Để kết thúc bài viết này, tôi muốn chúc các em học thật giỏi môn toán ngay từ đầu bậc THCS và cho tôi được nói riêng với các quý thầy cô: nguyên tắc chung để chứng minh một số tự nhiên[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG LỚP PHẦN SỐ HỌC BÀI 1: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Tìm chữ số tận số tự nhiên dạng toán hay Đa số tài liệu dạng toán sử dụng khái niệm đồng dư, khái niệm trừu tượng khơng có chương trình Vì có khơng học sinh, đặc biệt bạn lớp lớp khó hiểu tiếp thu
Qua viết này, tơi xin trình bày với bạn số tính chất phương pháp giải tốn “tìm chữ số tận cùng”, sử dụng kiến thức THCS
Chúng ta xuất phát từ tính chất sau:
Tính chất 1:
a) Các số có chữ số tận 0, 1, 5, nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận không thay đổi
b) Các số có chữ số tận 4, nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận cùng không thay đổi
c) Các số có chữ số tận 3, 7, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận
d) Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận
Việc chứng minh tính chất khơng khó, xin dành cho bạn đọc Như vậy, muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x = am, trước hết ta xác định chữ số tận a
- Nếu chữ số tận a 0, 1, 5, x có chữ số tận 0, 1, 5, - Nếu chữ số tận a 3, 7, 9, am = a4n + r = a4n.ar với r = 0, 1, 2, nên từ tính
chất 1c => chữ số tận x chữ số tận ar
- Nếu chữ số tận a 2, 4, 8, trường hợp trên, từ tính chất 1d => chữ số tận x chữ số tận 6.ar
Bài toán 1: Tìm chữ số tận số: a) 799 b) 141414 c) 4567
Lời giải:
a) Trước hết, ta tìm số dư phép chia 99 cho 4: 99 - = (9 - 1)(98 + 97 + … + + 1) chia hết cho
=> 99 = 4k + (k thuộc N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7
Do 74k có chữ số tận (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận 7.
b) Dễ thấy 1414 = 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d 141414 = 144k có chữ số tận
cùng
c) Ta có 567 - chia hết cho => 567 = 4k + (k thuộc N)
=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận nên 4567 có chữ số
tận
Tính chất sau => từ tính chất
Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận không thay đổi
(2)Bài tốn 2: Tìm chữ số tận tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009
Lời giải:
Nhận xét: Mọi lũy thừa S có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, …, 2004})
Theo tính chất 2, lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận tổng:
(2 + + … + 9) + 199.(1 + + … + 9) + + + + = 200(1 + + … + 9) + = 9009
Vậy chữ số tận tổng S Từ tính chất tiếp tục => tính chất
Tính chất 3:
a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận cùng ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận
b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận cùng ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận
c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 không thay đổi chữ số tận
Bài tốn 3: Tìm chữ số tận tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011
Lời giải:
Nhận xét: Mọi lũy thừa T có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004})
Theo tính chất 23 có chữ số tận ; 37 có chữ số tận ; 411 có chữ
số tận ; …
Như vậy, tổng T có chữ số tận chữ số tận tổng: (8 + + + + + + + 9) + 199.(1 + + + + + + + + 9) + + + + = 200(1 + + + + + + + + 9) + + + = 9019
Vậy chữ số tận tổng T
* Trong số tốn khác, việc tìm chữ số tận dẫn đến lời giải độc đáo
Bài tốn 4: Tồn hay khơng số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho
19952000
Lời giải: 19952000 tận chữ số nên chia hết cho Vì vậy, ta đặt vấn
đề liệu n2 + n + có chia hết cho khơng ?
Ta có n2 + n = n(n + 1), tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận n2
+ n ; ; => n2 + n + tận ; ; => n2 + n +
không chia hết cho
Vậy không tồn số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000
Sử dụng tính chất “một số phương tận chữ số ; ; ; 5 ; ; 9”, ta giải toán sau:
Bài toán 5: Chứng minh tổng sau khơng thể số phương: a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn)
(3)Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn tận chữ số ; 3 ; ; 9”, ta tiếp tục giải toán:
Bài toán 6: Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: p8n +3.p4n -
chia hết cho
* Các bạn giải tập sau:
Bài 1: Tìm số dư phép chia: a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho
b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho
Bài 2: Tìm chữ số tận X, Y: X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010
Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016
Bài 3: Chứng minh chữ số tận hai tổng sau giống nhau: U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013
V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015
Bài 4: Chứng minh không tồn số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: 19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004
* Các bạn thử nghiên cứu tính chất phương pháp tìm nhiều chữ số tận số tự nhiên, tiếp tục trao đổi vấn đề
* Tìm hai chữ số tận
Nhận xét: Nếu x Є N x = 100k + y, k ; y Є N hai chữ số tận x hai chữ số tận y
Hiển nhiên y ≤ x Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x thay vào ta tìm hai chữ số tận số tự nhiên y (nhỏ hơn) Rõ ràng số y nhỏ việc tìm chữ số tận y đơn giản Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x = am sau:
Trường hợp 1: Nếu a chẵn x = am∶ 2m Gọi n số tự nhiên cho an - ∶ 25
Viết m = pn + q (p ; q Є N), q số nhỏ để aq∶ ta có:
x = am = aq(apn - 1) + aq
Vì an - ∶ 25 => apn - ∶ 25 Mặt khác, (4, 25) = nên aq(apn - 1) ∶ 100
Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận aq Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận aq
Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an - 1∶ 100
Viết m = un + v (u ; v Є N, ≤ v < n) ta có:
x = am = av(aun - 1) + av
Vì an - ∶ 100 => aun - ∶ 100
Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận av Tiếp
theo, ta tìm hai chữ số tận av
Trong hai trường hợp trên, chìa khóa để giải tốn phải tìm số tự nhiên n Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dễ dàng tìm hai chữ số tận aq av
Bài toán 7:
(4)a) a2003 b) 799
Lời giải: a) Do 22003 số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ
nhất cho 2n - ∶ 25
Ta có 210 = 1024 => 210 + = 1025 ∶ 25 => 220 - = (210 + 1)(210 - 1) ∶ 25 =>
23(220 - 1) ∶ 100 Mặt khác:
22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + (k Є N)
Vậy hai chữ số tận 22003 08
b) Do 799 số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé cho 7n -
1 ∶ 100
Ta có 74 = 2401 => 74 - ∶ 100
Mặt khác: 99 - ∶ => 99 = 4k + (k Є N)
Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + = 100q + (q Є N) tận hai chữ số 07
Bài tốn 8:
Tìm số dư phép chia 3517 cho 25
Lời giải: Trước hết ta tìm hai chữ số tận 3517 Do số lẻ nên theo
trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ cho 3n - ∶ 100
Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + ∶ 50 => 320 - = (310 + 1) (310 - 1) ∶ 100
Mặt khác: 516 - ∶ => 5(516 - 1) ∶ 20
=> 517 = 5(516 - 1) + = 20k + =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243,
có hai chữ số tận 43
Vậy số dư phép chia 3517 cho 25 18
Trong trường hợp số cho chia hết cho ta tìm theo cách gián tiếp
Trước tiên, ta tìm số dư phép chia số cho 25, từ suy khả hai chữ số tận Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho để chọn giá trị Các thí dụ cho thấy rằng, a = a = n = 20 ; a = n = Một câu hỏi đặt là: Nếu a n nhỏ ? Ta có tính chất sau (bạn đọc tự chứng minh)
Tính chất 4: Nếu a Є N (a, 5) = a20 - ∶ 25
Bài tốn 9: Tìm hai chữ số tận tổng: a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002
b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003
Lời giải:
a) Dễ thấy, a chẵn a2 chia hết cho ; a lẻ a100 - chia hết cho ; a
chia hết cho a2 chia hết cho 25
Mặt khác, từ tính chất ta suy với a Є N (a, 5) = ta có a100 - ∶ 25 Vậy với a Є N ta có a2(a100 - 1) ∶ 100
Do S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + + 20042
Vì hai chữ số tận tổng S1 hai chữ số tận tổng 12 +
22 + 32 + + 20042 áp dụng công thức:
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
=>12 + 22 + + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận 30
(5)b) Hoàn toàn tương tự câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + + 20043(20042000 - 1) +
23 + 33 + 20043 Vì thế, hai chữ số tận tổng S
2 hai chữ số tận
cùng 13 + 23 + 33 + + 20043
áp dụng công thức:
=> 13 + 23 + + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận 00
Vậy hai chữ số tận tổng S2 00
Trở lại tốn (TTT2 số 15), ta thấy sử dụng việc tìm chữ số tận để nhận biết số khơng phải số phương Ta nhận biết điều thơng qua việc tìm hai chữ số tận
Ta có tính chất sau (bạn đọc tự chứng minh)
Tính chất 5: Số tự nhiên A khơng phải số phương nếu: + A có chữ số tận 2, 3, 7, ;
+ A có chữ số tận mà chữ số hàng chục chữ số chẵn ; + A có chữ số hàng đơn vị khác mà chữ số hàng chục lẻ ; + A có chữ số hàng đơn vị mà chữ số hàng chục khác ; + A có hai chữ số tận lẻ
Bài toán 10: Cho n Є N n - không chia hết cho Chứng minh 7n +
2 khơng thể số phương
Lời giải: Do n - không chia hết n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}) Ta có 74
- = 2400 ∶ 100 Ta viết 7n + = 74k + r + = 7r(74k - 1) + 7r +
Vậy hai chữ số tận 7n + hai chữ số tận 7r + (r =
0, 2, 3) nên 03, 51, 45 Theo tính chất rõ ràng 7n + khơng thể số
chính phương n khơng chia hết cho
* Tìm ba chữ số tận cùng
Nhận xét: Tương tự trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia x cho 1000 Nếu x = 1000k + y, k ; y Є N ba chữ số tận x ba chữ số tận y (y ≤ x)
Do 1000 = x 125 mà (8, 125) = nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận số tự nhiên x = am sau:
Trường hợp 1: Nếu a chẵn x = am chia hết cho 2m Gọi n số tự nhiên
cho an - chia hết cho 125
Viết m = pn + q (p ; q Є N), q số nhỏ để aq chia hết cho ta có:
x = am = aq(apn - 1) + aq
Vì an - chia hết cho 125 => apn - chia hết cho 125 Mặt khác, (8, 125) = nên
aq(apn - 1) chia hết cho 1000
Vậy ba chữ số tận am ba chữ số tận aq Tiếp theo, ta
tìm ba chữ số tận aq
Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an - chia hết cho 1000
Viết m = un + v (u ; v Є N, ≤ v < n) ta có:
(6)Vì an - chia hết cho 1000 => aun - chia hết cho 1000
Vậy ba chữ số tận am ba chữ số tận av Tiếp theo, ta
tìm ba chữ số tận av
Tính chất sau suy từ tính chất
Tính chất 6:
Nếu a Є N (a, 5) = a100 - chia hết cho 125
Chứng minh: Do a20 - chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 chia cho 25 có
cùng số dư
=> a20 + a40 + a60 + a80 + chia hết cho Vậy a100 - = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 +
a20 + 1) chia hết cho 125
Bài toán 11:
Tìm ba chữ số tận 123101
Lời giải: Theo tính chất 6, (123, 5) = => 123100 - chia hết cho 125 (1)
Mặt khác:
123100 - = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - chia hết cho (2)
Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy ra: 123100 - chi hết cho 1000
=> 123101 = 123(123100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N)
Vậy 123101 có ba chữ số tận 123
Bài tốn 12:
Tìm ba chữ số tận 3399 98
Lời giải: Theo tính chất 6, (9, 5) = => 9100 - chi hết cho 125 (1)
Tương tự 11, ta có 9100 - chia hết cho (2)
Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy ra: 9100 - chia hết cho 1000 => 3399 98 = 9199 9 =
9100p + 99 = 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q Є N)
Vậy ba chữ số tận 3399 98 ba chữ số tận 999
Lại 9100 - chia hết cho 1000 => ba chữ số tận 9100 001 mà 999 = 9100: 9
=> ba chữ số tận 999 889 (dễ kiểm tra chữ số tận 999 9, sau
dựa vào phép nhân để xác định )
Vậy ba chữ số tận 3399 98 889
Nếu số cho chia hết cho ta tìm ba chữ số tận cách gián bước: Tìm dư phép chia số cho 125, từ suy khả ba chữ số tận cùng, cuối kiểm tra điều kiện chia hết cho để chọn giá trị
Bài toán 13:
Tìm ba chữ số tận 2004200
Lời giải: (2004, 5) = (tính chất 6) => 2004100 chia cho 125 dư
=> 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư
=> 2004200 tận 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004200
chia hết tận 376
Từ phương pháp tìm hai ba chữ số tận trình bày, mở rộng để tìm nhiều ba chữ số tận số tự nhiên
(7)Bài 1: Chứng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho n không chia
hết cho
Bài 2: Chứng minh 920002003, 720002003 có chữ số tận giống
Bài 3: Tìm hai chữ số tận của: a) 3999 b) 111213
Bài 4: Tìm hai chữ số tận của: S = 23 + 223 + + 240023
Bài 5: Tìm ba chữ số tận của: S = 12004 + 22004 + + 20032004
Bài 6: Cho (a, 10) = Chứng minh ba chữ số tận a101
bằng ba chữ số tận a
Bài 7: Cho A số chẵn khơng chia hết cho 10 Hãy tìm ba chữ số tận A200
Bài 8: Tìm ba chữ số tận số: 199319941995 2000
Bài 9: Tìm sáu chữ số tận 521
BÀI 2: CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Trong chương trình Toán lớp 6, em học toán liên quan tới phép chia hết số tự nhiên cho số tự nhiên khác đặc biệt giới thiệu số phương, số tự nhiên bình phương số tự nhiên (chẳng hạn: ; ; ; ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …)
Kết hợp kiến thức trên, em giải tốn: Chứng minh số khơng phải số phương Đây cách củng cố kiến thức mà em học Những toán làm tăng thêm lịng say mê mơn tốn cho em
1 Nhìn chữ số tận cùng
Vì số phương bình phương số tự nhiên nên thấy số chính phương phải có chữ số tận chữ số ; ; ; ; ; 9.
Từ em giải toán kiểu sau đây:
Bài toán 1: Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 khơng phải là
số phương
Lời giải: Dễ dàng thấy chữ số tận số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 ; ; ; Do số n có chữ số tận nên n khơng phải số phương
Chú ý: Nhiều số cho có chữ số tận số ; ; ; ; ; khơng phải số phương Khi bạn phải lưu ý thêm chút nữa:
(8)Bài toán 2: Chứng minh số 1234567890 khơng phải số phương
Lời giải: Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0) không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số 1234567890 khơng phải số phương
Chú ý: Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), khơng chia hết cho (vì hai chữ số tận 90) nên 1234567890 khơng số phương
Bài toán 3: Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số khơng phải số phương
Lời giải: Ta thấy tổng chữ số số 2004 nên 2004 chia hết cho mà không chia hết nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà không chia hết cho 9, số khơng phải số phương
2 Dùng tính chất số dư
Chẳng hạn em gặp toán sau đây:
Bài tốn 4: Chứng minh số có tổng chữ số 2006 khơng phải số phương
Chắc chắn em dễ bị “choáng” Vậy toán ta phải nghĩ tới điều ? Vì cho giả thiết tổng chữ số nên chắn em phải nghĩ tới phép chia cho cho Nhưng lại không gặp điều “kì diệu” tốn Thế ta nói điều số ? Chắc chắn số chia cho phải dư Từ ta có lời giải
Lời giải: Vì số phương chia cho có số dư 1 mà (coi tập để em tự chứng minh !) Do tổng chữ số số 2006 nên số chia cho dư Chứng tỏ số cho khơng phải số phương Tương tự em tự giải tốn:
Bài toán 5: Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 số phương
Bài tốn 6: Chứng minh số: n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 khơng số
chính phương
Bây em theo dõi toán sau để nghĩ tới “tình huống”
Bài tốn 7: Chứng minh số:
n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 khơng số phương.
Nhận xét: Nếu xét n chia cho 3, em thấy số dư phép chia 1, không “bắt chước” cách giải toán ; ; ; Nếu xét chữ số tận em thấy chữ số tận n nên khơng làm “tương tự” tốn ; Số dư phép chia n cho dễ thấy nhất, Một
số phương chia cho cho số dư ? Các em tự chứng minh kết quả: số dư là 1 Như em giải xong toán
3 “Kẹp” số hai số phương “liên tiếp”
Các em thấy rằng: Nếu n số tự nhiên số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k
< (n + 1)2 k khơng số phương Từ em xét toán
(9)Bài tốn 8: Chứng minh số 4014025 khơng số phương
Nhận xét: Số có hai chữ số tận 25, chia cho dư 1, chia cho dư Thế tất cách làm trước không vận dụng Các em thấy lời giải theo hướng khác
Lời giải: Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 <
20042 Chứng tỏ 4014025 khơng số phương
Bài toán 9: Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không số phương với số tự nhiên n khác
Nhận xét: Đối với em làm quen với dạng biểu thức nhận A + số phương (đây toán quen thuộc với lớp 8) Các em lớp 6, lớp chịu khó đọc lời giải
Lời giải: Ta có:
A + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 +
2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2
Mặt khác:
(n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A
Điều hiển nhiên n ≥ Chứng tỏ: (n2 + 3n)2 < A < A + = (n2 + 3n +1)2
=> A không số phương
Các em rèn luyện cách thử giải toán sau:
Bài toán 10: Hãy tìm số tự nhiên n cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n số
phương
Gợi ý: Nghĩ đến (n2 - n + 1)2
Bài toán 11: Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không số phương
Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho phép chia cho
Bài tốn 12: Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, mảnh bìa ghi số số từ đến 1001 cho khơng có hai mảnh ghi số giống Chứng minh rằng: Không thể ghép tất mảnh bìa liền để số phương
Bài tốn 13: Chứng minh rằng: Tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương
Gợi ý: Nghĩ tới phép chia cho
Bài toán 14: Chứng minh số 333333 + 555555 + 777777 khơng số
phương
Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho … chục (?)
Bài toán 15: Lúc đầu có hai mảnh bìa, cậu bé tinh nghịch cầm mảnh bìa lên lại xé làm bốn mảnh Cậu ta mong làm đến lúc số mảnh bìa số phương Cậu ta có thực mong muốn khơng ?
(10)kiện cần đời dùng để … phủ định !) Từ q thầy sáng tạo thêm nhiều toán thú vị khác
BÀI 3: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Các bạn giới thiệu phương pháp chứng minh số khơng phải số phương TTT2 số Bài viết này, muốn giới thiệu với bạn tốn chứng minh số số phương
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa
Ta biết rằng, số phương bình phương số tự nhiên Dựa vào định nghĩa này, ta định hướng giải tốn
Bài toán 1: Chứng minh: Với số tự nhiên n an = n(n + 1)(n + 2)(n +
3) + số phương
Lời giải: Ta có:
an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) +
= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) +
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
= (n2 + 3n + 1)2
Với n số tự nhiên n2 + 3n + số tự nhiên, theo định nghĩa, a
n số
phương
Bài toán 2: Chứng minh số: số phương
Lời giải:
(11)Vậy: số phương
Phương pháp 2: Dựa vào tính chất đặc biệt.
Ta chứng minh tính chất đặc biệt: “Nếu a, b hai số tự nhiên nguyên tố a.b số phương a b số phương”
Bài tốn 3: Chứng minh rằng: Nếu m, n số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m
= 4n2 + n m - n 4m + 4n + số phương.
Lời giải:
Ta có: 3m2 + m = 4n2 + n
tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2
hay (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*)
Gọi d ước chung lớn m - n 4m + 4n + (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + chí hết cho d
Mặt khác, từ (*) ta có: m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d
Từ 8m + chia hết cho d m chia hết cho d ta có chia hết cho d => d =
Vậy m - n 4m + 4n + số tự nhiên nguyên tố nhau, thỏa mãn (*) nên chúng số phương Cuối xin gửi tới bạn số toán thú vị số phương:
1) Chứng minh số sau số phương:
2) Cho số nguyên dương a, b, c đôi nguyên tố nhau, thỏa mãn: 1/a + 1/b = 1/c Hãy cho biết a + b có số phương hay không ?
3) Chứng minh rằng, với số tự nhiên n 3n + khơng số phương
4) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 số phương.
5) Chứng minh: Nếu: n hai số tự nhiên a số phương
BÀI 4: MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN
Trong chương trình số học lớp 6, sau học khái niệm ước chung lớn (ƯCLN) bội chung nhỏ (BCNN), bạn gặp dạng tốn tìm hai số nguyên dương biết số yếu tố có kiện ƯCLN BCNN
Phương pháp chung để giải:
(12)2/ Trong số trường hợp, sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN, BCNN tích hai số ngun dương a, b, là: ab = (a, b).[a, b], (a, b) ƯCLN [a, b] BCNN a b Việc chứng minh hệ thức khơng khó: Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) =
1 (*)
Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] (**)
Chúng ta xét số ví dụ minh họa
Bài tốn 1: Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 (a, b) = 16 Lời giải: Do vai trò a, b nhau, khơng tính tổng quát, giả sử a ≤ b
Từ (*), (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m,
n) =
Theo định nghĩa BCNN:
[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15
=> m = , n = 15 m = 3, n = => a = 16, b = 240 a = 48, b = 80
Chú ý: Ta áp dụng cơng thức (**) để giải toán này: ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suyy mn = 15
Bài tốn 2: Tìm hai số ngun dương a, b biết ab = 216 (a, b) =
Lời giải: Lập luận 1, giả sử a ≤ b
Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n
Vì vậy: ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = tương đương m = 1, n = m = 2, n = tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc a = 12, b = 18
Bài tốn 3: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60
Lời giải:
Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 =
Tìm (a, b) = 3, tốn đưa dạng toán Kết quả: a = 3, b = 60 a = 12, b = 15
Chú ý: Ta tính (a, b) cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN: Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) =
Bài toán 4: Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 (a, b) =
Lời giải: Theo (*), (a, b) = => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1.
Vì vậy: a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 n = hay a = 65 b = 25
Chú ý: phân số tương ứng với 2,6 phải chọn phân số tối giản (m, n) =
Bài toán 5: Tìm a, b biết a/b = 4/5 [a, b] = 140
Lời giải: Đặt (a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = nên a = 4d, b = 5d Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = => a = 28 ; b = 35
Bài tốn 6: Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 (a, b) = 16
Lời giải: Lập luận 1, giả sử a ≤ b
(13)Vì vậy: a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n =
Tương đương với m = 1, n = m = 3, n = hay a = 16, b = 112 a = 48, b = 80
Bài toán 7: Tìm a, b biết a + b = 42 [a, b] = 72
Lời giải: Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) =
Khơng tính tổng qt, giả sử a ≤ b => m ≤ n Do đó: a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = mnd = 72 (2)
=> d ước chung 42 72 => d thuộc {1 ; ; ; 6}
Lần lượt thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n ta thấy có trường hợp d = => m + n = mn = 12 => m = n = (thỏa mãn điều kiện m, n) Vậy d = a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24
Bài toán 8: Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140
Lời giải: Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) =
Do đó: a - b = d(m - n) = (1’) [a, b] = mnd = 140 (2’)
=> d ước chung 140 => d thuộc {1 ; 7}
Thay giá trị d vào (1’) (2’) để tính m, n ta kết nhất: d = => m - n = mn = 20 => m = 5, n =
Vậy d = a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28
Bài tập tự giải:
1/ Tìm hai số a, b biết 7a = 11b (a, b) = 45
2/ Tìm hai số biết tổng chúng 448, ƯCLN chúng 16 chúng có chữ số hàng đơn vị giống
3/ Cho hai số tự nhiên a b Tìm tất số tự nhiên c cho ba số, tích hai số ln chia hết cho số cịn lại
BÀI 5: NGUN LÍ ĐI - RÍCH - LÊ
Ngun lí Đi-rích-lê phát biểu sau: “Nếu có m vật đặt vào n ngăn kéo m > n có ngăn kéo chứa hai vật” Nguyên lí Đi-rích-lê giúp ta chứng minh tồn “ngăn kéo” chứa hai vật mà khơng “ngăn kéo” Các bạn làm quen việc vận dụng ngun lí qua tốn sau
Bài toán 1: Chứng minh 11 số tự nhiên tồn số có hiệu chia hết cho 10
Lời giải:
Với 11 số tự nhiên chia cho 10 ta 11 số dư, mà số tự nhiên chia cho 10 có 10 khả dư ; ; ; ; ;
Vì có 11 số dư mà có 10 khả dư, theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn số chia cho 10 có số dư hiệu chúng chia hết cho 10 (đpcm)
(14)Lời giải:
Xét 1995 số có dạng: 1994 ; 19941994 ; ;
Nếu số chia hết cho 1995 dễ dàng có đpcm
Nếu số khơng chia hết cho 1995 chia số cho 1995 có 1994 khả dư ; ; ; ; 1994
Vì có 1995 số dư mà có 1994 khả dư, theo nguyên lí Đi-rích-lê tồn số chia cho 1995 có số dư, hiệu chúng chia hết cho 1995 Giả sử hai số là:
Khi đó: = 1994 199400 chia hết cho 1995 (đpcm)
Bài toán 3: Chứng minh tồn số tự nhiên k cho (1999^k - 1) chia hết cho104
Lời giải: Xét 104 + số có dạng: 19991 ; 19992 ; ; 1999104 + Lập luận tương tự toán ta được:
(1999m - 1999n) chia hết cho 104 (m > n) hay 1999n (1999m-n - 1) chia hết cho 104
Vì 1999n 104 nguyên tố nhau, (1999m-n - 1) chia hết cho 104 Đặt m - n = k => 1999^k - chia hết cho 104 (đpcm)
Bài toán 4: Chứng minh tồn số viết hai chữ số chia hết cho 2003
Lời giải: Xét 2004 số có dạng ; 11 ; 111 ; ; Lập luận tương tự toán ta được:
hay 11 100 chia hết cho 2003 (đpcm) Một số toán tự giải:
Bài toán 5: Chứng minh số nguyên tố p ta tìm số viết hai chữ số chia hết cho p
Bài toán 6: Chứng minh số tự nhiên không chia hết cho tồn bội có dạng: 111
Bài tốn 7: Chứng minh tồn số có dạng 1997k (k thuộc N) có tận 0001
Bài toán 8: Chứng minh số nguyên m n nguyên tố tìm số tự nhiên k cho mk - chia hết cho n
Các bạn đón đọc số sau: Ngun lí Đi-rích-lê với tốn hình học thú vị
BÀI 6: NGUYÊN LÍ ĐI-RÍCH-LÊ & NHỮNG BÀI TỐN HÌNH HỌC THÚ VỊ
(15)thể giải thêm nhiều toán khác Sau xin giới thiệu để bạn đọc làm quen việc vận dụng ngun lí Đi-rích-lê với số tốn hình học
Bài tốn 1: Trong tam giác có cạnh (đơn vị độ dài, hiểu đến cuối viết) lấy 17 điểm Chứng minh 17 điểm có hai điểm mà khoảng cách chúng không vượt
Lời giải: Chia tam giác có cạnh thành 16 tam giác có cạnh (hình 1) Vì 17 > 16, theo ngun lí Đi-rích-lê, tồn tam giác cạnh có chứa điểm số 17 điểm cho Khoảng cách hai điểm ln khơng vượt (đpcm)
Bài toán 2: Trong hình vng cạnh 7, lấy 51 điểm Chứng minh có điểm 51 điểm cho nằm hình trịn có bán kính
Lời giải: Chia hình vng cạnh thành 25 hình vng nhau, cạnh hình vng nhỏ 5/7 (hình 2)
Vì 51 điểm cho thuộc 25 hình vng nhỏ, mà 51 > 2.25 nên theo ngun lí Đi-rích-lê, có hình vng nhỏ chứa điểm (3 = + 1) số 51 điểm cho Hình vng cạnh có bán kính đường trịn ngoại tiếp là:
Vậy tốn chứng minh Hình trịn hình trịn bán kính 1, chứa hình vuông ta
(16)Lời giải: Lấy điểm A 2003 điểm cho, vẽ đường tròn C1
tâm A bán kính
+ Nếu tất điểm nằm hình trịn C1 hiển nhiên có đpcm + Nếu tồn điểm B mà khoảng cách A B lớn ta vẽ đường trịn C2 tâm B bán kính
Khi đó, xét điểm C số 2001 điểm cịn lại Xét điểm A, B, C, AB > nên theo giả thiết ta có AC ≤ BC ≤ Nói cách khác, điểm C phải thuộc C1
hoặc C2 => 2001 điểm khác B A phải nằm C1 C2 Theo nguyên lí
Đi-rích-lê ta có hình trịn chứa 1001 điểm Tính thêm tâm hình trịn hình trịn hình trịn bán kính chứa 1002 điểm 2003 điểm cho
Bài tốn 4: Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng cho đường thẳng chia ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích 1/3 Chứng minh rằng, 17 đường thẳng có đường thẳng đồng quy
Lời giải: Gọi M, Q, N, P trung điểm AB, BC, CD, DA (hình 3)
Vì ABCD hình bình hành => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD
Gọi d 17 đường thẳng cho Nếu d cắt AB E ; CD F ; PQ L LP, LQ đường trung bình hình thang AEFD, EBCF Ta có: S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 LQ / LP = 1/3
Trên PQ lấy hai điểm L1, L2 thỏa mãn điều kiện L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 L
trùng với L1 L trùng với L2 Nghĩa d cắt AB CD d phải qua L1
L2
Tương tự, MN lấy hai điểm K1, K2 thỏa mãn điều kiện K1M / K1N = K2N / K2M
= 1/3 d cắt AD BC d phải qua K1 K2
(17)Vì 17 > 4.4 nên theo ngun lí Đi-rích-lê, 17 đường thẳng có đường thẳng (5 = + 1) qua điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 (5 đường
thẳng đồng quy, đpcm)
Sau số tập tương tự
Bài 1: Trong hình chữ nhật có kích thước x 5, lấy điểm Chứng minh có hai điểm cách khoảng không vượt
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho ngũ giác lồi có tất đỉnh điểm ngun (có hồnh độ tung độ số nguyên) Chứng minh cạnh bên ngũ giác cịn điểm nguyên khác
Bài 3: Tờ giấy hình vng có cạnh bé để cắt hình trịn có bán kính
Bài 4: Trên tờ giấy kẻ vng, chọn 101 Chứng minh 101 có 26 khơng có điểm chung
BÀI 7: BÀN LUẬN VỀ BÀI TOÁN "BA VỊ THẦN"
Chúng ta biết toán thú vị: “Ba vị thần” sau:
Ngày xưa, ngơi đền cổ có vị thần giống hệt Thần thật (TT) ln ln nói thật, thần dối trá (DT) ln ln nói dối thần khơn ngoan (KN) lúc nói thật lúc nói dối Các vị thần trả lời câu hỏi khách đến lễ đền không xác định xác vị thần Một hơm có nhà hiền triết từ xa đến thăm đền Để xác định vị thần, ông hỏi thần bên trái:
- Ai ngồi cạnh ngài ? - Đó thần TT (1) Ông hỏi thần ngồi giữa: - Ngài ?
- Ta thần KN (2)
Sau ông hỏi thần bên phải: - Ai ngồi cạnh ngài ?
- Đó thần DT (3) Nhà hiền triết lên:
- Tôi xác định vị thần
Hỏi nhà hiền triết suy luận ?
Lời giải: Gọi vị thần theo thứ tự từ trái sang phải là: A, B, C Từ câu trả lời (1) => A thần TT
Từ câu trả lời (2) => B thần TT
Vậy C thần TT Theo (3) đ B thần DT đ A thần KN
Nhận xét: Cả câu hỏi tập trung xác định thần B, phải cách hỏi “thơng minh” nhà hiền triết để tìm vị thần ? Câu trả lời không phải, mà nhà hiền triết gặp may vị thần trả lời câu hỏi không “khôn ngoan” !
Nếu vị thần trả lời “khôn ngoan” mà đảm bảo tính chất vị thần sau câu hỏi, nhà hiền triết khơng thể xác định vị thần Ta thấy rõ qua phân tích sau cách hỏi nhà hiền triết:
(18)- Ngài ?
Có khả trả lời sau:
- Ta thần TT => không xác định X (Cách trả lời khôn nhất) - Ta thần KN => X thần KN DT
- Ta thần DT => X KN Hỏi thần X:
- Ai ngồi cạnh ngài ?
Cũng có khả trả lời sau:
- Đó thần TT => thần X khác thần TT
- Đó thần KN => khơng xác định X (cách trả lời khôn nhất) - Đó thần DT => khơng xác định X (cách trả lời khôn nhất)
Trong cách hỏi nhà hiền triết có cách trả lời khiến nhà hiền triết khơng có thơng tin ba vị thần mà xác định vị thần Nếu gặp may (do trả lời ngờ nghệch) cần sau câu hỏi nhà hiền triết đủ để xác định vị thần Các bạn tự tìm xem trường hợp câu trả lời vị thần
Bài toán cổ thật hay dí dỏm, vị thần trả lời theo phương án “khơn ngoan” có cách để xác định vị thần sau số câu hỏi khơng ?
Rõ ràng đặt câu hỏi nhà hiền triết Phải hỏi để thu nhiều thông tin ? Bây ta đặt vấn đề sau:
Mỗi lần hỏi hỏi vị thần vị trả lời Cần hỏi để sau số câu hỏi ta xác định vị thần Bài tốn rõ ràng khơng dễ chút nào, tơi tin bạn tìm nhiều phương án tối ưu ! Sau phương án
Hỏi thần A:
- Ngài thần KN ? - Nhận câu trả lời Hỏi thần B:
- Ngài thần KN ? - Nhận câu trả lời
Sau tơi cần hỏi thêm câu xác định xác vị thần Như số câu hỏi nhiều Các bạn rút số câu hỏi xuống không ?
(19)