2 toán 12 hình mặt nón mặt cầu

CHƯƠNG 2: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ 1: MẶT NÓN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Mặt nón trịn xoay Đường thẳng d , cắt O tạo thành góc  với 0    90 , mp  P  chứa d ,  P  quay quanh trục  với góc  khơng đổi Ta mặt nón trịn xoay đỉnh O   gọi trục  d gọi đường sinh  Góc  gọi góc đỉnh Hình nón trịn xoay, khối nón trịn xoay Cho tam giác SOA vng O Quay tam giác quanh cạnh góc vng SO tạo hình nón trịn xoay Khối nón phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay, kể hình nón Các thơng số thường gặp:  r  OA  OB : bán kính đáy  h  SO : chiều cao hình nón  I  SA : đường sinh hình nón   SAB : góc đỉnh Các cơng thức khối nón  Mối liên hệ h , l r : Ví dụ: Hình nón có chiều cao 4, bán kính đáy h2  r  l  Độ dài đường sinh là:  Diện tích xung quanh: l  h  r  33   25  l  S xq   rl  Diện tích xung quanh:  Diện tích đáy: S xq   rl   3.5  15 Sd   r  Diện tích đáy:  Diện tích tồn phần: Stp  S xq  S d   rl   r  Thể tích khối nón: V   r 2h  Chu vi đáy: Cd  2 r S d   r   32  9  Diện tích tồn phần: Stp  S xq  S d  15  9  24  Thể tích khối nón: 1 V   r h   32  12 3 HDedu - Page 174  Chu vi đáy: Cd  2 r  2   Hình nón cụt  Diện tích xung quanh: S xq   l  r1  r2   Diện tích tồn phần: Stp    r1  r2  lr1  lr2   Thể tích khối nón: V   h r12  r1r2  r22   PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích khối nón Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình nón có bán kính đáy 4a , chiều cao 3a Diện tích xung quanh hình nón là: A 20 a B 40 a C 24 a Ví dụ 2: Một khối nón có diện tích đáy 25 cm thể tích D 12 a 125 cm3 Khi đường sinh khối nón bằng: A cm B cm C cm D cm Ví dụ 3: Một khối nón có bán kính r  2a , góc đỉnh 60 Tính thể tích khối nón A 8 3a B 2 2a 3 C  a3 3 D 8 3a 3 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy, SC  a Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA đường gấp khúc SAC tạo thành hình nón trịn xoay Thể tích khối nón trịn xoay là: A 4 a 3 B a 3 C  a3 3 D  a3 HDedu - Page 175 Ví dụ 5: Cho ABO vng O ,  BAO  30 , AB  a , quay ABO quanh trục AO ta hình nón có diện tích xung quanh bằng: A  a B  a2 C  a2 D 2 a Ví dụ 6: Cho hình trịn có bán kính 6, hình vẽ hình trịn bán kính OA , OB , ghép bán kính lại cho thành hình nón Thể tích khối nón tương ứng là: Cắt bỏ A 81 B 9 C 81 D 9 Bài tập tự luyện Câu Cho ABO vuông O ,  BAO  30 , AB  a , quay ABO quanh trục AO ta hình nón có diện tích xung quanh bằng: A  a B  a2 C  a2 D 2 a Câu Một hình nón có đường sinh 6cm, diện tích xung quanh 240 cm Đường kính đường trịn đáy hình nón bằng: A 30 cm B 40 cm C 60 cm D 80 cm Câu Một hình nón có đường sinh 8cm, diện tích xung quanh 240 cm Đường kính đường trịn đáy hình nón bằng: A 30 cm B 30 cm C 60 cm D 50 cm HDedu - Page 176 Dạng 2: Thiết diện khối nón Phương pháp giải Trường hợp 1: Thiết diện qua trục hình nón: mp  P  qua trục hình nón cắt mặt nón theo đường sinh SA , SB ( AB đường kính đáy) Thiết diện tam giác cân SAB Thiết diện qua trục hình nón thơng thường hay gặp số dạng như:  Thiết diện qua trục tam giác vuông cân: AB  SA  Thiết diện qua trục tam giác đều: AB  SA  SB  Thiết diện qua trục có góc đỉnh (góc  ASB ) số độ cho trước… Trường hợp 2: Thiết diện qua đỉnh hình nón: mp  P  qua đỉnh hình nón cắt mặt nón theo đường sinh SA , SB ( AB dây cung đáy) Thiết diện tam giác cân SAB Chú ý: Kẻ OH  AB H trung điểm AB Góc mặt phẳng  SAB  với đường tròn đáy  SHO Kẻ OK  SH OK  d  O, SAB   Trường hợp 3: Thiết diện vng góc với trục hình nón song song với đường trịn đáy hình nón: mp  P vng góc với trục hình nón Giao tuyến đường tròn HDedu - Page 177 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện tích xung quanh hình nón bằng: A  a2 B  a2 C 3 a 2 D  a Ví dụ 2: Một hình nón có bán kính đường trịn đáy a Thiết diện qua trục hình nón tam giác có góc đỉnh 120 Tính thể tích V khối nón A V   a3 B V   a3 3 C V   a3 D V   a3 Ví dụ 3: Cho hình nón trịn xoay có đường cao h  , r  , mặt phẳng  P  qua đỉnh hình nón khơng qua trục hình nón cắt hình nón theo giao tuyến tam giác cân có độ dài cạnh đáy Tính diện tích S thiết diện tạo A S  91 B S  C S  19 D S  Ví dụ 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường trịn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB  SAO  30 ;  SAB  60 Tính diện tích xung quanh hình nón A 4 B 3 D 3 C 2 Ví dụ 5: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h  a bán kính đáy r  2a Mặt phẳng  P  qua S cắt đường tròn đáy A B cho AB  3a Tính khoảng cách d từ tâm đường tròn đáy đến  P  A d  3a B d  a C d  5a D d  2a Ví dụ 6: Cho hình nón có thiết diện qua đỉnh S tạo với đáy góc 60 tam giác cạnh cm Thể tích khối nón là: A 9 cm3 B 3 cm3 C 3 cm3 D 7 cm3 Ví dụ 7: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h  a bán kính đáy r  qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 5a Một mặt phẳng  P  3a Diện tích thiết diện tạo  P  hình nón là: A a B a C 15 a D a HDedu - Page 178 Ví dụ 8: Cho hình nón có đáy đường trịn có đường kính 10 Mặt phẳng vng góc với trục cắt hình nón theo giao tuyến đường trịn hình vẽ Tính thể tích khối nón có chiều cao A 8 B 24 C 96  D 200 Ví dụ 9: Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao 40 cm Người ta cắt vật N1 mặt cắt song song với mặt đáy để hình nón nhỏ N tích thể tích N1 Tính chiều cao h hình nón N A cm B 10 cm C 20 cm D 40 cm Bài tập tự luyện Câu Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện tích xung quanh hình nón bằng: A  a2 B  a2 2 3 a C D  a Câu Cắt khối nón mặt phẳng qua trục tạo thành tam giác ABC có cạnh a, biết B, C thuộc đường tròn đáy Thể tích khối nón là: A a 3 B 3 a C a 3 24 D 3a 3 Câu Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao 40 cm Người ta cắt vật N1 mặt cắt song song với mặt đáy để hình nón nhỏ N tích thể tích N1 Tính chiều 64 cao h hình nón N ? A cm B 10 cm C 20 cm D 40 cm Câu Một hình nón có đường sinh a góc đỉnh 90 Cắt hình nón mặt phẳng  P  qua đỉnh cho góc  P  mặt đáy hình nón 60 Khi diện tích thiết diện là: A  2a B  a2 C 2 a D 3 a HDedu - Page 179 Dạng 3: Khối nón nội tiếp, ngoại tiếp khối đa diện Phương pháp giải - Một hình chóp gọi nội tiếp hình nón nếu:  Đáy hình chóp đa giác nội tiếp đáy hình nón  Đỉnh hình chóp đỉnh hình nón Khi chiều cao h hình nón với chiều cao hình chóp Bán kính đáy hình nón bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy hình chóp - Một hình chóp gọi ngoại tiếp hình nón nếu:  Đáy hình chóp đa giác ngoại tiếp đáy hình nón  Đỉnh hình chóp đỉnh hình nón Khi chiều cao h hình nón với chiều cao hình chóp Bán kính đáy hình nón bán kính đường trịn nội tiếp đáy hình chóp Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc  SAB  60 Thể tích hình nón đỉnh S đáy dường trịn ngoại tiếp ABCD là: A  a3  a3  a3  a3 B C D 12 12 6 Ví dụ 2: Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a, có diện tích xung quanh là: A S xq   a2 B S xq   a2 C S xq   a2 3 D S xq   a2 Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối nón nội tiếp chóp tam giác A  a2 108 B  a3 108 C  a3 D  a2 Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.ABC D có cạnh a, hình nón có đỉnh tâm hình vng ABCD có đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng ABC D Diện tích xung quanh hình nón là: A  a2 3 B  a2 2 C  a2 D  a2 HDedu - Page 180 Bài tập tự luyện Câu Cho S.ABCD hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 45 Hình nón đỉnh S, đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD, có diện tích xung quanh là: A S xq  2 a B S xq   a C S xq   a2 D S xq   a2 Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên 2a Diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 3 a 3 a 2 B C 3 a D 3 a Câu Một khối tứ diện có cạnh a nội tiếp hình nón Thể tích khối nón A 3 a 27 B 6 a3 27 C 3 a D 6 a3 PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu Mệnh đề sau mệnh đề sai? A Hình trụ ln chứa đường trịn B Hình nón ln chứa đường trịn C Hình nón ln chứa đường thẳng D Mặt trụ chứa đường thẳng Câu Cho khối nón tích A 100 , biết tỉ số đường cao đường sinh khối nón 81 Tính diện tích xung quanh khối nón 10 B 10 5 C 10 5 D 10 Câu Một hình nón có đường cao h  20 cm, bán kính đáy r  25 cm Tính diện tích xung quanh hình nón đó: A 5 41 B 25 41 C 75 41 D 125 41 HDedu - Page 181 Câu Một hình nón có bán kính đáy R, đường cao 4R Khi đó, góc đỉnh hình nón 2 Khi khẳng định sau khẳng định đúng? A tan   B cot   C cos   D sin   Câu Gọi S diện tích xung quanh hình nón trịn xoay sinh đoạn thẳng AC  hình lập phương ABCDABC D có cạnh b quay xung quanh trục AA Diện tích S là: B  b 2 A  b D  b C  b Câu Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng 3a Diện tích xung quanh hình nón A  a2 B 16  a 2 C 9 a 2 D  a Câu Cho hình nón có chiều cao h góc đỉnh 90 Thể tích khối nón xác định hình nón trên: A  h3 B 6 h3 C 2 h3 D 2 h3 Câu Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác Khai triển hình nón theo đường sinh, ta hình quạt trịn có góc tâm  Trong kết luận sau, kết luận đúng? A    B   2 C   3 D    Câu Cho hình nón có đỉnh S, độ dài đường sinh 2a Một mặt phẳng qua đỉnh S cắt hình nón theo thiết diện, diện tích lớn thiết diện A 2a B a C 4a D 3a Câu 10 Hình chữ nhật ABCD có AB  , AD  Gọi M, N, P, Q trung điểm bốn cạnh AB, BC, CD, DA Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật trịn xoay tích bằng: A V  8 B V   C V  4 D V  2 Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón có đỉnh S đáy đường trịn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD A S xq   a ;V   a3 C S xq  2 a ;V  B S xq   a ;V  12  a3  a3 D S xq  2 a ;V  12 12  a3 6 Câu 12 Khối nón có chiều cao 3a Thiết diện song song cách mặt đáy đoạn a, có diện 64 tích  a Khi đó, thể tích khối nón A 16  a B 25 a C 48 a D 16 a HDedu - Page 182 CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ 2: MẶT TRỤ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Mặt trụ tròn xoay Trong mặt phẳng  P  cho hai đường thẳng  l song song nhau, cách khoảng r Khi quay mặt phẳng  P  quanh trục cố định  đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ Đường thẳng  gọi trục Đường thẳng l gọi đường sinh Khoảng cách r gọi bán kính mặt trụ Hình trụ trịn xoay khối trụ trịn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB đường gấp khúc ABCD tạo thành hình, hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ Khối trụ trịn xoay, gọi tắt khối trụ, phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ Đường thẳng AB gọi trục r  AD  BC : bán kính đáy l  CD : đường sinh hình trụ AB  CD  h : chiều cao hình trụ Cơng thức khối trụ Mối liên hệ h l: Ví dụ: Hình trụ có chiều cao 4, bán kính đáy hl Độ dài đường sinh là: Diện tích xunh quanh: lh4 Sxq  2rl Diện tích xunh quanh: Diện tích hai đáy: Sxq  2rl  .2.3.4  24 S2đ  2r Diện tích hai đáy: Diện tích tồn phần: S2đ  2r  2.32  18 Stp  Sxq  S2ñ  2rl  2r Diện tích tồn phần: Thể tích khối trụ: Stp  Sxq  S2ñ  24  18  42 V  r h Thể tích khối trụ: V  r h  .32.4  36 HDedu - Page 183 CHƯƠNG 2: Mắt nón, mặt trụ, mặt cầu CHUYÊN ĐỀ 3: KHỐI CẦU PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Mặt cầu Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng R khơng đổi gọi mặt cầu có tâm O bán kính R, kí hiệu S(O;R) Mặt cầu S  O; R   M OM  R Vị trí tương đối điểm mặt cầu Cho điểm A mặt cầu S(O;R) Ta có:  Điểm A thuộc mặt cầu OA = R  Điểm A nằm mặt cầu OA < R  Điểm A nằm mặt cầu OA > R Hình cầu, khối cầu Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O;R) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu S(O;R) Khối cầu S  O; R   M OM  R Giao mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S(O;R) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (P) Khi h = OH khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P)  Nếu h > R: mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu  Nếu h = R: mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu điểm H Ta có OH  (P) Điểm H gọi điểm mặt cầu S (O;R) mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện mặt cầu HDedu - Page 193 Vậy ta có: Điều kiện cần đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) điểm H (P) vng góc với bán kính OH điểm H  Nếu h < R: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r  R  h Đặc biệt h = mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường trịn lớn có bán kính r = R Giao mặt cầu với đường thẳng Tiếp tuyến mặt cầu Cho mặt cầu S(O;R) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu vng góc tâm O d = OH khoảng cách từ O đến ∆  Nếu d < R, đường thẳng ∆ cắt mặt cầu hai điểm M, N Đặc biệt, d = đường thẳng ∆ qua tâm O cắt mặt cầu hai điểm A, B Khi AB đường kính mặt cầu  Nếu d = R, đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu điểm H ( H gọi tiếp điểm đường thẳng ∆ gọi tiếp tuyến mặt cầu)  Nếu d > R, đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu HDedu - Page 194 Các công thức khối cầu Ví dụ: Mặt cầu có bán kính R = 3a Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4R Khối cầu bán kính R tích là: V  Diện tích mặt cầu là: R S  4R  4  3a   36a Thể tích khối cầu là: V 4 R    3a   36a 3 PHẦN 2: CƠNG THỨC TÍNH NHANH Hình chóp có cạnh bên SA vng góc với đáy, đáy có bán kính đường trịn ngoại tiếp r Nếu đáy tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c, nửa chu vi p r abc p  p  a  p  b  p  c  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: SA R r  Nếu đáy tam giác r a 3 Nếu đáy hình vng cạnh a r a 2 Hình chóp có cạnh bên SA có: SO vng góc với đáy với O tâm hình trịn ngoại tiếp đáy Nếu đáy hình vng, O giao điểm hai đường chéo Nếu đáy tam giác vuông, O trung điểm cạnh huyền Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: R2  SA 2SO Nếu đáy tam giác đều, O trọng tâm HDedu - Page 195 Hình chóp có cạnh bên SA có: SO vng góc với đáy với O tâm hình trịn ngoại tiếp đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: Nếu đáy hình vng, O giao điểm hai đường chéo R2  Nếu đáy tam giác vuông, O trung điểm cạnh huyền SA 2SO Nếu đáy tam giác đều, O trọng tâm Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với đáy Giao tuyến mặt bên (SAB) mặt phẳng đáy AB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: AB2 R R R  2 2 R1, R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt bên đáy PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích, thể tích khối cầu Phương pháp giải Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Mặt cầu có bán kính R tích là: A R B 6R C 6R D 8R Ví dụ 2: Cho hình trịn đường kính 4a quay quanh đường kính Khi thể tích khối trịn xoay sinh bằng: A 32 a B a C a D 64 a Ví dụ 3: Một khối cầu có diện tích đường trịn lớn 2π diện tích khối cầu là: A  B 4 C 8 D 16 Ví dụ 4: Một mặt cầu có bán kính 10cm Một mặt phẳng cách tâm mặt cầu cm cắt mặt cầu theo đường tròn Chu vi đường trịn bằng: A 6π cm B 12π cm C 24π cm D 16 5 cm HDedu - Page 196 Ví dụ 5: Cho hình trụ nội tiếp mặt cầu tâm O, biết thiết diện qua trục hình vng diện tích mặt cầu 72  cm  Tính diện tích xung quanh hình trụ A 12  cm  B 16  cm  C 18  cm  D 36  cm  Ví dụ 6: Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Xét hai mặt cầu sau: Mặt cầu tiếp xúc với hai đáy hình trụ tiếp xúc với tất đường sinh hình trụ, gọi mặt cầu nội tiếp hình trụ Mặt cầu qua hai đường trịn đáy hình trụ, gọi mặt cầu ngoại tiếp hình trụ Kí hiệu S1 diện tích mặt cầu nội tiếp hình trụ, S2 diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ Tính tỉ số S1 S2 A S1  S2 B S1  S2 C S1 2 S2 D S1  S2 Ví dụ 7: Một bình đựng nước có dạng hình nón ( khơng có đáy), đựng đầy nước Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao bình nước đo thể tích nước tràn ngồi 18π (dm3) Biết khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón nửa khối cầu chìm nước ( hình dưới) Tính thể tích nước cịn lại bình A 24π (dm3) B 54π (dm3) C 6π (dm3) D 12π (dm3) Bài tập tự luyện Câu Mặt cầu (S) tích 36π dm3 Diện tích mặt cầu (s) A 24π cm2 B 36π cm2 C 18π cm2 D 20π cm2 Câu Cho mặt cầu (S) tâm O, có bán kính r = 5cm Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu (S) theo dây cung AB = 6cm Khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆ A cm B cm C cm D cm Câu Cho mặt cầu (S) tâm O, có bán kính r = 3a Mặt phẳng    cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường trịn có diện tích a Khoảng cách từ O đến mặt phẳng    A 3a B 2a C 2a D 3a HDedu - Page 197 Dạng 2: Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình chóp Phương pháp giải Cho hình chóp S.A1A2 An (đáy đa giác nội tiếp) Để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo ba bước:  Bước 1: Xác định tâm H đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  Bước 2: Qua H dựng ∆ vng góc với mặt phẳng đáy ∆ trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  Bước 3: Lập mặt phẳng trung trực    cạnh bên Tâm O mặt cầu giao điểm ∆ mặt phẳng    Bán kính: R = OA (=OS) Chú ý:  Một số trường hợp đặc biệt xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Tam giác vng Tam giác Tam giác  Công thức tam giác đồng dạng: ∆SMO đồng dạng với ∆SIA SO SM MO   SA SI IA HDedu - Page 198 Ví dụ minh họa 2.1 Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy Cách 1: Cho hình chóp S.A1A2 An có cạnh bên SA  (A1A2 An) đáy A1A2 An nội tiếp đường tròn tâm O Từ tâm O ngoại tiếp đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (A1A2 An) O Dựng đường trung trực ∆ cạnh SA1, cắt d I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính R = IA1 = IA2 = = IAn = IS Ta có MIOA1 hình chữ nhật Xét ∆MA1I vng M có:  SA  R  A1I  MI  MA  A1O      2 Cách 2: (Cơng thức tính nhanh) Gọi h chiều cao hình chóp r bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy bán kính mặt cầu là: h R  r   2 2 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy, ABC tam giác vuông A biết AB = 6a, AC = 8a, SA = 10a Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 5a B 5a C 10a D 2a HDedu - Page 199 2.2 Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt phẳng đáy Đối với dạng mặt bên vng góc thường tam giác vng, tam giác cân tam giác Cách 1: Xác định trục d đường tròn đáy Xác định trục ∆ đường tròn ngoại tiếp mặt bên vng góc với đáy Giao điểm I d ∆ tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Cách 2: (Cơng thức tính nhanh) Gọi R1, R2 bán kính mặt bên, mặt đáy, a độ dài cạnh chung mặt bên vuông góc đáy bán kính mặt cầu là: R  R12  R 22  a2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A V  5 B V  15 54 C V  3 27 D V  15 18 HDedu - Page 200 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A a 21 B a 21 C a D a 2.3 Hình chóp Cách 1: Gọi O tâm đáy, SO trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Trong mặt phẳng xác định SO cạnh bên, chẳng hạn mặt phẳng (SAO), ta vẽ đường trung trực cạnh SA cắt SO I, I tâm mặt cầu SNI  SOA  SN.SA SA SN SI    Bán kính là: R  IS  SO 2SO SO SA Cách 2: (Cơng thức tính nhanh) Giả sử hình chóp có cạnh bên SA, đường cao SO bán kính mặt cầu là: R SA 2SO Ví dụ 4: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC, biết cạnh đáy có độ dài a, cạnh bên SA  a A 2a B 3a 2 C a D 3a Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAC cạnh a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A R  a B R  a C R  a D R  a HDedu - Page 201 2.4 Mặt cầu nội tiếp hình chóp Điều kiện tồn mặt cầu nội tiếp khối chóp: Nếu đáy hình chóp tồn điểm cách tất mặt xung quanh hình chóp hình chóp có hình cầu nội tiếp Cách xác định tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp có hình chiếu vng góc đỉnh trùng với điểm đáy mà cách tất mặt bên: - Xác định điểm O cách đáy - Nối đỉnh hình chóp với O đoạn thẳng - Dựng mặt phẳng phân giác góc nhị diện đáy Giao điểm mặt phẳng phân giác với đường thẳng tâm hình cầu nội tiếp cần tìm Cơng thức tính nhanh: Nếu đặt V thể tích khối chóp Stp tổng diện tích mặt đáy mặt bên chóp (diện tích tồn phần) bán kính r mặt cầu nội tiếp khối chóp là: r 3V Stp Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD A 6 a B 6 a C 6 a D 6 a 12 Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có tất cạnh a Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác S.ABC A a B a 12 12 C a D a 12 HDedu - Page 202 Bài tập tự luyện Câu Mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD cạnh a có bán kính A a B a C a D 2a Câu Hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a có chiều cao a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A Smc  9a B Smc  9a C Smc  9a D Smc  9a Câu Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho? A 24 15a 27 B 25 15a 27 C 20 15a 27 D 24 15a 25 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD theo a A a 12 12 B a C a D a 21 HDedu - Page 203 Dạng 3: Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp lăng trụ Phương pháp giải 1.1 Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ  Để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ phải hình lăng trụ đứng có đáy lăng trụ hình đa giác nội tiếp đường trịn  Phương pháp chung tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ: Gọi O1, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ  O1O2 trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy Gọi I trung điểm O1O2  IA  IB  IC  IA '  IB  IC ' Suy ra: - Trung điểm I O1O2 tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ - Bán kính: OO  R  IA  AO  IO  AO      2 2 Chú ý: Đối với hình hộp chữ nhật: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R  a  b2  c2 , a, b, c ba kích thước 1.2 Mặt cầu nội tiếp lăng trụ - Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a: bán a kính R  - Đường cao hình lăng trụ đường kính hình cầu nội tiếp HDedu - Page 204 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông C, AC  a; BC  a Góc đường chéo AC mặt bên ACCA với mặt đáy 30 Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ A 10a B 10a C 8a D 10a Ví dụ 2: Một hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ A a 39 B a 12 C 2a D 4a Ví dụ 3: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh A 32 B 36 C 64 D 4 Bài tập tự luyện Câu Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, 2a, 2a bằng: 9a A 9a B 27 a C D 36a Câu Cho hình lăng trụ tam giác có chín cạnh a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là: A a 21 54 B a 3 54 C a 54 D a 21 18   60 Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AC  b; ACB Đường chéo BC mặt bên BBCC tạo với mặt phẳng  AACC  góc 30 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho A b B b C b D 2b HDedu - Page 205 PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu Cho mặt cầu có diện tích A a B a Câu Cho hình cầu tích bẳng A a B 8a , bán kính mặt cầu là: C a D a D a 8a , bán kính mặt cầu là: 27 a C a Câu Cho mặt cầu có bán kính (cm) Diện tích mặt cầu là: A 100  cm3  B 400  cm  C 500  cm  D 100  cm  Câu Khối cầu (S) có diện tích mặt cầu 16π Tính thể tích khối cầu A 32  B 32  C 32  D 32  Câu Cho khối cầu tích 36  cm3  Bán kính R khối cầu là: A R   cm  B R   cm  Câu Cho mặt cầu có diện tích A a B C R   cm  D R   cm  8a , bán kính mặt cầu là: a C a D a Câu Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Hình chóp có đáy tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp B Hình chóp có đáy hình thang vng có mặt cầu ngoại tiếp C Hình chóp có đáy hình bình hành có mặt cầu ngoại tiếp D Hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp Câu Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) có SA = a, AB = b, AC = c Mặt cầu qua đỉnh A, B, C, S có bán kính r bằng: A a  b  c B a  b  c C a  b2  c2 D a  b2  c2 HDedu - Page 206 Câu Mặt cầu tâm O bán kính R = 17 dm Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu cho giao tuyến qua ba điểm A, B, C mà AB = 18 dm, BC = 24 dm, CA = 30 dm Tính khoảng cách từ O đến (P) A dm B dm C 14 dm D 16 dm Câu 10 Cho mặt cầu bán kính r hình trụ có bán kính đáy r chiều cao 2r Tỉ số thể tích khối cầu khối trụ là: A B C D Câu 11 Hai khối cầu (O1;R1) (O2;R2) có diện tích S1, S2 Nếu R  2R1 A 16 B C S2 S1 D Câu 12 Cho hình trụ có bán kính đáy cm, trục OO  8cm mặt cầu đường kính OO Hiệu số diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình trụ là: A 6π cm2 B 16π cm2 C 40π cm2 D 208π cm2 Câu 13 Người ta bỏ bốn bóng bàn kích thước, bán kính a vào hộp hình trụ có đáy hình trịn lớn bóng bàn Biết bóng bàn nằm cùng, bóng tiếp xúc với mặt đáy mặt đáy hình trụ Lúc đó, diện tích xung quanh hình trụ bằng: A 8a B 4a C 16a D 12a Câu 14 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên 2a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: 16a  14 A 49 2a  14 B 64a  14 C 147 64a  14 D 49 Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A 5a  15 18 B 5a  15 54 C 4a  27 D 5a  Câu 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B BA = BC = Cạnh bên SA = vng góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: A Câu 17 B C D Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B,   SCB   90 khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a Tính diện tích AB  BC  a 3, SAB mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a A S  3a B S  16a C S  2a D S  12a HDedu - Page 207 ... ngồi mặt cầu OA > R Hình cầu, khối cầu Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O;R) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu S(O;R) Khối cầu S  O; R   M OM  R Giao mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S(O;R) mặt. .. đường sinh hình trụ, gọi mặt cầu nội tiếp hình trụ Mặt cầu qua hai đường trịn đáy hình trụ, gọi mặt cầu ngoại tiếp hình trụ Kí hiệu S1 diện tích mặt cầu nội tiếp hình trụ, S2 diện tích mặt cầu ngoại... 6 a 12 Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có tất cạnh a Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác S.ABC A a B a 12 12 C a D a 12 HDedu - Page 20 2 Bài tập tự luyện Câu Mặt cầu tiếp