Toán 10 phương trình đường thẳng

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Vectơ phương   Vectơ u  gọi vectơ phương (VTCP) đường thẳng  giá song song trùng với  Nhận xét:  Một đường thẳng có vơ số vectơ phương    Nếu u vectơ phương  ku  k   vectơ phương  Phương trình tham số đường thẳng  Cho đường thẳng  qua M  x ; y  u   a; b  vectơ phương Khi phương trình tham số đường thẳng có dạng:  x  x  at , t   y  y  bt Nhận xét: A    A  x  at; y  bt  Phương trình tắc đường thẳng  Cho đường thẳng  qua M  x ; y  u   a; b  (với a  , b  ) vectơ phương Khi phương trình tắc đường thẳng có dạng: x  x y  y0  a b Vectơ pháp tuyến đường thẳng   Vectơ n  gọi vectơ pháp tuyến (VTPT)  giá vng góc với  Nhận xét:  Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến    Nếu n vectơ pháp tuyến  kn  k   vectơ pháp tuyến   Liên hệ vectơ phương vectơ pháp tuyến: vectơ pháp tuyến vectơ phương vng góc   với Do  có vectơ phương u   a; b  n   b;a  vectơ pháp tuyến  Phương trình tổng quát đường thẳng  Cho đường thẳng  qua M  x ; y  có vectơ pháp tuyến n   a; b  Khi phương trình tổng quát đường thẳng có dạng: a  x  x   b  y  y0   Chú ý:  Nếu đường thẳng  : ax  by  c  n   a; b  vectơ pháp tuyến  Các dạng đặc biệt phương trình tổng quát  song song trùng với trục Ox   : by  c   song song trùng với trục Oy   : ax  c  HDedu - Page 23  qua gốc tọa độ   : ax  by  Phương trình đoạn chắn:  qua hai điểm A  a;0  , B  0; b    : x y   với  ab   a b Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 : a1x  b1 y  c1   : a x  b y  c  Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1  ta xét số nghiệm hệ phương trình a1x  b1 y  c1   a x  b y  c  (I) Nếu hệ (I) vô nghiệm, hai đường thẳng song song Nếu hệ (I) vô số nghiệm, hai đường thẳng trùng Nếu hệ (I) có nghiệm nhất, hai đường thẳng cắt Nghiệm hệ tọa độ giao điểm hai đường thẳng Chú ý: Nếu a b c  thì: 1    a1 b1  a b2 1 //   a1 b1 c1   a b2 c2 1    a1 b1 c1   a b2 c2 1    a1a  b1b  Góc hai đường thẳng   Góc hai đường thẳng 1  có vectơ pháp tuyến n1   a1 ; b1  n   a ; b  :   n1.n   a1a  b1b cos  1 ,    cos n1 , n     n1 n a12  b12 a 22  b 22   Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M  x ; y  đến đường thẳng  : ax  by  c  cho công thức: d  M0 ,    ax  by  c a  b2 HDedu - Page 24 PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng Phương pháp giải  Phương trình đường thẳng qua hai điểm AB biết A  x1 ; y1  , B  x ; y   x1  x , y1  y  là: x  x1 y  y1  x  x1 y  y1  Đường thẳng qua điểm M  x ; y  có hệ số góc k có phương trình là: y  k  x  x   y  Viết phương trình đường trung trực đoạn AB biết A  x1 ; y1  , B  x ; y   x  x y1  y  ; Đường trung trực đoạn AB qua trung điểm I   AB nhận    AB  x  x1 ; y  y1  , làm vectơ pháp tuyến  Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngồi tam giác Cho đường thẳng cắt nhau:  d1  : A1x  B1 y  C1  ;  d  : A x  B2 y  C2  Phương trình đường phân giác góc tạo đường thẳng là: A1x  B1 y  C1 A B 2  A x  B2 y  C A 2  B2 Chú ý:  Nếu hai đường thẳng song song với chúng có vectơ pháp tuyến vectơ phương  Hai đường thẳng vng góc với vectơ phương đường thẳng vectơ pháp tuyến đường thẳng ngược lại  Cho    : Ax  By  C  A  x1 ; y1  , B  x ; y  A B nằm phía   Ax1  By1  C  Ax  By  C   A B nằm khác phía   Ax1  By1  C  Ax  By  C   Ví dụ minh họa  Ví dụ 1: Lập phương trình tham số đường thẳng  qua M  2;1 có vectơ phương u   3;7   x   3t A  :   y   7t  x   3t B  :   y   7t  x  2  3t C  :   y  1  7t  x  3t D  :   y   7t  Ví dụ 2: Phương trình đường thẳng qua A 1;3 có vectơ pháp tuyến n   3; 2  là: A 3x  2y   B 3x  2y   C 3x  2y   D 3x  2y   Ví dụ 3: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm A  3; 1 B 1;5  A 3x  y   B 3x  y   C  x  3y   D 3x  y  10  HDedu - Page 25 Ví dụ 4: Cho điểm A 1;7  , B  7;5  Viết phương trình đường tắc trung trực đoạn thẳng AB A x 4 y6  1 B x 4 y6  C x 4 y6  3 D x 4 y6  1 Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A  2;0  , B  0;3 , C  3;1 Đường thẳng qua B song song với AC có phương trình: A 5x  y   B 5x  y   C x  5y  15  D x  5y  15  Ví dụ 6: Lập phương trình đường thẳng qua điểm M  5; 3 cắt hai trục tọa độ hai điểm A B cho M trung điểm AB A 3x  5y  30  B 3x  5y  30  C 5x  3y  34  D 5x  3y  34  Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : x  y   ; AC : 7x  y   ; BC :10x  y  19  Viết phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC A 12x  4y   B 2x  6y   C 2x  6y   D 2x  6y   Ví dụ 8: Đường thẳng d qua M  1; 5  cắt trục Ox, Oy A, B cho OA = 2OB Viết phương trình đường thẳng d A x  2y  11  x  2y   B x  y   x  y   C x  2y  11  x  y   D x  y   x  2y   Bài tập tự luyện  Câu Đường thẳng qua A  1;  , nhận n   2; 4  làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: A x  2y   B x  y   C  x  2y   D x  2y   Câu Phương trình đường thẳng qua A  5;1 song song với  d  : x  y   là: A 3x  2y   B x  y   C 3x  2y  D 3x  2y  Câu Phương trình đường thẳng qua B  2;1 vng góc với  d  : x  2y   là: A 3x  2y   B 2x  y   C x  2y  D 2x  y   Câu Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A  3; 1 B 1;5  x   t A   y  1  3t x   t B   y  1  3t x   t C   y   3t x   t D   y  1  3t Câu Cho tam giác ABC có A  2; 1 , B  1;3 , C  6;1 Viết phương trình đường phân giác ngồi góc A tam giác ABC A x  y   B 5x  3y   C 3x  3y   D x  y   HDedu - Page 26 Dạng 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Ví dụ minh họa  x  3  4t  x   2t  Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối đường thẳng: 1 :   :   y   6t  y   3t  A Song song B Trùng C Vuông góc D Cắt khơng vng góc Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng  : x y   d : 3x  4y  10  Khi hai đường thẳng này: A Cắt khơng vng góc C Song song với B Vng góc D Trùng Ví dụ 3: Hai đường thẳng d1 : 4x  3y  18  ; d : 3x  5y  19  cắt điểm có tọa độ: A  3;  B  3;  C  3; 2  D  3; 2  Ví dụ 4: Cho điểm A  3;1 , B  9; 3 , C  6;0  , D  2;  Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB CD A  6; 1 B  9; 3 C  9;3 D  0;  Ví dụ 5: Cho đường thẳng d1 : 2x  y   , d : x  2y   , d : mx  y   Để ba đường thẳng đồng qui giá trị thích hợp m là: A m  6 B m = C m  5 D m = Bài tập tự luyện Câu Cho đường thẳng d : x  2y    :  x  y  , vị trí tương đối hai đường thẳng là: A d //  B d   D d cắt  C d   Câu Cho đường thẳng d : x  2y    :  x  3y  , tọa độ giao điểm hai đường thẳng là:  3  A A  ;   5 3 1 B A  ;  5 5  3 1  D A  ;   5   1 C A  3;   5 Câu Cho điểm A  4; 3 , B  5;1 , C  2;3 , D  2;  Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng AB CD A Trùng B Cắt C Song song D Vng góc Câu Với giá trị m hai đường thẳng  :  2m  1 x  y  m  d : x  m y   vuông góc với nhau? A B 2 C 1 D HDedu - Page 27 Dạng 3: Góc khoảng cách Phương pháp giải  Xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng (d) Cách 1: Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với (d) Tọa độ điểm H giao điểm đường thẳng (d) đường thẳng  Cách 2: Cho d : ax  by  c   at  c  Gọi H hình chiếu điểm M lên đường thẳng d Khi ta có: H  t;  b       Ta có: AH  u d  AH.u d  Từ suy tọa độ điểm H Chú ý: Nếu điểm M  x ; y  , tọa độ hình chiếu H M trên: Ox có tọa độ H  x ;0  Oy có tọa độ H  0; y   Xác định điểm M1 đối xứng với điểm M qua (d) Bước 1: Xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng (d)  x M  2x M  x M Bước 2: Gọi M1 điểm đối xứng với M qua d H trung điểm MM1 , ta được:   y M1  2y M  y M  Viết phương trình hình chiếu đối xứng đường thẳng Cho đường thẳng d1 d Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với d1 qua d Bước 1: Xác định giao điểm I hai đường thẳng d1 d Bước 2: Lấy điểm M  d1 Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua d Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua IM Chú ý: Nếu d1 // d ta làm sau: Bước 1: Lấy điểm M, N  d1 sau xác định hình chiếu điểm M, N qua d M , N Bước 2: Viết phương trình đường thẳng d qua M, N Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Khoảng cách từ điểm M 1; 1 đến đường thẳng  : 3x  4y  17  là: A B C 18 D 10 Ví dụ 2: Khoảng cách hai đường thẳng song song  : 6x  8y  101  d : 3x  4y  là: A 10,1 B 1,01 C 101 D 101 HDedu - Page 29 Ví dụ 3: Tìm điểm M trục Ox cho cách hai đường thẳng: d1 : 3x  2y   d : 3x  2y   ? A 1;0  B  0;0    C 0; D   2;0 Ví dụ 4: Cho ba điểm A  0;0  , B  2;1 , C  2;3 Tìm hình chiếu H C lên đường thẳng AB  1  A H  ;  5   2  B H  ;   5 C H  4; 2  D H  4;  Ví dụ 5: Cho điểm M 1;  đường thẳng d : 2x  y   Tọa độ điểm đối xứng với điểm M qua d là: A  0; 6   3 B  0;   5  12  C  ;  5  3  D  ; 5  5  Ví dụ 6: Phương trình đường thẳng qua P  2;5  cách Q  5;1 khoảng là: A 7x  24y  134  x  y   B 3x  4y   x  C 7x  24y  134  x  D 3x  4y   x  y   x   t Ví dụ 7: Tìm cơsin góc hai đường thẳng 1 :10x  5y    :  y   t A 10 B 10 10 C 10 10 D  10 10 Ví dụ 8: Cho tam giác ABC với A  3;3 , B  1;  , C  4;1 Tìm cơsin góc tạo thành từ hai đường thẳng AB AC A  85 85 B  85 85 C 85 85 D 85 85 Ví dụ 9: Cho M  5;1 , viết phương trình đường thẳng d qua M tạo với đường thẳng d : y  2x  góc 45 A 3x  y  14  x  3y   B 3x  y  14  2x  y   C x  y   x  3y   D x  y   2x  y   HDedu - Page 30 Ví dụ 10: Cho đường thẳng d1 : 2x  y   , d : 3x  6y   Gọi A giao điểm d1 d Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M  2; 1 cắt d1 , d B, C cho tam giác ABC cân đỉnh A A 3x  y   2x  3y   B x  y   x  3y   C 3x  y   x  3y   D x  y   2x  3y   Bài tập tự luyện Câu Tìm hình chiếu H điểm M  2;1 lên đường thẳng d : 2x  y    13  A H  ;  5  6 3 B H  ;  5 5 C H  3; 3 D H  0;3 x   t Câu Cho điểm M  2;  đường thẳng d :  Tọa độ điểm đối xưng với điểm M qua d là: y   t A 1;3  6 B 1;   5  3 C  0;   5 3  D  ;3  5   x   3t Câu Khoảng cách từ điểm M  2;0  đến đường thẳng  là:  y   4t A B C 10 D Câu Viết phương trình đường thẳng (d) qua N  3; 2  tạo với trục Ox góc 45 A x  y   B x  y   C x  y   D x  y   Câu Tìm tọa độ điểm M trục Ox cách hai đường thẳng: d1 : 3x  2y   d : 3x  2y   1  A  ;0  2   B 0;  C  2;0  D 1;0  HDedu - Page 31 Dạng 4: Các toán tam giác Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho ba điểm A  2; 1 , B  0;100  C  2; 4  Tính diện tích tam giác ABC A B C D 147 Ví dụ 2: Cho hai điểm A 1;  B  4;6  Tìm tọa độ điểm M trục Oy cho diện tích tam giác MAB  4 A  0;0   0;   3 B 1;0  C  4;0  D  0;  Ví dụ 3: Cho A 1;3 , B  2;5  C  3;1 Xác định chân đường cao H từ đỉnh C tam giác ABC  11  A H  ;  5   6 30  B H  ;   7   9  C H  ;  5   30 6  ;  D H   7  x   t Ví dụ 4: Cho hai điểm A  1;  , B  3;1 đường thẳng  :  Tọa độ điểm C thuộc  để tam y   t giác ACB cân C  13  A  ;  6   13  B  ;   6   13  C   ;   6  13  D  ;   6 Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A  1; 2  ; B  0;  ;C  2;1 Đường trung tuyến BM có phương trình là: A 3x  5y  10  B 5x  3y   C x  3y   D 3x  y   Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có A 1; 2  , đường cao CH : x  y 1  , đường phân giác BN : 2x  y   Tọa độ điểm B là: A  4;3 B  4; 3 C  4;3 D  4; 3 HDedu - Page 32 Ví dụ 7: Cho tam giác ABC biết trực tâm H 1;1 phương trình cạnh AB : 5x  2y   , phương trình cạnh AC : 4x  7y  21  Phương trình cạnh BC là: A 4x  2y   B x  2y  14  C x  2y  14  D x  2y  14  Bài tập tự luyện Câu Cho ABC có A  2; 1 , B  4;5  , C  3;  Viết phương trình tham số đường cao BH  x   5t A   y   3t  x   5t B   y   3t  x   5t C   y   3t  x   3t D   y  1  5t Câu Cho tam giác ABC có A 1;3 , B  2;5  C  3;1 Tìm điểm đối xứng đỉnh C qua đường thẳng AB 3 9 A H  ;  5 5  6 30  B H  ;   7   9  C H  ;  5   17  D H   ;   5 Câu Cho A 1;0  B 1;  , C  3;0  Viết phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC x   t A  y   t x   t B  y   t x  t C  y   t x   t D  y   t HDedu - Page 33 PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu Phương trình đường thẳng 3x  2y   có vectơ pháp tuyến là: A  3;  B  3; 2  C  3;  D  3;   x   2t Câu Phương trình đường thẳng  d  :  có vectơ phương là: y  t A 1;  B  3; 2  Câu Phương trình đường thẳng  d  : A  3;5  C  2;3 D  2; 1 x 5 y2  có vectơ phương là: B  3; 2  C  5;3 D  2;3 Câu Phương trình đường thẳng qua A  2;3 có vectơ phương  3; 2  là:  x   2t A   y   3t  x   3t B   y   2t  x   3t C   y   2t  x   3t D   y   2t Câu Phương trình tham số  qua A  3;5  có hệ số góc k = x  t A   y  1  2t x  t B   y  1  2t x  t C   y  1  2t x  t D   y  4  2t  x   2t Câu Tìm hình chiếu H điểm M  2;1 lên đường thẳng d :   y  3  2t A H 1; 3 B H  2; 4  C H  0; 2   1 3  D H  ;   2  Câu Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm A  0; 5  B  3;0  A x y  1 B  x y  1 C x y  1 D x y  1 Câu Viết phương trình tắc đường thẳng qua điểm A 1;1 vng góc với đường thẳng có phương trình A x 3 y  x 1 y 1  B x 1 y 1  C x 1 y 1  2 D x 1 y 1  3 Câu Cho tam giác ABC có AB : x  2y  12  ; AC : 3x  2y   ; BC :  x  3y  12  Tìm hình chiếu A lên đường thẳng BC  30  A H  ;  7   6 30  B H  ;   7   30  C H  ;   7  30 6  ;  D H   7  Câu 10 Tìm chân đường cao hạ từ M  2; 1 lên đường thẳng qua điểm A  3; 7  B 1; 7  A H  2;7  B H  2; 7  C H  2; 7  D H  7;  HDedu - Page 34 Câu 11 Cho đường thẳng d : x     : 3x  6y   , vị trí tương đối hai đường thẳng là: A d //  B d   C d   D d cắt  Câu 12 Có đường thẳng qua điểm M  2; 3 cắt hai trục tọa độ hai điểm A B cho tam giác OAB vuông cân A B C D Câu 13 Cho ba điểm A  0;1 , B 12;5  C  3;0  Đường thẳng sau cách ba điểm A,B,C? A x  3y   B  x  y  10  C x  y  D 5x  y   Câu 14 Hai cạnh hình chữ nhật nằm hai đường thẳng d1 : 4x  3y   , d : 3x  4y   , đỉnh A  2;1 Diện tích hình chữ nhật là: A B C D Câu 15 Khoảng cách hai đường thẳng 1 : 7x  y    : 7x  y  12  là: A 50 B C 2 D 15 Câu 16 Cho hai đường thẳng d1 : x  2y   , d : x  3y   Phương trình đường thẳng d đối xứng với d1 qua d là: A x  2y   B 2x  y   C x  2y   D x  7y   HDedu - Page 35 ... góc hai đường thẳng 1 :10x  5y    :  y   t A 10 B 10 10 C 10 10 D  10 10 Ví dụ 8: Cho tam giác ABC với A  3;3 , B  1;  , C  4;1 Tìm cơsin góc tạo thành từ hai đường thẳng AB... khoảng cách Phương pháp giải  Xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng (d) Cách 1: Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với (d) Tọa độ điểm H giao điểm đường thẳng (d) đường thẳng  Cách... Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngồi tam giác Cho đường thẳng cắt nhau:  d1  : A1x  B1 y  C1  ;  d  : A x  B2 y  C2  Phương trình đường phân giác góc tạo đường thẳng