Toàn tập chuyên đề hàm số – Lương Văn Huy - Tài Liệu Blog

Nh ận xét: Ta c ũng có thể sử dụng công thức tính nhanh như ví dụ tr ên... Theo công th ức tính nhanh..[r]

TOÀN TẬP HÀM SỐ - MỤC LỤC

PHẦN - SỰ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG Trang I Lý thuyết Trang II Các dạng tập Trang A Bài Tốn khơng chứa tham số Trang B Bài toán chứa tham số Trang 13

Dạng : Đơn điệu



 ;



Trang 13 Dạng 2: Đơn điệu từng khoảng xác định Trang 16 Dạng 3: Đơn điệu miền K Trang 18 Dạng 4: Đơn điệu đoạn có độ dài bằng l Trang 25

C Đơn điệu của hàm hợp, hàm ẩn Trang 27 D Ứng dụng đơn điệu vào giải pt, bất phương trình (hàm đặc trưng) Trang 33 III Bài tập vận dụng đáp án Trang 38 PHẦN – CỰC TRỊ HÀM SỐ Trang 57 I – Tóm tắt lý thuyết Trang 57 II – Các dạng toán Trang 58 BT1 – Tìm cực trị của một hàm cho trước Trang 58 BT – Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Trang 62 D1 - Tìm m để hàm số có khơng có cực trị Trang 62 D2 – Tìm m để hàm sốđạt cực trị tại x0 Trang 62 D3 – Tìm m để hàm sốcó n điểm cực trị Trang 62 BT3 – Cực trị hàm số bậc Trang 65

D1 -Tìm điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu Trang 66 D2 - Tìm điều kiện để cực trị nằm phía, khác phía so với đường Trang 68 D3 - Tìm điều kiện để cực trị thỏa mãn điều kiện vềhoành độ Trang 71

CHINH PHỤC 8,9,10 ĐIỂM THI ĐẠI HỌC

TOÀN TẬP HÀM SỐ

LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0969141404 Tham gia Group 8+ Free:https://www.facebook.com/groups/1632593617065392/

TOÀN TẬP HÀM SỐ - LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0909127555

Tài liệu nội - Lớp toán Thầy Huy – 0909 127 555

PHẦN – TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Trang 262 I – Tóm tắt lý thuyết Trang 262 II – Các dạng tập Trang 263 Loại 1: Tiếp tuyến tại điểm Trang 263 Loại 2: Tiếp tuyến qua điểm Trang 267 Loại 3: Tiếp tuyến biết hệ số góc Trang 271 Loại 4: Một số toán khác Trang 273 Loại 5: Tiếp tuyến có hệ số góc max Trang 277 Loại 6: Tìm điểm M d kẻđược n tiếp tuyến tuyến Trang 278 Loại 7: Tìm điểm M kẻđược n tiếp tuyến thỏa mãn tính chất Trang 280 Loại 8: Tìm điều kiện m đểhai đường cong tiếp xúc Trang 283 Loại 9: Tìm m liên quan tới phương trình tiếp tuyến Trang 284 Loại 10: Tiếp tuyến đths bậc cắt đồ thị tại điểm thứ hai Trang 286 Loại 11: Tiếp tuyến hàm ẩn Trang 287 III – Bài tập vận dụng Trang 289 PHẦN – SỰ TƯƠNG GIAO Trang 297 I – Tóm tắt lý thuyết Trang 297 II – Các dạng toán thường gặp Trang 297 A: Bài tốn khơng chứa tham số Trang 297 B Bài toán chứa tham số Trang 301 Loại 1: Tương giao hàm bậc đường thẳng Trang 301 Bài toán tổng quát Trang 301 a. Phương pháp 1 Trang 301 b. Ví dụ minh họa Trang 301 c. Phương pháp 2 Trang 302 d. Ví dụ minh họa Trang 304 e. Phương pháp 3 Trang 305 f. Ví dụ minh họa Trang 305 Bài toán tổng quát Trang 307

TOÀN TẬP HÀM SỐ - LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0909127555

Tài liệu nội - Lớp toán Thầy Huy – 0909 127 555

a. Phương pháp Trang 313 b. Ví dụ minh họa Trang 314 Bài toán tổng quát Trang 315

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

Ứ

NG D

ỤNG ĐẠ

O HÀ

M ĐỂ

KH

Ả

O SÁT VÀ V

Ẽ

ĐỒ

TH

Ị

HÀM S

Ố

1

Chương

BÀI SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa:

Cho hàm số y  f x

 

xác định K (K khoảng, nửa khoảng hay đoạn)

a Hàm số y f x

 

gọi đồng biến (hay tăng) K

x x1, 2K x, 1 x2  f x

 

1  f x

 

2 b Hàm số y f x

 

gọi nghịch biến (hay giảm) K

 

 

1, , 2

x x K x x f x f x

    

2 Điều kiện cần đủ hàm số đơn điệu:

Định lý:Cho hàm số y f x

 

xác định có đạo hàm I thì: + Nếu f'

 

x 0, x I hàm số tăng I

+ Nếu f'

 

x 0, x I hàm số giảm I

+ Nếu f'

 

x 0, x I hàm số khơng đổi I, tức f x

 

C, x I

Ta có mở rộng định lí sau:Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm khoảng I

+ Nếu f'

 

x 0, x I f '

 

x 0 số hữu hạn điểm khoảng I, f x

 

đồng biến khoảng I

+ Nếu f'

 

x 0, x I f'

 

x 0 số hữu hạn điểm khoảng I, f x

 

nghịch biến khoảng I

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

A Bài tốn đơn điệu khơng chứa tham số

Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số

a Phương pháp: - Tìm tập xác định

- Tính đạo hàm f '

 

x Tìm điểm xi



i1, 2, ,n



mà đạo hàm không xác định

- Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên

- Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số dựa vào bảng biến thiên Một số ý giải toán:

Chú ý 1:Về tính đơn điệu số hàm Đối với hàm dạng: y ax b

cx d  

 hàm sốln đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng

xác định, nghĩa tìm y'0 (hoặc y'0) trên khoảng xác định Đối với hàm dạng:

2

' '

ax bx c

y

a x b

  

 ln có hai khoảng đơn điệu

Đối với hàm dạng: yax4bx3 cx2dxe ln có khoảng đồng biến khoảng nghịch biến

 Cả ba hàm số không thể đơn điệu  Chú ý 2:Bảng xét dấu số hàm thường gặp

x

 b a

  axb Trái dấu với a Cùng dấu với a  Tam thức bậc hai: y f x

 

ax2bxc a,



0



 Nếu  0 tam thức vơ nghiệm, ta có bảng xét dấu: x  

 

f x Cùng dấu với a

 Nếu  0 tam thức có nghiệm kép 1 2

b

x x

a

   , ta có bảng xét dấu: x



b a

 

 

f x Cùng dấu với a Cùng dấu với a

 Nếu  0 tam thức có hai nghiệm phân biệt x x1, 2, ta có bảng xét dấu: x  x1 x2 

 

f x Cùng dấu với a Trái dấu với a Cùng dấu với a

Đối với tam thức từ bậc trở lên ta xét dấu theo nguyên tắc:

 Thay điểm xo gần xn bên ô phải bảng xét dấu vào f x

 

xét theo nguyên tắc: Dấu f x

 

đổi dấu qua nghiệm đơn, bội lẻ không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn

 Nghiệm bội chẵn có dạng



x a



n0 (với n2, 4,6, ) Nghiệm đơn x b 0, bội lẻ có dạng



x b



n 0 (với n1,3,5, )

b Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1. Tìm khoảng nghịch biến hàm số 2 3

y x  x  x A.



;1





3;



B.



1;3



C.



 ; 3





 1;



D.



 3; 1



Giải.

- Tập xác định D

- Đạo hàm ' 3; '

3 x

y x x y x x

x            

  - Bảng biến thiên

x   '

y    y

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến khoảng



1;3



Chọn đáp án B

Nhận xét: Cách giải giải theo tự luận, giải theo trắc nghiệm ta làm sau:

Tính nhanh

5

2

'

3 Mod x

y x x

x         

 

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

3 +∞

-∞ + - +

Ví dụ (Trường THPT Nguyễn Huệ lần năm 2017) Cho hàm số

2

y  x  x  Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A. Hàm số nghịch biến khoảng



2; 0





2;



B. Hàm số nghịch biến khoảng



 ; 2





0; 2



C. Hàm sốđồng biến khoảng



 ; 2





2;



D. Hàm sốđồng biến khoảng



2; 0





2;



Giải.

- Tập xác định D

- Đạo hàm '



; '





4



0

2 x

y x x x x y x x

x               

  

- Bảng biến thiên

x  2  '

y     y

Suy hàm số nghịch biến khoảng



2; 0





2;



, đồng biến khoảng



0; 2





 ; 2



Chọn đáp án A

Nhận xét: Cách giải giải theo tự luận, giải theo trắc nghiệm ta làm sau:

Tính nhanh

5

3

'

2 Mod x

y x x

x         

  

Sau lập trục xét dấu nhanh để suy tính đơn điệu

0 +∞

-∞ + -2 - +

-Ví dụ Cho hàm số 1 x y

x  

 Mệnh đề là: A. Hàm số đồng biến



 ; 1





 1;



B. Hàm số nghịch biến



 ; 1





 1;



C. Hàm số đồng biến



 ; 1





1;



; nghịch biến



1;1



D. Hàm số đồng biến 

Giải.

- Tập xác định D\

 

1 - Đạo hàm





2

' 0,

1

y x D

x

   



- Bảng biến thiên

x  1  '

y   y

Nhận xét 1:Hàm số y ax b cx d  

 đồng biến nghịch biến khoảng xác định, khoảng xác định ; d

c

 

 

 

  ;

d c

 

 

 

  Do để giải nhanh theo kiểu loại trừ sau: - Đáp án D sai hàm số đồng biến 

- Đáp án C sai hàm số đồng biến nghịch biến khơng có vừa đồng biến nghịch

biến

- Đáp án B sai





2

' 0,

1

y x D

x

   

 suy hàm số đồng biến



 ; 1





 1;



Nhận xét 2:Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta cần nhớ sau: Với hàm y ax b

cx d  

 dấu '

y phụ thuộc vào adbc hàm số đơn điệu ; d

c

 

 

 

  ;

d c

 

 

 

  nên ta cần tính adbc kết luận tính đơn điệu

Nhận xét 3:Với hàm số người ta bẫy đáp án sau

Hàm số đơn điệu tập xác định; hàm số đơn điệu \ d c  

    

 ; hàm số đơn điệu

; d d;

c c

   

   

   

   Các đáp án sai

Ví dụ (Sở GD ĐT Phú Thọ năm 2017) Hàm số y x x

  đồng biến khoảng đây?

A.



0;



B.



2;



C.



2;



D.



2;



Giải.

- Tập xác định D\ 0

 

- Đạo hàm

2

2

4

' x

y

x x



   Cho

'

y   x    x  - Bảng biến thiên

x  2  '

y     y

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến



 ; 2





2;



Chọn đáp án D

Nhận xét:

- Cách giải giải theo tự luận, giải theo trắc nghiệm ta làm sau

Tính nhanh

2

2

2

4

'

2 Mod x x

y x

x

x x

    

          

Sau lập trục xét dấu nhanh để suy tính đơn điệu “Dấu song song thể hàm số không xác định 0”

0 +∞

-∞ + -2 - - +

- Khi sử dụng trục cần ý, hàm số không xác định x0, hàm số nghịch biến khoảng



2; 0





0; 2



nghịch biến khoảng



2; 2



Ví dụ Cho hàm số

2 2 1

2

x x

y

x

   

 Mệnh đề là:

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B. Hàm số nghịch biến



;5





1;



C. Hàm số đồng biến



 ; 2





 2;



D. Hàm số đồng biến 

Giải.

- Tập xác định D\

 

2 - Đạo hàm





2 ' , x x

y x D

x        Cho





2 5

' 0

1

x

x x

y x x

x x                    - Bảng biến thiên:

x  5 2  '

y     y

Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến



 ; 5





1;



Hàm sốđồng biến



 5; 2





2;1



Chọn đáp án B

Nhận xét:Với hàm

2

ax bx c y

mx n   

 Khi tính đạo hàm có dạng





2 ' Ax Bx C y

mx n   



Dấu y' phụ thuộc

vào Ax2Bx C 0, thường xảy hai trường hợp vơ nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt,

đó làm trắc nghiệm ta cần tính nhanh Ax2Bx C 0 theo cơng thức tính nhanh lập trục

xét dấu

TH1 Ax2Bx C 0 vô nghiệm

0

A A0

+

-∞ -∞

-n m +

Hàm sốđồng biến ; n

m

 

 

 

  ;

n m         ∞ -∞ -n m

-Hàm sốđồng biến ; n

m

 

 

 

  ;

n m        

TH2:

0

Ax Bx C  có hai nghiệm phân biệt x x1; 2

A A0

+

x1 - x2

-∞ -∞

-n m

+

-Hàm sốđồng biến



;x1





x2;



Hàm số nghịch biến x1; n

m

 



 

  ; n x m       

-x1 + x2

-∞ -∞

-n m

- +

Hàm sốđồng biến x1; n m

 



 

  ; n x m       

Hàm số nghịch biến



;x1





x2;



Ví dụ (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y f x

 

có bảng xét dấu đạo hàm

sau Mệnh đề ?

B. Hàm sốđồng biến khoảng



; 0



C Hàm số nghịch biến khoảng



0;



D Hàm số nghịch biến khoảng



 ; 2



Giải

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến



 ; 2





2;



Hàm số nghịch biến



2; 0





0; Ch



ọn đáp án C

Ví dụ (Trường THPT Phan Đình Phùng lần năm 2017) Hàm số

2

1

x y

x

 



nghịch biến khoảng khoảng đây?

A.



 ; 1



1;3       B.

3 ;

 



 

  C.

3 1;

2    

  D.



 ; 1



Giải.

- Tập xác định D  



; 1

 

 1;



- Đạo hàm









2

2

2 3

2

2

3

'

1 1

x x

x

x x

y

x x

  

 

 

  Hàm số khơng có đạo hàm x 1

Cho ' 2

y   x  x

- Bảng biến thiên x

 1

3  '

y     y

Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến



 ; 1



Chọn đáp án D

Ví dụ Hàm số y x2 2x

  đồng biến khoảng khoảng đây?

A.



1;



B.



2;



C.



1; 2



D.



; 0



Giải.

- Tập xác định D 



;0

 

 2;



- Đạo hàm



 



2

' , ; 2;

2

x

y x

x x



     



Hàm số khơng có đạo hàm x0;x2 Cho

2

' 0 1

2 x

y x x

x x



       



- Bảng biến thiên:

x   '

y     y

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ Hàm số y2 sinxcos , x x



0;



đồng biến khoảng khoảng đây?

A. 0;     

  B. 2;      

  C.

5 ;      

  D.

5 ; 6         Giải.

- Hàm số xác định



0;



- Đạo hàm y'2 cosx2 sin 2x 2 cosx4 cos sinx x2 cosx



1 sin x



,x



0;



Trên đoạn







0;



2

cos 0; : '

6 sin 5 x x x y x x x                            

- Bảng biến thiên:

x  6

     '

y     y

Dựa vào bảng biến thiên: Hàm sốđã cho đồng biến 0; 

 

 

  ;      

  Chọn đáp án A

Ví dụ 10 Hàm số y x22x3 nghịch biến biến biến khoảng khoảng đây?

A.



1;1





3;



B.



1;3



C.



1;



D.



 ; 1





1;3



Giải.

- Ta có



 







2

2

2 ; 3;

2 1;3

x x khi x

y x x

x x khi x

                    

Tìm



 







2 ; 3; '

2 1;3

x khi x

y

x khi x

               

Hàm số khơng có đạo hàm x 1 x3

Trên khoảng



1;3



:y'0x1 Trên khoảng



 ; 1



: y'0 Trên khoảng



3;



: y'0 - Bảng biến thiên:

x  1  '

y – + – + y

Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến khoảng



 ; 1





1;3



Hàm số đồng biến

trong khoảng



1;1





3;



Chọn đáp án D

Nhận xét:

- Bảng biến thiên dạng thu gọn nên có phần khó hiểu, để hiểu rõ dấu y' ta quan sát bảng phụ sau:

Xét dấu hàm số vào phần không bị gạch của hàm số để lấy dấu cho y' x  1  2x2 –   +

2x

'

y    

- Tại x 1 x3 hàm số khơng có đạo hàm đạo hàm bên trái đạo hàm bên phải điểm

khơng

Ví dụ 11 (Sở GD ĐT Bắc Giang năm 2017) Hàm số

2

1

mx m

y x   

 , (m tham số) Mệnh đề

dưới đúng?

A. Hàm số đồng biến khoảng xác định

B. Hàm số đồng biến khoảng



 ;



C. Hàm số đồng biến \

 

1

D. Hàm số nghịch biến khoảng xác định

Giải.

- Hàm số tập xác định D\

 

1 - Đạo hàm





2

1

' 0,

1

m m

y m

x  

   

 

Suy hàm số đồng biến khoảng xác định Chọn đáp án A

Nhận xét: Với toán chứa tham số ta cho m số khảo sát tính đơn điệu kết không thay đổi, giả sử cho





2

2

1 ' 0,

1

x

m y y x D

x x



       

 

Ví dụ 12 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm

 

1,

f x x   x  Mệnh đề ?

A Hàm số nghịch biến khoảng



; 0



B Hàm số nghịch biến khoảng



1;



C Hàm số nghịch biến khoảng



1;1



D Hàm số đồng biến khoảng



 ;



Giải.

Vì f

 

x x2 1 0, x  hay

 

f x không đổi dấu nên f x

 

hàm đồng biến  hay



 ;



Chọn đáp án D

Ví dụ 13 [NTL] Cho hàm số y f x

 

có đồ thị hình vẽ Mệnh đề đúng?

A Hàm số nghịch biến khoảng



;1



B Hàm số nghịch biến khoảng



1;



C Hàm số nghịch biến khoảng



1;1



D Hàm số đồng biến khoảng



 ;



Giải.

Dựa vào đồ thị ta thấy:

Hàm số đồng biến khoảng



 ; 1





1;



Hàm số nghịch biến khoảng



1;1



Chọn đáp án C

Ví dụ 14 [NTL] Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm f

 

x 



x21





x2

 

2 x3



Mệnh đề

đây đúng?

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B Hàm số nghịch biến khoảng



1;1



C Hàm số nghịch biến khoảng

 

1;3 D Hàm số đồng biến khoảng



1;3



Giải.

Vì

 

1

0

3 x

f x x

x        

  

Lập trục xét dấu

+ - - + +∞

- -1

-∞

Chọn đáp án C

Ví dụ 15 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số yx42x2 Mệnh đề

là đúng?

A Hàm số đồng biến khoảng



 ; 2



B Hàm số nghịch biến khoảng



 ; 2



C.Hàm số đồng biến khoảng



1;1



D Hàm số nghịch biến khoảng



1;1



Giải.

Ta có ' 4 0 x

y x x

x       

  

Lập trục

+

∞ -1 0 - 1 + +∞

Dựa vào trục ta thấy hàm số nghịch biến khoảng



 ; 1





0;1



Hàm số đồng biến khoảng



1; 0





1;



Nhận xét: Sau vẽ trục xong học sinh chọn đáp án số 2 đâu, làm phải nghiệm

của y' mà xét đơn điệu, thực câu câu bẫy, hàm số nghịch khoảng



 ; 1



mà



 ; 2

 

  ; 1



Do đáp án đáp án B

Dạng Tìm hàm đồng biến nghịch biến trên miền I

a Phương pháp:Tuỳ vào đặc điểm cấu trúc hàm để dùng loại trừ đạo hàm dựa vào định nghĩa tính đơn điệu hàm số

- Với hàm yax4bx3cxd yax2bx c ln có khoảng đơn điệu

- Với hàm y ax b cx d  

 đơn điệu khoảng xác định - Với hàm





0

yax bx cxd a có tập xác định D  



;



, ta có

'

y  ax  bxc  Hàm số đồng biến khoảng



 ;







2

' 0, ;

3

a

y x

b ac          

  

 Hàm số đồng biến khoảng



 ;







2

' 0, ;

3

a

y x

b ac          

Chú ý: Với hàm bậc ba ac 0 b23ac    0 ' 0 hàm bậc ba ln có hai khoảng đơn điệu nên khơng thể đơn điệu khoảng



 ;



b Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 16 (Trường THPT Kim Sơn A lần năm 2017) Trong hàm số sau, hàm số đồng biến khoảng



 ;



?

A. yx44x2 B.

4 x y

x  

 C.

3

yx  x D. yx24x

Giải.

Hàm số đồng biến



  ;



y'0,   x



;



- Đáp án A sai y'4x38x chưa lớn với x

- Đáp án B sai hàm phân thức bậc 1/bậc đơn điệu khoảng đơn điệu

trên khoảng



 ;



- Đáp án D sai y'2x4 chưa lớn với x

- Đáp án C y'3x2 4 0,    x



;



hàm số đồng biến Nhận xét:Có thể dùng phương pháp loại trừ sau:

- Với hàm yax4bx3cxd yax2bxc có nhất khoảng đơn điệu nên loại

ngay đáp án A C - Với hàm y ax b

cx d  

 đơn điệu khoảng xác định nên loại B Chọn đáp án C

Ví dụ 17 (Trường THPT Trần Hưng Đạo – HCM năm 2017) Hàm số sau hàm số nghịch

biến khoảng



 ;



?

A. yx33x22 B. y 2x3x2 x

C. y x42x22 D.

1

x y

x

 

 Giải.

Hàm số nghịch biến



  ;



y'0,   x



;



- Đáp án C sai hàm trùng phương ln có khoảng đơn điệu

- Đáp án D sai hàm phân thức bậc 1/bậc ln đồng biến nghịch biến

khoảng xác định

- Đáp án A sai có hệ số x3 dương nên nghịch biến khoảng



 ;



- Đáp án B y' 6x22x 1 0,   x



;



nên hàm số nghịch biến trên khoảng



 ;



Ví dụ 18 (Trường THPT Chuyên Bình lần 2năm 2017) Hàm số sau nghịch biến khoảng



 ;



?

A. y x33x23x2 B. y x33x23x2 C. yx33x23x2 D. yx33x23x2 Giải.

- Đáp án C, D loại có a0 nên hàm số nghịch biến



 ;



- Đáp án A loại ac0

Chọn đáp án B

Nhận xét:Đây cách giải dựa vào lí thuyết kết hợp với phương pháp loại trừ, ngồi ta tính đạo

hàm hàm sử dụng máy tính

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

A. yx32x2 x 1 B. 2 2

  x x y C. 1    x x

y D. yx3x2 x1

Giải.

- Loại đáp án A, C toán

- Đáp án A, D có

0 a ac     

Do ta khơng sử dụng phương pháp loại trừ mà phải sử dụng đạo

hàm  0

 Với đáp án A ta có y'3x24x     1, ' 4 1 0 nên loại

 Với đáp án D ta có





' 1, ' ' 0, ;

y  x         x y     x nên hàm số

1    x x x

y đồng biến tập xác định Chọn đáp án D

B Bài toán đơn điệu chứa tham số

Dạng Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng



 ;



a Phương pháp:

* Với hàm bậc tổng quát





0 yax bx cxd a - Tập xác định D  



;



- Đạo hàm

'

y  ax  bxc

- Để hàm số đồng biến khoảng



 ;







2

' 0, ;

'

a y x b ac               

- Để hàm số nghịch biến khoảng



 ;







2

' 0, ;

'

a y x b ac                Chú ý:

- Nếu hệ số a chứa tham số mà chưa xác định khác ta phải xét hai trường hợp a0

0 a

- Ngoài cách giải tổng quát ta sử dụng cơng thức tính nhanh sau

Hàm sốđồng biến khoảng



 ;







2 0

' 0, ;

0 a b c y x a b ac                     

Hàm số nghịch biến khoảng



 ;







2 0

' 0, ;

0 a b c y x a b ac                      * Với hàm khác mà đạo hàm hàm bậc tức y'axb, x



 ;



 Để hàm số y f x m



,



đồng biến



 ;







 

 

'

' 0, ;

' y y x y                

 Để hàm số y f x m



,



nghịch biến



 ;







 

 

'

' 0, ;

Ví dụ 20. (Trường THPT Chuyên Lam Sơn năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m

để hàm số



2



1

y x mx  m x đồng biến khoảng



 ;



A.



1;



B.



; 2



C.



  ; 1

 

2;



D.



1; 2



Giải.

Ta có

' 2

y x  mx m Hàm số đồng biến khoảng



 ;







' 0, ; 2

'

y x   m m m

                



Chọn đáp án D Nhận xét: Để giải theo kiểu trắc nghiệm ta sử dụng cơng thức tính nhanh sau





2 0

3 2

3 ĐB a a

b m m m m m m

b ac c m                              

Ví dụ 21 (Trường THPT Chuyên Trần Phú năm 2017) Cho hàm số





3

3

y  x mx  m x Tìm tất giá trị m để hàm số nghịch biến khoảng



 ;



A. m m       

B. 2 m 1 C. m m       

D. 2 m 1 Giải.

Ta có y' x22mx3m2

Để hàm số cho nghịch biến khoảng



 ;











1 0

' 0, ; 2;

'

a

y x m

m m                        

Nhận xét: Để giải theo kiểu trắc nghiệm ta sử dụng cơng thức tính nhanh sau









2 0

3 3 2;

3 3 NB a a

b m m m m m m

b ac c m                                     

Ví dụ 22 (Trường THPT Tiên Du lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số













3

2

2 1

3

m

y  x  m x  m x đồng biến khoảng



 ;



A.

4 m

    B. 2 m0 C.

m  D.

4 m     Giải.

Ta có y'



m2



x22



m2



x



3m1



0

Hàm số đồng biến biến khoảng



 ;



 y0,   x



;



- Với m 2, ta có y  7 0,   x



;



nên m 2 hàm số đồng biến khoảng



 ;



- Với m 2, ta có y 0,   x



;









2 0 2

0

m m

a

m

m m m

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Vậy

4

m

    hàm số đồng biến khoảng



 ;



Chọn đáp án D

Nhận xét: Để giải theo kiểu trắc nghiệm ta sử dụng cơng thức tính nhanh sau



























2

2

2

0

3 0

2

0 0

3

3

2

2

3

ĐB

m

m a b

m c

m a

b ac

m

m m m m

 

   

     



   

 

 

 

 

   



 

 

 

 



        

  

1

1

4

4 m

m m

   

     

    

Ví dụ 23 (Trường THPT Ngơ Quyền lần 2 năm 2017) Cho hàm số ymx33mx23x1 Tìm tập

hợp tất số thực m để hàm số nghịch biến khoảng



 ;



A  1 m0 B  1 m0 C. m 0 m 1 D  1 m0 Giải.

Ta có y 3mx26mx3 Hàm số nghịch biến khoảng



 ;



 y0,   x



;



- Với m0, ta có y   3 0,   x



;



nên m0 hàm số nghịch biến khoảng



 ;



- Với m0, ta có y 0,   x



;



2

0

1

0

m

a m

m m

m m



  

 

      



      

  

Vậy  1 m0 hàm số nghịch biến trên khoảng



 ;



Chọn đáp án D

Nhận xét: Ta cũng sử dụng cơng thức tính nhanh ví dụ

Ví dụ 24 (Trường THPT Kim Sơn A lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số ymxsin 3x đồng biến khoảng



 ;



A. m 3 B. m 



1;1



C. m3 D. m3

Giải.

Đạo hàm ymxsin 3x Để hàm số đồng biến khoảng



 ;



y'0,   x



;











3cos 0, ; cos , ;

3

m

m x x x x

            

Vì cos 1 3

m

x m

       Chọn đáp án D

Ví dụ 25 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số yxmcosx đồng biến khoảng



 ;



A. m 1 B. m 



1;1



C. m1 D. m 



1;1



Giải.

Cách Để hàm sốđồng biến khoảng



  ;



y'0 ,   x



;









  

1 msinx 0, x ; msinx 1, x ;              

- Với m0

 

sinx , x



;



1 m

m m

           

- Với m0

 

sinx , x



;



1 m

m m

              Vậy 1 m1 thỏa yêu cầu toán Chọn đáp án B

Cách Để hàm sốđồng biến khoảng



 ;







' , ;

y x

     



 







min ' ; 1

1

m

y m m m

m   

         

  

Ví dụ 26 (Trường THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai năm 2017) Tìm tất giá trị thực

tham số m để đồ thị hàm số ysinxcosxmx đồng biến khoảng



 ;



A  m B m  C  m D m Giải.

Ta có ' cos sin sin

y  x xm  x m

 

Hàm số đồng biến khoảng



 ;











' 0, ; sin 0, ; sin

4

m

y x x   m x x  

                   

   

1

2

m

m

    Chọn đáp án D

Dạng Tìm m để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định a Phương pháp:

* Với hàm phân thức bậc 1/bậc (nhất biến): y ax b



c 0



cx d



 



- Tập xác định D \ c

d       

 - Đạo hàm





2 ad bc y

cx d   



Dấu y' phụ thuộc vào adbc

 Để hàm số đồng biến ; d

c

 

 

 

  ;

d c

 

 

 

  y'0, x Dad–bc0  Để hàm số nghịch biến ; d

c

 

 

 

  ; d c

 

 

 

  y'0, x Dad–bc0 Chú ý: Với hàm y ax b



c 0



cx d 

 

 y' khơng có dấu "=" * Với hàm phân thức bậc 2/bậc 1:

2

ax bx c

y

mx n

  

 Khi tính đạo hàm cơng thức tính nhanh có dạng





2 ' Ax Bx C y

mx n   

 Dấu y' phụ thuộc vào dấu

Ax Bx C , giống với hàm bậc sau tính đạo hàm, cách lập luận tính đơn điệu cơng thức tính nhanh giống với hàm bậc ba

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ 27 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y mx 2m

x m   

 với m tham số Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để hàm số đồng biến khoảng xác định Tìm số

phần tử S

A 5 B 4 C Vô số D 3

Giải.

- Tập xác định D\

 

m - Đạo hàm





2 2

' m m

y

x m    

 Hàm số đồng biến khoảng xác định  y'0, x D





2 2 3 0 m 0;1; 2

m m m

m               

Vậy S



0;1; 2



Chọn đáp án D

Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta sử dụng cơng thức tính nhanh sau





2

; 3

0 0;1;

1;

DB

a m b m m

ad bc m m m

c d m m

                            

Ví dụ 28 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y mx 4m x m

 

 với m tham số Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảngxác định Tìm số phần tử

của S

A. B. C Vô số D. Giải.

- Tập xác định D\



m



- Đạo hàm





2

' m m

y

x m  



Hàm số nghịch biến khoảng xác định  y'0, x D





2

4 m 1; 2;3

m m m

m            

Vậy S 



1; 2;3



Chọn đáp án D

Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta sử dụng công thức tính nhanh sau





2

; 4

0 1; 2;3

1;

NB

a m b m m

ad bc m m m

c d m m

                      

Ví dụ 29 (Trường THPT Chuyên KHTN lần năm 2017) Cho hàm số

2

2

x m m

y

x m    

 Tìm tập hợp giá trị tham số m để hàm số đồng biến khoảng xác định nó?

A.

3

m  B.

2

m  C. m 1 D.

4 m  Giải.

- Tập xác định D\

 

m

- Đạo hàm









2

2

2

' x mx m m

y

x m

   





Hàm số đồng biến tập xác định y'0, x m





2 2 2 1 0,

x mx m m x m

       

1

8

a m m            

Chọn đáp án B

Ví dụ 30 [NTL] Cho hàm số









2

1 2

m x mx m m

y

x m

    



 Tìm tập hợp giá trị tham số m

A. m 1 B. m 1 C. m 1 D. m 1 Giải.

- Tập xác định D R\

 

m

- Đạo hàm













2

2

1 2

' m x m m x m m

y

x m

     



 TH 1:





2

1 ' 0, 1

1

m y x m

x

           

thỏa yêu cầu toán TH 2: m 1 Hàm số đồng biến khoảng xác định y'0, x m

  

1



2





2 0,

1

1

2

g x m x m m x m m x m

a m m

m

m m

          

    

 

    

      

 

Vậy với m 1 thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án D

Dạng Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền K

a Phương pháp:

* Với hàm số y ax b



a c, 0



cx d



 

 Tìm m để hàm số đơn điệu khoảng



a b;



Bước 1: Tập xác định D \ d

c

       

Bước 2: Đạo hàm





2 ' ad bc y

cx d  



- Để hàm số đồng biến khoảng xác định





' 0,

; ad bc

y x D d

a b c

  

      

    - Để hàm số đồng biến khoảng xác định





' 0,

; ad bc

y x D d

a b c

  

      

    Chú ý: Ta sử dụng cơng thức tính nhanh làm trắc nghiệm sau

- Hàm số đồng biến khoảng xác định





; ad bc

d a b c

  

  

    - Hàm số nghịch biến khoảng xác định





; ad bc

d a b c

  

  

   

* Với hàm đa thức bậc hàm phân thức bậc 2/bậc hàm khác mà việc tách

tham số cách dễ dàng ta làm theo “phương pháp tổng quát” sau: - Nếu y' f '

 

x ax2bxc





2 ' Ax Bx C y

mx n   

 y' f '

 

x hàm khác, mà ta cần y' f'

 

x 0 hay y' f'

 

x 0 khoảng



a b,



đoạn



a b,



(hoặc nửa khoảng đó) Thì ta làm theo bước sau:

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m) khỏi biến x chuyển m vế Đặt vế lại g x

 

Lưu ý chuyển vế thành phân thức phải để ý điều kiện xác định biểu thức để

xét dấu g'

 

x ta đưa vào bảng xét dấu g'

 

x

Tức là: Ta tách thành hai loại h m

 

g x

 

, x K h m

 

g x

 

, x K Bước 3: Tính g'

 

x Cho g'

 

x 0 lập bảng biến thiên g'

 

x

Từ

 

 

 

 

 

 

 

 

, max , K K

h m g x x K g x h m

h m g x x K g x h m

              Chú ý:

- Để tìm max – min ta sử dụng phương pháp khác tam thức bậc hai, bất đẳng thức,

máy tính

- Trong q trình tách m phải chia cho biểu thức x, cần phải vào khoảng cho trước để xác định dấu biểu thức x, tức biểu thức x dương khơng đổi chiều, âm

đổi chiều

- Một số toán khác chứa m hệ số số mũ m có bậc 2, tách m sẽ khơng được, ta sử dụng số phương pháp khác định lí dấu tam thức bậc hai

sử dụng trực tiếp định lí vi-et b Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 31 (Trường THPT Thanh Chương lần năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị m để

hàm số y 2x x m  

 nghịch biến khoảng



2;



A. 2;1

2  

  

  B.

1 2;     

  C.

1 ;     

  D.

1 ;        Giải.

Hàm số xác định khoảng



2;



Ta có





2 ' m y x m  

 Để hàm số nghịch biến













' 0, 2; 2; 2; y x m              

2 1

2 2 2 m m m m m                  

Chọn đáp án A

Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta làm sau

 





2;

0

2; 1

2

1; ; 2

2 NB

ad bc

a b m m

m d

c d m a b m

m c                                     

Ví dụ 32 (Sở GD ĐT Hải Phịng năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số

4 mx y x m  

 nghịch biến khoảng



0;



A. 0m2 B. 2 m2 C. 0m2 D. 0m2 Giải.

Hàm số xác định khoảng



0;



Ta có





2 ' m y x m   

Để hàm số nghịch biến













2 2 2 0 0 m m m m m                 

Chọn đáp án A

Nhận xét: Để giải nhanh theo kiểu trắc nghiệm ta làm sau

 





2 0;

0

; 4 2

0

1; ; 0

NB

ad bc

a m b m m

m d

c d m a b m m

c                                    

Ví dụ 33 (Sở GD ĐT Điện Biên năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số

2 cos cos x y x m  

 nghịch biến khoảng 0;3 

 

 

 

A. m 3 B.

2 m m      

C. m 3 D.

2 m m        Giải.

Đặt cos ; 1;1 t x t  

  Khi tốn trở thành tìm m để hàm số

2 t y t m  

 đồng biến ;1      

1

3

' 0, ;1 1

2 2 ;1 2 2 m m

y t m

m m m m m                                                    

Chọn đáp án C

Ví dụ 34 (Sở GD ĐT Bắc Giangnăm 2017) Tìm giá trị tham số m để hàm số

tan tan x m y m x  

 nghịch biến khoảng 0;4       

A.



1;



B.



 ; 1

 

 1;



C.



;0

 

 1;



D.



0;



Giải.

Đặt ttan ;x t



0;1



Khi tốn trở thành tìm m để hàm số

1 t m y mt  

 nghịch biến



0;1



TH1: m0 yt hiển nhiên hàm số đồng biến



0;1 nên



m0 thoả mãn

TH2: m0 Để hàm số

1 t m y mt  

 nghịch biến



0;1











2

1 1

' 0, 0;1 1

1 1 0;1

1

m m y t m m m m m m m                                          

Chọn đáp án A

Ví dụ 35. (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị thực tham

số m để hàm số

x x e y e m  

 đồng biến khoảng



0;



A.



; 2



B.



;1



C.



;1



D.



; 2



Giải.

Đặt te tx, 



1;



Khi tốn trở thành tìm m để hàm số y t t m  

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555













' 0, 1;

1 ;1

1 1;

y t m

m m m m                      

Chọn đáp án B

Ví dụ 36 (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Có giá trị nguyên dương m để

hàm số

2

5

3

x x m

y

x

  



 đồng biến khoảng



1;



A. B. C. D.

Giải.

- Hàm số xác định khoảng



1;



- Đạo hàm





2 '

x x m

y

x    

 Để hàm số đồng biến



1;











 

 

2 2

1;

' 0, 1; 9, 1;

y x m x x x m g x

               Xét hàm g x

 

x26x9 liên tục



1;



Ta có g'

 

x 2x 3 0, x



1;



nên g x

 

g

 

1 16, x



1;



Do





2 16

1; 2;3; m m m        

Chọn đáp án A

Ví dụ 37.(Sở GD ĐT Thanh Hố năm 2017) Biết tập tất giá trị thực tham số m để hàm số









3

1

1 2017

3

y x  m x  m x m đồng biến khoảng



 3; 1





0;



đoạn T 



a b;



Tính 2

a b

A a2b2 13. B a2b28. C 2 10

a b  D 2

5 a b  Giải.

Đạo hàm y'x22



m1



x



m3



Để hàm số đồng biến



0;3





 3; 1







' 0, 0;3

y x

   



 3; 1















2 0, 0;3

x m x m x

       



 3; 1







 

2

2 *

x x m x

    

+ Khi x



0;3



2x 1

 





2 2 3

* , 0;3

2 x x m x x      

 Sử dụng mode

Nhập

 

2 x x f x x   





0;3



ta thấy 0;3

 

min f x 2m2

+ Khi x  



3; 1



2x 1

 





2 2 3

* , 3;

2 x x m x x        

 Sử dụng mode

Nhập

 

2 x x f x x   





 3; 1



ta thấy  3; 1

 

max f x m  

    

- Với toán nhiều bạn mắc sai lầm chia hai vế bất phương trình cho biểu thức mà

chưa xác định dương âm nên

- Ví dụ xét toán mà việc tách tham số m khơng đơn giản, ta sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai

Ví dụ 38 (Sở GD ĐT Phú Thọ năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số



1





2



3

3

y x  m x  m  m x nghịch biến khoảng



0;1



A.



 1;



B.



;



C.



0;1



D.



1;



Giải.

Ta có y'x22



m1



xm22 ;m y'0 có  ' 1 nên có hai nghiệm phân biệt





1

1

2

x m

x x x m

 

   

 Ta có bảng biến thiên:

x  m m2 

'

y   

y

CĐ 

 CT

Để hàm số nghịch biến



0;1





0;1

 

 m m; 2



1

0

0 1

2 m

x x m

m  

          

 Chọn đáp án D

Ví dụ 39 Tập giá trị thực tham số m để hàm số yx3



m1



x2



2m23m2



x2m2m đồng biến nửa khoảng



2;



có dạng



a b;



Tính ab

A.

2 B.

1

2 C

7

 D.

2  Giải.

Ta có y'3x22



m1



x



2m23m2



Nhận thấy y'0 có  ' 7m27m 7 0,   m



;



nên y'0 có hai nghiệm phân biệt là

1

1 ' '

;

3

m m

x     x     Ta có bảng biến thiên:

x  x1 x2 

'

y   

y

CĐ 

 CT

Để hàm số đồng biến



2;



2 ' '

3 m

x          m





2

5 5 3

2

2

2

'

m m

m

m m

m 

  



     

     

 



Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 - Để hàm số đồng biến



2;









1

1

1

2

2

2

x x x x x x               

Áp dụng định lý vi-et ta

tìm tham số m

- Để hàm số đồng biến



2;



x1x22 Đặt tx2 quy so sánh với số

Ví dụ 40 Tìm giá trị tham số m cho hàm số









1 2

yx  m x  m xm  đồng biến

trên nửa khoảng 3;

 

  

 

A. m2 B. m2 C 11

4

m D. 11

4 m   Giải:

Ta có y'3x22



m1



x2m1

Cách Hàm số cho đồng biến nửa khoảng 3;

 

  

 

3 ' 0,

2 y   x





2

2 3

' 2 0, ,

2 2

x x

y x m x m x m x

x               

 

;

min g x m

 

  

 

  với

 

2

3

,

2 2

x x

g x x

x

 

  

 Ta có

 





 

2

6 12

' 0, ' ;

2 2

x x

g x g x x

x

   

       

 

 Bảng biến thiên

x



2 

 

'

g x –

 

g x

11

4 Từ bảng biến thiên ta có

 

3 ; 11 11 4

g x m

 

  

 

   Chọn đáp án C

Cách y'0 có





2

'

' 3 2 1

' ;

2

m

m m

m x x

                    

Hàm số cho đồng biến nửa khoảng 3;

 

  

 

3 ' 0,

2 y   x - Với 1

3

m

m



   hàm số cho đồng biến khoảng



 ;



- Với m2 hàm số cho đồng biến đồng biến nửa khoảng 3;

2

 

  

 

1

2

11

2

3 11

4

2

2 m m

x x m

m m                       

Ví dụ 41 (Trường THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội lần năm 2017) Tìm tập hợp giá trị tham số thực m để hàm số y x2 1 mx1đồng biến khoảng



 ;



A.



;1



B.



1;



C.



1;1



D.



 ; 1



Giải.

- Tập xác định D  



;



- Đạo hàm

2 '

1

x

y m

x

 

 - Hàm số đồng biến



 ;







2

' 0, 0, ;

1

x

y x R m x

x

          



 

,



;



1

x

m g x x

x

      



Ta có

 









2

2

2 2 2

1

1

' 0, ;

1 1 1

x x

x

g x x

x x x

  

      

  

- Bảng biến thiên

x  

 

'

g x +

 

g x

1



Dựa vào bảng biến thiên m 1 giá trị cần tìm Chọn đáp án D

Ví dụ 42 (Trường THPT Chuyên Lam Sơn lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m

để hàm số ymx



m1



x 2 nghịch biến D



2;



A. m0 B. m 1 C. m 1 D. 2 m1

Giải.

Ta có ' ,

2

m

y m x

x 

  



Hàm số nghịch biến D



2;









  

' 0, 2; 0, 2;

2

m

y x m x

x



          



 

 





2; 

 

1 2 , 2;

2

m x m m g x x m g x

x 

             

  Ta có

 





2

 

1

' 0,

2 2

g x x g x

x x

    

  

là hàm đồng biến

min2;g x

 

g

 

2 m

       Chọn đáp án B

Ví dụ 43.(Đề thi thử nghiệm BGD năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để

hàm số yln



x21



mx+1đồng biến khoảng



 ;



A



 ;



B



 ; 1



C



1;1



D



1;



Giải.

Đạo hàm ' 22 x

y m

x

 



Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

 





 

 

2 ;

2

, ;

1 x

x

g x m x g x m

x   

        

 Ta có

 





2

2

2

2

' 2

1 x

g x x x

x  

         

Bảng biến thiên

x  1 

 

'

g x   

 

g x

0

1 Từ

 ; 

 

min 1

x   g x  m Chọn đáp án A

Dạng 4: Tìm giá trị tham số m để hàm số yax3bx2 cxd đơn điệu đoạn có độ dài bằng

l

a Phương pháp:

 Bước 1: Tính y' f '



x m,



 Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến





' , f x m

  phải có hai nghiệm phân biệt

 

1

0 a

 

  

 Bước 3: Biến đổi x1x2 l thành



x1x2



24x x1 2l2

 

2

 Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m Giải phương trình theo m, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

Chú ý: Phương trình ax2bx c



a0



có hai nghiệm x x1, 2 x1 x2 a



 

1

2 ' x x

a   

b Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 44. Tìm tất giá trị m để hàm số





3 1

yx  mx  m x nghịch biến đoạn có độ dài 2?

A. m0,m2 B m1 C. m0 D. m2

Giải.

Cách Tự luận

Ta có y'3x26mx3 2



m1



Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài bằng '

y

  hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x1x2 2









2

2

' 9m 2m m m

         

Theo định lí vi-et ta có 2

2

x x m

x x m   



  

Khi x1x2 2



x1x2



24



x1x2



24x x1 2 44m24 2



m1



4

2

4

2 m

m m

m       

  Vậy chọn đáp án A

1

2

6

2 '

2 1

0

m m

x x m

m a



 



        

 

thoả mãn m1 Cách Thử đáp án

Đáp án A chứa C D nên t thử với đáp án A trước

- Với m 0 y'3x2 3 0 x 1 thoả mãn

1 2

x x  nên B loại

- Với

2 ' 12

3 x

m y x x

x          

 

thoả mãn x1x2 2 Ví dụ 45 (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Cho hàm số





3

2

2 2017

3

x m

y   x  m x Gọi S tập hợp tất giá trị m để đồ thị hàm số nghịch biến đoạn có độ dài lớn Tìm S

A. S  ( ; 3)(1;) B. S  C. S  ( ; 2)(0;) D. S  



4; 0; 2



Giải.

Đạo hàm '



3



2 0

2 x

y x m m

x m          

  

Để y'0x1xx2 Để đồ thị hàm số nghịch biến đoạn có độ dài lớn



 



1

2 2 ; 1;

1

m m

m m S

m m

  

 

                  

 

Chọn đáp án A

Ví dụ 46 (Trường THPT Ngơ Gia Tự lần năm 2017) Tất giá trị thực tham số m để hàm số









3

2 2017

y x  m x  m x nghịch biến khoảng



a b;



cho b a 3

A m6 B m9 C m0 D

6 m m

    

Giải.

Ta có









6 6

y  x  m x m

Hàm số nghịch biến



a b;



,a b nghiệm phương trình 'y 0 Ta có

6

m m

   

TH1:













0 x m x m 0, x ;

             Vơ lí TH2:  0m3 Theo vi-et ta có ab 1 m ab; m2 Theo giả thiết b a  3



b a



29





2





1

0 m

m m m m

m  

         

 

Chọn đáp án D

Chú ý: Có thể thửđáp án với m7 m 1 để nghiệm phân biệt cho hiệu hai nghiệm

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 C ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP

Kiến thức cần nhớ : Định lí :

a. Nếu hàm số

u



u x

 

có đạo hàm điểm

x

0và hàm số

y



f u

 

có đạo hàm điểm

 

0

u



u x

hàm số hợp

g x

 



f u x





 





có đạo hàm điểm

x

0,

 

0

   

0

'

'

'

.

g x



f

u

u x

b. Nếu giả thiết phần (a) thỏa mãn điểm

x

thuộc

J

hàm số hợp

 

y



g x

có đạo hàm

J

,

g x

'

 



f

'





u x

 





'

u x

 

.

Lưu ý : Công thức thứ hai định lí cịn viết gọn

g

x'



f u

u'

.

x'

Câu 1: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần năm 2017-2018) Cho hàm số y f(x) xác định

trên  có đạo hàm f(x) thỏa mãn f(x)



1x



x2

  

.g x 2018 g x

 

0, x  Hàm số y f(1x)2018x2019 nghịch biến khoảng nào?

A



1;



B

 

0;3 C



;3



D



3;



Lời giải

Chọn D.

Từ f(x)



1x



x2

  

.g x 2018 f(1x)x



3x

 

.g1x



2018

Nên đạo hàm hàm số y  f(1x)2018x2019



3

 



2018 2018



3

 

1



y  x x g x    x x g x

Xét bất phương trình y  0 x



3x



0  x



;0

 

 3;



, g x

 

0, x  Câu 2: (THPT NEWTON HÀ NỘI-2018)Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên sau:

Hàm số y f x( 22) nghịch biến trên khoảng ?

A.



 ; 2



B.



0; 2



C.



2;



D.



2;0



Lờigiải Chọn C.

Quan sát bảng biến thiên hàm số y f x

 

ta thấy f

 

x 0 x x

     



Với y f x



22



ta có y2 x f



x22



; y 0 2

0 2 x

x x

  

       

0 2 x x x

     

   

Dựa vào bảng xét dấu y ta y 0,  x



 2; 2

 

 0; 2







2;



nên hàm số



2



4

y f x nghịch biến khoảng



2;



Câu 3: (CHUYÊN HẠ LONG-LẦN 2-2018)Cho hàm số y f x

 

Hàm số y f

 

x có đồ

thịnhư hình bên Hàm số y f x



x2



nghịch biến khoảng đây.

A 1;

 

 

 

  B

3 ;

 

 

 

  C ;

2

 



 

  D

;

 



 

  Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt yg x

 

 f x



x2



g x

 

 f



xx2

 

. xx2



 



1 2 x f







xx2



Cho g x

 

0



2



1 0 x

f x x   

 

  











2

2

1 ptvn ptvn x

x x x x    

   

  

1 x  

Với

x

1

1

0

2

x

f x

  



 

  

       

 

 

 



nên g x

 

0

Với

x

1

1

0

2

x

f x

  



 

  

       

 

 

 



nên g x

 

0 hay hàm số g x

 

 f x



x2



nghịch

biến khoảng 1;

 



 

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 4: (THPT Phan Chu Trinh - Đaklak - L2 - 2018) Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trênvà

có đồ thịy f

 

x hình vẽ Xét hàm số g x

 

 f x



22



Mệnh đềnào sau sai?

A.Hàm số g x

 

nghịch biến trên



1; 0



B.Hàm số g x

 

nghịch biến trên



 



C.Hàm số g x

 

nghịch biến trên



0;



D.Hàm số g x

 

đồng biến trên







Lờigiải ChọnA

Dựa vào đồ thị ta thấy f

 

x 0   x





Ta cóg x

 

2 x f



x22



 





0

g x   x f x  









2

2

2 0

2 x

f x x

f x    

  

     

    

 

2

2

2

2 x

x x x   

  

   



   

0

2

0

2 x

x x

x x  

 

   

    

       

  

0

2 x x

      



Như đáp án B, C đáp án A sai Tương tự chứng minh đáp án D

Câu 5: (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Cho hai hàm số y f x

 

, yg x

 

Hai hàm số

 

Hàm số

 



4



h x  f x g x 

  đồng biến khoảng đây? A. 5;31

5    

  B.

9 ;3    

  C.

31 ;

 



 

  D.

25 6;

4       Lời giải

Chọn B

Kẻ đường thẳng y10 cắt đồ thị hàm số y f

 

x A a



;10



, a



8;10



Khi ta có



4



10,



4



10,

3 3 25

2 5, 11 5,

2 2 4

f x x a f x x

g x x g x x

         

 

 



     

        

   

 

   

 

Do

 



4



2

2 h x  f x  g x 

 

4 x Kiểu đánh giá khác:

Ta có

 



4



2 h x  f x  g x 

 

Dựa vào đồ thị, 9;3

4 x      

 , ta có 25

4

4 x  , f x



4



 f

 

3 10;

3

2 x

   ,

 

8

2

g x  f 

 

Suy

 



4



2 0, 9;3

2

h x  f x  g x   x  

    Do hàm số đồng biến

9 ;3       Câu 6: (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102)Cho hai hàm số y f x

 

yg x

 

Hai hàm số

 

'

y f x yg x'

 

có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm là đồ thị hàm số yg x'

 

Hàm số

 



7



2 h x  f x g x 

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

A. 2;16    

  B.

3 ;

 



 

  C.

16 ;

 



 

  D.

13 3;

4       Lời giải

Chọn B

Kẻ đường thẳng y10 cắt đồ thị hàm số y f

 

x A a



;10



, a



8;10



Khi ta có



7



10,



4



10,

9 9 13

2 5, 11 5,

2 2 4

         

 

 



     

         

   

 

   

 

f x x a f x x

g x x g x x

Do

 



4



2

2 h x  f x  g x 

 

1

  x

Câu 7: (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Cho hai hàm số y f x

 

, yg x

 

Hai hàm số

 

y f x yg x

 

có đồ thịnhư hình vẽ bên

trong đường cong đậm đồ thị hàm số yg x( ) Hàm số

 



3



2

h x  f x g x 

 đồng biến khoảng đây? A 13;

4

 

 

  B

29 7;

4

 

 

  C

36 6;

5

 

 

  D

36 ;

 



 

 

Lời giải Chọn A

25

7 ; ( 7) 10

13

; ( )

4

2 3;

2 2

x f x

x h x

x g x

   

     

  

  

   

      

     

    



 

h x

 đồng biến 13;

4      

Câu 8: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Cho hàm số

 

y f x ax bx cxd có đồ thị hình bên Đặt

 





2

g x  f x  x Chọn khẳng

định khẳng định sau

A g x

 

nghịch biến khoảng



0; 2



B g x

 

đồng biến khoảng



1;0



C g x

 

nghịch biến khoảng 1;

2     

  D g x

 

đồng biến khoảng



 ; 1



Lời giải

Chọn C

Hàm số y f x

 

ax3bx2cxd; f

 

x 3ax22bx c , có đồ thị hình vẽ Do x 0 d 4; x28a4b2cd 0; f

 

2  0 12a4b c 0;

 

0 0

f  c Tìm a1;b 3;c0;d 4 hàm số yx33x24 Ta có

 





2

g x  f x  x









3

2

2

x x x x

      

 

3



2 1



2 3 2



1



3 2



1



2 1

2

g x x x x x x  x x 

             

 ;

 

1

0

2 x

g x x

x 

       

    

Bàng xét dấu g x

 

:

x

y



y





0







0

0

1 /  







4

7 10



O x

y

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Vậy g x

 

nghịch biến khoảng 1;

2       

Câu 9: (Thử nghiệm - MD4 - 2018)Cho hàm sốy f x

 

Hàm số y f

 

x có đồ thị hình vẽ Hàm số y f x



21



đồng biến khoảng nào?

A



 ; 2



B



1;1



C



1;



D



0;1



Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có y2 x f



x21











2

2

2

0

0 1 0

0 1

1 1

2 1

x

x

x x

y x f x x

f x x

x x

 

  



    

           

     

    

   

 Bảng xét dấu y:

Dựa vào bảng xét dấu y suy hàm số y f x



21



đồng biến khoảng



0;1



D Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình

Câu 1: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần năm 2017-2018) Tập nghiệm bất phương trình



x2







x2



2 3 1x



x2 3 1



0

 

 

A



1; 



B



1;



C



  1;



D



1; 2



Lời giải

Chọn C.

Bất phương trình cho có dạng



2







f x  f x f t

 

t



t2 3 1



Xét f t

 

t



t2 3 1



, t;

Ta có

 

2

3 t

f t t t

t

 

       

 

2

2

3 t t

t    



0 t

  

Do f t

 

đồng biến  Từ f x



2



 f



x



x  2 xx 1

Câu 2: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần năm 2017-2018) Tập nghiệm bất phương trình









2





2 3

x  x   x x   

 

A



1; 



B



1;



C



  1;



D



1; 2



Lời giải

Chọn C.

Bất phương trình cho có dạng



2







f x  f x

 





3 f t t t   Xét f t

 

t



t2 3 1



, t;

Ta có

 

2

3 t

f t t t

t

 

       

 

2

2

3 t t

t    



0 t

  

Do f t

 

đồng biến  Từ f x



2



 f



x



x  2 xx 1

Câu 3: (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần năm 2017-2018) Tìm m để bất phương trình











2 2 2

x x x m x x có nghiệm?

A m 8 B m  1 C m 7 D  8 m 7

Lời giải. Chọn B

 Điều kiện: x 



1; 2



Xét hàm số g x

 

 2x 2x2 đoạn



1; 2



Có

 

1

2 2

g x

x x

   

  , g x

 

x    

 

1

g   , g

 

1 3 , g

 

2  Suy

 1;2

 

max g x

  , min g x1;2

 



 Đặt t 2x 2x2, t 3;3 t2  x



2x



2x2



Bất phương trình cho trở thành:

4

t  m t

4

t t m

    Xét hàm số f t

 

t24t4 trên đoạn  3;3

  Có f

 

t 2t4, f

 

t 0  t

 

3

f    , f

 

2  8, f

 

3  7 Suy

 

3;3

7 max f t    

 

Để bất phương trình cho có nghiệm

 

3;3 m max f t

   

 hay m 7 Vậy m 7

Câu 4: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Có giá trị

nguyên tham số m đểphương trình: cos sin

m

x x

    có nghiệm thực

A 3 B 5 C 4 D 2

Lời giải Chọn A.

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

Điều kiện sin

1 cos x

x

 

 

 



2 ; x         

Phương trình cho tương đương với





 

2 2 sin cos 2 cos sin *

4 m

x x x x

     



m0



Đặt tsinxcosx với ;2 x   

  sin12 t sinx cosx sin x

   

      

 

3 ; 2

t   

   

 

Mặt khác, ta lại có t2 1 sin cosx x

Do

 

2

* 2 2

m

t t t

     

Xét hàm số

 

2 22 1, 1; 2

f t  t  t  t t   

 

 

2

2

2 t f t

t t 

   

 

Từ bảng biến thiên, ta kết luận phương trình có nghiệm thực





2

3

4

m m



   

    





2 m

    

Vậy có giá trị m

Câu 5: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Tìm m để phương trình

1 sin sin

2

x x m

    có nghiệm

A.

2m B. 0m1 C. 0m D.

3 m Lờigiải

ChọnD.

Đặt tsinx 1

2 t 

 

 

 

 , phương trình trở thành

1

2

t t m

   

Nhận xét phương trình ban đầu có nghiệm x phương trình

 

* có nghiệm

1 ; t  

  Xét hàm

 

1

2

f t   t t , với 1;1

2 t  

  t

2 

2

 

f t 

 

f t

3 1





Ta có:

 

1

1

1 2 2

2 1 1

2 2 1

2 2

t t t

f t

t

t t t t t t t

   

     

 



         

 

 

4 f t   t Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình cho có nghiệm m   

Câu 6: (SỞ GD -ĐT HẬU GIANG -2018) Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 3m33m3 cosx cosx có nghiệm thực?

A 2 B 7 C 5 D 3

Lời giải Chọn C.

Ta có 3m33m3 cosx cosx 33m3cosxcos3x m

 

1

Đặt cosxu Điều kiện  1 u1 3m3cosx v v3m3u

 

2

 

1 trở thành u3m3v

 

3

Từ

 

3

 

2 suy u33vv33u (u v u )( 2uvv23)0uv Do

2 2

2 3 3 0

2

v u uvv  u v   

  ,u v,  Suy ra: 3m3u umu33u với u 



1;1



Xét hàm số

 

3

f u u  u với u 



1;1



Ta có

 

3

f u  u  ; f

 

u 0u 1



1;1



u  Suy

-1;1

 

max f u 2;

 1;1

 

f u

  

Do phương trình có nghiệm  2 m2, mà m nên m



0; 1; 2 



Câu 7: (CHUYÊN HẠ LONG-LẦN 2-2018) Cho hàm số f x

 

x33x2 Có giá trị

nguyên m đểđồ thị hàm số g x

 

 f

 

x m cắt trục hoành điểm phân biệt ?

A 3 B 4 C 2 D 0

Hướng dẫn giải Chọn A

Tập xác định D t

2



4

 

f t ||   ||

 

f t 6

2

3

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

 

3

f x x  x  f

 

x 3x26x0 x x

    

 Ta có bảng biến thiên

BBT thiếu giá trị f

 

x x3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 0 m4  4 m0



3; 2; 1



mm   

III BÀI TẬP VẬN DỤNG – TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A Bài tốn đơn điệu khơng chứa tham số

Câu 1. (Trường THPT Kim Sơn A lần năm 2017) Mệnh đề sau sai? A. Hàm số y2016x12 đồng biến khoảng



 ;



B. Hàm số y3x4x24 nghịch biến



; 0



C. Hàm số y x33x2 nghịch biến khoảng



 ;



D. Hàm số

2 x y

x  

 đồng biến khoảng xác định

Câu 2. (Trường THPT Tiên Du lần năm 2017) Trong khẳng định sau hàm số

1 x y

x  

 Khẳng định ?

A. Hàm số đồng biến khoảng



;1





1;



B. Hàm số nghịch biến



 ;

  

\

C. Hàm số nghịch biến khoảng



 ;



D. Hàm số nghịch biến khoảng



;1





1;



Câu 3. (Trường THPT Phan Đình Phùng lần năm 2017) Cho hàm số yx33x21 Mệnh đề nào

sau mệnh đề đúng?

A. Hàm số đồng biến khoảng



0;



B. Hàm số nghịch biến khoảng



; 0



C. Hàm số nghịch biến khoảng



0;



D. Hàm số nghịch biến khoảng



2;



Câu 4. (Trường THPT Thanh Chương lần năm 2017) Cho hàm số

1 x y

x  

 Mệnh đề

đây sai?

A. Hàm số nghịch biến khoảng



;1



B. Hàm số nghịch biến khoảng



1;



C. Hàm số nghịch biến khoảng xác định

D. Hàm số nghịch biến tập xác định

Câu 5. (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Cho hàm số

 

15 10 22 f x  x  x  x  Chọn khẳng định

A.Đồng biến khoảng



; 0



nghịch biến khoảng



0;



B. Nghịch biến khoảng



0;1



C. Nghịch biến khoảng



 ;



D.Đồng biến khoảng



 ;



Câu 6. (Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu lần năm 2017) Hàm số y 2xx2x nghịch biến

trên khoảng

A.



0;1



B.



;1



C.



1;



D.



1;



Câu 7.(Sở GD ĐT Đà Nẵng năm 2017) Hàm số sau đồng biến khoảng



 ;



A.

3 x y

x  

 B. ycotx C.

3

yx  x D. y x4x2

Câu 8. (Trường THPT Nguyễn Huệ lần năm 2017) Trong hàm số sau, hàm số đồng biến khoảng



 ;



A.

2

x y

x

 

 B. ysin 3x4x C.

2

3

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 9. (Trường THPT Hoằng Hoá năm 2017) Trong hàm số sau, hàm số đồng biến khoảng



1;3



A. yx418x2 B. 2 6 2

3

y  x  x  x

C. y2x26x2 D.

3 x y

x  



Câu 10 (Trường THPT Hai Bà Trưng lần năm 2017) Hàm số sau nghịch biến khoảng



 ;



A yx33x2. B. y x33x1. C. y x33x23x2 D yx3

Câu 11. (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Cho hàm số y f x

 

xác định khoảng



 ;



có f '

 

x x x



21



Hàm số y f x

 

nghịch biến khoảng nào? A.



 ; 1





0;1



B.



1;1



C.



1; 0





1;



D.



 ; 1





1;



Câu 12. (Trường THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội lần năm 2017) Cho hàm số

1 x y

x  

 Mệnh đề

sau

A. Hàm số nghịch biến khoảng



 ;



B. Hàm sốđồng biến khoảng



;1





1;



C. Hàm sốđồng biến khoảng



;1



nghịch biến khoảng



1;



D. Hàm sốđồng biến khoảng



 ;



Câu 13. (Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu lần năm 2017) Cho hàm số

1

x y

x

 

 Mệnh đề đúng?

A. Hàm sốđồng biến khoảng



 ; 1





 1;



B. Hàm số nghịch biến với x 1

C. Hàm số nghịch biến tập



 ;

  

\ 1

D. Hàm số nghịch biến khoảng



 ; 1





 1;



Câu 14 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu lần năm 2017) Hàm số y 2xx2 đồng biến

trên khoảng:

A.



0;1



. B.



1; 2



. C.



;1



. D.



1;



Câu 15. (Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu lần năm 2017) Hàm số y 2x x2

  nghịch biến khoảng

A.



0;1



B



;1



C.



1;



D.



1; 2



Câu 16. (Trường THPT Chuyên Hưng Yên lần năm 2017) Cho hàm số 1,

1

x y

x

 



3

3 1, 2

y x x  x yx  x  Trong hàm số trên, có hàm số đơn điệu khoảng



 ;



A. B. C. D.

Câu 17. (Trường Sở GD ĐT Hưng Yên lần năm 2017) Trong hàm số

1 x y

x  

 (I);

2

y x x  (II); yx33x5 (III), hàm số đồng biến khoảng xác định nó?

Câu 18. (Trường THPT Ngơ Sỹ Liên lần năm 2017) Hàm số sau hàm số đồng biến khoảng



 ;



A.

2 x y

x 



B.ytanx

C. y



x21



23x2 D.

1 x y

x 



Câu 19. (Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu lần năm 2017) Hàm số sau nghịch biến

trên khoảng xác định nó?

A.

1 x y

x  

  B.

1 x y

x  

 C.

2 x y

x  

 D.

2

x y

x  



Câu 20. (Trường THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2017) Hàm số đồng biến khoảng



 ;



?

A. yx21 B. y 2x1 C. y2x1 D. yx21

Câu 21. (Trường THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2017) Cho hàm số ysinxcosx 3x Tìm khẳng định khẳng định sau:

A. Hàm số nghịch biến



; 0



B. Hàm số nghịch biến



1;



C. Hàm số hàm lẻ D. Hàm số đồng biến



 ;



Câu 22 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số

3

y x  x Mệnh đề ?

A Hàm số đồng biến khoảng (; 0) nghịch biến khoảng (0;) B Hàm số nghịch biến khoảng ( ; )

C Hàm số đồng biến khoảng ( ; )

D Hàm số nghịch biến khoảng (; 0) đồng biến khoảng (0;) Câu 23. (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Hàm số 22

1 y

x 

 nghịch biến khoảng

dưới đây?

A. (0;) B. ( 1;1) C ( ; ) D. (; 0)

Câu 24 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Hàm số sau đồng biến khoảng

( ; )

A

3

x y

x

 

 B

3

y x x C

2

x y

x

 

 D

3 y x  x Câu 25 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số

3

y x  x Mệnh đề đúng?

A. Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) B Hàm số nghịch biến khoảng (2;) C Hàm số đồng biến khoảng (0; 2) D. Hàm số nghịch biến khoảng (;0)

Câu 26 Cho hàm số y f x

 

xác định, liên tục \

 

2 có bảng biến thiên hình bên Khẳng định sau khẳng định đúng?

x  3 2 1  y' +   +

y

 

 

2 A. Hàm số có giá trị cực đại 3

B. Hàm số có điểm cực tiểu

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 D. Hàm số đồng biến



 ; 3





1;



Câu 27 (Đề Thi THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số y 2x21 Mệnh đề ?

A Hàm số nghịch biến khoảng ( 1;1) B Hàm số đồng biến khoảng (0;) C.Hàm số đồng biến khoảng (;0) D Hàm số nghịch biến khoảng (0;)

Câu 28. (Đề Thi Tham Khảo THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Hỏi hàm số y2x41 đồng biến khoảng nào?

A. ;

 

 

 

  B



0;



C

;

 

 

 

  D.



; 0



Câu 29. (Đề Thi Tham Khảo THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số

2

yx  x  x Mệnh đề đúng?

A. Hàm số nghịch biến khoảng 1;1    

  B. Hàm số nghịch biến khoảng ;

3

 



 

  C. Hàm số đồng biến khoảng 1;1

3    

  D. Hàm số nghịch biến khoảng



1;



Câu 30. (Đề Thi Tham Khảo THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Cho hàm số x y

x  

 Mệnh đề

dưới đúng?

A. Hàm số nghịch biến khoảng



 ;



B. Hàm số đồng biến khoảng



 ;



C. Hàm số đồng biến khoảng



 ;



D. Hàm số nghịch biến khoảng



 1;



Câu 31. (Đề Thi Tham Khảo THPT Quốc Gia - BGD năm 2017) Hàm số đồng biến khoảng



 ;



?

A

3

y x  x B

2

y x  x C

3

yx  x D

1 x y

x  



Câu 32.(Sở GD ĐT Kiên Giang năm 2017) Cho hàm số y f x

 

xác định, liên tục khoảng



 ;



có bảng biến thiên sau:

x  2 

y’ + - +

y 

 4

Khẳng định sau khẳng định đúng?

A. Hàm số đồng biến khoảng



 4;



B. Hàm số nghịch biến khoảng



 ; 2





0;



C. Hàm số đồng biến khoảng



; 0



D. Hàm số nghịch biến khoảng



2; 0



Câu 33 Hàm số

yax bx cxd đồng biến khoảng



 ;



khi:

A 20,

0;

a b c

a b ac

   



  



. B 20,

0;

a b c

a b ac

   



  



C

0,

3

a b c

b ac    



  

D

2

0;

a b c

a b ac

   



  



Câu 34.(Trường THPT Chuyên ĐHV lần năm 2017) Hàm số hàm số sau nghịch biến

trên khoảng



0;



? A. y x2x. B.





1

log

y x C.

1 y

x 

 D.

1 y

x  

Câu 35. (Trường THPT Chuyên ĐHV lần năm 2017) Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm

 







' 4x

f x  x  x  Mệnh đề sau đúng?

A Hàm số y f x

 

nghịch biến khoảng



 ;



B. Hàm số y f x

 

nghịch biến khoảng



2;



C. Hàm số y f x

 

đồng biến khoảng



0;



D. Hàm số y f x

 

đồng biến khoảng



2;



Câu 36 (Trường THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2017) Hàm số bốn hàm số sau đồng biến khoảng



0;



A y 1 x2. B

ln

yx x C y ex x

  D yx Câu 37. Hàm số có tập xác định khoảng



 ;



A. y ln x B. ytan cotx x C. yelnx D.



2



ln

x y

x  



Câu 38. (Trường THPT Thực Hành Sư Phạmnăm 2017) Dựa vào hình vẽ Tìm khẳng định

A. Hàm số nghịch biến



0;



, đồng biến



; 0



có hai cực trị

B. Hàm số đồng biến



0;



, nghịch biến



; 0



có hai cực trị

C. Hàm số nghịch biến khoảng xác định khơng có cực trị

D. Hàm số đồng biến khoảng xác định khơng có cực trị

Câu 39. (Trường THPT Sào Nam năm 2017) Cho hàm số y f x

 

xác định liên tục  thỏa

mãn f

 

x 0, x



0;3



f

 

x 0 x



1; 2



Khẳng định sau sai ? A. Hàm số cho hàm đoạn



1;



B. Hàm số cho đồng biến khoảng



0;1



C. Hàm số cho đồng biến khoảng



0;3



D. Hàm số cho đồng biến khoảng



2;3



Câu 40. Cho hàm số y f x

 

có bảng biến thiên hình vẽ bên Mệnh đề sau sai? x  

'

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

A. Hàm số cho đồng biến khoảng



2;



B. Hàm số cho đồng biến khoảng



;1



C. Hàm số cho nghịch biến khoảng



0;3



D. Hàm số cho nghịch biến khoảng



3;



Câu 41. (Trường THPT Lê Q Đơn – Bình Định năm 2017) Chọn khẳng định Hàm số

 

lnx f x

x 

A.Đồng biến khoảng



0;e



nghịch biến khoảng



e;



B. Nghịch biến khoảng



0;e



đồng biến khoảng



e;



C.Đồng biến khoảng



0;



D. Nghịch biến



0;



Câu 42. (Trường THPT Lê Quý Đôn – Bình Định năm 2017) Biết hàm số y 4xx2 nghịch biến khoảng



a b,



Giá trị tổng a2b2 bằng

A. 16 B. C. 20 D. 17

Câu 43 (Trường THPT Lê Quý Đôn – Đà Nẵngnăm 2017) Cho hàm số

 





2

1

x m

f x m

x 

 

 Chọn câu trả lời

A Hàm số giảm



;1





1;



với m1 B Hàm số giảm tập xác định

C Hàm số tăng



;1





1;



với m1 D Hàm số tăng



;1





1;



Câu 44. Hàm số f x

 

có đạo hàm f '

 

x x2



x2



Phát biểu sau ?

A. Hàm số đồng biến khoảng



 2;



B. Hàm số nghịch biến khoảng



 ; 2





0;



C. Hàm số đồng biến khoảng



 ; 2





0;



D. Hàm số nghịch biến khoảng



2; 0



Câu 45. (Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm năm 2017) Cho hàm số



2



ln 1

yx x x  x Khẳng định sau sai?

A. Hàm số có tập xác định D  



;



B Hàm số đồng biến khoảng



0;



C. Hàm số nghịch biến khoảng



0;



D. Hàm số có đạo hàm y'ln



x 1x2



Câu 46.(Sở GD ĐT Đồng Tháp năm 2017) Hàm số

1 2

 

  

x x

x x

y nghịch biến khoảng nào?

y



A



1;



B



1;1



C



 ; 1



D 1;3      

Câu 47 (Trường THPT Hồng Quang lần năm 2017) Cho hàm số y f x

 

đồng biến khoảng



a b;



Mệnh đề sau mệnh đề sai?

A Hàm số y f x



4



đồng biến khoảng



a b;



B Hàm số y f x

 

4 đồng biến khoảng



a b;



C Hàm số y2017 4 f x

 

nghịch biến khoảng



a b;



D Hàm số y f x

 

nghịch biến khoảng



a b;



Câu 48. (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Cho hàm số y f x

 

có tính chất

 





' 0; 1;5

f x    x f'

 

x 0 với  x



2; 4



Hỏi khẳng định sau khẳng định sai?

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 B Bài toán đơn điệu chứa tham số

Câu (Trường THPT Triệu Sơn lần năm 2017) Cho hàm số









3 2

1 2017

yx  m x  m  m x Khi tập giá trị m để hàm số đồng biến khoảng



2;



là:

A.  B. 2;3

2

 



 

  C.

3 2;

2

 



 

  D.



 ;



Câu 2. (Trường THPT Thanh Chương lần năm 2017) Cho hàm số

3

yx  x mxm Tìm tất

các giá trị thực tham số m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài

A m0 B m2 C m2 D. m2

Câu 3.(Sở GD ĐT Vũng Tàu lần năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số

3

3

yx  x mx đồng biến khoảng



;1



A.



 ; 3



B.



 ; 3



C.



3;9



D.



3;9



Câu 4.(Sở GD ĐT Vũng Tàu lần năm 2017) Tất giá trị tham số m để hàm số

3

3

yx mx  x đồng biến khoảng



 ;



là:

A. 2 m2 B. 3 m3 C. m3 D. m 3

Câu 5.(Sở GD ĐT Vũng Tàu lần năm 2017) Tất giá trị m để hàm số





2

2 tan tan tan

m x

y

x x

 

  nghịch biến khoảng 0;4        là:

A. 1

2 m



  B.

2

m 

2

m

C. 1

2 m



  D.

2 m  

Câu 6.(Sở GD ĐT Vĩnh Phúc lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số

sin

ymx x đồng biến khoảng



 ;



A. m1 B. m 1 C. m1 D. m0

Câu 7. (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để

hàm số y x x m 

 nghịch biến



1;



A. m1 B. 0m1 C. 0m1 D. 0m1

Câu 8. (Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai năm 2017) Hàm số cos

cos x y

x m  

 nghịch biến khoảng 0;

2        khi:

A.

1

m m      

B. m3 C. m > D.

1

m m      

Câu 9. (Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm 2017) Có tham số

nguyên m để hàm số





3

3 3

mx

y mx   m x m đồng biến khoảng



 ;



A. B. C. D. Vô số

Câu 10. (Trường Chuyên THPT Lê Hồng Phong – Nam Định lần năm 2017) Tìm tất giá trị

thực tham số m để hàm số y x m



sinxcosx



đồng biến khoảng



 ;



A. ; 1 ;

2

m    

   

B. 1

2 m



C. m

   D. ; 1 ;

2

m    

   

Câu 11. (Trường THPT Kim Liên lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số

3 3

x x y

m 

  

 nghịch biến khoảng



1;1



A.

3

m B.

3m C.

1

m D. m3

Câu 12. (Trường THPT Hoằng Hoá năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số ycosxmx đồng biến khoảng



 ;



A. m1 B. m1 C. m1 D. m1

Câu 13. (Trường THPT Đức Thọ năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị m để hàm số

2 sin cos

m x

y

x 

 nghịch biến 0;

6 

 

 

 

A. m1 B. m2 C.

4

m D. m0

Câu 14. (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị m để hàm số

 

sin ln tan





y f x m x x nghịch biến khoảng 0;        A.



; 2 

 B.

3

;

2

 



 



 

C.



;3 

 D.



0; 

Câu 15. (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m

cho hàm số ymx3mx2



m2



x2 nghịch biến khoảng



 ;



Bước 1: Ta có y'3mx22mx



m2



Bước 2: u cầu tốn tương đương với













' 0, ; 2 0, ;

y      x mx  mx m     x

Bước 3:





2

'

' 0, ;

3

0 m

m m

y x m m

a m

m       

           

  



Vậy m0 thỏa mãn yêu cầu toán

Lời giải học sinh hay sai? Nếu lời giải sai sai từ bước nào? A. Sai từ bước B. Sai từ bước C. Sai từ bước D.Đúng

Câu 16. (Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số

thực m để hàm số y mx x m

 

 đồng biến khoảng xác định

A.



2; 2



B.



; 2



C.



 2;



D.



; 2



Câu 17. (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để

hàm số



1





2 3



3

y x  m x  m x đồng biến



1;



A. m2 B. m2 C. m1 D. m1

Câu 18.(Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần năm 2017) Tìm tất giá trị m để hàm số

2

2 2017

3

mx

y x  x đồng biến khoảng



 ;



Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 19. (Trường THPT Chuyên Vị Thanh năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số cos

2 cos

m x

y

x m

 

 nghịch biến khoảng 2;         A. 2 m0 1m2 B. 1m2

C. 2 m0 D. m2

Câu 20. (Trường THPT Chuyên Trần Phú năm 2017) Tìm tất giá trị m để hàm số



m 1



x y

x m   

 đồng biến khoảng xác định A. 2 m1 B. 2 m1 C.

2 m m

     

D.

2 m m

     

Câu 21. (Trường THPT Chuyên Trần Phú năm 2017) Tìm tất giá trị m để hàm số:









3

2

y x  m x  m x nghịch biến khoảng có độ dài lớn

A. m0 m6 B. m6 C. m0 D. m9

Câu 22. (Trường THPT Chuyên Thái Nguyên năm 2017) Tìm m để hàm số f x

 

mx

x m

 

 nghịch biến khoảng



;1



A. 3 m 1 B. 3 m 1 C. 3 m3 D. 3 m3 Câu 23. (Trường THPT Chuyên Thái Nguyên năm 2017) Tìm m để hàm số

  











3

2

2

3 x

f x  m  m x  m xm  nghịch biến khoảng



 ;



A. m 2 B. m 2 C. m 2 D. m  



;



Câu 24. (Trường THPT Chuyên Quốc Học Huế lần năm 2017) Cho hàm số yx33x2mx2 Tìm tất giá trị m để hàm số cho đồng biến khoảng



0;



A. m 1 B. m0 C. m 3 D. m 2

Câu 25. (Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu lần năm 2017) Tìm tất giá trị m để hàm số y2x3x2mx đồng biến trên



1, 2



A.

3 

m B.

3 

m C. m 1 D. m 8 Câu 26. (Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi lần năm 2017) Hàm số









3

1

1

3

y  x  m x  m x nghịch biến khoảng



 ;



điều kiện m A m 2 B  2 m2 C m2 D  2 m2

Câu 27. (Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu lần 2năm 2017) Tìm tập hợp giá trị tham số thực m để hàm số ymsinx7x5m3 đồng biến khoảng



 ;



A. m 7 B. 7 m7 C. m7 D. m 1

Câu 28 (Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực

tham số m để hàm số y



2m1



x



3m2 cos



x nghịch biến khoảng



 ;



A.

5 m

    B. m

    C. m 3 D. m 

Câu 29. (Trường THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu lần năm 2017) Tìm m nhỏ để hàm số

3

3

yx  mx x đồng biến khoảng



 ;



A m1 B

3

m C

3

m  D m2

Câu 30. (Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm lần năm 2017) Cho hàm số mx y

x m  

A. 1m2 B. m1 C. 1m2 D. m2

Câu 31. (Trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ năm 2017) Tìm tập nghiệm giá trị m để hàm số

4 mx y

x m  

 nghịch biến



0;



A. m



2;



B. m 



2;



C. m  



; 2

 

 2;



D. m  



;



Câu 32. (Trường THPT Chuyên Hạ Long lần năm 2017) Tìm giá trị thực tham số m để hàm số sin2

cos

m x

y

x 

 nghịch biến khoảng 0;

6       

A.

2

m B.

2

m C.

4

m D.

4

m

Câu 33. (Trường THPT Hùng Vương năm 2017) Xác định m để hàm số yx3



m1



x24x7 có

độ dài khoảng nghịch biến

A m 2, m4 B m1,m3 C m0,m 1 D m2,m 4 Câu 34. (Trường THPT Chu Văn An – Gia Lai lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số

m để hàm số ymx



m1 cos



x đồng biến khoảng



 ;



A. Khơng có m B. 1

2 m

    C.

m  D. m 1

Câu 35. (Trường THPT Chuyên Lam Sơn năm 2017) Tìm tập giá trị thực tham số m để hàm số





ln m

y x

x

    đồng biến khoảng 1;

2

 



 

  A. 7;

3

 

   

  B.

1 ;

 

   

  C.

4 ;

 

   

  D.

2 ;

 

  

 

Câu 36.(Sở GD ĐT Đà Nẵng năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số

 

2

4

f x  x  mx m  nghịch biến khoảng



; 2



A. m 1 B. m 1 C. m2 D. m2

Câu 37 [NTL] Biết tập tất giá trị thực tham số m để hàm số









3

3 12

yx  m x  m x đồng biến khoảng



 ; 1





2;



đoạn T 



a b;



Tính ab

A ab1 B

6

a  b C

a b  D ab 1

Câu 38.(Sở GD ĐT Hưng Yên lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y



m 1



x 2m

x m

  



 nghịch biến khoảng



 1;



A. m ( ;1)(2;) B. m1 C. 1 m2 D. 1m2

Câu 39.(Sở GD ĐT Hưng Yên lần năm 2017) Tìm m để hàm số y x33mx23 2



m1



x1 nghịch biến khoảng



 ;



A. m1 B. Khơng có giá trị m

C. m1 D. Luôn thỏa mãn với giá trị m

Câu 40.(Sở GD ĐT Hà Nam năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số





ln

y x  mx đồng biến



 ;



A. ;

2

m   

  B.

1 ;

2

m   

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

C. 1;

2

m  

  D.

1 ; 2

m  

 

Câu 41 (Đề Thi THPT Quốc Gia – BGD năm 2017)Cho hàm số y x3mx2



4m9



x5 với m tham số Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng



 ;



?

A. B. C. D.

Câu 42. (Đề Thi Tham Khảo THPT Quốc Gia – BGD năm 2017)Tìm tất giá trị thực tham số

m cho hàm số tan

tan x y x m  

 đồng biến khoảng 0;4       

A. m   m  B. m  C.  m  D. m 

Câu 43. (Đề Thi Tham Khảo THPT Quốc Gia – BGD năm 2017)Hỏi có số nguyên m để hàm số y



m21



x3



m1



x2 x nghịch biến khoảng



 ;



?

A. B. C. D.

Câu 44. Cho hàm số y f x

 

x33



a1



x23a a



1



x1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A Hàm số đồng biến  a

B Hàm số ln có cực đại, cực tiểu   a

C Hàm số nghịch biến khoảng



0;1 v



ới 0a1 D Hàm số nghịch biến khoảng



 ;



với 1a2

Câu 45. Cho hàm số

 





3

2

sin cos sin

3 2

x x

y f x     x   với giá trị  hàm số

ln đồng biến khoảng



 ;



? A

4 k 

     B

4 k 

   C

4 k 

   D

4 k 

   

Câu 46. (Trường THPT Lương Văn Tài lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số sin 22

1 sin x m y x  

 đồng biến khoảng 0;6

      ? A.

m B.

0 m m       

C. 1

2 m

   D. m1

Câu 47. (Trường THPT Ninh Giang năm 2017) Hàm số





2

3 m

y x  x  m xm đồng biến

trên khoảng



 ;



giá trị m nhỏ

A. m1 B. m 2 C. m 4 D. m0

Câu 48. (Trường THPT Lê Quý Đôn – Hà Nội năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số



2



4



3



3

3

ym x  x  x x  đồng biến tập xác định

A.

3

m B.

2

m C.

3

m D.

2 m Câu 49. Tìm tập giá trị thực tham số m để hàm số y ln 3



x 1



m

x

    đồng biến khoảng

1 ;        A. 7;

3

 

   

  B.

1 ;      

  C.

4 ;      

  D.

Câu 50 (Trường THPT Hàm Rồng năm 2017) Tìm tất giá trị m để hàm số 2sin

2 sin x y

x m  



đồng biến khoảng ; 



 

 

 

A m0 B m 1 C m 1 D. m0

Câu 51. (Trường THPT Đoàn Thượng lần năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực

m để hàm số yln



x21



m x2 3mx3x1 đồng biến khoảng



 ;



A (  ; 1]



4;5



B ( 3; 1]  



4;



C (  ; 1]



4;



D



1; 4



Câu 52 (Trường THPT Chuyên Biên Hoà lần năm 2017) Hàm số

2 4

x x

y

x m

 

 đồng biến



1;



giá trị m là:

A 1; \

 

1

m   

  B m 



1; \

  

1 C

1 1;

2 m  

  D

1 1;

2 m  

  Câu 53 Tất giá trị thực tham số m cho hàm số y x4



2m3



x2m nghịch biến trên khoảng



1;



;p

q

 



 

 

, p

q phân số tối giản q0 Hỏi tổng pq là?

A 5 B 9 C 7 D.

Câu 53 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số yx4



m1



x2m2 đồng biến khoảng



1;3



?

A



5; 2



B



; 2



C



2;



D.



;5



Câu 54 (Trường THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực m để hàm số



3



1

y mx x đồng biến khoảng



0;1



A m 2 B. m 2 C. m1 D. m1

Câu 55 (Trường THPT Hoà Bình – Bình Định năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số 22

x x

e m

y

e m

  

 đồng biến khoảng ln ;

4

 

 

  A m 



1; 2



B 1;

2

m  

  C m



1; 2



D





1

; 1; 2

m  

 

Câu 56 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số sin

sin

x m y

x m

 

 nghịch biến 2; 

       A. m  m1 B. m0 C. 0m1 D. m 

Câu 57. Cho hàm số ymcotx2 Tìm tất giá trị m thỏa m2 4 0 làm cho hàm số đã cho

đồng biến 0;       

A. Không có giá trị m B. m 



2; \ 0

  

C. m



0; 2



D. m 



2; 0



Câu 58. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cot

cot

x y

x m

 

 đồng biến khoảng ;

4  

 

 

 

A. m0 1m2 B. m0

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 59. Gọi M tập hợp tất số nguyên dương cho hàm số y x33x2



m10



x1 nghịch biến khoảng



 ;



Số phần tử tập M là:

A 7 B 8 C 9 D 10

Câu 60 (Trường THPT Yên Lạc lần 1năm 2017) Cho hàm số



1



1 m x y x m    

  Tìm tất giá trị tham sốmđể hàm số đồng biến khoảng



17;37



A  4 m 1 B m m      

C

4 m m      

D  1 m2

Câu 61 (Trường THPT Yên Lạc lần 2năm 2017) Cho hàm số



sin



sin m x y x m   

 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số nghịch biến khoảng 0;

2       

A  1 m2 B

2 m m      

C

2 m m      

D

1 m m     

Câu 62 (Trường THPT Yên Lạc lần 2 năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số

2 x

y  x  x m đồng biến



;



A

4

m B

4

m C m2 D m7

Câu 63 (Trường THPT Trần Hưng Đạo – Nam Định năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m

để hàm số

1 mx x m y  

 nghịch biến khoảng 1;

 



 

 

A 1;1

2

m  

  B m 



1;1



C

1 ;1

m  

  D

1 ;1

m  

 

Câu 64 (Trường THPT Chuyên ĐHV lần 2năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số



1



2

y m  x  mx đồng biến



1;



A m 1 m1 B m 1

2 m 

C m 1

2

m  D m 1

Câu 65 (Trường THPT Chuyên Quang Trung năm 2017) Cho hàm số

 

3 1 1

4 2017

x x

e m e y

  

 

  

  Tìm m

để hàm số đồng biến khoảng



1; 2



A

3e  1 m3e 1 B

m e  C

3e  1 m3e 1 D

m e 

Câu 66 (Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Địnhnăm 2017) Tìm tất giá trị thực

tham số m để hàm số cot

cot x y m x  

 đồng biến khoảng 2;  

 

 

  A m 



; 0

 

 1;



B m 



; 0



C m



1;



D m 



;1



Câu 67 (Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định năm 2017) Tìm tất giá trị

Câu 68 (Trường THPT Bắc Giangnăm 2017) Tìm m để hàm số cos cos x y x m  

 đồng biến



0;



A m 1 B

2

m  C m1 D

2

m 

Câu 69 (Trường THPT Chuyên ĐHV lần 1 năm 2017) Các giá trị tham số m để hàm số

3

3

ymx  mx  x nghịch biến khoảng



 ;



đồ thị khơng có tiếp tuyến song

song với trục hoành

A  1 m0 B  1 m0 C  1 m0 D  1 m0 Câu 70 (Trường THPT Nghĩa Hưngnăm 2017) Cho hàm số

2

2

x mx m

y

x m

  



 Với giá trị m hàm số đồng biến khoảng



1;



A 3 17

4 m



  B m2 C 17

4

m  D

3 17 m m        Câu 71. (Trường THPT Việt Yên lần năm 2017) Tìm m để hàm số





3 2

3

sin 3sin cos sin cos cos cos

x x x m x x x

y

x

   

 nghịch biến khoảng 0;

4       

A. 2 m1 B. m1 C. m 2 D. m0

Câu 72. (Trường THPT Trần Hưng Đạo – HCM lần 1năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham

số m cho hàm số y x x m  

 nghịch biến khoảng



4;16



A. m4 B.

16 m m      

C. m3 D. 33

16

m

Câu 73 (Trường THPT Thanh Thuỷnăm 2017) Với giá trị m hàm số

x x e y e m  

 đồng biến

trên khoảng



 2; 1



A. 1 m e m e        

B. m

e   C. m1 D.

1 m

e 

Câu 74. (Trường THPT Sào Nam năm 2017) Các giá trị m để hàm số



2017



sin cos

y x m x x m đồng biến khoảng



 ;



A 2

2 m

   B 0

2 m  

C

2 m

   D  2m

Câu 75. (Trường THPT Chuyên Bình lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y x2mx đồng biến khoảng



1;



A. m 2 B. m 1 C. m 1 D. m 2

Câu 76. (Trường THPT Lê Q Đơn – Bình Định năm 2017) Để hàm số









3

2

1

3 x

y   a x  a x đồng biến khoảng



0;3 giá tr



ị cần tìm tham số a :

A. a 3 B. a 3 C. 12

7

a

   D. 12

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Câu 77. (Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu lần năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị

tham số m cho hàm số y 2x x x m

 

  nghịch biến khoảng



1;1



A



 3; 2



B



; 0



C



 ; 2



D



 ; 2



Câu 78 (Trường THPT Chuyên Quang Trung năm 2017) Cho hàm số

 

3 1 1

4 2017

x x

e m e y

  

 

  

  Tìm m

để hàm số đồng biến khoảng



1;



A. 3e3 1 m3e41 B. m3e41 C. 3e2 1 m3e31 D. m3e21

Câu 79.(Sở GD ĐT Đồng Tháp năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số mđể hàm số

1 ln

2 ln

 

 

m x

x m

y nghịch biến



e2;



A



 ; 2





1;



B



2;1



C



 ; 2



D



1;



Câu 80.(Sở GD ĐT Đồng Tháp năm 2017) Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số



m



x

mx

y  3 cos đồng biến khoảng



 ;



A

 

1;3 B



 3; 1



C



0;1



D



1;0



Câu 81. (Trường THPT Hàm Rồng lần năm 2017) Tìm tất giá trị m để hàm số

1 2sin sin

x y

x m  

 đồng biến khoảng 2; 



 

 

 

A m 1 B m 1 C m0 D m0

Câu 82. Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm f

 

x x2



x9



x4



2 Khi hàm số

 

2 y f x đồng biến khoảng nào?

A



2; 2



B



3;



C



 ; 3



D



 ; 3

 

 0;3



Câu 83.Cho hàm số y f x

 

Hàm số y f

 

x có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y f x

 

2 đồng

biến khoảng

A 1; 2 

 

 

  B



0; 2



C

; 

 

 

  D



 2; 1



Câu84. Cho hàm số y f x( ) Hàm số y f x'( ) có đồ thị hình bên Hàm số y f x( x2) nghịch

A 1;

 

 

 

  B

3 ;

 

 

 

  C

3 ;

2

 



 

  D

1 ;

 



 

 

Câu 85.Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục  Bảng biến thiên hàm số y f x( )

cho hình vẽdưới Hàm số

2 x y f  x

  nghịch biến khoảng

A (2; 4) B (0; 2) C ( 2;0). D ( 4; 2).  Câu86. Cho hàm số y f x

 

Hàm số y f

 

x có đồ thịnhư hình vẽ

Hàm số

 

2

y f x có khoảng nghịch biến

A 5 B 3 C 4 D 2.

Câu87. Cho hàm số yf x

 

có bảng biến thiên sau:

Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f x

 

f (m) có ba nghiệm phân biệt

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f x

 

f (m) có nghiệm

A m  



; 2



(2;)

B m ( 2; 2)

C m



0;4



D m 



; 0



(4;)

Câu 89.Cho hàm số

y



f x

( )

có đạo hàm trên Đồ thị hàm số y f'( )x hình vẽ Tìmcác khoảng đơn điệu hàm số g x( )2 ( )f x x22x2017

y

x

2

3 O

-2 -1

Mệnh đề đúng?

A Hàm số g x

 

nghịch biến



1;3



B Hàm số g x

 

có điểm cực trị đại

ĐÁP ÁN

A Bài tốn đơn điệu khơng chứa tham số

1 D 2 D 3 C 4 D 5 D 6 D 7 C 8 B 9 B 10 C

11 A 12 B 13 D 14 A 15 D 16 B 17 B 18 A 19 C 20 C

21 D 22 C 23 A 24 B 25 A 26 D 27 B 28 B 29 A 30 B

31 A 32 D 33 A 34 B 35 B 36 C 37 D 38 D 39 C 40 C

41 A 42 C 43 C 44 A 45 C 46 B 47 A 48 D

B Bài toán đơn điệu chứa tham số

1 C 2 A 3 A 4 C 5 C 6 7 D 8 D 9 C 10 B

11 C 12 B 13 C 14 B 15 C 16 A 17 D 18 D 19 A 20 B

21 A 22 D 23 C 24 C 25 C 26 B 27 B 28 A 29 C 30 C

31 D 32 C 33 D 34 A 35 C 36 A 37 B 38 D 39 A 40 B

41 A 42 A 43 A 44 D 45 C 46 A 47 A 48 B 49 C 50 D

51 C 52 D 53 C 54 B 55 A 56 D 57 D 58 D 59 A 60 B

61 B 62 D 63 C 64 B 65 B 66 B 67 B 68 B 69 D 70 C

71 B 72 A 73 A 74 A 75 B 76 A 77 C 78 B 79 C 80 A

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

57 PHẦN - CỰC TRỊ

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định tập hợp D



D



x0D

a x0được gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng



a b;



chứa điểm x0 cho



a b;



D f x

 

 f x

 

0 với x



a b;

  

\ x0

Khi f x

 

0 gọi giá trị cực đại hàm số f

b x0 gọi điểm cực tiếu hàm số f tồn khoảng



a b;



chứa điểm x0 cho



a b;



D f x

 

 f x

 

0 với x



a b;

  

\ x0

 Khi f x

 

0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f  Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Lưu ý:

 Giá trị cực đại (cực tiểu) f x

 

0 hàm số f nói chung khơng phải giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập hợp D ; f x ch

 

0 ỉ giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f trên khoảng



a b ;



nào chứđiểm x 0

 Hàm số f có thểđạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập hợp D Hàm số khơng có cực trị tập hợp số thực cho trước

 Đôi ta nói đến điểm cực trị đồ thị hàm số

Nếu x m0 ột điểm cực trị hàm số f thì điểm



x0;f x

 

0



được gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Bảng sau tóm tắt khái niệm sử dụng phần này:

0

x f x

 

0



x0;f x

 

0



Điểm cực đại hàm số f

Giá trị cực đại (cực đại) hàm số f Điểm cực đại đồ thị hàm số f

Điểm cực tiểu hàm số f

Giá trị cực tiểu (cực tiểu) hàm số f

Điểm cực tiểu đồ thị hàm số f

Điểm cực trị hàm số f

Cực trị hàm số f Điểm cực trị đồ thị hàm số f

2 Điều kiện cần đủđể hàm sốđạt cực trị 2.1Điều kiện cần để hàm sốđạt cực trị ĐỊNH LÍ

Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f '

 

x0 0 Lưu ý :

 Điều ngược lại có thểkhơng đúng.

 Hàm số có thểđạt cực trị điểm mà hàm sốkhơng có đạo hàm

 Hàm số có thể đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số 0, hàm số khơng có đạo hàm

2.2Điều kiện đủđể hàm sốđạt cực trị ĐỊNH LÍ

Giả sử hàm số f liên tục khoảng



a b;



chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng



a x; 0





x b0;



Khi

 Nếu f '

 

x đổi dấu từâm sang dương x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm sốđạt cực tiểu

điểm x 0

điểm x0

x a x 0 b

 

'

f x  

 

f x

(cực tiểu)

f x

 

0

x a x 0 b

 

'

f x  

 

f x f x

 

0 (cực đại) ĐỊNH LÍ

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng



a b;



chứa điểm x0, f'

 

x0 0 f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0

 Nếu f ''

 

x0 0 hàm số f đạt cực đại điểm x0  Nếu f ''

 

x0 0 hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 Từđó ta có quy tắc để tìm cực trị

☞ Quy tắc

 Tìm f'

 

x

 Tìm điểm x ii



1, ,



đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm

 Xét dấu f '

 

x Nếu f '

 

x đổi dấu x qua điểm xi hàm sốđạt cực trị xi

☞ Quy tắc

 Tìm f'

 

x

 Tìm nghiệm x ii



1, ,



phương trình f'

 

x 0  Tìm f''

 

x tính f ''

 

xi

Nếu f ''

 

xi 0 hàm số f đạt cực đại điểm xi Nếu f ''

 

xi 0 hàm số f đạt cực tiểu điểm xi II CÁC DẠNG BÀI TẬP

BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT HÀM SỐCHO TRƯỚC a Phương pháp:

 Áp dụng quy tắc quy tắc để tìm cực trị đề cho dạng hàm số

 Dùng dấu hiệu nhận biết đểxác định cực trị đề cho dạng bảng biến thiên đồ thị hàm số  Dùng dấu hiệu đổi dấu f ' đồ thị cho biểu thức f ' đồ thị hàm số f '

Dấu hiệu nhận biết cực trịkhi cho đồ thị hàm số f đồ thị hàm số f '

Đồ thị hàm số f Đồ thị hàm số f '

Ta hiểu điểm cực trị đồ thị hàm số bao gồm

các đỉnh điểm đồ thị gấp khúc

Ta hiểu điểm cực trị hàm số bao gồm điểm làm cho f ' đổi dấu (cắt xuyên trục Ox)

b Ví dụ minh hoạ:

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

59 A Hàm số có điểm cực đại B Hàm sốcó hai điểm cực trị

C Hàm sốcó điểm cực trị D Hàm sốkhơng có điểm cực trị Giải

Hàm số có tập xác định D

 



 

2



'

3 x

f x x x

x         

  Dấu f '

Nhận thấy f 'chỉđổi dấu qua x3 Vậy hàm sốđã cho có điểm cực trị

Ví dụ (THPT Kim Thành – Hải Dương)Đồ thị hàm số yx33x21có điểm cực đại

A.I



2;3



B I



0;1



C I



0; 2



D Đáp án khác

Giải

Tập xác định D

'

y  x  x

'

2

x y

y x x

x y

   

      

    

Dấu y'

Nhận thấy y' đổi dấu từ  sang  x qua điểm x0 Do hàm sốđạt cực đại x0 điểm cực

đại đồ thị hàm số I



0; 2



(đáp án C)

Ví dụ (Thi thử Vinastudy.vn) Sốđiểm cực trị hàm số 2017 yx  x  ?

A.1 B.2 C.3 D.4

Giải

Tập xác định D





3 2

' 2

y  x  x  x x





2

0

' 2 3

2 x

y x x

x   

    

    Dấu y'

Nhận thấy y' chỉđổi dấu qua điểm

x  Vậy hàm sốđã cho có điểm cực trị

Đáp án A

Ví dụ (SGD Bắc Ninh) Hàm số

y



x

2



2

x



2

có điểm cực trị?

A.1 B.3 C.0 D.2

Giải

Tập xác định D

Ta có: 2

2

0

2

2

2

2

2

2

0

x

x

y

x

x

x

x

    











 







íi x íi x

v

v

0 '

2

2

2

2

0

x y

x

    



 







íi x íi x

0

' 0

2

2

2

2

0

x

y

x

  





 



 

 

íi x

íi x

v

v

Hàm sốkhơng có đạo hàm điểm x0 Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy sốđiểm cực trị hàm số

2

2

2

y



x



x



(đáp án B)

Ví dụ (THPT Kiến An – Hải Phịng) Cho hàm sốy f x

 

xác định liên tục  Ta có bảng biến thiên sau:

x  –1 

 

'

f x – + – –

 

f x 

–1  Khẳng định sau đúng?

A Hàm số y f x

 

có cực đại cực tiểu B. Hàm số y f x

 

có cực đại cực tiểu C Hàm số y f x

 

có cực trị

D Hàm số y f x

 

có cực đại cực tiểu Giải

Nhận thấy f'

 

x 0tại hai điểm x 1và x5 Đạo hàm hàm sốkhông xác định x2 liên

tục xác định điểm x2 '

f đôi dấu từâm sang dương xđi qua hai điểm x 1  x 1 điểm cực tiểu hàm số '

f đôi dấu từdương sang âm xđi qua hai điểm x2  x2 điểm cực đại hàm số

 

y f x Và f ' không đổi dấu xđi qua điểm x5 nên x5 điểm cực trị hàm số

Vậy hàm số có cực đại cực tiểu (đáp án B)

Lưu ý : Khi xét cực trị ta chỉxét điểm làm cho đạo hàm khơng đạo hàm khơng xác định Ví dụ (THPT Hà Trung – Thanh Hóa) Số cực trị hàm số y3 x2 x

A. Hàm số khơng có cực trị B. Có cực trị

C. Có cực trị D Có cực trị

Giải

Tập xác định D Ta có

3

'

3 y

x

  xác định với  x

'

27

y x

   

Bảng biến thiên hình vẽ

Quan sát bảng biến thiên suy hàm sốđã cho có cực trị(đáp án D)

x



27  '

y 

  y



Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

61 Ví dụ Cho hàm số y f x

 

liên tục

xác định R, có đồ thị mơ ta

hình vẽ bên Số cực trị hàm số là? A

B C D 4

Giải

Theo dấu hiệu nhận biết cực trị hàm số dựa vào đồ thị hàm số ta nhận thấy đồ thị hàm sốđã cho có cực trị Gồm cực tiểu cực đại (hình minh họa)

Vậy số cực trị hàm sốđã cho (đáp án C)

Ví dụ Cho hàm số y f x

 

liên tục xác định

trên  có đồ thị hàm số y f '

 

x hình vẽ Khẳng định sau đúng?

A.Hàm số y f x

 

có điểm cực đại

B Hàm số y f x

 

có điểm cực đại

C Hàm số y f x

 

có điểm cực tiểu

D Hàm số y f x

 

có điểm cực trị

Giải

Theo đồ thị hàm số y f '

 

x ta có

 

'

f x  điểm xa x, b x, c

Bảng xét dấu hàm số f'

 

x hình bên.Theo bảng xét dấu f 'ta có :

Hhàm số đạt cực đại xa xc

BÀI TỐN 2: TÌM ĐIỀU KIỆN THAM SỐĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Dạng 1: Tìm m để hàm số khơng có cực trị

a Phương pháp: Hàm số y f x

 

khơng có cực trị  f ' khơng đổi dấu x qua điểm tới hạn,hoặc không xác định điểm (các điểm làm cho đạo hàm khơng xác định) Do ta có kết luận

 Hàm bậc ba





yax bx cxd a khơng có cực trị phương trình

'

y  ax  bx c vơ nghiệm có nghiệm kép   ' b23ac0

 Hàm bậc nhất/bậc y ax b



c 0;ad bc 0



cx d



   

 cực trị  Hàm trùng phương yax4bx2c a



0



ln có nhất một điểm cực trị Dạng 2: Tìm m để hàm sốđạt cực đại (cực tiểu) xx0

b Phương pháp : Hàm số y f x

 

đạt cực trị xx0  f'

 

x0 0 f '

 

x0 không xác định Do với hàm bậc ba yax3bx2cxd a



0



, hàm trùng phương





0

yax bx c a đạt cực trị

xx  f'

 

x0 0

 Giải phương trình f'

 

x0 0 tìm giá trị m  Thay m vào hàm ban đầu để kiểm tra

Hoặc

 Giải phương trình f'

 

x0 0 tìm giá trị m

 Kết hợp với điều kiện f''

 

x0 0 với x0 điểm cực đại f ''

 

x0 0 với x0 điểm cực tiểu suy

ra điều kiện m

Dạng 3: Tìm m để hàm số có 2, cực trị

c Phương pháp: Hàm số y f x

 

có i điểm cực trị  f ' đổi dấu qua i điểm thuộc tập xác định Với hàm bậc ba yax3bx2cxd a



0



, hàm trùng phương





0

yax bx c a ta có nhận xét

 Hàm bậc ba yax3bx2cxd a



0



có cực trị  phương trình y'3ax22bx c 0 có hai nghiệm phân biệt   ' b23ac0

 Hàm trùng phương yax4bx2c a



0



,(





' 2

y  ax  bx x ax b ) có

 Ba điểm cực trị phương trình





2x 2ax b 0 có nghiệm phân biệt phương trình 2ax  b có hai nghiệm phân biệt khác ab0

 Một điểm cực trị phương trình 2ax2 b vơ nghiệm có nghiệm kép ab0  Một điểm cực đại hai điểm cực tiểu

0 a b

   

 

 Hai điểm cực đại điểm cực tiểu 0 a b

   

 

 Chỉ có điểm cực đại 0 a b

   

 

 Chỉ có điểm cực tiểu 0 a b

   

 

d Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m đểđồ thị hàm số





1 2017

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

63

A. m 3 B. 2 m1 C m1 D. 3 m1

Giải

Tập xác định D

Ta có ' 3 2



1



y  x  m x

Đồ thị hàm sốđã cho khơng có điểm cực trị  Phương trình 3 2



1



0

x  m x  vơ nghiệm có nghiệm kép   '



m1



2 4 0



m1



24  3 m1 (đáp án D)

Ví dụ 2: (Trường THPT Kim Sơn A lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số





3 2

1

1

y x mx  m m x đạt cực đại x1 ?

A. m0 B. m1 C. m4 D. m2

Giải

Tập xác định D

Ta có 2

'

y x  mxm m

Hàm sốđạt cực trị x1 ' 1

 

2 2 m

y m m m m m

m                

  Với m1 hàm số có y'x22x 1



x1



20



 x 



(loại)

Với m2 hàm số có

'

3 x

y x x

x        

  Dấu y'

Dựa vào dấu y' ta thấy hàm sốđạt cực đại x1 (thỏa mãn) Vậy đáp án D

Nhận xét: Ta sử dụng dấu hiệu để xửlí tốn sau

Ta có y'x22mxm2m1 '' 2

y  x m

Hàm sốđạt cực đại x1

 

 

2

' 3 2 0

2

2 ''

1 m

y m m

m m

m y

m   

    

 

     

  

  

 



(đáp án D)

Nhận xét: Với dạng cho giá trị tham số cụ thể ta có thể sử dụng phương pháp thay đáp án Thử với m0 y'x2 1 0



 x 



(loại A)

Thử với m1 hàm số có y'x22x 1



x1



20



 x 



(loại B)

Ví dụ 3: (Trường THPT Lê Lợi năm 2017) Với giá trị nguyên k hàm số





4

4 2017

ykx  k x  có ba cực trị

A. k = B. k = -1 C. k = D. k = Giải

Tập xác định D

Hàm số có ba cực trị



4 5



0

k k k

     

Vậy chọn đáp án C

Ví dụ 4: (Trường THPT Lương Văn Tài lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số f x

 

x42



m2



x2m21 có cực trị?

Giải

Tập xác định D

Hàm sốcó cực trị 1.



2



m2





0



m2



0m2 Vậy chọn đáp án B

Ví dụ 5: (Trường THPT Ninh Giang năm 2017) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số





4

2

ymx  m x m có cực đại khơng có cực tiểu

A.

0 m m      

B. m0 C.

0 m m

     

D.

2 m Giải.

Tập xác định D

Với m0hàm số trở thành

2 ' 0

y x  y   x x Nhận thấy y'đổi dấu từ sang khi xđi qua điểm x0 Vậy hàm số có cực đại khơng có cực tiểu

Với m0 đồ thị hàm số có cực đại khơng có cực tiểu

0

0

2

2 m m

m

m m

  

 

  

 

  

 



Kết hợp cả2 trường hợp ta có m0 giá trị cần tìm (đáp án B)

Ví dụ 6: (Trường THPT Ngơ Quyền lần 2 năm 2017) Cho hàm số ymx22



m25



x44 Có số nguyên m để hàm sốcó ba điểm cực trịtrong có điểm cực đại điểm cực tiểu?

A. B. C. D.

Giải

Tập xác định D

Dễ dàng nhận thấy với m2 5 0m  5 hàm số chỉ có một cực trị (loại)

Với m2 5 0khi hàm sốcó ba điểm cực trịtrong có điểm cực đại điểm cực tiểu





2 5

0 1;

0

m

m m

m m

m m

      

 

      

  

 





Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đềbài (đáp án A)

Ví dụ 7: (Trường THPT Ngơ Sỹ Liên lần năm 2017) Cho hàm số









3

2

1

3

m x

y   m x  x Hàm số cho đạt cực tiểu x1, đạt cực đại x2 đồng thời x1x2 khi:

A. m5 B. m1 m5 C. m1 m5 D. m1 Giải

Tập xác định D

 Với m1 hàm số trở thành y4x1 khơng có cực trị (loại)  Với m1

















2

2 2

'

'

'y

y m x m x

m m m m

    

       

Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình



m1



x22



m1



x 4 có hai nghiệm phân biệt

 '

 

1

'

6

5 0

1

5

y

m

m

m

m











   





Khi hàm sốđạt cực trị x1 ,x2 (giả sử x1x2)

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

65



m 1



m 2

 

    

Kết hợp

 

1

 

2 m1 điều kiện cần tìm (đáp án D)

Ví dụ 8: (Trường THPT Ngơ Sỹ Liên lần năm 2017) Cho hàm số









3

1

3

m x

y  x  m x Tập hợp

tất giá trị tham số m để hàm sốđã cho khơng có cực trị là:

A.

 

1 B.



0;



C.



0; 2

  

\ D.



; 0

 

 2; 

  

1 Giải

Tập xác định D

Với m1 hàm số trở thành y3 khơng có cực trị (thỏa mãn) Với m1 ta có













2

2

2

'

'

'y 1

y m x x m

m m m

    

      

Hàm số khơng có cực trị '

0

'

2 y

m

m m

m          

  Vậy m 



; 0

 

 2; 

  

1

Ví dụ 9: (Trường THPT Ngơ Sỹ Liên lần năm 2017) Hàm số yx33x2mx đạt cực tiểu tại x2 khi:

A. m0 B. m0 C. m0 D. m0

Giải

Tập xác định D Ta có

' ; '' 6 y  x  xm y  x Hàm sốđạt cực tiểu x2

 

 

' 12 12

0 12

''

y m

m y



    



   

 

 

 

Đáp án D

BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC BA yax3bx2cxd a



0



Bài toán tổng quát: Cho hàm số y f x

 

ax3bx2 cxd (a0, a, b, c, d phụ thuộc vào tham số) Tìm giá trị tham sốđể hàm số có cực đại, cực tiểu (cực trị) thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp tổng quát:

Bước 1: Tính y'3ax2 2bxc y, '0g x

 

3ax2 2bxc0

Để hàm số có cực đại, cực tiểu  y'0 có hai nghiệm phân biệt  g x

 

0 có hai nghiệm phân biệt

 

0 ' a  

 

   



giá trị tham số thuộc miền D (*)

Bước 2:

Từ điều kiện cho trước dẫn tới phương trình, bất phương trình biểu thức theo theo tham số, giải điều kiện ta tham sốsau đối chiếu với điều kiện (*) kết luận

Chú ý:

1;

x x hai nghiệm g x

 

0 theo viet ta có

1 2 3 b x x a c x x a           

biến đổi điều kiện theo tổng

tích không nên thay trực tiếp vào điều kiện phức tạp

 Với điều kiện liên quan tới tung độ (giá trị cực trị) trường hợp  số

phương tìm cụ thể hai nghiệm x x1; 2 tung độtương tứng y1 f x

 

1 ; y2  f x

 

2  Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba là:

3 4e 16e AB

a 

 với b ac e a    Đường thẳng qua hai điểm cực trịđó là:

2 2

3 9

c b bc

y x d

a a

 

    

 

 Bấm máy tính tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị :





3 2

3

3

x i

x b

ax bx cx d ax bx c Ai B y Ax B

a



 

            

 

 Hoặc sử dụng công thức 18 y y y a   

 Trong trường hợp nghiệm y' “xấu” ta nên thay gián tiếp vào phương trình đường thẳng cực trịđể biểu diễn giá trị cực trịở dạng tổng quát

Bài toán 1: Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu a Phương pháp:

 Hàm số có cực trịvà có hồnh độdương (hai cực trị nằm phía phải trục Oy)

'

y

  có hai nghiệm dương phân biệt 1 2

 

2 ' 0 0 a x x

P x x S x x

                  

 Hàm số có cực trị có hồnh độ âm (hai cực trị nằm phía trái trục Oy)

'

y

  có hai nghiệm âm phân biệt 1 2

 

2 ' 0 0 a x x

P x x S x x

                  

 Hàm sốcó hai điểm cực trị trái dấu (hai cực trị nằm hai phía trục Oy) '

y

  có hai nghiệm trái dấu  Px x1 20

 Hàm số có hai cực trị có giá trị dấu (hai cực trị nằm phía so với trục Ox)

 

' 0 a y y          

 Hàm số có hai cực trị có giá trị trái dấu (hai cực trị nằm khác phía so với trục Ox)

 

' 0 a y y          

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

67

trước Dạng ta nên áp dụng tính kết toán so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số đặt ẩn phụđưa dạng so sánh với

Chú ý: Với tốn liên quan tới hồnh độ, đơn giải ta gộp bước bước lại với

như tốn tổng qt b Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Cho hàm số yx3



2m1



x2



2m x



2

 

1 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị hàm số có hồnh độdương

A 5

4m B

2

4m C  1 m2 D

1 m m

       Giải

Tập xác định D

Ta cóy’03x2 – 2



m– 1



x2 –m0 *

 

Để hàm sốcó hồnh độcác điểm cực trịdương  Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt

1

'

0

0

x x P

S         

 







2

4 1;

4

2

0 2

3

1 2

0

3

m m m m

m

m m

m m





      

 

 



      

 

   

 

  Vậy

4 m giá trị cần tìm (đáp án B)

Ví dụ 2: Cho hàm số y x33x2 m Với giá trị m hàm số có cực đại, cực tiểu cho yCD CT

y trái dấu?

A 0m4 B m4 C m0 D 0m4

Giải

Tập xác định D

Ta có ' 3 6 ; ' 0 3 6 0 x

y x x y x x

x  

       

 

Vậy hàm số ln có cực đại, cực tiểu hai điểm M1(0;m);M2(2;m4)

Để yCD yCT trái dấu tức yCD.yCT 0m m



4



00m4

Vậy với 0m4 hàm số có cực đại, cực tiểu cho yCD yCT trái dấu Vậy đáp án A

Ví dụ 3.Cho hàm số y f x

 

x36x23



m2



xm6 Xác định m cho hàm số có hai cực trị dấu?

A 17

4 m

   B m2 C 17

4

m  D 17 m    Giải

Tập xác định D

Đạo hàm: y 3x212x3



m2



; y 0x24xm20 (*)





4 m 2 m



     

Để hàm số có cực trị thì:   02m0m2 Ta có

 

3 12 3



2



4 2 2

3

f x  x  x m  x  x mxm

 giá trị cực trị là: f x

 

0  4x0 2mx0m22x0



m2



m2



m2 2



x01



Gọi x1, x2là điểm cực trị

Hàm số có cực trị dấu  f x

   

1 f x2 0



m 2



x1 1



m 2



x2 1





m 2

 

2 2x1 2



x2 1



          



 

2



1 2

2 2

m x x x x

      



m2



2



4x x1 2 2



x1x2



1



0 (1) Mặt khác: 1 2 12

3

x x   ,x x1 2 m2

Do (1) 



m2



24



m2



2.4 1 0



 

2



17

m m

   

17 m m 

    

   Kết hợp với điều kiện có cực trị m2, ta 17

4 m

   (đáp án D)

Ví dụ Cho hàm số yx32(2m1)x2(5m210m3)x10m2 4m6 (1) (với m tham số thực) Tìm tất giá trị m để hàm số (1) có hai cực trị giá trị cực trị hàm số (1) trái dấu nhau?

A m 



3;1



B

m C



3;1 \



m    

  D





3;1 \

5 m    

  Giải

Tập xác định D

Hàm số (1) có hai cực trị mà giá trị cực trị trái dấu  đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox điểm phân biệt Xét

phương trình hồnh độgiao điểm:









3 2

2 10 10 (2)

x  m x  m  m x m  m 



x 2





x2 4mx 5m2 2m 3



0

      

2

2

4 (3)

x

x mx m m

   

    



Phương trình (2) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm phân biệt khác





2

2

3

'

1

4

5 m

m m m

m

m m m

   

     

 

 



    

 

 

Vậy với



3;1 \



m    

 thì giá trị cực trị hàm số trái dấu (đáp án C)

Bài tốn 2: Điều kiện đểđồ thị hàm sốcó điểm cực trị nằm về một phía, hai phía so với một đường đó

a Phương pháp:

Gọi M1



x1; y1



M2



x y2; 2



điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số - Đồ thịcó điểm cực trị nằm phía Ox

 Hàm số có hai giá trị cực trị dấu

1

0 g a

y y      

   - Đồ thịcó điểm cực trị nằm phía Ox

 Hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu

1

0 g a

y y      

  

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

69 - Đồ thị có hai cực trị nằm phía trục hồnh 1

1

0

0

y y y

y y y

  

 



 

 

 

- Đồ thị có hai cực trị nằm phía trục hoành 1

2

0

0

y y y

y y y

  

 



 

 

 

- Đồ thị có cực trị tiếp xúc với trục hoành 1 2

0

0

y

y y y

 

 

  

Trong trường hợp đồ thịcó điểm cực trịkhác phía đường thẳng d Ax: ByC 0 Gọi t1 t2 giá trị M1 M2 thay vào đường thẳng d:

1 1

t  Ax By C; t2  Ax2By2 C

Đồ thịcó điểm cực đại cực tiểu hai phía đường thẳng d:

1 '

0 y t t

   

 

Đồ thịcó điểm cực đại cực tiểu phía đường thẳng d:

1 '

0 y t t

   

 

b Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Cho hàm số y x3



2m1



x2 



m23m2



x4 (1) Xác định giá trị tham số m đểđồ

thị hàm số(1) có điểm cực trị nằm hai phía trục tung?

A.1m2 B.1m2 C.m1 D.m2

Giải

Ta có y'  3x24 2



m1



x



m23m2



Đểđồ thị hàm sốcó hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung chỉkhi phương trình y’ = có hai nghiệm trái dấu

0 P  

2 3 2

0

m  m

   1 m2 Vậy 1m2 giá trị cần tìm (đáp án A)

Ví dụ 2: Cho hàm số





3

yx  x  m m x (1) Tìm m đểđồ thị hàm số(1) có điểm cực trị nằm

hai phía trục hồnh

A.

2

m  B.

2 m   

C.

2

m 

2

m D.

2

m 

2

m

Giải

Ta có y’3x2 6x3m m



2



Điều kiện có cực trị: Phương trình y’ = có nghiệm phân biệt









2

' 9m m m m

          

Hai điểm cực trị đồ thị hàm số A m



2; 2 m3 9m2 12m5



; B



m ; 2m33m21



Để A, B nằm hai phía trục hồnh y yA B 0





















3 3

4

2 12 12

2 1

m m m m m m m m m m

m m m

              

    

có nghiệm phân biệt x1; x2





5 2 (2 1)

1 m

m m

m 

  

     

   Vậy

2

m 

2

m giá trị cần tìm Đáp án D

Ví dụ 3: Cho hàm số yx33mx22m4 1

 

Tìm m để hàm sốcó điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số

 

1 nằm vềhai phía đường phân giác góc phần tư thứ

A m  



; 2

 

 1;



B m  



; 2

 

 1;



C m 



2;1



D m 



2; 4



Giải

Hàm sốđã cho m0sẽcó hai điểm cực trị là: A



0; 2m4



B



2 ; 4m  m32m4



Đường phân giác góc phần tư thứ có phương trình

 

t :yxxy0

3

4

A B

t m

t m

   

 

 



Hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm hai phía đường phân giác góc phần tư thứ









4

1 A B

m

t t m m

m   

        

 

Vậy m  



; 2

 

 1;



giá trị cần tìm (đáp án A)

Ví dụ 4: Cho hàm số yx33mx2 



m2 m x



4 Tìm giá trị m đểđồ thị hàm sốcó hai điểm cực trị

nằm hai phía đường thẳng x1

A 7 37 37

2 m

 

  B 7 37 37

2 m

 

 

C 6 35 35

2 m

 

  D 3 23 23

2 m

 

  Giải

Ta có y'3x2 6mxm2m; y'0 g x

 

3x2 6mxm2m0 Hàm số có cực đại, cực tiểu g x

 

0 có hai nghiệm phân biệt





2 2

0

' 1

2 m

m m m m m

m   

         

   

(2)

Gọi x x1, 2 hai nghiệm g x

 

0 Khi cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng







1 2

1 1 1

x  x  x  x   x   x  x  





2

2

1 2

3

m m

x x x x  m m m

            

7 37 37

2 m

 

  

Kết hợp (2) ta 37 37

2 m

 

  giá trị cần tìm Chú ý:

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

71 - Với tốn nằm hai phía với đường thẳng yaxb ta quy vềbài tốn tương giao ví dụdưới đây

Ví dụ 5: Cho hàm số









3 (1),

yx  m x  m xm m tham số thực.Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) nằm hai phía khác đường thẳng

1

y

A.m1 B m C.



2;3



D.m0

Giải

Ta có y'3x26



m1



x



2m1



Vì

' 9m 12m 12 0, m

      nên y' có hai nghiệm phân biệt với m Từđó suy đồ thị hàm số(1) ln có điểm cực đại, cực tiểu.

Các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) nằm hai phía khác đường thẳng y1 chỉkhi đồ thị

của hàm số (1) cắt đường thẳng y1 ba điểm phân biệt

Điều đương đương với phương trình tương giao x3 3



m1



x2



2m1



x4m1 (*) có ba nghiệm phân biệt

Ta có









 





2

2

(*) 3

3

x

x x m x m

g x x m x m

 

 

          

     



(*) có ba nghiệm phân biệt g(x) có hai nghiệm phân biệt khác Từđó ta

 

 

2

9 16 16

1

1 4

g x m m

m

g m

    



  

   



Vậy m1 thỏa mãn yêu cầu toán (đáp án A)

Ví dụ 6: Cho hàm số

3

yx  x  Hãy tìm giá trị a đểhai điểm cực trị hàm số nằm hai phía đường tròn

 

C :x2 y2 2x4aya2 1

A a B.15a 1 C.15a 1 D.a0

Giải

Ta có '

y  x  x, ' 0 3 6 0 x

y x x

x        

   Hàm sốcó hai điểm cực trị là: A



0; 4



B



2;



Đểhai điểm cực trị nằm hai phía đường trịn (C) thì:  

    







2

, , 15 16 15

A C B C

P P    aa a    a  a270,a

Vậy 15 a 1 giá trị cần tìm Chú ý: Ta có thểlàm sau

Đường tròn

  

C : x1



2 



y2a



2 3a22 có tâm I



1; 2a



, bán kính R 3a22 Ta có IB 94a2 R Điểm B nằm ngồi đường trịn (C)

Vậy đểhai điểm cực trị nằm hai phía





2 2

1 15 16 15

IA R a a a a a

               

Bài toán 3: Điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn một điều kiện vềhồnh độ

Tương tựphương pháp nói tốn 2:

Ví dụ Cho hàm số



2





1



m

y  x  m x  m x có đồ thị (Cm) Tìm m để hàm số có cực đại x1, cực tiểu x2 thỏa mãn x1 x2 1?

A 5

4m 3 B

1

4m 3 C

5

4 m 3 D

Giải

Ta có





2

y mx  m xm





2

0 2

y  mx  m xm  (1)

Hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn x1  x2 1 m0 (1) có nghiệm phân biệt bé Đặt tx 1 x t thay vào (1) ta có





2











1 2 1 4

m t  m t m  mt  m t m  (2) (1) có nghiệm phân biệt bé (2) có nghiệm âm phân biệt





2





0 0

0 4 1 4 5 0 4

0 4 5

0

0 5

4

0 1

0 1

m m

m m m m m

m m

m m

P m m

m

S m m

m m



  

 

 

      

 

     

   

       

  

    

       

 

   

 

Vậy

4m giá trị cần tìm (đáp án C)

Chú ý: Có thể giải cách



 









1

1

0

1

1

x x

x x

  

    



  

 Ví dụ Cho hàm số

3

3

x x

y  mx Tìm m để hàm sốđạt cực đại cực tiểu có hồnh độ lớn m?

A m2 D m0 C m 2 D m 2

Giải

Đạo hàm:

y  x xm

Hàm sốđạt cực trị điểm có hồnh độ xm

0 y

  có nghiệm x1,x2 thỏa m x1  x2



 

















1 2

2

1 2

0

0

0

x m x m x x m

x m x m x x m x x m



   

 

        

 

      

 

2

1

1 4

1 2;

1

2

2 m m

m m m m

m m

m 

    

 

         

   

   



Vậy m 2 giá trị cần tìm (đáp án C)

Ví dụ 3. Cho hàm số



1



3



2



3

y  mx  m x  m x Tìm a để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời

hoành độcác điểm cực đại, cực tiểu x x1, 2 thỏa mãn điều kiện x12x2 1 A. m2

3

m B. m2

3

m

C. m1 m3 D. m2 m Giải

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

73 Hàm số có cực đại, cực tiểu  y'0 có nghiệm phân biệt











1 0 1

1 2 2

m

m

m m m



       

      (*)

Với điều kiện (*) y'0 có nghiệm phân biệt x x1; 2 hàm sốđạt cực trị tạix x1; 2

Theo định lý Viet ta có: x1 x2 2m 1;x x1 2 3m 2

m m

 

  

Ta có: x1 2x2 x2 2m 1 m;x1 2m 1 m 3m

m m m m m

                     

2 2 3 4 3 2

2 m m

m m m m m m

m m m m

                  Cả giá trịnày thoả mãn điều kiện (*) m2

3

m giá trị cần tìm (đáp án A)

Chú ý: Với điều kiện x1x2  kết hợp với định lý viet ta làm sau

 

 

 

2 2

x x S

x x P

x x             

Giải hệ(1) (3) x x1; 2, sau thếvào (2) để tìm tham số

Ví dụ 4. Cho hàm số y x33



m1



x29xm với m tham số thực Tìm m để hàm sốđã cho có cực trị x x1, 2 cho x1x2 2

A  3 m  1  1 3m1 B 3m1  1 3m1 C 2 m  1 1  2m1 D 2 m  1 1  2m1 Giải

Ta có y'3x26(m1)x9

Hàm sốđạt cực đại, cực tiểu tạix1, x2 Phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2  Phương trình x22(m1)x30 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

                 3 ) ( ' m m

m (1)

Theo định lý Viet ta có x1x2 2(m1); x1x2 3

Khi x1x2 2



x1x2



2 4x1x2 44



m1



2 124 (m1)2 4  3 m1 (2) Từ (1) (2) suy giá trị m 3m1  1 3m1

Vậy 3m1 1  3m1là giá trị cần tìm (đáp án B)

Ví dụ Cho hàm số

 

– –

yx x  mx m Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu





1 1;

M x y M2



x2; y2



thỏa mãn







1

1 2

0 y y x x x x





 

A 2m5 B  1 m4 C 1m4 D 0m4 Giải

Ta có y’3x2– 12x3 ; ’m y 0x2– 4xm0 *

 

Hàm số có cực đại cực tiểu  (*) có hai nghiệm phân biệt   ' 0m4

Ta có y1–y2 



x1–x2







x12x x1 2 x22



6



x1x2



3m

 

Theo giả thiết











2

1 2

1

1 2

6

0

1

x x x x x x m

y y

x x x x x x

    



  

  





2





1 2

1

6

0

x x x x x x m

x x

    

 



16 24

0

1

m m m

m

m m

   

      

 

Kết hợp với điều kiện ta 1m4 giá trị cần tìm (đáp án C)

Ví dụ 6. Cho hàm số 2 3



1



3

y x mx  m  x (với m tham số thực) Tìm m để hàm sốcó hai điểm cực trị x1và x2 cho x x1 22



x1x2



1

A

3

m B

3

m m0 C

3

m m2 D.m0

Giải

Tập xác định D

Đạo hàm y'2x22mx2 3



m21







2

' 2 (*) y   x  mx m  

Hàm sốcó hai điểm cực trị x1,x2  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1,x2





2

2 13 13

'

2 13 13 m m m m                 (1)

Ta có 2

x x m

x x m

  



  

.Theo





1 2

0

2 1 2

3 m

x x x x m m

m               (2)

Kết hơp (1) (2) ta suy

3

m giá trị cần tìm (đáp án A)

Ví dụ 7. Cho hàm số 3



2



3



1



y x  m x  m x (1), m tham số Tìm m0 đểđồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu yCĐ,yCT thỏa mãn 2yCĐ  yCT 4

A 1, 33

2

m  m   B 2, 33

2 m  m 

C 2, 33

2

m  m  D 1, 33

2

m m  

Giải

Ta có









' 3 ,

y  x  m x m  x 





2

2

'

1 x x

y x m x m

x x m

   

        

   

Chú ý với m0 x1 x2

Khi hàm sốđạt cực đại x1  1 đạt cực tiểu x2 m1

Do

 

1 ,



1



1



2



1



2

2

CĐ CT

m

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

75 Từ giả thiết ta có 2.3 1



2



1



2 6



2



1



2

2 m

m m m m m

          









1

1 1 33

2 m

m m m

m   

       

  

Đối chiếu với yêu cầu m0 ta có giá trị m 1, 33

m m   (đáp án D)

Chú ý: Với giả thiết 2yCĐ  yCT 4 phải rõ đâu điểm cực đại, đâu điểm cực tiểu Ví dụ Cho hàm số

3

3

y x ax  ax Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị tạix1,x2 phân biệt thoả mãn

điều kiện

2

1

2

2

2

2

2

x ax a a

a x ax a

 

 

  ?

A a  4 B a 4 C a 2 D a 4 a0

Giải

Đạo hàm y' x2 2ax3a0 *

 

Hàm số có cực đại, cực tiểu  (*) có nghiệm phân biệt x1, x2   4a2 12a 0

Theo Viét: x1x2 2a

Vì x1 nghiệm (*), đó:





1 2 2 12 12

x  ax  a a x x  a a  a

Tương tự: 2

2 12

x  ax  a a  a  Từđề bài, ta có

2

2

4 12

2 12

a a a

a a a



 

 Mặt khác theo bất đẳng thức cosi VT 2 Dấu “=” xảy





2

2 12

1 4

a a

a a a

a 

        (do 4a212a0) Vậy a 4 giá trị cần tìm (đáp án A)

Bài tốn 4: Điều kiện liên quan tới khoảng cách, góc Ví dụ Cho hàm số

 









3 2

y  f x  x  m x  m m x m (1) (m tham số) Tìm m đểđồ thị

hàm số (1) có cực trịđồng thời khoảng cách từđiểm cực đại hàm số (1) tới trục Ox khoảng cách từ điểm cực tiểu hàm số (1) tới trục Oy Tổng giá trị mthỏa mãn là?

A.3 B.3 C.2 D.1

Giải

Ta có ,









3

y  x  m x m m ; ,

y   xm xm2 Hàm số có cực trị với m Hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) là:



; 3 2



A m m  m m , B m



2;m3 3m2 m 6



    ; A điểm cực đại, B điểm cực tiểu Ta có d A Ox



;



 m33mm2 ,



;



d B Oy  m

Theo giả thiết ta có

2

3 2

1 m m

m m m m

m m

            

  

 

Tổng giá trị m thỏa mãn 1 0     2(đáp án C)



Cm



điểm có hồnh độ 16 ?

A.m9 B.m9 m 9 C.m9 m1 D.m9 m0 Giải

Ta có ' y  x  xm

Hàm số có cực đại cực tiểu chỉkhi phương trình y, 3x26xm= (1) có nghiệm phân biệt ' 9 3m

    0m 3 (*)

Giả sử A x y



1; 1



B x y



2; 2



điểm cực trị đồ thị hàm số với x1, x2 nghiệm (1)

Theo định lý Viet ta có x1x2  1

 Trung điểm đoạn thẳng AB I



1;m4



Tiếp tuyến của đồ thị (Cm) điểm có hồnh độx = có phương trình y y,

 

1 x1



 y

 

1



m 9



x y

    

Ta có







 





2





2

9 16

,

9

m m

d d I

m m

    

   

   

Theo giả thiết, ta có









2

16

16 1

9

m m

m

      

 

(thỏa mãn (*))

Vậy m  giá trị cần tìm (đáp án A)

Ví dụ Cho hàm số y x33x23



m2 1



x3m2 1, với m tham số thực Xác định m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực đại cực tiểu cách gốc tọa độ O Tổng giá trị m là?

A.2 B.1 C.1

2 D.0

Giải

Ta có









' , '

y   x  x m  y    x  x m   (1)

Để hàm số có cực trị  y'0 có hai nghiệm phân biệt 

 

1 có hai nghiệm phân biệt

' m m

     

Khi tọa đọhai điểm cực trị A



1m; 2 2m2



B



1m; 2 2m2



Theo giả thiết hai điểm cực trịcách gốc tọa độ OAOB



1



2



2 2 2



2



1



2



2 2 2



2 4

m m m m m m m

              (vì m0) thỏa mãn

Vậy

m  giá trị cần tìm (đáp án D)

Ví dụ Cho hàm số y x3 3mx2 3



m2 1



x m3 1

      (1) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời điểm cực đại, cực tiểu A, B đồ thị hàm số với điểm M



2; 2



tạo thành góc AMB900? A.m



1;3; 4



B m



0; 3; 4



C m



0; 1



D m



0; 1



Giải

Ta có y'3x26mx3



m21



Để hàm số có cực đại, cực tiểu y'0có nghiệm phân biệt ' 9, m

     nên hàm số ln có cực đại cực tiểu

Khi A m



 1; 3m3 ;



B m



 1; 3m1



điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số, để góc





 





0

90 3 3

AMB MA MB m m m m

            

 

2

10 10

1 m

m m

m  

    

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

77 Vậy m0 m 1 giá trị cần tìm (đáp án D)

Ví dụ Cho hàm số 3

yx  x m (1) Tìm m đểđồ thị hàm số(1) có hai điểm cực trị A, B cho



120

AOB

A 12 3

m   B  4 m0

C 13 3

m   13 2

m  D 12

3 m   Giải

Ta có: ’

0

x y m

y x x

x y m

     

    

   

Vậy hàm sốcó hai điểm cực trị A



0;m



B



2;m4



Ta có OA



0;m OB



, 



2;m4



Để 

120

AOB cos AOB 













2





2

2

4

4 4

2

4

m m

m m m m

m m



 

        

 

   

 









2









2

2

4

4

4

4 4

3 m m m

m

m m m m

   

  

 

 

         

     

 

4

12

12 3

3 m

m m

   

  

    

  

Vậy 12 3

m   giá trị cần tìm (đáp án D)

Ví dụ Cho hàm số 2x3ax2 12x13 Tìm a để hàm sốcó điểm cực đại, cực tiểu cách trục tung ?

A a0 B.a0 C.a0 D.a 



2; 2



Giải

Đạo hàmy'6x22ax12 Ta có:

' a 72 0, a R      

Vậy y'0 có nghiệm phân biệt Do đó, hàm số ln có cực đại, cực tiểu

Để hàm số có cực đại, cực tiểu cách trục tung thì: x1x2 0 (trong x1,x2 hồnh độ điểm cực trị

và nghiệm phương trình y’0) 0

2

   

 a a

Vậy với a 0 hàm số có cực đại, cực tiểu cách trục Oy (đáp án B)

Chú ý: Hai điểm cực trị M1



x y1; 1



M2



x y2; 2



cách trục tung tức d M Oy



1;



d M Oy



2;



1 2

x x x x x x

        (vì M1 M2) Ví dụ Cho hàm số y x3 3mx2 3



m2 1



x m3 m

      (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trịđồng thời khoảng cách từđiểm cực đại đồ thị hàm sốđến góc tọa độ O lần khoảng cách từđiểm cực tiểu đồ thị hàm sốđến góc tọa độ O

A.m  3 2 B m  2 2 C m  1 2 D m 2 Giải

Ta có y, 3x26mx3



m21



2

2

x mx m

     có nhiệm phân biệt    1 0,m

Cực đại đồ thị hàm số làA m



1; 22m



cực tiểu đồ thị hàm số B m



  1; 2m



Theo giả thiết ta có 2 2

3 2 m

OA OB m m

m           

   

Vậy có giá trị m m  3 2 m  3 2 (đáp án A)

Bài toán 5: Điều kiện liên quan tới tính chất hình học

Ví dụ Cho hàm số y x33mx2 2 (1), m tham số Tìm m đểđường thẳng qua điểm cực trị đồ thị

hàm số (1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích A.m 2 B

3

m  C

4

m  D

2 m  Giải

Ta có ’ 3 6 0 x

y x mx

x m

       

 

Đồ thị hàm sốcó điểm cực trị  y’0 có nghiệm phân biệt  m0

Với m  đồ thị hàm số (1) có tọa độ2 điểm cực trị là: A



0; 2



B



2 ; 4m  m32



Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị A, B là:

2

2

2

x y

m y

m m



    



Đường thẳng AB cắt Ox C 12; m

 

 

 , cắt Oy A



0; 2



Đường thẳng qua điểm cực trị tạo với trục tọa độ tam giác OAC vng O ta có:

1

OAC

S OA OC

m

  

Theo giả thiết 12 OAC

S m

m

       (thỏa mãn m0) Vậy

2

m  giá trị cần tìm (đáp án D)

Xét tốn tương tự nghiệm khơng đẹp Ví dụ 2. Cho hàm số

3

y x  x  mxm Tìm m đềđồ thị hàm sốcó hai điểm cực trịsao cho đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với hai trục toạđộ tam giác có diện tích 1?

A. m0 m 2 B. m 1 m 3 C. m0 m 3 D. m0 m 3 Giải:

Ta có y'3x2 6x3m Đặt

 

2 g x  x  xm

Hàm số có cực trị g x

 

0 có nghiệm phân biệt  'g  1 m0 m1 (*) Bằng phép chia y cho g(x) ta













2 2

y x  xm x  m x m Khi m < Tọa độcác điểm cực trị thỏa mãn hệ

















2

2

2

2 2

2 2

x x m

y m x m

y x x m x m x m

    

    



       

 

Vậy m < đường thẳng qua điểm cực trị :y2



m1



x2m2

Tọa độđiểm 1;

1

m m

A Ox A OA

m m

 

 

      

 

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

79 A

I

B H Tọa độđiểm B  OyB



0; 2m2



OB2m1

Theo giả thiết









2

1

1

2

OAB

m

S OA OB m m

m 

      

 (vì (*))

2

3

3 m

m m

m       

  

(thỏa mãn (*))

Vậy m0 m 3 giá trị cần tìm (đáp án C)

Ví dụ Cho hàm số



3



3

y  x  mx  m  x Tìm tất giá trị m để hàm số có xCĐ,xCTđồng thời

CĐ

x ,xCT độ dài cạnh tam giác vuông có độ dài cạnh huyền

?

A 14

2

m B 14

2

m C 13

2

m D 14

m m 2 Giải

Ta có y' x2mxm2 3; y'0x2 mxm2 30 (*)

Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình (*) có nghiệm phân biệt  m2 4



m2



3 0 3m2 12 0 m2 4 0 2 m 2

                (1) CT

CĐ x

x , nghiệm (*) độ dài cạnh tam giác vuông

0,

0

CD CT CĐ CT

CD CT

P x x m

x x m

S x x m

  

  

      

   

 

(2)

CT CĐ x

x , độ dài cạnh tam giác vng có cạnh huyền









2

2

2 2

5 5

2

2 2

5 7

2

2 2

CD CT CD CT CD CT

x x x x x x

m m m m

      

        

Kết hợp với điều kiện (1) (2) 14

2

m 

Vậy 14

m giá trị cần tìm (đáp án A)

Ví dụ Cho hàm số





m

y x  mx C Số giá trị m để hàm số có cực trịvà đường thẳng qua cực

đại, cực tiểu đồ thị hàm số



Cm



cắt đường tròn



x1



2 



y2



2 1 hai điểm A B, phân biệt cho

5

AB

A 1 B 2 C 3 D 4

Giải

Ta có y'3x2 3m

Để hàm số có cực trị y'0 có nghiệm phân biệt m0

Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu : 2mx y

   

Điều kiện đểđường thẳng  cắt đường tròn

hai điểm phân biệt :





2 2

, 1,

4

m

d I R m m m

m  

         

Gọi H hình chiếu I AB Ta có

2

2

4

AB

IH  R  

Theo





2

2 6

, 6

5 4 1

m

d I m m

m

       



m  (loại) Vậy m giá trị cần tìm (đáp án A)

Ví dụ 5. Cho hàm số

3

yx  x mx (1) với m tham số thực Xác định m để hàm số (1) có cực trị,

đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác cân

A

2

m  B. 6; 9;

2

m  m  m 

D 3,

2

m  m  D 3;

2 m  m  Giải

Hàm số có cực trị  y’0 có nghiệm phân biệt   ' 93m0m 3 (*)





3 2

3 ' 2

3 3

m m

y x  x mx y  x y   x 

 

Đường thẳng d qua điểm cực trịcó phương trình: 2

3

m m

y    x 

 

Đường thẳng d cắt trục Ox Oy





6

; , 0;

2 3

m m

A B

m

     

   

    

 

Tam giác OAB cân OAOB





6

6; ;

2 3 2

m m

m m m

m

 

       



Với m = thìABOdo so với điều kiện (*) ta nhận

m  (đáp án A)

Ví dụ Cho hàm số yx33x21có đồ thị

 

C Với giá trị m đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường tròn

  

 : xm



2



ym1



2 5?

A

3

m  B

3

m  C

3

m  D

3 m  Giải

Đồ thị hàm sốcó điểm cực đại A



0;1



, điểm cực tiểu B



2; 3



suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị A B, d : 2x y 1

đường tròn

  

 : x m



2



ym1



2 5 có tâm I m m



; 1



bán kính R điều kiện d tiếp xúc với

 





2

2 1

, 5

3

m m

d I d R    m m

         

 Vậy

3

m  giá trị cần tìm (đáp án B)

Ví dụ Cho hàm số





2

y  x  m x m (1), (với m tham số thực).Tìm m để hàm sốcó điểm cực trị, ký hiệu A, B cho ba điểm A B I, ,



3;1



thẳng hàng

A.

3

m B

3

m m 1

C

3

m  m1 D

3

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

81 Ta có ' 6 6



1



0

1 x

y x m x

x m  

     

  

Đồ thị hàm số có cực trị y’ có nghiệm  m1

Toạđộhai điểm cực trị A



0;m



M m



 1;



m1



3m



 AB: y 



m1



2xm

Ba điểm A B I, ,



3;1



thẳng hàng



3



2

3

IAB   m mm m1 (loại)

Vậy giá trị m cần tìm

m (đáp án A)

Bài toán 6: Điều kiện liên quan tới diện tích, tâm đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp

Ví dụ 1. Cho hàm số y x33x2mx1 (1) (m tham số thực) Giá trị gần m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu cắt đường tròn

  

C : x1



2 



y3



2 8 theo dây cung có độ dài là?

A.1,16 B 1 C 1,9 D 0,9

Giải

Ta có y 3x26xm

Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt Tức cần có:   93m0m3 (*)

Chia đa thức y cho y, ta được: 2

3 3

x m m

y y    x 

   

Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu điểm



x y1; 1

 

, x y2; 2



Vì y x

 

1 0;y x

 

2 0 nên phương trình đường thẳng

 

 qua hai điểm cực đại, cực tiểu là:

2

3

m m

y  x 

  hay (2m6)x3ym 3

Đường trịn (C) có tâm I



1; 3



bán kính R2

Giả sử  cắt (C) theo dây cung MN h khoảng cách từI đến  Ta có h =









2

2 3

4 24 45

2

m m m

m m

m

    



 

  Lại có MN2 4



R2–h2



2

2

2

9 36 36 36 36

4 132 144

4 24 45 24 45

66 93 66 93

7

m m m m

m m

m m m m

m

m

   

        

   

 

   

 

  

Kết hợp với (*) ta 66 93

m  giá trị cần tìm (đáp án A)

Ví dụ Cho hàm số yx33mx23m3 (1), m tham số thực Gọi S tập giá trị m đểđồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 Số phần tử S

A.1 B.2 C.3 D.4

Ta có ’ 3 – 6 , ’ 0 3 – 6 0 x

y x mx y x mx

x m

 

     

 

(*)

Để hàm số có cực trị (*) có hai nghiệm phân biệt 2m0m (**) Vậy điểm cực trị hàm số làA



0;3m3



B



2 ;m m3



Ta có



,



OAB

S  OA d B OA  m với OA yA 3m3 d B OA



,



 xB 2m Theo giả thiết 48 16

2 OAB

S   m  m  m  (thỏa mãn (**)) Vậy m 2 giá trị cần tìm (đáp án B)

Bài toán 7: Điều kiện liên quan tới hệ số góc của tiếp tuyến hoặc đường thẳng Ví dụ 1. Cho hàm số

 

7

y  f x  x mx  x Tìm m để hàm số có cực trị đường thẳng qua

điểm cực trị vng góc với đường thẳng :y3x7? A 10

2

m  B 10

2

m  C 15

2

m  D

2 m  Giải

Hàm số có cực đại, cực tiểu  f x 3x22mx70 có nghiệm phân biệt

21 21

m m



       Thực phép chia f (x) cho f (x) ta có:

  13    2



21 2



3

9 9

m f x  xm f x  m x 

Với m  21 phương trình f x 0 có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số y  f (x) đạt cực trị x1, x2 Ta có: f

 

x1  f

 

x2 0suy

 



2



 



2



1 1 2

7

2 21 3 ; 21 3

9 9

m m

y  f x  m x   y  f x  m x   Đường thẳng qua cực đại, cực tiểu : 2



21 2



3

9

m

y m x

    

Ta có  d 21



2



.3 45 21 10

9 m m m

         

Vậy 10

m  giá trị cần tìm (đáp án A)

Ví dụ Tìm m để hàm số y x33x2



m1



x2 có cực đại, cực tiểu Đồng thời đường thẳng nối điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số tạo với đường thẳng y2x3 góc 450

Giải

Ta cóy’3x2 6x



m1



để hàm số có cực đại, cực tiểu y’0 có nghiệm phân biệt hay





' 12 m m        

Ta có ’.



1



2



4



3 3

y y x  m x m

Do hoành độ cực trị nghiệm y’ = nên điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn đường thẳng





2

3 3

m m

y   x 

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

83

2( 4)

2

3

tan 45

4( 2) 19

1 m m m m                Vậy

2

m 19

m  giá trị cần tìm

Bài tốn 6: Điều kiện liên quan tới max –

Ví dụ Cho hàm số 4 4 ( )

3

y  x  mx  mx C Giả sử hàm số đạt cực trị x x1, 2 Đặt 2 2 2 12 12

x mx m

m A

x mx m m

 

 

  Giá trị nhỏ A là?

A B.2 C.3 D.4

Giải

Ta có y'x2 5mx4m

Hàm sốđạt cực trị x x1, 2 y'0 có nghiệm phân biệt x x1, 2

2

0

25 16 16 (1)

25 m m m m           

Theo Viet, ta có: 2

5

x x m

x x m

      

Vì x1 nghiệm phương trình x12 5mx14m0x12 5mx14m





2

1 12 16 25 16

x mx m m x x m m m

        

Tương tự ta có:





2 12 16 25 16

x  mx  m m x x  m m  m

Khi

2

2 2

2

2 2

1

5 12 25 16

2

5 12 25 16

x mx m

m m m m

A

x mx m m m m m

  

    

   (Bất đẳng thức Cauchy cho

2 sốdương)

Dấu “=” xảy 





2 2 2 25 16 25 16 25 16

m m m

m m m

m m m



   



2

0

25 16 2

3 m

m m m

m           

Đối chiếu điều kiện (1), ta có: minA2

m  (đáp án B)

Ví dụ Cho hàm số

3

y x  mx có đồ thị



Cm



Tìm m đểđường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu đồ thị



Cm



cắt đường tròn tâm I

 

1;1 , bán kính R 1 hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn nhất?

A.

2

m  B. 2

2

m  C.m 1 D.m 

Giải

Cách Ta cóy’3x23 , ’m y 0 g x

 

3x23m0

Để hàm số có cực đại cực tiểu g x

 

0 có hai nghiệm phân biệt   ' 9m0m0

Khi toạđộ2 điểm cực trị đồ thị M



m; 22m m



,N



 m; 22m m



Phương trình đường thẳng MN là: 2mx y20

Diện tích tam giác sin

2

IA IB AIB

IAB  , dấu’’=’’ xảy AIB90

Lúc khoảng cách từI đến MN 2  R Suy ta có

2

2 2

( , )

2 4 1 2

m

d I MN m

m

 

    



(đáp án A) Cách Ta có y'3x2 3m

Để hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt Vì ' 2

3

y  x y mx nên đường thẳng  qua cực đại, cực tiểu đồ thị hàm sốcó phương trình

2

y  mx Ta có





2

,

4

m

d I R

m 

   



(vì m > 0), chứng tỏ đường thẳng  cắt đường trịn tâm I(1;1), bán kính R = điểm A, B phân biệt

Với

m , đường thẳng  không qua I, ta có: sin

2 2

ABI

S  IA IB AIB R  Nên SIAB đạt giá trị lớn

2

 sinAIB

  hay tam giác AIB vuông cân I

2

R IH

   (H

trung điểm AB)

2

2 1

2

4

m

m m

 

   



Ví dụ Cho hàm số









1

3

y  x  m x  m  m x . Tìm giá trị lớn biểu thứcA x x1 2 2(x1x2) với x x1, 2 điểm cực trị hàm số?

A. min

A  B min

2

A  C min

2

A  D min 11

2

A 

Giải

Ta có





' 2

y  x  m xm  m

Hàm số có hai cực trị  y’ = có hai nghiệm phân biệt m2 6m50  5 m 1

Khi theo viet ta có





1

2

1

1

1

8

2

2

x x m

A m m

x x m m

    



   



  

  Xét 1



8 7



2

t m  m



5;



2 t       Từđó ta có

2

A m 4 (đáp án A)

Ví dụ Cho hàm số y = x33x2mx (1) Tìm m đểđồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B, đồng thời khoảng cách từ gốc tọa độ O đến trọng tâm G tam giác AOB nhỏ nhất?

A.m 2 B.m 3 C.m2 D.m1

Giải

Đạo hàm ’ – y  x xm

Hàm sốcó hai điểm cực trị y’0có hai nghiệm phân biệt x1, x2 – 3m m

      (*)

Lấy y chia cho y’ ta được:



3



2

3 3

x

y  x  xm    m x m

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

85  Đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu : 2

3

d y m x m

 

Hai điểm cực trịvà điểm O tạo thành tam giác 0m3

Hai điểm cực trị đồ thị A x y



1 ; 1



, B x



2 ;y2



trọng tâm G tam giác OAB, G x



G;yG



với

1 2; 2 4 2, 3

3 3 3

G G

x x y y m m

x    y     OG     m

 

2

2

3

MinOG  m  m (thỏa mãn (*))

Ví dụ 5. Cho hàm số  

1

y f x  x mx xm Khi hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách

các điểm cực đại cực tiểu nhỏ ? A.2 13

3 B.

2

3 C.

2 13

5 D.

2 Giải

Do f x  x22mx 1 có   m2 1

Nên f (x)  có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm sốđạt cực trị x1, x2 với điểm cực trị A x y



1, 2



;



2, 2



B x y

Thực phép chia f (x) cho f (x) ta có:   1    2







2



1

3 3

f x  xm f x  m  x m Do f

 

x1  f

 

x2 0 nên

 









 









1 1 2

2 1 1 ; 1 1

3 3

y  f x   m  x  m y  f x   m  x  m Ta có:





2





2





2





2





2

2 2

4 1

9

AB  x x  y  y  x x  m  x x





2





2









2





2 1

4 4

4 1 4 1

9 9

x x x x  m  m  m 

 

            

  

   

2 13

AB

 

Vậy xảy min 13

AB m

    giá trị cần tìm (đáp án A)

Ví dụ Cho hàm số ymx3 3mx2 



2m1



x 3 m có đồ thị (C

m) Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại,

cực tiểu khoảng cách từđiểm 1; N 

  đến đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu (Cm) lớn

A.

2

m B.

2

m C.

2

m D.

2 m Giải

Ta có y'3mx2 6mx2m1; y'03mx2 6mx2m 1 0

Hàm số có cực trị (*) có hai nghiệm phân biệt tương đương điều kiện:

2

0

' 3

m

m

m m

 

  

    

m1(*)

Chia y cho y’ viết hàm sốdưới dạng: '



2



10

3

x

y  y    m x m Từđó dẫn đến toạđộ diểm cực trị thoả mãn hệ:









'

1

2 10

1

3

' 2 10

3

y

y m x m

x

y y m x m

  

       

  

      

  

Do đường thẳng qua hai điểm cực trị :



2



10

y m x m

      

Cách 1: Ta có



2



10



2



10

3

y   m x m y   m x m



2x 1



m 3y 2x 10

     

Do điểm cốđịnh  thoả mãn hệ

1

2 10

3

x x

y x

y 

   

 



 

  

  

 Vậy qua điểm 1;3

2 M 

 cốđịnh Gọi H hình chiếu vng góc N  ta có



,



d N  NH  NM(Không đổi)

Vậy khoảng cách từN đến  lớn MN  MN

Đường thẳng MNcó hệ số góc

Suy điều kiện :



2



.1

3

m

m 

    (thoả mãn (*)) (đáp án A)

Cách 2: Tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị :



2



10

y m x m

       Tính:









2





2





2

,

2 18

m m

d N

m m m

 

  

     





2

1

2

6 18 3 2 1 1

1

2m 2m 2m 1 2 2

  

 

 

 

 

    

 

Dấu xảy

2

3

0

2m m

 

   

 

  

 

(thỏa mãn (*))

Vậy

m giá trị cần tìm.(đáp án A)

Bài toán 9: Điều kiện đối xứng qua một đường thẳng

Ví dụ 1. Cho hàm số yx33mx2 4m3 (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm

cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x?

A

2

m  m0 B.

2

m

2 m

C

2

m  D

2

m  m0 Giải

Ta có: ’ 0

2 x

y x mx

x m

      

 

Để hàm số có cực đại cực tiểu m  (*) Giả sử hàm sốcó hai điểm cực trị A



0; 4m3



, B



2 ;0m



AB



2 ; 4m  m3



Trung điểm đoạn AB I m m



; 2 3



. Điều kiện để AB đối xứng qua đường thẳng y = x AB vng góc với đường thẳng y = x I thuộc đường thẳng y x

3

3

2

2

m m

m

m m

  



   

 

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

87 Kết hợp với điều kiện (*) ta được:

2

m  giá trị cần tìm Nhận xét 1: Vì đường thẳng đặc biệt nên ta làm sau Đểhai điểm A B đối xứng qua đường thẳng y x

3

2

4 2

0 A B

B A

x y m

m m

x y

m  

   

   

 

 



Kết hợp với điều kiện (*) ta được: 2

m  giá trị cần tìm (đáp án C)

Nhận xét 2: Vì AOy B, Ox nên tam giác OAB tam giác vuông ĐểA, B đối xứng qua đường thẳng

y x

2

4 2

0 m

OA OB m m

m 

  

    

   Kết hợp với điều kiện (*) ta được:

2

m  giá trị cần tìm (đáp án C)

Ví dụ 2. Cho hàm số

3 –

y  x  mx  m Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị

nào m đồ thị hàm sốcó điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng : – 74

d x y 

A.m3 B.m2 C.m1 D.m0

Giải

Ta có ’ ; ’ 0 x

y x mx y

x m

       

 

Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt  m 

Hai điểm cực trị A



0; 3 m1 ,



B



2 ; 4m m3– 3m– 1



Trung điểm I đoạn thẳng AB I m m



; 2 – 3m– 1



Vectơ AB



2 ; 4m m3



Một vectơ chỉphương đường thẳng d u(8; 1)

Hai điểm cực đại, cực tiểu A B đối xứng với qua đường thẳng d  I d AB d

  

 







3

8 74

2

m m m

m AB u

     



  

  

 

Vậy m2 giá trị cần tìm (đáp án B)

Ví dụ 3. Cho hàm số

3 (1)

yx  x mx Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm sốđối xứng qua đường thẳng d x: – – 5y 0

A.m3 B.m2 C.m1 D.m0

Giải

Ta có y x33x2 mx y, '3x2 6xm

Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu y’ = có hai nghiệm phân biệt   ' 93m0m3 Ta có: 1 ' 2

3 3

y x y m x m

   

Tại điểm cực trị y’ = 0, tọa độcác điểm cực trị thỏa mãn phương trình 2

3

y  m x m

 

Như

vậy đường thẳng đi qua điểm cực trị có phương trình 2

3

y  m x m

1

2 k  m

Ta có : – – 5 2

d x y   y x suy d có hệ số góc 2

k 

Đểhai điểm cực trịđối xứng qua d ta phải có d  Suy 1 2 1 2

2

k k     m   m

 

Với m0 đồ thịcó hai điểm cực trị



0;0





2; ,



nên trung điểm chúng I



1; ,



ta thấy I 

d, hai điểm cực trịđối xứng với qua d Vậy m0 giá trị cần tìm (đáp án D)

BÀI TOÁN - CỰC TRỊHÀM TRÙNG PHƯƠNG

Bài toán tổng quát: Cho hàm số yax4 bx2c (a, b, c phụ thuộc vào tham số m) Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

a Phương pháp:

Đạo hàm y'4ax32bx2x



2ax2b



2 x g x

 

với g x

 

2ax2 b

 

0 '

2

x y

g x ax b 

   

  



Từđó ta có nhận xét sau

 Để hàm số có ba điểm cực trị  y'0 có ba nghiệm phân biệt g x

 

0 có hai nghiệm phân biệt khác a b 0

 Để hàm số có điểm cực trị g x

 

0 vô nghiệm có nghiệm kép

0 0 a b a b a b                   

 Hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu 0

0 ab a a b          

 Hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu 0

0 ab a a b          

 Nếu hàm số có điểm cực trị tọa độ3 điểm cực trị hàm số 0; ;

2

b b

x x x

a a

 

    Tọa độ

điểm cực trị đồ thị hàm số A



0;c



Oy;

2 ;

2

b ac b B a a           ; ;

b ac b B a a           

ta có ABC ln cân A,hai điểm B,C đối xứng qua trục Oy

 3

3

cos ; cot

8

b a b

BAC

b a a

      , ABC b b S a a  

 Độ dài cạnh

4

2 ;

16 2

b b b

AB AC BC

a a a



   

 Phương trình đường BC:

2 4 ac b y a 

 Phương trình AB,AC

3

2 b

y x c

a       

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

89  Một số cơng thức tính nhanh đề cho đồ thị hàm số

yax bx c có điểm cực trị A,B,C thỏa mãn tính chất cho trước

Dữ kiện Công thức Chứng minh

ABC

 vuông cân

3 8a b 0

ABC

 vuông cân  

3

8

os

8

b a

c BAC b a

b a



    

 ABC



24a b 0 ABC

  3

3

8

60 os 24

8

b a

BAC c BAC b a

b a



       

 

BAC

3 os b a c

b a 

  

3

8 cot b  a  

3

8 tan ab  

-Ta có  

3

8

cos os os

8

b a

BAC BAC c c

b a           -3

2

cot cot

2

b b a a        ABC

S S 3

 

2 5

0

32a S b 0

 

2

2

0

4 32

ABC ABC

b b b

S S S S S

a a a

 

 

     

 

2

3

0

32a S b

  

 

0 Max S

 

32 b Max S a  

Ta có

 









5 3 5 32 32 32 b S Max b a S a b S Min a              

r r (bán kính

đường trịn nội tiếp)

2 1 b r b a a           

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức





tan

A r p a

BCl

2

al  b

Ta có 2 2 2 0

2

b b

BC l l al b

a a

 

      

ABACl 2

16a l b 8ab0

Ta có

4

2

2

16 16

b b b b

AB AC l l

a a a a

      

4 8 16 2

b ab a l

   đpcm

, Ox

B C

4

b  ac B C, Ox yB yC 0

2

2

0

4 b ac b ac a      

3 góc ABC

nhọn





3

8

b b  a  góc ABC nhọn   90

BAC (do ABC cân A)











3 3 8

os 0

8

b b a

b a

c BAC

b a b b a

         





0

8

Do ab b ab

b b a    

   Trọng tâm O

6

b  ac Tọa độ trọng tâm

2 2

1 4

0; 0;

3 4 12

ac b ac b ac b

G c

a a a

                      2

0

12

ac b

G O b ac

a



     

Trực tâm O

8

Rl 8 b a l a b 

 Gợi ý

2 sin BC R

A 

Tâm đường tròn ngoại tiếp O

3 8 8 0

b  a abc Gợi ý : Tâm đường tròn ngoại tiếp O OAOBOC

Tâm đường tròn nội tiếp O

3 8 4 0

b  a abc

Gợi ý : Sử dụng cơng thức diện tích S p r r S p

  

(plà nửa chu vi tam giác) Trục Ox chia

ABC

 thành phần có diện tích

2

4

b  ac  Gợi ý : điều kiện toán AH 2OAb2 4 ac

(H trung điểm BC)

Điểm cực trị cách Ox

2

8

b  ac Gợi ý Điểm cực trịcách Ox O trung điểm AH

(H trung điểm BC)

2 0 A H ac b

y y c

a        b ac   

ABCO hình thoi

2

2

b  ac Gợi ý ABCO hình thoi H trung điểm AO

(H trung điểm BC)

2

2

4

A O H

ac b

y y y c

a   

       

 

2 2ac b

  

Tương tự ta suy nhiều cơng thức tính nhanh khác tùy theo u cầu đề

b Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ Cho hàm số

2

yx  mx m (1), với m tham số thực Xác định giá trị tham số m để

hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời điểm cực trị hàm số tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp

A m1

m  B m1 m  C m1

2

m  D m1

Giải

Đạo hàm





 

'

2

4 4

1 x

y x mx x x m

x m            Hàm sốđã cho có ba điểm cực trị Phương trình '

0

y  có ba nghiệm phân biệt 

 

1 có hai nghiệm phân biệt khác 0m0

Cách 1: Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là:



0; 1 ,





; 1 ,

 

; 1



A m B  m m m C m m m Gọi H trung điểm BC nên H



0;m2m1



Ta có .

2 ABC

S  AH BCm m;ABAC m4m BC, 2 m;AH m2

Bán kính đường trịn ngoại tiếp





3

2

1

4 ABC

m m m

AB AC BC

R m m

S m m



       









1

1 5 1

2 m

m m m

m             

(đáp án A)

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

91 Giả sử I



0;a



Theo giả thiết

2

1 (1)

1

( ) (2) m a

IA IC

m m m a

               

Giải (1) ta 2

1 2

m a a m

m a a m

    

 



       

 

TH a 2m m



m22m 1 2m



2 1

4

2 1

m m m m m m

         (loại m > 0) TH a22m m



m22m  1 2 2m



2 1

4

0,

2 1 1 5

2

m m

m m m m m m

m                    Kết hợp với m0 ta

1 m m        

(đáp án A)

Vậy với m1

m  giá trị cần tìm

Cách 3: Sử dụng định lý hàm số sin ta có

2

4 sinC AH m

AC m m

 



(vì AHC vng H)

4

2 sin sin

AB R C  Cm m m









3

1

2 1 5 1

2 m

m m m m m

m                 

m0

Vậy m1

m  yêu cầu toán thỏa (đáp án A)

Cách 4: sử dụng cơng thức tính nhanh

















3 2 8

1 1

8

m

b a

R m m m m m

a b m

              

 

 

 

1 5 m tm m tm m l               

Vậy m1

m  (đáp án A)

Ví dụ 2. Cho hàm số y x4 – 8m x2 21 (1), với m tham số thực Tìm giá trị m để hàm số (1) có cực trị A, B, C diện tích tam giác ABC 64

A m 54 B m 52 C m 56 D m 58 Giải

Cách 1: Ta có y'4x316m x2 4x x



4m2



Để hàm số có cực trị y, 0 có nghiệm phân biệt

,

4

0

0 16

2 16

x y

y x m y m

x m y m

                 

Giả sử3 điểm cực trị là: A



0;1 ;



B



2 ;1 16m  m4

 

;C 2 ;1 16m  m4



Ta thấy AB AC



2m



2



16m4



2 nên tam giác ABC cân A Gọi I trung điểm BC I(0;1 16 m4)nên AI16m4; BC 4m

4

1

16

2

ABC

S  AI BC m m = 64 5

2

m m

     (thỏa mãn m0) Vậy m 52 giá trị cần tìm (đáp án B)

Cách 2: Sử dụng công thức tính nhanh S0 64

 

2

 

2





5

3 10

0

32a S b 032 64  8m 0m 4m  (đáp án B)

Ví dụ 3. Cho hàm số y x4 2 1



m2



x2 m 1

     Tìm m để hàm số có đại cực, cực tiểu điểm cực trị

của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn

A m 1 B m0 C m 2 D m 3 Giải

Cách 1: Ta cóy'4x3 4 1



m2



x,

2 ' x y x m        

Để hàm số có cực đại, cực tiểu m 1 Tọa độcác điểm cực trị:



0; ;



A m B



1m2;m4 2m2 m



;



1 2; 2



C  m m  m m Ta có ( ; ) 2



1 2



5

2 ABC

S  BC d A BC  m m  m   m 

max

S m

  

Vậy m0 giá trị cần tìm (đáp án B)

Cách 2: Sử dụng cơng thức tính nhanh









5 ax 32 1 32 32 M m b S m a  

     Smax m0 (đáp án B)

Ví dụ 4. Cho hàm số 2

yx  mx m m Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị ba điểm cực trịđó lập thành tam giác có góc 1200

A

3

3

m  B

3

2

m  C

3

3

m  D m1

Giải

Cách 1: Ta cóy 4x34mx;





0 x

y x x m

x m             



m0



Gọi A



0;m2m



;



;

 

, ;



B m m C  m m điểm cực trị



; 2



AB m m 

; AC   



m;m2



ABC cân tại A nên góc

120 A

Theo giả thiết 

4

1

120 cos

2 . 2

AB AC m m m

A A m m AB AC                    

4 4

1

2

m m

m m m m m m m



Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

93 Vậy

3

3

m  giá trị cần tìm (đáp án C)

Cách 2: ABC cân A nên góc

120 A

Ta có





3 2



0



3 tan tan 60 8

2

ab     m    m  m  (đáp án C)

Ví dụ Cho hàm số 2 2





m

yx  x m C Giá trị gần tham số m đểđồ thị



Cm



có điểm cực trị nhận gốc toạđộ O làm trọng tâm?

A.0 B.1 C.2 D.3

Giải

Cách 1: Ta có y'4x34x 4x x



21



,y'0 x10;x2,3  1 Gọi A x y



1; 1



,B x y



2; 2



,C x y



3; 3



điểm cực trị (Cm) thì:



0; ,





1; ,





1; 1



A m B  m C m

Gốc tọa độ O



0;0



trọng tâm ABC





0

4

3

3

3

A B C O

A B C O

x x x

m x

m m

y y y

y

  

  

 

 

     

  

  

 



Giá trị m cần tìm

m  (đáp án B) Cách 2: áp dụng công thức giải nhanh

đồ thị



Cm



có điểm cực trị nhận gốc toạđộ O làm trọng tâm





2

6

3

b ac m m

          (đáp án B)

Ví dụ Cho hàm số y x42



m1



x2m2 (1), với m tham số thực Tìm m đểđồ thị hàm số (1) có ba

điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông?

A.m0 m 1 B.m0 C.m1 D.m2 Giải

Đạo hàm





’ – y  x m x









3

2 ’ –

1 x

y x m x

x m

 

     

  

Hàm số có cực trị m 1 0m 1

Khi đồ thị hàm số có cực trị A



0; m2



;B



 m1; – 2m– 1



;C



m1; – 2m– 1



Nhận xét: AOy, B C đối xứng qua Oy nên tam ABC cân A tức AB = AC nên tam giác

vuông cân A

Cách 1: Gọi M trung điểm BC  M



0; 2 m– 1



Do để tam giác ABC vng cân BC = 2AM (đường trung tuyến nửa cạnh huyền)









2

2 m m 2m m

      









3 m m m

      (do m 1)





1 m m

     (do m 1) (đáp án B)

Cách 2: ABC vuông cân A Theo định lý pitago ta có

2 2

AB AC BC 



m1

 

 m1



310



m1



3 1 0 m0

  (do m 1)(đáp án B)

Cách 3: ABC vuông cân A

AB AC

 

 

2

(m 1) ( 2m m ) m 4m 6m 3m m

               m 1 (loại) Chú ý: Có thể khơng cần khai triển thành phương trình bậc mà biến đổi thành tích sau











 







2

2

3

1 1 0

1 m

m m m m m m

m   

               

  

Cách 4: Sử dụng cơng thức tính nhanh ABC

 vuông cân A 8a2b3  0 8



m1



3 0



m1



3 1 m0(đáp án B)

Ví dụ 7. Cho hàm số y x44



m1



x22m1có đồ thị



Cm



Giá trị gần tham số m để hàm số có cực trị tạo thành đỉnh tam giác là?

A.1, 5 B 1, 7 C 1,9 C 1,8

Giải

Cách 1: Ta có y 4x38



m1



x 4x x



22



m1









2 0

2

x y

x m

     

 



nên hàm số có cực trị m1

Khi hàm sốcó điểm cực trị là:





















0; , ; 10 , ; 10 A m B m  m  m B  m  m  m Tính AB2  AC2 2



m1



16



m1 ;



4 BC2 8



m1



Ta có tam giác ABC  ABBCAB2BC2









4







 



3

1

2 16 1 3

1 m

m m m m m

m   

 

           

    

 So sánh với điều kiện có cực trị ta suy

33

2

m  giá trị cần tìm (đáp án B)

Cách 2: Sử dụng cơng thức tính nhanh

Ta có tam giác ABC









3

3

3 3

24 24 64 1

8

a b m m m

            

Ví dụ 8. Cho hàm số





2

y x  m x  có đồ thị



Cm



Số giá trị m thỏa mãn đểđồ thị hàm số



Cm



có ba điểm cực trịA, B, C đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua điểm M

 

1;1

A.1 B.2 C.3 D.4

Giải:

Ta có





2

’ ; '

1 x

y x x m y

x m

 

 

       

  

Đồ thị



Cm



có điểm cực trị A, B, C y'0 có nghiệm phân biệt m 1 (*) Với m 1 đồ thị (Cm) có điểm cực trị



0; ,



A B



 m1;m2 2m1 , C

 

m1;m22m1



Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do tam giác ABC cân M nên IOyI(0; )b Từ IAIM tìm b1 Vậy I



0;1



Ta có IAIC IA2  IC2 m  1



m22m



2  1 m4 4m34m2 m0









0

1 3 5

2 m

m m m m

m   

       

  

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

95 Vậy m0

2

m   giá trị cần tìm (đáp án B)

Bạn đọc áp dụng cơng thức tính nhanh

Ví dụ Cho hàm số yx42m x2 2m1 (1) Tìm m đểđồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C

sao cho điểmA B C, , điểm O nằm đường trịn, O gốc tọa độ

A m 1 B m 2 C m 3 D m 4

Giải:

Hàm sốcó điểm cực trị chỉkhi phương trình y'0có nghiệm phân biệt

3

2

0 4x 4m x x

x m

 

    

 

có nghiệm phân biệt m0 (*) Ba nghiệm phân biệt x0;xm x;  m;

Tọa độ điểm cực trịA



0;m4 1



Oy B m,



;1 ,



C



m;1



Tính AB



m;m4



;OB



m;1



Gọi I tâm đường trịn qua điểm A, B, C, O; tính đối xứng đồ thị hàm số suy I, A, O thẳng hàng Bốn điểm A, B, C điểm O nằm đường tròn



(2) (3) A O

AB OB AB OB 

 

  



 

Giải (2): m4   1 vô nghiệm

Giải (3): m2 m4  0 m 1 (do điều kiện (*)) Vậy m 1 giá trị cần tìm (đáp án A)

BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM HỢP

Phương pháp :Sử dụng đạo hàm hàm hợp, kết hợp kỹ thuật chọn hàm

Ví dụ 1: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH -LẦN 1-2018) Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm

  



2





1

f x  x x  x với  x  Có giá trịnguyên dương tham số m để hàm số



8



f x  xm có điểm cực trị?

A.15 B.17 C. 16 D.18

Lời giải Chọn A

Đặt g x

 

 f x



28xm



  

1



2



2



f x  x x  x 

  





 

2





2 8 8

g x  x x  xm x  xm x  x m 

 

g x 

 

 

 

2

2

8 1

8

8

x

x x m

x x m

x x m

  

    

     

     

Các phương trình

 

1 ,

 

2 ,

 

3 khơng có nghiệm chung đơi



x28xm1



2 0 với x

 

16

16

16 32 16 32

m m

m m   

    

 

   

     

16 18 16 18 m m m m       

    

16 m  

m nguyên dương m16 nên có 15 giá trị m cần tìm

Ví dụ 2: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-Lần 1-2018) Biết hàm số f x

 

có đồ thịđược cho hình vẽ bên Tìm sốđiểm cực trị hàm số y f f x

 



A 5 B 3 C 4 D 6

Lời giải Chọn C.

Xét hàm số y f f x

 

, y f

 

x f f x

 

;

 

 

 

 









0

0 2

0

0 2;

0

2 ;

x x

f x x x

y

f x x a

f f x

f x x b a

 

 

 

 

    

    

   

    

  

   

 

 

Với xb, ta có f x

 

2 ff x

 

0

Với axb, ta có 0 f x

 

2  ff x

 

0

Với 0xa x0, ta có f x

 

0  ff x

 

0 BBT:

Dựa vào BBT suy hàm số y f f x

 

 có bốn điểm cực trị

Ví dụ 3: (Đề thi HKI THPT Chuyên Lê Hồng Phong năm học 2017-2018) Cho đồ thị

(C):

 

f x ax bx cxd có đồ thị hình bên Tìm số điểm cực trị đồ thị hàm số



3



y f x  x

x  a b 

y     

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

97

A. B. C 3 D 4

Lời giải Chọn A

Xét hàm số





y f x  x



 

 

 



/ 3

3 3 3

y  x  x  f x  x  x  f x  x ,





/ x

y

f x x

   

     

2

3

3

0

3

x x

x

x x

x

x x

x

   

  



  

 

     

  

  

  



2

3

3

1

3

3

3

0

3

2

(do hàm số y f x

 

đạt cực trị điểm x 0,x 2 )

0

y  có nghiệm phân biệt đổi dấu qua điểm nên hàm số





y f x  x có

điểm cực trị

Ví dụ 4: (THPT Yên Định lần năm học 2017-2018)Hình vẽbên đồ thị hàm số y f x

 

Ví dụ 5: Gọi Slà tập hợp giá trịnguyên dương tham số m để hàm số y f x( 1)m có điểm cực trị Giá trị tổng tất phần tử S bằng:

A.9 B 12 C 18 D 15

Tịnh tiến đồ thị

 

C hàm số y f x

 

sang trái 1đơn vị lên m đơn vịta đồ thị hàm số

 

C y f x



1



m

Đồ thị hàm số y f x



1



m suy từ

 

C sau:

Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị

 

C phía trục hồnh

Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị

 

C phía trục hồnh qua trục hồnh

Do để hàm số y f x( 1)m có 5điểm cực trị 3m6,mà m ngun dương nên



3; 4;5



m

Vậy giá trị tổng tất phần tử Sbằng 12

Ví dụ 6: [THPT ĐẶNG THỪA HÚC] Cho hàm số f x

 

có đồ thịnhư hình vẽ Hãy tìm cực trị hàm số

 





y f f x

A 5 B 3 C 4 D 6

Hướng dẫn giải Chọn C

+) Ta có với u f x

 

'



 



u' x u' x'

x

f f x  f u  f f

 





 

 

'

'

0

0

'

0

2 u

x

u f x

f u f x

f f x

f x

x

 

 

    

   

 

 

 

+) Ta thấy f x

 

0 có hai nghiệm x1,2  0 x32 +) Ta thấy f x

 

2 có hai nghiệm x4x3

 





'

f f x

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

99  hàm số có cực trị

Ví dụ : Cho hàm số y f x

 

có ba điểm cực trị  2; 1; Hỏi hàm số





y f x  x có

điểm cực trị

A 3 B 4 C 5 D 6

Lời giải Chọn A

Đặt g x

 

 f u u

 

, x22x g x

 

2



x1



f

 

u nên

 

 

0 2; 1;0

x g x

f u u u

     

      



 

 

2

2

2 (VN) 1 2 x

x x

x x

x x

  

   

     

   

Phương trình

 

1 có nghiệm kép x1 ; phương trình

 

2 có hai nghiệm đơn x0;x2 nên

phương trình g x

 

0 có hai nghiệm đơn x0;x2 nghiệm bội ba x1nên hàm số cho có ba cực trị

Ví dụ 8: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f '( )x



đồ thị hàm số f '( )x hình vẽ Xét hàm số

 

( 1) g x  f x  x

Mệnh đềnào sau đúng?

A Hàm số có sáu cực trị B Hàm sốcó năm cực trị C Hàm số có bốn cực trị D Hàm số có ba cực trị

Lời giải Chọn D

Ta có: g'

 

x (2x2) '(f x22x1)

+ Nhận xét:

 

2

1

' 1

2

x

g x x x

x x

  

          

0; 1; 2;

x x x x

     

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm sốcó ba cực trị

BT – CỰC TRỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI

DẠNG 1: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI KHI CHO HÀM SỐ y f

 

x Câu 1. Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm f

 

x x x



2



4



x28



Số điểm cực trị hàm số

 

y f x là:

A 0 B 1 C 2 D 3

Lời giải Chọn B

Ta có:

 



2



4



8



0 x

f x x x x

x  

       

  

Do f

 

x chỉđổi dấu qua điểm x 0 nên hàm số f x

 

có điểm cực trị x0

Mà f

 

x  f x

 

x0 f

 

x hàm số chẵn nên hàm số f

 

x có điểm cực trị x0 Câu 2. Cho hàm số y  f x

 

có đạo hàm f '

 

x 



x32x2



x32x



Hàm số

 

y f x có nhiều

bao nhiêu điểm cực trị?

A 9 B 8 C 7 D 6

Lời giải Chọn A

Ta có:

 

3











0

2 2

2 x x

f x x x x x

x x

    

      

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

101 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm sốy f x

 

có điểm cực trị, suy f x

 

0 có tối đa nghiệm phân biệt

Do hàm số y f x

 

có tối đa 459 điểm cực trị

Câu 3. Cho hàm số y f x

 

xác định liên tục , có f '

 

x x2 1 Hàm số





f x  có bao

nhiêu điểm cực tiểu ?

A. B 5 C 7 B 4

Lời giải Chọn D

Xét hàm số g x

 

 f x



22



Ta có g x

 





x22



 f



x22



2 x f



x2 2



 









2

2

2

0

0

0 2 1

2

2 3

x x

x

g x x f x x x

f x

x x



 

 

  

                

      

 

Bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên g x( ) có hai điểm cực tiểu x0 Do hàm f



x22



sẽ có cực tiểu

Câu 4. Cho hàm số y  f x

 

xác định liên tục , có đạo hàm f'

  

x  x1



x1

 

2 x2



1 Hàm số f x

 

x có tối đa điểm cực trị?

Lời giải Chọn B

Xét hàm số g x

 

 f x

 

x

Ta có g x

 

 f'

 

x  1



x1



x1

 

2 x2



 

1

0

2 x

g x x

x        

  

Ta thấy x 1 x nghiệm đơn x1 nghiệm kép  hàm số g x

 

có điểm

cực trị  phương trình g x

 

0 có tối đa nghiệm Nên hàm số f x

 

x có tối đa điểm cực trị

Câu 5. Cho hàm số y  f x

 

có đạo hàm f

 

x x3x26x thoả mãn

 

0

f m Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m cho hàm số y f x

 

có điểm cực trị Tính tổng phần tử

của S

A.10 B.28 C.21 D 15

Lời giải Chọn D

 

6 f x x x  x

 





4

3 6 3

4

x x

f x x x x dx x C

 



     

Do f

 

0 m Cm

 

4

2

x x

f x x m

    

Ta có

 

0

0

3 x

f x x

x        

   

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

103 Hàm số y f x

 

có điểm cực trị

  



   

0 16

0

3

f f

m

f f

  



   

 



Vì m nguyên m



1; ;3; 4;5



Vậy tổng phần tử tập S 15

Câu 6. Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm f

 

x 12x x



2 x 2



Có giá trị nguyên tham số

m



10;10



để hàm số yf



xm



có điểm cực trị

A.11 B.9 C.10 D 8

Lời giải Chọn D

 





0 12

f x   x x  x 

0 x x x      

  

Do hàm số f x

 

có ba điểm cực trị x0;x 1;x2 Hàm số f



x m



ln có điểm cực trị x0







 





 



; ; f x m x y f x m

f x m x

 

     

  

 

Hàm số f x m







có ba điểm cực trị x  1 m x;  m x;  2 m Hàm số f



 x m



có ba điểm cực trị x m 1;x m x m ;  2

Do hàm số f



xm



có tối đa điểm cực trị

0; 1; ; ; 1; ;

x x m  x m x m   x m x m x m

Yêu cầu toán tương đương với

1 0

1

0 m m m

m m

m m    

  

  

   

     

  

Vì m nguyên m 



10 ;10



m 



9; 8; ; 2 



.Vậy có giá trị tham số m thoả mãn yêu cầu toán

Câu 7. Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x( )



x1



3x2(4m5)x m 27m6 ,  x  Có tất

bao nhiêu số nguyên m để hàm số ( )g x  f(| |)x có điểm cực trị ?

Lời giải Chọn B

Ta có:

+) x1 nghiệm bội ba phương trìnhnh



x1



30

+) Hàm ( )g x  f(| |)x hàm chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng

Do hàm g x( ) f(| |)x có điểm cực trị Hàm số y f x( ) có điểm cực trịdương

 y f x( ) có nghiệm dương phân biệt f( )x đổi dấu qua nghiệm  h x( )x2(4m5)xm27m6 có nghiệm phân biệt

1

x  x 



2

2

2

1,

(1) 1 6

(0) 1

(0) 7 6 0 6

0 (4 5) 0 5

4

m m

m m

h m

h m m m

h m m m

S m

m

 

     



   



 

    

 

    

  

  



      

  

 

        

   

   

Do m nên m{3; 4; 5} Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề Câu 8. Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm

( )

2

f x  x  x (0)f 0 Có tất số nguyên



5;5



m  để hàm số

( ) ( ) ( )

g x  f x  f x m có điểm cực trị ?

A 2 B 3 C 5 D 4

Lời giải Chọn D

Ta có: 3

( ) ( )d d

2

f x  f x x   x  x  x x x  xC

 





Do 3

(0) 0 ( )

6

f  C  f x  x x  x

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

105 Với g x( ) f2( )x 2 ( )f x m Đặt h x( ) f2( )x 2 ( )f x m



f x( ) 1



2m1





1 ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1, ( ) x

f x

h x f x f x f x x

f x

x a f a  

 

 

        

 

   

  

Ta có bảng biến thiên hàm yh x( ):

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số yh x( ) ln có điểm cực trị Hàm số ( )g x  h x( ) có cực trị  m 1 0m1

Mà m 



5;5



m{1; 2;3; 4} Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề Câu 9. Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm f

 

x 



x32x2



x32x



, với mọi x Hàm số



1 2018



y f  x có nhiều điểm cực trị

A 9 B 2022 C 11 D 2018

Lời giải Chọn A

Ta có f

 

x x3



x2





x22



Cho

 

0

0

2 x

f x x

x        

  

Suy hàm số y  f x

 

có điểm cực trị

Và phương trình f x

 

0 có tối đa nghiệm

Do hàm số y f x

 

có tối đa điểm cực trị

Mà hàm số y f x

 

hàm số y f



1 2018 x



có sốđiểm cực trị Suy hàm số y f



1 2018 x



có tối đa điểm cực trị

Câu 10. Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm f

  

x  x1

 

4 xm

 

5 x3



3 với x Có giá trị nguyên tham số m 



5;5



để hàm số g x

 

 f

 

x có điểm cực trị?

A.3 B. C.5 D.

Lời giải Chọn C

 

1

0

3

x x

f x x m x m

x x

   

 

 

      

 

     

 

(x 1 nghiệm bội , xm nghiệm bội , x  3 nghiệm bội )

+ Nếu m 1 phương trình f

 

x 0 có nghiệm bội lẻ x 3;x 1 hàm số y f x

 

có hai điểm cực trịâm Khi hàm số g x

 

 f

 

x có điểm cực trị x 0 nên m 1 không thỏa mãn yêu cầu đề

+ Nếu m 3 phương trình f

 

x 0 có hai nghiệm bội chẵn x 1;x 3  hàm số f x

 

khơng có cực trị hàm số g x

 

 f

 

x có điểm cực trị x0 nên m 3 không thỏa mãn yêu cầu đề

+ Nếu m 3;m 1 f

 

x 0 có hai nghiệm bội lẻxm x;  3 hàm số f x

 

có hai điểm cực trị xm x;  3

Để hàm số g x

 

 f

 

x có điểm cực trị hàm số f x

 

phải có hai điểm cực trị trái

dấum0 mà m, m 



5;5



nên m



1; 2;3; 4;5



Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu

đề

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

107 nguyên tham số m 10 để hàm số g x

 

 f

 

x có điểm cực trị?

A. B 7 C. D.

Lời giải Chọn B

Do đồ thị hàm số g x

 

 f

 

x nhận Oy làm trục đối xứng nên hàm số g x

 

 f

 

x có điểm cực trị hàm số y f x( ) có điểm cực trịdương

Ta có:









' 2

2

2

( )

0

2

f x x x x mx

x x

x mx

    

     

    

Hàm số y f x( ) có điểm cực trịdương phương trình x2 2mx50có hai nghiệm dương

phân biệt



 







'

5

; 5;

2 ;

0

m

m

S m m

m P

   

      

 

        



   



Giá trị nguyên tham số m 10 để hàm số g x

 

 f

 

x có điểm cực trị là:



9; 8; 7; 6; 5; 4; 3



m       

Số giá trị nguyên tham số m 10 để hàm số g x

 

 f

 

x có điểm cực trị

Câu 12. Xét hàm số f x( ) có đạo hàm f x'( )



x2x



x33x



với xR Hàm số y f



1 2020 x



có nhiều điểm cực trị?

A. B 7 C. D.

Lời giải Chọn B

Nhận xét: Sốđiểm cực trị tối đa hàm số y  f



1 2020 x



tổng sốđiểm cắt đồ thị hàm số y f



1 2020 x



với trục hoành sốđiểm cực trị hàm số y f



1 2020 x



Ta có: ' 2











( ) 3





' '

1 2020 2020 (1 2020 )

f  x   f  x

 

 

Do đó: f



1 2020 x



'0



1 2020 x

 

2 2020 x1 2020





 x 2020



 x 3



0

2020

2020

2020 x

x x x 

  

  

 

   

   

Bảng biến thiên y  f



1 2020 x



x 

2020 

0

2020

1 2020





'

y - + - - +

y

Do phương trình f



1 2020 x



0 có tối đa nghiệm hàm số y f



1 2020 x



có điểm cực trị

Vậy hàm số y f



1 2020 x



có tối đa điểm cực trị

Câu 13. Cho hàm số y  f x

 

xác định có đạo hàm , biết

 

' 11

f x  x  x  x Số điểm cực

trị hàm số y f2021

 

x  f2020

 

x  f2019

 

x là:

A 3 B.5 C.6 D 7

Lời giải Chọn D

Xét hàm số g x

 

 f2021

 

x  f2020

 

x  f2019

 

x

TXĐ: D

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

109  f2018

 

x 2021. f2

 

x 2020f x

 

2019 ' f

 

x

 

Nhận xét f2018

 

x 2021. f2

 

x 2020f x

 

20190,x

Nên g'

 

x dấu với f'

 

x 6x311x2 6x1

Ta có f '

 

x 0 x1;x1 / 2;x 1 / Ta có bảng biến thiên hàm số g x

 

Suy bảng biến thiên hàm số y g x

 

Vậy hàm sốđã cho có điểm cực trị

DẠNG 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI KHI CHO BBT, BXD Câu 14. Cho hàm số y f x

 

xác định liên tục có bảng biến thiên hình vẽ

Sốđiểm cực trị hàm số y f x

 

là:

A 2 B 3

C 4 D 5

Lời giải Chọn D

Suy hàm số y f x

 

có điểm cực trị

Câu 15. Cho hàm số y  f x( ) có đạo hàm  có bảng xét dấu hàm số y f'( )x sau:

Hỏi hàm số y f x



2



có điểm cực tiểu:

A 2 B 3 C 0 D 1

Lời giải Chọn D

Từ bảng xét dấu hàm số y f '( )x ta có bảng biến thiên hàm số y f x( )

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

111 Ta thấy sốđiểm cực trị đồ thị hàm số y f



x2



hàm số y f

 

x giống nên hàm số y f



x2



có điểm cực tiểu

Câu 16. Cho hàm số y g x( ) xác định liên tục  có bảng biến thiên sau:

Hỏi đồ thị hàm số y g x( ) 2 có điểm cực trị?

A 3 B 7 C 5 D 8

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên hàm số yg x( )ta có bảng biến thiên hàm số yg x( ) 2 sau:

Từđó suy diễn bảng biến thiên hàm số y g x( ) 2 sau:

Câu 17 Cho hàm số y f x

 

xác định liên tục  có bảng biến thiên sau:

Sốđiểm cực đại hàm số y f x

 

A 1 B 2 C 3 D 5

Lời giải Chọn B

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng bến thiên ta thấy hàm số y  f x

 

có điểm cực đại

Câu 18 Cho hàm số y f x

 

xác định liên tục  có bảng xét dấu sau:

Xét hàm số g x

 

e3f2x13f2x Sốđiểm cực trị hàm số yg x

 

là

A 1 B 2 C 3 D 5

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

113 Chọn D

Ta có g x'

 

 3 ' 2f



x e



3f2x1 f' 2



x



3f2xln







2  2 



' f x 3f x ln

f x e   

   

 





' '

g x   f x 

2

2

2

x x x    

   

    

3 x x x

  

 

    

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y g x

 

có điểm cực trị

Câu 19. Cho hàm số y f x

 

xác định liên tục , có bảng xét dấu f

 

x sau

Sốđiểm cực trị đồ thị hàm số y f



x2



2020 là:

A 5 B 4 C 0 D 3

Lời giải Chọn A

Xét hàm số

 

 





0 f x x y f x

f x x

 

   

 

 

Suy đồ thị hàm số y f

 

x có điểm cực trị

Suy đồ thị hàm số y f



x2



có cực trị (Tịnh tiến đồ thị hàm sốy f

 

x sang phải đơn vị

thì sốđiểm cực trịkhơng thay đổi)

Suy đồ thị hàm số y f



x2



2020 có cực trị (Tịnh tiến đồ thị hàm sốy f



x2



lên

2020 đơn vị sốđiểm cực trịkhông thay đổi) Câu 20. Cho hàm số y f x

 

có bảng biến thiên sau

Hàm số y f



1 3 x



1 có điểm cực trị?

A 2 B 3 C 4 D 5

Lời giải Chọn D

Xét hàm số g x

 

 f



1 3 x



1 g x

 

 3f



1 3 x



Ta có

 





2

1 3

0

1 3

3 x x

g x f x

x

x 

     

          

   



Ta có bảng biến thiên sau

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

115 Câu 21 Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm f

 

x  bảng biến thiên hàm số f x

 

như hình vẽ

Hàm số g x

 

 f x



2017



2018 có điểm cực trị?

A 2 B 3 C 4 D 5

Lời giải

Chọn B

Đồ thị hàm số u x

 

 f x



2017



2018 có từđồ thị f x

 

cách tịnh tiến đồ thị f x

 

sang phải 2017 đơn vị lên 2018 đơn vị Suy bảng biến thiên u x

 

Dựa vào bảng biến thiên suy bảng biến thiên hàm số u x

 

 f x



2017



2018 ta có bảng biến thiên hàm số g x

 

 u x

 

hình vẽbên

Từ BBT hàm số g x

 

 u x

 

ta thấy hàm số có điểm cực trị

Đồ thị hàm số y  f

 

x có điểm cực trị?

A 2 B 3 C 4 D 1

Lời giải Chọn B

x

 , ta có f



x



 f

 

x nên hàm số y  f

 

x hàm số chẵn Do đồ thị hàm sốy  f

 

x nhân trục tung làm trục đối xứng

Lại có

 

 





khi

f x x

y f x

f x x

 

   

 

 

nên bảng biến thiên hàm số y f

 

x

Từ bảng biến thiên suy đồ thị hàm số y  f

 

x có điểm cực trị

Câu 23 Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm  BBT bên BBT đạo hàm f'

 

x Hàm số

 

 

2020

g x  f x  có điểm cực trị?

A 2 B 3 C 5 D 7

Lời giải Chọn C

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

117

 

f x

 có điểm cực trịdương

 

f x

 có điểm cực trị

 

2020

f x

  có điểm cực trị (vì tịnh tiến lên hay xuống không ảnh hưởng đến số điểm cực trị hàm số)

Câu 24 Cho hàm số y  f x

 

có f( 2) 0và đạo hàm liên tục  có bảng xét dấu hình sau

Hàm số

 





15 2 10 30

g x  f x  x   x  x có điểm cực trị?

A 2 B 3 C 5 D 7

Lời giải Chọn C

Hàm số h x

 

15f



x4 2x2 2



10x6 30x2

Ta có h x'

 

15



4x34x f

 

 x4 2x22



60x560x

 









' 60 2

h x x x f x x x 

          

Mà x42x22 



x21



2     1 1, x  nên dựa vào bảng xét dấu f

 

x ta suy



2 2



0

f x  x  

Suy f 



x42x22



x2  1 0, x 

Do dấu h x'

 

dấu với u x

 

 60x x



21



, tức đổi dấu qua điểm 1; 0;

x  x x

Vậy hàm số h x

 

có điểm cực trị

Ta có h(0)15 ( 2)f  0 nên đồ thị hàm số yh x( ) tiếp xúc Ox O cắt trục Ox điểm phân biệt

Vậy y g x( )có cực trị

Hàm số y f

 

x

 

C có nhiều điểm cực trị ?

A 5 B 7 C 6 D 3

Lời giải Chọn B

Ta có đồ thị hàm số y f x

   

C' có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung

nên đồ thị hàm số y f x

   

C' cắt trục hoành tối đa hai điểm có hồnh độdương Khi đồ thị hàm số y f

 

x



C''



suy từđồ thị hàm số

   

'

y f x C nên đồ thị hàm số y f

 

x



C''



cắt trục hoành tối đa điểm phân biệt  hàm số y f

 

x sẽcó điểm cực trị

Vì đồ thị hàm số y f

 

x

 

C suy từđồ thị hàm số

 



''



y f x C nên đồ thị hàm số y f

 

x

 

C có tối đa điểm cực trị Câu 26 Cho hàm số y f x

 

liên tục và có bảng biến thiên:

Gọi S tập hợp giá trịnguyên dương tham sốm để hàm số y f x



1



m có điểm cực trị Tổng giá trị tất phần tử S

A.15 B 12 C 18 D 9

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

119 Từ bảng biến thiên ta có đồ thị

 

C :y f x

 

Nhận xét: Số giao điểm đồ thị

 

C :y f x

 

với Ox số giao điểm đồ thị

 

C :y f x



1



với Ox

Vì m0 nên đồ thị hàm số



C



:y f x



1



m có cách tịnh tiến đồ thị hàm số

 

C :y f x



1



lên m đơn vị

Đồ thị hàm số y f x



1



m suy từ đồ thị hàm số



C



:y f x



1



m cách giữ nguyên phần đồ thị phía Ox, lấy đối xứng phần đồ thị phía Oxqua Ox

x x

TH3 : 3m6 TH4 :m6

x

x

TH1: 0m3 TH2 :m3

O x

y

2

3 

TH1: 0m3 Đồ thị hàm số có điểm cực trị Loại TH2: m3 Đồ thị hàm số có điểm cực trị Nhận TH3: 3m6 Đồ thị hàm số có điểm cực trị Nhận TH4: m6 Đồ thị hàm số có điểm cực trị Loại Vậy 3m6 Do m* nên m



3; 4;5



Vậy tổng giá trị tất phần tử S 12

DẠNG 3: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI KHI CHO ĐỒ THỊ Câu 27. Cho hàm số bậc ba y f x

 

có đồ thịnhư hình vẽ

Hàm số y f



x 1 1



có điểm cực trị?

A 6 B 7 C 8 D 5

Lời giải Chọn D

Xét hàm số y f



x 1 1



Ta có



1



1

x

y f x

x



   

 ( Điều kiện x 1)

1 0

1 1

1 x x x x x

y

x

     



   

    

 

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

121 Bảng biến thiên

Dựa vào BBT hàm số y f



x 1 1



suy hàm sốcó điểm cực trị

Câu 28. Cho hàm số y f x

 

có đồ thịnhư sau Hỏi hàm số

y



f x

 

có điểm cực trị ?

A 5 B 6 C 7 D 8

Lời giải Chọn C

Do hàm số

y



f x

 

hàm số chẵn nên từđồ thị

 

C hàm số y f

 

x ta suy đồ thị



C1



của hàm số

y



f x

 

cách xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung đồ thị

 

C , phần đồ

thị cịn lại lấy đối xứng qua trục tung

Từđồ thị



C1



hàm số

y



f x

 

ta suy đồ thị



C2



hàm số

y



f x

 

cách giữ

Ta có đồ thị hàm số

y



f x

 

Dựa vào đồ thị hàm số

y



f x

 

ta thấy hàm số có điểm cực trị Câu 29. Biết đồ thị hàm số yx33x2 có dạng hình vẽ sau

x y

-2 -3

4

O 1

Hỏi đồ thị hàm số

y



x

3



3

x

2 có điểm cực trị?

A 0 B 1 C 2 D 3

Lời giải Chọn D

Ta có:

3

3

3

3

3

3 3

3

3 3

3

3

x x khi x x x

y x x

x x khi x x x

x x khi x x x khi x

      

    

      

 

   

  

   

 

Nên ta giữ nguyên phần đồ thị hàm số y x33x2

khi x  3 (tức phần đồ thị hàm số

3

3

y  x  x phía trục hoành), lấy phần đối xứng đồ thị hàm số y x33x2 khix  3(là phần đồ thị hàm số y x33x2 phía dưới trục hồnh) qua trục hồnh, rồi xóa bỏ phần đồ thị hàm số

3 3

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

123 x

y

-2

-3

4

O 1

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm sốcó điểm cực trị

Câu 30. Cho hàm số y f x( ) có đồ thịnhư hình Hàm số y  f

 

x có điểm cực trị?

A 3 B 1 C 2 D 5

Lời giải Chọn A

Giả sử

 

C :y f x( ),

 

C' :y f x( ) vẽnhư sau:

+) Gọi

 

C1 phần

 

C ứng với x0 +) Gọi

 

C2 đối xứng

 

C1 qua trục tung

Ta

     

C'  C1  C2

Dựa vào

 

C' ta thấy hàm số y f

 

x có ba điểm cực trị

Tập tất giá trị tham số m để hàm số y f x

 

m có ba điểm cực trị

A S  



1;3



B S 



1;3



C



 ; 1

 

 3;



D S   



; 3

 

 1; 



Lời giải

Chọn C

Giả sử

 

C1 :y f x

   

, C2 :y f x

 

m,

 

C3 :y f x

 

m Ta nhận thấy:

+) Sốđiểm cực trị

 

C3 AB với A sốđiểm cực trị

 

C2 B sốgiao điểm

 

C2 với trục hồnh (khơng tính tiếp điểm

 

C2 trục hồnh)

+)

 

C2 có tịnh tiến

 

C1 theo phương đứng

 

C1 có hai điểm cực trị nên

 

C2 có hai điểm cực trị

Chú ý:

- Khi

 

C2 trục hồnh có điểm chung điểm tạo

 

C2 cắt trục hoành - Khi

 

C2 trục hồnh có hai điểm chung hai điểm tạo

 

C2 cắt trục hoành điểm lại

 

C2 tiếp xúc trục hoành

Từ tất cảcác điều nêu ta có:

u cầu tốn 

 

C2 trục hồnh có khơng q hai điểm chung (*)

Dựa vào

 

C1 , ta thấy (*) thỏa mãn ta tịnh tiến

 

C1 dọc theo phương đứng xuống tối thiểu đơn vị lên tối thiểu đơn vị

Tức m m

     

Vậy: m  



; 1

 

 3; 



Câu 32. Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm y f

 

x liên tục  có đồ thịnhư hình

Tồn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

125 Chọn C

Từđồ thị f '

 

x suy

 

2

0

5 x

f x x

x        

  

Đặt g x

 

 f



x 1 m



Ta có '

 





, 1

x

g x f x m x

x 



     



 

 

 

 

1

' 2

1

x m

g x x m

x m

     

     

   

Chú ý:

- Hàm g x

 

đạt cực trị x 1 g'

 

x đổi dấu qua x 1

- Mỗi phương trình

 

1 ;

 

2 ;

 

3 có tối đa nghiệm phân biệt, tất cảđều có nghiệm phân biệt tất chúng đôi khác khác 1

Từ tất điều nêu ta thấy:

 

g x có nhiều điểm cực trị 

 

1 ;

 

2 ;

 

3

có nghiệm phân biệt

2

2

5 m

m m

m    

       



Kết hợp điều kiện m 



2020; 2020



, m ta m



3; 4; ; 2018; 2019; 2020



Câu 33. Cho hàm số y f x( ) hình vẽ Có giá trị ngun m để hàm số



12



y f x m có điểm cực trị ?

A 2 B 1 C 3 D 4

Lời giải Chọn A

Nhận xét: Do tồn



0;x0



mà f x( ) khơng số nên sốđiểm cực trị hàm số

 

y  f x 2a1, a sốđiểm cực trịdương f x( ) Do hàm số



12



y  f x m có tất 2a1 điểm cực trị, a sốđiểm cực trị lớn

12  hàm số y  f



(12x1)m





(12 1)



y  f x m có điểm cực trị 2;

12 12

m m

x   x  (Tìm từ12x 1 m 1; 12x 1 m1)

Yêu cầu toán thỏa mãn  hàm số y  f



12x 1 m



có điểm cực trị lớn

1 12

 1

12 12 12

m m

m 

          Do m nên m 



1, 0



Câu 34. Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm f'

 

x liên tục  đồ thị hàm số y f '

 

x hình vẽdưới

Gọi S tập hợp giá trị nguyên m để hàm số y f



x 1 m



có điểm cực trị Tổng tất phần tử tập hợp S

A. 12 B 9 C 7 D 14

Lời giải Chọn B

Nhận xét: Do tồn



0;x0



mà f x( ) khơng số nên sốđiểm cực trị hàm số

 

y f x 2a1, a sốđiểm cực trịdương hàm số f x( ) Do hàm số





y  f x m có tất 2a1điểm cực trị, a sốđiểm cực trị lớn 1 hàm số



( 1)



y  f x m

Từđồ thị hàm số y f '

 

x ta thấy hàm số y f x

 

có điểm cực trị x 2;x2;x5 Do

đó hàm số y f



(x1)m



có điểm cực trị xm3;xm1;xm4 (Tìm từ

(x1)m 2; (x1)m2; (x1)m5)

Yêu cầu toán thỏa mãn  hàm số y  f



(x1)m



có 1điểm cực trị lớn

1 

3

1

4 m

m m

m    



            



Do m nên m   



4; 3; 2



Vậy tổng giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán 9

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

127 Sốđiểm cực trị hàm số





2 y f x  x

A 3 B 5 C 7 D 9

Lời giải Chọn C

Đặt g x

 

 f x



22 x



, dễ thấy

 

g x xác định 

Với x0 ta có:

+)

 





' 2 x

g x x f x x

x

 

    

 









2

1

x

x f x x

x 

  

+)

 





1

'

2

x g x

f x x

     

  



+)





2

2

2

2

2

2

x x

f x x x x

x x

    

       

  

1

2 x x x       

  

1

1 2 x x x x

   

   

    

   

Chú ý: g'

 

x đổi dấu qua x0

Hàm số





y f x  x có cực trị

Câu 36. Cho hàm số y f x

 

có đồ thịnhư hình vẽdưới

Trong đoạn



20; 20



có số nguyên

m

để hàm số





11 37 10

3

y f xm  m  m có điểm cực trị?

A 36 B 32 C 40 D 34

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số

 





11 37 10

3

g x  f xm  m  m, ta có:

 

10 '





g x  f xm

 

0

2

x m x m

g x

x m x m

  

 

   

   

 

Bảng biến thiên g x

 

:

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

129

2

18 11 37

30 11

3 5

11 37

10 15

2

3

11 m

m m

m

m m

m  



 

  

 

 

 

    

  

 



Do m số nguyên thuộc



20; 20



nên m 



20; 19; ; 2; 2;5; 6; ; 20 



Vậy có 36 giá trị m thỏa mãn đề

Câu 37. Cho hàm số y f x

 

Hàm số y f

 

x có đồ thịnhư hình vẽdưới

Hàm số

 

4

y f x  x  x  x có tối đa điểm cực trị ?

A 5 B 6 C. D 8

Lời giải Chọn C

Xét hàm số g x

 

4f x

 

2x37x28x1, ta có:

 

0 4

 

6 14 8 0

 

2 *

 

2

g x   f x  x  x   f x  x  x

Đường cong y f

 

x cắt parabol

2

y x  x ba điểm có hồnh độ

0 ; 1;

x  x x Do

 

*

0

x x x

  

 

   

Và g x

 

đổi dấu qua điểm x 0;x1;x 2 nên g x

 

có ba điểm cực trị Ta có bảng biến thiên

Suy phương trình g x

 

0 có tối đa bốn nghiệm Vậy hàm số y g x

 

có tối đa 4 7 điểm cực trị

Câu 38 Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm liên tục  đồ thị f

 

x hình vẽdưới

Đặt

 

 

3

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

131

A 3 B 5 C. D 2

Lời giải Chọn A

Đồ thị hàm số f

 

x đổi dấu qua điểm xa x; c không đổi dấu qua điểm

xb

Do f

  

x  x a



2n1



x b

 

2p x c



2q1.g x

 

với n p q, , ; p0; g x

 

0  x 

Xét hàm số

 

 

3

h x  f x , ta có:

 

 







 



 







 



 

2

2 2

2 3 3

2 2

2 3 3

3

3

3

n p q

n p q

h x x f x

x x a x b x c g x

x x a x b x c g x

 

 

  

   

   

Nhận thấy h x'

 

đổi dấu qua điểm 3 ;

x a x c h x

 

có hai điểm cực trị

3

;

x a x c

Mặt khác: có x 3c là điểm cực trịdương nên hàm số g x

 

có

2.1 1 3 điểm cực trị

Câu 39. Cho hàm số y f x

 

có đồ thị hình bên Đồ thị hàm g x

 

 15f x

 

1 có

điểm cực trị?

A 4 B 5 C 6 D 7

Xét h x

 

15f x

 

 1 h x

 

15f

 

x

 

 

2 x

h x f x

x          

  

 

1 39;

 

1 37;

 

2 17;

 

2 15 h  h    h  h    Bảng biến thiên h x

 

:

Ta thấy đồ thị hàm số h x

 

có điểm cực trị cắt trục Ox điểm

Suy đồ thị hàm số g x

 

 15f x

 

1 có điểm cực trị

DẠNG 4: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA HÀM ĐA THỨC CHỨA

THAM SỐ

Câu 40. Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y x3 3mx2 3



m2 4



x 1 có điểm cực trị?

A 3 B 4 C. D 6

Lời giải Chọn B

Đặt f x

 

x33mx23



m24



x1, ta có

 





'

f x  x  mx m 

 

'

2 x m f x

x m   

     

Dễ thấy f x

 

có hai điểm cực trị

Đặt g x

 

 x3 3mx23



m24



x 1, dễ thấy g x

 

 f

 

x

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

133 Do m nên ta m 



1;0 ;1; 2



Câu 41. Có số nguyên m để hàm số y 3x515x3 60xm có điểm cực trị? A 289 B 288 C 287 D 286

Lời giải Chọn C

Xét y3x515x360x có y 015x445x2 600 x2 4 x 2 Vậy hàm số y3x515x360x có điểm cực trị x2;x 2

Bảng biến thiên:

Vậy để hàm sốcó điểm cực trị

5

3x 15x 60x m

     có tổng số nghiệm đơn bội lẻ

5

3x 15x 60x m

     có tổng số nghiệm đơn bội lẻ 144 m 144

     Mặt khác m nên m { 143; ;143} Có 287 số nguyên thỏa mãn

Câu 42 Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y x3



2m1



x23m x 5 có

điểm cực trị

A ;1



1;



4

 

  

 

 

B 1;



1;



2

 

  

 

 

C



1;



D 0;1



1;



4  

   

  Lời giải

Chọn D





2

2

3 m x m

y x   

Yêu cầu toán tương đương hàm số





2

y x  m x  mx có điểm cực trịdương

0 y





2 3x  m x m0

 có nghiệm dương phân biệt













2

2

1

2 1

0 1 0; 1;

3

4 3 m m m m S m m m P                                     .

Câu 43. Có số nguyên m 



20 ; 20



để hàm số y x2 2xm 2x1 có ba điểm cực trị?

A 17 B 18 C 19 D 20

Lời giải Chọn C

Xét x22xm0 Ta có:    1 m - TH1:    m1



2

x  xm  x 

 x22xm x2 2xm

 2

2 1

y x  xm x x m có điểm cực trị x0(Loại) - TH2:    m1

 x22xm0 có hai nghiệm phân biệt x1  x2

Khi đó:









2

2

2 2 2

2

x x x m x x m

y

x x m

         





2

2 2

2

0

2 2

2

x

x x m

y

x

x x m

                           2 2 x

x x m

x

x x m

                 0 x m x m               + Với 0m1  Khơng có giá trị nguyên mthỏa mãn + Với m0  Hàm sốcó điểm cực trị (thỏa mãn)

 m 



19, , 1



Vậy có 19 giá trị nguyên m thõa mãn điều kiện đề

Câu 44. Cho hàm sốđa thức bậc bốn y f x

 

có ba điểm cực trị x1;x2;x3 Có số nguyên



10 ;10



m  để hàm số y f



xm



có điểm cực trị

A 17 B 18 C 19 D 20 Lời giải

Chọn C

Hàm số y f



xm



có cực trị  Hàm số y  f

 

x có điểm cực trị Hàm số

 

y  f x có điểm cực trịdương

(Điều giả thiết) Do m 



10 ;10



m  m 



9, , 9



Vậy có 19 giá trị nguyên m

Câu 45 Cho hàm số f x

 

liên tục  có đạo hàm

 

3x 4x 5x

f x    Hàm số y f

 

x có sốđiểm cực đại

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

135 Lời giải

Chọn C

Ta có

 

5

x x

f x         x

   

Ta có bảng xét dấu f

 

x

Suy bảng biến thiên hàm số y f

 

x có dạng

Vậy hàm số y f

 

x có hai điểm cực đại

Câu 46. Cho hàm số y f x

 

liên tục  có đạo hàm f

 

x x2 x Hàm số y f x

 

có điểm cực trị?

A 1 B 2 C 3 D 5

Lời giải Chọn C

Ta có

 

2

3

f x  x  x  xC với C số

Từđó suy hàm số f x

 

có hai cực trịvà đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm

Do hàm số y f x

 

có điểm cực trị

Câu 47. Cho hàm số

 

11

2 2019

4

f x  x  x  x  x Có giá trị nguyên m 



2019; 2020



để

hàm số y f



xm1



2020 có điểm cực trị

A 4039 B 2019 C 2020 D 4040 Lời giải

Chọn D

 

1

0 11

3 x

f x x x x x

x            

   

Hàm số y f



xm1



2020 có điểm cực trị  Hàm số y f x



m1



có điểm cực trị

lớn 1m

Ta có:





1

1

1

x m x m

f x m x m x m

x m x m

    

 

 

          

 

      

 

Để hàm số y f x



m1



có điểm cực trị lớn 1m

2

3

4

m m

m m

m m

   



   

    

m   

Do m 



2019; 2020



nên có 4040 số ngun thỏa điều kiện tốn

Câu 48. Gọi S tập hợp số nguyên m để hàm số



2



3

y x  mx  m xm m có điểm cực trị Tổng phần tử S

A.2 B 3 C 4 D 7

Lời giải Chọn B

Đặt f x

 

 x33mx23 1



m2



xm3m2

Hàm số y x33mx23 1



m2



xm3m2 có điểm cực trị

Đồ thị hàm số y f x

 

 x33mx23 1



m2



m3m2 cắt trục hoành điểm phân biệt (*)

Ta có:

 





2

2

2

1

3

1

x m y m m

f x x mx m

x m y m m

                

       

Khi (*)



 



1

y y   m  m m  m 



 



3 17

1

3

3 17

2 m

m m m m

m  

  

         

 

   

Do m nguyên nên m0,m3 Vậy S 



0;3



nên tổng phần tử S

Câu 49. Cho hàm số

  







1 3

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

137

A 3 B 1 C 2 D 4

Lời giải Chọn D

Ta có: y  f x

 

có đồ thị

 

C

 

y f x hàm chẵn  đồ thị hàm số y f

 

x có cách bỏ phần đồ thị

 

C nằm phía trái trục tung, giữnguyên đồ thị

 

C nằm bên phải trục tung, sau lấy đối xứng qua trục tung

+TH1:

1

m  y  x  x

Đồ thị hàm số

5

y  x  x Đồ thị hàm số y 5 x24 x 3 có cực trị Vậy m1 thỏa yêu cầu

+ TH2: m 1 f x

  

 m1



x35x2



m3



x3 hàm số bậ c Hàm số y f

 

x có điểm cực trị

 hàm số y f x

 

có điểm cực trị x x1, 2 thỏa x1 0x2





 

3 m x 10x m *

      có nghiệm x x1, 2 thỏa x1 0x2

+ x1 0x2 3



m1



m3



0  3 m1 Vì m nên m 



2; 1; 0



+ Nếu

 

* có nghiệm x1 0m 3 0m 3

Khi

 

* trở thành:

0

12 10 5

6 x

x x

x   

   

   

( Không thỏa mãn) Vậy có giá trị m

Câu 50. Tổng giá trị nguyên tham số m để hàm số 3

m

y x  x  x  có điểm cực trị A 2016 B 1952 C 2016 D 496

Lời giải Chọn A

Xét hàm số

 

3 m f x  x  x  x 

Ta có f

 

x 3x26x90 x x

     



Ta có bảng biến thiên

Để thỏa yêu cầu đồ thị

 

C :y f x

 

cắt trục hoành điểm phân biệt

2 0 64

32

m

m m

   

   

   



 Mà m nên m



1; 2;3; ; 63



Tổng giá trị nguyên m là: 63 63 63





2016

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

139 BÀI TẬP VẬN DỤNG – CỰC TRỊ HÀM SỐ

Câu 1: (Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp năm 2017) Hàm số y f x

 

xác định, liên tục R

đạo hàm f'

 

x 2



x1

 

2 2x6



Khi hàm số f x

 

A.Đạt cực đại điểm x1

B.Đạt cực tiểu tạo điểm x 3 C.Đạt cực đại điểm x 3 D.Đạt cực tiểu điểm x1

Câu 2: (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần

năm 2017) Cho hàm số y f x

 

xác định, liên tục  có đồ thịlà đường cong hình vẽ

bên Hàm số f x

 

đạt giá trị cực đại bao nhiêu?

A. B. -1

C. D.

Câu 3: (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần năm 2017) Đồ thị hàm số yx33x2 có điểm cực trị A, B Tìm tọa độtrung điểm M đoạn thẳng AB

A. M



2; 4



B. M



2;0



C. M



1;0



D. M



0; 2



Câu 4: (Trường THPT Đức Thọnăm 2017) Tìm điểm cực tiểu đồ thị hàm số 2 3

y x  x  x

A.



3;1



B. x3 C. 1;7    

  D. x1

Câu 5. (Trường THPT Hàm Rồng lần năm 2017) Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đềsai A Hàm số

2

y x  x  có hai điểm cực trị B Hàm số

yx  x khơng có cực trị C Hàm số

1 y x

x  

 có hai cực trị D Hàm số

4

2

yx  x  có ba điểm cực trị

Câu 6: (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Đồ thị hàm số bốn đồ thị hàm sốđược liệt kê

ở bốn phương án A,B,C,D có điểm cực trị? A. yx33x21 B.

2 x y

x  

 C.

2

y x  x D. ytanx

Câu 7: (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm

 

2







3

'

f x x x x Hỏi đồ thị hàm sốcó điểm cực trị?

A. B. C. D.

Câu (Trường THPT Hồng Quang lần năm 2017) Đồ thị hàm số y x42x21 có điểm cực trị



0; ,



A  B x y



1; 1



,C x y



2; 2



Tính y1y2

A 4 B 2 C 0 D 8

Câu 9: (Trường THPT Kim Liên lần năm 2017) Cho hàm số yxsin 2x1 Mệnh đềnào sau đúng?

A. Hàm số nhận

x làm điểm cực tiểu B. Hàm số nhận

x làm điểm cực đại

C. Hàm số nhận

x  làm điểm cực tiểu D. Hàm số nhận

x làm điểm cực đại

Câu 10: (Trường THPT Kim Sơn A lần năm 2017) Trong hàm sốdưới đây, hàm số khơng có cực trị?

A.

3

yx  x B.

3 x y

x  

 C. yx44x33x1 D.





2n 2017 *

yx  x n

Câu 12: (Trường THPT Lê Lợi năm 2017) Xét f

 

x hàm số tùy ý Trong bốn mệnh đề sau có mệnh đềđúng?

(I) Nếu f x

 

có đạo hàm x0 đạt cực trị x0 f

 

x0 0 (II) Nếu f

 

x0 0 f x

 

đạt cực trị xx0

(III) Nếu f

 

x0 0 f

 

x 0 f x

 

đạt cực đại xx0 (IV) Nếu f x

 

đạt cực tiểu xx0 f

 

x 0

A. B. C. D.

Câu 13: (Trường THPT Lê Quý Đôn năm 2017) Hàm số

4 2

x

y   x  đạt cực đại điểm nào?

A. x 3 B. x0 C. x2 D. x4

Câu 14: (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm

2017) Đường thẳng qua hai điểm cực tiểu đồ

thị hàm số 2 3

y x  x  là: A. y 5 B. y 3 C. y D. y0

Câu 15: (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm 2017) Đồ thị hàm số y x x

  có điểm cực trị?

A. B. C. D.

Câu 16: (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm 2017) Hàm số

2

x y

x

 

 đạt cực đại tại:

A. x1 B. x2 C. x3 D. x0

Câu 17: (Trường THPT Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm 2017) Cho hàm số

2 3

x y

x

 

 Khẳng định sau đúng?

A. Hàm sốđạt cực tiểu x 1 B. Hàm sốđạt cực đại x3 C. Giá trị cực tiểu 2

D. Hàm số có hai cực trị yCD  yCT

Câu 18: (Trường THPT Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm 2017) Cho hàm số y f x

 

liên tục  có bảng biến thiên

x  -1  '

y - + + - y 

-2  Khẳng định sau

A. Hàm số có ba điểm cực trị

B. Hàm sốđạt cực tiểu x 1 C. Hàm sốđạt cực đại x2 D. Hàm sốđạt cực đại x0

Câu 19: (Trường THPT Ngô Gia Tự lần năm 2017) Cho hàm số

2

y x x, tìm khẳng định đúng?

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

141 B Hàm sốđã cho có cực đại

2 y 

C Hàm sốđã cho có cực tiểu

y  D Hàm sốđã cho cực trị

Câu 20: (Trường THPT Lương Văn Tài lần năm 2017) Kí hiệu d khoảng cách hai điểm cực trị

đồ thị hàm số y x33x2 Tính d?

A. d2 B. d2 10 C. d 2 D. d 4

Câu 21: (Trường THPT Ngô Quyền lần năm 2017) Đồ thị hàm số yx39x224x4 có điểm cực tiểu cực đại A x y



1; 1



B x y



2; 2



Giá trị y1y2 bằng:

A. y1y2 2 B. y1y2 4 C. y1y2 0 D. y1y2 44

Câu 22: (Trường THPT Ngô Quyền lần năm 2017) Cho hàm số y f x

 

có bảng biến thiên sau:

x  1 

y    

y  0 

1

 1

Mệnh đềnào mệnh đềđúng?

A. Hàm sốcó cực trị B. Hàm số có giá trị cực tiểu C. Hàm số có giá trị cực đại D. Hàm sốđạt cực tiểu x0

Câu 23. (Trường THPT Ngô Sỹ Liên lần 1 năm 2017) Số cực tiểu hàm số y x43x21 là:

A. B. C. D.

Câu 24: (Trường THPT Nguyễn Công Trứ năm 2017) Cho hàm số y2x33x212x12 Gọi x x1, 2 lần

lượt hoành độhai điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số Kết luận sau ?

A.



x1x2



2 8 B. x x1 22 C. x2x13 D. 2

1

x x 

Câu 25: (Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai – HN năm 2017) Cho hàm số y f x

 

xác định liên tục khoảng



0; có b



ảng biến thiên

x

 

'

f x + || -

 

f x

 

0 f

 

1 f

 

2 f Khẳng định sau đúng?

A. Hàm sốđạt cực tiểu x1 B. Hàm sốđạt cực đại x1

C. Trên



0; , hàm s



ố khơng có cực trị

D. Giá trị nhỏ hàm số



0;



f

 

0

Câu 26: (Trường THPT Năng Khiếu HCM năm 2017) Gọi A B C, , bao điểm cực trị đồ thị hàm số

4 2 1

yx  x Diện tích tam giác ABC là:

A. B. C.

2 D.

Câu 27: (Trường THPT Quỳnh Lưu lần năm 2017) Cho hàm số y f x

 

xác định, liên tục R có bảng biến thiên

x   y’ + || - -

y



2

 Khẳng định sau ?

A. Hàm sốcó hai cực trị B. Hàm sốkhông xác định x1 C. Hàm số có giá trị cực đại D. Hàm số có giá trị cực đại

Câu 28:(Sở GD ĐT Bắc Giang năm 2017) Cho hàm số f x( )



x1

 

2 x2



Mệnh đềnào sau

sai?

A.Điểm cực tiểu hàm số x1 B. Hàm số có cực đại cực tiểu C.Điểm cực đại hàm số x 1 D. Hàm số có cực đại khơng có cực tiểu Câu 29:(SởGD ĐT Bắc Giang năm 2017)

Cho đồ thị hàm số f x

 

hình vẽ

Sốđiểm cực trị đồ thị hàm số

A. B.

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

143 Câu 30: (Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp năm 2017) Biết hàm số

 

y f x x ax bxc

đạt cực tiểu điểm x1, f

 

1  3 đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ Tính giá trị hàm số x 2

A. f

 

2 24 B. f

 

2 4 C. f

 

2 2 D. f

 

2 16

Câu 31: (Trường THPT Đức Thọnăm 2017) Xác định hệ số a,b,c đểđồ thị hàm số yax4bx2c, biết

điểm A



1; ,



B



0;3



điểm cực trị đồ thị hàm số

A. a 1;b2;c3 B. 1; 3;

4

a  b c  C. a1;b3;c 3 D. a1;b 2;c3

Câu 32: (Trường THPT Đức Thọnăm 2017) Cho hàm số yx3ax2bx c giả sử A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số Khi điều kiện sau cho biết AB qua gốc tọa độ O?

A. ab 9 3a B. c0 C. ab9c D. a0

Câu 33: (Trường THPT Kim Liên lần năm 2017) Cho hàm số y x3ax2bxc Biết đồ thị hàm sốđi qua điểm A



0; 1



có điểm cực đại M



2;3



Tính Qa2b c

A. Q0 B. Q 4 C. Q1 D. Q2

Câu 34: (Trường THPT Lương Đắc Bằng năm 2017) Cho hàm số









3

2

1

3

x

y   a x  a x Tìm a

để hàm sốđạt cực đại x1

A. a 1 B. a3 C. a 3 D. a0

Câu 35: (Trường THPT Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm 2017) Biết đồ thị hàm số

 

y f x ax bx c có hai điểm cực trị A



0; 2



B



2; 14



Tính f

 

1 A. f

 

1 0 B. f

 

1 5 C. f

 

1  6 D. f

 

1  7

Câu 36: (Trường THPT Nguyễn Công Trứ năm 2017) Biết phương trình  

0

ax bx cxd  a có

đúng hai nghiệm thực Hỏi đồ thị hàm số y ax3bx2cxd có điểm cực trị ? A. B. C. D.

Câu 37: (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Cho hàm số f x

 

x3ax2bxc



a b c, , 



Biết hàm sốđạt cực trị điểm x 2 đồ thị hàm sốđi qua điểm A



1;0



Khi tổng

2a b c

A. B. C. D. -1

Câu 38: (Trường THPT Quỳnh Lưu lần năm 2017) Giả sử khoảng



; 0



hàm số



1



1



4



1



1



2

y a x   a b x  a b đạt giác trị lớn x 3 Hỏi đoạn 1;3       hàm sốđạt giá trị lớn bao nhiêu?

A. 12 B. 11 C. 10 D. 13

Câu 39:(SởGD ĐT Bắc Ninh năm 2017) Tìm a b, để cực trị hàm số





1

yax  a x  xb

đều sốdương x0  1là điểm cực tiểu

A.

1 a b

  

 

B.

2 a b

  

 

C.

2 a b

  

  

D.

3 a b

  

  

Câu 40:(SởGD ĐT Đà Nẵng năm 2017) Cho hàm số f x

 

x3ax2bxc a b c



, , 



có f

 

2 16

và đạt cực trị điểm x2,x 2 Tính f

 

2

A. f

 

2 4 B. f

 

2  16 C. f

 

2 0 D. f

 

2  12

Câu 41:(SởGD ĐT Hà Nam năm 2017) Biết đồ thị hàm số yax3bx2cxd có điểm cực trị



0; ,





1; 3



A. y

 

2  8 B. y

 

2  6 C. y

 

2  4 D. y

 

2  2 Câu 42:(SởGD ĐT Hà Nam năm 2017) Cho hàm số

yax bx cxd có điểm cực trị thỏa mãn









1 1;0 , 1;

x   x  Biết hàm sốđồng biến khoảng



x x1; 2



đồng thời đồ thị hàm số cắt trục tung

điểm có tung độ âm Mệnh đềnào đúng?

A. a0,b0,c0,d0 B. a0,b0,c0,d0 C. a0,b0,c0,d 0 D. a0,b0,c0,d 0

Câu 43: (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Gọi d đường thẳng qua cực đại cực tiểu đồ

thị hàm số

3

9

x

y mx  x Tìm tất giá trị m để d qua điểm 9;8

A   

A. m 4 B. m 3 C. m4 D. m4 m 3

Câu 44: (Trường THPT Hàn Thuyên lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m đểđồ thị hàm số



1



2017

3

yx  m x  x khơng có điểm cực trị

A. m 3 B. 2 m1 C m1 D. 3 m1 Câu 45: (Trường THPT Hoằng Hoá năm 2017) Cho hàm số y



x m



3 3x m2

    (1) Gọi M điểm cực

đại đồ thị hàm số số (1) ứng với giá trị m thích hợp, đồng thời M điểm cực tiểu đồ thị hàm số (1) ứng với giá trị khác m Có điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài?

A. B. C. D.

Câu 46: (Trường THPT Đặng Thúc Hứa lần 1 năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m đểđồ thị hàm số y 2x3 3



m 1



x2 6mx

    có hai điểm cực trị A B, cho đường thẳng AB vng góc với đường thẳng

yx

A. m0 m2 B. m0, m 1 m 2

C. m0 m 1 D. m0, m1 m2

Câu 47: (Trường THPT Kim Liên lần năm 2017) Cho hàm số ymx33mx2



m1



x4 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm sốkhơng có cực trị

A.

3

m B. 

m C.

4

m D. m

Câu 48: (Trường THPT Kim Liên lần năm 2017) Cho hàm số



1





3 2



y x  m x  m  m x m đạt

cực tiểu x0 Tìm tọa độgiao điểm A đồ thị hàm số với trục tung

A. A 0;







B. A



0;



C. A



0; 



D. A



0;1



Câu 49: (Trường THPT Kim Sơn A lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số





3 2

1

1

3

y x mx  m m x đạt cực đại x1 ?

A. m0 B. m1 C. m4 D. m2

Câu 50. (Trường THPT Lương Thế Vinh lần 1 năm 2017) Cho hàm số

 









1

3

f x  x  m x  m xm Tìm m đểđồ thị hàm số y f

 

x có điểm cực trị

A m1. B m4. C  3 m 1. D m0.

Câu 51: (Trường THPT Ninh Giang năm 2017) Tìm m đểđồ thị hàm số yx33mx21 có hai điểm cực trị

A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ)

A. m 3 B. m 1 C. m 5 D. m 2

Câu 52: (Trường THPT Ngô Gia Tự lần năm 2017) Cho đường thẳng d y:  4x1 Đồ thị hàm số

3

3

yx  mx có hai điểm cực trị nằm đường thẳng d khi:

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

145 Câu 53. (Trường THPT Ngô Sỹ Liên lần năm 2017) Cho hàm số









3

2

1

3

m x

y   m x  x Hàm số cho đạt cực tiểu x1 , đạt cực đại x2 đồng thời x1x2 khi:

A. m5 B. m1 m5 C. m1 m5 D. m1 Câu 54. (Trường THPT Ngô Sỹ Liên lần năm 2017) Cho hàm số









3

1

3

m x

y   m x Tập hợp tất

cả giá trị tham số m để hàm sốđã cho khơng có cực trị là:

A.

 

1 B.



0; 2



C.



0; 2

  

\ D.



;0

 

 2;



Câu 55: (Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm năm 2017) Cho hàm sốyx33x2m (m tham số) Với giá trị m đồ thị hàm số hàm sốcó hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh ?

A m4 B 0m4 C m4 D

4 m m

    

Câu 56: (Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm năm 2017) Cho hàm số









3 2

2

1

3

y x  m x  m  m xm có cực trị x x1, 2 Giá trị lớn biểu thức





1 2

2

A x x  x x bằng:

A 0 B 8 C 9 D 

Câu 57: (Trường THPT Nguyễn Khuyến năm 2017) Cho hàm số









2

3 m

y x mx  m x C , với m

là tham số Xác định tất giá trị m đểcho đồ thị hàm số



Cm



có điểm cực đại cực tiểu nằm

phía trục tung?

A. 1; \ 1

 

2

m  

  B. 0m2 C. m1 D.

1

1 m   

Câu 58: (Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai – HN năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m

sao cho đồ thị hàm số yx33mx23m2 có hai điểm cực trị A,B mà tam giác OAB có diện tích 48 (O gốc tọa độ )

A. m2 B. m 1 C. m 2 D. m1

Câu 59: (Sở GD ĐT Cần Thơ năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

3

3

y x  m x có hai điểm cực trị A B cho AB2

A. m 2 B. m1 C. m2 D. m 1

Câu 60:(SởGD ĐT Điện Biên năm 2017) Giá trị m để hàm số yx33xm có cực đại, cực tiểu cho giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số trái dấu là:

A. m2 B. 2 m2 C. m 2 D.

2 m m

     

Câu 61: (Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp năm 2017) Với giá trị tham số m đồ thị hàm số





4

2 2017

yx  m x m  m  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 32?

A m2 B m3 C m4 D. m5

Câu 62. (Trường THPT Hà Trung lần năm 2017) Tìm tất giá trị m để hàm số









1 2

y m x  m x  có ba cực trị

A m 1 B  1 m2 C  1 m2 D m2 Câu 63: (Trường THPT Hà Trung lần năm 2017) Cho hàm số

2

yx  mx  Tìm giá trị thực tham số m đểđồ thị hàm sốcó ba điểm cực trị A B C, , cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích

Câu 64: (Trường THPT Lạng Giang lần năm 2017) Đồ thị hàm số 4

2

yx  mx  m m có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác vuông m nhận giá trị

A m  B m 1 C m D m1

Câu 65: (Trường THPT Lê Lợi năm 2017) Với giá trị nguyên k hàm số





4

4 2017

ykx  k x  có ba cực trị

A. k = B. k = -1 C. k = D. k =

Câu 66: (Trường THPT Lê Quý Đôn năm 2017) Cho hàm số y f x

 

x42



m1



x2m2. Tìm m đểđồ thị hàm sốcó điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác vuông

A. m2 B. m1 C. m 1 D. m0

Câu 67: (Trường THPT Lục Ngạn lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số thực m đểđồ thị hàm số y x42mx21có điểm cực trị tạo thành tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với gốc tọa

độ O

A. m1

m   B. m1

2

m  

C. m0 m1 D.

2

m   m  

Câu 68: (Trường THPT Lương Văn Tài lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị

hàm số yx42



m1



x2m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích ?

A. m2 B. m 3 C. m D. m1

Câu 69:(Trường THPT Ninh Giang năm 2017) Tìm giá trị tham số m đểđồ thị hàm số





4

2

ymx  m x m có cực đại khơng có cực tiểu

A. m m      

B. m0 C.

0 m m      

D.

2 m

Câu 70: (Trường THPT Phan Đình Phùng năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số





2

ymx  m  x  có hai cực tiểu cực đại A. m  0m B.  m0

C. m D. 0m

Câu 71 (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Tất giá trị tham số m để hàm số





1

y m x đạt cực đại x0 là:

A m1 B m1 C Không tồn m D m1

Câu 72: (Sở GD ĐT Phú Thọ năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số

4

2

yx  mx  có điểm cực trịlà ba đỉnh tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp

A.

2

m   B. 1;

2

m m  C. m1 D. 1;

2 m m 

Câu 73:(SởGD ĐT Vũng Tàu lần năm 2017) Tất giá trị tham sốm đểđồ thị hàm số

4 2 1

yx  mx  có ba điểm cực trị A, B, C cho OA OB OC  3 A. m m         B. m m        C. 2 m m         D. 2 m m         

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

147 A 0;1

 

1

3  

   

  B 1;

3  

  

  C

1 0; 1;

3

 



 

  D





1;

3        

Câu 75. (Trường THPT Lương Văn Tuỵnăm 2017) Đểđồ thị hàm số y x42



m4



x2m5 có điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O



0; 0



làm trọng tâm là:

A. m0 B. m2 C. m1 D. m 1

Câu 76: (Trường THPT Chuyên Hà Giang năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y x42



m21



x21 có điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn

A. m0 B.

2

m  C. m1 D.

3 m

Câu 77: (Trường THPT Chuyên ĐHV lần năm 2017) Tìm tất giá trị tham số a để hàm số

2

yax x  có cực tiểu

A. 1 a1 B. 0a1 C. 1 a2 D. 2 a0 Câu 78: (Trường THPT Chuyên ĐHV lần

năm 2017) Cho hàm số bậc ba y f x( ) có đồ

thịnhư hình vẽ bên Tất giá trị tham số m để hàm số y f x( )m có ba điểm cực trị

A m 1 m3 B m 3hoặc m1 C m 1 m3 D 1m3

Câu 79: (Trường THPT Chuyên Bắc Kan năm 2017) Cho hàm số 1sin sin

y xm x Tìm tất giá trị

của m để hàm sốđạt cực đại điểm x

A. m0 B. m0 C.

2

m D. m2

Câu 80 (Trường THPT Bắc Trung Nam lần năm 2017) Cho hàm số yx42mx22m2m4 và điểm



0; 3



D  Tìm tất giá trị m đểđồ thị hàm sốđã cho có ba điểm cực trị A, B, C cho tứ giác ABDC hình thoi (trong A Oy )

ĐÁP ÁN

Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án

1 B 21 B 41 A 61 D

2 C 22 C 42 D 62 C

3 D 23 A 43 C 63 A

4 A 24 C 44 D 64 D

5 D 25 B 45 D 65 C

6 C 26 B 46 A 66 D

7 A 27 C 47 C 67 A

8 A 28 D 48 A 68 D

9 A 29 D 49 D 69 B

10 D 30 A 50 A 70 D

11 B 31 D 51 B 71 A

12 C 32 C 52 D 72 D

13 C 33 D 53 D 73 A

14 A 34 D 54 D 74 C

15 B 35 B 55 B 75 C

16 A 36 A 56 C 76 A

17 D 37 B 57 A 77 A

18 B 38 A 58 A 78 A

19 C 39 B 59 D 79 B

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 PHẦN : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa.

Giả sử hàm số y f x

 

xác định tập hợp D với D

a. Nếu tồn điểm x0D cho f x

 

 f x

 

0 với xD số M  f x

 

0 gọi giá trị lớn của hàm số f x

 

D kí hiệu max

 

x

M f x

 

D

Hoặc

 

 

 

0

max

: x

f x M x

M f x

x f x M



   



  

  

 

D

D

D

b. Nếu tồn điểm x0D cho f x

 

 f x

 

0 với xD số m f x

 

0 gọi giá trị nhỏ của hàm số f x

 

D kí hiệu

 

x

m f x

 

D

Hoặc

 

 

 

0

min

: x

f x m x

m f x

x f x m



   



  

  

 

D

D

D

Chú ý:Muốn chứng tỏ số M (hoặc m) giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) hàm số y f x

 

tập hợp D cần rõ:

 f x

 

M (hoặc f x

 

m) với xD

 Tồn điểm x0D cho f x

 

0 M (hoặc f x

 

0 m) 2 Phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số.

Bài tốn: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x

 

D

Phương pháp: Để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số D ta tính y' f'

 

x tìm

điểm đạo hàm khơng xác định, sau lập bảng biến thiên D từ bảng biến thiên suy giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

Một số ý:

 Nếu hàm số tăng đoạn



a b;



 

 

 

 

max

min

f x f b f x f a

 

 

 



D D

 Nếu hàm số giảm đoạn



a b;



 

 

 

 

max

min

f x f a f x f b

 

 

 



D

D

 Nếu hàm số y f x

 

liên tục đoạn



a b;



hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ

đoạn



a b;



 Nếu tốn u cầu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng



a b;



ta lập

bảng biến thiên từ bảng biến thiên suy giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

 Nếu tốn khơng cho tập D ta mặc định tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số tập xác định

 Nếu hàm số y f x

 

hàm tuần hồn với chu kỳ T tìm giá trị lớn giá trị nhỏ

trên D ta cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn D có độ dài T

 Khi ta đặt ẩn phụ xu t

 

với xD t E hàm số trở thành yg t

 

giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ hàm số y f x

 

D giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

hàm số yg t

 

E

 Chúng ta cần phân biệt rõ giá trị lớn (nhỏ nhất) giá trị cực đại (cực tiểu) hàm số, hai

II CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y f x

 

miền D =



a b;



a Phương pháp:

Nếu hàm số y f x

 

liên tục đoạn



a b;



hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn



a b;



cách tìm giá trị lớn giá trị nhỏ sau:

 Bước 1: Tính đạo hàm y' f '

 

x tìm điểm xi



a b;



đạo hàm không xác đinh

 Bước 2: Tính giá trị f x

 

i , f a

 

, f b

 

 Bước 3: So sánh

 



 

 

 



 



 

 

 



max max , ,

min , ,

i

i

f x f x f a f b

f x f x f a f b

 

 

 



D

D

Chú ý:

o Để tính nhanh f x

 

i , f a

 

, f b

 

ta nhập

 

; ;

i

Calc x x x a x b

f x     so sánh kết cho nhanh xác

o Để sử dụng máy tính từ đầu ta làm sau: Sử dụng chức mod7

Nhập

 

; ; ;

19 b a

f X Starta Endb Step  ; sau xuất bảng, nhìn vào bảng ta tìm

được max – hàm số

b Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1. (THPT Lý Tự Trọng – Khánh Hòa – 2017) Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

3

3 35

yx  x  x đoạn



4; 4



là?

A. 20 2 B. 40 31 C. 10 11 D. 40 41 Giải

Cách Tự luận Xét hàm số

3 35

yx  x  x đoạn



4; 4



ta có

' y  x  x









2 4;

'

3 4; x

y x x

x

            

   

khi

 

 

 

 

4 41; 15 40;

y y

y y

   

  

  

 

 4;4

 

maxy y 40



   

 4;4





miny y 41

    

Chọn đáp án D

Cách Sử dụng máy tính với mod7

 

3 9 35; 4; 4; 0, 5

f x X  X  X  Start  End  Step ta có bảng

Từ bảng ta thấy

 4;4  4;4

maxy 40; miny 41 

    Chọn đáp án D

Chú ý: Vì giá trị max – đáp án số đẹp nên ta lấy bước nhảy 0,5 thay lấy

 

4

0, 42 19

 



Ví dụ 2. (Sở GD ĐT Bắc Ninh – lần – 2017) Tìm giá trị lớn hàm số

2 4

x y

x



 đoạn

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 A

 3; 1

13 max

3 y

    B  3; 1 13 max

3 y

   C  3; 1

13 max

6 y

    D max 3; 1y 4 Giải

Cách Tự luận Xét hàm số

2 4

x y

x



 đoạn



 3; 1



ta có

2

2

4

' x ' x

y y x x       









 

 

 

2 3; 13

3 ; 5;

3 3;

x

y y y

x                      

 3; 1

 

maxy y

 

     Chọn đáp án D

Cách Sử dụng máy tính với mod7

 

2

; 3; 1; 0,

X

f x Start End Step

X 

      ta có bảng

Từ bảng ta thấy

 3; 1 maxy

    Chọn đáp án D

Chú ý:

 Vì giá trị max – đáp án D số đẹp nên ta lấy

 

3 0,1053 19

  

 sau lấy bước nhảy

0,2 ta thấy đáp án gần 4 nên chọn đáp án D

 Các ví dụ độc giả tự dùng máy tính để tìm max –

Ví dụ 4.(THPT Chu Văn An – Hà Nội – Lần 2) Tìm giá trị nhỏ hàm số

2 x x y x  

 đoạn



0;3 ?



A 0 B

 C 4 D 1 Giải

Xét hàm số

2 x x y x  

 đoạn



0;3 ta có







2

2

' x x y x    













2 0;3

2

' 0 2

2 0;3

x

x x

y x x

x x                    

 

 

 

 

 

0;3 0;

7 1

1 y y y y y              

Chọn đáp án D

Ví dụ 6. (THPT Bình Xun – Vĩnh Phúc – Lần 3) Giá trị lớn hàm số

1 x y x  

 đoạn



2;3



là?

A 2 B 1 C 3 D 4 Giải

Xét hàm số

1 x y x  

 đoạn



2;3



ta có





2





2

' 2;3

 hàm số nghịch biến





2;3

 

2;3 miny y 3 Chọn đáp án C

Ví dụ 7.(THPT Hưng Nhân – Thái Bình – Lần 2) Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

2

6

y x  x là?

A 2 0 B 4 0 C 3 0 D 0 2 Giải

Xét hàm số y x26x5 ta có D

 

1;5

2 ' x y x x      

 

' 0 3 1;5

6

x

y x x

x x               

 

 

 

 

 

 

 

 

1;5 1;5

max

1 0; 2;

min

y y

y y y

y y y

              

Chọn đáp án A

Ví dụ 10. (THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – Học kỳ II) Gọi M m, giá trị lớn giá trị

nhỏ hàm số

 





1 x

f x e x x đoạn



0; Kh



ẳng định sau đúng?

A.

6

M me  B. 2

ln ln

M me  

C. M me2ln ln 82   D. Mme2ln ln 62   Giải

Xét hàm số f x

 

ex



x1



x2 trên đoạn



0; 2



ta có y'x e x2x









0 0;

'

2 ln 0; x

x

x x

y x e x

e x                   

Khi

 

 





 

 





 

 

 

2 0;2 2 0;2

max ln ln ln

0 1;

ln ln ln

M f x f

f f e

f m f x f e

                          

2 ln ln 62

M m e

      Chọn đáp án D

Ví dụ 11 (Trường THPT Võ Nguyên Giáp năm 2017) Cho hàm số ln 1

  

y x x Tìm giá trị lớn

nhất M hàm số đoạn 1; 2       A. ln

8  

M B. ln

8  

M C. M ln 1. D.

2  M Giải.

Hàm sốxác định liên tục 1; 2      

Ta có ' ' 1

1 x

y x y x

x x x               Suy

 

 

 

;2 ln 2 max

1 ; ln 2

y

M y y

y y                           

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ 12 (Trường THPT Chuyên ĐHV lần năm 2017) Gọi M m, giá trị lớn giá trị

nhỏ hàm số

2 x y x  

 đoạn

3 1;     

  Mệnh đề sau đúng?

A

3

M m B

2

M m C 13

6

M m D

3 M m Giải. Ta có





2

3

' ; '

3 1;

2

2 x

x x x

y y y

x x x                         

Tính giá trị

 

1 2;

 

3

3 16

3

3 3

6 2 y y m M m y M                            

Chọn đáp án C

Ví dụ 13.



NTL



Tính tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x23x2 đoạn



10;10



?

A. 172 B. C. 72 D.

4 Giải

- Ta có



 







2

2

3 ;1 2;

3 1;

x x khi x

y x x

x x khi x

                  

Tìm



 







;1 2; '

2 1;

x khi x

y

x khi x

             

Hàm số khơng có đạo hàm x1 x2

Trên khoảng



1; :



'

y  x Trên khoảng



;1



: y'0 Trên khoảng



2;



: y'0 - Bảng biến thiên:

x

10

 3

2 10 '

y – + – + y 132 14 72

Dựa vào bảng biến thiên ta có

max10;10y172; min10;10y0 Vậy tổng 172 Chọn đáp án A

Dạng 2: Miền D một khoảng, nửa khoảng ….

Nếu tốn u cầu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng



a b;



nửa khoảng



a;

 

; ;b



ta lập bảng biến thiên từ bảng biến thiên suy giá trị lớn giá trị nhỏ

của hàm số

Ví dụ 14 (Đề tham khảo lần 3) Tính giá trị nhỏ hàm số y 3x 42 x

  khoảng



0;



A

 

3 0;

miny

  B min0;y7. C 0;  33

min

5

y

  D  

3 0;

miny  

Giải.

Đạo hàm

3

3 3

8

' ; '

3

x

y y x

x x



     

Bảng biến thiên

x



2

3  '

y   y

 

3 93 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy

 

3 0;

miny

  Chọn đáp án A

Cách Bấm mod7 nhập

 

42; 0; 10; 10

19

f X X Start End Step

X

     ta có bảng

Dựa vào bảng so sánh với đáp án lấy gần ta đáp án A

Chú ý: Bài người ta để bẫy e đáp án B, lấy khoảng cách từ đến 10 lớn mà ta chọn bước nhảy dẫn tới miny7 dẫn đến đáp án sai, làm phải cẩn thận để khơng bị

bẫy

Ví dụ 15.Giá trị nhỏ hàm số

1 y x

x  

 khoảng



1;



là?

A 1 2 B 2 2 C 1 2 D 1 2 Giải

Cách Xét hàm số

1 y x

x  

 khoảng



1;



ta có









2

2

'

1

x x

y

x x

 

  

 

Khi





2 2

' 0

1

x x

y x

x

 

     

 Ta có bảng biến thiên hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có

1; 





miny y 2

     Chọn đáp án A

Cách Áp dụng BĐT cauchy ta có





2 2

1 2

1 1

cauchy

y x x x

x x x

          

   Chọn đáp án A

Từ ta có kết quả: Cho hàm số y x k x a  

 với xa

Ta có y x k x a k a



x a



k a k a

x a x a x a

          

   hay ymin 2 ka

Cách Bấm mod7 nhập

 

; 1; 10; 10

2 19

f X X Start End Step

X



    

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

Dựa vào bảng so sánh với đáp án lấy gần ta đáp án A

Ví dụ 16 (Trường THPT Hạ Long lần năm 2017) Tìm giá trị nhỏ hàm số

y x

x

     nửa khoảng



 4; 2



A.  4; 2 miny

 

 B.  4; 2 miny

 

 C.

 4; 2 miny

 

 D.

 4; 2 miny

   Giải.

Hàm số xác định



 4; 2



Đạo hàm

















2

1 4;

'

3 4; 2

x

y x

x x

              

    

 

Bảng biến thiên

x  4 3 2 1  '

y    

y 15

2 

Từ bảng biến thiên ta thấy

 4; 2 miny

 

 Chọn đáp án D

Chú ý: Ta sử dụng chức mod7 ví dụ Dạng Tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số lượng giác

a Phương pháp:

 Chuyên đề tìm max – hàm lượng giác chuyên đề lớn, phần tác giả

giới hạn tìm max – hàm lượng giác phương pháp đạo hàm

 Để tìm max – hàm lượng giác ta phải chuyển hàm lượng giác

cách công thức lượng giác đặt ẩn phụ sau trở hàm đa thức phân thức khảo sát dạng dạng

Chú ý:

o Nếu phương trình bậc hai, ba… theo sinx cosx ta đặt tsin ;x tcosx với t 



1;1



o Nếu phương trình bậc hai, ba… theo sin2x cos2x ta đặt tsin2x t; cos2x với t

 

0;1

o Nếu phương trình theo sinx cosx ta đặt tan x t b Ví dụ minh hoạ :

Ví dụ 17. (THPT Vĩnh Lộc – Thanh Hóa – Lần 2) Tìm giá trị lớn hàm số 3sin sin

y x x

trên đoạn ;

2  

 



 

 ?

A 1 B 1 C 3 D 7 Giải

Cách Hàm số xác định liên tục ; 2  

 



 

 

cos

2

' 1

cos 2

6

x x k

y x x k                        Vì ; ; 2 ; 6 x x x x x                        

Tính

 

0 0; 1; 1;

2 6

y  y   y y  

      Từ ;

2 max y

   

 

 

 Chọn đáp án B

Cách Đặt sinxt với ;



1;1



2

x     t

  hàm số thành

 

3 g t  t t Xét hàm số

 

3

g t  t t đoạn



1;1



ta có g t'

 

 3 12t2

 





' 12 1;1

2

g t    t    t  

 

1 1;

 

1

1 1; 2 g g g g                         

 1;1

 

 

; 2

max 1 max

2

g t g g y

                  

  dấu xảy

sin 1 sin x t x t          2

2 ;

6

x k

x k x k

                  

;

2 2

x    x 

  x  

Chọn đáp án B

Ví dụ 18. (Sở GD ĐT Hà Tĩnh) Tìm giá trị nhỏ hàm số ysinx đoạn ;3

 

 

 

 ? A 1

2 B

2 C

2 D 1 Giải

Xét hàm số ysinx đoạn ;3

 

 

 

  ta có y' cosx y' cosx x k          Do ;

3

; ; 1;

6 2

x x y y y y y

                                                

Chọn đáp án A

Ví dụ 19. (THPT Bình Xun – Vĩnh Phúc – Lần 3) Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ

nhất hàm số

 

2 cos

f x x  x đoạn ;

2         

Khi giá trị Mm bằng?

A 17 

 B 4 4 

 C 2

4 

 D 2 Giải.

Xét hàm số f x

 

x22 cosx đoạn ; 2       

  ta có f'

 

x 2x2 sinx Và f''

 

x  2 cosx0 với ;

2

x   

  hàm số y f '

 

x đồng biến đoạn

 

; '

2 f x

 

 

  

 

  có nghiệm đoạn 2; 



 



 

  mà f ' 0

 

0

x

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

Khi

 





2

2

; 2;

2

y  y  y    

 





 

;2 2 ;2

max

4

min

M y y

M m

m y y

                                    

Chọn đáp án B

Ví dụ 20 (Trường THPT Chuyên Bắc Kan năm 2017) Cho hàm số cos sin

2 cos sin

x x

y

x x

 



  Giá trị lớn hàm số

A. B.

11 C. D.

Giải.

Cách Tập xác định: D  



;



cosxsinx 4 0,   x



;



Đặt

2

2

2

tan sin ; cos

2 1

x t t

t x x

t t

  

    

 

  Ta thu

 





2 2 , ; t t

f t t

t t         

 









2

3

' , ;

3 t t

f t t

t t   

     

 

 

' ;

3

f t t t t t

           Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

 

 

 

  ; ;

max

2

min

11

f t t

f t t

               

Chọn đáp án C

Cách Tập xác định: D  



;



cosxsinx 4 0,   x



;



Ta có: cos sin cos sin cos sin

2 cos sin

x x

y y x y x y x x

x x

 

      

 



2y cos



x



y sin



x 4y

      



y2 sin



x



1 2 y



cosx 4 3y

Để phương trình có nghiệm thì:



y2



2



1 2 y



2



4y3



2

max

11 24 2

11

y y y y

         Chọn đáp án C

Ví dụ 21 (Trường THPT Chuyên Hà Giang năm 2017) Tìm giá trị nhỏ hàm số

4

sin cos

y x x

A. 11

2

y B. miny 3 C. miny3 D. 11 y Giải.

Cách 1. Ta có 4

sin sin sin sin y x  x  x x

t 

 

 

'

f t – + –

 

f t



Đặt tsin2x t, 



0;1



ta thu

 

3,

 

0;1 f t t  t t

 

 

' 1; '

2

f t  t f t   t

Tính

 

0 3;

 

1 3; 11

2

f  f  f   

  Vậy  0;1

 

11

4

f t  Chọn đáp án D

Cách Ta có ysin4x 1 sin2x 2 sin4xsin2x  3 sin2x



1 sin 2x



3

2 sin 11

sin cos 3

4 4

x

x x

          11

min

y

  sin 22 1 cos 22 0 cos 2 0

4

k

x  x  x x  

Chọn đáp án D

Dạng 4: Biện luận giá trị lớn và giá trị nhỏ theo tham số.

a Phương pháp:

 Dựa tính đơn điệu hàm số bảng biến thiên hàm số để biện luận

 Nếu dùng máy tính ta làm theo hai cách sau:

Cách Cho tham số m100, sử dụng chức mod7 biểu diễn số Min – Max qua 100 cho

Min – Max theo giả thiết từ tìm tham số m

Chú ý: Cách dùng giá trị Min – Max số đẹp việc biểu diễn theo tham số đơn giản

Cách Thay giá trị m ở đáp án sử dụng chức mod7 để tìm Min – Max, giá trị

nào m mà làm cho hàm số đạt Min – Max giả thiết đáp án

Chú ý: Cách dùng đáp án cho cụ thể m hoặc m nằm khoảng đó, cịn hỏi m

ngun hay có bảo nhiêu giá trị m… nên dùng cách b Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 22.(PTDTNT Phước Sơn – Quảng Nam) Tìm giá trị tham số m để hàm số y x33x2m

có giá trị nhỏ đoạn



1;1



0?

A. m0 B. m2 C. m4 D. m6

Giải

Xét hàm số y x33x2m đoạn



1;1



ta có y' 3x26x









2 1;1

'

2 1;1 x

y x x

x

           

    

, ta có bảng biến thiên hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có

 1;1

 

miny y m

   

Theo giả thiết

 1;1

miny m m

      

Chọn đáp án C

Nhận xét: Ta có thể dùng máy tính sau

Cách 1: Cho m100, sử dụng mod với f X

 

 X23X2100;Start 1;End 1;Step0, 2 ta có bảng Từ bảng ta thấy

 1;1

 

min f X 96 100 m

      Theo giả thiết m 4 0m4

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Khi m4, sử dụng mod với f X

 

 X23X24;Start 1;End1;Step0, 2 ta có bảng Từ bảng ta thấy

 1;1

 

f X

  (thoả mãn)

Chọn đáp án C

Ví dụ 23.(THPT Anh Sơn – Nghệ An – Lần 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số

2

1

x m m

y x   

 đạt giá trị nhỏ đoạn



0;1 b



ằng 2?

A. m 



1; 2



B. m 



2;1



C. m  



2; 1



D. m

 

1; Giải

Xét hàm số

2

1

x m m

y x   

 đoạn



0;1 ta có







2

1

'

1

m m

y x

 

 



với x

 

0;1  hàm số đồng biến đoạn

 

 

 

2 0;1

0;1 miny y  m m

Theo giả thiết

 

2

0;1

1

min 2

2 m

y m m m m

m                

 

Chọn đáp án A

Nhận xét: Ta sử dụng máy tính sau:

Cách 1: Cho m100, sử dụng mod với

 

2 100 100

; 0; 1; 0,1

1 X

f X Start End Step

X

 

   

 ta có

bảng Từ bảng ta thấy

 

 

2

1;1

min f X 9900 100 100 m m

         Theo giả thiết

2 2

2 m

m m

m         

  Cách Thử đáp án

- Khi m m

     

, sử dụng mod với

 

2; 1; 1; 0,

1 X

f X Start End Step

X 

    

 ta có bảng Từ bảng ta thấy

 1;1

 

f X

  (thoả mãn)

Ví dụ 24. (THPT Hà Trung – Thanh Hóa) Tìm tham số m để giá trị nhỏ hàm số

3

3

yx  mx  đoạn



0;3



2?

A. m2 B. 31

27

m C.

2

m D. m1

Giải

Xét hàm số

3

yx  mx  đoạn



0;3 , hàm s



ố liên tục



0;



Và có đạo hàm ' 3 6 ' 0 3 6 0

2 x

y x mx y x mx

x m

 

        

 

Trường hợp Nếu 2m0m0 hay 2m nằm ngồi đoạn



0;



Xét y'3x26mx ta có y'0  x



; 2m

 

 0;



 hàm số đồng biến đoạn





0;2

 

Trường hợp Nếu 3

m m hay 2m nằm ngồi đoạn



0;



Xét y'3x26mx ta có



 



' ;0 ;

y    x  m   hàm số nghịch biến đoạn





0;2

 

0; miny y 14 12 m Theo giả thiết

0;2

miny214 12 m2m1 không thỏa mãn

Trường hợp Nếu 3

2

m m

     hay 2m



0;3



Xét y'3x26mx ta có y'0  x



;0

 

 ;m 



Khi hàm số đồng biến



2 ;3m



nghịch biến



0; 2m



Ta có bảng biến thiên hàm số đoạn



0;3



sau:

Từ bảng biến thiên ta có

 





3 0;2

miny y 2m  6 4m , theo giả thiết

0;2 miny2

3

6 4m m m

       thỏa mãn điều kiện

Vậy m1 thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án D

Nhận xét: Ta có thể thử đáp án bắng máy tính sau

Với m1, sử dụng mod7 với

 

3 6; 0; 3; 0,

f X  X  X  Start End  Step ta bảng

Để chắn kết lấy bước nhảy

19

Step  , ta thấy kết f x

 

min 2 Chọn đáp án D

Ví dụ 25. (THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang – Lần 3) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số

2 1 mx y

x 

 đạt giá trị lớn x1 đoạn



2; 2



?

A. m2 B. m0 C. m 2 D. m0

Giải.

Xét hàm số 2

1 mx y

x 

 đoạn



2; 2



ta có









2

2 '

1

m x

y x

 



Khi

















2

2

2

1 2;

' 0

1 2;

x

m x

y x

x x

     

       

   

 



2



;

 

1 ;

 

1 ;

 

2

5 2

m m m m

y y y y

        

Trường hợp Nếu

 2;2

 

2

0 max

2 5

m m m m

m y y



           loại

Trường hợp Nếu

 2;2

 

2

0 max

2 5

m m m m

m y y



Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Vậy m0 thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án B

Nhận xét: Ta có thể thử đáp án máy tínhnhư sau Ở đáp án chia làm hai loại:

2 m m

  

 

m m

  

  

Thử đáp án ta thấy

- Với m2, sử dụng mod với

 

22 ; 2; 1; 0,3

1

X

f X Start End Step

X

    

 Từ bảng ta dự đốn

được x1

 

max f x

- Với m1, sử dụng mod với

 

2 1; 2; 1; 0,

X

f X Start End Step

X

    

 Từ bảng ta dự đốn

tại x1

 

max f x

Bảng Bảng

Vậy chọn đáp án m0

Ví dụ 26.(THPT Kim Sơn A – Ninh Bình) Tìm tất giá trị thực tham số m để giá trị lớn

của hàm số y x2mx1 bằng 3?

A. m 



6;6



B. m 



6; 4



C. m 



4;6



D. m 



4; 4



Giải

Xét hàm số

1

y x mx hàm bậc hai có hệ số a  1  hàm số đạt giá trị lớn

2

max

2 2

b m m m

x y y

a

 

       

 

Yêu cầu toán thỏa mãn

2

1 16

4 m

m m

        Chọn đáp án D

Ví dụ 27. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Hà Tĩnh – Lần 1) Tìm tất giá trị tham số m để

giá trị lớn hàm số y mx x m

 

 đoạn



1; 2



2?

A. m 3 B. m3 C. m1 D. Khơng có m Giải

Xét hàm số y mx x m

 

 có tập xác định D\

 

m

Để hàm số có giá trị lớn



1; 2



hàm số phải liên tục đoạn

1 m m

    



Khi hàm số có đạo hàm









2

2

1

' m m

y

x m x m

  

   

  với x



1; 2



 hàm số nghịch biến





 1;2

 

1 1; max

1

m

y y

m



  

 theo giả thiết max 1;2 y 2

2 2

1 m

m m m

m 

        



Chọn đáp án B

Ví dụ 28. (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 1) Hàm số y mx x m

 

 có giá trị lớn đoạn



0;1



khi:

A.

2

m  B. m 3 C.

Xét hàm số y mx

x m

 

 có tập xác định D\



m



Để hàm số có giá trị lớn



0;1 hàm s



ố phải liên tục đoạn

0 m m        m m       

Khi hàm số có





2

' m

y

x m 

 

 với x

 

0;1  hàm số đồng biến





 0;1

 

1

0;1 max

1 m y y m    

 , theo giả thiết max 0;1 y2

2 2

1 m

m m m

m 

        



Chọn đáp án B

Ví dụ 29. (THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang – Học kỳ II) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số

 

mx f x

x m  

 có giá trị nhỏ đoạn



0;1



7?

A. m2 B. m0 C. m1 D.

7 m Giải

Xét hàm số y mx x m

 

 có tập xác định D\

 

m

Để hàm số có giá trị nhỏ



0;1 hàm s



ố phải liên tục đoạn

0 m m      

Khi hàm số có









2

2

5

' m m

y

x m x m

  

   

  v

ới x

 

0;1

 hàm số nghịch biến đoạn

 

 0;1

 

5

0;1

1 m y y m      Theo giả thiết có

 0;1

5

min 7 7

1

m

y m m m

m



           



Chọn đáp án A

Ví dụ 30. (THPT Quốc Oai – Hà Nội – Học kỳ II) Cho hàm số 3

y xx m Tìm tất giá trị

của tham số m để giá trị lớn hàm số đoạn 0; 3 2?

A. m2 B. m C. m  D. m3

Giải

Xét hàm số y 3xx3m đoạn 0; 3 có

2 3 ' x y x x   

1 0; 3

' 0

2 0;

x x

y

x x x

                      

Ta có bảng biến thiên hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có

 

0;

maxy y m  

 

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Theo giả thiết ta có

 1;1

maxy m m 2

      

Chọn đáp án A

Ví dụ 31. (THPT Vĩnh Lộc – Thanh Hóa – Lần 2) Cho hàm số

2

2

x m m

y x

  

 Tìm tất giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số đoạn



1; l



ớn nhất?

A m2 B

m  C

m D m 2 Giải

Xét hàm số

2

2

x m m

y x

  

 đoạn



1; 2



có





2

2

'

2

m m

y x

 

 

 với x



1; 2



 hàm số đồng biến đoạn





 

 

2

1;2

1 1;

3

m m

y y  

  

Ta có

2 2

2 5

1

4 12

m m

m m m   

        

 

 giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số



1; 2



12 Dấu xảy

2

m Chọn đáp án C

Ví dụ 32 (Trường THPT Chuyên ĐHV lần năm 2017) Tập hợp chứa tất giá trị

của tham số m để giá trị lớn hàm số y x22xm đoạn



1; 2



A.



 6; 3

 

 0;



B.



4;3



C.



 5; 2

 

 0;3



D.



0;



Giải.

Cách Xét hàm số f x

 

x22xm trên đoạn



1;



Ta có: f'

 

x 2x 2 0x1

Lại có f

 

1  3 m f;

 

1 m1; f

 

2 m f x

 





m1;m3



Điều kiện để hàm số y x22xm đạt GTLN đoạn



1; 2



1

3

m m

m m

    

 

     

 

 Với m  4 f x

 

  



5; 1



 f x

 



 

1;5  Với m 2 f x

 



 

1;5  f x

 



 

1;5

Vậy m 4;m2 giá trị cần tìm thuộc



 5; 2

 

 0;3



Chọn đáp án C

Cách Đặt tx22x 1



x1 ,



2 x 



1; 2



 t



0;



Ta có: y f t

 

 t m1  1;2 0;4

 

0;4



 

 



0;4





maxy max f t max f ;f max m ,m

     

TH1: Với

 1;2

maxy m

  

ta

1 5

m m m

m m

m

      

 

   

 

 

  

 

 TH2: Với

 1;2

maxy m

   ta

3 1

2

3

m m m

m m

m

      

 

  

 

 

  

 



Nhận xét : Tìm cơng thức cho bài tốn tổng qt: Cho hàm số y f x( )h m( ) với x



a b;



; tìm GTLN hàm số theo m

Giả sử x



a b;



f x( )



 ;



, y f x( )h m( ) liên tục



 ;



nên ta có  ;



( ) ; ( )



x a b

max y max  h m  h m

    Đặt uh m( ), đồ thị hàm g u( )max



u;u



được mơ

phỏng hình vẽ:

x A

B C u=h(m)

Trong đồ thị g u( ) mô đường liền nét; B



; ;



C



;0



; ;

2

A   , dễ thấy hàm số g u( ) đạt gtnn

2  

2 u 

Cũng từ mô ta suy

;

2 ( )

;

2

u u

g u

u u

 



 



 

   

  

     



Ví dụ 33: [CHUYÊN HẠ LONG – QN] Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số 19 30 20

4

y x  x  xm đoạn [0; 2] không vượt 20 Tổng

phần tử S

A 210 B 195. C 105 D 300

Lời giải Chọn C

Đặt 19 30

4

t x  x  x, ta xét hàm ( ) 19 30

4

g x  x  x  x với x



0; 2



Có g x( ) x319x30



x2



x5



x3



0; x



0; 2



do

( )

g x hàm số đồng biến



0; 2



; suy t



0; 26



Đặt f t( ) t m20, t



0; 26



f t

 

liên tục 0 26;  nên 0;26 ( )



20 ; 6



tmax f t max m m Nếu m7

0;26 ( )



20 ; 6



tmax f t max m m  m , ta có m6 20 26m14nên



7;8; ;14



m

Nếu m7

0;26 ( )



20 ; 6



20

tmax f t max m m  m , ta có m20 200m40nên



0;1; 2;3; 4;5;6



m

Vậy tổng giá trị nguyên thỏa mãn 14 14.15 105

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ 34: Tìm tất giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số yx2 2x m đoạn

;

 

 2

A

4

m m

     

. B

3

m m

     

. C

4

m m

     

. D

2

m m

    

Lời giải Chọn C

Khi x 



1; 2



x22x 



1;3



, suy

1; 3;u m



 



  nên ta có: Nếu m 1 max

4 m y m

m       

  

nên m 4 thỏa mãn

Nếu m 1 max m y m

m       

  

nên m2 thỏa mãn

Ví dụ 35: Tìm mđể giá trị lớn hàm số y x2 2x m 4

    đoạn



2;1



đạt giá trị nhỏ

Giá trị mlà:

A 5 B 4 C 1 D 3

Lời giải Chọn D

Khi x 



2;1



x22x   4



5; 1



, suy

5; 1;u m

       nên ta có gtnn gtln

của hàm số cho đạt ( 1)

m    

Ví dụ 36: [THPT ĐẶNG THỪA HÚC] Cho hàm số f x

 

 8x4ax2b a b, tham số

thực Biết giá trị lớn hàm số f x

 

đoạn



1;1



Hãy chọn khẳng định đúng?

A a0,b0 B a0,b0 C a0,b0 D a0,b0 Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt tx2 với t

 

0;1

 

8 ,

 

0;1 f t  t atb t Ta có:

 

0

f  b

 

1

f   a b

1

2

2

f    a b

 

1

2

2

f      a b

 

Do

0;1

 

max f t 1 nên

1

2

b a b

a b 

      

Dấu "" xảy

1

8

4 2

b a b

a b 

 

   

    

1

8

4 2

b a b

a b    

    

     

(Loại)

Vậy

8 b a

  

  

Vậy a0,b0

Ví dụ 37 : [THPT THANH CHƯƠNG 3] Tìm m để giá trị lớn hàm sốy x22xm4

trên đoạn



2;1



đạt giá trị nhỏ Giá trị m là:

A B 4. C 1. D.3

Lời giải Chọn D

Đặt

2

tx  x , x 



2;1



t  



5; 1



Khi

2

y x  xm  t m Hàm số g t

 

 t m hàm số đồng biến



 5; 1



nên ta có :

 2;1  5; 1





max max ax ;

x t

y y m m m

    

    1;

5 ;

m m

m m   

 

 

 Hàm số :

 

1;

5 ;

m m

u m

m m   

 

 



hàm liên tục , có đồ thị đường gấp khúc hình vẽ:

Từ đồ thị ta thấy u m

 

đạt giá trị nhỏ m3 Ví dụ 38: Cho ( 2) 2

4

1

y x 

m

 x 

m

x m có giá trị mnguyên để GTLN hàm số [0; 2] bé

A 11 B C D.Vô số

Lời giải Chọn B.

Xét ( 2) 2

4

1

( )

x x x m

g x





m

 

m



2

'( ) ( 2)( ) [0;2]

g x x x x m   x

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

để max 5 (0) 1, 0,1, (2)

y

g

m g

   

     

   

có giá trị m Dạng 5: Max hàm trị tuyệt đối

Dạng 1: Tìm mđể

 ; 

 





maxy f x m a a

     

Phương pháp:

Cách 1:Trước tiên tìm

 ; 

 

 ; 

 





maxf x K; minf x k K k  

    

Kiểm tra max



,



2 2

m K m k m K m k K k

m K m k           

TH1:

2 K k

a 

 Để

 ; 





maxy a m k a m a k m a k a; K

m K a m a K

 

     

 

       

   

 

TH2:

2 K k

a 

 m 

Cách 2: Xét trường hợp

TH1: Max m K m K a

m K m k

   

   

   



TH2:Max m k m k a

m k m K

   

   

   



Cách 3: Sử dụng đồ thị (khuyến khích nên làm – có kĩ thuật đồ thị)

Cách 4: Xem ởhướng dẫn ^_^

Cách 5: Sử dụng bđt trị tuyệt đối

Cách 6+7: Sử dụng đồ thị tối giản loại 2,3

BÀI TẬP MINH HỌA

Ví dụ Cho hàm số y f x

 

ax2bx c có đồ thị nhự hình vẽ Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số g x

 

 f x

 

m đoạn



0; 4



A 10 B 6 C 4 D 8

CHINH PHỤC 8,9,10 ĐIỂM THI ĐẠI HỌC – GV: LƯƠNG VĂN HUY

MAX – MIN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – BẢN BỔ SUNG

Lời giải

Từ đồ thị hàm số y f x

 

ax2bx c ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng x2 trục đối

xứng, mà f

 

0  5 f

 

4 5 Suy ra: 1 f x

 

5, x



0; 4



Xét hàm số g x

 

 f x

 

m ,  x



0; 4



Ta có:

0;4

 



; 5



max g x max m m

Cách 1:

Dễ dàng nhận trường hợp

Do m  



9;9 5



m 



10; 4



Vậy tổng giá trị nguyên m 10 4 6 Cách 2:

Trường hợp 1:

0;4

 

3

1 3

10

9

10

m

m m m

m m

max g x m

m

         

  

      

   

 

 



 

   

Trường hợp 2:

0;4

 

3

1 3

4

9

14

m

m m m

m m

max g x m

m

         

  

     

   

 

 



 

   

Vậy tổng tất giá trị nguyên m là: 10 4   6 Cách 3: Dựa vào đồ thị

Từ đồ thị suy m 



10; 4



Cách 4:

TH1: 10 10

8

k tra m m

m m

m

  



      



TH2:

14 k tra m m

m m

m

 



      

 Vậy m 



10; 4



Cách 5: Kỹ thuật đồ thị số - xem video live Ta có

0;4

 



; 5



max g x max m m

Đồ thị tối giản (kỹ thuật đồ thị số 3)

Từ suy m 



10; 4



Cách 6:Kỹ thuật đồ thị số – xem video live

0;4

 



; 5



Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

Đồ thị tối giản (đồ thị số 2)

Từ suy m 



10; 4



Cách 7:

Ta có

0;4

 





1 5

1 ;

2

m m m m

max g x max m m          m  Từ ta có

10 m m

m      

   Từ suy m 



10; 4



Ví dụ Cho hàm số f x

 

x33x Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y f



sinx1



m Tổng phần tử S

A 4 B 2 C 0 D 6

Lời giải

Đặt tsinx1



t



0; 2





,





 

sin

y f x m  f t m  t  tm Xét hàm số u t

 

t33t m liên tụctrên đoạn



0;2



có u t

 

3t23

 









2 0;

0 3

1 0; t

u t t

t          

   

Ta có u

 

0 m u;

 

1 m2;u

 

2 m2

0;2

 

maxu x m

   ,

0;2

 

minu x m2

Khi maxymax



m2 ;m2



Cách 1:

TH1:

6

2

2

0 m m

m m

m m

m

   

 

   

      

 

    

 

  

TH2:

2

2

2

0 m m

m m

m m

m

   

 

   

     

 

    

 

  



.

Vậy S 



2; 2



  2 0

Cách 2: Dễ dàng nhận toán thỏa mãn trường hợp 1

Ta có K 2,k 2



2 4; 2





2; 2



m m

      

Suy m 



2; 2



Cách 4: Kỹ thuật đồ thị số 3

Ta có maxymax



m2 ;m2



Đồ thị tối giản

Từđó Suy m 



2; 2



Cách 5: Kỹ thuật đồ thị số Ta có maxymax



m2 ;m2



Đồ thị tối giản

Từđó Suy m 



2; 2



Cách 6:

Ta có maxymax



m2 ;m2



 m2

Từđó ta có

2 m m

m      

  

Từđó Suy m 



2; 2



Ví dụ Biết đồ thị hàm số f x

 

ax4bx2c có ba điểm chung với trục hoành

 

1 1;

 

1

f   f  Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình f x

 

m 12 nghiệm đúng x



0; 2



Số phần tử S

A 10 B 11 C. 11 D 0

Lời giải

Đồ thị hàm số f x

 

ax4bx2c có ba điểm chung với trục hồnh nên đồ thị hàm số tiếp xúc

với trục hoành gốc toạ độ, suy f

 

0   0 c 0

 

I Ta có f

 

x 4ax32bx

Theo giả thiết

 

 

 

1 1

4

1

f a b c

II a b

f

 

     





 

 

  

 

6 2

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Từ

 

I

 

II suy a1;b 2;c 0 f x

 

x42x2

Xét hàm số y x4 2x2m đoạn

 

0;2

Dễ thấy hàm số cho liên tục đoạn

 

0;2 có













3

0 0;

0 4 0;

1 0; x

y x x x

x            



   

Khi y

 

0  m; y

 

1   m 1; y

 

2   m     0;2

0;2

max

min

y m

y m

   

  

   



Cách 1:

Theo









8 12

8

2 12, 0; max ; 12

1 12

1

m

m m

x x m x m m

m

m m

    

     

            

    

 

     

 

4 20

7

4

2 4 11

7

13 11

11

7

m

m m

m m

m m

    



 

    

 



     

  

 

  

 

  

Suy S có 11 phần tử

Cách 2: Từ đồ thị

Suy  4 m11

Cách 3: Đồ thị tối giản





maxymax m8 ;m1

Đồ thị tối giản

Từ đồ thị suy  4 m11

Cách 4: đồ thị tối giản 2

Ta có đồ thị

20 11

Từ đồ thị suy  4 m11 Cách 5:





max max ;

2 m

y m m   

Ta có 12 15 11

m

m m

 

       

Ví dụ Cho hàm số f x

 

x 2020 x m  

 (m tham số thực) Có tất giá trị tham số m cho

max0;2019 f x

 

2020

A 2 B 1 C 3 D 4

Lời giải 1) Hàm số f x

 

xác định với

x



m

2) *Nếu m 2020 f x

 

   1, x 2020 khơng thỏa mãn u cầu tốn

3) * Nếu m 2020 f x

 

đơn điệu khoảng



;m





m;



nên yêu cầu toán

4)

0;2019max f x

 

2020





 









0; 2019

max ; 2019 2020 m

f f

   

 





0; 2019



2020 4039

max ; 2020

2019 m

m m

  

  



 

 

 

 



5) Cách 1:

6) Ta xét hai trường hợp sau:

7) Trường hợp 1:



0; 2019



2019 2020

2020 1

4039

2020

4039 2019

2020 2019

m m

m

m m

m

m m



  

 

 

  

 

      

 

 

  

 

 

  

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

Trường hợp 2:





0 2019 0; 2019 4082419

2021

4039 2020 4082419

2020 2021 4074341 2019 2020 2017 2020 2020 2020 2020 2020 m m m m m m m m m                                             

Vậy có giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Cách 2: Dựa vào đồ thị

Suy có giá trị thỏa mãn

Ví dụ Gọi S tập hợp tất giá trị tham số

m

cho giá trị lớn hàm số

 

2

2

x m

f x x m

x

 





đoạn



1;1



3 Tổng tất phần tử S

A 1 B

2

 C 1

2 . D  .

Lời giải Tập xác định DR\

 

2

Xét hàm số

 

2

2

2

x mx m

g x

x

 



 đoạn



1;1



Hàm số xác định liên tục



1;1



Ta có

 





2 x x g x x    

 









2 1;1

0

4 1;1

x

g x x x

x                

Ta có g

 

0 2m; g

 

1 2m1;

 

1

g  m

 1;1

 

maxg x 2m 

   ;

 1;1

 

ming x 2m

 

Suy

 1;1

 





maxf x max 2m ; 2m

  

Cách 1:

Ta có

 1;1

 

2

1 2

max 3

2

2

2

m m m m f x m m m m                            

Suy 1; S   

Vậy tổng phần tử thuộc tập S

2  Cách 2: Từ đồ thị

Suy 1; m  

 

Cách 3:Bài tốn thuộc vào trường hợp nên ta có





2 3;3 ;1

2

m   m  

 

Ví dụ 6: Cho hàm số y f x

 

liên tục  có đồ thị hình vẽ sau

Tổng tất giá trị thực tham số m để

 





2 1;1

max f 4x 4x m      

A 20 B 7 C 10 D 3

Lời giải Chọn C

Đặt t 84x4x2 1, h x

 

 f



84x4x2 1



m Xét hàm số t g x

 

 84x4x2 1



1;1



 

2

2

'

2 4

x

g x x

x x 

   

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

Khi ta có t 



1; 2



h x

 

 f t

 

m Dựa vào đồ thị ta có

 1;1

 

 

minh x f m m

     , max1;1 h x

 

 f

 

1 mm8 Cách 1:

Suy

 1;1

 





max h x max m ,m

   

 1;1

 

2

8 7

max

3

8 m

m m

h x

m m

m 

   

 

   

  

      

 

  

 

Vậy tổng giá trị mbằng 10

Cách 2:Bài toán nằm trường hợp nên ta có



5;5 8





7; 3



m    m   Cách 3: Từ đồ thị

suy m  



7; 3



Ví dụ 7: Gọi S tập hợp giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số

2

2

x mx m

y

x   



trên đoạn



1;1



Tính tổng tất phần tử S A

3

 B 5 C 5

3 D 1 Lời giải

Chọn A

Xét hàm số

 

2

2

x mx m

y f x

x  

 





1;1



có

 





2

2 f x

x   

 ;

 





0

4 1;1 x

f x

x      

   

;

 

1 1;

 

0 ;

 

1

3

m m

f    f  m f  

 

Cách 1:

Trường hợp f

 

0 0m0 Khi

 1;1

 



 

 



3 max f x max f ; f 

   3 max 1;

3 m

m 

 

   

  m  1 m2

Trường hợp f

 

0 0m0

Khả

 

 

1

f

m f

  



   

  

Khi

 1;1

 

 

max f x f



  m 3

Khả 1

3

m

    Khi

 

 

1 f f

  

 

  

 1;1

 



 

 



max f x max f ; f



 





3 max m m;

    : Trường hợp vô nghiệm

Khả

3 m

   Khi

 1;1

 



 

 

 



3 max f x max f ; f ; f 

   : Vô nghiệm

Vậy có hai giá trị thỏa mãn m1 3,m22 Do tổng tất phần tử S 1 Cách 2: Sử dụng đồ thị

Từ đồ thị suy racó hai giá trị thỏa mãn m1 3,m22 Cách 3: Bài toán nằm trường hợp 1

Do m



0 3;3 1 



m 



3; 2



Ví dụ 8: Gọi S tập hợp giá trị tham số

m

để giá trị lớn hàm số    

2 3

3

x mx m

y

x

trên đoạn



2;2



Gọi T tổng tất phần tử S Tính T

A T 4 B T  5 C T 1 D T  4

Lời giải 8) Chọn D

9) Xét hàm số 

 

   

3

x mx m

y f x

x ,

10) Tập xác định: D\

 

3

 





  



2

x x

f x

x

11) Xét f

 

x  0        

2

6

6

x

x x

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

13)

Ta có: f

 

2 m4; f

 

0 m;

 

2  4

f m

Với

 



 

   

3

x mx m

g x f x

x Ta có max2;2g x

 

max



f

 

2 ; f

 

0 ; f

 

2



Cách :

Dựa vào đồ thị hàm số ; ; u

5 u m u m  m

Xét với m 2 Ta có

 2;2

 

 

maxg x f m m m

         

Xét với m 2 Ta có

 2;2

 

 

maxg x f m m m

        

Vậy S 



5;1



nên tổng T  

 

5   1 Cách : ta có 4

5

m  m  m

Vậy MaxMax m m



; 4



Suy m



0 5;5 4 



m 



5;1



Cách : Từ đồ thị

m

u

u =m+4 u = m+4

5

u =m

- 4 5

2

-2

Suy m 



5;1



Ví dụ 9: Cho hàm số f x

 

x22x1 Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn

của hàm số g x

 

 f2

 

x 2f x

 

m đoạn



1;3



8?

A 5 B 4 C 3 D 2

14)Lời giải

Chọn D

Xét hàm số f x

 

x22x1trên đoạn



1;3



Ta có bảng biến thiên

Đặt t f x

 

Do x 



1;3



nên ta có t 



; 2



Ta có hàm số g t

 

 t22tm

Xét hàm số ut22t trên đoạn



2 ; 2



ta có bảng biến thiên

Xét hàm số g u

 

 um , với t 



1;8



Ta có

 1;8

 





maxg u max m , m

   

Cách 1: Trường hợp 1:

 1;8

 

1

max

m m

g u m 

    

  

 

1

1

m m

m

    

 

  



7

m

   Trường hợp 2:

 1;8

 

8

max

m m

g u m 

    

  

 

8

8

m m

m

    

 

  



0

m

 

Vậy có hai giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán m0 m 7 Cách 2: Bài toán nằm trường hợp nên



1 8;8 8





7;0



m   m 

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

Suy m 



7; 0



BÀI TẬP RÈN LUYỆN

15)

Câu

1:

Có t

ấ

t c

ả

giá tr

ị

c

ủ

a tham s

ố

m

để

giá tr

ị

l

ớ

n nh

ấ

t c

ủ

a hàm s

ố

2

y x  xm

trên đoạ

n



1; 2



b

ằ

ng

5

A. B.1 C. D.

Câu2 Có giá trị thực tham số để giá trị lớn hàm số

đoạn

A. B. C. D.

Câu3 Gọi tập hợp giá trị để hàm số đạt giá trị lớn Tổng phần tử thuộc

A. B. C. D.

Câu4 Có giá trị thực tham số để hàm số y3x44x312x2m đạt giá trị lớn

đoạn



3; 2



150

A. B. C. D.6

Câu5 Cho hàm số







2

y xx  x x m Có giá trị thực tham số để

maxy3

A. B. C. D.1

Câu6 Gọi tập hợp giá trị để hàm số y x33x m đạt giá trị lớn đoạn



0; 2



bằng Tổng phần tử thuộc

A.1 B. C. D.6

Câu7 Có giá trị thực tham số để hàm số y3x44x312x2m đạt giá trị lớn

đoạn



3; 2



275

.

2

A. B. C. D.1

Câu8 Cho hàm số f x

 

3x44x312x2m Gọi M giá trị lớn hàm số đoạn



1;3



Có số thực m để

59

.

2

M



A.1 B. C. D.3

Câu9 Gọi S tập giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số

1

x mx m

y

x

  



đoạn

 

1; Số phần tử tập S

A.1 B. C. D.3

m  

2

f x  x  x m

2;1

1

S

m

3

y x  x m 50

[ 2; 4] S

4 36 140

m

m

S

m

16)

Câu

10:

G

ọ

i

S

t

ậ

p h

ợ

p t

ấ

t c

ả

giá tr

ị

th

ự

c c

ủ

a tham s

ố

m

cho giá tr

ị

l

ớ

n

nh

ấ

t c

ủ

a hàm s

ố

2

1

x mx m

y

x

  





1; 2



b

ằ

ng

2

S

ố

ph

ầ

n t

ử

c

ủ

a

S

A. B.1 C. D.

17)

Câu

11:

Cho hàm s

ố

2

2

x m m

y x   



Có giá tr

ị

th

ự

c c

ủ

a tham s

ố

m

để

 1;2

maxy1

A. B.1 C. D.

ĐÁPÁNPHẦNBÀITẬPTỰLUYỆN

1.C 2.B 3.A 4.C 5.A 6.B 7.D 8.A 9.C 10.C

Dạng 2: Tìm m để

 ; 

 





miny f x m a a

     

Phương pháp:

Cách 1:Trước tiên tìm

 ; 

 

 ; 

 





max f x K; f x k K k  

    

Để

 ; 

min

0

m k a m K a m a k m a K

y a

m k m K m k m K

 

         

   

    

       

   

Vậy m S 1S2

Cách 2:Sử dụng đồ thị xk và xK

Cách 3: Sử dụng bđt trị tuyệt đối Cách 4: Sử dụng đồ thị tối giản loại 2,3

Ví dụ 1: Có tất giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số f x

 

 x22xm



1; 2



A 3 B 1 C 2 D 4

Lời giải

+) Đặt g x

 

x2 2x m    +) Ta có: g x,

 

2x2 ,

 

0 2

g x x x

      

+)

 

 

 

1

1

2

g m

g m

g m

   



  

  

+) Suy  

 

 

 

1;2

1;2

min

max

g x m g x m 



  

 

  



Vậy

 1;2

 





min g x 0;m ;m

   

Cách 1:

Ta xét trường hợp sau: TH1:

1

6

1

m

m

m m

   

  

   



Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

8

1

m

m

m m

   

   

   



Vậy có hai giá trị tham số m thỏa mãn Cách 2: sử dụng đồ thị

Từ đồ thị suy m 



8;6



Cách 3: Để

 1;2

 

1

1

min

8

3 m

m m

g x

m m

m 

    

    



   

       

    Cách 4:

TH1:

1

4 k tr m m

m m

m

 



      



TH2:

3

8 k tr m m

m m

m

 



       



Cách 5:Đồ thị tối giản

Từ đồ thị suy m 



8;6



Ví dụ Tính tích tất số thực m để hàm số

6

3

y x  x  xm có giá trị nhỏ

đoạn



0; 3



18

A 432 B 216 C 432 D 288

Lời giải

+ Xét hàm số

 

6 8

f x  x  x  xm liên tụctrên đoạn



0; 3



+ Ta có f

 

x 4x212x8

+

 

 

 

2 0;3

0 12

2 0;3 x

f x x x

x

           

 



+

 

0 ;

 

1 10 ;

 

2 ;

 

3

3

f m f  m f  m f  m

-4 2 6

Khi  

 



       



 

 

 



       



 

0;3

0;3

max max ; ; ; 3

min ; ; ;

f x f f f f f m

f x f f f f f m

    



   



Suy

 0;3





minymin 0;m; m6 TH1.

18

18

m

m

m m

 

  

  



TH2. 18

24

m

m

m m

  

   

  



Kết luận: tích số thực m thỏa mãn yêu cầu toán là: 24.18 432 Cách 2:

 0;3

18

0 18

min 18

24 18

6 m

m m

y

m m

m

 

   

 

  

      

 

   

Cách 3: Dựa vào đồ thị

Suy m 



24;18



Ví dụ Cho hàm số f x

 

 x42x2m1 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m cho giá trị nhỏ hàm sốtrên đoạn

 

0;2 18 Tổng tất phần tử S

A 5 B 4 C 14 D 10

Lời giải

Xét hàm số g x

 

x42x2m1 liên tục đoạn

 

0;2

 

4

g x  x  x

 

g x 













1 0; 0; 0; x

x x     

   

  

 

0

g m , g

 

1 m2, g

 

2 m7  

 

min g x m

   ,

 

 

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

0;2

 





min 0; ;

x f x m m

   

Cách 1:

Trường hợp 1:

2 18

20

2

m

m

m m

   

  

   



Trường hợp 2:

7 18

25

2

m

m

m m

   

   

   



Suy m



20; 25



Vậy tổng tất phần tử S 5

Cách 2:

0;2

 

2 18

2 20

min 18

25 18

7 x

m

m m

f x

m m

m 

    

   

 

   

       

    Cách 3: Từ đồ thị

Suy m 



25; 20



Ví dụ 4* Cho hàm số

 

1 x m f x

x  

 Gọi S tập hợp tất giá trị m để min2; 0 f x

 

2.Tổng phần tử tập S

A 2 B 8 C 5 D 3

Lời giải 18)

19) +) D\ {1}

20) *) Với m2 Ta có

 

2

x f x

x    

 nên min2; 0 f x

 

2 Vậy

m

21) *) Với m2 Khi đó,

 





2,

1 m

f x x

x 

   



22) +) Ta có

 

2

3 m

f     , f

 

0  m; ( )

2 m f x   x m  x

Ta xét trường hợp sau:

24) TH1: Đồ thị hàm số y f x( ) cắt trục hoành điểm có hồnh

độ thuộc



2; 0



, tức

m

m

       Khi

 2; 0

 

min

 f x 

25) TH2: Đồ thị hàm số y f x( ) không cắt trục hoành cắt trục

hoành điểm có hồnh độ nằm ngồi đoạn



2; 0



, tức 0 2 m m m m                

26) Khi đó:

27)

 2; 0

 



 

 



4

min ; ; ;

3                    m m

f x f f m m

28) +) Nếu





2





2







4

4 4 4

3 m

m m m m m  m m

   



     

29)

1 m m       

 2; 0

 

4    m

f x

30) Ta cĩ 4 (loại, )

3 10 (nhaä

2 n)

m m m

m m m               

  )

31) +) Nếu

3 m

m 

   1 m2

 2; 0

 

 f x  m

32) Ta cĩ 2 (loại)

2 (loại) m m m         33) Suy S{2; 10}

34) Vậy tổng phần tử S 8

35) Cách 2: Từđồ thị

36)

Vậy m 



10; 2



Ví dụ Cho hàm số

 

2

x

y f x m

x

  

 (m tham số thực) Gọi S tập hợp giá trị m cho

2;3

 

min f x 5 Số phần tử S

A 3 B 2 C 1 D 4

Lời giải

Hàm số

 

2

x

y f x m

x

  

 liên tục đoạn



2;3



 





2 x x f x x    

Ta có

 

0 x f x x        

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

 

2

f m ,

 

3

2 f m

+ Nếu

   

2

f f    m 

2;3

 

min f x 0 Trường hợp khơng thoả u cầu

bài tốn

+ Ta xét trường hợp

   

9

2

4 m f f m           Khi

2;3

 



 

 



min f x min f ; f ; m m          TH1:

2;3

 

min f x  m4 5

1 19 1 2 2 m m m m m m m                                 TH2:

2;3

 

9

min

2 f x  m 

1

5 19 19

2 2 m m m m m m m                             

Vậy có 2giá trị m thỏa mãn toán

37)

Cách 2: T

ừ

đồ

th

ị

38)

39)

Suy

19;1 m  

 

40)

Cách 3:

41)

2;3

 

4

1

min 5 19

2 2 m m m

f x m

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu1 Gọi tập giá trị thực tham số để giá trị nhỏ hàm số

đoạn Tổng phần tử tập

A. B. C. D.

Câu2 Có giá trị thực tham số để hàm số y3x44x312x2m đạt giá trị lớn

đoạn



3; 2



10

A. B.3 C. D.1

Câu3 Gọi tập hợp giá trị để hàm số y x2 x m đạt giá trị nhỏ đoạn



2; 2



bằng Tổng phần tử thuộc

A. 31

 B. 8 C. 23

4

 D.

4

43)

Câu

4:

Có t

ấ

t c

ả

giá tr

ị

c

ủ

a tham s

ố

m

để

giá tr

ị

nh

ỏ

nh

ấ

t c

ủ

a hàm s

ố

2 2

y x  xm

trên đoạ

n



1;2



b

ằ

ng

3

A. B.1 C. D.

Câu5 Có giá trị thực tham số để giá trị lớn nhỏ hàm số

đoạn

A. B. C. D.

Câu6 Gọi tập hợp giá trị để hàm số y x33x m đạt giá trị nhỏ đoạn



0; 2



bằng Tổng phần tử thuộc

A.1 B. C. D.6

Câu7 Có giá trị thực tham số để giá trị nhỏ hàm số y e2x4exm đoạn



0;ln 4



A.1 B.3 C. D.

Câu8 Có giá trị thực tham số để hàm số y x2mx1 đoạn



1; 2



đạt giá trị nhỏ

nhất

A.1 B. C. D.

ĐÁPÁNPHẦNBÀITẬPTỰLUYỆN

1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.B 7.C 8.A 9 10

Dạng 3: Tìm m để

 ; 

 

maxy f x m

    không vượt giá trị M cho trước

S m  

3 f x  x  x m

2;3 S

0 20 24 40

m

S

m

S

m  

2

f x  x  x m

2;1

1

S

m

S

m

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

Phương pháp: Trước tiên tìm

 ; 

 

 ; 

 





max f x K; minf x k K k  

    

Cách 1:

Để  ; 

maxy M m k M M k m M K

m K M

                

Cách 2: Sử dụng đồ thị (nên dùng)

BÀI TẬP MINH HỌA

Ví dụ Cho hàm số

4

y x x x m Tính tổng tất số nguyên m để

 1;2

maxy 11

 

A 19 B 37 C 30 D 11

Lời giải

+ Xét hàm số

 

4

f x  x   x x m liên tụctrên đoạn



1; 2



+ Ta có f

 

x x33x22x

+

 













3

0 1;

0 1;

2 1; x

f x x x x x

x                      

+

 

1 ;

 

0 ;

 

1 ;

 

2

4

f   m f m f  m f m

Khi  

 



       



 

 

 



       



 

 

1;2

1;2

9

max max ; ; ;

4

min ; ; ; 2

f x f f f f f m

f x f f f f f f m

                 

Vậy

 0;3

9

max max ,

4

y m m

 

 

Cách 1:

theo yêu cầu toán

 0;3

maxy11

9 11 11 m m m m m m                   53 35 4 35 35 8 11 11 11 11 m m m m m m m                                 

Vì m nguyên nên m 



11; 10; ;8



Suy 11 35



11; 10; ;7;8



m

m  m

      

Ví dụ Cho hàm số f x

 

 x22mx3 Có giá trị

m nguyên để giá trị lớn

 

f x đoạn

 

1; không lớn 3?

A 2 B 3 C 1 D 4

Lời giải

Ta có giá trị lớn f x

 

đoạn



1; 2



không lớn 3, tức

1;2

 

max f x 3









2

2 3, 1; 2 3, 1;

x mx x

x mx x

      

 

      











2 , 1;

2 , 1;

m x x x

m x

x     

  

  

 

 

 

 

 

 

1; 2

1;

2 max

6

2

m x

x m

x  

 

    



  

  



+)

 

1 2m2m1 +) Xét hàm

 

2 6 6

x

g x x

x x



   với x



1; 2



có g x

 

62

x

   Suy ra: g x

 

0, x

 

1;

1; 2

 

 

ming x g

  

Do

 

2

2

m

  Vậy

2

m

  , mà m nên m

 

1;

Cách 2: Cách dễ hiểu nên cách sau e tự làm Ví dụ Cho hàm số

3

y x  x  xm Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để

 2;3 maxy 50

  Tổng phần tử M

A 0 B 737 C 759 D 215

Lời giải Xét hàm số

 

3

f x x  x  xm liên tục đoạn



2;3



Ta có

 

3

f x  x  x

 

0

3

x

f x x x

x

          

 

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Có f



2



m2; f

 

1 m5; f

 

3 m27

Suy

 2;3

 

max f x m

   ; min2;3 f x

 

m27

Do

 2;3





max max ; 27

M y m m



   

Cách 1:













5 27 2 22 0

5 50 50 50 11; 45

50 23; 45

2 22 23;11

5 27

50 27 50 27 50

m m m

m m m

M m

m m

m m

m m

      

 

       

 

      

   

     

  



    

  

  

Do S 



22; 21; 20; ; 1; 0;1; 2; ; 44  



Vậy tổng phần tử M 737

Cách 2: sử dụng đồ thị

Suy m



23; 45



m m



22; 21; ; 44



     

Ví dụ 4: Cho hàm số y x42x3x2a Có giá trị nguyên tham số a để

 1; 2

maxy 100  

A 197 B 196 C 200 D 201

Lời giải Xét ux42x3x2a liên tụctrên đoạn



1; 2



3

'

u  x  x  x













0 1; ' 1;

1

1; 2

x

u x

x



    

     

    

Suy

 

   

   

 

 

 

   

   

 

 

1;

1;

1

max max , , , , 2

2

min , , , ,

2

M u u u u u u u u a

m u u u u u u u u a





    

        

  

 

  



   

      

   

    



Cách : Vậy

 1; 2





4 100 100

max max , 100

4 100 96

a a a

y a a

a a a



       

    

       

Vậy a 



100,99, , 96



có 197số nguyên thỏa mãn Cách 2: Sử dụng đồ thị

Suy 100m96

Ví dụ Cho hàm số y sinxcosxm , có giá trị nguyên m để hàm số có giá trị lớn

nhất bé

A 0 B 1 C 2 D 3

Lời giải

Xét hàm số f x

 

sinxcosxm, có tập xác định: D Ta có:



2



m



sin

x



cos

x m





2



m

,  x  Suy  2m f x

 

 2m,  x 

Vậy: max

D y m maxD y m

Yêu cầu toán

2

2 2

2 0

2 2

2

0

2

m

m

m m m

m m

m

m m

   

     



      

 

 

       

 



  

    



0 2

2 2

2

m

m m

   

       

    

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu1 Gọi tập tất giá trị nguyên tham số cho giá trị lớn hàm số

2

y x  xm đoạn



1; 2



khôngvượt Số phần tử

A. B. C.14 D.

Câu2 Gọi tập tất giá trị nguyên tham số cho giá trị lớn hàm số đoạn khôngvượt Tổng phần tử

bằng

A.210 B. C.105 D.300

Câu3 Có giá trị nguyên tham số mđể

A.Vơ số B.4 C.6 D.5

Câu4 Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số y x33xm đoạn



0; 2



khôngvượt 10

A. 27 B.15 C.17 D.12

Câu5 Cho hàm số y x42x3x2a Có số nguyên a để

1;2 maxy 100

 

A.197 B.196 C. 200 D. 201

Câu6 Có giá trị nguyên tham số a để giá trị lớn hàm số y 3x44x312x2a đoạn



3; 2



khôngvượt 243

A. 41 B.103 C. 200 D. 212

Câu7 Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số





3 2

1

y x x  m  x m đoạn



0;2



khôngvượt 15

A. B. C. D.1

Câu8 Chohàm số y sin 3xsinx m Có số nguyên m để giá trị lớn hàm sốkhông

vượt 30

A. 59 B. 61 C. 57 D.55

ĐÁPÁNPHẦNBÀITẬPTỰLUYỆN

1.A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.D 7.C 8.C 9 10

S

m

S

S

m

4

1 19

30 20

4

y  x  x  x m 



0; 2



20

S

195



 

3

1;3

Dạng 4: Tìm m để

 ; 

 

miny f x m

    không vượt giá trị a cho trước

Phương pháp: Trước tiên tìm

 ; 

 

 ; 

 





max f x K; minf x k K k

 

    

Cách 1: Để

 ; 







min

0

m k a m K a m a k m a K

y a m K m k K m k

m k m K m k m K

 

         

   

             

       

   

Cách 2: Sử dụng đồ thị BÀI TẬP MINH HỌA

Ví dụ Tính tổng tất giá trị nguyên lớn tham số m cho giá trị nhỏ hàm số y x2



m1



xm



2;m 1



 nhỏ 2020

A. 2043210 B 2034201 C 3421020 D 3412020 Lời giải

Cách 1:

+) Xét hàm số

 





1

f x x  m xm liên tục



2;m1



với m6 Ta có:

 



;



 



2; 1



2

m

f x  x m f x   x   m

Khi đó:

 









2 1

2 ; ;

2

m m

f  m f      f m  m

 

+) Vì





2 0,

4

m

m m



      nên

 

 





[ 2; 1]

1

max max ; ;

2 m

m

f x f f f m m



    

      

 

 

;

và

 

 









2

[2;m-1]

1

min ; ;

2

m m

f x  f f   f m   

 

 

Do đó:





2

[2;m-1]

1

min ;

4 m

y m m

  

 

     

 

 

+) Theo yêu cầu toán: 2m 2020 2020 2 m2020 2018m2022 +) Vì

m





và

m



6

nênm



7;8;9;; 2021



+) Vậy tổng tất giá trị nguyên tham số m là:





2021

7

7 2021 2015

2 043210

n

n





 



Cách 2:

+) Xét hàm số

 





1

f x x  m xm liên tục



2;m1



với m6

 





0 x

f x x m x m

x m          

 

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555

Do m6 nên ta có:

2

1

m m

m  

   



  

 

 









2 1

2 ; ;

2

m m

f  m f      f m  m

 

Từ bảng biến thiên suy ra:

 

[2; m-1]min f x m2 Theo ta có:

 

[2;m-1]min f x 2020m 2 2020m2022 Kết hợp với điều kiện m6 suy m



7;8; ; 2021



+) Vậy tổng tất giá trị nguyên tham số m là:





2021

7

7 2021 2015

2043210

n

n





 



Cách 3: Sử dụng đồ thị

Từ đồ thị suy

2 2020

2 2020 2022

m

m m

m    

      

  

Ví dụ Cho hàm số

y x  x  x m Tổng giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn



10;10



để giá trị nhỏ hàm số đoạn



0; 3



không bé

A 1 B 1 C 0 D 7

Xét hàm số

 

f x x  x  x m liên tục đoạn



0; 3



Ta có

 

3

f x  x  x ;

 









0;3 0;3 x f x x          

 

0

f   m;

 

1

2

f   m; f

 

2   1 m;

 

3

f  m

Suy

0;3

 

max

2

f x  m;

0;3

 

min f x   3 m Cách 1:

TH1:





2 m m

 

   

 

  Khi giá trị nhỏ hàm số y đoạn



0;3



TH2:





2 m m

 

   

 

  Khi đó: 0;3

3

min ;

2

y  m  m

 

Giá trị nhỏ hàm số đoạn



0; 3



không bé

3 3 3 m m m m m m                             13 m m m m m m                                  13 m m        

Suy giá trị m 



10;10



thỏa mãn yêu cầu toán S 



10; 9; 8; 7;8; 9;10  



Vậy tổng giá trị m cần tìm 7

Cách 2: sử dụng đồ thị

Từ đồ thị suy 10 6,



10; 9; 8; 7;8;9;10



8 10 m m m              

Ví dụ 3. Có số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số y 4 cos2x2 sinx m 4

đoạn 0;        nh

ỏhơn 4?

A 12 B 14 C 13 D 15

Lời giải Ta có:y 4 cos2x2 sinx m 4





4 cos x 2sinx m

   

4 sin x sinx m

  

Đặt tsinx, 0; x  

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ta tìm giá trị nhỏ hàm số

4

y t  tm đoạn

 

0;1 Xét hàm số f t

 

4t22tm liên tục đoạn

 

0;1 , ta có:

 

8

2

f



t



t



;

 

 

0;1

f t     t

 

0

f m;

f

 

1



m



6

Cách 1:

Trường hợp 1: Nếu m0  0;1 miny m

  Kết hợp với giả thiết ta có 0m4

 

1

Trường hợp 2: Nếu m 6 0 m 6  0;1

miny m

    Kết hợp với giả thiết ta có

6

m m

   

   

 10m 6

 

2

Trường hợp 3: Nếu m m



6



0  6 m0  0;1

miny

   Trường hợp thỏa mãn

 

3

Từ

   

1 ,

 

3 ta m 



10; 4



Vì m số nguyên nên m 



10, 9, 8, , 2, 3, 4 



Vậy có 15 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán

Cách 2: Sử dụng đồ thị

Từđồ thị suy m 



10, 9, 8, , 2, 3, 4 



BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu1 Có giá trị nguyên tham số a để giá trị nhỏ hàm số y 3x44x312x2a đoạn



3; 2



khôngvượt 100

A. 478 B. 474 C. 476 D. 480

Câu2 Cho hàm số f x

 

 x33x2m Có số nguyên m để

 1;3

 

f x 3

A. B.10 C. D.11

Câu3 Cho hàm số f x

 

 2x33x2m Có số nguyên m để

 1;3

 

f x

 

A. B.8 C. 31 D.39

Câu4 Có giá trị nguyên tham số a để giá trị nhỏ hàm số y x42x2a đoạn



1; 2



khôngvượt

A.8 B.15 C.16 D.9

Câu5 Gọi tập tất giá trị nguyên tham số cho giá trị nhỏ hàm số

2

y x  xm đoạn



1; 2



khôngvượt Số phần tử

A.15 B.16 C.14 D.

Câu6 Gọi tập tất giá trị nguyên tham số cho giá trị nhỏ hàm số

2 2 4

y x  xm đoạn



2;1



khôngvượt Tổng phần tử

A. B. 39 C. D.10

Câu7 Cho hàm số f x

 

x33x1.Có giá trị nguyên tham số cho giá trị nhỏ

của hàm số y f



2 sinx1



m khôngvượt 10

A. 45 B. 41 C. 39 D. 43

S

m

S

S

m

ĐÁPÁNPHẦNBÀITẬPTỰLUYỆN

1.C 2.D 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8 9 10

Dang 5: Tìm m để

;

 

max a b

y f x m đạt

Phương pháp:

Cách 1:Trước tiên tìm

 ;

 

 ;

 





max ;

a b

a b f x K f x k K k

Đề hỏi tìm

2

K k

mm   Đề hỏi tìm

; max

a b y giá trị 2

K k Cách 2:Sử dụng dồ thị

Cách 3: Sử dụng bđt trị tuyệt đối Cách 4: Phương pháp xấp xỉđều

BÀI TẬP MINH HỌA

Ví dụ Cho hàm số y x24x2m3 với

m tham số thực Biết giá trị lớn hàm số đoạn

 

1;3 đạt giá trị nhỏ a mb Tính P2b a

A 1

2 B

13

4 C

9 

D 6

Lời giải

Xét hàm số y f x

 

x24x2m3 liên tục đoạn

 

1;3 +) f

 

x 2x4; f

 

x 0x 2

 

1;3

+) f

 

1 2m6, f

 

2 2m7, f

 

3 2m6

Khi

 1;3

 





max f x max 2m6 ; 2m7 M Cách 1:

Ta có: 2 2

2 7

M m

M m m m m

M m m

   

         



    



1

M

 

Dấu "" xảy







1

2 13

2

4

2

m m

m

m m



   



  

   



Do

2

M  a 13

m bP2b a 6 Cách 2: Sử đụng dồ thị

Từ đồ thị suy

13

2

1

m b

P b a a



  



    

Toàn tập hàm số - Lương Văn Huy - Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909 127 555 Ví dụ Cho hàm số y x3x2



m21



x27 Gọi S tập tất giá trị tham số m

cho giá trị lớn hàm số đoạn



 3; 1



có giá trị nhỏ Khi tích phần tử

của S

A 4 B 4 C 8 D 8

Lời giải

Xét hàm số f x

 

x3x2



m21



x27 liên tục đoạn



 3; 1



Ta có f

 

x 3x22xm2 1 với    x



3; 1



Ta có f

 

3  6 3m2; f

 

1 26m2

Khi

 

 





2

3;

max f x max 3m ; 26 m M

     

Cách 1:

Lại có

2

2

6

4 72 18

26 3 78

M m M m

M M

M m M m

     

 

    

 

   

 

 

Dấu xẩy







2

2

2

6 26 18 2 2

8

6 3 78 2

m m m

m

m m m

      



    

     

 



Vậy với 2

2

m m

  

  

giá trị lớn hàm số đoạn



 3; 1



có giá trị nhỏ Khi tích giá trị 2.



2 2



 8

https://www.facebook.com/groups/1632593617065392/ https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/