Một số bài toán về lưới và điểm nguyên

đoạn thẳng bằng nhau và cùng bằng một số nguyên, đỉnh là điểm nút của lưới nên ta có nhận xét: Đoạn A A i i  1 bất kì đều vuông góc với một trong hai trục Ox hoặc Oy. A A n 1 là [r]

(1)

1 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LƯỚI VÀ ĐIỂM NGUYÊN

Giáo viên: Nguyễn Hiếu Thảo Trường THPT chuyên Nguyễn Du – Tỉnh Đaklak

Bài viết tổng hợp số tốn phương trình hàm, có sử dụng tính chất số học để tìm tính chất hàm số, từ có lời giải đẹp Bài viết tập hợp tốn để em học sinh luyện tập, có nhìn tương đối dạng tập này.

Mở đầu

Trên mặt phẳng ta xét lưới tạo hai họ đường thẳng song song chia mặt phẳng thành hình bình hành gọi lưới.Tập hợp tất đỉnh hình bình hành gọi lưới tọa độ, thân đỉnh gọi nút lưới Mọi hình bình hành tạo họ đường thẳng song song gọi hình bình hành sở phân hoạch hay hình bình hành sinh lưới

Một hệ thống đường thẳng dọc đường thẳng ngang chia mặt phẳng thành ô vuông lưới

Một lưới nhận từ họ đường thẳng khác nhau; Lưới tọa độ nguyên lưới tạo tất đường thẳng song song với hai trục tọa độ (hình bình hành sở hình vng cạnh 1)

Bảng vng hình chữ nhật chia thành nhiều ô vuông đơn vị Bảng ô vuông phần lưới ô vuông

Trong năm gần đây, kì thi chọn học sinh giỏi Tốn thường có tốn tổ hợp rời rạc Trong toán tổ hợp rời rạc này, có tốn liên quan đến đến lưới điểm nguyên Lớp toán phong phú nội dung đa dạng hình thức thể Phương pháp tiếp cận cho lớp tốn phơng phú như: tơ màu, số học, đồ thị, phản chứng…

Trong viết tơi xin giới thiệu số tốn liên quan đến lưới điểm nguyên Bài viết tập hợp toán để em học sinh luyện tập, có nhìn tương đối dạng tập này.

Một số bài toán

Bài tốn 1. Mỡi bảng vng kích thước n n ghi số 1, cho với mỡi

ơ ghi số có n cùng hàng cùng cột với ghi số Chứng minh có

2

2 n

   

  số ghi Lời giải

(2)

2 Với mỗi i1,n, kí hiệu d H( i) số số hàng i, d C( )i số số cột j

Theo giả thiết, ta ln có:

( i) ( j)

d H d C n

Từ suy

3 1

( ) ( )

n n

i j

T d H d C n

 

 

  

Gọi S tổng số ghi,

1

( ) ( )

n n

i j

d H d C S

 

 

Với mỡi số ghi, tính d H( i) d C( )i Do mỗi d H( i) d C( )i

trong T xuất n lần nên T 2nS

Do vậy,

2

2 n

nSn  S

Hay

2

2 n S   

 

Cách 2: Ta tiếp cận toán đồ thị

Xây dựng đồ thị hai phía gồm 2n đỉnh, mà n đỉnh bên trái n hàng n đỉnh bên phải n cột bảng Đỉnh Hi nối với đỉnh Cj ô ( , )i j ghi số

Theo giả thiết đỉnh Hi không nối với đỉnh Cj

( i) ( j)

d H d C n

trong d H( i) số số hàng i, d C( )i số số cột j

Khi n4, ta có cách xây dựng sau

1

0 1

1 0

Ta chứng minh số cạnh đồ thị

2

2 n

S 

Thật vậy, ta có

 

*

( i) ( j)

T d H d C  n S n (Lấy hàng i, cột jcó ghi chữ số 0) Trong tổng với mỗi i, số hạng d H( i) xuất n d H ( i) lần; với mỗi j, số

(3)

3

 

* 2

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n n

i i j j i j

i j i j

T d H n d H d C n d C nS d H d C

              (Vì 1 ( ) ( ) n n i j i j

d H d C S

 

  )

Theo bất đẳng thức Schwarz

2 2 1 ( ) ( ) n n i i i i e

d H d H

n n             , 2 ( ) n j j e d C n    Suy 2

2 2

( ) 2

2

S n

n S n nS S n S n S n

n

          (đpcm)

Bài tốn thay giả thiết, mỡi ghi số ngun khơng âm tùy ý, cách giải khơng thay đổi

Bài tốn 2. Tồn hay khơng đường gấp khúc khép kín gồm số lẻ đoạn thẳng có độ dài số nguyên dương mà đỉnh nút lưới ô vuông

Lời giải

Câu trả lời không Thật vậy,

Giả sử tồn tịa đường gấp khúc A A1 2 A An 1 thỏa mãn yêu cầu (n lẻ), gồm đoạn thẳng

1

i i

A A có độ dài c (clà số nguyên dương)

Xây dựng hệ tọa độ Oxy cho Ox,Oylà đường lưới

Trường hợp A A1 2 nằm vuông góc với hai trục Oxhoặc Oy Khơng tổng

quát, giả sử A A1 2 nằm vuông góc với trục Ox Vì đoạn thẳng đường gấp khúc

đoạn thẳng cùng số nguyên, đỉnh điểm nút lưới nên ta có nhận xét: Đoạn A Ai i1 vng góc với hai trục Oxhoặc Oy

(4)

4 Trường hợp A A1 2 khơng vng góc với hai trục Oxvà Oy

Ta xây dựng lưới ô vng với hình vng sở có cạnh song song với A A1 2, cnguyên nên lưới đường gấp khúc A A1 2 A An 1 thỏa mãn điều kiện trường hợp ta xét Do , trường hợp ta có kết mâu thuẫn với giã thiết n số lẻ

Vậy ta có đpcm

Bài tốn 3. Tìm số đường dọc theo cạnh lưới ô vuông từ đỉnh (0, 0) đến đỉnh ( , )n n , cho không vượt qua đường chéo yx mỡi bước sang phải lên

Lời giải

Ta gọi đường từ đỉnh (0, 0) đến đỉnh ( , )n n theo hướng sang phải lên đường tiến

(n,n)

(0,0)

y = x+1

A

(-1,1)

(n,n)

(5)

5 Mỗi đường tiến gồm 2n bước, với n bước sang phải n bước lên Như mỗi đường tiến cách chọn n bước sang phải số 2n bước Do số đường tiến C2nn

Ta lại gọi đường tiến không vượt qua đường chéo đường tốt, ngược lại đường khơng tốt Ta tìm số đường không tốt

Cho P đường khơng tốt Khi P gặp đường thẳng y x lần điểm A Lấy đối xứng đoạn đường P từ điểm O đến điểm A qua đường thẳng

1

y x ta đoạn đường từ điểm ( 1,1) đến điểm A Đoạn đường đường tiến Kết hợp đoạn đường với phần lại P từ điểm A đến điểm ( , )n n ta đường tiến từ điểm ( 1,1) đến điểm ( , )n n

Ngược lại, cho Q đường tiến từ điểm ( 1, 1) đến điểm ( , )n n Khi Q gặp đường thẳng y x lần điểm A Lấy đối xứng đoạn đường Q từ điểm ( 1,1) đến điểm A qua đường thẳng y x ta đoạn đường từ điểm O đến điểm A Đoạn đường đường tiến Kết hợp đoạn đường với phần lại Q từ điểm A đến điểm ( , )n n ta đường tiến từ điểm O đến điểm ( , )n n Đường đường không tốt.

Như số đường không tốt từ điểm O đến điểm ( , )n n số đường tiến từ điểm ( 1,1) đến điểm ( , )n n Số đường C2nn1

Suy số đường tốt từ điểm O đến điểm ( , )n n

1

2 2

1

n n n

C C C

n



 



Bài toán 4. (VMO-1992) Một bảng hình chữ nhật kẻ vng có 1991 hàng 1992 cột (nghĩa bảng gồm 1991 1992 ô vuông) Kí hiệu vng giao hàng thứ m(kể từ xuống dưới) cột thứn (kể từ trái sang phải) m n;  Tô màu ô bảng theo cách sau: lần thứ tô ba ô   r s; , r1;s1 , r2;s1, với ,r slà hai số tự nhiên cho trước thỏa mãn 1 r 1989và 1 s 1991; từ lần thứ hai, mỡi lần tơ ba chưa có màu nằm cạnh cùng hàng cùng cột Hỏi cách tơ màu tất ô vuông bảng cho hay không?

Lời giải Cách 1:

Ta ghi vào mỗi ô vuông số tự nhiên theo quy tắc: Ở mỗi hàng, ghi số tự nhiên từ đến 1992

Lần tô thứ nhất, ba số ghi vào ba ô   r s; , r1;s1 , r2;s1là s s, 1,s1

và chúng có tổng 3s2(chia dư 2)

Ở lần tô thứ hai, ba ô liên tiếp mỗi hàng ba số tự nhiên liên tiếp, ba ô liên tiếp mỗi cột ba số tự nhiên nhau; mỡi lần tơ xóa số có tổng chia hết cho

(6)

6 Mặt khác, tổng T 1991   1 19921991 1993 996  chia hết cho 3, tô màu tất ô vuông bảng

Cách 2:

Chia tất ô vuông bảng thành ba loại: - Loại I: Gồm tất ô  r s; mà rs0 mod3  - Loại II: Gồm tất ô  r s; mà rs 1 mod 3 - Loại III: Gồm tất ô  r s; mà rs2 mod3 

Do 1992 3nên mỡi hàng ta có số mỡi loại nên tồn bảng số ô mỗi

loại

Kể từ lần tô thứ hai, mỗi lần tô màu, ta tô ô loại I, ô loại II loại III (vì ba cùng hàng cùng cột mà lại đứng cạnh nhau)

Do vậy, tô màu hết tất ô bảng, lần tô thứ ta phải tô ô loại I, ô loại II, ô loại III

Tuy nhiên lần đầu, tô ba ô   r s; , r1;s1 , r2;s1và ta có

rs  r   1 s 1 r2  s 1

nên ba ô tô lần đầu cùng thuộc loại, hay tô màu tất ô vuông bảng

Bài toán 5. (VMO-2003) Xét số nguyên n n 1 Người ta muốn tô tất số tự nhiên hai màu xanh, đỏ cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn:

i) Một số tô màu, mỗi màu dùng tô vô số số; ii) Tổng n số đôi khác cùng màu số có cùng màu Hỏi thực phép tơ màu nói hay khơng, nếu: 1) n2002?

2) n2003? Lời giải

1) Với n2002

(7)

7 Giả sử ngược lại, ta có thề tơ tất số tự nhiên hai màu xanh, đỏ cho:

- Mỗi số tô màu, mỗi màu dùng tô vô số số; - Tổng 2002 số đôi khác cùng màu số có cùng màu Khi đó, có vơ số số tô màu xanh vô số số tô màu đỏ nên:

- Tồn số a1 mà a1 tô màu xanh số b1 a1 1 tô màu đỏ; - Tồn số b2 b1 mà b2 tô màu đỏ số a2  b2 1 tô màu xanh; - Tồn số a3 a2 mà a3 tô màu xanh số b3 a31 tô màu đỏ; …

….a b1, 1

….a b1, , , ,1 b a2 2,

….a b1, , , ,1 b a2 2, ,a b3, , 3

…

….a b1, , , ,1 b a2 2, ,a b3, , ,3 a2001,b2001, ,b2002,a2002

- Tồn số a2001 a2000 mà a2001 tô màu xanh số b2001a20011 tô màu đỏ;

- Tồn số b2002 b2001 mà b2002 tô màu đỏ số tô màu xanh; Do vậy, tồn 2002 số a a1, 2, ,a2001,a2002 đôi khác tô màu xanh; 2002 số b b1, , ,2 b2001,b2002 đôi khác tô màu đỏ

Hay a a1 a2  a2002 tô màu xanh

1 2002

b   b b b tô màu đỏ

Mặt khác, b2k1a2k11,b2k a2k 1(với k1, 2, ,1001) nên abdẫn đến a

và b tô cùng màu (mâu thuẫn) Từ đó, ta có điều phải chứng minh 2) Với n2003

Câu trả lời có Ta xét cách tô màu sau:

Tô tất số chẵn màu xanh, tất số lẻ màu đỏ Dễ thấy cách tô màu thỏa mãn tất yêu cầu toán

Bài toán 6. (VMO-2006) Cho m n, số nguyên lớn bảng vng kích thước

(8)

8 Lời giải

1) Nhận thấy rằng, cách thực hai lần phép đặt bi, ta đặt vào vng bảng kích thước 2 viên bi

Có thể phân chia bảng 2004 2006 thành bảng 2 (gồm 501 1003 bảng 2 ) Từ đó, cách thực hữu hạn lần phép đặt bi thỏa mãn đề ta đặt bi vào tất ô vuông bảng 2004 2006 (mỡi vng có số bi 1)

2) Câu trả lời “không” Ta chứng minh phản chứng

Thật vậy, giả sử ngược lại, sau số hữu hạn lần thục phép đặt bi đề bài, ta đặt vào mỗi ô vuông bảng 2005 2006 k viên bi (k *)

Tô màu tất ô vuông hàng lẻ bảng màu đen (các ô không tô màu xem màu trắng)

Khi đó, số màu đen 1003 2006 , số ô màu trắng 1002 2006

Nhận thấy, mỗi lần đặt bi có viên bi vào màu đen viên bi vào ô màu trắng Do đó, sau mỡi lần đặt bi, số bi ô màu đen số bi ô màu trắng

Suy 1003 2006  k 1002 2006   k k 0, điều vơ lí Vậy ta có đpcm Bài tốn 7. (30/4-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2019 điểm phân biệt, mỡi điểm có hồnh độ tung độ số nguyên không âm không vượt 800 Chứng minh tìm điểm tạo thành đỉnh hình thang cân (hình chữ nhật coi hình thang cân)

Lời giải

Để chứng minh tìm điểm tạo thành đỉnh hình thang cân ta chứng tỏ có điểm

x ki; ,x kj; ,x ki'; ' , xj'; 'k  mà xixj xi'x kj', k'

Với mỗi, gọi nk0nk 800 số điểm có tung độ k, ta có

800

0

2019

k k

n





Ta chứng minh kết sau, cho n số thực phân biệt x x1, 2, ,xn, lúc tập hợp

 i j |1 

S  x x   i j n có 2n3phần tử

Thật vậy, không tổng quát giả sử x1x2   xn, lúc

1 n n n n n

x x     x x x x x x  x x   x  x ta có n số thực

y

x

O xi xi’ xj’ xj

k’

(9)

9 phân biệt 1, 2, ,ncó S có 2n3phần tử

Từ suy Sn n 1 n22n3

Với mỗi k0 k n, gọi nklà số điểm có tung độ k Ta có

800

0

2019

k k

n





Với mỗi k0 k n, gọi Sklà tập tổng xi xjphân biệt tạo ra,

i j

x  x hoành độ điểm có tung độ k, theo kết trên, ta có Sk 2nk 3 Từ suy ra,

 

800 800 800

0 0

2 3 801 2019 801 1625

k k k

S n n

  

 

          

 

  

Mặt khác, hồnh độ khơng vượt 800 nên xi xj không vượt 1600, hay

0;1;2, ,1600

k

S  với k0 k n Suy ra, tồn xi xj xi'xj' (với

, ' '

i j i  j )

Hay tồn điểm x ki; ,x kj; ,x ki'; ' , xj'; 'k  mà xi xj  xi'x kj', k' Điều cho

ta kết luận điểm tạo thành hình thang cân, có cạnh đáy song song với trục hồnh Bài tốn 8. (Đề Preselection, September Camp) Các số tự nhiên 0, 1, 2, 3,… điền vào bảng ô vuông kích thước 2015 2015 (mỗi ô số), số bảng,

đến số điền theo hình xoắn ốc ngược chiều kim đồng hồ hình vẽ bên dưới:

20 19 18 17 16

21 15

22 14

23 13

24 10 11 12

1) Biết cột bảng đánh số từ đến 2015 từ trái sang phải dòng bảng đánh số từ đến 2015 theo thứ từ xuống Hỏi theo cách điền số 2015 nằm dịng nào, cột nào?

2) Người ta cho phép thao tác sau: Đầu tiên, thay số bảng số 14 Mỡi lần sau đó, người ta chọn 12 ô vuông liên tiếp thuộc cùng hàng, 12 ô vuông liên tiếp thuộc cùng cột, 12 ô vng thuộc bảng hình chữ nhật 4 cộng thêm vào tất ô chọn (mỗi lần chir chọn loại trên) Hỏi sau số hữu hạn lần, làm cho tất ô vuông bảng cho chia hết cho 2016 không?

Lời giải

1) Ta có nhận xét sau:

(10)

10 cuối cột đó)

ii) Số nằm hàng 1008 cột 1008 bảng 2015 2015 Do vậy, từ

201545 2025 suy số 2015 thuộc vào bảng ô vuông 45 45 Xét bảng 45 45 ,

Số lớn bảng

45  1 2024 Số 2024 thuộc cột bảng 45 45 tương ứng thuộc cột 1008 22 986 bảng 2015 2015

và thuộc dòng 1008 22 1030 bảng 2015 2015

Mặt khác, 20152024 9 nên sơ 2015 nằm dịng 1030 1021  Vậy số 2015 nằm dòng 1021 cột 986 bảng

2) Sau bước thay số 14, ta thấy tổng số bảng là:

  2015220152 1

14 2015 14

2 

        , giá trị chia dư Thao tác cộng số 12 (bất kể dịng nào, cột nào) bảng tổng số tăng lên 12 đơn vị Suy số dư tổng số bảng chia cho bất biến suốt q trình Để bảng có tất số chia hết cho 2016 tổng chúng phải chia hết cho 4, điều xảy Vậy câu trả lời khơng thể

Bài tốn 9. (VOM-2016) Có m học sinh nữ n học sinh nam (m n, 2) tham gia

liên hoan song ca Tại liên hoan song ca, mỗi buổi biểu diễn chương trình văn nghệ Mỡi chương trình văn nghệ bao gồm số hát song ca nam- nữ mà đó, mỡi đơi nam- nữ hát với không mỗi học sinh hát Hai chương trình coi khác có cặp nam- nữ hát với chương trình khơng hát với chương trình Liên hoan song ca kết thúc tất chương trình khác có biểu diễn, mỡi chương trình biểu diễn lần

a) Một chương trình gọi lệ thuộc vào học sinh X hủy bỏ tất song ca mà X tham gia có học sinh khác không hát chương trình Chứng minh tất chương trình lệ thuộc vào X số chương trình có số lẻ hát số chương trình có số chẵn hát

b) Chứng minh ban tổ chức liên hoan xếp buổi biểu diễn cho số hát hai buổi biểu diễn liên tiếp khơng cùng tính chẵn lẻ

cột 1008 cột 1008-22

dòng 1008

(11)

11 Lời giải

a) Ứng với mỡi chương trình văn nghệ, ta ghép cặp nam nữ song ca thành bảng m n (m hàng, n cột, học sinh nữ đánh số từ đến m, học sinh nam đánh số từ đến

n) sau: Mỗi ô  i j, bảng đánh số

+ Số học sinh nữ thứ i học sinh nam thứ j hát với nhau; + Số học sinh nữ thứ i học sinh nam thứ j không hát với nhau;

0 0

1 0

1 0 0

0 1 1

1 1 0

Một bảng gọi “tốt” mỗi hàng mỡi cột có mốt số Theo đề bài, tất bảng biểu diễn cho chương trình tốt ví học sinh biểu diễn

Xét học sinh X đó, giả sử học sinh nữ (trường hợp học sinh nam chứng minh tương tự) Một chương trình lệ thuộc vào X bảng ứng với chương trình đó, tồn cột có số nằm hàng X, ta gọi bảng lệ thuộc X cột cột lệ thuộc X (như bảng minh họa 5 trên, chương trình lệ thuộc bạn nữ thứ 3)

Ta cần chứng minh, tất bảng lệ thuộc X, số bảng có số chẵn số bảng có số số lẻ

Thật vậy,

Xét trường hợp bảng có kcột lệ thuộc vào X, k n (vì k n tất cịn lại bảng số 0, dẫn đến tồn hàng toàn số 0, mâu thuẫn)

Khi kn, ta bỏ k cột khỏi bảng đó, bảng ksố Mỗi ô hàng

của X điền số số tùy ý mỡi cột cịn lại cịn chữ số khơng thuộc hàng cảu X Do vậy, ta bỏ hàng X ta bảng m 1 nk tốt

Suy ra, số bảng lệ thuộc X trường hợp 2n k nhân với số lượng bảng tốt có kích thước m 1 nk cịn lại Trong mỡi bảng đó, ta chọn bất hàng X thay đổi số từ 01, 10 thay đổi tinh chẵn lẻ số bảng

Do đó, tồn song ánh từ tập hợp bảng lệ thuộc X có số chẵn đến tập hợp bảng lệ thuộc X có số lẻ

Vậy ta có kết luận, số lượng hai bảng

Ứng với mỗi k 1,n1 cách chọn k cột phụ thuộc X số lượng bảng có số lẻ chẵn nhau, nên tổng số bảng có số số lẻ với bảng có số số chẵn b) Ta đặt f m n ,  g m n ,  số bảng tốt m n có chẵn lẻ số

Xét học sinh X tùy ý, không tổng quát giả sử học sinh nữ Ta có trường hợp sau:

(12)

12 + Nếu không tồn cột phụ thuộc X, ta bỏ hàng tương ứng X đi, ta có bảng

m 1 n tôt

Mặt khác, số trường hợp mà hàng X có số lẻ có số chẵn ô điền số

1(mod 2) a n a L C 

 

0(mod 2),

a n a a

C C

 

  (a số số hàng X) Vì Cn0Cn1Cn2    1 nCnn 0 nên C  L

Vì tính chẵn lẻ số số thuộc dịng X định tính chẵn lẻ bảng cịn lại nên ta có cơng thức truy hồi sau

               

, , 1, 1,

f m n h m n L g m n C f m n

g m n h m n L f m n C g m n

                  Do đó,              

, , 1, 1,

1, 1,

f m n g m n L C g m n f m n

g m n f m n

     

   

Dẫn đến,

      4    

, , m n 2, 2,

f m n g m n     f g

Ta có, m n,    2,

1 1 ,

1 0 ,

0 1 0

1 , 1 ,

1 1 ,

1 1

Hay f 2, 3,g 2, 4, suy f m n , g m n ,    1 m n 3 Từ ta thấy số lượng hai loại bảng khơng vượt q xếp bảng theo thứ tự chẵn, lẻ đan xen thỏa mãn yêu cầu đầu Ta có đpcm

Bài toán 10. (VOM-2018) Một nhà đầu tư có hai mảnh đất hình chữ nhật, mãnh đất dều có kích thước 120m100m

a) Trên mãnh đất thứ nhất, nhà đầu tư muốn xây dựng ngơi nhà có hình chữ nhật kích thước 25m35m xây bên ngồi bồn hoa hình trịn đường kính 5m Chứng minh dù

xây trước bồn hoa đâu phần đất cịn lại đủ xây ngơi nhà

b) Trên mảnh đất thứ hai, nhà đầu tư muốn xây dựng hồ cá hình đa giác lồi cho từ điểm phần đất cịn lại khơng q 5m đến bờ hồ Chứng minh chu vi hồ không nhỏ 44020 2m

Lời giải

(13)

13 mét

120, 100

ABCD ADBC  Chia hình chữ nhật ABCD thành 10 hình chữ nhật nhỏ kích thước 30 40 hình vẽ

Xét điểm tâm giếng nước, theo nguyên lý Dirichlet, tồn hình chữ nhật nhỏ khơng chứa tâm tâm trên, giả sử hình chũ nhật XYZT , với

40, 30

XY ZT  XT YZ 

Xét hình chữ nhật X Y Z T' ' ' ' nằm bên XYZT có cạnh song song với cạnh XYZT cách khoảng 2.5, lúc X Y Z T' ' ' ' có kích thước 25m35m Rõ ràng xây nhà hình chữ nhật X Y Z T' ' ' ' thỏa mãn yêu cầu Ta có điều phải chứng minh

b) Xét mảnh đất hình chữ nhật ABCD, ABCD120, AD BC100 Gọi Llà chu vi hồ Theo đề tồn điểm ', ', ', 'A B C D thuộc L cho

', ', ', ' AA BB CC DD 

Vì chu vi hồ đa giác lồi nên đường gấp khúc ' ', ' ', ' ', ' 'A B B C C D D A không chườm lên Do

' ' ' ' ' ' ' ' L  A BB C C DD A Hạ A A' 1 AD A A, ' 2 AB

1

' , '

B B BC B B  AB

1

' , '

C C  BC C C CD

1

' , '

D D  AD D D CD

Ta có,

1 ' ' ' ' 1 120

A AA BB B  A B  AB

Tương tự, ta có

2 ' ' ' ' 100

B B B C C C  ,

1 ' ' ' ' 120

C C C D D D  ,

2 ' ' ' ' 100

D D D AA A 

Từ suy

1 2

' ' ' ' ' ' ' ' ( ' ' ' '

' ' ' ' ) 440

A B B C C D D A A A A A B B B B C C C C D D D D

      

    

(14)

14 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz, ta có

 2

1 2

' ' ' ' '

A A A A  A A A A  A A 

Tương tự, B B' 1B B' 2 5 2;C C' 1C C' 2 5 2; D D' 1D D' 2 5 Từ ta có kết luận, L 44020 (đpcm)

Bài tập

Bài toán 11. (IMO-1997) Trong mặt phẳng điểm với tọa độ ngun đỉnh hình vng đơn vị Các hình vng tơ màu đen, trắng (như bàn cờ vua) Với mỗi cặp số nguyên dương m n,  xét tam giác vuông mà đỉnh có tọa độ nguyên, cạnh bên chiều dài m n, nằm dọc theo cạnh hình vng Ký hiệu S1 tổng diện tích phần màu đen tam giác S2 tổng diện tích phần màu trắng tam giác Đặt f m n ,  S1S2

 a Tính f m n , với m n, nguyên dương cùng chẵn cùng lẻ

 b Chứng minh  ,  ax ,

f m n  m m n với m n

Bài tốn 12. (Thi vơ địch Moscow, 1961) Cho bảng vng có kích thước 4 Chứng minh đặt dấu ∗ vào bảng cho xóa hàng cột bảng có dấu ∗ chưa bị xóa Chứng minh số dấu ∗ nhỏ ln xóa hàng cột để dấu ∗ bị xóa

Bài tốn 13. (Thi vào lớp chun Toán-Tin Hà Nợi, Amsterdam, 1998) Cho hình vng cạnh n (n số nguyên lớn 1) chia thành n n ô vuông nhỏ Trong mỗi ô vuông nhỏ ghi số 1, 0, -1 Hình vng gọi "bảng số ô vuông cạnh

n"

a) Hãy lập bảng số vuông cạnh cho tổng số ghi bảng theo hàng, cột khác

b) Có hay khơng bảng số cạnh n mà tổng số ghi bảng theo hàng, cột theo hai đường chéo khác

Bài toán 14. (Thi vào lớp chuyên Toán-Tin- Đại học tổng hợp HCM,1994) Cho bảng kích thước 2n2n vng Người ta đánh dấu vào 3n bảng Chứng minh chọn n hàng n cột bảng cho ô đánh dấu nằm n hàng

n cột

Bài toán 15. (IMO-1999) Xét bảng n n ô vuông, n số tự nhiên cố định bảng chia thành n2 vng đơn vị Ta nói vuông khác bảng "liền kề" chúng có cạnh chung Biết N vng đơn vị bảng đánh dấu theo cùng cách cho ô vuông (đánh dấu hay không đánh dấu) bảng "liền kề" có ô vuông đánh dấu Xác định giá trị nhỏ có N

Bài tốn 16. (IMO-1996) Cho số dương r bảng hình chữ nhật ABCDvới

20, 12

AB BC , BC=12 Hình chữ nhật chia thành 20 12 vuông Xét phép dịch

chuyển sau: Dịch chuyển từ ô vuông sang ô vuông thực khoảng cách hai tâm ô vuông r Nhiệm vụ đặt tìm dãy phép dịch chuyển từ

vng có A đỉnh đến vng có B đỉnh

a Chứng minh nhiệm vụ bất khả thi r chia hết cho chia hết cho b Chứng minh nhiệm vụ khả thi r73

(15)

15 Bài toán 17. (IMO-2002) Giả sử n số nguyên dương Một điểm  x y, mặt phẳng với x y, số nguyên, không âm, x y n, tô màu đỏ trắng thỏa mãn điều kiện:

Nếu điểm  x y, có màu đỏ tất điểm x y', 'mà x'x y, ' y có màu đỏ Gọi A số cách chọn n điểm màu trắng với tọa độ thứ phân biệt B số cách chọn n điểm màu trắng với tọa độ thứ hai phân biệt Chứng minh AB

Bài toán 18. (VMO-2017) Cho số ngun n 1 Bảng vng ABCD kích thước n n gồm

2

n ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị tô ba màu: đen, trắng, xám Một cách tô màu gọi đối xứng mỡi có tâm đường chéo AC tô màu xám mỗi cặp ô đối xứng qua AC tô cùng màu đen cùng màu trằng Người ta điền vào mỗi ô xám số 0, mỗi ô trắng số nguyên dương mỗi ô đen số nguyên âm Một cách điền số gọi k-cân đối (với k nguyên dương) thỏa mãn điều kiện sau:

)

i Mỗi cặp ô đối xứng qua AC điền cùng số nguyên thuộc đoạn k k,  )

ii Nếu hàng cột giao đen tập số ngun dương điền hàng tập số ngun dương điền cột khơng giao nhau; hàng cột giao ô trắng tập số nguyên âm điền hàng tập số nguyên âm điền cột khơng giao

a) Với n5, tìm giá trị nhỏ kđể tồn cách điền số k - cân đối cho cách tô màu đối xứng hình bên

b) Với n2017, tìm giá trị nhỏ k để với cách tô màu đối xứng, tồn cách điền số k-cân đối

Bài toán 19. Cho bảng vng kích thước 2012 2012 Người ta ghi vào mỗi ô ( , )i j (i j, 1, 2, , 2012) số tự nhiên aij thỏa điều kiện :

(1) ai1ai2 ai2012 2011, với i1, 2, , 2012; (2) a aij kl 0 (ki l)(  j)0

Hỏi có cách ghi ?

Bài toán 20. Cho bàn cờ kích thước 2011 2012 Bỏ bớt hai ô khác màu tùy ý Hãy xếp đầy

bàn cờ cịn lại đơminơ kích thước 2 , cho đơminơ khơng chờm lên (có thể xoay đơminơ)

Tài liệu tham khảo:

Hình học tổ hợp – Vũ Hữu Bình

2 Các phương pháp giải toán qua kỳ thi Olympic- Trần Nam Dũng Tạp chí Tốn học tuổi trẻ