Luyện tập toán 12

Phân tích: Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số thì ta đi tìm nghiệm của phương trình y '  0 hoặc giá trị làm cho phương trình y '  0 không xác định, từ đó tìm được c[r]

1

CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 10

I Tính đơn điệu hàm số 10

II Cực trị hàm số giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 49

III Đường tiệm cận 152

IV Các dạng đồ thị hàm số thường gặp 181

V Sự tương giao hai đồ thị hàm số 205

VI Tổng ôn tập chủ đề 222

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 240

I Lũy thừa – Hàm số lũy thừa 240

II Logarit – Hàm số logarit 243

III Hàm số mũ 244

IV Ứng dụng hàm số mũ, hàm số logarit thực tế 246

V Phương trình mũ phương trình logarit 272

VI Các tốn biến đổi logarit 292

VII Tổng ơn tập chủ đ 323

CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 333

I Nguyên hàm tính chất 333

II Hai phương pháp để tìm ngun hàm 334

III Các dạng tốn nguyên hàm 338

IV Bổ sung số vấn đề nguyên hàm 344

V Khái niệm tính chất tích phân 358

VI Hai phương pháp tính tích phân 360

VII Ứng dụng hình học tích phân 363

VIII Một số tốn tích phân gốc thường gặp 369

IX Ứng dụng nguyên hàm, tích phân thực tế 396

LOVEBOOK.VN|2

II Các phép toán với số phức 417

III Tổng ôn tập chủ đề 452

CHỦ ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ KHỐI ĐA DIỆN QUEN THUỘC 457

I Khái niệm hình đa diện khối đa diện 457

II Khối đa diện lồi khối đa diện 460

III Thể tích khối đa diện 461

IV Tổng ơn tập chủ đề 501

CHỦ ĐỀ MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN 507

I Mặt cầu, khối cầu 507

II Mặt nón, hình nón, khối nón 541

III Mặt trụ, hình trụ, khối nón 547

IV Tổng ôn tập chủ đề 564

CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 571

I Hệ tọa độ không gian 571

II Phương trình mặt phẳng 573

III Phương trình đường thẳng 581

IV Mặt cầu 626

LOVEBOOK.VN|6 Hàm số ứng dụng đạo hàm

I Tính đơn điệu hàm số A Lý thuyết

1 Hàm số đồng biến nghịch biến K (với K khoảng (đoạn), nửa khoảng) gọi chung hàm số đơn điệu K

2 Tính đơn điệu hàm số dấu đạo hàm Định lý

Cho hàm số y f x  có đạo hàm K

a Nếu f ' x 0 với x thuộc K hàm số f x  đồng biến K b Nếu f ' x 0 với x thuộc K hàm số f x  nghịch biến K Tóm lại, K:

   

'

f x   f x đồng biến

   

'

f x   f x nghịch biến Định lý mở rộng

1 Giả sử hàm số f x  có đạo hàm khoảng K

a Nếu f ' x 0 với xK f ' x 0 số hữu hạn điểm

K hàm số đồng biến K.

b Nếu f ' x 0 với xK f ' x 0 số hữu hạn điểm

K hàm số nghịch biến K

c Nếu f ' x 0 với xK hàm số khơng đổi K

2 Giả sử hàm số f x  liên tục nửa khoảng a b;  có đạo hàm khoảng  a b;

a Nếu f ' x 0 (hoặc f ' x 0) với x a b; hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) nửa khoảng a b; 

b Nếu f ' x 0 với x a b; hàm số khơng đổi nửa khoảng a b; 

- Nếu hàm số đồng biến K đồ thị hàm số lên từ trái sang phải

- Nếu hàm số nghịch biến K đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải (hình 1.1)

Ví dụ: Hàm số có đồ thị hình 1.1 nghịch biến khoảng ;a, không đổi khoảng  a b; đồng biến khoảng b;

Vấn đề cần nắm:

I Tính đơn điệu hàm số II Cực trị hàm số III GTLN, GTNN hàm số ứng dụng IV Đường tiệm cận

V Các dạng đồ thị VI Tương giao

Chú ý

Nếu f ' x   0, x K  

7

Ta nói hàm số có đồ thị hình 1.1 nghịch biến ;a  

f x  với x  ;a dấu xảy xa (tức hữu hạn nghiệm)

Lí giải:

Ở phần cách xác định tính đơn điệu hàm số đạo hàm phải có điều kiện dấu xảy hữu hạn nghiệm bởi: Nếu vô hạn nghiệm, xảy tồn khoảng hàm số khơng cịn tính đơn điệu nữa, mà hàm khơng đổi khoảng Ví dụ hàm số có đồ thị hình 1.1

 a b; hàm số hàm

3 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số a Tìm tập xác định

b Tính đạo hàm f ' x Tìm điểm x ii 1, 2,3, n làm cho đạo hàm không xác định

c Sắp xếp điểm tìm theo thứ tự tăng dần xét dấu đạo hàm khoảng x xi; i1

d Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số

Bài toán khơng chứa tham số

Ví dụ 1: Hàm số y xx2 nghịch biến khoảng: A. 1;1

2

 

 

  B.

1 0;

2

 

 

  C. ;0 D. 1; Đáp án A

Phân tích: Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số ta tìm nghiệm phương trình y'0 giá trị làm cho phương trình y'0 khơng xác định, từ tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số

Lời giải

Cách 1: Điều kiện: x 0;1

Ta có  2

2

2

' ' ; '

2

x

y x x y

x x  

   

  

1 0;1

x  Ta có

2

2 1

' 0

2

x

y x

x x  

     

 hàm số nghịch biến

;1

 

 

 

Hình 1.2 đồ thị hàm số y xx2 , ta thấy làm xác định

Cách 2: Nhận thấy điều kiện x 0;1 , loại C D STUDY TIP

Với hàm sơ cấp, để xét dấu đạo hàm khoảng x xn; n1 vừa tìm hay khơng, ta cần xét dấu đạo hàm tại một điểm khoảng

STUDY TIP Ở ta chọn STEP

20

b a

STEP 

  

 

  với

 a b; khoảng cần xét 0.1 khoảng nhỏ, ta cần xét tính đồng biến, nghịch biến khoảng 0;1

2

     

và 1;1      

LOVEBOOK.VN|8 Ở B A, đầu mút khoảng cách 0,5, ta chọn STEP sử dụng TABLE máy tính

Giải thích:

Lệnh TABLE máy tính dùng để tính giá trị hàm số vài điểm Ta sử dụng chức tính giá trị hai hàm số f x  g x  Bởi vậy, sử dụng TABLE việc xác định hàm số đồng biến hay nghịch biến khoảng dễ dàng, ta cần xét xem giá trị hàm số tăng hay giảm x chạy khoảng thơi

Thao tác:

1 Ấn , nhập hàm số cần tính giá trị START? Nhập x đâu

3 END? Nhập x kết thúc đâu

4 STEP? Bước nhảy giá trị, tính từ điểm đầu mút Áp dụng vào toán ta được:

Ấn , nhập f x  X X2 ấn START? Nhập

END? Nhập

STEP? Nhập

Sau nhập máy hình bên:

Nhận thấy từ x chạy từ đến 0,5

 giá trị hàm số tăng, tức hàm số đồng biến 0;1

2

 

 

  Còn với x chạy từ

2 đến giá trị hàm số giảm, tức

hàm số nghịch biến 1;1

 

 

  Chọn A

Xét toán tổng quát sau:

Xét biến thiên hàm số yax4bx2c a, 0

Lời giải TXĐ: D

Ta có y'4ax32bx

 

2

' 2

2

x

y x ax b

ax b  

     

 



+) TH1: b

a  Sử dụng máy tính

9 Từ toán tổng quát

bên, ta đưa kết luận sau biến thiên hàm số

 

4

,

yax bx c a

* Trường hợp b0

a - Với a0 hàm số đồng biến

; b a        

 

; b a        

 ; nghịch

biến ; b a           

và 0; b a         

- Với a0 hàm số nghịch biến

; b a        

 

; b a        

 ; đồng

biến ; b a           

và 0; b a         

* Trường hợp b0

a - Với a0 hàm số nghịch biến ;0 đồng biến

0;

- Với a0 hàm số đồng biến ;0 nghịch biến

0;

* Với b

a  a0 (hay a0;b0)

2 2 b x a ax b b x a              

Lúc ta có bảng xét dấu:

x 

2

b a

 

2 b a     '

f x  +  +

Từ bảng xét dấu ta có hàm số yax4bx2c a, 0 nghịch biến

; b a       

  0;

b a

 



 

  ; hàm số đồng biến ;0

b a

 

 

 

 

; b a        

* Với b

a  a0 (hay a0;b0)

2 2 b x a ax b b x a              

Lúc ta có bảng xét dấu:

x 

2

b a

 

2 b a     '

f x +  + 

Từ bảng xét dấu ta có hàm số yax4bx2c a, 0 nghịch biến

;0 b a      

  ;

b a

 

 

 

 ; hàm số đồng biến ;

b a

 

  

 

 

0; b a        +) TH2: b

a  phương trình

2ax  b 0: +) vô nghiệm b

a 

+) có nghiệm x0 b

a  +) Với a0 ta có bảng xét dấu:

LOVEBOOK.VN|10 STUDY TIP

Với hàm số bậc bốn trùng phương có dạng

 

4

0

yax bx c a * Nếu b

a thì:

1 Với a0 đồ thị hàm số có dạng chữ W

2 Với a0 đồ thị hàm số có dạng chữ M, (chỉ mẹo nhớ đồ thị)

* Nếu b

a thì:

1 Với a0 đồ thị hàm số có dạng Parabol quay bề lõm lên

2 Với a0 đồ thị hàm số có dạng Parabol quay bề lõm xuống

x  

 

'

f x  +

Từ bảng xét dấu ta có hàm số yax4bx2c a, 0 nghịch biến

;0; hàm số đồng biến 0;.

+) Với a0 ta có bảng xét dấu:

x  

 

'

f x + 

Từ bảng xét dấu ta có hàm số yax4bx2c a, 0 nghịch biến

0;; hàm số đồng biến ;0

Ví dụ 2: Cho hàm số 2

y x  x  Chọn khẳng định A. Hàm số đồng biến khoảng 2;0 2; B. Hàm số đồng biến khoảng  ; 2  0; C. Hàm số nghịch biến khoảng  ; 2 2; D. Hàm số nghịch biến khoảng 2;0 2; Đáp án A

Phân tích

Hướng tư 1: Ta thấy hàm số 2

4

y x  x  có: - Hệ số 0;

4

b a

a

     nên áp dụng kết tốn tổng qt phía ta có hàm số 2

4

y x  x  đồng biến 2;0 2;; nghịch biến  ; 2  0;

Hướng tư 2: Xét phương trình ' 0

2

x

y x x

x  

     

 

 Như giới thiệu cách nhớ dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số

4

a  nên ta xác định nhanh hàm số đồng biến 2;0 2;, hàm số nghịch biến  ; 2  0;

Hướng tư 3: Sử dụng lệnh TABLE.

11

Do ta xác định hàm số đồng biến 2;0 2; Hàm số nghịch biến  ; 2  0;

Ví dụ 3: Cho hàm số 3

x y

x  

 Khẳng định sau khẳng định đúng? A. Hàm số đồng biến

B. Hàm số đồng biến khoảng  ; 3  3;  C. Hàm số nghịch biến khoảng  ; 3  3;  D. Hàm số nghịch biến

Đáp án B.

Tập xác định D \ 3

Ta có  

 2  2

3.1

'

3

y

x x

 

  

  với xD Vậy hàm số đồng biến khoảng xác định Tức hàm số đồng biến khoảng  ; 3

 3; 

Lưu ý: Ta nói: “Hàm số đồng biến khoảng  ; 3  3; ” Mà khơng thể nói “Hàm số đồng biến     ; 3  3; ” “Hàm số đồng biến tập xác định.”

Ví dụ 4: Cho hàm số yx23x Mệnh đề sau đúng? A. Hàm số cho đồng biến khoảng ;0

B. Hàm số cho đồng biến khoảng 2; C. Hàm số cho đồng biến khoảng  0; D. Hàm số cho đồng biến khoảng ;3 Đáp án C

Lời giải

Ta có ' 0

2

x

y x x

x  

     





Nhận thấy hàm số bậc ba, có hệ số a  1 nên hàm số đồng biến  0;

Nhận xét: Việc nhớ dạng đồ thị giúp ta làm nhanh tốn đơn điệu mà khơng cần vẽ bảng biến thiên

STUDY TIP Với hàm số dạng

ax b y

cx d

 

 ;

adbc0;c0 ;

 2

' ad bc

y

cx d

 

 , đặt

ad bc

  thì:

a Với 0 hàm số đồng biến khoảng xác định b Với 0 hàm số nghịch biến khoảng xác định

STUDY TIP Các mệnh đề nói hàm số đồng biến hay nghịch biến tập số không liên tục, bị gián đoạn mệnh đề sai

STUDY TIP Với hàm số bậc ba có dạng

3

yax bx  cx d

LOVEBOOK.VN|12 Ví dụ 5: Trong hàm số sau hàm đồng biến ?

A. yx4x21 B.

x y

x  

 C. yx21 D. yx3x

Đây trích đoạn phần nhỏ cơng phá tốn ( chƣơng trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ dạng có tất cơng phá + Thầy cô cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193

Đáp án D

Lời giải Ta loại phương án A, B, C do:

Hàm số bậc bốn trùng phương ln có khoảng đồng biến nghịch biến Tương tự hàm bậc hai có đồ thị dạng parabol nên ln có khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến

Còn phương án B: Hàm phân thức bậc bậc gián đoạn x 3, hàm số đồng biến Mà đơn điệu khoảng xác định

Qua toán ta rút kết sau:

Kết 1: Hàm số bậc bốn trùng phương ln có điểm cực trị x0, hàm số bậc bốn trùng phương ln có khoảng đồng biến, nghịch biến

Kết 2: Hàm bậc hai ln có điểm cực đại điểm cực tiểu, nhớ nôm na đồ thị hàm bậc hai parabol, hàm bậc hai đơn điệu

Kết 3: Hàm phân thức bậc bậc đơn điệu hàm số bị gián đoạn giá trị làm cho mẫu số không xác định, ta nói hàm số đơn điệu khoảng xác định khơng nói đơn điệu tập xác định đơn điệu

Kết 4: Để hàm số bậc ba có dạng yax3bx2cxd a0 đơn điệu phương trình

'

y   ax  bx c (có  ' b23ac) vơ nghiệm có nghiệm nhất, tức   ' b23ac0 (trong công thức a, b, c hệ số hàm bậc ba ban đầu) Lúc dấu hệ số a định tính đơn điệu hàm số

13

Ví dụ 6: Khẳng định sau khẳng định sai hàm số 1

x y

x  

 ? A. Hàm số đồng biến 1;

B. Hàm số đồng biến C. Hàm số khơng có cực trị

D. Hàm số đồng biến  ; 1 Đáp án B

Lời giải Từ kết ta chọn ln B

Ví dụ 7: Hỏi hàm số y x24x3đồng biến khoảng nào?

A. 2; B. ;3 C. ;1 D. 3; Đáp án D

Lời giải Tập xác định: D   ;1 3;

Ta có

2

2

'

2 4

x x

y

x x x x

 

 

   

'

y   x , kết hợp với điều kiện xác định hàm số đồng biến 3; Ví dụ 8: Cho hàm số yx33x2 Mệnh đề đúng?

A. Hàm số đồng biến khoảng ;0 nghịch biến khoảng 0;

B. Hàm số nghịch biến khoảng  ;  C. Hàm số đồng biến khoảng  ; 

D. Hàm số nghịch biến khoảng ;0 đồng biến khoảng 0;

Đáp án C

Lời giải

Cách 1: Lời giải thơng thường

Ta có y'3x2 3 3x2   1 0, x Suy hàm số y x33x2 đồng biến  ; 

Cách 2:

STUDY TIP Với hàm số bậc ba có dạng

3

yax bx  cx d

a0 Nếu phương trình 'y 0 vơ nghiệm thì:

LOVEBOOK.VN|14 Ta thấy phương trình y'0 vơ nghiệm a 1 nên hàm số cho đồng biến  ; 

Ví dụ 9: Hàm số đồng biến khoảng  ; ?

A.

3

x y

x  

 B.

3

yx x C.

x y

x  

 D.

3

y  x x Đáp án B

Lời giải - Hàm số dạng y ax b, x d

cx d c

  

    

   đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) khoảng ; d

c   

 

  ;

d c  

 

 

Ta loại hai đáp án A C - Với phương án B:

15

Câu 1: Cho hàm số

ln

x y

x

 Trong khẳng định đây, khẳng định đúng?

A. Hàm số đồng biến 0;

B. Hàm số nghịch biến  0;e đồng biến e;

C. Hàm số nghịch biến  0;1 đồng biến 1;

D. Hàm số nghịch biến  0;1  1;e ; đồng biến e;

Câu 2: Cho hàm số y x lnx1 Khẳng định đúng?

A. Hàm số có tập xác định \ 1 B. Hàm số đồng biến  1;  C. Hàm số đồng biến ;0 D. Hàm số nghịch biến 1;0

Câu 3: Hỏi hàm số yx33x24 nghịch biến khoảng nào?

A. 2;0 B.  ; 2 C. 0; D.

Câu 4: Cho hàm số

x y

x   

 Khẳng định đúng?

A. Hàm số đồng biến (từng) khoảng ;1 1;

B. Hàm số nghịch biến (từng) khoảng ;1 1;

C. Hàm số nghịch biến D. Hàm số nghịch biến với x1

Câu 5: Hàm số y  x3 3x29x đồng biến khoảng sau đây?

A. 2;3 B.  2; 1

C. D. 1;3

Câu 6: Cho hàm số y  x3 6x210 Chọn khẳng định khẳng định sau

A. Hàm số cho đồng biến khoảng ;0

B. Hàm số cho đồng biến khoảng  ; 4

C. Hàm số cho đồng biến khoảng 0;

D. Hàm số cho đồng biến khoảng 4;0

Câu 7: Cho hàm số y x42x21 Khẳng định sau đúng?

A. Hàm số cho đồng biến khoảng  ; 1 khoảng  0;1

B. Hàm số cho nghịch biến khoảng 0;

C. Hàm số cho nghịch biến khoảng  ; 1 khoảng  0;1

D. Hàm số cho nghịch biến khoảng 1;0

Câu 8: Hàm số f x  có đạo hàm   2 

'

f x x x Phát biểu sau đúng? A. Hàm số đồng biến khoảng  2;  B. Hàm số nghịch biến khoảng  ; 2 0;

C. Hàm số đồng biến khoảng  ; 2 0;

D. Hàm số nghịch biến khoảng 2;0 Câu 9: Hàm số y2x41 đồng biến khoảng nào?

LOVEBOOK.VN|16 A. ;

2   

 

  B. 0;

C. 1;  

 

  D. ;0

Câu 10: Biết hàm số

 

4

0

yax bx c a đồng biến 0;, khẳng định sau đúng?

A. a0;b0 B. ab0 C. ab0 D. a0;b0 Câu 11: Hàm số 2

4

y  x  x  nghịch biến khoảng sau đây:

A. ;0 B. 2;0 C.  2;  D. 0;

Câu 12: Hàm số sau đồng biến tập xác định nó:

A. yx3 x B. 1

x y

x  



C. yx32x3 D. yx42x23 Câu 13: Hỏi hàm số y 2xx2 đồng biến khoảng nào??

A. ; 2 B.  0;1 C.  1; D. 1;

Câu 14: Cho hàm số ysinxcosx 3x Tìm khẳng định khẳng định sau:

A. Hàm số nghịch biến ;0 B. Hàm số nghịch biến  1; C. Hàm số hàm lẻ

D. Hàm số đồng biến  ; 

Câu 15: Hàm số yx42x27 nghịch biến khoảng nào?

A.  0;1 B. 0; C. 1;0 D. ;0

Câu 16: Hỏi hàm số y x24x3 nghịch biến khoảng nào?

A. 2; B. 3; C. ;1 D. ; 2

Câu 17: Xét tính đơn điệu hàm số

3

yx  x

A. Hàm số cho nghịch biến khoảng 1;1, đồng biến khoảng  ; 1 1;

B. Hàm số cho đồng biến khoảng 1;1, nghịch biến khoảng  ; 1 1;

C. Hàm số cho đồng biến  ;  D. Hàm số cho nghịch biến khoảng  0;3 , đồng biến khoảng ;0 3;

Câu 18: Hàm số ln 2

y x

x

  

 đồng biến khoảng nào?

A. ;1 B. 1; C. 1;1

2

 

 

  D.

1 ;  

 

 

Câu 19: Hàm số y2x2x4 nghịch biến khoảng nào? Tìm đáp án

A. 1;0 ; 1;   B.  ; ; 0;1   C. 1;0 D. 1;1

Câu 20: Hàm số

2

2

1

x y

x  

 nghịch biến khoảng khoảng đây?

A.  ; 1 1;3

 

 

  B.

3 ;  

 

 

C. 1;3

 

 

17

Câu 21: Cho hàm số yx33x21 Mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A. Hàm số đồng biến khoảng  0; B. Hàm số nghịch biến khoảng ;0 C. Hàm số nghịch biến khoảng  0; D. Hàm số nghịch biến khoảng 2; Câu 22: Cho hàm số f x  xác định có đồ thị hàm số y f ' x đường cong hình bên Mệnh đề đúng?

A. Hàm số f x  đồng biến khoảng  1; B. Hàm số f x  nghịch biến khoảng  0;

C. Hàm số f x  đồng biến khoảng 2;1 D. Hàm số f x  nghịch biến khoảng 1;1

Câu 23: Hàm số 22

y x 

 nghịch biến khoảng đây?

A. 0; B. 1;1 C.  ;  D. ;0

Câu 24: Hàm số đồng biến khoảng  ; ?

A.

3

x y

x  

 B.

3 yx x

C.

2

x y

x  

 D.

3

y  x x

Câu 25: Cho hàm số yx33x2 Mệnh đề đúng?

A. Hàm số nghịch biến khoảng  0; B. Hàm số nghịch biến khoảng 2; C. Hàm số đồng biến khoảng  0; D. Hàm số nghịch biến khoảng ;0 Câu 26: Cho hàm số y f x  có đạo hàm

 

'

f x x  ,  x Mệnh đề đúng?

A. Hàm số nghịch biến khoảng 1; B. Hàm số nghịch biến khoảng 1;1 C. Hàm số nghịch biến khoảng ;0 D. Hàm số đồng biến khoảng  ;  Câu 27: Cho hàm số y x42x2 Mệnh đề đúng?

LOVEBOOK.VN|18 Bài tốn chứa tham số

Bài tốn: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến tập xác định, khoảng xác định

Kiến thức cần nắm

Cho hàm số y f x m , , với m tham số, xác định khoảng K a Hàm số đồng biến K  y'  0, x K y'0 xảy hữu hạn điểm

b Hàm số nghịch biến K y'  0, x K y'0 xảy hữu hạn điểm

Chú ý:

Để xét dấu y' ta thường sử dụng phương pháp hàm số hay định lý dấu tam thức bậc hai sau:

Cho tam thức bậc hai g x ax2bxc a, 0 a Nếu  0 g x  dấu với a

b Nếu  0 g x  ln dấu với hệ số a (trừ

2

b x

a   )

c Nếu  0 phương trình g x 0 ln có hai nghiệm phân biệt, dấu g x  khoảng hai nghiệm khác dấu với hệ số a, ngồi khoảng hai nghiệm dấu với hệ số a

Các kiến thức cần sử dụng tam thức bậc hai giải toán dạng

1 So sánh nghiệm x x1; 2 tam giác bậc hai dạng f x ax2bxc,

0

a với số

Điều kiện để x1x2 0 Điều kiện để 0 x1 x2 Điều kiện để x1 0 x2 1 2

1

0

0

x x x x   

 



   

1 2

1

0

0

x x x x   

 



   

x x1 2 0

2 So sánh nghiệm x x1; 2 tam giác bậc hai dạng

   

,

f x ax bxc a với  ; hai số thực

1 Muốn có x1  x2 ta phải có a f   0

19

2 Muốn có x2  x1  ta phải có  

1 a f x x             

3 Muốn có x1x2  ta phải có  

1 a f x x             

4 Muốn có x1    x2 ta phải có     a f a f        

5 Muốn có x1  x2  ta phải có     a f a f        

6 Muốn có

1 x x x x            

 ta phải có

    a f a f        

7 Muốn có  x1 x2 ta phải có

    a f a f x x                  

Ví dụ minh họa

Tìm m để hàm số y f x m ;  đơn điệu D Trong D

;, ;,  ; , ,…

Phương pháp chung

Bước 1: Tìm tập xác định hàm số (lưu ý hàm số phải xác định D.)

Bước 2: Điều kiện để y f x m ;  đơn điệu D Chẳng hạn

Hàm số y f x m ;  đồng biến D f 'x m, 0 với xD Dấu xảy hữu hạn điểm

Hàm số y f x m ;  nghịch biến D f 'x m, 0 với xD Dấu xảy hữu hạn điểm

Cách 1: Cô lập m

Bước 3: Độc lập m khỏi biến số đặt vế lại g x  ta STUDY TIP

LOVEBOOK.VN|20  

 

, ,

m g x x D m g x x D

   

 

  



Đây trích đoạn phần nhỏ cơng phá tốn ( chƣơng trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ dạng có tất công phá + Thầy cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193

Bước 4: Khảo sát tính đơn điệu hàm số g x  D

Bước 5: Dựa vào bảng biến thiên kết luận

+ Khi  , max  

D

mg x    x D m g x

+ Khi  ,  

D

mg x    x D m g x

Cách 2: Sử dụng định lý xét dấu tam thức bậc hai hàm số bậc ba có biểu thức đạo hàm tam thức bậc hai (áp dụng bảng phía trên)

* Với hàm số bậc ba dạng f x ax3bx2cxd a, 0thì + Hàm số đồng biến / 2

'

3

f

a

b ac 



    



+ Hàm số nghịch biến / 2 '

0

3

f

a

b ac 



    



Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số:

   

3

1

1 1

3

y x  m x  m x đồng biến A. m 1 m 2 B.    2 m

C.    2 m D. m 1 m 2 Đáp án C

Lời giải Tập xác định: D

Xét hàm số  1  1

y x  m x  m x có

   

2

' 1

y x  m x m STUDY TIP

Khi xét hàm số bậc ba: Nếu y'0 vơ nghiệm có nghiệm kép: hàm số đồng biến a0 nghịch biến a0 Nếu y'0 có nghiệm: hàm số có khoảng đồng biến khoảng nghịch biến

0

21

Do hệ số

a  nên để hàm số cho đồng biến tập xác định phương trình y'0 vơ nghiệm có nghiệm kép

  2 

' m m 1 m m

                 

Ví dụ 2: Trong tất giá trị tham số m để hàm số

3

1

y x mx mxm đồng biến , giá trị nhỏ m là:

A.4 B.1 C. D.

Đáp án B

Phân tích: Tiếp tục hàm số bậc ba, ta xét y'0 với x , dấu xảy hữu hạn điểm để tìm giá trị nhỏ m

Lời giải Tập xác định: D

Ta có y'x22mxm Do hệ số

3

a  nên để hàm số cho ln đồng biến  /y'

0

m m m

       Vậy giá trị nhỏ m thỏa mãn m 1

Hình 1.6 đồ thị hàm số cho m 1 (thỏa mãn, suy luận đúng)

Ví dụ 3: Cho hàm số y  x3 mx24m9x5 với m tham số Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng  ; ?

A. B. C. D.

Đây trích đoạn phần nhỏ công phá tốn ( chƣơng trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ dạng có tất cơng phá + Thầy cô cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193

Đáp án A

Lời giải

Đạo hàm

'

y   x  mx m Để hàm số nghịch biến  ; 

 

2

' 0, 0, '

y    x x  mx m      x m   m 

12 27

m m m

LOVEBOOK.VN|22  9; 8; 7; 6; 5; 4; 3

m       

Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn u cầu tốn

Ví dụ 4: Cho hàm số y x x2 x a Tìm a để hàm số ln nghịch biến

A.

a B.

4

a C.

4

a D. a Đáp án A

Lời giải Cách 1: Để hàm số xác định với

0,

x x     x a x

0

4

a a

       

Với

a Tính đạo hàm:

2

2

'

x y

x x a   

 

Hàm số cho nghịch biến  y'  0, x Dấu xảy hữu hạn điểm

Ta có

2

2

' 1

2

x x

y

x x a x x a

 

     

   

Lúc này:

2

1

2

2 2

1

4

x x

x x x a

a a

 

  

 

     

   

 

Kết hợp với điều kiện để hàm số xác định với số thực x ta thấy khơng có giá trị a thỏa mãn

Cách 2: Với x0 ' 1 0,

y a

a

    

Vậy khơng có giá trị a để y'  0, x Kết

Sau toán ta thấy, với tốn hàm phức, phân phức đề yêu cầu tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu , khoảng I đó, ta cần tìm điều kiện để hàm số xác định trên khoảng I

STUDY TIP Ở trước tiên, để hàm số ln nghịch biến

hàm số phải xác định Do ta phải tìm điều kiện để thức ln xác định với số thực x

23

Ví dụ 5: Tất giá trị m để hàm số y  x3 3x23mx1 nghịch biến 0;

A. m 1 B. m 1 C. m     ; 1 1;  D. m1 Đáp án B

Lời giải Để hàm số cho nghịch biến 0;

 

' 0,

y h x x x m x

        

   

2

2 , 0;

m x x g x x

      

Xét hàm số g x  x22x 0; ta có g x' 2x   2 x Ta có Bảng biến thiên:

x  

 

'

g x  +

  g x

0 

1

Do    

0;   

, 0;

m g x x m g x



        Vậy m 1 thỏa mãn u cầu

Bài tốn ví dụ tốn ta hồn tồn lập m giải quyết BBT cách nhanh gọn Sau tốn tìm m để hàm số đơn điệu khoảng cho trước mà ta không cô lập m

Ví dụ 6: Tất giá trị tham số m để hàm số

   

3

2 1

y x  m x  m m x đồng biến khoảng 2; A. m  ;1 B. m 1;  C. m \ 1  D. m1 Đáp án A

Lời giải

Hàm số y2x33 2 m1x26m m 1x1 đồng biến khoảng 2;

 

2

' 6 6 0,

y x m x m m x

        

Ta có  y' phương trình y'0 có hai nghiệm

1

x m x m

 

  



Ta có bảng xét dấu y'

x  m m1 

'

y + − +

STUDY TIP Ở toán ví dụ hàm số y'h x 

có tham số m lập nên ta hồn tồn áp dụng cách lập m để tìm điều kiện m nhanh việc sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai

STUDY TIP Ở ta kết luận

1

m 

1

m m

1

m nằm khoảng 2; lúc khoảng có nhiều khoảng đơn điệu, điều trái với yêu cầu toán

Chú ý

LOVEBOOK.VN|24 Nhìn vào bảng xét dấu ta thấy để 'y   0, x m   1 m

Ví dụ 7: Điều kiện tham số m để hàm số f x 2x33x26mx1 nghịch biến  0;

A. m 6 B. m 6 C.

m D.

4

m   

Đây trích đoạn phần nhỏ cơng phá tốn ( chƣơng trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ dạng có tất cơng phá + Thầy cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193

Đáp án A

Lời giải Tập xác định: D

Ta có    

' 6 6

f x  x  x m x  x m

Xét phương trình

0

x   x m có   1 4m * Với

4

m ta có  0 nên f ' x   0, x hàm số ln đồng biến (khơng thỏa mãn)

* Với

4

m ta có  0 nên phương trình f ' x 0 có hai nghiệm phân biệt

1;

x x (x1x2) Ta có bảng biến thiên hàm số f x 

x  x1 x2 

 

'

f x + − +

  f x

Từ bảng biến thiên ta thấy điều kiện cần đủ để hàm số nghịch biến  0;

1 2

x   x  

 

1 ' 0

6

1 '

f m

m m

f



  



        

 (áp dụng bảng phần lý

thuyết so sánh nghiệm)

Ví dụ 8: Tất giá trị m để hàm số f x x33mx23 2 m1x đồng biến  2;3

STUDY TIP Với toán này, ta ý có trường hợp Nhiều độc giả quên không xét trường hợp m

25

A. B. C.

2

m D. 3;

m m Đáp án C

Lời giải Tập xác định: D

Ta có '  6 3; ' 

x

f x x mx m f x

x m

 

      

 



* Nếu m1 f ' x   0, x Vậy hàm số đồng biến Do hàm số đồng biến  2;3

* Nếu m1 ta có bảng biến thiên hàm số f x 

x  2m1 

 

'

f x + − +

  f x

Để hàm số đồng biến  2;3 1

2 2

m

m m



   

  



* Nếu m1 ta có bảng biến thiên f x 

x  2m1 

 

'

f x + − +

  f x

Dễ thấy hàm số hiển nhiên đồng biến  2;3 Kết hợp ba trường hợp ta có

2

m thỏa mãn u cầu đề Ví dụ 9: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số

A. m0 B.

2

m C.

2

m D.

2

m Đáp án C

Lời giải Cách 1: Do hàm số tsinx đồng biến 0;

2

    

  nên đặt sinxt t;  0;1

Khi ta có hàm số   2

2 ; ' 6

y f t  t  t mt y  t  t m STUDY TIP

LOVEBOOK.VN|26 Để hàm số cho đồng biến 0;

2

    

  hàm số y f t  phải đồng biến  0;1  phương trình y'0 vơ nghiệm, có nghiệm kép (1); có hai nghiệm t1t2 thỏa mãn

1

1

0 1

t t t t

   

   

 (2)

Trường hợp (1): phương trình ' 0y  vơ nghiệm có nghiệm kép

3 '

2

m m

       

Trường hợp (2): Thỏa mãn

  

1

1

1

1

3 '

0

0 6

1 0

'

2

1

1

1 6

2

1

m m t t

t t

m

t t

m t t

       



   



 



    

 



  

   

 

   

 



     

 

  



 

  

(loại)

Cách 2: Ở có hai trường hợp: vơ nghiệm, có nghiệm kép; hai

 0;1 nằm khoảng hai nghiệm

Nhận thấy phương án B, C, D có số

2 nên ta xét

2 trước Do phương án C

có dấu  vậy, ta xét dấu trước, dấu thỏa mãn ta loại ln B D

Với

2

m

2

2 1

' 6

2 2

y  t   t t    t

  (phương trình y'0 có

nghiệm kép, thỏa mãn) Đến ta loại ln B D

Hình 1.4 đồ thị hàm số y f t 

m

Tiếp theo ta cần xét đến A Ta thử 3;

m  



Với m1 ' 6 3

y  t     t t  , nhận xét 3 3

6

 

  

(không thỏa mãn) Vậy loại A, chọn C

27

1 Nếu  0 y' dấu với hệ số a (mà a0) nên hàm số đồng biến

2 Nếu  0 phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt t t1; 2 Khi đó,

trong khoảng hai nghiệm y' khác dấu với a ngồi khoảng hai nghiệm

'

y dấu với a Nên để y'  0, t  0;1  0;1 phải nằm ngồi khoảng hai nghiệm

Nhận xét:

Ở đầu lời giải cách 1, tơi có rõ “Do hàm số ysinx đồng biến

0;

    

  nên đặt sinxt t;  0;1 ” đặt hàm hợp, ta cần lưu ý điều kiện

của hàm hợp Ở toán thay sinx cosx, lúc này, đặt cosxt tiếp tục giải kết đạt

2

m hoàn toàn sai Thật vậy: Với m2 lúc hàm số y2cos3x3cos2x2cosx nghịch biến 0;

2

      

Tiếp theo để hiểu rõ vấn đề này, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ: Tìm tất giá trị m để hàm số yx4 2 m x 2 4 2m nghịch biến 1; 0

A. m4 B. m4 C. m2 D. m2

Đây trích đoạn phần nhỏ cơng phá tốn ( chƣơng trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ dạng có tất cơng phá + Thầy cô cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193

Lời giải sai

Nếu làm theo toán trên, ta đặt tx2, x  1;0 nên t 0;1 Khi để thỏa mãn yêu cầu đề    

2

y f t   t m t  m phải nghịch biến  0;1

Ta có y' f ' t   2t m

Hàm số f t  nghịch biến  0;1  f ' t   0, t  0;1

 

2 2, 0;1

m t t m

LOVEBOOK.VN|28

Nhận xét: Đây kết sai Thật thử m2;m1; thỏa mãn yêu cầu đề

Lời giải Đáp án C

Cách 1: Ta đặt tx2, x  1;0 nên t 0;1

Khi để thỏa mãn yêu cầu đề    

2

y f t   t m t  m phải đồng biến  0;1

Ta có y' f ' t   2t m

Hàm số f t  đồng biến  0;1  f ' t   0, t  0;1

 

2 2, 0;1

m t t m

      

Cách 2: Xét hàm số yx4 2 m x 2 4 2m có

   

3

' 2 2

y  x  m x x x  m

Để hàm số cho nghịch biến 1; 0 y'   0, x  1;0 Ta có 2x   0, x  1;0, nên để thỏa mãn điều kiện

   

2x  2 m    0, x 1;0     2 m m Như vậy, ta rút nhận xét sau:

Xét hàm số f x g u x   I (với I khoảng (đoạn), nửa khoảng) Đặt

 

u x t; tK (với K khoảng (đoạn), nửa khoảng tính chặt chẽ theo điều kiện x)

1 Nếu u x  hàm số đồng biến I hàm số thu sau đặt ẩn phụ hàm g t  tính đơn điệu K với hàm số ban đầu

2 Nếu u x  hàm số nghịch biến I tuhowngf hàm số thu sau đặt ẩn phụ hàm g t  ngược tính đơn điệu K với hàm số ban đầu

Thường trường hợp ta không đặt ẩn mà giải toán cách đạo hàm trực tiếp

Ví dụ 10: Điều kiện cần đủ m để hàm số

1

mx y

x

 

 đồng biến

khoảng xác định

29

Lời giải Ta có

 2

5 '

1

m y

x

 

 để hàm số cho ln đồng biến khoảng xác định

5

m   m

Hàm số dạng y ax b;ad bc 0;c 0

cx d



   

 có đạo hàm '  2

ad bc

y

cx d

 



đơn điệu khoảng xác định (chứ tập xác định)

Hàm số đồng biến khoảng xác định adbc0, nghịch biến khoảng xác định adbc0

Ví dụ 11: Cho hàm số y mx 2m

x m

  

 (1) (m tham số) Tìm m để hàm số (1)

đồng biến khoảng xác định

A.   3 m B.   3 m C.

m m

    

 D.

1

1

m m

    

  



Đáp án D

Phân tích: Một tốn hàm phân thức bậc bậc có tham số mẫu Nếu tốn hỏi “Tìm m để hàm số (1) nghịch biến (hoặc đồng biến) khoảng  a b, định tốn lại phải thêm điều kiện, nhiên, ta giải đơn giản sau:

Lời giải Điều kiện: x m

Ta có

 

2

2

2

' m m

y

x m

  

 Để hàm số cho đồng biến khoảng xác định

thì 2

1

m

m m

m

        

  

 (đến ta loại ln A, B, C)

Ví dụ 12: Tìm m để hàm số y x 2m

x m

  

 đồng biến 1; 2

A.

3

m B. m1 C. 2

3

m

   D.

3 m Đáp án B

Lời giải Tập xác định: D \m

Để hàm số cho đồng biến 1; 2 y'0 với x  1; 2 STUDY TIP

Hàm số đơn điệu khoảng phải xác định khoảng trước Do cần có điều kiện cho

 1; 2 m

LOVEBOOK.VN|30

 

 

2

2

1

1 1;

2

2

m m

m m

m m

m m

m

m



  

 

  

  

      

  

  

    

   

Chú ý:

Phải có điều kiện m nằm khoảng 1; 2 m nằm khoảng

1; 2 hàm số bị gián đoạn 1; 2 Tức đồng biến

1; 2 Đây phần mà muốn nhấn mạnh với q độc giả Bởi khơng có điều kiện đó, chọn thành A sai

Ví dụ 13: Cho hàm số y mx 2m x m

  

 , m tham số Tìm tất giá trị m

sao cho hàm số nghịch biến khoảng 2;

A. m    ; 3 1; 2 B. m     ; 3 1;  C. m   ; 3 D. m 1; 

Đây trích đoạn phần nhỏ cơng phá tốn ( chƣơng trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ dạng có tất công phá + Thầy cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193

Đáp án A

Lời giải

Từ STUDY TIP ta có hàm số đơn điệu khoảng phải xác định khoảng trước, ví dụ này, ta phải có điều kiện để

2;  m 

Tập xác định: D \ m

Ta có

 

2

2

' m m

y

x m

   

 Hàm số

mx 2m 3 y

x m

  

 nghịch biến 2; khi:

 

2

'

3

2;

2

m

y m m m

m

m m m

m

  

       

     

        

  

  



Phân tích sai lầm: Ở nhiều độc giả không xét điều kiện để hàm số xác định 2; nên chọn B sai

STUDY TIP Trong toán hệ số bậc cao tam thức 3x26x m

31

Ví dụ 14: Giá trị m để hàm số yx33x2mx m nghịch biến đoạn có độ dài

A. m2 B. m4 C. m 1 D. m0 Đáp án D

Lời giải

Để hàm số cho nghịch biến đoạn có độ dài

2

'

y x x m

     có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 cho x1x2 2

 2  2

1 2

3

'

0

4

4 4

3

m m

m m

x x x x x x

 

   

 

  

    

 

    

  

  

Ví dụ 15: Tìm tham số m để hàm số 2 10

y x  x mx nghịch biến đoạn có độ dài

A. m2 B. m 4 C. 15

m  D. 15

m Đáp án C

Lời giải

Để hàm số cho nghịch biến đoạn có độ dài

2

'

y x x m

     có hai nghiệm phân biệt x x1; cho x1x2 1

 

2

1 2

4

' 15

15

4

1

4

m m

m m

x x x x x x

  

   

 

  

     

 

     

  

 

STUDY TIP Hàm số bậc ba đơn điệu (nghịch biến a0

hoặc đồng biến

0

a ) khoảng có độ dài d phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt

1;

x x thỏa mãn

 2

1

LOVEBOOK.VN|32 Câu 1: Tìm tất giá trị thực tham số m

cho hàm số 22 x x e m y e m   

 đồng biến khoảng

1 ln ;

4

 

 

 

A. m  1; 2 B. 1; 2

m  

 

C. m 1; D. 1; 1; 2 2

m  

 

Câu 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y x

x m

 

 đồng biến khoảng xác định

A. m 3 B. m 3 C. m3 D. m 3

Câu 3: Cho hàm số  1 m x y x m    

  Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đồng biến khoảng 17;37 

A.    4 m B.

2 m m m            C. m m     

 D.   1 m

Câu 4: Xác định giá trị tham số m để hàm số yx33mx2m nghịch biến khoảng

 0;1 ? A.

2

m B.

2

m C. m0 D. m0

Câu 5: Để hàm số yx33mx x2 đồng biến thì:

A. m0 B. m0 C. m0 D. m0

Câu 6: Cho hàm số  

3

3

y  x mx  m x

Tìm tất giá trị tham số m để hàm số nghịch biến khoảng  ; 

A. m m     

 B. m2

C.    2 m D.   1 m Câu 7: Cho hàm số y m 1x

x m

  

 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đồng biến khoảng xác định

A.   2 m B. m m      

C.   2 m D. m m      

Câu 8: Cho hàm số

3

yx  x mx Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng ;0

A. m1 B. m3 C. m 3 D. m3

Câu 9: Với giá trị tham số m hàm số sin cos 2017

y x x mx đồng biến A. m2017 B. m0

C.

2017

m D.

2017

m 

Câu 10: Tìm tất giá trị m để hàm số

2sin sin x y x m  

 đồng biến khoảng 0;2       

A. m 1 B. m1 C. m0 D. m 1

Câu 11: Tìm tất giá trị thực tham số m

để hàm số sin

sin x m y x m  

 nghịch biến  2;

 

 

 :

A. m0 m1 B. m0 C. 0 m D. m1

33

Câu 12: Tìm giá trị tham số m để hàm số

   

3

1

1 10

3

y  x  m x  m x đồng biến khoảng  0;3 ?

A. 12

7

m B. 12

7

m

C. m D.

12

m

Câu 13: Tìm tất giá trị m để hàm số

 

3

1

ymx mx m m x đồng biến A.

3

m B.

3

m m0

C. m0

m D.

3

m

Câu 14: Giá trị m để hàm số

     

1 3

y m x  m x  m x m nghịch biến

A. m1 B. m1 C. m 1 D. m1

Câu 15: Tìm tất giá trị tham số m để

hàm số    

1

3

y x  m x  m x đồng biến 1;

A. m2 B. m2 C. m1 D. m1

Câu 16: Tìm tất giá trị m để hàm số

2 2017 mx

y x   x đồng biến A. 2 2 m 2 B. m2 C. 2 2m D. 2 2 m 2 Câu 17: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số yx3m1x23x1 đồng biến khoảng từ  ; 

A. 4; 2 B.   ; 4 2; C.   ; 4 2; D. 4; 2

Câu 18: Tìm m để hàm số

 

3

2

y  x x  m x tăng đoạn có độ dài

A. 11

3

m  B.

3

m

C.

3

m D. 14

3

m

Câu 19: Tất giá trị m để

   

: 3

m

C yx  mx  m x nghịch biến đoạn có độ dài lớn

A. m  1; 2

B. 21 1;

2

m   

 

C. 1; 21

2

m   

 

D. ;1 21 21;

2

m        

   

Câu 20: Tất giá trị m để hàm số

4 mx y x m  

 nghịch biến khoảng ;1

A. m   2; 1 B. m  2; 2 C. m   2; 1 D. m   2; 1 Câu 21: Cho hàm số 3

3

m

y x mx  x (m tham số thực) Tìm giá trị nhỏ m để hàm số đồng biến

A. m1 B. m0 C. m 2 D. m3

Câu 22: Tìm tập hợp giá trị tham số thực m

để hàm số ymsinx7x5m3 đồng biến

A.   7 m B. m 1 C. m 7 D. m7 Câu 23: Hàm số:

   

3

1

1

3

LOVEBOOK.VN|34 A. m 2 B.   2 m

C. m2 D.   2 m

Câu 24: Tìm giá trị m cho hàm số

1

x y

x m

 

 nghịch biến khoảng 2;

A.   2 m B. m 2 C. m2 D. m 2

Câu 25: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số ymxm1 x 2 nghịch biến D2;

A. m0 B. m 1 C. m 1 D.   2 m Câu 26: Tìm m để hàm số

3

mx y

x m

 

  nghịch

biến khoảng xác định A. 1 m B.1 m

C. m2 m1 D. m2 m1 Câu 27: Cho hàm số

4

mx y

x m

 

  Tất giá

trị m để hàm số nghịch biến khoảng xác định là:

A. m3 B. m1 C. 1 m D. 1 m

Câu 28: Tìm tất giá trị m để hàm số

 

3

1

ymx mx m m x đồng biến A.

3

m B.

3

m m0

C. m0

3

m D.

3

m

Câu 29: Tìm tất giá trị tham số thực m

để hàm số 3

x x

y

m

 

 

 nghịch biến 1;1

A.

3

m B.

3 m

C.

m D. m3

Câu 30: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số   2sin2

1 cos

m x

y f x

x



 

 nghịch biến

khoảng 0;

      

A. m1 B. m0 C.

2

35

Đây trích đoạn phần nhỏ cơng phá tốn ( chƣơng trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ dạng có tất cả cơng phá + Thầy cần file word thì liên hệ với qua Zalo 0988 166 193

Hướng dẫn giải chi tiết Dạng 1: Bài tập không chứa tham số

Câu 1: Đáp án D.

Cách 1: Cách tư duy.

Tập xác định: D0;  \ Ta có:

 

/

2

ln '

ln ln

x x

y

x x

  

  

 

' ln

y   x  x e;

'

y không xác định x1

+ y'  0 x e; nên hàm số đồng biến

e;

+ y'  0 x  0;1 nên hàm số nghịch biến

 0;1

+ y'  0 x  1;e ynên hàm số nghịch biến

 1;e

Cách 2: Sử dụng máy tính casio:

Nhận thấy phương án có khoảng sau:

0;;  0;1 ;  0;e ;  1;e ; e;

Lúc ta sử dụng lệnh MODE TABLE để xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số:

Nhập vào máy  

ln

x F x

x

 :

Ấn lần = máy Start ? Ta chọn x0, ấn = End ? Ta nhập SHIFT (chính chọn end

e) Do ta cho chạy từ đến e ta cần xét

tính đồng biến nghịch biến 0;;  0;1 ;

 0;e ;  1;e

Ấn = máy Step ? Nhập 0,2 máy sau:

Từ ta nhận thấy giá trị hàm số giảm cho

x chạy từ đến Vậy hàm số nghịch biến

 0;1 ; từ ta loại A B Tiếp theo kéo xuống máy hiện:

Lúc ta thấy giá trị hàm số tiếp tục giảm cho x chạy từ đến e Do hàm số nghịch biến  1;e , từ ta loại C, chọn D

Câu 2: Đáp án D.

Tập xác định: D   1;  ⇒ loại A, C

  /

' ln

1

x

y x x

x

     

' 0

LOVEBOOK.VN|36

' 0

y    x hàm số đồng biến 0;

'

y     x

⇒ hàm số nghịch biến 1;0

Cách 2: Sử dụng máy tính casio lệnh TABLE MODE tương tự

Câu 3: Đáp án A. Tập xác định: D

 3 2 / 2

'

y  x  x   x  x

0 '

2

x y

x

      



Ta có hệ số a 1 nên đồ thị hàm số có dạng N, tức hàm số nghịch biến 2;0

Câu 4: Đáp án B.

Tập xác định: D \ 1  Ta có adbc    1

Suy hàm số nghịch biến khoảng

;1 1; Câu 5: Đáp án D. Tập xác định: D

 3 2 / 2

' 9

y   x x  x   x  x

3 '

1

x y

x

      



Ta thấy hàm số có hệ số a  1 nên hàm số đồng biến 1;3

Câu 6: Đáp án D. Tập xác định: D

 3 2 / 2

' 10 12

y   x x    x  x

0 '

4

x y

x

      



Do hệ số a  1 nên hàm số đồng biến

4;0

Câu 7: Đáp án C. Tập xác định: D

 4 2 / 3

' 4

y  x  x   x  x

1 '

0

x y

x

      



Do hệ số a 1 nên đồ thị hàm số có dạng W từ suy hàm số nghịch biến  ; 1

 0;1 ; hàm số đồng biến 1;0 1; Câu 8: Đáp án A.

Vì f ' x x2x2    0 x  2;  nên hàm số đồng biến  2; 

Câu 9: Đáp án B.

Cách suy luận 1:

Tập xác định: D

 4 / 3

'

y  x   x

' 0

y   x

Vì y'  0 x 0; nên hàm số đồng biến

0;

Cách suy luận 2:

Đồ thị hàm số có dạng Parabol có đỉnh I 0;1 hệ số a 2 nên đồ thị hàm số Parabol có bề lõm hướng lên, tức hàm số đồng biến 0; Câu 10: Đáp án D.

Ở phần sau ta học đồ thị hàm số bậc trùng phương, phần dạng đồ thị ta có sơ đồ dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương Từ ta rút nhận xét:

Do hàm số đồng biến 0; nên đồ thị hàm số khơng thể có ba điểm cực trị, đồ thị hàm số có dạng parabol quay bề lõm lên có đỉnh

 0;

I c

Áp dụng sơ đồ vừa giới thiệu sau để thỏa mãn điều kiện 0

0

a a

ab b

 

 

   

 

37

Từ việc xem xét sơ đồ tơi giới thiệu câu 10 ta

có:  2

ab    

 

1

a   nên đồ thị hàm số parabol quay bề lõm hướng xuống, tức hàm số nghịch biến 0;

Câu 12: Đáp án C.

Phương án A Tập xác định: D

 3 / 2

'

y  x  x  x 

'

3

y    x

⇒ Hàm số không đồng biến tập xác định

Phương án B Loại hàm số nghịch biến khoảng ;1 1;

Phương án C Tập xác định: D

2

'

y  x    x D

⇒ Hàm số đồng biến tập xác định Câu 13: Đáp án B.

Tập xác định: D 0;

2

2

'

2 2

x x

y

x x x x

  

 

 

'

y   x

Vì y'  0 x  0;1 nên hàm số đồng biến

 0;1

Câu 14: Đáp án D.

 /

' sin cos

y  x x x

cos sin 2.sin

4

x x x 

      

 

 

2 sin

4 x                 

Vậy hàm số đồng biến  ;  Câu 15: Đáp án A.

Tập xác định: D

3

0

' 4

1

x

y x x x

x             

Hệ số a 1 nên đồ thị hàm số có dạng W, từ suy hàm số nghịch biến  ; 1

 0;1

Câu 16: Đáp án C.

Tập xác định: D \ 1;3 

2

2

'

2 4

x x

y

x x x x

 

 

   

'

y   x (khơng thuộc D)

Vì y'   0 x  ;1 nên hàm số nghịch biến

;1

Câu 17: Đáp án A. Tập xác định: D

2

' 3

y  x 

'

y    x

Mặt khác hệ số a 1 nên đồ thị hàm số có dạng N, tức hàm số cho đồng biến  ; 1

1; nghịch biến 1;1 Câu 18: Đáp án B.

Tập xác định: D   2; 

  2 2

1

'

2 2 2

x y

x x x



  

  

Vì y'   0 x 1;  nên hàm số đồng biến

1;

Câu 19: Đáp án A. Tập xác định: D

 

3

' 4

y   x  x  x x 

LOVEBOOK.VN|38 Mặt khác hệ số a  1 0, suy đồ thị hàm số có

dạng chữ M, tức hàm số nghịch biến 1;0

1;

Câu 20: Đáp án D.

Với toán mà ta khó tính đạo hàm, ta nên dùng TABLE để giải toán

Nhập MODE :TABLE Nhập sau:

Tiếp theo ấn lần dấu = Start? ấn 3 =

End? ấn = Step? 0.5 = Máy hiện:

Từ ta thấy hàm số nghịch biến  ; 1 Câu 21: Đáp án C.

Ta thấy hàm số có

'

2

x

y x x

x

      

 

Mặt khác hệ số a 1 nên đồ thị hàm số có dạng chữ N, tức hàm số nghịch biến  0;

Câu 22: Đáp án B.

Đây toán dễ mắc sai lầm, đồ thị hình vẽ

Nhận thấy  ; 2  0; f ' x 0 nên hàm số y f x  nghịch biến  ; 2

 0;

Phân tích sai lầm: Nhiều học sinh tưởng đồ thị hàm số y f x  chọn D

Câu 23: Đáp án A.

Đạo hàm  

   

/

2

2

2 4

'

1

x x

y

x x



   

 

Ta có y'  0, x 0; y'   0, x  ;0 Nên hàm số nghịch biến khoảng 0; đồng biến khoảng ;0

Câu 24: Đáp án B.

- Hàm số dạng y ax b, x d

cx d c

  

    

   đơn điệu

(đồng biến, nghịch biến) khoảng

; d

c

  

 

  ;

d c

 

 

  Ta loại hai đáp án

A C

- Với phương án B: Ta có y'3x2   1 0, x

nên hàm số đồng biến Câu 25: Đáp án A.

Ta có '  ; ' 0

x

y x x x x y

x

 

      

 

39

vày'   0, x  ;0  2; nên hàm số đồng biến khoảng ;0 2;

Câu 26: Đáp án D.

Ở toán này, nhiều bạn khơng nhìn kĩ đề lại xét hàm số  

1

f x x  sai Vì đề cho f ' x

chứ khơng phải f x 

Ta có f ' x x2   1 0, x nên hàm số đồng biến Từ ta loại A; B; C Chọn D Câu 27: Đáp án C.

Hàm số cho xác định

3

0

' 4 , '

1

x

y x x y x

x

       

   

Bảng biến thiên:

x  1 

'

y  +  +

y

Dựa vào BBT, hàm số cho nghịch biến khoảng  ; 1 nên nghịch biến khoảng

 ; 2

LOVEBOOK.VN|40 Dạng 2: Bài toán chứa tham số

Câu 1: Đáp án D. Đặt ex t t 0 Vì ln ; 01

4

x 

 

2

1

1

; ;1

4

1

2

m

t t m m

m                            2 2 2 ; '

t m m m

y y

t m t m

    

 

 

Hàm số đồng biến khoảng ln1;

 

 

 

Khi y'0 hay m2      m m

Vậy 1

2 m

   1 m Câu 2: Đáp án A.

Điều kiện: xm

 2

3 ' m y x m    

Hàm số đồng biến khoảng xác định

3

m m

       Câu 3: Đáp án B.

Đặt x 1 t

Vì x17;37 ⇒ t 4;6    m  6; 4

m 1t

y t m       2

' m m

y

t m

  



Hàm số đồng biến 2 m m m m          

Kết hợp điều kiện ta có

2 m m m           

Câu 4: Đáp án A.

2

; '

D y  x  mx

0 ' x y x m      

 , mặt khác hàm số có hệ số

1

a  nên đồ thị hàm số có dạng chữ N, suy hàm số nghịch biến 0; 2m

Vậy để hàm số nghịch biến khoảng  0;1

1

2

m  m Câu 5: Đáp án B.

D

Để hàm số cho đồng biến

2

3

b  ac

 

2 2

0 3.1 3m 9m m

       

Câu 6: Đáp án C.

Để hàm số nghịch biến  ; 

 

2

3

3

b  ac m    m 

 

2

3 2

m m m

         Câu 7: Đáp án A.

Để hàm số cho đồng biến khoảng xác

định    

1 2

m m    m   m

2 m

    Câu 8: Đáp án C.

2

'

y  x  x m

Phương trình y'0 có  ' b23ac

 

2

3 3.1 m 3m

    

Trường hợp 1: đồ thị hàm số có hai điểm cực trị,

0

x phải điểm cực đai, lúc này:

 

' 0

y   m (không thỏa mãn)

41

Ta có ' sin 2017

y  x  m

  Để hàm số

đã cho đồng biến y'0 với x Dấu xảy hữu hạn điểm

sin 2017

4

x  m

 

    

  với x Điều

xảy 2017 1

2017

m m

    

Câu 10: Đáp án C. Đặt sinxt

Vì 0;  0;1

2

x   t

 

Hàm số trở thành y 2t

t m

 

 Để thỏa mãn yêu cầu

để hàm số y 2t

t m

 

 phải đồng biến  0;1

 

1

2

0

0;1

1

m

ad bc m

m m m m                      

Vì m 0;1 nên m0 Câu 11: Đáp án B.

Cách 1: Đạo hàm trực tiếp

Ta có

   

 

/

2

cos sin cos sin sin

'

sin sin

x x m x x m

x m

y

x m x m

            

 2

2 cos sin m x x m  

 , để hàm số nghịch biến  2;

     

thì

 

2 cos 0;1 m x m      

Do ;

2

x 

  cosx  1;0, để hàm

số cho nghịch biến ;

 

 

 

 

2 0 m m m m             

Cách 2: Đặt ẩn

Đặt sinxt,

Vì ;

2

x 

  nên t 0;1

Ta thấy hàm số ysinx nghịch biến ;

       

do để thỏa mãn yêu cầu đề hàm số

  t m

y f t

t m



 

 phải đồng biến  0;1

Tức   0 0 0;1 m

ad bc m m

m m m m                      

Cách 3: Sử dụng TABLE

Ta thấy với m0 không thỏa mãn, hàm nên ta loại A

Vậy ta thử m1; Start

 ; End  Step

10 

ta được:

Vậy với m1 khơng thỏa mãn Do ta loại C, D Từ ta chọn B

Câu 12: Đáp án A.

Cách 1: Giải tốn thơng thường

LOVEBOOK.VN|42 Hàm số cho đồng biến  0;3

 

' 0, 0;3

y x

   

Vì hàm số y x'  liên tục x0;x3 nên

   

' 0, 0;3 ' 0, 0;3

y   x y   x (mục đích để lập tham số m)

  2 , 0;3 x x m x x       

(Do 2x   1 0, x  0;3 nên chia hai vế không làm đổi dấu bất phương trình)

 0;3  

max x

m g x



  với  

2 x x g x x     Mặt khác ta tìm

 0;3    

12

max

7

x g x g  Vậy 12

7

m

Cách 2: Thử giá trị

Lúc ta thử giá trị m nằm khoảng

7 12 ; 12

 

 

  xác định kết quả, ta chọn

1

m hàm số trở thành 10

y  x  x

Có '

2 x y x x            

Do hệ số

a   nên hàm số đồng biến

2; 2 không thỏa mãn đề Vậy loại B, C, D, chọn A

Câu 13: Đáp án D.

Với m0 hàm số trở thành y2 hàm hằng, loại Từ ta loại A, C

Với m0:

Đến ta khơng cần thử mà chọn ln D, hàm số đồng biến hệ số a0 phương trình y'0 có nghiệm kép vơ nghiệm, nhiên với phương án B,

3

m m âm, tức hệ số a âm khơng thể đồng biến

Vậy ta chọn D

Chú ý: Với toán việc hiểu chất suy luận nhanh nhiều so với việc bấm máy thử phương án

Câu 14: Đáp án A.

Ta có y'3m1x26m1x3 2 m3 * m 1 y'     3 0, x hàm số nghịch biến

* m1 , hàm số nghịch biến

  2  

1

1

m

m m m

             1 m m m       

 Vậy m1

Câu 15: Đáp án D. Ta có

    

2

' 2 3

y x  m x m  x x m 

với x 1; 

Do x1 nên x 1 , nên x2m3 phải

0

 với x1

2 2

x m   m   m Câu 16: Đáp án A.

Hàm số

2 2017 mx

y x   x đồng biến

2 2

2

3 .2

2

m m

b ac  

         

 

2 m 2

    Câu 17: Đáp án A.

Hàm số đồng biến khi:

 

2

' 0, 3

y    x x  m x    x

 2   

1

m m m

        

4 m

    Câu 18: Đáp án D.

Hàm số cho tăng đoạn có độ dài

 

2

' 2

y x x m

43       2

1 2

'

4 4

m

x x x x x x

                   5 3 14 2 4 3 m m m m                        

Vậy 14

m thỏa mãn yêu cầu Câu 19: Đáp án D.

Hàm số cho nghịch biến đoạn có độ dài nhỏ

hơn  

3x 6mx m

     có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 thỏa mãn x1x2 4

   

 

2

1 2

'

4 16

m m

x x x x

                2

9 9

2 16

m m m m             2 5

1 2

4 4 16 1 21

2 21 m m m m m m m m                                      21 21 m m           

Câu 20: Đáp án C.

Hàm số cho xác định D \ m

Ta có   2 ' m y x m   

Để hàm số cho nghịch biến khoảng

;1

 

   

2

' 0, ;1 2

1 ;1

;1

y x m m

m m m                             

2 m

     Câu 21: Đáp án B.

Ta có: 3 1; ' 2

3

m

y x mx  x y mx  mx

+ Nếu m0 'y  3 thỏa mãn + Nếu m0 thì:

0 ' 0,

'

m y     x  

 

 Điều chứng tỏ

0

m trường hợp

Vậy số nhỏ để hàm đồng biến m0 Câu 22: Đáp án A.

Ta có: ymsinx7x5m 3 y'mcosx7 Hàm số đồng biến y' 0 m7

Câu 23: Đáp án B.

   

3

1

1

3

y x  m x  m x

 

2

' 2

y x m x m

      

 2

' 0, '

y      x m  m  ;

2

4 2

m m

       Câu 24: Đáp án A.

 2

1

'

x m

y y

x m x m

 

  

 

Hàm số nghịch biến 2; khi:

2; 

2 1 m m m            

Câu 25: Đáp án B.

   

1 '

2

y mx m x y m m

x

        



2

' 0; lim ' 1

x

y x  y m m



LOVEBOOK.VN|44 Câu 26: Đáp án A.

Ta có: adbcm m.   3 m23m2

Để hàm số

3 mx y x m  

  nghịch biến

khoảng xác định

2

3 2

m  m    m Câu 27: Đáp án C.

Ta có adbcm m.   4 m24m3

Để hàm số đồng biến khoảng xác định

0

adbc   m Câu 28: Đáp án D.

TH1: m  0 y hàm nên loại m0

TH2: m0 Ta có: y'3mx23mx m m  1 Hàm số đồng biến

 

2

'

3

3

3 0

m m m m

m m m                 

Câu 29: Đáp án C. Cách 1: Xét hàm số … Đặt t3x nên 1;3

3

t 

  hàm số cho trở

thành:

 2

3

; '

t m

y y

t m t m

  

 

 

Do hàm t3x nghịch biến 1;1 Để hàm số 3

3 x x y m    

 nghịch biến 1;1 t y t m  

 phải đồng biến

1 ;3      

Nên m3 1;3

m 

 

1

m

  Cách 2:CASIO

MODE

3 X : 3  X ,

y     START 1, END 1, STEP 0,1

Nhìn bảng giá trị thấy hàm số tăng nên m4 sai, loại D

    ' X : X

y      , START 1, END 1, STEP 0,1

Nhìn bảng giá trị thấy hàm số có tăng có giảm nên

2

m sai, loại B

 

3 : 3

X X

y      

  , START 1, END 1,

STEP 0,1

Nhìn bảng giá trị thấy hàm số có giảm nên

3

m

đúng, nhận C

Câu 30: Đáp án C.

Ta có   2sin2 2sin2

1 cos sin

m x m x

y f x

x x

 

  

 

Đặt tsinx, 0;

x 

  nên

1 0;

2

t 

  Khi

hàm số có dạng:   22

2 m t g t t   

Đạo hàm  

 

2 2

2

' t mt g t t    

 Hàm số f x  nghịch biến 0;

6

    

  hàm số g t  nghịch

biến 0;1

   

   

1

' 0, 0;

2

g t t  

    

 

Xét hàm số f x g u x   I (với I khoảng (đoạn), nửa khoảng) Đặt

  ;

u x t tK (với K khoảng (đoạn), nửa khoảng tính chặt chẽ theo điều kiện x)

1 Nếu u x  hàm số đồng biến I hàm số thu sau đặt ẩn phụ hàm g t  tính đơn điệu K với hàm số ban đầu

45

2

2 0, 0;

2

t mt t  

         

2

, 0;

m t t

t

       

  (*)

Xét hàm số h t  t t

  0;1

     

Có '  22 0, 0;1

h t t

t

         

Khi (*)

Đây trích đoạn phần rất nhỏ cơng phá tốn ( chƣơng trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ các dạng có tất công phá + Thầy cần file word thì liên hệ với qua Zalo 0988 166 193

LOVEBOOK.VN|46

II Cực trị hàm số giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

A Lý thuyết cực trị hàm số

Ở phần I.1 ta vừa học cách sử dụng đạo hàm để tìm khoảng đơn điệu hàm số Ở phần ta xác định điểm nằm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số, ngược lại Những điểm gọi điểm cực trị đồ thị hàm số Điểm cực trị bao gồm điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số Đồ thị hàm số hình 1.7 có điểm cực đại điểm phía bên trái điểm cực tiểu phía bên phải (điểm đánh dấu)

1 Định nghĩa

Cho hàm số y f x  xác định liên tục khoảng  a b; (có thể a ; b ) điểm x0 a b;

a, Nếu tồn số h0 cho f x  f x 0 với xx0h x; 0h

0

x x ta nói hàm số f x  đạt cực đại x0

b, Nếu tồn số h0 cho f x  f x 0 với xx0h x; 0h

0

x x ta nói hàm số f x  đạt cực tiểu x0

Với hàm liên tục hàm số đạt cực trị điểm làm cho 'y 0 'y không xác định thể hình 1.8

Nếu hàm số đạt cực đại cực tiểu xc xc điểm làm cho y' y' không xác định

2 Chú ý

1 Nếu hàm số f x  đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f x 0 gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí hiệu fCD fCT , cịn điểm M x 0;f x 0  gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số

2 Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số

3 Dễ dàng chứng minh rằng, hàm số y f x  có đạo hàm khoảng

 a b; đạt cực đại cực tiểu x0 f ' x0 0 STUDY TIP

Điểm cực trị hàm số xc; điểm cực

trị đồ thị hàm số điểm có tọa độ

 

 ; 

M c f c

Chú ý

Trong trắc nghiệm thường có câu hỏi đưa để đánh lừa thí sinh phải phân biệt điểm cực

47

3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Ta thừa nhận định lí sau

Định lý 1

Giả sử hàm số y f x  liên tục khoảng K x0h x; 0h có đạo hàm K K\ x0 , với h0

a Nếu f ' x 0 khoảng x0h x; 0 f ' x 0 khoảng

x x0; 0h x0 điểm cực đại hàm số f x 

b Nếu f ' x 0 khoảng x0h x; 0 f ' x 0 khoảng

x x0; 0h x0 điểm cực tiểu hàm số f x 

Hình 1.9 mơ tả điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

4 Quy tắc để tìm cực trị Quy tắc 1

1 Tìm tập xác định

2 Tính f ' x  Tìm điểm f ' x khơng xác định Lập bảng biến thiên

4 Từ bảng biến thiên suy cực trị Quy tắc 2

1 Tìm tập xác định STUDY TIP

Ở định lý ta hiểu sau:

 Khi f ' x đổi dấu từ dương sang âm qua

xc xc gọi điểm cực đại hàm số

 Khi f ' x đổi dấu từ âm sang dương qua

xc xc gọi điểm cực tiểu hàm số

STUDY TIP Nếu xc điểm cực trị hàm yf x 

 

LOVEBOOK.VN|48 Tính f ' x Giải phương trình f ' x 0 kí hiệu x ii 1, 2,3, ,n nghiệm

3 Tính f '' x f ''  xi , i1; 2;3; n

4 Dựa vào dấu f '' xi suy tính chất cực trị điểm xi Nếu f '' xi 0 xi điểm cực tiểu

Nếu f '' xi 0 xi điểm cực đại

B Các dạng toán liên quan đến cực trị

Xác định điểm cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số, tìm giá trị cực trị hàm số

Phương pháp chung

Sử dụng hai quy tắc quy tắc phần lý thuyết

Ví dụ 1: Điểm cực trị hàm số  

3

3

f x  x x  x

A. x 1;x3 B. 22; 10

3

x  x C. x 1;x5 D. x4;x3 Đáp án A

Lời giải Cách 1: Xét hàm số   3

3

f x  x x  x

Có TXĐ: D Ta có '  2 3; '

x

f x x x y

x

       

  

Bảng biến thiên

x  −1 

 

'

f x  +

 

f x 10

3



 22

3



Từ BBT ta thấy hàm số có điểm cực đại x 1 điểm cực tiểu x3 Cách 2: Sử dụng MTCT.

Ta sử dụng chức tính đạo hàm điểm máy tính Ấn máy hình bên

49

Nhập hàm số 3

3X X  X 3 giá trị X  1 (Ta thử phương

án)

Tại x 1 y'0 suy x 1 điểm cực trị hàm số

Tương tự ta giữ nguyên hình thay x 1 thành x3 kết tương tự Từ ta chọn A

Ví dụ 2: Điểm cực trị hàm số f x x33x23x5 A. x 1;x 3 B. x1;x 3

C. x0;x1 D. hàm số khơng có điểm cực trị Đáp án D

Lời giải

TXĐ: D Ta có y'3x12    0, x hàm số đồng biến Ta có BBT:

x  

 

'

f x +

  f x

Từ BBT suy hàm số khơng có cực trị

Từ ví dụ ví dụ ta nhận thấy với hàm số bậc ba có dạng

   

,

    

f x ax bx cx d a tìm cực trị hàm số ta nên giải cách (xét phương trình y'0 thay sử dụng máy tính phương trình

'0

y phương trình bậc hai giải nhanh chóng việc bấm máy thử trường hợp, tham khảo STUDY TIP bên cạnh để suy luận nhanh toán này

Ví dụ 3: Xét hai hàm số f x   x4 2x21 hàm số  

4

g x   x x  Chọn mệnh đề mệnh đề sau:

A. Hàm số f x  có hai điểm cực đại A 1; B1; 2

B. Hàm số f x  có điểm cực tiểu x0 hàm số g x  có giá trị cực đại

4

y

C. Hàm số f x  có hai điểm cực tiểu điểm cực đại, hàm số g x  có điểm cực đại

D. Hàm số f x  hàm số g x  có điểm cực tiểu x0 Đáp án B

Chú ý

Trong STUDY TIP trang 35 có ý

 

'

y c  xc

chưa điểm cực trị hàm số, ta cần thử xem y'

có đổi dấu qua xc

hay không

STUDY TIP Xét hàm số bậc ba

 

f x ax bx  cx d

với a0 có

2

'

y b ac   

LOVEBOOK.VN|50

Đây trích đoạn phần nhỏ cơng phá tốn ( chƣơng trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ dạng có tất cơng phá + Thầy cô cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193

Lời giải

Từ toán xét biến thiên tổng quát hàm số bậc bốn trùng phương mà giới thiệu trang 21 trang 22 trước ta có:

Hàm số f x   x4 2x21 có b

a    nên phương trình f ' x 0 có ba

nghiệm phân biệt

0

1

1

x

b x

a b x

a

    

     

 

   



Kết hợp với STUDY TIP trang 22 ta có f x  có hệ số a  1 ta có nhanh bảng biến thiên

* Từ ta loại C hàm số f x  có hai điểm cực đại điểm cực tiểu * Ta loại A hàm số f x  có hai điểm cực đại x 1 x1 Còn A1; 2 B 1; hai điểm cực đại của đồ thị hàm số, hàm số

(xem lại ý (phần mở đầu chủ đề cực trị hàm số) phân biệt khái niệm)

* Để loại hai phương án B D lại ta tiếp tục xét hàm số g x 

TXĐ: D Ta có y'  x3 ; 'x y   0 x Bảng biến thiên:

x  

 

'

f x + −

  f x

5

 

Từ BBT ta loại D x0 điểm cực đại hàm số g x  Vậy ta chọn B Đối với hàm bậc bốn trùng phương dạng y = ax4 + bx2 + c (a≠ 0)

STUDY TIP Đối với hàm bậc bốn trùng phương có dạng

4

yax bx c,

a0 nếu:

0

ab hàm số có điểm cực trị

0

x

0

ab hàm số có ba điểm cực trị

0;

2

b

x x

a

51

Ta có 2 2

0

'

2

2

x

y ax bx b

ax b x

a

  

   

      

Số điểm cực trị phụ thuộc vào nghiệm phương trình

2ax  b a Nếu

2

b

a  (tức a; b trái dấu) hàm số có ba điểm cực trị

0;

2

b

x x

a

   

b Nếu

b

a  (tức a; b dấu b0 hàm số có điểm

cực trị x0

Tiếp tục toán áp dụng kết vừa thu được.

Ví dụ 4: Cho hàm số y  x4 2x21 Mệnh đề đúng? A. Hàm số có cực đại hai cực tiểu

B. Hàm số có hai cực đại cực tiểu C. Hàm số có cực đại khơng có cực tiểu D. Hàm số có cực đại cực tiểu Đáp án B

Lời giải

Áp dụng kết vừa thu ta có kết luận hàm số ln có ba điểm cực trị hai hệ số a, b trái dấu

Mặt khác hệ số a  1 nên đồ thị hàm số có dạng chữ M (mẹo nhớ), hàm số có hai điểm cực đạ cực tiểu

Đến ta tiếp tục thu kết luận phần STUDY TIP

Ví dụ 5: Cho hàm số y  x4 6x28x1 Kết luận sau đúng? A. Hàm số đạt cực đại x 2 đạt cực tiểu x1

B. Hàm số có giá trị cực đại y25 giá trị cực tiểu y 2 C. Hàm số có điểm cực trị x 2 điểm cực đại D. Đồ thị hàm số cho có điểm cực tiểu A2; 25 Đáp án C

Lời giải

TXĐ: D Ta có ' 12 8; '

x

y x x y

x

         

 

BBT

x  −2 

STUDY TIP Đối với hàm bậc bốn trùng phương có dạng

4

yax bx c,

a0 có ab0, nếu:

a a0 x0 điểm cực tiểu;

2

b x

a

   hai điểm cực đại hàm số b a0 ngược lại

0

x điểm cực đại;

b x

a

   hai điểm cực tiểu hàm số

Từ ví dụ ta thấy đạo hàm x1

nhưng qua điểm y'

không đổi dấu nên điểm

1

LOVEBOOK.VN|52  

'

f x + − −

 

f x 25

 

Hàm số đạt cực đại x 2 Từ ta chọn C

Nhận xét: Đối với hàm bậc 4, đạo hàm đa thức bậc nên hàm có một cực trị ba cực trị Hàm số có cực trị phương trình y'0 có nghiệm nghiệm (1 nghiệm đơn nghiệm kép), hàm số có cực trị phương trình y'0 có nghiệm phân biệt

Ví dụ 6: Cho hàm số y f x  xác định, liên tục \ có bảng biến   thiên phía dưới:

Khẳng định sau khẳng định đúng?

A. Hàm số đạt cực đại điểm x0 đạt cực tiểu điểm x4 B. Hàm số có cực trị

C. Hàm số có giá trị cực tiểu

D. Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ −15 Đáp án C

x  

'

y − + + −

y   −15

1  

Lời giải

TXĐ: D Ta có ' 12 8; '

x

y x x y

x

         

 

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy có hai giá trị x mà qua y' đổi dấu,

0

x x4, hai điểm cực trị hàm số

Ta thấy y' đổi dấu từ âm sang dương qua x0, x0 điểm cực tiểu hàm số, ngược lại x4 lại điểm cực đại hàm số

Từ ta loại A, B

D sai giá trị cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

53

Ví dụ 7: Hàm số y f x  có đạo hàm f '  x  x1 2 x3 Phát biểu sau đúng?

A. Hàm số cho có hai điểm cực trị B. Hàm số cho khơng có giá trị cực đại C. Hàm số cho có điểm cực trị D. Hàm số cho không giá trị cực tiểu Đáp án A

x  

'

y + − +

y 



Lời giải

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy có hai giá trị x mà qua y' đổi dấu Do hàm số cho có hai điểm cực trị x1;x2

Chú ý: Nhiều độc giả nghĩ x2 không tồn y' x2 khơng phải điểm cực trị hàm số, sai lầm lớn Bởi hàm số đạt cực trị điểm khiến cho đạo hàm khơng xác định

Ví dụ: Hàm số y x có đạo hàm khơng tồn x0 đạt cực tiểu

0

x

Ví dụ 8: Hàm số y f x  có đạo hàm f '  x  x1 2 x3 Phát biểu sau đúng?

A. Hàm số có điểm cực đại B. Hàm số có hai điểm cực trị C. Hàm số có điểm cực trị D. Hàm số khơng có điểm cực trị Đáp án C

Lời giải Ta thấy ' 

3

x

f x

x

     



Đến có nhiều độc giả kết luận ln hàm số có hai điểm cực trị, nhiên kết luận sai lầm, qua x1 f ' x khơng đổi dấu, x12  0, x Do hàm số có điểm cực trị x3

STUDY TIP Ở quy tắc ta có hàm số đạt cực trị điểm khiến cho đạo hàm không xác định

LOVEBOOK.VN|54 Ví dụ 9: Hàm số sau khơng có cực trị?

A. yx33x1 B.

3

x y

x

 



C.yx44x33x1 D. yx2n2017x n  * Đáp án B

Đây trích đoạn phần nhỏ cơng phá tốn ( chƣơng trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ dạng có tất công phá + Thầy cô cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193

Lời giải

Với A: Ta thấy hàm bậc ba có y'3x23, phương trình y'0 ln có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị (loại)

Với B: Đây hàm phân thức bậc bậc nên khơng có cực trị Do ta chọn B

Với C: Từ kết hàm số yax4bx2c a 0 ta có kết luận hàm số bậc bốn trùng phương ln có điểm cực trị (do đồ thị dạng M; dạng

W parabol)

Với D: Ta có y'2nx2n12017 (phương trình ln có nghiệm) Ví dụ 10: Hàm số sau có ba điểm cực trị?

A. yx42x210 B. y  x4 2x23 C. 3

3

y x  x  x D. y2x44

Đáp án B

Lời giải

Ta loại ln C hàm số bậc ba có nhiều hai cực trị

Tiếp theo ta đến với hàm bậc bốn Ta có hàm bậc bốn trùng phương có hai trường hợp, có điểm cực trị, có ba điểm cực trị

Đến ta suy ra, hệ số a, b khác dấu hàm số bậc bốn trùng phương có ba cực trị, vạy ta chọn B

STUDY TIP Hàm phân thức bậc bậc khơng có cực trị

55

Tìm điều kiện để hàm số cho có điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

2.1 Xét hàm số bậc ba có dạng y = ax3 + bx2 + cx + d, (a≠ 0) Chú ý:

Hàm số y f x  xác định D có cực trị   x0 D thỏa mãn hai điều kiện sau:

i Đạo hàm hàm số x0 phải hàm số khơng có đạo hàm x0

ii f ' x phải đổi dấu qua x0 f '' x0 0

Một số lưu ý cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d, (a≠ 0) Ta có y'3ax22bx c

- Để hàm số bậc ba có cực trị phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt

2

' b 3ac

     

- Ngược lại, để hàm số khơng có cực trị phương trình y'0 vơ nghiệm có nghiệm kép b23ac0

- Hoành độ x x1; 2 điểm cực trị nghiệm phương trình 'y 0 - Để viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba, ta thường sử dụng phương pháp tách đạo hàm (xem tốn tổng qt phía dưới)

Một số toán thường gặp:

Bài toán tổng quát 1: Cho hàm số y f x ax3bx2 cx d a, 0 Tìm điều kiện để:

a. Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu (hay hai điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ trái dấu)

b. Hàm số có hai điểm cực trị dấu (hay hai điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ dấu)

c. Hàm số có hai điểm cực trị xx x1; x2 so sánh với số thực α

d. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị (điểm cực đại điểm cực tiểu) nằm phía, khác phía so với đường thẳng)

Lời giải tổng quát

Ta có y'3ax22bx c ; phương trình 3ax22bx c 0 có  ' b23ac

a. Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu y'0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu

0

ac

 

Dạng

LOVEBOOK.VN|56

b. Hàm số có hai điểm cực trị dấu y'0 có hai nghiệm phân biệt dấu

2

1

3

0

b ac

c x x

a

   

 

 



c. Điều kiện để hàm số có cực trị x x1; 2 thỏa mãn:

* x1  x2 * x1x2 *   x1 x2

(tham khảo bảng trang 28; 29)

d. Điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía với đường thẳng :mx ny  k

Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A x y 1; 1 ,B x y2; 2

* Nếu mx1ny1kmx2ny2k0 A, B nằm phía so với  * Nếu mx1ny1kmx2ny2k0 thì A, B nằm khác phía so với 

Một số trường hợp đặc biệt

- Hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba nằm phía so với trục Oy 

phương trình ' 0y  có hai nghiệm phân biệt dấu

- Hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba nằm hai phía trục Oy 

phương trình y'0 có hai nghiệm trái dấu

- Hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm phía với trục Ox y'0 có hai nghiệm phân biệt yCD.yCT 0

- Hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm hai phía với trục Ox y'0 có hai nghiệm phân biệt yCD.yCT 0

- Hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm phía trục Ox '

y

  có hai nghiệm phân biệt

0

CD CT

CD CT

y y

y y

 

  



- Hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm phía với trục Ox y'0 có hai nghiệm phân biệt

0

CD CT CD CT

y y

y y

 

  



Chú ý

Phương trình y'0 ta xét có hệ số 3a; 2b; c tất toán tổng quát hàm số bậc ba sách ta xét hệ số

Ví dụ  ' b23ac (ở 2b; 3a; c hệ số y'0

khác với biệt số delta

2

4

57

Bài tốn tổng qt 2: Viết phương trình qua hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số yax3bx2 cx d a, 0

Lời giải tổng quát

Giả sử hàm bậc ba y f x ax3bx2 cx d a, 0 có hai điểm cực trị

1;

x x Khi thực phép chia f x  cho f ' x ta

      '

f x Q x f x AxB Khi ta có  

 

1

2

f x Ax B

f x Ax B

  



 

 (Do f ' x1  f ' x2 0)

Vậy phương trình qua hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y f x  có dạng yAxB

Đến ta quay trở với toán 1, nhiệm vụ tìm số dư cách tổng qt

Ta có y'3ax22bx c y ; ''6ax2b Xét phép chia y cho 'y ta được:

 

1 '

3

b

y y x g x

a

 

   

  (*), g x  phương trình qua hai điểm cực

trị đồ thị hàm số bậc ba

Tiếp tục ta có (*) '.3   '.6  

9 18

ax b ax b

y y g x y y g x

a a

 

     

   

'' ' y''

18 18

y y

y y g x g x y

a a

     

Một công thức khác phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm bậc ba là:

Cho hàm số yax3bx2 cx d a, 0 Sau thực phép chia tổng quát ta rút cơng thức phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba theo a, b, c, d

2

2

3 9

c b bc

y x d

a a

 

    

 

Sau xin giới thiệu cách bấm máy tính để tìm nhanh phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba sau:

Trước tiên ta xét ví dụ đơn giản:

Ví dụ 1: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số

3

2

yx  x  x là:

A. 26x9y150 B. 25x9y150 C. 26x9y150 D. 25x9y150 STUDY TIP

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba biểu diễn theo

'

y ; ''y ; y

  ' '' 18

y y g x y

a

LOVEBOOK.VN|58

Đây trích đoạn phần nhỏ cơng phá tốn ( chƣơng trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ dạng có tất công phá + Thầy cô cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193

Đáp án A

Lời giải

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số xác định bởi:

   

2 3 18

x

g x x  x  x  x  x 

Chuyển máy tính sang chế độ tính tốn với số phức cách nhập:

Nhập vào máy tính biểu thức g x  sau:

 

3 2

2 3

18

X

X  X  X   X  X 

Ấn , gán X I (ở máy tính i nút ) máy hiện: 26

3 i

Vậy phương trình qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho 26

26 15

3

y  x x y 

Tiếp theo ta có tham số.

Ví dụ 2: Cho hàm số yx33x23 1 m x  1 3m, tìm m cho đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho

A. m 0; : 2mx y 2m 2 B. m 0; : 2mx y 2m 2 C. m 0; :y202 200 x D. m 0; :y202 200 x Đáp án B

Lời giải Ta có y'3x26x3 1 m, ''y 6x6

Để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu  

' m

      m Với m0 ta thực hiện:

Chuyển máy tính sang chế độ

Nhập vào máy tính biểu thức ' '' 18

y

y y

a

 ta có

Sử dụng máy tính

Sử dụng tính tốn với số phức để giải toán

59

    

3 2 6

3 1 3

18

X

X  X  M X   M  X  X  M 

Ấn

Máy X? nhập i = Máy M? nhập 100 =

Khi máy kết 202 200 i

Ta thấy 202 200 i2.100 2.100.  i y 2m 2 mx

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho có dạng 2mx y 2m 2

Ta rút kết luận cách làm dạng tốn viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm bậc ba sau:

Bước 1: Xác định y'; y''

Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính tốn với số phức:

Nhập biểu thức ' '' 18

y

y y

a



Chú ý:

Nếu tốn khơng chứa tham số ta sử dụng biến X máy, nhiên tốn có thêm tham số, ta sử dụng biến máy để biểu thị cho tham số cho, sách ta quy ước biến M để dễ định hình

Bước 3: Gán giá trị

Ấn , gán X với i, gán M với 100

Lúc máy kết quả, từ tách hệ số i để đưa kết cuối cùng, giống hai ví dụ

Bài tốn tổng qt 3: Cho hàm số y f x ax3bx2 cx d a, 0 Giả sử hàm số có hai điểm cực trị (một điểm cực đại, điểm cực tiểu) Tìm khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số

Lời giải tổng quát Hàm số có hai điểm cực trị b23ac0

Xét phương trình

'

y   ax  bx c  có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 Lúc hai điểm cực trị đồ thị hàm số A x y 1; 1 ,B x y2; 2 Ta có d  AB  x1x2 2 y1y22

Áp dụng bài tốn tổng qt 2 ta có phương trình qua điểm A; B STUDY TIP

Với bước cuối cùng, ta cần có kĩ khai triển đa thức sử dụng máy tính cầm tay, khn khổ sách nên giới thiệu vào sách, mong quý độc giả đọc thêm phần

STUDY TIP Cho hàm số bậc ba dạng

3

yax bx  cx d,

với a0

- Nếu b23ac0 khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số

3

4 k k

d

a



 với

2

3

b ac

k

a

LOVEBOOK.VN|60

2

2

:

3 9

c b bc

y x d

a a

 

     

 

Đặt

2 2

3 2

2

9 9

b ac c b ac b

k

a a a

 

    :

9

bc

y kx d

a

    

Lúc ta có AB2 x1x224x x1 2  2k x 1x22

2

2 2

4

3 3

b c b c

AB k

a a a a

 

 

   

        

    

  

2

2 2

2

4

4 12 12

4

9 9

b ac

b ac b ac

AB k AB k

a a a a



 

     

 

2

AB k k

a

  

3

4 k k

AB

a



  với

2 b ac k a  

Ví dụ 1: Giá trị m để  Cm :yx3x2m1x m 3m để khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị  Cm

2 85 27

A. m 2 B. m 1 C. m 4 D. m 3 Đáp án B

Lời giải

- Ta có b23ac 1 3m  1 3m2 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

2

3

m m

      

- Lúc áp dụng cơng thức bài tốn tổng qt 3 ta có

3

3

4 85 9 27 m m        

   Đến ta nhập phương trình vào máy

tính thử giá trị m phương án, từ ta chọn B thỏa mãn

Cách bấm máy tính: Nhập vào hình

3

3 85

4

9 27

X X

  

   

 

  (do có

cùng thừa số chung nên ta bỏ đi)

Thử với A: Ấn máy kết khác nên ta loại A

Thử với B: Tiếp tục ấn máy kết nên ta chọn B

Bài toán tổng quát 4: Định m để điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số

 

3

,

yax bx  cx d a đối xứng qua đường thẳng d y: kx e Lời giải tổng quát

Trường hợp m 1

Trường hợp m 2

STUDY TIP Điểm uốn đồ thị hàm số bậc ba điểm có hồnh độ thỏa mãn

''

y  nằm đồ thị hàm số

3

61

Do đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng nên lúc điểm uốn

 I; I

I x y thuộc d đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số vng

góc với d Tức m thỏa mãn hệ sau:

2

3

I I

y kx e

b

c k

a

  



 

   

 



 



Ví dụ 1: Cho hàm số yx33mx24m3 (với m tham số) có đồ thị  Cm Tập tất giá trị m để hai điểm cực trị đồ thị  Cm đối xứng qua đường thẳng d y: x

A.

 

 

  B.

1

;

2

  

 

  C.

1

; ;0

2

  

 

  D.

1 ;0

 

 

 

Đáp án B

Lời giải Ta có: y'3x26mx;

'' 6 ; ''

y  x m y   x m Lúc điểm uốn I điểm có tọa độ m m; 3 Từ tốn tổng qt ta có:

 

3

2

1

2 2

.1

3

m m

m m

 

   

 

  



Ví dụ 2: Xác định tất giá trị m để hai điểm cực trị đồ thị hàm số

3

3

yx  x mx đối xứng qua đường thẳng x2y 5

A. m0 B. m 2 C. m D. m2 Đáp án A

Lời giải Ta có y'3x26x m y ; ''6x6; ''y   0 x

Vậy điểm uốn I1;m2

Từ toán tổng quát ta có:

 

2

1 2

0

2

3

m

m m

   

 

 

 



  

 



 



Một số ví dụ khác

LOVEBOOK.VN|62 Ví dụ 1: Giá trị m để đồ thị  Cm :y2x33m3x2 11 3m có hai điểm cực trị A B cho ba điểm A B C; ; 0; 1  thẳng hàng

A. m3 B. m4 C. m1 D. m 1 Đáp án B

Lời giải

Xét phương trình  

' 6

3

x

y x m x

x m

 

      

 



Đồ thị  Cm có hai điểm cực trị A B 3   m m

Áp dụng tốn tổng qt số ta có phương trình qua hai điểm cực trị A; B

là AB y:  m32x 11 3m

Để A, B, C thẳng hàng C0; 1  AB y:  m32x 11 3m

1 11 3m m

      (thỏa mãn yêu cầu đề bài) Ví dụ 2: Tất giá trị m để đồ thị

   

: 3

m

C yx  mx  m  x m m có hai điểm cực trị A điểm cực đại, B điểm cực tiểu cho OA 2OB

A. m 3 2 B. m  2 2;m  2 C. m  3 D. m  3 2;m  3 2 Đáp án D

Lời giải

Ta có b23ac   9 0, m Suy đồ thị hàm số ln có hai điểm cực trị

Ta có   y' phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt

1 1; 1

x  m x    m x x

Vì hệ số a 1 nên xx1 điểm cực đại hàm số xx2 điểm cực tiểu hàm số

 1; 2 

A m m

   B m   1; 2m

Theo đề ta có 2

2

OA OBOA  OB m  m  2

3 2

m m

     

  

 (thỏa mãn yêu cầu đề bài)

Ví dụ 3: Giá trị m để đồ thị hàm số  Cm :yx33mx1 có hai điểm cực trị

B, C cho tam giác ABC cân A với A 2;3 STUDY TIP

Sở dĩ toán ta kết luận xx1

63

A. 0;

2

m m B. m1;m2 C.

m D. m2 Đáp án C

Lời giải Để hàm số có hai cực trị

' 3

y   x  m có hai nghiệm phân biệt

0

m

  Khi tọa độ hai điểm cực trị B; C B m; m3 1;

 

;

C m  m  BC2 m; 4 m3

Gọi I trung điểm BCI 0;1

ABC

 cân A 0;

2

AI BC m m m m

        

Đối chiếu với điều kiện ta có

2

m giá trị cần tìm

Ví dụ 4: Giá trị m để đồ thị  Cm :yx33mx23m21x m 34m1 có hai điểm cực trị A, B cho OAB vuông A

A. m 1;m2 B. m1;m 2 C. m1;m 1 D. m 1;m0 Đáp án A

Lời giải

Ta có  

'

1

x m y m

y x mx m

x m y m

     

      

    



 

 

 

 

1; 1;

1; 1;

A m m OA m m

B m m OB m m



    

 

 

    

 

 

Do tam giác OAB vuông O 2

m

OA OB m m

m

  

       

 

Vậy m 1 m2 giá trị cần tìm

Đây trích đoạn phần nhỏ cơng phá tốn ( chƣơng trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ dạng có tất công phá + Thầy cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193

STUDY TIP Khi giải toán chứa tham số ta nên ý xem phương trình

'

y  giải nghiệm hay khơng Ta có số kết sau:

1 Tổng hệ số số hạng phương trình phương trình có nghiệm x1

2 Tổng hệ số bậc chẵn hệ số bậc lẻ số hạng phương trình phương trình có nghiệm x 1

3 Lưu ý xét

3

b  ac để

LOVEBOOK.VN|64 2.2 Xét hàm số bậc bốn trùng phương có dạng y = ax4 + bx2 + c, (a≠ 0)

Ta có

2

0

'

2

x

y ax bx

ax b

      

 



Đến ta có nhận xét hàm số bậc bốn trùng phương ln có điểm cực trị Số điểm cực trị phụ thuộc vào nghiệm phương trình 2ax2 b

a Nếu

b a

 

tức a, b dấu b0 phương trình vơ nghiệm có nghiệm x0 Khi hàm số có điểm cực trị x0

b Nếu

b a

 

tức a, b trái dấu phương trình có hai nghiệm phân biệt

2

b x

a

   Nghĩa hàm số có ba điểm cực trị 0;

2

b

x x

a

   

Ta vừa chứng minh trên, ab0 hàm số có ba điểm cực trị x0;

b x

a

  

Khi đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị là:

 0; , ; , ;

2 4

b b

A c B C

a a a a

     

    

   

   

    với

2

4

b ac

   (Hình minh họa)

(Chứng minh: ta có

4

2

2

2 2

b b b ab b

f a b c c

a a a a a

     

        

     

     

     

2 2 2

2

2 4

4 4

ab ab a c ab ac b ac

a a a

     

   (đpcm))

4

2 ;

16 2

b b b

AB AC BC

a a a

     

Bài tốn 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

 

4

,

yax bx c a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Lời giải tổng quát

Với ab0 hàm số có ba điểm cực trị

Do điểm A 0;c nằm Oy cách hai điểm B, C Nên tam giác

ABC phải vuông cân A Điều tương đương với ABAC (do ABAC

có sẵn rồi)

Mặt khác ta có

2

; ; ;

2 4

b b b b

AB AC

a a a a

   

        

   

STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số

4

yax bx c,

a0 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cần điều kiện

3

8

b

a   Ta loại

65

Do ABAC nên

4

2

0

2 16

b b b

AB AC

a a a

      

Ví dụ 1: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

4 2

8

yx  m x  có điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân

A.  0 B.    

  C.

1  

 

  D.

1 ; 2

 

 

 

Đáp án D

Lời giải

Cách 1: Lời giải thông thường Cách 2: Áp dụng công thức TXĐ: D

Ta có:  2

' 4

y  x x  m

Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y'0 có nghiệm phân biệt

0

m

 

Lúc đó, ba điểm cực trị là:

     

2 ; 16 , 0;3 , ; 16

A m m  B C  m m 

Nên BABC

Do đó, tam giác ABC cân B

Khi đó, tam giác ABC vng cân khi: BA BC  0 4m2256m8 0

 

6

1

1 64 0

1

m

m m

m

  

     

   

Để điểm cực trị đồ thị hàm số ba đỉnh tam giác vuông cân

 23

3 8

8

1

m b

a



    

1

m

  

Nhận xét: Rõ ràng việc nhớ công thức làm nhanh nhiều so với việc suy trường hợp

Bài tập rèn luyện lại công thức:

1. Cho hàm số yx42mx2 m22 Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị điểm cực trị đồ thị hàm số ba đỉnh tam giác vuông?

A. m1 B. m 1 C. m2 D. m 2

2. Cho hàm số y f x x42m2x2m25m5 C m Giá trị m

LOVEBOOK.VN|66 A. 3;

7

   

  B.

3 21 ; 10

 

 

  C.

1 0;

2

   

  D. 1;0

3. Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

 

4

2015 2017

y  x m x  có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A. m2017 B. m2014 C. m2016 D. m2015

Đây trích đoạn phần nhỏ cơng phá tốn ( chƣơng trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ dạng có tất công phá + Thầy cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193

4. Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

 

4

2 2016 2017 2016

yx  m x  m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân

A. m 2017 B. m2017 C. m 2018 D. m2015 5. Tìm m để đồ thị hàm số f x x42m1x2m2 có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông

A. m2 B. m 1 C. m0 D. m1 Đáp án

1 A 2 A 3 A 4 A 5 C

Bài tốn 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

 

4

,

yax bx c a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác Lời giải tổng quát

Với ab0 hàm số có ba điểm cực trị

Do AB AC, nên ta cần tìm điều kiện để ABBC Mặt khác ta có

4

2 ;

16 2

b b b

AB AC BC

a a a

     

Do

4

2

2

24 16

b b b b

AB BC

a a a a

        

Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số

4

2

yx  mx  m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác Ta có kết STUDY TIP

Độc giả nên làm tập rèn luyện mà khơng nhìn lại cơng thức để ghi nhớ cơng thức lâu

STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số

4

yax bx c,

a0 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác

3

24

b

67 quả:

A. m3 B. m0 C. m0 D. m 33 Đáp án D

Lời giải Áp dụng công thức vừa chứng minh ta có

 3

3

2

24 24

1

m b

m a



      

Bài tập rèn luyện lại công thức:

1. Cho hàm số yx42m2x2m25m5 C m Với giá trị

m đồ thị  Cm có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác đều?

A.

2

m  B.

2

m  C.

5

m  D.

5

m  2. Cho hàm số  

3 2017 2016

y x  m x  có đồ thị  Cm Tìm tất giá trị m cho đồ thị  Cm có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều?

A. m2015 B. m2016 C. m2017 D. m 2017 3. Cho hàm số yx42mx22 Tìm tất giá trị m cho đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều?

A.

3

m B.

3

m  C. m D. m  4. Cho hàm số y mx42mx2m Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác

A. m 3;m  3;m0 B. m  3;m

C. m0 D. m

Đáp án

1A 2B 3A 4B

Bài tốn 3: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số

4

yax bx c, a0 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích

0

S

Lời giải tổng quát

Gọi H trung điểm BC lúc H nằm đường thẳng chứa đoạn thẳng BC (hình vẽ)

Lúc

2

0; 0;

4

b

H AH

a a

 



    

 

 

    Diện tích tam giác ABC tính

STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số

4

yax bx c,

a0 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác

3

24

b

a  

Mà tam giác vng

3

8

b

a  

LOVEBOOK.VN|68 công thức:

2

2

0

1

2 4

ABC

b b

S AH BC S

a a

 

 

           

4

2

0

1

4 16 32

b b b

S S

a a a

 

   

Ví dụ 3: Cho hàm số yx42mx22m m Với giá trị m đồ thị

 Cm có điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích

A. m 516 B. m16 C. m 316 D. m 316 Đáp án A

Lời giải

Áp dụng công thức ta có, hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác

có diện tích  5

0

32.a S b 32.1 2m m 16

        

Bài tập rèn luyện lại công thức: 1. Cho hàm số 2

2

yx  m x  Với giá trị m đồ thị hàm số cho có điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 32

A. m2;m 2 B. m0;m2

C. m0;m 2 D. m2;m 2;m0

2. Cho hàm số y f x   x4 2m2x2m25m5 Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số cho có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích

A. m3 B. m 3 C. m2 D. m 2

3. Cho hàm số y3x42mx22m m Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích

A. m3 B. m 3 C. m4 D. m 4

4. Cho hàm số yx42mx2 m (1), với m tham số thực Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có diện tích

A. m2 B. m 2 C. m4 D. m 4 Đáp án

1A 2A 3A 4B

Bài tốn 4: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số STUDY TIP

Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số

4

yax bx c,

a0 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S0 có điều kiện

5

0

32

b S

a

69

 

4

,

yax bx c a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn

Lời giải tổng qt Ở tốn ta có

5

0

32

b S

a

 

Do ta tìm

5

32

b Max

a

      

Bài tốn 5: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

 

4

,

yax bx c a có ba điểm cực trị A; B; C tạo thành tam giác ABC ;B COx

Lời giải tổng quát

Tam giác ABC có hai điểm cực trị

2

0

0 ;

0

4

c

c

B C Ox

b ac

a



  



   

    



Bài tốn 6: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

 

4

,

yax bx c a có ba điểm cực trị A; B; C tạo thành tam giác ABC BCkABkAC; k 0

Lời giải tổng quát

Từ toán tổng quát ban đầu ta có  0; , ; , ;

2 4

b b

A c B C

a a a a

     

     

   

   

   

4

2 ;

16 2

b b b

AB AC BC

a a a

     

Ta có  

4

3 2

2

2

2 16

b b b

BC kAB k b k a k

a a a

        

Bài tốn 7: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

 

4

,

yax bx c a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc đỉnh cân α

Lời giải tổng quát Cách 1:

Ta có STUDY TIP

Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số

4

yax bx c,

a0 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc đỉnh α có điều kiện

3

8 cos

8

b a

b a

 



Hoặc 3.tan2

LOVEBOOK.VN|70

4

2

2

cos cos cos

2 16 16

AB AC b b b b

AB AC AB

a a a a

AB AC

          

 

 

3

3

8

8 cos cos

8

b a

a b a b

b a

  

      



Cách 2:

Gọi H trung điểm BC, tam giác AHC vng H có:

2 2

tan .tan tan

2 2

HC BC

BC AH a b

AH AH

          

Bài tốn 8: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

 

4

,

yax bx c a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn Lời giải tổng quát

Do tam giác ABC tam giác cân nên hai góc đáy Một tam giác khơng thể có hai góc tù, hai góc đáy tam giác ABC ln góc nhọn Vì để tam giác ABC tam giác có ba góc nhọn góc đỉnh phải góc nhọn Tức tìm điều kiện để BAC góc nhọn

Ở tốn ta vừa tìm

3

8

cos cos

8

b a

BAC

b a

 

 

 Để góc BAC nhọn

3

8

b a

b a

  

Cách khác để rút gọn công thức:

Do cos

AB AC AB AC

 nên để  góc nhọn

AB AC AB AC 

Mà AB AC 0  

4

3

0

2 16

b b

AB AC b b a

a a

      

Bài toán 9: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

 

4

,

yax bx c a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp r

Lời giải tổng quát

Ta có S0  p r (cơng thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường trịn nội tiếp)

STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số

4

yax bx c,

a0 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn

 

71

5

2

0

4

2

2

2 32

2 1

2 16

b

S a b

r r

AB AC BC b b b b

a

a a a a



    

   

       

 

LOVEBOOK.VN|72 Bài tốn 10: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

 

4

,

yax bx c a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R

Lời giải tổng qt Trước tiên ta có cơng thức sau:

4

ABC

AB BC CA S

R



Gọi H trung điểm BC, AH đường cao tam giác ABC, nên

2

1

2

AB BC CA

AH BC R AH AB

R

  

2

4

2

2

8

16 16

b b b b a

R R

a a a a b

  

     

 

Bài toán 11: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

 

4

,

yax bx c a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có a Có độ dài BCm0

b Có ABACn0

Lời giải tổng quát Ở đầu Dạng 3 ta có cơng thức

 0; , ; , ;

2 4

b b

A c B C

a a a a

     

    

   

   

    với

2

4

b ac

  

4

2 ;

16 2

b b b

AB AC BC

a a a

     

Do với ý a, b ta cần sử dụng hai công thức Đây hai công thức quan trọng, việc nhớ công thức để áp dụng điều cần thiết

Bài tốn 12: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

 

4

,

yax bx c a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác a nhận gốc tọa độ O trọng tâm

b nhận gốc tọa độ O làm trực tâm

c nhận gốc tọa độ O làm tâm đường tròn ngoại tiếp Lời giải tổng quát

a Nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm

a Ở cơng thức vừa nhắc lại tốn 9, ta có tọa độ điểm A, B, C

cần áp dụng cơng thức ;

3

A B C A B C

G G

x x x y y y

73

tam giác ABC)

Lúc ta có

2

2

0 3.0

2

3

3.0

4

b b

a a b

c a

b b

c c c

a a

  

        

      



   

       

    



2

6

b ac

  

b Nhận gốc tọa độ O làm trực tâm.

Do tam giác ABC cân A, mà A nằm trục Oy nên AO ln vng góc với

BC Do để O trực tâm tam giác ABC ta cần tìm điều kiện để

OBAC OC AB

OBAC

4

4

2

0

2 16

b b b c

OB AC b ab ab c

a a a

         

3

8

b a abc

   

c Nhận O làm tâm đường tròn ngoại tiếp.

Để tam giác ABC nhận tâm O làm tâm đường trịn ngoại tiếp OAOBOC Mà ta ln có OBOC, ta cần tìm điều kiện cho

4

2

2

2

8

2 16

b b b c

OA OB c c b ab c ab

a a a

          

3

8

b a abc

   

Bài tốn 13: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

 

4

,

yax bx c a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích

Lời giải tổng quát

Gọi M, N giao điểm AB, AC với trục hồnh, kí hiệu hình vẽ

Ta có

2

1 ~

2 AMN

ABC

S OA

ANM ACB

S AH

 

     

  (Do trục hoành chia tam giác

ABC thành hai phần có diện tích nhau)

2

2

AH OA b ac

   

LOVEBOOK.VN|74 2.3 Xét hàm phân thức

Trước tiên ta xét tốn liên quan đến cực trị hàm phân thức nói chung Ta có kết quan trọng sau:

Xét hàm số dạng    

 

u x f x

v x

 xác định D

thì ta có          

 

2

' '

' u x v x u x v x

f x

v x





Điểm cực trị hàm số nghiệm phương trình

         2 

' '

' u x v x u x v x

f x

v x



  

           '  

' '

'

u x u x

u x v x u x v x

v x v x

    

Nhận xét: Biểu thức thỏa mãn giá trị cực trị hàm số cho Do đó, thay tính trực tiếp tung độ điểm cực trị, ta cần thay vào biểu thức đơn giản sau lấy đạo hàm tử lẫn mẫu Vận dụng tính chất này, ta giải nhiều toán liên quan đến điểm cực trị hàm phân thức

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số

2

, 0, '

' '

ax bx c

y a a

a x b

 

  



Theo công thức vừa nêu ta tìm biểu thức đạo hàm tử số mẫu số

Suy

'

ax b y

a



 phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị (nếu có) đồ thị hàm số

2

, 0, '

' '

ax bx c

y a a

a x b

 

  



Đây trích đoạn phần nhỏ công phá tốn ( chƣơng trình 12 ) gồm 700 trang có trình bày rõ nét đầy đủ dạng có tất cơng phá + Thầy cô cần file word thì liên hệ với mình qua Zalo 0988 166 193

STUDY TIP Lưu ý công thức

 

    

' '

u x u x

v x  v x để giải

75

Đọc thêm:

Phương pháp sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh tập định tham số m để hàm f (x) đạt cực đại (cực tiểu) x0

Cách 1: Sử dụng TABLE

Cách làm: Ta sử dụng tính bảng giá trị TABLE máy tính để nghiên cứu nhanh dáng điệu đồ thị đoạn x00,5;x00,5 với giá trị tham số mà đề cho

Ta gán giá trị phần đáp án cho A, B, C, D lệnh gán giá trị SHIFT STO

Do chức TABLE máy tính cầm tay Fx 570 VN Plus chạy hàm số f x  g x  nên lần thử ta thử phương án Do vậy, toán ta cần thử hai lần

Ví dụ 1: Với giá trị tham số thực m hàm số

3

2

2 3

3

x

y  mx  m x m đạt cực tiểu x 1

A. m 1 B. m1 C.

3

m D.

3

m 

Đáp án A

Lời giải

Lần lượt gán giá trị m phương án A, B, C, D cho biến A, B, C, D máy lệnh SHIFT STO sau:

Ấn −1 (STO) A

Tương tự với phương án lại Ấn MODE 7: TABLE

Nhập hàm  

3

2

2 3

3

X

f x   AX  A X A (là hàm số cho m 1 phương án A) Sau ấn =, máy g x  = ta nhập

  2

2 3

3

X

g x   BX  B X B ấn = Start? Chọn  1 0,5

End? Chọn  1 0,5 STEP? Chọn 0.1

Máy bảng giá trị hàm số cho hai trường hợp phương án A B sau:

LOVEBOOK.VN|76 Ta thấy trường hợp F x  tức trường hợp phương án A Ta thấy từ x 1,5

chạy đến x 1 giá trị hàm số giảm, từ x 1 đến x 0, giá trị hàm số tăng, tức hàm số nghịch biến 1;5; 1  đồng biến

 1; 0, 7 Vậy x 1 điểm cực tiểu hàm số, A thỏa mãn Ta chọn A mà không cần xét B, C, D

Ví dụ áp dụng:

Với giá trị m hàm số yx33mx2m đạt cực đại x2? A. m4 B. m 4

C. m0 D. Khơng có giá trị m

Đáp án D.

Cách 2: Sử dụng chức d

dx

Cách làm: Thử giá trị tham số m phương án, xem phương án làm đạo hàm 0, có nhiều phương án làm đạo hàm 0, ta xét đến ''y

Cũng xét ví dụ ta có:

Sử dụng nút , nhập vào máy sau:

3

2

1

2 3

3 X

d X

MX M X M

dx 

 

  

 

 