Vì vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đã sản xuất được tất cả được 1162 sản phẩm.. Hỏi số sản phẩm của mỗi tổ là bao nhiêu.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ : CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1) √A2=|A|
2) √AB=√A √B ( víi A vµ B ) 3) √A
B=
√A
√B ( víi A vµ B > )
4) √A2B=
|A|√B (víi B ) 5) A√B=√A2
B ( víi A vµ B ) A√B=−√A2
B ( víi A < vµ B ) 6) √A
B=
√AB
|B| ( víi AB vµ B )
7) A
√B= A√B
B ( víi B > )
8) C
√A ± B=
C (√A∓ B)
A − B2 ( Víi A vµ A B
2 )
9) C
√A ±√B=
C(√A∓√B)
A − B ( víi A 0, B vµ A B B BÀI TẬP
I.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH – RÚT GỌN – BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN Bài 1. Th c hi n phép tính.ự ệ
1) (√2+1).(√2− 1) 2) (2√3)2 3) √28 : √7 4) (√3+1).(√3 −1) 5) √2,5.√40 6) √50.√2 7) √0 , 09 8) 4 52 4 52 9) √0 , 0001 10) 1+√61
4 11) 2−√2
7
9 12)
3 5−
1 2√1
11 25 Bài 2.Thực phép tính:
1) √20−√5 2) 6√12−√20 −2√27+√125
3) √12+√27 4) 3√2 −√8+√50 − 4√32
5) √27 −2√3+2√48 − 3√75 6) 3√2 − 4√18+√32−√50 Bài 3.Trục thức mẫu, rút gọn ( víi x ≥ , x ≠ 1 )
1 √(4 −√17)2 2√3
√2
√6+√14
2√3+√28
x +1 √x2− 1
5 x
2
−5
x +√5
2
2 −√3
√2+1
√2 −1
x√x −1
√x −1 √
20+√ 60 −2
❑ √
1510
3
√5 −√2+
√6+√2 11 (
1
√5 −√3+
√5+√3).√5 12 (√20−√45+√5).√5 13 (5√3+3√5):√15 14
3√48+3√75 −√27 −10√1 15 (5√1
5+ 2√20 −
5 4√
4
5+√516.):2√5
(2)Bài 4.* Chứng minh đẳng thức sau: 1) 2 3 2
2)
√2+1+
√3+√2+
√4 +√3=1
3)
√2+1+
√3+√2+ +
√100+√99=9 4) ( √a
√a+2−
√a
√a −2+
4√a −1 a − 4 ):
1
a − 4=− 1 5) √a+√b
2√a −2√b−
√a−√b
2√a+2√b−
2b
b − a=
2√b
√a −√b
II RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC B i 1.à Cho biÓu thøc: A = xx − 1x +1 x 1
x +1
a)Tìm ĐKXĐ vµ rót gän A
b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm tất giá trị x để A < Bài Cho A =
1 1 1
:
1 x x x x x
với x > , x1
a Rút gọn A
b Tính A với x = 5 Bài Cho biểu thức A= 2 x
x +3− x+1
3 − x−
3 −11 x
x2− 9 với x ≠ ± 3
a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A <
c/ Tìm x nguyên để A nguyên Bài Cho biÓu thøc: P = (1− a√a
1−√a +√a).(
1+a√a
1+√a −√a)
a) Rót gän P
b) Tìm a để P < 7 − 4√3 Bài 5.Cho biểu thức
1 1
:
1
a M
a a a a a
với a > a 1
a/ Rút gọn biểu thức M
b/ So sánh giá trị M với Bài Cho biểu thức : A =
1
1
a a a
a) Rút gọn biểu thức sau A
b) Xác định a để biểu thức A > 12
Bài 7.Cho A =
4
:
2
2
x x x
x x x
x x
với x > , x4
(3)b Tính A với x = 5 Bài 8.Cho biểu thức: P =
a a a
4 a
a a
(a 0; a 4)
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P với a = Bài Cho biểu thức: N =
a a a a
1
a a
1) Rút gọn biểu thức N
2) Tìm giá trị a để N = - 2016 Bài 10 Cho biểu thức P=( 2√x
√x +3+
√x
√x +3−
3 x+3
x −9 ):(
2√x −2
√x −3 − 1)
a Rút gọn P b Tìm x để P<−1
2
c Tìm giá trị nhỏ P Bài 11 Cho A =
1 1
4
1
a a
a a
a a a
với x > ,x1
a Rút gọn A
b Tính A với a = 4 15 10 4 15 Bài 12 Cho biểu thức:
1 − a¿2 ¿
E=(√a −2 a −1 − √
a+2 a+2√a+1):
2 ¿
a) Rút gọn E b) Tìm Max E
Bài 13
Cho biÓu thøc: P = ( √x
√x −1−
1
x −√x):(
1
√x +1+
2
x − 1)
a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm giá trị x để P > c) Tìm x để P =
Bài 14 Cho A =
15 11 2
2 3
x x x
x x x x
với x0 , x1
a Rút gọn A b.Tìm GTLN A b Tìm x để A =
1
2 c.CMR : A
2
Bài 15 Cho A =
5 25
1 :
25 15
x x x x x
x x x x x
a Rút gọn A b Tìm x Z để A Z
Bài 16 Cho A =
2
5
a a a
a a a a
(4)a Rút gọn A b Tìm a để A < c Tìm a Z để A Z
Bài 17 Cho A =
7 2
:
4 2
x x x x x
x x x x x
với x > , x4
a Rút gọn A b So sánh A với
1
A
Bài 18 Cho A =
1 1 1
:
1 x x x x x
với x > , x1
a Rút gọn A b Tính A với x = 5 Bài 19 Cho A =
2 3 2
:
9
3 3
x x x x
x
x x x
với x0 , x9
a Rút gọn A b Tìm x để A < -
1
Bài 20 Cho A =
1
:
1
1 1
x x x x x
x x
x x x
với x0 , x1
a Rút gọn A
b Tính A với x = 5 c CMR : A 1
CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT- BẬC HAI- HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.HÀM SỐ BẬC NHẤT
1 Lý thuyết
1/Hµm sè y = ax + b lµ bËc nhÊt a
2/ a) Tớnh chất : Hàm số xỏc định với giỏ trị x trờn R đồng biến a > nghịch biến a < 0)
b) Đồ thị h/s y = ax + b (a 0) đường thẳng ln cắt trục tung điểm có
tung độ b, song song với đường thẳng y = ax a trùng với đt y = ax với b = 0.
3/ Cách tìm giao điểm (d) với hai trục toạ độ
Cho x = => y = b => (d) cắt trục tung A(0;b)
Cho y =0 => x = -b/a => (d) cắt trục hoành B( -b/a;0) a gọi hệ số góc, b tung độ gốc (d)
4/ Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Cho x = => y = b => A (0;b) Cho y =0 => x = -b/a => B( -b/a;0)
Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b 5/ (d) qua A(xo; yo) yo= axo + b
6/ Gọi góc tạo đờng thẳng tia Ox Khi đó:
lµ gãc nhän a > 0, lµ gãc tï a < 0
7/ (d) c¾t (d’) a a’ (d) vu«ng gãc (d’) a a’ = -1
a a ' b b'
a a ' b b'
(5)8/ (d) cắt trục hoành điểm có hồnh độ a (d) qua A(a; 0) 9/ (d) cắt trục tung điểm có tung độ b (d) qua B(0; b)
10/ Cỏch tìm toạ độ giao điểm (d) (d’): Giải phơng trình HĐGĐ: ax + b = a’x + b’
Tìm x Thay giá trị x vào (d) (d’) ta tìm y => A(x; y) TĐGĐ (d) vµ (d’)
2 B ài tập
Bµi : Cho hµm sè y = (m + 5)x+ 2m – 10
a) Với giá trị m y hàm số bậc nhất b) Với giá trị m hàm số đồng biến. c) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm A(2; 3)
d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ 9. e) Tìm m để đồ thị qua điểm 10 trục hoành
f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1 g) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m. h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số lớn nhất
Bài 2: Cho đờng thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để: a) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ
b) Đờng thẳng d song song với đờng thẳng 2y- x =5 c) Đờng thẳng d tạo với Ox góc nhọn
d) Đờng thẳng d tạo với Ox góc tù
e) Đờng thẳng d cắt Ox điểm có hoành độ
f) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – điểm có hoành độ g) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 điểm có tung độ y =
h) Đờng thẳng d qua giao điểm hai đờng thảng 2x -3y=-8 y= -x+1 Bài 3: Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến
2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy
Bµi Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4)
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số ln qua với m
4) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hoành tam giác có diện tích (đvdt)
Bài Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB
2) Tìm giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2)
Bài Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm B4 ; 0 C ; 4
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm C song song với đờng thẳng y2x Xác định tọa độ giao điểm A đờng thẳng (d) với trục hoành Ox
b) Xác định hệ số a b biết đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm B C Tính góc tạo đờng thẳng BC trục hồnh Ox (làm trịn đến phút)
(6)Bµi 7
1) Hàm số y= -2x +3 đồng biến hay nghịch biến ?
2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng y=-2x+3 với trục Ox ,Oy
II
VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax2 VÀ (d): y = ax + b (a 0)
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax2(a0):
Hàm số y = ax2(a0) có tính chất sau:
Nếu a > thì hàm số đồng biến x > nghịch biến x < Nếu a < thì hàm số đồng biến x < nghịch biến x > ◦ Đồ thị hàm số y = ax2(a0):
Là Parabol (P) với đỉnh gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng Nếu a > thì đồ thị nằm phía trục hồnh điểm thấp đồ thị Nếu a < thì đồ thị nằm phía trục hồnh điểm cao đồ thị ◦ Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a0):
Lập bảng giá trị tương ứng (P) Dựa bảng giá trị vẽ (P)
2 Tìm giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a0) (D): y = ax + b:
Lập phương trình hoành độ giao điểm (P) (D): cho vế phải hàm số đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
Giải pt hoành độ giao điểm:
+ Nếu > pt có nghiệm phân biệt (D) cắt (P) điểm phân biệt. + Nếu = pt có nghiệm kép (D) (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu < pt vô nghiệm (D) (P) không giao nhau. 3 Xác định số giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a0) (D
m) theo tham số m:
Lập phương trình hoành độ giao điểm (P) (Dm): cho vế phải hàm số
bằng đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
Lập (hoặc') pt hoành độ giao điểm. Biện luận:
+ (Dm) cắt (P) điểm phân biệt > 0 giải bất pt tìm m
+ (Dm) tiếp xúc (P) điểm = 0 giải pt tìm m
+ (Dm) (P) không giao < 0 giải bất pt tìm m
2 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho hai hàm số y =
2
x
có đồ thị (P) y = -x + m có đồ thị (Dm)
1 Với m = 4, vẽ (P) (D4) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ
các giao điểm chúng Xác định giá trị m để:
a) (Dm) cắt (P) điểm có hồnh độ
b) (Dm) cắt (P) điểm phân biệt
c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm
Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) y = – 3x + m có đồ thị (D
m)
1 Khi m = 1, vẽ (P) (D1) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ
các giao điểm chúng Xác định giá trị m để:
a) (Dm) qua điểm (P) điểm có hồnh độ
1
b) (Dm) cắt (P) điểm phân biệt
c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm
Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P).
(7)2 Gọi A(
7 3;
) B(2; 1)
a) Viết phương trình đường thẳng AB
b) Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AB (P) Tìm điểm (P) có tổng hồnh độ tung độ – Bài tập 4: Cho hàm số y =
3
x2 có đồ thị (P) y = – 2x +
1
2 có đồ thị (D). Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vng góc
2 Xác định tọa độ giao điểm (P) (D)
3 Tìm tọa độ điểm (P) thỏa tính chất tổng hồnh độ tung độ điểm –
Bài tập 5: Cho hàm số y =
2
3x2 có đồ thị (P) y = x +
5
3 có đồ thị (D). Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vng góc
2 Xác định tọa độ giao điểm (P) (D)
3.Gọi A điểm (P) B điểm (D) cho 11
A B A B x x
y y
Xác định tọa độ A B.
Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) B(–2; 3). Viết phương trình đường thẳng (d) qua A, B
2 Gọi (P) đồ thị hàm số y = –2x2.
a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ cho
b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d)
Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –2x2 mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy.
1 Gọi (D) đường thẳng qua điểm A(–2; –1) có hệ số góc k. a) Viết phương trình đường thẳng (D)
b) Tìm k để (D) qua B nằm (P) biết hoành độ B
Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (D).
1 Vẽ (P) và(D) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng
2 Gọi A điểm thuộc (D) có hồnh độ B điểm thuộc (P) có hồnh độ – Xác định tọa độ A, B
3 Tìm tọa độ điểm I nằm trục tung cho: IA + IB nhỏ
Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) y = x – có đồ thị (D).
a) Vẽ (P) và(D) hệ trục tọa độ vng góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) phương pháp đại số
b) Gọi A điểm thuộc (D) có tung độ B điểm thuộc (P) có hoành độ – Xác định tọa độ A B
c) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành cho MA + MB nhỏ
Bài tập 10: Cho (P): y = x2 (D): y = – x + 2.
1 Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Gọi A B giao điểm (P) (D), xác định tọa độ A, B
2 Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trục số cm) CMR: Tam giác AOB tam giác vuông
III HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 lý thuyết
Xét đường thẳng: ax+by=c ( d) a'x +b'y=c' (d') Hay
a c
y x (d)
b b
a ' c '
y (d ')
b ' b '
(8)Hay hệ Cho hệ phương trình:
, (d) ' ' ', ' (d')
ax by c a
a x b y c a
(d) cắt (d’) ' '
a b
a b Hệ phương trình có nghiệm nhất.
(d) // (d’) ' ' '
a b c
a b c Hệ phương trình vô nghiệm.
(d) (d’) ' ' '
a b c
a b c Hệ phương trình có vơ số nghiệm
2 Bài tập
Dạng 1: Giải hệ phương trình có đưa dạng bản Bài 1: Giải hệ phương trình
1)
¿ 4 x −2 y=3 6 x − y=5
¿{ ¿
2)
¿ 2 x +3 y=5 4 x +6 y =10
¿{ ¿
3)
¿ 3 x − y +2=0
5 x +2 y =14 ¿{
¿
4)
¿ 2 x +5 y=3 3 x −2 y=14
¿{ ¿
5)
¿
x√5 −(1+√3) y =1 (1−√3) x+ y√5=1
¿{
¿
6)
¿
0,2 x +0,1 y=0,3 3 x + y =5
¿{ ¿ 7) ¿ x y=
x+ y − 10=0
¿{ ¿
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
1)
¿
(3 x+2)(2 y − 3)=6 xy (4 x+5)( y −5)=4 xy
¿{
¿
2)
¿
2(x + y)+3 (x − y )=4 (x+ y)+2(x − y )=5
¿{
¿
3)
¿
(2 x −3)(2 y +4 )=4 x ( y −3)+54 (x +1)(3 y −3)=3 y (x +1)− 12
¿{
¿
4)
¿ 2 y −5 x
3 +5=
y +27
4 −2 x
x +1
3 +y=
6 y − x ¿{ ¿ 5) ¿
2(x +2)( y+3)−
2xy=50
2xy −
2(x −2)( y − 2)=32 ¿{
¿
6)
¿
(x+ 20)( y − 1)=xy (x − 10)( y+1)=xy
¿{
¿
(9)Bài tập 1: 1)
¿
x+
1
y=
1 12
x+
15
y =1
¿{ ¿
2)
¿
x+2 y+
1
y +2 x=3
4
x +2 y−
3
y +2 x=1
¿{ ¿
3)
¿ 3 x
x +1−
2
y +4=4
2 x
x+1−
5
y+4=9
¿{ ¿
4)
¿
x2+y2=13 3 x2−2 y2
=− 6 ¿{
¿
5)
¿
3√x+2√y=16
2√x −3√y=−11
¿{ ¿
Bài tập 2: Cho hệ phương trình
¿
mx+4 y=10 − m
x +my=4
¿{ ¿
(m tham số) a) Giải hệ phương trình m = √2
b) Giải biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y >
d) Với giá trị m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - HỆ THỨC VI-ÉT A LÝ THUYẾT
I-Cách giải phương trình bậc hai: * Khái niệm :
Phương trình bậc hai ẩn có dạng ax2 + bx + c = a, b, c số thực a 0.
1/ TQ Giải pt bậc hai khuyết c:
ax2 + bx = x ( ax + b ) =
x = hoặc x = b a
2/TQ Giải pt bậc hai khuyết b: ax2 + c = x2 =
c a
Nếu
c
a pt có hai nghiệm x1,2 = c a
Nếu
c
a < pt vô nghiệm.
3/Giải pt bậc hai đầy đủ : ax2 + bx + c = ( a 0) = b2 - 4ac
* Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -b -
2a
; x2 = -b +
2a
* Nếu = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
(10)* Nếu < thì phương trình vô nghiệm
*Chú ý : Trong trường hợp hệ số b số chẵn thì giải phương trình công thức nghiêm thu gọn
' = b'2 - ac
* Nếu ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =
-b' - ' a
; x2 =
-b' + ' a
* Nếu ' = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b'
a * Nếu ' < thì phương trình vơ nghiệm
4/ Phương trình quy phương trình bậc hai a/ Phương trình trùng phương
a) Dạng tổng quát:
Phương trình có dạng: ax4+bx2+ c = x ẩn số; a, b, c hệ số, a 0 b) Cách giải:
Loại phương trình giải ta thường dùng phép đổi biến x2 = t ( t 0) từ
đó ta đưa đến phương trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0
Giải phương trình bậc hai trung gian này, sau trả biến: x2 = t ( Nếu giá trị tìm t thoả mãn t ta tìm nghiệm số phương trình ban đầu)
b/ phương trình tích
Dạng tổng quát: A.B =
0
A B
Cách giải: Để giải phương trình bậc lớn thường dùng phương pháp biến đổi về phương trình tích vế trái tích nhân tử cịn về phải
c/ Phương trình chứa ẩn mẫu
- Tìm điều kiện xác định phương trình đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( giá trị mẫu thức phải khác không)
- Khử mẫu ( nhân hai vế phương trình với mẫu thức chung vế) - Mở dấu ngoặc hai vế phương trình chuyển vế: chuyển hạng tử
chứa ẩn về vế , hạng tử không chứa ẩn về vế kia) - Thu gọn phương trình về dạng tổng quát học
- Nhận định kết trả lời ( loại bỏ gía trị ẩn vừa tìm không thuộc vào tập xác định phương trình)
II- Hệ thức Vi - ét ứng dụng :
1 Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình ax2 bx c 0(a 0) thì :
1
1
b
x x
a c x x
a
(11)2 Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : x2 Sx P 0 (Điều kiện để có u v S2 4P 0 )
3 Nếu a + b + c = thì phương trình ax2bx c 0(a 0) có hai nghiệm : c x 1; x
a
Nếu a - b + c = thì phương trình ax2bx c 0(a 0) có hai nghiệm : c x 1; x
a
III: Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (a 0) có: Có nghiệm (có hai nghiệm)
Vô nghiệm <
Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau) = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) >
Hai nghiệm dấu P >
Hai nghiệm trái dấu > P < a.c <
Hai nghiệm dương(lớn 0) 0; S > P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0) 0; S < P > Hai nghiệm đối S =
10.Hai nghiệm nghịch đảo P =
11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn a.c < S >
IV Tính giá trị các biểu thức nghiệm
Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức
2 2 2
1 ( 2 2) 2 ( 2) 2
x x x x x x x x x x x x
2
3 2
1 2 1 2 2
x x x x x x x x x x x x x x
2
4 2 2 2 2 2
1 ( )1 ( )2 2 ( 2) 2 2
x x x x x x x x x x x x x x
1
1 2
1 x x
x x x x
2
1 2
x x x x x x
2 2
x x ( x1 x2 x1x2=…….)
3
x x ( =
2
2
1 1 2 2
x x x x x x x x x x x x
=…… )
x14 x24 ( =
2 2
1 2
x x x x
=…… )
6
x x ( = ( )x12 3( )x22 3x12x22 x14 x x12 22 x24= …… )
V: Tìm giá trị tham số để hai phương trình có nghiệm chung. Tổng qt:
Giả sử x0 nghiệm chung hai phương trình Thay x = x0 vào phương trình ta hệ với ẩn tham số
Giải hệ tìm tham số m
(12)I-CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN B i Gi i phà ả ương trình sau :
A / 2 2
a / x 5x b / x 29x 100 c / x 3x x d /11x 8x 18x
1
e / 4x 8x
x x B /
a / 2x 0
b / 3x 5x 0
4
c/ x 3x 0
3
d/ x 3x 2x 0
x
e/
x x
Bài 2: Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x2 8x15 0 Khơng giải phương trình, tính
1 x12x22 2
1
x x 3
1 2
x x
x x 4 x1x22
b) Cho phương trình : 8x2 72x64 0 Không giải phương trình, tính: 1
1
x x , 2
x x
c) Cho phương trình : x214x29 0 Khơng giải phương trình, tính:
1
1
x x 2
x x
d) Cho phương trình : 2x2 3x 1 0 Không giải phương trình, tính: 1
1
x x
1
1
1 x x
x x
3 x12x22
1
2 1
x x
x x
e) Cho phương trình x2 3x 8 0 có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính
2
1 2
3
1 2
6 10
Q
5
x x x x
x x x x
Bài 3:Cho phương trình x2 2mx m 0 (x ẩn số)
a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m. b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình
Tìm m để biểu thức M = 12 22 24
6
x x x x đạt giá trị nhỏ nhất Bài 4:
Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m tham số. 1) Giải phương trình m =
2) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác thỏa điều kiện 2 x x
x x .
Bài
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
(13)2) Tìm giá trị m để biểu thức A =
2 2
x x đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x12x22 7
B
ài : điểm:Cho phơng trình: x2 2(m-1)x + m2 =0 ( m tham số). a) Giải phơng trình m =
b) Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
2 2 16
x x Bài 8:
Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x2−5 x − 3=0 .Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau:
a, x1 + x2 b, x
1+x2 c, x1
2 +x22 Bài
Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – = 0 a) Giải phương trình m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ đó. Bài 10:
1 Giải phương trình x 2 – 7x – = 0
2 Cho phương trình x2 – 2x + m – = với m tham số Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x x13 x x1 32 6
Bài 11.
Cho phương trình x2 2(m 1)x m 2 0, với x ẩn số, mR a Giải phương trình cho m – 2
b Giả sử phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài 12
Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – = (*) Giải phương trình (*) với a =
2 Chứng minh phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với giá trị a
3 Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (*) Tìm giá trị a để biểu thức:
N= x12 (x12)(x22)x22 có giá trị nhỏ
Bài 13.
Cho phương trình x2 – 3x + m – = (m tham số) (1).
a) Giải phương trính (1) m = 1.
b) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.
c) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 độ dài
cạnh hình chữ nhật có diện tích (đơn vị diện tích) Bài 14
Cho phương trình: x2 2(m1)x2m0 (1) (với ẩn x) 1) Giải phương trình (1) m=1
(14)3) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1; x2 Tìm giá trị m để x1; x2là độ dài hai cạnh tam giác vng có cạnh hùn 12
Bài 15
1 Cho phương trình x - 2m - (m + 4) = 02 (1), m tham số a) Chứng minh với m phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt: b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để x + x12 22 20 Cho hàm số: y = mx + (1), m tham số
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) qua điểm A (1;4) Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến R?
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + =
Bài 16 Cho hai phương trình: x2 x m0 x2mx 1
Xác định m để hai phương trình có nghiệm chung ( Đáp số: m = - 2, nghiệm chung x = 1)
Câu 17 Xác định m để phương trình sau có nghiệm chung.
2 2 0
x mx x2 2x m 0( Đáp số: m = - nghiệm chung x = 1)
Bài 18: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - = a) Giải phương trình với m = -
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
d)Tìm hệ thức hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 19: Cho phương trình bậc hai(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
f) Khi phương trình có nghiệm x = -1 tìm giá trị m tìm nghiệm lại Bài 20:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m =
a) Giải phương trình với m = -
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - Tìm nghiệm lại c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8 e) Tìm giá trị nhỏ A = x12 + x22
Bài 21: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm d) Tìm hệ thức liên hệ x1và x2 không phụ thuộc m Bài tập 22: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - =
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị a b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhật biểu thức A = x12 + x22 Bài 23: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0
(15)Bài 24: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2
Bài 25: Cho phương trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + = 0 a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1 d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 26: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phương trìnhm x2 - 2(m - 2)x + (m - 3) =
0 thoả mãn điều kiện x12+x¿22=1 ¿
Bài 27:Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x1
1 +
x2
=x1+x2
Bài 28:Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m tham số). a) Xác định m để nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn x1 + 4x2 =
b) Tìm hệ thức x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 29: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1)
Tìm giá trị tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2 Bài 30: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – = 0
Tìm m để x1
+x22 có giá trị nhỏ Bài 31: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình:
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = 0
Tìm giá trị lớn biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2
CHUYÊN ĐỀ 4: GI I B I TO N B NG C CH L PẢ À Á Ằ Á Ậ PHƯƠNG TRÌNH HO C H PHẶ Ệ ƯƠNG TRÌNH
A
Tóm tắt lí thuyết
Bớc 1: Lập phơng trình hệ phơng trình: a) Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn
b) Biểu diễn đại lợng cha biết thông qua ẩn địa lợng biết c) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng
Bớc 2: Giải phơng trình.
(16)Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung toán kiến thức thực tế B Cc Dng ton
Dạng 1: Toán quan hệ số. *Những kiến thức cần nhớ:
+ BiĨu diƠn sè cã hai ch÷ sè : ab10ab ( víi 0<a9; 0 b 9;a, bN)
+ BiĨu diƠn sè cã ba ch÷ sè : abc100a 10b c ( víi 0<a9; 0b,c9;a, b, cN) + Tổng hai sè x; y lµ: x + y
+ Tổng bình phơng hai số x, y là: x2 + y2 + Bình phơng tổng hai số x, y là: (x + y)2. + Tổng nghịch đảo hai số x, y là:
1 xy. *Bài tập
Bài 1: Đem số nhân với trừ đợc 50 Hỏi số bao nhiêu? Bài 2: Tổng hai số 51 Tìm hai số biết
2
5 sè thø nhÊt th× b»ng
6 sè thø hai
Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị hàng chụccho số giảm 45 đơn vị
Bài 4: Tìm hai số đơn vị tích chúng 150.
Bài 5: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số lập phơng số tạo chữ số hàng vạn chữ số hàng nghìn số cho theo thứ tự
Bài 6: Mẫu số phân số lớn tử số đơn vị Nếu tăng tử mẫu thêm đơn vị đợc phân số
1
2 phân số cho Tìm phân số đó?
Bài 7: Tổng chữ số số có hai chữ số Nếu thêm vào số 63 đơn vị số thu đợc viết hai chữ số nhng theo thứ tự ngợc lại Hãy tìm số đó? Bài 8: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phng ca nú l 85.
Đáp số:
Bi 1: Số 19;
Bài 2: Hai số 15 36 Bài 3: Số 61
Bài 4: Hai số 10 15 -10 -15; Bài 5: Số 32
Dạng 2: Toán chuyển động *Những kiến thức cần nhớ:
Nếu gọi quảng đờng S; Vận tốc v; thời gian t thì: S = v.t;
s s
v ; t
t v
Gäi vËn tèc thực ca nô v1 vận tốc dòng nớc v2 tì vận tốc ca nô xuôi dòng nớc
v = v1 + v2 Vân tốc ca nô ngợc dòng v = v1 - v2 *Bài tập:
1 Một ô tô khởi hµnh tõ A víi vËn tèc 50 km/h Qua 15 phút ô tô thứ hai khởi hành từ A hớng với ô tô thứ víi vËn tèc 40 km/h Hái sau mÊy giê th× ô tô gặp nhau, điểm gặp cách A km?
2 Một ca nô xuôi dòng 50 km ngợc dòng 30 km Biết thời gian xuôi dòng lâu thời gian ngợc dòng 30 phút vận tốc xuôi dòng lớn vận tốc ngợc dòng km/h
Tính vận tốc lúc xuôi dòng?
(17)4 Một thuyền dòng sông dài 50 km Tổng thời gian xuôi dòng ngợc dòng giê 10 TÝnh vËn tèc thùc cđa thun biÕt r»ng mét chiÕc bÌ th¶ nỉi ph¶i mÊt 10 giê xuôi hết dòng sông
5 Mt ngi i xe đạp từ A đến B cách 108 km Cùng lúc tơ khởi hành từ B đến A với vận tốc vận tốc xe đạp 18 km/h Sau hai xe gặp xe đạp phải tới B Tính vận tốc xe?
6 Một ca nơ xi dịng từ A đến B cách 100 km Cùng lúc bè nứa trơi tự từ A đến B Ca nơ đến B quay lại A ngay, thời gian xi dịng ngợc dịng hết 15 Trên đờng ca nơ ngợc A gặp bè nứa điểm cách A 50 km Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dòng nớc?
7 Xe máy thứ quảng đờng từ Hà Nội Thái Bình hết 20 phút Xe máy thứ hai hết 40 phút Mỗi xe máy thứ nhanh xe máy thứ hai km Tính vận tốc xe máy quảng đờng từ Hà Nội đến Thái Bình?
8 Đoạn đờng AB dài 180 km Cùng lúc xe máy từ A ô tô từ B xe máy gặp ô tô C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút chúng gặp D cách A 60 km Tính vận tốc tơ xe máy ?
9 Một ô tô quảng đờng dai 520 km Khi đợc 240 km ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h hết quảng đờng cịn lại T ính vận tốc ban đầu ô tô biết thời gian ht qung ng l gi
Đáp án: 20 km/h
3 Vận tèc cđa « t« thø nhÊt 60 km/h VËn tèc cđa « t« thø hai lµ 50 km/h 25 km/h
6 VËn tốc ca nô 15 km/h Vận tốc dòng nớc km/h Dạng 3: Toán làm chung công việc *Những kiến thức cần nhớ:
- Nu đội làm xong cơng việc x ngày đội làm đợc
x c«ng việc
- Xem toàn công việc *
Bài tập
1 Hai ngời thợ làm cơng việc xong 18 Nếu ngời thứ làm giờ, ngời thứ hai làm đợc 1/3 cơng việc Hỏi ngời làm xong cơng việc?
2 Để hồn thành công việc hai tổ phải làm Sau làm chung tổ hai đợc điều làm việc khác Tổ hồn thành cơng việc lại 10 Hỏi tổ làm riêng thhì xong cơng việc đó?
3 Hai đội công nhân đào mơng Nếu họ làm ngày xong cơng việc Nếu làm riêng đội haihồn thành cơng việc nhanh đội ngày Hỏi làm riêng đội phải làm ngày để xong cơng việc?
4 Hai bình rỗng giống có dung tích 375 lít ậ binmhf có vịi nớc chảy vào dung lợng nớc chảy nh Ngời ta mở cho hai vịi chảy vào bình nhng sau khố vịi thứ hai lại sau 45 phút tiếp tục mở lại Để hai bình đầy lúc ngời ta phải tăng dung lợng vịi thứ hai thêm 25 lít/giờ.Tính xem vịi thứ chảy đợc lít nớc
5 Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm giờ, ngời thứ hai làm hồn thành đợc 25% cơng việc Hỏi làm riêng ngời hồn thành cơng việc bao lâu?
6 Hai thợ đào mơng sau 2giờ 55 phút xong việc Nếu họ làm riêng đội hồn thành cơng việc nhanh đội Hỏi làm riêng đội phải làm xong cụng vic?
7 Hai ngời thợ sơn cửa cho nhà ngày xong việc NÕu ngêi thø nhÊt lµm ngµy råi nghØ ngời thứ hai làm tiếp ngày xong việc Hỏi ngời làm xong công việc?
(18)Vi vy thời gian quy định hai tổ sản xuất tất 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm tổ bao nhiêu?
9 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ
Kết quả:
1) Ngời thứ làm 54 Ngời thứ hai làm 27 2) Tổ thứ làm 10 Tổ thứ hai làm 15
3) Đội thứ làm ngày Đội thứ hai làm ngµy
4) Mỗi vịi thứ chảy c 75 lớt
Dạng 4: Toán có nội dung hình học *Kiến thức cần nhớ:
- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y chiều dài) - Diện tích tam giác
1
S x.y
2
( x chiều cao, y cạnh đáy tương ứng)
- Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c cạnh huyền; a,b cạnh góc vng) *Bài tâp :
Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m, chiều dài chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật đó?
Bài 2: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần thì chu vi ruộng không thay đổi
Bài 3: Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy sân biết tăng cạnh đáy m giảm chiều cao tương ứng m thì diện tích khơng đổi?
Bài : Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết tăng kích thước thêm cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2.
Bài 5: Cạnh huyền tam giác vng m Hai cạnh góc vng kém 1m Tính cạnh góc vng tam giác?
Đáp số:
Bài 1: Diện tích hình chữ nhật 60 m2 Bài 2: Diện tích hình chữ nhật 3750 m2
Dạng 5: Toán dân số, lÃi suất, tăng trởng *Những kiến thøc cÇn nhí :
+ x% = x 100
+ Dân số tỉnh A năm ngoái a, tỷ lệ gia tăng dân số x% thì dân số năm tỉnh A
x a a
100
x x x
Số dân năm sau (a+a ) (a+a )
(19)*Bài tập:
Bài 1: Dân số thành phố Hà Nội sau năm tăng từ 200000 lên 2048288 người Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng phần trăm
Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng ngân hàng để làm kinh tế Trong năm đầu bác chưa trả nên số tiền lãi năm đầu chuyển thành vốn để tính lãi năm sau Sau năm bác An phải trả 11 881 000 đồng Hỏi lãi suất cho vay phần trăm năm?
Kết quả:
Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2% Bài 2: Lãi suất cho vay 9% năm Bài tập tổng hợp
Bài 1: Một phòng họp có 240 ghế xếp thành dãy có số ghế Nếu dãy bớt ghế thì phải xếp thêm 20 dãy hết số ghế Hỏi phòng họp lúc đầu xếp thành dãy ghế
Bài 2: Hai giá sách có 400 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ hai 30 thì số sách giá thứ
3
5 số sách ngăn thứ hai Tính số sách ban đầu ngăn?
Bài 3: Người ta trồng 35 dừa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m chiều rộng 20 m thành hàng song song cách đều theo hai chiều Hàng trồng biên đất Hãy tính khoảng cách hai hàng liên tiếp?
Bài 4: Hai người nông dân mang 100 trứng chợ bán Số trứng hai người không số tiền thu hai người lại Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng số trứng anh thì bán 15 đồng ” Người nói “ Nếu số trứng tơi số trứmg anh bán
2
3 đồng thơi” Hỏi người có trứng?
Bài 5: Một hợp kim gồm đồng kẽm có gam kẽm Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim thì hợp kim mà lượng đồng giảm so với lúc đầu 30% Tìm khối lượng ban đầu hợp kim?
Kết quả:
Bài 1: Có 60 dãy ghế
Bài 2: Giá thứ có 180 Giá thứ hai có 220 Bài 3: Khoảng cách hai hàng 5m
Bài 4: Người thứ có 40 Người thứ hai có 60 Bài 5: 25 gam hoặc 10 gam
-Hết -CHUYÊN ĐỀ : CĂN THỨC BẬC HAI À HẰNG ĐẲNG THỨC
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1) √A2=|A|
2) √AB=√A √B ( víi A vµ B ) 3) √A
B=
√A
(20)4) √A2B=|A|√B (víi B )
5) A√B=√A2B ( víi A vµ B ) A√B=−√A2B ( víi A < vµ B ) 6) √A
B=
√AB
|B| ( víi AB vµ B )
7) A
√B= A√B
B ( víi B > )
8) C
√A ± B=
C (√A∓ B)
A − B2 ( Víi A vµ A B
2 )
9) C
√A ±√B=
C(√A∓√B)
A − B ( víi A 0, B vµ A B
B BÀI TẬP
I.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH – RÚT GỌN – BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Bài 1: Tìm ĐKXĐ biểu thức sau:
a) √2 x +3 b) √− x +13 c)
2
x d) √2 x12
Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( với x )
a) 2+√3+√6+√8 b) x2 - c) x - d) x√x − 1
Bài 3: Đa biểu thức sau dạng bình ph¬ng.
a) 3+2√2 b) 3 −√8 c) 9+4√5 d) 23 −8√7
Bµi : Th c hi n phép tính.ự ệ
1 (√2+1).(√2− 1) (2√3)2 √28 : √7
4 (√3+1).(√3 −1) √2,5.√40 √50.√2
7 √0 , 09 4 52 4 52 √0 , 0001 10 1+√61
4
11
2−√27
12 3
5− 2√1
11 25 Bài 5/Thực phép tính:
7) √20−√5 8) 6√12−√20 −2√27+√125
9) √12+√27 10) 3√2 −√8+√50 − 4√32
11) √27 −2√3+2√48 − 3√75 12) 3√2 − 4√18+√32−√50 Bài 6/Trục thức mẫu, rút gọn ( víi x ≥ , x ≠ 1 )
17 √(4 −√17)2 18 2√3
√2 19
√6+√14
2√3+√28 20
x +1 √x2− 1
21 x
2
−5
x +√5 22
2
2 −√3 23
√2+1
√2 −1 24
x√x −1
√x −1 25 √
20+√ 60 −2
❑ √
1526
3
√5 −√2+
√6+√2 27 (
1
√5 −√3+
√5+√3).√5 28 (√20−√45+√5).√5 29 (5√3+3√5):√15 30
3√48+3√75 −√27 −10√1 31 (5√1
5+ 2√20 −
5 4√
4
5+√532.):2√5
(21)Bài 7/* Chứng minh đẳng thức sau: a/ 2 3 2
b/
√2+1+
√3+√2+
√4 +√3=1
c/
√2+1+
√3+√2+ +
√100+√99=9 d/ ( √a
√a+2−
√a
√a −2+
4√a −1 a − 4 ):
1
a − 4=− 1
e/ √a+√b 2√a −2√b−
√a−√b
2√a+2√b−
2b
b − a=
2√b
√a −√b
II RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC B i 1.à Cho biÓu thøc: A = xx − 1√x +1− x −1
x +1
a)Tìm ĐKXĐ rút gọn A
b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm tất giá trị x để A < Bài Cho A =
1 1 1
:
1 x x x x x
với x > , x1
a Rút gọn A
b Tính A với x = 5 Bài Cho biểu thức A= 2 x
x +3− x+1
3 − x−
3 −11 x
x2− 9 với x ≠ ± 3
a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A <
c/ Tìm x nguyên để A nguyên Bài Cho biÓu thøc: P = (1− a√a
1−√a +√a).(
1+a√a
1+√a −√a)
c) Rót gän P
d) Tìm a để P < 7 − 4√3 Bài 21 Cho biểu thức
1 1
:
1
a M
a a a a a
với a > a 1
a/ Rút gọn biểu thức M
b/ So sánh giá trị M với Bài 22 Cho biểu thức : A =
1
1
a a a
a) Rút gọn biểu thức sau A
b) Xác định a để biểu thức A > 12
Bài 23 Cho A =
4
:
2
2
x x x
x x x
x x
(22)a Rút gọn A
b Tính A với x = 5 Bài 24 Cho biểu thức: P =
a a a
4 a
a a
(a 0; a 4)
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P với a =
Bài 25 Cho biểu thức: N =
a a a a
1
a a
1) Rút gọn biểu thức N
2) Tìm giá trị a để N = - 2016 Bài 26 Cho biểu thức P=( 2√x
√x +3+
√x
√x +3−
3 x+3
x −9 ):(
2√x −2
√x −3 − 1)
a Rút gọn P b Tìm x để P<−1
2
c Tìm giá trị nhỏ P Bài 27 Cho A =
1 1
4
1
a a
a a
a a a
với x > ,x1
c Rút gọn A
d Tính A với a = 4 15 10 4 15 Bài 28 Cho biểu thức:
1 − a¿2 ¿
E=(√a −2 a −1 −
√a+2 a+2√a+1):
2 ¿
a) Rút gọn E b) Tìm Max E
Bài 29
Cho biÓu thøc: P = ( √x
√x −1−
1
x −√x):(
1
√x +1+
2
x − 1)
d) Tìm ĐKXĐ rút gọn P e) Tìm giá trị x để P > f) Tìm x để P =
Bài 30 Cho A =
15 11 2
2 3
x x x
x x x x
với x0 , x1
c Rút gọn A b.Tìm GTLN A d Tìm x để A =
1
2 c.CMR : A
2
Bài 31 Cho A =
5 25
1 :
25 15
x x x x x
x x x x x
(23)Bài 32 Cho A =
2
5
a a a
a a a a
với a 0 , a9 , a4 a Rút gọn A
b Tìm a để A < c Tìm a Z để A Z
Bài 33 Cho A =
7 2
:
4 2
x x x x x
x x x x x
với x > , x4
a Rút gọn A b So sánh A với
1
A
Bài 34 Cho A =
1 1 1
:
1 x x x x x
với x > , x1
a Rút gọn A b Tính A với x = 5 Bài 35 Cho A =
2 3 2
:
9
3 3
x x x x
x
x x x
với x0 , x9
a Rút gọn A b Tìm x để A < -
1
Bài 36 Cho A =
1
:
1
1 1
x x x x x
x x
x x x
với x0 , x1
a Rút gọn A
b Tính A với x = 5 c CMR : A 1
CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT- BẬC HAI- HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.HÀM SỐ BẬC NHẤT
1 Lý thuyết
1/Hµm sè y = ax + b lµ bËc nhÊt a
2/ a) Tớnh chất : Hàm số xỏc định với giỏ trị x trờn R đồng biến a > nghịch biến a < 0)
b) Đồ thị h/s y = ax + b (a 0) đường thẳng cắt trục tung điểm có
tung độ b, song song với đường thẳng y = ax a trùng với đt y = ax với b = 0.
3/ Cách tìm giao điểm (d) với hai trục toạ độ
Cho x = => y = b => (d) c¾t trơc tung t¹i A(0;b)
Cho y =0 => x = -b/a => (d) cắt trục hoành B( -b/a;0) a gọi hệ số góc, b tung độ gốc (d)
4/ Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Cho x = => y = b => A (0;b) Cho y =0 => x = -b/a => B( -b/a;0)
Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b 5/ (d) qua A(xo; yo) yo= axo + b
6/ Gọi góc tạo đờng thẳng tia Ox Khi đó:
lµ gãc nhän a > 0, lµ gãc tï a < 0
(24)
a a ' b b'
a a ' b b'
(d) trïng (d’) (d)//(d’)
8/ (d) cắt trục hoành điểm có hồnh độ a (d) qua A(a; 0) 9/ (d) cắt trục tung điểm có tung độ b (d) qua B(0; b)
10/ Cỏch tìm toạ độ giao điểm (d) (d’): Giải phơng trình HĐGĐ: ax + b = a’x + b’
Tìm x Thay giá trị x vào (d) (d’) ta tìm y => A(x; y) TĐGĐ (d) vµ (d’)
2 B ài tập
Bµi : Cho hµm sè y = (m + 5)x+ 2m – 10
i) Với giá trị m y hàm số bậc nhất j) Với giá trị m hàm số đồng biến. k) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm A(2; 3)
l) Tìm m để đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ 9. m) Tìm m để đồ thị qua điểm 10 trục hoành
n) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1 o) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m. p) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số lớn nhất
Bài 2: Cho đờng thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để: i) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ
j) Đờng thẳng d song song với đờng thẳng 2y- x =5 k) Đờng thẳng d tạo với Ox góc nhọn
l) Đờng thẳng d tạo với Ox góc tù
m) Đờng thẳng d cắt Ox điểm có hồnh độ
n) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – điểm có hồnh độ o) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 điểm có tung độ y =
p) Đờng thẳng d qua giao điểm hai đờng thảng 2x -3y=-8 y= -x+1 Bài 3: Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến
2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy
Bµi Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4)
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số ln qua với m
4) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hồnh tam giác có diện tích (đvdt)
Bài Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB
2) Tìm giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2)
(25)d) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm C song song với đờng thẳng y2x Xác định tọa độ giao điểm A đờng thẳng (d) với trục hoành Ox
e) Xác định hệ số a b biết đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm B C Tính góc tạo đờng thẳng BC trục hồnh Ox (làm trịn đến phút)
f) Tính chu vi tam giác ABC (đơn vị đo trục tọa độ xentimét) (kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Bµi 7
1) Hàm số y= -2x +3 đồng biến hay nghịch biến ?
2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng y=-2x+3 với trục Ox ,Oy
II
VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax2 VÀ (d): y = ax + b (a 0)
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax2(a0):
Hàm số y = ax2(a0) có tính chất sau:
Nếu a > thì hàm số đồng biến x > nghịch biến x < Nếu a < thì hàm số đồng biến x < nghịch biến x > ◦ Đồ thị hàm số y = ax2(a0):
Là Parabol (P) với đỉnh gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng Nếu a > thì đồ thị nằm phía trục hồnh điểm thấp đồ thị Nếu a < thì đồ thị nằm phía trục hồnh điểm cao đồ thị ◦ Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a0):
Lập bảng giá trị tương ứng (P) Dựa bảng giá trị vẽ (P)
2 Tìm giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a0) (D): y = ax + b:
Lập phương trình hoành độ giao điểm (P) (D): cho vế phải hàm số đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
Giải pt hoành độ giao điểm:
+ Nếu > pt có nghiệm phân biệt (D) cắt (P) điểm phân biệt. + Nếu = pt có nghiệm kép (D) (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu < pt vô nghiệm (D) (P) không giao nhau. 3 Xác định số giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a0) (D
m) theo tham số m:
Lập phương trình hoành độ giao điểm (P) (Dm): cho vế phải hàm số
bằng đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
Lập (hoặc') pt hoành độ giao điểm. Biện luận:
+ (Dm) cắt (P) điểm phân biệt > 0 giải bất pt tìm m
+ (Dm) tiếp xúc (P) điểm = 0 giải pt tìm m
+ (Dm) (P) không giao < 0 giải bất pt tìm m
2 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho hai hàm số y =
2
x
có đồ thị (P) y = -x + m có đồ thị (Dm)
3 Với m = 4, vẽ (P) (D4) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ
các giao điểm chúng Xác định giá trị m để:
a) (Dm) cắt (P) điểm có hồnh độ
b) (Dm) cắt (P) điểm phân biệt
c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm
Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) y = – 3x + m có đồ thị (D
m)
3 Khi m = 1, vẽ (P) (D1) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ
(26)a) (Dm) qua điểm (P) điểm có hồnh độ
1
b) (Dm) cắt (P) điểm phân biệt
c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm
Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P).
4 Vẽ (P) hệ trục tọa độ vng góc Gọi A(
2 3;
) B(2; 1)
a) Viết phương trình đường thẳng AB
b) Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AB (P) Tìm điểm (P) có tổng hồnh độ tung độ – Bài tập 4: Cho hàm số y =
3
x2 có đồ thị (P) y = – 2x +
1
2 có đồ thị (D). Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vng góc
5 Xác định tọa độ giao điểm (P) (D)
6 Tìm tọa độ điểm (P) thỏa tính chất tổng hồnh độ tung độ điểm –
Bài tập 5: Cho hàm số y =
2
3x2 có đồ thị (P) y = x +
5
3 có đồ thị (D). Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vng góc
4 Xác định tọa độ giao điểm (P) (D)
3.Gọi A điểm (P) B điểm (D) cho 11
A B A B x x
y y
Xác định tọa độ A B.
Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) B(–2; 3). Viết phương trình đường thẳng (d) qua A, B
4 Gọi (P) đồ thị hàm số y = –2x2.
a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ cho
b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d)
Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –2x2 mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy.
2 Gọi (D) đường thẳng qua điểm A(–2; –1) có hệ số góc k. a) Viết phương trình đường thẳng (D)
b) Tìm k để (D) qua B nằm (P) biết hoành độ B
Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (D).
4 Vẽ (P) và(D) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng
5 Gọi A điểm thuộc (D) có hồnh độ B điểm thuộc (P) có hồnh độ – Xác định tọa độ A, B
6 Tìm tọa độ điểm I nằm trục tung cho: IA + IB nhỏ
Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) y = x – có đồ thị (D).
d) Vẽ (P) và(D) hệ trục tọa độ vng góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) phương pháp đại số
e) Gọi A điểm thuộc (D) có tung độ B điểm thuộc (P) có hồnh độ – Xác định tọa độ A B
f) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành cho MA + MB nhỏ
Bài tập 10: Cho (P): y = x2 (D): y = – x + 2.
4 Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Gọi A B giao điểm (P) (D), xác định tọa độ A, B
(27)III HỆ PHƯƠNG TRÌNH 13 lý thuyết
Xét đường thẳng: ax+by=c ( d) a'x +b'y=c' (d') Hay
a c
y x (d)
b b
a ' c '
y (d ')
b ' b '
Hay hệ Cho hệ phương trình:
, (d) ' ' ', ' (d')
ax by c a
a x b y c a
(d) cắt (d’) ' '
a b
a b Hệ phương trình có nghiệm nhất.
(d) // (d’) ' ' '
a b c
a b c Hệ phương trình vô nghiệm.
(d) (d’) ' ' '
a b c
a b c Hệ phương trình có vơ số nghiệm
14.Bài tập
Dạng 1: Giải hệ phương trình có đưa dạng bản Bài 1: Giải hệ phương trình
1)
¿ 4 x −2 y=3 6 x − y=5
¿{ ¿
2)
¿ 2 x +3 y=5 4 x +6 y =10
¿{ ¿
3)
¿ 3 x − y +2=0
5 x +2 y =14 ¿{
¿
4)
¿ 2 x +5 y=3 3 x −2 y=14
¿{ ¿
5)
¿
x√5 −(1+√3) y =1 (1−√3) x+ y√5=1
¿{ ¿
6)
¿
0,2 x +0,1 y=0,3 3 x + y =5
¿{ ¿ 7) ¿ x y=
x+ y − 10=0
¿{ ¿
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
1)
¿
(3 x+2)(2 y − 3)=6 xy (4 x+5)( y −5)=4 xy
¿{ ¿
2)
¿
2(x + y)+3 (x − y )=4 (x+ y)+2(x − y )=5
¿{ ¿
3)
¿
(2 x −3)(2 y +4 )=4 x ( y −3)+54 (x +1)(3 y −3)=3 y (x +1)− 12
¿{ ¿
4)
¿ 2 y −5 x
3 +5=
y +27
4 −2 x
x +1
3 +y=
6 y − x ¿{ ¿ 5) ¿
2(x +2)( y+3)−
2xy=50
2xy −
2(x −2)( y − 2)=32 ¿{
¿
6)
¿
(x+20)( y − 1)=xy (x − 10)( y+1)=xy
(28)Dạng Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ hệ phương trình chứa tham số :
Bài tập 1: 1)
¿
x+
1
y=
1 12
x+
15
y =1
¿{ ¿
2)
¿
x+2 y+
1
y +2 x=3
4
x +2 y−
3
y +2 x=1
¿{ ¿
3)
¿ 3 x
x +1−
2
y +4=4
2 x
x+1−
5
y+4=9
¿{ ¿
4)
¿
x2+y2=13 3 x2−2 y2=− 6
¿{ ¿
5)
¿
3√x+2√y=16
2√x −3√y=−11
¿{ ¿
Bài tập 2: Cho hệ phương trình
¿
mx+4 y=10 − m
x +my=4
¿{ ¿
(m tham số) e) Giải hệ phương trình m = √2
f) Giải biện luận hệ phương trình theo m
g) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y >
h) Với giá trị m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - HỆ THỨC VI-ÉT A LÝ THUYẾT
I-Cách giải phương trình bậc hai: * Khái niệm :
Phương trình bậc hai ẩn có dạng ax2 + bx + c = a, b, c số thực a 0.
1/ TQ Giải pt bậc hai khuyết c:
ax2 + bx = x ( ax + b ) =
x = hoặc x = b a
2/TQ Giải pt bậc hai khuyết b: ax2 + c = x2 =
c a
Nếu
c
a pt có hai nghiệm x1,2 = c a
Nếu
c
a < pt vô nghiệm.
(29)* Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -b -
2a
; x2 = -b +
2a
* Nếu = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
-b 2a * Nếu < thì phương trình vô nghiệm
*Chú ý : Trong trường hợp hệ số b số chẵn thì giải phương trình công thức nghiêm thu gọn
' = b'2 - ac
* Nếu ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =
-b' - ' a
; x2 =
-b' + ' a
* Nếu ' = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b'
a * Nếu ' < thì phương trình vơ nghiệm
4/ Phương trình quy phương trình bậc hai a/ Phương trình trùng phương
a) Dạng tổng quát:
Phương trình có dạng: ax4+bx2+ c = x ẩn số; a, b, c hệ số, a 0 b) Cách giải:
Loại phương trình giải ta thường dùng phép đổi biến x2 = t ( t 0) từ
đó ta đưa đến phương trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0
Giải phương trình bậc hai trung gian này, sau trả biến: x2 = t ( Nếu giá trị tìm t thoả mãn t ta tìm nghiệm số phương trình ban đầu)
b/ phương trình tích
Dạng tổng quát: A.B =
0
A B
Cách giải: Để giải phương trình bậc lớn thường dùng phương pháp biến đổi về phương trình tích vế trái tích nhân tử cịn về phải
c/ Phương trình chứa ẩn mẫu
- Tìm điều kiện xác định phương trình đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( giá trị mẫu thức phải khác không)
- Khử mẫu ( nhân hai vế phương trình với mẫu thức chung vế) - Mở dấu ngoặc hai vế phương trình chuyển vế: chuyển hạng tử
chứa ẩn về vế , hạng tử không chứa ẩn về vế kia) - Thu gọn phương trình về dạng tổng quát học
- Nhận định kết trả lời ( loại bỏ gía trị ẩn vừa tìm không thuộc vào tập xác định phương trình)
(30)1 Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình ax2 bx c 0(a 0) thì :
1
1
b
x x
a c x x
a
2 Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : x2 Sx P 0 (Điều kiện để có u v S2 4P 0 )
3 Nếu a + b + c = thì phương trình ax2bx c 0(a 0) có hai nghiệm : c x 1; x
a
Nếu a - b + c = thì phương trình ax2bx c 0(a 0) có hai nghiệm : c x 1; x
a
III: Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (a 0) có: Có nghiệm (có hai nghiệm)
Vô nghiệm <
Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau) = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) >
Hai nghiệm dấu P >
Hai nghiệm trái dấu > P < a.c <
Hai nghiệm dương(lớn 0) 0; S > P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0) 0; S < P > Hai nghiệm đối S =
10.Hai nghiệm nghịch đảo P =
11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn a.c < S >
IV Tính giá trị các biểu thức nghiệm
Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức
2 2 2
1 ( 2 2) 2 ( 2) 2
x x x x x x x x x x x x
2
3 2
1 2 1 2 2
x x x x x x x x x x x x x x
2
4 2 2 2 2 2
1 ( )1 ( )2 2 ( 2) 2 2
x x x x x x x x x x x x x x
1
1 2
1 x x
x x x x
2
1 2
x x x x x x
2 2
x x ( x1 x2 x1x2=…….)
3
x x ( =
2
2
1 1 2 2
x x x x x x x x x x x x
=…… )
4
x x ( = x12x22 x12 x22 =…… )
x16x26 ( =
2 3 2 2
1 2 1 2
( )x ( )x x x x x x x
= …… )
(31)Giả sử x0 nghiệm chung hai phương trình Thay x = x0 vào phương trình ta hệ với ẩn tham số
Giải hệ tìm tham số m
Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay khơng? B-BÀI TẬP:
I-CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN B i Gi i phà ả ương trình sau :
A /
4
2
2
a / x 5x b / x 29x 100 c / x 3x x d /11x 8x 18x
1
e / 4x 8x
x x
B /
a / 2x 0
b / 3x 5x 0
4
c/ x 3x 0
3
d/ x 3x 2x 0
x
e/
x x
Bài 2: Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x2 8x15 0 Không giải phương trình, tính
1 x12x22 2
1
x x 3
1 2
x x
x x 4 x1x22
b) Cho phương trình : 8x2 72x64 0 Không giải phương trình, tính:
1
1
x x , 2
x x
c) Cho phương trình : x214x29 0 Không giải phương trình, tính:
1
1
x x 2
x x
d) Cho phương trình : 2x2 3x 1 0 Khơng giải phương trình, tính:
1
1
x x
1
1
1 x x
x x
3 x12x22
1
2 1
x x
x x
e) Cho phương trình x2 3x 8 0 có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính
2
1 2
3
1 2
6 10
Q
5
x x x x
x x x x
Bài 3:Cho phương trình x2 2mx m 0 (x ẩn số)
c) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với m. d) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình
Tìm m để biểu thức M = 12 22 24
6
x x x x đạt giá trị nhỏ nhất Bài 4:
(32)4) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác thỏa điều kiện
1 2
8
x x
x x .
Bài
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
3) Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m
4) Tìm giá trị m để biểu thức A =
2 2
x x đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x12x22 7
B
ài : điểm:Cho phơng trình: x2 2(m-1)x + m2 =0 ( m tham số). c) Giải phơng trình m =
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
2 2 16
x x Bài 8:
Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x2−5 x − 3=0 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau:
a, x1 + x2 b, x
1+x2 c, x1
2 +x22
Bài
Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – = 0 c) Giải phương trình m =
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ đó. Bài 10:
1 Giải phương trình x 2 – 7x – = 0
2 Cho phương trình x2 – 2x + m – = với m tham số Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x x13 x x1 32 6
Bài 11.
Cho phương trình x2 2(m 1)x m 2 0, với x ẩn số, mR a Giải phương trình cho m – 2
b Giả sử phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài 12
Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – = (*) Giải phương trình (*) với a =
2 Chứng minh phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với giá trị a
3 Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (*) Tìm giá trị a để biểu thức:
N= x12 (x12)(x22)x22 có giá trị nhỏ
Bài 13.
Cho phương trình x2 – 3x + m – = (m tham số) (1).
(33)e) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.
f) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 độ dài
cạnh hình chữ nhật có diện tích (đơn vị diện tích) Bài 14
Cho phương trình: x2 2(m1)x2m0 (1) (với ẩn x). 1) Giải phương trình (1) m=1
2) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m
3) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1; x2 Tìm giá trị m để x1; x2là độ dài hai cạnh tam giác vng có cạnh hùn 12
Bài 15
1 Cho phương trình x - 2m - (m + 4) = 02 (1), m tham số a) Chứng minh với m phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt: b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để x + x12 22 20 Cho hàm số: y = mx + (1), m tham số
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) qua điểm A (1;4) Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến R?
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + =
Bài 16 Cho hai phương trình: x2 x m0 x2mx 1
Xác định m để hai phương trình có nghiệm chung ( Đáp số: m = - 2, nghiệm chung x = 1)
Câu 17 Xác định m để phương trình sau có nghiệm chung.
2 2 0
x mx x2 2x m 0( Đáp số: m = - nghiệm chung x = 1)
Bài 18: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - = a) Giải phương trình với m = -
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
d)Tìm hệ thức hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 19: Cho phương trình bậc hai(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
f) Khi phương trình có nghiệm x = -1 tìm giá trị m tìm nghiệm lại Bài 20:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m =
a) Giải phương trình với m = -
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - Tìm nghiệm cịn lại c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8 e) Tìm giá trị nhỏ A = x12 + x22
Bài 21: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
(34)d) Tìm hệ thức liên hệ x1và x2 không phụ thuộc m Bài tập 22: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - =
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị a b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhật biểu thức A = x12 + x22 Bài 23: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x1 x2 - x12 - x22 Bài 24: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2
Bài 25: Cho phương trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + = 0 a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1 d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 26: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phương trìnhm x2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mãn điều kiện x12 ¿
+x22=1 ¿
Bài 27:Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x1
1 +
x2
=x1+x2
Bài 28:Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m tham số). a) Xác định m để nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn x1 + 4x2 =
b) Tìm hệ thức x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 29: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1)
Tìm giá trị tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2 Bài 30: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – = 0
Tìm m để x1
+x2
2 có giá trị nhỏ nhất
Bài 31: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = 0
Tìm giá trị lớn biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2
(35)A
Tóm tắt lí thuyết
Bớc 1: Lập phơng trình hệ phơng trình: a) Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn
b) Biểu diễn đại lợng cha biết thông qua ẩn địa lợng biết c) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng
Bớc 2: Giải phơng trình.
Bc 3: i chiu nghiệm pt, hệ phơng trình (nếu có) với điều kiện ẩn số để trả lời. Chú ý: Tuỳ tập cụ thể mà ta lập phơng trình bậc ẩn, hệ phơng trình hay phơng trình bậc hai
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung toán kiến thức thực tế B Cỏc Dạng toỏn
Dạng 1: Toán quan hệ số. *Những kiÕn thøc cÇn nhí:
+ BiĨu diƠn sè cã hai ch÷ sè : ab10ab ( víi 0<a9; 0 b 9;a, bN)
+ BiĨu diƠn sè cã ba ch÷ sè : abc100a 10b c ( víi 0<a9; 0b,c9;a, b, cN) + Tổng hai sè x; y lµ: x + y
+ Tổng bình phơng hai số x, y là: x2 + y2 + Bình phơng tổng hai số x, y là: (x + y)2. + Tổng nghịch đảo hai số x, y là:
1 xy. *Bài tập
Bài 1: Đem số nhân với trừ đợc 50 Hỏi số bao nhiêu? Bài 2: Tổng hai số 51 Tìm hai số biết
2
5 sè thø nhÊt th× b»ng
6 sè thø hai
Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị hàng chụccho số giảm 45 đơn vị
Bài 4: Tìm hai số đơn vị tích chúng 150.
Bài 5: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số lập phơng số tạo chữ số hàng vạn chữ số hàng nghìn số cho theo thứ tự
Bài 6: Mẫu số phân số lớn tử số đơn vị Nếu tăng tử mẫu thêm đơn vị đợc phân số
1
2 phân số cho Tìm phân số đó?
Bài 7: Tổng chữ số số có hai chữ số Nếu thêm vào số 63 đơn vị số thu đợc viết hai chữ số nhng theo thứ tự ngợc lại Hãy tìm số đó? Bài 8: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phơng 85.
Đáp số:
Bi 1: S ú l 19;
Bài 2: Hai số 15 36 Bài 3: Số 61
Bài 4: Hai số 10 15 -10 -15; Bài 5: Số 32
Dạng 2: Toán chuyển động *Những kiến thức cần nhớ:
Nếu gọi quảng đờng S; Vận tốc v; thời gian t thì: S = v.t;
s s
v ; t
t v
Gäi vËn tèc thùc cđa ca n« v1 vận tốc dòng nớc v2 tì vận tốc ca nô xuôi dòng nớc
(36)1 Một ô tô khởi hành từ A víi vËn tèc 50 km/h Qua giê 15 ô tô thứ hai khởi hành từ A cïng híng víi « t« thø nhÊt víi vËn tèc 40 km/h Hỏi sau ô tô gặp nhau, điểm gặp cách A km?
2 Một ca nô xuôi dòng 50 km ngợc dòng 30 km Biết thời gian xuôi dòng lâu thời gian ngợc dòng 30 phút vận tốc xuôi dòng lớn vận tốc ngợc dòng km/h
Tính vận tốc lúc xuôi dòng?
3 Hai ụ tụ cựng hnh lúc từ A đến B cách 150 km Biết vận tốc ô tô thứ lớn vận tốc ô tô thứ hai 10 km/h ô tô thứ đến B tr-ớc ô tô thứ hai 30 phút Tính vânl tốc tụ
4 Một thuyền dòng sông dài 50 km Tổng thời gian xuôi dòng ngợc dòng 10 phút Tính vận tốc thực cđa thun biÕt r»ng mét chiÕc bÌ th¶ nỉi ph¶i 10 xuôi hết dòng sông
5 Một ngời xe đạp từ A đến B cách 108 km Cùng lúc tơ khởi hành từ B đến A với vận tốc vận tốc xe đạp 18 km/h Sau hai xe gặp xe đạp phải tới B Tính vận tốc xe?
6 Một ca nơ xi dịng từ A đến B cách 100 km Cùng lúc bè nứa trôi tự từ A đến B Ca nô đến B quay lại A ngay, thời gian xi dòng ngợc dòng hết 15 Trên đờng ca nơ ngợc A gặp bè nứa điểm cách A 50 km Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nớc?
7 Xe máy thứ quảng đờng từ Hà Nội Thái Bình hết 20 phút Xe máy thứ hai hết 40 phút Mỗi xe máy thứ nhanh xe máy thứ hai km Tính vận tốc xe máy quảng đờng từ Hà Nội đến Thái Bình?
8 Đoạn đờng AB dài 180 km Cùng lúc xe máy từ A ô tô từ B xe máy gặp ô tô C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút chúng gặp D cách A 60 km Tính vận tốc tô xe máy ?
9 Một ô tô quảng đờng dai 520 km Khi đợc 240 km tơ tăng vận tốc thêm 10 km/h hết quảng đờng lại T ính vận tốc ban đầu tơ biết thời gian hết quảng đờng
Đáp án: 20 km/h
3 Vn tốc cđa « t« thø nhÊt 60 km/h VËn tèc cđa « t« thø hai lµ 50 km/h 25 km/h
6 Vận tốc ca nô 15 km/h Vận tốc dòng nớc km/h Dạng 3: Toán làm chung công việc *Những kiến thức cần nhớ:
- Nếu đội làm xong công việc x ngày đội làm đợc
x công việc
- Xem toàn công việc *
Bi tõp
1 Hai ngời thợ làm cơng việc xong 18 Nếu ngời thứ làm giờ, ngời thứ hai làm đợc 1/3 cơng việc Hỏi ngời làm xong cơng việc?
2 Để hồn thành cơng việc hai tổ phải làm Sau làm chung tổ hai đợc điều làm việc khác Tổ hồn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng thhì xong cơng việc đó?
3 Hai đội cơng nhân đào mơng Nếu họ làm ngày xong cơng việc Nếu làm riêng đội haihồn thành cơng việc nhanh đội ngày Hỏi làm riêng đội phải làm ngày để xong công việc?
(37)5 Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm giờ, ngời thứ hai làm hồn thành đợc 25% cơng việc Hỏi làm riêng ngời hồn thành cơng việc bao lâu?
6 Hai thợ đào mơng sau 2giờ 55 phút xong việc Nếu họ làm riêng đội hồn thành cơng việc nhanh đội Hỏi làm riêng đội phải làm xong cơng việc?
7 Hai ngêi thỵ cïng sơn cửa cho nhà ngày xong viƯc NÕu ngêi thø nhÊt lµm ngµy råi nghỉ ngời thứ hai làm tiếp ngày xong việc Hỏi ngời làm xong công việc?
8 Theo k hoch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm thời gian dự định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% tổ hai vượt mức 17% Vì thời gian quy định hai tổ sản xuất tất 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm tổ bao nhiêu?
9 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ
KÕt qu¶:
1) Ngời thứ làm 54 Ngời thứ hai làm 27 2) Tổ thứ làm 10 Tổ thứ hai làm 15
3) Đội thứ làm ngày Đội thứ hai làm ngày
4) Mỗi vịi thứ chảy đợc 75 lít
Dạng 4: Toán có nội dung hình học *Kiến thức cần nhớ:
- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlµ chiỊu réng; y lµ chiỊu dài) - Diện tích tam giác
1
S x.y
2
( x chiều cao, y cạnh đáy tương ứng)
- Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c cạnh hùn; a,b cạnh góc vng) *Bài tâp :
Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m, chiều dài chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật đó?
Bài 2: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần thì chu vi ruộng không thay đổi
Bài 3: Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy sân biết tăng cạnh đáy m giảm chiều cao tương ứng m thì diện tích khơng đổi?
Bài : Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết tăng kích thước thêm cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2.
Bài 5: Cạnh huyền tam giác vuông m Hai cạnh góc vng kém 1m Tính cạnh góc vng tam giác?
Đáp số:
Bài 1: Diện tích hình chữ nhật 60 m2 Bài 2: Diện tích hình chữ nht l 3750 m2
Dng 5: Toán dân số, lÃi suất, tăng trởng *Những kiến thức cần nhớ :
(38)+ Dân số tỉnh A năm ngoái a, tỷ lệ gia tăng dân số x% thì dân số năm tỉnh A
x a a
100
x x x
Số dân năm sau (a+a ) (a+a )
100 100 100
*Bài tập:
Bài 1: Dân số thành phố Hà Nội sau năm tăng từ 200000 lên 2048288 người Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng phần trăm
Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng ngân hàng để làm kinh tế Trong năm đầu bác chưa trả nên số tiền lãi năm đầu chuyển thành vốn để tính lãi năm sau Sau năm bác An phải trả 11 881 000 đồng Hỏi lãi suất cho vay phần trăm năm?
Kết quả:
Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2% Bài 2: Lãi suất cho vay 9% năm Bài tập tổng hợp
Bài 1: Một phịng họp có 240 ghế xếp thành dãy có số ghế Nếu dãy bớt ghế thì phải xếp thêm 20 dãy hết số ghế Hỏi phòng họp lúc đầu xếp thành dãy ghế
Bài 2: Hai giá sách có 400 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ hai 30 thì số sách giá thứ
3
5 số sách ngăn thứ hai Tính số sách ban đầu ngăn?
Bài 3: Người ta trồng 35 dừa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m chiều rộng 20 m thành hàng song song cách đều theo hai chiều Hàng trồng biên đất Hãy tính khoảng cách hai hàng liên tiếp?
Bài 4: Hai người nông dân mang 100 trứng chợ bán Số trứng hai người không số tiền thu hai người lại Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng số trứng anh thì tơi bán 15 đồng ” Người nói “ Nếu số trứng số trứmg anh bán
2
3 đồng thơi” Hỏi người có trứng?
Bài 5: Một hợp kim gồm đồng kẽm có gam kẽm Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim thì hợp kim mà lượng đồng giảm so với lúc đầu 30% Tìm khối lượng ban đầu hợp kim?
Kết quả:
Bài 1: Có 60 dãy ghế
Bài 2: Giá thứ có 180 Giá thứ hai có 220 Bài 3: Khoảng cách hai hàng 5m
Bài 4: Người thứ có 40 Người thứ hai có 60 Bài 5: 25 gam hoặc 10 gam
(39)