Một số cơ sở lý luận và thực tiễn xây dựng mô hình lan truyền chất trong môi trường không khí

Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Lời nói đầu Sử dụng Toán học để mô hình hóa tượng tự nhiên, xã hội ngày đóng vai trò quan trọng việc dự báo thay đổi tượng Kết hợp mô hình toán học máy tính hoàn toàn xây dựng chương trình có tính xác cao giúp cho có thêm kênh thông tin quan trọng việc đưa định cuối Luận văn trình bày số lý luận để xây dựng mô hình lan truyền chất môi trường không khí số kết đạt trình giải phương trình khuếch tán theo mô hình Berlyand điều kiện biên tổng quát Luận văn tổ chức thành chương phần sau: Chương Giới thiệu tổng quát toán lan truyền chất Chương I: Trình bày sở lý luận để xây dựng mô hình lan truyền chất Giới thiệu mô hình lan truyền chất theo quan điểm Berlyand so sánh mô hình với số mô hình tiêu biểu khác Chương II: Giới thiệu kết tác giả khác đạt việc giải phương trình khuếch tán với điều kiện biên khác Giải phương trình khuếch tán theo mô hình Berlyand với điều kiện biên tổng quát Chương trình: Tác giả sử dụng phần mềm Maple để tính cụ thể giá trị nồng độ chất ô nhiễm sau có kết giải tích Phụ lục: Nêu tóm tắt số kiến thức, phương trình quan trọng sử dụng luận văn Kết luận: Tổng kết lại kết đạt hướng phát triển đề tài Trong đó, chương II phần luận văn Trong chương này, tác giả giải toán khuếch tán với điều kiện biên tổng quát phương pháp giải tích dựa kết đạt tác giả trước Học viên: Trần Mạnh Tường Trang Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Một số khái niệm ký hiệu sử dụng luận văn – Advection: Sự truyền tải tạp chất tác động dòng rối – Diffusion: Sự phân tán vật chất theo quy luật cân Chất thải di chuyển từ nơi có nồng độ cao đến nơi có nồng độ thấp – Dispersion: Sự tổ hợp truyền tải phân tán m Hằng số mô tả thay đổi theo chiều cao vận tốc gió n Hằng số mô tả thay đổi hệ số khuếch tán phương z theo chiều cao a,b Hằng số phụ thuộc vào địa hình kx Hệ số khuếch tán rối theo phương x ky Hệ số khuếch tán rối theo phương y kz Hệ số khuếch tán rối theo phương z J ν (x) Hàm Bessel loại I, bậc ν Yν (x) Hàm Bessel loại II, bậc ν Iν (x) Hàm Bessel chỉnh sửa loại I, bậc ν kν (x) Hàm Bessel chỉnh sửa loại II, bậc ν M k , m ( x) Hàm Whittaker loại I Wk ,m ( x ) Hàm Whittaker loại II Γ (x) Ký hiệu hàm Gamma Γ ( x, α ) Ký hiệu hàm Gamma không đầy đủ δ (x) Ký hiệu hàm Dirac ) P(x) Biến đổi Fourier hàm P(y) Học viên: Trần Mạnh Tường Trang Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Danh sách hình bảng Hình 1.1 Mô tả quỹ đạo phân tử tạp chất trình di chuyển theo quan điểm Lagrange trình khuếch tán tạp chất môi trường Hình 1.2 Sơ đồ mô tả trình mô hình hóa tượng lan truyền chất Hình 1.3 Phần tử vi phân môi trường không khí sử dụng để xây dựng mô hình lan truyền chất Hình 1.4 Đồ thị mô tả phân bố vận tốc gió theo chiều cao Hình 1.5 Vùng giới hạn tạp chất (được thải từ ống khói) khuếch tán – theo mô hình Gauss Hình 1.6 Mô tả vùng giới hạn vệt khói theo mô hình “vệt khói Gauss” Hình 2.1 Đồ thị mô tả phân bố tạp chất trường hợp tạp chất bị phản xạ hoàn toàn bề mặt lót Hình 2.2 Đồ thị mô tả phân bố tạp chất trường hợp tạp chất bị hấp thụ hoàn toàn bề mặt lót Hình 2.3 Đồ thị mô tả phân bố tạp chất trường hợp tạp chất bị phản xạ hoàn toàn bề mặt lót đơn giản điều kiện biên tổng quát Hình 2.4 Đồ thị mô tả phân bố tạp chất trường hợp tạp chất bị hấp thụ hoàn toàn bề mặt lót đơn giản điều kiện biên tổng quát Bảng 2.1 Kết số công thức giải tích cho trường hợp tạp chất bị phản xạ phần bị hấp thu phần bề mặt lót độ cao 15m Bảng 2.2 Kết số công thức giải tích cho trường hợp tạp chất bị phản xạ phần bị hấp thu phần bề mặt lót độ cao 1m Học viên: Trần Mạnh Tường Trang Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí CHƯƠNG 0: PHẦN TỔNG QUAN Tính thực tế toán Sự phát tán vật chất môi trường tượng phổ biến tự nhiên chí xã hội Do nhu cầu phát triển kinh tế nhu cầu dự báo trước tác hại tượng khuếch tán – tạp chất độc hại – lên môi trường người, nhà khoa học tìm cách để hạn chế hậu mà tượng khuếch tán gây Một phương pháp sử dụng Mô hình toán học để dự báo trước khu vực bị tác động tượng khuếch tán Vật chất bị khuếch tán môi trường đa dạng Chúng loại tạp chất có kích thước nhỏ phân tử, hạt bụi vật thể có khối lượng tương đối lớn – có đơn vị tính hàng kg – loại vi khuẩn Môi trường khuếch tán (bao gồm không gian địa hình, khí hậu,…) yếu tố có ảnh hưởng lớn đến tượng khuếch tán Môi trường khuếch tán môi trường không khí môi trường chất lỏng,… Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu tượng khuếch tán tạp chất có khối lượng tương đối nhỏ môi trường không khí Cụ thể, tác giả nghiên cứu trình khuếch tán tạp chất thải từ ống khói nhà máy cột khói, bụi phun từ miệng núi lửa Trong trường hợp nguồn thải tạp chất gọi nguồn điểm Yêu cầu cụ thể toán là: cho nguồn điểm ống khói nhà máy với lưu lượng thải M g/s, cho trước thông số điều kiện địa hình, khí hậu, vận tốc gió,… Xác định nồng độ tạp chất điểm có tọa độ (x,y,z) (gốc tọa độ định nghóa xét toán cụ thể) Xác định vị trí mà nồng độ tạp chất cao Học viên: Trần Mạnh Tường Trang Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Tổng quan mặt toán học Về mặt chất, khuếch tán tạp chất di chuyển, thay đổi vị trí phân tử tạp chất Chúng ta xét phân tử tạp chất tập vùng Ω đó, giả sử Ω tập mở chứa ℜ n (trong thực tế xét toán trường hợp n = 3) Đối tượng mà quan tâm toán hàm mật độ Q(t,X) với t biến thời gian, X biến không gian Sử dụng định luật bảo toàn khối lượng để thiết lập mô hình toán Bài toán lan truyền chất nhiều tác giả giải nhiều phương pháp khác tác giả trong: [2], [3], [7],… Tuy nhiên tác giả xét toán số trường hợp cụ thể mà chưa xét toán trường hợp tổng quát, biến đổi môi trường Ví dụ tác giả C.H.Huang [2] đặt toán trường hợp bề mặt lót lớp phản xạ hoàn toàn tạp chất Khi đó, điều kiện biên toán không hoàn với điều kiện thực tế số trường hợp tác giả Jai Singh Sachdev [7], đặt toán trường hợp bề mặt lót lại hấp thụ hoàn toàn tạp chất, trường hợp không hoàn toàn mô tả tượng khuếch tán trượng hợp tổng quát Các tác giả cố gắng đưa toán khuếch tán điều kiện biên có dạng đơn giản nhằm giải toán cách trọn vẹn Theo tác giả cách giải mang tích khoa học đắn, phù hợp với quy luật tự nhiên Ngoài có số tác giả giải toán khuếch tán theo tác giả mang tính áp đặt, không tuân theo quy luật tự nhiên ví dụ tác giả [11] phân tích phương trình khuếch tán hai chiều u( z ) ∂C ( x, z ) ∂  ∂C ( x, z )  z  =  k ( z)  thành dạng C ( x, z ) = F ( x)1 −  a ∂x ∂z  ∂z   a số Giải toán theo hướng tác giả thu nghiệm giải tích “rất đẹp”, có dạng đơn giản dễ dàng việc tính toán  − x  Q z 1 −  exp µx1Vg  x1  a  n C ( x, z ) = Ngoài trường hợp trên, số trường hợp tác giả chưa xét đến Một trường hợp giải toán khuếch tán phương pháp giải tích điều kiện biên bề mặt lót bị phản xạ phần bị hấp thụ phần bề mặt lót Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 10 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN XÂY DỰNG MÔ HÌNH LAN TRUYỀN CHẤT TRONG MÔI TRƯỜNG KHÔNG KHÍ Cơ sở lý thuyết xây dựng mô hình lan truyền chất Để xây dựng mô hình Toán học tượng tự nhiên thiết phải xuất phát từ định luật vật lý Từ định luật này, xây dựng phương trình hệ phương trình toán học mô tả tượng xét Thông thường để xây dựng mô hình Toán học cho tượng tự nhiên thường sử dụng định luật vật lý sau: • Định luật bảo toàn khối lượng • Định luật bảo toàn lực • Định luật bảo toàn lượng Sự khuếch tán (Dispersion) tạp chất không khí do: • Tác động khí mà cụ thể tác động dòng khí khí lên tạp chất dẫn đến thay đổi vị trí hạt tạp chất (Advection) Nghóa là, dòng khí làm thay đổi vị trí hạt tạp chất • Sự chuyển động phân tử (Diffution) theo quy luật cân bằng, vật chất di chuyển từ nơi có nồng độ cao đến nơi có nồng độ thấp Do toán xét chất khí nên trình chuyển động phân tử khí hạt tạp chất không chuyển động theo quy luật mà chuyển động rối (Turbulent Diffution) Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 11 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Ngoài ra, xét đến nồng độ tạp chất không gian yếu tố tương tác hóa học trình khuếch tán tạp chất yếu tố quan trọng Nghóa là, trình khuếch tán, hạt tạp chất xảy tương tác hóa học với có tương tác hóa học hạt tạp chất môi trường xung quanh, dẫn đến thay đổi nồng độ tạp chất Tuy nhiên, theo quan điểm Lagrange phải xác định vị trí phân tử chất ô nhiễm xác định vị trí phần thể tích vùng bị ô nhiễm phân tử ô nhiễm Vị trí phân tử ô nhiễm xác định phương trình sau: ( ) (1.17) Y (t + ∆t ) = Y (t ) + V (t ) + V ' ' (t ) ∆t y Y(t) X(t) x Hình 1.1 Mô tả di chuyển phân tử tạp chất Trong V (t ) V ' ' (t ) vận tốc gió trung bình hàm mô tả thành phần rối khí Vận tốc gió trung bình V (t ) thường tính trực tiếp từ mô hình mô thay đổi khí phương trình bảo toàn lượng: dV = u − V + VTs β dt (1.18) Trong đó: β , u , VTs tham số mô tả địa hình Nghiệm phương trình có dạng sau: V n +1 = u n + (V Học viên: Trần Mạnh Tường n − u n ) exp(− β∆t ) + VTs (1 − exp(− β∆t ) ) (1.19) Trang 12 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Thành phần rối khí V ' ' (t ) mô tả phương trình sau: dV ' ' V ' ' = + λξ (t ) + F dt TLu (1.20) Trong TLu số Lagrange Được định nghóa [7], ξ (t ) mô tả điều kiện đầu, F tham số mô tả địa hình Nghiệm phương trình (1.20) có dạng sau:  ∆t V ' ' n +1 = V ' ' n exp −  TLu   ∆t  ∆t    ∂τ  λ2  ξ n + TLu uw 1 − exp −  + TLu 1 − exp −   ∂z   TLu  TLu          (1.21) Khi nồng độ tạp chất: C ( x, y , z , t ) = M (2π )  ( X − x) exp − σ xσ yσ z 2σ x2   (Y − y )   exp −   2σ y2      exp − (Z − z )   2σ z2      (1.22) Trong đó(X,Y,Z) tọa độ nguồn thải σ x , σ y σ z định nghóa phần (1.3) [7] Vậy, thay đổi nồng độ tạp chất viết lại sau: Sự thay đổi nồng độ tạp chất = Sự truyền tải + Sự khuếch tán rối + Sẹ biến đổi hóa học (1.1) Mô hình khuếch tán mô tả sơ đồ sau: Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 13 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Nồng độ môi trường Môi trường Trạng thái khí Mô tả nguồn thải Loại mô hình chọn Dự báo nồng độ tạp chất Bước Xử lý Dữ liệu Bước Kết Chọn mô hình sử dụng Điều kiện địa hình Bước Dữ liệu vào Đánh giá ảnh hưởng ô nhiễm môi trường đến sức khỏe người Bước Phân tích K.Quả Hình 1.2 Quá trình xây dựng mô hình lan truyền chất Phương trình liên tục Chúng ta xét trường hợp mô tả hình 1.3, tức xét phần tử vi phân (gọi phần tử dòng) cố định không gian dòng khí xuyên qua Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 14 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí ∂τ   τ yx + yx dy dxdz ∂y   τ zx dxdy Qdydz τ xx dydz τ yx dxdz ∂τ   τ zx + zx dz dxdy ∂z   ∂Q   dx dydz Q + ∂x   ∂τ   τ xx + xx dx dydz ∂x   Hình 1.3 Mô tả thay đổi nồng độ tạp chất phần tử dòng Để thuận lợi, định nghóa hệ tọa độ Descarter trường hợp vận tốc mật độ dòng hàm số phụ thuộc vào biến không gian (x, y, z) biến thời gian t Phần tử dòng có kích thước dx, dy, dz Chúng ta xét mặt trái mặt phải của phần tử vi phân vuông góc với trục x, diện tích mặt dydz Khối lượng vật chất di chuyển mặt bên trái phần tử vi phân là: (Q u ) dy dz Do vận tốc nồng độ dòng hàm phụ thuộc vào tọa độ thời gian nên khối lượng vật chất di chuyển qua bề mặt bên trái phần tử vi phân thay đổi trình di ∂ (Q u )   dx Do chuyển Vì vậy, thay đổi khối lượng hai bề mặt là:   ∂x có khối lượng vật chất qua bề mặt bên phải là: ∂ (Qu )   Q u + ∂x dx dydz (hình 1.3) Tương tự, khối lượng vật chất di chuyển qua hai   bề mặt (vuông góc với trục y) phần tử vi phân là:  ∂ (Q v )  Q v + ∂y dy  dxdz Khối lượng vật chất di chuyển qua hai bề mặt   ∂ (Q w)  trước sau phần tử vi phân laø: (Q w)dxdy vaø Q w + dz  dxdy ∂z   (Q v )dxdz Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 15 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Kết số tính từ nghiệm giải tích phương trình độ cao 15m Khoảng cách (m) 15 35 55 75 95 115 135 155 175 195 215 235 255 275 295 315 335 355 375 395 415 435 455 475 495 Nồng độ (g/m3) A 0.204 0.274 0.251 0.229 0.213 0.200 0.189 0.181 0.174 0.168 0.162 0.158 0.154 0.150 0.146 0.143 0.140 0.138 0.135 0.133 0.131 0.129 0.127 0.125 0.124 B 0.243 0.344 0.272 0.211 0.167 0.136 0.113 0.096 0.083 0.072 0.064 0.057 0.051 0.046 0.042 0.039 0.036 0.033 0.031 0.028 0.027 0.025 0.023 0.022 0.021 C 0.507 0.314 0.2 0.141 0.106 0.084 0.068 0.057 0.049 0.043 0.037 0.033 0.03 0.027 0.025 0.023 0.021 0.019 0.018 0.017 0.016 0.015 0.014 0.013 0.012 Bảng 2.1 Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 52 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Kết số tính từ nghiệm giải tích phương trình độ cao 1m Khoảng cách (m) 15 35 55 75 95 115 135 155 175 195 215 235 255 275 295 315 335 355 375 395 415 435 455 475 495 Nồng độ (g/m3) A 5.140 2.314 1.554 1.213 1.019 0.891 0.801 0.733 0.680 0.637 0.602 0.572 0.546 0.524 0.505 0.487 0.472 0.458 0.445 0.434 0.423 0.414 0.405 0.396 0.389 B 8.656 2.768 1.442 0.918 0.650 0.491 0.388 0.317 0.265 0.226 0.196 0.172 0.153 0.137 0.123 0.112 0.102 0.094 0.086 0.080 0.074 0.070 0.065 0.061 0.057 C 5.010 1.672 0.918 0.614 0.454 0.357 0.293 0.247 0.214 0.188 0.167 0.151 0.137 0.126 0.116 0.108 0.101 0.094 0.089 0.084 0.080 0.076 0.072 0.069 0.066 Bảng 2.2 Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 53 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Trong bảng 2.1 bảng 2.2: • Cột A: nồng độ tạp chất trường hợp tạp chất bị phản xạ hoàn toàn bề mặt lót • Cột B: nồng độ tạp chất trường hợp tạp chất bị phản xạ phần bị hấp thu phần • Cột C: nồng độ tạp chất trường hợp tạp chất bị hấp thụ hoàn toàn bề mặt lót • Kết tính dựa liệu đầu vào dùng để vẽ đồ thị nghóa là: n = 0.45, m = 0.29, a = 1.5 m s , b = 0.025 m s , z = 15m, M = 10 g s • Bảng 2.1 mô tả nồng độ tạp chất độ cao 15 m Bảng 2.2 mô tả nồng độ tạp chất độ cao m Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 54 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Hướng Phát Triển – Kết Luận Hướng Phát Triển Chúng ta sử dụng phương pháp giải Toán Sturm – Liouville, cụ thể sử dụng phương pháp tách biến để giải phương trình khuếch tán (A.9) Hoặc, toán sử dụng phương pháp Galerkin để giải trường hợp có số tác giả sử dụng phương pháp để giải phương trình truyền nhiệt cho môi trường không đồng Sau so sánh kết phương pháp để thấy rõ ưu điểm nhược điểm phương pháp Xây dựng, tìm hiểu thông số phụ thuộc địa hình, khí hậu phù hợp với điều kiện Việt Nam Chúng ta so sánh kết phương pháp giải tích với phương pháp số mà tác giả trước đạt trường hợp điều kiện biên, địa hình khí hậu giống Nếu kết tương đồng khẳng định phương pháp giải hướng giải đắn áp dụng kết vào thực tế Nếu kết khác biệt lớn phải xem xét lại điều kiện biên, phương pháp giải xây dựng phương pháp giải số khác để kiểm chứng kết giải phương pháp giải tích Giải toán trường hợp hệ chưa đạt trạng thái dừng, nghóa xét toán khuếch tán trường hợp phụ thuộc thời gian Kết luận Qua luận văn này, tác giả phần tiếp thu phương pháp áp dụng Toán học vào việc giải vấn đề thực tế; học hỏi nhiều từ phương pháp làm việc, sưu tầm tài liệu; cách tổ chức xếp công việc, tài liệu,… đặc biệt cách kế thừa, sử dụng lại – có kiểm tra – kết đạt người trước Tuy nhiên, tác giả nhận thấy rằng, thân tác giả cần phải bổ sung nhiều kiến thức chuyên môn khác – liên quan đến lónh vực mà tác giả mong muốn áp dụng Toán để giải vấn đề lónh vực Ngược lại, nhận thấy rằng: người làm công tác chuyên môn Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 55 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí khác cần ứng dụng Toán vào lónh vực họ họ lại bị “hổng” nhiều kiến thức Toán Do đó, cần phải tạo mối liên hệ mật thiết nhà khoa học lónh vực khác nhằm “phân công” công việc cách hợp lý Những nhà khoa học nghiên cứu lónh vực khoa học đặc biệt Toán phải xâu vào thực tế hơn, nghiên cứu vấn đề cần phải đến kết cuối sản phẩm ứng dụng thực tế Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 56 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí PHỤ LỤC Định lý tích chập Cho F(w) G(w) biến đổi Fourier hàm f(x) g(x) Tức là: F(w)= f(x)= ∞ 2π ∫ G(w)= f ( x)e iwx dx −∞ ∞ 2π g(x)= − iwx ∫ F ( w)e dw −∞ 2π 2π ∞ ∫ g ( x)e iwx dx −∞ ∞ ∫ G (w)e − iwx dw −∞ Đặt H(w)= F(w)G(w) Khi biến đổi Fourier ngược hàm H(w) là: h(x)= 2π ∞ ∫ f ( s) g ( x − s) ds = −∞ 2π ∞ ∫ g (s ) f ( x − s)ds −∞ Chứng minh: Biến đổi Fourier ngược H(w) là: h(x)= ∞ ∫ H (w)e − iwx −∞ ∞ dw = ∫ F ( w)G ( w)e −iwx dw −∞ Thay biến đổi Fourier ngược F(w), ta được: h(x)=  ∫− ∞ 2π ∞ = 2π ∞ ∫ f ( s)e iws −∞ ∞ ∞  ds G ( w)e −iwx dw  ∫ ∫ f (s )G ( w)e −iwx e iws dsdw − ∞− ∞ Thay đổi thứ tự lấy tích phân, ta được: h(x)= 2π = 2π ∞  −iw ( x − s ) f ( s ) dw ds ∫−∞  −∫∞G (w)e  ∞ ∞ ∫ f (s ) g ( x − s)ds Đpcm −∞ Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 57 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Hàm Bessel Xét phương trình: d2y dy + x + (x2 − p ) y = dx dx x2 (3.1) Vaø thay x ix, ta phương trình: x2 dy d2y +x − (x + p ) y = dx dx (3.2) Phương trình (3.1) (3.2) gọi phương trình vi phân Bessel phương trình vi phân Bessel chỉnh sửa có bậc p Nghiệm phương trình gọi hàm Bessel hàm Bessel chỉnh sửa (Modified Bessel Function) Sau xét số hàm Bessel hàm Bessel chỉnh sửa quan trọng phương trình vi phân 2.1 Hàm Bessel loại I Hàm Bessel loại I (với tham số x ∈ ℜ ) bậc p ∈ {1,2,3, } định nghóa chuỗi lũy thừa sau: ∞ (−1) n x n + p = a2 n x n+ p ∑ n+ p ( p + n )!n! n =0 n=0 ∞ J p ( x) = ∑ Trong đó: a2 n = (3.3) (−1) n 2 n + p ( p + n)!n! Trong trường hợp p ∈ ℜ , hàm Bessel loại I (với tham số x ∈ ℜ ) bậc p định nghóa chuỗi lũy thừa sau: (−1) n x J p ( x) = ∑   k = Γ( k + 1) Γ( k + p + 1)   ∞ (−1) n x 2k + p 2k + p k ! Γ ( k + p + ) k =0 ∞ =∑ 2k+ p (3.4) ∞ = ∑ a2 k x k + p k =0 đó: a k = (−1) k , Γ (k + p + 1) hàm Gamma (sẽ trình 2 k + p k!Γ (k + p + 1) bày phần sau) Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 58 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Chúng ta chứng minh rằng: p > J − p (x) nghiệm phương trình Bessel (3.1) Hơn nữa, p = {0,1, 2, 3, } hai nghiệm J p (x) J − p (x) phụ thuộc tuyến tính, p không số nguyên hai nghiệm độc lập tuyến tính Ngoài ra, hàm Bessel biểu diễn dạng tích phân nhö sau: J p ( x) = 2π 2π ∫ cos( pt − x sin t )dt (3.5) cho trường hợp p số nguyên hoặc: J p ( x) = 2π π ∫e i ( pt − x sin t ) (3.6) dt −π cho trường hợp p số nguyên 2.2 Hàm Bessel loại II Trong trường hợp p không số nguyên đối số x ∈ ℜ , xây dựng nghiệm tổng quát cho cho phương trình Bessel (3.1) có dạng sau: Y p ( x) = cos( pπ ) J p ( x) − J − p ( x) (3.7) sin pπ Yp(x) gọi hàm Bessel loại II Trong J p (x) hàm Bessel loại I Đôi hàm gọi hàm Nuemann Đây hàm số sử dụng nhiều tất dạng hàm Bessel Khi p số nguyên thì: Y− p ( x) = (− 1) Y p ( x) p (3.8) Cả hàm Bessel loại I hàm Bessel loại II hàm chỉnh hình toàn mặt phẳng phức trường hợp x = z phức 2.3 Hàm Bessel chỉnh sửa loại I Khi tham số phương trình Bessel số ảo, nghóa thay x ix vào phương trình (3.1) ta phương trình vi phân Bessel chỉnh sửa (3.2) nghiệm phương trình gọi hàm Bessel chỉnh sửa Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 59 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Trường hợp p ∈ {1,2,3, }, x số phức hàm Bessel chỉnh sửa loại I định nghóa sau: (3.9) I p ( x) = (i) − p J p (ix) Trong J p (x) hàm Bessel loại I Trường hợp p > , p sô nguyên x số phức hàm Bessel chỉnh sửa loại I định nghóa sau:  x I p ( x) =    2 p ∞  x   ∑ k = k !Γ(n + k + 1)   2k (3.10) 2.4 Hàm Bessel chỉnh sửa loại II Khi p số không nguyên hàm Bessel chỉnh sửa loại II định nghóa sau: K p ( x) = π I − p ( x) − I p ( x ) sin( pπ ) (3.11) Trong I p (x) hàm Bessel chỉnh sửa loại I Hàm Bessel chỉnh sửa loại II biết đến với tên khác hàm Macdonald Cả hàm Bessel chỉnh sửa loại I hàm Bessel chỉnh sửa loại II hàm giá trị thực Không giống hàm Bessel loại I hàm Bessel loại II, đồ thị chúng có dạng dao động tắt dần trục thực, hàm Bessel chỉnh sửa loại I hàm Bessel chỉnh sửa loại II đồ thị có dạng hàm mũ Hàm Gamma Hàm Gamma định nghóa nhö sau: ∞ Γ ( z ) = ∫ t z −1e −t dt (3.12) Trong z ∈ C với Re(z)> Trường hợp Re(z) < -k-1 < Re(z) < k, k=1,2,3,… hàm Gamma biểu diễn dạng tích phân Cauchy sau: Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 60 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí ∞ k  xm  dx Γ ( z ) = ∫ x z −1  e − x − ∑ (−1) m m!  m =0  (3.13) Neáu z = x ∈ ℜ thì: ∞ Γ( x) = ∫ t x −1e −t dt [ = − t x −1e −t ∞ ] + ∫ ( x − 1)t ∞ x − −t e dt (3.14) ∞ = ( x − 1) ∫ t x −2 e −t dt = ( x − 1)Γ( x − 1) Do đó, ta chứng minh rằng: xΓ ( x ) = Γ( x + 1) (3.15) suy x = n = 1,2,3, thì: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) = ( n − 1)(n − 2)Γ(n − 2) = = (n − 1)! (3.16) Hàm Gamma không hoàn chỉnh định nghóa sau: ∞ Γ(a, z ) = ∫ t a−1e −t dt (3.17) z cho trường hợp Re(z) > Một số tính chất khác haøm Gamma: ∞ Γ ' ( x) = ∫ t x−1e −t log(t )dt x≥0 ∞ Γ ( n ) ( x) = ∫ t x −1e −t log n (t )dt x≥0 Γ ( x)Γ( x + 2) = π Γ (1 + x)Γ(1 − x) = x −1 Γ( x ) πx sin(πx) Học viên: Trần Mạnh Tường x≥0 x≥0 Trang 61 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Hàm Whittaker Xét phương trình:  − m2  d u du  k + + + dx dx  x x2     u =    (3.18) Gọi phương trình vi phân Whittaker Và hàm số: 1   +m−k n +m −x 2 n x M k ,m ( x) = x e ∑ (1 + 2m )n n! n=0 ∞ Trong đó: (a) n = (3.19) Γ (a + n ) Γ(a) Hoặc cách định nghóa khác: −x ∞ e xk t k − +m −k − +m (1 + ) dt M k ,m ( x ) = t ∫ z 1  Γ − k + m  2  (3.20) nghiệm phương trình Whittaker () Ngoài ra: Wk ,m (x ) = Γ(− 2m ) Γ(2 m) M k ,m ( x ) + M k , − m (x ) 1  1  Γ − m − k  Γ + m − k  2  2  (3.21) nghiệm phương trình Whittaker () Người ta chứng minh rằng: hàm M k ,m (x ) , M k ,− m (x ) nghiệm độc lập tuyến tính phương trình Whittaker Một số tính chất khác hàm Whittaker: ( ) M 0,m (x ) = 2 m Γ(m + 1) x I m x Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 62 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí M 0,m (x ) = W −1 ,1 4 ( ) x Km x π (x ) = z π x e erfc x Wk ,m ( x) = z 2Wk − 1 Wk ,m ( x) = x 2Wk − ,m− 1 ( x) + ( − k + m)Wk −1,m ( x ) 2 ,m+ ( x) + ( − k − m)Wk −1,m ( x) 2 zWk',m ( x) = (k − 12 )Wk ,m ( x) − [m − (k − ) ]Wk −1,m ( x) Trong erfc(x ) = − I m , K m hàm Bessel chỉnh sửa loại I loại II x 2 e −t dt tích phân xác xuất ∫ π Phương trình Kummer Phương trình: x d2y dy + (b − x ) − ay = dx dx (3.22) gọi phương trình Kummer, nghiệm phương trình gọi hàm Kummer có dạng sau: K (a, b, x) = + đó: ∞ (a ) x n (a ) x n ax (a )2 x + + + n + = ∑ n b (b )2 2! (b )n n! n = (b )n n! (a )n = a(a + 1)(a + 2) (a + n − 1), (a )0 = (b)n = b(b + 1)(b + 2) (b + n − 1), (b )0 = (3.23) (3.24) vaø: U (a, b, x ) = π  K (a, b, x ) K (1 + a − b,2 − b, x )   − z 1−b  sin πb  Γ(1 + a − b )Γ(b ) Γ(a )Γ(2 − b )  (3.25) nghiệm phương trình Kummer Một số tính chất khác hàm Whittaker: Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 63 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí πx m− Wk ,m ( x) = 2 m Γ( 12 + m + k ) K (2m,−2 k , x) 2 M k ,m ( x) = z Wk ,m ( x) = z m+ m+ 2 e e −z −z 2 x>0 K ( 12 + m − k ,1 + m, x) U ( 12 + m − k ,1 + 2m, x) Trong đó: M k ,m ( x) , Wk ,m ( x) laø haøm Whittaker, K (2m,−2k , x) , U (a, b, x ) hàm Kummer Phương trình Volterra Là phương trình tích phân có dạng: b cf (t ) − λ ∫ K (t , s ) f (s )ds = g (t ) (3.26) a Trong f hàm cần tìm, K(t,s), g(t) hàm biết λ , c số, g(t) gọi thành phần tự do, K(t,s) gọi nhân Phương trình gọi phương trình tích phân Fredholm a, b cố định gọi phương trình tích phân Volterra a, b thay đổi Khi c = 0, ta có phương trình Fredholm phương trình Volterra loại I Và, c ≠ , ta có phương trình Fredholm phương trình Volterra loại II Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 64 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Tài Liệu Tham Khảo [1] Rounds W: Solution of the tow-dimensional diffusion equation, 1955 [2] Huang C.H: On solutions of the diffusion–deposition equation for point sources in turbulent shear flow, 1998 [3] Jin-Sheng Lin and Llynn M Hildemann: Analytical solutions of the atmospheric diffusion equation with multiple sources and heightdependent wind speed and eddy diffusivities, 1995 [4] Võ Văn Hoàng: Mô vật lý, nhà xuất Đại học quốc gia thành phố HCM, 2004 [5] Nguyễn Công Tâm: Phương trình vật lý – Toán nâng cao, nhà xuất Đại học quốc gia Tp.HCM, 2002 [6] Trần Ngọc Chấn: Ô nhiễm không khí xử lý khí thải- tập 1, nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2000 [7] Jai Singh Sachdev: A review of dispersion medelling and particle trajectories in atmospheric flows Masters of Applied Sciense Thesis 2000, Toronto University, 2000 [8] Mark R Sippola and William W Nazaroff: Particle deposition from turbulent flow: review of published research and its applicability to ventilation ducts in commercial buildings, Berkeley National Laboratory, CA, 94720 – 1710, 2002 [9] Lương Tuấn Khải, Bài toán dự báo điều chỉnh nhiễm bẩn không khí: mô hình hệ Tin học hỗ trợ, Luận văn thạc só nghành Cơ học ứng dụng, Tp.HCM 2000 [10] Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, AMS, 2002 [11] A B Mayhoub, Khaled S.M.ESA and Sherif Aly, Mathematics and Theoretical Physics Dept., Atomic energy authority, Nuclear research center, Cairo – Egypt, 2001 [10] G.Evans, J.Blackledge and P.Yardley, Analytic methods for partical differential equations, Springer, 1999 Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 65 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí [11] Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng – Viện Toán học, nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [12] Nguyễn Minh Chương, Phương trình đạo hàm riêng, nhà xuất Giáo dục, 2001 [13] Vũ Văn Thanh, Nguyễn Nhật Khanh, Phương trình đạo hàm riêng vật lý, Ban xuất trường đại học Khoa học tự nhiên Tp.HCM, 1998 [14] Кандидат физ.- мат наук В П Гаврилов, Ю К Горматюк, Рассеяние примеси от стационарных источников в приземном слое атмосферы, 1989 Học viên: Trần Mạnh Tường Trang 66 ... Trang 10 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN XÂY DỰNG MÔ HÌNH LAN TRUYỀN CHẤT TRONG MÔI TRƯỜNG KHÔNG KHÍ Cơ sở lý thuyết... 19 Một Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Mô hình lan truyền chất Berlyand số mô hình khác Hiện giới có 20 mô hình mô tả tượng lan truyền chất. .. Số Cơ Sở Lý Luận & Thực Tiễn Xây Dựng Mô Hình Lan Truyền Chất Trong Môi Trường Không Khí Nồng độ môi trường Môi trường Trạng thái khí Mô tả nguồn thải Loại mô hình chọn Dự báo nồng độ tạp chất