Chuyên đề liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG A BÀI GIẢNG NHẮC LẠI VỀ THỨ TỰ TRÊN TẬP SỐ Trên tập số thực, với hai số a b xảy trường hợp sau:  Số a số b, kí hiệu a = b  Số a nhỏ số b, kí hiệu a < b  Số a lớn số b, kí hiệu a > b Từ đó, ta có thêm nhận xét:  Nếu a khơng nhỏ b a = b a > b , ta nói a lớn b, kí hiệu a≥ b  Nếu a khơng lớn b a = b a < b , ta nói a nhỏ b, kí hiệu a≤ b Ví dụ Điền dấu thích hợp (=, ) vào ô vuông: a 1,53  1,8 c b - 2,37  - 2,41 12 −2  −18 3 13  20 d Giải Ta có ngay: a 1,53 < 1,8 b - 2,37 > - 2,41 c −2 12 = −18 d 13 < 20 BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức hệ thức có dạng: A > B, A ≥ B, A < B, A ≤ B LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG Ví dụ a Khi cộng -3 vào hai vế bất đẳng thức −4 < bất đẳng thức nào? b Dự đoán kết cộng số c vào hai vế bất đẳng thức −4 < bất đẳng thức nào? Giải Ta có ngay: −3 − < −3 + ⇔ −7 < −1 (đúng) dự đoán c − < c + Tính chất: Với ba số a, b c, ta có:  Nếu a > b a + c > b + c  Nếu a < b a + c < b + c  Nếu a ≥ b a + c ≥ b + c  Nếu a ≤ b a + c ≤ b + c Khi cộng số vào hai vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho Ví dụ So sánh −2004 + (−777) −2005 + (−777) mà khơng tính giá trị biểu thức Giải Ta có −2004 > −2005 nên cộng hai vế bất đẳng thức với -777, ta −2004 + (−777) > −2005 + (−777) Ví dụ Dựa vào thứ tự so sánh + Giải Ta có < nên cộng hai vế bất đẳng thức với 2, ta B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Ví dụ Mỗi khẳng định sau hay sai? Vì sao? a (−2) + ≥ b − = 2.(−3) c + (−8) < 15 + (−8) d x + ≥ Giải a Khẳng định (−2) + ≥ sai b Khẳng định −6 = 2.(−3) c Khẳng định + (−8) < 15 + (−8) d Khẳng định x + ≥ vì: x ≥ 0, ∀x ⇔ x + ≥ 1, ∀x Ví dụ Cho a < b , so sánh: a a + b + b a − b − Giải a Ta có: a < b ⇔ a +1 < b +1 b Ta có: a < b ⇔ a−2 < b−2 Ví dụ Hãy so sánh a b nếu: a a − ≥ b − b 15 + a ≤ 15 + b Giải a.Ta có: a−5 ≥ b−5 ⇔ a−5+5 ≥ b −5+5 ⇔ a ≥ b b Ta có: 15 + a ≤ 15 + b ⇔ 15 + a − 15 ≤ 15 + b − 15 ⇔ a ≤ b +2 1 b) − < − + 5 c) −4 + ≤ 7; d) − x − ≤ Bài 2: So sánh x y trường hợp sau: 5 a) x − ≤ y − ; 3 b) −5 − x > − y − Bài 3: Cho a  b so sánh a) a  26 b  26 b) a  b  c) a b  d) a  b  TRẮC NGHIỆM Hãy chọn chữ đứng trước câu trả lời ( trừ câu 2) Câu 1: Số a không lớn số b Khi ta kí hiệu A a  b B a  b C a  b D a  b Câu 2: Khi cộng số vào vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức ………………với bất đẳng thức cho Câu 3: Biết bạn An nặng bạn huy Huy, gọi trọng lượng bạn An a(kg), trọng lượng bạn Huy b Khi ta có: A a  b B.a  b C a  b D a  b Câu 4: Các bất đẳng thức sau hay sai? Nội dung A 3   B  7   13  7  C 3  1 D a2   Đ S Câu 5: Một bạn giải toán sau: Cộng -2006 vào hai vế bất đẳng thức 2005  2006 ta suy 2005  2006  2006  2006 phương án điền vào ô trống là: A ‘’ B ‘’ C ‘’ D ‘’ Câu 6: Cho bất đẳng thức 2007  2006  2006 Khi 2007  2006 gọi A Đẳng thức B Biểu thức C.Vế trái D Vế phải Câu 7: Phương án bất đẳng thức A 2a  b B 2a  b C 2a  b 2a+b D 2a : b Câu 8: Cho hình vẽ , coi a,b,c khối lượng vật nặng.khi ta biểu diễn: A a  b  c B b  c  a C b  c  a b +c=a D Tất trường hợp sai a c b LỜI GIẢI PHIẾU BÀI LUYỆN Bài 1: a) Đúng  (8)  3  b) Đúng (3)  (7)  21  (5)  (4)  20 c) Đúng (7)2   40  (10)  (4)  40 d) Đúng x   x    x     (  x   )(cùng cộng với số) Bài 2: HD:Ta có a  b a) a  < b  (cùng cộng với 3) b) a   b  (cùng cộng với 2 c) a  < b  (cùng cộng với 1) Vậy a  a   b   a  b  (tính chất bắc cầu) d) Tương tự có: a   a   b  Bài 3: HD: a) a   b   a  b (cùng cộng với 4) b)  a   b  a  b ( cộng với 5 c) a   b   a  b (cùng cộng với 9 ) d) a  17  b  17  a  b (cùng cộng với 17) Bài 4: HD: a) Thứ tự xếp: 8; 3; 0; -1; -5; -7; -8 (tự biểu diễn) b) Thứ tự xếp: 5; 2;1;0; − ; − Bài 5: HD: x    x   11  11   x   20 Bài 6: HD: x   15  x   7   15  7   x   Bài 7: HD: a) x − ≤ −8 ⇔ x − + ≤ ( −8 ) + ⇔ x ≤ b) x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  Bài 8: HD: Tính tổng:     18  20  20  2 : 20  2 :  1  11.10  110   a  b  108  a  108  b  110  a  108  b ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN A BÀI GIẢNG LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN VỚI SỐ LƯỢNG Ví dụ a Nhân hai vế bất đẳng thức −2 < với 5091 bất đẳng thức nào? b Dự đoán kết nhân hai vế bất đẳng thức −2 < với số c dương bất đẳng thức nào? Giải Ta có ngay: −2.5091 < 3.5091 ⇔ −10182 < 15273 (đúng) dự đốn −2c < 3c với c dương Tính chất 1: Với ba số a, b c > , ta có:  Nếu a > b a.c > b.c a b > c c  Nếu a ≥ b a.c ≥ b.c a b ≥ c c  Nếu a < b a.c < b.c a b < c c  Nếu a ≤ b a.c ≤ b.c a b ≤ c c Khi nhân chia hai vế bất đăng thức với số dương ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho Ví dụ Điền dấu thích hợp () vào vuông: a (−15,2).3,5 b 4,15.2,2 □ (-15,08).3,5 □ (-5,3).2,2 Giải a Ta có cách điền: (−15,2).3,5 < (-15,08).3,5 Vì ln có −15,2 < −15,08 bất đẳng thức hình thành nhân hai vế với 3,5 > b Ta có cách điền: 4,15.2,2 > (-5,3).2,2 Vì ln có 4,15 > −5,3 bất đẳng thức hình thành nhân hai vế với 2,2 > LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN SỐ ÂM Ví dụ a Nhân hai vế bất đẳng thức −2 < với -345 bất đẳng thức nào? b Dự đoán kết nhân hai vế bất đẳng thức −2 < với số c âm bất đẳng thức nào? Giải Ta có ngay: −2.(−345) < 3.(−345) ⇔ 690 < −1035, sai Tức dấu bất đẳng thức cần đổi chiều dạng 690 > −1035 dự đoán −2c > 3c với c âm Tính chất 2.: Với ba số a, b c < , ta có:  Nếu a > b a.c < b.c a b < c c  Nếu a ≥ b a.c ≤ b.c a b ≤ c c  Nếu a < b a.c > b.c a b > c c  Nếu a ≤ b a.c ≥ b.c a b ≥ c c Khi nhân chia hai vế bất đẳng thức với số âm ta bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho Ví dụ Cho −4a > −4b , so sánh a b Giải Bằng cách chia hai bất đẳng thức với -4, ta a < b Ví dụ Khi chia hai vế bất đẳng thức cho số khác sao? Giải Khi chia hai vế bất đẳng thức cho số khác thì:  Dấu bất đẳng thức khơng thay đổi a >  Dấu bất đẳng thức đổi chiều a < TÍNH CHẤT BẮC CẦU CỦA THỨ TỰ Tính chất: Với ba số a, b c, a > b b > c a > c B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Ví dụ Mỗi khẳng định sau hay sai? Vì sao? a (−6).5 < (−5).5 b (−6).(−3) < (−5).(−3) c (−2003).(−2005) ≤ (−2005).2004 d -3 x ≤ Hướng dẫn: Sử dụng liên hệ thứ tự với phép nhân Giải a Ta có bất đẳng thức (−6).5 < (−5).5 Là tạo thành nhân hai vế bất đẳng thức −6 < −5 với > b Ta có bất đẳng thức (−6).(−3) < (−5).(−3) Là sai tạo thành nhân hai vế bất đẳng thức −6 < −5 với −3 < c Ta có bất đẳng thức (−2003).(−2005) ≤ (−2005).2004 Là sai tạo thành nhân hai vế bất đẳng thức −2003 ≤ 2004 với −2005 < d Ta có bất đẳng thức −3 x ≤ Là tạo thành nhân hai vế bất đẳng thức x ≥ với −3 < Ví dụ a So sánh (−2).3 -4,5 b Từ kết câu a), suy bất đẳng thức sau: (−2).30 < −45; (−2).3 + 4,5 < Hướng dẫn: Lựa chọn bất đẳng thức sở để biến đổi Giải a Ta ln có −2 < −1,5 nên cách nhân hai vế với 3, ta được: (−2).3 < −4,5 (1) b Ta xây dựng:  Bất đẳng thức (−2).30 < −45 hình thành cách nhân hai vế (1) với 10  Bất đẳng thức (−2).3 + 4,5 < hình thành cách cộng hai vế (1) với 4,5 Ví dụ Cho a < b , so sánh: 2a 2b; 2a a + b ; -a –b Hướng dẫn: Sử dụng phép biến đổi tương đương cho bất đẳng thức ban đầu Giải Ta thấy: a < b ⇔ 2a < 2b , cách nhân hai vế với a < b ⇔ 2a < a + b , cách cộng hai vế với a a < b ⇔ −a > −b , cách nhân hai vế với -1 Ví dụ Số a số âm hay dương nếu: 12a < 15a ? 4a < 3a ? −3a > −5a ? Hướng dẫn: Sử dụng phép so sánh hai bất đẳng thức đầu cuối Giải Ta có: 12 < 15 ⇒a>0  12a < 15a 4 > ⇒a −5 ⇒a>0  −3a > −5a Ví dụ Hãy xác định dấu số a, biết: b a ≤ a 6a > 3a a Giải a Ta viết lại: 6a > 3a ⇔ 6.a > 3.a Tức là, bất đẳng thức có sau nhân hai vế bất đẳng thức > với a Vậy, từ chiều hai bất đẳng thức suy a > b Ta viết lại: a≤ a ⇔ 1.a ≤ a 2 Tức là, bất đẳng thức có sau nhân hai vế bất đẳng thức > với a Vậy, từ ngược chiều hai bất đẳng thức suy a ≤ Ví dụ Cho a < b , chứng tỏ: b − 2a − > −2b − a 3a + < 3b + Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức sở để biến đổi Giải Ta có: a < b ⇔ 3a < 3b ⇔ 3a + < 3b + a < b ⇔ −2a > −2b ⇔ −2a − > −2b − Ví dụ Cho bất đẳng thức m > Nhân hai vế bất đẳng thức với số bất đẳng thức > m Giải Với bất đẳng thức giả thiết: m > nhân hai vế bất đẳng thức với m , ta được: m2 1 > ⇔ > m m m Ví dụ Cho a < b , chứng tỏ: a 2a − < 2b − b 2a − < 2b + Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức sở để biến đổi Giải Ta có: a < b ⇔ 2a < 2b ⇔ 2a − < 2b − (1) −3 < ⇔ 2b − < 2b + (2) Từ (1) (2) theo tính chất bắc cầu suy 2a − < 2b + Ví dụ Cho a < b , chứng minh 2a − < 2b + Giải Với bất đẳng thức giả thiết: a 1800 a  A+ B  < 1800 b  A+ B  +C  ≤ 1800 c B  ≥ 1800  A+ B   +C  1800 , A, B ,C  >0 Hướng dẫn: Sử dụng đẳng thức = A+ B Giải a Sai b Đúng c Sai khơng thể có dấu “=” Ví dụ 11 Chứng minh: a 4.(−2) + 14 < 4(−1) + 14 b (−3).2 + < (−3).(−5) + Hướng dẫn: Cần lựa chọn bất đẳng thức sở để biến đổi Giải a Từ bất đẳng thức: −2 < −1 ⇔ 4.(−2) < 4.(−1) ⇔ 4(−2) + 14 < 4.(−1) + 14 , đpcm b Từ bất đẳng thức: > −5 ⇔ (−3).2 < (−3).(−5) ⇔ (−3).2 + < (−3).(−5) + , đpcm Ví dụ 12 So sánh a b nếu: a a + < b + b − 3a > −3b c 5a − ≥ 5b − d − 2a + ≤ −2b + d Sai Giải a Ta có biến đổi: a+5< b+5⇔ a< b b Ta có biến đổi: −3a > −3b ⇔ a < b c Ta có biến đổi: 5a − ≥ 5b − ⇔ 5a ≥ 5b ⇔ a ≥ b d Ta có biến đổi: −2a + ≤ −2b + ⇔ −2a ≤ −2b ⇔ a ≥ b Ví dụ 13 Cho a < b , so sánh: a 2a + 2b + b 2a + 2b + Giải a Ta có biến đổi: a < b ⇔ 2a < 2b ⇔ 2a + < 2b + (1) b Ta có: < ⇔ 2b + < 2b + (2) Từ (1), (2) theo tính chất bắc cầu suy 2a + < 2b + Ví dụ 14 Cho a > b > , chứng tỏ rằng: a a2 > ab b a3 > b3 Giải a Với bất đẳng thức giả thiết: a>b Nhân hai vế bất đẳng thức với a > , ta được: a2 > ab , đpcm (1) b Với bất đẳng thức giả thiết: a>b (*) Nhân hai vế bất đẳng thức (*) với a2 > , ta được: a3 > a b (2) Nhân hai vế bất đẳng thức (*) với b > , ta được: ab > b2 Từ (1) (3) suy ra: a2 > b2 (3) (4) Nhân hai vế bất đẳng thức (4) với b > , ta được: a b > b3 Từ (2) (5) suy a3 > b3 , đpcm (5) Chú ý: Bất đẳng thức a2 > ab với điều kiện: a > b a > (hoặc a < b a < ) Bất đẳng thức a3 > b3 với điều kiện a > b Ví dụ 15 Cho a > b > , chứng tỏ 1 < a b Giải Từ giả thiết a, b > suy ra: ab > ⇔ >0 ab Với bất đẳng thức giả thiết: a > b nhân hai vế bất đẳng thức với a , ta được: ab 1 1 1 > b ⇔ > ⇔ < , đpcm ab ab b a a b Nhận xét: Ta có kết tổng quát “Nếu a > b 1  a < b nÕu a, b > ”   > nÕu a, b <  a b Ví dụ 16 Cho a < b c < d , chứng tỏ a + c < b + d Giải Với bất đẳng thức giả thiết: a b 3) a > b Bài 4: Cho x < y so sánh : a) x + y + b) − 3x − 3y c) x y + + 3 Bài 5: Cho a > b chứng minh : a) 2a − > 2b − c) − 3a < ( − b ) b) 2a − > 2b − Bài 6: Cho a, b bất kỳ, chứng minh : a + b2 2) ≥ ab 2 1) a + b − 2ab ≥ 3) a + b − ab ≥ LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1: a) Khẳng định 65  26 c) Khẳng định 5 b) Khẳng định x  x   d) Khẳng định sai 8  22 Bài 2: a) a  b  3a  3b  3a   3b  b) a  b  3a  3b  3a   3b  c) a  b  2a  2b  2a   2b  d) 2a   2b   2b  Bài 3: HD:a) 8   8a  4a a  b) a  c) a  Bài 4: a) a  b b) a  b d) a  c) a  b d) a  b 3 Bài 5: a) (a  )2    0, a 4 b) a  1a  2a  3a  4   (a  5a  4).(a  5a  5)  1 Đặt a  5a   t , ta t t  1   t  t   (t  )2   0, t c) (a  b)2  2(a  b ) Áp dụng BĐT Bunhia ta có: (a  b)2  (1.a  1.b)2  (12  12 )(a  b )  2(a  b ) Dấu “=” xảy a  b d) a  b  c   2  a  b  c  Ta có : a  2a   a – 1   a   2a Tương tự: b   2b; c   2c Nên: a  b  c  3   2a  2b  2c  a  b  c  Dấu “=” xảy a  b  c  Bài 6: HD: 2 a  b  (a  b)2 a  b a  b  (a  b)2   ab     0; a)    0     4 b) ⇔ (a  b)(a  b)2  c) ⇔ (a  b )(a  b)  d) ⇔ (a  1)2 (a  2a  3)  Bài 7: HD: a b Ta có cách điền: 4,15.2,2 > (-5,3).2,2 Vì ln có 4,15 > −5,3 bất đẳng thức hình thành nhân hai vế với 2,2 > LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN SỐ... dụng liên hệ thứ tự với phép nhân Giải a Ta có bất đẳng thức (−6).5 < (−5).5 Là tạo thành nhân hai vế bất đẳng thức −6 < −5 với > b Ta có bất đẳng thức (−6).(−3) < (−5).(−3) Là sai tạo thành nhân