Download Đề thi thử ĐH số 83 môn Toán

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.[r]

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 83 Ngày 15 Tháng Năm 2013

Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y =

x x

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng qua điểm M điểm I(1; 1)

Câu II: (2,0 điểm)

1 Giải phương trình:  

3

cos cos

2 sin sin cos

x x

x x x



 



2 Giải hệ phương trình:

2

2

( )

( )

x x y y x x x y y x

    

 

   

 

Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: 1 ln 1 ln e

x dx

x  x



Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân đỉnh C; đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 600 AB = AA’ = a Gọi M, N, P trung điểm BB’, CC’, BC Q điểm cạnh AB cho BQ =

a

Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ chứng minh (MAC) (NPQ)

Câu V: (1,0 điểm) Chứng minh với số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện

3

ab bc ca   , ta có: 2

1 1

1

2 2

a  b  c  

Câu VI: (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) AC = 2BD Điểm M

1 (0; )

3 thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B

có hồnh độ dương

2.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :

1:

1 x t

d y t

z t

  

  

  

 ; d2:

2

1 3

x y z

 

  d3:

1 1

5

x y z

 

Viết phương trình đường thẳng , biết  cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 điểm A, B, C cho AB = BC Câu VII: (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn :

2

2

z  z z z 

z z 2

-Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm

HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 83 Câu 1: 1, (1 điểm)TXĐ : D = R\{1}

y’ =

1

(x 1)

 



lim ( ) lim ( )

x  f x x   f x  nên y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số

1

lim ( ) , lim

x  f x  x   nên x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số Bảng biến thiên

1 +

-

1

-y y'

x - +

Hàm số nghịch biến ( ;1)và (1;) ,Hàm số khơng có cực trị

Đồ thị : Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng

Câu 1:2, (1 điểm)Với x0 1, tiếp tuyến (d) với (C) M(x0 ;

0

x

x  ) có phương trình :

0

0

1

( )

( 1)

x

y x x

x x

  

 

2

2

0

1

0

( 1) ( 1)

x x y

x x

   

 

(d) có vec – tơ phương

1

( 1; )

( 1)

u

x

   

, 0

1

( 1; )

1

IM x

x

 





Để (d) vng góc IM điều kiện :

0

0

0

0

0

1

1.( 1)

2

( 1)

x

u IM x

x

x x

 

       



  

  

+ Với x0 = ta có M(0,0) + Với x0 = ta có M(2, 2)

Câu 2: 1, (1 điểm) ĐK: sinxcosx0

Khi       

2

1 sin cos sin sin cos

PT   x x   x x x

 1 sin x 1 cos xsinxsin cosx x 0  1 sin x 1 cos x 1 sin x 0

sin cos x x     

 (thoả mãn điều kiện)

2 2 x k x m            

 k m, Z

Vậy phương trình cho có nghiệm là: x k2

   

x  m2 k m, Z Câu 2: 2, (1 điểm) Với x = không nghiệm phương trình

Với x0, ta có:

2

2

2 2

2

1

4

( ) 2

( )

y

x y

x y xy x x

x x y y x y

x y x                            Đặt 1 , y

u v x y

x



  

ta có hệ: 2

4 3,

2 15 5,

u v u v v u

v u v v v u

                       

+) Với v3,u1ta có hệ:

2 2 1, 2

1

2,

3 3

y x

y x y x y y

y x

x y x y x y

                                .

+) Với v5,u9ta có hệ:

2 1 9

5 y x x y      

 , hệ vô nghiệm. Vậy hệ cho có hai nghiệm: ( ; ) (2;1), ( ; ) (5; 2).x y  x y  

Câu 3: (1,0 điểm) Đặt t = ln x có 2tdt =

1 dx

x x = t = 1; x = e t =

2 1 ln 1 2 1 ln e x t dx tdt t x x       2( ) t t

  2(2 2)

3



Câu (1,0 điểm) Gọi I trung điểm A’B’

' ' '

' ( ' ')

' AA '

C I A B

C I ABA B

C I

 

 



  suy góc BC’ mp(ABB’A’) góc C BI ' Suy C BI ' 600

 15

' tan '

2 a

3

' ' ' ' ' '

1 15

AA ' AA ' ' '

2

ABC A B C A B C

a

V  S  CI A B 

/ / '

( ) / /( ' )

/ / ' NP BC

NPQ C BI

PQ C I

  

 (1)

   

' ( ) ' ' 90 AM BI

ABM BB I c g c suy AMB BIB suy AMB B BI      

  .

Mặt khác theo chứng minh C’I AM nên AM ( 'C BI) Suy (AMC) ( 'C BI) (2) Từ (1) (2) suy (MAC) (NPQ)

Câu 5(1,0 điểm) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a b2 2b c2 2c a2 2a b c2 2 4

Đặt x = ab, y = bc, z = ca ta cần chứng minh x2y2z2xyz4 với x, y, z không âm thỏa mãn: x + y + z = Khơng làm tính tổng qt giả sử x  y; x  z x  ta có:

2 2 4 ( )2 ( 2) 4 ( )2 1( ) (2 2) 4

4

x y z xyz x  y z yz x  x  y z  y z x  

2 2(3 )2 4 1( 1) (2 2) 0

4

x

x  x x x

       

Dấu xảy a = b = c =

Câu 6: 1(1,0 điểm) Gọi N’ điểm đối xứng N qua I N’ thuộc AB, ta có : '

'

2

2

N I N

N I N

x x x

y y y

  

 

  

 Phương trình đường thẳng AB:4x + 3y – = 0

Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB: 2

4.2 3.1

4

d    



AC = BD nên AI = BI, đặt BI = x, AI = 2x tam giác vng ABI có:

2 2

1 1

4

d x  x suy x = 5 suy BI =

Điểm B giao điểm đường thẳng 4x + 3y – = với đường tròn tâm I bán kính

Tọa độ B nghiệm hệ: 2

4x 3y –

(x 2) (y 1)

 

 

   

 B có hồnh độ dương nên B( 1; -1)

Câu 6: 2(1,0 điểm) Xét ba điểm A, B, C nằm ba đường thẳng d1 , d2 , d3 Ta có A (t, – t, -1 +2t) ; B (u, – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, + 2v, - +v)

A, B, C thẳng hàng AB = BC  B trung điểm AC

( )

4 (1 ) 2.(2 )

1 ( ) 2( )

t v u

t v u

t v u

   

 

      

      

 Giải hệ được: t = 1; u = 0; v = 0 Suy A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1)

Đường thẳng  qua A, B, C có phương trình

2

1 1

x y z

 

Câu 7(1,0 điểm) Gọi z = x + iy ta có

2

2 2

;

z x iy z  z zz x y

2

2 2 2 2 2

2 4( ) ( ) (1)

z  z z z   x y   x y 