ni ệm phần nguyên, sẽ có thí sinh khi đi thi đã tìm ra kết quả phân tích nhưng lúng túng trong vi ệc lựa chọn đáp án vì không nhớ rõ khái niệm phần nguyên.?. Đáp án nào sau.[r]
(1)TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định nghĩa
Cho f hàm số liên tục đoạn [ ; ].a b Giả sử F nguyên hàm f [ ; ].a b Hiệu số ( ) ( )
F b −F a gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [ ; ]a b hàm số f x( ), kí hiệu ( )
b
a
f x dx ∫
Ta dùng kí hiệu F x( )ba =F b( )−F a( ) để hiệu số F b( )−F a( ) Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dx=F x =F b −F a
∫
Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu ( ) b
a
f x dx
∫ hay ( ) b
a f t dt
∫ Tích phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số
Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục không âm đoạn [ ; ]a b tích phân ( )
b
a
f x dx
∫ diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục Ox hai đường thẳng x=a x, =b Vậy ( )
b
a
S =∫ f x dx
2.Tính chất tích phân
1 ( ) a
a
f x dx=
∫ ( ) ( )
b a
a b
f x dx= − f x dx
∫ ∫
3 ( ) ( ) ( )
b c c
a b a
f x dx+ f x dx= f x dx
∫ ∫ ∫ (a< <b c)4 ( ) ( ) ( )
b b
a a
k f x dx=k f x dx k∈
∫ ∫
5 [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x ±g x dx= f x dx± g x dx
∫ ∫ ∫
B BÀI TẬP
ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM
Câu 1: Cho hàm số , liên tục số thực tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai?
A
B
C
D
Câu 2: Khẳng định sau sai? ( )
y= f x y=g x( ) [ ]a b; k
( )d ( )d
b a
a b
f x x= − f x x
∫ ∫
( )d ( )d
b b
a a
xf x x=x f x x
∫ ∫
( )d
a
a
kf x x= ∫
( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x +g x x= f x x+ g x x
(2)A B
C D
Câu 3: Cho hai hàm số liên tục , Khẳng định sau khẳng định sai?
A B
C D
Câu 4: Cho hai số thực , tùy ý, nguyên hàm hàm số tập Mệnh đề đúng?
A B
C D
Câu 5: Cho hàm số liên tục đoạn Tìm mệnh đề đúng mệnh đề sau
A B
C D
Câu 6: Cho hàm số liên tục khoảng Mệnh đềnào sau sai?
A B
C D
Câu 7: Cho hàm số liên tục , nguyên hàm Chọn khẳng định sai khẳng định sau
A B
C D
( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x +g x x= f x x+ g x x
∫ ∫ ∫ ( )d ( )d ( )d
b b c
a c a
f x x= f x x+ f x x
∫ ∫ ∫
( )d ( )d
b a
a b
x
f x = f x x
∫ ∫ ( )d ( )d
b b
a a
x
f x = f t t
∫ ∫
( )
f x g x( ) K a b, ∈K
( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x +g x x= f x x+ g x x
∫ ∫ ∫ ( )d ( )d
b b
a a
kf x x=k f x x
∫ ∫
( ) ( )d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x g x x= f x x g x x
∫ ∫ ∫
( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x −g x x= f x x− g x x
∫ ∫ ∫
a b F x( ) f x( )
( )d ( ) ( )
b
a
f x x= f b − f a
∫ ( )d ( ) ( )
b
a
f x x=F b −F a ∫
( )d ( ) ( )
b
a
f x x=F a −F b
∫ ( )d ( ) ( )
b
a
f x x=F b +F a ∫
( )
f x [ ]a b; c∈[ ]a b;
( )d ( )d ( )d
c b a
a c b
f x x+ f x x= f x x
∫ ∫ ∫ ( )d ( )d ( )d
b c b
a a c
f x x+ f x x= f x x
∫ ∫ ∫
( )d ( )d ( )d
b c c
a a c
f x x− f x x= f x x
∫ ∫ ∫ ( )d ( )d ( )d
b a b
a c c
f x x+ f x x= f x x
∫ ∫ ∫
( )
y= f x K a b c, , ∈K
( )d ( )d ( )d
b b c
a c a
f x x+ f x x= f x x
∫ ∫ ∫ ( )d ( )dt
b b
a a
f x x= f t
∫ ∫
( )d ( )d
b a
a b
f x x= − f x x
∫ ∫ ( )d
a
a
f x x= ∫
( )
f t K a b, ∈K F t( ) f t( ) K
( ) ( ) ( )d
b
a
F a −F b =∫ f t t ( )d ( )
b
b a a
f t t=F t ∫
( )d ( )d
b b
a a
f t t= f t t
∫ ∫ ( )d ( )d
b b
a a
f x x= f t t
(3)Câu 8: Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đềnào sai?
A
B
C ,
D ,
Câu 9: Giả sử hàm số liên tục khoảng ba số khoảng Khẳng định sau sai?
A B
C D
Câu 10: Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đề sai?
A B ,
C D
Câu 11: Cho nguyên hàm hàm số Khi hiệu số
A B C D
Câu 12: Cho hàm số liên tục , có đồ thị hình vẽ sau:
Mệnh đềnào đúng?
A diện tích hình thang B dộ dài đoạn
( )
y= f x [ ]a b;
( )d ( )d
b b
a a
f x x= f t t
∫ ∫
( )d ( )d
b a
a b
f x x= − f x x
∫ ∫
( )
d b
a
k x=k a b−
∫ ∀ ∈k
( )d ( )d ( )d
b c b
a a c
f x x= f x x+ f x x
∫ ∫ ∫ ∀ ∈c ( )a b;
f K a b c, , K
( )
a
a
f x dx=
∫ b ( ) a ( )
a b
f x dx= − f x dx
∫ ∫
( ) ( ) ( ) , ;( )
c b b
a c a
f x dx+ f x dx= f x dx c∈ a b
∫ ∫ ∫ b ( ) b ( )
a a
f x dx= f t dt
∫ ∫
( )
y= f x [ ]a b;
( )d ( )d
b a
a b
f x x= − f x x
∫ ∫ ( )d ( )d ( )d
b c b
a a c
f x x= f x x+ f x x
∫ ∫ ∫
c
∀ ∈
( )d ( )d
b b
a a
f x x= f t t
∫ ∫ ( )d
a
a
f x x= ∫
( )
F x f x( ) F( )0 −F( )1
( )
1
d f x x
∫ ( )
0
d F x x −
∫ ( )
0
d F x x −
∫ ( )
0
d f x x −
∫
( )
y= f x [ ]a b; y= f′( )x
( )d b
a
f′ x x
∫ ABMN ( )d
b
a
f′ x x
(4)C dộdài đoạn D dộdài đoạn cong
Câu 13: Cho hai tích phân Giá trị tích phân là:
A B C D Không thể xác
định
Câu 14: Cho tích phân Tích phân có giá trị
là:
A B C D Không thể xác
định
Câu 15: Tích phân phân tích thành:
A B
C D
Câu 16: Cho Tính tích phân
A B C D
Câu 17: Cho hàm có đạo hàm liên tục đồng thời , Tính
A B C D
Câu 18: Cho Khi
A B C D
Câu 19: 47TCho47T hàm số có đạo hàm liên tục đoạn , Tính
A B C D
Câu 20: Cho hàm số liên tục Tính tích phân
A B C D
( )d b
a
f′ x x
∫ MN ( )d
b
a
f′ x x
∫ AB
( ) a
a
f x dx m
−
=
∫ a ( )
a
g x dx n
−
=
∫ a ( ) ( )
a
f x g x dx
−
−
∫
m−n n−m m+n
( )
1
b
a
I =∫ f x dx=m ( )
a
c
I =∫ f x dx=n ( )
b
c
I =∫ f x dx
m+n m−n − −m n
( ) b
a
f x dx ∫
( ) ( )
b a
c c
f x + −f x dx
∫ ∫ b ( ) a ( )
c c
f x − −f x dx
∫ ∫
( ) ( )
b a
c c
f x + f x dx
∫ ∫ b ( ) a ( )
c c
f x f x dx −∫ +∫
( )
1
d f x x
−
=
∫ ( )
2
2 d
I f x x
−
= ∫ −
9
− −3
( )
f x [ ]2;3 f ( )2 =2 f ( )3 =5 ( )
3
d
f′ x x
∫
− 10
( )d
b
a f′ x x=
∫ f b( )=5 f a( )
12 −2
( )
f x [ ]a b; f a( )= −2 f b( )= −4
( )d b
a
T =∫ f′ x x
T = − T =2 T =6 T = −2
( )
f x [ ]0;1 f ( )1 − f ( )0 =2 ( )
1
d f′ x x ∫
1
(5)Câu 21: Cho hàm số y= f x( ) thoảmãn điều kiện f(1)=12, f x′( ) liên tục
1 f x x( )d 17
′ =
∫
Khi f(4)
A 5 B 29 C 19 D 9
Câu 22: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn ; Giá trị
A B C D
Câu 23: Cho hàm số , với , số hữu tỉ thỏa điều kiện Tính
A B C D
Câu 24: Tính tích phân
A B C D
Câu 25: Tính tích phân
A B C C
Câu 26: Tính
A B C D
Câu 27:
Tính tích phân
A B C D
Câu 28: Cho hàm số Tính tích phân
A B C D
Câu 29: Cho hàm số Tính tích phân
A B C D
( )
f x [−1;3] f ( )− =1 f ( )3 =7
( )
3
5 d
I f x x
−
′ =∫
20
I = I =3 I =10 I =15
( ) 2
a b f x
x x
= + + a b ( )
1
d 3ln f x x= −
∫
T = +a b
T = − T =2 T = −2 T =0
3
d x I
x =
+ ∫ 4581
5000
I = log5
2
I = ln5
2
I = 21
100 I = −
2018
2
dx I
x
= ∫
2018.ln
I = − 2018
2
I = I =2018.ln I =2018
1
1
3 d
2
I x x
x
= +
+
∫
2 ln 3+ ln 3+ ln 3+ ln 3+
( )
1 2018
1 d
I =∫x +x x
1
2018 2019
I = + 1
2020 2021
I = + 1
2019 2020
I = + 1
2017 2018
I = +
( ) khi
x x
y f x
x x
≤ ≤
= =
− ≤ ≤
( )
2
d f x x ∫
7
2
5
3 ( ) 21
2 x y f x x
x x
≤ ≤
= = +
− ≤ ≤
( )
3
d f x x ∫
(6)Câu 30: Cho hàm số Tính
A B C D
Câu 31: Cho hàm số Hỏi có tất số
nguyên để ?
A . B C D
Câu 32: Biết Khẳng định sau đúng?
A B C D
Câu 33: Đặt ( tham số thực) Tìm để
A B C D
Câu 34: Cho , Khi bằng:
A B . C D
Câu 35: Giá trị để ?
A B C D Câu 36: Có giá trị thực để có
A B C D Vô số
Câu 37: Xác định số thực dương để tích phân có giá trị lớn
A B C D
Câu 38: Cho số thực thỏa mãn Giá trị biểu thức
A B C D
Câu 39: Tích phân có giá trị là:
A I = 1. B I =2. C I = 3. D I = Câu 40: Tích phân có giá trị là:
A I = 1. B I = 2. C I = 3. D I =
( )
4
x x
y f x
x x
≤ ≤
= =
− ≤ ≤
( )
2
f x dx ∫
7
2
5
3 ( ) 2
x x
y f x
a a x x
≤
= =
− ≥
( )
4
d I f x x
−
=∫
a I+22≥0
2
(2 d) b
a
x− x= ∫
1
b a− = 2
1
a −b = − −a b b2−a2 = − +b a a b− =1
( )
2
2 d
I =∫ mx+ x m m I =4
1
m= − m= −2 m=1 m=2
3
( )d f x x=a
∫
2
( )d f x x=b
∫
0
( )d f x x ∫
a b
− − b a− a b+ a b−
b ( )
1
2 d b
x− x=
∫
0
b= b=3 b=0 b=1 b=5 b=0 b=1 b=5
AD ( )
0
2 d
a
x+ x= −a ∫
1
m ( 2)
0
d m
x−x x ∫
1
m= m=2 m=3 m=4
a a <2 ( )
2
2 d
a
x+ x=
∫
1+a
0
2
2 I =∫ x dx
( )
1
3
I x x dx
−
(7)Câu 41: Cho gá trị tích phân , Giá trị là:
A B C D
Câu 42: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 43: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 44: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 45: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 46: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 47: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 48: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 49: Tích phân có giá trị là:
A B C D
( )
1
4
1
2
I x x dx a
−
=∫ + = 1( )
2
3
I x x dx b
− −
= ∫ + = a
b
65
P= − 12
65
P= 12
65
P= −
65 P=
( )
0
2
I x ax dx
−
=∫ + +
7
a
I = −
4 a
I = −
4 a
I = +
4 a I = +
( )
1
I =∫ ax +bx dx
a b I = +
3 a b I = +
2 a b I = +
3 a b I = +
2
1 a
I x dx
x
= +
∫
2
1
I a
a
= − − +
2
I a
a
= − − +
2
I a
a
= − − +
2
I a
a
= − − +
2
I x x dx
−
=∫ −
3
I =
6
I =
2
I = −
6 I = −
1
3
1
1
I x x x dx
−
=∫ + − −
4
I =
2
I =
3
I = −
2 I = −
3
3 x x
I dx
x
− −
− +
=
− ∫
7
I = − 17
6
I =
6
I = 17
6 I = −
2 2
2 x x
I dx
x
−
− − =
− ∫
3 ln
I = − I = −2 ln I = +3 ln I = −3 3ln
1
1
I ax dx
x
− −
= +
∫
15
ln 16
a
I = − + 15 ln
16 a
I = − 15 ln
16 a
I = + 15 ln
(8)Câu 50: Biết tích phân Giá trị là:
A B C D
Câu 51: Cho tích phân Khẳng định không đúng?
A B
C D Chỉcó A C
Câu 52: Số nghiệm nguyên âm phương trình: với là:
A 0 B 1 C 2 D 3
Câu 53: Số nghiệm dương phương trình: , với , a b số hữu tỉ là:
A 0 B 1 C 2 D 3
Câu 54: Tìm tất giá trị thực tham số để có \
A B C D
Câu 55: Cho nguyên hàm hàm số tập thỏa mãn
Tính tổng
A B C D
Câu 56: Có giá trịnguyên dương thỏa mãn ?
A B C D
Câu 57: Cho hàm số Hàm số có đồ thị hình vẽ
1
0
2
I =∫ xdx=a ( )
2
2
a
I =∫ x + x dx
2
17
I = 2 19
3
I = 2 16
3
I = 2 13
3 I = ( )
1 b
a
I =∫ x + dx
( )
1
b b b
a a a
I =∫ x + dx=∫x dx+∫dx ( )b
a I = x +x
3
1
3
I = b + −b a −a
3
2 x −ax+ =
3
1 e
a dx
x
= ∫
3
2 x +ax+ =
1
2 a=∫ xdx
k ( )
0
1
2 d lim
k
x x
x x
x
→
+ −
− =
∫
k k
= =
1 k k
= = −
1 k k
= − = −
1 k k
= − =
( )
F x f x( )= + − −1 x x
( )1
F = F( )0 +F( )2 +F( )−3
8 12 14 10
n ( )
2
2
0
1 n d
n x x x nx − x
− + + + + + = −
∫
1
( )
(9)Biết diện tích hình phẳng giới hạn trục đồ thị hàm số đoạn và Cho Giá trị biểu thức
A B C D
Câu 58: Cho Tìm điều kiện để
A B C D
Câu 59: Biết hàm số thỏa mãn ,
(với , , ) Tính giá trị biểu thức
A B C D
TÍCH PHÂN HỮU TỈ
Câu 60: Biết với , số thực Mệnh đềnào đúng?
A B C D
Câu 61: Tích phân Giá trị a là:
A B C D
Câu 62: Cho Giá trị a + b là:
A B C D
Câu 63: Biết Gọi , giá trị thuộc khoảng sau đây?
A B C D
Câu 64: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Ox y= f′( )x
[−2;1] [ ]1; 12 f ( )1 =3 f ( )− +2 f ( )4
21
( )
2
2 d
I =∫ x − −x m x ( )
1
2 d
J =∫ x − mx x m I ≤J
3
m≥ m≥2 m≥1 m≥0
( )
f x =ax +bx+c ( )
1
7 d
2 f x x= −
∫ ( )
0
d
f x x= − ∫
( )
3
13 d
2 f x x=
∫ a b c∈ P= + +a b c
3
P= −
3
P= −
3
P=
4 P=
1
5
d ln
2 x
x a b x
− = +
+
∫ a b
8 81
ab=
24
a b+ =
8
ab=
10 a b+ =
1
2
ln
ax
I dx
x
= =
+ ∫ ln ln a=
−
ln 2 ln a=
−
ln ln a=
+
ln 2 ln a=
+
( )
1
2
1
ln ln 3
I dx a b b
x x
= = − +
+ − ∫
1
1
1
1
( )
2
d ln ,
1 x
x a b a b
x+ = + ∈
∫ S =2a b+ S
(8;10) ( )6;8 ( )4; ( )2;
2
1
x
I x dx
x
= +
+
∫
10
ln ln 3
I = + − 10 ln ln 3
I = − + 10 ln ln 3
I = − − 10
ln ln 3
(10)Câu 65: Nhận xét: Không thểdùng máy tính để tính kết quảnhư mà ta có thểdùng để kiểm tra mà Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 66: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 67: Tích phân ,với có giá trị là:
A B
C D
Câu 68: Tích phân có giá trị nhỏ số thực dương a có giá trị là:
A B C D
Câu 69: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 70: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 71: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 72: Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:
A B C D
Câu 73: Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:
A B
2
1
I x dx
x
= +
∫
5
I =
2
I =
2
I = 11
2 I =
1
2 ax
I ax dx
x
= −
+
∫ ln
I = −a I = −2 ln I =2 ln I =aln
1
a
a x
I dx
x a
= +
∫ a≠0
2
1 ln
2 a I a a
a
+
= + ln
2 a I a a
a
+
= +
2
1 ln
2 a I a a
a
−
= + ln
2 a I a a
a
−
= +
3 2
2 a x x
I dx
ax
+ =∫
2
5
1
5
2
b
I ax dx
x
= +
∫
7
ln
I = a b− I =3a b− ln ln
I = a b+ I =3a b+ ln
1
1
b
I ax dx
x
−
= +
+
∫
ln
I = −b ln
2 a
I = −b ln
2 a
I = +b I =bln
2
2
1 e
e x
I dx
x
+ =∫
2
1 1
I
e e
= − +
2
1 1
I
e e
= − −
2
1 1
I
e e
= + +
2
1 1
I
e e
= + −
1
0
x
I dx a
x
= =
+
∫ P=2a−1
1 ln
P= − P= −2 ln P= −1 ln P= −2 ln
2
2
1 e
e
x x
I dx a
x
+ +
= =
∫ P= −a
2
1
2
P= +e e + e
2
(11)C D
Câu 74: Biết ,với Tính giá trị
A B C D
Câu 75: Tính tích phân:
A B C D
Câu 76: Tính tích phân
A B C D
Câu 77: Biết với số nguyên Tính
A . B . C D
Câu 78: Biết Mệnh đềnào sau đúng?
A B C D
Câu 79: Giả sử Tính
A B C D
Câu 80: Cho giá trị tích phân , Giá trị biểu thức là:
A B
C D
Câu 81: Giá trị tích phân gần với gái trị sau đây?
A B C D
Câu 82: Tích phân Giá trị a là:
A B C D
2
1
2
P= − −e e + e
2
P= +e e − e
0
3
d ln
2
x x
I x a b
x
−
+ −
= = +
−
∫ a b, ∈ a+2b
30 40 50 60
2
1 d x
I x
x
+ =∫
1 ln
I = − I =2 ln I = +1 ln
4 I =
1
d x I
x =
− ∫ 1
ln
I = 1ln1
6
I = − 1ln
6
I = I =ln 26
4
d
ln ln ln 5, x
I a b c
x x
= = + +
+
∫ a b c, , S= + +a b c
6
S = S =2 S = −2 S =0
( )
5
3
d ln ln , x a b a b Z
x + x = + ∈
∫
2
a+ b= 2a b− =0 a b− =0 a b+ =0
2
1
d ln ln 3; ,
4
x
x a b a b
x x
− = + ∈
+ +
∫ P=ab
8
P= P= −6 P= −4 P= −5
2, a= b= −
2
1
2
x x
I dx a
x
+
= =
+ ∫
2
2
1 e
e
I dx b
x
=∫ =
P= −a b
ln ln
P= + − ln ln
P= + −
ln ln
P= + − ln ln
P= + −
0
2
3 2 x x
I dx
x x
−
− +
=
+ − ∫
ln 2
− ln 1− ln
2−
ln 3
−
2
1
ln ln 5 ax
I dx
x x
+
= = +
+ +
∫
1
a=
5
a=
5
a=
(12)Câu 83: Tích phân Giá trị a là:
A B C D
Câu 84: Biết , Tính giá trị biểu thức
A B C D
Câu 85: Biết , hai số nguyên dương phân số tối giản Tính ta kết
A B C D
Câu 86: Biết với , , Tính
A B C D
Câu 87: Giả sử Khi giá trị là:
A 30. B 40. C 50. D 60
Câu 88: Biết Mệnh đề sau đúng?
A B
C D
Câu 89: Nếu giá trị
A B C D
Câu 90: Cho , với , , số hữu tỉ Tính
A B C D
Câu 91: Biết với , , Hỏi giá trị thuộc khoảng sau đây?
A B C D
Câu 92: Biết với số nguyên Tính
A B C D
2
1
ln
3
a x
I dx
x x
+
= =
+ ∫
1
a= a=2 a=3 a=4
( 2)(1 )d ln ln
x
x a x b x C
x x
+ = − + − +
− −
∫ a b, ∈ a b+
1
a b+ = a b+ =5 a b+ = −1 a b+ = −5
1
3
d 3ln
6
x a
x
x x b
− = −
+ +
∫ a b, a
b ab
5
ab= − ab=27 ab=6 ab=12
3 2
3
d ln ln
x x
x a b c
x x
− + = + +
− +
∫ a b c∈ T = +a 2b2+3c3
4
T = T =6 T =3 T =5
0
3
.ln
2
x x
I dx a b
x
−
+ −
= = +
−
∫ a+2b
5
3
d ln ln
3 x a b
x + x = +
∫ (a b, ∈)
2
a+ b= 2a b− =0
a b− = a b+ =0
3 2
2
d ln ln 3ln 2
x
x a b
x x
+ = + +
− +
∫ (a b, ∈) P=2a b−
1
P= P=7 15
2
P= − 15
2 P=
3
3
d ln ln ln
x
x m n p
x x
+
= + +
+ +
∫ m n p
2
S =m + +n p
S = S =4 S =3 S =5
2
d ln
1 x
x a b
x+ = +
∫ a b∈ b>0 2a b+
(8;10) ( )6;8 ( )4; ( )2;
4
d
ln ln ln x
I a b c
x x
= = + +
+
∫ a b c, , S = + +a b c
6
(13)Câu 93: Biết , với , số nguyên thuộc khoảng nghiệm phương trình sau đây?
A B C D
Câu 94: Biết với , số nguyên Tính
A B C D
47T
Câu 95: 47TBiết47T , Giá trị biểu thức
bằng 47T
A B C D
Câu 96: Tìm giá trị để
A B C D
Câu 97: Cho với , số nguyên Mệnh đề ?
A B C D
Câu 98: Biết Tính
A B C D
Câu 99: Cho với , , số nguyên Mệnh đề đúng?
A B C D
Câu 100: Biết Tính
A B C D
Câu 101: Cho với , số nguyên Mệnh đềnào sau đúng?
A B C D
Câu 102: Biết tìm giá trị để
2
d 1
4 x
x − x+ = +a b
∫ a b (−7;3) a b
2
2x − − =x x2+4x−12=0 x2−5x+ =6 x2− =9
5
1
d ln
1
x x b
x a x
+ + = + +
∫ a b S= −a 2b
2
S = − S=5 S =2 S =10
( )( )
3
d
ln ln ln
2
x
a b c
x+ x+ = + +
∫ (a b c, , ∈) 2a+3b c−
5
a
( )( )
4
1
d ln
1 x a
x− x− =
∫
12
3
1
3
1
1
ln ln
1 dx a b
x x
− = +
+ +
∫ a b
2
a b+ = a−2b=0 a b+ = −2 a+2b=0
3 2
5 12
d ln ln ln 6
x
x a b c
x x
+ = + +
+ +
∫ S=3a+2b c+
3 −14 −2 −11
2
1
d ln ln ln
5 x a b c
x + x+ = + +
∫ a b c
4
a b c+ + = a b c+ + = −3 a b c+ + =2 a b c+ + =6
( ) ( ) ( )
2
3
1
d ln
6 11
m n p
x
x x x x C
x x x
+
= − − − +
− + −
∫ 4(m+ +n p)
5
3 2
8
d ln ln
x
x a b
x x
+
= +
+ −
∫ a b
3
a b+ = a−2b=11 a b− =5 a+2b=11
1
0
2 3
d ln
2
x x
x b
x a
+ + = +
+
∫ (a b, >0) k
( )
8
1 2017
d lim
2018 ab
x
k x
x
x
→+∞
+ +
<
(14)A B C D TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ
Câu 103: Tính tích phân
A B C D
Câu 104: Biết Giá trị là:
A – 1 B – 2 C – 3 D – 4
Câu 105: Tích phân
A B C D
Câu 106: Cho , Tính
A B C D
Câu 107: Biết tích phân với , số thực Tính tổng
A B C D
Câu 108: Tích phân có giá trị là:
A B
C D
Câu 109: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 110: Biết Với , , số nguyên dương Tính
A B C D
0
k< k≠0 k>0 k∈
2
4 d I =∫ x+ x
13 13
3
4
( )
1
0
1
6 a
I =∫ x+ x+ dx= +b
4 a− b
2
1
2
I dx
x =
+ ∫ 1
2
I = − I =2 2
2
I = − I = −2
1
d
3
2
x
a b a
x+ + x+ = − +
∫ ( *)
,
a b∈ a+2b
a+ b= a+2b=8 a+2b= −1 a+2b=5
1
3 d
9
x a b
x
x x
+ =
+ + +
∫ a b T = +a b
10
T = − T = −4 T =15 T =8
0
1 a
I =∫x x+ dx
( )5 ( )3
2 4
5 15
a a
I = + + + + ( ) ( )
5
2 4
5 15
a a
I = + − + +
( )5 ( )3
2 4
5 15
a a
I = + + + − ( ) ( )
5
2 4
5 15
a a
I = + − + −
1
1 1
x
I dx
x
−
=
+ − ∫
4 2
I = + 2
3
I = −
3
I = −
3
I = +
4
2
d
x x a b
I x
c x x
− + −
= =
+ −
∫ a b c a b c+ +
(15)Câu 111: Biết với số nguyên dương Tính
A B C D
Câu 112: Biết với , , số nguyên dương Tính
A B C D
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 113: Tính 19Ttích19T phân
A B C D
Câu 114: Tính tích phân
A B C D
Câu 115: Tích phân bằng?
A B C D
Câu 116: Biết , với , số hữu tỉ Tính
A B C D
Câu 117: Số số nguyên thỏa mãn
A B C D
Câu 118: Tích phân có giá trị là:
A B C D Cả A, B, C
sai
Câu 119: Có số thực thuộc khoảng cho ?
A B C D
( )
2
d
2
x
a b c x x+ + x+ x = + −
∫ a b c, ,
P= + +a b c
P= P=8 P=46 P=22
( )
2
d
1
x
I a b c
x x x x
= = − −
+ + +
∫ a b c
P= + +a b c 24
P= P=12 P=18 P=46
0
sin dx x
π
∫
3
−
3
2
−
3
2
sin d
4
I x x
π π
= −
∫
4
I =π I = −1 I =0 I =1
3
d sin x I
x
π π
=∫
cot cot
3
π − π
cot cot
3
π + π
cot cot
3
π π
− + cot cot
3
π π
− −
2
cosxdx a b
π π
= +
∫ a b T =2a+6b
3
T = T = −1 T = −4 T =2
cot cot
3
π π
= − +
0
cos x d m
x= ∫
643 1284 1285 642
2
sin
I xdx
π
=∫
1
I = I =0 I = −1
b (π π;3 ) cos d
b
x x
π
= ∫
(16)Câu 120: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 121: Tích phân có giá trị là:
A B C D
Câu 122: Kết tích phân viết dạng , Khẳng định sau sai?
A B C D
Câu 123: Cho tích phân với Tính
A B C D
Câu 124: Cho tích phân , Tính
A −3 B 1 C −2 D 1
3 Câu 125: Biết ( )
6
2
3 sin d
6
a c
x x b
π
π
+ = −
∫ , a,b nguyên dương a
b tối giản Tính a b c+ +
A 8 B 16 C 12 D 14
Câu 126: Cho giá trị tích phân ( )
3
2
sin cos
I x x dx a
π
π
−
= ∫ + = , ( )
3
3
cos sin
I x x dx b
π
π
−
= ∫ + = Giá trị a + b là:
A 3
4
P= + B 3
4
P= + C 3
4
P= − D 3
4 P= −
Câu 127: Cho giá trị tích phân ( )
2
3
sin cos
I x x dx a
π
π
−
= ∫ + = ,
2
2
1 1
1 e
e
I dx b
x x x
= + − =
+
∫ Giá
trịa.b gần với giá trị sau đây?
A. B. 16 C. 10 D 1
( )
2
sin cos
I x x dx
π π −
= ∫ −
1
I = I =2 I = −2 I = −1
( )
6
sin cos
I x x dx
π π −
= ∫ −
2
I =
4
I =
4
I = −
3 I = −
( )
2
2x sinx dx π
− −
∫ a b∈
2
a+ b= a b+ =5 2a−3b=2 a b− =2
2
cos d sin
x
x a b x
π
π
= + +
∫ a, b∈ P= + +1 a3 b2
9
P= P=29 P=11 P= −25
( )
2
1 4x cosx dx c
a b π
π π
− + = − +
(17)Câu 128: Tích phân ( )
2
sin cos
I ax ax dx
π
π
−
= ∫ + , với a≠0 có giá trị là:
A sin sin
2 4
I a a
a
π π π π
= − − +
B sin sin
2 4
I a a
a
π π π π
= − + +
C sin sin
2 4
I a a
a
π π π π
= − + − +
D sin sin
2 4
I a a
a
π π π π
= − − + +
Câu 129: Biết π
3
2
cos sin π
d cos
x x x x b
I x
x a c
+ −
= = −
+
∫ Trong a, b, c sốnguyên dương, phân số b
c tối giản Tính
2 2
T =a +b +c
A T =16 B T =59 C T =69 D T =50 Câu 130: Cho hàm số f x( )=asin 2x b− cos 2x thỏa mãn '
2 f = − π
b
a adx=
∫ Tính tổng a b+ bằng:
A 3 B 4 C 5 D 8
Câu 131: Cho tích phân
0
cos cos dx x x a b
π −
= +
∫ , a, b số hữu tỉ Tính
2
ea log b
+
A −2 B −3 C 1
8 D 0
Câu 132: Cho F x( ) nguyên hàm hàm số 1 sin y
x =
+ với x \ k ,k π π
−
∀ ∈ + ∈
, biết
( )0
F = ; F( )π =0 Tính 11
12 12
P=F−π −F π
A P= −2 B P=0 C Không tồn P D P=1
Câu 133: Cho M , N số thực, xét hàm số f x( )=M.sinπx+N.cos πx thỏa mãn f ( )1 =3 ( )
1
1 d
π
f x x= −
∫ Giá trị f′
A 5π
2 B
5π 2
− C π
2
− D π
(18)Câu 134: Tích phân ( )
2
2
cos cos
I x xdx
π
=∫ − có giá trị là:
A
4
I = −π B
4
I = − −π C
4
I = +π D
4
I = − +π
Câu 135: Biết tích phân
2
3
sin
I xdx a
π
π
=∫ = Giá trị
1
2
1
ln ln a
x
I dx b c
x x
+
= = −
+
∫ Thương số b
và c là:
A – 2 B – 4 C 2 D 4
Câu 136: Cho ( ) ( )
3
2 6
0
sin cos cos sin sin
I x x dx a x bx c x
π
π
=∫ + = + + Giá trị 3a+2b+4c là:
A – 1 B 1 C – 2 D 2
Câu 137: Cho In =∫tannx xd với n∈ Khi I0+ +I1 2(I2+ + +I3 I8)+ +I9 I10
A ( )
9
tan r r
x C r
=
+
∑ B ( )
1
1
tan
r
r
x
C r
+ =
+ +
∑ C ( )
10
tan r r
x C r
=
+
∑ D ( )
1 10
1
tan
r
r
x
C r
+ =
+ + ∑
TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LƠGARIT Câu 138: Tích phân
1
e d−x x ∫
A e 1− B 1
e− C
e e −
D 1
e Câu 139: Tích phân
2018
2 d
= ∫ x
I x A 22018−1 B
2018
2
ln −
C
2018
2
ln D
2018
2
Câu 140: Biết
4
1 ( )d
2 f x x
−
=
∫
0
1 ( )d
2 f x x
−
− =
∫ Tính tích phân
4
4e x ( ) d I =∫ + f x x
A I =2e8 B I =4e8−2 C I =4e8 D I =2e8−4 Câu 141: Cho ( )
2
0
e d x
t
F x = ∫ t Tính F′( )2
A F′( )2 =4e4 B F′( )2 =8e16 C F′( )2 =4e16 D F′( )2 =e4 Câu 142: Cho hàm số ( )
2
1 d ln x
x
g x t
t
= ∫ với x>0 Đạo hàm g x( )
A ( )
ln x g x
x −
′ = B ( ) ln
x g x
x −
′ = C ( ) ln g x
x
(19)Câu 143: ( )
3
d f x x π
π
−
⇔ ∫ = Gọi S tập hợp tất số nguyên dương k thỏa mãn
2
2018.e 2018 e d
k kx
x
k
− <
∫ Số phần tử tập hợp S
A 7 B 8 C Vô số D 6
Câu 144: Cho
1
e d e
nx
n x
I x
− −
= +
∫ với n∈
Đặt un =1.(I1+I2) (+2 I2+I3) (+3 I3+I4)+ + n I( n+In+1)−n Biết limun =L Mệnh đềnào sau đúng?
(20)C HƯỚNG DẪN GIẢI
ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM
Câu Cho hàm số , liên tục số thực tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dựa vào tính chất tích phân, A, C, D nên B sai Câu Khẳng định sau sai?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu Cho hai hàm số liên tục , Khẳng định sau khẳng định sai?
A B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu Cho hai số thực , tùy ý, nguyên hàm hàm số tập Mệnh đề đúng?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( )
y= f x y=g x( ) [ ]a b; k
( )d ( )d
b a
a b
f x x= − f x x
∫ ∫
( )d ( )d
b b
a a
xf x x=x f x x
∫ ∫
( )d
a
a
kf x x= ∫
( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x +g x x= f x x+ g x x
∫ ∫ ∫
( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x +g x x= f x x+ g x x
∫ ∫ ∫ ( )d ( )d ( )d
b b c
a c a
f x x= f x x+ f x x
∫ ∫ ∫
( )d ( )d
b a
a b
x
f x = f x x
∫ ∫ ( )d ( )d
b b
a a
x
f x = f t t
∫ ∫
( )
f x g x( ) K a b, ∈K
( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x +g x x= f x x+ g x x
∫ ∫ ∫ ( )d ( )d
b b
a a
kf x x=k f x x
∫ ∫
( ) ( )d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x g x x= f x x g x x
∫ ∫ ∫
( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x −g x x= f x x− g x x
∫ ∫ ∫
a b F x( ) f x( )
( )d ( ) ( )
b
a
f x x= f b − f a
∫ ( )d ( ) ( )
b
a
f x x=F b −F a ∫
( )d ( ) ( )
b
a
f x x=F a −F b
∫ ( )d ( ) ( )
b
a
(21)Theo định nghĩa, ta có
Câu Cho hàm số liên tục đoạn Tìm mệnh đề đúng mệnh đề sau
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Câu Cho hàm số liên tục khoảng Mệnh đề sau sai?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Mệnh đềđúng là:
Câu Cho hàm số liên tục , nguyên hàm Chọn khẳng định sai khẳng định sau
A. B.
C. D.
Bài giải Chọn A
Theo định nghĩa ta có: Suy phương án A sai Câu Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đề sai?
A.
B.
C. ,
D. ,
( )d ( ) ( )
b
a
f x x=F b −F a ∫
( )
f x [ ]a b; c∈[ ]a b;
( )d ( )d ( )d
c b a
a c b
f x x+ f x x= f x x
∫ ∫ ∫ ( )d ( )d ( )d
b c b
a a c
f x x+ f x x= f x x
∫ ∫ ∫
( )d ( )d ( )d
b c c
a a c
f x x− f x x= f x x
∫ ∫ ∫ ( )d ( )d ( )d
b a b
a c c
f x x+ f x x= f x x
∫ ∫ ∫
( )d ( )d ( ) ( ) ( ) ( )
b a
a c
f x x+ f x x=F b −F a +F a −F c
∫ ∫ =F b( )−F c( ) ( )d
b
c
f x x =∫
( )
y= f x K a b c, , ∈K
( )d ( )d ( )d
b b c
a c a
f x x+ f x x= f x x
∫ ∫ ∫ ( )d ( )dt
b b
a a
f x x= f t
∫ ∫
( )d ( )d
b a
a b
f x x= − f x x
∫ ∫ ( )d
a
a
f x x= ∫
( )d ( )d ( )d
b c c
a b a
f x x+ f x x= f x x
∫ ∫ ∫
( )
f t K a b, ∈K F t( ) f t( ) K
( ) ( ) ( )d
b
a
F a −F b =∫ f t t ( )d ( )
b
b a a
f t t=F t ∫
( )d ( )d
b b
a a
f t t= f t t
∫ ∫ ( )d ( )d
b b
a a
f x x= f t t
∫ ∫
( )d ( )
b
b a a
f t t=F t
∫ =F b( )−F a( ) ( )
y= f x [ ]a b;
( )d ( )d
b b
a a
f x x= f t t
∫ ∫
( )d ( )d
b a
a b
f x x= − f x x
∫ ∫
( )
d b
a
k x=k a b−
∫ ∀ ∈k
( )d ( )d ( )d
b c b
a a c
f x x= f x x+ f x x
(22)Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Câu Giả sử hàm số liên tục khoảng ba số khoảng Khẳng định sau sai?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
Câu 10 Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đềnào sai?
A. B. ,
C. D.
Câu 11 Cho nguyên hàm hàm số Khi hiệu số
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Câu 12 Cho hàm số liên tục , có đồ thị hình vẽ sau:
Mệnh đềnào đúng?
A. diện tích hình thang B. dộ dài đoạn C. dộ dài đoạn D. dộ dài đoạn cong
Hướng dẫn giải
d b
b a a
k x=kx
∫ =kb ka− =k b( −a)
f K a b c, , K
( )
a
a
f x dx=
∫ b ( ) a ( )
a b
f x dx= − f x dx
∫ ∫
( ) ( ) ( ) , ;( )
c b b
a c a
f x dx+ f x dx= f x dx c∈ a b
∫ ∫ ∫ b ( ) b ( )
a a
f x dx= f t dt
∫ ∫
( ) ( ) ( )
a
a
f x dx=F a −F a = ∫
( )
y= f x [ ]a b;
( )d ( )d
b a
a b
f x x= − f x x
∫ ∫ ( )d ( )d ( )d
b c b
a a c
f x x= f x x+ f x x
∫ ∫ ∫
c
∀ ∈
( )d ( )d
b b
a a
f x x= f t t
∫ ∫ ( )d
a
a
f x x= ∫
( )
F x f x( ) F( )0 −F( )1
( )
1
d f x x
∫ ( )
0
d F x x −
∫ ( )
0
d F x x −
∫ ( )
0
d f x x −
∫
( ) ( )
1
1 d
0
f x x F x
− = −
∫ = −F( )1 −F( )0 =F( )0 −F( )1
( )
y= f x [ ]a b; y= f′( )x
( )d b
a
f′ x x
∫ ABMN ( )d
b
a
f′ x x
∫ BP
( )d b
a
f′ x x
∫ MN ( )d
b
a
f′ x x
(23)Chọn B
Câu 13 Cho hai tích phân Giá trị tích phân là:
A B. C. D. Không thể xác
định
Hướng dẫn giải
Cho hai tích phân Giá trị tích phân là:
Ta có kết quả:
Chọn A
Câu 14 Cho tích phân Tích phân có giá trị
là:
A B. C. D. Không thể xác
định
Hướng dẫn giải
Cho tích phân Tích phân có giá trị là:
Quy tắc “nối đuôi” cho ta: Chọn A
Câu 15 Tích phân phân tích thành:
A B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân phân tích thành:
Ta có:
Chọn A
Câu 16 Cho Tính tích phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
( )d b
a
f′ x x
∫ ( )b
a f x
= = f b( )− f a( ) =BM −PM =BP ( )
a
a
f x dx m
−
=
∫ a ( )
a
g x dx n
−
=
∫ a ( ) ( )
a
f x g x dx
−
−
∫
m−n n−m m+n
( ) a
a
f x dx m
−
=
∫ a ( )
a
g x dx n
−
=
∫ a ( ) ( )
a
f x g x dx
−
−
∫
( ) ( ) ( ) ( )
a a a
a a a
f x g x dx f x dx g x dx m n
− − −
− = − = −
∫ ∫ ∫
( )
1
b
a
I =∫ f x dx=m 2 ( ) a
c
I =∫ f x dx=n ( )
b
c
I =∫ f x dx
m+n m−n − −m n
( )
1
b
a
I =∫ f x dx=m 2 ( ) a
c
I =∫ f x dx=n ( )
b
c
I =∫ f x dx
( ) ( ) ( )
b b a
c a c
I =∫ f x dx=∫ f x dx+∫ f x dx= +m n ( )
b
a
f x dx ∫
( ) ( )
b a
c c
f x + −f x dx
∫ ∫ b ( ) a ( )
c c
f x − −f x dx
∫ ∫
( ) ( )
b a
c c
f x + f x dx
∫ ∫ b ( ) a ( )
c c
f x f x dx −∫ +∫
( ) b
a
f x dx ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b c b a
a c a c c
f x dx= f x dx+ f x dx= f x dx− f x dx
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
1
d f x x
−
=
∫ ( )
2
2 d
I f x x
−
= ∫ −
9
(24)Chọn C
Ta có
Câu 17 Cho hàm có đạo hàm liên tục đồng thời , Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
Câu 18 Cho Khi
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Câu 19 47TCho47T hàm số có đạo hàm liên tục đoạn , Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Câu 20 Cho hàm số liên tục Tính tích phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Câu 21 Cho hàm số thoả mãn điều kiện , liên tục Khi
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
19T
Câu 22 Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn ; Giá trị
( )
1
2 d
I f x x
−
= ∫ − ( )
1
2
2 f x dx dx
− −
= ∫ −∫
2
6 x− = − =
( )
f x [ ]2;3 f ( )2 =2 f ( )3 =5 ( )
3
d
f′ x x
∫
− 10
( ) ( )
3
3
d
f′ x x= f x
∫ = f ( )3 − f ( )2 =3
( )d
b
a f′ x x=
∫ f b( )=5 f a( )
12 −2
( )d
b
a f′ x x=
∫ ⇔ f b( )− f a( )=7 ⇔ f a( )= f b( )− = −7
( )
f x [ ]a b; f a( )= −2 f b( )= −4
( )d b
a
T =∫ f′ x x
T = − T =2 T =6 T = −2
( )d b
a
T =∫ f′ x x = f x( ) ab = f b( )− f a( )= −2
( )
f x [ ]0;1 f ( )1 − f ( )0 =2 ( )
1
d f′ x x ∫
1
I = − I =1 I =2 I =0
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
d
0
f′ x x= f x = f − f = ∫
( )
y= f x f ( )1 =12 f′( )x
( )
4
d 17 f′ x x=
∫ f ( )4
5 29 19
( )
4
d 17 f′ x x=
∫ ( )4
1 17
f x
⇔ = ⇔ f ( )4 − f( )1 =17 ⇔ f ( )4 =29
( )
f x [−1;3] f ( )− =1 f ( )3 =7
( )
3
5 d
I f x x
−
(25)19T
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
19T
Câu 23 Cho hàm số , với , số hữu tỉ thỏa điều kiện Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
Theo giả thiết, ta có Từđó suy ,
Vậy
Câu 24 Tính tích phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Câu 25 Tính tích phân
A. B. C. C.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Câu 26 Tính
19T
A.19T B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A 19T
Ta có
Câu 27
Tính tích phân 20
I = I =3 I =10 I =15
( )
3
5 d
I f x x
−
′
=∫ ( )3
1
5f x −
= =5f ( )3 −5f ( )−1 =5.7 5.4− =15
( ) a2 b
f x
x x
= + + a b ( )
1
d 3ln f x x= −
∫
T = +a b
T = − T =2 T = −2 T =0
( )
1
d f x x=
∫
1
2 d a b
x x x
+ +
∫
1
ln a
b x x x
= − + +
= + +a bln
2 3ln 2− = + +a bln a=1 b= −3
T = + = −a b
3
d x I
x =
+ ∫ 4581
5000
I = log5
2
I = ln5
2
I = 21
100 I = −
3
d x I
x =
+
∫
0
5 ln ln
2 x
= + =
2018
2
dx I
x
= ∫
2018.ln
I = − 2018
2
I = I =2018.ln I =2018
2018
2
ln
I = x =ln 2( 2018)−ln1=2018.ln
1
1
3 d
2
I x x
x
= +
+
∫
2 ln 3+ ln 3+ ln 3+ ln 3+
1
1
3 d
2
I x x
x
= +
+
∫ 1
0
1
d d
2x x x x
= +
+
∫ ∫
1
0
1
ln
2 x 3x x
= + + 1ln
2
= + =ln 3+2
( )
1 2018
1 d
(26)A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Câu 28 Cho hàm số Tính tích phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A Ta có
Câu 29 Cho hàm số Tính tích phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A Ta có:
Câu 30 Cho hàm số Tính
U
A.U B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có,
Câu 31 Cho hàm số Hỏi có tất số nguyên để ?
A. . B. UC.U D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
1
2018 2019
I = + 1
2020 2021
I = + 1
2019 2020
I = + 1
2017 2018
I = +
( )
1 2018
1 d
I =∫x +x x ( )
1
2018 2019
d
x x x
=∫ +
1 2019 2020
0
1
2019 2020 2019 2020
x x
= + = +
( ) khi
x x
y f x
x x
≤ ≤
= =
− ≤ ≤
( )
2
d f x x ∫
7
2
5
3
( )
2
d f x x
∫ ( ) ( )
0
d d
f x x f x x
=∫ +∫ ( ) ( )
1
2
0
3x dx x dx =∫ +∫ −
2
3
1
3
4
3
x x
x
= + − =
7
=
( ) 1
2 x y f x x
x x
≤ ≤
= = +
− ≤ ≤
( )
3
d f x x ∫
6 ln 4+ ln 4+ ln 2+ 2+2 ln
( ) ( ) ( )
3
0
d d d
f x x= f x x+ f x x
∫ ∫ ∫ 3( )
0
2
d d
1 x x x
x
= + −
+
∫ ∫
( )3
1 2
0
2 ln x x x
= + + − =ln 6+
( )
4
x x
y f x
x x
≤ ≤
= =
− ≤ ≤
( )
2
f x dx ∫
7
2
5
3
( ) ( ) ( )
1 2
2
0 1
1
3 4
0 2
x
f x dx+ f x dx= x dx+ −x dx=x + x− = + =
∫ ∫ ∫ ∫
( ) 2
x x
y f x
a a x x
≤
= =
− ≥
( )
4
d I f x x
−
=∫
a I+22≥0
2
( ) ( ) ( )
4
0 4 2
0
2
1
1 0
d d d d 2
2 a x
I f x x f x x x x a a x x x ax a a
−
− −
= + = + − = + − = + −
(27)Vậy có giá trị nguyên thỏa mãn
Câu 32 Biết Khẳng định sau đúng?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Mà
Câu 33 Đặt ( tham số thực) Tìm để
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
Câu 34 Cho , Khi bằng:
A. B. . C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D Do
Câu 35 Giá trị để ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
Theo ra, có Câu 36 Có giá trị thực để có
A. B. C. D. Vô số
Hướng dẫn giải
Chọn A Ta có
22
I+ ≥
2 4a 8a 22
⇔ + − + ≥
2a a
⇔ − − ≤
2 a
⇔ − ≤ ≤ a { 1; 0;1; 2} a
∈
→ ∈ −
4 a
(2 d) b
a
x− x= ∫
1
b a− = 2
1
a −b = − −a b b2−a2 = − +b a a b− =1
( ) ( )
2 d
b
b a a
x− x= x −x
∫ ( )
b b a a
= − − − (2 d)
b
a
x− x=
∫ 2
1 b b a a
⇔ − − + = 2
1 b a b a
⇔ − = − +
( )
2
2 d
I =∫ mx+ x m m I =4
1
m= − m= −2 m=1 m=2
( )
2
2 d
I =∫ mx+ x ( )2
1
mx x
= + =(4m+2) (− m+1) =3m+1
I = ⇔3m+ =1 ⇔ =m
3
( )d f x x=a
∫
2
( )d f x x=b
∫
0
( )d f x x ∫
a b
− − b a− a b+ a b−
3
0
( )d ( )d ( )d
f x x= f x x+ f x x
∫ ∫ ∫ 3
0
( )d ( )d ( )d
f x x f x x f x x
⇔∫ =∫ −∫
2
( )d
f x x a b
⇔∫ = −
b ( )
1
2 d b
x− x=
∫
0
b= b=3 b=0 b=1 b=5 b=0 b=1 b=5
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 d 6 6
b
b
x− x= x − x = b − b − − =b − b+
∫
2
6
5 b
b b
b
=
− + = ⇔
=
AD ( )
0
2 d
a
x+ x= −a ∫
1
( )
0
2 d
a
x+ x= −a
∫ ( )
0
5
a
x x a
(28)Câu 37 Xác định số thực dương để tích phân có giá trị lớn
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
Lập bảng biến thiên
Vậy đạt GTLN
Câu 38 Cho số thực thỏa mãn Giá trị biểu thức
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: Theo đề:
Vậy
Câu 39 Tích phân có giá trị là:
A I = 1. B. I =2 C. I = D. I =
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách 1:
Chọn C
Cách 2: Kiểm tra máy tính, dễ dàng thu kết cách Câu 40 Tích phân có giá trị là:
A I = 1. B. I = C. I = D. I =
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách 1:
m ( 2)
0
d m
x−x x ∫
1
m= m=2 m=3 m=4
( 2)
0
d m
P=∫ x−x x
2
0
2 m x x
= −
2
2
m m
= −
( )
2
m m
f m = − ( )
f′ m m m
⇒ = − ⇒ f′( )m =0⇔ =m m=1
( )
f m m=1
a a <2 ( )
2
2 d
a
x+ x=
∫
1+a
0
( )
2
2 d a
x+ x
∫ ( )2
2
6 a
x x a a
= + = − − 22
6
a
a
a a
<
⇒ =
− − =
3
1+a =2
2
2 I =∫ x dx
2
2 I =∫ x dx
2
2 2
1 1
2
x I = x dx= x dx= =
∫ ∫
( )
1
3
I x x dx
−
=∫ + +
( )
1
3
I x x dx
−
=∫ + +
( )
1
3
1
1
3 2
4
I x x dx x x x
− −
= + + = + + =
(29)Chọn D
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Câu 41 Cho gá trị tích phân , Giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Cho gá trị tích phân , Giá trị là: Ta có:
Chọn C
Câu 42 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Chọn A
Câu 43 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là: Ta có:
Chọn D
Câu 44 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
( )
1
4
1
2
I x x dx a
−
=∫ + = ( )
1 2
2
3
I x x dx b
− −
= ∫ + = a
b
65
P= − 12
65
P= 12
65
P= −
65 P=
( )
1
4
1
2
I x x dx a
−
=∫ + = ( )
1 2
2
3
I x x dx b
− −
= ∫ + = a
b
( )
1
4
1
1
1 2
2
5 5
I x x dx x x a
− −
= + = + = ⇒ =
∫
( )
1
2
2
2
1 13 13
3
3 6
I x x dx x x b
− −
− −
= + = + = − ⇒ = −
∫
12 65 a
P b
⇒ = = −
( )
0
2
I x ax dx
−
=∫ + +
7
a
I = −
4 a
I = −
4 a
I = +
4 a I = +
( )
0
2
I x ax dx
−
=∫ + +
( )
0
3
1
1
2
4
a a
I x ax dx x x x
− −
= + + = + + = −
∫
( )
1
I =∫ ax +bx dx
a b I = +
3 a b I = +
2 a b I = +
3 a b I = +
( )
1
I =∫ ax +bx dx
( )
1
2
0 3
a b a b
I = ax +bx dx= x + x = +
∫
2
1 a
I x dx
x
= +
∫
2
1
I a
a
= − − +
2
I a
a
= − − +
2
I a
a
= − − +
2
I a
a
(30)Tích phân , với có giá trị là: Ta có:
Chọn D
Câu 45 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là: Ta có:
Từ bảng xét dấu ta được:
Chọn A
Câu 46 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là: Ta có:
Từ bảng xét dấu ta được:
Chọn A
Câu 47 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là: Ta có:
2
1 a
I x dx
x
= +
∫ a≠0
2
2
2
1 1
2
2 a
a
I x dx x a
x x a
= + = − + = − −
∫
2
I x x dx
−
=∫ −
3
I =
6
I =
2
I = −
6 I = −
2
I x x dx
−
=∫ −
( ) 2
0
f x
x − = ⇔ = ∨ =x x x
( ) ( )
2
2 2 3
1 1
1 1
3 2
I x x dx x x dx x x dx x x x x
− − −
= − = − + − + = − + − + =
∫ ∫ ∫
1
3
1
1
I x x x dx
−
=∫ + − −
4
I =
2
I =
3
I = −
2 I = −
1
3
1
1
I x x x dx
−
=∫ + − −
( ) ( )( )
2
3
1 1 1
f x
x +x − − = ⇔x x− x+ = ⇔ = ∨ = −x x
( )
1
3
1 1
1 1
1
4 3
I x x x dx x x x dx x x x x
− − −
= + − − = − + − − = − + − − =
∫ ∫
3
3 x x
I dx
x
− −
− +
=
− ∫
7
I = − 17
6
I =
6
I = 17
6 I = −
3
3 x x
I dx
x
− −
− +
=
(31)Từ bảng xét dấu ta được:
Chọn C
Câu 48 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là: Ta có:
Từ bảng xét dấu ta được:
Chọn A
Câu 49 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là: Ta có:
Chọn C
Câu 50 Biết tích phân Giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
( ) ( ) ( )
2
3 2
f x
x − x+ = ⇔ x− x+ = ⇔ = ∨ = −x x
( )
1
2
2 2
3 1
2
1
x x
I dx x x dx x x x
x
−
− −
− − −
− +
= = + − = + − =
−
∫ ∫
2 2
2 x x
I dx
x
−
− − =
− ∫
3 ln
I = − I = −2 ln I = +3 ln I = −3 3ln
0 2
2 x x
I dx
x
−
− − =
− ∫
( ) 2 ( )
0
1 x x
f x f x x x x
x
− −
= ⇒ = ⇔ = − ∨ = ∧ ≠
−
0 2
2
2 2
1 1
x x x x x x
I dx dx dx
x x x
−
− − −
− − − − − −
= = − +
− − −
∫ ∫ ∫
1
1 2
1
2 2
2
2 ln ln 2 ln
1 2
x x x
I dx x dx x
x x
−
− −
− − −
− −
= − = − − − = − − − = + −
− −
∫ ∫
0
0 2
2
1
2
ln ln
1 2
x x x
I dx x
x
− −
− −
= = = − − = −
−
∫
1 ln
I I I
⇒ = + = −
1
1
I ax dx
x
− −
= +
∫
15
ln 16
a
I = − + 15 ln
16 a
I = − 15 ln
16 a
I = + 15 ln
16 a I = − −
1
1
I ax dx
x
− −
= +
∫
1
3
2
1 15
2 ln ln
2 16
a a
I ax dx x x
x
− −
− −
= + = + = − −
∫
1
0
2
I =∫ xdx=a ( )
2
2
a
I =∫ x + x dx
2
17
I = 2 19
3
I = 2 16
3
I = 2 13
(32)Biết tích phân Giá trị là: Ta có:
Chọn C
Câu 51 Cho tích phân Khẳng định không đúng?
A B.
C. D. Chỉcó A C
Hướng dẫn giải
Cho tích phân Khẳng định khơng đúng? Ta có:
Phát biểu (A):
Phát biểu (B): sai Phát biểu (C): Phát biểu (D): Chọn B
Câu 52 Số nghiệm nguyên âm phương trình: với là:
A 0 B. C. D.
Hướng dẫn giải
Số nghiệm nguyên âm phương trình: với là:
Ta có:
Chọn B
Câu 53 Số nghiệm dương phương trình: , với , a b số hữu tỉ là:
A 0 B. C. D.
Hướng dẫn giải
Số nghiệm dương phương trình: , với là:
Ta có:
Chọn B
1
0
2
I =∫ xdx=a ( )
2
2
a
I =∫ x + x dx
( ) ( ) ( )
1 2
1
2 2
1
0
0 1
1 16
2 2
3
a
I = xdx= x = ⇒I = x + x dx= x + x dx= x +x =
∫ ∫ ∫
( ) b
a
I =∫ x + dx
( )
1
b b b
a a a
I =∫ x + dx=∫x dx+∫dx ( )b
a I = x +x
3
1
3
I = b + −b a −a ( )
1 b
a
I =∫ x + dx
( ) 3
1
3 3
b b
a a
I = x + dx= x +x = b + −b a −a
∫
3
2 x −ax+ =
3
1 e
a dx
x
= ∫
3
2 x −ax+ =
3
1 e
a dx
x
= ∫
( ) ( ) ( )
3
3 3
1
1
ln 3 2
e
e
a dx x x x x x x x
x
= ∫ = = ⇒ − + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −
3
2 x +ax+ =
1
2 a=∫ xdx
3
2 x +ax− =
1
2 a=∫ xdx
( ) ( )( )
1
1
2
0
2 2
(33)Câu 54 Tìm tất giá trị thực tham số để có \
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Mà
Khi đó:
Câu 55 Cho nguyên hàm hàm số tập thỏa mãn
Tính tổng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:
Ta có: mà nên
mà nên
mà nên
mà nên
Vậy
Câu 56 Có giá trị nguyên dương thỏa mãn ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
k ( )
0
1
2 d lim
k
x x
x x
x
→
+ −
− =
∫
k k
= =
1 k k
= = −
1 k k
= − = −
1 k k
= − =
( ) ( ) ( ) ( )2 ( )2
1 1
2
1
2 d d
2 4
k
k k
x k
x− x= x− x− = − = − −
∫ ∫
( )( )
( )
0 0
1 1
1 1
4 lim lim lim
1 1
x x x
x x
x
x x x x
→ → →
+ − + +
+ −
= = =
+ + + +
( )
0
1 d lim
k
x x
x x
x
→
+ −
− = ⇔
∫ (2 1)2 ( )2
2
1
k k
k
k
=
− −
= ⇔ − = ⇔
= −
( )
F x f x( )= + − −1 x x
( )1
F = F( )0 +F( )2 +F( )−3
8 12 14 10
( ) ( ) ( ) ( )
2
d 2
f x x=F −F =F −
∫ ( )
1
d 2d f x x= x=
∫ ∫ F( )2 =5
( ) ( ) ( ) ( )
1
d
f x x=F −F = −F
∫ ( )
0
0
d d
f x x= x x=x =
∫ ∫ F( )0 =2
( ) ( ) ( ) ( )
0
d
f x x F F F
−
= − − = − −
∫ ( )
1
1
d d
f x x x x x −
− −
= = = −
∫ ∫
( )1
F − =
( ) ( ) ( ) ( )
1
d 3
f x x F F F
− −
= − − − = − −
∫ ( )
3
d 2d
f x x x
− −
− −
= − = −
∫ ∫ F( )− =3
( )0 ( )2 ( )3 14 F +F +F − = + + =
n ( )
2
2
0
1−n +2x+3x +4x + + nxn− dx= −2 ∫
1
| |
x −∞ −1
+∞
1+x − + +
1−x + + −
( )
(34)Ta có:
Thử với giá trị không thỏa mãn
Với , ta chứng minh Dễ thấy Giả sử với với , Khi
Khi đó:
Do với Theo nguyên lý quy nạp Vậy khơng tồn số ngun
Câu 57 Cho hàm số Hàm số có đồ thị hình vẽ
Biết diện tích hình phẳng giới hạn trục đồ thị hàm số đoạn và Cho Giá trị biểu thức
A. B C D
Hướng dẫn giải
Chọn C
Theo giả thiết ta có Dựa vào đồ thị ta có:
Tương tự ta có
Như
Câu 58 Cho Tìm điều kiện để
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( )
2
2
0
1−n +2x+3x +4x + + nxn− dx= −2 ∫
( )
2
0
n x n x x x x x
⇔ − + + + + + = −
2
2 2n 2 2n
⇔ − + + + + + = − 2
1 2 2n− n
⇔ + + + + = +
2
2n n 2n n
⇔ − = + ⇔ − − =
{1; 2;3; 4}
n∈
n∈ n≥5
2n >n +2 ( )1 n=5 ( )1
( )1 n=k k∈ k≥5
2k >k +2
( )
1 2
2k+ >2 k +2 =k +k + +2 >k2+2k+ + =1 (k+1)2+2
( )1 n= +k ( )1
n
( )
y= f x y= f′( )x
Ox y= f′( )x
[−2;1] [ ]1; 12 f ( )1 =3 f ( )− +2 f ( )4
21
( )
1
d f x x
−
′ =
∫ ( )
1
d 12 f′ x x=
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
2
d d
f x x f x x f x f f
−
− −
′ = − ′ = − = − − + −
∫ ∫
( )1 ( )2
f f
⇒ − + − =
( )4 ( )1 12
f f
− + =
( )1 ( )2 ( )4 ( )1
f f f f
− + − − − + = −
⇔ f ( )− +2 f ( )4 −2f ( )1 = −3
( )2 ( )4
f f
⇔ − + − = − ⇔ f ( )− +2 f ( )4 =3
( )
2
2 d
I =∫ x − −x m x ( )
1
2 d
J =∫ x − mx x m I ≤J
3
m≥ m≥2 m≥1 m≥0
( )
2
2 d
I =∫ x − −x m x
2
3
0
2
x x mx
= − −
10 m
(35)Do
Câu 59 Biết hàm số thỏa mãn ,
(với , , ) Tính giá trị biểu thức
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Do đó: Vậy
TÍCH PHÂN HỮU TỈ
Câu 60 Biết với , số thực Mệnh đề đúng?
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A Ta có:
Vậy
Câu 61 Tích phân Giá trị a là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân Giá trị a là: Ta có:
( )
1
2 d
J =∫ x − mx x
1
2
3 x
mx
= −
1 m
= −
I≤J 10 m m
⇔ − ≤ − ⇔ ≥m
( )
f x =ax +bx+c ( )
1
7 d
2 f x x= −
∫ ( )
0
d
f x x= − ∫
( )
3
13 d
2 f x x=
∫ a b c∈ P= + +a b c
3
P= −
3
P= −
3
P=
4 P=
( ) 3
0
d
3
d d
a b a b
f x x= x + x +cx = d + d +cd
∫
( ) ( ) ( )
1
7 d
2
d
13 d
2 f x x
f x x f x x
= −
= −
=
∫ ∫ ∫
7
3 2
8
2 2
3
9 13
9
2
a b c
a b c
a b c
+ + = −
⇔ + + = −
+ + =
1
16 a b c
= ⇔ =
= −
4 P= + + = −a b c
1
5
d ln
2 x
x a b x
− = +
+
∫ a b
8 81
ab=
24
a b+ =
8
ab=
10 a b+ =
1
5 d 2
x x x
− +
∫
1
1
1 d
2 x x
= −
+
∫ ( )11
3
1
6 ln
2 x x
= − + 1 ln ln4
2 3
= − − +
1
ln 27
= + 8
3 27 81 ab= =
1
2
ln
ax
I dx
x
= =
+ ∫ ln ln a=
−
ln 2 ln a=
−
ln ln a=
+
ln 2 ln a=
+
1
2
ln
ax
I dx
x
= =
(36)
Mà
Chọn B
Câu 62 Cho Giá trị a + b là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Cho Giá trị a + b là:
Ta có:
Chọn B
Câu 63 Biết Gọi , giá trị thuộc khoảng sau ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
Vậy
Câu 64 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Chọn A
( ) ( )
1
1
0
2
2 ln ln
1
ax
I dx a dx a x x a
x x
= = − = − + = −
+ +
∫ ∫
( ) ln
ln 2 ln ln
2 ln I = ⇔ a − = ⇔ =a
−
( )
1
2
1
ln ln 3
I dx a b b
x x
= = − +
+ − ∫
1
1
1
1
( )
1
2
1
ln ln 3
I dx a b b
x x
= = − +
+ − ∫
( )
1
1
2 0
0
1
1 4 4 1 1
ln ln ln
3 4
I dx x x a b a b
x x x x
= = + = + − − = ⇒ = = ⇒ + =
+ − + −
∫ ∫
( )
2
d ln ,
1 x
x a b a b
x+ = + ∈
∫ S =2a b+ S
(8;10) ( )6;8 ( )4; ( )2;
( )
2
2 2
0 0
0
d d ln ln ln
3
1
a
x x
x x x x x a b S
b
x x
=
= − + = − + + = = + ⇒ ⇒ =
=
+ +
∫ ∫
( )2; S∈
2
1
x
I x dx
x
= +
+
∫
10
ln ln 3
I = + − 10 ln ln 3
I = − + 10 ln ln 3
I = − − 10
ln ln 3
I = + +
2
1
x
I x dx
x
= +
+
∫
2
2
2
1 1
1
1 ln
1
8 10
2 ln ln ln ln
3 3
x x
I x dx x dx x x
x x
= + = + − = + − +
+ +
= + − − + − = + −
(37)Câu 65 Nhận xét: Khơng thểdùng máy tính để tính kết quảnhư mà ta có thểdùng để kiểm tra mà Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách 1:
Chọn B
Cách 2: DÙng máy tính cầm tay
Câu 66 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Chọn A
Câu 67 Tích phân ,với có giá trị là:
A B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân , với có giá trị là: Ta có:
Chọn C
Câu 68 Tích phân có giá trị nhỏ số thực dương a có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị nhỏ số thực dương a có giá trị là: Ta có:
2
1
I x dx
x
= +
∫
5
I =
2
I =
2
I = 11
2 I =
2
1
I x dx
x
= +
∫
2
2
1
1
2
2
I x dx x
x x
= + = − + =
∫
1
2 ax
I ax dx
x
= −
+
∫ ln
I = −a I = −2 ln I =2 ln I =aln
1
2 ax
I ax dx
x
= −
+
∫
( ) ( ) ( )
1 1
1
1 2
0
0 0
2 ln 1 ln ln
1
ax x
I ax dx a dx a xdx a x x a x a a a
x x
= − = − = − + − = − − = −
+ +
∫ ∫ ∫
1
a
a x
I dx
x a
= +
∫ a≠0
2
1 ln
2 a I a a
a
+
= + ln
2 a I a a
a
+
= +
2
1 ln
2 a I a a
a
−
= + ln
2 a I a a
a
−
= +
1
a
a x
I dx
x a
= +
∫ a≠0
2
1 1
1
ln ln ln
2 2
a a
a x x a a
I dx a x a a a a
x a a a a
−
= + = + = + − = +
∫
3 2
2 a x x
I dx
ax
+ =∫
2
5
1
5
3 2
2 a x x
I dx
ax
(38)Vì a số thực dương nên Chọn A
Câu 69 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là: Ta có:
Chọn C
Câu 70 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là: Ta có:
Chọn D
Câu 71 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Chọn D
Câu 72 Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
3
3 2
2
2 2
2 2
2
a x x a a
I dx ax dx x x
ax a a a
+
= = + = + = +
∫ ∫
5
2
2
a a
I
a a
= + ≥ =
2
b
I ax dx
x
= +
∫
7
ln
I = a b− I =3a b− ln ln
I = a b+ I =3a b+ ln
2
b
I ax dx
x
= +
∫
2
2
1
7
ln ln
3
b a a
I ax dx x b x b
x
= + = + = +
∫
1
1
b
I ax dx
x
−
= +
+
∫
ln
I = −b ln
2 a
I = −b ln
2 a
I = +b I =bln
1
1
b
I ax dx
x
−
= +
+
∫
1
3
1
ln ln
2
b a
I ax dx x b x b
x
− −
= + = + + =
+
∫
2
2
1 e
e x
I dx
x
+ =∫
2
1 1
I
e e
= − + I 1 12
e e
= − − I 1 12
e e
= + + I 1 12
e e
= + −
2
1 e
e x
I dx
x
+ =∫
2
2
2 2
1 1 1
ln
e
e e
e e e
x
I dx dx x
x x x x e e
+
= = + = − = + −
∫ ∫
1
0
x
I dx a
x
= =
+
∫ P=2a−1
1 ln
(39)Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là: Tacó:
Chọn C
Câu 73 Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:
A B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là: Ta có:
Chọn B
Câu 74 Biết ,với Tính giá trị
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
Vậy
Câu 75 Tính tích phân:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
Câu 76 Tính tích phân
1
0
x
I dx a
x
= =
+
∫ P=2a−1
( )
1
1
0
1
1 ln 1 ln ln 2 1 ln
1
x
I dx dx x x a P a
x x
= = − = − + = − ⇒ = − ⇒ = − = −
+ +
∫ ∫
2
2
1 e
e
x x
I dx a
x
+ +
= =
∫ P= −a
2
1
2
P= +e e + e
2
P= − +e e + e
2
1
2
P= − −e e + e
2
P= +e e − e
2
2
1 e
e
x x
I dx a
x
+ +
= =
∫ P= −a
2
2 2 2 2 4
1
1 ln
2 2
e
e e
e e e
x x x e e
I dx x dx x x e
x x
+ +
= = + + = + + = − + +
∫ ∫
2 4
1
2 2 2
e e e e e e
a e a e P e
⇒ = − + + ⇔ − = − + + ⇔ = − + +
0
3
d ln
2
x x
I x a b
x
−
+ −
= = +
−
∫ a b, ∈ a+2b
30 40 50 60
0
0 2
1 1
3 21 19
d 11 d 11 21ln 21.ln
2 2
x x x
I x x x x x
x x
− − −
+ −
= = + + = + + − = +
− −
∫ ∫
2 40 a+ b=
2
1 d x
I x
x
+ =∫
1 ln
I = − I =2 ln I = +1 ln
4 I =
2
1 d x
I x
x
+
=∫
1
1 dx
x
= +
∫ ( )2
1
ln
x x
= + = +1 ln
1
d x I
x =
(40)A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
Câu 77 Biết với số nguyên Tính
A. . B. . C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: Khi đó:
Suy ra: Vậy
Câu 78 Biết Mệnh đềnào sau đúng?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Câu 79 Giả sử Tính
A. UB.U C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
RBN M
Suy ra: Do đó:
Câu 80 Cho giá trị tích phân , Giá trị biểu thức là:
A B.
C. D.
Hướng dẫn giải
1 ln
I = 1ln1
6
I = − 1ln
6
I = I =ln 26
1
d x I
x =
−
∫
0
1 1
d
6 3
I x
x x
= = −
− +
∫
1
1
ln
6
x x
− =
+
1 1
ln ln1 ln
6
= − =
4
d
ln ln ln 5, x
I a b c
x x
= = + +
+
∫ a b c, , S= + +a b c
6
S = S =2 S = −2 S =0
4
dx I
x x
= +
∫
1 1
( 1)
x +x = x x+ = −x x+
( )
4
4
3
d 1
d ln ln( 1) | (ln ln 5) (ln ln 4) ln ln ln
x
I x x x
x x x x
= = − = − + = − − − = − −
+ +
∫ ∫
4, 1,
a= b= − c= − S =2
( )
5
3
d ln ln , x a b a b Z
x + x = + ∈
∫
2
a+ b= 2a b− =0 a b− =0 a b+ =0
( )
5
5
2 1
1
3 1
d d ln ln ln ln
3 x x x x
x x x x
= − = − + = −
+ +
∫ ∫ ⇒ =a b= −1
0 a b+ =
2
1
d ln ln 3; ,
4
x
x a b a b
x x
−
= + ∈
+ +
∫ P=ab
8
P= P= −6 P= −4 P= −5
( )( ) ( )
2 2
2
0 0
2
1 1
d d d ln ln ln 3ln
0
4 3
x x
x x x x x
x x x x x x
− = − = − + = − + + + = −
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
6 P=ab= −
2, a= b= −
2
1
2
x x
I dx a
x
+
= =
+ ∫
2
2
1 e
e
I dx b
x
=∫ =
P= −a b
ln ln
P= + − ln ln
P= + −
ln ln
P= + − ln ln
(41)Cho giá trị tích phân , Giá trị biểu thức có giá trị là:
Ta có:
Chọn B
Câu 81 Giá trị tích phân gần với gái trị sau đây?
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Giá trị tích phân gần với gái trị sau đây? Ta có:
Chọn A
Câu 82 Tích phân Giá trị a là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân Giá trị a là: Ta có:
Xét
Xét
2
1
2
x x
I dx a
x
+
= =
+ ∫
2
2
1 e
e
I dx b
x
=∫ = P= −a b
2
2 2
1
1 1
2 5
1 ln ln ln ln ln
1 2
x x x
I dx x dx x x a
x x
+
= = + − = + − + = + − ⇒ = + −
+ +
∫ ∫
( )
2
2
1
ln 1
e e
e e
I dx x b
x
=∫ = = ⇒ =
3
ln ln
P= − = +a b −
0
2
3 2 x x
I dx
x x
−
− +
=
+ − ∫
ln 2
− ln 1− ln
2−
ln 3
−
0
2
3 2 x x
I dx
x x
−
− +
=
+ − ∫
( )( )
( )( )
0
2
0
0 2
1 1 1
3 2
1 2 2 2 6 9
4 ln ln
1 2 2
x x
I dx
x x
x x x x x x
dx dx x dx x x
x x x x
−
− − − −
− +
=
+ −
− − − − −
= = = − + = − + + = −
− + + +
∫
∫ ∫ ∫
2
1
ln ln 5 ax
I dx
x x
+
= = +
+ +
∫
1
a=
5
a=
5
a=
5 a=
2
1
ln ln 5 ax
I dx
x x
+
= = +
+ +
∫
2 2
2 2
1 1
1
3 3
ax x
I dx a dx dx
x x x x x x
+
= = +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
( )
( )
2
2
1 1
1
2
2 ln ln
3 2
4
2 ln 3ln ln 2 ln ln
3
x
I a dx a dx a x x
x x x x
a a a
= = − = + − +
+ + + +
= − + = +
∫ ∫
( )
2
2
2 1
1
1
ln ln ln ln
3 3
I dx x x
x x
= = + − + = − −
+ +
(42)Theo đề bài: Chọn D
Câu 83 Tích phân Giá trị a là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân Giá trị a là: Ta có:
, với
Theo đề bài:
Chọn B
Câu 84 Biết , Tính giá trị biểu thức
A B. UC.U D.
Hướng dẫn giải: Chọn C
Nên:
Vậy , Vậy
Câu 85 Biết , hai số nguyên dương phân số tối giản Tính ta kết
A. B. C. UD.U
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
Đổi cận:
Khi đó:
( ) ( )
1
4
2 ln ln
3
I I I a a
⇒ = + = − + −
3 4
ln ln
5 5
I = + ⇒ =a
2
1
ln
3
a x
I dx
x x
+
= =
+ ∫
1
a= a=2 a=3 a=4
2
1
ln
3
a x
I dx
x x
+
= =
+ ∫
( )
3
3
3
2
3
3 4
1
1 1 1
ln ln
3 3
a a a
a a
x a a
I dx dt t
x x t
+ +
+ +
= ⇒ = =
+
∫ ∫
3 t=x + x
( )( )
3
3
1
ln ln 14 2
3
a a
a a a a a a
+ = ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ =
( 2)(1 )d ln ln
x
x a x b x C
x x
+ = − + − +
− −
∫ a b, ∈ a b+
1
a b+ = a b+ =5 a b+ = −1 a b+ = −5
( 1)( 2)
x A B
x x x x
− −
= +
− − − −
( ) ( )
1
x A x B x
⇔ − − = − + −
1
2
A B A
A B B
+ = − =
⇔ ⇔
− − = − = −
( 2)(1 )d 21 32 d
x
x x
x x x x
+ = −
− − − −
∫ ∫
2 ln x 3ln x C
= − − − +
2
a= b= −3 a b+ = −1
1
3
d 3ln
6
x a
x
x x b
−
= −
+ +
∫ a b, a
b ab
5
ab= − ab=27 ab=6 ab=12
( )
1
2
0
3
d d
6 3
x x
x x
x x x
− = −
+ + +
∫ ∫
3 ;
t= + ⇒x dt =dx x= −t
0 3;
(43)
Câu 86 Biết với , , Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
, suy
Vậy
Câu 87 Giả sử Khi giá trị là:
A 30. B 40. C 50. D 60
Hướng dẫn giải
Chọn B Ta có
Câu 88 Biết Mệnh đềnào sau đúng?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Vậy
Câu 89 Nếu giá trị
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C Ta có
( ) ( )
1 4
2 2
0 3
4 3
3 10 10
d dt dt 3ln
3
t x
K x t
t t t t
x
− −
−
= = = − = +
+
∫ ∫ ∫
5
3ln 3ln 3ln 4, 12
6 a b a b
= − − = − ⇒ = = ⇒ =
3 2
3
d ln ln
x x
x a b c
x x
− + = + +
− +
∫ a b c∈ T = +a 2b2+3c3
4
T = T =6 T =3 T =5
( )
3 3
2
2
2
2
3 2
d d ln ln ln
1
x x x
x x x x x
x x x x
− + = − − = − − + = − + +
− + − +
∫ ∫
1 1 a b c
= − = =
2
2
T = +a b + c =
0
3
.ln
2
x x
I dx a b
x
−
+ −
= = +
−
∫ a+2b
0 2
0 1
0
3 21 19
d 11 d 11 21ln 21ln
1
2 2
x x x
I x x x x x
x − x
−
+ −
= = + + = + + − = +
−
− −
∫ ∫
5
3
d ln ln
3 x a b
x + x = +
∫ (a b, ∈)
2
a+ b= 2a b− =0
a b− = a b+ =0
5
2
1
3 1
d d
3 x x
x x x x
= −
+ +
∫ ∫
( )5
1
ln | | ln |x x | ln ln
= − + = −
1, a= b= −
3 2
2
d ln ln 3ln 2
x
x a b
x x
+ = + +
− +
∫ (a b, ∈) P=2a b−
1
P= P=7 15
2
P= − 15
(44)
Do , ,
Câu 90 Cho , với , , số hữu tỉ Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A Ta có
Câu 91 Biết với , , Hỏi giá trị thuộc khoảng sau đây?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: ,
Câu 92 Biết với số nguyên Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
3 2
2 d
x
x
x x
+
− +
∫ 3
2
1 11
d d
4
x
x x
x x x x
−
= +
− + − +
∫ ∫
( ) ( )( )
3
2
2
1 11
d d
4 2x 3x x x x 2x x
= − + +
− + − −
∫ ∫
3
2
2
1 11
ln d
4 x x x 2x x
= − + + −
− −
∫
3
2
2
1 11
ln ln
4
x
x x
x
−
= − + +
− ( )
1 11
ln10 ln ln ln
4
= − + −
1 10 11
ln ln
4
= + 1(ln ln ln 3) 11(ln ln ln 5)
4
= + − + + − 5ln 5ln 3ln
2
= − + +
5
a= −
b= 15
2 P= −
3
3
d ln ln ln
x
x m n p
x x
+ = + +
+ +
∫ m n p
2
S =m + +n p
S = S =4 S =3 S =5
3
3 d x
x
x x
+
+ +
∫ 3( )( )
1
3 d
1
x
x
x x
+ =
+ +
∫ ( )(( ))
1
2
d
1
x x
x
x x
+ − + =
+ +
∫
( )( ) ( )( )
3
2
d
2
x x
x
x x x x
+ +
= −
+ + + +
∫
3
1
2
d d
1 x x
x x
= −
+ +
∫ ∫ ( )3 ( )3
1
2 ln x ln x
= + − + =2 ln ln 2− −(ln ln 3− )
2 ln ln ln
= − +
=2 ln ln ln 5+ −
2
1 m n
p = ⇔ =
= −
( )2
2 1
S
⇔ = + + − =
2
d ln
1 x
x a b
x+ = +
∫ a b∈ b>0 2a b+
(8;10) ( )6;8 ( )4; ( )2;
2
2 2
0 0
1
d d ln ln
1
x x
x x x x x
x x
= − + = − + + =
+ +
∫ ∫ ⇒ =a b=3
2a b
⇒ + =
4
d
ln ln ln x
I a b c
x x
= = + +
+
∫ a b c, , S = + +a b c
6
(45)Cách 1:
Suy
Cách 2:
Ta có:
Suy
Câu 93 Biết , với , số nguyên thuộc khoảng nghiệm phương trình sau đây?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Suy , nghiệm phương trình Câu 94 Biết với , số nguyên Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
Vậy , Suy
47T
Câu 95 47TBiết47T , Giá trị biểu thức
bằng 47T
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
47T
47T
Khi đó:
Câu 96 Tìm giá trị để
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải: Chọn B
( )
4
4
2
3
3
1
d d ln ln ln ln ln ln
1
x
I x x
x x x x x
= = = = − = − −
+ + +
∫ ∫
4,
a= b= = −c ⇒ =S
( )
4 4
2
3 3
1 1
d d d d ln ln ln ln 4 ln ln ln
1
I x x x x
x x x x x x
= = = − = − − + = − −
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
4,
a= b= = −c ⇒ =S
2
d 1
4 x
x − x+ = +a b
∫ a b (−7;3) a b
2
2x − − =x x2+4x−12=0 x2−5x+ =6 x2− =9
( )
2
2
1
d d
4 2 1
x x
x − x+ = x−
∫ ∫ 2( ) (2 )
1
1
2 d
2 x x
−
= ∫ − −
2
1 2x
= − ⋅ −
1
= − + 1
6
= +
−
6 a b
= − =
2 a b
= = −
a b
2
4 12 x + x− =
5
1
d ln
1
x x b
x a x
+ + = + +
∫ a b S= −a 2b
2
S = − S=5 S =2 S =10
5
5
2
3 3
1 1 25
d d ln ln ln ln
1 2 2
x x
x x x x x
x x
+ + = + = + + = + − − = +
+ +
∫ ∫
8
a= b=3 S= −a 2b= −8 2.3=2
( )( )
3
d
ln ln ln
2
x
a b c
x+ x+ = + +
∫ (a b c, , ∈) 2a+3b c−
5
( )( )
3
d
2
x x+ x+
∫
0
1 1
d
2 x x x
= −
+ +
∫ ( )3
0
1
ln ln
2 x x
= + − + 1ln 1ln 1ln
2 2
= − +
2a+3b c− 2.1 3.1 2
= + + =
a
( )( )
4
1
d ln
1 x a
x− x− =
∫
12
3
1
(46)Câu 97 Cho với , số nguyên Mệnh đề ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Do ,
Vậy
Câu 98 Biết Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Nên
Vậy
Câu 99 Cho với , , số nguyên Mệnh đề đúng?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C Ta có:
Vậy
Câu 100 Biết Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
( )( )
4
3
1 1
d d
1 x x
x x x x
= −
− − − −
∫ ∫
3
2 2
ln ln ln ln ln ln
1 3
x
a x
−
= = − = = =
−
4 a
⇒ =
1
1
ln ln
1 dx a b
x x
− = +
+ +
∫ a b
2
a b+ = a−2b=0 a b+ = −2 a+2b=0
1
1
ln ln
0
dx
x
x+ = + =
∫
0
1
ln ln ln
2 dx
x
x+ = + = −
∫
( )
1
1
ln ln ln 2 ln ln
1 dx
x x
− = − − = −
+ +
∫ ⇒ =a b= −1
2 a+ b=
3 2
5 12
d ln ln ln 6
x
x a b c
x x
+ = + +
+ +
∫ S =3a+2b c+
3 −14 −2 −11
2
5 12 x
x x
+
+ + ( )( )
5 12
2
x
x x
+ =
+ +
A B
x x
= +
+ +
( )
2
3 A B x A B
x x
+ + +
=
+ +
5
3 12
A B A
A B B
+ = =
⇔
+ = =
3 2
5 12 d x
x
x x
+
+ +
∫ 3
2
2
d d
2 x x
x x
= +
+ +
∫ ∫ 3
2
2 ln x 3ln x
= + + +
3ln ln ln
= − − = −4 ln ln 3ln 6− + S =3a+2b c+ = −11
2
1
d ln ln ln
5 x a b c
x + x+ = + +
∫ a b c
4
a b c+ + = a b c+ + = −3 a b c+ + =2 a b c+ + =6
( )
2
2
2 1
1
1 1
d d ln ln
5 x x x x
x x x x
−
= + = + − +
+ + + +
∫ ∫
(ln ln 5) (ln ln 4) ln ln ln ln ln ln
= − − − = − − = − −
( ) ( )
4 1
a+ + = + − + − =b c
( ) ( ) ( )
2
3
1
d ln
6 11
m n p
x
x x x x C
x x x
+ = − − − +
− + −
∫ 4(m+ +n p)
(47)Ta có:
Suy
Vậy
Câu 101 Cho với , số nguyên Mệnh đềnào sau đúng?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Suy
Câu 102 Biết tìm giá trị để
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B Ta có:
Mà
Mặt khác ta có
Vậy để
( )( )( )
2
3
1
6 11 3
x x A B C
x x x x x x x x x
+ = + = + +
− + − − − − − − −
( )( )( ) ( )( )( ()( )()( ) ) ( )( )
2 2 3 1 3 1 2
1
1 3
A x x B x x C x x
x
x x x x x x
− − + − − + − −
+
⇔ =
− − − − − −
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
1 3
x A x x B x x C x x
⇔ + = − − + − − + − −
1
5
6
A B C A
A B C B
A B C C
+ + = =
⇒ − − − = ⇔ = −
+ + = =
2
3
1 1
d d d d
6 11
x
x x x x
x x x x x x
+ = − +
− + − − − −
∫ ∫ ∫ ∫
( )( ) (5 )5
ln x x − x C
= − − − +
( )
4 m+ +n p =4
3 2
8
d ln ln
x
x a b
x x
+ = +
+ −
∫ a b
3
a b+ = a−2b=11 a b− =5 a+2b=11
3
2
2
8
d d
2
x
x x
x x x x
+ = −
+ − − +
∫ ∫ 3
2
3ln x ln x
= − − + =7 ln 2 ln 5−
2 a b
= = −
⇒ −a 2b=11
1
0
2 3
d ln
2
x x
x b
x a
+ + = +
+
∫ (a b, >0) k
( )
8
1 2017
d lim
2018 ab
x
k x
x
x
→+∞
+ +
<
+ ∫
0
k< k≠0 k>0 k∈
1
2
0
2 3
d d
2
x x
x x x
x x
+ + = +
+ +
∫ ∫
0
1
3ln 3ln
3x x
= + + = +
3 a b
= ⇒ =
9
8
d d
ab
x x
⇒ ∫ =∫ = ( )
8
1 2017
d lim
2018 ab
x
k x
x
x
→+∞
+ +
<
+
∫ lim ( 1) 2017
2018 x
k x
x
→+∞
+ +
⇒ <
+
( )
2
1 2017
lim
2018 x
k x
k x
→+∞
+ +
= +
+
( )
8
1 2017
d lim
2018 ab
x
k x
x
x
→+∞
+ +
<
+
∫
(48)TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ Câu 103 Tính tích phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Câu 104 Biết Giá trị là:
A – 1 UBU.– 2 C.– 3 D.– 4
Hướng dẫn giải
Biết Giá trị là: Ta có:
Chọn B
Câu 105 Tích phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Câu 106 Cho , Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Do , ,
Câu 107 Biết tích phân với , số thực Tính tổng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2
4 d I =∫ x+ x
13 13
3
4
2
4 d
I =∫ x+ x ( )
2 1
2
4x dx
=∫ + ( )
2
1
4 x
= + 13
3
=
( )
1
0
1
6 a
I =∫ x+ x+ dx= +b
4 a− b
( )
1
0
1
6 a
I =∫ x+ x+ dx= +b
4 a− b
( ) ( )
1
1
3
0
2 4
1 1,
2 3
x
I = x+ x+ dx= + x+ = − + ⇒ = −a b= ⇒ −a b= −
∫
2
1
2
I dx
x =
+ ∫ 1
2
I = − I =2 2
2
I = − I = −2
2
2 0
1
2 2
2
I dx x
x
= = + = −
+ ∫
1
d
3
2
x
a b a
x+ + x+ = − +
∫ ( *)
,
a b∈ a+2b
a+ b= a+2b=8 a+2b= −1 a+2b=5
1
d
2
x x+ + x+
∫ 1( )
0
2 d
x x x
=∫ + − + ( ( )3 ( )3)1
2
2
3 x x
= + − +
8
2
3
= − +
2
a= b=3 a+2b=8
1
3 d
9
x a b
x
x x
+ =
+ + +
∫ a b T = +a b
10
(49)Ta có
Câu 108 Tích phân có giá trị là:
A B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là: Ta có:
Chọn B
Câu 109 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là: Ta có:
Chọn A
Câu 110 Biết Với , , sốnguyên dương Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A Ta có
Suy , , Vậy
( ) ( )
1 1
0 0
3
d d d
3
x x x
x
x x x x x
x
x x
+ − +
= = + − +
+ + +
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 3 3
2 2
0
2
3 d
9
x x x x x
= + − + = + − +
∫
16 17 17
3
9 9
−
= − − − = − =
0
1 a
I =∫x x+ dx
( )5 ( )3
2 4
5 15
a a
I = + + + + ( ) ( )
5
2 4
5 15
a a
I = + − + +
( )5 ( )3
2 4
5 15
a a
I = + + + − ( ) ( )
5
2 4
5 15
a a
I = + − + −
0
1 a
I =∫x x+ dx
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
2
0 0 0
5
5
2
0
1 1 1
2 2
= 1 = 1
5 15
a a a a a
a a
I x x dx x x dx x dx x dx x dx
x x x x
= + = + + − + = + − +
+ − + + − + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1
1 1
x
I dx
x
−
=
+ − ∫
4 2
I = + 2
3
I = −
3
I = −
3
I = +
1
1 1
x
I dx
x
−
=
+ − ∫
( ) ( )
1 3
2
1 1
2
1 1 1
3
1 1
x x
x I dx x dx x x
x − x − −
= + + ⇒ = = + + = + + = +
+ − ∫ + − ∫
4
2
d
x x a b
I x
c x x
− + −
= =
+ −
∫ a b c a b c+ +
39 27 33 41
( ) ( )
4 3
3 3
2 25 25
d d
2 6
2
x x x
x x x x x
x x
− + = − − = − − = − = −
+ −
∫ ∫
25
(50)Câu 111 Biết với số nguyên dương Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B Ta có
Vậy ; ; nên
Câu 112 Biết với , , số nguyên dương Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: , nên:
Mà nên Suy ra:
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 113 Tính 19Ttích19T phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
Câu 114 Tính tích phân
( )
2
d
2
x
a b c x x+ + x+ x = + −
∫ a b c, ,
P= + +a b c
P= P=8 P=46 P=22
( )
2
d
2
x
x x+ + x+ x
∫ ( )
1
d
2
x
x x x x
=
+ + +
∫ 2( )
1
2
d
2
x x
x x x
+ − =
+ ∫
2
1
d x x x
= −
+
∫ ( )12
2 x x
= − + = 2+ 3−
2
a= b=3 c=3 P= + + =a b c
( )
2
d
1
x
I a b c
x x x x
= = − −
+ + +
∫ a b c
P= + +a b c 24
P= P=12 P=18 P=46
1
x+ − x ≠ ∀ ∈x [ ]1;
( )
2
d
1
x I
x x x x
=
+ + +
∫ ( )( )
1
d
1
x
x x x x
=
+ + +
∫
( )
( )( )( )
2
1 d
1 1
x x x
x x x x x x
+ − =
+ + + + −
∫ 2( ( ))
1
1 d
1
x x x
x x
+ − =
+ ∫
2
1
d x
x x
= −
+
∫ ( )12
2 x x
= − + =4 2−2 3−2= 32− 12−2
I = a− b−c
32 12 a b c
= = =
32 12 46 P= + + =a b c + + =
0
sin dx x
π
∫
3
−
3
2
−
3
0
1 sin d cos
3
x x x
π
π
= −
∫ 1( )
1
3
= − − − =
2
sin d
4
I x x
π π
= −
(51)A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 115 Tích phân bằng?
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
Câu 116 Biết , với , số hữu tỉ Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: Vậy
Câu 117 Số số nguyên thỏa mãn
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có
Vì
Vì có tất số ngun Câu 118 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D. Cả A, B, C
sai
Hướng dẫn giải
4
I =π I = −1 I =0 I =1
2
sin d
4
I x x
π π
= −
∫
0
cos x
π π
= −
cos cos
π π
= − − =
3
d sin x I
x
π π
=∫
cot cot
3
π − π
cot cot
3
π + π
cot cot
3
π π
− + cot cot
3
π π
− −
3
d sin x I
x
π π
=∫
4
cotx
π π
= −
2
cosxdx a b
π π
= +
∫ a b T =2a+6b
3
T = T = −1 T = −4 T =2
2
cosxdx
π π
∫
3
sinx
π π
=
2
= − 2a+6b= − = −2
cot cot
3
π π
= − +
0
cos x d m
x= ∫
643 1284 1285 642
0
1
cos x sin sin sin 2 ,
0
2 2
m
m k
dx= ⇔ x = ⇔ m= ⇔ m= ⇔ m=kπ ⇔ =m π k∈
∫
( ) 4043
0; 2017 2017 1284, 06
k
m π k
π
∈ ⇒ < < ⇔ < < ≈
k∈ ⇒ 1284 m
2
sin
I xdx
π
=∫
1
(52)Tích phân có giá trị là:
Cách 1:
Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Câu 119 Có số thực thuộc khoảng cho ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Do đó, có số thực thỏa mãn u cầu tốn Câu 120 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách :
Chọn C
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Câu 121 Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách 1:
Chọn C
2
sin
I xdx
π
=∫
( )
2
2 0
sin cos
I xdx x
π
π
=∫ = − =
b (π π;3 ) cos d
b
x x
π
= ∫
8
4 cos d b
x x
π
=
∫ ⇔2 sin 2x bπ =1 sin
2 b
⇔ = 12
5 12
b k
b k
π π
π π
= +
⇔
= +
b
( )
2
sin cos
I x x dx
π π −
= ∫ −
1
I = I =2 I = −2 I = −1
( )
2
sin cos
I x x dx
π π −
= ∫ −
(0; 2017)
m∈ ( ) ( )
2
2 2
sin cos cos sin
I x x dx x x
π
π π
π −
−
= ∫ − = − − = −
( )
6
sin cos
I x x dx
π π −
= ∫ −
2
I =
4
I =
4
I = −
3 I = −
( )
6
sin cos
I x x dx
π π −
= ∫ −
( )
6 6
2
1
sin cos cos sin
2
I x x dx x x
π π
π
π −
−
= − = − − = −
(53)Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Câu 122 Kết tích phân viết dạng , Khẳng định sau sai?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vậy , Suy Vậy B sai
Câu 123 Cho tích phân với Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vậy
Câu 124 Cho tích phân , Tính
A. −3 B.1 C. −2 D.
3
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có ( ) ( )
2
2
0
1
4 cos d sin
2
x x x x x x
π
π π
π
− + = − + = − +
∫
Suy a=2, b=2, c=1 nên a b c− + =1 Câu 125 Biết ( )
6
2
3 sin d
6
a c
x x b
π
π
+ = −
∫ , a,b nguyên dương a
b tối giản Tính a b c+ +
A. B. 16 C. 12 D 14
Hướng dẫn giải
( )
2
2x sinx dx π
− −
∫ a b∈
2
a+ b= a b+ =5 2a−3b=2 a b− =2
( ) ( )
2
2
0
1
2 sin d cos 1
4
x x x x x x
π
π π π π
π
− − = − + = − − = − −
∫
4
a= b=2 a b+ =6
2
cos d sin
x
x a b x
π
π
= + +
∫ a, b∈ P= + +1 a3 b2
9
P= P=29 P=11 P= −25
2
cos d sin
x x x π
+
∫ 2
0
1 sin d sin
x x x π
− =
+
∫
0
1
2 sin d
1 sin
x x
x π
= − + −
+
∫
2
1
2 sin d
1 cos
x x
x π
π
= − + −
+ −
∫ ( ) 2
0
2
1
2 cos d
2 cos
2
x x x
x
π π
π
= + −
−
∫
1
2 tan
2
0 x π π
π
= − + − −
= − +3 π
3, a= − b=
3
1 25
P= +a +b = −
( )
2
1 4x cosx dx c
a b π
π π
− + = − +
(54)Chọn D Ta có:
( ) ( )
6
2
0
3 sin x dx cos 2x dx
π π
+ = + −
∫ ∫ 6( )
0
5 cos 2x dx
π
=∫ −
5 3
6
π
= −
Suy a=5, b=6, c=3 Vậy a b c+ + =14
Câu 126 Cho giá trị tích phân ( )
3
2
sin cos
I x x dx a
π
π
−
= ∫ + = , ( )
3
3
cos sin
I x x dx b
π
π
−
= ∫ + = Giá trị a + b là:
A 3
4
P= + B. 3
4
P= + C. 3
4
P= − D. 3
4 P= −
Hướng dẫn giải
Cho giá trị tích phân ( )
3
2
sin cos
I x x dx a
π
π
−
= ∫ + = , ( )
3
3
cos sin
I x x dx b
π
π
−
= ∫ + = Giá trị a + b là:
Cách 1: Ta có:
( )
3 3
1
2
1 3 3
sin cos cos sin
2 4
I x x dx x x a
π π
π
π −
−
= + = − + = + ⇒ = +
∫
( )
3 3
2
3
1 3
cos sin sin cos
2 2
I x x dx x x b
π π
π
π −
−
= + = − = ⇒ =
∫
3
P a b
⇒ = + = + Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay giá trị quen thuộc học sinh nhận Câu 127 Cho giá trị tích phân ( )
2
3
sin cos
I x x dx a
π
π
−
= ∫ + = ,
2
2
1 1 e
e
I dx b
x x x
= + − =
+
∫ Giá
trịa.b gần với giá trịnào sau đây?
A. B. 16 C. 10 D 1 Ta có:
( )
2 2
3 3
1
3
1 2
sin cos cos sin
3 3
I x x dx x x a
π π
π
π −
−
= + = − + = − ⇒ = −
(55)( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 1 1
ln ln ln ln ln
1
1
ln ln ln
e e
e e
I dx x x e e
x x x x e e
b e e
e e
= + − = − − + = − + − + + +
+
⇒ = − + + − + + +
∫
0, 2198 a b
⇒ ≈ −
Chọn D
Câu 128 Tích phân ( )
2
sin cos
I ax ax dx
π
π
−
= ∫ + , với a≠0 có giá trị là:
A sin sin
2 4
I a a
a
π π π π
= − − +
B. sin sin
2 4
I a a
a
π π π π
= − + +
C. sin sin
2 4
I a a
a
π π π π
= − + − +
D. sin sin
2 4
I a a
a
π π π π
= − − + +
Hướng dẫn giải
Tích phân ( )
2
sin cos
I ax ax dx
π
π
−
= ∫ + có giá trị là: Ta có:
( )
2 2
2 2
2
1
sin cos cos sin sin
4
sin sin
2 4
I ax ax dx ax ax ax
a a a
a a
a
π
π π
π π
π
π
π π π π
− −
−
= + = − + = −
= − + +
∫
Chọn B Câu 129 Biết
π
3
2
cos sin π
d cos
x x x x b
I x
x a c
+ −
= = −
+
∫ Trong a, b, c sốnguyên dương, phân số b
c tối giản Tính
2 2
T =a +b +c
A. T =16 B. T =59 C. T =69 D. T =50
Hướng dẫn giải
Chọn C Ta có
3
0
cos sin d cos
x x x x
I x
x
π
+ −
=
+
∫
0
sin d cos
x
x x
x
π
= −
+
∫
( )
2
0
d cos sin d
x x x x x
π π
=∫ −∫ − 2
0
1 cos cos
8 x x
π
π
= + −
2
1
8
π
= − Như a=8, b=1, c=2 Vậy 2
(56)Câu 130 Cho hàm số f x( )=asin 2x b− cos 2x thỏa mãn ' 2 f = − π
b
a adx=
∫ Tính tổng a b+ bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
( )
' cos 2 sin f x = a x+ b x
' 2
2
f = − ⇔ − = − ⇔ = π a a
1
d d 3
b b
a
a x= x= ⇔ − = ⇔ =b b
∫ ∫
Vậy a b+ = + =1 Câu 131 Cho tích phân
0
cos cos dx x x a b
π −
= +
∫ , a, b số hữu tỉ Tính
2
ea +log b
A −2 B −3 C 1
8 D 0
Hướng dẫn giải
Chọn A Ta có:
3
cos cos dx x x π
−
∫ = ( )
3
1
cos cos d 2∫−π x+ x x
0
1 1
sin sin 2 x x −π
= +
=
1 Do ta có a=0,
8
b= − Vậy ea+log2 b =e0 log21
+ =−2 Câu 132 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số
1 sin y
x =
+ với x \ k ,k π π
−
∀ ∈ + ∈
, biết
( )0
F = ; F( )π =0 Tính 11
12 12
P=F−π −F π
A. P= −2 B. P=0 C. Không tồn P D. P=1
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có 11 ( )0 ( ) 11 ( )0 ( )
12 12 12 12
P=F−π −F π = −F −F−π + F π −F π +F −F π
0
11
12 12
1
d d
1 sin 2x x sin 2x x
π
π π
−
= − + +
+ +
∫ ∫
Ta có
( )2
2
1 1
1 sin sin cos 2 cos
4
x = x x = x π
+ + −
(57)( )
0
12 12
1 1
d tan
1 sin 2x x x π π
π
− −
= − = − +
+
∫ ;
( )
11 11
12 12
1 1
d tan
1 sin 2x x x π π
π π
π
= − = − +
+
∫
Vậy P=1
Câu 133 Cho M , N số thực, xét hàm số f x( )=M.sinπx+N.cos πx thỏa mãn f ( )1 =3 ( )
1
1 d
π
f x x= −
∫ Giá trị f′
A. 5π
2 B.
5π 2
− C. π
2
− D. π
2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có f ( )1 =3 ⇔M.sinπ+N.cos π 3= ⇔N = −3 Mặt khác ( )
1
1 d
π
f x x= −
∫ ( )
1
1 sinπ 3.cos π d
π
M x x x
⇔∫ − = −
1
3
cosπ sin π
π π π
M
x x
⇔ − − = −
3
π π π
M
⇔ − + = − ⇔M =2
Vậy f x( )=2 sinπ 3cos πx− x nên f′( )x =2π cos π 3πsin πx+ x 5π
4
f′
⇒ =
Câu 134 Tích phân ( )
2
2
cos cos
I x xdx
π
=∫ − có giá trị là:
A
4
I = −π B.
4
I = − −π C.
4
I = +π D.
4 I = − +π
Hướng dẫn giải
Tích phân ( )
2
2
cos cos
I x xdx
π
=∫ − có giá trị là:
Ta biến đổi:
( ) ( )
1
2 2 2
2 2
0 0 0
1
cos cos cos sin cos sin
3 2
t
I x xdx x x dx xdx t x x
π π π π
π
= − = − − = − − + = −
∫ ∫ ∫
, với t=sinx Chọn D Câu 135 Biết tích phân
2
3
sin
I xdx a
π
π
=∫ = Giá trị 32
1
ln ln a
x
I dx b c
x x
+
= = −
+
∫ Thương số b
và c là:
A – 2 B.– 4 C.2 D.4
(58)Biết tích phân
2
3
sin
I xdx a
π
π
=∫ = Giá trị
1
2
1
ln ln a
x
I dx b c
x x
+
= = −
+
∫ Thương số b
và c là: Ta có:
( )
2
2
3
1 sin cos
2
I xdx x
π
π π π
=∫ = =
( )
1 2
2
2 3
8
2
1 1 4
ln ln ln ,
3 3 3
a
x x b
I dx dx t b c
x x x x c
+ +
⇒ = = = = − ⇒ = = − ⇒ = −
+ +
∫ ∫
Chọn B
Câu 136 Cho ( ) ( )
3
2 6
0
sin cos cos sin sin
I x x dx a x bx c x
π
π
=∫ + = + + Giá trị 3a+2b+4c là:
A – 1 B.1 C.– 2 D.2
Hướng dẫn giải
Cho ( ) ( )
3
2 6
0
sin cos cos sin sin
I x x dx a x bx c x
π
π
=∫ + = + + Giá trị 3a+2b+4c là: Ta có:
( )
3 3
2
0 0
1 cos 1
sin cos sin cos sin
2
1 1
, ,
3
x
I x x dx x dx x x x
a b c a c c
π π π
+
= + = + = − + +
⇒ = − = = ⇒ + + =
∫ ∫
Chọn B
Câu 137 Cho In =∫tannx xd với n∈ Khi I0+ +I1 2(I2+ + +I3 I8)+ +I9 I10
A. ( )
9
tan r r
x C r
=
+
∑ B. ( )
1
1
tan
r
r
x
C r
+ =
+ +
∑ C. ( )
10
tan r r
x C r
=
+
∑ D. ( )
1 10
1
tan
r
r
x
C r
+ =
+ + ∑
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
tann tan d n
I =∫ − x x x= tan 12 d cos
n
x x
x
− − =
∫ ( )
2
tann− x tanx ′dx−In−
∫
1
2
tan n
n x
I C
n
−
−
= − +
−
1
tan n n n
x
I I C
n
− −
⇒ + = +
−
( )
0 2 10
I + +I I + + +I I + +I I =(I10+I8) (+ I9 +I7)+ + (I3+I1) (+ I2+I0)
9
tan tan tan
tan
9
x x x
x C
= + + + + +
1
tanr r
x C r
=
=∑ + TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LƠGARIT
Câu 138 Tích phân
1
(59)A. e 1− B. 1
e− C.
e e −
D.
e
Hướng dẫn giải
Chọn C Ta có:
1
1 e
e d e
0 e e
x x
x
− = − − = − − = −
∫
Câu 139 Tích phân
2018
2 d
= ∫ x
I x A. 22018−1 B.
2018
2
ln −
C.
2018
2
ln D.
2018
2
Hướng dẫn giải
Chọn D
2018
2018 2018
0
2
2 d
ln ln
− = ∫ x = x =
I x
Câu 140 Biết
4
1 ( )d
2 f x x
−
=
∫
0
1 ( )d
2 f x x
−
− =
∫ Tính tích phân
4
4e x ( ) d I =∫ + f x x
A.
2e
I = B.
4e
I = − C.
4e
I = D.
2e I = −
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có ( ) ( )
4
2
0
4 e
4e ( ) d d d
0
x x
I f x x f x x f x x
−
−
=∫ + = + ∫ + ∫
( ) 1
2 e 2 2.e
2
I
⇔ = − + + =
Câu 141 Cho ( )
2
0
e d x
t
F x = ∫ t Tính F′( )2
A. ( )
2 4e
F′ = B. ( ) 16
2 8e
F′ = C. ( ) 16
2 4e
F′ = D. ( )
2 e F′ =
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi G x( ) nguyên hàm hàm số et2
( ) ( )2 ( )
0 F x G x G
⇒ = −
( ) 2 ( )2
F x′ x G x′
⇒ =
2 ex x =
( ) 16
2 4.e F′
⇒ =
Câu 142 Cho hàm số ( )
2
1 d ln x
x
g x t
t
= ∫ với x>0 Đạo hàm g x( )
A. ( )
ln x g x
x −
′ = B. ( )
ln x g x
x −
′ = C. ( )
ln g x
x
′ = D. g x′( )=lnx
Hướng dẫn giải
Chọn A
Giả sử F t( ) nguyên hàm hàm số lnt Khi ( )
ln F t
t
′ = hay ( ) ln F x
(60)Ta có ( )
2
1 d ln x
x
g x t
t
=∫ ( )2 ( )
F x F x
= −
Suy g x′( )=(F x( )2 −F x( ))′ =F x′( )2 −F x′( ) 12.2 lnx x lnx
= −
ln x
x − = Chú ý: ta có cơng thức ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
v x
u x
f t dt v x f v x u x f u x ′
′ ′
= −
∫
Câu 143 ( )
3
d f x x π
π
−
⇔ ∫ = Gọi S tập hợp tất số nguyên dương k thỏa mãn
2
2018.e 2018 e d
k kx
x
k
− <
∫ Số phần tử tập hợp S
A. B. C.Vô số D.
Hướng dẫn giải
Chọn A Ta có:
2
1
1 e dkx x ekx
k
=
∫ e2k ek
k −
=
2
2018.e 2018 e d
k kx
x
k
− <
∫ e2k ek 2018.ek 2018
k k
− −
⇔ <
( ) ( )
ek ek 2018 ek
⇔ − < − (do k nguyên dương) (ek e)( k 2018)
⇔ − − < ⇔ <1 ek <2018⇔ < <0 k ln 2018≈7.6 Do k nguyên dương nên ta chọn k∈S (với S ={1; 2;3; 4;5; 6; 7}) Suy số phần tử S
Câu 144 Cho
1
e d e
nx
n x
I x
− −
= +
∫ với n∈
Đặt un =1.(I1+I2) (+2 I2+I3) (+3 I3+I4)+ + n I( n+In+1)−n Biết limun =L Mệnh đềnào sau đúng?
A. L∈ −( 1; 0) B. L∈ − −( 2; 1) C. L∈( )0;1 D. L∈( )1;
Hướng dẫn giải
Chọn A Với n∈,
( )
1
1
e d e
n x
n x
I x
− + + =∫ + −
1
e e d e
nx x x x
− −
−
= +
∫ 1
0
e
e d d
1 e nx nx
x
x x
− −
−
= −
+
∫ ∫
0
e−nxdx In
=∫ −
1
0
e nxd
n n
I + − x I
⇒ =∫ − In 1 In 1(1 e n) n
− +
⇒ + = −
Do ( 1) ( 2) ( 3) ( )
1 e e e e n
n
u = − − + − − + − − + + − − −n
1
e e e e n
n
u − − − −
(61)Ta thấy un tổng n số hạng đầu cấp số nhân lùi vô hạn với
1
1 e
u = − − e q= , nên
1
e lim
1
e n
u
−
− =
−
1 e
L −
⇒ =
(62)TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG
Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số u=u x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [ ; ]a b α≤u x( )≤β Giả sử viết f x( )=g u x u x x( ( )) '( ), ∈[ ; ],a b với g liên tục đoạn [ ; ].α β Khi đó, ta có
( ) ( )
( ) ( )
u b b
a u a
I=∫f x dx= ∫ g u du
Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân
Dấu hiệu Có thểđặt Ví dụ Có f x( ) t= f x( )
3
0 1
x dx I
x
=
+
∫ Đặt t= x+1 Có (ax b+ )n t=ax+b 2016
0 ( 1)
I =∫ x x+ dx Đặt t= −x
3 Có af x( ) t= f x( )
tan
2 cos
x
e
I dx
x
π +
=∫ Đặt t=tanx+3
4 Có dxvàlnx x
ln
t= x hoặc biểu thức
chứa lnx
ln (ln 1)
e xdx
I
x x =
+
∫ Đặt t=lnx+1
5 Có e dxx
x
t=e hoặc biểu thức chứa ex
ln 2
0
x x
I =∫ e e + dx Đặt t= 3ex+1
6 Có sinxdx t=cosx 2
0 sin cos
I x xdx
π
=∫ Đặt t=sinx
7 Có cosxdx t=sinxdx
3
sin cos
x
I dx
x
π =
+
∫ Đặt t=2 cosx+1
8 Có 2 cos
dx
x t=tanx
2
4
4
0
1
(1 tan )
cos cos
I dx x dx
x x
π π
=∫ =∫ + Đặt t=tanx Có
2
sin
dx
x t=cotx
cot cot
4
2 cos 2sin
x x
e e
I dx dx
x x
π π
= =
−
∫ ∫ Đặt t=cotx
BÀI TẬP
Câu 1: Cho hàm số y= f x( ) liên tục [ ]a b, Giả sử hàm số u=u x( ) có đạo hàm liên tục [ ]a b, u x( )∈[α β, ]∀ ∈x [ ]a b, , f u( ) liên tục đoạn [α β, ]
Mệnh đềnào sau đúng?x=a
A ( ) ( )d ( )d
b b
a a
f u x u x′ x= f u u
∫ ∫ B ( ) ( )
( ) ( )
( )
d d
u b b
u a a
f u x u x′ x= f u u
∫ ∫
C ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d d
u b b
a u a
f u x u x′ x= f u u
∫ ∫ D ( ) ( )d ( )d
b b
a a
f u x u x′ x= f x u
∫ ∫
HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ Câu 2: Tínhtíchphân ( )
3
1000
1
(63)A
1002
2003.2 1003002
I = B
1001
1502.2 501501
I = C
1002
3005.2 1003002
I = D
1001
2003.2 501501 I =
Câu 3: Giá trị tích phân ( ) ( )
100
1 100 d
x x− x− x
∫
A 0 B 1 C 100 D một giá trị khác Câu 4: Tích phân
2
d x
x x +
∫
A 1log7
2 B
7 ln
3 C
1
ln
2 D
1
ln Câu 5: Cho tích phân 5 3
1
5 ln
8 dx
I a b
x x
= = +
+
∫ Khi a+2b A 5
2 B
5
4 C
5
8 D
5 16 Câu 6: Tích phân
( )
1
3
x dx I
x =
+
∫ kết I =aln 2−b Giá trị a+b là: A
16 B
13
16 C
14
17 D
4 17 Câu 7: Tích phân
0
2 x
I dx
x
−
= +
∫ có giá trị là:
A I=ln B I = −ln C I = −ln D I =ln Câu 8: Cho
1
1 ln
1
x
dx a
x + =
∫ ,a số hữu tỉ Giá trị a là:
A 2 B 3 C 4 D 5
Câu 9: Tích phân
0
1
ax
I dx
ax
−
=
+
∫ ,với a≠ −2 có giá trị là: A ln ln
2 a
I = + + B ln ln
2 a
I = − +
C ln ln
2 a
I =− − + D ln ln 2
a
I =− + +
Câu 10: Giả sử
5
d
ln ln ln 2.( , , )
= + + ∈
−
∫ x a b c a b c
x x
5
ln ln ln dx
a b c
x −x = + +
∫ Tính giá trị
biểu thức S = − + +2a b c2
A S =3 B S =6 C S =0 D S = −2
Câu 11: Biết
1 2
2 3
d ln
2
x x
x a b
x x
+ + = − + +
∫ với a, b sốnguyên dương Tính P=a2+b2
(64)Câu 12: Tính
( )
2 2 d
b
a a x
I x
a x
− =
+
∫ (với a, b số thực dương cho trước) A I 22b 2
a b
=
+ B
b I
a b =
+ C
( )( )
( 2)( )
1
1
a b
I
a b a
− − =
+ + D
b I
a b
=
+
Câu 13: Cho hàm số f x( ) liên tục tích phân ( )
0
tan d
f x x
π
=
∫ ( )
2
2
d
1
x f x x
x + =
∫
Tính tích phân ( )
1
d I =∫ f x x
A I =6. B I =2 C I =3. D I =1
Câu 14: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục có đồ thị hình bên Tính tích phân ( )
2
2 d I =∫ f′ x− x
A I = −2 B I = −1 C I =1 D I =2 HÀM VÔ TỈ
Câu 15: Cho tích phân
1
1−x xd
∫ , với cách đặt t= −31 x tích phân cho với tích phân sau đây?
A
1
3 d∫t t B
1
d t t
∫ C
1
3∫t dt D
1
3∫t dt Câu 16: Trongcáctíchphânsau,tíchphânnàocócùnggiátrịvới
1
I =∫ x x − dx A
1
1
1
2∫ t t− dt B
4
1 t t−1dt
∫ C 3( )
0 t +1 t dt
∫ D 3( )
1 x +1 x dx
∫
Câu 17: Nếu
3
0
( )
1
x
dx f t dt
x =
+ +
∫ ∫ , với t= 1+x f t( ) hàm số hàm sốdưới ?
A f t( )=2t2+2t B f t( )= −t2 t C f t( )= +t2 t D f t( )=2t2−2t
2
2 -1
-1
3
(65)Câu 18: Kết
4
1 d 2x+1 x
∫
A 4 B 5 C 2 D 3
Câu 19: Tích phân
1
d
x x+
∫ A 4
3 B
3
2 C
1
3 D
2 Câu 20: Cho
3
d ln ln
3
4
x a
x b c
x = + +
+ +
∫ với a, b, c số nguyên Giá trị a b c+ +
A 1 B 2 C 7 D 9
Câu 21: Biết
4
1
d ln
2
I x a b
x
= = +
+ −
∫ với a b, số nguyên Tính S= +a b
A S =3 B S = −3 C S=5 D S=7
Câu 22: Tính tích phân
5
d
x x x+
∫ kết I =aln 3+bln Giá trị a2+ab+3b2
A 4 B 5 C 1 D 0
Câu 23: Cho tích phân
4
d
ln 3
x
I a b
x
= = +
+ +
∫ với a b, ∈ Mệnh đềnào sau đúng? A a b− =3 B a b− =5 C a b+ =5 D a b+ =3
Câu 24: Biết ( )
3
2 1d
3
x x + x= a− b
∫ , với a b, sốnguyên dương Mệnh đềnào sau A a=2b B a<b C a=b D a=3b
Câu 25: Cho ( )
2
d
ln ,
4
4 a
x
I a
x x
= = >
+
∫ Khi giá trị số thực alà
A 2 B 2 C 3 D 2
Câu 26: Cho
1
2
x
I dx a b
x
= = +
+
∫ Giá trịa.b là:
A – 1 B – 2 C 1 D 2
Câu 27: Với a b c, , ∈R Đặt
2
1
4
ln
x b
I dx a
x c
−
=∫ = − Giá trị tính abc :
A B −2 C 2 D −
Câu 28: Cho
3
1
1
ln
x c d
dx a b
x e
+ = − + +
(66)A 14 B 17 C 10 D 24 Câu 29: Giá trị
7
3
0
d x x I
x
=
+
∫ viết dạng phân số tối giản a
b (a, b số nguyên dương) Khi giá trị a−7b
A 2 B 1 C 0 D −1
Câu 30: Giả sử
64
d
ln x
I a b
x x
= = +
+
∫ với a b, số nguyên Tính giá trị a−b A −17 B 5 C −5 D 17 Câu 31: Giả sử
2
4
1
d
x b
x a a b
x c b c
+ = −
+
∫ với a b c, , ∈; 1≤a b c, , ≤9 Tính giá trị biểu thức C2b aa c−+
A 165 B 715 C 5456 D 35 Câu 32: Tập hợp nghiệm bất phương trình
2
d
1 x
t t t
> +
∫ (ẩn x) là:
A (−∞ +∞; ) B (−∞; 0) C (−∞ +∞; ) { }\ D (0;+∞) Câu 33: Cho biết
7
3
0
d
= +
∫ x x m
n x
với m
n phân số tối giản Tính m−7n
A 0 B 1 C 2 D 91
Câu 34: Biết
2
2
d 35
3
x
x a b c
x x
= + +
+ −
∫ với a, b, c số hữu tỷ, tính P= +a 2b c+ −7
A
− B 86
27 C −2 D
67 27 Câu 35: Biết
( )
2
d
1
x
a b c
x x+ + +x x = − −
∫ với a, b, c số nguyên dương Tính P= + +a b c.
A P=44 B P=42 C P=46 D P=48 Câu 36: Giả sử a, b, c số nguyên thỏa mãn
4
2
d
2
x x
x x
+ + +
∫ 3( )
1
1
d au bu c u
= ∫ + + , u= 2x+1 Tính giá trị S = + +a b c
A S =3 B S =0 C S =1 D S =2 Câu 37: Tích phân
1
0
a x ax
I dx
ax + =
+
∫ , với a≥0 có giá trị là: A ( 2)
4 a a
I = − B ( 2)
2 a a
I = − C ( 2)
4 a a
I = + D ( 2)
(67)Câu 38: Tích phân
3
1
I dx
x =
+
∫ có giá trị là: A ln3
3
I = − + B ln 3
I = − − + C ln3 3
I = + D ln 3 I = − + Câu 39: Tích phân
1
0 12
a
I dx
x =
+
∫ có giá trị là:
A ln
2
a
I = − B ln
2
a
I = − +
C ln
2
a
I = − − D ln
2
a
I = +
Câu 40: Tích phân
2
2
2
ax
I dx
ax x
−
= = −
−
∫ Giá trị nguyên a là:
A a=5 B a=6 C a=7 D a=8 Câu 41: Cho
2
1
ln 1
a dx
b x
+ =
+ +
∫ ,a b số hữu tỉ Giá trị a b là: A 2
5 B
5
2 C
2
3 D
3 Câu 42: Tích phân
37 5
3
0
3
x
I dx
x
=
−
∫ có gái trị là: A 87
5
I = B 67
5
I = C 77
5
I = D 57
5 I =
Câu 43: Biết ( )
4
2 1d
ln ln , , 3
x x
a b c a b c
x x
+ = + + ∈
+ + +
∫ Tính T =2a b c+ +
A T =4 B T =2 C T =1 D T =3
Câu 44: Biết ( )
3
2
d
3 ln 3
1
x
a b c
x x
= + + + −
+ + +
∫ với a, b, c số hữu tỷ Tính P= + +a b c
A
2
P= B P= −1. C
2
P= − D
2 P=
Câu 45: Biết
1
d
2 ln
4
x a
b
x x
+ =
+
+ +
∫
với a, b sốnguyên dương Giá trị a b+
(68)Câu 46: Biết
2
3
3
2 11
1
1 1
2 d a
x x c
x x x b
− + − =
∫ , với a b c, , nguyên dương, a
b tối giản c<a Tính
= + +
S a b c
A S =51 B S =67 C S =39 D S =75 Câu 47: Cho số thực dương k>0 thỏa ( )
2
ln dx
x k
= + +
∫ Mệnh đềnào sau đúng?
A
k > B 0
2 k
< ≤ C 1
2 < ≤k D
3
2 k
< ≤
HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 48: Tìm khẳng định khẳng định sau
A ( )
1
0
sin 1−x dx= sin dx x
∫ ∫ B ( )
1
0
cos 1−x dx= − cos dx x
∫ ∫
C
2
0
cos d cos d
2 x
x x x
π π
=
∫ ∫ D
2
0
sin d sin d
2 x
x x x
π π
=
∫ ∫
Câu 49: Tính tích phân π
3
sin d cos
x
I x
x =∫ A
2
I = B
2
I = C π
3 20
I = + D
4 I =
Câu 50: Cho
3
sin tan ln b
I x xdx a
π
=∫ = − Chọn mệnh đềđúng:
A a b+ =4 B a− =b C ab=6 D ab =4 Câu 51: Biết
0
4
1 cos
I dx a
x
π −
= =
+
∫
0
3
1
3
2
4
I x dx b
−
=∫ + = − , a và b là số hữu tỉ Thương số a b có giá trị là:
A 1
2 B
1
3 C
3
4 D
2 Câu 52: Cho
a
cos 2x
I dx ln
1 sin 2x
π
= =
+
∫ Tìm giá trị a là:
A 3 B 2 C 4 D 6
Câu 53: Biết ( )
4
2
0
1 tan
I x dx a
π
=∫ + = ( )
1
1
2 3
2
0 0
I = x + x dx=bx +cx
∫ , a b số hữu tỉ Giá trị a + b + c là:
(69)Câu 54: Tích phân
3
sin cos cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫ có giá trị là: A ln 2 ln
2 2 2
I = − + −
+ +
B
1 2
ln ln
2 2 2
I = − − +
+ −
C ln 2 ln
2 2 2
I = − − −
+ +
D
1 2
ln ln
2 2 2
I = + − −
− +
Câu 55: Tích phân
2
2 cos sin
x x
I dx
x x
π
π
+ =
+
∫ có giá trị là: A
2
2 ln ln
4 16
I = π − − π +
B
2
2 ln ln
4 16
I = π + − π +
C
2
2 ln ln
4 16
I = π − + π +
D
2
2 ln ln
4 16
I = π + + π +
Câu 56: Cho ( )
4
sin ln tanx x dx
π
+
∫ =aπ+bln 2+c với a, b, c số hữu tỉ Tính T 1 c a b = + −
A T =2 B T =4 C T =6 D T = −4 Câu 57: Xét tích phân
2
0
sin d cos
x
I x
x
π
= +
∫ Nếu đặt t= +1 cosx, khẳng định đúng? A
1
2
d 4t 4t
I t
t
−
= ∫ B
1
2
d 4t 4t
I t
t
− +
= ∫ C ( )
2
4 d
I = ∫ t − t D
( )
2
4 d
I = − ∫ t − t
Câu 58: Cho ( )
6
0
1 sin cos d
64 n
x x x= n∈
∫
π
Tìm giá trị n
A n=3 B n=4 C n=5 D n=6
Câu 59: Cho tích phân
2
sin
d ln ln cos
x
x a b
x π
π
= +
+
∫ với a b, ∈ Mệnh đềnào đúng? A 2a b+ =0 B a−2b=0 C 2a b− =0 D a+2b=0 Câu 60: Tích phân
( )
2
cos sin cos cos x
x x
I dx
e x x
π
π
− =
+
(70)A
3
3
2 ln
2 e e I
e
π π
π
+ =
−
. B
3
3
2 ln
2 e e I
e
π π
π
− =
−
C
3
3
2 ln
2 e e I
e
π π
π
+ =
+
. D
3
3
2 ln
2 e e I
e
π π
π
− =
+
Câu 61: Tích phân
3
sin cos
x
I dx
x π
π
=∫ có giá trị là: A 19 17
2
I = + B
4
19 17
I = + C 19 17
I =− + D
4
19 17 I = −
Câu 62: Tích phân
( )
3
2
sin cos sin
x
I dx
x x
π
π
−
=
+
∫ có gái trị là:
A 3ln 3
16
I = + + − +
B
3 3
ln
8
I = + + − +
C 3ln 3
8
I = − + + − +
D
3 3
ln
16
I = − + + − +
Câu 63: Tích phân
4
2
0
1 cos sin
I dx
x x
π
=
−
∫ có giá trị là: A 1ln
3
I = B 1ln
2
I = C 1ln
6
I = D I =ln
Câu 64: Tích phân
( )2
0
sin cos
1 sin cos
a
x x
I dx
x x
+ +
= =
− −
∫ Giá trị alà: A
2
a= −π B
4
a= −π C
3
a=π D
6 a=π
Câu 65: Tích phân
2
sin sin cos
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫ có giá trị là: A ln( 1)
12
I = π + + B ln
12
I = π + +
C
3 ln
2
12
I π
+ = −
.D
3 ln
12
(71)Câu 66: Chobiết
4
cos
ln sin cos
x
dx a b
x x
π
π
= + +
∫ với a b làcácsốhữutỉ.Khiđó a b bằng: A 1
4 B
3
8 C
1
2 D
3 Câu 67: Biết
2018 2018 2018
sin
d sin cos
a
x x
x
x x b
π π
= +
∫ a, b sốnguyên dương Tính P=2a b+ A P=8 B P=10 C.P=6 D P=12
Câu 68: Cho tích phân
2
sin cos
xdx I
x
π
α α
=
− +
∫ (với α >1) giá trị I bằng:
A 2 B
2
α
C 2α D
α
Câu 69: Có giá trị tham số m khoảng (0; 6π) thỏa mãn
0
sin
d cos m
x x x =
+
∫ ?
A 6 B 12 C 8 D 4
Câu 70: Cho
2
cos
d ln ,
sin 5sin
x
x a b
x x c
π
= +
− +
∫ tính tổng S = + +a b c
A S =1 B S =4 C S=3 D S =0 Câu 71: Cho tích phân ( )
2
2
2 cos cos sin
d ln
cos
x x x x x c
I x a b
x x
π
π
π
+ + + −
= = + −
+
∫ với a, b, c số
hữu tỉ Tính giá trị biểu thức P=ac3+b
A P=3 B
4
P= C
2
P= D P=2
Câu 72: Cho
( )
2
2
sin
d ln
cos cos
x
x a b
c
x x
π
= +
− +
∫ , với a, b số hữu tỉ, c>0 Tính tổng S = + +a b c.
A S =3 B S =0 C S =1 D S =4
Câu 73: Cho ( ) ( )
2
4 cos 2x 3sin 2x ln cosx sinx dx cln a b
π
+ + = −
∫ , a, b, *
c∈ , a
b phân số tối giản Tính T = + +a b c
A T =9 B T = −11 C T =5 D T =7
Câu 74: Biết
3
3
6
3
sin
d
1 x
x c d
a b
x x π
π
π π π
−
= + + +
+ +
(72)A a b c d+ + + =28 B a b c d+ + + =16. C a b c d+ + + =14. D 22
a b c d+ + + =
Câu 75: Biết
2
2
cos
d
x x
x a
b c
x x π
π
π π
−
= + + + +
∫ với a, b, c, d số nguyên Tính M = − +a b c A M =35 B M =41 C M = −37 D M = −35
Câu 76: Cho
( )
1
d 2018
f x x= ∫
Tính
( )
12
cos x f sin 2x dx
π
∫
A 1009
2
I = B I =1009 C I=4036 D I=2018
Câu 77: Cho f hàm số liên tục thỏa ( )
1
d
f x x=
∫ Tính ( )
2
cos sin d
I x f x x
π
=∫
A 1 B 9 C 3 D 7
Câu 78: Cho hàm số f x( ) liên tục ( )
1
d 12 f x x
−
=
∫ , ( )
2 3
2 cos sin d
f x x x
π
π
∫
A −12 B 12 C 6 D −6
Câu 79: Cho hàm số y= f x( ) liên tục thỏa mãn ( )
9
4 f x
dx
x =
∫ ( )
/
sin cos
f x xdx
π
= ∫
Tích phân ( )
3
I =∫ f x dxbằng
A I=2 B I =6 C I =4 D I =10
HÀM MŨ – LÔGARIT
Câu 80: Cho
1
d x
I =∫xe− x.Biếtrằng
2 ae b
I = − Khiđó, a b+
A 1 B 0 C 2 D 4
Câu 81: Nguyên hàm ( )
2
sin
sin e x
f x = x
A sin2x.esin2x−1+C B
2
sin
e sin
x
C x
+
+
+ C
sin
e x+C D
2
sin
e sin
x
C x
−
+ −
Câu 82: Biếtrằng ( )
1
1
0
3 d , ,
5
x a b
e + x= e + e c a b c+ ∈
∫ Tính
2
b c T = + +a
A T =6 B T =9 C T =10 D T =5 Câu 83: Tích phân
ln12 ln
4 x
(73)A I = −2 ln ln 5+ B I = −2 ln ln 5+ C I = −2 ln ln 5+ D I = −2 ln ln 5−
Câu 84: Tìm tất giá trịdương tham số m cho 500
0 e d e
m
x m
x + x= +
∫
A m=2250 2500−2 B m= 21000+1 C m=2250 2500+2. D m= 21000−1 Câu 85: Cho
3
1
0
d
e e e
1
x x
a b c
x
+ = + +
+
∫ Với a, b, c số nguyên Tính S = + +a b c A S =1 B S =2 C S =0 D S =4
Câu 86: Cho tích phân
2
sin
0
sin cos d x
I e x x x
π
=∫ Nếu đổi biến số t=sin2 x thì: A
1
0
1
d d
2
t t
I = e t+ te t
∫ ∫ B
1
0
1
d d
2
t t
I = e t− te t ∫ ∫ C
1
0
2 td td
I = e t+ te t
∫ ∫ D
1
0
2 td td
I = e t− te t ∫ ∫ Câu 87: Tính
1
d lim
1 n
x x
n x
e
+ →+∞ ∫ +
A −1 B 1 C e D 0
Câu 88: Tính tích phân
2 2016
d x x
I x
e
−
= + ∫
A I=0 B
2018 2017
I = C
2017 2017
I = D
2018 2018
I =
Câu 89: Cho biết
( )
1
2
d
2 x
x e a
x e c b x
= + +
∫ với a, c số nguyên, b sốnguyên dương a b phân số tối giản Tính a b c− +
A 3 B 0 C 2 D −3
Câu 90: Biết tích phân
ln
e
d ln ln
1 e
x
x x= +a b +c + +
∫ , với a, b, c số nguyên Tính T = + +a b c.
A T = −1 B T =0 C T =2 D T =1
Câu 91: Giá trị ( ) ( )
3
3
9
cos
2
1
sin e x d
I = ∫ x πx π x gần số sốsau đây:
A 0, 046 B 0, 036 C 0, 037 D 0, 038
Câu 92: Cho ( ) ( )
2
e
d e ln e
e x
x
x x
x a b c
x − +
= + + +
(74)A P=1 B P= −1 C P=0 D P= −2 Câu 93: Biết ( )
2
5 e e
d e ln
2 e−
+ + +
= − − + +
∫
x
x
x x a c
x a b
x với a, b, c số nguyên e số logarit tự nhiên Tính S=2a b c+ +
A S =10 B S =0 C S=5 D S =9 Câu 94:
1 3
0
2 e 1 e
d ln
e.2 e ln e
x x
x
x x
x p
m n
π
π π
+ + = + +
+ +
∫ với m, n, p sốnguyên dương Tính tổng S = + +m n p
A S =6 B S =5 C S =7 D S =8
Câu 95: Cho tam thức bậc hai f x( )=ax2+bx c+ , (a b c, , ∈,a≠0) có hai nghiệm thực phân biệt
1,
x x Tính tích phân 2( )
1
2 d
x ax bx c
x
I =∫ ax+b e + + x A I = −x1 x2 B
4 x x
I = − C I =0 D
2 x x I = −
Câu 96: Với cách đổi biến u= 3ln+ x tích phân
1
ln
d 3ln e
x x x + x
∫ trở thành
A ( )
2
2
1 d
3∫ u − u B ( )
2
2
1 d
9∫ u − u C ( )
2
2∫ u −1 du D
2
2
d
u
u u
−
∫
Câu 97: Biết ( )
e
1 ln e
d e ln
1 ln e
x x
x a b x x
+ + = + +
+
∫ a, b sốnguyên Khi tỉ số a b A 1
2 B 1 C 3 D 2
Câu 98: Tính tích phân
e
1
1 3ln d x
I x
x
+
=∫ cách đặt t= 3ln+ x, mệnh đềnào sai?
A
1
2
I = t B
2
1
2 d
I = ∫t t C
2
2 d
I = ∫t t D 14 I =
Câu 99: Biết ( )
2
3 ln
d ln ln
x b
x a
x x x c
+
= +
+
∫ với a, b, c số nguyên dương c≤4 Tổng a b c+ + bằng
A 6 B 9 C 7 D 8
Câu 100: Biết
( ) ( )
e
ln
d ln , ,
ln 2
x
I x a b a b Q
x x
= = + ∈
+
∫ . Mệnh đềnào sau đúng?
A a− =b B 2a+ =b C a2+b2 =4 D a+2b=0
Câu 101: Tích phân ( )
2
ln ln 1
e x x
I dx
x
+ +
(75)A 3
I = + B
I = + C
I = + D 3 I = − Câu 102: Tích phân ( )
1
ln ln e
I =∫x x+ x dx có giá trị là:
A I = −2e B I = −e C I =e D I =2e
Câu 103: Biết ( )
3
1
2
0
1
ln ln
2
1 27 27 3
9
x x x x
I dx ae e e
x
+ +
=∫ = + + + − , a là số hữu tỉ Giá trị a là:
A 9 B – C – D 6
Câu 104: Tích phân
2
2 ln ln
e
x x
I dx
x +
=∫ có gái trị là: A 2
3
I = − B 2
3
I = + C 2
I = − D 2 I = +
Câu 105: Tính ( )
2 2
1 ln d e
e
x
I x
x
−
= ∫ đượckếtquảlà A 13
3 B
1
3 C
5
3 D
4 Câu 106: Cho tích phân
1
1 3ln d e
x
I x
x +
=∫ , đặt t= +1 3lnx Khẳng định sau đúng?
A
1
2 d
e
I = ∫t t B
2
2 d
I= ∫t t C
2
2 d
I = ∫t t D
1
2 d
e I = ∫t t Câu 107: Biết
1
3 ln d
3 e
x a b c x
x
+ −
=
∫ , a, b, c sốnguyên dương c<4 Tính giá trị S= + +a b c
A S =13 B S =28 C S =25 D S =16 Câu 108: Cho
( )
e
2
ln
d ln
x
I x
x x
=
+
∫ có kết dạng I=lna b+ với a>0, b∈ Khẳng định sau đúng?
A 2ab= −1 B 2ab=1 C ln
2
b
a
− + = − D ln
2
b
a − + =
Câu 109: Biết ( )
2
1
d ln ln ln
x
x a b
x x x
+ = +
+
∫ với a, b sốnguyên dương Tính P=a2+b2+ab
A 10 B 8 C 12 D 6
Câu 110: Cho tích phân ( )
2 ln
ln
ln
e e
x x ae be
I dx c d
x x
+ + +
(76)A a= = =b c d B
a b c
d
= = = C A B D A B sai
Câu 111: Tính tích phân ( )
( )
2018
0
ln d log e
x
x
I = −+ x
+
∫
A ( 2018)
ln ln
I = + − B 2( 2018)
ln ln
I = + −
C 2( 2018)
ln ln
I = + − D 2( 2018)
ln ln
I = + − −
Câu 112: Cho hàm số y= f x( ) liên tục thỏa mãn ( )
1
ln
d e
f x
x e
x =
∫ Mệnh đềnào sau đúng? A ( )
1
d f x x=
∫ B ( )
1
d f x x=e
∫ C ( )
0
d e
f x x=
∫ D ( )
0
d e
f x x=e
∫
Câu 113: Biết ( )
4
e e
1 ln d
f x x
x =
∫ Tính tích phân ( )
4
d I =∫ f x x
A I =8 B I =16 C I =2 D I =4
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG
Cho hàm số f liên tục có đạo hàm đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số x=ϕ(t) có đạo hàm liên tục đoạn [ ; ]α β (*) cho ϕ α( )=a, ( )ϕ β =b a≤ϕ( )t ≤b với t∈[ ; ].α β Khi đó:
( ) ( ( )) '( ) b
a
f x dx f t t dt
β α
ϕ ϕ =
∫ ∫
Một sốphương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng 2
a −x : đặt | | sin ; ; 2
x= a t t∈ − π π
2 2
x −a : đặt | |; ; \ {0}
sin 2
a
x t
t
π π
= ∈ −
3 2
x +a : | | tan ; ; 2
x= a t t∈ − π π
4 a x
a x
+
−
a x
a x
−
+ : đặt x=a.cos 2t
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt dấu hiệu 1, 2, với x mũ chẵn Ví dụ, để tính tích phân
3 2
0
x dx I
x
=
+
∫ phải đổi biến dạng cịn với tích phân
3
0 1
x dx I
x
=
+
∫ nên đổi biến dạng
Câu 114: Khitính
2
2
4 d ,
I =∫ −x x bằngphépđặt x=2 sin ,t thìđược
A ( )
2
2 cos dt t
π
+
∫ B ( )
2
2 cos dt t
π
−
∫ C
2
4 cos dt t
∫ D
2
2 cos dt t
(77)Câu 115: Biết
1
2
2
4 d
3
x x π a
−
− = +
∫ Khi a bằng:
A B 1 C D 2
Câu 116: Cho tích phân
1
2
1
I dx a
x
π
= =
−
∫ ,a b số hữu tỉ Giá trị a là: A 1
2 B
1
3 C
1
4 D
1 Câu 117: Giá trị
3
2
9 x dx a bπ
− =
∫ a b, ∈ a
b phân số tối giản Tính giá trị biểu thức T=ab
A T =35 B T =24 C T =12 D T =36 Câu 118: Đổi biến x=2sint tích phân
1
2
d
x x −
∫ trở thành A
6
d t t π
∫ B
3
d t t π
∫ C
6
dt t
π
∫ D
6
dt
π
∫ Câu 119: Biết
2
1
d 6
a b
x
x x
π +
= − + −
∫ a, b sốnguyên dương 4< +a b <5 Tổng a b+
A 5 B 7 C 4 D 6
Câu 120: Tích phân ( )( )
3
1
I =∫ x− −x dx có giá trị là:
A
6
I = −π B
3
I = −π C
6
I = −π D
3 I = −π Câu 121: Tích phân
1
2
3
x
I dx
x x + =
+ −
∫ có giá trị là:
A
6
I = π − + B
6
I = π − −
C
6
I = π + − D
6
I = π + +
Câu 122: Tích phân
1
2
4
x
I dx
x x
−
− =
+ −
∫ có giá trị là: A
3
I = π B
6
I = π C
3
I = − π D
(78)Câu 123: Cho
1
2
1
I =∫ − x −x dc=aπ+b với a b, ∈R Giá trị a b+ gần với A
10 B 1 C
1
5 D
Câu 124: Tích phân
1
1
I dx
x
= +
∫ có giá trị là: A
2
I =π B
3
I =π C
4
I =π D
6 I =π Câu 125: Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn f (tanx)=cos4x, ∀ ∈x Tính ( )
1
d =∫
I f x x
A
π +
B 1 C 2
4
π
+
D
4
π
Câu 126: Cho hàm số f liên tục đoạn [−6;5], có đồ thị gồm hai đoạn thẳng nửa đường trịn hình vẽ Tính giá trị ( )
5
2 d
I f x x
−
= ∫ +
A I =2π+35 B I =2π+34 C I =2π+33 D I =2π +32 Câu 127: Khi đổi biến x= tant, tích phân
1
d x I
x
= +
∫ trở thành tích phân nào? A
3
3d
I t
π
=∫ B
6
3 d
I t
π
=∫ C
6
3 d I t t
π
=∫ D
6
1 d
I t
t
π
=∫
O x
y
5
−
6
− −1
(79)HƯỚNG DẪN GIẢI
19T
Câu Cho hàm số y= f x( ) liên tục [ ]a b, Giả sử hàm số u=u x( ) có đạo hàm liên tục [ ]a b,
u x( )∈[α β, ]∀ ∈x [ ]a b, , f u( ) liên tục đoạn [α β, ] 19T
Mệnh đềnào sau đúng?19Tx=a
A ( ) ( )d ( )d
b b
a a
f u x u x′ x= f u u
∫ ∫ B ( ) ( )
( ) ( )
( )
d d
u b b
u a a
f u x u x′ x= f u u
∫ ∫
C ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d d
u b b
a u a
f u x u x′ x= f u u
∫ ∫ D ( ) ( )d ( )d
b b
a a
f u x u x′ x= f x u
∫ ∫
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt u x( )= ⇒t u x′( )dx=dt Đổi cận
Khi x=a t=u x( ); x=b t=u b( )
Do ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d d
u b b
a u a
f u x u x′ x= f t t
∫ ∫ ( )
( ) ( )
d u b
u a
f u u
= ∫
HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ Câu Tínhtíchphân ( )
3
1000
1
I =∫x x− dx A
1002
2003.2 1003002
I = B
1001
1502.2 501501
I = C
1002
3005.2 1003002
I = D
1001
2003.2 501501 I =
Hướng dẫn giải
Đặt x− =1 t, x= ⇒ =1 t 0; 3x= ⇒ =t
Dođó ( ) ( ) ( )
2 1002 1001
1000 1001 1000
0
0
1
1002 1001
t t
I = t+ t d t+ = t +t dt= +
∫ ∫
1002 1001 1001
1001
2 2 1502.2
2
1002 1001 1002 1001 501501
= + = + =
Chọn B
Câu Giá trị tích phân ( ) ( )
100
1 100 d x x− x− x
∫
A 0 B 1 C 100 D một giá trị khác 19T
Hướng dẫn giải
19T
Chọn A 19T
Tính 19T ( ) ( )
100
1 100 d I = ∫ x x− x− x Đặt t=100−x ⇒dx= −dt
Đổi cận: Khi x=0 t =100; x=100thì t=0
Do x x( −1 ) (x−100) (= 100−t)(99−t) ( 1−t)( )−t = −t t( −1 ) (t−99)(t−100) nên
( ) ( )
100
1 100 d
I = ∫ x x− x− x ( ) ( )
100
1 100 d
t t t t I
(80)Câu Tích phân
2
d x
x x +
∫
A 1log7
2 B
7 ln
3 C
1
ln
2 D
1
ln
Hướng dẫn giải
Chọn C Ta có:
2
d x
x x +
∫ ( )
2
1
d
2 x x
= +
+
∫ 2
0
1
ln
2 x
= + 1ln7
2
= Câu Cho tích phân 5 3
1
5 ln
8 dx
I a b
x x
= = +
+
∫ Khi a+2b A 5
2 B
5
4 C
5
8 D
5 16
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
2 2
5 3
1 . 1 . 1
dx dx x
I dx
x x x x x x
= = =
+ + +
∫ ∫ ∫
Đặt t=x2+1, suy 2
dt= xdx⇔ dt=xdx Đổi cận x= ⇒ =1 t 2,x= ⇒ =2 t
Suy
( )
5
2
1
2
I dt
t t
=
−
∫
Ta cần tách tiếp
( )2
1 t− t
dạng
( )2
1 mt n k
t t
+ +
− để lấy nguyên hàm được. Dễ dàng tìm m n k, , phương pháp đồng hệ số Ta tìm m= −1,n=2,k =1
Suy
( )
5 5
5
2
2 2
1 1 1 1 1
ln ln ln ln ln
2 1 2 2 2 2 8
t
I dt x t
t t t
−
= + = − − − = − − − = +
−
−
∫
Suy 1,
2
a= b= ⇒ +a b= Ta chọn phương án B Câu Tích phân
( )
1
3
x dx I
x =
+
∫ kết I =aln 2−b Giá trị a+b là:
A
16 B
13
16 C
14
17 D
4 17
Hướng dẫn giải
Chọn A
đặt t= +(1 x2)
2
2
1
1 1
ln
2 16
I dt
t t t
⇒ = − + = −
∫
Câu Tích phân
0
2 x
I dx
x
−
= +
∫ có giá trị là:
A I =ln B I = −ln C I = −ln D I =ln
(81)Ta nhận thấy: (x2+1 ') =2x Ta đặt: t=x2+ ⇒1 dt =2xdx Đổi cận:
0
x t
x t
= − ⇒ =
= ⇒ =
( )
1
2
1
ln ln
I dt t
t
⇒ =∫ = = − Chọn B
Câu Cho
1
1 ln
1
x
dx a
x + =
∫ ,a số hữu tỉ Giá trị a là:
A 2 B 3 C 4 D 5
Hướng dẫn giải
Cho
1
1 ln
1
x
dx a
x + =
∫ Giá trị a là: Ta có:
( )
1 2
2
3 1
0
1 1
ln ln 2
1 3
x
dx dt t a
x + = = t = = ⇒ =
∫ ∫
Chọn A Câu Tích phân
0
1
ax
I dx
ax
−
=
+
∫ ,với a≠ −2 có giá trị là: A ln ln
2 a
I = + + B ln ln
2 a
I = − +
C ln ln
2 a
I =− − + D ln ln
2 a
I =− + +
Hướng dẫn giải
Tích phân
0
1
ax
I dx
ax
−
=
+
∫ , với a≠ −2 có giá trị là: Ta nhận thấy: ( )
2 '
ax + = ax Ta dùng đổi biến số
Đăt
2
t=ax + ⇒dt= axdx Đổi cận
1
x t
x t a
= ⇒ =
= − ⇒ = +
( ) ( )
2
2 2
1 1
ln ln ln
2 a
a
I dt t a
t +
+
= ∫ = = − +
Chọn B Câu 10 Giả sử
5
d
ln ln ln 2.( , , )
= + + ∈
−
∫ x a b c a b c
x x
5
ln ln ln dx
a b c
x −x = + +
∫ Tính giá trị
biểu thức S = − + +2a b c2
A S =3 B S =6 C S =0 D S = −2
Hướng dẫn giải
Chọn B
( )
5
5 5
2
3 3 3
1
ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln
1
dx dx dx dx x
x x x x x x x
−
= = − = = − = − − + = + −
− − −
∫ ∫ ∫ ∫
(82)Câu 11 Biết
1 2
2 3
d ln
2
x x
x a b
x x
+ + = − + +
∫ với a, b sốnguyên dương Tính P=a2+b2
A 13 B 5 C 4 D 10
Hướng dẫn giải
Chọn A Ta có
1 2
2 3
d x x I x x x + + = + + ∫
Đặt d d
1 t x t x x t = = + ⇒ = −
suy
0 1 x t x t = ↔ = = ↔ =
Khi ( ) ( )
2
2
2 3
dt t t I t − + − + =∫ = 2 2 dt t t t − + =
∫ 2
1 2 dt t t − + = ∫ 2 2t lnt
t
− −
3 ln
= −
Suy P=32+22 =13 Câu 12 Tính
( ) 2 d b a a x I x a x − = +
∫ (với a, b số thực dương cho trước) A I 22b 2
a b
=
+ B
b I
a b =
+ C
( )( )
( 2)( )
1
1
a b
I
a b a
− − =
+ + D
b I
a b
=
+
Hướng dẫn giải
Chọn C
( ) 2 d b a a x I x a x − = + ∫ 2 d b a a x x a x x − = + ∫
Đặt t a x x
= + dt a2 dx x
⇒ = − +
Đổi cận: x= ⇒ = +a t a;
a
x b t b
b = ⇒ = +
Khi đó: 2
1 d a b b a I t t + + − = ∫ 1 a b b a t + + = 1 a b b a t + +
= 2
1 b
a b a
= −
+ +
( )( )
( 2)( )
1 a b b a b a
− − = + + k ⇔ =
Câu 13 Cho hàm số f x( ) liên tục tích phân ( )
0
tan d
f x x
π
=
∫ ( )
2 d
x f x x
x + =
∫
Tính tích phân ( )
1
d I =∫ f x x
A I =6. B I =2 C I =3. D I =1
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Đặt ( )
2 d
tan d tan d d
1 t
t x t x x x
t
= ⇒ = + ⇒ =
+ Đổi cận x= ⇒ =0 t
4 x= ⇒ =π t Đó đó: ( )
0
tan d d
f x x x
π = ∫ ( ) ( ) 1 2 0 d d 4 1
f t t f x x
t x
⇒ = ⇒ =
+ +
(83)Nên ( ) ( ) ( )
1 1
2
0 0
d d
4 d
1
f x x x f x x
f x x
x + x = + ⇔ =
+ +
∫ ∫ ∫
Câu 14 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục có đồ thị hình bên Tính tích phân ( )
2
2 d I =∫ f′ x− x
A. I = −2 B. I= −1 C. I =1 D. I =2
Hướng dẫn giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị hàm số ta cóđồ thị hàm số y= f x( ) qua điểm (− −1; 1), ( )0;3 , (2; 1− ) , ( )3;3 nên hàm số y= f x( )=x3−3x2+3
Ta có: ( )
2
2 d
I =∫ f′ x− x ( ) ( )
2
1
2 d 2 f′ x x
= ∫ − − ( )2
1
1
2
2 f x
= − ( )3 ( )1
2 f f
= − =1
2
2 -1
-1
3
(84)HÀM VÔ TỈ Câu 15 Cho tích phân
1
1−x xd
∫ , với cách đặt t= −31 x tích phân cho với tích phân sau đây?
A
1
3 d∫t t B
1
d t t
∫ C
1
3∫t dt D
1
3∫t dt
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t= − ⇒ = − ⇒ = −31 x x 1 t3 dx 3 dt t2 , đổi cận: x= ⇒ =0 t 1, x= ⇒ =1 t Khi ta có 3
0
1−x xd =3 t td
∫ ∫
Câu 16 Trongcáctíchphânsau,tíchphânnàocócùnggiátrịvới
1
I =∫ x x − dx A
1
1
1
2∫ t t− dt B
4
1 t t−1dt
∫ C 3( )
0 t +1 t dt
∫ D 3( )
1 x +1 x dx
∫
Hướng dẫn giải
Đặt t= x2− ⇒ =1 t2 x2− ⇒1 tdt =xdx
1
x= ⇒ =t , x= ⇒ =2 t
( )
2
3 2
1 1
I =∫ x x − dx=∫ t + t dt Chọn C
Câu 17 Nếu
3
0
( ) 1
x
dx f t dt x =
+ +
∫ ∫ , với t= 1+x f t( ) hàm số hàm sốdưới ?
A f t( )=2t2+2t B f t( )= −t2 t C f t( )= +t2 t D f t( )=2t2−2t
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t= 1+x, suy t2 = +1 x, 2tdt=dx Ta có
3 2 2
2
0 1
1
.2 ( 1).2 (2 )
1
x t
dx tdt t tdt t t dt
t x
−
= = − = −
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
Câu 18 Kết
4
1 d 2x+1 x
∫
A 4 B 5 C 2 D 3
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt t= 2x+ ⇒ =1 t2 2x+1⇒2 dt t=2dx⇒t td =dx Đổi cận: x= ⇒ =0 t 1, x= ⇒ =4 t
Khi đó, ta có 3
1
0 1
1 d
d d
2
t t
x t t
t
x+ = = = =
∫ ∫ ∫
Câu 19 Tích phân
1
d
3
x x+
∫
A 4
3 B
3
2 C
1
3 D
2
(85)19T
Chọn D
Đặt t= 3x+1
3
t x
⇒ = + ⇒2 dt t =3dx d d
t
t x
⇒ =
Đổi cận: x= ⇒ =0 t 1; x= ⇒ =1 t
Khi
0
d
d
3
x
t t t x+ =
∫ ∫
1
2 d t
= ∫
2
2 3t
=
3 =
Cách khác: Sử dụng công thức dx ax b C a
ax b+ = + +
∫
1
0
d
3
3 x
x
x+ = +
∫
3 = Câu 20 Cho
3
d ln ln
3
4
x a
x b c
x = + +
+ +
∫ với a, b, c số nguyên Giá trị a b c+ +
A 1 B 2 C 7 D 9
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt t= x+1
1
t x
⇒ = +
1 x t
⇒ = − ⇒dx=2 dt t Đổi cận: x= ⇒ =0 t 2; x= ⇒ =3 t
Khi đó:
2
2 2 3
2
1 1 1
1
.2 d d d ln 12 ln ln
4 2 3
t t t t
t t t t t t t t t
t t t
− = − = − + − = − + − + = − +
+ + +
∫ ∫ ∫
Suy
12 a b c
= = − =
1 a b c
⇒ + + =
Câu 21 Biết
4
1
d ln
2
I x a b
x
= = +
+ −
∫ với a b, số nguyên Tính S= +a b
A S =3 B S = −3 C S=5 D S=7
Hướng dẫn giải:
Chọn B
2
2 2 d 2d
0
4
t x t x t t x
x t
x t
= + ⇒ = + ⇒ = = ⇒ =
= ⇒ =
( )
4 3
3
0 1
1
d d d ln 5 ln
5
2
t
I x t t t t
t t
x
= = = + = + − = −
− −
+ −
∫ ∫ ∫
Suy ra: a=2;b= − ⇒ = + = −5 S a b Câu 22 Tính tích phân
5
d
x x x+
∫ kết I =aln 3+bln Giá trị a2+ab+3b2
A 4 B 5 C 1 D 0
Hướng dẫn giải
Chọn B Đặt
2
2 d
3 d
3
t t t
t= x+ ⇒ =t x+ ⇒ =x − ⇒ x= Đổi cận: x= ⇒ =1 t 2; x= ⇒ =5 t
(86)4 2
2 d
I t
t
= −
∫
2
1
d 1 t
t t
= − − +
∫
4
1 ln
1 t t
− =
+ =2 ln ln 5− Suy
2 a b
= = −
Do 2
3 a +ab+ b = Câu 23 Cho tích phân
4
d
ln
3
x
I a b
x
= = +
+ +
∫ với a b, ∈ Mệnh đềnào sau đúng? A a b− =3 B a b− =5 C a b+ =5 D a b+ =3
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt t= 2x+1⇒ =t2 2x+1⇒dx=t td Đổi cận: x= ⇒ =0 t 1; x= ⇒ =4 t Khi
0
d
3
x I
x =
+ +
∫
1
d
t t t
= +
∫
1
3
1 d
3 t t
= − +
∫ ( )3
1
2
3ln 3ln
3
t t
= − + = + Do a b+ =5
Câu 24 Biết ( )
3
2 1d
3
x x + x= a− b
∫ , với ,a b sốnguyên dương Mệnh đềnào sau
A a=2b B a<b C a=b D a=3b
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt t= x2+ ⇒ =1 t2 x2+ ⇒1 t td =x xd Đổi cận x= ⇒ =1 t 2;x= 3⇒ =t
Khi ( )
2
3
2
1 2
2
1d d
3
t
x x + x= t t = = −
∫ ∫ Vậy a=2 b
Câu 25 Cho ( )
2
d
ln ,
4
4 a
x
I a
x x
= = >
+
∫ Khi giá trị số thực alà
A 2 B 2 C 3 D 2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt t= x2+ ⇒ =4 t2 x2+ ⇒4 t td =x xd Đổi cận: x= 5⇒ =t 3, x= ⇒ =a t a2+4
2 4 4
2 2
3
5
d d d
4 ( 2)(t 2)
a a a
x x t t
I
t t
x x
+ +
= = =
− − +
+
∫ ∫ ∫
2
2 4 2
2
3
1 1
d ln ln
4 2 4 4 2
a a
t a
t
t t t a
+
+ − + −
= − = = ⋅
− + +
+ +
∫
Ta có, ( )
2
2
1 5
ln ln ln ,
4 4 2 4 2
a a
I a
a a
+ − + −
== ⇔ ⋅ = > ⇔ =
+ + + +
( )
3 a a a
⇔ + − = + + ⇔ = Câu 26 Cho
1
2
x
I dx a b
x
= = +
+
∫ Giá trịa.b là:
A – 1 B – 2 C 1 D 2
(87)Cho
1
2
x
I dx a b
x
= = +
+
∫ Giá trịa.b là: Ta có:
Đặt
1
t=x + ⇒dt= xdx Đổi cận
1
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
2
1
2 1,
2
I dt a b a b
t
⇒ = ∫ = − ⇒ = = − ⇒ = − Chọn A
Câu 27 Với a b c, , ∈R Đặt
2
1
4
ln
x b
I dx a
x c
−
=∫ = − Giá trị tính abc :
A B −2 C 2 D −
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đây dạng tốn tính tích phân để tránh tình trạng bấm máy tính nên cần phải nhớ phương pháp làm Có hai cách để làm tốn chuyển lượng giác phá Dưới cách
Đặt t= 4−x2 ⇒ = −t2 x2⇒tdt= −xdx
0
0
2 2
3 3
( ) 2
1 ln ln
4 4 2
t tdt t t
I dt dt t
t t t t
− − −
= = = + = + = − −
− − − + +
∫ ∫ ∫
Suy abc= − 3(2− 3)(2+ 3)= − Câu 28 Cho
3
1
1
ln
x c d
dx a b
x e
+ = − + +
∫ với c nguyên dương a, b, c, d , e số nguyên tố Giá trị biểu thức a+ + + +b c d e
A 14 B 17 C 10 D 24
Hướng dẫn giải
Chọn C
3
2
1 d x
x x x
+
= ∫
Đặt t= x2+1 2
1
t x
⇒ = + ⇒2t td =2x xd ⇒t td =x xd Đổi cận:
3
1
x t
x t
⇒ = = ⇒ =
=
2 2
2
d
t
I t
t =
−
∫
2
1 1
1
2 t t dt = + −
− +
∫ 2
2
1 1
2 1
dt dt
t t
= + − − +
∫ ∫
2
2
2
1
ln
2
t t
t − = +
+ ( )
1 1
2 ln ln 2
2
= − + − − 2 ln + = − +
1 2 ln
3
+
= − +
Vậy a b c d+ + + + =e 10 Câu 29 Giá trị
7
3
0
d x x I
x
=
+
∫ viết dạng phân số tối giản a
b (a, b số nguyên dương) Khi giá trị a−7b
3
1 x
I dx
x
(88)A 2 B 1 C 0 D −1
Hướng dẫn giải
Chọn B Cách 1: Tính
7
3
0
d x x I
x
=
+ ∫
Đặt 31 2d d
u= +x ⇒ u u=x x Đổi cận: x= ⇒ =0 u 1; x= 7⇒ =u
Vậy ( ) ( )
3
2
4
1
1
3 141
d d
2 20
u u
I u u u u
u
−
= ∫ = ∫ − =
Suy ra: a=141, b=20 Vậy a−7b=1
Cách 2: Dùng MTCT
7
3
0
d 141
7.01 20
x x I
x
= = =
+
∫
Suy ra: a=141, b=20 Vậy a−7b=1
Câu 30 Giả sử
64
d
ln x
I a b
x x
= = +
+
∫ với a b, số nguyên Tính giá trị a−b A −17 B 5 C −5 D 17
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt x =t
x t
⇒ =
dx dt t
⇒ = Với x= ⇒ =1 t 1, x=64⇒ =t
Khi 2 ( )
1
1
6
d d 6 ln ln 11
1
t
I t t t t t t t t
t t t
= = − + − = − + − + = +
+ +
∫ ∫
6 a
⇒ = , b=11.Vậy a b− = −5 Câu 31 Giả sử
2
4
1
d
x b
x a a b
x c b c
+ = −
+
∫ với a b c, , ∈; 1≤a b c, , ≤9 Tính giá trị biểu thức C2b aa c−+
A 165 B 715 C 5456 D 35
Hướng dẫn giải
Chọn D
2 2 2
4
1
1 1
d d
x x
I x x
x x
+ +
=∫ =∫ Đặt
2 3
1
1 d d d d
t t t x t t x
x x x
= + ⇒ = − ⇒ − = Ta
5
2
2
5
2
1 d
3
I = −∫ t t= t 2 5
3
= −
+
Vậy a=2, b=5, c=3, suy
2 35
b a a c
C −+ =C = Câu 32 Tập hợp nghiệm bất phương trình
2
d
1 x
t t t
> +
∫ (ẩn x) là:
(89)Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có ( ) 2
2 0
0
1
d d 1 1
2
1
x x x
t
t t t x
t t
> ⇔ + > ⇔ + > ⇔ + − >
+ +
∫ ∫
2
1 0
x x x
⇔ + > ⇔ > ⇔ ≠
Câu 33 Cho biết
7
3
0
d
= +
∫ x x m
n x
với m
n phân số tối giản Tính m−7n
A 0 B 1 C 2 D 91
Hướng dẫn giải
Chọn B Đặt
2
3 2 d
1 d d d
2 t t t= +x ⇒ = +t x ⇒ t t= x x⇒x x= Đổi cận: x= ⇒ =0 t 1; x= 7⇒ =t
( )
7 3 2
4
3
0 1
1 3 141
d d d
2 2 20
1
x t t t t
x t t t t
t x
−
= = − = − =
+
∫ ∫ ∫
7 141 7.20
m n
⇒ − = − = Câu 34 Biết
2
2
d 35
3
x
x a b c
x x
= + +
+ −
∫ với a, b, c số hữu tỷ, tính P= +a 2b c+ −7
A
− B 86
27 C −2 D
67 27 19T
Hướng dẫn giải
19T
Chọn A 19T
Cách1: Ta có 19T
2
2
d
3
x
x x+ x −
∫ ( )
1
3 d
x x x x
=∫ + − 2( 2 )
1
3x x 9x dx
=∫ − −
2
2
1
3 dx x x 9x 1dx
=∫ −∫ − 32 2
1
9 1d
x x x x
= +∫ − 2
1
7 x 9x 1dx
= −∫ − Tính
2
9 1d x x − x
∫
Đặt 9x2− =1 t ⇒9x2− =1 t2 d d t t x x
⇒ = Khi x=1 t=2 2; x=2 t= 35 Khi 2
1
9 1d x x − x
∫
35
35
2 2
d 27 t t t t
= ∫ = 35 35 16
27 27
= −
Vậy
2
2
35 16
d 35
27 27
3
x
x
x x
= − +
+ −
∫ ⇒ =a 7, 16
27
b= , 35
27 c= − 19T
Vậy 19TP= +a 2b c+ −7
32 35
7
27 27
= + − − = −
Cách2: ( ) ( )
2
2 2
1
1
9 1d d
18
x x − x= x − x −
∫ ∫ ( )32
1
1
9
27 x
= − 35 35 16
27 27
(90)2
2
35 16
d 35
27 27
3
x
x
x x
⇒ = − +
+ −
∫ ⇒ =a 7, 16
27
b= , 35
27 c= − 19T
Vậy 19TP= +a 2b c+ −7
32 35
7
27 27
= + − − = − Câu 35 Biết
( )
2
d
1
x
a b c
x x+ + +x x = − −
∫ với a, b, c số nguyên dương Tính P= + +a b c.
A P=44.19T B 19TP=42.19T C 19TP=46.19T D 19TP=48
Hướng dẫn giải
Chọn D 19T
Đặt 19T
( ) ( )( )
2
1
d d
1 1
x x
I
x x x x x x x x
= =
+ + + + + +
∫ ∫
Đặt
( )
1
1 d d
2
x x
t x x t x
x x
+ + = + + ⇒ =
+ ( )
d d
2
x t
t x x
⇔ =
+
Khi x=1 t= 1+ , x=2 t= 3+
( )( )
3
2
2
2
1
d d
2
1
x t
I
t t
x x x x
+ +
+ +
= = = −
+ + +
∫ ∫ 1
3 2
= − −
+ +
4 2
= − − = 32− 12− ⇒ =a 32, b=12, c=4 Vậy P= + + =a b c 48
Câu 36 Giả sử a, b, c số nguyên thỏa mãn
4
2
d
2
x x
x x
+ + +
∫ 3( )
1
1
d au bu c u
= ∫ + + , u= 2x+1 Tính giá trị S = + +a b c
A S =3 B S =0 C S =1 D S =2
Hướng dẫn giải
Chọn D u= x+
2
u x
⇒ = +
d d u u x
u x
=
⇒ = −
Khi
0
2
d
2
x x
x x
+ + + ∫
2
2
3
1
2
2
.d
u u
u u u
− + − +
=∫ ( )
3
4
1
1
2 d
2 u u u
= ∫ + −
Vậy S = + +a b c = + − =1 2 Câu 37 Tích phân
1
0
a x ax
I dx
ax + =
+
∫ , với a≥0 có giá trị là: A ( 2)
4 a a
I = − B ( 2)
2 a a
I = − C ( 2)
4 a a
I = + D ( 2)
2 a a I = +
Hướng dẫn giải
Tích phân
1
0
a x ax
I dx
ax + =
+
(91)Ta biến đổi: ( ) ( )
2
1 1
2
2
0 0
1
1
1
ax ax a x ax
I dx dx ax ax dx
ax ax
+ +
= = = +
+ +
∫ ∫ ∫
Ta nhận thấy: (ax2+1 ') =2ax Ta dùng đổi biến số Đặt t=ax2+ ⇒1 dt=2axdx
Đổi cận
1
x t
x t a
= ⇒ =
= ⇒ = +
( )
1
2
1
1 1
2
2 4
a a
I tdt t a a
+ +
= = = +
∫
Chọn C Câu 38 Tích phân
3
1
I dx
x =
+
∫ có giá trị là: A ln3
3
I = − + B ln 3
I = − − + C ln3 3
I = + D ln 3 I = − +
Hướng dẫn giải
Tích phân
3
1
I dx
x
=
+
∫ có giá trị là: Đặt
2
2 2
9
9
9 9
x x x udx du dx
u x x du dx dx
u
x x x x
+ +
= + + ⇒ = + = = ⇒ =
+ + + +
Đổi cận
3 3
x u
x u
= ⇒ =
= ⇒ = +
( ) ( )
3
3 3
ln ln
du
I u
u
+ +
⇒ = ∫ = = +
Chọn C Câu 39 Tích phân
1
0 12
a
I dx
x
=
+
∫ có giá trị là:
A ln
2
a
I = − B ln
2
a
I = − +
C ln
2
a
I = − − D ln
2
a
I = +
Hướng dẫn giải
Tích phân
1
0 12
a
I dx
x =
+
∫ có giá trị là: Ta có:
1
2
0
1
3 12
a a
I dx dx
x x
= =
+ +
∫ ∫
Đặt
2
2
4
4
x x du dx
u x x du dx
u
x x
+ +
= + + ⇒ = ⇒ =
+ +
( )1
1
2
1
ln ln
2
3 3
a a a
I du u
u
+
+ +
(92)Chọn D Câu 40 Tích phân
2
2
2
ax
I dx
ax x
−
= = −
−
∫ Giá trị nguyên a là:
A a=5 B a=6 C a=7 D a=8
Hướng dẫn giải
Tích phân
2
2
2
ax
I dx
ax x
−
= = −
−
∫ Giá trị a là: Ta có: (ax2−4x)'=2ax− =4 2(ax−2)
2
1
2 4
ax
I dx
ax x
− ⇒ =
−
∫
Đặt t=ax2−4x⇒dt=(2ax−4)dx Đổi cận
1
x t a
x t a
= ⇒ = −
= ⇒ = −
( )
4 4 8
4
1
4
2
a a
a a
I dt t a a
t
− −
− −
= ∫ = = − − −
Theo đề bài: I =2 1− ⇔ 4a− −8 a− =4 1− ⇔ ⇔ =a Câu 41 Cho
2
1
ln 1
a dx
b x
+ =
+ +
∫ ,a b số hữu tỉ Giá trị a b là: A 2
5 B
5
2 C
2
3 D
3
Hướng dẫn giải
Cho
2
1
ln
a dx
b x
= +
∫ Giá trị a b là:
Ta đặt:
2
1
1 dt dx t x x
t x
= + + ⇒ =
+ Đổi cận 1
2
x t
x t
= ⇒ = +
= ⇒ = +
( )
2
2 2
2
ln ln
1
dt
t t
+ +
+ +
+ =
+
∫
Chọn B Câu 42 Tích phân
37 5
3
0
3
x
I dx
x
=
−
∫ có gái trị là:
A 87
I = B 67
5
I = C 77
5
I = D 57
5 I =
Hướng dẫn giải
Tích phân
37
5
3
0
3
x
I dx
x
=
−
∫ có gái trị là:
(93)Đổi cận
3
0
7
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
Ta có: ( )
37 5 37 2 3 37 2
3 3 3
0 0
3
3
8 8
x t
x x x
I dx dx dx
x x x
− −
−
= = − = −
− − −
∫ ∫ ∫
1
1
3 3
3
8 8
8 87
8 12
5
t
I dt t t dt t t
t
−
−
⇒ = = − = − =
∫ ∫
Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay, nhiên chờ máy giải thời gian
Câu 43 Biết ( )
4
2 1d
ln ln , , 3
x x
a b c a b c
x x
+ = + + ∈
+ + +
∫ Tính T =2a b c+ +
A T =4 B T =2 C T =1 D T =3
Hướng dẫn giải
Chọn C
( )( ) (( ) ()( ))
4 4
0 0
2 1 2 d
2 1d 1d
2 3 1 2 1 2
x x x
x x x x
I
x x x x x x
+ + − + +
+ +
= = =
+ + + + + + + + + + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
4
0
2d d
2 2 1
x x
x x
= −
+ + + +
∫ ∫
Đặt u= 2x+ ⇒1 u ud =dx Với x= ⇒ =0 u 1, với x= ⇒ =4 u Suy
.3 3
1 1
2 d d
2 d d
2
u u u u
I u u
u u u u
= − = − − −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
( )3
4 ln ln ln ln
1
u u u
= − + + + = − +
2 a
⇒ = , b=1, c=1⇒ =T 2.1 1+ − =
Câu 44 Biết ( )
3
2
d
3 ln 3
1
x
a b c
x x
= + + + −
+ + +
∫ với a, b, c số hữu tỷ Tính P= + +a b c
A
2
P= B P= −1 C
P= − D
2 P=
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có ( )
2
3
2
1
1 d
d
2
1
x x x
x
x
x x
+ − + =
+ + +
∫ ∫
3 3 2
2
1
1 1 d
ln
2 2
x x x x x
x
+
= + −
∫
1
ln
2 I
−
= + −
Xét
3
2
1 d x x x I
x
+ = ∫
Đặt t= 1+x2 ⇒t td =x xd
( )
2
2
d
2
t t I
t
=
−
∫
2
1 1
d
2 t t t t
= + − − +
∫
2
1 1
ln
2
t t
t
−
= +
+
(94)1 1
2 ln ln
2 2
−
= − + −
+
( )2
1 1
2 ln ln
2 2
= − − − −
( )
1
2 ln ln
2
= − − − − Vậy
2
2
d
1
x
x x
+ + +
∫ 1ln 3 1 2 ln ln( 1)
2 2
−
= + − − − − −
( )
1
3 ln 3
2 2
= + − + −
Vậy
2 P= + + = −a b c
Câu 45 19TBiết 19T20T
1
d
2 ln
4
x a
b
x x
+ =
+
+ +
∫
19T20T
với 19Ta19T, 19Tb s19T ốnguyên dương Giá trị 19Ta b+ 19T
19T
A.19T 19TB.19T 19TC.19T 19TD.19T
Hướng dẫn giải
19T
Chọn B 19T
Ta có 19T
( )( )
1
2
0
d d
1
4
x x
x x
x x
=
+ + + +
∫ ∫
19T
Đặt 19Tt= x+ +3 x+1
1 1
d d
2
t x
x x
⇒ = +
+ +
( )( )
1
d
2 1 3
x x
t
x x
+ + +
⇔ =
+ +
( )( )
1
d d
2 1 3
t
t x
x x
⇔ =
+ +
( )( )
2d d
1
t x
t x x
⇔ =
+ + 19T Khi x=0 t= +1 ; x=1 t = +2
1 2
2
0
d d
2
4
x t
t
x x
+
+
= + +
∫ ∫ 2
1
2 ln t +
+
= ln2
+ =
+
2 a b
= ⇒ =
⇒ + =a b
Câu 46 Biết
2
3
3
2 11
1
1 1
2 d a
x x c
x x x b
− + − =
∫ , với a b c, , nguyên dương, a
b tối giản c<a Tính
= + +
S a b c
A S =51 B S =67 C S =39 D S =75
Hướng dẫn giải
Chọn C Ta có
2
3
2 11
1
1 1
2 d
x x
x x x
− + −
∫
2
1
1
1 d
x x
x x
= − +
∫
Đặt 3
2
1
t x t x
x x
= − ⇒ = −
3
2 dt t dx
x ⇒ = +
Khi đó: 3
2 11
1
1 1
2 d
x x
x x x
− + −
∫
37
4
3 dt t = ∫
37
4
4
0
3 21
14
4t 32
= =
(95)Câu 47 Cho số thực dương k>0 thỏa ( )
2
ln dx
x k
= + +
∫ Mệnh đềnào sau đúng?
A
k > B 0
2 k
< ≤ C 1
2 < ≤k D
3
2 k < ≤
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt ( )
ln
t= x+ x +k
2
1 x
x k
dt dx
x x k
+ + ⇒ =
+ +
1
dt dx
x k
⇔ = + Ta có
2
2
0
dx
dt
x k
= +
∫ ∫
0
t
= ( )2 ( )
ln x x k ln
⇔ + + = +
( ) ( )
ln k ln k ln
⇔ + + − = + ln2 k ln 2( 5) k
+ +
⇔ = +
2
2 k
k
+ +
⇔ = +
( )
2 k k
⇔ + + = + ⇔ + + +4 k 4+ =k (2+ 5)2k ⇔ 4+ =k (2+ 5)k−2
( )2 ( )
2
2
2
4 4
k
k k k
> + ⇔
+ = + + − +
( ) ( )
2
2
2
2
k
k k
> + ⇔
+ − + =
2 k
k k
>
+
⇔ =
(96)HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 48 Tìm khẳng định khẳng định sau
A ( )
1
0
sin 1−x dx= sin dx x
∫ ∫ B ( )
1
0
cos 1−x dx= − cos dx x
∫ ∫
C
2
0
cos d cos d
2 x
x x x
π π
=
∫ ∫ D
2
0
sin d sin d
2 x
x x x
π π
=
∫ ∫
Hướng dẫn giải
Chọn A
Xét tích phân ( )
1
sin 1−x dx ∫
Đặt 1− = ⇒x t dx= −dt Khi x= ⇒ =0 t 1; Khi x= ⇒ =1 t Do ( )
0
sin 1−x dx
∫ ( )
1
sint dt
=∫ −
0
sin dt t =∫
1
sin dx x =∫ Câu 49 Tính47T tích phân 47T
π
3
sin d cos
x
I x
x =∫ 47T A
2
I = B
2
I = C π
3 20
I = + D
4 I =
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt t=cosx⇒dt= −sin dx x Đổi cận: x=0⇒ =t 1; π
3
x= ⇒ =t Khi đó:
1
3
1 d
I t
t
− =∫
1
1 dt t
=∫
1
1
1 2t
−
=
2
= − + =
Câu 50 Cho
3
sin tan ln b
I x xdx a
π
=∫ = − Chọn mệnh đềđúng:
A a+ =b B a− =b C ab=6 D ab =4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt u=cosx⇒ −du=sinxdx Đổi cận
1
3
1
x u
u x
π
= = ⇒
= =
( )( )
1
1
2
2
1
1
2
1 1 3
ln ln
2
u du u
I u du u
u u
− −
= = − = − = −
(97)Câu 51 Biết
0
4
1 cos
I dx a
x
π −
= =
+
∫
0
3
1
3
2
4
I x dx b
−
=∫ + = − , a và b là số hữu tỉ Thương số a b có giá trị là:
A 1
2 B.
1
3 C.
3
4 D.
2
Hướng dẫn giải
Biết
0
4
1 cos
I dx a
x
π −
= =
+
∫
0
3
1
3
2
4
I x dx b
−
=∫ + = − Thương số a b có giá trị là:
Ta có:
0 0
1
1
4
1 1 1
1 cos 2 cos 2
I dx dx tdt
x x
π π −
− −
= = = = =
+
∫ ∫ ∫ , với t=tanx
( )
0
4 3
3
1
3 3
2 2
4
I x dx x
− −
= + = + = −
∫
1
,
2
a
a b
b ⇒ = = ⇒ = Chọn B
Câu 52 Cho
a
cos 2x
I dx ln
1 sin 2x
π
= =
+
∫ Tìm giá trị a là:
A 3 B 2 C 4 D 6
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt t = +1 2sin x2 đưa đến I = ∫
+
a
t dt π
2 sin
1
4
=
lnt|11+2sin2π/a =
ln3 suy 2+ sin2 /a=3 suy a =
Câu 53 Biết ( )
4
2
0
1 tan
I x dx a
π
=∫ + = ( )
1
1
2 3
2
0 0
I = x + x dx=bx +cx
∫ , a b số hữu tỉ Giá trị a + b + c là:
A 1 B. C. D.
Hướng dẫn giải
Biết ( )
4
2
0
1 tan
I x dx a
π
=∫ + = ( )
1
1
2 3
2
0 0
I = x + x dx=bx +cx
∫ Giá trị a + b + c là: Ta có:
( )
4
2
1
0 0
1
1 tan
cos
I x dx dx tdt
x
π π
=∫ + =∫ = =∫ = , với t=tanx
( )
1
2 3
2
0 0
1
3
I = x + x dx= x + x
∫
1
1, ,
3
a b c a b c
(98)Chọn B Câu 54 Tích phân
3
sin cos cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫ có giá trị là: A ln 2 ln
2 2 2
I = − + −
+ +
B.
1 2
ln ln
2 2 2
I = − − +
+ −
C. ln 2 ln
2 2 2
I = − − −
+ +
D.
1 2
ln ln
2 2 2
I = + − −
− +
Hướng dẫn giải
Tích phân
3
sin cos cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫ có giá trị là: Ta biến đổi:
1
3 3
2
0 0 1
sin sin sin
ln
cos cos cos 2 cos 2
1 2
ln ln
2 2 2
x x x t
I dxI dx dx
x x x x t
π π π
−
= = = = =
+ − +
− −
= −
+ +
∫ ∫ ∫
,
với t=cosx Chọn C Câu 55 Tích phân
2
2 cos sin
x x
I dx
x x
π
π
+ =
+
∫ có giá trị là: A
2
2
ln ln
4 16
I = π − − π +
B.
2
2
ln ln
4 16
I = π + − π + C.
2
2
ln ln
4 16
I = π − + π +
D.
2
2
ln ln
4 16
I = π + + π +
Hướng dẫn giải
Tích phân
2
2 cos sin
x x
I dx
x x
π
π
+ =
+
∫ có giá trị là: Ta có:
2
1
2
2
2
2
4 16 2
2 cos
ln ln
sin 16
x x
I dx dt
x x t
π π
π π
π π
+
+
+
= + = = = + − +
∫ ∫ , với
sin t=x + x Chọn B
Câu 56 Cho ( )
4
sin ln tanx x dx
π
+
∫ =aπ+bln 2+c với a, b, c số hữu tỉ Tính T 1 c a b = + −
A T =2 B T =4 C T =6 D T = −4
Hướng dẫn giải
(99)Ta có ( )
4
sin ln tanx x dx
π
+
∫ ( ) ( )
0
1
ln tan d cos
2 x x
π
= − ∫ +
( ) 4 ( )
0
1
cos ln tan cos d ln tan
2 x x x x
π π
= − + + ∫ +
4
2
1 1
cos d
2 x tanx cos x x
π
=
+
∫ 2
0
1 cos sin
d
sin cos
2 cos
cos
x x
x
x x x
x π
−
= ∫ +
4
1 sin
1 d
2 cos
x x x
π
= −
∫ 4 ( )
0
1 1
d cos
2x cosx x
π π
= + ∫
4
1 ln cos
8 x
π
π
= + 1ln
8
= π − ⇒ = − + =T 4
Câu 57 Xét tích phân
0
sin d cos
x
I x
x
π
= +
∫ Nếu đặt t= +1 cosx, khẳng định đúng? A
1
2
d 4t 4t
I t
t
−
= ∫ B
1
2
d 4t 4t
I t
t
− +
= ∫ C ( )
2
4 d
I = ∫ t − t D
( )
2
4 d
I = − ∫ t − t
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt cos d sin d sin d 2d cos cos
x x
t x t x x t
x x
−
= + ⇒ = ⇒ = −
+ +
2
1 cos cos
t x x t
⇒ = + ⇒ = −
Đổi cận 2;
2 x= ⇒ =t x=π ⇒ =t
2
0
sin d cos sin d
1 cos cos
x x x x x
I
x x
π π
⇒ = =
+ +
∫ ∫
1
2 2
1
2
2(t 1)( 2)dt (t 1)dt (t 1)d t
= ∫ − − = − ∫ − = ∫ −
Câu 58 Cho ( )
6
0
1 sin cos d
64
nx x x= n∈
∫
π
Tìm giá trị n
A n=3 B n=4 C n=5 D n=6
Hướng dẫn giải
Chọn A
[Phương pháp tự luận]
Đặt t=sinx⇒ =dt cos dx x Với x= ⇒ =0 t 0;
6
x=π ⇒ =t Vậy
6
0
1 sin osxd
64
n x c x
π
= ∫
1
1
1
2 0
1 1
dt |
1 64
n n
n t
t
n n
+ +
⇔ = = =
+ +
∫ 12 321
n n+ ⇔ =
(100)Phương trình ( )1 phương trình hồnh độgiao điểm
n y=
hàm số giảm
1
32 32
n
y= + y′= >
hàm sốtăng
Vậy phương trình ( )1 có tối đa nghiệm Với n=3 thay vào phương trình ( )1 ta được:
3
1
2 32
+ =
( đúng) Vậy n=3 nghiệm phương trình ( )1
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay n=3 vào bấm máy tính:
3
1 sin cos d
64
x x x
π
=
∫ Ta chọn đáp ánA.
Câu 59 Cho tích phân
2
sin
d ln ln cos
x
x a b
x π
π
= +
+
∫ với a b, ∈ Mệnh đềnào đúng?
A 2a b+ =0 B a−2b=0 C 2a b− =0 D a+2b=0
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt t=cosx+2 ⇒dt= −sin dx x
Đổi cận
3
x= ⇒ =π t , 2
x= ⇒ =π t
2
sin d cos
x x x π
π∫ +
2
1 dt t
= −∫
5 2
1 dt t
=∫ 52
lnt
= ln5 ln 2
= − =ln ln 2− Vậy ta a=1;b= −2
Câu 60 Tích phân
( )
2
cos sin cos cos x
x x
I dx
e x x
π
π
− =
+
∫ có giá trị là:
A
3
3
2 ln
2 e e I
e
π π
π
+ =
−
. B
3
3
2 ln
2 e e I
e
π π
π
− =
−
C
3
3
2 ln
2 e e I
e
π π
π
+ =
+
. D
3
3
2 ln
2 e e I
e
π π
π
− =
+
Hướng dẫn giải
Tích phân
( )
2 3
cos sin cos cos x
x x
I dx
e x x
π
π
− =
+
(101)Ta biến đổi: ( )
( )
2
cos sin cos cos x
x x
e x x
I dx
e x e x
π
π
− =
+
∫
Đặtt =excosx⇒dt=ex(cosx−sinx dx)
Đổi cận
3
3
1
3
2
3
x t e
x t e
π
π
π π
= ⇒ =
= ⇒ = −
( )
2
3
3
1 3
2 3
2
1 3 3 3
1
2
2
ln ln ln ln
1
2 2
e e
e e
e e
t e e
I dt
t t t
e e e
π π
π π
π π
π π
π π π
− − +
= = = − =
+ +
− + −
∫
Chọn A Câu 61 Tích phân
3
sin cos
x
I dx
x π
π
=∫ có giá trị là: A 19 17
2
I = + B
4
19 17
I = + C 19 17
I =− + D
4
19 17 I = −
Hướng dẫn giải
Tích phân
3
sin cos
x
I dx
x π
π
=∫ có giá trị là:
Ta nhận thấy: (cosx)'= −sinx T dùng đổi biến số Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx
Đổi cận
1
3
3
6
x t
x t
π π = ⇒ =
= ⇒ =
( )
3
2
3
3
3
3
2
2
2 2
1
1
2
2
1 cos sin sin
cos cos
1 19 17
2
5
x x
x
I dx dx
x x
t
I dt t t dx t t
t
π π
π π
−
−
= =
− −
⇒ = = − = − =
∫ ∫
∫ ∫
Chọn D Câu 62 Tích phân
( )
3
2
sin cos sin
x
I dx
x x
π
π
−
=
+
(102)A 3ln 3
16
I = + + − +
B
3 3
ln
8
I = + + − +
C 3ln 3
8
I = − + +
− +
D
3 3
ln
16
I = − + +
− +
Hướng dẫn giải
Tích phân
( )
3
2
sin cos sin
x
I dx
x x
π
π
−
=
+
∫ có gái trị là: Ta có:
( )
3 3
2 2
3 3
sin sin sin
1
cos sin
4 sin cos sin
6
2
x x x
I dx dxI dx
x x
x
x x
π π π
π π π π
− − −
= = =
+ + +
∫ ∫ ∫
Đặt
6
u= + ⇒ = − ⇒x π x u π dx=du
Đổi cận
3
x u
x u
π π
π π
= − ⇒ = −
= ⇒ =
2 2
2 2
6 6
2
2
6
sin sin cos sin cos
1 3.sin cos
6 6 6
4 sin sin sin
1 sin cos
8 cos sin
u u u
u u
I du du du
u u u
u u
du du
u u
π π π
π π π
π π
π π
π π π
− − −
− −
−
−
−
= = =
= −
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Xét
2
1
6
3 sin cos u
I du
u π
π
−
= −
∫
Đặt t=cos ,u u∈[ ]0;π ⇒dt= −sinudu
Đổi cận
3
6
0
u t
u t
π π
= − ⇒ =
= ⇒ =
0
0
1
3
3
2
2
3 1 3
n ln
1 1 2
dt t
I dt l
t t t t
+ +
⇒ = = + = = −
− − + − − +
∫ ∫
Xét
2
2
6
cos sin
u
I du
u π
π
−
(103)Đặt sin , ; cos 2
t= u u∈ − π π⇒dt= udu
Đổi cận
1
6
1
u t
u t
π π
= − ⇒ = −
= ⇒ =
1
2
1
2
1
3
I du
t t −
−
= = − = −
∫ 1( 1 2) 3ln 3
8 16
I I I +
⇒ = − = − + − +
Chọn D
Câu 63 Tích phân
4
2
0
1 cos sin
I dx
x x
π
=
−
∫ có giá trị là: A 1ln
3
I = B 1ln
2
I = C 1ln
6
I = D I =ln
Hướng dẫn giải
Tích phân
4
2
0
1 cos sin
I dx
x x
π
=
−
∫ có giá trị là: Ta biến đổi:
( )
4
2 2
0
1
9 cos sin cos tan
I dx dx
x x x x
π π
= =
− −
∫ ∫
Nhận thấy:(tan )' 12 cos x
x
= Ta dùng đổi biến số
Đặt tan 12
cos
t x dt dx
x
= ⇒ =
Đổi cận
0
1
x t
x π t
= ⇒ =
= ⇒ =
1
1
2
0 0
1 1 1
ln ln
9 3 6
t
I dt dt
t t t t
+
= = + = =
− − + −
∫ ∫
Chọn C Câu 64 Tích phân
( )2
0
sin cos
1
sin cos a
x x
I dx
x x
+ +
= =
− −
∫ Giá trị alà: A
2
a= −π B.
4
a= −π C.
a=π D.
6 a=π
Hướng dẫn giải
Tích phân
( )2
0
sin cos
1
sin cos a
x x
I dx
x x
+ +
= =
− −
∫ Giá trị alà: Ta có:
( )
sin cos
0
sin cos 1
1, sin cos cos sin
sin cos
a a a
x x
I dx t x x
t a a
x x
−
−
+
= = − = − = −
−
−
(104)Theo đề bài, ta có: 1
cos sin 3
casio a
a a
π +
− = → =
− −
Chọn C Câu 65 Tích phân
2
sin sin cos
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫ có giá trị là: A ln( 1)
12
I = π + + B. ln
12
I = π + +
C.
3 ln
2
12
I π
+ = −
. D.
3 ln
12
I = π + +
Hướng dẫn giải
Tích phân
2
sin sin cos
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫ có giá trị là: Xét
2
3
cos sin cos
x
I dx
x x
π
π
=
+ ∫
Ta có:
2
2
2 3
1
1 2
1
ln
2 , sin cos
2 12
1
I I I dx
I I
I t x x
I I I dt
t
π
π π
+
= + = +
−
⇒ = = − = +
= − =
∫ ∫
Chọn C Câu 66 Chobiết
4
cos
ln sin cos
x
dx a b
x x
π
π
= + +
∫ với a b làcácsốhữutỉ.Khiđó a b bằng: A 1
4 B
3
8 C
1
2 D
3
Hướng dẫn giải
Chọn C
Xét
4
0
cos sin cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫ ;
4
0
sin sin cos
x
I dx
x x
π
=
+ ∫
4
0
I I dx
π
π
⇒ + =∫ = ;
4
4
1
0 0
cos s inx (sin cos )
ln(sin cos ) ln
sin cos sin cos
x d x x
I I dx x x
x x x x
π
π π
− +
− = = = + =
+ +
∫ ∫
1
I
⇒ = 1ln
8
π + 1
;
8
a b
(105)Cách giải khác:Đặt x= −π t
Câu 67 Biết
2018 2018 2018
sin
d sin cos
a
x x
x
x x b
π π
= +
∫ a, b sốngun dương Tính P=2a b+
A P=8 B P=10 C..P=6 D P=12
Hướng dẫn giải
Chọn A Xét tích phân
2018 2018 2018
sin
d sin cos
x x
I x
x x
π
=
+
∫
Đặt x= − ⇒π t dx= −dt Khi x=0 t=π Khi x=π t=0
Ta có ( ) ( )
( ) ( )
2018
2018 2018
sin
d
sin cos
t t
I t
t t
π
π π
π π
− −
= −
− + −
∫ (2018 ) 20182018
0
sin
d sin cos
x x
x
x x
π π −
=
+ ∫
2018 2018
2018 2018 2018 2018
0
sin sin
d d
sin cos sin cos
x x x
x x
x x x x
π π
π
= −
+ +
∫ ∫
2018 2018 2018
sin
d sin cos
x
x I
x x
π
π
= −
+
∫
Suy
2018 2018 2018
sin
d sin cos
x
I x
x x
π
π
=
+
∫
Xét tích phân
2018 2018 2018
sin
d sin cos
x
J x
x x
π
π
=
+
∫
Đặt d d
2
x= − ⇒π u x= − u Khi
2
x=π u=0 Khi x=π
2 t= −π
Nên
2018
2018 2018
0
sin
d
sin cos
2
u
J u
u u
π π
π π
− −
= −
− + −
∫ 2018 2018 2018
2
cos
d sin cos
x
x
x x
π −
=
+
∫
Vì hàm số ( )
2018 2018 2018
cos
sin cos
x f x
x x
=
+ hàm số chẵn nên:
0 2018 2018
2018 2018 2018 2018
0
cos cos
d d
sin cos sin cos
x x
x x
x x x x
π
π
−
=
+ +
∫ ∫
Từđó ta có:
2018 2018 2018
sin
d sin cos
x
I x
x x
π
π
=
+
∫ 2018 2018 2018 2018 2018 2018
0
2
sin sin
d d
2 sin cos sin cos
x x
x x
x x x x
π
π
π
π
= +
+ +
(106)2018 2018
2
2018 2018 2018 2018
0
sin cos
d d
2 sin cos sin cos
x x
x x
x x x x
π π
π
= +
+ +
∫ ∫
2018 2018
2
2018 2018
0
sin cos
d d
2 sin cos
x x
x x
x x
π π
π + π π
= = =
+
∫ ∫
Như a=2, b=4 Do P=2a b+ =2.2 4+ =8 Câu 68 Cho tích phân
2
sin cos
xdx I
x
π
α α
=
− +
∫ (với α >1) giá trị I bằng:
A 2 B
2
α
C 2α D
α Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t cosα x α2 t2 cosα x α2 t dt sin dx x
α
= − + ⇒ = − + ⇒ =
Vậy
1
1 1
1 d
t t
I t
t
α
α α α
α α α
+
+ − −
= ∫ = =
Câu 69 Có giá trị tham số m khoảng (0; 6π) thỏa mãn
0
sin
d cos m
x x x =
+
∫ ?
A 6 B 12 C 8 D 4
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có ( )
0
1 sin
d d cos
2 cos cos
m m
x
x x
x x
= = −
+ +
∫ ∫
( )
0
1 1
d cos ln cos
4 cos
m m
x x
x
= − + = − +
+
∫
Mà ( )
0
1 1 cos
5 cos ln cos ln
2 4
m
m
x x +
+ ≥ − > ⇒ = − + = −
2
5 cos cos 9e
ln e cos
9
m m
m
− −
+ + −
⇒ = − ⇔ = ⇔ =
2
9e
arccos
4
m k
− −
⇔ = ± + π (k∈)
Theo đề ( )
( )
( )
2
2
0 9e
arccos 0;
4
2 0;
1 9e
arccos 0;
4
3 k
k k
k m
k
k k
k
−
−
=
−
+ π∈ π ⇒ =
=
∈ π ⇒
=
−
− + π∈ π ⇒ =
=
(107)
Câu 70 Cho
2
cos
d ln ,
sin 5sin
x
x a b
x x c
π
= +
− +
∫ tính tổng S = + +a b c
A S =1 B S =4 C S=3 D S =0
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt t=sinx⇒dt=cos dx x x= ⇒ =0 t 0,
x=π ⇒ =t
2
cos
d
sin 5sin
x
x
x x
π
− +
∫
0
1 dt
5
t t
=
− +
∫
0
1
dt
3
t t
= − − −
∫
1
3 ln
2 t t
− =
−
3 ln ln
2
= − ln4
=
1, b 0,
a c
⇒ = = = ⇒ = + + =S a b c Câu 71 Cho tích phân ( )
2
2
2 cos cos sin
d ln
cos
x x x x x c
I x a b
x x
π
π
π
+ + + −
= = + −
+
∫ với a, b, c số
hữu tỉ Tính giá trị biểu thức
P=ac +b
A P=3 B
4
P= C
2
P= D P=2
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có ( )
2
2 cos cos sin
d cos
x x x x x
I x
x x
π
+ + + −
=
+
∫ ( )
2
0
cos sin
d cos
x x x
x
x x
π
+ + − =
+ ∫
2
1 sin
cos d
cos x
x x x
x x
π
−
= + + +
∫ 2
0
sin ln cos
2 x
x x x
π
= + + +
2
1 ln
8
π π
+ +
= ln
π
π
+
= −
1 a
⇒ = , b=1, c=2 P=ac3+b 1.8
= + =2
47T
Câu 72 Cho 47T
( )
2
2
sin
d ln
cos cos
x
x a b
c
x x
π
= +
− +
∫ 47T, với 47Ta47T, 47Tb47T số hữu tỉ, 47Tc>047T Tính tổng 47T S = + +a b c47T
A S =3 B S =0 C S =1 D S =4
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t=cosx ⇒dt= −sin dx x Đổi cận: x=0⇒ =t 1;
2
x=π ⇒ =t Ta có:
( )
2
2
sin
d
cos cos
x
x
x x
π
− +
∫
1
1 d t t t
= −
− +
∫
0
1
d t
t t
= −
− −
∫
1
3 ln
2 t t
− =
−
3 ln ln
2 = −
ln
(108)Do đó: a c b
= = =
Vậy S= + +a b c =4
Câu 73 Cho ( ) ( )
2
4 cos 2x 3sin 2x ln cosx sinx dx cln a b
π
+ + = −
∫ , a, b, *
c∈ , a
b phân số tối giản Tính T = + +a b c
A T =9 B T = −11 C T =5 D T =7
Hướng dẫn giải
Chọn A
( ) ( )
2
4 cos 3sin ln cos sin d
I x x x x x
π
=∫ + +
( )( ) ( )
2
2 cosx sinx cosx sinx ln cosx sinx dx
π
=∫ + − +
Đặt t=cosx+2 sinx⇒dt= −( sinx+2 cosx)dx Với x=0 t=1
Với
x=π t=2 Suy
2
2 ln d
I =∫ t t t ( )
2
2
ln dt t
=∫ ( )2
1
.ln d
t t t t
= −∫
2
1
4 ln 2 t
= − ln
2 = −
Vậy a b c
= = =
9 T a b c
⇒ = + + =
Câu 74 Biết
3
3
6
3
sin
d
1 x
x c d
a b
x x π
π
π π π
−
= + + +
+ +
∫ với a b c d, , , số nguyên Tính a b c d+ + +
A a b c d+ + + =28 B a b c d+ + + =16. C a b c d+ + + =14. D 22
a b c d+ + + =
Hướng dẫn giải
ChọnA
( 3) ( )
3 3
6
6
6
3 3
1 sin
sin
d d sin d
1
x x x
x
I x x x x x x
x x x x
π π π
π π π
− − −
+ −
= = = + −
+ − + +
∫ ∫ ∫
Đặt t= − ⇒x dt= −dx Đổi cận 3
3
x t
x t
π π
π π
= − ⇒ =
= ⇒ = −
(109)( ) ( )( ) ( ) ( )
3 3
6 6
3 3
1 sin sin sin
I t t t dt t t tdt x x xdx
π π π
π π π
−
− −
= ∫ + + − − = −∫ + + = −∫ + +
Suy ( )
3
3
3
2I 2x sinx dx I x sinxdx
π π
π π
− −
= ∫ − ⇔ = −∫
3
x (+)+sinx
2
3x (–)−cosx 6x (+)−sinx (–) +cosx +sinx
( )
3
3
3
cos sin cos sin
27
I x x x x x x x
π
π π π π
−
= − − + = − − +
Suy ra: a=27,b= −3,c= −2,d =6 Vậy a b c d+ + + =28 Câu 75 Biết
2
2
cos
d
x x
x a
b c
x x π
π
π π
−
= + + + +
∫ với a, b, c, d số nguyên Tính M = − +a b c
A M =35 B M =41 C M = −37 D M = −35
Hướng dẫn giải
Chọn A Ta có
6
2
cos d
x x x x x π
π
− + +
∫
0
cos cos
d d
1
x x x x
x x
x x x x
π
π
−
= +
+ + + +
∫ ∫ = +I J
Xét
0
2
cos d
x x
I x
x x
π −
=
+ +
∫ Đặt t= −x ( )Cm ; Đổi cận: x= ⇒ =0 t 0;
6
x= − ⇒ =π t π
Suy
0
2
cos d
x x
I x
x x
π −
=
+ +
∫ ( )( )2 ( )
6
cos
d
t t
t t t
π
− −
= −
+ − −
∫
0
cos d
t t t t t
π
− =
+ −
∫
0
cos d
x x
x
x x
π
− =
+ −
∫
Khi
2
cos d
x x x x x π
π
− + +
∫ 6
0
cos cos
d d
1
x x x x
x x
x x x x
π π
−
= +
+ − + +
∫ ∫
6
2
0
1
cos d
1
x x x
x x x x
π
= −
+ + + −
∫
0
2x cos dx x
π
= −∫
6
2
cos d
x x x x x π
π
− + +
∫ ( )6
0
2x sinx cosx x sinx π
= − − + 2
36
π π
= + +
− − Khi a=2; b= −36; c= −3
Vậy M = − + =a b c 35
Câu 76 Cho
( )
1
d 2018 f x x= ∫
Tính
( )
12
cos x f sin 2x dx
π
∫
(110)A 1009
I = B I =1009 C I=4036 D I=2018
Hướng dẫn giải
Chọn B
Xét ( )
12
cos sin d
I x f x x
π
= ∫
Đặt u=sin 2x⇒du=2 cos dx x
Đổi cận: x= ⇒ =0 u
12
x= π ⇒ =u
Khi ( ) ( )
1
2
0
1 1
d d 2018 1009
2 2
I = ∫ f u u= ∫ f x x= = Câu 77 Cho f hàm số liên tục thỏa ( )
1
d f x x=
∫ Tính ( )
2
cos sin d
I x f x x
π
=∫
A 1 B 9 C 3 D 7
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t=sinx⇒dt=cos dx x Đổi cận x= ⇒ =0 t 0,
x=π ⇒ =t
Ta có ( ) ( ) ( )
1
2
0 0
cos sin d d d
I x f x x f t t f x x
π
=∫ =∫ =∫ = Câu 78 Cho hàm số f x( ) liên tục ( )
1
d 12 f x x
−
=
∫ , ( )
2 3
2 cos sin d
f x x x
π
π
∫
A −12 B 12 C 6 D −6
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt t=2 cosx⇒dt= −2 sin dx x Đổi cận
( )
2 3
2 cos sin d
f x x x
π
π∫
( )
1
1 d
f t t
−
= −
∫ ( )
1
1
d 2− f t t
= ∫ ( )
1
1
d 2− f x x
= ∫ = Câu 79 Cho hàm số y= f x( ) liên tục thỏa mãn ( )
9
4 f x
dx
x =
∫ ( )
/
sin cos
f x xdx
π
=
∫ Tích phân ( )
3
I =∫ f x dxbằng
A I=2 B I =6 C I =4 D I =10
Hướng dẫn giải
(111)Đặt ( ) ( ) ( )
9 3
1 1
1
2
2
f x
t x dt dx dx f t dt f t dt
x x
= ⇒ = ⇒∫ = ∫ = →∫ =
Đặt ( ) ( )
/
0
sin cos sin cos
t x dt dx f x xdx f t dt
π
= ⇒ = ⇒ ∫ =∫ =
( ) ( ) ( )
3
0
(112)HÀM MŨ – LÔGARIT
Câu 80 Cho
1
d x
I =∫xe− x.Biếtrằng
2 ae b
I = − Khiđó, a b+
A 1 B 0 C 2 D 4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Tacó 2 ( )
1
1
0
1
1 1
d d
0
2 2
x x x e
I =∫xe− x= − ∫e− −x = − e− = − Vì
2 ae b
I = − ⇒ a=1;b=1.Vậy a b+ =2 Câu 81 Nguyên hàm ( )
2
sin
sin e x
f x = x
A sin2x.esin2x−1+C B
2
sin
e sin
x
C x
+
+
+ C
sin
e x+C D
2
sin
e sin
x
C x
−
+ −
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có sin2
sin ex xdx
∫ sin2 ( 2 )
e xd sin x
=∫
sin
e x C
= +
Câu 82 Biếtrằng ( )
1
1
0
3 d , ,
5
x a b
e + x= e + e c a b c+ ∈
∫ Tính
2
b c T = + +a
A T =6 B T =9 C T =10 D T =5. Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt t= 3+ x ⇒ = +t2 3x⇒2 dt t=3dx Đổicận: x= ⇒ =0 t 1, x= ⇒ =1 t
( ) ( ) ( )
1 1 3 2 2 2 2 2
1 1
03 d d 2 2
x t t t t t
e + dx te t te e t te e e e e e e
⇒∫ = ∫ = −∫ = − = − − + =
10
10
a
T b c
=
⇒ = = ⇒ =
nêncâuCđúng
Câu 83 Tích phân
ln12 ln
4 x
I = ∫ e + dx có giá trị là:
A I = −2 ln ln 5+ B I = −2 ln ln 5+ C I = −2 ln ln 5+ D I = −2 ln ln 5−
Hướng dẫn giải
Tích phân
ln12 ln
4 x
I = ∫ e + dx có giá trị là:
Đặt:
2
2
4
4
x x x tdt
t e t e tdt e dx dx
t = + ⇔ = + ⇒ = ⇒ =
− Đổi cận ln
ln12
x x
x x
= ⇒ =
= ⇒ =
4
4
2
3
2
2 ln 2 ln ln
4
t t
I dt t
t t
+
= = − = − +
− −
∫
Chọn B
Câu 84 Tìm tất giá trịdương tham số m cho 500
0 e d e
m x m
x + x= +
(113)A m=2250 2500−2 B m= 21000+1 C m=2250 2500+2. D m= 21000−1
Hướng dẫn giải
Chọn C Ta có
0 e d
m x
x + x
∫
1 e d
m t t t
+
=∫ ( )
1
et et m
t +
= − ( 2 ) 1
1 e m
m +
= + − Theo
0 e d
m x
x + x
∫ 500 1
2 e m+
= ⇔ 500 1
2 e m + =( m2+ −1 e) m2+1 ⇔2500 = m2+ −1
( )2
2 500
1 m
⇔ + = + 1000 501
2
m
⇔ = + 500( 500 )
2 2
= + 250 500
2 2
m
⇒ = + Câu 85 Cho
3
1
0
d
e e e
1
x x
a b c
x
+ = + +
+
∫ Với a, b, c số nguyên Tính S = + +a b c A S =1 B S =2 C S =0 D S =4
Hướng dẫn giải
Chọn C Xét
3
d e
1
x x
I
x
+
=
+
∫ ; đặt d d
2
u x u x
x = + ⇒ =
+ Đổi cận: x= ⇒ =0 u 1; x= ⇒ =3 u
2
e 2du
I u
⇒ =∫ = 2e
u =
2e −2e ⇒ =a 2, b= −2, c=0, S= + + =a b c
Câu 86 Cho tích phân
2
sin
0
sin cos d x
I e x x x
π
=∫ Nếu đổi biến số t=sin2 x thì: A
1
0
1
d d
2
t t
I = e t+ te t
∫ ∫ B
1
0
1
d d
2
t t
I = e t− te t ∫ ∫ C
1
0
2 td td
I = e t+ te t
∫ ∫ D
1
0
2 td td
I = e t− te t ∫ ∫
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có 2 ( )
2
sin sin
0
sin cos d sin sin cos d
x x
I e x x x e x x x x
π π
=∫ =∫ −
Đặt
sin d sin cos d sin cos d d
2 t= x⇒ t = x x x⇒ x x x= t Đổi cận
x
2
π
t 01 Vậy ( )
1 1
0 0
1
1 d d d
2
t t t
I = e −t t= e t− te t
∫ ∫ ∫
Câu 87 Tính
1
d lim
1 n
x x
n x
e
+ →+∞ ∫ +
(114)
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tính
( )
1
d d
1
n n x
x x x
n n
x e x
I
e e e
+ +
= =
+ +
∫ ∫
Đặt t =ex ⇒dt =exdx
Đổi cận: x= ⇒ =n t en, x= + ⇒ =n 1 t en+1 Khi ( ) ( ( )) 1 1
d 1
d ln ln 1 ln
1 1 n n n n n n
e e n
e e
e e
n
t e
I t t t
t t t t e
e + + + + = = − = − + = + + + + ∫ ∫ Suy
1 1
d
lim lim lim ln 1
1
n
n x
x x x
n n x e I e e e + →+∞ →+∞ →+∞ + = = + = − = + + ∫
Câu 88 Tính tích phân
2 2016 d x x I x e − = + ∫
A I=0 B
2018 2017
I = C
2017 2017
I = D
2018 2018
I =
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt x= − ⇒t dx= −dt Đổi cận: Với x= ⇒ = −2 t 2;x= − ⇒ =2 t Khi đó: 2016 2016
2 d d 1 x t x
t x e x
I t e e − − − − = = + +
∫ ∫ , suy
2
2 2017 2018
2016 2 2 d 2017 2017 x
I x x
− −
= ∫ = = 2017
2 2017
I
⇒ =
Câu 89 Cho biết
( ) 2 d x
x e a
x e c b
x+ = +
∫ với a, c số nguyên, b sốnguyên dương a b phân số tối giản Tính a b c− +
A 3 B 0 C 2 D −3
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t= + ⇒ =x dt dx, đổi cận x= ⇒ =0 t 2, x= ⇒ =1 t Ta có ( ) 2 e d x x I x x = + ∫ ( ) 2 2 e d t t t t − −
=∫
2
4
1 e dt t t t
−
= − +
∫ 3
2
2
4
e dt t e dt t t t − − = + − + ∫ ∫ + Tính 2
e dt
I =∫ − t 23
et− e = = − + Tính 2 2 4 e dt
I t t t − = − + ∫
Đặt u du 42 dt
t t
= ⇒ = − , dv=et−2dt⇒ =v et−2 Ta có
3 2
4 e dt t t
−
∫
2 et t − = 2 e dt t t
−
+∫
2
2
4 e dt
I t t t − ⇒ = − + ∫ e = − + Suy 1e
3
(115)Câu 90 Biết tích phân
ln
e
d ln ln
1 e
x
x x= +a b +c + +
∫ , với a, b, c số nguyên Tính T = + +a b c.
A T = −1 B T =0 C T =2 D T =1
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt t= ex+ ⇒ =3 t2 ex+ ⇒3 dt t=e dx x Đổi cận ln
0
x t
x t
= =
⇒
= =
Suy
ln
0
e d
d
1 e
x
x
t t x
t =
+ + +
∫ ∫ ( )3
2
2
2 d 2 ln
1 t t t t
= − = − + +
∫ =(6 ln 4− ) (− −4 ln 3)
2 ln 2 ln
2 a b c
= = − + ⇒ = −
=
Vậy T =0
Câu 91 Giá trị ( ) ( )
3
3
9
cos
2
1
sin e x d
I = ∫ x πx π x gần số sốsau đây: A 0, 046 B 0, 036 C 0, 037 D 0, 038
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt ( )3
cos
u= πx ( )3
du 3πx sin πx dx
⇒ = − ( )3
sin d d
3
x πx x u
π
⇒ = −
Khi
3
1
x= u= Khi
3
9
x= 2 u=
Ta có
2
3
1
e d
u
I u
π
= − ∫
3
2
1
e d
u u
π
= ∫
3
2
1 e
u
π
=
3
2
1
e e 0, 037 3π
= − ≈
Câu 92 Cho ( ) ( )
2
e
d e ln e
e x
x
x x
x a b c
x − +
= + + +
∫ với a, b, c∈ Tính P= +a 2b c−
A P=1 B P= −1 C P=0 D P= −2
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: ( )
2
e d e
x
x
x x
I x
x − + =
+
∫ 1( )
0
1 e e d e
x x
x
x x
x x
+ =
+
∫
Đặt t=xex+1 ⇒dt= +(1 x)e dx x Đổi cận:x= ⇒ =0 t 1; x= ⇒ = +1 t e Khi đó: e
1
1 d t
I t
t
+ −
= ∫ e
1
1 dt
t
+
= −
∫ ( ln )e
1
t t +
(116)Suy ra: a=1, b= −1, c=1 Vậy: P= +a 2b c− = −2 Câu 93 Biết ( )
2
5 e e
d e ln
2 e−
+ + +
= − − + +
∫
x
x
x x a c
x a b
x với a, b, c số nguyên e số logarit tự nhiên Tính S=2a b c+ +
A S =10 B S =0 C S=5 D S =9
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có : ( ) ( )( )
( )
2
1
0
5 e e
d d
2 e e
x x
x x
x x x x
I x x
x − x
+ + + +
= =
+ + + +
∫ ∫
Đặt t=(x+2 e) x⇒dt=(x+3 e d) x x Đổi cận : x= ⇒ =0 t 2, x= ⇒ =1 t 3e
( )
3e 3e
3e
2
d 3e
1 d ln 3e ln
1
+
= = − = − + = − − + +
∫ t t ∫
I t t t
t t
Vậy a=3, b=2, c=1⇒ =S Câu 94
1 3
0
2 e 1 e
d ln
e.2 e ln e
x x
x
x x
x p
m n
π
π π
+ + = + +
+ +
∫ với m, n, p sốnguyên dương Tính tổng S = + +m n p
A S =6 B S =5 C S =7 D S =8
Hướng dẫn giải
Chọn C Ta có
1 3 1
3
0 0
2 e 2
d d d
e.2 e.2 e.2
x x x x
x x x
x x
x x x x J
π
π π π
+ + = + = + = +
+ + +
∫ ∫ ∫
Tính
1
2 d e.2
x x
J x
π
= +
∫ Đặt e.2 e.2 ln 2d d d d e.ln
x x x
t x t x t
π + = ⇒ = ⇔ =
Đổi cận: Khi x=0 t= +π e; x=1 t= +π 2e
1 2e
2e e
0 e
2 1 1 e
d d ln ln
e.2 e ln e ln e ln e
x x
J x t t
t
π
π π π
π π
+
+ + +
= = = = +
+ +
∫ ∫
Khi
1 3
0
2 e 1 e
d ln
e.2 e ln e
x x
x
x x
x
π
π π
+ + = + +
+ +
∫ ⇒ =m 4, n=2, p=1 Vậy S =7
Câu 95 Cho tam thức bậc hai f x( )=ax2+bx c+ , (a b c, , ∈,a≠0) có hai nghiệm thực phân biệt
1,
x x Tính tích phân 2( )
1
2 d
x ax bx c
x
I =∫ ax+b e + + x A. I = −x1 x2 B.
4 x x
I = − C. I =0 D.
2 x x I = −
Hướng dẫn giải
ChọnC
Đặt
t=ax +bx+c⇒dt=(2ax b+ )dx Khi
2
1 1
2
2 2
0
x x t ax bx c
x x t ax bx c
= ⇒ = + + =
= ⇒ = + + =
Do ( )
2
1
0
2 d dt
x
ax bx c t
x
I =∫ ax+b e + + x=∫ e = Câu 96 Với cách đổi biến u= 3ln+ x tích phân
1
ln
d 3ln e
x x x + x
(117)A ( )
2
2
1 d
3∫ u − u B ( )
2
2
1 d
9∫ u − u C ( )
2
2∫ u −1 du D
2
2
d
u
u u
−
∫
Hướng dẫn giải
Chọn B
1 3ln
u= + x
1 3ln
u x
⇒ = + ln
3 u
x −
⇒ = d d
3
x u
u x
⇒ =
Khi
1
ln
d 3ln e
x x x + x
∫
2
1
3 d
3 u
u u u
−
=∫ ( )
2
2
1 d
9 u u
= ∫ − Câu 97 Biết ( )
e
1 ln e
d e ln
1 ln e
x x
x a b x x
+ + = + +
+
∫ a, b sốnguyên Khi tỉ số a b A 1
2 B 1 C 3 D 2
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: ( ) ( )
e e e e
1 1
1 ln ln ln d ln
d d d
1 ln ln ln
x x x x x x x
x x x
x x x x x x
+ + = + + + = + +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
e e
1
e
ln ln e ln e e ln
e
x x x +
= + + = − + + = + Suy a= =b Vậy a
b= Câu 98 Tính tích phân
e
1
1 3ln d x
I x
x
+
=∫ cách đặt t= 3ln+ x, mệnh đềnào sai?
A
1
2
I = t B
2
1
2 d
I = ∫t t C
2
2 d
I = ∫t t D 14 I =
Hướng dẫn giải
Chọn B
e
1
1 3ln d x
I x
x
+
=∫ , đặt t= 3ln+ x
1 3ln
t x
⇒ = + ⇒2 dtt = 3dx x
2 d
dt
⇒ t = x x Đổi cận: x=1⇒ =t 1; x=e⇒ =t
2
2
1
2 dt
=∫ t
I
1
2
= t 14 =
Câu 99 Biết ( )
2
3 ln
d ln ln
x b
x a
x x x c
+
= +
+
∫ với a, b, c số nguyên dương c≤4 Tổng a b c+ + bằng
A 6 B 9 C 7 D 8
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có ( )
2
2
1
1
3
d d
3 ln ln
x x
x x
x x x x x
+ +
=
+ +
∫ ∫ Đặt t=3x+lnx, dt dx x
(118)2 ln
1
1
d d
3 ln
t
x x
x x t
+
+
= +
∫ ∫ ln
3
lnt +
= =ln ln 2( + )−ln ln ln
= +
2 a
⇒ = , b=2, c=3 Vậy tổng a b c+ + =7 Câu 100 Biết
( ) ( )
e
ln
d ln , ,
ln 2
x
I x a b a b Q
x x
= = + ∈
+
∫ . Mệnh đềnào sau đúng?
A a− =b B 2a+ =b C a2+b2 =4 D a+2b=0
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t=lnx+2, suy dt 1dx x
=
Đổi cận: x= ⇒ =1 t
e
x= ⇒ =t Khi đó,
2
2 dt t I
t
−
=∫ ( )3
2
2 ln
t t
= − ln2
3
= + ln3
= −
Vậy a= −2;b=1, nên a+2b=0
Câu 101 Tích phân ( )
2
ln ln 1
e x x
I dx
x
+ +
=∫ có giá trị là: A
3
I = + B
I = + C
I = + D 3 I = −
Hướng dẫn giải
Tích phân ( )
2
ln ln 1
e x x
I dx
x
+ +
=∫ có giá trị là: Ta có:
( )
2
1 1
ln ln 1 2 ln ln 1 ln
e x x e e
x x x
I dx dx dx
x x x
+ + +
=∫ =∫ +∫
Xét
2
1
2 ln ln
e
x x
I dx
x +
=∫
Đặt t ln2x dt lnxdx x = + ⇒ = Đổi cận 1
2
x t
x e t
= ⇒ =
= ⇒ =
2
3
1
2 2
3
I tdt t −
⇒ = = =
∫
Xét 2
1
ln e
x
I dx
x
∫
Đặt t lnx dt 1dx x = ⇒ = Đổi cận
1
x t
x e t
= ⇒ =
= ⇒ =
1
0
1
I dt
⇒ =∫ =
1
4
I I I +
(119)Câu 102 Tích phân ( )
1
ln ln e
I =∫x x+ x dx có giá trị là:
A I = −2e B I = −e C I =e D I =2e
Hướng dẫn giải
Tích phân ( )
ln ln e
I =∫x x+ x dx có giá trị là: Ta biến đổi: ( ) ( )
1
ln ln ln ln
e e
I =∫x x+ x dx=∫x x x+ dx Đặt t=xlnx⇒dt=(lnx+1)dx
Đổi cận x t x e t e
= ⇒ =
= ⇒ =
e I dt e ⇒ =∫ = Chọn C
Câu 103 Biết ( )
3
1
2
0
1
ln ln
2
1 27 27 3
9
x x x x
I dx ae e e
x
+ +
=∫ = + + + − , a là số hữu tỉ Giá trị a là:
A 9 B – C – D 6
Hướng dẫn giải
Biết ( )
3
2
1
1 ln ln
2
1 27 27 3
9
e x x x x
I dx ae e e
x
+ +
=∫ = + + + − Giá trị a là: Ta có:
( )
3
3
1
1
ln ln ln 3 3ln
1
3
e x x x x e x x x x
I dx dx
x x
+ + + +
=∫ = ∫
Đặt t ln3x 3x dt 3ln2x x
= + ⇒ = +
Đổi cận 3
x t
x e t e
= ⇒ =
= ⇒ = +
( ) ( ( ) ) ( )
1 3
3
3
3
2 2
1 3 27 27 3
3
e e
I tdt t e e e e a
+ +
⇒ = ∫ = = + − = + + + − ⇒ =
Chọn A Câu 104 Tích phân
2
2 ln ln
e
x x
I dx
x +
=∫ có gái trị là:
A 2
3
I = − B 2
3
I = + C 2
I = − D 2 I = +
Hướng dẫn giải
Tích phân
2
2 ln ln
e
x x
I dx
x +
=∫ có gái trị là: Ta nhận thấy: (ln2 x ') lnx
x
(120)Đặt t ln2x dt lnxdx x = + ⇒ = Đổi cận 1
2
x t
x e t
= ⇒ =
= ⇒ =
2
2
2
1 1
2 2
3
I = tdx= t = −
∫
Chọn A
Câu 105 Tính ( )
2
1 ln d e
e
x
I x
x
−
= ∫ đượckếtquảlà A 13
3 B
1
3 C
5
3 D
4
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt t lnx dt 1dx x
= ⇔ = Với x= ⇒ =e t 1;
2
x=e ⇒ =t
( )
2
1 ln d e
e
x
I x
x
−
=∫ 2( )2 ( )32 1
1 1
1 d
3 3
t t t
=∫ − = − − = − =
Câu 106 Cho tích phân
1
1 3ln d e
x
I x
x +
=∫ , đặt t= +1 3lnx Khẳng định sau đúng?
A
1
2 d
e
I = ∫t t B
2
2 d
I= ∫t t UC.U
2
2 d
I = ∫t t D
1
2 d
e I = ∫t t
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt 3ln d
3
t x t t dx
x
= + ⇒ = Đổi cận x= ⇒ =e t 2;x= ⇒ =1 t Do 2
1
2 d I = ∫t t
Câu 107 Biết
1
3 ln d
3 e
x a b c x
x
+ −
=
∫ , a, b, c sốnguyên dương c<4 Tính giá trị S= + +a b c
A S =13 B S =28 C S =25 D S =16
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt t= ln+ x dt t dx x
⇒ =
Đổi: Với x= ⇒ =1 t 3; x= ⇒ =e t
1
3 ln d e
x
I x
x
+
⇒ =∫ 2
3
2 t td
= ∫ 32
2 3t
= 16
3 − = 16
a
⇒ = , b=6, c=3⇒ = + +S a b c=25 Câu 108 Cho
( )
e
2
ln
d ln
x
I x
x x
=
+
(121)A 2ab= −1 B 2ab=1 C ln
2
b
a
− + = − D ln
2
b
a − + =
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt lnx+ =2 t ⇔lnx= −t 1dx dt x
⇒ = Đổi cận: x=1 t=2; x=e t=3 Khi 2
2
2 d t
I t
t
−
=∫ 2
2
1 dt t t
= −
∫
3
2 ln t
t
= +
3
ln
2
= −
3 a b
= ⇒
= −
Vậy 2ab= −1
Câu 109 Biết ( )
2
1
d ln ln ln
x
x a b
x x x
+ = +
+
∫ với a, b sốnguyên dương Tính P=a2+b2+ab
A 10 B 8 C 12 D 6
Hướng dẫn giải
Chọn B Ta có
2
1 d ln x
x x x x
+ +
∫ ( )
1
1 d ln x
x x x x
+ =
+
∫
Đặt t= +x lnx dt 1 dx x ⇒ = +
1 d x
x x + = Khi x= ⇒ =1 t 1; x= ⇒ = +2 t ln Khi ln
1
dt I
t
+
= ∫ ln
1
lnt +
= =ln ln 2( + ) Suy 2 a b
= =
Vậy P=8
Câu 110 Cho tích phân ( )
2 ln
ln
ln
e e
x x ae be
I dx c d
x x
+ + +
=∫ = + + Chọn phát biểu đúng nhất: A a= = =b c d B
a b c
d
= = = C A B D A B sai
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
2
2 2
2 2
1 ln ln 1 ln
ln ln
1 1
ln ln
e e
e e
e e e
e e e
x x x x x
I dx dx
x x x x
x dx x dx dx
x x x x x x
+ + + +
= =
= + + = + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Xét
2
2 1
ln
2
e e
e
e
x e e
M x dx x
x
−
= + = + = +
∫
Xét
2
1 ln e e
N dx
x x
=∫ , đặt t=lnx, suy dt 1dx x = Đối cận x= ⇒ =e t x=e2⇒ =t ta
( )
2
1
1 ln ln ln1 ln
dt
N t
t
(122)Vậy
4
1 ln 2
e e
I = − + +
Do a= − = = =b c d Ta chọn phương án B Câu 111 Tính tích phân ( )
( )
2018
0
ln d log e
x
x
I = −+ x
+
∫
A ( 2018)
ln ln
I = + − B 2( 2018)
ln ln
I = + −
C 2( 2018)
ln ln
I = + − D 2( 2018)
ln ln
I = + − −
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có ( )
( )
2018
0
ln d log e
x
x
I = −+ x
+
∫ 2018 ( )
0
2 ln
2 ln d
1 x x
x x
= +
+
∫ 2018 ( ) ( )
0
2 ln 2x d ln 2 x = ∫ + +
Do ( )2018
2
0
ln 2x
I = + =ln 22( + 2018)−ln 22
Câu 112 Cho hàm số y= f x( ) liên tục thỏa mãn ( )
1
ln
d e
f x
x e
x =
∫ Mệnh đềnào sau đúng? A ( )
1
d f x x=
∫ B ( )
1
d
f x x=e
∫ C ( )
0
d e
f x x=
∫ D ( )
0
d
e
f x x=e ∫
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt t lnx dt d x x
= ⇒ = Cận:x= ⇒ =1 t 0;x= ⇒ =e t
( ) ( ) ( )
1 0
ln
d d dx
e
f x
x f t t e f x e
x = = ⇔ =
∫ ∫ ∫
Câu 113 Biết ( )
4
e e
1 ln d
f x x
x =
∫ Tính tích phân ( )
4
d I =∫ f x x
A I =8 B I =16 C I =2 D I =4
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t=lnx dt 1dx x ⇒ =
( )
4
e e
1 ln d
f x x
x
∫ ( )
1
d f t t
=∫ ( )
1
d f x x
=∫ Suy ( )
4
d I =∫ f x x=
x e
e
(123)PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG
Cho hàm số f liên tục có đạo hàm đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số x=ϕ(t) có đạo hàm liên tục đoạn [ ; ]α β (*) cho ϕ α( )=a, ( )ϕ β =b a≤ϕ( )t ≤b với t∈[ ; ].α β Khi đó:
( ) ( ( )) '( ) b
a
f x dx f t t dt
β α
ϕ ϕ =
∫ ∫
Một sốphương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng 2
a −x : đặt | | sin ; ; 2
x= a t t∈ − π π
2 2
x −a : đặt | |; ; \ {0}
sin 2
a
x t
t
π π
= ∈ −
3 2
x +a : | | tan ; ; 2
x= a t t∈ − π π
4 a x
a x
+
−
a x
a x
−
+ : đặt x=a.cos 2t
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt dấu hiệu 1, 2, với x mũ chẵn Ví dụ, để tính tích phân
3 2
0
x dx I
x
=
+
∫ phải đổi biến dạng cịn với tích phân
3
0 1
x dx I
x
=
+
∫ nên đổi biến dạng
Câu 114 Khitính
2
2
4 d ,
I =∫ −x x bằngphépđặt x=2 sin ,t thìđược
A ( )
2
2 cos dt t
π
+
∫ B ( )
2
2 cos dt t
π
−
∫ C
2
4 cos dt t
∫ D
2
2 cos dt t
∫
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt x=2 sint⇒dx=2 cos dt t Đổicận
0
2
2
x t
x t π
= ⇒ = = ⇒ =
Khiđó
2
2
0
4 sin 2cos d cos d
I t t t t t
π π
=∫ − =∫
Câu 115 Biết
1
2
2
4 d
3
x x π a
−
− = +
∫ Khi a bằng:
A B 1 C D 2
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt x=2 sint⇒dx=2 cos dt t
Khi :
1
2
6
4 x dx cos cos dtt t π
π
− −
− =
∫ ∫
6
4 cos dtt π
π
−
= ∫ ( )
6
2 cos dtt π
π
−
= ∫ +
( )6
6
2
2 sin
3
t t
π
π π
−
(124)Câu 116 Cho tích phân
1
2
1
I dx a
x
π
= =
−
∫ ,a b số hữu tỉ Giá trị a là: A 1
2 B
1
3 C
1
4 D
1
Hướng dẫn giải
Cho tích phân
1
2
1
I dx a
x
π
= =
−
∫ Giá trị a là: Ta có:
Đặt sin , ; cos 2
x= t t∈ − π π⇒dx= tdt
Đổi cận
0
1
2
x t
x t π
= ⇒ =
= ⇒ =
6
1
6
I dt a
π
π
=∫ = ⇒ = Chọn D
Câu 117 Giá trị
3
2
9 x dx a bπ
− =
∫ a b, ∈ a
b phân số tối giản Tính giá trị biểu thức T=ab
A T =35 B T =24 C T =12 D T =36
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt x=3sint⇔dx=3cos dt t Đổi cận: 0;
2 x= → =t x= → =t π
( )
2 2
2 2
0 0
1 cos
9 3sin 3cos d = cos d d
2
t
I t t t t t t
π π π
π
+
⇒ =∫ − ∫ =∫ = Vậy T =9.4=36 Câu 118 Đổi biến x=2sint tích phân
1
2
d
x x −
∫ trở thành A
6
d t t π
∫ B
3
d t t π
∫ C
6
dt t
π
∫ D
6
dt
π
∫
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt x=2sint, dx=2 cos dt t Đổi cận
0
1
6
x t
x t π
= ⇒ =
= ⇒ =
1
2
d
x I
x =
−
∫
0
2 cos d 4 sin
t t t
π
= −
∫
0
2 cos d cos
t t t
π
=∫
0
2 cos d cos
t t t
π
=∫
0
dt
π
(125)Câu 119 Biết
2
1
d 6
a b
x
x x
π +
= − + −
∫ a, b sốnguyên dương 4< +a b <5 Tổng a b+
A 5 B 7 C 4 D 6
Hướng dẫn giải
Chọn D Ta có
( )
2
4
1
d d
6 4 3
a b a b
x x
x x x
+ +
=
− + − − −
∫ ∫
Đặt x− =3 sint, ; 2 t∈ − π π
, dx=2 cos dt t Đổi cận x=4
6 t π
⇒ = , x= +a b arcsin
2
a b
t + − m
⇒ = =
2
6
2 cos
d d
4 sin
m m
t
t t
t
π π
= −
∫ ∫ m6 6
tπ m π
= = −
Theo đề ta có m
6
π π
− = arcsin
2
a+ b− π
⇔ = 3
2
a+ b−
⇒ = ⇔ +a b = 3+ Do a=3, b=3, a b+ =6
Câu 120 Tích phân ( )( )
3
1
I =∫ x− −x dx có giá trị là:
A
6
I = −π B
3
I = −π C
6
I = −π D
3 I = −π
Hướng dẫn giải
Tích phân ( )( )
3
1
I =∫ x− −x dx có giá trị là: Ta có:
( )( ) ( )
3 3
2
5 5
2 2
1 3 2
I =∫ x− −x dx=∫ − −x + xdx=∫ − x− dx Đặt sin , ; cos
2
x− = t t∈ − π π⇒dx= tdt
Đổi cận
2
3
2
x t
x t
π π = ⇒ =
= ⇒ =
2 2 2
2
6
6 6
1 cos 1
1 sin cos cos sin
2 2
t
I t tdt tdt dt x t
π π π π
π
π π π
π
+
⇒ = − = = = + = −
∫ ∫ ∫
Chọn C Câu 121 Tích phân
1
2
3
x
I dx
x x + =
+ −
(126)A
I = π − + B
6
I = π − −
C
6
I = π + − D
6
I = π + +
Hướng dẫn giải
Tích phân
1
2
3
x
I dx
x x + =
+ −
∫ có giá trị là:
Ta có: (3 3+ x−x2)'= −3 2x 4+ x= −9 2( − x)
( ) ( )
1 1
2 2
0 0
7 2 2 2
3
3 3
x x
x
I dx dx dx dx
x x x x x x x x
− − −
+
⇒ = = = −
+ − + − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫
Xét
( )
1
1 2 2
0
7
3 4 1
I dx dx
x x x
= =
+ − − −
∫ ∫
Đặt sin , ; cos 2
x− = t t∈ − π π⇒dx= tdt
Đổi cận
1
x t
x t
π
= ⇒ = −
= ⇒ =
0
1 2
6
14 cos 4 sin
t
I dt
t
π
π
−
⇒ = =
−
∫
Xét ( )
1
2 2
0
2 2
x
I dx
x x − =
+ −
∫
Đặt t= +3 2x−x2 ⇒dt=(2 2− x dx) Đổi cận
1
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
( )
4
4
2
3 3
2
4
I dt t
t
⇒ = = = −
∫
1
7
4
I = − =I I π + − Chọn C
Câu 122 Tích phân
1
2
4
x
I dx
x x
−
− =
+ −
∫ có giá trị là:
A
I = π B
6
I = π C
3
I = − π D
6 I = − π
Hướng dẫn giải
Tích phân
7
2
2
4
x
I dx
x x
− =
+ −
∫ có giá trị là: Cách 1:
Ta có:( 2)
(127)( )
7 7
2 2
2 2
1 1
2 2
2
4
5 5
x x
I dx dx dx
x x x x x x
− −
= = −
+ − + − + −
∫ ∫ ∫
Xét
( )
7
2
1 2 2
1
2
5
5
I dx dx
x x x
= =
+ − − −
∫ ∫
Đặt 3sin , ; 3cos 2
x− = t t∈ − π π⇒dx= tdt
Đổi cận
2
1
2
x t
x t
π π = ⇒ =
= ⇒ = −
6
1 2
6
5.3cos 9 sin
t
I dt
t π
π
π −
⇒ = =
−
∫
Xét ( )
7
2 2
1
2
x
I dx
x x
− =
+ −
∫
Đặt t= +5 4x−x2 ⇒dt= −4 2x
Đổi cận 2
1 27
2
0
7 27
2
x t
I
x t
= ⇒ =
⇒ =
= ⇒ =
5
I π
⇒ = Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay Câu 123 Cho
1
2
1
I =∫ − x −x dc=aπ+b với a b, ∈R Giá trị a b+ gần với A
10 B 1 C
1
5 D
Hướng dẫn giải
Đáp án: C
Cũng câu 25, câu 26 câu tích phân địi hỏi khảnăng biến đổi thí sinh Đối với câu này, sử dụng phương pháp đưa vềlượng giác.
Đặt sin , ;
2 x= t t∈ − π π
I viết lại
( )
6 6
2
0 0
1 sin cos cos cos sin cos (cos sin ) cos
I t t tdt t t tdt t t tdt
π π π
=∫ − =∫ − =∫ −
6 6
2
0 0
1
sin cos cos sin (2 ) (cos 1) (2 )
4
t tdt tdt td t t d t
π π π π
−
(128)6
0
cos sin 2
4 12
t t t
I
π π
π
+ −
⇔ = + = +
Suy 0,175
12
π + − ≈
Nhận xét: Hai tốn cách hướng đề để tránh tình trạng sử dụng
máy tính Casio Thí sinh hiểu chất cách làm thực khơng gặp khó khăn nhiều giải tốn
Câu 124 Tích phân
1
1
I dx
x
= +
∫ có giá trị là: A
2
I =π B
3
I =π C
4
I =π D
6 I =π
Hướng dẫn giải
Tích phân
1
1
I dx
x =
+
∫ có giá trị là: Ta có:
1
1
I dx
x
= +
∫ Ta dùng đổi biến số Đặt tan , ; 12
2 cos
x t t dx dt
t
π π
= ∈ − ⇒ =
Đổi cận
0
1
4
x t
x t π
= ⇒ =
= ⇒ =
4
4
0
I dt t
π
π π
⇒ =∫ = = Chọn C
Câu 125 Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn f (tanx)=cos4x, ∀ ∈x Tính ( )
1
d =∫
I f x x
A
π +
B 1 C 2
4
π
+
D
4
π
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt t=tanx Ta có 2
1
1 tan
cos x= + x= +t ( ) ( ) ( )
4
2
2
1
cos
1
⇒ = ⇒ =
+ +
x f t
t t
( )
( )
1
2
0
1
d d
1
= =
+
∫ ∫
I f x x x
x
Đặt tan ,
2
x= u −π < <x π
( )
2
dx tan u du
⇒ = + ; đổi cận: x= ⇒ =0 u 0;
4 x= ⇒ =u π
( )
2
4 4 4
2
2 2
2
0 0
2
1 tan 1 1
du d cos d sin
cos
1 tan
cos u
I u u u u u
u u
u
π π
π
π π
+ +
= = = = + =
+
(129)Câu 126 Cho hàm số f liên tục đoạn [−6;5], có đồ thị gồm hai đoạn thẳng nửa đường tròn hình vẽ Tính giá trị ( )
5
2 d
I f x x
−
= ∫ +
A I =2π+35 B I =2π+34 C I =2π+33 D I =2π +32
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
( )
1
2 2
1 2
2
3
x x
f x x x
x x
+ − ≤ ≤ −
= + − − ≤ ≤
− ≤ ≤
( ) ( )
5 5
6 6
2 d d d
I f x x f x x x
− − −
=∫ + = ∫ + ∫
( )
2
2
6 2
1
2 d d d 22
2x x x x 3x x
−
− −
= + + + − + − +
∫ ∫ ∫
2
2
6
1
2 22 28
4 3
x
x x J x J
−
−
= + + + − + = +
Tính ( )
2
2
1 d
J x x
−
= ∫ + −
Đặt x=2 sint ⇒dx=2 cos dt t Đổi cận: Khi x=2
2
t= −π ; x=2 t=π
( ) ( )
2 2
2
2
2
1 d 4 cos d cos d
J x x t t t t
π π
π π
π
− − −
= ∫ + − = + ∫ = + ∫ + = + Vậy I =32+2π Câu 127 Khi đổi biến x= tant, tích phân
1
d x I
x =
+
∫ trở thành tích phân nào? A
3
3d
I t
π
=∫ B
6
3 d
I t
π
=∫ C
6
3 d
I t t
π
=∫ D
6
1 d
I t
t
π
=∫
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt x= tant ⇒dx= tan( + 2t)dt Khi x=0 t=0; Khi x=1
6 t=π
O x
y
5
−
6
− −1
(130)Ta có
1
d x I
x =
+
∫ = ( )
( )
2
2
3 tan d tan
t t t
π
+ +
∫ =
0
3 d t
π
(131)TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Với P(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau:
BÀI TẬP
DẠNG 1: Câu Tích phân
2
sin , I x axdx a
π
π
=∫ ≠ có giá trị là: A 3
6 I
a
π+ −
= B 3
6 I
a
π + −
= C 3
6 I
a
π+ +
= D 3
6 I
a
π+ +
=
Câu Biết ( )
0
1 x cos dx x
a b
π
π
+ = +
∫ (a b, số nguyên khác ) Tính giá trị ab A ab=32. B ab=2. C ab=4. D ab=12 Câu Tính tích phân
π
2
cos d
I =∫x x x cách đặt
2
d cos d u x
v x x
=
=
Mệnh đềnào đúng?
A
π
2 π
0
1
sin sin d
I = x x −∫x x x B
π
2 π
0
1
sin 2 sin d
I = x x − ∫x x x C
π
2 π
0
1
sin 2 sin d
I = x x + ∫x x x D
π
2 π
0
1
sin sin d
I = x x +∫x x x Câu Biết
2
6
cos sin
I x xdx a b xdx
π π
π π
π
=∫ = + ∫ , a b số hữu tỉ Giá trị a b là: A
12 B
1
24 C
1 12
− D
24
−
Câu Biếtrằng
1
1
cos d ( sin cos )
x x x= a +b +c
∫ với a b c, , ∈.Mệnhđềnàosauđâylàđúng?
A 2a b c+ + = −1 B a+2b c+ =0 C a b c− + =0 D a b c+ + =1 Câu Tính nguyên hàmI (x 2) sin 3xdx (x 2) cos x bsin 3x C
a −
=∫ − = − + + TínhM = +a 27b Chọn đáp án đúng:
A 6 B 14 C 34 D 22
Câu Biết m số thực thỏa mãn ( )
2
2
cos 2
2
x x m dx
π
π π
+ = + −
∫ Mệnh đềnào sau đúng?
A m≤0 B 0< ≤m C 3< ≤m D m>6 Câu Tính tích phân ( )
0
sin
x x x dx a b
π
π π
+ = +
∫ Tính tích ab:
( )
b
x a
P x e dx
∫ b ( ).cos
a
P x xdx
∫ b ( ).sin
a
P x xdx
∫ b ( ) n
a
P x l xdx
∫
u P(x) P(x) P(x) lnx
(132)A 3 B 1
3 C 6 D
2 Câu Tích phân ( )
0
3x cos x xd π
+
∫
A 3
4π −π B
2
3
4π +π C
2
1
4π +π D
2
1
4π −π Câu 10 Cho số hữu tỷdương m thỏa mãn
2
2 cos d
2 m
x mx x π
π− =
∫ Hỏi số m thuộc khoảng khoảng đây?
A 7;
B
1 0;
4
. C
6 1;
5
. D
5 ;
Câu 11 Cho hàm số ( )
2
2
.s ni
x x x
f x
x x x≤
+ ≥
=
Tích tích phân
( )
1
d I f x x
π −
= ∫
A
I = +π B
3
I = +π C
3
I = − + π D 2
5
I = + π Câu 12 Tính ( )
0
1 cos d
x x x
π +
∫ Kết
A
2
2
π −
B
2
3
π +
C
2
3
π −
D
2
2
π +
Câu 13 Tính tích phân
3 cos
x
dx a b
x π
π
= +
∫ Phần nguyên tổng a b+ ?
A 0 B -1 C 1 D -2
Câu 14 Cho
2
2
tan ln
32 x
I x xdx b
a
π π
=∫ = − − tổng a+b
A 4 B 8 C 10 D 6
Câu 15 Tích phân
4 01 cos
x
I dx
x π
= +
∫ có giá trị là: A tan ln cos
4 8
I =π π − π
B I 4tan8 ln cos8
π π π
= +
C tan ln cos
4
I =π π − π
D I tan ln cos8
π π π
= +
Câu 16 Tích phân
4
d ln
1 cos x
x a b
x π
π
= +
+
∫ , với a, b số thực Tính 16a−8b
A 4 B 5 C 2 D 3
Câu 17 Tích phân
4
2 sin 2 cos
x x
I dx
x π
− =
−
(133)A ln ln
2
I = − +π π + +
B
1
2 ln ln
2
I = − +π π + −
C ln ln
2
I = − +π π + −
D
1
2 ln ln
2
I = − +π π + +
Câu 18 Tích phân ( )
3
2
2 cos cos cos
x x x x x
I dx
x π
π
+ +
=∫ có giá trị là: A
4
5
324
I = π + π + −π B
4
5
324 I = π − π + −π C
4
5
324
I = π + π − −π D
4
5
324 I = π + π + +π Câu 19 Cho
2 x π < <
0
tan d a
x x x m=
∫ Tính
2
d cos a
x
I x
x
= ∫ theo a m A I =atana−2m B
tan
I = −a a+m. C
tan
I =a a− m. D
tan
I =a a−m Câu 20 Tính ( )
2
2
sin cos d
x x x x
π +
∫ Kết
A
2 π +
B
2 π −
C
3 π −
D
2 π −
Câu 21 Cho tích phân
2
2 sin
I =∫π x xdx =aπ +b Tính A= −a b Chọn đáp án đúng:
A 7 B 10 C 6 D 2
Câu 22 Với sốnguyên dương n ta kí hiệu ( )
1
2
0
1 nd
n
I =∫x −x x Tính lim n
n n I
I + →+∞
A 1 B 2 C 3 D 5
DẠNG 2:
Câu 23 Cho ( )
0
d
a x
xe x= a∈
∫ Tìm a?
A 0 B 1 C 2 D e
Câu 24 Cho
1
2
0
d x
I =∫xe x=ae +b(a b, số hữu tỷ) Khi tổng a b+
A 0. B 1
4 C 1 D
1 Câu 25 Biết tích phân ( )
1
2 x
x+ e dx= +a b e
∫ , tích ab bằng:
A 1 B −1 C −15 D 20
Câu 26 Biết ( )
1
2 xd
I=∫ x+ e x =ae b+ , với a b, số hữu tỉ Mệnh đề sau mệnh đề
đúng?
A a b− =2 B 3 28
a +b = C ab=3 D a+2b=1
Câu 27 Tìm a cho
.e x
a x
(134)A 1 B 0 C 4 D 2 Câu 28 Cho tích phân ( )( )
1
1 x
I =∫ x+ e − dx Kết tích phân dạng I = −e a Đáp án sau
đây đúng?
A
a= B
4
a= C
5
a= D
3 a= Câu 29 Tính tích phân ( )( )
1
2
0
1
4
x
I =∫ a−x b e+ dx= + e Tính 15 ( ) 12
A= ab a b+ Chọn đáp án đúng:
A 27 B 30 C 16 D 45
Câu 30 Tìm m để
( )
1
1 x mx+ e dx=e
∫
?
A 0 B -1 C 1
2 D 1
Câu 31 Cho ( )
0
2 e d m
x
I =∫ x− x Tập hợp tất giá trị tham số m để I <m khoảng ( )a b; Tính P= −a 3b
A P= −3 B P= −2 C P= −4 D P= −1 Câu 32 Biết tích phân ( )
4
4
1
2
x
x e
dx ae b x
+
= +
+
∫ Tính T =a2−b2
A T =1 B T =2 C
2
T = D
2 T = Câu 33 Cho tích phân
12
1 12
1
1 e d e
c x
x a d
I x x
x b
+
= + − =
∫ , a, b, c, d sốnguyên dương
và phân số a b ,
c
d phân số tối giản Tính bc ad−
A 24 B 1
6 C 12 D 1
DẠNG Câu 34 Cho
e
ln d I =∫x x x
2
.e
a b
c +
= với a, b, c∈ Tính T = + +a b c
A 5 B 3 C 4 D 6
Câu 35 Kết phép tính tích phân ( )
1
ln 2x+1 dx
∫ biểu diễn dạng a.ln 3+b, giá trị tích
ab
A 3 B 3
2 C 1 D
3 − Câu 36 Cho ( )
1
ln x+1 dx= +a lnb
∫ , (a b, ∈) Tính ( 3) b a+
A 25 B 1
7 C 16 D
1 Câu 37 Biết tích phân ( )
2
4x−1 ln dx x=aln 2+b
(135)A 5 B 8 C A(1;−2; 1) D 13 Câu 38 Biết
( )
3
2
3 ln ln ln
d
4
x a b c
x x
+ + −
= +
∫ với a, b, c số nguyên dương Giá trị biểu thức P= + +a b c bằng?
A 46 B 35 C 11 D 48
Câu 39 Giả sử ( ) ( )
2
2x−1 ln dx x=aln 2+b a b, ; ∈
∫ Khi a b+ ?
A 5
2 B 2 C 1 D
3 Câu 40 Tính tíchphân ( )
2 2
1 1 ln d
I =∫ x − x x A ln
9
I = + B ln 2
9
I = + C ln
9
I = − D ln 2
9 I = − Câu 41 Tích phân
1
ln a
I =∫x xdx có giá trị là: A
2
ln
2
a a a
I = + − B
2
ln
2
a a a
I = − −
C
2ln 1
2
a a a
I = + − D
2ln 1
2
a a a
I = − − Câu 42 Kết tích phân 2( ( ))
0 2x+ln x+1 dx=3ln 3+b
∫ Giá trị 3+b là:
A 3 B 4 C 5 D 7
Câu 43 Tính tích phân
2
(4 3).ln ln
I =∫ x+ xdx= a b+ Tính sin( ) a+b π
:
A 1 B -1 C 0 D 1
2 Câu 44 Cho tích phân =∫ − + +
1
3 ln(2 1)
I x x x dx Xác định a biết I b a c= ln − với a,b,c số hữu tỉ
A a=3 B a=-3 C =2
3
a D = −2
3
a
Câu 45 Cho
3
2
3 ln
(ln 1) ln ( 1)
x
I dx a b
x +
= = + +
+
∫ với a,b∈R Tính giá trị biểu thức T =4a+2b
A 4 B 7 C 5 D 6
Câu 46 Cho tích phân Tính
Chọn đáp án đúng:
A B 2 C D 1
Câu 47 Biết
1
ln d e
x
x a e b
x = +
∫ với a b, ∈ Tính P=a b
A P=4 B P= −8 C P= −4 D P=8 Câu 48 Biết ( )
2
2 lnx x+1 dx=a.lnb
∫ , với a b, ∈*, b số nguyên tố Tính 6a+7b A 33 B 25 C 42 D 39
( )
3
2
6
ln sin
ln
cos
x
I dx a b
x π
π π
= = −
∫ A=log 3a+log 6b
(136)Câu 49 Cho ( )
1
0
1 ln ln
ln d
2
a bc c
x x x
x
− +
+ + =
+
∫ với a,b, c∈ Tính T = + +a b c A T =13 B T =15 C T =17 D T =11 Câu 50 Biết ( )
3
ln x −3x+2 dx=aln 5+bln 2+c
∫ , với a b c, , ∈ Tính S =a b c +
A S =60 B S = −23 C S =12 D S = −2 Câu 51 Cho biết tích phân ( ) ( )
1
7
2 ln d ln
I x x x a
b −
=∫ + + = + a, b số ngun
dương Tìm mệnh đềđúng mệnh đề sau:
A a=b B a<b C a>b D a= +b Câu 52 Cho ( )
2
2
ln
d ln
1
x x a
I x
b c
x +
= = −
+
∫
với a, b, m sốnguyên dương phân số tối giản Tính giá trị biểu thức
a b S
c + =
A
3
S = B
6
S = C
2
S = D
3 S = Câu 53 Cho a> > −b Tích phân ln( d)
b
a
I =∫ x+ x biểu thức sau đây? A ( ln) ( 1)b
a
I = x+ x+ − +a b B ( ln) ( 1)b a
I = x+ x+ − +b a C
( 11)
b
a I
x =
+ D ln( 1) 1d
b b a
a x
I x x x
x
= + +
+
∫
Câu 54 Biết
2
e
2 e
1 e e+
d
ln ln
a b c
x
x x
+
− =
∫ , a, b, c số nguyên Giá trị của
2 2
a +b +c bằng
A 5 B 3 C 4 D 9
Câu 55 Biết ( )
3
2
ln 16 d ln ln
2 c
x x + x=a +b +
∫ a b c, , số ngun Tính giá trị
biểu thức T = + +a b c
A T =2 B T = −16 C T = −2 D T =16 Câu 56 Tính tích phân
2
2018
1
1
2019 log d
ln
I = x+ x x
∫
A I =22017 B I =22019 C I =22018 D I =22020 Câu 57 Biết
( )
3
2
3 ln d
x
I x
x + =
+
∫ =a(1 ln 3+ )−bln 2, (a b, ∈) Khi a2+b2 A 2
16
a +b = B 2 16
9
a +b = C 2 25
16
a +b = D 2
4 a +b = Câu 58 Biết
2
ln
d ln
x b
x a
x = +c
∫ (với a số hữu tỉ, b, c sốnguyên dương b
c phân số tối giản) Tính giá trị S=2a+3b c+
(137)Câu 59 Biết ( )
2
ln x+1 dx=aln 3+bln 2+c
∫ với a, b, c số nguyên Tính S = + +a b c A S =0 B S =1 C S =2 D S = −2 Câu 60 Tính tích phân ( ) ( )
5
1 ln d I =∫ x+ x− x? A 10 ln B 10 ln 19
4
+ C 19 10 ln
4 − D
19 10 ln
4
−
Câu 61 Biết
3
ln d ln ln x x x=m +n + p
∫ , m, n, p ∈ Khi số m
A 9
2 B 18 C 9 D
27 Câu 62 Biết ( )
4
2
ln d ln ln
x x + x=a +b +c
∫ , a, b, c số nguyên Giá trị biểu thức T = + +a b c
A T =10 B T =9 C T =8 D T =11
Câu 63 Tích phân ( )
1
2
ln
I =∫ +x −x dx có giá trị là:
A I = ln− + ( 1− ) B I = ln− − ( 1− ) C I = − ln+ + ( 1− ) D I = − ln+ − ( 1− )
Câu 64 Cho tích phân
1
1 ln e
I x xdx ae b
x
= + = +
∫ , a b số hữu tỉ Giá trị 2a−3b là: A 13
2 B
13
4 C
13
− D 13
2 − Câu 65 Tính tích phân
/
2
ln(sin cos ) d cos
x x
x x
π +
∫ , ta kết
A 1ln π
− + B 3ln
4
π −
C 3ln π
− + D 3ln
4 π − − Câu 66 Giảsử
2
2
4 ln
d ln ln x
x a b
x
+ = +
∫ ,với a b, làcácsốhữutỷ.Khiđótổng 4a b+
A 3 B 5 C 7 D 9
Câu 67 Tínhtíchphân
( )
1000
2
2
ln x
I dx
x =
+ ∫ A
1000
1000 1000
ln 2
1000 ln
1 2
I = − +
+ + B
1001
1000 1000
1000 ln 2
ln
1 2
I = − +
+ +
C
1000
1000 1000
ln 2
1000 ln
1 2
I = −
+ + D
1000
1000 1000
1000 ln 2
ln
1 2
I = −
(138)HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: Câu Tích phân
2
sin , I x axdx a
π
π
=∫ ≠ có giá trị là:
A 3 I
a
π + −
= B 3
6 I
a
π + −
= C 3
6 I
a
π+ +
= D 3
6 I
a
π+ +
=
Hướng dẫn giải
Tích phân
2
sin , I x axdx a
π
π
=∫ ≠ có giá trị là:
Đặt 1
sin cos
du dx u x
dv axdx v x
a = =
⇒
= = −
2
2 2
3 3 3
1 1 3
cos cos cos sin
6
I x x xdx x x x
a a a a a
π
π π π
π π π π
π
− − + −
⇒ = + = + =
∫
Chọn A Câu Biết ( )
4
0
1 x cos dx x
a b
π
π
+ = +
∫ (a b, số nguyên khác ) Tính giá trị ab
A ab=32. B ab=2. C ab=4. D ab=12
Hướng dẫn giải
Chọn A
( ) ( )
4 4
0
sin cos 1 cos d
2 4
x x
x x x x
a b
π π
π π
+ = + + = + = +
∫
4; 32
a b ab
⇒ = = ⇒ = Câu Tính tích phân
π
2
cos d
I =∫x x x cách đặt
2
d cos d u x
v x x
=
=
Mệnh đềnào đúng?
A
π
2 π
0
1
sin sin d
I = x x −∫x x x B
π
2 π
0
1
sin 2 sin d
I = x x − ∫x x x C
π
2 π
0
1
sin 2 sin d
I = x x + ∫x x x D
π
2 π
0
1
sin sin d
I = x x +∫x x x
Hướng dẫn giải
Chọn A Ta có:
2
d cos d u x
v x x
=
=
d d
sin 2 u x x
v x
= ⇒ =
Khi đó: π
cos d I =∫x x x
π
2 π
0
1
sin sin d
2x x x x x
= −∫
Câu Biết
2
cos sin
I x xdx a b xdx
π π
π π
π
(139)A
12 B
1
24 C
1 12
− D
24
−
Hướng dẫn giải
Biết
2
6
cos sin
I x xdx a b xdx
π π
π π
π
=∫ = + ∫ Giá trị a b là: Ta có:
2 2 2
6
6 6
1
1 24
cos sin sin sin
1
2 24 12
2 a
a
I x xdx x x xdx xdx
b b
π π π π
π
π π π
π = −
= = − = − − ⇒ ⇒ =
= −
∫ ∫ ∫
Chọn A Câu Biếtrằng
1
1
cos d ( sin cos )
x x x= a +b +c
∫ với a b c, , ∈.Mệnhđềnàosauđâylàđúng?
A 2a b c+ + = −1 B a+2b c+ =0 C a b c− + =0 D a b c+ + =1
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
d d sin d cos d
2 u x u x
x
v x x v
= =
⇒
= =
Khiđó ( )
1
1
0
sin 1
cos d | sin d sin cos
2
x x
x x x= − x x= + −
∫ ∫
Vậy a b c− + =0
Câu Tính nguyên hàmI (x 2) sin 3xdx (x 2) cos x bsin 3x C a
−
=∫ − = − + + TínhM = +a 27b Chọn đáp án đúng:
A 6 B 14 C 34 D 22
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
sin u x
dv xdx = −
=
ta được: cos
3 du dx
x v
=
= −
Do đó:
( cos 3) ( cos 3) 1
cos sin 3;
3 3 9
x x x x
I = − − + ∫ xdx= − − + x+ ⇒ =c a b= ⇒m=
Câu Biết m số thực thỏa mãn ( )
2
2
cos 2
2
x x m dx
π
π π
+ = + −
∫ Mệnh đềnào sau đúng?
A m≤0 B 0< ≤m C 3< ≤m D m>6
Hướng dẫn giải
Chọn D
( )
2 2
0 0
cos cos
x x m dx x xdx mxdx
π π π
+ = +
(140)+)
2
.cos
I x xdx
π =∫
Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =
⇒
= =
Khi 2
0 0
.sin sin
I x x xdx
π π
= −∫ 2
0
.sin cos
x x x
π π
= +
2 π = −
+)
2
2
J mxdx
π
=∫ 2
0
mx π
=
4 m π
=
Suy ( )
2
0
cos
4
x x m dx m
π
π π
+ = + −
∫
Theo giả thiết ta có
2
2
1
4 m 2
π + − =π π + −π
8 m ⇒ = Câu Tính tích phân ( )
0
sin
x x x dx a b
π
π π
+ = +
∫ Tính tích ab:
A 3 B 1
3 C 6 D
2
Hướng dẫn giải
Chọn B
( ) ( )
2
0 0 0
sin cos cos cos
0
3 x
I x dx x xdx x dx xd x x x xdx
π π π π π π π
=∫ +∫ =∫ −∫ = − +∫
3
3
sin
3 x
π
π π 1π π
= + + = +
Câu Tích phân ( )
0
3x cos x xd π
+
∫
A 3
4π −π B
2
3
4π +π C
2
1
4π +π D
2
1
4π −π
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt ( )
0
3 cos d
I x x x
π
=∫ + Ta có:
( )( )
0
1
3 cos d
I x x x
π
= ∫ + + ( ) ( ) ( 2)
0
1
3 d cos d
2 x x x x x I I
π π
= + + + = +
∫ ∫
( )
0
3 d
I x x
π
=∫ + = 2
0
3
2
2x x π
π π
+ = +
( )
0
3 cos d
I x x x
π
=∫ + Dùng tích phân phần
Đặt
d 3d
1 d cos d sin
2
u x
u x
v x x v x
= = +
⇒
=
=
(141)Khi ( )
0
1
3 sin sin d
2
I x x x x
π π
= + − ∫ ( )
0
3
0 cos
4 x
π
= + =
Vậy 2
2
I = π + π= π +π
Câu 10 44TCho số hữu tỷdương m thỏa mãn
2
2 cos d
2 m
x mx x π
π − = ∫
Hỏi số m thuộc khoảng khoảng đây?
44T A 44T
7 ;
44T B 0;
4
. C
6 1;
5
. D
5 ;
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
d d
d cos d sin
u x u x
v mx x v mx
m = =
⇒
=
=
Suy
2
2
0
1
.cos d sin sin d
m m
m x
x mx x mx mx x
m m
π π π
= −
∫ ∫
2 2
0
1
.cos
2
m mx
m m m
π
π π −
= + =
44T Theo giả thiết ta có 12
2 m m
π− π−
= ⇔ = ±
Vì m 44Tsố hữu tỷdương nên
5 ;
6 m= ∈
Câu 11 Cho hàm số
( ) 2
.s ni
x x x
f x
x x x≤
+ ≥
=
Tích tích phân ( )
1
d I f x x
π −
= ∫
A
I = +π B
I = +π C 3
I = − + π D 2
I = + π
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: ( ) ( ) ( )
0
lim lim 0
x→ + f x =x→ − f x = f = nên hàm số liên tục x=0 Do hàm số liên tục
trên đoạn [−π;1] Ta có: ( )
1
d
I f x x
π −
= ∫ ( ) ( ) 1( )
1
0
d d sinxd d
f x x f x x x x x x x I I
π π
− −
= ∫ +∫ = ∫ +∫ + = +
•
0
1 sin d
I x x x
π − = ∫
Đặt
in d dv s x u x
x = =
d d cos u x
v x
= ⇒ = −
( )0
1 cos cos d
I x x π x x
π −
−
= − + ∫ ( )0
in
cos s
x x −π x−π π
= − + =
• ( )
1 2
0
2 d
I =∫ x +x x
1
3
0
2
x x
= +
7
(142)Vậy 1 2 I = + = +I I π Câu 12 Tính ( )
0
1 cos d
x x x
π
+
∫ Kết
A
2
2
π −
B
2
3
π +
C
2
3
π −
D
2
2
π +
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt d d
d (1 cos )d sin
u x u x
v x v v x x
= =
⇒
= + = +
Khi đó: ( )0 ( )
0
sin sin d
I x x x x x x
π π
= + −∫ + 2
0
cos x
x π
π
= − −
2
2
1
2
π π
π
= − + + = −
Câu 13 Tính tích phân
3 cos
x
dx a b
x π
π
= +
∫ Phần nguyên tổng a b+ ?
A 0 B -1 C 1 D -2
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đối với toán này, sử dụng phương pháp nguyên hàm phần
Đặt
2
sin tan
cos cos
u x du dx
dx x
dv v x
x x
= =
⇒
= = =
Áp dụng cơng thức tích phân phần ta có: ( )
3
sin tan
cos
xdx
I x x
x π π
= −∫
( ) ( )
0
cos tan
cos
d x
x x
x π
π
= +∫ ( tan ) ln cos( ) ln
3
0
I x x x
π π π
⇔ = + = −
Suy ; ln
a= b= −
Tổng ln 0,1157969114
a+ =b − ≈ −
Lưu ý khái niệm phần nguyên x số nguyên lớn không vượt x, đáp án
đúng đáp án B
Nhận xét: Bài tốn địi hỏi khả biến đổi thí sính nhắc lại kiến thức khái
niệm phần nguyên, có thí sinh thi tìm kết phân tích lúng túng việc lựa chọn đáp án khơng nhớ rõ khái niệm phần nguyên
Câu 14 Cho
2
2
tan ln
32 x
I x xdx b
a
π π
=∫ = − − tổng a+b
A 4 B 8 C 10 D 6
Hướng dẫn giải
(143)
Đặt
Vậy
Câu 15 Tích phân
4
01 cos
x
I dx
x π
= +
∫ có giá trị là: A tan ln cos
4 8
I =π π − π
B I tan8 ln cos8
π π π
= +
C tan ln cos
4
I =π π − π
D I tan4 ln cos8
π π π
= +
Hướng dẫn giải
Tích phân
4
01 cos
x
I dx
x π
= +
∫ có giá trị là: Ta biến đổi:
4
2
0
1 cos cos
2
x x
I dx I dx
x x
π π
= =
+
∫ ∫
Đặt 2
cos tan
2
u x du dx
x x
dv dx v
= =
⇒
= =
4
4
0
0 cos
8
sin
1 2
2 tan tan tan
2 2 2 cos
2
tan tan ln cos
2 8
x
x x
I x dx dx
x
dt t
π π
π
π
π π
π π π π π
⇒ = − = −
= + = +
∫ ∫
∫
Chọn B Câu 16 Tích phân
4
d ln
1 cos x
x a b
x π
π
= +
+
∫ , với a, b số thực Tính 16a−8b
4 4
2
0 0
2
4 0
1
1
cos cos
2 32
I x dx x dx xdx
x x
xdx
π π π
π
π
π π
= − = −
= =
∫ ∫ ∫
∫
4
1
0
1
cos
I x dx
x π
=∫
2 tan
cos u x
du dx dx
v x
dv
x =
=
⇒
= =
4
4
1
0
tan tan ln cos ln
4
I x x xdx x
π
π
π π π
= −∫ = + = −
2
ln
4 32
(144)A 4 B 5 C 2 D 3
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
d d
d
d tan
1 cos 2
u x u x
x
v v x
x
= =
⇒
= =
+
Ta có
4
1 1 1 1
tan tan d ln cos ln ln ,
2 8 2 8
0
I x x x x x a b
π
π π π π π
= − ∫ = + = + = − ⇒ = = −
Do đó, 16a−8b=4 Câu 17 Tích phân
4
2 sin 2 cos
x x
I dx
x π
− =
−
∫ có giá trị là:
A ln ln
2
I = − +π π + +
B
1
2 ln ln
2
I = − +π π + −
C ln ln
2
I = − +π π + −
D
1
2 ln ln
2
I = − +π π + +
Hướng dẫn giải
Tích phân
2
2 sin 2 cos
x x
I dx
x π
π − =
−
∫ có giá trị là: Ta biến đổi:
4 2
3 3
2 sin sin
2 cos cos cos
x x x x
I dx dx dx
x x x
π π π
π π π
−
= = −
− − −
∫ ∫ ∫
Xét
2
1
2
3
1 cos
sin
x x
I dx dx
x x
π π
π π
= =
−
∫ ∫
Đặt
2
1
2 cot
sin
2 u x
du dx x
dv dx
v x
=
=
⇒
= = −
2
3 3
1
2 cot cot ln
2 2
x x
I x dx
π π
π π
π π
⇒ = − + = − + +
∫
Xét
2
3
1 sin cos
x
I dx
x π
π =
−
∫
Đặt t= −1 cosx⇒dt=sinxdx
Đổi cận
1
3
1
x t
x t
π π = ⇒ =
= ⇒ =
(145)( )1
1
1
1
2
1 1
ln ln
2 2
I dt t
t
⇒ = ∫ = =
1
1
4 ln ln
2
I = − =I I − +π π + −
Chọn C
Câu 18 Tích phân ( )
3
2
2 cos cos cos
x x x x x
I dx
x π
π
+ +
=∫ có giá trị là:
A
4
5
324
I = π + π + −π B
4
5
324 I = π − π + −π C
4
5
324
I = π + π − −π D
4
5
324 I = π + π + +π
Hướng dẫn giải
Tích phân ( )
3
2
2 cos cos cos
x x x x x
I dx
x π
π
+ +
=∫ có giá trị là: Ta có:
( ) ( )
2 2 2
3
6
6 6
2 cos cos 1
2 cos cos
cos
x x x x x
I dx x x dx x xdx x x x xdx
x
π π π π π
π
π π π π
+ +
= = + + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
Xét
2
6
cos I x xdx
π
π
=∫
Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =
⇒
= =
( )2
1
6
3 sin sin
4
I x x xdx
π π π
π
π
⇒ = −∫ = −
4
2
4
1
1
4 324
I x x I
π π
π π π
⇒ = + + = + + −
Chọn A Câu 19 Cho
2 x π < <
0
tan d a
x x x m=
∫ Tính
2
d cos a
x
I x
x
= ∫ theo a m
A I =atana−2m B I = −a2tana+m C I =a2tana−2m. D I =a2tana−m
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
2
d d
1
tan
d d
os u x
u x x
v x
v x
c x
= =
⇒
=
=
(146)2
2
0
0
d tan tan d tan
cos
a a
a x
I x x x x x x a a m
x
= = − = −
∫ ∫
Câu 20 Tính ( )
2
2
sin cos d
x x x x
π +
∫ Kết
A
2
π
+ B
2
π
− C
3
π
− D
2
π
−
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2
2
( sin ) cos d
I x x x x
π
=∫ +
2
2
( cosx x sin xcos )dx x π
=∫ +
1
2
2
2
0
cos d sin cos d
x x x x x x I I
π π
=∫ +∫ = +
Tính I1: Đặt
d cos d u x
v x x
=
⇒ =
d d sin u x
v x
= =
Nên
2
0
cos d
I x x x
π =∫
( ) 2
0
0
sin | sin d cos |
2
x x x x x
π
π π π π
= −∫ = + = −
Tính I2: Đặt u=sin x Ta có du=cos d x x Đổi cận: 0;
x= ⇒ =u x= ⇒ =π u
1
2
2
0
1
1
sin cos d
0
3
I x x x u du u
π
⇒ =∫ =∫ = = Vậy 1 2
2
I = +I I = −π Câu 21 Cho tích phân
2
2 sin
I =∫π x xdx =aπ +b Tính A= −a b Chọn đáp án đúng:
A 7 B 10 C 6 D 2
Hướng dẫn giải
Chọn B
* Đặt u = ⇒t2 du=2tdt; dv=sintdt chọn v= −cost Vậy
0
2 cos cos
I = −t tπ + πt tdt
∫
Đặt u= ⇒t du=dt dv=costdt chọn v=sint
1 0 sin sint 0 sin cost
0
I =∫πt tdt=t π −∫π tdt= π = −
* Do đó: 2
2 cos 2; 10
0
I = −t tπ − = π − ⇒ =a b= − ⇒ =A
(147)Câu 22 Với sốnguyên dương n ta kí hiệu ( )
1
2
0
1 nd
n
I =∫x −x x Tính lim n
n n I
I + →+∞
A 1 B 2 C 3 D 5
Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách1. Tự luận:
Xét ( )
1
2
0
1 nd
n
I =∫x −x x Đặt
( 2)
d nd
u x
v x x x
=
= −
( ( ))
1
d d
n u x
x v
n +
=
⇒ − − =
+
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 1 1
1
2
0
0
1 1 1
1 d d
1 2
n
n n
n
x x
I x x x x
n n n
+
+ +
− −
= + − = −
+ + ∫ + ∫
( ) ( )( )
1
1
2
1
0
1
1 d
2
n n
I x x x
n
+ +
⇒ = − −
+ ∫
( ) ( ) ( )
1
1
2 2
1
0
1
1 d d
2
n n
n
I x x x x x
n
+ +
+
⇒ = − − −
+ ∫ ∫
( ) ( )
1
1
2
2
n n n
I n I I
n
+ +
⇒ = + −
+
1 lim 1
2
n n
n
n n
I n I
I n I
+ +
→+∞
+
⇒ = ⇒ =
+
Cách2. Trắc nghiệm:
Ta thấy 0≤ −(1 x2)≤1 với x∈[ ]0;1 , nên
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1
2 2 2 2
1
0 0
1 n d n d nd n
n
I + =∫x −x + x=∫x −x −x x≤∫x −x x=I , suy 1
n n I
I + ≤
, nên lim n 1
n I
I + ≤
(148)DẠNG 2:
Câu 23 Cho ( )
0
d a
x
xe x= a∈
∫ Tìm a?
A 0 B 1 C 2 D e
Hướng dẫn giải
Chọn B
( ) 0 ( )
0
d 1 1 1
a
a
x x a
xe x= ⇔ x− e = a− e + = ⇔ =a
∫
Câu 24 Cho
1
2
0
d x
I =∫xe x=ae +b( ,a b số hữu tỷ) Khi tổng a b+
A 0. B 1
4 C 1 D
1
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt 2
d xd u x
v e x =
=
ta có
d d
x u x
v e
= =
Vậy
1
2 2 2 2
0
1
1 1 1 1 1
d d
0
2 2 4 4
x x x x
I =∫xe x= xe − ∫e x= e − e = e − e + = e +
Suy
1
1
4 a
a b b
=
⇒ + =
=
Câu 25 Biết tích phân ( )
1
2x+1 e dxx = +a b e
∫ , tích ab bằng:
A 1 B −1 C −15 D 20
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt d 2d
d xd x
u x u x
v e x v e
= + =
⇒
= =
Vậy ( ) ( ) ( )
1
1
0
0
2x+1 e dxx = 2x+1 ex −2 e xxd = 2x−1 ex = +e
∫ ∫
Suy a=1;b= ⇒1 ab=1 Câu 26 Biết ( )
1
2 xd
I=∫ x+ e x =ae b+ , với a b, số hữu tỉ Mệnh đề sau mệnh đề
đúng?
A a b− =2 B 3 28
a +b = C ab=3 D a+2b=1
Hướng dẫn giải
Chọn D
( )
1
2 xd
I=∫ x+ e x ( ) ( )
1
2x d ex
=∫ + ( ) 1
0
2x ex e xxd
= + − ∫ =5e− −3 2e+2= −3e Vậy a=3,b= −1 nên a+2b=1
Câu 27 Tìm a cho .e2 x 4
a x
(149)A 1 B 0 C 4 D 2
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
a x
I =∫x e dx Đặt
2 2.
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
⇒
= =
( )
2 2 2
0
0
2 2 2
a a a
x x a x a
I x e e dx ae e a e
⇒ = − ∫ = − = − +
Theo đề ta có: 4 2( 2) 4 4 2
a
I = ⇔ a− e + = ⇔ =a
Câu 28 Cho tích phân ( )( )
1
1 x
I =∫ x+ e − dx Kết tích phân dạng I = −e a Đáp án sau
đây đúng?
A
a= B
4
a= C
5
a= D
3 a=
Hướng dẫn giải
Chọn A
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
1
0
1
2
0
1
3 3
1 3
3
1
2
x x x
x x
x x
du dx u x
dv e dx v e dx e x
I x e x e x dx
x e x e x e
=
= +
⇒
= − = − = −
⇒ = + − − −
= + − − − = −
∫ ∫
Câu 29 Tính tích phân ( )( )
1
2
0
1
4
x
I =∫ a−x b e+ dx= + e Tính 15 ( ) 12
A= ab a b+ Chọn đáp án đúng:
A 27 B 30 C 16 D 45
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
Câu 30 Tìm m để
( )
1
1 x mx+ e dx=e ∫
?
A 0 B -1 C 1
2 D 1
Hướng dẫn giải
Chọn D
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
0
1
1 1 1 1
1
2 2 4 4
1 1
1 2 4
45
1 1
1
2 4
x x
x
du dx u a x
dv b e dx v bx e
b
I a x bx e ab b a a e e
b ab b a
a
A b
a
= − = −
⇒
= +
= +
= − + = − − + − + − + = +
− − + − =
=
⇒ ⇒ =
=
− + =
(150)Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1
0
0 0
1
0
1 (e ) 1
1 1
x x x x x x
x x
mx e dx mx dx mx e m e d mx mx e m e dx
mx e me m e me m e m
+ = + = + − + = + −
= + − = + − − + = + −
∫ ∫ ∫ ∫
Câu 31 Cho ( )
0
2 e d
m
x
I =∫ x− x Tập hợp tất giá trị tham số m để I <m khoảng ( )a b; Tính P= −a 3b
A P= −3 B P= −2 C P= −4 D P= −1
Hướng dẫn giải
Chọn A
( )
0
2 e d m
x I =∫ x− x
Đặt
2
d 2d
e d e d
2 x x
u x
u x
v x v
=
= −
⇒
= =
( ) ( ) 2
0
2 e
2 e d e d
0
x
m m
x x m x
I =∫ x− x= − −∫ x ( )
2
2
2 e 1
e e e
0
2 2
m
x m m m
m
m −
= + − = − +
( )( )
2 2
e m e m 1 e m 0 I< ⇔m m − + < ⇔m m− − < ⇔ < <m Suy a=0,b= ⇒ −1 a 3b= −3
Câu 32 Biết tích phân ( )
4
4
1
2
x
x e
dx ae b x
+
= +
+
∫ Tính T =a2−b2
A T =1 B T =2 C
2
T = D
2 T =
Hướng dẫn giải
Chọn B Ta có
4
0
1 2
2
2
x x
x x
I e dx e dx
x x
+ +
= =
+ +
∫ ∫ 4
0
1
2
2
x
x e
x e dx dx
x
= + +
+
∫ ∫
Xét
4
0
x e
I dx
x =
+
∫
Đặt
2 x u e
dx dv
x = =
+
( )1
2 1
1 2
2 x
du e dx
x dx
v x
x =
+
⇒ = = = +
+ ∫
Do 4
0
x x
I =e x+ −∫e x+ dx Suy
4
3 e
I = − Khi 3,
2
a= b= −
4
T
⇒ = − =
Câu 33 Cho tích phân
12
1 12
1
1 e d e
c x
x a d
I x x
x b
+
= + − =
∫ , a, b, c, d sốnguyên dương
và phân số a b ,
c
(151)A 24 B 1
6 C 12 D 1
Hướng dẫn giải
Chọn A - Ta có:
12
1 12
1
1 ex x.d
I x x
x +
= + −
∫ = +J K
- Tính
12 1 12
ex x.d J = ∫ + x
Đặt
1
e
d d
x x u
v x
+ = =
1
1
du ex x.dx x
v x
+
= −
⇒
=
12 12
1
1 12 12
1
.ex x ex x.d
J x x x
x
+ +
⇒ = − −
∫
145 145
12 12
12.e e
12 K
= − − 143.e14512
12 K
= −
I J K
⇒ = + 143.e14512
12
=
- Theo giả thiết: e c d a I
b
= với a, b, c, d sốnguyên dương a b ,
c
d phân số tối giản nên 143
12 a
b =
145 12 c
d = ⇒ =a 143, b=12, c=145, d =12 Vậy bc ad− =24
DẠNG Câu 34 Cho
e
ln d I =∫x x x
2
.e
a b
c +
= với a, b, c∈ Tính T = + +a b c
A 5 B 3 C 4 D 6
Hướng dẫn giải
Chọn D Ta có: ln
d d
u x
v x x = =
nên
1
d d
2
u x
x x v = =
e
ln d I = ∫x x x
e e
2
1
1
ln d
2
x
x x x
= − ∫ e2
4 +
=
1 a b c
= ⇒ =
=
Vậy T = + +a b c=6
Câu 35 Kết phép tính tích phân ( )
1
ln 2x+1 dx
∫ biểu diễn dạng a.ln 3+b, giá trị tích ab3
A 3 B 3
2 C 1 D
3 − Hướng dẫn giải
Chọn D
12 12
1
12 12
1
ex x.dx x ex x.dx x
+ +
= + −
(152)Đặt ( )
2
ln d d
2
d d
u x u x
x
v x
v x
= +
=
⇒ +
=
=
Ta có ( ) ( )
1 1
1
0 0
2
ln d ln d ln d
2
x
I x x x x x x
x x
= + = + − = − −
+ +
∫ ∫ ∫
1
1
ln ln ln
2
x x
= − − + = −
Khi 3;
2
a= b= − Vậy 3 ab = − Câu 36 Cho ( )
1
ln x+1 dx= +a lnb
∫ , (a b, ∈) Tính ( 3) b a+
A 25 B 1
7 C 16 D
1
Hướng dẫn giải: Chọn C
Đặt ( )
1
ln d d
1
d d
1
u x u x
x
v x
v x
= +
=
⇒
+
=
= +
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
0
0
1
ln d ln 1 d ln 2 ln 1 ln
1
I x x x x x x x
x
= + = + + − + = − = − = − +
+
∫ ∫
1,
a b
⇒ = − = ⇒(a+3)b =16
Câu 37 Biết tích phân ( )
2
4x−1 ln dx x=aln 2+b
∫ với a, b∈Z Tổng 2a b+ A 5 B 8 C A(1;−2; 1) D 13
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
( )
1
ln d d
d d
u x u x
x
v x x
= ⇒ =
= −
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2
1
1
4x−1 ln dx x=x 2x−1 lnx − 2x−1 dx=6 ln 2− x −x =6 ln 2−
∫ ∫
Vậy 2a b+ =10 Câu 38 Biết
( )
3
2
3 ln ln ln
d
4
x a b c
x x
+ = + −
+
∫ với a, b, c sốnguyên dương Giá trị biểu thức P= + +a b c bằng?
A 46 B 35 C 11 D 48
Hướng dẫn giải
Chọn A Ta có
( ) ( ) ( )
3 3
2
1
1 1
3 ln ln
d ln d d ln
1 1
1
x x
x x x
x x x
x
+ = − + = − + + +
+ + +
+
∫ ∫ ∫
3 3
1
1
3 ln 3 1 ln 1 ln
d d ln
4 4
x
x x
x x x x x
+ − −
= − + + = + − = +
+ + +
(153)3 ln 3 ln 3 ln
ln ln ln ln ln ln ln
4 4
− − −
= + − = + − + = + −
3 3ln ln ln 27 ln16
27 46
4
16 a
b P
c =
+ − + −
= = ⇒ = ⇒ =
=
Câu 39 Giả sử ( ) ( )
2
2x−1 ln dx x=aln 2+b a b, ; ∈
∫ Khi a b+ ?
A 5
2 B 2 C 1 D
3
Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt
( )
1
ln d d
d d
u x u x
x
v x x
v x x
= =
⇒
= −
= −
Ta có ( ) ( ) ( )
2
2
1
1
2x−1 ln dx x= x −x lnx − x−1 dx
∫ ∫
2
1
1 ln 2 ln
2
x x
= − − = −
Khi
2 2;
a= b= − Vậy a b+ = Câu 40 Tính tíchphân ( )
2 2
1 1 ln d
I =∫ x − x x A ln
9
I = + B ln 2
9
I = + C ln
9
I = − D ln 2
9 I = −
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1: ( )
2 2
1 1 ln d
I =∫ x − x x
Đặt
( )
d d ln
d d
3 x u
u x x
v x x x
v x
=
=
⇒
= −
= −
Dođó
2 2 2
3 3
1
1 1
6 ln 2
ln d ln
3 3 9
x x x x
I = −x x − − x= −x x + −x = +
∫
Cách 2:
( ) ( )
2
2 3
2
1 1
2
2
1
1 ln d ln d ln d ln
3 3
2 2 ln
ln d
3 3 9
x x x
x x x x x x x x x
x x
x x
− = − = − − −
+
= − − = − − =
∫ ∫ ∫
∫
Câu 41 Tích phân
1
ln a
(154)A
2
ln
2
a a a
I = + − B
2
ln
2
a a a
I = − −
C
2ln
1
2
a a a
I = + − D
2ln
1
2
a a a
I = − −
Hướng dẫn giải
Tích phân
1
ln a
I =∫x xdx có giá trị là:
Đặt
2
1 ln
2 du dx
u x x
dv xdx x
v = =
⇒
=
=
2
2 2
1
1 1
ln
.ln ln
2 2 4
a a a a
a a
x x x x a
I x dx x −
⇒ = − = − = +
∫
Chọn C
Câu 42 Kết tích phân 2( ( ))
0 2x+ln x+1 dx=3ln 3+b
∫ Giá trị 3+b là:
A 3 B 4 C 5 D 7
Hướng dẫn giải
Chọn C
( )
( )
2
0 ln
I =∫ x+ x+ dx= +A B Tính 2
0
02
A=∫ xdx=x = Tính 2( ( ))
0 ln
B=∫ x+ dx
Xem: u ln(x 1) dv dx
= +
=
ta chọn 11 dx du
x v x
=
+
= + Dùng cơng thức tích phân phần
( )
( ) ( ) ( )
2 2
0
0
1
ln 1 ln 3ln 3ln
1 x
B x dx x x dx x
x +
= + = + + − = − = −
+
∫ ∫
Vậy: 2( ( ))
0 ln 3ln
I =∫ x+ x+ dx= + Câu 43 Tính tích phân
2
(4 3).ln ln
I =∫ x+ xdx= a b+ Tính sin( ) a+b π
:
A 1 B -1 C 0 D 1
2
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
( )
ln
4
2
u x du dx
x
dv x dx
v x x
1
= =
⇒
= +
= + Khi
( ) 22 ( ) ( ) 2( )
2 ln x x 2.2 3.2 ln 2 ln
I x x x dx x dx
x
1
+
= + − = + − + 1− +
1 ∫ ∫
( )2 ( ) ( ) ( )
4 ln x 3x ln 3.2 ln 4 ln = − − + = − − + − + = 1 − − = −
(155)Câu 44 Cho tích phân =∫ − + +
1
3 ln(2 1)
I x x x dx Xác định a biết I b a c= ln − với a,b,c số hữu tỉ
A a=3 B a=-3 C =2
3
a D = −2
3
a
Hướng dẫn giải
Chọn A
=∫1 2− + + =∫1 2− +∫1 + = +
1
0 0
3 ln(2 1) ln(2 1)
I x x x dx x x dx x dx I I
Giải I2 phương pháp phần = + =
ln(2 1)
u x
dv dx
= ln3 1− ⇒ =3
2
I a
Câu 45 Cho
3
2
3 ln
(ln 1) ln ( 1)
x
I dx a b
x +
= = + +
+
∫ với a,b∈R Tính giá trị biểu thức T =4a+2b
A 4 B 7 C 5 D 6
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ởbài tốn máy tính dường không giúp nhiều việc giải toán, toán sử dụng phương pháp tích phân thành phần mức độ vận dung
Đặt
2
3 ln
1 ( 1)
1
dx
u x u
x dx
v x
v x
x x
= +
=
⇔
= −
+ = + =
+ +
Áp dụng cơng thức tính tích phân thành phần
b b
b a
a a
udv=uv − vdu
∫ ∫ ta
3 3
3
1 1
(3 ln ) (3 ln )
ln( 1)
1 1
x x dx x x
I x
x x x
+ +
= − = − +
+ ∫ + +
( ) ( )
3 ln 3
ln ln
4
I = + − − −
3
(ln 1) ln (ln 1) ln
4
= + − = + +
Vậy 3; 4
4
a= b= ⇒ =T a+ b= + =
Nhận xét: Điểm mấu chốt để xử lí nhanh tốn nằm việc đặt 1
1
x v
x x
−
= + =
+ + Một số thí sinh chọn đáp án B làm đến 3(ln 1) ln
4
I = + − không để ý dấu nên suy
;
a= b= dẫn đến kết sai
Câu 46 Cho tích phân ( ) Tính
2
6
ln sin
ln
cos
x
I dx a b
x π
π π
= = −
(156)Chọn đáp án đúng:
A B 2 C D 1
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
chọn
Vậy
Câu 47 Biết
1
ln d e
x
x a e b
x = +
∫ với ,a b∈ Tính P=a b
A P=4 B P= −8 C P= −4 D P=8
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
d ln
d d
d
d
x
u x
u x x
v
v x
x
=
=
→
=
=
Suy
1 1
1
ln d
d ln 2 ln 4
e e
e e e
x x
x x x x x x e
x = − x = − = − +
∫ ∫ ⇒ ab== −42
Vậy P=ab= −8 Câu 48 Biết ( )
2
2 lnx x+1 dx=a.lnb
∫ , với a b, ∈*, b số nguyên tố Tính 6a+7b A 33 B 25 C 42 D 39
Hướng dẫn giải
Chọn D
Xét ( )
2
2 ln d
I =∫ x x+ x=6 Đặt ln( 1) d d
u x
v x x
= +
=
1
d d
1
u x
x v x
=
⇔ +
= −
Ta có ( ) ( )
2 2
0
1
1 ln d
1 x
I x x x
x −
= − + −
+
∫ 2( )
0
3ln x dx
= −∫ −
2
0
3ln 3ln
x x
= − − =
Vậy a=3, b=3⇒6a+7b=39 Câu 49 Cho ( )
1
0
1 ln ln
ln d
2
a bc c
x x x
x
− +
+ + =
+
∫ với a,b, c∈ Tính T = + +a b c
A T =13 B T =15 C T =17 D T =11
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt ln( 2)
d d
u x
v x x
= +
=
1 d
2 u
x x v =
+
⇒
− =
( )
1
1
ln d
2
x x x
x
+ +
+
∫ ( )1 1
0
0
4
ln d d
2 2
x x x
x x x
x
− −
= + − +
+
∫ ∫
− −
( ) cos ln sin
sin x
u x du dx
x
= ⇒ =
2
cos dx dv
x
= v=tanx
( ) ( )
3
3
6
6
ln sin
tan ln sin cos
x
I dx x x x dx
x
π π
π π
π π
(157)( )
( )
1
1 0
3
ln ln 2 ln
2 2
x
x x x
−
= + − − + − +
( )
3
ln ln 2 ln ln
2
−
= + + + − −
14 ln 16 ln
− + +
= Suy ra:
4 a b c
= = =
Vậy T = + + =a b c 13
Câu 50 Biết ( )
3
ln x −3x+2 dx=aln 5+bln 2+c
∫ , với a b c, , ∈ Tính S=a b c +
A S =60 B S = −23 C S=12 D S = −2
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có ( ) ( ) ( )
3
3
3 3
2
2
ln x −3x+2 dx=x.ln x −3x+2 − xd ln x −3x+2
∫ ∫
( )
( ) ( )
2
2
3 3ln 20 ln d
1
x x
x
x x
−
= − −
− +
∫
( )
( )( ) (( )()( ))
3
2
3
3ln 20 ln d 3ln ln d
1 2
x x x x
x x
x x x x
+ − + +
= − − = + −
− + − +
∫ ∫
( )3 3
2 2
2
1
3ln ln d 3ln ln ln ln
1
x x x x
x x
= + − − − = + − − − + +
− +
∫ ln ln
= − −
Suy a=5;b= −4;c= −3 Do S =ab c+ = −23 Câu 51 Cho biết tích phân ( ) ( )
1
7
2 ln d ln
I x x x a
b −
=∫ + + = + a, b số nguyên
dương Tìm mệnh đềđúng mệnh đề sau:
A a=b B a<b C a>b D a= +b
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt ( )
( )
1
d d
ln 1
d d
2
u x
u x x
x
v x x
v x
=
= +
⇒ +
= +
= +
( )
1
2
0
1
2 ln d
2
x x x
I x x x
x
+
= + + −
+
∫
1
5
ln d
2 x x x
= − + −
+
∫
( )
1
0
5
ln 3ln
2 2
x
x x
= − + − +
7 ln
4 −
= +
Suy a=4, b=4 Vậy a=b
Câu 52 17TCho
( )
2
2
ln
d ln
1
x x a
I x
b c
x +
= = −
+
∫
với a, b, m sốnguyên dương phân số tối giản Tính giá trị biểu thức
a b S
c + =
(158)17T A 17T
2
S = 17TB 17T
S = 17TC 17T
S = 17TD 17T S =
Hướng dẫn giải
17T
Chọn B
17T
Tính ( )
2
2
ln d
x x
I x
x + =
+
∫
17T
Đặt ( )
2
ln
d d
x x u x v x
+ =
=
+
1
d d
1 x
x u x
v x +
=
⇒
− =
+
17T
Khi ( )
( )2
2
2
1
1
ln 1
d ln d
1
1
x x x
I x x x x
x x x
x
+ +
= = − + +
+ +
+
∫ ∫ ( )
1
1 1
2 ln d
3 x x
= − + + +∫
( )
1
1
2 ln ln ln
3 x
= − + + + = −
17T
Vậy a=2;b=3;c=6
5 a b S
c +
⇒ = =
Câu 53 Cho a> > −b Tích phân ln( d)
b
a
I =∫ x+ x biểu thức sau đây? A ( ln) ( 1)b
a
I = x+ x+ − +a b B ( ln) ( 1)b a
I = x+ x+ − +b a C
( 11)
b
a I
x =
+ D ln( 1) 1d
b b a
a x
I x x x
x
= + +
+
∫
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt ( )
1
ln d d
1 d d
1
u x u x
x v x
v x
= +
=
⇒
+
=
= +
Do ln( d) b
a
I =∫ x+ x ( ln) ( 1) d ( ln) ( 1) b
b b b
a
a a
a
x x x x x x
= + + −∫ = + + −
( ln) ( 1)b
a
x x b a
= + + − +
Câu 54 Biết
2
e
2 e
1 e e+
d
ln ln
a b c
x
x x
+
− =
∫ , a, b, c số nguyên Giá trị của
2 2
a +b +c bằng
A 5 B 3 C 4 D 9
Hướng dẫn giải
Chọn A Xét tích phân:
2
e e
1 d lnx x
∫
Đặt
ln u
x
= ⇒; d 12 d
ln
u x
x x
= − dv=dx chọn v=x
Khi
2
2 e
e e
2 e
e e
1
d d
ln ln ln
x
x x
x = x + x
∫ ∫
2
e
2 e
1 e 2e
d
ln x lnx x
− +
⇔ − =
(159)Do
1 a b c
= − = =
Vậy 2
5 a +b +c = Câu 55 Biết ( )
3
2
ln 16 d ln ln
2 c
x x + x=a +b +
∫ a b c, , số nguyên Tính giá trị
biểu thức T = + +a b c
A T =2 B T = −16 C T = −2 D T =16
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt ( )
2
ln 16
d d
u x
v x x
= +
=
2
2
d d
16 16
x
u x
x x v =
+
⇒
+ =
Ta có: ( )
3
2
ln 16 d
x x + x
∫ ( ) 3
0 0
16
ln 16 d
2 x
x x x
+
= + −∫ ( ) 3
0
16
ln 16
2
x x
x +
= + −
25 9
ln 25 ln16 25 ln 32 ln
2 2
= − − = − − Do a=25,b= −32,c= −9⇒ = −T 16
Câu 56 Tính tích phân
2
2018
1
1
2019 log d
ln
I = x+ x x
∫
A I =22017 B I =22019 C I =22018 D I =22020
Hướng dẫn giải
Chọn B
2
2018
1
1
2019 log d
ln
I = x+ x x
∫ 2018 2018
2
1
1
2019 log d d
ln
x x x x x
= ∫ + ∫ 2019 1 2
ln
I I
= +
Trong
2
2 2019
2018
1
d
2019 x I =∫x x=
2019
2
2019 −
=
và
2 2018
1
1
log d
I =∫x x x Đặt
2018
log
d d
u x
v x x
=
=
2019
1
d d
.ln 2019
u x
x x v = ⇒
=
Khi
2 2019
1 2
1
1 log
2019 2019.ln x
I = x − I
2019 2019
2
2019 2019.ln 2019
−
= − 2019 2019
2
2
2019 2019 ln −
= −
Vậy I =22019 Câu 57 Biết
( )
3
2
3 ln d
x
I x
x + =
+
∫ =a(1 ln 3+ )−bln 2, (a b, ∈) Khi 2
a +b A 2
16
a +b = B 2 16
9
a +b = C 2 25 16
a +b = D 2
4 a +b =
Hướng dẫn giải
(160)Đặt:
( )2
1
3 ln d d
d 1
1
1
u x u x
x dx
v
v x
x = +
=
⇔
=
+ = −
+
Khi đó:
( )
3 1
3 ln
d
1
x
I x
x x x
+
= − +
+ ∫ +
3
3 ln 3 1 d
4 x x x
+
= − + + −
+
∫
( )3
1
3 ln
ln ln
4 x x
−
= + − +
3 ln
ln ln ln
−
= + − + 3(1 ln 3) ln
4
= + − 2
3
25
16
a
a b b
=
⇒ ⇒ + =
=
Câu 58 Biết
2
ln
d ln
x b
x a
x = +c
∫ (với a số hữu tỉ, b, c sốnguyên dương b
c phân số tối giản) Tính giá trị S=2a+ +3b c
A S =4 B S = −6 C S =6 D S =5
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
2
ln
d d
u x
v x
x =
=
1
d d
1
u x
x v
x = ⇒
= −
Khi đó, ta có:
2
2
2
1
1
ln ln
d d
x x
x x
x x x
=∫ = − +∫
2
1
ln
2 x
= − − 1ln
2
= − +
Từ giả thiết suy
a= − , b=1, c=2 Vậy giá trị S =4
Câu 59 Biết ( )
2
ln x+1 dx=aln 3+bln 2+c
∫ với a, b, c số nguyên Tính S = + +a b c
A S =0 B S =1 C S =2 D S = −2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt ln( 1)
d d
u x
v x
= +
=
1
d d
1
u x
x v x
=
⇒ +
=
Khi đó, ta có: ( ) ( )
1
2
ln d ln d
1
x
x x x x x
x
+ = + −
+
∫ ∫
2
1 ln ln d
1 x x
= − − −
+
∫ ln ln ( ln 1)2
x x
= − − − +
( )
2 ln ln 2 ln ln
= − − − − + =3ln ln 1− − Suy S = + +a b c = − − =3
Câu 60 Tính tích phân ( ) ( )
5
(161)A 10 ln B 10 ln 19
+ C 19 10 ln
4 − D
19 10 ln
4
−
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt ( )
2
1
d d
ln 3
1
d
2
u x
u x x
v x
v x x
=
= −
⇒ −
= +
= +
( )
2
4
1
1 2
ln d
4
2
x x
I x x x x
x +
= + − −
−
∫
5
4
35 9 3
ln
2 3
x x
dx dx
x x
− + − +
= − −
− −
∫ ∫
( )
35
ln ln 3ln
2 2
= − + + − +
19 10 ln
4
= −
Câu 61 Biết
3
ln d ln ln x x x=m +n + p
∫ , m, n, p ∈ Khi số m
A 9
2 B 18 C 9 D
27
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
d d
ln
d d
2
u x
u x
x
v x x v
= =
⇔
=
=
3
ln d x x x
⇒∫ =
3 3
2
2
ln d
2
x x
x −∫ x
3
2
9
ln ln
2
x
= − − 9ln ln 19
2
= − −
9 2
19 m n
p = ⇒ = −
= − Vậy
2 m= Câu 62 Biết ( )
4
2
ln d ln ln
x x + x=a +b +c
∫ , a, b, c số nguyên Giá trị biểu thức T = + +a b c
A T =10 B T =9 C T =8 D T =11
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt ( ) ( )
2
2
2
d d
9 ln
d d
2 x
u x
x
u x
v x x x
v =
= + +
⇔
=
+
=
Suy ( ) ( )
4
4
2
2
0 0
9
ln d ln d
2
x x x
x x x x x
x
+ +
+ = + −
+
∫ ∫ =25 ln ln 8− −
(162)Câu 63 Tích phân ( )
1
2
ln
I =∫ +x −x dx có giá trị là:
A I = ln− + ( 1− ) B I = ln− − ( 1− ) C I = − ln+ + ( 1− ) D I = − ln+ − ( 1− )
Hướng dẫn giải
Tích phân ( )
1
2
ln
I =∫ +x −x dx có giá trị là:
Đặt ( )
2
2
1 ln
1
du dx
u x x
x
dv dx v x
−
= + − =
⇒
+
=
=
( )
( )1
2
2 0
.ln
1 x
I x x x dx
x
⇒ = + − +
+
∫
Xét
1
1 2
0
x
I dx
x =
+
∫
Đặt
1
t=x + ⇒dt= xdx
Đổi cận
1
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
( )
2 2
1
1
1
2
I dt t
t
⇒ = ∫ = = −
( )
( )1 ( )
2
0
.ln ln
I I x x x
⇒ = + + − = − + −
Chọn A
Câu 64 Cho tích phân
1
1 ln e
I x xdx ae b
x
= + = +
∫ , a b số hữu tỉ Giá trị 2a−3b là: A 13
2 B
13
4 C
13
− D 13
2 −
Hướng dẫn giải
Cho tích phân
1
1 ln e
I x xdx ae b
x
= + = +
∫ Giá trị 2a−3b là: Ta có:
1
2
1 1 1
1
ln ln ln ln
2 4
e
e e e e
x x e
I x xdx x xdx xdx x dx dt
x x
= + = + = − + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ , với t=lnx
1 13
,
4 4
a b a b
⇒ = = ⇒ − = −
Chọn C Câu 65 Tính tích phân
/
2
ln(sin cos ) d cos
x x
x x
π +
∫ , ta kết
A 1ln π
− + B 3ln
4
π −
C 3ln π
− + D 3ln
4 π − −
Hướng dẫn giải
Chọn C
(163)Tự luận: ( )
/ / /
2 2
0 0
ln cos (1 tan )
ln(sin cos ) ln(cos ) ln(1 tan )
d d d
cos cos cos cos
x x
x x x x
x x x
x x x x
π + π + π +
= = +
∫ ∫ ∫
/ /
2
0
ln(cos ) ln(1 tan )
d d
cos cos
x x
x x I J
x x
π π +
= ∫ + ∫ = +
Đặt
2
sin
ln cos d d
cos
d d , tan
cos
x
u x u x
x
v x v x
x
= ⇒ = −
= =
( )
/ /
2 4
4
2 0
0
ln(cos )
d tan ln(cos ) tan d tan ln cos tan ln
cos
x
I x x x x x x x x x
x
π π π π π π
= ∫ = + ∫ = + − + = − − +
/
2
ln(1 tan ) d cos
x
J x
x
π +
= ∫ Đặt tan d 12 d cos
t x t x
x
= + ⇒ =
Đổi cận: 1,
x= ⇒ =t x= ⇒ =π t
2
ln d J =∫ t t Đặt
1
lnt d d
d d ,
u u t
t
v t v t
= ⇒ =
= =
( )
2
2 1
ln d ln ln J t t t t t
⇒ =∫ = − = −
Vậy
/
2
ln(sin cos )
d ln
cos
x x
x x
π + π
= − +
∫
Câu 66 Giảsử
2
2
4 ln
d ln ln x
x a b
x
+ = +
∫ ,với a b, làcácsốhữutỷ.Khiđótổng 4a b+
A 3 B 5 C 7 D 9
Hướng dẫn giải
( )
2 2
2
2
1
1 1
4 ln ln 1
d + d ln d ln d ln ln ln ln
x x
x x x x x x x
x x x x
+ = = + = + = +
∫ ∫ ∫ ∫
Chọn D Câu 67 Tínhtíchphân
( )
1000
2
2
ln x
I dx
x =
+ ∫ A
1000
1000 1000
ln 2
1000 ln
1 2
I = − +
+ + B
1001
1000 1000
1000 ln 2
ln
1 2
I = − +
+ +
C
1000
1000 1000
ln 2
1000 ln
1 2
I = −
+ + D
1000
1000 1000
1000 ln 2
ln
1 2
I = −
+ +
Hướng dẫn giải
Tacó
( ) ( )
1000 1000 1000 1000
2 2
2
1 1
ln ln
ln ln
1 1
1
x x
I dx xd d x
x x x
x
= = − = − +
+ + +
+
∫ ∫ ∫
1000 1000
2
1000
1000 1000
1
ln 1 1000 ln 1
1 x xdx x x dx
= − + = − + −
+ ∫ + + ∫ +
( ) 21000 21000 1001
1000 1000 1000 1000
1
1000 ln 1000 ln 1000 ln 2
ln ln ln ln
1 2 1 2
x
x x
x
= − + − + = − + = − +
+ + + + +