4 chuyên đề 4 bài toán quãng đường trong dao động điều hòa

BÀI TỐN QNG ĐƯỜNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA CHUN ĐỀ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Trong chuyển động vật, quãng đường hai vị trí hiểu độ dài quỹ đạo chuyển động vật Do đó, dao động khi: o vật chuyển động hai vị trí có li độ x1 x2 theo chiều quãng đường vật tương ứng S = x1 − x2 o vật chuyển động hai vị trí có li độ x1 x2 mà có đổi chiều chuyển động quãng đường vật S  x1 − x2 , cần phân tích kĩ để xác định quãng đường B CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH Dạng 1: Quãng đường vật khoảng thời gian cho trước  Bài tốn tổng qt: Một vật dao động điều hịa với phương trình li độ x = A cos (t + 0 ) , A  số dương Xác định quãng đường mà vật khoảng thời gian t = t2 − t1  Phương pháp giải: Ta giải dạng tốn theo bước sau Bước Bước Bước v0 N M N M M  0 −A O x0 +A x 0 −A xD O x0 +A x −A xD O S x0 +A x v0 Bước 1: Xác định vị trí ban đầu vật biểu diễn tương ứng đường tròn điểm M o biết  → 0 = xOM chiều dương góc chiều kim đồng hồ o biết x0 = xt =0 v0 + v  M thuộc nửa đường trịn + v  M thuộc nửa đường tròn Bước 2: Xác định vị trí xD biểu diễn tương ứng đường trịn điểm N Bước 3: Xác định quãng đường vật dựa vào hình vẽ  Ví dụ minh họa:  Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hịa quanh vị trí cân O trục Ox với phương trình   x = cos  2 t −  cm, t tính giây Kể từ thời điểm t = , đến thời điểm t = s quãng đường mà 3  chất điểm A cm B 14 cm C cm D 10 cm HDedu - Page  Hướng dẫn: Chọn D −4 +4 x +2 O M Biểu diễn dao động vật tương ứng đường tròn o t = , x0 = cm v  , tương ứng với điểm M đường tròn o t = s, x = −4 cm, chất điểm qua vị trí biên âm → Quãng đường chuyển động chất điểm S = + = 10 cm  Ví dụ 2: Một vật dao động điều hịa quanh vị trí cân O trục Ox với phương trình   x = cos  2 t −  cm, t tính giây Kể từ thời điểm t = , đến thời điểm t = s quãng đường mà 2  vật A cm B cm C cm D 10 cm  Hướng dẫn: Chọn B N −4 +4 x O M Biểu diễn dao động vật tương ứng đường tròn o t = , x0 = cm v  , tương ứng với điểm M đường tròn o t = s, x = cm, v  , tương ứng với điểm N đường tròn → Quãng đường chuyển động chất điểm S = + = cm  Ví dụ 3: Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 10 cos ( t + 0 ) cm, t tính giây Kể từ thời điểm t = , quãng đường mà vật t = s A cm B 20 cm C 7,5 cm  Hướng dẫn: Chọn B D 10 cm HDedu - Page M  −A x1 x2 +A x M Biễu diễn dao động vật đường tròn o t = , x = x0 biễu diễn tương ứng điểm M đường tròn T   = t =    =  → biễu diễn tương ứng điểm M  đường tròn 2 → Từ hình vẽ, ta có qng đường vật tương ứng S = A = (10 ) = 20 cm o  Chú ý: Với khoảng thời gian t = đường vật S T = A T , không phụ thuộc vào trạng thái dao động ban đầu vật, quãng 2 Dạng 2: Quãng đường lớn nhỏ vật  Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x = A cos (t + 0 ) , A  số dương Xác định quãng đường lớn nhỏ mà vật khoảng thời gian T t = t2 − t1   Phương pháp giải: T Với khoảng thời gian cho trước t  o vật quãng đường lớn di chuyển hai vị trí x1 x2 đối xứng qua vị trí cân O hình vẽ ( x1 = − x2 ) S max −A x1 x2 +A x Quãng đường lớn mà vật được:    t  Smax = A sin   = A sin   (1) 2   o Vật quãng đường nhỏ di chuyển từ vị trí x1 đến biên, đổi chiều chuyển động qua vị trí x2 = x1 hình vẽ HDedu - Page −A x2 x1 S +A x Quãng đường nhỏ mà vật được:       t   Smin = A 1 − cos    = A 1 − cos    (2)        Ví dụ minh họa:  Ví dụ 1: Một vật dao động điều hịa với chu kì T = s biên độ A = cm Quãng đường lớn mà vật khoảng thời gian t = s A cm B cm C cm D cm  Hướng dẫn: Chọn A Ta có: 2 2 o = = =  rad/s T ( 2) 1       o  = t = ( )   = rad → Smax = A sin   = 2.2sin   = cm 6 2  6.2   Ví dụ 2: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với chu kì T = s biên độ A = cm Quãng đường lớn mà vật khoảng thời gian t = s A cm B cm C cm D 20 cm  Hướng dẫn: Chọn D Ta biết quãng đường mà vật chu nửa chu kì ln 2A Ta có: o = 2.3 + → quãng đường mà vật s lớn quãng đường s cuối lớn   o Smax = ( 2.4 ) + ( ) sin   = 20 cm 6    Ví dụ 3: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 10 cos  2 t −  cm, t 3  tính s Quãng đường nhỏ mà vật s A 50 cm B 45 cm C 60 cm D 20 cm  Hướng dẫn: Chọn B Ta có: T 2 2 o T= = = s → ta tách t = T + = + s  ( 2 ) 6 o S = A + S Tmin = 4.10 + = 45 cm HDedu - Page  Ví dụ 4: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A = 10 cm chu kì T = s Thời gian nhỏ để chất điểm quãng đường S = cm A 0,032 s B 0,572 s C 0,921 s D 0,043 s  Hướng dẫn: Chọn A Thời gian nhỏ ứng với trường hợp quãng đường lớn Ta có: Smax t   t   o Smax = A sin  = sin 1800  → 2A T     T S    → t = arcsin  max  = arcsin    0, 032 s 0 180  2.10   A  180 Dạng 3: Tốc độ trung bình vật dao động điều hịa  Bài tốn tổng quát: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x = A cos (t + 0 ) Xác định tốc độ trung bình vật khoảng thời gian t = t2 − t1  Phương pháp giải: Tốc độ trung bình vật xác định biểu thức: S vtb = t Trong S quãng đường mà vật khoảng thời gian t xác định Dạng  Ví dụ minh họa:  Ví dụ 1: (Quốc gia – 2010) Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T Trong khoảng thời gian A ngắn từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí x = − , chất điểm có tốc độ trung bình 6A 9A 3A 4A A B C D T 2T 2T T  Hướng dẫn: Chọn B M2 −A − 12 A  S M1 x M 2 Biễu diễn dao động chất điểm đường tròn o x = A → điểm M đường tròn A o x = − → điểm M M 2 đường trịn t = tmin  = min = M1OM = 1200 → t = o S = 1,5 A o vtb =  1200 T T = T= 0 360 360 S (1,5 A) A = = t 2T T    3 HDedu - Page  Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa qua vị trí cân có tốc độ vmax Tốc độ trung bình vật chu kì v v 2v  vmax A max B max C D max 2 4   Hướng dẫn: Chọn A Ta có: S ( A) A 2vmax = = o vtb = = t  (T ) 2  Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hịa với phương trình x = 10 cos ( t + 0 ) cm, t tính giây Tốc độ trung bình lớn mà vật đạt khoảng thời gian t = 0,5 s A 28,3 cm/s B 32,4 cm/s C 20,0 cm/s D 17,9 cm/s  Hướng dẫn: Chọn A Ta có: o vtb = ( vtb )max → S = Smax o vtbmax  t    0,5  A sin  (10 ) sin    S  =    28,3 cm/s = max = t t ( 0,5)  BÀI TẬP RÈN LUYỆN  I Chinh phục lý thuyết Câu 1: Một vật dao động điều hịa với biên độ A chu kì T Quãng đường mà vật T khoảng thời gian t = A A B 2A C 3A D 4A  Hướng dẫn: Chọn B Ta có: o ST = A Câu 2: Tốc độ trung bình vật dao động điều hịa chu kì vtb Khi vật qua vị trí cân theo chiều âm vận tốc 2v v 2v v A tb B − tb C tb D − tb    Hướng dẫn: Chọn D Ta có: v o v = −vmax = − tb Câu 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ A Quãng đường mà vật hai lần liên tiếp vật đổi chiều chuyển động A A B 2A C 3A D 4A  Hướng dẫn: Chọn B Ta có: o vật đổi chiều chuyển động biên → quãng đường mà vật hai biên 2A Câu 4: Một vật dao động điều hòa với biên độ A Tại thời điểm ban đầu vật qua vị trí cân theo chiều dương, để đến vị trí biên vật thêm qng đường ngắn A A B 2A C 3A D 4A  Hướng dẫn: Chọn A Để vật đến biên gần vật thêm quãng đường S = A HDedu - Page   Câu 5: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos   t +  cm, t tính giây Quãng 2  đường lớn mà vật khoảng thời gian t = s A 10 cm B cm C 15 cm D 20 cm  Hướng dẫn: Chọn A Ta có: T o t = = s →  = 600 o S = A = 10 cm Câu 6: Một vật dao động điều hòa với biên độ A Quãng đường mà vật kể từ vị trí gia tốc cực đại đến vị trí gia tốc đổi chiều gần A A B 2A C 3A D A  Hướng dẫn: Chọn D Ta có: o gia tốc vật cực đại vị trí biên âm o gia tốc đổi chiều vị trí cân → quãng đường hai vị trí S = A Câu 7: Một vật dao động điều hòa quỹ đạo có chiều dài L với chu kì T Tốc độ trung bình vật chu kì xác định biểu thức L 2L L L A B C D T T 2T 4T  Hướng dẫn: Chọn B Ta có: S 2L o vtb = = T T Câu 8: Vật M chuyển động với tốc độ góc  quỹ đạo trịn, bán kính R Gọi M  hình chiếu 2 M lên đường kính quỹ đạo Quãng đường mà M  khoảng thời gian t =  A R B 2R C 3R D 4R  Hướng dẫn: Chọn D Quãng đường mà M  S = R Câu 9: (BXD – 2019) Vật M chuyển động với tốc độ góc  quỹ đạo trịn, bán kính R Gọi M  hình chiếu M lên đường kính quỹ đạo Quãng đường mà M  khoảng thời gian 2 t =  A R B 2R C 3R D 4R  Hướng dẫn: Chọn D Quãng đường mà M  S = R Câu 10: Một vật dao động điều hịa với biên độ A chu kì T Biết khoảng thời gian t = nT vật quãng đường nhỏ A Giá trị n 1 A B C D 3  Hướng dẫn: Chọn C T Thời gian để vật quãng đường ngắn A t = II Bài tập vận dụng Câu 1: Một chất điểm dao động điều hịa với phương trình x = 5cos ( t ) cm, t tính giây Kết luận sau đúng? A Quãng đường chất điểm 0,5 s cm HDedu - Page B Quãng đường lớn mà chất điểm 0,5 s cm C Tốc độ trung bình chất điểm chu kì 5 cm/s D Tốc độ cực đại chất điểm 5 cm/s  Hướng dẫn: Chọn C Ta có: o  =  rad/s A = cm → vmax =  A = 5 cm/s   Câu 2: Một vật dao động điều hịa với phương trình vận tốc v = 10 cos  2 t +  cm/s, t tính 2  giây Kết luận sau đúng? A Quãng đường mà vật khoảng thời gian s 25 cm B Kể từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = 0,5 s vật quãng đường 10 cm C Vật đổi chiều chuyển động lần sau s kể từ thời điểm ban đầu D Tốc độ cực đại vật 20 cm/s  Hướng dẫn: Chọn B Ta có: o x = 5cos ( 2 t ) cm; T = s T = 0,5 s → S = A = ( ) = 10 cm Câu 3: (BXD – 2019) Quan sát dao động vật đoạn thẳng MN = 20 cm thấy qua M N vật đổi chiều chuyển động khoảng thời gian để vật di chuyển hai vị trí 0,1 s Tốc độ trung bình vật chu kì A 200 cm/s B 75 cm/s C 10 cm/s D 45 cm/s  Hướng dẫn: Chọn A Ta có: MN ( 20 ) o A= = = 10 cm 2 T o t = = 0,1s → T = 0, s A (10 ) = = 200 cm/s o vtb = T ( 0, ) Câu 4: (BXD – 2019) Quan sát dao động vật đoạn thẳng MN = 20 cm thấy qua M N vật đổi chiều chuyển động khoảng thời gian để vật di chuyển hai vị trí s Tốc độ trung bình vật vật di chuyển từ M đến trung điểm O đoạn MN sau A 20 cm/s B 7,5 cm/s C 10 cm/s D 45 cm/s  Hướng dẫn: Chọn A Ta có: ( MN ) = 20 = 10 cm o A= 2 T o t = = s → T = s (10 ) = 20 cm/s A o O vị trí cân dao động M vị trí biên → vtb = = 0, 25T 0, 25 ( ) o t=   Câu 5: Một vật dao động với phương trình x = cos  2 t −  cm; t tính s Quãng đường mà vật 2  kể từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = 0, 75 s A 12 cm B 7,5 cm C 10 cm D cm  Hướng dẫn: Chọn A Biễu diễn dao động vật tương ứng đường tròn: o t = vật qua vị trí cân theo chiều dương o t = 0, 75 s vật đến biên âm HDedu - Page → Tổng quãng đường mà vật S = A = ( ) = 12 cm Câu 6: Một vật dao động điều hòa với tốc độ cực đại vmax = 10 cm/s Tốc độ trung bình vật nửa chu kì A 10 cm/s B 7,5 cm/s C 20 cm/s D cm/s  Hướng dẫn: Chọn C Ta có: A 2vmax (10 ) o vtb = = = = 20 cm/s 0,5T   Câu 7: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 20 cos ( t + 0 ) cm, t tính giây Biết sau khoảng thời gian t = thể A  B −  s quãng đường mà vật 50 cm Giá trị  có C +  D +   Hướng dẫn: Chọn A Ta có: 2 2 o T= = = s  ( ) t = + = s, quãng đường mà vật s A = 40 cm → quãng đường mà vật 3 T A t  = = s S  = = 10 cm → hết khoảng thời gian s vật phải đến vị trí biên → ban đầu vật phải biên → 0 = 0 =  Câu 8: (BXD – 2019) Quan sát dao động điều hịa chất điểm thấy quãng đường mà chất điểm lần liên tiếp gia tốc đổi chiều 20 cm Nếu ban đầu chất điểm vị trí biên dương, quãng đường mà chất điểm qua vị trí cân lần đầu A 10 cm B 20 cm C 40 cm D cm  Hướng dẫn: Chọn D Ta có: o gia tốc đổi chiều chất điểm qua vị trí cân → quãng đường mà chất điểm lần liên tiếp qua vị trí cân S = A = 20 cm → A = cm → Quãng đường mà chất điểm từ biên dương đến vị trí cân A = cm Câu 9: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A = cm chu kì T = s Khoảng thời gian nhỏ để chất điểm quãng S = cm A 0,461 s B 0,245 s C 0,672 s D 0,247 s  Hướng dẫn: Chọn B Ta có: o t = tmin → S = Smax T S    arcsin  max  = arcsin  o tmin =   0, 245 s 0 180  2.4   A  180 Câu 10: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với chu kì T = , biết quãng đường mà vật chu kì 16 cm Khoảng thời gian lớn để vật quãng đường S = cm A 0,41 s B 0,25 s C 0,62 s D 0,16 s  Hướng dẫn: Chọn D Ta có: o ST = A = 16 cm → A = cm o t = tmax → S = Smin T 1   S   arc cos 1 −  = arc cos 1 − o tmax =   0,16 s 0 180 A  180  2.4   o HDedu - Page Câu 11: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 4cos ( t ) cm, t tính giây Quãng đường lớn mà vật khoảng thời gian t = A cm B 12 cm  Hướng dẫn: Chọn C Ta có: 2 2 o T= = = s C 36 cm 13 s D 20 cm ( )  T 13 = s o t = 2T + o S = S 2T + S T ( ) max  T  = A + A sin   = 36 cm 2 6 Câu 12: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T Trong khoảng thời gian t = T tỉ số quãng đường lớn quãng đường nhỏ mà chất điểm A 2,30 B 2,41 C 2,46 D 2,33  Hướng dẫn: Chọn B Ta có:  Smax = A  Smax =  2, 41 o   2 → Smin  2   Smin = A 1 − 1 −       Câu 13: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T Trong khoảng thời gian t = T tỉ số quãng đường lớn quãng đường nhỏ mà chất điểm A 4,30 B 3,73 C 3,46 D 5,33  Hướng dẫn: Chọn B Ta có:  Smax = A Smax  =  3, 73 o   3 → S = A − S        1 −      Câu 14: Một vật dao động hòa quỹ đạo dài 12 cm Thời gian ngắn để vật quãng đường cm 0,2 s Thời gian dài để vật quãng đường cm A 0,4 s B 0,3 s C 0,6 s D 0,27 s  Hướng dẫn: Chọn A Ta có: L (12 ) = cm o A= = 2 T o Smin = A = cm → t = = 0, s → T = 1, s T   S  1,  arc cos 1 −  = arc cos 1 − = 0, s o tmax = 0 180 A  180  2.6   Câu 15: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với biên độ A chu kì T = s Biết quãng đường 2 mà vật tương ứng pha dao động vật thay đổi từ đến 15 cm Quãng đường mà vật khoảng thời gian t = s sau A cm B 15 cm C 10 cm D 20 cm HDedu - Page 10  Hướng dẫn: Chọn C Ta có: o S0−  = 1,5 A = 15 cm → A = 10 cm o St = A = 10 cm   Câu 16: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 20 cos  2 t −  cm, t tính 2  giây Kể từ thời điểm ban đầu, gọi S1 S quãng đường mà vật khoảng 1 S thời gian t1 = s t2 = s Tỉ số S1 12 A B 1,5 C D  Hướng dẫn: Chọn C Ta có:  S2 = A S o  → = S1  S1 = 0,5 A 3   Câu 17: Một chất điểm dao động với phương trình x = cos  5 t −  cm; t tính s Quãng đường   chất điểm từ thời điểm t1 = 0,1 s đến thời điểm t2 = 0, s A 18,3 cm B 37,6 cm C 33,8 cm D 24,3 cm  Hướng dẫn: Chọn A M2 S −4  +4 x M1 Ta có: o T= 2  = 2 = 0, s ( 5 ) t = t2 − t1 = 0, + 0,1 = 0,5 s, ta cần xác định quãng đường mà chất điểm tương ứng t  = 0,1 s Biểu diễn dao động chất điểm đường tròn: o t1 = 0,1 s → x1 = 2 cm v1  , M đường tròn o o t  = 0,1 s →   = 900 ( ) Từ hình vẽ, ta có S  = − 2 cm → tổng quãng đường S = A + S   18,3 cm   Câu 18: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 5cos  2 t −  cm, t tính 3  giây Kể từ thời điểm ban đầu ( t = ) vật quãng đường S = 25 cm khoảng thời gian A 1,2 s B 1,3 s C 2,4 s D 1,0 s  Hướng dẫn: Chọn B Ta có: o S = 20 + = 25 cm Biễu diễn dao động vật đường tròn: HDedu - Page 11 M2 −5  S +5 x x0 M1 o t = , x0 = +2,5 cm v  → điểm M thuộc nửa đường tròn o sau quãng đường cm vật đến vị trí có li độ x = +2,5 cm theo chiều âm, tương ứng với điểm M thuộc nửa đường tròn  o  = M1OM = 1200 → t = T + T = 1,3 s 3600   Câu 19: Một vật dao động với phương trình x = 10 cos  2 t −  cm; t tính s Quãng đường mà vật 3  kể từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = s A cm B 7,5 cm C 20 cm D 10 cm  Hướng dẫn: Chọn D M2 −10  S +5 +10 x M1 Biễu diễn dao động vật đường tròn: o t = , x = +5 cm v  → điểm M thuộc nửa đường tròn o t = s, x = +5 cm v  → điểm M thuộc nửa đường tròn A A o S = + = 10 cm 2 Câu 20: (BXD – 2019) Quan sát dao động điều hòa vật quanh vị trí cân O nhận thấy sau khoảng thời gian t = 0,05 s vật lại qua vị trí cách O đoạn cm, vị trí khơng phải vị trí biên Tốc độ trung bình vật dao động chu kì gần với giá trị sau đây? A 20 cm/s B 25 cm/s C 10 cm/s D 45 cm/s  Hướng dẫn: Chọn D Ta có: x = A = cm → A = 2 cm o T o t = = 0,05 s → T = 0, s HDedu - Page 12 o vtb = ( ) A 2 =  56, cm/s T ( 0, )   Câu 21: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 10 cos  2 t −  cm, t tính 4  giây Quãng đường mà vật kể từ thời điểm ban đầu đến vật đổi chiều chuyển động lần thứ hai A 22,93 cm B 12,26 cm C 44,32 cm D 12,25 cm  Hướng dẫn: Chọn A −10 M2 +10 x S x0 M1 Biểu diễn dao động vật đường tròn: o t = , x0 = +5 cm v  , biểu diễn tương ứng điểm M thuộc nửa đường tròn o Vật đổi chiều chuyển động vị trí biên → đổi chiều lần thứ hai biên âm o S = 20 + 10 − = 22,93 cm 5   Câu 22: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình vận tốc v = 10 cos  2 t +  cm/s,   t tính giây Tốc độ trung bình vật kể từ thời điểm ban đầu đến vật quãng đường S = 15 cm A 12,2 cm/s B 22,5 cm/s C 24,0 cm/s D 20,0 cm/s  Hướng dẫn: Chọn B M1 −5 S +2,5 +5 x M2 Ta có:   x = 5cos  2 t +  cm 3  Biểu diễn dao động vật đường tròn: o t = , x = +2,5 cm v  , tương ứng với điểm M đường tròn o sau quãng đường S = 15 cm vật đến vị trí x = +2,5 cm theo chiều, tương ứng với điểm M đường tròn 2T o  = M1OM = 2400 → t = = s 3 o HDedu - Page 13 o vtb = S = 22,5 cm/s t HDedu - Page 14 ... khoảng thời gian t = đường vật S T = A T , không phụ thuộc vào trạng thái dao động ban đầu vật, quãng 2 Dạng 2: Quãng đường lớn nhỏ vật  Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hịa với phương...  0, 245 s 0 180  2 .4   A  180 Câu 10: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với chu kì T = , biết quãng đường mà vật chu kì 16 cm Khoảng thời gian lớn để vật quãng đường S = cm A 0 ,41 s... Chọn D ? ?4 +4 x +2 O M Biểu diễn dao động vật tương ứng đường tròn o t = , x0 = cm v  , tương ứng với điểm M đường tròn o t = s, x = ? ?4 cm, chất điểm qua vị trí biên âm → Quãng đường chuyển động