Tài liệu tự học Môn Toán 11(GDTX)_Tuần 22

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song [r]

TOÁN 11 Tuần 22 Lớp 11 GDTX Tiết 85 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1.Định nghĩa Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới dương vơ cực |un| số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở

Kí hiệu: nlim→+∞

un=0

hay un→ 0 khi n→+∞

Định nghĩa 2.

Ta nói dãy số (vn) có giới hạn số a (hay dần tới a) n→+∞ ,

lim

n→+∞(

vn−a)=0

Kí hiệu: nlim→+∞

vn=a hay

vn →a n→+∞ 2 Một vài giới hạn đặc biệt a)

lim n→+∞

1 n =0 ;

lim

n→+∞

1

nk =0 , k∈ N¿

b) Nếu un = c (c số) lim

n→+∞

un= lim

n→+∞

c =c

c) nlim→+∞ qn=0

nếu

¿

|q|¿ ¿

Chú ý

Từ sau thay cho lim n→+∞

un=a

, ta viết tắt lim un = a II ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí

a) Nếu lim un = a lim = b *) lim (un + vn) = a + b

*) lim (un - vn) = a – b *) lim (un vn) = a.b

*) lim un vn=

a b(b≠0)

b) Nếu un≥0 với n lim un = a a≥ 0 lim √un=√a

Ví dụ : Tìm

2

2

lim

n n n

 



Phương pháp giải :

+ Chia tử mẫu cho n2

Chia tử mẫu cho n2, ta được:

lim2n2−n+1 1+n2 =lim

2−1

n+ n2 n2+1

=2

III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN a) Định nghĩa

Cấp số nhân vô hạn ( un) công bội q với

1

¿

|q|¿

¿ gọi cấp số lùi vơ

hạn Các ví dụ : +) Dãy số

1 1 , , , , , 2n

+) Dãy số

1

1 1 1, , , , , ( ) ,

3 27 n

  

b)Tổng cấp nhân lùi vô hạn

1 , ( 1)

1 u

S q

q

 



c) Ví dụ : Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

a/

1 3

n n

u 

Giải: Ta có :

1 1

,

3 3

u  q 

1

1 3

1 2

1 3

S  



IV.GIỚI HẠN VÔ CỰC 1.Định nghĩa

- Dãy số (un) có giới hạn khi n , un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở

Kí hiệu

limun  hay un   n +

Nhận xét limun=+∞⇔lim(−un)=−∞ Một vài giới hạn đặc biệt

a) lim nk =với k nguyên dương; b) lim qn = q>1.

Ví dụ

b)

lim(4

3 )

n=+ ∞ 3 Định lí

a) Nếu lim un = a lim vn=

lim n

n

u v  .

b) Nếu lim un = a > 0, lim = > với n

lim n n

u v  c) Nếu lim un = lim vn= a > lim unvn=

Tiết 86 Luyện tập GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Câu 1: Chọn mệnh đề mệnh đề sau:

A Nếu limun , limun . B Nếu limun , limun  .

C Nếu limun 0, limun 0. D Nếu limun a, limun a.

Câu 2: A

2 

B 1 C 3 D 2

Câu 3: Kết

2 lim n n n   

 là:

A 3  B  C  D

Câu 4: Kết

2 lim n n 

 bằng:

A

1

3. B

1 

C 2. D 1.

Câu 5: Phát biểu sau sai ?

A limun c (un clà số ) B limqn 0  q 1.

C

1 lim

n . D

1 lim k

n  k1.

Câu 6: 2 lim n n 

 bằng

A 0 B

1 C D 

Câu 7: Tính

2 lim n n 

 kết là

A 2. B 0 C

1

2. D 1.

Câu 8: Tìm

2

3

7

lim

3

A

7

3. B

2 

C 0 D 1

Câu 9:

4

2 2

lim

4

n n n n

 

  bằng

A

2

11. B

1

2. C . D 0

Câu 10 Tìm

5

5

8

lim

4

n n n n

 

  .

A 2 B 8 C 1 D 4

1 10

C C A A B D A B B A

Tiết 87 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I Giới hạn hữu hạn hàm số điểm 1 Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểmx0 hàm số y = f(x) xác định K K\{x0}.

Ta nói hàm số yf x có giới hạn số L x dần tới x0 với dãy số (xn) bất kì, n

x  K\{x0} xnx0, ta có f(x )n L.

Kí hiệu:

lim ( )

xx f x L hay f(x)L x x0 Nhận xét

lim

x→x0

x=x0;lim

x→x0c

=c

(c: số) Ví dụ 1:

Tính:

a) limx6x b) lim

x

x  

c) xlim 5 6 d)

2

2 lim

3 x

     

Giải:

a) limx6x6 b)

1 lim

3 x

x

 



c) xlim 5 6  d)

2

3

2 4

lim lim

3 9

x x

 

 

   

2.Định lý giới hạn hữu hạn Định lý

a) Giả sử

lim ( )

xx f x L,

lim ( )

xx g x M



lim [ ( ) ( )]

xx f x g x  L M



lim [ ( ) ( )]

xx f x  g x  L M



lim [ ( ) ( )]

xx f x g x L M

0

lim ( )

xx cf x c L

 

(c=const)

 lim

x→x0

f(x)

g(x) =

L

M ( M ≠ 0)

b) Nếu f x( ) 0

lim ( )

xx f x L, L ≥

lim ( )

x x f x  L (Dấu f x( ) xét

trên khoảng tìm giới hạn, với x x 0) Ví dụ

Tính:

2

2 lim

1

x

x x

x



 

 .

Giải:

TXĐ: D\{1} Ta có:

2

1 1 1

2 ( 1)( 2)

lim lim lim( 2) lim lim 2 3

1 1

x x x x x

x x x x

x x

x x

    

   

       

 

NHẬN XÉT:

Nếu k số nguyên dương a là số x0 , ta có:

0

lim k k

xx ax ax Chọn đáp án nhất:

Câu 1: Khẳng định sau khơng xác?

A Hàm số f x( ) không xác định x0, có giới hạn điểm

B  0  

lim ( ) ( ),n n \ , n n

x x f x   L x x K x x  x  f x  L

C

lim [ ( ) ( )]

xx f x g x  L M

D

0

lim ( ) lim ( )

Câu 2: Tính:

2

3 2

lim

1

x

x x



 

A B C -1 D

Câu 3: Tính

2

1 lim

3 2

x

x x x





 

A B C D -2

ĐÁP ÁN:Câu 1: D Câu 2: D Câu 3: D

Tiết 88 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

III Góc hai đường thẳng :

1/ Định nghóa : Góc hai đường thẳng a,b góc hai đường thẳng a’,b’

qua điểm song song (hoặc trùng) với a,b KH: ( , )a b

Ta có: ( , ) ( ', ')a b a b với

' , ' ' '

a a b b a b O

 

 



 

a

b

b' a' O

2/ Nhận xét :

Điểm O nằm hai đường thẳng 1,2

2 ⃗u,⃗v lần lựợt hai vectơ phương hai đường thẳng 1,2 :

-Nếu ( ⃗u,⃗v ) ¿ 90 góc hai đường thẳng góc( ⃗u,⃗v )

-Nếu ( ⃗u,⃗v )>90 góc hai đường thẳng 1800 - ( ⃗u,⃗v )

IV Hai đường thẳng vng góc :

1/ Định nghóa : Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng

bẳng 900

KH: a b Ta có: a b  ( , ) 90a b 

2/ Nhận xét:

2

a‖a ' Δ⊥a

⇒ Δ⊥a '

¿

{¿ ¿ ¿

¿

Ví dụ 3Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC SBC cân có chung đáy BC Chứng minh hai đường thẳng SA BC vng góc

Giải.

M S

A

B

C

Gọi M trung điểm BC

Vì tam giác ABC SBC cân đáy BC nên AM SM vng góc với BC Ta có : ⃗SA.⃗BC=(⃗MA−⃗MS).⃗BC

= ⃗MA ⃗BC−⃗MS.⃗BC

= (vì ⃗MA⊥⃗BC ,⃗MS⊥⃗BC )

Suy SA ¿ BC

Bài tập trắc nghiệm

Câu 9: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c Khẳng định sau đúng?

A.Nếu a b vng góc với c //a b B.Nếu //a b c a c b .

C.Nếu góc a c góc b c //a b

D.Nếu a b nằm mp   //c góc a c góc b

c

Câu 2: Cho hình hộp ABCD A B C D     có tất cạnh Chọn khẳng định sai:

A ACB D' '. B A A' BD. C AB'CD'. D AC BD.

Câu 3: Mệnh đề sau sai?

A Hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng song song với nhau. B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với nhau. C Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với thì song song với đường thẳng cịn lại

D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng lại

Câu 4: Mệnh đề sau đúng?

B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với nhau. C Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với thì song song với đường thẳng cịn lại

D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại

Câu 5: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng?

A Trong không gian, đường thẳng avng góc với đường thẳng bvà đường thẳng b vng góc với đường thẳng c đường thẳng avng góc với đường thẳng

c.

B Trong khơng gian, đường thẳng avng góc với đường thẳng bvà đường thẳng bsong song với đường thẳng cthì đường thẳng avng góc với đường thẳng c C Trong khơng gian, đường thẳng asong song với đường thẳng bvà đường thẳng

bvng góc với đường thẳng cthì đường thẳng a cắt đường thẳng c điểm.

D Trong không gian, cho ba đường thẳng a b c, , vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với đường thẳng athì đường thẳng d song song với

bhoặc c.

ĐÁP ÁN:

1 2 3 4 5