Trắc nghiệm vận dụng - vận dụng cao nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Đăng Việt Đồng

Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?. A..[r]

MỤC LỤC

NGUYÊN HÀM

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 10

NGUYÊN HÀM HÀM ẨN 14

TÍCH PHÂN 18

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN 26

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ 31

ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 31

ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 38

TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 38

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 38

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 41

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 43

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 45

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 46

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 47

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 49

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1: 49

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 2: 50

TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 51

TÍCH PHÂN HÀM ẨN 58

GTLN, GTNN, BĐT - TÍCH PHÂN 65

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH 70

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ 83

NGUYÊN HÀM A – KIẾN THỨC CHUNG

1 Định nghĩa

Cho hàm số f x  xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x  gọi nguyên hàm hàm số f x  K F x'  f x  với xK

Kí hiệu: f x dx  F x C Định lí:

1) Nếu F x  nguyên hàm củaf x  K với số C , hàm sốG x F x C nguyên hàm f x  K

2) Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K nguyên hàm f x  K có dạng F x C , với C số

Do F x C C,  họ tất nguyên hàm f x  K 2 Tính chất nguyên hàm

 

f x dx  f x  f x dx'   f x C; df x dx f x dx Nếu F(x) có đạo hàm thì: d F x ( )F x( )C

    

kf x dx k f x dx với k số khác

       

    

 

 f x g x dx f x dx g x dx

Công thức đổi biến số: Cho y  f u  u g x  

Nếu f x dx( ) F x( )C f g x g x dx ( ) '( )  f u du( ) F u( )C 3 Sự tồn nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f x  liên tục K có nguyên hàm K 4 Bảng nguyên hàm hàm sốthường gặp

1 0dx C dx x C

3    





   



x dx 1x C 16    





    



 ax b a ax b c

1

1

dx ,

1

 

 

4  dx   C

x x2

1

17 xdx  x C 2  dx  x C

x

1

ln 18   



axdxb a1lnax b c e dxx ex C

19 eax bdx  eax b C

a

1

7    x

x a

a dx C

a

ln 20

 

 



kx b kx b a

a dx C

k a

1 ln cosxdx  sinx C

21  ax b dx   ax b C

a

1

9 sinxdx  co sx C

22  ax b dx    ax bC

a

1

sin cos

10 tan x dx ln | cos |x C

23. ax b    ax b  C

a

1

tan dx ln cos

11.cot x dx ln | sin |x C

24. ax b   ax b  C

a

1 cot dx ln sin 12  dx  x C

x

2

tan

cos 25  2ax b dx  a ax b C

1

tan cos

13. dx   x C

x

2

cot

sin 26  2ax b dx  a ax b C

1

cot sin

14.1 tan 2x dx tanx C 27           tan2 ax b dx a1tan ax b C 15 1 cot 2x dx  co x Ct 

28.  ax b dx    co ax b  C

a

2

1 cot t

5 Bảng nguyên hàm mở rộng

 



a2 x2 a ax C

dx

arctg  x x x  a x C

a a

2

arcsin dx arcsin 

 

 

a2 x2 a aa xx C

dx

ln

2     

x x

x a x C

a a

2

arccos dx arccos

 

   



 x2 a2 x x2 a2 C

dx

ln  x x x a a x C

a a

2

arctan dx arctan ln

 



 xa C

a2 x2

dx

arcsin  x x x a a x C

a a

2

arc cot dx arc cot ln

 



x x2 a2 a ax C

dx

arccos

 

  



x x a a a xx a C

2

2

dx

ln

 



 



sin ax bdx a1ln tanax b2 C

         

 

ln ax b dx x ab ln ax b x C   

 

 

ax

ax e a bx b bx

e bx C

a2 b2 cos sin cos dx



   

 a x x a x a ax C

2 2

2 dx arcsin

2     

 

ax

ax e a bx b bx

e bx C

a2 b2 sin cos sin dx

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu Tìm giá trị thực a để  

2

ax F x

x

 

 nguyên hàm hàm số    3

4

x f x

x

 

Câu Cho F x ax2bx c  2x1 nguyên hàm hàm số  

2

10 2

x x

f x

x

 



 khoảng 1;

2

 



 

  Tính Sa b c

A S3 B S0 C S  6 D S  2 Câu Cho F x ax2bx c  2x3 nguyên hàm hàm số  

2

20 30

x x

f x

x

 



 khoảng 3;

2

 



 

  Tính Pabc

A P0 B P3 C P4 D P 8 Câu Biết sin cos ln sin cos

sin cos

x x

dx a x x C

x x



  



 Với a số nguyên Tìm a?

A a1 B a2 C a3 D a4

Câu Tìm nguyên hàm của:

2

2

tan

tan

x

x



 



 

 

biết nguyên hàm

x A 12

cos x B

1

sin x C tanx2 D cotx2

Câu Biết

   5

1

25x 20x4 dx a 5x2 C

 Với a số nguyên Tìm a?

A a4 B a100 C a5 D a25 Câu Biết 21 ln

2

x a

dx x C

x x b



  

 

 , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b?

A S4 B S2 C S3 D S5

Câu Biết tan

1 sin

a

dx x C

x b

 

   

  

  , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b?

A S4 B S2 C S3 D S5

Câu Cho   8sin2

12

f x  x  

  Một nguyên hàm

 

F x

f x  thỏa F 0 8 là: A 4 sin

6

x  x 

 



B 4 2sin

6

x  x 

 

 C 4 sin

6

x  x 

 



D 4 2sin

6

x  x 

 

 Câu 10 Biết F x( ) nguyên hàm

 

2

2

5

x x

dx

x x

 



 với 0 x 26

F  

  Giá trị nhỏ ( )

F x là:

A 24 B 20 C 25 D 26

Câu 11 Cho f x  1 x Một nguyên hàm F x  f x  thỏa F 1 1 là: A

1

x  x B

2

2

1

2

x

x x

x

x C x



  

  

   

 

C

2

1

2

x

x C x

x

x C x



  

  

   

 

D

2

1

2

khi

x x C x

x

x C x

   

 

  

 

Câu 12 Cho F x  nguyên hàm hàm số  

3 x

f x e



   ln

3

F   Tập nghiệm S

phương trình    

3F x ln x 3 2 là:

A S  2 . B S   2; 2. C S  1; . D S   2;1

Câu 13 (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Biết F x  nguyên hàm hàm số

 

2

f x x



 , thỏa mãn F 3 1 F 1 2, giá trị F 0 F 4 A 2ln 3 B 2 ln 22 C 2 ln 24 D 2 ln

Câu 14 (Chuyên Vinh Lần 3) Biết xex nguyên hàm f x khoảng  ;  Gọi F x  nguyên hàm f x ex thỏa mãn F 0 1, giá trị F 1

A 7

2 B

5 e 

C 7 e

2 

D 5

2

Câu 15 (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số F x  nguyên hàm hàm số

 

2cos sin

x f x

x



 khoảng 0; Biết giá trị lớn F x  khoảng 0; Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau

A 3

6

F   

B

3

F  

  C F 3

  

     

D 3

6

F   

 

Câu 16 (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Cho F x là nguyên hàm hàm

số   2  x

f x e x  x Hàm số  

F x x có điểm cực trị?

A B C D

Câu 17 (Cụm trường chuyên lần1) Biết F x ax2 bxcexlà nguyên hàm hàm số

   

2 e x

f x  x  x   Giá trị biểu thức f F  0 bằng: A

e 

B 3e C 20e D 9e

Câu 18 (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hai hàm số F x x2 axbe ,x f x x23x4 e x Biết a b, số thực để F x  nguyên hàm f x  Tính S  a b

A S  6 B S12 C S 6 D S 4

Câu 19 (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho F x  nguyên hàm hàm số   4 31 2

2

x f x

x x x

 

  khoảng 0; thỏa mãn   1

2

F  Giá trị biểu thức

 1  2  3 2019

S F F F  F

A 2019

2020 B

2019.2021

2020 C

1 2018

2020 D

2019 2020

Câu 20 (Chuyên Vinh Lần 3)Biết F x  nguyên hàm hàm số f x  x cos2 x x



 Hỏi đồ thị hàm số y F x  có điểm cực trị?

A Vô sốđiểm B C D

Câu 21 (Chuyên Vinh Lần 3)Biết F x  nguyên hàm hàm số   cos 2

f x  x x  Hỏi đồ thị

của hàm số y F x  có điểm cực trị?

A Vơ sốđiểm B 0 C 1 D 2 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ

A – KIẾN THỨC CHUNG 1 Đổi biến dạng

Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x  t Trong  t với đạo hàm (' t hàm số liên tục) ta :

   

 

 

   

 

f x dx( ) f t ' t dt g t dt( ) G t( ) C 1.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn t= x Trong  x hàm số mà ta chọn thích hợp  Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt ' t dt

 Bước 3: Biểu thị :      

 

f x dx( ) f t ' t dt g t dt( )  Bước 4:Khi : I  f x dx( )  g t dt( ) G t( )C 1.2 Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu số có t mẫu số

Hàm số : f x ;  x  t   x

Hàm f x  a inx+b.cosx

c inx+d.cosx+e

.s s

 

   

 

x x

t cos

2

tan ;

2

Hàm  

  



 

f x

x a x b

1 Với : x a  x b 

Đặt : t  x a  x b Với x a  x b  Đặt : t   x a   x b 2 Đổi biến dạng

Nếu : f x dx( ) F x( )C với u  t hàm sốcó đạo hàm : f u du( ) F( ( )) t C 2.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn x  t ,  t hàm số mà ta chọn thích hợp  Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx ' t dt

 Bước 3: Biến đổi :        

 

f x dx( ) f t ' t dt g t dt

Dấu hiệu Cách chọn



a2 x2

Đặt x  a sint; với    

 

t ;

2 x  a cost;

với    

t 0;



x2 a2

Đặt x  a

sint.; với  

 

 

  

 

t ; \

2 

a x

cost với     

 

t 0; \

2



a2 x2

Đặt x  a tant; với     

 

t ;

2 x  a cott

với t0; 

 a x

a x   a x

a x Đặt x acos t2

x a b x    Đặt x a (b a sin t– )



a2 x2

Đặt x atant ; với     

 

t ;

2

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu Cho F(x) nguyên hàm  

2

tan cos cos

x f x

x a x





, biết F 0 0,

F   



Tính

3

F F 

   ?

A 5 B 1 C 3 D 5 Câu (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho  

 

 

 

2017 2019

1 1

d

1

b

c

x x

x C

a

x x

 

 

 

 với

a, b, c số nguyên Giá trị a b c 

A 4.2018 B 2.2018 C 3.2018 D 5.2018

Câu Giả sử  

     

2 d

1

x x

C

x x x x g x



  

   

 (C số)

Tính tổng nghiệm phương trình g x 0

A 1 B C 3 D 3

Câu Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 2;1 thỏa mãn f  0 1  

 2  

f x f x  x  x Giá trị lớn hàm số y f x  đoạn 2;1 A

2 16 B 3

18 C 3

16 D

2 18 Câu Hàm sốnào nguyên hàm hàm số  

2

1

f x

x

 

C F x  1x2 C D  

2

2

x

F x C

x

 



Câu (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) sin cos sin

x x

f x

x

 

 F(0)2 Tính

2

F 

  A 2

2

F 

  B

2

2

F  

  C

4

2

F  

  D

4

2

F    

Câu Biết  

7

2 cos

cos x sin x sin 4xdx x C a

   

 Với a số nguyên Tìm a? A a6 B a12 C a7 D a14 Câu Tìm 12

2

x

R dx

x x

 



 ?

A tan 1ln1 sin 2 sin

t t

R C

t



   

 với

arctan

2

x t    

  B tan 1ln sin

2 sin

t t

R C

t



   

 với

arctan

2

x t   

  C tan 1ln1 sin

2 sin

t t

R C

t



  

 với

arctan

2

x t   

  D tan 1ln1 sin

2 sin

t t

R C

t



  

 với

arctan

2

x t   

 

Câu 12

2

x x dx

x

  

   

 

 

 

 có dạng  

3

4 1

1

4

a b

x x x C

x



     , a b, hai số hữu tỉ Giá trị b a, bằng:

A 2; B 1; C a b,   D 1; Câu 10   

1 x x x cos

x e   e   x dx

 có dạng  12 sin

6

x

a b

e   x C , a b, hai số hữu tỉ Giá trị a b, bằng:

A 3; B 1; C 3; D 6; Câu 11 Tìm  

 

3

1 1 x

x

e x x

I dx

x e x

  



  

 ?

A I xlnex x 1 1C B I xlnex x 1 1C C I lnex x 1 1C D I lnex x 1 1C Câu 12 Tìm nguyên hàm hàm số    

 

2

1

ln 2017 ln

x

x

x x

f x

e x e 

 



 



 

 

?

C 1ln 1 2016 ln ln 1 x    x   

D 1    

ln 1008ln ln 1 x    x   

Câu 13 (Chuyên KHTN)Cho hàm số ( )f x liên tục  có

3

0

( )

f x dx



5

0

( )

f x dx

 Tính

1

1

( )

f x dx



 

A 9

4 B

11

4 C 3 D 6

Câu 14 Tìm  

 

2

2

2 ln ln ln

x x x x

G dx

x x x

  





 ?

A 1

ln

G C

x x x



  

 B

1

ln

G C

x x x

  



C 1

ln

G C

x x x

  

 D

1

ln

G C

x x x

  



Câu 15 Hàm sốnào sau nguyên hàm  

 

1

1 ln ln ln

n n n

x h x

x x x x

 

 ?

A 1ln 1ln n lnn 2016

x x x

n n   B

1

ln ln n lnn 2016

x x x

n n  

C 1ln x 1ln xn lnnx 2016

n n

    D 1ln x 1ln xn lnnx 2016

n n

   

Câu 16 (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho F x  nguyên hàm hàm số  

1 x

f x e



 F 0  ln 2e Tập nghiệm S phương trình F x lnex12 là:

A S  3 B S2;3 C S  2;3 D S   3; 3 Câu 17 Khi tính nguyên hàm

  3

1

2 1

dx x x

 người ta đặt tg x  (một hàm biểu diễn theo biến x) nguyên hàm trở thành 2dt Biết  4

5

g  , giá trị g 0 g 1 là: A 3

2 

B 1 

C 2 

D 2 

Câu 18 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 2;1 thỏa mãn f  0 3

 

 2  

f x f x  x  x Giá trị lớn hàm số y f x  đoạn 2;1 A 2 423 B

2 15 C 3 42 D 3

15

Câu 19 (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số F x  nguyên hàm hàm số   cos2

sin

x f x

x



A 3

F    

B

3

F  

  C F 3

  

     

D 3

6

F   

 

Câu 20 Cho hàm số f x liên tục, không âm đoạn 0; 

 

 

 , th

ỏa mãn f  0  3và

    2 

cos

f x f x  x  f x , 0;

2

x  

   

  Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn

M hàm số f x đoạn ;

6  

 

 

 

A 21

2

m , M 2 B

m , M 3

C

2

m , M  D m 3, M 2

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN A – KIẾN THỨC CHUNG

1 Phương pháp nguyên hàm phần

Nếu u(x) , v(x) hai hàm sốcó đạo hàm liên tục K:

 

u x v x dx( ) '( ) u x v x( ) ( ) v x u x dx( ) '( ) Hay udv uv vdu ( với du u x dx dv’  ,  v x dx’  )

1.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu dạng : I  f x dx( )  f x f x dx1( ) ( )2  Bước 2:Đặt :     

 

 

  

du f x dx

u f x

dv f x v f x dx

1

2

' ( ) ( )

( ) ( )

 Bước 3:Khi : u dv u v v du 2 Các dạng thường gặp

2.1 Dạng

 

 



  

 

 

 

x x

I P x x dx

e

sin

( ) cos Đặt   

 



 

 

   

 



 

 

x

u P x

x

dv x dx

e

( ) sin

cos

 



  

 

  

  



 



 

 

x

u du P x dx

x

v x

e

' '( )

cos sin

Vậy:

x x

I P x x

e

cos ( ) sin

 

 

  

 

 

-

 

 

 

 

 

 x

x

x P x dx

e

cos

sin '( )

2.2 Dạng

I  P x( ).lnxdx Đặt       

u x

dv P x dx

ln

( )

    

  

 

du dx

x

v P x dx Q x

1

( ) ( )

Vậy I lnx Q x Q x dx

x

1 ( )

2.3 Dạng             x x

I e dx

x

sin

cos Đặt

                   x u e x dv dx x sin cos                      x

du e dx

x v x cos sin Vậy I = I ex x

x cos sin            -          

 sincosx x e dxx Bằng phương pháp tương tự ta tính

         

 sincosx x e dxx sau thay vào I

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (ĐH Vinh Lần 1)Tất nguyên hàm hàm số khoảng

A B

C D

Câu 2: Cho   2 cos

x f x

x

 ; 2  

 



 

  F x  nguyên hàm xf x thỏa mãn F 0 0 Biết ;

2

a    

  thỏa mãn tana3 Tính  

2

10

F a  a  a A 1ln10

2

 B 1ln10

4

 C 1ln10

2 D ln10 Câu 3: Cho F x  nguyên hàm hàm số f x e3x F 0 2 Hãy tính F 1

A 6 15 e

 B 4 10

e

 C 15

e  D 10

e Câu 4: Tìm nguyên hàm hàm số f x  xlnx

A    

3

1

d 3ln

9

f x x x x C

 B    

3

2

d 3ln

3

f x x x x C



C    

3

2

d 3ln

9

f x x x x C

 D    

3

2

d 3ln

9

f x x x x C



Câu 5: Tìm

  2 sin cos x dx H

x x x





 ?

A

  tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

  

 B cos  sin cos  tan

x

H x C

x x x x

  



C

  tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x



  

 D cos  sin cos  tan

x

H x C

x x x x



  



Câu 6: 2x x2  1 xlnx dx có dạng  

3

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:

A 3 B 2 C D Không tồn

 

tan

f x x x ;

2            tan ln cos 

2

x

F x x x x  C    

2

tan ln cos

2

x

F x  x x x  C

  tan ln cos 

x

F x x x x  C  

2

tan ln cos

2

x

Câu 7: Biết F x  alnx b c ln 2 x 3

x

 

    

  nguyên hàm hàm số  

 

2

ln 2x

f x

x



 Tính

S   a b c

A S  1 B

S C

3

S D

3

S  Câu 8: (Trần Đại Nghĩa) Cho

  2 ln ln

x x a

I dx b c x     

 với , ,a b c số nguyên dương

phân số phân số tối giản Tính giá trị biểu thức S a b c





A

S B

3

S C

3

S D

2

S

Câu 9: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Họ nguyên hàm hàm số

 

l

2x x n

y

x x

 



A  

2

1 ln

x

x x x

x     C B  

2

1 ln

x

x x x

x     C

C  

2

1 ln

x

x x x

x     C D  

2

1 ln

x

x x x

x     C

Câu 10: Tìm nguyên hàm hàm số  

2 ln x

f x x

x          ? A 2 ln x x x x         

B

4 2 16 ln 4 x x x x                 C 2 ln x x x x         

D

4 2 16 ln 4 x x x x                

Câu 11: (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết

 d cos 2 5

f x x x x C

 Tìm khẳng định khẳng định sau A  f  3x dx3 cos 6x  x5C B  f  3x dx9 cos 6x  x5C

C  f  3x dx9 cos 2x  x5C D  f  3x dx3 cos 2x  x5C

Câu 12: (Ngô Quyền Hà Nội) Cho F x  x2 nguyên hàm hàm số  

x

f x e Khi

 

xd

f x e x



A x22x C B x2 x C C 2x2 2x C D 2x22x C Câu 13: (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Gọi F x  nguyên hàm  hàm số

   

eax

f x x a , cho F F 0

a

 

 

 

  Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau A 0a1 B a 2 C a3 D 1a2

Câu 14: (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số thỏa mãn Tất nguyên hàm

A B

 

f x f x  f x e ,x  x  f  0 2

 

e x

f x

C D

Câu 15: (ĐH Vinh Lần 1)Cho hàm số thỏa mãn Tất nguyên hàm

A B C D

Câu 16: (Chuyên Thái Bình Lần3)Cho f x( ) hàm số liên tục  thỏa mãn

    ,

f x  f x x  x  f  0 1 Tính f  1 A 2

e B

1

e C e D

e

Câu 17: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀĐH VINHL3 -2019 )Biết nguyên hàm

trên khoảng Gọi nguyên hàm thỏa mãn , giá trị

của

A B C D

Câu 18: (Sở Lạng Sơn 2019)Cho hàm số y f x 

Biết hàm số cho thỏa mãn hệ thức f x sinxdx = f x cosxxcosxdx Hỏi hàm số

 

y f x hàm số hàm số sau? A f x  xln B  

ln x

f x 



 C f x xln D   ln

x

f x 



  Câu 19: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho hàm số y f x  có đạo hàm cấp hai 0; thỏa

mãn 2xf x  f x x2 xcos ,x  x 0;;f 40 Giá trị biểu thức f 9 là: A 0 B 3  C   D 2 

Câu 20: (Nguyễn Khuyến)Giả sử F x  nguyên hàm hàm số f x lnx23

x thỏa mãn  2   1 0

F F F 1 F 2 aln 2bln 5, với a, b số hữu tỷ Giá trị 3a6b

A 4 B 5 C 0 D 3

Câu 21: (SỞGD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f x  liên tục có đạo hàm ;

2 

 

 

 , thỏa mãn   tan   cos3

x

f x x f x

x



  Biết

3 ln

3

f   f a b

    a b,  Giá trị biểu thức P a b A 14

9 B

2

 C 7

9 D

4  x1 e xC x1 e xC

 

f x f x 2xf x 2xex2,  x  f  0 1

 

ex

x f x

 2

x  C 1 12

2

x

x  e C  2

1 x

x  e C 1 12 x  C

ex

x f x

 ;  F x  f x ex F 0 1

 1

F 

5 e

 e

2



NGUYÊN HÀM HÀM ẨN Câu 1: Cho hàm số f x( ) xác định \

2      

 thỏa mãn ( ) 2

f x x

 

 , f(0)1 f(1)2 Giá trị biểu thức f( 1)  f(3)

A 4 ln 5 B 2 ln15 C 3 ln15 D ln15 Câu 2: Cho hàm số f x( ) xác định \

3      

 thỏa mãn   ,  0

f x f

x

  



2

f  

  Giá trị biểu thức f 1 f  3

A 3 5ln 2 B  2 5ln C 4 5ln 2 D 2 5ln 2

Câu 3: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số f x  xác định \ 2 thoả

mãn  

x f x

x



 

 , f  0 1 f 42 Giá trị biểu thức f  2  f  3 A 2 B ln C 10 ln 2 D 3 20ln 2 Câu 4: Cho hàm số f x  xác định \2; 2 thỏa mãn   24 ;  3

4

f x f

x

   

 ;

 0

f 

và f  3 2 Tính giá trị biểu thức P f 4  f  1  f 4 A ln

25

P  B P 3 ln C ln5

P  D ln5

3

P 

Câu 5: Cho hàm số f  x xác định \2;1 thỏa mãn   2

f x

x x

 

  ; f3 f  3 0  0

3

f  Giá trị biểu thức f4 f 1 f  4 A 1 1ln

33 B ln 80 C

1 ln ln

3

  D 1 1ln8



Câu 6: Cho hàm số f x xác định \ 1 thỏa mãn   21

f x x

 

 Biết f 3 f  3 0

1

2

2

f   f 

    Giá tr

ị T  f 2 f  0  f  4 bằng: A 1ln5

2

T   B 1ln9

2

T   C 1ln9

2

T   D 1ln9

2

T 

Câu 7: (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số y f x  thỏa mãn

   

'

f x f x x x Biết f  0 2 Tính f2 2 A 2 2 313

15

f  B 2 2 332

15

f  C 2 2 324

15

f  D 2 2 323

15

f 

Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số f x  có đạo hàm \ 0  thỏa mãn

  f x 

f x x

x

   f  1  1 Giá trị

f  

  A

96. B

1

64. C

1

48. D

1 24.

Câu 9: (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn (1)

f  f x( )xf x( ) 2 x33x2 với x0 Giá trị (2)f

Câu 10: Cho hàm số f x  thỏa mãn       

2 4

' " 15 12 , 

f x  f x f x  x  x  x

f  0  f' 0  1 Giá trị   

2

1

f

A 10 B 8 C 5

2 D

9

Câu 11: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội)Cho hàm số y f x  liên tục có đạo hàm đoạn 1;0,

đồng thời thỏa mãn điều kiện

       

3 f x , 1;0

f x  x  x e   x Tính A f  0  f  1 A A 1 B A

e

 C A1 D A0

Câu 12: (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục nhận giá trị dương khoảng thỏa mãn với

Mệnh đềnào sau đúng?

A B C D

Câu 13: (Sở Quảng Ninh Lần1) Biết ln có hai số a b để   4 0

ax b

F x a b

x



  

 nguyên hàm hàm số f x  thỏa mãn 2       

2f x  F x 1 f x Khẳng định

đây đầy đủ nhất?

A a, b B a1,b4 C a1,b 1 D a1,b\ 4  Câu 14: Cho hàm số f  x nhận giá trịdương, có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn  2

15

f 

    2 

2

f x  x f x  Tính f  1  f  2  f  3 A

15 B

11

15 C

11

30 D

7 30 Câu 15: Cho hàm số f  x xác định liên tục  Biết 6   

12 13

f x f x  x f  0 2 Khi

đó phương trình f  x 3 có nghiệm?

A 2 B 3 C 7 D

Câu 16: Cho hàm số f  x xác định  thỏa mãn f x  exex2, f  0 5 ln1

f  

 

Giá trị biểu thức S  f ln 16 f ln 4

A 31

S  B

2

S  C

2

S  D f    0 f 1 Câu 17: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục và thỏa mãn f  x 0,  x  Biết f  0 1

và  

 

'

2

f x

x

f x   Tìm giá trị thực tham số m đểphương trình f  x m có hai nghiệm

thực phân biệt

A m e B 0m1 C 0me D 1me

Câu 18: Cho hàm số f  x liên tục  f  x 0 với x f  x  2x1 f2 x  1 0,

f   Biết tổng f  1 f  2 f  3 f 2017 a

b

     ; a,b với a

b tối

giản Mệnh đềnào đúng?

 

f x ,

0; f  1 1, f x  f ' x 3x1

x

 

A a b  1 B a  2017; 2017 C a

b   D b a 4035

Câu 19: (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x  liên tục , f x 0 với x thỏa mãn  1

2

f   , f  x  2x1 f2 x Biết f  1 f  2 f 2019 a

b

    

với a b, ,a b, 1 Khẳng định sau sai?

A ab2019 B ab2019 C 2ab2022 D b2020

Câu 20: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái)Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục khoảng 0;  , biết     2 

2

f x  x f x  ,  x  2

f  Tính giá trị biểu thức

 1  2 2019

P f  f   f

A 2021

2020 B 2020

2019 C 2019

2020 D 2018 2019 Câu 21: Cho hàm số f  x 0 thỏa mãn điều kiện f '  x  2x3  f2 x  0

2

f   Biết tổng  1  2 2017 2018 a

f f f f

b

     với a,b* a

b phân số tối giản Mệnh đề

nào sau đúng?

A a

b   B

a b 

C a b 1010 D b a 3029

Câu 22: Cho hàm số y  f x ,  x 0, thỏa mãn        

   

2 3

0 0;

f x f x f x xf x

f f

       

  



  

 

Tính f  1 A 2

3 B

3

2 C

6

7 D

7 Câu 23: Giả sử hàm số f x( ) liên tục, dương ; thỏa mãn f  0 1  

 

1

f x x

f x x

 

 Khi hiệu 2 2  1

T  f  f thuộc khoảng

A 2; 3 B 7; 9 C 0;1 D 9;12

Câu 24: (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x 0 với

x, f  0 1 f x  x1.f x với x Mệnh đề đúng?

A f x 2 B 2 f x 4 C f x 6 D 4 f x 6

Câu 25: Giả sử hàm số y f x  liên tục, nhận giá trị dương 0;  thỏa mãn f  1 1,    

f x  f x x , với x0 Mệnh đềnào sau đúng?

A 4 f  5 5 B 2 f  5 3 C 3 f  5 4 D 1 f  5 2

Câu 26: Cho hàm số f x thỏa mãn f x 2 f x f   x 15x412x,  x  f  0  f 0 1 Giá trị f2 1 bằng

A 9

2 B

5

Câu 27: Cho hàm số f x liên tục  thỏa mãn  1d 2 3

f x x

x C

x x

  

 

 

 Nguyên hàm

của hàm số f 2x tập  là: A

 

2

x

C x

 

 B

3

x

C x

 

 C  

2

4

x

C x

 

 D  

2

8

x

C x

 



Câu 28: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2)Cho hàm số ( )f x thỏa mãn (1)f 3và (4x  f x'( )) f x( ) 1 với x0 Tính (2)f

A 6 B 2 C 5 D 3

Câu 29: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai)Cho hàm số y f x  xác định , thỏa mãn f x 0,

x

  f x 2f x 0 Tính f  1 biết f  1 1

A e4 B e3 C e4 D e2

Câu 30: (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết ln có hai số a b để

  4 0

4

ax b

F x a b

x



  

 nguyên hàm hàm số f x  thỏa mãn

       

2

2f x  F x 1 f x Khẳng định đầy đủ nhất?

A a, b B a1,b4 C a1,b 1 D a1,b\ 4  Câu 31: (Thuận Thành Bắc Ninh) Cho hàm số f x( )0;     2 

2

f x  x f x f 1  0, Biết tổng f 1 f 2 f  3 f 2017 a

b

     ; a;b với a

b tối giản Chọn khẳng

định A a

b   B a b 1 C b a 4035 D a b  1

Câu 32: (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN NĂM 2018-2019)Cho hàm số f x  liên tục không âm 0;

2 

 

 

 , thỏa mãn      

2

cos

f x f x  x  f x với 0;

x  

  f  0  Giá trị

f  

 

A 2 B C 2 D 0

Câu 33: (Sở Bắc Ninh) Cho hàm số f x  liên tục R thỏa mãn điều kiện: f  0 2 2,

 0,

f x  x  f x f    x  2x1 1 f2 x ,  x  Khi giá trị f  1

A 26 B 24 C 15 D 23

Câu 34: (THPT YÊN PHONG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f x  liên tục tập  thỏa mãn f x x2 1 2x f x 1 f x  1, f  0 0 Tính f 3

A B C D

Câu 35: (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hàm số f x  liên tục đoạn 0;4 thỏa mãn

     

   

2

2

2

 

 

     



f x

f x f x f x

x

và f x 0 với x0; 4 Biết

 0  0

  

f f , giá trị f  4 A

e B 2e C

e D

1 

Câu 36: (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn

  2    

1 "

xf x  x  f x f x

   

    với x dương Biết f  1  f 1 1 Giá trị  

2

2

f

bằng A 2 

2 ln 2

f   B 2 

2 ln 2

f  

C f2 2 ln 1 D f2 2  ln 1

Câu 37: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số f x  thỏa mãn  

f ' x 2 f x  "f  x 15x4 12 ,x x 

    

f  0  f ' 0  1 Giá trị   

f

A 10 B 8 C 5

2 D

9 TÍCH PHÂN

1 Cơng thức tính tích phân

   

b b

a a

f x dx( ) F x( ) F b( ) F a( )

* Nhận xét:Tích phân hàm số f từađến b kí hiệu  b

a

f x dx( ) hay  b

a

f t dt( ) Tích phân

chỉ phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số 2 Tính chất tích phân

Giả sử cho hai hàm số f x  g x  liên tục K a b c, , , ba số thuộcK Khi ta có :

1  

a

a

f x dx( )

2   

b a

a b

f x dx( ) f x dx( )

3    

b c b

a a c

f x dx( ) f x dx( ) f x dx( )

4      

b b b

a a a

f x( ) g x dx( ) f x dx( ) g x dx( )

5   

b b

a a

kf x dx( ) k f x dx ( )

6 Nếu f(x) 0,   x a b;  :       b

a

f x dx( ) x a b;

Nếu

b b

a a

x a b; : ( )f x g x( ) f x dx( ) g x dx( )

      

Nếu     

x a b; Nếu M  f x( )N        

b

a

M b a f x dx( ) N b a

3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1 Phương pháp đổi biến

Định lí

Nếu hàm số u u x( )đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn  

a b;  cho

 

 

f x dx( ) g u x u x dx( ) '( ) g u du( ) thì:     u b b

a u a

I f x dx g u du

( ) ( )

( ) ( )

1.2 Phương pháp chung

Bước 1:Đặt u u x( )du u x dx'( ) Bước 2:Đổi cận :   

 

x b u u b

x a u u a

( ) ( )

Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo u Vậy:        

u b

b b

a a u a

I f x dx g u x u x dx g u du

( ) ( )

( ) ( ) '( ) ( )

2.1 Phương pháp đổi biến số dạng Định lí

Nếu 1) Hàm x u t( ) có đạo hàm liên tục  ;  2) Hàm hợp f u t( ( )) xác định  

 ; , 3) u( ) a u, ( ) b

Khi đó:

 

   

b

a

I f x dx( ) f u t u t dt( ( )) ( )' 2.2 Phương pháp chung

Bước 1:Đặt x u t 

Bước 2: Tính vi phân hai vế : x u t( )dx u t dt'( ) Đổi cận: 



 



 

x b t

x a t

Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t Vậy:

 

 

 

       

b

a

I f x dx( ) f u t u t dt( ) '( ) g t dt( )   



G t( ) G( )G( ) 2 Phương pháp tích phân phần

Định lí

Nếu u x  v x  hàm sốcó đạo hàm liên tục   a b;  thì:    

b b

a a

b

u x v x dx u x v x v x u x dx

a

' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hay  b

a

udv uvb a 

b

a vdu 2.1 Phương pháp chung

Bước 1: Viết f x dx  dạng udv uv dx' cách chọn phần thích hợp f x  làm  

u x phần lại dv v x dx'( )

Bước 2: Tính du u dx' v  dv  v x dx'( ) Bước 3: Tính 

b

a

* Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần

Đặt u theo thứ tựưu tiên:

Lốc-đa-mũ-lượng 

b

x

a

P x e dx( ) 

b

a

P x( )lnxdx  b

a

P x( )cosxdx  b

x

a

e cosxdx

u P(x) lnx P(x) x

e

dv e dxx P(x)dx cosxdx cosxdx

Chú ý: Nên chọn u phần f x  mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv v dx' phần  

f x dx vi phân hàm sốđã biết có nguyên hàm dễ tìm 3 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐSƠ CẤP CƠ BẢN

3.1 Tích phân hàm hữu tỉ Dạng

I =



 

  

  

 

ax bdx a ax b1 adx a1lnax b (với a≠0)

Chú ý: Nếu I =

 

 

 

  

   

 

 k  k k

dx

ax b adx ax b

a a k

ax b

1

1

( ) ( )

(1 )

( )

Dạng

 

 

 

   dx

I a

ax2 bx c (ax bx c 

0 với  

 

x ; )

Xét  b2 4ac

Nếu   0thì x    b x    b

a a

1 2 ; 2

 

    

    

  a x x x x a x x x x x x 

ax2 bx c

1 2

1 1 1

( )( ) ( ) :

I dx x x x x

a x x x x x x a x x

x x

a x x x x

1

1 2

1

1 2

1 1

ln ln

( ) ( )

1 ln

( )



  

 

 

 

         

     

 

 



Nếu       

    

b x

a

ax2 bx c a x x

0

1

2

( )

thì I =

 

 

 

  



  

ax2 dxbx c a  x dxx a x x 0

1

( )

( )

Nếu  0thì

 

 

 

 

   

  

     

   

  

 

 

 

 dx  dx

I

ax bx c b

a x

a a

2 2

2

2

Đặt x  b   t dx    t dt

a a a

2

2

1

tan tan

2

 

 



 

   mx n

I dx a

ax2 bx c ,

(trong  

 

mx n

f x

ax2 bx c

( ) liên tục đoạn    ; )

Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho:     

     

mx n A ax bx c B

ax bx c ax bx c ax bx c

2

2 2

( )' 

 

   

A ax b B

ax2 bx c ax2 bx c

(2 )

Ta có I=

 



 

 

 

 

       

mx n A ax b B

dx dx dx

ax2 bx c ax2 bx c ax2 bx c

(2 )

Tích phân

 

    axA ax b2 bx cdx

(2 )

= 



 

Alnax2 bx c

Tích phân



  

dx

ax2 bx c thuộc dạng Dạng

  b

a P x

I dx

Q x

( )

( ) với P x  Q x  đa thức x

Nếu bậc P x  lớn bậc Q x  dùng phép chia đa thức Nếu bậc P x  nhỏhơn bậc Q x  xét trường hợp:

Khi Q x  có nghiệm đơn  1, , ,2 nthì đặt

  

   

  

n n

A A A

P x

Q x x x x

1

1

( )

( )

Khi Q x có nghiệm đơn vơ nghiệm

  

       

Q x( ) x x2 px q , p2 4q 0

đặt





 

  

P x A Bx C

Q x x x2 px q

( )

( )

Khi Q x có nghiệm bội

 

  

Q x( ) (x )(x )2

với    đặt

 

  

  

  

A

P x B C

Q x x x x

( )

( )

 

  

Q x x x

( ) ( ) ( ) với    đặt

 

           

    

P x A B C D E

x x

x x x x x

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3.2 Tích phân hàm vơ tỉ 

b

a

a x R x

a x

,

  

 

  

  Đặt x acos t t2 , 0;

2



   



 



 

R x a, x2

 Đặt x  a sint x  a cost n ax b

R x

cx d

,

  

 

  

  Đặt n ax b d t

cx   

 

 

R x f x

ax b x2 x

1 ,

( )   



  

Với x2 x '  k x ba  

Đặt t  x2 x  , Đặt t

ax b

1 



 

R x a2 x2

,  Đặt x  a tant, t ;

2

 

 

  

 

 

R x x2 a2

, 

Đặt

x a

x

cos



, t [0; ]\

2

      

  n n ni 

R 1x 2x x

; ; ; Gọi kBSCNN n n 1; 2; ;ni Đặt xtk Dạng

 

 

  

I dx a

ax2 bx c

1

0

 

Từ :



 

    



 

         



   

  

  2

b

x u

b a

f(x)=ax bx c a x du dx

a a

K a

2

2

2

2 Khi ta có :

Nếu   a   f x a u k  f x  a u k

2 2

0, ( ) ( )

(1)

Nếu :

 

  

        

  

  

 a b

f x a x b

f x a x a u

a

a

2

0 ( )

( )

2

2

(2) Nếu :  

Với a0 : f x( )a x x1x x2  f x( )  a x x1x x2 (3) Với a0 : f x( ) a x 1 x x 2 x  f x( )  a x1 x x 2 x(4)

Căn vào phân tích , ta có số cách giải sau : Phương pháp :

Khi đặt : ax2 bxc t a x

 

 

 

 



     

 

   

      

 

   



 

t c

x dx tdt

b a

bx c t ax b a

x t t x t t t c

t a x t a

b a

2

2

0

2 ;

2

2

,

2 * Trường hợp :

 

  

        

  

  

 a b

f x a x b

f x a x a u

a

a

2

0 ( )

( )

2

2

Khi :

 

 

 

 

  

  

  

  

   

 



       

  



 

b b

x x

a a

a

I dx dx

b a b b b

a x x x x

a a a a a

1

ln :

2

1 1

1

ln :

2 2

* Trường hợp :   0,a 0 Đặt :     

 

  

     

 

2 x x t

ax bx c a x x x x

x x t

1

1

2

* Trường hợp :  0,a 0 Đặt :     

 

  

     

 

2 x x t

ax bx c a x x x x

x x t

1

1

2 Dạng

 



 

   mx n

I dx a

ax2 bx c

 

Phương pháp : Bước 1:

Phân tích    

  

  

     

2

2 2 2

Ad ax bx c

mx n B

f x

ax bx c ax bx c ax bx c

( )

Bước 2:

Quy đồng mẫu số, sau đồng hệ số hai tử sốđể suy hệ hai ẩn số A B, Bước 3:

Giải hệ tìm A B, thay vào (1) Bước :

Tính  2 

2

I A ax bx c B dx

ax bx c

1

 

 

   

 

 (2)

Trong  

 



 

 dx a

ax2 bx c

1

0 biết cách tính trên Dạng

   

 

 

  



I dx a

mx n ax2 bx c

1

0

Phân tích :

       

  

 

 

2

2 n

mx n ax bx c m x ax bx c

m

1

(1)

Bước 2:

Đặt :

  

    

  

 

  

   

   

             



   



2

n

y t dy dx

x t m x t

n x

y m

x t ax bx c a t b t c

y y y

2

1

1

1 1

Bước 3:

Thay tất vào (1) I có dạng :

 

 

 

 dy

I

Ly My N

' '

Tích phân biết cách tính Dạng

 

 

 

 

 

  

 

 

  

 

  m x

I R x y dx R x dx

x

; ;

( Trong : R x y ;  hàm số hữu tỷđối với hai biến số x,y    , , , sốđã biết ) Phương pháp :

Bước 1:

Đặt : t m x x

 

 

 

 (1)

Bước 2:

Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng x  t Bước 3:

Tính vi phân hai vế : dx ' t dt đổi cận Bước 4:

Tính :      

 

 

 

 

 

  

  

  

 

R x m x dx R t t t dt x

' '

; ; '

3.3 Tích phân hàm lượng giác Một số dạng tích phân lượng giác

Nếu gặp ta đặt

Nếu gặp dạng ta đặt

Nếu gặp dạng ta đặt

Nếu gặp dạng ta đặt Dạng

* Phương pháp

 

 sin cos

b

a

I f x xdx tsinx

 

 cos sin

b

a

I f x xdx tcosx

 



2

tan cos b

a

dx

I f x

x ttanx  



2

cot sin b

a

dx

I f x

x tcotx

 n  n

1 =  sinx dx ; 2 cosx dx

Nếu n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc

Nếu n3 sử dụng công thức hạ bậc biến đổi Nếu 3n lẻ (n2p1) thực biến đổi:

Dạng

 

sinm cosn ,

I x xdx m nN

* Phương pháp

Trường hợp 1: m n s, ố nguyên

a. Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng b. Nếu m chẵn, n lẻ (n2p1) biến đổi:

c. Nếu m lẻ

m2p1, n chẳn biến đổi:

d. Nếu m lẻ, n lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻbé

Nếu m n s, ố hữu tỉ biến đổi đặt usinx

(*)

Tích phân (*) tính  số số nguyên Dạng

(nN)

 n  2p+1      

1 =  sinx dx =  sinx dx     

p p

I sinx sinxdx 1 cos2x d cosx

         

 

       

 

          

   

 

       

 

 

 

 p p k kp k p pp p

k p

k p

k p

p p p p

C C x C x C x d x

C x C x C x C x c

k p

0 2

2

0

cos cos cos cos

1 1

cos cos cos cos

3 2

 n  2p+1      

2 =  cosx dx =  cosx dx    

p p

I cosx cosxdx 1 sin2x d sinx

         

 

       

 

         

 

   

 

      

 

 

 



k p

k k p p

p p p p

k p

k p

k p

p p p p

C C x C x C x d x

C x C x C x C x c

k p

0 2

2

0

sin sin sin sin

1 1

sin sin sin sin

3 2

  m 2p+1          

I =  sinx cosx dx   sinx m cosx 2pcosxdx  sinx m sin 2x dp sinx

           

   

       

     

 

          

 

        

     

 

 

 m p p k kp k p pp p

m m k m p m

k k p p

p p p p

x C C x C x C x d x

x x x x

C C C C c

m m k m p m

0 2

1 2

0

sin sin sin sin sin

sin sin sin sin

1 2

 2p+1 n          

I =  sinx cosx dx     

p

n p n

x x xdx x 2x d x

cos sin sin cos cos cos

           

   

       

     

 

           

 

 

 

        

     

 

 



k p

n k k p p

p p p p

n n k n p n

k k p p

p p p p

x C C x C x C x d x

x x x x

C C C C c

n n k n p n

0 2

1 2

0

cos cos cos cos cos

cos cos cos cos

1 2

       

      

n n

m

m n m

B x xdx x x xdx u u du

1

2 2

sin cos sin cos cos

  

m n m k

; ;

2 2

 n  n

1 =  tan x dx ; =  cot x dx

I I

       

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN Câu (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Biết

1

3

d ln

6

x a

x

x x b



 

 

 , a, b hai số nguyên

dương a

b phân số tối giản Khi

2

a b

A B C D

Câu (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho tích phân

3

3

2

1

d  ln 3 ln 2 

 x a b c

x x với a, b, c Tính S   a b c

A

3  

S B

6  

S C

3 

S D

6 

S

Câu (Sở Phú Thọ)Cho 2

3

5x

x ln ln ln 3x 2d a b c

x



  

 

 với a b c, , số hữu tỉ Giá trị

3

2ab c

A 12 B 6 C 1 D 64

Câu (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho

5

2

2

d ln ln 3

x

x a b c

x x



  

 

 với , ,a b c Tính giá trị biểu thức Pa b c

A 9 B 5 C 3 D 4

Câu (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho

1

2

4 15 11

d ln ln

x x

x a b c

x x

 

  

 

 với

a, b, c số hữu tỷ Biểu thức T a c b 

A 4 B 6 C

2 

D 1

2

Câu Biết Tính

A B C D

Câu Biết với số nguyên dương Tính

A B C D

Câu Biết với , , số nguyên dương Tính

A B C D

         

 cot2x dx  dx2x d cotx cotx C

sin

 

     

tanxdx sincosxxdx dcoscosxx ln cosx C

 

   

cotxdx cossinxxdx dsinsinxx ln sinx C

     

2

3

1

d ln

6 11

m n p

x

x x x x C

x x x



    

  

 4mn p

5

 

2

d

2

x

a b c

x x  x x   

 a b c, ,

P  a b c

2

P P8 P46 P22

 

2

1

d

1

x

I a b c

x x x x

   

  

 a b c

P  a b c

24

Câu (Chuyên Vinh Lần 3)Cho hàm số

2

0

( ) sin x

G x   tdt Tính đạo hàm hàm số G x( ) A G x( ) sin x x B G x( )2 cosx x C G x( )cosx D G x( )2 sinx x

Câu 10 (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Biết

2

0

4sin 7cos

d 2ln

2sin 3cos

x x b

I x a

x x c



 

  



 với a 0; ,b c *;b

c

  tối giản Hãy tính giá trị biểu thức

P  a b c

A 1 B

2 

 C

2 

 D

Câu 48: (THPT YÊN PHONG BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Cho tích phân

4

0

1

ln

5

cot tan

12

a

dx b

c

x x





 



 

   

 

   

   

 với a b c, , số nguyên dương Tính

2 2

a b c

A 48 B 18 C 34 D 36 Câu 4: Biết

5

1

2

4 ln ln

x

I dx a b

x

 

    , với a b, số nguyên Tính S ab

A S 9 B S 11 C S5 D S  3

Câu 11 (Sở Bắc Ninh 2019)Cho hàm số y f x  liên tục \1; 0 thỏa mãn f  1 2 ln 1 ,  1    2    1

x x f x  x f x x x

,  x \1; 0 Biết f  2 abln 3, với a b, hai số hữu tỉ Tính T a2b

A

16

T  B 21

16

T  C

2

T  D T0

Câu 12 (Chuyên Vinh Lần 3)Cho biết  

2

9

ln

x

e

e

f x  t tdt, tìm điểm cực trị hàm sốđã cho

A x2 B x0 C x 1 D x6

Câu 13 (Thuận Thành Bắc Ninh)Cho

4

2

1

4

x

b c x

x e

dx a e e

x x e



   

 với a, b, clà số nguyên Tính giá trị a b c 

A 4 B 5 C 3 D 3

Câu 14  

3

3

d

f x x

  

   Gọi S tập hợp tất số nguyên dương k thỏa mãn

2

1

2018.e 2018 e d

k kx

x

k

 

 Số phần tử tập hợp S

Câu 15 (Thị Xã Quảng Trị)Cho hàm số y f x  liên tục đoạn 1;3 thỏa mãn  

1

0

d

f x x 

và  

3

1

d

f x x

 Tính  

3

1

d

f x x



A B C D

Câu 16 (Chuyên Hạ Long lần 2-2019)Có số tự nhiên m để  

2

2 2

0

2 d d

x  m x x  m x

 

A Vô số B 0 C Duy nhất D 2 Câu 17 (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Biết  

2

0

d

f x x x

 

 



   

2

0

3f x g x dx10

 

 

 Tính    

2

0

2 +3 d

I   f x g x  x

A I 12 B I 16 C I 10 D I 14 Câu 18 (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Biết  

2

0

d

f x x x

 

 



   

2

0

3f x g x dx10

 

 

 Tính    

2

0

2 +3 d

I   f x g x  x

A I 12 B I 16 C I 10 D I 14

Câu Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn Tính

A B C D

Câu 19 (Chuyên Vinh Lần 3)Cho hàm số ( )f x có đạo hàm liên tục  thỏa mãn (0)f 3

2

( ) (2 ) 2,

f x  f x x  x  x  Tích phân

2

0

( )d

xf x x

 A

3 

B 2

3 C

5

3 D

10 

Câu 20 Biết hàm số thỏa mãn ,

(với , , ) Tính giá trị biểu thức

A B C D

Câu 21 Cho hàm số f x  xác định \ 0 , thỏa mãn f  x 3 5

x x

 

 ,  1

f a

f  2 b Tính f  1  f  2

A f  1  f  2   a b B f  1  f  2 ab C f  1  f  2 ab D f  1  f  2 ba

 

f x  0;1

 

     

2

1

2

0

1

'

4

x e

f x dx x e f x dx 

  f  1 0  

1

0

?

f x dx



2e 2e e 1e

 

f x ax bxc  

1

0

7 d

2

f x x 

  

2

0

d

f x x  

 

0

13 d

2

f x x

 a b c P  a b c

3

P 

3

P 

3

P

4

Câu 22 Cho hàm số f x  xác định \ 0  thỏa mãn f  x 2 4

x x

 

 ,  1

f a

, f  2 b Giá trị biểu thức f  1  f  2

A b a B a b C a b D  a b

Câu 55: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [1, 2] thỏa mãn

Biết Tính

A B C D

Câu 57: Cho hàm số có đạo hàm liên tục R, nhận giá trịdương khoảng

thỏa , Mệnh đềnào đúng?

A B C D

Câu 23 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1;1, thỏa mãn f x 0, x 

   

f x  f x 

Biết f  1 1, tính f  1 A  

1

f  e B  

1

f  e C  

1

f  e D f  1 3 Câu 24 Cho hàm số f liên tục, f x  1, f 0 0 thỏa    

1

f x x   x f x  Tính  3

f

A 0 B 3 C 7 D 9

Câu 25 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn [1, 2] thỏa mãn f x 0 x1, 2 Biết

 

1

' 10

f x dx

  

 

1

'

ln

f x dx

f x 

 Tính f  2

A f  2  10 B f  2 20 C f  2 10 D f  2  20

Câu 26 Cho hàm số y f x  có đồ thị  C , xác định liên tục  thỏa mãn đồng thời điều kiện f x 0  x , f x x f x  2, x  f  0 2 Phương trình tiếp tuyến

điểm có hồnh độ x1 đồ thị  C

A y6x30 B y 6x30 C y36x30 D y 36x42 Câu 27 Cho hàm số y f x 0 xác định, có đạo hàm đoạn 0;1 thỏa mãn:

   

0

1 2018 dt x

g x    f t , g x  f2 x

 Tính  

1

0

d

g x x



A 1011

2 B

1009

2 C

2019

2 D 505

Câu 28 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f 0 9    

9f x f x x 9 Tính T  f  1  f  0

A T  2 ln B T 9 C ln 2

T   D T  2 ln Câu 29 Cho hàm số y f x  thỏa mãn    

4

f x f x x x

Biết f 0 2 Tính  

2

2

f

A 2 2 313

15

f  B 2 2 332

15

f  C 2 2 324

15

f  D 2 2 323

15

f 

 

f x f x 0 x 1,

 

1

' 10

 f x dx  

 

1

'

ln   f x dx

f x f  2

 2  10

f f  2 20 f  2 10 f  2  20

 



y f x 0;

 1 1

f f x  f ' x 3x1

 

Câu 30 Cho hàm số y f x  có f x liên tục nửa khoảng 0; thỏa mãn

   

3f x  f x  3.e  x

Khi đó:

A    

1

e

2 e

f  f  



B    

2

1

e

4 e

f  f  



C      

2

3 e e

e

3

f  f     D      

e f  f  e 3 e  3 Câu 114: Cho hàm số y f x  nhận giá trịdương có đạo hàm f x liên tục R thỏa mãn

    2   2

0

2018 x

f x   f t  f t dt

 

    Mệnh đềnào đúng?

A f  1 2018e B f  1  2018 C f  1 2018 D f  1  2018e Câu 116: Cho hàm số y f x  nhận giá trịdương có đạo hàm f x liên tục R thỏa mãn

    2   2

0

2 2018

x

f x   f t  f t dt

 

    Mệnh đềnào đúng?

A f  1 1009e2 B f  1  1009e C f  1 1009e D f  1  1009e2 Câu 31 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1, f x  f x nhận giá trịdương

trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  0 2,        

1

2

0

d d

f x f x x f x f x x

       

 

 

  Tính

 

3

d

f x x

 

 



A 15

4 B

15

2 C

17

2 D

19

Câu 32 Cho hàm sốy f x  xác định liên tục \ 0  thỏa mãn

       

2

2 1

x f x  x f x xf x 

với  x \ 0 và f 1  2 Tính  

2

1

f x dx



A ln 2

  B ln 2

  C ln 2

  D ln 2  

Câu 33 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 0 Biết

 

2

9 d

2

f x x

  

1

0

3 cos d

2

x

f x  x 

 Tích phân  

1

0

d

f x x

 A

 B

4

 C

6

 D

2  Câu 53: Cho hàm số liên tục thỏa Tính

A B C D

 

f x 0;  

2

0

.cos 

 x

f t dt x x f  4

 4 123

f  4

3 

f  4

4 

f  4

4 

Câu 34 Cho hàm số y f x  liên tục đoạn 0; 1, thỏa mãn    

1

0

d d

f x x xf x x

 

 

2

d

f x x

 

 

 Giá trị tích phân  

1

3

d

f x x

 

 



A 1 B 8 C 10 D 80

Câu 35 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 4;8 f  0  với  x 4;8 Biết

   

2

4

1

f x dx f x



 

  

 

 

  4 1,  8

4

f  f  Tính f  6 A 5

8 B

2

3 C

3

8 D

1 Câu 36 Suy    

2

0

4 f x dx8  f x dx2 Cho hàm số y f x  liên tục \ 0; 1 thỏa mãn điều kiện f  1  2 ln      

1

x x f x  f x  x x Giá trị f  2 abln 3, với ,

a b Tính 2

a b A 25

4 B

9

2 C

5

2 D

13

Câu 37 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x liên tục  thỏa mãn f x   1;1 với  x 0; 2 Biết f  0  f  2 1 Đặt  

2

0

d

I  f x x, phát biểu đúng?

A I  ; 0 B I0;1 C I1; D I0;1

Câu 38 Cho hàm số f x  có đạo hàm dương, liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f  0 1

       

1

2

0

1

3 d d

9

f x f x x f x f x x

 

     

 

 

  Tính tích phân  

1

3

d

f x x

 

 

 :

A 3

2 B

5

4 C

5

6 D

7

Câu 39 Cho hai hàm số f x  g x  có đạo hàm đoạn 1; 4 thỏa mãn hệ thức

   

       

1

;

f g

g x x f x f x x g x

 

  

 

   

 

Tính    

4

1

d

I f x g x  x

A 8ln B 3ln C 6ln D 4ln PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ

ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1

Cho hàm số y f x  liên tục đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số uu x( ) có đạo hàm liên tục

đoạn [ ; ]a b u x( ) Giả sử viết f x( )g u x u x x( ( )) '( ), [ ; ],a b với g liên tục

đoạn [ ; ].  Khi đó, ta có

( )

( )

( ) ( )

u b b

a u a

I f x dx  g u du

Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân

Có f x( ) t f x( ) 3 1 x dx I x  

 Đặt t x1 Có (ax b )n taxb 2016

0 ( 1)

I  x x dx Đặt t x Có af x( ) t f x( )

tan cos x e I dx x  

 Đặt ttanx3 Có dxvàlnx

x

ln

t x hoặc biểu thức

chứa lnx

ln (ln 1) e xdx I x x  

 Đặt tlnx1 Có e dxx

x

te hoặc biểu thức chứa ex

ln 2

0

x x

I  e e  dx Đặt t 3ex1

Có sinxdx tcosx 2

0 sin cos

I x xdx



 Đặt tsinx

Có cosxdx tsinxdx

3

sin

2 cos

x I dx x   

 Đặt t2cosx1

Có 2 cos

dx

x ttanx

2

4

4

0

1

(1 tan )

cos cos

I dx x dx

x x

 

  

Đặt ttanx

Có

2

sin

dx

x tcotx

cot cot

4

2

6 cos 2sin

x x

e e

I dx dx

x x

 

 



  Đặt tcotx

Câu Giá trị tích phân    

100

0

1 100 d

x x x x



A 0 B C 100 D một giá trị khác Câu (Hậu Lộc Thanh Hóa)Cho n sốnguyên dương khác 0, tính tích phân  

1

1 n d

I  x x x

theo n

A

2

I n



 B

1

I n

 C

2

I n



 D

1 I n   Câu (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Tích phân  

2 d ln x

I x a b c

x



  



 , a; b; c số

nguyên Tính giá trị biểu thức a b c

A 2 B C 3 D 0

Câu (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Biết

1

2

d ln 12 ln 7

x

x a b

x x



 

 

 ,

với a, b sốnguyên, a3b3bằng

A 9 B 0 C 9 D 7

Câu (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2019 LẦN 3)Cho

2

d ln   

 

 x x a b

x x với a, b

các số thực Giá trị a23b2 A

27 B

1

2 C

5

18 D

35 144 Câu Tích phân

2 2001

2 1002

1 (1 )

x

I dx

x

 

A 1001

2002.2 B 1001

2001.2 C 1002

2001.2 D 1002 2002.2

Câu (ĐH Vinh Lần 1)Biết , với số hữu tỉ Giá trị

A B C D

Câu (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho

8

3

1

d ln

a c

I x

b d

x x x

  

 

 với , , ,a b c d số nguyên

dương a c,

b d tối giản Giá trị abcd

A 6 B 18 C 0 D 3

Câu (ĐH Vinh Lần 1)Biết , với số

hữu tỉ

Giá trị

A B C D

Câu 10 Biết

 

2

1

d

1

x

a b c

x x  x x   

 với a, b, c số nguyên dương Tính

P  a b c

A P 44 B P42 C P46 D P 48 Câu 11 Tích phân

1

0

a x ax

I dx

ax

 



 , với a0 có giá trị là: A  2

4

a a

I   B  2

2

a a

I   C  2

4

a a

I   D  2

2

a a

I  

Câu 12 Biết

1

d

2 ln

x a

b

x x

     



   



với a, b số nguyên dương Giá trị a b

A 3 B 5 C 9 D 7

Câu 13 Biết

2

3

3

2 11

1

1 1

2 d a

x x c

x x x b

 

   

 

 

 

 , với a b c, , nguyên dương, a

b tối giản ca Tính

  

S a b c

A S51 B S67 C S39 D S75 Câu 14 Cho số thực dương k0 thỏa  

2

ln

dx

x k

 



 Mệnh đềnào sau đúng?

A

k B 0

2

k

  C 1

2k D

3

2

k

  Câu 15 Giả sử

2

4

1

d

x b

x a a b

x c b c

  

   



 

 với a b c, , ; 1a b c, , 9 Tính giá trị biểu thức C2b aa c

A 165 B 715 C 5456 D 35

1

2

d

ln ln ln

5

x

a b c

x x



  

  

 a b c, ,

a b c

10

 5 10

 

4

0

d

ln ln ln

x

a b c

x  x   

 a b c, ,

a b c

0

3



Câu 16 (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho

3

0

ln ln 3

4

x a

dx b c

x   

 

 với a,b,c số nguyên Giá trị a b c  bằng:

A 9 B 2 C D 7

Câu 17 (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho

1

1 d ln

x b

x d

x a c

 

   

  

 , với

, , ,

a b c d số nguyên dương b

c tối giản Giá trị a b c d  

A 12 B 10 C 18 D 15

Câu 18 (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho tích phân

2

2

2

1

1

1 14 d a

I x x c d

x x b



 

 

        

 

 , ( , , ,a b c d, a

b phân số tối

giản) Tính tổng S a  b c d

A S 3 B S7 C S2 D S 11 Câu 19 (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Biết

2

3

3

2 11

1

1 1

2 a

x dx c

x x x b

 

   

 

 

 

 với a,

b, c nguyên dương, a

b tối giản ca Tính Sa b c

A S 51 B S39 C 67 D 75 Câu 20 (THTT số 3) Cho tích phân

0

1 d

x a m

x

x b n



 



 , với a b n m, , , , phân số a m,

b n tối

giản Tính abmn

A B C D

Câu 21 (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho

1

1

ln ,

1

x b

dx d

x a c

 

   

  

 với a b c d, , , số nguyên

dương b

c tối giản Giá trị a  b c d

A 12 B 10 C 18 D 15

Câu 22 Có giá trị a đoạn ; 



 

 

  thỏa mãn

sin

d 3cos

a

x x

x 





A 2 B C 4 D 3

Câu 23 Nếu

6

0

1 sin cos d

64 n

x x x





 n

A 3 B 4 C 5 D 6

Câu 24 Cho tích phân

0

1 tan

I dx

x



 



0

sin cos sin

x

J dx

x x







 với 0;

4    

 , khẳng định sai A

0

cos cos sin

x

I dx

x x







Câu 25 Chobiết

4

0

cos

ln sin cos

x

dx a b

x x





 



 với a b làcácsốhữutỉ.Khiđó a

b bằng:

A 1

4 B

3

8 C

1

2 D

3 Câu 26 Tích phân

 

3

2

sin cos sin

x

I dx

x x

  





 có gái trị là:

A 3ln 3

16

I      

 

B 3ln 3

8

I      

 

C 3ln 3

8

I       

 

D 3ln 3

16

I       

 

Câu 27 (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Biết  

2

0

3sin cos 11

ln ln ,

2sin 3cos

x x

dx b c b c Q

x x



 

   



 Tính

b c?

A 22

3 B

22 

C 22

3 D

22 13



Câu 28 (Chuyên Vinh Lần 3)Biết  

2

4

4

cos sin cos

d ln ln cos sin cos

x x x

x a b c

x x x





 

   



 , với a b c, ,

số hữu tỉ Giá trị abc

A 0 B 2 C 4 D 6

Câu 29 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho

    

2

1 cos sin cot sin

x x x

F x dx

x

 

 S tổng tất nghiệm phương trình

 

2

F x F 

  khoảng 0; 4 Tổng S thuộc khoảng

A 6 ; 9  B 2 ; 4  C 4 ; 6  D 0; 2 Câu 30 Tích phân

 

2

3

cos sin cos cos x

x x

I dx

e x x

 

 



 có giá trị là:

A

3

2

2 ln

2

e e

I

e

 



 



 

 





B

3

2

2 ln

2

e e

I

e

  

 



 

 



C 3 ln e e I e            

D

3 3 ln e e I e            

Câu 31 (THPT LÊ VĂN HƯU NĂM 2018-2019) Biết

2018 2018 2018 sin d sin cos a x x x

x x b



  

 , a, b

các sốnguyên dương Giá trị biểu thức P2a23b3là

A P32 B P194 C P200 D P100 Câu 32 Xét tích phân

4

2

0

1

3sin cos

A dx

x x





 

 Bằng cách đặt ttan ,x tích phân A biến đổi

thành tích phân sau

A 4dt t 

 B

1 4dt t 

 C

1 2dt t 

 D

1 2dt t  

Câu 33 Đặt tan

x t

2 cos I dx x 

 biến đổi thành  

1

0

2 f t dt Hãy xác định f t : A f t  1 2t2t4 B f t  1 2t2t4. C f t  1 t2 D f t  1 t2 Câu 34 Biết

2 6 cos d x x x a b c x x          

 với a, b, c, d là số nguyên Tính M   a b c

A M 35 B M 41 C M  37 D M  35

Câu 35 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho f x  hàm số chẵn đoạn a a;  k0 Giá trị tích phân  d

1 e a kx a f x x  

A  

0

d a

f x x

 B  d

a

a

f x x



C 2  d a

a

f x x



D  

0

2 d

a

f x x



Câu 36 (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho

 

e

2

2 ln

d ln ln

x a c

x b d x x     

với a, b, c sốnguyên dương, biết a c;

b d phân số tối giản Tính giá trị

ab c d

?

A 18 B 15 C 16 D 17

Câu 37 (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN 1 NĂM 2018-2019) Biết

1 3

0

2 e 1 e

d ln

e.2 e ln e

x x x x x x p m n                

 với m, n, p sốnguyên dương Tính tổng

Pm n p

A P5 B P6 C P8 D P7 Câu 38

 

e

2

2 ln

d ln ln

x a c

x b d x x    

 với a, b, c số nguyên dương, biết a c;

b d phân số tối

A 18 B 15 C 16 D 17 Câu 39 (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho

 

 

3

3

e 3 1 ln 3 1

d ln

1 ln e e

x x x

x a b c

x x

  

   



 với a b c, , số nguyên ln e 1 Tính

2 2

Pa b c

A P9 B P14 C P10 D P3 Câu 40 Biết rằng:

ln

0

1

d ln ln ln

2

a x

x x b c

e           

 Trong a b c, , số nguyên Khi

đó S a b c bằng:

A 2 B 3 C 4 D 5

Câu 41 Cho    

2

0

e

d e ln e e

x

x

x x

x a b c

x 



  



 với a, b, c Tính P a 2b c

A P1 B P 1 C P0 D P  2 Câu 42 Biết  

2

0

5 e e

d e ln

2 e

         x x

x x a c

x a b

x với a, b, c số nguyên e số

logarit tự nhiên Tính S2a b c 

A S 10 B S0 C S5 D S 9 Câu 43

1 3

0

2 e 1 e

d ln

e.2 e ln e

x x x x x x p m n                

 với m, n, p số nguyên dương Tính

tổng S m n  p

A S 6 B S5 C S7 D S8

Câu 44 Biết  

3

1

2

0

1 ln ln

2

1 27 27 3

9

x x x x

I dx ae e e

x

 

   

 

      , a là số hữu tỉ Giá trị a là:

A B – C – D

Câu 45 Cho tích phân  

2 ln

ln

ln

e e

x x ae be

I dx c d

x x

  

    Chọn phát biểu đúng nhất: A a  b c d B

a b c

d

   C A B D A B sai Câu 46 Trong sốdưới đây, số ghi giá trị

1 2 cos , , x x x a

dx a b

b       

  Khi a b A 1

2 B C D

Câu 47 Tính tích phân

2 2016 d x x I x e    

A I0 B

2018

2

I  C

2 017

2

I  D

20 18

2

I 

Câu 48 Biết tích phân

2 2 2

1 2x

x a b

dx 



 

 

A B C D -1 ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2

Câu 49 Biết

2

1

d 6

a b

x

x x







  

 a, b số nguyên dương 4 a b5 Tổng a b

A 5 B 7 C 4 D 6

Câu 50 Tích phân

1

2

3

x

I dx

x x

 

 

 có giá trị là: A

6

I     B

6

I    

C

I     D

6

I    

Câu 51 Cho

1

2

1

I   x x dcab với ,a bR Giá trị a b gần với A

10 B C

1

5 D

Câu 52 Tích phân   

3

5

1

I  x x dx có giá trị là:

A

6

I   B

3

I   C

6

I   D

3

I   Câu 53 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn f tanxcos4 x,  x  Tính  

1

0

d 

I f x x A

8  

B C 2

4  

D

4 

Câu 54 Tính tích phân  

6

4

3

4

4

d

1

x x

x a b c

x 



  

   



 Với a, b, c là số nguyên

Khi biểu thức

ab c có giá trị

A 20 B 241 C 196 D 48

Câu 55 (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho hàm số y f x  liên tục

đoạn 0; 4 thỏa mãn điều kiện 4xf x 2 6f  2x  4x2 Tính tích phân  

4

0

d

f x x



A 

I B 

2

I C  

20

I D  

10

I

TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG

Câu Cho  

2

1 d

f x  x x

 Khi  

5

2

d

I  f x x

A 2 B 1 C 1 D 4

Câu Cho hàm số f x  liên tục 1;  

3

0

1 d

f x x

 Tích phân  

2

1

d

A I16 B I2 C I 8 D I4

Câu (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho  

2

1

d

I  f x x Giá

trị  

2

0

sin cos d cos

x f x

J x

x 

 





A B

3

 C 4

3 D 2 Câu Cho hàm số f x  liên tục  có    

1

0

d 2; d

f x x f x x

  Tính  

1

1

2 d

I f x x



  

A

I  B I4 C

2

I  D I 6

Câu Cho hàm số y f x  liên tục 0;4  

2

0

d

f x x

 ;

;  

4

0

d

f x x

 Tính  

1

1

3 d

f x x



 

A 4 B 2 C 4

3 D 1

Câu Cho f x  hàm số liên tục   

1

0

d

f x x

 ,  

3

0

d

f x x

 Tính  

1

1

2 d

I f x x



 

A I 3 B I 5 C I 6 D I4 Câu Cho hàm số f x  liên tục  thỏa  

1

0

2 d

f x x

  

2

0

6 d 14

f x x

 Tính

 

2

2

5 d

f x x







A 30 B 32 C 34 D 36

Câu Cho tích phân  

0

cos sin

I   x f x dx



Tính tích phân  

0

sin cos

K  x f x dx



A K 8 B K4 C K8 D K 16 Câu Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn f  2x 3f x ,  x  Biết  

1

0

d

f x x



Giá trị tích phân  

2

1

d

I  f x x bao nhiêu?

A I 5 B I 3 C I 8 D I2 Câu 10 Cho hàm số y f x  liên tục có đạo hàm  thỏa mãn f  2  2;  

2

0

d

f x x

 Tính

tích phân  

4

0

d

I  f x x

Câu 11 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn  

16

1

d

f x

x

x 

  

2

0

sin cos d

f x x x





 Tính

tích phân  

4

0

d

I  f x x

A I 2 B I 6 C I 9 D I2 Câu 12 Cho f x  liên tục  thỏa  

9

1

d

f x

x

x 

  

2

0

sin cos d

f x x x





 Tính  

3

0

d

I f x x A I10 B I 6 C I4 D I2

Câu 13 Cho hàm số f x  liên tục đoạn  1;4 thỏa mãn    

2 ln

f x x

f x

x x



  Tính tích phân  

4

3

d

I  f x x

A

3 ln

I   B

2 ln

I  C

ln

I  D I2ln2

Câu 14 Cho Tính

A B C D

Câu 15 Cho hàm f x  liên tục  thỏa mãn  

0

tan d

f x x





  

2

d 1

x f x x

x  

 Tính  

1

0

d

f x x



A 4 B 2 C 5 D 1

Câu 16 Cho hàm số f x  liên tục R    

2

0

tan d 4; d

1

x f x

f x x x

x 

 



  Tính  

1

0

d

I f x x A I 6 B I2 C I 3 D I1

Câu 17 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa  

2018

0

d

f x x

 Khi tích phân

 

 

2018 e

2

0

ln d

1

x

f x x

x



 



A 4 B 1 C 2 D 3

Câu 18 Tìm tất giá trịdương m để  

3

0

10

9 m

x x dx f   

 , với f x lnx15 A m20 B m4 C m5 D m3 Câu 19 Cho hàm số y f x  liên tục  thỏa mãn f 4x f x  Biết  

3

1

d

xf x x

 Tính

 

1

d

I  f x x A

2

I  B

2

I  C

2

I  D 1

2

I 

 

1

0

2 d 12

f x x

  

2

2

sin sin d

f x x x





  

3

0

d

f x x



Câu 20 Cho hàm số y f x  liên tục đoạn  1;3 thỏa mãn f 4x f x , x  1;3

 

1

d

xf x x 

 Giá trị  

3

1

d

f x x



A 2 B 1 C 2 D 1

Câu 21 (Chuyên KHTN) Cho hàm số f x( ) liên tục  thỏa mãn

8

3

2

0

( ) tan (cosx f x dx) f x dx

x 

 

 

Tính tích phân

2

1

( )

f x dx x



A B 6 C 7 D 10

Câu 22 Cho hàm số f liên tục đoạn 6;5, có đồ thị gồm hai đoạn thẳng nửa đường tròn

hình vẽ Tính giá trị  

5

6

2 d

I f x x



   

A I 235 B I 234 C I 233 D I 232 Câu 23 (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn  

6

e

1

ln

d

f x

x

x 



 

2

2

cos sin d

f x x x





 Tích phân    

3

1

2 d

f x  x



A 10 B 16 C 9 D 5

Câu 24 (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn

 

4

2

tan x f cos x dx





  

2

ln

d ln

e

e

f x

x

x x 

 Tính  

2

1

2 d

f x

x x



A 0 B 1 C 4 D 8

Câu 25 (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số f x( ) liên tục  thỏa mãn

 

2

2

5 d

f x x x



  

 ,  

5

d

f x x

x 

 Tích phân  

5

1

d

f x x



A 15 B 2 C 13 D 0

Câu 26 (KINH MÔN II LẦN NĂM 2019) Cho hàm số f x  liên tục  thỏa

 

3

2

16 d 2019

f x  x x

 ,  

8

d

f x x

x 

 Tính  

8

4

d

f x x



A 2019 B 4022 C 2020 D 4038 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG

Cho hàm số f x  thỏa mãn : A f x  B u f u .  C f a b x    g x 

O x

y

5



 1

+) Với    

u a a

u b b

   

  

   

b b

a a

f x dx g x dx

A B C



 

 

+) Với    

u a b

u b a

   

  

   

b b

a a

f x dx g x dx

A B C



 

 

Trong đềbài thường bị khuyết hệ số A B C, ,

Nếu f x  liên tục a b;     

b b

a a

f a b x dx  f x dx

 

Câu 27 Cho hàm số f x  liên tục  0;1 thỏa mãn    3

3

f x x f x

x

 

 Tính  

1

0

d

f x x



A 2 . B 4 . C 1. D 6

Câu 28 Xét hàm số f x  liên tục  0;1 thỏa mãn điều kiện  2  

4xf x 3f x1  1x Tích phân  

1

0

d

I  f x x A

4

I  B

6

I  C

20

I   D

16

I  

Câu 29 Cho hàm số f x( ) liên tục 0;2 thỏa mãn điều kiện f x f 2x2x Tính giá trị

của tích phân  

2

0

I  f x dx A I 4 B

2

I  C

3

I  D I2

Câu 30 Xét hàm số f x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn 2f x 3f 1x 1x Tích phân  

1

0

d

f x x

 A 2

3 B

1

6 C

2

15 D

3

Câu 31 Xét hàm số f x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện 2f x 3f 1xx 1x Tính tích phân  

1

0

d

I f x x A

25

I  B

15

I   C

15

I   D

75

I 

Câu 32 Xét hàm số f x  liên tục trên1; 2 thỏa mãn f x 2xf x 223f 1x4x3 Tính giá trị tích phân  

2

1

I f x dx



 

A I 5 B

I  C I 3 D I 15

Câu 33 Hàm số f x  liên tục 1; 2 thỏa mãn điều kiện    2

2

f x  x xf x Tính giá trị  

2

1

d

I f x x



  A 14

3

I  B 28

3

I  C

3

Câu 34 Xét hàm số f x  liên tục  0;1 thỏa mãn    2  

1

1

f x xf x f x

x

    

 Tính giá

trị tích phân  

1

0

d

I  f x x A ln

2

I  B 2ln

9

I  C

3

I  D

2

I 

Câu 35 Cho hàm số y f x  thỏa mãn    

3

3

2

8

1

x

f x x f x

x

  



Tích phân  

1

0

2

a b

I f x dx

c



   với a b c, ,  a b;

c c tối giản Tính a b c 

A 6 B 4 C 4 D 10

Câu 36 Cho hàm số f x  liên tục đoạn ln 2;ln 2 thõa mãn     1 x

f x f x

e

  

 Biết  

ln

ln

d ln ln

f x x a b



 

 , với a b,  Tính giá trị P ab A

2

P  B P 2 C P 1 D P2

Câu 37 Biết hàm số

2

y f x    



là hàm số chẵn đoạn ; 2

 



 

 

 

và

  sin cos

2

f x  f x   x x  



Tính  

0

I  f x dx 

A I 0 B I1 C

2

I  D I  1

Câu 38 Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục , f 0 0   sin cos

f x  fx x x

  với

x

  Giá trị tích phân   xf x d x





 A

4 

 B 1

4 C 4 

D

4  Câu 39 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn    

2 2x 2x ,

1 x

f f x

x

     

  tính tích phân  

1

I f x dx





A 2

I   B

4

I    C

2

I  D

4 I   TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG

Cách giải: Lần lượt đặt t u x   t v x   để giải hệphương trình hai ẩn (trong có ẩn f x 

) để suy hàm số f x  (nếu u x x cần đặt lần t v x  ) Các kết quảđặc biệt:

Cho A f ax b   B f  ax cg x  với 2

A B )   2 2

x b x c

A g B g

a a

f x

A B

 

   



    

   



 (*)

+)Hệ (*):             2

A g x B g x

A f x B f x g x f x

A B

 

    

 +)Hệ (*):A f x   B f  x g x  f x  g x 

A B

    

Câu 40 Cho hàm số y f x  liên tục  f x  2f 3x x     

  Tính

 

2

f x

I dx

x

  A

2

I  B I1 C

2

I  D I  1

Câu 41 (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số y f x  liên tục 1; 3    

  thỏa mãn

 

f x x f x x

x

     

  Giá trị tích phân

 

2

d

f x

I x

x x

 

 A 8

9 B

2

3 C

3

4 D

16

Câu 42 Cho hàm số y f x  liên tục \ 0  thỏa mãn  3 15

x f x f

x      

  ,  

9

3

d

f x xk

 Tính

3

1

1 d

I f x

x       

 theo k

A 45

k

I    B 45

9

k

I   C 45

9

k

I   D 45

9

k

I  

Câu 43 Cho hàm số y f x  liên tục  thỏa mãn f  x 2018f x 2 sinx x Tính giá trị

của  

2

d

I f x x

 



 

A

2 019

I  B

1009

I  C

2 019

I  D

1009

I 

Câu 44 Cho hàm số y f x  liên tục  thỏa mãn f  x 2018f x ex Tính giá trị

 

1

I f x dx



 

A

1 2019e

e

I  B

1 2018e

e

I  C I 0 D

1

e I

e  

Câu 45 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục , thỏa mãn 2f  2x f 1x12x2 Phương

trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x  điểm có hồnh độ

A y2x2 B y 4x6 C y 2x6 D y 4x2 Câu 46 Cho f x  hàm số chẵn, liên tục  thỏa mãn  

1

0

2018 

 f x dx g x  hàm số liên tục  thỏa mãn g x g x 1,  x  Tính tích phân    

1

1





I f x g x dx A I 2018 B 1009

2



I C I 4036 D I 1008

Câu 47 Cho số dương a hàm số f x  liên tục  thỏa mãn f x  f  x a,  x  Giá trị

của biểu thức  d a

a

f x x 

A

2a B a C

a D 2a

Câu 48 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa điều kiện f x  f  x 2sinx Tính  

2

d f x x 







A 1 B 0 C 1 D 2

Câu 49 Cho f x( ) hàm số liên tục  thỏa mãn f x  f  x  2cos 2 x Tính tích phân  

3

3

d

I f x x 





 

A I 3 B I4 C I 6 D I 8

Câu 50 Cho hàm số y f x  liên tục R thỏa mãn f x  f  x  2cos 2 x Tính  

2

2

I f x dx



  



A I  1 B I1 C I  2 D I2 Câu 51 Cho hàm số liên tục Tính

A B C D

Câu 52 Cho hàm số f x  liên tục đoạn ln 2;ln 2 thỏa mãn     1 x

f x f x

e

  



Biết  

ln

ln

d ln ln

f x x a b



 

 a b;  Tính P ab A

2

P B P 2 C P 1 D P2

Câu 53 Xét hàm số f x  liên tục  0;1 thỏa mãn điều kiện 2f x 3f 1xx 1x Tính tích phân  

1

0



I f x dx

A

15

 

I B

15



I C

75



I D

25



I

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG

Câu 54 Cho f x  g x  hai hàm số liên tục 1,1 f x  hàm số chẵn, g x  hàm số

lẻ Biết  

1

0

5

f x dx

  

1

0

7

g x dx

 Mệnh đềnào sai?

A  

1

1

10

f x dx 



 B  

1

1

14

g x dx 





C    

1

1

10

f x g x dx



 

 

 

 D    

1

1

10

f x g x dx



 

 

 



 

f x  3f x2f x tan2x   π

4

π

4

d

f x x 

 π

1

 π

2

π

4

 π

Câu 56 Cho hàm số y f x  hàm lẻ liên tục 4; 4 biết  

0

2

d

f x x



 

  

2

1

2 d

f  x x 

Tính  

4

0

d

I  f x x

A I  10 B I  6 C I 6 D I10 Câu 57 (SởĐà Nẵng 2019)Cho hàm số chẵn y f x  liên tục   

1

1

2

d 5x

f x

x 

 

 Giá trị

 

0

d

f x x

 bằng:

A 8 B 2 C 1 D 16

Câu 58 Cho f x  hàm số chẵn liên tục đoạn 1; 1  

1

1

d

f x x 



 Kết  

1

1

d ex

f x

I x



  

A I1 B I 3 C I2 D I4 Câu 59 Cho y f x  hàm số chẵn liên tục  Biết    

1

0

1

d d

2

f x x f x x

  Giá trị

 

2

d 3x

f x x  

A 1 B 6 C 4 D 3

Câu 60 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn    

3

,

f x f x x  x 

Tính  

0

I f x dx A I2 B

2

I  C

2

I  D

4

I 

Câu 61 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn 2f3 x 3f2 x 6f x x,  x  Tính tích phân  

5

0

d

I  f x x A

4

I  B

2

I  C

12

I  D

3

I 

Câu 62 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn xf3 x 2f x 1,  x  Tính  

1

2

d

I f x x



 

A

I  B

2

I  C

3

I  D

4

I 

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG Bài toán: “ Cho f x f a b x     k2,

 

d

2 b

a

x b a

I

k f x k



 

  Chứng minh:

Đặt t  a b x

 

 

2

dt dx

k f x

f t

     

 



Khi

 

 

   

f d

d d

b b b

a a a

x x

x x

I

k

k f x k k f x

k f t

  

 



  

 

   

f d

d

2

b b

a a

x x

x I

k f x k k f x

  

 

  d 1 

b

a

x b a

k   k 

b a

I k



 

Câu 63 Cho hàm số f x  liên tục nhận giá trịdương  0;1 Biết f x f   1x1 với  x  0;1

Tính giá trí

 

1

0

d

x I

f x

   A 3

2 B

1

2 C 1 D 2

Câu 64 Cho hàm số f x  liên tục , ta có f x 0 f   0 f 2018x1 Giá trị tích phân

  2018

0

d

x I

f x

  

A I 2018 B I 0 C I 1009 D 4016

Câu 65 Cho hàm số y f x  có đạo hàm, liên tục  f x 0 khix0;5

Biết    

f x f x 

, tính tích phân  

5

d

x I

f x





A

I  B

3

I  C

2

I  D I10

Câu 66 Cho hàm số y f x  liên tục  thỏa mãn f 4x f x  Biết  

3

1

d

xf x x

 Tính

tích phân  

3

1

d

f x x



A 5

2 B

7

2 C

9

2 D

11

Câu 67 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục R và f x 0 x  [0; a] (a0) Biết    

f x f ax  , tính tích phân

 

01

a

dx I

f x

 



A

a

I  B I 2a C

3

a

I  D

4

a I 

Câu 68 Cho f x  hàm liên tục đoạn 0;a thỏa mãn    

   

0, 0;

f x f a x

f x x a

  

 

   



 

0

d

,

a

x ba

f x  c

 

trong b , c hai số nguyên dương b

c phân số tối giản Khi bc có giá trị thuộc

khoảng đây?

A 11; 22  B  0;9 C 7;21  D 2017; 2020 

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG

Câu 69 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn  1;4, đồng biến đoạn  1;4 thỏa mãn

đẳng thức x2 x f x   

f x

   , x  1;4 Biết  1

f  , tính  

1

d

A 1186 45

I  B 1174

45

I  C 1222

45

I  D 1201

45

I 

Câu 70 Cho hàm số y f x  có đạo hàm  thỏa mãn    

 

1

2

3f x ef x x x

f x  

   f  0 1

Tích phân  

0

d

x f x x



A 2

3 B

15

4 C

45

8 D

5

Câu 71 Cho hàm số f x x44x33x2 x 1, x  Tính    

1

d

I  f x f x x

A 2 B 2 C

3

 D 7

3

Câu 72 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục khoảng 0;1 f x 0,  x  0;1 Biết

1

f   a   ,

3

f b    

và xxf x 2f x 4,  x  0;1 Tính tích phân

 

3

2

6

sin cos 2sin

sin d

x x x

I x

f x







 theo a b

A

a b

I

ab



 B

4

b a

I

ab



 C

4

b a

I

ab



 D

4

a b

I

ab





Câu 73 Cho hàm số f liên tục, f x  1, f  0 0 thỏa    

1

f x x   x f x  Tính

 3

f

A 0 B 3 C 7 D 9

Câu 74 Cho hàm số f x liên tục và  

5

2

d

f x x

 , f  5 3, f  2 2 Tính

 

2

3

1

1 d

I x f x  x

A 3 B 4 C 1 D 6

Câu 75 Cho hàm số f x  liên tục đoạn  1;4 thỏa mãn    

2 ln

f x x

f x

x x



  Tính tích phân  

4

3

d

I  f x x

A

3 ln

I   B

2 ln

I  C

ln

I  D I2ln2

Câu 76 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn     16

2

2

1

cot sin d d

f x

x f x x x

x 



 

  Tính tích

phân  

1

1

4 d

f x

x x

A I 3 B

I  C I2 D

2

I  Câu 77 Xét hàm số f x  liên tục  0;1 thỏa mãn điều kiện  2  

4 x f x 3f 1x  1x Tích phân  

1

0

d

I  f x x bằng: A

4

I  B

6

I  C

20

I   D

16

I   Câu 78 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1 1,  

1

2

9 d

5

f x x

 

 



 

1

0

2 d

5

f x x

 Tính tích phân  

1

0

d

I f x x A

5

I  B

4

I  C

4

I  D

5

I 

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1:

Câu (Hậu Lộc Thanh Hóa)Biết

2

3

d ln

cos

x

I x b

x a





   Khi đó, giá trị a2b

A 11 B 7 C 13 D 9

Câu Tích phân

4

0

d ln

1 cos

x

x a b

x 



 



 , với a, blà số thực Tính 16a8b

A 4 B 5 C 2 D 3

Câu Biết

3

3

6

3

sin

d

1

x

x c d

a b

x x





 





   

 

 với a b c d, , , số nguyên Tính

a b c d  

A a b c d   28 B a b c d   16 C a b c d   14 D a b c d   22 Câu (Chuyên Phan Bội Châu Lần2)Cho tích phân

2

2

.sin d

I x x x a b





    a b, , Mệnh

đềnào sau đúng?

A a

b  B

2

4

a   b C a  1;0

b  D ab6

Câu Cho biết

 

1

2

d

2 x

x e a

x e c

b

x  

 với a, c số nguyên, b sốnguyên dương a

b phân

số tối giản Tính a b c 

A 3 B 0 C 2 D 3

Câu (Chuyên Thái Bình Lần 3)Biết

12

1 12

1

c x

x a d

x e dx e

x b



 

  

 

 

 a b c d, , , số nguyên

dương phân số a c,

b d tối giản Tính bcad

Câu (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết

 

2

1

1

1

p x

q x

x e  dxme n

 , m n p q, , , sốnguyên dương p

q phân số tối giản

Tính T m n pq

A T 11 B T 10 C T 7 D T 8

Câu (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Biết

 

2 cos d  cos 3  sin 3 

e x x x e x a x b x c, a, b, c số, tổng ab

có giá trị A

13

 B

13 C

5

13 D

1 13 

Câu (Nguyễn Du Dak-Lak 2019)Cho tích phân

4

2

sin sin 2

d ln ln

cos

x x x

x c

x a b





 

  



 (với

, ,

a b c sốnguyên) Khi a b c

A 2 B 4 C 1 D 1

Câu 10 (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho

 

1

2

15 ln ln

I  x x  dxab c với a b c, ,  Tính tổng a b c

A 1 B 5

2 C

1

3 D

1  TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 2:

Câu 11 Cho biết tích phân với ước nguyên Tổng

A B C D 1

Câu 12 (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019)Biết  

3

2

ln 16 d ln ln 2

c

x x  xa b 

 , a,b,c

là số nguyên Tính giá trị biểu thức T abc

A T  2 B T 16 C T 2 D T  1 Câu 13 (Sở Thanh Hóa 2019)Cho  

1

2

ln d ln ln

I x x xa b c với a, b, c số hữu tỷ Giá trị a b c

A 3

2 B 1 C 0 D 2

Câu 14 Tính tích phân

2

2018

1

1

2019 log d

ln

I   x x x

 



A I 22017 B I 22019 C I 22018 D I 22020

Câu 15 (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Biết

 

e

2

ln

d ln

e+1 e+1

x a

x b c

x

  



 với a b c, ,  Tính a b c

A 1 B C 3 D 2

 

1

ln

4 e

a e b e c

I x x  x dx   a b c, , ?

Câu 16 (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Nghiệm dương a phương trình

   

1

2 ln d ln

a

x x x a a a

 thuộc khoảng sau đây?

A 1; 3. B 3;5. C 5;7. D 7;10. Câu 17 ( Sở Phú Thọ)Cho tích phân

4

2

ln( 2cos )

ln ln

sinx x

dx a b c

cos x







  

 (với a b c, , số hữu

tỉ) Giá trị biểu thức abc A 15

8 B

5

8 C

5

4 D

17 Câu 18 (HSG Bắc Ninh)Biết  

4

2

ln s in cos

d ln cos

x x a

x

x b c



 

 

 với a b c, , số nguyên Khi đó,

bc a

A 6 B 8

3 C 6 D

8  Câu 19 (THPT LÊ VĂN HƯU NĂM 2018-2019) Cho tích phân

e

2

e

ln d

I x x

x x a b

  

 

  

 

 , a và b

là số hữu tỉ Giá trị 4a3b A 13

2 B

13

4 C

13

 D 13

2 

Câu 20 (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Khẳng định sau kết

e

3e ln d

a

x x x

b

 

 ?

A a b 64 B a b 46 C a b 12 D ab4 Câu 21 Giả sử tích phân  

1

2017

.ln d bln

x x x a

c

  

 Với phân số b

c tối giản Lúc

A b c 6057 B b c 6059 C b c 6058 D b c 6056

Câu 22 (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết

 

4

2

ln s in cos

d ln cos

x x a

x

x b c



 

 

 với a b c, , sốnguyên Khi đó, bc

a

A 6 B 8

3 C 6 D

8  TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

Câu 1: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số f x  thỏa mãn    

2

0

1 d

A x f x x

 2  0

f  f  Tính  

2

0

d

I  f x x

Câu 2: (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f  1 0,  

1

1

x f x dx

 Tính  

1

x f x dx



A 1 B C 3 D 3

Câu 3: (THPT NGUYỄN KHUYẾN TP.HCM NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục ;

2

 

 

 



, thoả mãn  

2

2

cos d 10

 

 f x x x



f  0 3 Tích phân  

2

0

sin2 d  f x x x 

bằng

A 13 B 13 C 7 D 7

Câu 4: (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hàm số f x  xác định liên tục  Gọi g x  nguyên hàm hàm số

 

2

x y

x f x



 Biết  

2

1

d

g x x

 2g 2 g 1 2 Tích phân

 

2

2

d

x

x x f x



A 1, B C D

Câu 5: Cho hàm số y f x  thỏa mãn f x 33x 1 3x2, x  Tính  

5

1

I  x f x dx A 5

4 B

17

4 C

33

4 D 1761

Câu 6: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số liên tục thoả mãn

Tính bằng:

A B C D

Câu 7: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019) Cho hàm số f x  liên tục

0 ;1 Biết    

1

0

1

d

2

x f x f x x

    

 

 Tính f 0

A f  0  1 B  0

f  C  0

2

f   D f  0 1

Câu 8: (THPT Nghèn Lần1) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f  1 1,  

1

0

1 d

5

x f x x

  

1

2

9 d

5

f x x

 

 

 Tính tích phân  

1

0

d

I  f x x

A

4

I  B

5

I  C

4

I  D

5

I 

Câu 9: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số nhận giá trịdương, có đạo hàm liên tục Biết với Tính tích phân

 

f x 

    3 

1 ,

f x  f x x x  x  f  0 0

2

0

d

x I  xf   x

  

1 10



20

1 10

1 20



 

f x 0; 2

 0

f  f x f  2xe2x24x  

0;

x

     

3

2

0

3 '

d

x x f x

I x

f x

A B C D

Câu 10: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019)Cho hàm số f x  có đạo hàm  thỏa mãn

 

3

0

2 d

x f  x x

 ; f  2 2 Tính  

1

2

2 d

I f x x



 

A I  5 B I  1 C I 5 D I 10

Câu 11: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019)Cho hàm f x có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn f  2 =0,   

2

2

1 d

45

f x x

    

2

1

1

1 d

30

x f x x 

 Tính

 

1

d

I  f x x

A

36

I   B

15

I   C

12

I  D

12

I  

Câu 12: (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH)Cho hàm số y f x  liên tục 0; , th ỏa

điều kiện f  2 1    

2

2

0

2

d d

3

f x x f x  x

  Giá trị  

2

d

f x x x

 :

A B C 1

4 D

1

Câu 13: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn

 1

f  f x 24 6 x21  f x 40x644x432x24, x  0;1 Tích phân

 

0

f x dx

 bằng? A 23

15 B

13

15 C

17 15

 D

15  Câu 14: Cho hàm số f x  thỏa f  0  f  1 1 Biết    

1

0

' x

e f x  f x dxae b

 Tính biểu thức

2018 2018

Qa b

A Q8 B Q6 C Q4 D Q2

Câu 15: Cho hàm số f x  có đạo hàm  thỏa mãn f x 2018f x 2018.x2017.e2018x với

x f  0 2018 Tính giá trị f  1

A f  1 2019e2018 B f  1 2018.e2018 C f  1 2018.e2018 D f  1 2017.e2018 Câu 16: Cho hàm số y f x  với f 0  f 1 1 Biết rằng:    

1

0

exf x  f x dxaeb

 Tính

2017 2017

Qa b

A Q220171 B Q2 C Q0 D Q220171

Câu 17: Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm F G đoạn  1;2 Biết

 1

F  , F 2 4,  1

G  , G 2 2    

2

1

67 d

12

f x G x x

 Tính    

2

1

d

F x g x x

 14

3

I   32

5

I   16

3

I   16

5

A 11

12 B

145 12

 C 11

12

 D 145

12 Câu 18: Cho hàm số y f x  liên tục đoạn  1;2    

2

1

1 d

x f x xa

 Tính  

2

1

d

f x x

 theo a

và b f  2

A b a B a b C a b D  a b Câu 19: Cho hàm số f x  liên tục  f  2 16,  

2

0

d

f x x

 Tính tích phân  

1

0

d

I x f x x

A I 13 B I 12 C I 20 D I 7

Câu 20: Cho y f x  hàm số chẵn, liên tục  biết đồ thị hàm số y f x  qua điểm

;

M 

   

1

0

dt

f t 

 , tính  

0

6

sin sin d

I x f x x

 



 

A I 10 B I  2 C I1 D I  1 Câu 21: Cho hàm số y f x  thỏa mãn    

2

0

sin x f x dx f





 1 Tính  

2

0

cos d

I x f x x







A I 1 B I 0 C I 2 D I  1

Câu 22: Cho hàm số y f x  liên tục  thỏa mãn f x2018f x 2 sinx x Tính

 

2

d

I f x x

  

  ?

A

2019 B

2018 C

1009 D 2019

Câu 23: Cho hàm số f x  g x  liên tục, có đạo hàm  thỏa mãn f 0 f 2 0

     e x

g x f x x x Tính giá trị tích phân    

2

0

d

I  f x g x x?

A 4 B e 2 C 4 D 2 e

Câu 24: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 0; 

 

 

  th

ỏa mãn

f     ,

 

0

d cos

f x x x 

 

và  

4

0

sin tan x x f x dx



  

 

 Tích phân  

4

0

sin x f x dx 



 bằng:

A 4 B 2 2 

C 1 2 

D 6 Câu 25: Cho hàm số f x  liên tục  f  2 16,  

2

0

d

f x x

 Tính

4

0

d

x I  xf   x

  

A I 12 B I 112 C I 28 D I 144

A   

1

0

1 2018

f x x x 

 d B   

1

0

1

f x x x

 d

C   

1

0

1 2018

f x x x

 d D   

1

0

1

f x x x

 d

Câu 27: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn

f  

  ,  

2

2

d

f x x

        



 

cos d

4

x f x x 

 



Tính f 2018

A 1 B 0 C 1

2 D

Câu 28: Cho hàm số f x  nhận giá trịdương, có đạo hàm liên tục đoạn 0; 2  Biết f  0 1

    2

e x x

f x f x   , với x0; 2  Tính tích phân       2 d

x x f x

I x

f x

 



A 16

I   B 16

5

I   C 14

3

I   D 32

5

I  

Câu 29: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f  1 0

     

1

2

0

e

d e d

4 x

f x x x f x x 

 

 

  Tính tích phân  

1

0

d

I  f x x A I  2 e B I  e C e

2

I  D e

2

I   Câu 30: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn    

2 1 d

x f x x 

 ,

 2

f   

2

2

d

f x x

 

 

 Tính tích phân  

2

1

d

I  f x x A

5

I  B

5

I   C

20

I   D

20

I 

Câu 31: (THPT ĐÔ LƯƠNG LẦN 2)Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; th ỏa mãn    

2 1 d

x f x x 

 , f  2 0,  

2

2

1

d

f x x

 

 

 Tính  

2

1

d

I   f x x A

5

I  B

5

I   C

20

I   D

20

I 

Câu 32: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0; 

 

 

  f   

  

  Bi

ết  

4

d

f x x

    ,  

sin d

f x x x





  

 Tính tích phân  

8

0

2 d

I f x x



 A I 1 B

2

I  C I 2 D

4

Câu 33: (Chuyên Vinh Lần 3)Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn

Biết Tích phân

A B C D

Câu 34: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 f 0  f  1 0 Biết   d

f x x

 ,    

1

0

cos d

f x x x

 Tính  

1

0

d

f x x



A  B 1

 C

2

 D

3



Câu 35: (Thanh Chương Nghệ An Lần 2)Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0; thỏa

mãn:    

0

d cos d

f x x x f x x

 



  

 

 

 

2

f  

  Khi tích phân  

2

0

d

f x x





A 0 B

2 

 C

2 

D

2 



Câu 36: (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục 1;1 thỏa f  1 0,

 

 2  

4 16

f x  f x  x  x với x thuộc 1;1 Giá trị  

1

0

d

f x x

 A

3

 B 2

3 C

1

5 D

1  Câu 37: Cho hàm số f x  có đạo hàm f x liên tục đoạn 0;1 thỏa f  1 0,   

1

2

dx

f x 



và  

1

0

1

cos d

2 x f x x



 

  

 

 Tính  

1

0

d

f x x



A 

B  C 1

 D

2 

Câu 38: Xét hàm số f x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện f  1 1 f  2 4 Tính

    2 d

f x f x

J x x x            

A J  1 ln B J  4 ln C ln 2

J   D ln

2

J  

Câu 39: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn

     

1

2

0

e

d e d

4 x

f x x x f x x 

 

 

  f  1 0 Tính  

1

0

d

f x x

 A e

2 

B

2

e

4 C e 2 D

e  

y f x  0;1

 0

f   

1 d

f x x

   cos d x

f x  x 

  

1

0

d

f x x

Câu 40: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f  1 0,  

1

2

d

f x x

 

 



  d

x f x x

 Tích phân  

1

0

d

f x x

 A 7

5 B C

7

4 D 4

Câu 41: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019)Cho hàm số y f x  với

 0  1

f  f  Biết    

1

0

exf x  f x dxaeb

 , a,b Giá trị biểu thức

2019 2019

a b A 2018

2 1 B 2 C 0 D 2018

2 1

Câu 42: (Đoàn Thượng)Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 f(0) f(1)0 Biết

1 ( )

f x dx

 ,

1

0

( ) ( )

f x cos x dx

 Tính

1

0

( )

f x dx



A  B 3

2 

C 2

 D

1 

Câu 43: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1 0 ,  

1

2

d

f x x

 

 

  

1 d

x f x x

 Tích phân  

1

0

d

f x x

 A 7

5 B 1 C

7

4 D 4

Câu 44: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1 4 ,   d 36      

 f x x  

1 d 

x f x x Tích phân  

1

0

d

f x x

 A 5

6 B

3

2 C 4 D

2

Câu 45: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0; 2 thỏa mãn

 2 3

f ,  

2 d      

 f x x  

2 d 

x f x x Tích phân  

2

0

d

 f x x A

115 B

297

115 C

562

115 D

266 115

Câu 46: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1 4 ,   d      

 f x x  

1

0

1 d

2

x f x x 

 Tích phân  

1

0

d

f x x

 A 15

19 B

17

4 C

17

18 D

15

Câu 47: (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0; 2 thỏa mãn

 2

f   

2

2

d

f x x

 

 

  

2

0

17 d

2

x f x x

 Tích phân  

2

0

d

f x x



Câu 48: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0; 3 thỏa mãn

 3

f   

3 d      

 f x x  

3 154 d 

x f x x Tích phân  

3

0

d

f x x

 A 53

5 B

117

20 C

153

5 D

13

Câu 49: (Chuyên Vinh Lần 3)Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1 2 ,  

1

2

d

f x x

 

 

  

1

d 10

x f x x

 Tích phân  

1

0

d

f x x

 A

285

 B 194

95 C

116

57 D

584 285 Câu 50: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1 1,  

1

2

d

f x x

 

 



  d

x f x x

 Tích phân  

1

0

d

f x x

 A 2

3 B

5

2 C

7

4 D

6

Câu 51: Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn Tích phân

A B C D

Câu 52: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đồng thời thỏa mãn điều kiện ;

Tính tích phân

A B C D

TÍCH PHÂN HÀM ẨN Câu 1: (Lý Nhân Tông) Cho hàm số f  x liên tục không âm 0;

2     

 , thỏa mãn

    2 

cos

f x f x  x  f x với 0;

x  

  f  0  Giá trị f

    

 

A 2 B 1 C 2 D 0

Câu 2: (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số f x  thỏa mãn f x f   x 1, với x Biết

 

1

d

f x xa

 f  1 b, f  2 c Tích phân

  d x x f x



A 2c b a  B 2a b c  C 2c b a  D 2a b c 

 

f x  0;1    

1 1 0, 11

f  f x  dx

  55

x f x dx 

  

1

0

f x dx

  55  11  

f x  0;1  1

2 f   

f x dx

      1 x

x f x dx

x          ?

Câu 3: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho

       

1

0

3x1 f x dx2019, 4f  f 2020

 Tính  

1

0

3 d

f x x



A 1

9 B 3 C

1

3 D 1 Câu 4: (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số f x  liên tục có đạo hàm 1;

2

 



 

  thỏa mãn

     

1 2

2

109

2 d

12

f x f x x x



     

 

 Tính  

1

0

2 d

1

f x x x 



A ln7

9 B

2 ln

9 C

5 ln

9 D

8 ln

9 Câu 5: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm : 0,

f     

hàm liên tục thỏa mãn điều kiện   2   

0 f x 2f x sinx cosx dx 2





     

 

 Tính

0 f x x( d)





A

0 f x x( )d



 

 B

0 f x x( )d





 C

0 f x x( )d





 D

0 f x x( )d







Câu 6: (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho hàm số f x  có đạo hàm khoảng

0; f x 0,  x 0; thỏa mãn f x  x f 2 x với x0;, biết

 1

3

f

a



  

4

f  Tổng tất giá trị nguyên a thỏa mãn

A 14 B 1 C 0 D 2

Câu 7: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số f x  liên tục  f  3 21,  

3

0

d

f x x



Tính tích phân  

1

0

d

I x f x x

A I 15 B I 12 C I 9 D I 6 Câu 8: (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho f x( )là hàm số liên tục thỏa mãn

2

( ) (2 ) x ,

f x  f x  x e  x  Tính tích phân

2

0

( )

I  f x dx A

4

1

e

I   B

2

e

I   C I e42 D I e41 Câu 9: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục khoảng

0;  thỏa mãn x f2  x  f x 0 f x 0,  x 0;  Tính f  2 biết f  1 e A  

2 e

f  B  

2 e

f  C  

2 2e

f  D f  2  e Câu 10: (Lý Nhân Tông) Biết

1 3

0

2 e 1 e

d ln

e.2 e ln e

x x

x

x x

x p

m n



 

   

    

   

 với m, n, p số

nguyên dương Tính tổng Pm n p

Câu 11: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm, liên tục đoạn 1; 2 đồng thời

thỏa mãn f(2)0,  

2

2

5

'( ) d ln 12

f x x 



2

2

( )

d ln

( 1) 12

f x x

x   

 Tính

2

1

( )d

I  f x x A 2ln2

4

I   B ln2

3

I  C 2ln3

4

I   D 2ln2

4

I  

Câu 12: (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục khoảng (1;) thỏa mãn xf x( )2 ( ) lnf x  xx3 f x( ),  x (1;); biết f  3 e 3e Giá trị f(2) thuộc khoảng đây?

A 12;25

 

 

  B

27 13;

2

 

 

  C

23 ;12

 

 

  D

29 14;

2

 

 

 .

Câu 13: (Nguyễn Khuyến)Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục 0;

2 

   

 , thoả mãn

 

2

cos d 10

f x x x



 

 f 0 3 Tích phân  

2

0

sin2 d



 f x x x

A 13 B 13 C 7 D 7

Câu 14: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm y f x( ) liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn

   

1 2

f x  f x  x  x Tính tích phân

1

0

( )

I  f x dx

A

I  B

3

I  C

2

I  D

3

I 

Câu 15: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho hàm số y f x  có đạo hàm đoạn 0;3, thỏa mãn    

 

3

1

f x f x

f x

 

  

 



,  x 0 ;3  0

f  Tính tích phân

 

   

3

2 2

0

d

1

x f x

I x

f x f x

 

 

 

 



A

I  B

2

I  C I 1 D

2

I  Câu 16: (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn

    ex  

f x  x f x  f x với f x 0,x f  0 1 Khi f  1 A e 1 B ee 2 C e 1 D ee 1 Câu 17: (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số f x  thỏa mãn xf ' x lnx f x 2x2, x 1;

 

e e

f  Tính tích phân

 

2

e

e d

x

I x

f x



A

I  B

2

I  C

3

I  . D I 2

Câu 18: (THPT NÔNG CỐNG LẦN NĂM 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn 3f x x f x ( ) x2018  x 0;1 Tìm giá trị nhỏ  

1

0

d

f x x

A

2018.2020 B

2019.2020 C

2020.2021 D 2019.2021 Câu 19: (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho hàm số f x  thỏa mãn điều kiện f  1 2, f x 0, x

 2     2 

1 '

x  f x f x  x  với x0 Giá trị f  2

A 2

5 B

2

 C

2

 D 5

2

Câu 20: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho đa thức bậc bốn y f x( ) đạt cực trị x1 x2 Biết

0

2 ( )

lim

2 x

x f x

x 

 

 Tích phân

1

0

( )d

f x x



A 3

2 B

1

4 C

3

4 D 1 Câu 21: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho f x 4xf x 2 3x Tính tích phân

 

0

d

I  f x x

A I  2 B

I   C I 2 D

2

I 

Câu 22: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho f x  có đạo hàm  thỏa

mãn    

 

3 1

2

2

3f x e f x x x

f x

 

   với x Biết f  0 1, tính tích phân  

7

0

d

I   x f x x A

2

I  B 45

8

I  C 11

2

I  D 15

4

I  Câu 23: (Chuyên Vinh Lần 2) Giả sử hàm số có đạo hàm cấp thỏa mãn

với Tính tích phân

A B C D

Câu 24: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục ,

 0 0,  0

f  f  thỏa mãn hệ thức

           

18 ,

f x f x  x  x x f x  x f x  x  Biết    

1

2

1 f xd

x e xa e b

 , với ;a b Giá trị a b

A 1 B 2 C 0 D 2

3

Câu 25: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số f x  xác định có đạo hàm f x liên

tục đoạn  1;3 , f x 0 với x 1;3 , đồng thời         

2

2

1

f x  f x  f x x 

 

và f  1  1 Biết  

3

1

d ln

f x xa b

 ,a b, , tính tổng S a b2

A S0 B S 1 C S2 D S4

f n 

2

(1 ) ( )

f x x f x  x x

1

0

( )

I  xf x dx

1

I   I 1

3

I 

3

Câu 26: (SởNam Định) Cho hàm số y f x  có đạo hàm đến cấp hai liên tục  Biết tiếp tuyến với đồ thị y f x  điểm có hồnh độ x  1, x 0, x1 tạo với chiều dương trục O x góc 30°, 45, 60

Tính tích phân        

0

3

1

' '' d ' '' d

I f x f x x f x f x x



    

A 25

I  B I 0 C

3

I  D

3

I   Câu 27: (THTT số 3) Cho hàm số f x  xác định, liên tục  thoả mãn

   

1

f x  x  f x  x

6

6x 12x 6x , x

       Tính tích phân  

1

3

f x dx



A 32 B C 36 D 20

Câu 28: (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số f x có đạo hàm  thỏa mãn

     

2 2 1

2 2

1 e x x

f x f x x

 

    , x  f 1 e Giá trị f  5

A 3e121 B 5e 17 C 5e171 D 3e 12 Câu 29: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho    

6

2

0

d d 72

f x x x f x x

  Giá trị

 

3

1

d

f x x



A B C D

Câu 30: (Ba Đình Lần2) Hàm số f x  có đạo hàm đến cấp hai  thỏa mãn:

     

2

1

f x  x  f x Biết f x 0, x , tính    

2

0

2 "

I  x f x dx

A 8 B 0 C 4 D 4

Câu 31: (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn f ' x 2 f x f  '' x 4x32x với

x f  0 0 Giá trị f2 1 A 5

2 B

9

2 C

16

15 D

8 15 Câu 32: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số y f x  xác định liên tục \ ,  biết

 

1, 0;

x f x    x f  1  2 x f x  12x f  x  f x 0 với  x \   Tính

 

d e

f x x

 A 1

e B

1

e

 C

e

 D 1

e

Câu 33: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀĐH VINHL3 -2019 ) Cho hàm số có đạo hàm liên tục

thỏa mãn Tích phân

( )

f x 

(0)

f 

( ) (2 ) 2,

f x  f x x  x  x 

2

0

( )d

A B C D

Câu 34: Cho hàm số liên tục thỏa mãn với Tính tích phân

A B C D

Câu 35: (SỞGDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số y f x  liên tục có đạo hàm  thỏa mãn

     

5f x 7f 1x 3 x 2x , x  Biết tích phân  

1

0

' d a

I x f x x

b

   ( với a

b

phân số tối giản) Tính T 8a3b

A T 1. B T 0. C T 16 D T  16 Câu 36: Cho hàm số liên tục đoạn thỏa mãn với

Tính tích phân

A B C D

Câu 37: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho f x  liên tục  3f x2f x x10, x  Tính

 

0

d

I  f x x

A I 55 B 11

I  C I 11 D

55

I 

Câu 38: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho hàm số f x có đạo hàm trên  1;  Biết đẳng thức

   

2

2

( 1)

2 ( 1)

3

x x

f x x f x

x

 

  



thỏa mãn     x  1;  Tính giá trị f  0 A 3 B 2

C  D Chưa đủ kiện tính f 0

Câu 39: (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn ( )f x 3 (1f x) x 1x, với x[0;1] Tích phân

2

0

'

x xf  dx

 



A 75

 B

25

 C 16

75

 D 16

25 

Câu 40: (Sở Quảng NamT) Cho hàm số f x  khơng âm, có đạo hàm đoạn 0;1 thỏa mãn f  1 1,

       

2f x x f x 2x f x , x 0;1

         

  Tích phân  

1

0

d

f x x



A 1 B 2 C 1

3 D

3

Câu 41: (SGD-Nam-Định-2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm đến cấp hai liên tục  Biết tiếp tuyến với đồ thị y f x  điểm có hồnh độ x 1, x0, x1 tạo với chiều dương trục Ox góc 30° , 45, 60

4



3

5

10 

( )

f x R f x( )4xf x( 2)2x1  x R

1

0

( )

I xf x dx

 1

( )

f x 2;1

3      

2 ( ) ( )

3

f x f x

x

  2;1

3

x  

     

1

2

ln ( )x f x dx 

5 ln 33

5 ln 33

5 ln 3

  5ln2

3 3

Tính tích phân        

0

3

1

' '' d ' '' d

I f x f x x f x f x x



    

A 25

I  B I 0 C

3

I  D

3

I   Câu 42: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho hàm số f x 0 có đạo hàm liên tục 0,

3 

 

 

 , đồng thời

thỏa mãn f 0 0; f  0 1        

2

2

cos

f x

f x f x f x

x

 

      

 

.Tính

3

T  f  

  A

4

T  B

4

T  C

2

T  D

2

T 

Câu 43: ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục 0, Biết f 0 2e  

f x thỏa mãn đẳng thức f ' x sin x f x cos x ecosx, x 0, Tính  

0

I f x dx





(làm tròn đến phần trăm)

A I6,55 B I 17, 30 C I 10, 31 D I 16, 91 Câu 44: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số f x  thỏa mãn

  2    

1

xf x x f x f x

      

    với x dương Biết f  1  f 1 1 Giá trị f2 2

A f2 2  2ln 2 B f2 2 2 ln 22 C f2 2 ln 1 D f2 2  ln 1

Câu 45: (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x( ) 0 ,  x [1;2] thỏa mãn

(1)

f  , (2) 22 15

f   

3

4

( )

375

f x dx x





 Tích phân

2

1

( )

f x dx A 1

5 B

7

5 C

3

5 D

4

Câu 46: (SỞGDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số y f x( ) liên tục có đạo hàm  thỏa mãn

3

2 ( )

3f ( ) '( )x f x 4xef x x  x  1 f(0) Biết

1 4089

0

(4 1) ( )d a

I x f x x

b  

    phân số tối

giản Tính T a3b

A T 6123 B T 12279 C T 6125 D T 12273

Câu 47: (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn

 1

f  ,  

1

2

3

d ln 2

f x x

   

 

  

 

1

2

3 d ln

2

f x x

x  

 Tích phân  

1

0

d

f x x



A 1 ln 2 

B 3 ln 2 

C 3 ln 2 

D 1 ln 2 

Câu 48: (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho hàm số f x( ) liên tục nhận giá trị không âm đoạn [0;1] Giá trị

nhỏ biểu thức    

1

0

2 ( ) ( ) d ( ) ( ) d

M  f x  x f x x f x x xf x x A

24

 B

8

 C

12

 D

Câu 49: (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số f x  có đạo hàm f x liên tục đoạn  1;e thỏa mãn

 1

f  x f  x xf2 x 3f x  x

    ,  x  1;e Giá trị f  e

A

2e B

4

3e C

3

4e D

2 3e

Câu 50: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho hàm số f x  thỏa mãn hai điều kiện

  2  

3

f x x x x f x

     

  ,  x   

3

1

d 12

f x x 



 Giá trị  

2

0

d

f x x



A 6 B 7 C 8 D 5

GTLN, GTNN, BĐT - TÍCH PHÂN Câu 1: Tìm giá trị lớn    

1

x

G x  t t dt đoạn 1;1

A 1

6 B 2 C.

5

 D 5

6

Câu 2: Cho F x  nguyên hàm hàm số f x ex2x34x Hàm số F x  có điểm cực trị?

A 2 B. C 1 D 4

Câu 3: Biết F x  nguyên hàm  hàm số  

 2018 2017

1

x f x

x

 

thỏa mãn F 1 0 Tìm giá trị nhỏ m F x 

A

2

m  B.

2017 2018

1 2

m  C

2017 2018

1 2

m  D

2

m

Câu 4: Tìm giá trị lớn M hàm số    

0

2 cos 2 sin d t

f t  x x x khoảng0;

A M 3 B. M3 C M 2 3 D M 2

Câu 5: Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn f  x x 1, x x



     f  1 1 Tìm giá trị nhỏ

nhất f  2

A 3 B 2 C. ln

2 D 4 Câu 6: Gọi x x1, 2 điểm cực đại điểm cực tiểu hàm số  

2

e

e

ln d

x x

f x  t t t Tính S x1x2

A ln 2e B ln C. ln D 0

Câu 7: Cho hàm số y f x  có đạo hàm 1; thỏa mãn f  1 1 f x 3x22x5

1; Tìm số nguyên dương lớn m cho

3;10  

x f x m với hàm số y f x  thỏa

điều kiện đề bài.

A m15 B m20 C. m25 D m30

Câu 8: Xét hàm số    

2

d x

F x  f t t hàm số y f t  có đồ thị hình vẽ bên Trong giá trị

A F 1 B. F 2 C F 3 D F 0 Câu 9: Tìm giá trị nhỏ

1

x

S  x ax d với a 0,1

A 2

6 

B

3 

C 2

3 

D

6 

Câu 10: Cho a b ab4 ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức   x b

a

I  x  a b x ab d

A 4 B 12 C 2 D 48

Câu 11: Tìm giá trị nhỏ 2  x

b

a

I  x  m x d ab hai nghiệm phương trình

 

2

2

x  m x  A 128

9 B

8

3 C 8 D 2

Câu 12: Tìm giá trị nhỏ

1

x

S  x ax d với a 0,1

A 2

6 

B 1

8 C

1

4 D

2 

Câu 13: Cho a b ab4 ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức   2  x b

a

I  x a x b d

A 12 B 0 C 64

3 D

49

Câu 14: Cho a b 2a2b22 4 ab Tìm giá trị lớn biểu thức   x b

a

I  x  a b x ab d

A 16

9 B

9

16 C

4

3 D

3 Câu 15: Gọi a,b giá trị lớn nhỏ

2

3 2

4 x x

m

m

S   x  m  m x m d với m 1;3

Mệnh đề

A 41

6

a b B a b 1 C 21

4

a b D a b 2 Câu 16: m tham số thuộc đoạn  1; Gọi a b, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

   

2

2

2 x

m

m

A 31 B 36 C 122

15 D

121

Câu 17: Giá trị nhỏ    

2

2

2

2 x

m

m

P x m m x m m d



       S a; ,a b b

 nguyên dương

a

b tối giản Tính T  a b

A 7 B 337 C 25 D 91

Câu 18: A tập hàm số f lien tục đoạn  0;1 Tìm     

1 201 x

min x

f A

x f x d

m x f x d

          

A

2019 

B

16144 

C 2017

2018 

D

16140 

Câu 19: A tập hàm số f lien tục đoạn  0;1 Tìm     

1 2013 0 x+

m ni x

f A

x f x d

M x f x d



 

  

   

A

2014 B

503

2014 C 2012

2013 D 8.2013

Câu 20: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f x  f x 1,  x  f  0 0 Tìm giá trị lớn f  1

A 2e e



B. e

e 

C e 1 D 2e 1

Câu 21: A tập hàm số f lien tục đoạn  0;1 nhận giá trị khơng âm đoạn  0;1 Tìm m nhỏ

nhất cho    

1

2018

0

x x

f x d m f x d  f A

 

A 2018 B 1 C

2018 D 2018

Câu 22: Cho hàm số y f x  nhận giá trị dương có đạo hàm f' x liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn  1 2018  0

f  f Tìm giá trị nhỏ biểu thức

    1 ' 0 x x

M d f x d

f x            

A ln 2018 B 2ln 2018 C 2e D 2018e Câu 23: Cho hàm số y f x  nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn

        '

1 ; f x x

f e f e d

f x

 

    

 

 

 Tìm mệnh đề đung

A

2

f   e

  B

1

f    e

  C

1

f    e

  D

1

2 2e

f     

Câu 24: Cho hàm số y f x  nhận giá trị dương có đạo hàm f' x liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn  1  0

f e f Biểu thức

    1 ' 0

x x

d f x d

f x

 

   

 

 

  Mệnh đề

A  1 2e

1

f

e



 B  

2 2e 1 f e 

 C  

 

2 e 1 f e  

 D  

 

2

Câu 25: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đồng thời thỏa mãn điều kiện với

mọi Tìm giá trị nhỏ ?

A B C D

Câu 26: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đồng thời thỏa mãn với

Tìm giá trị lớn

A B C D

Câu 27: Cho hàm số liên tục đồng thời thỏa mãn điều kiện sau:

Giá trị lớn tích phân bao nhiêu?

A B C D

Câu 28: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn với

Giá trị nhỏ tích phân bằng:

A B C D

Câu 29: Cho hàm số dương liên tục thỏa mãn biểu

thức đạt giá trị lớn Khi tính ?

A B C D

Câu 30: Cho hàm số y f x  có đạo hàm  f  x x4 22 2x x

     x f  1  1 Khẳng

định sau đúng?

A Phương trình f x 0 có nghiệm 0;1

B Phương trình f x 0 có nghiệm 0;

C.Phương trình f x 0 có nghiệm 1; 2 C Phương trình f x 0 có nghiệm 2;5

Lời giải Chọn C

 

2

2

f x x x

x

   

6

2

2

x x

x

 

  

2

2

1

x x

 

  ,  x  

y f x

  đồng biến 0;

 

f x

  có nhiều nghiệm khoảng 0;  1

 

y f x 1;1 f2 x 1

 1;1

x   

1

1

0

f x dx 



  

1

x f x dx 

1



4



3

 1

 

y f x  0;1 f x   8;8

 0;1

x  

1

0

3

xf x dx

  

1

?

x f x dx



2 31

16

4

17  

y f x  0;1

 0;1  

max f x 6

 

2

0

x f x dx

  

1

x f x dx



8

 

3 4



2 16



24  

y f x  0;1 3f x xf' x x2018

 0;1

x  

1

0

x

f x d



2021 2022

1 2018 2021

1 2018 2019

1 2019 2021  

y f x  1;3

 1;3    1;3  

1 max 2;

2

f x  f x 

 

 

3

1

1

S f x dx dx

f x

   

3

1

f x dx



2

5

7

Mặt khác ta có:

 

2

2

2

f x x x

x

     ,  x  

2

4

1

2 21

d d

5

f x x x x x

x

 



      

 

 

 2  1 21

5

f f

    2 17

5

f

 

Kết hợp giả thiết ta có y f x  liên tục 1; 2 f    2 f 0  2 Từ  1  2 suy phương trình f x 0 có nghiệm khoảng 1;  Câu 31: Cho hàm số f x  thỏa mãn f x 0,  x  1;  

3

4

7 d

375

f x x x



 

  

 Biết f  1 1,

 2 22 15

f  , tính  

2

1

d

I  f x x

A. 71

60

P B

5

P C 73

60

P D 37

30

P Câu 32: Cho hàm số nhận giá trị không âm liên tục đoạn đồng thời ta đặt

Biết với Tích phân có giá trị lớn

nhất bằng:

A B C D

Câu 33: Cho hàm số nhận giá trị không âm liên tục đoạn đồng thời ta đặt

Biết với Tích phân có giá trị lớn

nhất bằng:

A B C D

Câu 34: Cho hàm số nhận giá trị không âm liên tục đoạn đồng thời ta đặt

Biết với Tích phân có giá trị lớn

nhất bằng:

A B C D

Câu 35: Cho hàm số f x  có đạo hàm dương, liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  0 1

       

1

2

0

1

3 d d

9

f x f x x f x f x x

 

     

 

 

  Tính tích phân  

1

3

d

f x x

 

 

 :

A 3

2 B

5

4 C

5

6 D.

7

Câu 36: Cho hàm số y f x  liên tục, không âm  thỏa mãn f x f   x 2x f x 21  0

f  Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y f x  đoạn  1;

A M 20; m2 B M 4 11; m C M 20; m D. M 3 11; m

 

y f x  0;1

   

0

1 x

g x   f t dt g x  f x  x 0;1

 

0

1

dx g x



1

3

2

1

 

y f x  0;1

   

0

1 x

g x    f t dt g x  f2 x x 0;1  

1

0

x

g x d



5

4

7

9

 

y f x  0;1

   

2

0

1 x

g x   f t dt g x 2xf x 2 x 0;1  

1

0

g x dx



Câu 37: Cho hàm số nhận giá trị không âm liên tục đoạn đồng thời ta đặt

Biết với Tích phân có giá trị

lớn bằng:

A. B C D

Câu 38: Cho hàm số y f x  liên tục 0; 1 thỏa mãn  

1

0

d

xf x x

  

[0; 1]

max f x 1 Tích phân

 

0

ex d

I  f x x thuộc khoảng khoảng sau đây?

A ;

4

 

 

 

  B

3

; e

 



 

  C.

5 ;

 



 

  D e 1;   Câu 39: Cho hàm số y f x  liên tục đoạn  0;1 thoả mãn  

1

d

x f x x

  

[0;1]

max f x 6 Giá trị

lớn tích phân  

1

d

x f x x



A 1

8 B.

 

4 

C

3

2 16 

D

24 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH

A – KIẾN THỨC CHUNG

a - Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục đoạn , trục hoành hai đường thẳng , xác định:

b - Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , liên tục đoạn hai đường thẳng , xác định:

Chú ý:

 

y f x  0;1

   

0

1 x

g x    f t dt g x  f x 3 x 0;1  

1

2

0

g x dx

 

 



5

3

4

3

( )

y f x a b; 

xa xb ( )

b

a

S f x dx

( )

y f x yg x( )

a b;  xa xb ( ) ( )

b

a

Sf x g x dx

 



 

     

1

2

( ) : ( )

( ) : ( )

( )

C y f x

C y f x

H

x a

x b

1

(C )

2

(C )

1( ) 2( )

b

a

S   f x  f x dx

a c1

y

O c2 b x

  

  

    

( ) ( )

y f x y 0 H

x a x b a c1

2 c

 ( ) y f x y

O c3 b x

( )

b

a

- Nếu đoạn , hàm số khơng đổi dấu thì:

- Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích hình phẳng giới hạn đường , hai đường thẳng

, xác định:

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP:

Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới

hạn đường

Phương pháp giải tốn

+) Giải phương trình

+) Nếu (1) vơ nghiệm

+) Nếu (1) có nghiệm thuộc giả sử

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số đoạn dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân

Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới

hạn đường Trong nghiệm nhỏ

nhất lớn phương trình Phương pháp giải tốn

Bước 1. Giải phương trình tìm giá trị Bước 2. Tính trường hợp

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (HKII-CHUN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI)Diện tích hình phẳng hình vẽ sau

A 8

3 B

11

3 C

7

3 D

10

[ ; ]a b f x( ) ( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx

 

( )

xg y xh y( )

yc yd ( ) ( )

d

c

S g y h y dy

( ), ( ), ,

y f x yg x xa xb ( ) ( )

b

a

S f x g x dx

( ) ( ) (1)

f x  g x

 ( ) ( )

b

a

S  f x g x dx

a b;    ( ) ( )  ( ) ( )

b

a

S f x g x dx f x g x dx





   

( ) ( )

f x g x a; b

( ), ( )

y f x y g x S f x( ) g x dx( )





  , 

( ) ( )

f x g x a  b

( ) ( )

f x g x  ,

( ) ( )

S f x g x dx





Câu 2: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Diện tích hình phẳng giới hạn

đồ thị hàm số yx33x2, trục hoành hai đường thẳng x1, x4 A 51

4 B

53

4 C

49

4 D

55

Câu 3: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số yx3, yx24x4 trục Ox (tham khảo hình vẽ) tính theo công thức đây?

A  

2

3

0

4 d

x  x  x x

 B  

1

3

0

d 4 d

x x x x x

   

C  

1

3

0

d 4 d

x x x  x x

  D  

1

3

0

d 4 d

x x x  x x

 

Câu 4: (CHUN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019)Cho hàm số y f x  có

đồ thị gồm phần đường thẳng phần đường parabol có đỉnh gốc tọa độ O hình vẽ Giá trị  

3

3

d

f x x



bằng:

A 26

3 B

38

3 C

4

3 D

28

Câu 5: (CổLoa Hà Nội)Cho hàm sốđa thức bậc ba y f x ax3bx2cxd a( 0)có đồ thịnhư

A 6 B 19

4 C

27

4 D

Câu 6: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI)Trong mặt phẳng cho Parabol ( ) :P yx2 đường tròn ( ) :C x2y2 2 (xem hình vẽ bên) Tính diện tích phần tơ đậm (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)

A 1,19 B 1,90 C 1,81 D 1,80

Câu 7: (Sở Quảng NamT)Cho  H hình phẳng giới hạn parabol  P :y x2, tiếp tuyến với

 P điểm M2; 4 trục hồnh Diện tích hình phẳng  H

A 2

3 B

8

3 C

1

3 D

4

Câu 8: Cho hình thang cong (H) giới hạn đường ye yx; 0;x0 xln Đường thẳng

 

, ln

xk k chia (H) thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để

1 2

S  S A 2ln

3

k B kln C ln8

3

k D kln

Câu 9: Parabol

2

2

x

y chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính 2 thành hai phần có diện tích S1 S2, S1 S2 Tìm tỉ số

2

S S

A 21

 



 B

3

 



 C

3 12 

 

D 9

 

 

Câu 10: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình)Diện tích hình phẳng giới hạn

đồ thị hai hàm y x2

x y

x



 S  abln với a, b số hữu tỷ Tính ab ?

A 

B 2 C

3 

D

A 10

3 B 4 C

13

3 D

11

Câu 12: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn

đường y x x2 1; y 0 x1 A 2

3

S   B

3

S   C 2

S   D

3

S  

Câu 13: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho  H hình phẳng giới hạn đồ

thị hàm số y x4, trục hoành trục tung Biết đường thẳng d ax by:  160 qua

0; 2

A chia  H thành hai phần có diện tích Giá trị ab

A 5 B 6 C 2 D 4

Câu 14: (Ngơ Quyền Hà Nội)Diện tích miền hình phẳng giới hạn đường y2x, y  x 3,

y A

ln 2 B

1

ln 22 C

1

ln 2 D

2 ln 2 Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số 2

1

 

y x x , trục Ox đường thẳng x1

 

ln

 

a b b

c với a, b, c sốnguyên dương Khi giá trị a b c 

A 11 B 12 C 13 D 14

Câu 16: (Quỳnh Lưu Nghệ An)Cho parabol  P :yx2 hai điểm A B, thuộc  P cho AB2 Diện tích lớn hình phẳng giới hạn  P đường thẳng AB

A 3

4 B

3

2 C

2

3 D

4

Câu 17: (HSG Bắc Ninh)Cho hàm sốy f x( )là hàm sốđa thức bậc bốn có đồ thịnhư hình vẽ

A 127

40 B

127

10 C

107

5 D

13 Câu 18: (Nguyễn Du Dak-Lak 2019)Cho hàm số

yax bx c có đồ thị  C , biết  C qua điểm A1;0 Tiếp tuyến  A đồ thị  C cắt  C hai điểm có hồnh độ Biết diện tích hình phẳng giới hạn , đồ thị  C hai đường thẳng x 0; x 2 có diện tích 56

5 (phần gạch chéo hình vẽ)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn , đồ thị  C hai đường thẳng x 1; x0 A 2

5 B

2

9 C

1

9 D

1

Câu 19: (Thị Xã Quảng Trị)Cho hàm số yax4bx2c hàm số ymx2nx p có đồ thị

đường cong hình vẽbên (đường cong đậm đồ thị hàm số yax4bx2 c) Diện tích hình phẳng tơ đậm

A 32

15 B

64

15 C

104

15 D

52 15

Câu 21: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019)Cho hàm số

1

x m

y x

 

 ( với m0

) có đồ thị  C Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị  C hai trục tọa độ Biết S1, giá trị thực m gần với sốnào sau đây:

A 0,56 B 0, 45 C 4, D 1,7

Câu 22: (Cẩm Giàng)Cho hình thang cong  H giới hạn đường yex, y0, x0, xln

Đường thẳng xk 0kln 4 chia  H thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S12S2

A 4ln

k B ln8

3

k C kln D k ln

Câu 23: (KHTN Hà Nội Lần 3)Cho hàm số y x3ax2bx c có đồ thị  C Biết tiếp tuyến d

của  C điểm A có hồnh độ 1 cắt  C điểm B có hồnh độ (xem hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn d  C (phần gạch chéo hình)

A 27

4 B

11

2 C

25

4 D

13 Câu 24: (Đặng Thành Nam Đề 5)Cho

( )

f x x ax bx c g x( ) f dx e(  ) với a b c d e, , , , 

có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số y f x( ).Diện

tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y f x( ) yg x( ) gần với kết

A 4,5 B 4, 25 C 3,63 D 3, 67

Câu 25: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2)Cho hàm số y f x( ) liên tục  hàm số yg x( )x f x  2 có đồ thị đoạn 0; 2 hình vẽ

Biết diện tích miền tơ màu

S  , tính tích phân

4

1

( )d

I  f x x

A I 5 B

I  C

4

I  D I 10

Câu 26: (THTT lần5)Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thị  C hình vẽ Biết đồ thị hàm số cho cắt trục Oxtại điểm có hồnh độ x1, x2, x3theo thứ tự lập thành cấp số cộng

3

x x  Gọi diện tích hình phẳng giới hạn  C trục Oxlà S Diện tích S1 hình phẳng giới hạn đường y f x 1, y f x 1, xx1 xx3

Câu 27: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1)Hình phẳng  H giới hạn đồ thị  C hàm đa

thức bậc ba parabol  P có trục đối xứng vng góc với trục hồnh Phần tơ đậm hình vẽ có diện tích

A 37

12 B

7

12 C

11

12 D

5 12

Câu 28: (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số f x  xác định liên tục đoạn 5;3 có đồ thị hình vẽbên Biết diện tích hình phẳng        A , B , C , D giới hạn đồ thị hàm số f x  trục hồnh 6;3;12; Tích phân  

1

3

2f 2x 1 dx 

 

 

 



A 27 B 25 C 17 D 21

Biết diện tích hình phẳng giới hạn trục Ox đồ thị hàm sốy f x đoạn 2 ; 1và 1 ; 4 12 Cho f  1 3 Giá trị biểu thức f 2 f  4

A 21 B 9 C 3 D 3

Câu 30: (Hậu Lộc Thanh Hóa) Tìm số thực a để hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm

2

6

2

x ax a

y

a

 





2

1

a ax

y

a

 

 có diện tích lớn A

3

1

2 B C D

3

3 Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho  E có phương trình  

2

2 1, ,

x y

a b

a b   đường tròn

  2

:

C x y  Để diện tích elip  E gấp lần diện tích hình trịn  C

A ab7 B ab7 C ab D ab49

Câu 32: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019)Người ta dựđịnh trồng hoa Lan Ý để trang trí vào phần tơ đậm (như hình vẽ) Biết phần tơ đậm diện tích hình phẳng giới hạn hai

đồ thị  

2

y f x ax bx cx yg x dx2ex1 a b c d e, , , ,  Biết hai đồ thịđó cắt điểm có hồnh độ 3; 1; 2, chi phí trồng hoa

là 800000 đồng/1m2và đơn vị trục tính mét Số tiền trồng hoa gần với số sau đây? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)

A 4217000 đồng B 2083000 đồng C 422000 đồng D 4220000 đồng Câu 33: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số yx3ax2bxc a b c , ,  có đồ thị  C

 

2

, ,

ymx nxp m n p có đồ thị  P hình vẽ Tính diện tích hình phẳng giới hạn

A 0;1 B 1; 2 C 2;3 D 3;4

Câu 34: (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số f x x3ax b g x  f cx 2dx với , , ,

a b c d có đồ thịnhư hình vẽbên, đường cong đậm hàm số y f x  Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y f x  yg x  gần với kết đây?

A 7,66 B 4, 24 C 3,63 D 5,14

Câu 35: (Đặng Thành Nam Đề 15)Gọi  H hình phẳng giới hạn parabol yx32, trục hoành trục tung Gọi k1,k2(k1 k2) hệ số góc đường thẳng qua điểm A0;9

Giá trị k1k2 A 13

2 B 7 C

25

4 D

27

Câu 36: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho đồ thị  C hàm số

3

3

yx  x  Gọi  d tiếp tuyến  C điểm A có hồnh độ xAa Biết diện tích hình phẳng giới hạn  d  C 27

4 , giá trị a thỏa mãn đẳng thức nào? A 2a2  a B a22a0 C a2   a D a22a 3 Câu 37: Cho hình phẳng  H giới hạn đường y x21và yk, 0k1 Tìm kđể diện tích

hình phẳng  H gấp hai lần diện tích hình phẳng kẻ sọc hình vẽ bên

A k  34 B k 32 1. C

k  D k 1.

Câu 38: Cho hàm số y f x  xác định liên tục đoạn 3;3 Biết diện tích hình phẳng S1,

S giới hạn đồ thị hàm số y f x  đường thẳng y  x M , m Tính tích phân  

3

3

d

f x x



A 6m M B 6m M C M m6 D mM 6 Câu 39: (Đặng Thành Nam Đề 6)Cho hàm số

( )

f x ax bx cxd, có đồ thị ( )C M

điểm thuộc ( )C cho tiếp tuyến ( )C M cắt ( )C điểm thứ hai N ; tiếp tuyến ( )C N cắt ( )C điểm thứ hai P Gọi S S1, 2 diện tích hình phẳng giới hạn

đường thẳng MN ( )C ; đường thẳng NP ( )C Mệnh đềnào đúng?

A S18S2 B S2 8S1 C S2 16S1 D S116S2

Câu 40: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019) Cho hàm số y f x 

có đồ thị  C nằm trục hoành Hàm số y f x  thỏa mãn điều kiện  y 2y y  4  0 1;

4

f  f   

  Diện tích hình phẳng giới hạn  C trục hoành gần với số

nào đây?

A 0,95 B 0,96 C 0,98 D 0,97

Câu 41: (THẠCH THÀNH I - THANH HĨA 2019)Xác định a0 cho diện tích giới hạn hai parabol:

2

4

1

a ax x

y

a

 



 ,

2

x y

a



 có giá trị lớn

A a 43 B a 33 C a 34 D a45

Câu 42: Cho khối trụcó hai đáy hai hình tròn O R;  O R; , OO 4R Trên đường tròn O R;  lấy hai điểm A, B cho ABa Mặt phẳng  P qua A, B cắt đoạn OO tạo với

đáy góc 60,  P cắt khối trụ theo thiết diện phần elip Diện tích thiết diện

bằng

A

3 R



 



 

 

 

B

3 R



 



 

 

 

C

3 R



 



 

 

 

D

3 R



 



 

 

 

Câu 43: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019)Ta vẽ hai nửa đường trịn hình

bên, đường kính nửa đường trịn lớn gấp đơi đường kính nửa đường trịn nhỏ Biết nửa đường trịn đường kính AB có bán kính BAC 300 Diện tích hình (H) (phần tơ đậm) bằng:

A 2 2 B 2 3

C 10 3



 D 7 3

3 

Câu 44: (SỞNAM ĐỊNH 2018-2019)Biết parabol 24

y x chia hình phẳng giới hạn elip có

phương trình

2

1 16

x y

  thành hai phần có diện tích S S1, với S1S2 Tỉ số

S S

bằng A 4

8

 



 B

4

8

 



 C

4 12 

 

D 8

12 

 

Câu 45: Cho parabol  P :yx2và đường thẳng d thay đổi cắt  P hai điểm A, B cho 2018

AB Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn  P đường thẳng d Tìm giá trị lớn Smax S

A

3

2018 max

S   B

3

2018 max

S  C

3

2018 max

S   D

3

2018  max

S

Câu 46: Cho hình phẳng giới hạn đường

y x , y2, y x có diện tích

S  a b Chọn kết quảđúng:

A a1, b1 B a b 1 C a2b3 D a24b2 5

Câu 47: Tìm giá trị tham số m cho: y = m(x+2) giới hạn hai hình phẳng có diện tích

A < m < B m = C D m =

Câu 48: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm cho hình phẳng giới hạn đồ thị (C) đường thẳng có diện tích bằng

A B C D

Câu 49: Cho hàm số

4

2

2

2

x

y  m x  Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị

của hàm số cho có cực đại cực tiểu, đồng thời đường thẳng phương với trục hoành

qua điểm cực đại tạo với đồ thị hình phẳng có diện tích 64 15

A  B  1 C 2;

2

 

 

 

 

 

 

D 1;

 

 

 

 

Câu 50: Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) với y<0 trục hồnh, S’ diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) với y>0 trục hoành Với giá trị m ?

A B C D

Câu 51: Cho parabol  P :yx2 1 đường thẳng d y: mx2 Biết tồn m để diện tích hình phẳng giới hạn  P d đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ

A S0 B

3

S C

3

S D S4

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ

3

y x 3x2

1 m 9

3

1

2

3

y x mx  x m 0;5

6

m 

0, 2,

x x y

1

m

3

m

2

m m1

4

4

y x  x m

'

S  S

2

m

9

m 20

9

Câu 1: (Sở Phú Thọ)Cho hàm số Đồ thị hàm số hình vẽ (phần cong đồ thị phần parabol )

Biết , giá trị

A B C D

Câu 2: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019)Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục

, đồ thị hàm y f x hình vẽdưới Khẳng định phương án A B C D, , ,

dưới đúng?

A f  2  f  1  f  0 B f  0  f  1  f  2 C f  0  f  2  f  1 D f  1  f  0  f  2

Câu 3: (Hùng Vương Bình Phước) Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x liên tục 2;1 

Hình bên đồ thị hàm số y f x Đặt    

2

x g x  f x 

Khẳng định sau đúng?

A g 1   g 2 g 0 B g 0 g 1  g 2

C g  2 g 1 g 0 D g 0   g 2 g 1

Câu 4: (Sở Lạng Sơn 2019)Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  Biết đồ thị hàm số y f x có đồ thị hàm sốnhư hình

 

f x y f x 3; 2

2

yax bx c

 3

f   f  1  f  1 23

6

31

35

Lập hàm số    

3

g x  f x x  x Mệnh đềnào sau đúng?

A g 1 g 1 B g 1 g 1 C g 1 g2 D g 1 g2

Câu 5: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị hình bên Tính tích phân

 

2

1

2 d

I  f x x

A I  2 B I  1 C I 1 D I 2

Câu 6: (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số y f x( ) liên tục, có đạo hàm  ;  có đồ thịnhư

hình vẽ Tích phân  

1

0

5 d

I  f x x

A 9

5 B 9 C 3 D 2

4

2

2 -1

-1

3

Câu 7: (Đặng Thành Nam Đề 9)Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f x'( ) liên tục R có đồ thị hàm số f x'( ) hình vẽ, Biết  

3

0

1 '( )

 

 x f x dx a

1

0

  f '( )x dx b,

3

1



 f '( )x dx c, f( )1 d

Tích phân

3

0

 f x dx( )

A   a b 4c5d B   a b 3c2d C   a b 4c3d D   a b 4c5d Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 2)Cho hàm số f x( ) có đạo hàm cấp hai f( )x liên tục  có

đồ thị hàm số f x( ) hình vẽ bên Biết hàm số f x( ) đạt cực đại điểm x1; đường thẳng  hình vẽ bên tiếp tuyến đồ thị hàm số f x( ) điểm có hồnh độ x2 Tích phân

ln

0

1 x x e

e f  dx

 



A 8 B 4 C 3 D 6

Biết F x( ) f x( ),   x [ 5; 2]  

1

14 d

3

f x x 





 Tính F 2 F5 A 145

6

 B 89

6

 C 145

6 D

89 Câu 10: (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho  

5 d b

a

P x  x  x có giá trị lớn với (ab a b; , ) Khi tính 2

Sa b

A S 5 B S8 C S 4 D S 

Câu 11: (Kim Liên) Cho hàm số f x( )có đạo hàm , đồ thị hàm sốy f x( ) hình vẽ Biết ( )

f a  , tìm sốgiao điểm đồ thị hàm sốy f x( )với trục hoành

A 3 B 4 C 0 D 2

Câu 12: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019)Cho hàm số y f x( )

có đạo hàm liên tục đoạn 3;3 đồ thị y f x'( ) hình vẽ Đặt

( ) ( )

g x  f x x  Biết f(1) 24 Hỏi g x( )0 có nghiệm thực?

Câu 13: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH)Cho hàm sốy  f x có đạo hàm liên tục  Hàm số y f x  có đồ thịnhư hình vẽbên dưới:

Số nghiệm thuộc đoạn 2 ; 6 phương trình f x  f  0

A B C D

Câu 14: (Đặng Thành Nam Đề 2)Cho hàm số f x ax4bx2c có đồ thị  C Gọi   :ydx e tiếp tuyến  C điểm A có hồnh độ x 1 Biết  cắt  C hai điểm phân biệt

,

M N (M N,  A) có hồnh độ x0;x2 Cho biết  

2

0

28

( )

5

dx e  f x dx

 Tích

phân  

0

1

( )

f x dx e dx 

 

 bằng:

A 2

5 B

1

4 C

2

9 D

1

Câu 15: (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hai hàm số f x( )ax4bx3cx2dx e

3

( )

g x mx nx px với a, b, c, d , e, m, n, p, q số thực Đồ thị hai hàm số

( )

y f x , yg x( ) hình vẽ bên Tổng nghiệm phương trình f x( ) q g x( )e

bằng

A 13

3 B

13

 C 4

3 D

4 

Câu 16: (THPT Chuyên Thái Bình-lần năm 2017-2018) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục

trên đoạn 3;3 đồ thị hàm số y f x hình vẽ bên Biết f(1)6

     

2

1

x

g x  f x   Kết luận sau đúng? O

1  

 x

y

4

A Phương trình g x 0 có hai nghiệm thuộc 3;3 B Phương trình g x 0 khơng có nghiệm thuộc 3;3 C Phương trình g x 0 có nghiệm thuộc 3;3 D Phương trình g x 0 có ba nghiệm thuộc 3;3

Câu 17: Chọn ngẫu nhiên hai số thực Tính xác suất để phương trình có tối đa hai nghiệm

A B C D

Câu 18: (SởHưng Yên Lần1)Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ

Giá trị biểu thức    

4

0

' d ' d

I  f x x f x xbằng

A 2 B 2 C 6 D 10

Câu 19: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3)Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f x 0, x  Biết f 0 1  

  '

2

f x

x

f x   Tìm tất giá trị thực tham số m đểphương trình f x m có hai nghiệm thực phân biệt

A 0m1 B me C 0me D 1 me

Câu 20: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số f x( )ax4bx2 a b,  có đồ thị

hàm số f x'( ) hình vẽ bên Biết diện tích phần tơ đậm

8 Phương trình ( ) 0f x   có nghiệm?

  , 0;1

a b

2x 3ax b0

4

P

2

P

3

P

4

P

O x

y

3 

1 

A 0 B 4 C 3 D 2 Câu 21: (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3)Cho hàm số  

f x mx nx  px qxr m n p q r, , , ,  Hàm số y f x có đồ thịnhư hình vẽbên

Tập nghiệm phương trình f x r có số phần tử

A 4 B 2 C 3 D 1

Câu 22: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hàm số  

,

f x ax bx cx dxm

(với , , , ,a b c d m) Hàm số y f x có đồ thịnhư hình vẽ bên

Tập nghiệm phương trình  

f x  f   

  có số phần tử

A 5 B 2 C 4 D 3

Câu 23: (THPT NÔNG CỐNG LẦN NĂM 2019)Cho hàm số f x ax5bx4cx3dx2exr

a b c d e r, , , , ,  Hàm số y f x có đồ thịnhư hình bên (cắt Ox A2; 0, B1;0,

1; 0

A 2 B C 5 D 4

Câu 24: (THPT SỐ1 TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019)Cho hàm số y f x  có đồ thị y f ' x cắt

trục hoành ba điểm có hồnh độ abc hình vẽ Số nghiệm thực phương trình

   

f x a  f c

A B C D

Câu 25: (THPT-n-Mơ-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số f x  xác định

\      

 có đồ thị hàm số y f x hình vẽ, biết f  0 1, f  1 2 Giá trị

 1  3

A 4ln 15 B 2ln 15 C 3ln D ln 15

Câu 26: Cho số thực a b c d, , , thỏa mãn 0a  b c d hàm số y f x  Biết hàm số

 

y f x có đồ thịnhư hình vẽ bên Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số y f x  0;d Khẳng định sau khẳng định đúng?

A M m f  0  f c  C M m f b  f a  B M m f d  f c  D M m f  0  f a 

Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y f x , ta có nhận xét:

● Hàm số y f x đổi dấu từ  sang  qua xa

● Hàm số y f x đổi dấu từ  sang  qua xb

● Hàm số y f x đổi dấu từ  sang  qua xc

Từđó ta có bảng biến thiên hàm số y f x  đoạn 0;d sau:

Sử dụng bảng biến thiên ta tìm được:  

        

        

0;

0;

max max , ,

min ,

d

d

f x f f b f d

f x f a f c

   





 

  



Quan sát đồ thị, dùng phương pháp tích phân để tính diện tích, ta có

       

0;     

0

b c

d

a b

f x dx   f x dx f c  f a   f x  f c

 

Tương tự, ta có

       

       

     

     

0

0;

0

0 max

0

a b

a

c d d

b c

f x dx f x dx f f b

f f b f d f x f

f x dx f x dx f b f d



 

   

 

  



     

  

        

 

 

 

 

Vậy

0;      0;     

max ;

d

d  f x  f  f x  f c Chọn A

Câu 27: Cho hàm số Hàm số có đồ thịnhư hình vẽ Biết phương trình có bốn nghiệm phân biệt , , , với

Mệnh đềnào

A B

C D

Câu 28: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x liên tục  đồ thị hàm số f x đoạn 2; 6 hình vẽ bên Tìm khẳng định khẳng định sau

A  

 2;6  

max

x

f x f

 

  B  

 2;6  

max

x

f x f

 



C  

 2;6  

max

x

f x f

 

 D  

 2;6  

max

x

f x f

 

 

Câu 29: Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số y f x hình vẽ bên Đặt

 2;6   max

M f x



 ,

 2;6  

m f x



 , T M m Mệnh đềnào đúng?

 

y f x y f x f x 0

a b c a  0 b c

     

f a  f c  f b f a  f b  f c 

     

f c  f a  f b f b  f a  f c 

O x

y

2



2

2

A T  f  5  f  2 B T  f  5  f  6 C T  f  0  f  2 D T  f  0  f  2 Câu 30: (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn

 

f x  ,  x  Biết f  0 1 f x 6x3x2.f x  Tìm tất giá trị thực tham số m đểphương trình f x m có nghiệm

A

4

e

0

m m

  

  

B 1me4 C

4

e

m m

  

 

D 1me4

Câu 31: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm f x liên tục đoạn 0;5 đồ thị hàm số y  f x

trên đoạn 0;5 cho hình bên

Tìm mệnh đềđúng

A f  0  f  5  f  3 B f  3  f  0  f 5 C f  3  f 0  f  5 D f  3  f  5  f  0 Câu 32: Cho hàm số Hàm số có đồ thịnhư hình vẽdưới

Biết diện tích hình phẳng giới hạn trục đồ thị hàm số đoạn và Cho Giá trị biểu thức

A B C D

 

y f x y f x

Ox y f x 2;1

1; 4 12 f  1 3 f 2 f  4

21

5 

3

x O

ỨNG DỤNG THỂ TÍCH A – KIẾN THỨC CHUNG

1 - Thể tích vật thể

Gọi phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm , Giả

sử hàm số liên tục đoạn

Khi đó, thể tích vật thể Bđược xác định:

2 - Thể tích khối trịn xoay

Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường , trục hoành

và hai đường thẳng , quanh trục Ox:

Chú ý:

- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường , trục hoành hai đường thẳng , quanh trục Oy:

- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường ,

và hai đường thẳng , quanh trục Ox:

B S x( )

x (axb) ( )

S x [ ; ]a b

( ) b

a

V S x dx

( )

y f x xa xb

( )

xg y yc yd

( )

y f x

( )

yg x xa xb

c y

O d

x

( ) : ( ) ( ) :

 



 

     

C x g y

Oy x 0

y c

y d

 2

( ) d y

c

V   g y dy

( ) : ( ) ( ) :

 



 

     

C y f x

Ox y 0

x a

x b

 2

( ) b x

a

V   f x dx

a

 ( )

y f x

y

O b x

( )

b

a

S x d x

V  

x

O a b

( )V

THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ (TRỊN XOAY) PHƯƠNG PHÁP:

Tính thể tích khối trịn xoay:

Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y f x( ), y0, xa

và xb a ( b) quay quanh trục Ox 2( ) b

a

V  f x dx

Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y f x( ), yg x( ),

xa xb a ( b) quay quanh trục Ox 2( ) 2( ) b

a

V  f x g x dx B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong  2

1 x

x

x e

y

xe

  

 , trục hoành hai đường thẳng x  0,x 1 Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V a bln 1

e

   

     

 

 

, a,b

là số hữu tỷ Mệnh đềnào đúng?

A a2b5 B a b 3 C a2b7 D a b 5

Câu 2: (Gang Thép Thái Nguyên)Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x , y0 x4 quanh trục Ox Đường thẳng xa0a4 cắt

đồ thị hàm số y x M (hình vẽ) Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V 2V1 Khi

A a2 B a2 C

a D a3

Câu 3: (Lương Thế Vinh Lần 3)Cho hình vng OABC có cạnh chia thành hai phần parabol  P có đỉnh O Gọi S hình phẳng khơng bị gạch (như hình vẽ) Tính thể tích

V khối trịn xoay cho phần S quay quanh trục Ox A 128

5

V   B 128

3

V   C 64

5

V   D 256

5

V  

2

( ) ( ) b

a

Câu 4: (Sở Bắc Ninh 2019)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình (H1) giới hạn đường , ,

y x y  x x ; hình (H2) tập hợp tất cảcác điểm M x y( ; ) thỏa mãn điều kiện

2 2

16;( 2)

x y  x y  ; (x2)2y2 4 Khi quay (H1);(H2) quanh Ox ta khối trịn xoay tích V V1, 2 Khi đó, mệnh đềnào sau đúng?

A V2 2V1 B V1V2 C V1V2 48 D V2 4V1

Câu 5: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Gọi D miền giới hạn đường y 3x10,

1

y ,

y x D nằm parabol yx2 Khi cho D quay xung quanh trục Ox, ta nhận

được vật thể trịn xoay tích là: A 56

5  B 12 C 11 D

25 

Câu 6: (CHUN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019)Trong mặt phẳng cho hình vng ABCD cạnh 2, phía ngồi hình vng vẽ thêm bốn đường trịn nhận cạnh hình vng làm đường kính (hình vẽ) Thể tích khối trịn xoay sinh hình quay

quanh đường thẳng AC A 32

3

 

 B 16 2

 

 C 8

3

 

 D 64

 



Câu 7: (Thị Xã Quảng Trị)Cho đồ thị  C :yax3bx2cx d Parabol  P :ymx2nx p

có đồ thịnhư hình vẽ(đồ thị  C đường cong đậm hơn) Biết phần hình phẳng giới hạn  C  P (phần tơ đậm) có diện tích Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay phần hình phẳng quanh trục hồnh

A 3 B 237

35  C 5 D 159

35 

Câu 8: Một thùng đựng Bia (có dạng hình vẽ) có đường kính đáy 30cm, đường kính lớn thân thùng 40cm, chiều cao thùng 60 cm, cạnh bên hơng thùng có hình dạng parabol Thể tích thùng Bia gần với sốnào sau đây? (với giả thiết độ dày thùng

A 70 (lít) B 62 (lít) C 60 (lít) D 64 (lít)

Câu 9: (Cẩm Giàng)Trong chương trình nơng thơn mới, xã Y có xây cầu bê tơng

như hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ

đường Parabol)

A 19 m B 21m C 18 m D 40 m

Câu 10: (Chuyên Hưng Yên Lần 3)Để chuẩn bị cho hội trại Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dựđịnh dựng lều trại có hình parabol hình vẽ Nền lều trại hình chữ nhật có kích

thước bề ngang mét, chiều dài mét, đỉnh trại cách mét Tính thể tích phần khơng gian bên trại

A

72 m B

36 m C

72 m D

36 m

Câu 11: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong hình vẽ đây, đoạn AD chia làm

điểm B C cho ABBCCD2 Ba nửa đường trịn có bán kính AEB, BFC



CGD có đường kính tương ứng AB, BC CD Các điểm E, F, G tiếp điểm tiếp tuyến chung EG với nửa đường tròn Một đường tròn tâm F, bán kính Diện tích miền bên đường trịn tâm F bên ngồi nửa đường trịn (miền tơ đậm) biểu diễn dạng a c d

b   , a, b, c, d sốnguyên dương a, b nguyên tố

cùng Tính giá trị a b c d   ?

y

A 14 B 15 C 16 D 17

Câu 12: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hình phẳng  D giới hạn đường y x , in

s

y x x0 Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành  D quay quanh trục hoành V  p4, p Giá trị 24p

A 8 B 4 C 24 D 12

Câu 13: (SởHưng Yên Lần1)Có cốc thủy tinh hình trụ, bán kính lịng đáy cốc 4cm, chiều cao lòng cốc 12cm đựng lượng nước Tính thểtích lượng nước cốc, biết nghiêng cốc nước vừa lúc chạm miệng cốc ởđáy cốc, mực nước trùng với đường

kính đáy

A 128cm3 B 256cm3 C 256cm3 D 128cm3

Câu 14: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1)Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x 1 x1, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x  1 x 1 tam giác vng cân có cạnh huyền 1x4

A 3

4 B

2

5 C 4 D

1

Câu 15: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho vật thể  T giới hạn hai mặt phẳng x0; x2 Cắt vật thể  T mặt phẳng vng góc với trục Ox

0 2

x x ta thu thiết diện hình vng có cạnh x1 e x Thể tích vật thể

 T A  

4

13e

 

B

4

13e



Câu 16: (THĂNG LONG HN LẦN NĂM 2019) Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng

x , x Biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc với Ox điểm có

hồnh độ x 0 x  tam giác vng cân có cạnh huyền sinx2 A 7

6 

 B 9

8 

 C 7

6 

 D 9

8 



Câu 17: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019)Một đồng hồcát hình vẽ, gồm hai phần đối xứng qua mặt nằm ngang đặt hình trụ Thiết diện thẳng đứng qua trục hai

parabol chung đỉnh đối xứng qua mặt nằm ngang Ban đầu lượng cát dồn hết phần đồng hồ chiều cao h mực cát

4 chiều cao bên (xem hình)

Cát chảy từ xuống với lưu lượng không đổi 12, 72cm /phút Khi chi3 ều cao cát cịn 4cm bề mặt cát tạo thành đường trịn có chu vi 8 cm(xem hình) Biết sau 10 phút cát chảy hết xuống phần bên đồng hồ Hỏi chiều cao khối trụ bên cm?

A 10cm B 9cm C 8cm D 12cm Câu 18: Cho D miền phẳng giới hạn đường : ( ) 2

1

y f x

x

 

 ;

2

( )

x

yg x  Tính thể

tích khối trịn xoay thu tạo thành quay D quanh trục Ox ? Thểtích viết dạng T m2n ;m,n R tổng giá trị mn ?

A 1

2 B 13

20 C

2

5 D

3

Câu 19: Cho hai đường tròn O1;10 O2;8 cắt hai điểm A B, cho AB

đường kính đường trịn O2 Gọi  H hình phẳng giới hạn hai đường trịn ( phần

được tơ màu hình vẽ) Quay  H quanh trục O O1 2 ta khối trịn xoay Tính thể

A 824 

B 608

3  C

97

3  D

145  BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH

Câu 1: Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m

nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng/m2Hỏi cần tiền để

trồng dải đất (số tiền làm tròn đến hàng đơn vị)

A 8412322 đồng B 8142232 đồng C 4821232 đồng D 4821322 đồng Câu 2: Sân trường có bồn hoa hình trịn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn

hoa, nhóm định chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường parabol có đỉnh O đối xứng qua O Hai đường parabol cắt đường tròn bốn điểm A, B, C, D tạo thành hình vng có cạnh 4m (như hình vẽ) Phần diện tích Sl, S2 dùng để trồng hoa, phần diện tích S3, S4 dùng để trồng cỏ (Diện tích làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ 100.000 đồng/1m2 Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn)

A 6.060.000 đồng B 5.790.000 đồng C 3.270.000 đồng D 3.000.000 đồng Câu 3: (Sở Hà Nam)Một khu vườn có dạng hợp hai hình trịn giao Bán kính hai đường

trịn 20m 15m, khoảng cách hai tâm hai hình trịn 30m Phần giao hai hình trịn trồng hoa với chi phí 300000đồng/m2 Phần cịn lại trồng cỏ với chi phí 100000

đồng/m2 Hỏi chi phí để trồng hoa cỏ khu vườn gần với số tiền đây?

A 202 triệu đồng B 208 triệu đồng C 192 triệu đồng D 218 triệu đồng

Câu 4: (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2019 LẦN 3)Lô gô gắn Shoroom hãng tơ hình trịn hình vẽ bên Phần tơ đậm nằm gữa Parabol đỉnh I đường gấp khúc AJB

được giát bạc với chi phí 10 triệu đồng /m2 phần cịn lại phủ sơn với chi phí triệu đồng/m2 Biết AB2 ,m IAIB 5m 13

2

JAJB m Hỏi tổng số tiền giát bạc phủsơn lô gơ nói gần với số số sau:

A 19 250 000đồng B 19 050 000 đồng C 19 150 000đồng D 19 500 000đồng

Câu 5: (Lý Nhân Tông)Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng dải đất ?

C O2

O1

A

A 8 412 322 đồng B 4 821 322 đồng C 3 142 232 đồng D 4 821 232 đồng Câu 6: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hàm số yx46x2m

có đồ thị Cm Giả sử Cm cắt trục hoành bốn điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn Cm trục hồnh có phần phía trục hồnh phần phía trục hồnh có diện tích Khi m a

b

 (với a b, số nguyên, b0; a

b phân số tối giản) Giá trị

biểu thức S a b

A 7 B 6 C 5 D 4

Câu 7: (Hàm Rồng)Một hoa văn trang trí tạo từ miếng bìa mỏng hình vng cạnh

10 cm cách kht bốn phần có hình dạng parabol hình bên Biết AB5 cm, OH 4 cm Tính diện tích bề mặt hoa văn

A 140cm2

3 B

2

160 cm

3 C

2

14 cm

3 D

2

50 cm

Câu 8: (CổLoa Hà Nội)Để trang trí cho lễ hội đầu xuân, từ mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn 10 m, chiều dài trục nhỏ m, Ban tổ chức vẽ đường trịn có đường kính

độ dài trục nhỏ có tâm trùng với tâm elip hình vẽ Trên hình trịn người ta trồng hoa với giá 100.000đồng/m2, phần lại mảnh vườn người ta trồng cỏ với giá 60.000 đồng/m2 (biết giá trồng hoa trồng cỏ bao gồm công cây) Hỏi ban tổ chức cần tiền để

A 2387000 đồng B 2638000 đồng C 2639000 đồng D 2388000 đồng Câu 9: (Chuyên Sơn La Lần năm 2018-2019)Gia đình anh A có bồn hoa thiết kếnhư hình

dưới đây:

Ởđây I tâm hình trịn trung điểm F F1 2, F F1, 2 hai tiêu điểm hình elip, A2 đỉnh elip, IF2 3, F A2 1 Anh A dựđịnh trồng cỏ Nhật toàn phần diện

tích tơ đậm Hỏi số tiền anh A cần phải trảđể mua cỏ gần với sốnào sau biết giá cỏ Nhật 65.000đ/m2?

A 563.000đ B 560.000đ C 577.000đ D 559.000đ

Câu 10: (THẠCH THÀNH I - THANH HĨA 2019)Một cơng ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIFở tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao

6

BC m, chiều dài CD12 m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật cóMN 4 m; cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh Ilà trung điểm cạnh ABvà qua hai điểm C, D Kinh phí làm bức tranh 900.000 đồng/m2 Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh đó?

A 20.400.000 đồng B 20.600.000 đồng C 20.800.000 đồng D 21.200.000 đồng Câu 11: (THPT-Nguyễn-Cơng-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Ơng An muốn làm cửa

rào sắt có hình dạng kích thước hình vẽ bên, biết đường cong phía Parabol Giá 1m2 rào sắt 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả tiền để làm cửa sắt

vậy (làm trịn đến hàng nghìn)

m

A 6.620.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.520.000 đồng D 6.417.000 đồng Câu 12: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Một mặt bàn hình elip có chiều dài

120cm, chiều rộng 60cm Anh Hải muốn gắn đá hoa cương cho mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương màu trắng phần đá hoa cương màu vàng), biết phần đá hoa cương màu vàng

cũng elip có chiều dài 100 cm chiều rộng 40 cm Biết đá hoa cương màu trắng có giá 600.000vnd m/ đá hoa cương màu vàng có giá 650.000vnd m/ Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương theo cách gần với số tiền đây?

A 355.000 đồng B 339.000 đồng C 368.000 đồng D 353.000 đồng

Câu 13: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 chiều rộng 60m người ta làm

con đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền ngồi viền đường hai

đường elip, Elip đường viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí cho

m làm đường 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)

A 293904000 B 283904000 C 293804000 D 283604000

Câu 14: (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019) Một thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt thùng) đường elip có độ dài trục lớn 2m, độ dài trục bé 1m, chiều dài (mặt thùng) 3,5m Thùng đặt cho trục bé nằm

theo phương thẳng đứng (như hình bên) Biết chiều cao dầu có thùng (tính từđiểm thấp đáy thùng đến mặt dầu) 0,75m Tính thể tích Vcủa dầu có thùng (Kết

làm tròn đến hàng phần trăm)

60m

100m

A V 4, 42m3 B V 3, 23m3 C V 1,26m3 D V 7, 08m3

Câu 15: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Bồn hoa trường X có dạng hình trịn bán kính 8m Người ta chia bồn hoa thành phần hình vẽdưới có ý định trồng hoa sau: Phần diện tích bên hình vng ABCD để trồng hoa (phần tơ đen) Phần diện tích kéo dài từ cạnh hình vng đến đường tròn dùng để trồng cỏ (phần gạch chéo)

Ở góc cịn lại góc trồng cọ Biết AB4m, giá trồng hoa 200.000đ/m2, giá trồng cỏ 100.000đ/m2, mỗi cọ giá 150.000đ hỏi cần tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa (làm trịn đến hàng nghìn)

A 13.265.000 đồng B 12.218.000 đồng C 14.465.000 đồng D 14.865.000 đồng Câu 16: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀĐH VINHL3 -2019 )Sàn viện bảo tàng mỹ thuật lát

bằng viên gạch hình vng cạnh hình bên Biết người thiết kếđã sử

dụng đường cong có phương trình để tạo hoa văn cho viên gạch Diện tích phần tơ đậm gần với giá trịnào đây?

A B C D

Câu 17: (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3)Mảnh vườn nhà ơng An có dạng hình elip với bốn đỉnh A1, A2

, B1, B2 hình vẽbên Ơng dùng đường Parabol có đỉnh tâm đối xứng elip cắt elip điểm M N P Q, , , hình vẽ cho tứ giác MNPQ hình chữ nhật có MN4 để chia

vườn Phần tô đậm dùng để trồng hoa phần lại để trồng rau Biết chi phí trồng hoa 600.000 đồng/m tr2 ồng rau 50.000 đồng/m H2 ỏi số tiền gần với số tiền

nào đây, biết A A1 2 8 m, B B1 2 4 m?

A 4.899.000 đồng B 5.675.000 đồng C 3.526.000 đồng D 7.120.000 đồng Câu 18: (THPT-n-Mơ-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Trong mặt phẳng, cho đường elip

 E có độ dài trục lớn AA 10, độ dài trục nhỏ BB 6, đường trịn tâm O có đường kính BB (như hình vẽbên dưới) Tính thể tích V khối trịn xoay có cách cho miền

 

40 cm

2

4x  y 4(x 1)3 y2

 2

hình hình phẳng giới hạn đường elip trịn (được tơ đậm hình vẽ) quay xung quanh trục AA

A V 36 B V 60 C V 24 D 20

V  

Câu 19: (Chuyên Vinh Lần 2) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh

hình vẽbên Người ta chia elip parabol có đỉnh , trục đối xứng qua điểm

Sau sơn phần tơ đậm với giá đồng/ trang trí đèn led phần cịn lại với giá đồng/ Hỏi kinh phí sử dụng gần với giá trị đây? Biết

A đồng B đồng C đồng D đồng

Câu 20: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Một cổng có hình dạng Parabol  P có kích

thước hình vẽ, biết chiều cao cổng m, AB m Người ta thiết kế cửa

hình chữ nhật CDEF (với C F, AB; D E,  P ), phần lại (phần tơ đậm) dùng để trang

trí Biết chi phí để trang trí phần tơ đậm 1.000.000 đồng/

m Hỏi số tiền dùng để trang

trí phần tơ đậm gần với số tiền đây?

A 4.450.000đồng B 4.605.000đồng C 4.505.000đồng D 4.509.000đồng

1, 2, 1,

A A B B

1

B B B1 2

,

M N 200.000 m2

500.000

m

1 , 2 ,

A A  m B B  m MN  m

N M

B1 B2

A2 A1

Câu 21: (Sở Thanh Hóa 2019)Một khn viên dạng nửa hình trịn, người ta thiết kế phần để

trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm có trục đối xứng vng góc với đường kính nửa hình trịn, hai đầu mút cánh hoa nằm nửa hình trịn (phần tô đậm) cách khoảng (m) Phần cịn lại khn viên (phần khơng tơ đậm)

dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước hình vẽ, chi phí để trồng hoa cỏ Nhật Bản

tương ứng 150.000 đồng/m2 100.000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng hoa cỏ

Nhật Bản khn viên đó? (Số tiền làm tròn đến hàng đơn vị)

A 3.926.990 (đồng) B 4.115.408 (đồng)C 1.948.000 (đồng) D 3.738.574 (đồng) Câu 22: (Chuyên Phan Bội Châu Lần2)Người ta xây sân khấu với mặt sân có dạng hợp hai

hình trịn giao Bán kính hai hai hình trịn 20 mét 15 mét Khoảng cách hai tâm hai hình trịn 30 mét Chi phí làm mét vng phân giao hai hình trịn

là 300 ngàn đồng chi phí làm mét vng phần cịn lại 100 ngàn đồng Hỏi số tiền làm mặt sân sân khấu gần với số sốdưới đây?

A 202 triệu đồng B 208 triệu đồng C 218 triệu đồng D 200 triệu đồng Câu 23: Trên cánh đồng cỏ có bị cột vào cọc khác Biết khoảng cách cọc

là mét sợi dây cột bò dài mét mét Tính phần diện tích mặt cỏ lớn mà bị có thểăn chung (lấy giá trị gần nhất)

A 1, 034 m2 B 1, 574 m2 C 1, 989 m2 D 2,824 m2

Câu 24: Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ởđó có

một mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình hệ tọa độ Oxy 16y2 x225x2 hình vẽ bên

Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét

A 125  2

6

S  m B 125  2

4

S m C 250  2

3

S m D 125  2

3

S  m

BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH

Câu 1: Một chng có dạng hình vẽ Giả sử cắt chng mặt phẳng qua trục chuông,

được thiết diện có đường viền phần parabol ( hình vẽ ) Biết chng cao 4m, bán kính miệng chng 2 Tính thể tích chng?

A 6 B 12 C

2 D 16

Câu 2: Một bồn hình trụđang chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m, có bán kính đáy

1m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn (theo

đơn vị m ) A 11,781

m B 12,637

m C 114,923 m3 D 8, 307 m3

Câu 3: Một thùng rượu có bán kính đáy 30cm, thiết diện vng góc với trục cách hai đáy

có bán kính 40cm, chiều cao thùng rượu 1m (hình vẽ) Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu ( đơn vị lít) bao nhiêu?

A 425, lit B 425162lit C 212581lit D 212, 6lit

Câu 4: (Đặng Thành Nam Đề 17) Một thùng đựng bia (có dạng khối trịn xoay hình vẽ) có

đường kính đáy 30 cm, đường kính lớn thân thùng 60 cm , cạnh bên hông thùng có hình dạng parabol Thể tích thùng bia gần với kết quảnào

A 70 (lít) B 62 (lít) C 60 (lít) D 64 (lít)

Câu 5: (ĐH Vinh Lần 1)Chuẩn bịcho đêm hội diễn văn nghệchào đón năm mới, bạn An làm mũ “cách điệu” cho Ơng già Noel có hình dáng khối tròn xoay Mặt cắt qua trục mũ hình vẽ bên Biết OO' = 5cm ,OA = 10 cm , OB = 20cm, đường cong AB

là phần parabol có đỉnh điểm A Thể tích mũ

A 2750  cm3



B 2500  cm3



C 2050  cm3



D 2250  cm3



Câu 6: Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ

Tính thể tích khối bê tơng đểđổđủ cầu (Đường cong hình vẽlà đường Parabol) B

O'

A

19m B

21m C

18m D 40m

Câu 7: (ĐH Vinh Lần 1)Cây dù ởkhu vui chơi “công viên nước” trẻ em có phần chỏm cầu, phần thân khối nón cụt hình vẽ Biết ON OD2m; MN 40cm; BC40cm

; EF 20cm Tính thể tích dù

A 336000cm3 2750  3

cm



B 896000  3

3 cm



C 112000cm32050  3

cm



D 896000cm3 2250  3

cm



Câu 8: (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN NĂM 2019)Sân vận động Sports Hub (Singapore) nơi diễn lễ khai mạc đại hội thể thao Đông Nam Á tổ chức Singapore năm 2015 Nền sân Elip  E có trục lớn dài 150m, trục bé dài 90m Nếu cắt sân vận động theo mặt phẳng vuông góc với trục lớn  E cắt  E M N (hình a) ta thiết diện

A M D

F E

B

O

C N

0, 5m 19m 0, 5m

5m

2m

ln phần hình trịn có tâm I ( phần tơ đậm hình b) với MN dây cung



90

MIN  Để lắp máy điều hịa khơng khí cho sân vận động kỹ sư cần tính thể tích phần khơng gian bên mái che bên mặt sân, coi mặt sân mặt phẳng vật liệu làm mái che không đáng kể Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu?

Hình a Hình b

A 57793m3 B 115586m3 C 32162m3 D 101793m3

Câu 9: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2)Một chi tiết máy thiết kếnhư hình vẽ bên

Các tứ giác ABCD CDPQ, hình vng cạnh 2,5cm Tứ giác ABEF hình chữ nhật có 3,5

BE cm Mặt bênPQEFđược mài nhẵn theo đường parabol  P có đỉnh parabol nằm cạnh E F Thể tích chi tiết máy

A 395

24 cm B

3 50

3 cm C

3 125

8 cm D

3 425

24 cm

Câu 10: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng

song song vng góc đường kính cách tâm khoảng 3dm để làm lu đựng

A 100  3

3  dm B  

3

43

3  dm C  

3

41 dm D  3

132 dm

Câu 11: Có cốc thủy tinh hình trụ, bán kính lịng đáy cốc 6cm, chiều cao lòng cốc

10cm đựng lượng nước Tính thểtích lượng nước cốc, biết nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc ởđáy mực nước trùng với đường kính đáy

A

240 cm B

240 cm C

120 cm D

120 cm

Câu 12: Chướng ngại vật “tường cong” sân thi đấu X-Game khối bê tơng có chiều cao từ mặt đất lên 3, m Giao mặt tường cong mặt đất đoạn thẳng AB2 m Thiết diện khối tường cong cắt mặt phẳng vng góc với AB A hình tam giác vng cong ACE với AC4 m, CE3,5 m cạnh cong AE nằm đường parabol có trục

đối xứng vng góc với mặt đất Tại vị trí M trung điểm AC tường cong có độ cao 1m (xem hình minh họa bên) Tính thể tích bê tơng cần sử dụng để tạo nên khối tường cong

A 9, 75 m B 10, m C 10 m D 10, 25 m

Câu 13: Từ khúc gõ hình trụcó đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua

đường kính đáy nghiêng với đáy góc để lấy hình nêm (xem hình minh họa đây)

0 45

A B

C M

E

2 m 1m

3, m

Hình Hình

Kí hiệu thể tích hình nêm (Hình 2) Tính

A B C D

Câu 14: Người ta dựng lều vải  H có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽbên Đáy

của  H hình lục giác cạnh m Chiều cao SO6 m (SO vng góc với mặt phẳng

đáy) Các cạnh bên  H sợi dây c1, c2, c3, c4, c5, c6 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có)  H với mặt phẳng  P vng góc với SO lục giác  P qua trung điểm SO lục giác có cạnh 1m

Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều  H

A 135 (

3

m ) B 96 (

3

m ) C 135 (

3

m ) D 135 (

3

m )

Câu 15: Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn bán kinh cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Oxta thiết diện tam giác Thể tích vật thể

là:

V V

 

V 2250 cm3

 V 225 cm3

4 

 V 1250cm3 V 1350cm3

O

1

c

2

c

3

c

4

c

5

c

6

c

1m

A 256

V  B 64

3

V  C 256

3

V  D 32

3

V  Câu 16: Gọi  H phần giao hai khối

4 hình trụ có bán kính a, hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích  H

A  

3

2  H

a

V B  

3

3  H

a

V C  

3

2  H

a

V D  

3

4   H

a

V

Câu 17: Cho vật thể gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy R Cắt khối trụ mặt phẳng có giao tuyến với đáy đường kính đáy tạo với đáy góc Thể tích khối gỗ bé là:

A B C D

ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC

Câu 1: Một hạt proton di chuyển điện trường có biểu thức gia tốc ( theo /

cm s )

 2

20 ( )

1

a t

t

 

 (với t tính giây) Tìm hàm vận tốc v theo t, biết t0 v30 cm s/  A 10

1 2 t B

10 20

1 2 t  C  

3

1 2 t  30 D

 2

20 30 2t

  

Câu 2: (SỞ BÌNH THUẬN 2019)Một ơtơ bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v t 6t m s 

Đi 10s, người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ôtô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a 60m s2 Tính quãng đường S ôtô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn

A 300 m B 330 m C 350 m D 400 m

0

45

3

2

R V 

3

R V 

3

R V 

3

Câu 3: Một người lái xe ô tơ chạy với vận tốc 20 /m s người lái xe phát có hàng rào ngăn đường

ởphía trước cách 45m (tính từ vịtrí đầu xe đến hàng rào) vậy, người lái xe đạp phanh Từ thời

điểm xe chuyển động chậm dần với vận tốc v t  5t20(m s/ ), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từlúc đạp phanh đến dừng hẳn, xe tơ cịn cách hàng rào ngăn cách mét (tính từ vịtrí đầu xe đến hàng rào)?

A 5 m B 4 m C 6 m D 3 m

Câu 4: Một vật chuyển động với vận tốc 10 /m s tăng tốc với gia tốc a t( )3tt2 Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

A 4300

3 m B 4300 m C 430 m D 430

m

Câu 5: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc (m/s) Đi (s), người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc (m/s2 ) Tính quãng đường (m) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn

A (m) B (m) C (m) D (m)

Câu 6: Một ôtô chạy với vận tốc 15 m/s phía trước xuất chướng ngại vật nên người lái

đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, ơtơ chuyển động chậm dần với gia tốc a

/

m s Biết ôtô chuyển động thêm 20m dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng

A 3;  B 4;  C 5;  D 6; 

Câu 7: Một ôtô chạy với vận tốc 18 /m s người lái hãm phanh Sau hãm phanh, ôtô chuyển

động chậm dần với vận tốc v t  36t18 (m s/ ) t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Quãng đường ôtô di chuyển kể từ lúc hãm phanh đến dừng mét?

A 5, m B 3, m C 6,5 m D 4, m

Câu 8: Một lực 50 N cần thiết đểkéo căng lị xo có độ dài tự nhiên cm đến 10 cm Hãy tìm cơng sinh kéo lị xo từđộ dài từ10 cm đến 13 cm?

A 1,95J B 1,59 J C 1000 J D 10000 J

Câu 9: Một ôtô chạy với vận tốc 15 m/s phía trước xuất chướng ngại vật nên người lái

đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, ơtơ chuyển động chậm dần với gia tốc a

/

m s Biết ôtô chuyển động thêm 20m dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng

A 3;  B 4;5  C 5;6  D 6;7 

Câu 10: Tại nơi khơng có gió, khí cầu đứng yên ởđộ cao 162 (mét) so với mặt đất

được phi công cài đặt cho chếđộ chuyển động xuống Biết rằng, khí cầu chuyển động

theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v t 10t t 2, t (phút) thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v t  tính theo đơn vị mét/phút (m p/ ) Nếu bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu

A v5m p/  B v7m p/  C v9m p/  D v3m p/ 

1( )

v t  t

70

a  S

95, 70

Câu 11: Một ô tô chạy với vận tốc 10 /m s người lái đạp phân, từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v t  5t10m s/ , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từlúc đạp phanh đến dừng hẳn tơ cịn di chuyển mét?

A 0, 2m B 2m C 10m D 20m

Câu 12: Một bác thợxây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h(t) thểtích nước bơm sau t giây Cho

 

3

’ a b

h t  t  t ban đầu bểkhơng có nước Sau giây thểtích nước bể 150m3 Sau 10 giây thểtích nước bể 1100m3 Hỏi thểtích nước bểsau bơm 20 giây

A 8400m3 B 2200m3 C 6000m3 D 4200m3

Câu 13: Gọi h t  cm mức nước bồn chứa sau bơm t giây Biết   13

8

h t  t

và lúc đầu bồn khơng có nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước giây (chính xác

đến 0, 01 cm)

A 2, 67 cm B 2, 66 cm C 2, 65 cm D 2, 68 cm Câu 14: Một đám vi trùng ngày thứt có số lượng N t  Biết   4000

1 0,5

N t

t

 

 lúc đầu đám vi trùng có 250000 Hỏi sau 10 ngày sốlượng vi trùng gần với số sau nhất? A 251000 B 264334 C 261000 D 274334 Câu 15: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N t( ), biết ( ) 7000

2

N t t

 

 lúc đầu đám vi trùng có 300000 Sau 10 ngày, đám vi trùng có khoảng con?

A 302542 B 322542 C 312542 D 332542

Câu 16: Tốc độ phát triển số lượng vi khuẩn hồ bơi mơ hình hàm số

 

 2

1000

, 0,3

B t t

t

  

 , B t  sốlượng vi khuẩn m l nước ngày thứ t Sốlượng vi khuẩn ban đầu 500 m lnước.Biết mức độan toàn cho người sử

dụng hồbơi số vi khuẩn phải 3000 m l nước Hỏi vào ngày thứ

thì nước hồ khơng cịn an tồn nữa?

A 9 B 10 C 11 D 12

Câu 17: (KHTN Hà Nội Lần 3)Một bác thợxây bơm nước vào bể chứa nước Gọi V t  thểtích nước

bơm sau t giây Biết  

V t at bt ban đầu bểkhơng có nước, sau giây thể tích

nước bể

15m , sau 10 giây thểtích nước bể

110m Thểtích nước bơm sau 20 giây

Câu 18: Hạt electron có điện tích âm 1, 6.1019C Nếu tách hai hạt eletron từ1pm đếm 4pm cơng

W sinh

A W 3,194.1028 J B W 1, 728.10-16 J

C W 1, 728.1028 J D W 3,194.1016 J

Câu 19: Trong mạch máy tính, cường độ dịng điện (đơn vị mA) hàm số theo thời gian t, với ( ) 0, 0,

I t   t Hỏi tổng điện tích qua điểm mạch 0,05 giây bao nhiêu? A 0, 29975 mC B 0, 29 mC C 0, 01525 mC D 0, 01475 mC

Câu 20: Dịng điện xoay chiều hình sin chạy qua đoạn mạch LC có có biểu thức cường độ

  0cos

2

i t I  t 

 



 Biết iqvới qlà điện tích tức thời tụ điện Tính từ lúc t0, điện

lượng chuyển qua tiết diện thẳng dây dẫn đoạn mạch thời gian   A  2I0

 B C

0

2I

 D

0

2

I

 

Câu 21: Khi một lò xo bịkéo căng thêm x m  so với độ dài tự nhiên 0,15 m lị xo lị xo trì lại (chống lại) với lực f x 800 x Hãy tìm cơng W sinh kéo lị xo từđộ

dài từ 0,15 m đến 0,18 m

A W 36.102J B W 72.102J C W 36 J D W 72 J

Câu 22: Một dòng điện xoay chiều i = I0sin t

T

 



 

 



 chạy qua mạch điện có điện trở R.Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa đoạn mạch thời gian chu kì T

A

2

2

RI

T B

2

3

RI

T C

2

4

RI

T D

2

5

RI T

Câu 23: Đặt vào đoạn mạch hiệu điện xoay chiều u = U0sin2 t

T



Khi mạch có dịng diện xoay chiều i = I0sin t

T

 



 

 



 với  độ lệch pha dòng diện hiệu điện thế.Hãy Tính cơng dịng diện xoay chiều thực đoạn mạnh thời gian chu kì

A 0

2

U I

cos B 0

sin

U I

T  C 0

( )

U I

Tcos  D 0

2

U I

Tcos

Câu 24: Đểkéo căng lị xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm cần lực 40N Tính cơng (A) sinh kéo lị xo có độ dài từ 15cm đến 18cm

Câu 25: Một AB có chiều dài 2a ban đầu người ta giữ góc nghiêng  o, đầu tựa khơng ma sát với tường thẳng đứng Khi buông thanh, sẽtrượt xuống tác dụng trọng lực Hãy biểu diễn góc  theo thời gian t (Tính cơng thức tính phân)

A

3

(sin sin )

o

o

d t

a

 

 







 

B

3

(sin sin )

o

o

d t

g a

 

 







 

C

3

(sin sin )

o

o

d t

g a

 

 







 

D

3

(sin sin )

o

o

d t

g a

 

 







NGUYÊN HÀM A – KIẾN THỨC CHUNG

1 Định nghĩa

Cho hàm số f x  xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x  gọi nguyên hàm hàm số f x  K F x'  f x  với x K

Kí hiệu: f x dx  F x C Định lí:

1) Nếu F x  nguyên hàm củaf x  K với số C , hàm sốG x F x C nguyên hàm f x  K

2) Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K nguyên hàm f x  K

đều có dạng F x C , với C số

Do F x C C,  họ tất nguyên hàm f x  K 2 Tính chất nguyên hàm

       



f x dx f x     

f x dx' f x C ; df x dx f x dx  Nếu F(x) có đạo hàm thì: d F x ( ) F x( )C

 kf x dx  k f x dx   với k số khác

        

    

 

 f x g x dx f x dx g x dx

 Công thức đổi biến số: Cho y  f u  u g x  

Nếu f x dx( ) F x( )C f g x g x dx ( ) '( )  f u du( ) F u( )C 3 Sự tồn nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f x  liên tục K có nguyên hàm K 4 Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp

1 0dx C dx x C

3    





   



x dx 1x C 16    





    



 ax b a ax b c

1

1

dx ,

1

 

 

4  dx   C

x x2

1

17 xdx  x C 2  dx  x C

x

1

ln 18   



axdxb a1lnax b c e dxx ex C

19  

 

eax bdx a1eax b C   

x

x a

a dx C

a

ln 20

 

 



kx b kx b a

a dx C

k a

8 cosxdx  sinx C

21  ax b dx   ax b C

a

1

cos sin

9 sinxdx  co sx C

22  ax b dx    ax bC

a

1

sin cos

10 tan x dx ln | cos |x C

23. ax b    ax b  C

a

1

tan dx ln cos

11.cot x dx ln | sin |x C

24. ax b   ax b  C

a

1 cot dx ln sin 12  dx  x C

x

2

tan

cos 25  2ax b dx  a ax b C

1

tan cos

13. dx   x C

x

2

cot

sin 26  2ax b dx  a ax b C

1

cot sin

14.1 tan 2x dx tanx C

27   ax b dx   ax b C

a

2

1 tan tan

15 1 cot 2x dx  co x Ct 

28.  ax b dx    co ax b  C

a

2

1 cot t

5 Bảng nguyên hàm mở rộng

 



a2 x2 a ax C

dx

arctg  x x x  a x C

a a

2

arcsin dx arcsin 

 

 

a2 x2 a aa xx C dx ln

2     

x x

x a x C

a a

2

arccos dx arccos

 

   



 x2 a2 x x2 a2 C

dx

ln  x x x a a x C

a a

2

arctan dx arctan ln

 



 a2 x2 xa C

dx

arcsin  x x x a a x C

a a

2

arc cot dx arc cot ln

 



x x2 a2 a ax C

dx

arccos

 

  



x x a a a xx a C

2

2

dx

ln

 



 



sin ax bdx a1ln tanax b2 C

         

 

ln ax b dx x ab ln ax b x C   

 

 

ax

ax e a bx b bx

e bx C

a2 b2 cos sin cos dx



   

 a x x a x a ax C

2 2

2 dx arcsin

2     

 

ax

ax e a bx b bx

e bx C

a2 b2 sin cos sin dx

Câu Tìm giá trị thực a để  

2

ax F x

x

 

 nguyên hàm hàm số    3

4

x f x

x

 

 A a4 B a5 C a 4 D a 5

Lời giải Chọn A

Ta có  

 3

1

1

2 2 1

ax

a x

ax a x

F x

x x

  

  

  

 

   

 3  3

4

1

1 4

1

2

a

ax a x

F x f x ax a x a

a

x x

 

  

           

  

 

Câu Cho F x ax2bx c  2x1 nguyên hàm hàm số  

2

10 2

x x

f x

x

 



 khoảng 1;

2

 



 

  Tính Sa b c

A S3 B S0 C S  6 D S  2 Lời giải

Chọn D

       

2

2 10

2

2

x x

F x f x ax b x ax bx c

x x

 

        

 

2 2 1 2

10

2

ax b x ax bx c x x

x x

      

 

 

 

2

5ax 3b 2a x c b 10x 7x

       

5 10

3

2

a

a b

c b

  

   

    

2

1

3

a

b S

c

  

        



Câu Cho    

2

F x  ax bx c x nguyên hàm hàm số  

2

20 30

x x

f x

x

 



 khoảng 3;

2

 



 

  Tính Pabc

A P0 B P3 C P4 D P 8 Lời giải

Chọn D

Ta có        

2

2

2

2 3

ax b a x c b

F x ax b x ax bx c

x x

   

       

 

     

5 20 30

5 20 30

3

a

b a

c b

  

   

  



4

2

1

a

b S

c

  

       



Câu Biết sin cos ln sin cos sin cos

x x

dx a x x C

x x



  



 Với a số nguyên Tìm a?

A a1 B a2 C a3 D a4

Lời giải Vì ln sin cos sin cos  sin cos

sin cos sin cos

x x x x

a x x C

x x x x



 



     

   

 nên

Nguyên hàm của: sin cos sin cos

x x

x x



 là: ln sinxcosx C Chọn A

Câu Tìm nguyên hàm của:

2

2

tan

tan

x

x



 



 

 

biết nguyên hàm

x

A 12

cos x B

1

sin x C tanx2 D cotx2

Lời giải

 

2

2

2 2

2

tan tan

1

2

1 1 tan

cos tan

tan

2

x x

f x x

x x

x

 

 

       

    



   

 

Nguyên hàm F x tanx C

Ta có: tan   tan

4

F   C C F x  x  

 

Chọn C Câu Biết

   5

1

25 20

dx C

x x a x

  

  

 Với a số nguyên Tìm a?

A a4 B a100 C a5 D a25 Lời giải

Chú ý biến đổi:

   

 

3

3

25 20

25 20

4 25 20

x x

dx x x dx C

x x



  

    



 

  Là sai

Điều sau đúng:      

4

3

2 25 20

25 20 25 20

4

x x

x x d x x C



  

     

Trở lại bài, ta biến đổi biểu thức 25x220x43 dạng ax b n sau:

     

 

 

6

3

2

5

1

5

25 20

1

5 25

dx dx x dx

x

x x

x

C C

x

 

  



 



    

 

  

Chọn D

Câu Biết 21 ln 7

x a

dx x C

x x b



  

 

 , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b?

A S4 B S2 C S3 D S5

Lời giải

Ta quan sát mẫu cso thể phân tích thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương trình bậc 2:

2

2x 5x70 thấy có hai nghiệm là: 1,

x  x

Áp dụng công thức ax2bx c a x x1xx2 với x x1, 2 hai nghiệm ta có:

  

2

2x 5x 7 x1 2x7

Do đó:

  

2

1 1

ln

2 7

x x

dx dx dx x C

x x x x x

 

    

    

  

Chọn C

Câu Biết tan

1 sin

a

dx x C

x b

 

   

  

  , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b?

A S4 B S2 C S3 D S5

Lời giải

2

1 1

1 sin

1 cos 2 cos

2

dx dx dx

x

x x

  

    

      

   

    

1

tan tan

2 x C x C

   

        

   

 

Ta thấy a=1,b=2 suy S=3 Chọn C

Câu Cho   8sin2

12

f x  x  

  Một nguyên hàm

 

F x

f x  thỏa F 0 8 là: A 4 sin

6

x  x 

 



B 4 2sin

6

x  x 

 

C 4 sin

x  x 

 



D 4 2sin

6

x  x 

 

 Lời giải

Ta cần phải tính   8sin2

12

f x dx x dx

 

   Đầu tiên sử dụng công thức hạ bậc đểđổi f x 

như sau:

 

1 cos

8sin

12

x

f x x

  

   

 

    

   

 

 

 

 

 

  4 cos   2sin

6

f x    x F x  x  x C

   

 

 0 2sin

6

f     C C  



Chọn B

Câu 10 Biết F x( ) nguyên hàm

 

2

2

5

x x

dx

x x

 



 với 0 x 26

F  

  Giá trị nhỏ ( )

F x là:

A 24 B 20 C 25 D 26

Lời giải Ta có:

 

 

 

 

   

2

2

2 2

2

2

9

5

1

9 4

1

x x x

x x

F x dx dx

x x

x x

dx C

x x x

x

  

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 



Vì 26

F  

  nên

4

26

1

1

2

C C

    

  

 

 

Lúc  

 

4

1

F x

x x

 

 với 0 x Sử dụng MTCT bấm Mode chọn start end Step 0.1:

Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị nhỏ F(x) 25 xảy x =0,4 Chọn C

A

1

x  x B

2

2

1

2

x

x x

x

x C x

             C 2

x

x C x

x

x C x

            

D

2

1

2

khi

x x C x

x

x C x

          

Lời giải

Ta có:   khi

x x f x x x           2

x

x C x

F x

x

x C x

              

Theo đề  1 1

F  C   đó:

2

2

1

2

x

x x

x

x C x

            

Chọn B

Câu 12 Cho F x  nguyên hàm hàm số  

3 x

f x e



   ln

3

F   Tập nghiệm S

phương trình 3F x lnx332 là:

A S  2 . B S   2; 2. C S  1; . D S   2;1 Lời giải

Ta có:   d 1 d 1 ln 3

3 3

x

x

x x

x e

F x x x e C

e e

 

        

   

 

Do  0 1ln

F   nênC0 Vậy   1 ln 3

x

F x  x e 

Do đó: 3F x lnex32x2 Chọn A

Câu 13 (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Biết F x  nguyên hàm hàm số

 

2

f x x



 , thỏa mãn F 3 1 F 1 2, giá trị F 0 F 4 A 2ln 3 B 2 ln 22 C 2 ln 24 D 2 ln

Lời giải Chọn A

Hàm số f x  xác định \ 2  Ta có: F x  f x x d d

2 x

x

 

  

2

ln ln

x C x

x C x

Do  

 

1

3 1

2

F C

C F



  





 



 

 

Khi    

 

ln ln 2

x x

F x

x x

  

   

  

 

VậyF 0 F  4  ln 22  ln 1 2 ln 3

Câu 14 (Chuyên Vinh Lần 3) Biết xex nguyên hàm f x khoảng  ;  Gọi F x  nguyên hàm  ex

f x thỏa mãn F 0 1, giá trị F 1 A 7

2 B

5 e 

C 7 e

2 

D 5

2 Lời giải

Chọn A

Ta có f xxex exxex,    x  ; 

Do f xe  x  xe  x,    x  ;  Suy   e x1 

f x   x ,    x  ;  Nên   e x1  e x 2

f x  x   x

 

      f x ex exx2 e x x2 Bởi    d 1 22

2

F x  x x x C Từđó  0 10 22

2

F   CC ; F 0  1 C 1 Vậy   1 22  1 1 22

2 2

F x  x  F      

Câu 15 (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số F x  nguyên hàm hàm số

 

2cos sin

x f x

x



 khoảng 0; Biết giá trị lớn F x  khoảng 0; Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau

A 3

6

F 

  B

2

3

F  

  C F 3

  

   

  D

5

3

F   

 

Lời giải Chọn A

Ta có:

  2

2cos cos

d d d d

sin sin sin

x x

f x x x x x

x x x



  

   

 

2

d sin

2 d cot

sin sin sin

x

x x C

x x x

      

Do F x  nguyên hàm hàm số   2cos2

sin

x f x

x



 khoảng 0; nên hàm số

 

F x có công thức dạng   cot sin

F x x C

x

    với x0; Xét hàm số   cot

sin

F x x C

x

   

2cos '

sin

x

F x f x

x



 

Xét '  2cos2 cos  

sin

x

F x x x k k

x

 



         

Trên khoảng 0;, phương trình F' x 0 có nghiệm

x  Bảng biến thiên:

0;   

max

3

F x F C



  

      

Theo đề ta có,  3C 3C2

Do đó,   cot

sin

F x x

x

   

Khi đó, 3

6

F  

 

Câu 16 (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Cho F x là nguyên hàm hàm số f x  ex2x3 4x

  Hàm số  

F x x có điểm cực trị?

A B C D

Lời giải Chọn B

 

F x nguyên hàm hàm số   2  x

f x e x  x      2 

' x

F x  f x e x  x

  2 3  3

0

' 4

2 x

x

F x e x x x x x

x

  

          

        

' '

   

2

2

2

1

2 0

1

2 '

1

2 ( )

x x

x

x x

x

x F x x

x

x x

x

x x ptvn



     



  

   

  



    

  

  

 

   

    

Vậy, phương trình F'x2 x0 có nghiệm phân biệt Do đó, hàm số  

F x x có điểm cực trị

Câu 17 (Cụm trường chuyên lần1) Biết F x ax2 bxcexlà nguyên hàm hàm số

   

2 e x

f x  x  x   Giá trị biểu thức f F  0 bằng: A

e 

B 3e C 20e D 9e

Lời giải Chọn D

+ Tính        

e x e x

F x   ax bxc     ax  ab xbc  2x2 5x2 e x Suy

2

2

2

a a

a b b

b c c

   

 

 

    

 

     

 

nên F x   2x2 x1 e x + Tính F 0  1suy f F  0  f  1 9e

Câu 18 (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hai hàm số        

e ,x ex

F x  x axb f x  x  x

Biết a b, số thực để F x  nguyên hàm f x  Tính S  a b A S  6 B S12 C S 6 D S 4

Lời giải Chọn D

Nhận xét: Bài chặt chẽhơn thêm điều kiện F x  nguyên hàm f x  

Từ giả thiết ta có F x  f x ,  x 

     

2x a ex x ax b ex x 3x ex

        ,  x 

 

2

2

x a x a b x x

        ,  x 

Đồng hai vế ta có

a a b

   

  

Suy S   a b

Câu 19 (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho F x  nguyên hàm hàm số   4 31 2

2

x f x

x x x

 

  khoảng 0; thỏa mãn   1

2

F  Giá trị biểu thức

 1  2  3 2019

A 2019

2020 B

2019.2021

2020 C

1 2018

2020 D

2019 2020



Lời giải Chọn C

Ta có:  

 2  2

4 2

2 1

d d d

2 1

x x

F x x x x

x x x x x x x

 

 

 

   

 

     

  

Suy ra:   1

F x c

x x

   

 mà   1

2

F  nên c1 Hay   1 1

F x

x x

   



Ta có: S F 1 F 2 F 3  F2019

1 1 1 1

1 1

1 2 3 2019 2020

S                      

       

1 1

1 2019.1 2018 2018

2020 2020 2020

S       

Câu 20 (Chuyên Vinh Lần 3)Biết F x  nguyên hàm hàm số f x  x cos2 x x



 Hỏi đồ thị hàm số y F x  có điểm cực trị?

A Vô sốđiểm B C D

Lời giải Chọn C

Vì F x  nguyên hàm hàm số f x  x cos2 x x



 nên suy ra: F x( ) f x( ) x cos2 x

x



  

Ta có: F x( )0 x cos2 x

x



 

   

cos 1;1 \

x x

x

 

   

   

 1

Xét hàm số g x( ) xcosx 1;1, ta có: g x( ) 1 sinx0,  x  1;1 Suy hàm số

( )

g x đồng biến 1;1 Vậy phương trình g x( ) x cosx0 có nhiều nghiệm 1;1  2

Mặt khác ta có: hàm số g x( )xcosx liên tục 0;1 g 0  0 cos 0   1 0,

 

(1) cos

g    nên g   0 g 0 Suy x00;1 cho g x 0 0  3

Từ  1 ,  2 ,  3 suy ra: phương trình F x( )0 có nghiệm x0 0 Đồng thời x0 nghiệm bội lẻ nên F x( ) đổi qua xx0

Vậy đồ thị hàm số y F x  có điểm cực trị

Câu 21 (Chuyên Vinh Lần 3)Biết F x  nguyên hàm hàm số   cos 2

f x  x x  Hỏi đồ thị

của hàm số y F x  có điểm cực trị?

A Vô sốđiểm B 0 C 1 D 2 Lời giải

Ta có /( )   cos 2

F x  f x  x x 

/

( ) s inx

f x   x ; f/ /( )x  cosx 1  x R.

Suy hàm số f/( )x đồng biến R, từ dẫn đến phương trình f/( )x 0 có nhiều nghiệm

Mặt khác f/(0)0 suy x0 nghiệm phương trình f/( )x 0

Do hàm số f/( )x liên tục khoảng ; ; 0;   vô nghiệm khoảng nên dấu f/( )x không đổi khoảng

Mà f/( 1) 0; f/(1)0 suy f/( )x 0  x  ;0 f/( )x 0 x 0;

Vậy hàm số f x( )nghịch biến khoảng ; 0 đồng biến khoảng 0; Mà (0)

f  nên phương trình f x( )0 có nghiệm x0 hay phương trình F x/( )0 có nghiệm x0

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ A – KIẾN THỨC CHUNG

1 Đổi biến dạng

Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x  t Trong  t với đạo hàm (' t hàm số liên tục) ta :

   

 

 

   

 

f x dx( ) f t ' t dt g t dt( ) G t( ) C 1.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn t= x Trong  x hàm số mà ta chọn thích hợp  Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt ' t dt

 Bước 3: Biểu thị :      

 

f x dx( ) f t ' t dt g t dt( )  Bước 4:Khi : I  f x dx( )  g t dt( ) G t( )C 1.2 Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu số có t mẫu số

Hàm số : f x ;  x  t   x

Hàm f x  a inx+b.cosx

c inx+d.cosx+e

.s s

 

   

 

x x

t cos

2

tan ;

2

Hàm  

  



 

f x

x a x b

1 Với : x a  x b 

Đặt : t  x a  x b Với x a  x b  Đặt : t   x a   x b 2 Đổi biến dạng

Nếu : f x dx( ) F x( )C với u  t hàm sốcó đạo hàm : f u du( ) F( ( )) t C 2.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn x  t ,  t hàm số mà ta chọn thích hợp  Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx ' t dt

 Bước 3: Biến đổi :        

 

f x dx( ) f t ' t dt g t dt

 Bước 4:Khi tính : f x dx( )  g t dt( ) G t( )C 2.2 Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Dấu hiệu Cách chọn



a2 x2

Đặt x  a sint; với    

 

t ;

2 x  a cost;

với    

t 0;



x2 a2 Đặt x  a

sint.; với  

 

 

  

 

t ; \

2 

a x

với       

t 0; \

2



a2 x2

Đặt x  a tant; với     

 

t ;

2 x  a cott

với t0; 

 a x

a x   a x

a x Đặt x acos t2

x a b x    Đặt x a (b a sin t– )



a2 x2

Đặt x atant ; với     

 

t ;

2

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho F(x) nguyên hàm  

2

tan cos cos

x f x

x a x





, biết F 0 0,

F   



Tính

3

F F 

   ?

A 5 B 1 C 3 D 5 Lời giải

 

4 4

2 2

0 0

4

2

0

tan tan

cos x cos cos tan 1

tan tan

x x

f x dx dx dx

a x x x a

d x a

x a

 

  

  

 

  



  



2

tan tan

4 a a

        

2

a a

     

 

2

3

1

3

a a a

a a

        



    



Do

3

2

tan

3 cos 1 cos

x

F F dx

x x

   

  

   

     





  2

tan tan 3     

 

Chọn A

Câu 2. (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho  

 

 

 

2017 2019

1 1

d

1

b

c

x x

x C

a

x x

 

 

 

 với

a, b, c số nguyên Giá trị a b c 

A 4.2018 B 2.2018 C 3.2018 D 5.2018

 

   

2017 2017

2019

1 1

d d

1

1

x x

I x x

x

x x

   

   



 

 

 

Đặt

1

x t

x

 

  2

2

d d

1

t x

x

 



Khi 2017d

2

t I t

2018

1 2018

t

C

 

2018

1

2.2018

x

C x



 

   



 

2018

1

2.2018

x

C x



 

   



 

 

 

2018 2018

1

2.2018 1

x

C x



 



Suy a2.2018, b2018, c2018 nên a b c  4.2018 Câu 3. Giả sử  

     

2 d

1

x x

C

x x x x g x



  

   

 (C số)

Tính tổng nghiệm phương trình g x 0

A 1 B C 3 D 3

Lời giải Chọn D

Ta có x x 1x2x3 1   

3

x  x x  x   

3

x x

 

   

Đặt tx23x, dt2x3 d x

Tích phân ban đầu trở thành

 2

d

1

t

C t

t

    



Trở lại biến x, ta có  

   

2 d

1 3

x x

C

x x x x x x



  

     



Vậy g x x23x1

 

0

2

g x   x  x  x  

x  Vậy tổng tất nghiệm phương trình 3

Câu 4. Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 2;1 thỏa mãn f 0 1  

 2  

f x f x  x  x Giá trị lớn hàm số y f x  đoạn 2;1 A

2 16 B 3

18 C 3

16 D

2 18 Lời giải

thì ta tìm   3 3 2

f x  x  x  x 

   

3 3

33 2 ( )

3

f x x x x  g x

      

 

( 2) (1) 11.16

g  g    Phương trình g x( )0 có nghiệm 2;1Hàm số

  ( )

Câu 5. Hàm sốnào nguyên hàm hàm số  

2

1

f x

x

 

khoảng  ; ? A F x lnx 1x2C B F x ln 1  1x2C

C F x  1x2 C D  

2

2

x

F x C

x

 



Lời giải Ta có toán gốc sau:

Bài toán gốc: Chứng minh  

2 ln

dx

x x a c a

x a

    



 

Đặt

2

2

2

2

x x x a

t x x a dt dx dt dx

x a x a

   

        

 

 

tdx dt

x a

 



2

dt dx

t x a

 



Vậy

2 ln ln

dx dt

t c x x a c

t

x a

      



  ( điều phải chứng minh)

Khi áp dụng cơng thức vừa chứng minh ta có

   2

2

1

ln ln

1

F x dx x x c x x c

x

        





Chọn A

Câu 6. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) sin cos sin

x x

f x

x

 

 F(0)2 Tính

2

F 

  A 2

2

F 

  B

2

2

F  

  C

4

2

F  

  D

4

2

F    

Lời giải Ta có:

 

2

0

sin cos

( )

2 sin

x x

f x dx dx F F

x

 



  

   

  

 

Đặt t sin x2tdtcosxdx

2 2

0 0

sin cos sin

( ) cos

1 sin sin

x x x

f x dx dx xdx

x x

  

 

 

 

  

 

2

2 2

2

1 1

2( 1) 2 2

2 2 -1

3

t t

tdt t dt t

t

 

  

      

 

 

 

2 2 2 2

0

2 3

F  F     

 

Câu 7. Biết  

7

2 cos

cos x sin x sin 4xdx x C a

   

 Với a số nguyên Tìm a? A a6 B a12 C a7 D a14

Đặt f x cos2xsin2 x5.sin 4xdx, Ta có:

   2 2 5  5

6

cos sin sin cos 2sin cos cos sin

f x x x xdx x x x

x xdx

  



 



Đặt tcos 2xdt 2sin 2xdx

Vậy  

7

6 cos

7

t x

F x  t dt  C   C

Chọn C Câu 8. Tìm

1 2

x

R dx

x x

 

 

? A tan 1ln1 sin

2 sin

t t

R C

t



   

 với

arctan

2

x t    

  B tan 1ln sin

2 sin

t t

R C

t



   

 với

arctan

2

x t   

  C tan 1ln1 sin

2 sin

t t

R C

t



  

 với

arctan

2

x t   

  D tan 1ln1 sin

2 sin

t t

R C

t



  

 với

arctan

2

x t   

  Lời giải

Đặt x2 cos 2t với 0;

t   

 

Ta có:

2

4 sin

2 2 sin sin sin 2 cos cos cos

dx t dt

x t t t

x t t t

   

  

  



 



2

2 2

2

1 sin sin cos

.4 sin

4 cos cos cos cos 1 tan 1 sin

ln

cos cos 2 sin

t t t

R t dt dt dt

t t t t

t t

R dt dt C

t t t



      



       



  

 

Chọn A

Câu 9. 12

2

x x dx

x

  

   

 

 

 

 có dạng  

3

4 1

1

4

a b

x x x C

x



     , a b, hai số hữu tỉ Giá trị b a, bằng:

A 2; B.1; C a b,   D 1; Lời giải

Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm 12

x x dx

x

  

   

 

 

 

 Sau đó, ta xác định giá trị a Ta có:

3

2

1 1

1

2

x x dx x dx x dx

x x

     

        

   

   

   

Để tìm   2x x  1 xlnx dx

 ta đặt 1 12

2

I x dx

x

  

    

 

 I2  x1dx tìm

1,

I I

*Tìm 1 12

I x dx

x

  

    

 



3

1

1 1

2

I x dx x x C

x x

   

        

 

 , C1 số

*Tìm I2  x1dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t x1,t0 ta t2  x 1, 2tdt dx

Suy  3

2 2

2

1

3

I  x dx t dt t C  x C

 3

3 4

1 2

2

1 1 1

1 1

2 4

x x dx I I x x C x C x x x C

x x x

    

                  

 

 

 



Suy để 12

2

x x dx

x

  

   

 

 

 

 có dạng  

3

4 1

1

4

a b

x x x C

x



    

1 ,

a  b 

Vậy đáp án xác đáp án D Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ

Ta thay giá trị a b, ởcác đáp án vào  

3

4 1

1

4

a b

x x x C

x



     Sau đó, với ,

a b ởcác đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm  

3

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C

Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai

Một số học sinh không ý đến thứ tự b a, nên học sinh khoanh đáp án A sai lầm B Đáp án B sai

Một số học sinh sai lầm sau:

*Tìm I2  x1dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t x1,t0 ta t2  x 1,tdtdx

Suy  3

2 2

1

1

3

I  x dxt dt t C  x C

 3

3 4

1 2

2

1 1 1 1

1 1

2 4

x x dx I I x x C x C x x x C

x x x

    

                  

 

 

 



Suy để 12

2

x x dx

x

  

   

 

 

 

 có dạng  

3

4 1

1

4

a b

x x x C

x



    

1 ,

a  b 

C Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm sau:

*Tìm I2  x1dx

2

1

2

I x dx C

x

   





Suy 12

x x dx

x

  

   

 

 

 

 khơng thể có dạng  

3

4 1

1

4

a b

x x x C

x



     ,

với a b, 

Nên không tồn a b, thỏa yêu cầu toán Câu 10.   

1 x x x cos

x e   e   x dx

 có dạng  12 sin

6

x

a b

e   x C , a b, hai số hữu tỉ Giá trị a b, bằng:

A 3; B.1; C 3; D 6; Lời giải

Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm x1e2x1cos 2x dx Sau đó, ta xác định giá trị a Ta có:

 

       

   

2

2

5

5

1

1 cos cos

1 cos

x x x x x x

x

x e e x dx x e x dx

x e dx x dx

   

  



 

       

 

  

 

 

Để tìm    

2 5 4

7

1 x x x cos

x e   e  x dx

    

 

 

 ta đặt    

2

1

1

x

I  x e  dx I2 cos 2x dx tìm I I1, 2

*Tìm    

2

1

1

x

I  x e  dx

Đặt tx1 ;2 dt2x1x1dx2x1dx

   12  12

1 1

1 1

1

2 2

x t t x

I  x e  dx e dt e C  e  C , C1 số *Tìm I2 cos 2x dx

2

1 cos sin

2

I  x dx xC

 

 5 4 7 3   12  12

1 2

1 1

1 cos sin sin

2 2

x x

x x x

x e   e  x dx I I e  C x C e  x C

           



Suy để   

1 x x x cos

x e   e   x dx

 có dạng  12 sin

6

x

a b

e   x C

3 ,

a  b  Chọn A

Cách 2:

Sử dụng phương pháp loại trừ cách thay giá trị a b, ởcác đáp án vào

 12

sin

6

x

a b

B.Đáp án B sai

Một số học sinh sai lầm chỗkhông đểý đến thứ tự xếp b a, nên khoanh đáp án B sai lầm

C Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm chỗ: Tìm I2 cos 2x dx

2 cos sin 2

I  x dx xC

 

 5 4 7 3   12  12

1 2

1

1 cos sin sin

2

x x

x x x

x e   e   x dxI I  e  C  xC  e   x C



Suy để   

1 x x x cos

x e   e   x dx

 có dạng  12 sin

6

x

a b

e   x C

3 ,

a  b  D Đáp án D sai

Một số học sinh sai lầm chỗ: Tìm    

2

1

1

x

I  x e  dx

Đặt tx1 ;2 dtx1x1dxx1dx

   12  12

1 1

x t t x

I  x e  dxe dte C e  C , C1 số Học sinh tìm 2 1sin 2

2

I  xC nên ta được:

 

 5 4 7 3   12  12

1 2

1

1 cos sin sin

2

x x

x x x

x e   e   x dxI I e  C  xC e   x C



Suy để   

1 x x x cos

x e   e   x dx

 có dạng  12 sin

6

x

a b

e   x C

6 ,

a  b 

Câu 11. Tìm

 

 

3

1 1 x

x

e x x

I dx

x e x

  



  



?

A I xlnex x 1 1C B I xlnex x 1 1C C I lnex x 1 1C D I lnex x 1 1C

Lời giải

 

 

   

 

 

 

1 1

3 2

1 1 1 1

x x

x x

x x x

x e x e x

e x x e x

I dx dx dx dx

x e x x e x x e x

    

   

   

        

   

Đặt: 1 2 1

2

x x

x e x e x

t e x dt e x dx dx

x x



 

        

 

 

Vậy  

   

2 1

ln ln 1

1 1

x

x x

e x

I dx dx x dt x t C x e x C

t

x e x



            

  

  

Câu 12. Tìm nguyên hàm hàm số    

 

2

1

ln 2017 ln

x

x

x x

f x

e x e 

 



  

 

 

?

A lnx211008 ln ln x211

 

B lnx212016 ln ln x211

 

C 1ln 1 2016 ln ln 1 x    x   

D 1    

ln 1008ln ln 1 x    x   

Lời giải

Đặt  

 

2

1

ln 2017 ln

x

x

x x

I dx

e x e 

 



  

 

 



+Ta có:

 

 

 

   

 

   

2

2

2

2 2

1

ln 2017

ln 2017 ln 2017

1 ln lne ln 1

ln x

x

x x

x x x x x

I dx dx dx

x x x x

e x e 

   

     

  

           

    

 

 

  

+ Đặt:  2

2

2 ln 1

1

x

t x dt dx

x

    



       

2016 2016

1 1008 ln C

2 2

1 1

ln 1008 ln ln 1 ln 1008ln ln 1

2 2

t

I dt dt t t

t t

I x x C x x C

  

        

 

   

               

 

Chọn D

Câu 13. (Chuyên KHTN)Cho hàm số ( )f x liên tục  có

3

0

( )

f x dx



5

0

( )

f x dx

 Tính

1

1

( )

f x dx



 

A 9

4 B

11

4 C 3 D 6

Lời giải Chọn C

Ta có

1

1

1

1

4

( 1) ( 1) ( 1)

f x dx f x dx f x dx

 

    

  

1

1

1

4

(1 ) (4 1)

f x dx f x dx



     I J

+) Xét

1

1

(1 )

I f x dx



Đặt t 1 4xdt  4dx;

Với 5;

4

x   t x  t

1

0 5

4

1 0

1 1

(1 ) ( )( ) ( ) ( )

4 4

I f x dx f t dt f t dt f x dx



         

+) Xét

1

1

(4 1)

J  f x dx

Đặt t4x 1 dt 4 ;dx

Với 3;

x  t x  t

1 3

1 0

4

1 1

(4 1) ( )( ) ( ) ( )

4 4

J  f x dxf t dt   f t dt  f x dx

Vậy

1

1

( )

f x dx



 



Câu 14. Tìm

 

 

2

2

2 ln ln ln

x x x x

G dx

x x x

  



 

?

A 1

ln

G C

x x x



  

 B

1

ln

G C

x x x

  



C 1

ln

G C

x x x

  

 D

1

ln

G C

x x x

  



Lời giải Ta có:

 

   

   

 

     

2

2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

2 ln ln

2 ln ln ln

ln ln

ln

1 1 1

ln ln ln

x x x x x x

x x x x x x x x

G dx dx dx

x x x x x x

x x x

x x x

G dx dx J J dx

x x x x x x x x x x x x

    

       

  

 



       

            

      

   

  

  

Xét nguyên hàm:

 2

1 ln

x

J dx

x x x

 

 

+ Đặt: t x lnx dt 1 x

x x



     

2

1 1

ln

J dt C C

t t x x

 

     

 

Do đó: 1

ln

G J C

x x x x

 

    

 Chọn A

Câu 15. Hàm sốnào sau nguyên hàm  

 

1

1 ln ln ln

n n n

x h x

x x x x

 

A 1ln x 1ln xn lnnx 2016

n n   B

1

ln x ln xn lnnx 2016

n n  

C 1ln x 1ln xn lnnx 2016

n n

    D 1ln x 1ln xn lnnx 2016

n n

   

Lời giải

Ta có:

   

1

1 ln ln 1 ln

ln ln

.ln ln ln ln

1 n

n n n n n n

n

x x x

L dx dx dx

x x x x

x x x x x x x x

x x

  

  

  

 

 



 

 

  

Đặt: t lnx dt ln2 xdx

x x



  

   

1

1

n

n n n

dt t dt

L

t t t t



  

 

 

+ Đặt utn 1 dun t.n1dt

 

1 1 1 1

ln ln ln

1

ln

1 1 ln

.ln ln ln

ln

1 ln

1 n

n n n

n

n n n

n

du u

L du u u C C

n u u n u u n n u

x

t x x

L C C C

x

n t n n x x

x



 

             

   

      

 



 

Chọn A

Câu 16. (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho F x  nguyên hàm hàm số  

1 x

f x e



 F 0  ln 2e Tập nghiệm S phương trình F x lnex12 là:

A S  3 B S2;3 C S  2;3 D S   3; 3 Lời giải

Chọn A

Ta có  

1 ( 1)

x

x x x

e

I f x dx dx dx

e e e

  

 

  

Đặt texdte dxx (1 ) ln ln( 1) ln ln( 1)

( 1)

x x

dt

I dt t t C e e C

t t t t

          

 

 

Khi đó: F x( )lnexln(ex1)C F, (0) ln 2e ln 2C ln 1 C 1

Do đó: F x( )lnexln(ex1) 1.

  ln x 1 ln x ln( x 1) ln x 1 ln x 3

F x  e    e  e    e    e  x

Câu 17. Khi tính nguyên hàm

  3

1

2 1

dx x x

 người ta đặt tg x  (một hàm biểu diễn theo biến x) nguyên hàm trở thành 2dt Biết  4

5

g  , giá trị g 0 g 1 là: A 3

2 

B 1 

C 2 

D 2  Lời giải

  3  2

1

2

2 1 1

1

dx dx

x

x x x

x





  



 

Do ta đặt:

 2  2

2

2

1 2

2 1

1

x dx dx

t dt dt

x x x

x x

x x



    

  

 

 

Vì suy

  3

1

2

2 1

dx dt

x x



 

 

Tuy nhiên Lời giải sai, ta có thể thấy đặt

 2  2

2

2

1 2

2 1

1

x dx dx

t C dt dt

x x x

x x

x x



     

  

 

 

Với C số, kết quảkhơng thay đổi Vì xác ởđây là:

 

2 1

x

t C g x

x



  

 Theo đề  

3

5

g  n33n suy C=0 Cuối ta  

1

x g x

x

 

    

2

0

2

g g  

Chọn C

Chú ý: Bài tốn hồn tồn có thểdùng MTCT để chọn kết quả, Ta có:

     

 

  

3

3

1 1

2

2

2 1 1

1

2 2 1 1

dt dx t dx

x x x x

g x dx

x x

  

   

 

 

  



Do g x  nguyên hàm

  3

1

2 2x1 x1 Suy ra:

   

         

0

3

4

1 1

0 4

2 2 1 1 2 1 1

g g dx g dx g

x x x x

    

   

 

Và:

   

         

1

3

4

1 1

1 4

2 2 1 1 2 1 1

g g dx g dx g

x x x x

    

   

 

Sử dụng MTCT bấm:

         

0

3

4

1 1

4

2 2x1 x1 dxg  2x1 x1 dxg

 

Câu 18. Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 2;1 thỏa mãn f  0 3

 

 2  

f x f x  x  x Giá trị lớn hàm số y f x  đoạn 2;1 A 2 423 B

2 15 C 3 42 D 3

15 Lời giải

Lấy nguyên hàm vế phương trình ta  

 2       2   

2

f x f x dx x  x dx f x d f x x  x  x C

  

 

 

 

     

3

3

3

2 2

3

f x

x x x C f x x x x C

         

Theo đề f  0 3 nên từ (1) ta có f  0 3 3 0 32.022.0C273CC9

 

 3  3 2   3 2 

3

3 2 ( ) 2

f x x x x f x x x x

         

Tiếp theo tìm giá trị lớn hàm số y f x  đoạn 2;1  CÁCH 1:

Vì x32x22x 9 x2x22x2 5 0,  x  2;1 nên f x  có đạo hàm 2;1

và    

   

2 2

2

3

3

3 3 4 2

0,

3 2 2

x x x x

f x

x x x x x x

   

   

         

   

 2;1 

x

  

Hàm số y f x đồng biến  

     

3 2;1

2;1 maxf x f 42



   

Vậy

     

3 2;1

max f x f 42

  

CÁCH 2:

   

3

3

3 3 2 .

3

223

3 2

9

x x x x

f x     x 

   

    

Vì hàm số

3

22

2

3 ,

9

3

y x  y x 

    đồng biến  nên hàm số

3

33 2 223

3

2

3

y x   x 

    đồng biến  Do đó, hàm số y f x đồng biến 2;1 

Vậy

     

3

2;1ax

m f x f

  

Câu 19. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾNĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số F x  nguyên hàm hàm số   cos2

sin

x f x

x



 khoảng 0; Biết giá trị lớn F x  khoảng 0; Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau

A 3

6

F    

B

3

F  

  C F 3

  

     

D 3

6

F   

 

Lời giải Ta có:

  2

2 cos cos

d d d d

sin sin sin

x x

f x x x x x

x x x



  

   

 

2

d sin

2 d cot

sin sin sin

x

x x C

x x x

Do F x  nguyên hàm hàm số   cos2

sin

x f x

x



 khoảng 0; nên hàm số

 

F x có công thức dạng   cot sin

F x x C

x

    với x0; Xét hàm số   cot

sin

F x x C

x

    xác định liên tục 0;

   

2 cos '

sin

x

F x f x

x



 

Xét '  cos2 cos  

sin

x

F x x x k k

x

  

         

Trên khoảng 0;, phương trình F x' 0 có nghiệm

x Bảng biến thiên:

0;   

max

3

F x F C



  

      

Theo đề ta có,  3C 3C2

Do đó,   cot

sin

F x x

x

   

Câu 20. Cho hàm số f x liên tục, không âm đoạn 0; 

 

 

 , thỏa mãn f  0  3và

    2 

cos

f x f x  x  f x , 0;

2

x  

    Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M hàm số f x đoạn ;

6  

 

 

 

A 21

2

m , M 2 B

m , M 3

C

2

m , M  D m 3, M 2 Lời giải Chọn A

Từ giả thiết f x f   x cos 1x  f2 x

   

 

2

d sin

f x f x

x x C

f x



  

 

Đặt t 1 f2 x t2  1 f2 x t td  f  x f x dx

Thay vào ta dtsinx C  t sinx C  1 f2 x sinx C Do f  0  C2

   

 

cos



 



f x f x

x

Vậy 1 f2 x sinx 2 f2 x sin2x4 sinx3

 

sin 4sin

f x x x

    , hàm số f  x liên tục, không âm đoạn 0; 

 

 

 

Ta có sin

6 x 2 x

 

     , xét hàm số  

4

g t t  t có hồnh độ đỉnh t 2 loại Suy    

1 ;1

1

max g t g  

   

  ,  

1 ;1

1 21

2

g t g

     

    

  Suy  

;

2 2

max f x f

 



     

    

  , ;  

21

6

f x g

 



     

    

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN A – KIẾN THỨC CHUNG

1 Phương pháp nguyên hàm phần

Nếu u(x) , v(x) hai hàm sốcó đạo hàm liên tục K:

 

u x v x dx( ) '( ) u x v x( ) ( ) v x u x dx( ) '( ) Hay udv uv vdu ( với du u x dx dv’  ,  v x dx’  ) 1.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu dạng : I  f x dx( )  f x f x dx1( ) ( )2  Bước 2:Đặt :     

 

 

  

du f x dx

u f x

dv f x v f x dx

1 2 ' ( ) ( ) ( ) ( )

 Bước 3:Khi : u dv u v v du 2 Các dạng thường gặp

2.1 Dạng

              x x

I P x x dx

e

sin

( ) cos Đặt                      x

u P x

x

dv x dx

e ( ) sin cos                       x

u du P x dx

x v x e ' '( ) cos sin

Vậy:

x x

I P x x

e

cos ( ) sin

           -            x x

x P x dx

e

cos

sin '( )

2.2 Dạng

I  P x( ).lnxdx Đặt        u x

dv P x dx

ln ( )           du dx x

v P x dx Q x

1

( ) ( )

Vậy I lnx Q x Q x dx

x

1 ( )

  

2.3 Dạng

            x x

I e dx

x

sin

cos Đặt

                   x u e x dv dx x sin cos                      x

du e dx

x v x cos sin Vậy I = I ex x

x cos sin            -          

 sincosx x e dxx Bằng phương pháp tương tựta tính

         

 sincosx x e dxx sau thay vào I

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

A B

C D

Lời giải Chọn A

Gọi

Đặt

Khi đó:

Vì nên , suy

Vậy:

Câu 2: Cho   2 cos

x f x

x

 ; 2  

 



 

  F x  nguyên hàm xf x thỏa mãn F 0 0 Biết ;

2

a    

  thỏa mãn tana3 Tính  

2

10

F a  a  a A 1ln10

2

 B 1ln10

4

 C 1ln10

2 D ln10 Lời giải

Chọn C

Ta có: F x xf x dx x f xd   xf x  f x dx

Ta lại có:  d 2 d cos

x

f x x x

x



  =xd tan xxtanxtan dx x tan sin d cos

x

x x x

x

 

 

1

tan d cos cos

x x x

x

  xtanxln cosx C F x xf x xtanxln cosx C

Lại có: F 0 0C0, đó: F x xf x xtanxln cosx     tan ln cos

F a af a a a a

   

  tan ln cos 

x

F x x x x  C    

2

tan ln cos

2

x

F x  x x x  C

  tan ln cos 

x

F x x x x  C  

2

tan ln cos

2

x

F x x x x  C

     

2

tan d tan 1 d tan d d d d

cos

x

F x x x x x x x x x x x x x x x

x

        

2

d d

tan

d d

cos

u x

u x

v x

v x

x

 

  

 

 

   



  2

sin

d d tan d

cos cos

x x x

F x x x x x x x

x x

    

  2

d cos

tan tan ln cos

cos 2

x x x

x x x x x C

x

      

;0

x   

 cosx0 ln cosx ln cos x   tan ln cos 

2

x

Khi   2

cos

a f a

a

 a1 tan 2a 10a 2

1

1 tan

cos a  a 10

2

cos

10

a

 

1 cos

10

a

 

Vậy F a 10a23a 10 ln 10 10

a a a a

     1ln10

2



Câu 3: Cho F x  nguyên hàm hàm số  

3

e x

f x 

F 0 2 Hãy tính F 1 A 6 15

e

 B 4 10

e

 C 15

e  D 10

e Lời giải

Chọn C

Ta có I  f x dxe d3x x

Đặt x  t x t3

dx dt t

  I e d3x x3 e d tt t2

Đặt

2 2 d d

e e dt d t

t t u

t u

v

t v



  





 

 

 

  

2

3 et e dt

I t t t

    3ett26 e d tt t Tính e dt

t t



Đặt d d

e dt d et

t u t u

t v v

 

 



 

 

 

e dtt t tet e dt t tet et

    

Vậy I 3ett26 e ttetC   3  3 

3e x e x e x

F x x x C

    

Theo giả thiết ta có F 0  2 C 4   3  3 

3e x e x e x

F x x x

    

 1 15

e

F

   

Câu 4: Tìm nguyên hàm hàm số f x  xlnx

A    

3

1

d 3ln

9

f x x x x C

 B    

3

2

d 3ln

3

f x x x x C



C    

3

2

d 3ln

9

f x x x x C

 D    

3

2

d 3ln

9

f x x x x C



Lời giải Chọn A

 d ln d

I  f x x x x x

Đặt: d d d d

2

t x t x t t x

x

    

2 2

2 ln d ln d

I t t t t t t

Đặt: 2 3

d d

ln

d d

3

u t

u t t

v t t t

v

   

 



 



  

 

 

3 3

1 1

2 ln d ln 3ln

3 3 9

I  t t t t  t t t C t t C

          

    

 

3

2

3ln

9x x C

  

 

3

1

3ln

9x x C

  

Câu 5: Tìm  

2

2

sin cos

x dx H

x x x



 

? A

  tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

  



B

  tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

  



C

  tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x



  



D

  tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x



  



Lời giải Ta có:

   

2

2

cos

cos sin cos sin cos

x x x x

H dx dx

x

x x x x x x

 

 

 

Đặt

 

 

 

2

2

sin cos

cos cos

sin cos

cos 1

sin cos sin cos sin cos

x x x x

u du dx

x x

d x x x

x x

dv dx v

x x x x x x x x x

  

 

 

 



  

     



    



 

2

1

tan

cos x sin cos cos cos sin cos

x x

H dx x C

x x x x x x x x



      

  

Chọn C

Câu 6:  

2x x  1 xlnx dx

 có dạng  

3

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:

A 3 B 2 C D Không tồn

Theo đề, ta cần tìm 2x x2 1 xlnx dx Sau đó, ta xác định giá trị a Ta có:

 

2x x  1 xlnx dx 2x x 1dx xlnx dx

  

Để tìm  

2x x  1 xlnx dx

 ta đặt

1

I  x x  dx I2 xlnx dx tìm I I1, 2

*

1

I  x x  dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt

1,

t x  t ta t2 x21, xdxtdt Suy ra:

 3

2

1 1

2

2

3

I  x x  dx t dt t C  x  C , C1 số *I2 xlnx dx

Dùng phương pháp nguyên hàm phần

Đặt

2

1 ln

1

du dx

u x x

dv xdx

v x

   

 



 



  

 

, ta được:

2

2 2 2

2

ln

1 1 1 1

ln ln ln

2 2 2

I x x dx udv uv vdu

x x x dx x x xdx x x x C

x

   

       

  

 

   

 

3

2 2

1 2

3

2 2

2 1

2 ln ln

3

2 1

1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

         

    



Suy để  

2x x  1 xlnx dx

 có dạng  

3

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C

2 ,

a  b  Chọn B

Câu 7: Biết F x  alnx b c ln 2 x 3

x

 

    

  nguyên hàm hàm số  

 

2

ln 2x

f x

x



 Tính

S   a b c

A S  1 B

S C

3

S D

3

S  Lời giải

Nguyên hàm hàm số f x  ln 2 x2 3 x



 là:

     

ln 1

.ln

2

x

f x dx dx x dx

x x x x

 

    



   1.ln 2 3

2

x dx

x x x



   

 

 

ln 2

3

x

dx

x x x

  

     



 

 ln 2 3 2ln 2ln 2 3

3

x

x x C

x



     

 

2

ln ln

3 x x x C

 

      

 

 F x  alnx b c ln 2 x 3

x

 

    

 

 

 

ln 2

ln ln

3

x

x x C

x



      , với C0,

 2  1

3

a b c          

Câu 8: (Trần Đại Nghĩa) Cho

 

2

2

ln

ln

x x a

I dx

b c

x



  



 với , ,a b c số nguyên dương

phân số phân số tối giản Tính giá trị biểu thức S a b c





A

S B

3

S C

3

S D

2

S Lời giải

Chọn A Ta có

     

2 2

2 2

1 1

ln ln

1 1

x x x x

I dx dx dx

x x x



  

  

  

Xét

 

2

1

1

x

I dx

x

 



Đặt t  x dt dx

3

3 3

3

1 2

2

2 2

1 1

ln ln

2

t

I dt dt dt t

t t

t t



      

Xét

   

2

2 2

2

1

1 1

ln 1 1

ln ln

1

1

x

I dx x dx dx

x x x x x

x

 

         

    



  

2

1

1

ln ln ln ln

3 3

x I

x

     



Do ln3 1ln ln4 2ln

2 3

I     

2 6

a b S

c

 

Câu 9: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Họ nguyên hàm hàm số

 

l

2x x n

y

x x

 



A  

2

1 ln

x

x x x

x     C B  

2

1 ln

x

x x x

x     C

C  

2

1 ln

x

x x x

x     C D  

2

1 ln

x

x x x

x     C

Lời giải Chọn C

Ta có:    

2

1

l

2 ln 1

n d

d d

x x

x x x I

x

x

x x  x I

 

  

 

 

1 ln d

I  x x x Đặt

 

ln d d 1 d d x

v x x

u x u x x v x                           

2 2

1

2

1

ln 1d ln d

l

2

n

I x x x x

x

x x x x x x x

x x x x x C

               2

dx ln

I x C

x          2 2 2 2 d ln

ln ln ln

2 x x I x x x x x I x

x x x C x C x x x x C

                 

Câu 10: Tìm nguyên hàm hàm số  

2 ln x

f x x

x          ? A 2 ln x x x x         

B

4 2 16 ln 4 x x x x                 C 2 ln x x x x         

D

4 2 16 ln 4 x x x x                 Lời giải

Đặt: 4 16 ln 16 16 4 x x du u x x x x v dv x dx

                           

2 4

4

2 2

4 16 16

ln ln ln

4 4 4

x x x x x

x dx xdx x C

x x x

              

           

  

         

Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ

Ta thay giá trị a ởcác đáp án vào  

3

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C Sau đó, với a

các đáp án ta lấy đạo hàm  

3

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C

Không khuyến khích cách việc tìm đạo hàm hàm hợp phức tạp có đáp án nên

việc tìm đạo hàm trởnên khó khăn

Sai lầm thường gặp: A Đáp án A sai

Một số học sinh khơng đọc kĩ đề nên tìm giá trị b Học sinh khoanh đáp án A sai lầm

C Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm sau:

*

1

I  x x  dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t x21, t1ta t2 x21,tdt 2xdx Suy ra:

 3

2

1 1

1

2 1

3

I  x x  dxt dt t C  x  C , C1 số Học sinh tìm 2

2

1

ln

2

I  x x x C theo phân tích

   

 

3

2 2

1 2

3

2 2

1 1

2 ln ln

3

1 1

1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

         

    



Suy để  

2x x  1 xlnx dx

 có dạng  

3

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C a1,b3 Thế là, học sinh khoanh đáp án C sai lầm

D Đáp án D sai

Một số học sinh sai lầm sau:

*

1

I  x x  dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt

1,

t x  t ta t2 x21,tdt 2xdx Suy ra:

 3

2

1 1

1

2 1

3

Học sinh tìm 2

2

1

ln

2

I  x x x C theo phân tích

   

 

3

2 2

1 2

3

2 2

1 1

2 ln ln

3

1 1

1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

         

    



Suy để  

2x x  1 xlnx dx

 có dạng  

3

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C

1 ,

a  b 

Thế là, học sinh khoanh đáp án D sai lầm tính sai giá trị b

Câu 11: (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết

 d cos 2 5

f x x x x C

 Tìm khẳng định khẳng định sau A  f  3x dx3 cos 6x  x5C B  f  3x dx9 cos 6x  x5C

C  f  3x dx9 cos 2x  x5C D  f  3x dx3 cos 2x  x5C

Lời giải Cách :

Ta có  f x dx3 cos 2x  x5C

 

 f x dx 3 cos 2x  x 5 C

    

  3cos 2 5 sin 2 5

f x x x x

    

 3 3cos 6 5 18 sin 6 5

f x x x x

    

Xét  f  3x dx3cos 6 x518 sin 6x  x5 d x

   

3cos 6x dx 18 sin 6x x dx

     1

Xét I 18 sin 6x  x5 d x

Đặt

   

3 3d d

6 sin d d cos

x u x u

x x v x v

 

 

 



 

    

 

 

   

3 cos cos d

I   x x   x x, thay vào  1 ta  f  3x dx3 cos 6x  x5C Cách 2:

Đặt x3t dx3dt

Khi đó:  f x dx3 cos 2x  x5C 3 f  3 dt t3 cos 2.3 t  t5C

 3 d cos 6 5

f t t t t C

Câu 12: (Ngô Quyền Hà Nội) Cho  

F x  x nguyên hàm hàm số  

x

f x e Khi

 

xd

f x e x



A x22x C B x2 x C C 2x2 2x C D 2x22x C Lời giải

Chọn D Do  

F x x nguyên hàm hàm số  

x

f x e nên    

x

f x e F x  x Xét  f x e 2xdx

Đặt

   

2

d d

d d

x x

u e u e x

v f x x v f x

   

 



 



 

 

 

ta có:

      2

xd x xd 2

f x e x f x e  f x e x  x  x C

 

Câu 13: (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Gọi F x  nguyên hàm  hàm số

   

eax

f x x a , cho F F 0

a

 

 

 

  Ch

ọn mệnh đềđúng mệnh đề sau A 0a1 B a 2 C a3 D 1a2

Lời giải Chọn A

 

e dax

F x x x Đặt

2 d d

1 e d e dax ax

u x x

u x

v

v x

a

   

 



 

 



 

  2 2  

eax e dax ax

F x x x x x e A

a a a a

     

Xét Axe dax x Đặt

d d

d axd ax

u x

u x

v e

v e x

a

  

 



 

 

 

 

1

d ax ax

A xe e x

a a

   

Từ  1  2 suy   2

2 2

1 2 2

eax ax e dax eax eax eax

F x x xe x x x C

a a a a a a

       

Mà F F 0

a

 

 

 

   3 3

1 2

e e e C C

a a a  a  

3 e 2 3e 2 0 1.

a a a

        

Câu 14: (ĐH Vinh Lần 1)Cho hàm số thỏa mãn Tất nguyên hàm

 

f x f x  f x e ,x  x  f  0 2

 

e x

A B

C D

Lời giải Chọn D

Ta có

Vì

Vậy

Phân tích: Bài tốn cho hàm số thỏa mãn điều kiện chứa tổng

đưa ta tới công thức đạo hàm tích với Từđó ta cần chọn hàm cho phù hợp

Tổng quát: Cho hàm số liên tục , thỏa mãn (Chọn )

Ta có

Với nguyên hàm

Admin tổ – Strong team : Bản chất toán cho hàm số thỏa mãn điều kiện chứa tổng liên quan tới cơng thức đạo hàm tích với

Khi ta cần chọn hàm thích hợp Cụ thể, với toán tổng quát :

Cho hàm số y f x , y g x , yh x , yk x  liên tục K, g x 0 với  x K

và thỏa mãn g x f   x h x f x    k x 

Ta sẽđi tìm v sau :  

 

   

h x h x

v v

v g x  vdx g x dx



 



 

Khi :  

 

    ln

x h x g xd

dx e

h x

v v

g x



  

Câu 15: (ĐH Vinh Lần 1)Cho hàm số thỏa mãn Tất nguyên hàm

A B C D

x2 e xexC x2 e 2xexC

x1 e xC x1 e xC

    e x

f x  f x  

 ex  ex

f x f x

   f x ex1  ex

f x x C

  

 0

f  2.e0 C C2  f x e2x x2 e x

 

e dx

f x x

 x2 e d x x x2 d e  x x2 e xe dx x2

x e x e dx x

   x2 e xexC x1 e xC

 

y f x f x  f x

u v u v u v  u f x  v

 

y f x yg x  K

       

f x g x f x k x veG x 

       

f x g x f x k x G x      G x      G x 

e f x g x e f x k x e

  

   

 G x    G x 

e f x  k x e

  eG x f x k x e  G x dx f x eG x k x e  G x dx

 

G x g x 

 

y f x

 

f x f x u v  u v u v  

 

u f x v

 

f x f x 2xf x 2xex2,  x  f  0 1

 

ex

x f x

 2 2

1

x  C 1 12

2

x

x  e C  2

1 x

Lời giải Chọn D

Ta có

Vì

Vậy

Câu 16: (Chuyên Thái Bình Lần3)Cho f x( ) hàm số liên tục  thỏa mãn

    ,

f x  f x x  x  f  0 1 Tính f  1 A 2

e B

1

e C e D

e Lời giải

Chọn A

    (1)

f x  f x x

Nhân vế (1) với ex ta e x f x e x f x  x.ex Hay e x f x   x.ex e x f x x.e dx x

Xét I x.e dx x

Đặt d d

e dx d ex

u x u x

x v v

  

 

  



.e dx ex e dx ex ex

I x x x  xx  C Suy exf x  x.exexC Theo giả thiết (0)f 1 nên C2   e e  1

e e

x x x

x

f x   f

   

Câu 17: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀĐH VINHL3 -2019 )Biết nguyên hàm

trên khoảng Gọi nguyên hàm thỏa mãn , giá trị

của

A B C D

Lời giải Chọn A

Vì nguyên hàm khoảng

,

Do , ,

Nên

Bởi

    x2

f x  xf x  xe ex2f x 2xf x ex2.2xex2 e f xx2  2x

 

2 2

2 d x

e f x x x x C

   

(0)

f  C1 f x x21ex2

  x2d

xf x e x

  

1 d

x x x

   d  1

2 x x

    1 12

2 x C

  

ex

x f  x

 ;  F x  f x ex F 0 1

 1

F 

5 e

 e

2



2

ex

x f x  ; 

 f xxexexxex    x  ; 

  e  x  e  x

f x     x      x  ;  f x ex1x    x  ; 

  e x1  e x 2

f x   x    x f x exexx2 e x x

   d 1 22

2

Từđó ;

Vậy

Câu 18: (Sở Lạng Sơn 2019)Cho hàm số y f x 

Biết hàm số cho thỏa mãn hệ thức f x sinxdx = f x cosxxcosxdx Hỏi hàm số

 

y f x hàm số hàm số sau? A f x  xln B  

ln x

f x 



 C f x xln D   ln

x

f x 



  Lời giải

Chọn B

Hệ thức f x sinxdx = f x cosxxcosxdx (1) Xét f x sinxdx

Đặt   ' 

sin cos

u f x du f x

dv xdx v x

  

  

   

 

Ta  f x sinxdx f x cosx f ' x cosxdx Theo hệ thức (1), suy f ' x x





Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có hàm số thỏa mãn   ln

x

f x 

 

Câu 19: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho hàm số y f x  có đạo hàm cấp hai 0; thỏa

mãn        

2xf x  f x x xcos ,x  x 0; ;f 4 0 Giá trị biểu thức f 9 là: A 0 B 3  C   D 2 

Lời giải Chọn B

Với x0;, ta có

   

   

   

2

2 cos

1

cos

2

cos sin cos

2 2

xf x f x x x x

x f x f x

x x

x x

f x x x f x x x x

C

x x

  

 

 



 

      

 

Mà f 40 suy

C  Vậy   sin cos

2 2

x x x

f x     x

 

Suy f 9 3 

 0 10 22

2

F   CC F 0  1 C 1

  1 22  1 1 22

2 2

Câu 20: (Nguyễn Khuyến)Giả sử F x  nguyên hàm hàm số f x lnx23

x thỏa mãn  2   1 0

F F F 1 F 2 aln 2bln 5, với a, b số hữu tỷ Giá trị 3a6b

A 4 B 5 C 0 D 3

Lời giải Chọn B

Xét f x x d lnx2 3dx x

 

 

Đặt ulnx3

2

dv dx

x

 , ta có d d 



u x

x chọn

1

v x

  Khi

   

 

1

d ln d

3

f x x x x

x x x

    



  1ln 3 1 d

3

 

     



 



x x

x x x

   

1 1

ln ln ln

3

  x  x  x C

x  

1 1

ln ln

3

 

       x  x x C +) Xét 3; 0 ta      

1 1

ln ln

3

 

         

F x x x C

x Tính  2 1ln 1ln 1

6

   

F C 1ln 1

3

 C ;  1 2ln 1ln 1

3

   

F C 2ln 1

3

 C

+) Xét 0; ta    

1 1

ln ln

3

 

        

F x x x C

x

Tính  1 4ln 1ln 2

3

   

F C 8ln 2

3

  C ;  2 5ln 1ln 2

6

   

F C

Ta có F  2 F 1 0 1ln 1 8ln 2

3

 C  C  1 2 7ln

3

 C C 

Từ F  1 F 2  2ln 1 5ln 1ln 2

3 C 6 3 C

5

ln ln

6

  C C

5 10

ln ln ln ln ln

6 3

     aln 2bln ta 10

3



a ;

6

 

b 3a6b5 Câu 21: (SỞGD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f x  liên tục có đạo

hàm ; 

 

 

 , thỏa mãn   tan   cos3

x

f x x f x

x



  Biết

3 ln

3

f   f a b

    a b,  Giá trị biểu thức P a b A 14

9 B

2

 C 7

9 D

Chọn D

  tan  

cos

x

f x x f x

x



  cos   sin   2

cos

x

x f x x f x

x



  

 

sin

cos

x x f x

x



  

Do sin   d 2 d

cos

x

x f x x x

x

 

 

 

  sin   d

cos

x

x f x x

x

 

Tính 2 d

cos

x

I x

x



Đặt

2

d d d

tan d

cos

u x

u x

x

v x

v

x

 

  



 



 

 

Khi

 

2

d cos

d tan tan d tan d tan ln cos

cos cos

x x

I x x x x x x x x x x x

x x

      

Suy   tan ln cos ln cos

sin cos sin

x x x x x

f x

x x x



  

2 2ln 3

3 ln 3 ln

3 3

a b  f   f        

       

5 ln



  Suy

5

a b

       

NGUYÊN HÀM HÀM ẨN Câu 1: Cho hàm số f x( ) xác định \

2      

 thỏa mãn ( )

2

f x x

 

 , f(0)1 f(1)2 Giá trị biểu thức f( 1)  f(3)

A 4 ln 5 B 2 ln15 C 3 ln15 D ln15 Lời giải

Chọn C

Cách 1: • Trên khoảng 1;

 



 

 

: ( ) ln(2 1) 1

f x dx x C

x

   

  Lại có f(1) 2 C12

• Trên khoảng ;1

 



 

 :

2

( ) ln(1 )

2

f x dx x C

x

   

  Lại có f(0) 1 C2 1

Vậy

1 ln(2 1)

2 ( )

1 ln(1 )

2

x khi x

f x

x khi x

             

Suy f( 1)  f(3) 3 ln 15 Cách 2: Ta có: 0 1 3 1

(0) ( 1) '( ) ln | ln (1)

2

2

(3) (1) '( ) ln | ln (2)

dx

f f f x dx x

x dx

f f f x dx x

x                             

Lấy (2)-(1), ta f(3) f(1) f(0) f( 1) ln15 f( 1)  f(3) 3 ln15 Câu 2: Cho hàm số f x( ) xác định \

3      

 thỏa mãn   ,  0

3

f x f

x

  



2

f    

Giá trị biểu thức f 1 f  3

A 3 5ln 2 B  2 5ln C 4 5ln 2 D 2 5ln 2 Lời giải

Chọn A

Cách 1: Từ    

1

1

1 ln x ;

3

3

dx=

3 1

ln x ;

x C

f x f x

x x x C                                Ta có:   1 2

0 1

2

0 2

2 f C C C C f                              ln 1 x ;

3 ln x ;

3 x f x x                            

Cách 2: Ta có                   0 0 1 1 3 3 2

3 2

3

3

0 dx dx ln ln

3

2

3 dx dx ln ln

3

f f f x f x x

x

f f f x f x x

x                                       

Lấy    2  , ta được:  3  1  0 ln 32  1  3 ln

f  f   f  f    f   f  

 

Câu 3: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số f x  xác định \ 2 thoả mãn  

2 x f x x   

 , f 0 1 f 42 Giá trị biểu thức f  2  f 3

A 2 B ln C 10 ln 2 D 3 20ln 2 Lời giải

Chọn A

Ta có:    d 1d d ln

2

x

f x f x x x x x x C

x x

  



         

   

   ,  x \ 2

+ Xét khoảng 2;  ta có: f  0   1 ln 2C 1 C 1 ln

Do đó, f x 3x7 ln x2 1 ln 2, với x  2;  Suy f  2  7 ln 47 ln 2 7 ln

+ Xét khoảng  ; 2 ta có: f 42 12 ln 2 C2C14 ln 2

Do đó, f x 3x7 ln x2 147 ln 2, với x   ; 2 Suy f  3  5 ln

Câu 4: Cho hàm số f x  xác định \2; 2 thỏa mãn   24 ;  3

f x f

x

   

 ;

 0

f 

 3

f 

Tính giá trị biểu thức P f  4  f  1  f  4 A ln

25

P  B P 3 ln C ln5

P  D ln5

3

P 

Lời giải Chọn B

Từ   24

4

f x x

 

  

4 dx f x x   

  x 24dxx 2

        

ln ;

2

ln 2;

2

ln 2;

2

x

C x x

x

C x x

x

C x x                          Ta có       0 2 f f f         

ln

0 1 ln C C C              ln ln

 

f x



 

 

 

2

ln -ln5 ;

2

ln 2;

2

ln ln 2;

x

khi x x

x

khi x x

x

khi x x

 

  

 



 

   

 

 

   

  

Khi P  f 4 f1 f  4 ln ln ln ln1 ln

        3 ln Câu 5: Cho hàm số f  x xác định \2;1 thỏa mãn   2

2

f x

x x

 

  ; f3 f  3 0  0

3

f  Giá trị biểu thức f 4 f1 f 4

A 1 1ln

33 B ln 80 C

1 ln ln

3

  D 1 1ln8



Lời giải Chọn A

 

1

f x

x x

 

 

 

  

 

 

 

1

2

3

1

ln ;

3

d d 1

ln 2;1

2

1

ln 1;

3

x

C khi x

x

x x x

f x C khi x

x x x x x

x

C khi x

x

 

   

 



 

      

     

 

  



 

 

Do  3  3 1ln 1 1ln2 3 3 1 1ln10

3

f   f   C  C C C 

Và  0 1ln1 2 2 1ln

3 3 3

f   C  C  

 

 

 

 

1

1

1

ln ;

3

1 1

ln ln 2;1

3 3

1 1

ln ln10 1;

3

x

C khi x

x x

f x khi x

x x

C khi x

x

 

   

 



 

     

 

 

   



 

Khi đó:

      1

1 1 1 1 1

4 ln ln ln ln ln10 ln

3 3 3 3

f   f   f  C         C   

     

Câu 6: Cho hàm số f x xác định \ 1 thỏa mãn   21

1

f x x

 

 Biết f 3 f  3 0

1

2

2

f   f 

   

Giá trị T  f 2 f  0  f  4 bằng:

A 1ln5

T   B 1ln9

2

T   C 1ln9

2

T   D 1ln9

2

T 

Chọn B

Ta có  d 21 d

f x x x

x

 



  1 d

2 x x x

 

   

 

 

 1ln

2 x C x    

Do  

1

2

1

ln 1,

2

1

ln 1

2

x

C x x

x C x f x x x                    

Do f 3 f  3 0 nên C1 0, 1

2

f  f  

   

nên C2 1

Nên  

1

ln 1,

2

1

ln 1

2 x x x x x x x x f                   

T  f2 f  0  f  4 1ln9  

Vậy f  2  f  3 77 ln ln 2  12

Câu 7: (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số y f x  thỏa mãn

   

'

f x f x x x Biết f  0 2 Tính 2 

2

f

A 2  313

2 15

f  B 2  332

2 15

f  C 2  324

2 15

f  D 2  323

2 15

f 

Lời giải Ta có  f '   x f x dxx4x2dx C  

2

2

f x x x

C

   

Do f  0 2 nên suy C2 Vậy 2 2 32

5

f     

 

332 15



Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số f x  có đạo hàm \ 0  thỏa mãn f  x f x  x2 x

  

và f  1  1 Giá trị

2

f  

 

A

96. B

1

64. C

1

48. D

1 24. Lời giải

Chọn A

Ta có            

4

2 3

4

f x x

f x x xf x f x x xf x x xf x x dx C

x



             

 1

4

f   C  Khi  

4

5

4 96

x

f x f

x

  

   

 

Câu 9: (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019)Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f(1)4

3

( ) ( )

f x xf x  x  x với x0 Giá trị f(2)

A 5 B 10 C 20 D 15

Lời giải

3

3

2

1 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) f x x f x x x f x

f x xf x x x x

x x x

                   

Suy ra, f x( )

Ta có 2x3dxx23x C , C

Do đó, f x( ) x2 3x C1,

x    (1) với C1

Vì f(1)4 theo giả thiết, nên thay x1 vào hai vế (1) ta thu C1 0, từ

3

( )

f x x  x Vậy f(2)20

Câu 10: Cho hàm số f x  thỏa mãn       

2 4

' " 15 12 , 

f x  f x f x  x  x  x

f  0  f' 0  1

Giá trị   

2

1

f

A 10 B 8 C 5

2 D

9 Lời giải

Ta có f x  'f  x  f ' x 2  f x  "f  x 15x412 ,x  x 

   

C,

f x f x x x x

     

Lại có f  0  f ' 0 1 nên C 1    

' 1,

f x f x  x  x   x 

   

 2    

2 ' 12 2,

f x   f x f x  x  x   x  f x 2 x64x32xC1, x 

Mà f  0 1 nên C1 1 Vậyf  1 2 16 4.132.1 1 8

Câu 11: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hàm số y f x  liên tục có đạo hàm đoạn 1;0, đồng thời thỏa mãn điều kiện

       

3 f x , 1;0

f x  x  x e   x Tính A f  0  f  1 A A 1 B A

e

 C A1 D A0

Lời giải Chọn D

Ta có f x 3x22x e f x  ,  x  1;   f x ef x  3x22 ,x   x  1;    Lấy nguyên hàm hai vế   ta ef x df x  x3x2C

 

 

3

1 ln

f x

e x x C f x x x C

       

Do  

     

1

0 ln

0

1 ln

f C

f f

f C

 



   



  



Vậy A0

Câu 12: (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI)Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục nhận giá

trị dương khoảng thỏa mãn với Mệnh đề

nào sau đúng?

A B C D

Lời giải Chọn C

Ta có

   

   

1 3x

f x f x x

f x f x



 



 



 

f x ,

0; f  1 1,f x  f ' x 3x1 x0

 

 

ln

3

f x x C

   

Vì

Vậy

Câu 13: (Sở Quảng Ninh Lần1) Biết ln có hai số a b để   4 0

ax b

F x a b

x



  

 nguyên

hàm hàm số f x  thỏa mãn 2f2 x F x 1f x Khẳng định đầy đủ nhất?

A a, b B a1,b4 C a1,b 1 D a1,b\ 4  Lời giải

Chọn D

Do 4a b 0nên F x C  x  Vì ln có hai số a b để   4 0

ax b

F x a b

x



  

 nguyên hàm hàm số f x nên f x  hàm Từ giả thiết          

      2 1

f x f x

f x F x f x

F x f x

 

   



Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân dx ta được:

   

 

     

2

d d ln ln

1

f x f x

x x F x f x C

F x f x



    



  với C số

           

2

2

2 ln ln ln

4

C C C a x b

F x e f x f x e F x e

x                          2 4 C C

a x b

f x e

x

a x b

f x e

x                               

Trường hợp 1    

2

1

4

C a x b

f x e

x           

Ta có      

 2

4

a b

F x f x f x

x



   



Đồng hệ số ta có:

      2 1 4

4

4

C

C C

C

a

a b

e a x b a b x

e b b e

b e                             

Loại b4 điều kiện 4a b 0 Do  ;  1;4 C C e a b e         Trường hợp 2    

2

1

4

C a x b

f x e

x            

 1 4

3

f  C  C 

     

2 4

3

3 3

2

ln 3,8

3

x

f x x f x e   f e

        

Ta có      

 2

4

a b

F x f x f x

x



   



Đồng hệ số ta có:

 

 

 

2

2

1

1 4

4

4 4 1

C

C C

C

a

a b

e a x b a b x

e b b e

b e

   

 

 

         

    

 

  

 



Loại b4 điều kiện 4a b 0 Do  ;  1;4 C

C

e a b

e

  

  

 

Tổng hợp cảhai trường hợp ta chọn đáp án D

Câu 14: Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn  2 15

f 

  2 4 2  0

f x  x f x  Tính f  1  f  2  f  3

A

15 B

11

15 C

11

30 D

7 30 Lời giải

Chọn D

Vì     2 

2

f x  x f x  f  x 0, với x0; nên ta có  

 

2

f x x

f x



  

Suy  

2

1

4

x x C

f x    Mặt khác  

1

15

f  nên C3 hay   2

f x

x x



 

Do f  1  f  2  f  3 1 15 24

  

30 

Câu 15: Cho hàm số f  x xác định liên tục  Biết f6 x .f x 12x13

 0

f  Khi phương trình f  x 3 có nghiệm?

A 2 B 3 C 7 D

Lời giải Chọn A

Từ 6   

12 13

f x f x  x  f6 x f  x dx12x13dx

   

6

6 13

f x df x x x C

     

7

2 13

f x

x x C

     0 2

7 f

C 

  Suy ra: 7 

42 91

f x  x  x

Từ f  x 3  f7 x 218742x2 91x22187  

42x 91x 2185 *

   

Phương trình  * có nghiệm trái dầu ac0

Câu 16: Cho hàm số f  x xác định  thỏa mãn f x  exex2, f  0 5 ln1

f  

 

Giá trị biểu thức S  f ln 16 f ln 4

A 31

S  B

2

S  C

2

S  D f    0 f 1 Lời giải

Ta có f x  exex2 e e x

x  

2

2

e e

e e

x x

x x

x x 





 

  

  



Do  

2

1

2

2

2e 2e

2e 2e

x x

x x

C x

f x

C x

 



  

  

   



Theo đề ta có f  0 5 nên 0

2e 2e C 5 C11

 

ln ln

2

ln 2e 2e

f 

    6

Tương tự ln1

f  

 

nên

1

ln ln

4

2

2

2e 2e C

   

   

   



    C2 5

 

 ln16  ln16

2

ln16 2e 2e

f

 



     

2   Vậy  ln16 ln 4

2

S f   f 

Câu 17: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục và thỏa mãn f  x 0,  x  Biết f  0 1

   

'

2

f x

x

f x   Tìm giá trị thực tham số m để phương trình f  x m có hai nghiệm thực

phân biệt

A m e B 0m1 C 0me D 1me Lời giải

Chọn C Ta có  

  2

f x

x f x



   

 d 2 d

f x

x x x

f x



  

 

ln f x 2x x C

      2x x2

f x A e 

  Mà f  0 1 suy   2x x2

f x e 

Ta có 2xx2  1 x22x1  1 x12 1 Suy 0e2x x e ứng với giá trị thực

t  phương trình

2xx t có hai nghiệm phân biệt

Vậy đểphương trình f  x m có nghiệm phân biệt 0m e e

Câu 18: Cho hàm số f  x liên tục  f  x 0 với x f  x  2x1 f2 x  1 0,

f   Biết tổng f  1 f  2 f  3 f 2017 a

b

     ; a,b với a

b tối

giản Mệnh đềnào đúng?

A a b  1 B a  2017; 2017 C a

b   D b a 4035

Lời giải Chọn D

Ta có     2 

2

f x  x f x  

   

2

f x

x

f x



    

   

2 d d

f x

x x x

f x



  

 

2

1

x x C

f x

    

Mà  1

f   nên C0   21 1

f x

x x x x

    

Mặt khác  1  2  3 2017 1 1 1 1

2 2018 2017

f  f  f   f          

       

 1  2  3 2017 1 2017

2018 2018

f f f f 

         a 2017; b2018

Khi b a 4035

Câu 19: (SỞGD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hàm số f x  liên tục , f x 0 với x

và thỏa mãn  1

2

f   , f  x  2x1f 2 x Biết f  1 f  2 f 2019 a

b

     với

 

, , ,

a b a b  Khẳng định sau sai?

A ab2019 B ab2019 C 2ab2022 D b2020 Lời giải

    2 

2x f

f x   x  

 

2 2x

f x

f x

     

   

2 dx

f

x dx

f x

x

   

 

 

   

2

d f x

x dx

f x

  

 

1

x x C

f x

      1 (Với C số thực)

Thay x1 vào  1

1

C

   

0

C

  Vậy   1

1

f x

x x

 



1 1 1

(1) (2) (2019)

2 2020 2019

T  f  f   f          

     

1

2020   

Suy ra: 2019

2020

a

a b b

 

    

 

Câu 20: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục khoảng 0; , biết

    2 

2

f x  x f x  ,  x  2

f  Tính giá trị biểu thức

 1  2 2019

P f  f   f

A 2021

2020 B 2020

2019 C 2019

2020 D 2018 2019 Lời giải

Chọn C

TH2: f x 0  f x  2x1  f2 x  

   

2

f x

x f x



   

 

   

2 d d

f x

x x x

f x



   

   

2

1

x x C

f x



    

Ta có:  2

f  C0   21 1

1

f x

x x x x

   

 

1 1 1 2019

1 2 2020 2020

P

       

Câu 21: Cho hàm số f  x 0 thỏa mãn điều kiện f '  x  2x3  f2 x  0

f   Biết tổng

 1  2 2017 2018 a

f f f f

b

     với a,b* a

b phân số tối giản Mệnh đề

nào sau đúng? A a

b   B

a b 

C a b 1010 D b a 3029

Lời giải Chọn D

Biến đổi f '  x  2x3  f2 x    

'

2

f x x f x

    

   

'

2

f x

dx x dx

f x

  

   

2

2

1

3

3

x x C f x

f x x x C

       

  Mà  

2

f   nên 2

Do  

  

2

1

3 2

f x

x x x x

   

   

Khi a f  1 f  2 f 2017 f 2018

b     

1 1

2.3 3.4 2018.2019 2019.2020

 

      

 

1 1 1 1

2 3 2018 2019 2020

 

         

 

1 2020

 

   

 

1009 2020 



Với điều kiện a b, thỏa mãn toán, suy ra: 1009 2020

a b

   

 

3029

b a

  

Câu 22: Cho hàm số y  f x ,  x 0, thỏa mãn        

   

2 3

0 0;

f x f x f x xf x

f f

       

  



  

 

Tính f  1

A 2

3 B

3

2 C

6

7 D

7 Lời giải

Chọn C

Ta có: f   x f x 2f x 2xf3 x 0      

 

2

f x f x f x

x

f x

    

    f x x f x               2

f x x

C f x          2 0 f C f 

    C0

Do  

  2

2

f x x

f x



 

   

1

2

0

d d

2

f x x

x x f x        1 0 x f x             

1 1

1

f f

      1

7

f

 

Câu 23: Giả sử hàm số f x( ) liên tục, dương ; thỏa mãn f  0 1  

 

1

f x x

f x x

 

 Khi hiệu 2 2  1

T  f  f thuộc khoảng

A 2; 3 B 7; 9 C 0;1 D 9;12 Lời giải

Chọn C Ta có  

 d

f x x f x





 d

1

x x

x  

       2 d d 1 x f x

f x x

 



 

Vậy ln   1ln 1

f x  x  C, mà f  0  1 C 0 Do f x  x2 1 Nên f 2 23; 2f  1 2  f 2 22f  1  3 20;1

Câu 24: (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019)Cho hàm số f x 0 với x , f  0 1 f x  x1.f x với x Mệnh đề đúng?

A f x 2 B 2 f x 4 C f x 6 D 4 f x 6 Lời giải

Ta có:  

 

1

f x

f x x

       d d f x x x

f x x



 



  lnf x 2 x 1 C

Mà f  0 1 nên   2  

2 x

C    f x e    f e 

Câu 25: Giả sử hàm số y  f x  liên tục, nhận giá trị dương 0;  thỏa mãn f  1 1,    

f x  f x x , với x0 Mệnh đề sau đúng?

A 4 f  5 5 B 2 f  5 3 C 3 f  5 4 D 1 f  5 2

Lời giải Chọn C

Cách 1:

Với điều kiện tốn ta có    

f x  f x x  

 

   

1

d d

3

f x f x

x x

f x x f x x

                    d 1

3 d 3 f x x x f x  

     ln  

3

f x x C

     

2 3

e x C

f x  

 

Khi  

4

3

1 e

3 C

f     C   

2

3

3

e x

f x  

     

4

5 e 3, 79 3;

f

    

Chú ý: Các bạn tính d

x x

 cách đặt t 3x1 Cách 2:

Với điều kiện tốn ta có    

f x  f x x  

 

1

f x

f x x

        5 1 d d f x x x

f x x

          d 4 f x f x     ln f x       ln f f        

5 e 3, 79 3;

f f

    

Câu 26: Cho hàm số f  x thỏa mãn f x 2 f x f   x 15x412x,  x  f  0  f 0 1

Giá trị 2 

1

f

A 9

2 B

5

2 C 10 D 8

Lời giải Chọn D

Ta có: f x 2 f x f   x 15x412x,  x 

   

15 12

f x f x  x x

    ,  x     

1

f x f x x x C

   

Do f  0  f 0 1 nên ta có C11 Do đó: f x .f  x 3x56x21

 

2

1

3

2 f x x x



 

    

   

2

2

4

f x x x x C

    

Mà f  0 1 nên ta có C2 1 Do f2 x  x64x32x1 Vậy f2 1 8.

Câu 27: Cho hàm số f x liên tục  thỏa mãn  1d 2 3

f x x

x C x x       

 Nguyên hàm

của hàm số f 2x tập  là: A

  x C x  

 B

3 x C x  

 C  

2 x C x  

 D  

2 x C x   

Lời giải Chọn D

Theo đề ta có:

   

     

 2

1 3

d d

5

1 1 4

f x x x

x C f x x C

x x x                  

Hay  d 22 3  d 2

4

t t

f t t C f t t C

t t            

Suy      

 2

1 3

2 d d

2 2 4 8

x x

f x x f x x C C

x x                  

Câu 28: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f(1)3và x(4 f x'( )) f x( ) 1 với

x Tính f(2)

A 6 B 2 C 5 D 3

 

(4 '( )) ( ) ( ) '( ) ( ) '

x  f x  f x   f x xf x  x  xf x  x

   

( ) ( ) 'd d

xf x xf x x x x x x C

      

Với x1 (1)f  3 C  3 CC0

Do xf x( )2x2 x Vậy (2)f 2.222 hay (2)f 5

Câu 29: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số y f x  xác định , thỏa mãn f x 0,  x 

và f x 2f x 0 Tính f  1 biết f  1 1

A e4 B e3 C e4 D e2 Lời giải

Chọn A

Vì f x 0, nên ta có:

   

f x  f x   

 

f x f x



   

  d 2d

f x

x x

f x



 

:

C

   ln f x  2xC ln f x 2xC Cho x1 ln f  1 2C ln1 2 C C 2

Do đó: ln f x 2x2   2x

f x e 

   

1

f e

  

9

S a   b c

Câu 30: (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết ln có hai số a b để

  4 0

4

ax b

F x a b

x



  

 nguyên hàm hàm số f x  thỏa mãn

       

2

2f x  F x 1 f x Khẳng định đầy đủ nhất?

A a, b B a1,b4 C a1,b 1 D a1,b\ 4  Lời giải

Do 4a b 0nên F x C  x  Vì ln có hai số a bđể   4 0

ax b

F x a b

x



  



một nguyên hàm hàm số f x nên f x  hàm Từ giả thiết          

 

   

2

2

1

f x f x

f x F x f x

F x f x

 

   



Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân dx ta được:  

 

 

     

2

d d ln ln

1

f x f x

x x F x f x C

F x f x



    



  với C số

           

2

2

2ln ln ln

4

C C C a x b

F x e f x f x e F x e

x

  

 

        



 

   

   

2

2

1

4

1

4 C

C

a x b

f x e

x

a x b

f x e

x

     

   



  

 

  

 



   

 

 

Trường hợp 1    

2

1

4

C a x b

f x e

x

  

 

  



 

Ta có      

 2

4

a b

F x f x f x

x



   



Đồng hệ số ta có:

 

 

 

2

2

1

1 4

4

4 4 1

C

C C

C

a

a b

e a x b a b x

e b b e

b e

   

 

 

        

   

 

  

 



Loại b4 điều kiện 4a b 0 Do  ;  1;4 C

C

e a b

e

  

  

 

Trường hợp 2    

2

1

4

C a x b

f x e

x

  

 

   



 

Ta có      

 2

4

a b

F x f x f x

x



   



Đồng hệ số ta có:

 

 

 

2

2

1

1 4

4

4 4 1

C

C C

C

a

a b

e a x b a b x

e b b e

b e

   

 

 

         

    

 

  

 



Loại b4 điều kiện 4a b 0 Do  ;  1;4 C

C

e a b

e

  

  

 

Câu 31: (Thuận Thành Bắc Ninh) Cho hàm số f x( )0; f  x  2x1  f2 x f  1  0, Biết

tổng f  1 f  2 f  3 f 2017 a

b

     ; a;b với a

b tối giản Chọn khẳng định

A a

b   B a b 1 C b a 4035 D a b  1

Lời giải Chọn C

Ta có:        

 

2

2 f x

f x x f x x

f x



      do f x( )0

Lấy nguyên hàm vế ta được:

 

       

2

2

1

d d

f x

x x x x x C f x

f x f x x x C

 

        

 

 

Mà f  1  0, 5C0,   2 1

1

f x

x x x x



  

 

2017 2016 (1) 1 1 1 2018 2017 2017 2016

1 2017

1

2018 2018

f  f   f       

   

Suy a 2017;b2018 nên b a 4035

Câu 32: (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x  liên tục không âm 0; 

 

 

 

, thỏa mãn f x f   x cosx 1 f2 x với 0;

x  

  f  0  Giá trị f

      

A 2 B C 2 D 0

Lời giải Với 0;

2

x  

  ta có      

   

   

2

2

2

cos cos *

2

f x f x

f x f x x f x x

f x



    



Suy 1 f2 x sinx C Ta có f  0  3C2

Dẫn đến f x  sinx221 Vậy 2

2

f 

 

Câu 33: (Sở Bắc Ninh) Cho hàm số f x  liên tục R thỏa mãn điều kiện: f  0 2 2, f x 0,

 x  f x f    x  2x1 1 f2 x ,  x  Khi giá trị f  1

A 26 B 24 C 15 D 23

Lời giải Chọn B

Ta có f x f    x  2x1 1 f2 x    

   

2

2 1



  



f x f x

x f x

Suy    

   

2

d d

1 

 



 f x f x x  x x

f x

 

 

   

2

d

2 d



  



 f x  x x

f x

 

2

1

  f x  x  x C

Theo giả thiết f  0 2 2, suy  

2

1 2 CC3

Câu 34: (THPT YÊN PHONG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số f x  liên tục tập  thỏa mãn

   

1

f x x   x f x  f x  1, f  0 0 Tính f  3

A B C D

Lời giải Cách

Với điều kiện tốn

Ta có f x x2 1 2x f x 1  

 

2 1

f x x

f x x



 

 

Suy  

  d d

2 1

f x x

x x

f x x





 

   f x  1 x2 1 C Với f  0 0 ta có 1 C C 0

Khi f x  1 x21  

f x x

 

Vậy f  3 3 Cách

Từ giả thiết ta suy  

   *

2 1

f x x

f x x





 

Ta có  

 

3

2

0

d d

2 1

f x x

x x

f x x





 

   

3

2

0

1

f x x

   

 3  0 1

f f

      f  3  1  f  3 3

Câu 35: (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hàm số f x  liên tục đoạn 0;4 thỏa mãn

     

   

2

2

2

 

 

     



f x

f x f x f x

x

f x 0 với x0; 4 Biết f 0  f 0 1, giá trị f  4

A

e B 2e C

e D

1 

e

Lời giải Chọn A

Ta có:      

         

 

 

2

2

3

2

   

   

           

 

f x f x

f x f x f x f x f x f x

x x

     

   

 

   

2

2 3 3

1

2



       

      

     

 

f x f x f x f x

f x

 

   

 

   

   

2

1

1

2

2



  

         

 

 

f x f x f x

dx x dx C

f x x f x f x x

Thay x0 ta được: C10  

 

 

   

1

ln

2

 

        

   

f x f x dx

dx f x x C

f x x f x x

Thay x0 ta đượcC2  1

 

ln 1

 f x  x 

Thay x4 ta lnf  4 2 f  4 e2

Câu 36: (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn

  2    

1 "

xf x  x  f x f x

   

    với x dương Biết f  1  f 1 1 Giá trị  

2

2

f

A f2 2  2 ln 22 B 2 

2 ln 2

f  

C f2 2 ln 1 D 2 

2 ln

f  

Lời giải Ta có: xf x 2 1 x21 f x f  " x ; x0

     

2

' 1 "

x f x x f x f x

       

     

     

   

2 2

2 '

2

1

' "

1

' "

1

'

f x f x f x

x

f x f x f x

x f x f x

x

    

    

   

Do đó: f x f  ' x '.dx 12 dx f x f  ' x x c1

x x

 

     

   

 

 

 

Vì f 1  f ' 1   1 2c1c1 1 Nên f x f  ' x dx x 1 dx

x

 

    

 

  f x .df x  x 1 dx x

 

     

 

 

 

2

2

ln

2

f x x

x x c

     Vì  1 1 1 2 2 2

f     c c 

Vậy    

2

2

ln 2ln 2

2

f x x

x x f

      

Câu 37: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số f x  thỏa mãn       

2 4

' " 15 12 , 

f x  f x f x  x  x  x

và f  0  f ' 0  1 Giá trị   

f

A 10 B 8 C 5

2 D

9 Lời giải

Chọn B

Ta có        2    

' ' " 15 12 ,

f x f x   f x  f x f x  x  x  x 

   

C,

f x f x x x x

Lại có f  0  f ' 0 1 nên C 1 f x  'f  x 3x56x2   1, x 

 

 

 2    

2 ' 12 2,

f x   f x f x  x  x   x    2 6 3

1

4 ,

f x x x x C x

      

Mà f  0 1 nên C1 1 Vậy  

2 6 3

1 4.1 2.1

TÍCH PHÂN 1 Cơng thức tính tích phân

    b

b a a

f x dx( ) F x( ) F b( ) F a( )

* Nhận xét:Tích phân hàm số f từađến b kí hiệu  b

a

f x dx( ) hay  b

a

f t dt( ) Tích phân

chỉ phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số 2 Tính chất tích phân

Giả sử cho hai hàm số f x  g x  liên tục K a b c, , , ba số thuộcK Khi ta có :

1  

a

a

f x dx( )

2   

b a

a b

f x dx( ) f x dx( )

3    

b c b

a a c

f x dx( ) f x dx( ) f x dx( )

4      

b b b

a a a

f x( ) g x dx( ) f x dx( ) g x dx( )

5   

b b

a a

kf x dx( ) k f x dx ( )

6 Nếu f(x) 0,   x a b;  :       

b

a

f x dx( ) x a b;

Nếu

b b

a a

x a b; : ( )f x g x( ) f x dx( ) g x dx( )

      

Nếu     

x a b; Nếu M  f x( )N        

b

a

M b a f x dx( ) N b a

3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến

1.1 Phương pháp đổi biến dạng Định lí

Nếu hàm số u u x( )đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn  

a b;  cho

 

 

f x dx( ) g u x u x dx( ) '( ) g u du( ) thì:     u b b

a u a

I f x dx g u du

( ) ( )

( ) ( )

1.2 Phương pháp chung

 Bước 1:Đặt u u x( )du u x dx'( )  Bước 2:Đổi cận :   

 

x b u u b

x a u u a

( ) ( )

 Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo u Vậy:        

u b

b b

a a u a

I f x dx g u x u x dx g u du

( ) ( )

2.1 Phương pháp đổi biến số dạng Định lí

Nếu 1) Hàm x u t( ) có đạo hàm liên tục    ;  2) Hàm hợp f u t( ( )) xác định  

 ; , 3) u( ) a u, ( ) b

Khi đó:

 

   

b

a

I f x dx( ) f u t u t dt( ( )) ( )' 2.2 Phương pháp chung

 Bước 1:Đặt x u t 

 Bước 2: Tính vi phân hai vế : x u t( )dx u t dt'( ) Đổi cận: 



 



 

x b t

x a t

 Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t Vậy:

 

 

 

       

b

a

I f x dx( ) f u t u t dt( ) '( ) g t dt( )   



G t( ) G( )G( )

2 Phương pháp tích phân phần Định lí

Nếu u x  v x  hàm sốcó đạo hàm liên tục   a b;  thì:    

b b

a a

b

u x v x dx u x v x v x u x dx

a

' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hay  b

a

udv uvb a 

b

a vdu 2.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Viết f x dx  dạng udv uv dx' cách chọn phần thích hợp f x  làm  

u x phần lại dv v x dx'( )

 Bước 2: Tính du u dx' v  dv  v x dx'( )  Bước 3: Tính 

b

a

vu x dx'( ) uvb a

* Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần

Đặt u theo thứ tựưu tiên:

Lốc-đa-mũ-lượng 

b

x

a

P x e dx( ) 

b

a

P x( )lnxdx  b

a

P x( )cosxdx  b

x

a

e cosxdx

u P(x) lnx P(x) x

e

dv e dxx P(x)dx cosxdx cosxdx

Chú ý: Nên chọn u phần f x  mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv v dx' phần  

f x dx vi phân hàm sốđã biết có ngun hàm dễ tìm 3 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐSƠ CẤP CƠ BẢN

3.1 Tích phân hàm hữu tỉ 3.1.1 Dạng

I =



 

  

  

 

Chú ý: Nếu I =               

 k  k k

dx

ax b adx ax b

a a k

ax b 1 ( ) ( ) (1 ) ( )

3.1.2 Dạng

         dx I a

ax2 bx c (ax bx c 

2 0

với  

 

x ; )

Xét  b2 4ac

 Nếu   0thì x    b x    b

a a

1 2 ; 2

 

    

    

  a x x x x a x x x x x x 

ax2 bx c

1 2

1 1 1

( )( ) ( ) :

I dx x x x x

a x x x x x x a x x

x x

a x x x x

1

1 2

1

1 2

1 1

ln ln ( ) ( ) ln ( )                                 

 Nếu       

    

b x

a

ax2 bx c a x x

0

1

2

( )

thì I =

            

ax2 dxbx c a  x dxx a x x 0

1

( )

( )

 Nếu  0thì

                                 

 dx  dx

I

ax bx c

b

a x

a a

2 2

2

2

Đặt x  b   t dx    t dt

a a a

2

2

1

tan tan

2

3.1.3 Dạng

          mx n

I dx a

ax2 bx c ,

(trong  

 

mx n

f x

ax2 bx c

( ) liên tục đoạn    ; )

 Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho:     

     

mx n A ax bx c B

ax bx c ax bx c ax bx c

2

2 2

( )' 

 

   

A ax b B

ax2 bx c ax2 bx c

(2 )

 Ta có I=

                  

mx n A ax b B

dx dx dx

ax2 bx c ax2 bx c ax2 bx c

(2 ) Tích phân       axA ax b2 bx cdx

(2 )

=

 

 

Alnax2 bx c

Tích phân



  

dx

  b

a P x

I dx

Q x

( )

( ) với P x  Q x  đa thức x

 Nếu bậc P x  lớn bậc Q x  dùng phép chia đa thức  Nếu bậc P x  nhỏhơn bậc Q x  có thểxét trường hợp:

 Khi Q x  có nghiệm đơn  1, , ,2 nthì đặt

  

   

  

n n

A A A

P x

Q x x x x

1

1

( )

( )

 Khi Q x có nghiệm đơn vơ nghiệm

  

       

Q x x x2 px q p2 q

( ) , đặt





 

  

P x A Bx C

Q x x x2 px q

( )

( )

 Khi Q x có nghiệm bội

 

  

Q x( ) (x )(x )2

với    đặt

 

  

  

  

A

P x B C

Q x x x x

( )

( )

 

  

Q x( ) (x ) (2 x )3

với    đặt

 

           

    

P x A B C D E

x x

x x x x x

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3.2 Tích phân hàm vơ tỉ

 b

a

R x f x dx( , ( )) Trong đó R x f x ,   có dạng:



a x R x

a x

,

  

 

  

  Đặt x acos t t2 , 0;

2



   



 

  R x a , x2 Đặt x  a sint x  a cost 

n ax b R x

cx d

,

  

 

  

  Đặt n ax b d t

cx   



 

 

R x f x

ax b x2 x

1 ,

( )   



  

Với x2 x '  k x ba  

Đặt t  x2 x  , Đặt t

ax b

1 



 R x a , x2 Đặt x  a tant, t ;

2

 

 

  

  

R x x2 a2

, 

Đặt

x a

x

cos



, t [0; ]\

2

      

 

 Rn1x;n2x; ;ni x Gọi kBSCNN n n 1; 2; ;ni Đặt xtk 3.2.1 Dạng

 

 

  

I dx a

ax2 bx c

1

0

 

Từ :



 

    

 

         



   

  

  2

b

x u

b a

f(x)=ax bx c a x du dx

a a

K a

2

2

2

2 Khi ta có :

 Nếu   a   f x a u k  f x  a u k

2 2

0, ( ) ( )

(1)

 Nếu :

 

  

        

  

  

 a b

f x a x b

f x a x a u

a

a

2

0 ( )

( )

2

2

(2)  Nếu :  

 Với a0 : f x( )a x x1x x2  f x( )  a x x1x x2 (3)

 Với a0 : f x( ) a x 1 x x 2 x  f x( )  a x1 x x 2 x(4)

Căn vào phân tích , ta có số cách giải sau :  Phương pháp :

* Trường hợp :   0,a 0 f x( )a u k2  f x( )  a u k2

Khi đặt : ax2 bxc t a x

 

 

 

 



     

 

   

      

 

   



 

t c

x dx tdt

b a

bx c t ax b a

x t t x t t t c

t a x t a

b a

2

2

0

2 ;

2

2

,

2 * Trường hợp :

 

  

        

  

  

 a b

f x a x b

f x a x a u

a

a

2

0 ( )

( )

2

2

Khi :

 

 

 

 

  

  

  

  

   

 



       

  



 

b b

x x

a a

a

I dx dx

b a b b b

a x x x x

a a a a a

1

ln :

2

1 1

1

ln :

2 2

* Trường hợp :   0,a 0 Đặt :     

 

  

     

 

2 x x t

ax bx c a x x x x

x x t

1

1

* Trường hợp :  0,a 0 Đặt :     

 

  

     

 

2 x x t

ax bx c a x x x x

x x t

1

1

2 3.2.2 Dạng

 



 

   mx n

I dx a

ax2 bx c

 

 Phương pháp :  Bước 1:

Phân tích    

  

  

     

2

2 2 2

Ad ax bx c

mx n B

f x

ax bx c ax bx c ax bx c

( )

 Bước 2:

Quy đồng mẫu số, sau đồng hệ số hai tử sốđể suy hệ hai ẩn số A B,  Bước 3:

Giải hệ tìm A B, thay vào (1)  Bước :

Tính  2 

2

I A ax bx c B dx

ax bx c

1

 

 

   

 

 (2)

Trong  

 



 

 dx a

ax2 bx c

1

0 biết cách tính trên 3.2.3 Dạng

   

 

 

  



I dx a

mx n ax2 bx c

1

0

 Phương pháp :  Bước 1: Phân tích :

       

  

 

 

2

2 n

mx n ax bx c m x ax bx c

m

1

(1)

 Bước 2:

Đặt :

  

    

  

 

  

   

   

             



   



2

n

y t dy dx

x t m x t

n x

y m

x t ax bx c a t b t c

y y y

2

1

1

1 1

 Bước 3:

Thay tất vào (1) I có dạng :

 

 

 

 dy

I

Ly My N

' '

Tích phân biết cách tính 3.2.4 Dạng

 

 

 

 

 

  

 

 

  

 

  m x

I R x y dx R x dx

x

; ;

( Trong : R x y ;  hàm số hữu tỷđối với hai biến số x,y    , , , sốđã biết )

 Phương pháp :

Đặt : t m x x

 

 

 

 (1)

 Bước 2:

Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng x  t  Bước 3:

Tính vi phân hai vế : dx ' t dt đổi cận  Bước 4:

Tính :      

 

 

 

 

 

  

  

  

 

R x m x dx R t t t dt x

' '

; ; '

3.3 Tích phân hàm lượng giác 3.3.1 Một số công thức lượng giác 3.3.1.1 Công thức cộng

  

a b a b a b

cos( ) cos cos   sin sin

a b a b b a

sin(  )sin cos sin cos

a b

a b

b tana tan

( )

1 tan tan

tan   



3.3.1.2 Công thức nhân đôi

a a a a a

a a

2 2

2

cos cos – sin cos – 1 – sin tan tan

   

 

a a

a a a 2

sin 2 sin cos tan tan

  ;

; 3.3.1.3 Công thức hạ bậc

; ;

; 3.3.1.4 Cơng thức tính theo t

Với

Thì ; ;

3.3.1.5 Cơng thức biến đổi tích thành tổng

3.3.1.6 Công thức biến đổi tổng thành tích 

 a a

a

2 tan tan

1 tan

3

cos 3  cos   cos sin 3  sin 4 sin3

a a

2 cos2

sin

2



 cos2a cos 2a

2



  

 a a

a cos

tan

1 cos

 

  

3 sin sin

sin

4

3 cos 3 cos

cos

4

 

  

a

t tan

2

 a t

t2

2 sin

1

 

t a

t

2 cos

1  



t a

t2

2 tan

1

 

     

     

     

 

     

 

     

 

     

1

cos cos cos( ) cos( )

1

sin sin cos( ) cos( )

1

Công thức thường dùng:

Hệ quả:

3.3.2 Một số dạng tích phân lượng giác

 Nếu gặp ta đặt

 Nếu gặp dạng ta đặt

 Nếu gặp dạng ta đặt

 Nếu gặp dạng ta đặt

3.3.2.1 Dạng * Phương pháp

 Nếu n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc

 Nếu n3 sử dụng cơng thức hạ bậc biến đổi  Nếu 3n lẻ (n2p1) thực biến đổi:

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 



 



 

cos cos cos cos

2

cos cos sin sin

2

sin sin sin cos

2

sin sin cos sin

2

sin( ) tan tan

cos cos sin( ) tan tan

cos cos



 



 



 



 

4

6

3 cos

cos sin

4 cos

cos sin

8

 

   

 

   

   

       

   

   

        

   

cos sin cos sin

4

cos sin cos sin

4

 

 sin cos

b

a

I f x xdx tsinx

 

 cos sin

b

a

I f x xdx tcosx

 



2

tan cos b

a

dx

I f x

x ttanx  



2

cot sin b

a

dx

I f x

x tcotx

 n  n

1 =  sinx dx ; 2 cosx dx

I I

 n  2p+1      

1 =  sinx dx =  sinx dx     

p p

I sinx sinxdx 1 cos2x d cosx

         

 

       

 

          

   

 

       

 

 

 



k p

k k p p

p p p p

k p

k p

k p

p p p p

C C x C x C x d x

C x C x C x C x c

k p

0 2

2

0

cos cos cos cos

1 1

cos cos cos cos

3 2

 n  2p+1      

=  cosx dx =  cosx dx   p   p

3.3.2.2 Dạng

 

sinm cosn ,

I x xdx m nN

* Phương pháp

 Trường hợp 1: m n s, ố nguyên

a. Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng b. Nếu m chẵn, n lẻ (n2p1) biến đổi:

c.

Nếu m lẻ m2p1, n chẳn biến đổi:

d. Nếu m lẻ, n lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻbé

 Nếu m n s, ố hữu tỉ biến đổi đặt usinx

(*)

Tích phân (*) tính  số số nguyên 3.3.2.3 Dạng

(nN)

   

         

 

       

 

         

   

 

      

 

 

 



k p

k k p p

p p p p

k p

k p

k p

p p p p

C C x C x C x d x

C x C x C x C x c

k p

0 2

2

0

sin sin sin sin

1 1

sin sin sin sin

3 2

  m 2p+1          

I =  sinx cosx dx   sinx m cosx 2pcosxdx  sinx m sin 2x dp sinx

           

   

       

     

 

          

 

        

     

 

 



k p

m k k p p

p p p p

m m k m p m

k k p p

p p p p

x C C x C x C x d x

x x x x

C C C C c

m m k m p m

0 2

1 2

0

sin sin sin sin sin

sin sin sin sin

1 2

 2p+1 n          

I =  sinx cosx dx   cosx n sinx 2psinxdx   cosx n cos 2x dp cosx

           

   

       

     

 

           

 

 

        

     

 

 



k p

n k k p p

p p p p

n n k n p n

k k p p

p p p p

x C C x C x C x d x

x x x x

C C C C c

n n k n p n

0 2

1 2

0

cos cos cos cos cos

cos cos cos cos

1 2

       

      

n n

m

m n m

B x xdx x x xdx u u du

1

2 2

sin cos sin cos cos

  

m n m k

; ;

2 2

 n  n

1 =  tan x dx ; =  cot x dx

I I

       

 tan2x dx cosdx2x d tanx tanx c

         

 cot2x dx sindx2x d cotx cotx C

 

     

tanxdx sincosxxdx dcoscosxx ln cosx C

 

   

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN Câu (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Biết

1

3

d ln

6

x a

x

x x b



 

 

 , a, b hai số nguyên

dương a

b phân số tối giản Khi

2

a b

A B C D

Lời giải

Chọn A

Giả sử:  

 2  2  2

2

3 3

6 3 3

x x A B Bx A B

f x

x x x x x x

   

    

     

Sử dụng phương pháp đồng thức, suy B3 A 10

Do  

 2

10 3 f x x x     

Vậy

   

1 1

2

2

0 0

3 10 10

d d d d

6 3 3

x

x x x x A B

x x x x x x

                             1 0

10 10

d A x x x         1 0

d ln 3 ln

3

B x x

x

   





Suy a4, b3

Kết luận: a2b2 4232 7

Câu (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho tích phân

3

3

2

1

d  ln 3 ln 2 

 x a b c

x x với a, b, c Tính S   a b c

A

3  

S B

6  

S C

3 

S D

6 

S

Lời giải Chọn D

Ta có: 31 2 2 ( 1) 

 

x x x x    1

A B C

x x x

   

2

( 1)

   





A C x A B x B

x x 0           B A B A C 1          A B C

Khi đó:

3 2 d   x x x 2

1 1

d            x

x x x

3 1 ln         x x x ln 3ln

6

      a 2,



b ,

6 

c

6 S      Câu (Sở Phú Thọ)Cho 2

3

5x

x ln ln ln 3x 2d a b c

x



  

 

 với a b c, , số hữu tỉ Giá trị

3

2ab c

A 12 B 6 C 1 D 64

Chọn D Ta có:

  

   

  

4 4

2

3 3

3 2

5x 5x

x x x= x

3x 2 2

x x

d d d d

x x x x x x x

  

   

    

         

   

 4

3

3ln x ln x 3ln ln 3ln 3ln ln

        

Suy a3,b 1,c 0 2a3b c 2664 Câu (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho

5

2

2

d ln ln 3

x

x a b c

x x



  

 

 với , ,a b c Tính giá trị biểu thức Pa b c

A 9 B 5 C 3 D 4

Lời giải Chọn B

Ta có  

5

5

2 3

3

2

d d ln ln ln 2 ln

3 2

x

x x x x x

x x x x

  

            

     

 

Vậy a2,b1,c    2 a b c

Câu (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho

1

2

4 15 11

d ln ln

x x

x a b c

x x

 

  

 

 với

a, b, c số hữu tỷ Biểu thức T a c b 

A 4 B 6 C

2 

D 1

2 Lời giải

Chọn B Ta có

1 2

2 2

0 0

4 15 11 (4 10 4) (5 7)

d d d

2 2 2

x x x x x x

x x x

x x x x x x

        

    

       

  

1

0

1

1 3

2 d ln | | ln | | ln ln

2 x x x x

x x

   

             

 

   



Vậy a2, b 1,

c nên T 6

Câu Biết Tính

A B C D

Lời giải Chọn D

Ta có:

     

2

3

1

d ln

6 11

m n p

x

x x x x C

x x x



    

  

 4mn p

5

   

2

3

1

6 11 3

x x A B C

x x x x x x x x x

 

   

        

   

        

   

2 2 3 1 3 1 2

1

1 3

A x x B x x C x x

x

x x x x x x

       



 

     

        

2

1 3

x A x x B x x C x x

          

1

5

6

A B C A

A B C B

A B C C

   

 

 

       

     

Suy

Vậy

Câu Biết với số nguyên dương Tính

A B C D

Lời giải Chọn B

Ta có

Vậy ; ; nên

Câu Biết với , , số nguyên dương Tính

A B C D

Lời giải Chọn D

Ta có: , nên:

Mà nên Suy ra:

Câu (Chuyên Vinh Lần 3)Cho hàm số

2

0

( ) sin x

G x   tdt Tính đạo hàm hàm số G x( ) A G x( ) sin x x B G x( )2 cosx x C G x( )cosx D G x( )2 sinx x

Lời giải Chọn A

Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x sinx Theo định nghĩa:    2  

0

G x F x F

   2  

' ' ' sin sin

G x F x x F x x x x

    

2

3

1 1

d d d d

6 11

x

x x x x

x x x x x x



  

     

   

   5 5

ln x x  x C

    

 

4 m n p 4

  d 2 x

a b c

x x  x x   

 a b c, ,

P  a b c

2

P P8 P46 P22

  d 2 x

x x  x x

 12  

d

2

x

x x x x



  

 12 

2 d 2 x x x x x      1 d x x x

            2 x x

    2 3

a b3 c3 Pa b c  8

  d 1 x

I a b c

x x x x

   

  

 a b c

P  a b c

24

P P12 P18 P46

1

x  x   x 1; 2

  d 1 x I

x x x x

        d 1 x

x x x x

           1 d

1 1

x x x

x x x x x x

            1 d

x x x

x x      1 d x x x            

2 x x

   4 22 32  32 122

I  a bc

32 12 a b c        

32 12 46

Câu 10 (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Biết 4sin 7cos d 2ln 2sin 3cos

x x b

I x a

x x c



 

  



 với a 0; ,b c *;b

c

  tối giản Hãy tính giá trị biểu thức

P  a b c

A 1 B

2 

 C

2 

 D

Lời giải Chọn B

Xét đồng thức: 4 sinx7 cosx A2 sinx3cosxB2 cosx3sinx

2 sin 3 cos

3

A B A

A B x A B x

A B B

                     2 0

2 2sin 3cos 4sin cos

d d 2ln 2sin 3cos

2sin 3cos 2sin 3cos

x x

x x

I x x x x x

x x x x

                        2 ln 

  , 2,

2

a  b c

   

Vậy

2

P   a b c     

Câu 48: (THPT YÊN PHONG BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Cho tích phân

4 ln cot tan 12 a dx b c x x                     

 với a b c, , số nguyên dương Tính

2 2

a b c

A 48 B 18 C 34 D 36

Lời giải

4 0 4 0 sin os

1 12

5

cot tan cos n

12 12

7 7

sin n 2 sin

12 12

1

7

sin n sin n

12 12

x c x

dx dx

x x x si x

si x

dx dx

si x si x

                                                                                                      4 0 tan os

12 12

1 tan cot tan

5 12 12

cos n

12

c x x

dx x x dx

x si x

                                                                       

7

tan ln sin ln cos ln

12 12

x x x

Do a3;b3;c4 Vậy a2 b2 c2 34

Câu 4: Biết

5

1

2

4 ln ln

x

I dx a b

x

 

    , với a b, số nguyên Tính S ab

A S 9 B S 11 C S5 D S  3

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

5

1

2 2 2

d d d

x x x

I x x x

x x x

     

  

   

2

2

1

1

2 x x 2x 2x

dx dx dx dx

x x x x

     

   

   

2 5

1

1

5

2 ln 3ln

x dx dx x x x x

x x

   

           

   

 

8 ln ln

   11

3

a

a b b

 

   

  

Câu 11 (Sở Bắc Ninh 2019)Cho hàm số y f x  liên tục \1; 0 thỏa mãn f  1 2 ln 1 ,  1    2    1

x x f x  x f x x x

,  x \1; 0 Biết f  2 abln 3, với a b, hai số hữu tỉ Tính T a2b

A

16

T  B 21

16

T  C

2

T  D T0

Lời giải Chọn A

           

   

1 1

1

x

x x f x x f x x x f x f x

x x



 

       



 

     

2 2 2

2

2

1 1 1

x x x x x x

f x f x f x

x x x x x



 

 

     

        

2 2

1

d d

1

x x

f x x x

x x



 

   

 

 

 

   

2

2 2 2

1 1 1

1

d d ln

1 1

x x x

f x x x x f x x x

x x x



       

              

    

     

 

     

4 1 3 3

2 ln ln 2 ln

3 f f f 4 a b T 16

             

Câu 12 (Chuyên Vinh Lần 3)Cho biết  

2

9

ln

x

e

e

f x  t tdt, tìm điểm cực trị hàm sốđã cho

A x2 B x0 C x 1 D x6

Lời giải Chọn B

Gọi G x  nguyên hàm hàm số g x xln9x Theo định nghĩa:

   2x  

f x G e G e

   2    9

' ' x e 2x ' x

f x G e G e e x

   

/

( ) 0

Câu 13 (Thuận Thành Bắc Ninh)Cho

4

2

1

4

x

b c x

x e

dx a e e

x x e



   

 với a, b, clà số nguyên Tính giá trị a b c 

A 4 B 5 C 3 D 3

Lời giải Chọn A

Ta có:

2 2

2

1 1 1 1

2

4 2 2

x

x x x

x x

x e

x x e x x e e x e x e

      

            

 

   

 

4 4

4

2 1

1

1 1

4

x

x b c

x x

x e

dx dx x e e e a e e

x x e x e

  

  

             

 

 

1; 1;

a b c

     

Vậy a b c      1 ( 1) ( 4) 4 Câu 14  

3

3

d

f x x

  

   Gọi S tập hợp tất số nguyên dương k thỏa mãn

2

1

2018.e 2018 e d

k kx

x

k

 

 Số phần tử tập hợp S

A 7 B 8 C Vô số D 6

Lời giải Chọn A

Ta có:

2

1

1 e dkx x ekx

k

 

  

 



2

e k ek

k





2

1

2018.e 2018 e d

k kx

x

k

 



2

e k ek 2018.ek 2018

k k

 

 

   

ek ek 2018 ek

    (do k nguyên dương)

ek e k 2018

    ek 2018

     0 k ln 20187.6 Do k nguyên dương nên ta chọn kS (với S1; 2;3; 4;5; 6; 7) Suy số phần tử S

Câu 15 (Thị Xã Quảng Trị)Cho hàm số y f x  liên tục đoạn 1;3 thỏa mãn  

1

0

d

f x x 

và  

3

1

d

f x x

 Tính  

3

1

d

f x x



A B C D

Lời giải Chọn C

Vì f  x hàm chẵn nên      

1 1

1 0

d d d

f x x f x x f x x



  

  

Ta có:      

3

1 1

d d d

f x x f x x f x x

 

 

      

1

0

2 f x dx f x dx 4

Câu 16 (Chuyên Hạ Long lần 2-2019)Có số tự nhiên m để  

2

2 2

0

2 d d

x  m x x  m x

 

A Vô số B 0 C Duy nhất D 2 Lời giải

Chọn A

 

2

2 2

0

2 d d

x  m x x  m x

   *

Ta có: 2 2

x m

x m

x m

  

   

 

TH1. Nếu m0  * ln

TH2. Nếu m0 thi  *  

 

2

2

2

2

x m

x m

  

 

 



với x0;2 )

 m0

 1 2

2 2

m m

m m

  

 

  



(vô nghiệm)

 2 0

2 2

m m

m m

m

   

 

   

  

 



)

 m0

 1 2

2 2

m m

m m

   

 

  



(vô nghiệm)

 2 0

2 2

m m

m m

m

   

 

    

  

 

 



Suy m   ; 2 ;    0

  giá trị cần tìm

Câu 17 (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Biết  

2

0

d

f x x x

 

 



   

2

0

3f x g x dx10

 

 

 Tính    

2

0

2 +3 d

I   f x g x  x

A I 12 B I 16 C I 10 D I 14 Lời giải

Chọn D

Ta có      

2

2 2

0 0

d d d

2

x

f x x x  f x x   f x x

 

 

  

           

2 2 2

0 0 0

3f x g x dx10 3f x dx g x dx10 g x dx 3f x dx102

 

 

    

   

2

0

2 +3 d 2.4 3.2 14

Câu 18 (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Biết  

2

0

d

f x x x

 

 



   

2

0

3f x g x dx10

 

 

 Tính    

2

0

2 +3 d

I   f x g x  x

A I 12 B I 16 C I 10 D I 14 Lời giải

Chọn D

Ta có      

2

2 2

0 0

d d d

2

x

f x x x  f x x   f x x

 

 

  

           

2 2 2

0 0 0

3f x g x dx10 3f x dx g x dx10 g x dx 3f x dx102

 

 

    

   

2

0

2 +3 d 2.4 3.2 14

I  f x g x  x   Vậy I 14

Câu Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn Tính

A B C D

Lời giải: Ta có:

Chọn B

Câu 19 (Chuyên Vinh Lần 3)Cho hàm số ( )f x có đạo hàm liên tục  thỏa mãn (0)f 3

2

( ) (2 ) 2,

f x  f x x  x  x  Tích phân

2

0

( )d

xf x x

 A

3 

B 2

3 C

5

3 D

10 

Lời giải

Chọn D

Thay x0 ta (0)f  f(2) 2 f(2) 2 f(0)   2 Ta có:

2

0

( )d (2 )d

f x x f x x

 

Từ hệ thức đề ra:    

2 2

2

0 0

8

( ) (2 ) d 2 d ( )d

3

f x  f x x x  x x  f x x

  

 

f x  0;1

 

     

2

1

2

0

1

'

4

x e

f x dx x e f x dx 

  f  1 0  

1

0

?

f x dx



2e 2e e 1e

       

2 1

0

1

1

4

x x

e

x e f x dx f x d x e 

    

1

0

'x x e f x dx  

 

   

2

1 1

2 2 2

0 0

1

' '

4

x e x

f x dx x e f x dx  x e dx

    

 

   

1 1

2 2 2

0 0

' x 'x

f x dx x e dx x e f x dx

        

1

2

' x

f x x e dx

  

     

' x x

f x x e f x e x

       

1

0

2

f x dx e

Áp dụng cơng thức tích phân phần, ta lại có: 2 0 10 ( )d ( ) ( )d 2.( 1)

3

xf x xxf x  f x x    

 

Câu 20 Biết hàm số thỏa mãn ,

(với , , ) Tính giá trị biểu thức

A B C D

Lời giải Chọn B

Ta có

Do đó: Vậy

Câu 21 Cho hàm số f x  xác định \ 0 , thỏa mãn f  x 3 5

x x

 

 ,  1

f a

f  2 b Tính f  1  f  2

A f  1  f  2   a b B f  1  f  2 ab C f  1  f  2 ab D f  1  f  2 ba

Lời giải Chọn C

Ta có  

 3  5

1

f x

x x

  

  

1

x x

 

  f x nên f x hàm lẻ

Do      

2

2

d d d

f x x f x x f x x



 

      

  

Suy f  1  f 2 f  2  f  1  f  1  f  2  f 2 f  1 ab Câu 22 Cho hàm số f x  xác định \ 0  thỏa mãn f  x 2 4

x x

 

 ,  1

f a

, f  2 b Giá trị biểu thức f  1  f  2

A b a B a b C a b D  a b Lời giải

Chọn A Ta có  

 2  4

1

f x

x x

  

  

1

x x



  f x nên f x hàm chẵn

Do    

1

2

d d

f x x f x x

 

  

 

 

f x ax bxc  

1

0

7 d

2

f x x 

  

2

0

d

f x x     13 d

f x x

 a b c P  a b c

3

P 

3

P 

3

P

4

P

  3

0

d

3

d d

a b a b

f x x x  x cx  d  d cd

         d d 13 d

f x x

f x x

f x x

                  

3 2

8

2 2

3 13 2 a b c

a b c

a b c

                    16 a b c           

Suy f  1  f  2  f1 f 2 f2 f  1  f 1  f  2

   

1

2

d d

f x x b a f x x

 

 

      b a

Câu 55: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [1, 2] thỏa mãn Biết

Tính

A B C D

Hướng dẫn giải

Ta có: (gt)

(gt)

Vậy ta có hệ:

Chọn B

Câu 57: Cho hàm số có đạo hàm liên tục R, nhận giá trịdương khoảng thỏa

, Mệnh đềnào đúng?

A B C D

Hướng dẫn giải Từ gt:

Vì Chọn D

Câu 23 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1;1, thỏa mãn f x 0, x 

   

f x  f x 

Biết f  1 1, tính f  1 A  

1

f  e B  

1

f  e C  

1

f  e D f  1 3 Lời giải

Chọn C Biến đổi:

 

f x f x 0 x1, 2

 

1

' 10

 f x dx  

 

1

'

ln   f x dx

f x f  2

 2  10

f f  2 20 f  2 10 f 2  20

       

2

2 1

'    10

 f x dx f x f f

 

       

   

2 1

'

ln ln ln ln ln

1         

 f x dx f x f f f

f x f

   

   

   

2 10

2 20

2 10

1

  

 

 



 

  

 



f f

f f

f f

  

y f x 0;

 1 1

f f x  f ' x 3x1  

1 f 2 4 f  5 5 2 f  5 3 3 f  5 4

     

 

'

'

3

   



f x

f x f x x

f x x

 

   

'

ln

3

      



 f x dx  dx f x x C

f x x  

2 3  

 f x e x C

 

2

.2 0

3

1 1

3



  C     

f e e C    

2 4

3

3  3 5 3, 79

                 

1 1

1

1 1

' '

' f x f x df x ln

f x f x dx dx f x

f x  f x   f x 

               

   

 

     

4 4

1

ln 1

1

f f

e f f e e

f f



       

 

Câu 24 Cho hàm số f liên tục, f x  1, f 0 0 thỏa    

1

f x x   x f x  Tính  3

f

A 0 B 3 C 7 D 9

Lời giải Chọn B

Ta có      

 

2

2

2

1

1

f x x

f x x x f x

f x x



     

 

 

     

3 3 3 3

2

2 0 0 0

0

2

d d 1 1

1

f x x

x x f x x f x

f x x



        

 

 

 3  0 1  3  3

f f f f

         

Câu 25 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn [1, 2] thỏa mãn f x 0 x1, 2 Biết

 

1

' 10

f x dx

  

  ' ln f x dx

f x 

 Tính f  2

A f  2  10 B f  2 20 C f  2 10 D f  2  20 Lời giải:

Ta có:        

2

2 1

' 10

f x dx f x  f  f 

 (gt)

              2 1 '

ln ln ln ln ln

1

f x f

dx f x f f

f x         f 

 (gt)

Vậy ta có hệ:

   

   

   

2 10

2 20

2 10

1 f f f f f f                 Chọn B

Câu 26 Cho hàm số y f x  có đồ thị  C , xác định liên tục  thỏa mãn đồng thời điều kiện f x 0  x , f x x f x  2, x  f  0 2 Phương trình tiếp tuyến

điểm có hồnh độ x1 đồ thị  C

A y6x30 B y 6x30 C y36x30 D y 36x42 Lời giải

Chọn C

    2

f x  x f x  

  2 f x x f x        1 2 0 d d f x

x x x

f x        1 0 d

f x x

f x     1 f x       

1 1

1

f f       1 f

   f  1 6

 1 1  1 2 36

Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập y36x30

Câu 27 Cho hàm số y f x 0 xác định, có đạo hàm đoạn 0;1 thỏa mãn:

   

0

1 2018 dt x

g x    f t ,   2 

g x  f x Tính  

1

0

d

g x x



A 1011

2 B

1009

2 C

2019

2 D 505 Lời giải

Chọn A

Ta có    

0

1 2018 dt x

g x    f t g x 2018f x 2018 g x 

 

  2018

g x g x



   

 

0

d 2018 d

t t

g x

x x

g x



     

0

2 2018

t

t

g x x

 

 

 

2 g t 2018t

   (do g 0 1)

  1009

g t t

  

 

1

2

0

1009 1011 dt

2

g t  t t

    

 



Câu 28 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f 0 9    

9f x f x x 9 Tính T  f  1  f  0

A T  2 ln B T 9 C ln 2

T   D T  2 ln Lời giải

Chọn C

Ta có 9f x f x x2 99f x 1 f x x2  

 

1

9

f x

f x x

 

  

 

 

 

Lấy nguyên hàm hai vế  

 

1

d d

9 '

f x

x x

f x x

 

 



 

 

   1 9x C

f x x

  

 

Do f 0 9 nên

C suy  

f x x

x

  

  

9

f x x

x



  

 Vậy    

1

0

9

1 d

1

T f f x x

x

 

     



 



1

0

9 ln

x x

 

   

 

1 ln

2   Câu 29 Cho hàm số y f x  thỏa mãn    

4

f x f x x x

Biết f 0 2 Tính  

2

2

f

A 2 2 313

15

f  B 2 2 332

15

f  C 2 2 324

15

f  D 2 2 323

15

f 

Lời giải Chọn B

Ta có

               

2

2 2

4 2

0

0 0

136 136

' '

15 15