Các bài toán cực trị trong tam giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐINH VĂN TUYÊN CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐINH VĂN TUYÊN CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chủ tịnh hội đồng bảo vệ Người hướng dẫn khoa học PGS.TS VŨ ĐỖ LONG TS.Lê Đình Định Hà Nội - 2016 STT MỤC LỤC 01 Lời cảm ơn…………………………………………………………………….02 Lời nói đầu…………………………………………………………………….03 Bố cục luận văn………………………………………………… 04 Một số ký hiệu dùng luận văn……………………………………… 07 Chƣơng Kiến thức chuẩn bị………………………………………………08 1.1 Các đẳng thức tam giác……………………………….08 1.2 Một số bất đẳng thức đại số bản……………………………… 12 1.3 Các bất đẳng thức tam giác………………………… 15 Chƣơng Các toán cực trị tam giác…………………………….17 2.1 Một số phƣơng pháp giải toán cực trị tam giác…… 17 2.1.1 Dùng phương pháp Vectơ ……………………………………… 18 2.1.2 Dùng phương pháp tam thức bậc hai…………………………… 21 2.1.3 Dùng phương pháp đạo hàm ……………………………………….29 2.1.4 Dùng bất đẳng thức đại số bản…………………………… 33 2.2 Một số toán cực trị tam giác……………………………….44 Chƣơng Cách xây dựng toán cực trị tam giác………… 55 Kết luận…………………………………………………………………… 77 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 78 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Lê Đình Định người thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè tất người giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn LỜI NĨI ĐẦU Các toán cực trị tam giác phần quan trọng tốn sơ cấp, có nhiều điểm chung với Bất đẳng thức tam giác phương pháp giải Có nhiều dạng tốn thuộc loại khó liên quan tới chuyên đề Điểm khác biệt quan trọng toán cực trị tam giác toán bất đẳng thức tam giác là: toán bất đẳng thức tam giác biết trước đích ta phải đến (tức biết hai vế), cịn tốn cực trị tam giác khơng Ví dụ: a (về tốn bất đẳng thức tam giác): Cho tam giác ABC , chứng minh cos A  2cos B  cos C  b.(về toán cực trị tam giác): Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn biểu thức M  cos A  2cos B  cos C tốn cực trị tam giác có độ phức tạp toán bất đẳng thức tam giác Tuy nhiên, nắm vững phương pháp giải toán bất đẳng thức tam giác dễ dàng làm tốn cực trị tam giác, ngược lại Trong kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, toán liên quan đến Các toán cực trị tam giác hay đề cập thuộc loại khó Các tốn chứng minh bất đẳng thức, cực trị tam giác hay nhận dạng tam giác đề cập nhiều tài liệu bồi dưỡng giáo viên học sinh chuyên tốn bậc trung học phổ thơng Các kết nghiên cứu nội dung đến tương đối đầy đủ hồn thiện Chính để có kết có ý nghĩa nội dung việc làm khó thân Tuy nhiên, với nỗ lực nhận thức thân, luận văn tơi cung cấp số kiến thức đẳng thức bất đẳng thức tam giác, hệ thống số phương pháp việc giải toán cực trị tam giác, nêu số toán cực trị tam giác Đồng thời đưa số cách xây dựng toán cực trị tam giác Trong q trình hồn thành luận văn tác giả khơng ngừng nỗ lực để học hỏi, tìm tịi sưu tầm toán cực trị tam giác Tuy nhiên, hiểu biết thân, điều kiện thời gian khuân khổ luận văn thạc sĩ, nên chắn q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi khiếm khuyết Tác giả mong dạy thầy (cơ) giáo q bạn đọc để luận văn tơi thêm hồn thiện Bố cục luận văn bao gồm: Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Chương gồm định lí, cơng thức số đẳng thức, bất đẳng thức tam giác như: định lí hàm số sin, định lí hàm số cos, cơng thức tính diện tích tam giác, cơng thức tính bán kính, công thức đường trung tuyến, công thức đường phân giác, cơng thức hình chiếu, số đẳng thức tam giác, số bất đẳng thức đại số thường gặp, số bất đẳng thức tam giác Chƣơng Các toán cực trị tam giác Gồm phần: Phần 1: Sử dụng tính chất tích vơ hướng    a) a b  a.b  n  b)      i 1  để giải tốn tìm cực trị tam giác Phần 2: Sử dụng tính chất dấu tam thức bậc hai Cho f  x   ax  bx  c a)    af  x   0; x   b) Nếu  cho: af        x1 ; x2  để giải tốn tìm cực trị tam giác Phần 3: Sử dụng đạo hàm để giải tốn tìm cực trị tam giác Phần 4: Dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị tam giác Phần 5: Nêu số toán cực trị tam giác Chƣơng Cách xây dựng toán cực trị tam giác Trong chương tác giả dùng kiến thức phổ thông, đẳng thức bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức biết, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopsky, bất đẳng thức Trêbưsep, bất đẳng thức Jensen … để xây dựng lên toán cực trị tam giác Ngày … tháng 12 năm 2016 Học viên Một số ký hiệu dùng luận văn 1) ABC : tam giác ABC A;B;C: đỉnh, đồng thời số đo ba góc tam giác ABC a; b;c: số đo độ dài ba cạnh BC; AC; AB 2) ; hb ; hc : độ dài đường cao tương ứng cạnh a; b; c 3) la ; lb ; lc : độ dài đường phân giác tương ứng cạnh a; b; c 4) ma ; mb ; mc : độ dài đường trung tuyến tương ứng cạnh a; b; c 5) ; rb ; rc : bán kính đường trịn bàng tiếp tương ứng góc:A;B;C 6) R; r: bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC 7) p; S: thứ tự nửa chu vi diện tích tam giác ABC 8) Min; max: giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 9)  : với 10) CMR: chứng minh 11) Đpcm: Điều phải chứng minh 12)  ;  ;  : tập số thực, tập số nguyên, tập số tự nhiên Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các đẳng thức tam giác 1.1.1 Các định lí cơng thức tam giác 1.1.1.1 Định lý hàm số sin : a b c    2R sin A sin B sin C 1.1.1.2 Định lý hàm số cos : a2  b2  c2  2bc.cos A b2  a  c2  2ac.cos A c2  a  b2  2ab.cos A 1.1.1.3 Định lý hàm số tan : A B tan a b  a  b tan A  B B C bc  b  c tan B  C tan CA ca  C  A c  a tan tan 1.1.1.4 Cơng thức tính diện tích tam giác SABC  1 ah a  bhb  chc 2   1 ab.sin C  bc.sin A  ca.sin B 2 abc  pr  ( p  a)ra  ( p  b)rb  ( p  c)rc 4R  2R2 sin A sin B sin C  p( p  a)( p  b)( p  c) 10 (công thức He - ron) Ta xây dựng tốn sau Bài tốn 3.4.5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau       P  1  1 1   A B C  sin  sin  sin    3.5      Dựa vào tính lồi, lõm hàm số lƣợng giác Theo tính lồi, lõm hàm số ta có BĐT sau    xi   ; i  1, n ta có  xi   xi   xi       ; i  1, n ta có 1 n  sin x  sin  i  n  xi  n  i 1  1 n  cos x  cos  i  n  xi  n  i 1  (3.5.1) (3.5.2) ; i  1, n ta có   1 n  tan x  tan  i  n  xi  n  i 1  (3.5.3)   1 n  cot xi  cot   xi   n  n i 1  (3.5.4) ; i  1, n ta có Ví dụ Sử dụng BĐT sin x  sin y  sin z  sin t x y  z t  sin với 0< x,y,z,t < π 4 Ta thu P  Vậy max P  sin A  sin B  sin 4 C  A B 2 Ta xây dựng tốn sau Bài tốn 3.5.1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  sin A  sin B  sin C 66 C C  sin 2  sin   42 Ví dụ Ta có C C C  tan A  tan B  tan  tan  tan  C 3 Q  tan A  tan B  tan     Áp dụng BĐT (3.2.3) ta thu Q  tan Vậy Q  5tan        A  B  C Ta xây dựng toán sau Bài toán 3.5 Cho tam giác ABC nhọn Tìm gí trị nhỏ biểu thức Q  tan A  tan B  3tan C Ví dụ Ta có S 1   cos A cos B C cos 4 cos Vậy S    C C cos A  cos B  cos  cos 2 C cos A  cos B  cos Suy S   4 C  A B 2 Ta xây dựng tốn sau Bài tốn 3.5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S 1   cos A cos B C cos 67  3.6 Dựa vào số bất đẳng thức dạng tổng quát tam giác  Dựa vào toán tổng quát sau : Cho số dương x, y, z n   Chứng minh với tam giác ABC , ta có: x2  y  z  2(1)n1 ( yz cos nA  zx cos nB  xy cos nC ) (1) Nhận xét: Ta có số bất đẳng thức dạng với (1): x2  y  z 2  xy yz zx  (1) n 1 ( x cos nA  y cos nB  z cos nC )      2 z x y (1) n 1  yz cos nA  zx cos nB  xy cos nC   (2) (3) 1 Y Z  1  1 X (1) n 1  cos nA  cos nB  cos nC       Y Z X   YZ XZ XY  (4) Ta thấy: *) (1)  (2) *) với x  1 ta có (3) trở thành (4) ,y  ,z  Y Y Z *) Nhân vế (4) với XYZ ta lại có bất đẳng thức dạng (1) Lời giải Ta có: x  x(1)n ( z cos nB  y cos nC )  y  z  2(1) n yz cos nA   x  (1)n ( z cos nB  y cos nC )   y  z  2(1) n yz cos nA  ( z cos nB  y cos nC ) Ta cần rằng: y  z  2(1)n yz cos nA  ( z cos nB  y cos nC)2  Hay: y  z  2(1)n yz cos nA  z cos2 nB  y cos2 nC  yz cos nB cos nC   y sin nC  z sin nB  yz (1)n cos nA  cos nB cos nC   Nếu n  2k nA  nB  nC  k 2 Vì vậy: cos nA  cos(nB  nC)  cos nB cos nC  sin nB sin nC 68 (5) Khi (5) trở thành: y sin nC 2 sin nB  yz sin nB sin nC   y sin nC  zinnB   Suy điều cần chứng minh Nếu n  2k  nA  nB  nC  (2k ) Vì vậy: cos nA   cos(nB  nC)   cos nB cos nC  sin nB sin nC Khi (5) trở thành: y sin nC  z sin nB  yz sin nB sin nC   y sin nC  z sin nB   điều cần chứng minh dấu đẳng thức xảy khi: x y z   sin nA sin nB sin nC  x, y, z ba cạnh tam giác đồng dạng với ABC Cách khác: Ta có (1)  x2  x(1)n ( z cos nB  y cos nC )  y  z  2(1)n yz cos nA  0,(*) Điều cần chứng minh tương đương với bất phương trình (*) nghiệm với x thuộc  Điều tương đương với    '   z cos nB  y cos nC   y  z   1 yz cos nA  n  y  z   1 yz cos nA  z cos nB  y cos nC  yz cos nB cos nC  n n  y sin nC  z sin nB  yz  1 cos nA  cos nB cos nC   (5)   Chứng minh (5) tương tự cách Áp dụng tốn tổng qt ta xây dựng số toán sau: Bài toán 3.6.1 Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn biểu thức sau: P  3cos A  4cos B  5cos C Bài toán 3.6.2 Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn biểu thức sau: M  cos A  2cos B  cos C 69  Dựa vào toán tổng quát sau: Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: 1 1     x y z x y Tìm giá trị lớn biểu thức P  x sin A  y sin B  z cos C Lời giải: Ta có:  sin A cos C   cos A sin C         0 x y  z x   z sin A  cos A sin C  cos2 C sin A cos C sin C cos A sin A cos C   2 2 2 2 0 2 z x y xz xz yz xy xyz  1 1  x sin A  y sin B  z cos C   2 2 2 x y z    1 sin B sin A cos C   2 2 2 0 x y z xz yz xy Do đó:  xy yz zx  P  x sin A  y sin B  z cos C      2 z x y Dấu đẳng thức xảy khi:  sin A cos C 2  z  x  y  cos C   sin C               y  x  z  x  cos A  sin C  z x  xy    yz    zx  cos C  Hay 2 xyz 70 1 1 1 1 1 Từ (*) ta có:           x y z x y 2  xy    yz    zx   1  2 2 xyz  xy    yz    zx  Khi đó: C  arccos 2 2 xyz  xy    xz    yz  Hồn tồn tương tự ta có: A  arcsin 2 2 x yz Vậy max P =  xy yz zx      2 z x y Từ toán xây dựng nhiều cài toán cực trị khó, cụ thể: Bài tốn 3.6.3 Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn biểu thức sau: a M  3sin A  5sin B  4cos C b P  2cos A  3cos B  4cos C Nhận xét: Từ toán biết kết hợp bất đẳng thức đại số ta xây dựng tốn khó Ví dụ : Cho tam giác nhọn ABC Áp dụng BĐT Cauchy ta có 1    2cos A 3cos B 4cos C 2cos A  3cos B  4cos C Tư ta có tốn sau Bài tốn 3.6.4 Cho tam giác nhọn ABC, tìm giá trị nhỏ biểu thức sau Q 1   2cos A 3cos B 4cos C 71  Dựa vào toán tổng quát: Cho m, n, p dương Chứng minh với tam giác ABC ta có: n p A pm B mn C tan  tan  tan  m n p Lời giải: Ta có: n p A pm B mn C tan  tan  tan m n p A m B  p A m C  p B n C n   tan  tan    tan  tan    tan  tan  n 2 m p 2 n p 2 m Mặt khác thì: n A m B A B tan  tan  tan tan m n 2 p A m C A C tan  tan  tan tan m p 2 p B n C B C tan  tan  tan tan n p 2 Cộng vế với vế bất đẳng thức kết hợp với đẳng thức quen thuộc sau: tan A B B C C B tan  tan tan  tan tan  2 2 2 Ta có điều cần chứng minh Dấu đẳng thức xảy khi: 72 n A tan  m p A tan  m p B tan  n m B tan n m C tan p n C tan p Suy ra: A B C tan  tan  tan 2 m n p A B C tan tan tan   m n p    Đặt m  tan ; n  tan ; p  tan  ,  ,    0,   Khi đó: 2 A B C tan tan      tan tan tan 2 tan Hay: A   B   C   A   B   C   A B C     Từ ta có: A  1 , B  1 , C   1 với: 1     , 1  ,1              Vì vậy: 73 A  1 , B  1 , C   1 Là góc tam giác dấu đẳng thức xảy tam giác ABC đồng dạng với tam giác có ba góc tương ứng 1 , 1 ,  1 Từ đó, thay m  1; n  2; p  ta có tốn cụ thể sau: Bài tốn 3.6.5 Cho tam giác ABC, tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P  tan  A B C  tan  tan 2 2 Dựa vào toán tổng quát : Cho số dương x, y, z Tìm giá trị lớn biểu thức: Ts  x sin A  y sin B  z sin C Trong A, B, C góc tam giác ABC Định lý Giả sử  ,  ,  ba góc tam giác nhọn XYZ cho trước Khi với tam giác ABC , ta có: sin A sin B sin C  1        cos  cos  cos   sin 2 sin 2 sin 2   1  sin 2 sin 2 sin 2   cot 2  cot 2  cot 2        sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2  Chứng minh (Xem [6]) 74 Định lý Cho số dương x, y, z tuỳ ý Khi với tam giác ABC , ta có: 1 1      m  sin 2 sin 2 sin 2   1  sin 2 sin  sin 2     cot 2  cot 2  cot 2     2m 4m  sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin   x sin A  y sin B  z sin C  Trong   arccos 1 ; ,   arccos ,   arccos mx my mz    ,  ,    0;    Và        , m nghiệm phương trình bậc ba m3 x2 y z  m  x z  x y  y z   2xyz  Chứng minh (Xem [6]) Vậy ta ln tìm giá trị lớn x sin A  y sin B  z sin C với x, y, z số dương tuỳ ý Từ ta xây dựng toán cụ thể sau: Bài toán 3.6.6 Cho tam giác ABC tìm giá trị lớn biểu thức P  sin A  2 sin B  sin C 1 Gợi ý Áp dụng tốn tổng qt ta tìm max P  32 75 Khi tam giác ABC có ba góc   5 , , 12  Chú ý: tài liệu [6] chứng minh số kết sau: Kết Giả sử số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: 1   2 x y z Khi với tam giác ABC , ta có: x sin A B C yz xz xy  y sin  z sin    2 2x y 2x Dấu đẳng thức xảy x cos A B C tức tam giác  y cos  z cos 2 A1B1C1 với ba góc: A1  BC AC A B , B1  , C1  2 đồng dạng với tam giác nhọn có độ dài cạnh 1 , , x y z Nói cách khác, tam giác ABC có góc thoả mãn hệ  A  B1  C1  A1   B  A1  C1  B1 C  A  B  C 1  Trong tam giác A1B1C1 đồng dạng với tam giác nhọn có cạnh : 1 , , x y z 76 Kết Cho số dương x, y, z cho 1 , , lập thành cạnh x y z tam giác XYZ cho trước Khi với tam giác ABC , ta có x sin A B C yz xz xy  y sin  z sin    2 2x y 2x Kết Cho số dương x, y, z cho 1   Khi với tam giác x y z ABC  M    , ta có: x sin A B C  y sin  z sin  x  y  z 2 Kết Cho số dương x, y, z tuỳ ý Khi với tam giác ABC , ta có: A B C 1 1   y cos  z cos      2 m  sin 2 sin 2 sin 2   1  sin 2 sin  sin 2     cot 2  cot 2  cot 2     2m 4m  sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin   x cos Trong đó:   arccos 1 ,   arccos ,   arccos mx my mz  ;  ,  ,    0;   2 Và        , m nghiệm phương trình bậc ba m3 x2 y z  m  x z  x y  y z   2xyz  (3.61) Từ bốn kết ta xây dựng số toán cực trị sau Bài tốn 3.6.7 Cho tam giác ABC , tìm giá tri lớn biểu thức sau: Q  sin A B C  2sin  sin 2 77 Bài toán 3.6.8 Cho tam giác ABC , tìm giá tri lớn biểu thức sau: A B C N  sin  sin  sin Bài toán 3.6.9 Cho tam giác ABC , tìm giá tri lớn biểu thức sau: M  5sin A B C  4sin  2sin 2 Bài toán 3.6.10 Cho tam giác ABC , tìm giá tri lớn biểu thức sau: K  2cos A B C  cos  3cos 2 Kết luận: Trong khn khổ luận văn tơi nêu lên số cách xây dựng toán cực trị tam giác, tác giả khẳng định số cách nhiều cánh mà tác giả biết chưa biết Song với với số lượng cách ta xây dựng nhiều toán Cực trị tam giác… 78 KẾT LUẬN Xây dựng toán Cực trị tam giác từ đẳng thức bất đẳng thức nhiều người nghiên cứu sáng tạo Việc tìm khơng đơn giản Trong luận văn tác giả đạt số kết sau: Tác giả tổng hợp kết tam giác Tác giả đưa số phương pháp giải cho toán cực trị tam giác, từ nêu số toán cực trị tam giác Tác giả nêu lên số cách xây dựng số tốn dành cho học sinh phổ thơng liên quan tới toán cực trị tam giác Sáng tạo tốn cho phép ta nhìn nhận đa dạng sâu sắc đẳng thức bất đẳng thức tam giác Một lần nữa, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới hướng dẫn , góp ý tận tình TS Lê Đình Định, thầy giáo giảng dạy khoa Toán - Cơ - Tin học, người giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn 79 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hiến, Bất đẳng thức tam giác, NXB Hải Phòng, 2000 [2] Phan Huy Khải, Toán nâng cao lượng giác 11, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999 [3] Nguyễn Vũ Lương, Một số giảng toán tam giác, NXBĐHQG - Hà Nội, 2006 [4] Nguyễn Vũ Lương, Cực trị toán tam giác, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010 [5] NguyễnVăn Mậu , Bất đẳng thức, NXB Giáo dục Việt Nam, 2006 [6] Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề chọn lọc lượng giác áp dụng, NXB Giáo dục Việt Nam, 2008 [7] Lê Đình Thịnh - Lê Đình Định, Ơn luyện toán sơ cấp ( tập một), NXB Giáo dục Việt Nam,2011 [8] Lê Đình Thịnh - Lê Đình Định, Ơn luyện toán sơ cấp ( tập hai), NXB Giáo dục Việt Nam,2011 [9] G.H.Hardy, J.E.Littlewood, G.Polya (2002), Bất đẳng thức, NXB Đạihọc Quốc Gia, HàNội 80 ... tìm cực trị tam giác Phần 3: Sử dụng đạo hàm để giải tốn tìm cực trị tam giác Phần 4: Dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị tam giác Phần 5: Nêu số toán cực trị tam giác Chƣơng Cách xây dựng toán. .. đẳng thức bất đẳng thức tam giác, hệ thống số phương pháp việc giải toán cực trị tam giác, nêu số toán cực trị tam giác Đồng thời đưa số cách xây dựng toán cực trị tam giác Trong q trình hồn thành... [1]) 18 Chƣơng Các toán cực trị tam giác 2.1 Một số phƣơng pháp giải toán cực trị tam giác Nhận xét: Tuy số lượng toán bất đẳng thức toán cực trị tam giác tương đối nhiều khó, nắm cách giải vận