CucTri hamso m 3 4

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu Câu Cho hàm số y = x − 3mx + ( 1) Cho A ( 2; 3) , tìm m để đồ thị hàm số ( 1) có hai điểm cực trị B C cho tam giác ABC cân A −1 −3 A m = B m = C m = D m = 2 2 Cho hàm số f ( x ) = x + ax + bx + c giả sử A , B hai điểm cực trị đồ thị hàm số Giả sử đường thẳng AB qua gốc tọa độ Tìm giá trị nhỏ P = abc + ab + c 25 16 A − B − C − D 25 Câu Cho hàm số f ( x ) = x + mx + nx − với m , n tham số thực thỏa mãn  m + n >  Tìm số cực trị hàm số y = f ( x ) 7 + ( 2m + n ) < A B C 11 Câu D Cho hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có đồ thị nhận hai điểm A ( 1; 3) B ( 3; − 1) làm 2 hai điểm cực trị Khi số điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax x + bx + c x + d A B C D 11 Câu Xác định giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y = x − x + mx − m có điểm cực đại cực tiểu A B cho tam giác ABC vuông 2  C tọa độ điểm C  ;0 ÷ ? 3  1 1 A m = B m = C m = D m = Câu ( ) 2 Cho hàm số y = x − x − m − x + m có đồ thị đường cong ( C ) Biết tồn hai số thực m1 , m2 tham số m để hai điểm cực trị ( C ) hai giao điểm ( C ) với trục 4 hoành tạo thành bốn đỉnh hình chữ nhật Tính T = m1 + m2 A T = 22 − 12 Câu C T = B T = 11 − 2−2 D T = 15 − Cho hàm số y = f ( x) = x − (2m − 1) x + (2 − m) x + Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị A Câu  Tìm số cực trị hàm số y = f ( x ) 7 + ( 2m + n ) < A B C 11 Lời giải Chọn C  f ( ) = −1 <   f ( 1) = m + n >   f ( ) = + ( 2m + n ) < lim f ( x ) = +∞ ; lim f ( x ) = −∞ x →+∞ x →−∞ D Khi đồ thị hàm số y = f ( x ) có dạng sau: Đồ thị y = f ( x ) có dạng sau Câu Vậy số cực trị hàm số y = f ( x ) 11 [DS12.C1.2.BT.d] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần - 2017 - 2018)Cho hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có đồ thị nhận hai điểm A ( 1; 3) B ( 3; − 1) làm hai điểm cực trị Khi 2 số điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax x + bx + c x + d A B C D 11 Lời giải Chọn D Xét hàm số y = ax3 + bx + cx + d có y′ = 3ax + 2bx + c  y ( 1) =   y′ ( 1) = ⇔ Theo giả thiết, ta có hệ phương trình  y = − ( )   y′ =  ( ) a + b + c + d = a = 3a + 2b + c = b = −6   ⇔    27 a + 9b + 3c + d = −1 c =  27 a + 6b + c =  d = −1 Vậy hàm số cho y = f ( x ) = x − x + x − có đồ thị ( C ) sau: Từ đồ thị ( C ) , ta suy đồ thị ( C1 ) hàm số y = x − x + x − gồm có hai phần: + Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) bên phải trục tung + Phần 2: Lấy đối xứng phần qua trục tung Từ suy đồ thị ( C2 ) hàm số y = x − x + x − gồm có hai phần: + Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị ( C1 ) phía trục hồnh + Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị ( C1 ) phía trục hồnh qua trục hồnh Do đó, đồ thị ( C2 ) có 11 điểm cực trị Câu [DS12.C1.2.BT.d] (Lớp Tốn - Đồn Trí Dũng -2017 - 2018) Xác định giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y = x3 − x + mx − m có điểm cực đại cực tiểu A B cho tam giác ABC vng C tọa độ điểm 2  C  ; ÷? 3  A m = B m = C m = D m = Lời giải Chọn B Ta có tam giác ABC vuông C nên gọi M điểm uốn đồ thị hám số đồng thời trung điểm AB Khi tam giác vng có đường trung tuyến nửa cạnh huyền ta có phương trình sau: MC = AB = 1+ p2 ( x2 + x1 ) − x1 x2 (*) Thay số:  Hệ số góc đường thẳng qua hai cực trị: p = ( m − 1)  x2 + x1 =  x1 x2 = m  Ta có: y ' = x − x + m ⇒  b    Tọa độ điểm uốn M 1, − ÷ (Chú ý điểm uốn x = − ) 3a  Vậy ta có: (*) ⇔ Câu  = + ( m − 1) − 4m ⇔ m = [DS12.C1.2.BT.d] (THPT Kiến An - HP - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số ( ) y = x − x − m − x + m có đồ thị đường cong ( C ) Biết tồn hai số thực m1 , m2 tham số m để hai điểm cực trị ( C ) hai giao điểm ( C ) với trục hoành tạo 4 thành bốn đỉnh hình chữ nhật Tính T = m1 + m2 A T = 22 − 12 C T = B T = 11 − Lời giải Chọn B 2−2 D T = 15 − Ta có y ′ = x − x − m + Ta có ∆ ′ = + 3m − = 3m + > nên đồ thị hàm số ln có hai điểm cực trị với ∀m ∈¡ Gọi x1 , x2 hai nghiệm y′ 2 2  x 1 Ta có: y =  − ÷ y ′ − m + x + m +  3 3 2 2 2 2     Vậy hai điểm cực trị A  x1 ; − m + x1 + m + ÷ C  x2 ; − m + x2 + m + ÷     3 3 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) Điểm uốn: y ′′ = x − , y ′′ = ⇒ x = ⇒ y = Vậy điểm uốn U ( 1;0) Ta có, hai điểm cực trị ln nhận điểm uốn U trung điểm 2 Xét phương trình x − 3x − m − x + m = ( 1) ( ) ⇔ ( x − 1) x − x − m = ( ) x = ⇔  x − x − m = ( 2) Phương trình ( 2) ln có hai nghiệm thực phân biệt x3 x4 Do U ∈Ox nên điểm B ( x3 ;0) D ( x4 ;0) đối xứng qua U ⇒ ABCD hình bình hành Để ABCD hình chữ nhật AC = BD 2 2 2  2 Ta có AC = ( x1 − x2 ) + m + ( x1 − x2 ) = 1 + m +  ( x1 − x2 )   ( ( ) ( − m2 2  = 1 + m +   −    ( ) Và BD = ( x3 − x4 ) = + 4m )  = 1 + ( m   ) 2 +  m2 +  ) ( ) Vậy ta có phương trình: 2 4 + m + m2 + = m2 +   3  ⇔ + m2 + = 9 ⇔ m2 + = ⇔ m2 = −1 ( ) ( ( ( ⇒ m14 = m24 = Câu ) ( ) ) ) 11 − nên T = 11 − [DS12.C1.2.BT.d] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần - 2018 - BTN) Cho hàm số y = f ( x) = x − (2m − 1) x + (2 − m) x + Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị A ( 1) 13 ( ) Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là: A ( 0;1 − m ) , B − m ; −m − m + , ( ) m ; −m − m + uuu r uuur ⇒ OB = − m ; −m − m + , AC = C ( ) ( m , −m ) Ta có tam giác ABC cân A nên AO ⊥ BC uuur uuur Do tam giác ABC nhận O làm trực tâm ⇔ OB ⊥ AC ⇔ OB ×AC = m = ⇔ m + m3 − m − m = ⇔ m ( m3 + m − m − 1) = ⇔   m = ±1 Kết hợp với ( 1) ta suy m = Cách : ( công thức nhanh ) Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực b3 + 8a − 4abc = tâm  ab < Chứng minh công thức : x = Ta có y′ = 4ax + 2bx , y′ = ⇔  x = − b 2a  Hàm số có ba cực trị ⇔ ab <  −b b   −b b  ;− + c÷ C − ; − + c Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A ( 0; c ) , B  ,  ÷ ÷  a 4a ÷  2a 4a    uuu r  −b b  uuur  −b b  OB =  ;− + c÷ ÷, AC =  − 2a ; − 4a ÷ ÷  2a 4a    Ta có tam giác ABC cân A nên AO ⊥ BC uuur uuur Do tam giác ABC nhận O làm trực tâm ⇔ OB ⊥ AC ⇔ OB ×AC = ⇔   b b2  b2 b  b2 −  − + c ÷ = ⇔ −  − + c ÷ = ⇔ b3 + 8a − 4abc = a 4a  a  4a   Áp dụng cho hàm số y = x − 2mx + − m với a = , b = −2m , c = − m m > ⇔ m = Ta có  ( −2m ) + − ( −2m ) ( − m ) = Câu 17 [DS12.C1.2.BT.d] (SGD-BÌNH PHƯỚC) Với giá trị tham số m đồ thị hàm số y = x − ( m − 1) x + m − 3m + 2017 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 32 ? A m = B m = C m = Lời giải D m = Chọn D x = Ta có y ′ = x − ( m − 1) x = x ( x − m + 1) ; y′ = ⇔   x = m −1 Hàm số có cực trị y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m − > ⇔ m > ( *) Khi tọa độ ba cực trị là: 14  A ( 0; m4 − 3m + 2017 )     AB = AC = m − + ( m − 1)  B − m − 1; m − 4m + 2m + 2016 ⇔    BC = m − C m − 1; m − 4m + 2m + 2016  ( ( ) ) Suy tam giác ABC cân A , gọi AH đường cao hạ từ đỉnh A , ta có AH = ( m − 1) Suy S ∆ABC = AH BC = ( m − 1) ( m − 1) = 32 ⇔ ( m − 1) = 1024 ⇔ m − = ⇔ m = Kết hợp điều kiện ( *) ⇒ m = Câu 18 [DS12.C1.2.BT.d](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2(m + 1) x + 2m + có ba điểm cực trị A , B , C cho trục hoành chia tam giác ABC thành tam giác hình thang biết tỉ số diện tích tam ABC giác nhỏ chia diện tích tam giác + 15 −1 + 5+ −1 + 15 A m = B m = C m = D m = 2 2 Lời giải Chọn A y A M N O B x I C Để hàm số có cực trị a.b < ⇔ m + > ⇔ m > −1 ⇒ y = 2m + x = y ′ = 4x − 4(m + 1) x = ⇔   x = ± ( m + 1) ⇒ y = − m Do trục hoành cắt tam giác ABC nên ⇒ 2m + > 0; − m2 < Gọi M , N giao điểm trục Ox cạnh AB , AC S AMN AM AN  AO  = = Ta có ÷ = với I trung điểm BC S ABC AB AC  AI  Suy AO 2m + ± 15 = ⇔ = ⇔ 2m − 2m − = ⇔ m = AI ( m + 1) Do điều kiện m > −1 nên chọn m = + 15 Câu 19 [DS12.C1.2.BT.d] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c biết a > , c > 2017 a + b + c < 2017 Số cực trị hàm số y = f ( x ) − 2017 là: A B C Lời giải 15 D Chọn B Hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c xác định liên tục D = ¡ Ta có f ( ) = c > 2017 > f ( −1) = f ( 1) = a + b + c < 2017 Do  f ( −1) − 2017   f ( ) − 2017  <  f ( 1) − 2017   f ( ) − 2017  < f ( x ) = +∞ nên ∃α < , β > cho f ( α ) > 2017 , f ( β ) > 2017 Mặt khác xlim →±∞  f ( α ) − 2017   f ( −1) − 2017  <  f ( β ) − 2017   f ( 1) − 2017  < Suy đồ thị hàm số y = f ( x ) − 2017 cắt trục hoành bốn điểm phân biệt Đồ thị hàm số y = f ( x ) − 2017 có dạng Vậy số cực trị hàm số y = f ( x ) − 2017 Câu 20 [DS12.C1.2.BT.d] (THPT Phan Chu Trinh - ĐăkLăk - 2017 - 2018 - BTN) Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = 3x − x − 12 x + m có điểm cực trị A 44 B 27 C 26 D 16 Lời giải Chọn B Xét hàm số f ( x ) = x − x − 12 x + m Ta có f ′ ( x ) = 12 x − 12 x − 24 x , 16 x = f ′ ( x ) = ⇔ 12 x − 12 x − 24 x = ⇔  x = −1  x = Ta có bảng biến thiên  f ( x ) neá u f ( x) ≥ Xét hàm số y = f ( x ) =  u f ( x) <  − f ( x ) neá Nên từ bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) suy hàm số y = 3x − x − 12 x + m có m − 32 < ⇔ ≤ m < 32 điểm cực trị  m − ≥ Do có 27 giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = x − x − 12 x + m có điểm cực trị Câu 21 [DS12.C1.2.BT.d] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I - 2017 - 2018) Gọi A , B hai điểm cực trị đồ thị hàm số f ( x ) = − x + 3x − M ( x0 ;0 ) điểm trục hồnh cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất, đặt T = x0 + 2015 Trong khẳng định đây, khẳng định ? A T = 2017 B T = 2019 C T = 2016 D T = 2018 Lời giải Chọn A Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: f ′ ( x ) = −3x +  x = ⇒ y = −2 Xét f ′ ( x ) = ⇔ −3x + = ⇔  Đặt A ( 1; − ) B ( −1; − )  x = −1 ⇒ y = −6 Ta thấy hai điểm A B nằm phía với trục hồnh Gọi A′ ( 1; ) điểm đối xứng với điểm A qua trục hoành Chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ ba điểm B , M A′ thẳng hàng uuuur uuur x − −2 1  = ⇔ x0 = ⇒ M  ;0 ÷ Ta có: A′M = ( x0 − 1; − ) A′B = ( −2; − ) ⇒ −2 −8 2  Vậy T = + 2015 = 2017 CỰC TRỊ HÀM SỐ ẨN Câu 22 [DS12.C1.2.BT.d] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ sau Số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) + x là: 17 A C B D Hướng dẫn giải Chọn B  x = −1 Đặt g ( x ) = f ( x ) + x suy g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) + = ⇔ f ′ ( x ) = −2 ⇔   x = x0 > −1 Dựa vào đồ thị ta có: Trên ( −∞; −1) f ′ ( x ) > −2 ⇔ f ′ ( x ) + > Trên ( −1; x0 ) f ′ ( x ) > −2 ⇔ f ′ ( x ) + > Trên ( x0 ; + ∞ ) f ′ ( x ) < −2 ⇔ f ′ ( x ) + < Vậy hàm số g ( x ) = f ( x ) + x có cực trị Câu 23 [DS12.C1.2.BT.d] (Chuyên Quang Trung - BP - Lần - 2017 - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ f ′ ( x ) < ∀x ∈ ( −∞; −3, ) ∪ ( 9; +∞ ) Đặt g ( x ) = f ( x ) − mx + với m ∈ ¥ Có giá trị m để hàm số y = g ( x ) có hai điểm cực trị? 18 A C B 11 D 10 Lời giải Chọn C Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − m ⇒ f ′ ( x ) = g ′ ( x ) + m Đồ thị hàm số g ′ ( x ) có cách tịnh tiến đồ thị y = f ′ ( x ) xuống m đơn vị Để hàm số y = g ( x ) có hai điểm cực trị g ′ ( x ) đổi dấu qua điểm Dựa vào đồ thị suy m ∈ [ 0;5] m ∈ [ 10;13) Vì m ∈ ¥ nên có giá trị thỏa mãn Câu 24 [DS12.C1.2.BT.d] (THPT Quảng Xương - Thanh Hóa- Lần 1- 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) khoảng ( −∞; +∞ ) Đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ Đồ thị hàm số y = ( f ( x ) ) có điểm cực đại, cực tiểu? A điểm cực đại, điểm cực tiểu C điểm cực đại, điểm cực tiểu B điểm cực đại, điểm cực tiểu D điểm cực đại, điểm cực tiểu Lời giải Chọn A Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên  f ( x) = y = ( f ( x ) ) ⇒ y′ = f ( x ) f ′ ( x ) = ⇔  ′ f x = ( )  19  x = x1 x =   Quan sát đồ thị ta có f ( x ) = ⇔  x = f ′ ( x ) = ⇔  x = với x1 ∈ ( 0;1) x2 ∈ ( 1;3)  x = x2  x =   f ( x ) >   x ∈ ( 3; +∞ )  f ′ ( x ) > ⇔ ⇔ x ∈ ( 0; x1 ) ∪ ( 1; x2 ) ∪ ( 3; +∞ ) Suy y ′ > ⇔   x ∈∈ ( 0; x1 ) ∪ ( 1; x2 )  f ( x ) <  f ′ x <   ( ) Từ ta lập bảng biến thiên hàm số y = ( f ( x ) ) Suy hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu Câu 25 [DS12.C1.2.BT.d] (Lớp Tốn - Đồn Trí Dũng -2017 - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ bên Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) − ( x − 1) có tối đa điểm cực trị? A B C Lời giải Chọn B Xét hàm số h ( x ) = f ( x ) − ( x − 1) , ta có h′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x − 1) 20 D h′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = x − ⇔ x = ∨ x = ∨ x = ∨ x = Lập bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy đồ thị hàm y = h ( x ) có điểm cực trị Đồ thị hàm số g ( x ) = h ( x ) nhận có tối đa điểm cực trị Câu 26 [DS12.C1.2.BT.d] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần - 2018 - BTN) Hình vẽ bên đồ thị hàm số y = f ( x ) Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = f ( x − 1) + m có điểm cực trị Tổng giá trị tất phần tử S A 12 B 15 C 18 Lời giải D Chọn A Nhận xét: Số giao điểm ( C ) : y = f ( x ) với Ox số giao điểm ( C ′ ) : y = f ( x − 1) với Ox Vì m > nên ( C ′′ ) : y = f ( x − 1) + m có cách tịnh tiến ( C ′ ) : y = f ( x − 1) lên m đơn vị 21 TH1: < m < Đồ thị hàm số có điểm cực trị Loại TH2: m = Đồ thị hàm số có điểm cực trị Nhận TH3: < m < Đồ thị hàm số có điểm cực trị Nhận TH4: m ≥ Đồ thị hàm số có điểm cực trị Loại Vậy ≤ m < Do m ∈ ¢ * nên m ∈ { 3; 4;5} Vậy tổng giá trị tất phần tử S 12 22 ... m = B m = − D m = ± C m = ± Câu 13 Cho h? ?m số y = x − 2mx + m − T? ?m m để h? ?m số có đi? ?m cực trị đi? ?m cực trị đồ thị h? ?m số ba đỉnh tam giác vuông? A m = B m = −1 C m = D m = − Câu 14. .. đi? ?m cực trị m > x = m y′ = ⇔   x = − m Đồ thị h? ?m số có hai đi? ?m cực trị B uuur Suy BC = −2 m ; 4m m ( ) ( ) ( ) m ; − 2m m + , C − m ; 2m m + uuuu r Gọi M trung đi? ?m BC M ( 0;1) , nên AM... OB = − m ; ? ?m − m + , AC = C ( ) ( m , ? ?m ) Ta có tam giác ABC cân A nên AO ⊥ BC uuur uuur Do tam giác ABC nhận O l? ?m trực t? ?m ⇔ OB ⊥ AC ⇔ OB ×AC = ? ?m = ⇔ m + m3 − m − m = ⇔ m ( m3 + m − m − 1)