[r]
(1)ONTHIONLINE.NET thi ch n h c sinh gi i t nh
Đề ọ ọ ỏ ỉ
n m h c 2011 2012ă ọ – Mơn tốn
Th i gian 150 phútờ Câu 1: ( i m)đ ể
1.Cho bi u th c A = ể ứ
2 1
:
1 1
x x x
x x x x x
Ch ng minh r ng ứ ằ < A <
2.Cho h m sà ố f (x) (x 312x 31) 2011 T nhớ f (a)t iạ
3
a 16 5 16 5 Câu 2: (4 i m)đ ể
1.Cho s t nhiên a, b, c Ch ng minh r ng n u a + b + c chia h t cho ố ự ứ ằ ế ế a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia h t cho 6.ế
Tìm s t nhiên n ố ự để P=n5+n4+1 l s nguyên t à ố ố
Câu 3: (4 i m)đ ể
1) Gi i phả ương trình: x x 2 x 11 x 1
2) Gi i h phả ệ ương trình:
3
2 2
2 (1) (2)
x y y
x x y y
Câu 4: (6 i m)đ ể
Cho đường tròn (O; R) T m t i m A n m ngo i ộ đ ể ằ đường tròn, k ti pẻ ế n AB v AC vng góc v i (B v C l ti p i m) M l m t i mế à ế đ ể ộ đ ể cung nh BC, ti p n t i M c t AB v AC l n lỏ ế ế ắ ầ ượ ạt t i E v F
a/ Tính s o góc EOF ? ố đ b/ Bi t EF = ế
5
6R, tính di n tích tam giác OEF v di n tích tam giác AEF.ệ à ệ c/ Tìm v trí c a i m M cung nh BC cho EF có ị ủ đ ể ỏ độ d i nh nh t.ỏ ấ
Câu 5: (2 i m)đ ể
Tìm nghi m nguyên c a phệ ủ ương trình x y 89
Hướng d n ch m mơn Tốnẫ ấ
(Th i gian l m b i: 150 phút, không k th i gian giao ờ à à ể ờ đề)
I/ Hướng d n chung:ẫ
- H c sinh l m cách khác úng, giáo viên v n cho i m tọ đ ẫ đ ể ương đương nh áp án.ư đ
(2)Câu Đáp án Thangđ ểi m
1
1) v i x0,x1 Ta có:
2 1
:
1 1
2
1
x x x
A
x x x x x
x x x x x
x x x x
0,25 0,5 =
2 2
1 1 x x
x x x x x x
0,5
+ v i x0,x1 ta có A > 0,25
+ L i có:
2
1
1
x x
x x hay A < 2 0,25
Vậy < A < 0,25
2) Ta có a316 5 316 5
a3 32 (16 5)(16 5).( 16 5 316 ) 0,5
a3 32 3.( 4). a 0,25
a3 32 12 a 0,25
a312a 32 0 0,25
a312a 31 1 0,25
f a( ) 1 20111 0,5
2 1/ Ta có: A = a + b + c ⋮ 3 =>2A ⋮ 6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 0,5
C =B+2A = a3 + 3a2 + 2a + b3 + 3b2 + 2b + c3 + 3c2 + 2c 0,5
= a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2) 0,5 a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho => C ⋮ => B ⋮
0,5
2
P=n5+n4+1 =n5-n2+n4-n+n2+n+1
0,25
=n2(n-1)(n2+n+1)+n(n-1)(n2+n+1)+n2+n+1
=(n2+n+1)( n3-n+1) 0,25
0,25
(3)+Với n=1 P=3 Là Số nguyên tố (t/m) 0,25
+Với n2 ( nN) ta chứng minh được: n3-n+1n2+n+17
0,25
Do P hợp số
KL: với n=1 giá trị cần tìm
0,25 0,25
3
1/ ĐKXĐ: x2 0,25
x x 2 x 11 x 1
2
x 2 x 3 1
0,25
x 2 x
0,25
x 2 x
0,25
áp dụng BĐT: A B A B ta có: x 2 3 x 2 1
0,5
Dấu”=” xảy khi:
x 2 3
x 2
0 2 x 3 x 7 0,5
2)
T (1) x3 1 2(y 1) x31 x1 0,5
T (2)
2
2
1 -1
y y
x x x
0,75
Suy x = -1 thay v o (2) ta có: yà 2 – 2+y + = y =1
0,5
(4)4
a/
CM
1
2
MOE MOB
;
1
2
MOF MOC 0,5
=>
1
2
EOF BOC 0,5
Ch ng minh ứ BOC900 => EOF 450 b/
Tính di n tích tam giác OEF = ệ
12
R 0,5
Ch ng minh Sứ OEF = 2SOBEFC
0,5
=> SOBEFC = 6R
0,5 Ta có SABOC = R2
=> SOEF = 6R
0,5
c/ Đặt AE = x v AF = y Suy
2 EF x y
0,25 Chu vi tam giác AEF = 2a
2 2 x y x y a
0,25
22
2(x y ) x y
suy
2
2 x y x y
0,5
2 2
2a x y x y x y 1 EF 1
0,5
V y EF có d d i nh nh t b ng ậ ộ ỏ ấ ằ
1
a
x = y v y M l gi a cung BC ậ à ữ 0,5
5 Đ ềi u ki n : 89 x;y v x;y ệ ≥ ≥ Z
0,5
289 89 89 ( ) 89 89
x y x y xy y x x y x y x x =>x=89k2 (k N )
(5)0,25
*N u ế
2
1 89 89
k k x x y ( vô lý) 0,5
*N u ế k 1 Ta tìm x= 89; y=0 0,25
*N u ế k 0 Ta tìm x=0; y= 89 0,25
(6)Cho o n th ng AB có trung i m l O Trên n a m t ph ng b AB d ngđ ẳ đ ể ặ ẳ ự n a đường trịn (O) đường kính AB G i C l m t i m n m n a ọ ộ đ ể ằ đường tròn (O) T C k CH vng góc v i AB ẻ (H∈AB) G i M, N l n lọ ầ ượ àt l hình chi u c a H lên AC v CB ế ủ
Ch ng minh r ng: OC vng góc v i MN;ứ ằ
Qua A k ti p n Ax v i ẻ ế ế đường tròn t i A Ti p n v i (O) t i i mạ ế ế đ ể C c t Ax K Ch ng minh r ng: BK; CH; MN ắ ứ ằ đồng quy
K ti p n By v i ẻ ế ế đường tròn t i B KC c t By t i F Bi t AB=2R v g iạ ắ ế ọ r l bán kính c a ủ đường trịn n i ti p tam giác KOF Ch ng minh r ngộ ế ứ ằ
1
3