Dự báo các quá trình itô

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TRẦN ĐÌNH THÀNH DỰ BÁO CÁC Q TRÌNH ITƠ Chun ngành : TỐN ỨNG DỤNG Mã ngành : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, 07/ 2010 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HÌNH THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị, chữ kí) Cán chấm nhận xét 1: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị, chữ kí) Cán chấm nhận xét 2: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị, chữ kí) Luận văn Thạc sĩ bảo vệ HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày .tháng …… năm TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC Tp HCM, ngày tháng năm 200 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Trần Đình Thành Ngày, tháng, năm sinh: 30/09/1981 Bình Chuyên ngành: Toán ứng dụng I- TÊN ĐỀ TÀI: Phái: Nam Nơi sinh: Quảng MSHV:02407160 Dự Báo Các Q Trình Itơ II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: Đọc tài liệu xác suất, trình ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên, lý thuyết dự báo kiến thức liên quan Viết phần kiến thức chuNn bị kí hiệu dùng luận văn Chương Lý thuyết sở Chương Q trình Itơ Chương Dự báo q trình Itơ Chương Ứng dụng mơ hình tài III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : GS.TSKH NGUYỄN VĂN THU CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Học hàm, học vị, họ tên chữ ký) CN BỘ MÔN QL CHUYÊN NGÀNH Nội dung đề cương luận văn thạc sĩ Hội đồng chuyên ngành thơng qua TRƯỞNG PHỊNG ĐT – SĐH Ngày tháng năm TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH LỜI CẢM ƠN Lời tơi trân trọng kính gửi đến Thầy hướng dẫn, GS.TSKH NguyễnVăn Thu, người Thầy hết lịng học trị, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy ân cần tận tình hướng dẫn, giúp đỡ nắm bước nghiên cứu giải đáp thắc mắc gặp phải Từ Thầy, hiểu thêm ý nghĩa, hứng thú lịng say mê việc nghiên cứu Tốn học tưởng chừng khơ khan ứng dụng Tơi xin khắc ghi lời dạy, bảo ân cần Thầy suốt trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến q Thầy, Cơ ngồi mơn Tốn học trường Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho suốt thời gian học tập trường Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa khoa học ứng dụng, quý Thầy, Cơ thuộc Phịng Đào tạo Sau Đại học, thư viện trường Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành chương trình học trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp Xin cảm ơn anh chị lớp Cao học Tốn Ứng Dụng Khóa 2007, 2008 động viên nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt thời gian qua Tôi không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tơi, người hết lịng lo lắng ln bên tơi lúc khó khăn Sau cùng, kiến thức thân cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong bảo q Thầy, Cơ góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2010 Trần Đình Thành TĨM TẮT Luận văn trình bày sở lí thuyết q trình Itơ dựa chuyển động Brown Công thức Itô sử dụng xác định, tính tốn q trình Itơ Cơ sở lí thuyết quan trọng tốn dự báo q trình Itơ tính Markov martingale Ngồi ra, luận văn cịn trình bày phương pháp Monte carlo để dự báo cho q trình Itơ cách mơ q trình Itơ phương pháp xấp xỉ Tiếp theo, luận văn trình bày ứng dụng mơ hình tài chính: Chuyển động Brown hình học, mơ hình Black-Schole mơ hình Vasicek Mục lục LÍ THUYẾT CƠ SỞ 1.1 1.2 1.3 Biến Ngẫu Nhiên 1.1.1 Không gian xác suất 1.1.2 Biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất 1.1.3 Kì vọng 1.1.4 Kì vọng có điều kiện 11 1.1.5 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 12 1.1.6 Sự hội tụ biến ngẫu nhiên 13 1.1.7 Luật số lớn 14 1.1.8 Định lí giới hạn trung tâm 15 Quá trình ngẫu nhiên 15 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên rời rạc 15 1.2.2 Quá trình ngẫu nhiên liên tục 16 1.2.3 Quá trình Markov 16 1.2.4 Quá trình ngẫu nhiên lọc 17 1.2.5 Martingale 17 Xấp xỉ Monte Carlo 18 1.3.1 Giới thiệu 18 1.3.2 Kĩ Thuật giảm phương sai 20 Q TRÌNH ITƠ 24 2.1 Chuyển động Brown 24 2.2 Tích phân Itô 28 2.2.1 Tích phân Itơ hàm sơ cấp 29 2.2.2 Tích phân Itơ tổng quát 31 2.3 Q trình Itơ 33 2.4 Công thức Itô 33 2.5 Công thức Itô nhiều chiều 37 2.6 Sự mô trình Itơ 38 2.6.1 Mơ q trình ngẫu nhiên 38 2.6.2 Mơ q trình Itơ 40 Ước lượng tham số cho trình Itơ 41 2.7.1 Phương pháp cực đại hàm Likelihood 41 2.7.2 Phương pháp phi tham số 45 2.7 DỰ BÁO CÁC Q TRÌNH ITƠ 47 3.1 Mơ hình dự báo trình ngẫu nhiên 47 3.2 Dự báo q trình Itơ 47 3.3 Phương trình Backward Kolmogorov 53 3.4 Liên hệ phương trình KBE cơng thức Itô 55 3.5 Phương pháp Monte carlo dự báo trình Itô 57 ỨNG DỤNG TRONG CÁC MƠ HÌNH TÀI CHÍNH 4.1 4.2 4.3 60 Mơ hình chuyển động Brown hình học 60 4.1.1 Mơ q trình GBM 61 4.1.2 Ước lượng tham số 63 4.1.3 Kết số 64 Mơ hình Black-Schole 68 4.2.1 Giới thiệu 68 4.2.2 Công thức định giá Black-Schole 70 4.2.3 Phương pháp Monte Carlo định giá quyền chọn 73 Mơ hình Vasicek 76 4.3.1 Giới thiệu 76 4.3.2 Mô 78 4.3.3 Ước lượng tham số 78 4.3.4 Định giá trái phiếu mơ hình Vasicek 82 4.3.5 Kết số 86 Chương LÍ THUYẾT CƠ SỞ 1.1 Biến Ngẫu Nhiên 1.1.1 Không gian xác suất Không gian xác suất Không gian xác suất (Ω, F, P ) gồm ba thành phần, • Ω khơng gian mẫu • F σ− đại số Ω, họ tập Ω thỏa mãn tính chất sau: (i) ∅, Ω ∈ F (ii) A ∈ F =⇒ Ac ∈ F (iii) A1 , A2 , ∈ F =⇒ ∞ i=1 Ai ∈F Cặp (Ω, F) gọi không gian đo • P độ đo xác suất không gian đo (Ω, F), hàm số P : F −→ [0, 1] cho (i) P (∅) = 0, P (Ω) = (ii) Nếu A1 , A2 , ∈ F {A}∞ i=1 rời đôi (Ai ∩ Aj = ∅ i = j) ∞ P( ∞ Ai ) = i=1 P (Ai ) i=1 suy A ⊂ B =⇒ P (A) ≤ P (B) Tập F Ω cho F ∈ F gọi F− đo P (F )=”xác suất mà kiện F xảy ra” Trong trường hợp P (F ) = 1, ta nói "F xảy với xác suất 1" "hầu chắn"( a.s ) Tập Borel Kí hiệu B σ− đại số nhỏ chứa tất tập mở R, gọi Borel σ−đại số R phần tử B ∈ B gọi tập Borel B chứa tất tập mở, tất tập đóng, tất hợp đếm tập đóng, tất giao đếm hợp đếm được, 1.1.2 Biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất Định nghĩa 1.1 Một biến ngẫu nhiên ,kí hiệu X, hàm thực Ω X : Ω −→ R Ta thường kí hiệu biến ngẫu nhiên X, Y, Z, Giá trị chúng kết lần quan sát Ω Biến ngẫu nhiên X gọi F−đo X −1 (B) = {ω ∈ Ω; X(ω) ∈ B} ∈ F ∀B ∈ B Cho X : Ω −→ R biến ngẫu nhiên, σ− đại số F X sinh X σ− đại số nhỏ Ω chứa tất tập X −1 (U ); U mở ⊂ R ta có F X = {X −1 (B); B ∈ B} Rõ ràng, X F X − đo 77 Lấy vi phân hai vế dZ(t) = Y (t)αeαt dt + eαt dY (t) + d < Y, eα > (t) = αY (t)eαt dt + eαt [−αtY (t)dt + σdW (t)] = σeαt dW (t) Bằng cách lấy tích phân ta t σeαs dW (s) Z(t) = x0 + Thay Z(t) = Y (t)eαt vào ta t Y (t) = x0 e−αt + σe−αt eαt dW (s) Thay X(t) = Y (t) + β vào ta t X(t) = X(0)e−αt + β(1 − e−αt ) + σe−αt eαs dW (s) Với u ≤ t t X(t) = x0 e−αt + βα t e−α(t−s) ds + σ 0 t = x0 e−αt + βα u e−α(t−s )ds + βα +σ e−a(t−s) dW (s) (4.15) hay X(u) = x0 e u e−α(t−s) dW (s) + σ u u −αu e−α(t−s) ds u t e−α(t−s) dW (s) + βα e −α(u−s) u ds + σ e−α(u−s) dW (s) chuyển vế u βα e −α(t−s) u ds + σ e−α(t−s) dW (s) = e−α(u−t) (X(u) − x0 e−αu ) (4.16) Sử dụng phương trình ta có X(t) từ t − u từ phương trình (4.15) X(t) = X(u)e −α(t−u) t + αβ e −α(t−s) t ds + σ u e−α(t−s) dW (s) (4.17) e−α(t−s) dW (s) (4.18) u cuối ta X(t) = X(u)e −α(t−u) + β(1 − e −α(t−u) t )+σ u 78 Mơ hình Vasicek bên cạnh lợi phân tích, có số thiếu sót Vì lãi suất ngắn hạn có phân phối chuẩn, với có xác suất để X(t) âm điều không hợp lý theo quan điểm kinh tế Bởi lãi suất danh nghĩa rơi xuống không ngoại trừ người giữ tiền mặt Nó khơng thời gian dài giá giảm liên tục đáng kể Trung bình phương sai trình là: E(X(t)|X0 ) = β + (x0 − β)exp(−αt) σ2 (1 − exp(−2αt)) 2α Trong mơ hình Vacsicel, lãi suất X(t) có phân phối chuẩn V ar(X(t)|X0 ) = lim E(X(t)|X(0)) = µ t→+∞ lim V ar(X(t)|X0 ) = t→+∞ 4.3.2 σ2 2α Mô Phương pháp Euler để mơ cho q trình Ornstein Uhlenbeck X(0) = x0 (4.19) √ Xi+1 = Xi + α(β − Xi )∆t + σ ∆tzi zi ∼ N (0, 1) 4.3.3 Ước lượng tham số Phương pháp hồi qui bình phương nhỏ Mơ hình hồi qui AR: Xi = c + bXi−1 + δ i ∼ N (0, 1) (4.20) 79 c = µ(1 − e−α∆t ) b = e−α∆t δ = σ (1 − 2−2α∆t ) 2α Phương pháp hồi qui bình phương bé cho tham số c, b δ Bằng việc giải ba phương trình nhận tham số α = − ln(b)/∆t β = c/(1 − b) σ = δ/ (b2 − 1)∆t/2 ln(b) Phương pháp cực đại hàm likelihood Ta áp dụng phương pháp cực đại likelihood trực tiếp để xác định tham số α, β σ cho mơ hình Hàm mật độ xác suất có điều kiện đại lượng ngẫu nhiên có qui luật phân phối chuẩn tắc f (x) = √ e−x /2 2π Mật độ xác suất chuyển giá trị quan sát Xi+1 cho quan sát Xi trước với khoảng thời gian ∆t cho f (∆t, Xi , Xi+1 ; α, β, σ) =  = √ 2πσ (1 − e−2α∆ ) 2α   (Xi − Xi−1 e−α∆t − β(1 − e−α∆t ))2   exp  −  2σ Hàm log-likelihood Để đơn giản , ta đặt σ =σ 21 − e−2α∆t 2α 2α (1 − e−2α∆ ) 80 Hàm log-likelihood quan sát X0 , X1 , , Xn có từ hàm mật độ có điều kiện n ln f (Xi |Xi−1 ; α, β, σ) L(α, β, σ) = i=1 = −n ln(2π) − n ln(σ) − 2 2σ n Xi − Xi−1 e−α∆t − β(1 − e−α∆t ) i=1 Đạo hàm riêng hàm âm log-likelihood tương ứng với tham số α, β σ tương ứng ∂L(α, β, σ) − = − σ ∂α − ∂L(α, β, σ) = − ∂β σ n [(Xi − β)(Xi−1 − β) − e−αδt (Xi−1 − µ)2 ]e−α∆t ∆t i=1 n [Xi − Xi−1 e−α∆t − β(1 − e−α∆t )] i=1 ∂L(α, β, σ) n − − = σ σ2 ∂ σ2 n [Xi − µ − e−α∆t (Xi−1 − µ)]2 i=1 Giá trị cực trị tham số, xác định điều kiện Gradient hàm log-likelihood phải ∂L(α, β, σ) = ∂α ∂L(α, β, σ) − = ∂β ∂L(α, β, σ) − = ∂σ − Giải hệ ba phương trình ta n i=1 [Xi − Xi−1 e−α∆t ] n(1 − e−α∆t ) n (Xi − β)(Xi−1 − β) α = − ln i=1 n ∆ i=1 (Xi−1 − β) n σ = [Xi − β − e−α∆ (Xi−1 − β)]2 n i=1 β = 81 Giải hệ ba phương trình cách thay α vào điều kiện β n Si−1 Sx = i=1 n Sy = Si i=1 n Si−1 Sxx = i=1 n Sxy = S−1 Si i=1 n Si2 Syy = i=1 Ta Sy − e−α∆t Sx µ = n(1 − eα∆t ) Sxy − βSx − µSy + nβ α = − ln ∆t Sxx − 2βSx + nβ thay α vào β cho ta Sy − nβ = 1− Sxy − βSx − βSy + nβ Sxx − 2βSx + nβ Sx Sxy − βSx − βSy + nβ Sxx − 2βSx + nβ biến đổi nβ = Sy (Sxx − 2βSx + nβ ) − (Sxy − βSx − βSy + nβ )Sx (Sxx − 2βSx + nβ ) − (Sxy − βSx − βSy + nβ ) Kết quả; Sy Sxx − Sx Sxy n(Sxx − Sxy ) − (Sx2 − Sx Sy ) Sxy − βSx − βSy + nβ α = ln ∆t Sxx − 2βSx + nβ σ2 = [Syy − 2e−2α∆t Sxx − 2β(1 − α)(Sy − e−α∆t Sx ) + nβ (1 − e−αβ )2 ] n β = Kết ước lượng tham số α = 0.3, β = 0.1 σ = 0.03 r0 = 0.03 82 Phương pháp α β LS 0.261 0.258 ML 0.0717 0.0717 app ML 4.3.4 σ 0.02237 0.02213 Định giá trái phiếu mơ hình Vasicek Cơng thức tính giá trái phiếu Trái phiếu zero coupon loại trái phiếu mà người nắm giữ khơng trả lãi (coupon) định kì, thay vào trái phiếu lãi suất bán mức giá chiết khấu Người nắm giữ trái phiếu zero coupon toán lần, số tiền xác định, vào thời điểm xác định tương lai Một số loại trái phiếu zero coupon điều chỉnh theo lạm phát, nói cách khác số tiền tốn tương lai có sức mua tương đương với sức mua mệnh giá trái phiếu Tuy nhiên trái phiếu loại điều chỉnh theo lạm phát hiếm, đại đa số trái phiếu lãi suất toán theo mệnh giá Do toán theo mệnh giá cố định nên giá trái phiếu lãi suất phụ thuộc vào thời hạn toán nó, gần thời hạn tốn giá trái phiếu zero coupon cao Trái phiếu zero coupon ngắn hạn thường có thời hạn tốn năm gọi "tín phiếu" Tín phiếu Kho bạc Mỹ loại trái phiếu động có tính khoản cao giới Các quĩ hưu trí công ty bảo hiểm ưa chuộng loại trái phiếu zero coupon có thời hạn dài thời hạn dài đồng nghĩa với việc giá trái phiếu đặc biệt nhạy cảm với thay đổi lãi suất thị trường, bù trừ rủi ro lãi suất cho khoản vay dài hạn hãng Các nhà đầu tư tài chun gia cịn sử dụng trái phiếu zero coupon để phân tích cách xác đường lợi suất Loại trái phiếu kết hợp ảnh hưởng dòng tiền khác tương lai ảnh hưởng lãi suất Bằng cách giới hạn dòng tiền số 83 tiền toán xác định, trái phiếu zero coupon giúp nhà phân tích tách rời ảnh hưởng riêng lãi suất quãng thời gian khác Chẳng hạn, sử dụng trái phiếu zero coupon phân tích giá hợp đồng hốn đổi Các đường hoa lợi quan hệ lãi suất (hoặc chi phí vay) thời gian cho vay cho loại tiền tệ Trong mơ hình Vasicek, giả sử không gian xác suất (Ω, F, P ) với lọc tự nhiên {F(t)} sinh chuyển động Brown Lãi suất ngắn hạn theo trình Ornstein-Uhlenbeck drt = α(β − rt )dt + σdW (t) Theo phương pháp này, dựa vào (r(u)) trình Markov Nói cách khác để xác định r(T ) từ t cần giá trị r(t) Giá trái phiếu zero-coupon thời điểm mệnh giá 1$ kì hạn T cho T B(t, T, rt ) = E exp − r(u)du F(t)] (4.21) r(u)du rt ] (4.22) t T = E exp − t Ta có u ru = e−α(u−t) rt + β(eα(u−t) − 1) + σ eα(s−t) dW (s) t Với rt tham số Do T t ∂ru (rt ) = e−α(u−t) ∂rt ∂ru (rt ) du = ∂rt T e−α(u−t)du = t (1 − e−α(T −t) ) α ∂B(t, T, rt ) = E − ∂rt T t ∂ru (rt ) du exp (ru (rt )) ∂rt = − (1 − e−α(T −t) )E exp − α = −A(t, T )B(t, T, rt ) T ru (rt ) t (4.23) 84 A(t, T ) = Như vậy, (1 − e−α(T −t) ) α (4.24) ∂B = −AB Do đó, ∂rt B(t, T, rt ) = C(t, T ) exp(−A(t, T )rt ) với hàm C độc lập với rt Xét t exp − T ru (rt )du B(t, T, rt ) = E exp − ru du |F(t) Lưu ý E exp − T ru du |F(t) martingale tính chất tháp Theo cơng thức Itơ, thu exp − t ru (rt )du t −ru B(t, T, rt ) u exp − rs ds B(u, T, ru )du ∂ t u B(u, T, ru )du + exp − rs ds ∂u ∂ t u + exp − rs ds B(u, T, ru )(α(β − ru )du + σdW (u)) ∂ru t ∂2 u + exp − rs ds B(u, T, ru )σ du ∂ru2 = B(0, T, r0 ) + (4.25) Vì maringale, tổng tất số hạng du phải Do đó, rt B(t, T, rt ) + ∂ ∂ B(t, T, rt ) + B(t, T, rt )(α(β − rt )) ∂t ∂rt + σ2 ∂ B(t, T, rt ) = ∂rt2 (4.26) Phương trình (4.26) phương trình đạo hàm riêng cho giá trái phiếu mơ hình Vasicek Hơn nữa, phương trình backward parabolic với B(T, T, rt ) = với rt Ta có B(t, T, rt ) = C(t, T ) exp(−A(t, T )rt ) 85 ta nhận ∂B ∂C ∂A = exp(−A(t, T )rt ) − C rr exp(−A(t, T )rt ) ∂t ∂t ∂t ∂B = −AC exp(−A(t, T )rt ) ∂rt ∂ 2B = A2 C exp(−A(t, T )rt ) ∂rt2 Thay vào phương trình (4.26) ta có ∂C ∂A exp(−Art ) − C rt exp(−Art ) ∂t ∂t σ2 −AC exp(−Art )(α(β − rt )) + A C exp(−Art ) = −rt C exp(−Art ) + Do đó, ∂A σ2 ∂C −C rt − AC(α(β − rt )) + A C = −rt C + ∂t ∂t Bây giờ, B(t, T, 0) = C(t, T ) đặt rt = ta nhận (4.27) σ2 ∂C − αβAC + A C = ∂t Giải phương trình với C(T, T ) = 1, ta C(t, T ) = exp − αβ α T (1 − e−α(T −u) )du + t = exp −β(T − t) + + σ2 2α2 T (1 − e−α(T −u) )2 du t β σ2 (1 − e−α(T −t) ) + (T − t) α 2α σ2 σ2 −2α(T −t) (1 − e ) − (1 − e−α(T −t) ) 3 4α α Đặt D(t, T ) = ln C(t, T ) = (β − σ2 σ A(t, T )2 )[A(t, T ) − (T − t)] − 2α2 4α Vậy B(t, T, rt ) = exp(−A(t, T ))rt + D(t, T ) A(t, T ) cho (4.24) 86 Định giá trái phiếu phương pháp Monte carlo Thuật toán định giá trái phiếu phương pháp Monte Carlo: Mơ q trình (rt ) lãi suất theo trình Ornstein Uhlenbeck Xấp xỉ tích phân r(i) = T t ru(i) du theo quĩ đạo q trình mơ Giá trái phiếu tính trung bình exp −r(i) B(t, T ) = N 4.3.5 N exp{−r(i) } i=1 Kết số Áp dụng mơ hình Vasicek với tham số mơ hình α = 0.03, β = 0.3 σ = 0.03 r0 = 0.03 với t = T = 10 Hình 4.6: Mơ 10 quĩ đạo q trình Ornstein Uhlenbeck với tham số α = 0.03, β = 0.3, σ = 0.03 r0 = 0.03 từ thời điểm t = đến t = 10 với bước thời gian ∆t = 0.05 87 Đường hoa lợi Phương trình đường hoa lợi cho − ln(B(t, T )) = y(T ) T Hình 4.7: Các đường hoa lợi với r0 = 0; 0.2; 0.5 Định giá trái phiếu So sánh công thức giá trái phiếu cách sử dụng xấp xỉ Monte Carlo mô Euler với công thức cho giá trái phiếu Với r0 = 0.03, α = 0.03, β = 0.3 σ = 0.03 Giá trái phiếu theo công thức 0.9614 kết xấp xỉ Monte Carlo cho bảng sau: Số mô Monte Carlo sai số 1,000 0.9619 × 10−4 10,000 0.9616 × 10−4 100,000 0.9614 88 KẾT LUẬN Quá trình ngẫu nhiên Itơ cơng cụ hữu ích cho việc mơ hình hóa giá tài sản, lãi suất, tài Ngồi q trình ứng dụng rộng rãi lĩnh vực ứng dụng khoa học công nghệ, xã hội, vật lí, sinh học, Trong luận văn trình bày lý thuyết trình ngẫu nhiên, trình Itơ Cơng thức Itơ để tính tốn q trình Itơ Bài tốn dự báo q trình Itơ mơ hình dựa vào tính Markov q trình Itơ Dựa vào tính Markov, tính martingale, ta chứng minh công thức Black-schole công thức định giá trái phiếu Ngồi ra, luận văn cịn trình bày phương pháp Monte Carlo để dự báo trình Itơ xác định giá quyền chọn, giá trái phiếu, vài kĩ thuật giảm phương sai sử dụng phương pháp Monte carlo Do phạm vi nghiên cứu thời gian thực có giới hạn nên đề tài chưa thể nêu lên phân tích hết nội dung liên quan đến vấn đề nghiên cứu Vẫn cịn số lỗi ngơn từ chưa chuẩn hóa theo ngơn ngữ tiếng Việt Chưa giải triệt để tốn cụ thể tài với liệu thực tế Với kết đạt hạn chế trên, hướng hoàn thiện đề tài thể nội dung sau: - Bổ sung số vấn đề liên quan đến mơ phỏng, ước lượng để có ứng dụng rộng - Xây dựng toán tài cụ thể với liệu thực tế mơ hình lý thuyết xây dựng 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1- Alison Etheridge (2002).A Course in Financial Calculus Cambridge University Press 2- Bernt Oksendal (1998) Stochastic Differential Equations An Introduction with Applications Fifth Edition, Correct Printing, Springer-Verlag Heidelberg New York 3- E.Allen (2007).Modeling with Itô Stochastic Differenttial Equations Springer 4- Philip E.Protter (2004) Stochastic Modelling And Applied Probability: Stochastic Integration and Differenttial Equations Springer 5- Huyên Pham(2009).Continuous –time Stochastic Control and Optimization with Financial application Springer 6- Trần Hùng Thao (2004) Nhập mơn Tốn Học Tài Chính Nhà xuất khoa học Kỹ Thuật Hà Nội 7- Nguyễn Duy Tiến , Vũ Viết Yên (2009) Lý Thuyết Xác Suất.Nhà Xuất Bản Giáo Dục 8- Đặng Hùng Thắng (2006).Q Trình Ngẫu Nhiên Và Tính Tốn Ngẫu Nhiên Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội 9- Yor, M (2001) Exponential Functionals of Brownian Motion and Related Processes Springer-Verlag, New York 10- Dieter Sondermann (2006) Introduction to Stochastic Calculus for Finance A New Didactic Approach Springer 11- Steven Shreve (1997).Stochastic Calculus and Finance 12- Paul Glasserman (2003) Methods Monte Carlo in Fianancial Engineering Springer 13- Maghsoodi, Y (1998) Exact solution and doubly efficient approximations of jump-diffusion Ito equations, Stochastic Analysis and Applications 14-Fred Espen Benth ,Giulia Di Nunno, Tom Lindstrøm , Bernt Øksendal, 15 Tusheng Zhang The Abel Symposium 2005 Stochastic Analysis and Applications Springer 16- Adam Bobrowski (2005) Functional Alnalysis for Probability and Stochas- 90 tic Processes Cambridge University Press 17 -Fernando Zapatero Introduction to the Economics and Mathematics of Financial Markets 2004 Massachusetts Institute of Technology 18- Peijie Wang (2003) Financial Econometrics Methods and models Routledge 19- Hui-Hsiung Kuo (2005) Introduction to Stochastic Integration.Springer 20- steven m kay university of rhode island 2006 intuitive probability and random processes using matlab R springer 21- David Stirzaker (2005) St John’s College, Oxford Stochastic Processes and Models Oxford University Press - Lý lịch trích ngang: Họ tên: Trần Đình Thành Ngày, tháng, năm sinh:30/09/1981 Nơi sinh: Quảng Bình Địa liên lạc: 38A K2007 ấp Long Đức 1, Tam Phước, Biên Hòa, tỉnh Đồng Nai QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO Từ năm 2000-2004 : học đại học trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh Từ năm 2007 đến nay: học cao học trường Đại Học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh Q TRÌNH CƠNG TÁC Từ năm 2004-2008 : Giáo viên trường THPT Tam Phước, huyện Long Thành, tỉnh Đồng Nai Từ năm 2008 đến : Giáo viên trường cao đẳng Tài Ngun Mơi Trường TP Hồ Chí Minh ... số 45 2.7 DỰ BÁO CÁC QUÁ TRÌNH ITƠ 47 3.1 Mơ hình dự báo q trình ngẫu nhiên 47 3.2 Dự báo trình Itơ 47 3.3 Phương trình Backward Kolmogorov ... phương trình vi phân ngẫu nhiên Chương DỰ BÁO CÁC Q TRÌNH ITƠ 3.1 Mơ hình dự báo q trình ngẫu nhiên Giả sử q trình ngẫu nhiên (Xt ) có giá trị quan sát đến thời điểm s {X(u); ≤ u ≤ s} Mơ hình dự báo. .. Nơi sinh: Quảng MSHV:02407160 Dự Báo Các Q Trình Itơ II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: Đọc tài liệu xác suất, trình ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên, lý thuyết dự báo kiến thức liên quan Viết