Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)ONTHIONLINE.NET Đề thi Học sinh giỏi 12 THPT – Mơn Tốn Thời gian 180 phút
-o0o -Câu 1: (6 điểm) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + 1.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3 + 3x2 = m3 + 3m2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5)
d) Trên đường thẳng y = 9x – 4, tìm điểm kẻ đến (C) tiếp tuyến
Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: a)
3
cos x cos x
(75 2) (17 12 2) cos3x.
b)
2
x 3x x x
3
Câu 3: (4 điểm)
a) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm nhất:
2
m m
7
log 11log ( x mx10 4) log (x mx 12)0
b) Tìm m để bất phương trình sau với x
1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m –
Câu 4: (2,5 điểm)
a) Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm x = 0:
3
1 ax cos x víi x
f(x)
ln(1 2x) b víi x
.
b) Tính tích phân:
1
2
4 x
1
2
x
I dx
(x x 1)(1 2006 )
Câu 5: (2,5 điểm)
Cho elíp (E1):
2
x y
1
15 , (E2):
2
x y
1
6 15 parabol (P): y2 = 12x
(2)Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác với cạnh a (a> 0) Cạnh SA vng góc với đáy SA = a 3 M điểm khác B
trên SB cho AM MD Tính tỉ số
SM SB .
Đáp án đề thi Học sinh giỏi 12 THPT – Mơn Tốn
-o0o -Chú ý: + Đáp án gồm trang.
+Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết cho điểm tối đa
Câu ý Nội dung điểm
1 1a - Tập xác định: D = R - Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 6x =
x
x
.
Hàm số đồng biến khoảng (-; -2) (0; +);
hàm số nghịch biến khoảng (-2; 0)
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại điểm (0; 1) đạt cực tiểu điểm (-2; 5)
+ Giới hạn: xlim y đồ thị hàm số khơng có tiệm
cận
+ Tính lồi lõm điểm uốn: y’’ = 6x + = x = -1 Đồ thị hàm số lồi khoảng (-; -1), lõm khoảng
(-1; +) có điểm uốn (-1; 3)
+ Bảng biến thiên:
x - -2 -1 +
y’ + - - +
+
y
-
- Đồ thị: Đồ thị hàm số qua điểm (-3; 1), (-2; 5), (-1; 3), (0; 1) (1; 5) Nhận điểm uốn (-1; 3) làm tâm đối xứng
0,25
0,25 0,25
0,25
(3)0,25
1b Ta có: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 (1) x3 + 3x2 + = m2 + 3m2 + = a
số nghiệm phương trình (1) số giao điểm
của đồ thị (C) đường thẳng y = a, từ đồ thị câu a ta có: - Phương trình (1) có nghiệm a > a <
- Phương trình (1) có nghiệm a = a = - Phương trình (1) có nghiệm < a <
Xét hàm số f(m) = m3 + 3m2 +
f(m) có đồ thị
(C), nên từ đồ thị câu a ta có:
- a > m > 1; a = m = m = -2
- a < m < -3; a = m = -3 m =
- < a < -3 < m <
Vậy ta có:
+ Với m > m < -3 phương trình (1) có nghiệm + Với m = -3 m = -2 m = m = phương trình (1) có nghiệm
+ Với -3 < m < m -2, m phương trình (1) có
3 nghiệm phân biệt
0,25 0,25
0,25
0,25
1c Gọi phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm (1; 5) có dạng: y = k(x – 1) + y = kx + – k
Vì tiếp tuyến (C) nên ta có:
3
2
x 3x kx k x 2, k
x 1, k
k 3x 6x
.
Có tiếp tuyến (C) qua điểm (1; 5) là:
y = y = 9x –
0,25 0,50 0,25
1d Gọi M (x0; 9x0 – 4) điểm đường thẳng y = 9x – Đường thẳng qua M có phương trình dạng:
y = k(x – x0) + 9x0 – 0,25 y
5
3
1
(4) Ta có:
3
0
2
x 3x k(x x ) 9x
k 3x 6x
.
Để có tiếp tuyến qua M hệ cần có nghiệm
phương trình sau cần có nghiệm phân biệt:
(x – 1)[2x2 + (5 – 3x
0)x + – 9x0] =
Từ ta có điều kiện x0 là:
0
0
x 1/
x
x
.
Vậy điểm M cần tìm có toạ độ (x; 9x – 4) với điều
kiện:
x 1/
x
x
0,25 0,25
0,25
2 2a Tập xác định: D = R
Phương trình cho tương đương với phương trình:
3
3 cos x cos x
3 cos x cos x
(1 2) (1 2) cos x 3cos x
(1 2) 3cos x cos x (1 2)
Xét hàm số f(t) = (1 2)t t, ta có f(t) đồng biến với t nên ta có: f(3cosx) = f(4cos3x) 3cosx = 4cos3x
cos3x = x =
k
6
, k Z
0,25
0,50 0,50 0,25
2b Ta có: x4 + x2 + = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) > 0 x2 – 3x + = 2(x2 – x + 1) – (x2 + x + 1) Đặt
2
x x
t
x x
, t > Phương trình trở thành:
3
t
3
2t t
3
t
2
x x 1
x x
x =
0,25 0,25 0,50 0,25
0,25
(5)Bất phương trình cho tương đương với:
2
7 11
11
1 log ( x mx 10 4)log (x mx 12)
0 log m
(*) Đặt u = x2 + mx + 10, u 0.
+ Với < m < 1: (*) f(u) = log7( u+ 4)log11(u + 2) Ta thấy f(9) = f(u) hàm đồng biến nên ta có:
f(u) f(9) u x2 + mx + 10 x2 + mx +
0
Vì phương trình có = m2 – < với < m < nên
phương trình vơ nghiệm bất phương trình cho vô
nghiệm
+ Với m > 1: Ta có: f(u) = f(9) u
x2 + mx + 10
2
2
x mx 10 (1)
x mx (2)
.
Xét phương trình x2 + mx + = có
= m2 –
Nếu < m < < (2) vơ nghiệm bất phương
trình cho vô nghiệm
Nếu m > > phương trình có nghiệm
thoả mãn (1) (2) bất phương trình cho có nhiều
hơn nghiệm
Nếu m = (2) có nghiệm x = -1 bất
phương trình cho có nghiệm x = -1 Vậy giá trị cần tìm m là: m = -2
0,50
0,50
0,50
3b Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx Bài toán trở thành:
tìm m cho maxf(x) 2m –
Ta có f2(x) = + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx
Đặt t = sinx + cosx, 2 t 2 Ta có:
f2(x) = g(t) = + 4t + 22t2 + 2t – 1 với 2 t 2. Xét biến thiên g(t) ta có:
2 ;
max g(t) 4( 1)
Vì f(x) nên ta có:
maxf(x) = max f (x)2 max g(t) 2( 1) Vậy ta có:
3 2
2( 1) 2m m
2
0,25 0,25
(6)4 4a Hàm số có đạo hàm x = liên tục x = xlim f(x)0 xlim f(x)0 f(0) b
Ta lại có:
3
x
1 a x cos x a
f '(0 ) lim
x Và x
ln(1 x)
f '(0 ) lim
x
a = 6.
Vậy hàm số có đạo hàm x = a = b =
0,25 0,50 0,25 0,25 0,25
4b Chứng minh được:
1 5
2
2
4 x
1 5
2
x x
I dx dx
(x x 1)(1 2006 ) x x
2 1 x I dx
(x )
x Đặt / /
x tgt I dt
x 0,50 0,25 0,50
5 5a Toạ độ giao điểm elíp (E1) (E2) nghiệm hệ
phương trình: 2 2 2 x y 60
15 x y
7 x y 15
Vậy đường tròn qua giao điểm elíp là:
2 60
x y
7
0,50
0,50
5b Gọi đường thẳng Ax + By + C = (A2 + B2 0), tiếp tuyến chung (E1) (P) Ta có:
2
2
15A 6B C C 5A
C 5A 6B 2AC
Vậy có tiếp tuyến cần tìm là: 3x 5y5 30
(7)6
Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ hình vẽ Suy ta có: A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; 0; a 3) và
B =
a a
; ;0
2
Suy phương trình SB là:
2x 2y z a
a a a
Gọi M(x0; y0; z0) thuộc cạnh SB, ta có:
0
0
y 3x
z a 3x
.
Mặt khác AMDN AM.DM 0
x02 – 2ax0 + y02 + z02 = 0
3a x
8
3a 3a a
M ; ;
8
3
SM SB
4
hay
SM
SB 4.
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,50
-Hết
-A D
B C
S