HÀM NHIỀU BIẾN (GIẢI TÍCH)

CHƯƠNG 0: HÀM NHIỀU BIẾN NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN NỘI DUNG Dãy điểm Rn Tập đóng, tập mở, tập bị chận, tập compact Hàm nhiều biến Giới hạn tính liên tục hàm nhiều biến DÃY ĐIỂM TRONG Rn Dãy điểm Rn tập hợp điểm gán số N, dãy điểm tương ứng với n dãy số thực {Xm} = {X1, X2, …Xm, …} Xm = (x1m, x2m, …, xnm), m = 1, 2, … Xm → X0 = (x10, x20, …, xn0) ∈ Rn ⇔ xim → xi0, m → ∞, i = 1, 2, …, n 1  −n n xn =  , ÷ ⇒ lim xn = (0,0), lim (e , n ) = (0,1) n →∞  n n  n →∞ CÁC DẠNG TẬP HỢP CƠ BẢN A ⊂ Rn tập đóng ⇔ dãy A có giới hạn giới hạn nằm A (A lấy tất đường biên có) A ⊂ Rn tập mở ⇔ phần bù A Rn đóng (A khơng lấy phần biên) A đóng 2 A mở x +y ≤R R1 2 x +y 0 cho ∀x∈ A, ||x|| ≤ M 2 x = x1 + L + xn (A bao bọc mặt cầu (hoặc đường tròn)) A tập compact ⇔ A tập đóng bị chận A compact A không compact A = {(x,y)/ y ≥ 0} A không compact HÀM NHIỀU BIẾN Hàm nhiều biến ánh xạ biến tập D Rn thành tập R f : D ⊂ Rn  →R x = ( x1, , xn ) → f ( x1, , x n ) D gọi miền xác định f VD: 1/ z = f(x,y) = ln(x2 + y2), D = R2 \ {(0,0)} 2/ z = f(x,y) = xy, D = {(x,y)/ x > 0} 3/ F(x,y,z) = xz+z2y + = (hàm ẩn z = z (x,y)) Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA HÀM BIẾN Hàm số z = f(x,y) biểu diễn mặt cong không gian D GIỚI HẠN HÀM BIẾN Cho f(x, y), (x,y)∈ D f hội tụ a (x,y)→ (x0, y0) nếu: ∀( xn , y n ) ∈ D,( xn , y n ) ≠ ( x0 , y ) : lim ( xn , y n ) = ( x0 , y ) ⇒ lim f ( xn , y n ) = a n →∞ n →∞ Cách viết giới hạn: lim f ( x , y ) = x → x0 y →y0 lim ( x , y ) → ( x0 , y ) f ( x, y ) = a Lưu ý: không lấy giới hạn theo x trước, y sau ngược lại Ví dụ / f ( x , y ) = x , lim f ( x , y ) = x0 , x → x0 y →y0 Vì D = R2 (xn, yn) → (x0, y0) ⇔ xn → x0, yn → y0 ⇒ f (xn, yn) = xn → x0, ∀ (xn, yn) Vậy f ( x , y ) = y , lim f ( x , y ) = y , x → x0 y →y0 Ví dụ x+y 2 / lim = , x →1 ln( x + y ) ln y →1 Lấy (xn, yn) → (1,1) xn + y n f ( xn , y n ) = → ln( xn + y n ) ln Một số lưu ý tính giới hạn • Các phép tốn tính chất giới hạn hàm biến cịn cho hàm nhiều biến(tổng, hiệu, tích , thương, giới hạn kẹp,…) • Thay tương đương VCB, VCL, khai triển Taylor, qtắc L’Hospitale áp dụng chuyển sang hàm biến • Để ý dạng vơ định tính giới hạn xy − x − y + / lim x →1 x −1 y →1 0  ÷ 0 y ( x − 1) − 2( x − 1) = lim = lim( y − 2) = −1 x →1 x →1 x −1 y →1 4/ y →1 lim ( x , y )→(0,0) + xy − ln(1 + xy ) u + u −1 = lim = lim = u →0 ln(1 + u ) u →0 u xy / f (x, y ) = 2 x +y Khơng có ghạn (x,y)→ (0, 0) Chọn dãy điểm: 1 X n = (0, ) → (0,0),Yn = ( , ) → (0,0) n n n lim f ( X n ) = ≠ lim f (Yn ) = n →∞ n →∞ 2 x y / f ( x, y ) =  → x →0 x + y2 y →0 2 x y x y ≤| f ( x , y ) |= = 2 x +y x +y 2 (x + y ) y ≤ 2 x +y = y  → x →0 y →0 nên lim f ( x , y ) = x →0 y →0 HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẤT f(x, y) liên tục (x0, y0) ∈ D nếu: lim f ( x , y ) = f ( x0 , y ) x → x0 y →y0 Những tính chất quan hàm số liên tục • Các hàm sơ cấp liên tục miền xác định, • f liên tục tập A đóng bị chận f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ A Lưu ý: phát biểu không gian n chiều tương tự không gian chiều  ... tập đóng bị chận A compact A không compact A = {(x,y)/ y ≥ 0} A không compact HÀM NHIỀU BIẾN Hàm nhiều biến ánh xạ biến tập D Rn thành tập R f : D ⊂ Rn  →R x = ( x1, , xn ) → f ( x1, , x n )... chất giới hạn hàm biến cịn cho hàm nhiều biến( tổng, hiệu, tích , thương, giới hạn kẹp,…) • Thay tương đương VCB, VCL, khai triển Taylor, qtắc L’Hospitale áp dụng chuyển sang hàm biến • Để ý dạng... {(x,y)/ x > 0} 3/ F(x,y,z) = xz+z2y + = (hàm ẩn z = z (x,y)) Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA HÀM BIẾN Hàm số z = f(x,y) biểu diễn mặt cong không gian D GIỚI HẠN HÀM BIẾN Cho f(x, y), (x,y)∈ D f hội tụ a (x,y)→