SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm). a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 2 n n 2+ + không chia hết cho 3. b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2 n 17+ là một số chính phương. Câu 2 (5,0 điểm) a) Giải phương trình: 2 x 4x+5 = 2 2x+3+ b) Giải hệ phương trình: 2 2 2x+y = x 2y+x = y Câu 3 (3,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 4x+3 A x 1 = + Câu 4 (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = 2 BC b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K ∈ (O). Câu 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Bảng B Câu: Nội dung 1. a, (2,5) *) Nếu 2 n 3 n n 3⇒ +M M nên 2 n n 2 3 / + + M (1) *) Nếu 2 n 3 n 2 3 / ⇒ +M M 2 n n 2 3 / ⇒ + + M (2) Từ (1) và (2) n Z⇒ ∀ ∈ thì 2 n n 2 3 / + + M b, (2,5) Đặt 2 2 m n 17= + (m N)∈ 2 2 m n 17 (m n)(m n) 17 1.17⇒ − = ⇒ − + = = =17.1 Do m + n > m - n m n 17 m 9 m n 1 n 8 + = = ⇒ ⇒ − = = Vậy với n = 8 ta có 2 2 n 17 64 17 81 9+ = + = = 2. a, (2.5) Giải phương trình 2 x 4x+5=2 2x+3+ (1) Điều kiện: 3 2x+3 0 x - 2 ≥ ⇒ ≥ (1) 2 x 4x+5-2 2x+3 0⇔ + = 2 x 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0⇔ + + = 2 2 (x 1) ( 2x+3 1) 0⇔ + + − = x 1 0 2x+3 1 0 + = ⇔ − = x 1 2x+3=1 = − ⇔ x 1⇔ = − thỏa mãn điều kiện b, (2.5) Giải hệ phương trình 2 2 2x+y=x 2y+x=y Trừ từng vế 2 phương trình ta có: 2 2 x y x y− = − (x y)(x y 1) 0⇔ − + − = x y x y x y 1 0 x 1 y = = ⇔ ⇔ + − = = − Ta có: (1) (2) *) x y x y x(x 3) 0 x 0 = = ⇔ − = = Vậy (x; y) = (0;0); (3;3) *) 2 2 2 x 1 y x 1 y x 1 y 2x+y = x 2 2y y (1 y) y y 1 0 = − = − = − ⇔ ⇔ − + = − − + = (*) Vì phương trình 2 y y 1 0− + = vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3) 3. Tìmgiá trị nhỏ nhất của 2 4x+3 A x 1 = + Ta có: 2 2 2 4x+3 x 4x+4 A 1 x 1 x 1 + = = − + + + 2 2 (x 2) A 1 1 x 1 + = − + ≥ − + Dấu "=" xảy ra x 2 0 x 2⇔ + = ⇔ = − Vậy min A 1= − khi x = -2 4. H K E I F O B A C Gọi I là giao điểm của AH và BC ⇒ AI ⊥ BC Ta có: ∆BHI ∆BCE (g, g) BH BI BH.BE BC.BI BC BE ⇒ = ⇒ = (1) Ta có: ∆CHI ∆CBF (g, g) CH CI CH.CF BC.CI CB CF ⇒ = ⇒ = (2) Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC 2 Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra · · HCB KCB= Mà · · FAI HCI= (do tứ giác AFIC nội tiếp) · · · · FAI BCK hay BAK BCK⇒ = = ⇒ tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O) ⇒ K ∈ (O) 5. + Khi · 0 BAC 90= ⇒ · 0 BIC 90= . ⇒ F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính. ⇒ EF đi qua điểm O cố định. SS hoặc x = 3 K F E O A B C I + Khi · BAC < 90 0 ⇒ · BIC > 90 0 . Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF. · · EIF EAF⇒ = (cùng bù · BIC ) · · EKF EIF= (Do I và K đối xứng qua EF) · · EKF EAF⇒ = AKFE⇒ nội tiếp · · KAB KEF⇒ = (cung chắn » KF ) (1) · · IEF KEF= (Do K và I đối xứng qua EF) (2) · · IEF BIK= (cùng phụ · KIE ) (3) Từ (1), (2), (3) · · KAB BIK⇒ = ⇒ AKBI là tứ giác nội tiếp ⇒ K (O)∈ Mà EF là đường trung trực của KI ⇒ E, O, F thẳng hàng. + Khi · BAC > 90 0 ⇒ · BIC < 90 0 chứng minh tương tự. Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định. - - - Hết - - - . -2 4. H K E I F O B A C Gọi I là giao điểm của AH và BC ⇒ AI ⊥ BC Ta có: ∆BHI ∆BCE (g, g) BH BI BH.BE BC.BI BC BE ⇒ = ⇒ = (1) Ta có: ∆CHI ∆CBF (g, g) CH CI CH.CF BC.CI CB CF ⇒ = ⇒ = (2) Từ (1) và (2). suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC 2 Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra · · HCB KCB= Mà · · FAI HCI= (do tứ giác AFIC nội tiếp) · · · · FAI BCK hay BAK BCK⇒ = = ⇒ tứ giác BACK nội. Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số b o danh: ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - B ng B Câu: Nội