0 x x x

    

  

Diện tích hình phẳng  

7

2

7

8 d

3

x

S x x x

x



   



  

4

7

8 d

3

x

x x x

x



   





 

7

2

7

8 d

3

x

x x x

x 

 

     



 

  

7

4

4

1

3 x x x

 

      



 

7

2

4

1

4 ln

3

x

x x x x

  

        

 

   9 8ln

Câu 19 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường yx22x, y0, x 10, x10 A 2000

3

S  B S2008 C S 2000 D 2008

3

S

Lời giải Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường  

:

C yx  x  d :y0 là:

2

2

2 x

x x

x

 

    



Bảng xét dấu:

Diện tích cần tìm:

     

10 10

2 2

10 10

2 d d d d

S x x x x x x x x x x x x

 

         

0 10

3 3

2 2

10

3 3

x x x

x x x



     

        

     

1300 704 2008

3 3

   

Cách 2: Dùng MTCT Casio fx 580VN X

Câu 20 Cho đồ thị hàm số y f x( ) Diện tích hình phẳng (phần tơ đậm hình)

A

0

2

( ) ( )

S f x dx f x dx



   B

1

2 ( )

S f x dx



69 C

2

0

( ) ( )

S f x dx f x dx



   D

0

2

( ) ( )

S f x dx f x dx



 

Lời giải Chọn D

[-2;0], f( ) 0; [ 0;1], f( )

x x x x

      nên ta có:

0

2

( ) ( )

S f x dx f x dx



  

_ Dạng Ứng dụng tích phân tính thể tích

_ Dạng Ứng dụng tích phân tính thể tích

-Phương pháp:

1 Bài tốn1: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh miền  D giới hạn y f x ;

0

y xa x, bkhi quay quanh trục Ox

* Phương pháp giải: áp dụng công thức: b a

V y dx

2 Bài tốn 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: y f x ;  

yg x quay quanh trục Ox

* Phương pháp giải:

+ Giải phương trình: f x g x có nghiệm xa x, b

+ Khi thể tích cần tìm : 2  2 

b a

V  f x g x dx

3 Bài tốn3: Tính thể tích vật thể trịn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi:  

xg y ;ya y; b

* Phương pháp giải: áp dụng công thức: b a

x d

V  y

4 Bài tốn 4: Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn bởi:x f y ; xg y và ya y, b

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: 2( ) 2( )

b a

f y g

V   y dy

5 Bài tốn 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh miền  D giới hạn đường cong

 C kín

* Phương pháp giải:

_Bài tập minh họa:

Câu Cho hàm số y f x( ) liên tục đoạn a b;  Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( )

y f x , trục hoành hai đường thẳng xa x, b a( b) Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo công thức

A 2( ) b a

V  f x dx B 2( )

b a

V  f x dx C ( )

b a

V   f x dx D 2( )

b a

V   f x dx

Lời giải Chọn B

  x [a; ]b ta có 2( ) b a

V  f x dx

PP nhanh trắc nghiệm

 Học thuộc công thức

Câu Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x1 x3, biết cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1 x 3) thiết diện là hình chữ nhật có độ dài hai cạnh 3x

3x 2

A V 32 15. B 124

3

V  

C 124

3

V  D V (32 15)  

Lời giải

Chọn C

 Diện tích thiết diện là:

( )

S x  x x 

 Thể tích vật thể là:

3

2

124

3

3

V  x x  dx

PP nhanh trắc nghiệm

 Ta nhập biểu thức

3

2

3 3x x 2dx

 sau:

y3Q(s3Q(dp2R1E3= + Màn hình hiển thị:

Chọn C

Câu Gọi S diện tích hình phẳng  H giới hạn đường y  f x , trục hoành hai đường thẳng x 1, x2(như hình vẽ bên dưới) Đặt  

0

1

d

a f x x



  ,  

2

0

d

b f x x, mệnh đề sau

A S b a B S b a C S   b a D S   b a

Lời giải Chọn A

 Ta có:

     

2

1

d d d

S f x x f x x f x x

 

   

   

0

1

d d

f x x f x x a b



     

PP nhanh trắc nghiệm

 Dựa vào đồ thị ta thấy f x( ) hàm đồng biến nên ta chọn hàm đồng biến để thay thế, ví dụ chọn f x( )x, suy

0

1

1 d

2

a x x



   ,

2

0

xd

b x , Vậy

1

5 d

2

S x x



 

Lại thấy

b a  , chọn A

_Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH)

1 Nhận biết:(10 câu)

Câu Gọi  H hình phẳng giới hạn đường:ysinx;Ox;x0;x Quay  H xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là:

A

2

2



B

2



C  D 2

Câu Cho hình  H giới hạn ysinx, x 0, x y0 Thể tích khối trịn xoay

quay  H quanh trục Ox bằng: A

2



B 2 C

2

4



D

2

2



Câu Gọi  H hình phẳng giới hạn đường y xln ,x trục Ox x, 1,xe Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng  H quanh trục Ox

A  

2

1

e

 

B  1

3

e

 

C  1

3

e

 

D  

2

1

e

 

Câu Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol  P :yx2 đường thẳng d y: 2x quay quanh trục Ox bằng:

A

2

2

0

4x dx x dx

  B  

2

2

2

x x dx

  C

2

2

0

4x dx x dx

  D  

2

2

x x dx

 

Câu Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn y lnx, trục Ox đường thẳng

2

A 2ln 1 B 2 ln 2  C 2 ln 2  D 2 ln

Câu Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y x21, trục hoành đường thẳng

0,

x x Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao

nhiêu?

A

3

V   B V 2 C

3

V  D V 2

Câu Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y sin x, trục hoành đường thẳng

0

x , x Khối tròn xoay tạo thành quay D quay quanh trục hồnh tích V

bao nhiêu?

A

2

V   B V 2  1 C V 2 D V 21

Câu Cho hình phẳng  H giới hạn đường yx23, y0, x0, x2 Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề

đây đúng?

A  

2

2

3

V  x  dx B  

2

3

V  x  dx C  

2

2

3

V  x  dx D  

2

3 V  x  dx Câu Cho hình phẳng  H giới hạn đường thẳng yx22,y0,x1,x2 Gọi V thể

tích khối tròn xoay tạo thành quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề

đây đúng?

A  

2

2

2 d

V  x  x B  

2

2

2 d

V  x  x C  

2

2 d

V  x  x D  

2

2 d

V  x  x

Câu 10 Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục Ox hai đường thẳng xa x, b a b, xung quanh trục Ox

A 2 

b a

V  f x dx B 2 

b a

V  f x dx C  

b a

V  f x dx D  

b a

V  f x dx 2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Cho hàm số y f x  liên tục đoạn  a b; Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng x a , xb ab Thể tích khối trịn xoay tạo

thành quay D quanh trục hồnh tính theo công thức

A 2 d

b a

V  f x x B 2 d

b a

V   f x x C 2 d

b a

V   f x x D  d

b a

V   f x x

Câu 12 Kí hiệu  H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y2(x1) ,ex trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình  H xung quanh trục Ox

A V  4 2e B V 4 2 e C V  e2 D V e25 Câu 13 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số

3 ,

y xx y

Câu 14 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2, y  x x  y A 12

35 B

3564

35  C

3654

35  D

729 35

Câu 15 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2 ,

y x yx A 1536 π

35 B 256 π35 C

1536

35 D

265 35

Câu 16 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

, 0,

yx y x A

4



B 4

7



C

2



D

7



Câu 17 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2 3; 1; 2;

y x  y y x

A 8 B

2



C 9

4



D 206

15

Câu 18 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số xy9,y0,x1,x3

A 54 B 6 C 12 D 6

Câu 19 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y cos x ,y 0,x 0,x



   

A  2

 

B sin 2

 

C sin 2



D

8

 

Câu 20 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

cos , 0, 0,

y x y x x A

2

2



B 3

8



C

2

3



D

2



Bảng đáp án

1.A 2.D 3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.A 9.A 10.A

11.A 12.D 13.C 14.A 15.B 16.D 17.C 18.A 19.B 20.C Hướng dẫn giải

Câu Gọi  H hình phẳng giới hạn đường:ysinx;Ox;x0;x Quay  H xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích

A

2

2



B

2



C  D 2

Lời giải Chọn A

Thể tích khối trịn xoay  

2

0

1

sin d d sin

0

2 cos 2

V x x x x x x

     

  

       

 

 

quay  H quanh trục Ox A

2



B 2 C

2

4



D

2

2



Lời giải

Chọn D

Thể tích khối tròn xoay  H quanh trục Ox là:

 

2

0 0

1 cos2

sin cos2 sin2

2 2 2

x

V xdx dx x dx x x



      

     

         

 

  

Câu Gọi  H hình phẳng giới hạn đường y xln ,x trục Ox x, 1,xe Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng  H quanh trục Ox

A  

2

1

e

 

B  1

3

e

 

C  1

3

e

 

D  

2

1

e

 

Lời giải

Chọn D

Ta có

1

ln e Ox

V x xdx

Đặt

2

2

2 ln ln

1

du xdx

u x x

dv x

v x

 



  

 



  



Suy 2

1

1

ln ln

2

e e Ox

V  x x  x xdx

  

  

Đặt

2

1 ln

1

du dx

u x x

dv x

v x

 

 

 

  

  



Suy 2

1

1

1 1

ln ln

2 2

e e e

Ox

V  x x  x x  xdx

   

  

2

2 2

1 1

1 1 e

ln ln

2 4

e e e

x x x x x

         

         

       

 

Câu Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol  P :yx2 đường thẳng :d y2x quay quanh trục Ox

A

2

2

0

4x dx x dx

  B  

2

2

2

x x dx

  C

2

2

0

4x dx x dx

  D  

2

2

x x dx

 

Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm  P d x2 2x

2 x x

     Thể tích khối tròn xoay    

2

2

2 2

0

2x x dx

   

 

 2

0

4x dx x xd

 

   

Câu Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn y lnx, trục Ox đường thẳng

2

x quay xung quanh trục Ox

A 2ln 1 B 2 ln 2  C 2 ln 2  D 2 ln Lời giải

Chọn C

Giao đồ thị hàm số y lnx với trục Ox có hồnh độ nghiệm phương trình

lnx x

Gọi V thể tích vật thể cần tìm, ta có:

2

2

1

ln ln ln

V  xdx  x x  dx  

Câu Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y x21, trục hoành đường thẳng

0,

x x Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?

A

3

V   B V 2 C

3

V  D V 2

Lời giải Chọn A

Thể tích khối trịn xoay tính theo cơng thức:

   

1 2

2

0 0

4

1 d d

3

x

V  x  x x  x x  

 

 

Câu Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y sin x, trục hoành đường thẳng

0

x , x Khối tròn xoay tạo thành quay D quay quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?

A V 22 B V 2  1 C V 2 D V 21 Lời giải

Chọn B

 2  

0

2 sin d sin d

V x x x x

 

 

         

0

2x cosx 

  

   

Câu Cho hình phẳng  H giới hạn đường yx23, y0, x0, x2 Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng?

A  

2

2

3

V  x  dx B  

2

3

V  x  dx C  

2

2

3

V  x  dx D  

2

3

V  x  dx

Lời giải Chọn A

Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H xung quanh trục Ox là:

 

2

2

3

V  x  dx

Câu Cho hình phẳng  H giới hạn đường thẳng yx22,y0,x1,x2 Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề

đây đúng?

A  

2

2

2 d

V  x  x B  

2

2

2 d

V  x  x C  

2

2 d

V  x  x D  

2

2 d

V  x  x

Lời giải Chọn A

Ta có:  

2

2

2 d

V  x  x

Câu 10 Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục Ox hai đường thẳng xa x, b a b, xung quanh trục Ox

A 2 

b a

V  f x dx B 2 

b a

V  f x dx C  

b a

V  f x dx D  

b a

V  f x dx Lời giải

Chọn A

Câu 11 Cho hàm số y f x  liên tục đoạn  a b; Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng xa, xb ab Thể tích khối trịn xoay tạo

thành quay D quanh trục hoành tính theo cơng thức

A 2 d

b a

V  f x x B 2 d

b a

V   f x x C 2 d

b a

V   f x x D  d

b a

V   f x x Lời giải

Chọn A

Theo cơng thức tính thể tích vật trịn xoay quay hình  H quanh trục hồnh ta có  

2 d

b a

Câu 12 Kí hiệu  H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y2(x1) ,ex trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình  H xung quanh trục Ox

A V  4 2e B V 4 2 e C V  e2 D V e25 Lời giải

Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm 2x1ex   0 x

Thể tích khối trịn xoay thu quay hình  H xung quanh trục Ox là:

   

1

2 2

0

2 x x

V  x e  dx  x e dx Đặt  

 

2

2

2

1

2 x x

du x dx

u x

e v

dv e dx

  

  

 

 

 

 

 

 2 1    2 1  2

0

0

4 4

2 2

x x x

x

e e e

V  x  x dx  x  x e dx

          

Gọi  

1

2

0

1 x

I  x e dx Đặt

2

2

x x

u x du dx

e

dv e dx v

   

  

  



  1 2 2 2

1 0

0

4 2

2

x x

x

e e

I  x  dx  e  e   e

           

Vậy      

1

2 2 2

1

4

2 x

e

V   x   I     e  e 

Câu 13 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

3 ,

y xx y

A 16

15 B

16

15 C

81

10 D

16 15

Lời giải Chọn C

Ta có: 0

x

x x

x  

    



Thể tích:  

3

2

0

81

3

10 d

V  xx x 

Câu 14 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2,

y  x x  y A 12

35 B

3564

35  C

3654

35  D

729 35

Lời giải Chọn A

Ta có: 2

1

x

x x

x  

      



Thể tích:  

1 2

3 2

0

12

2

35 d

Câu 15 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2 ,

y x yx

A 1536 π

35 B 256 π35 C

1536

35 D

265 35

Lời giải Chọn B

Ta có: 2

x

x x

x  

   

 Thể tích:

2

6

0

256

4

35 d

V  x  x x 

Câu 16 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

, 0,

yx y x

A

4



B 4

7



C

2



D

7



Lời giải

Chọn D

Ta có: x3   0 x Thể tích:

1

0

1 d V x x 

Câu 17 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2 3; 1; 2;

y x  y y x

A 8 B

2



C 9

4



D 206

15

Lời giải Chọn C

Ta có: 2 3

2

y

y x    x  nên thể tích khối tròn xoay tạo thành là:

2

2 2

1 1

3 3

d d

2 4

y y y

V     y    y  y  

   

 

 

Câu 18 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số xy9,y0,x1,x3

A 54 B 6 C 12 D 6

Lời giải Chọn A

Ta có: xy y x

  

Thể tích:

3

2

81

54 d

V x

x

 

  

Câu 19 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y cos x ,y 0,x 0,x



   

A  2

 

B sin 2

 

C sin 2

4



D

8

 

Lời giải

Thể tích:      

1

2

0

sin 2

cos cos

2

d d

V x x x x

   

   

       

Câu 20 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

cos , 0, 0,

y x y x x

A

2

2



B 3

8



C

2

3



D

2



Lời giải

Chọn C

Thể tích:    

1

2

4

0 0

3

cos cos cos cos

4 8

d d d

V x x x x x x x

     

