Chứng minh rằng các đường thẳng EF, M N, BC cắt nhau tạo thành tam giác có đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc ( O ).. Lời giải(Trương Mạnh Tuấn-11 Toán 1-THPT chuyên KHTN): Đây là lời giải c[r]
(1)Từ hình ngày đề Lạng Sơn TST 2016-2017 tới lớp chứng
minh tiếp xúc
Bài tốn 1(Trích đề Lạng Sơn TST 2016-2017): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn(O) cóI tâm nội tiếp tam giác (O1)qua C tiếp xúcAI I cắt AC,(O)lần lượt điểm E, H
a)Chứng minh rằng: HE chia đôiAI
b)(O2)qua B tiếp xúc AI I cắt AB,(O) điểmF, G Chứng minh rằng: (EIF)tiếp xúc (GIH)
Lời giải(Nguyễn Duy Khương):a) Ta có: ∠EHI = ∠ECI = ∠AIE Lại có: ∠AEH = 180◦−∠HEC =∠ACH+∠IAC =∠IAH gọi S giao điểm củaHE vàAI dễ thấy4AES ∼ 4HAS(g.g)và4SIE ∼ 4SHI(g.g)do thu được: SI2 =SA2 =SE.SH hay là S là trung điểm AI(đpcm).
(2)là tiếp tuyến (IGH) Ta thấy rằng: ∠xIE =∠xIH+∠HIE =∠ACH+∠HGI =
∠IGF+∠F GA−∠AGH+∠ACH = ∠A+∠B
2 Lại có: ∠EF I =∠GHE+∠SIG=
∠B
2 +∠GBA+
∠A
2 −∠AHG=
∠A+∠B
2 Do ∠xIE =∠EIF Ix
tiếp xúc (EIF) Vậy (EIF) tiếp xúc(GIH)(đpcm)
Bài tốn 2(Trịnh Huy Vũ): Cho tam giác ABC có đường cao AH Gọi X, Y chân đường vng góc hạ từ H xuống AC, AB Z giao điểm BX CY Chứng minh (XY Z) tiếp xúc (A;AH)
Lời giải(Nguyễn Duy Khương): Quay trở lại toán: GọiXY cắtBC điểm L GọiLAcắt (ABC)tại điểm P LấyJ đối xứngH quaLA Ta có: tứ giácAY HX nội tiếp nên ∠Y XH =∠HAB =∠Y HL ta có: LH2 = LX.LY = LB.LC = LP LA P thuộc (AH) Do J đối xứng H qua LA nên theo phép vị tự tỉ số tâm H J thuộc (A;AH) Lại có: J đối xứngH qua AL nên ∠LJ A= 90◦ suy LJ tiếp tuyến đến (A;AH)
Gọi T tâm (BCXY) theo định lí Bocard Z trực tâm tam giác ALT Gọi T Z cắt AL điểm P0 Gọi AT cắt LZ Q LP0.LA=LZ.LQ =LM LN(hệ thức M aclaurin)= LX.LY = LB.LC suy P0 thuộc (O) P trùng P0 Vậy T, Z, P, H thẳng hàng Do đóP, J, Z, H thẳng hàng Ta cần chứng minhJ thuộc
(3)phương tích tới đường trịn (BCXY) (A;AH) Gọi (A;AH) cắt (BCXY) điểm M, N
Ta có: AH2 = AM2 = AN2 = AX.AC = AY AB AM, AN tiếp tuyến đến (BCXY) Do quen thuộc ta thấy rằng: BX, CY, M N đồng quy điểm làZ(Gọi M N cắt Y B, CX điểm E, F sử dụng hàng điều hồ ta có:
(AEY B) = (AF XC) = −1do đóBX, CY, M N đồng quy) Vậy hiển nhiên: phương tích từ Z tới (BCXY)=phương tích từ Z tới (A;AH) tứ giác J CHY nội tiếp J XY Z nội tiếp mà dễ thấy LJ tiếp tuyến tới(XY Z)do (XY Z)
tiếp xúc (A;AH)tại J(đpcm)
Bài toán 3(Đề thi trường đơng Tốn học Miền Nam 2014): Cho tam giác ABC có AB < AC đường cao AD, BE, CF đồng quy điểm H EF cắt BC điểmG K hình chiếu H lên AG AH cắtEF điểmL Trung trực LD cắt HG điểmP Gọi N trung điểm EF Chứng minh rằng: (KGN) tiếp xúc (DP L)
Lời giải: Ta dễ thấyK, H, Mthẳng hàng(M trung điểmBC) đồng thờiGH vng góc AM điểm I Gọi S trung điểm đoạn LD Chú ý theo hàng điểm điều hồ (GD, BC) = −1 xét phép chiếu xuyên tâm E (AH, LD) = −1
(4)Ta thấy rằng: J I2 =J A2 =J L.J D(hệ thức Newton cho hàng (AH, LD) =−1) nên IJ tiếp xúc (DP L) Hiển nhiên IJ tiếp xúc với (KGM) hay (KGN) Vậy IJ tiếp tuyến chung đường tròn hay ta có đpcm
Nhận xét: Bài tốn thể tư chứng minh tiếp xúc qua việc tìm tiếp
điểm rõ ràng Từ chứng minh trực tiếp vấn đề biến đổi xoay quanh
Bài tốn 4(Trần Quang Hùng): Cho tam giácABC nội tiếp đường trịn(O) AD đường kính(O) E, F hình chiếu điểmP lênCA, AB.P D cắt trung trựcEF điểmK (K) quaE, F cắt CA, AB điểmM, N khácE, F Chứng minh đường thẳng EF, M N, BC cắt tạo thành tam giác có đường trịn ngoại tiếp tiếp xúc (O)
Lời giải(Trương Mạnh Tuấn-11 Toán 1-THPT chuyên KHTN): Đây lời giải bạn Tuấn đăng mục "Mỗi tuần toán" blog thầy Trần Quang Hùng
Trước tiên xin phát biểu bổ đề(để dành chứng minh cho bạn đọc)
Bổ đề: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có AP đường kính (O) Một đường
tròn(K)quaB, C cắtAC, AB tạiE, F Gọi(AEF)cắt(O)tại điểm thứ haiLkhác A Khi đó: L, P, K thẳng hàng
Quay trở lại toán áp dụng bổ đề ta thu (ABC),(AEF),(AM N) đồng quy điểm khác A làL Gọi X, Y, Z giao điểm M N với EF;EF với BC;M N với BC Áp dụng tính chất trục đẳng phương đôi giao đường trịn: (AM N),(AEF),(EF M N) ta có: AL, M N, EF đồng quy X Do ý L điểm M iquel Y, M, N ứng với (ABC) X, M, N với (AEF)
nên ta có: (LX, ZX) ≡ (LM, EM) ≡ (LY, ZY)(modπ) Vậy tứ giác LXY Z nội tiếp Gọi d tiếp tuyến L (O) Thế thì: (d, LX)≡ (d, LA)≡ (LB, AB) ≡
(LY, XY)(modπ) Vậy d tiếp tuyến của(XY Z) Hay thu đpcm Bài toán 5(Kiểm tra Titan School 8/2016): Cho tam giácABC nội tiếp đường trịn (O) có: H trực tâm AM trung tuyến tam giác ABC AM cắt lại (O)
(5)Lời giải(Nguyễn Duy Khương):
Gọi tiaM H cắt(O)tại điểmJ, gọiAD đường cao tam giácABC Hiển nhiên ta có: AJ, HP, M D đường cao tam giác AHM suy AJ, HP, BC đồng quy điểmY Hay A, J, Y thẳng hàng
Ta chứng minh J thuộc (XY Z) Ta có: HDY J nội tiếp XY J Z nội tiếp khi:
(J X, KX)≡(AH, J H)(modπ) tứ giác J HKX nội tiếp
Lại có: (J K, XK)≡(J A, N A)≡(J D, Y D)≡(J H, Y H)(modπ) ta có: J HKX nội tiếp hay làJ thuộc(XY Z) Vậy tức làJ thuộc(XY Z)và(O) VìJ thuộc(O)và
(XY Z)mà A, J, Y thẳng hàng nên gọiY G, ALlà đường kính (XY Z)và(O)
thì GJ L ⊥Y A, ta có: ∠J GY =∠J XY =∠J KA=∠J LA GYkAL hiển nhiên4GJ Y ∼ 4AJ LdoI, Olần lượt trung điểmGY vàALnên∠IJ Y =∠OJ A thu I, J, O thẳng hàng hay (XY Z)tiếp xúc (O)(đpcm)
Nhận xét: Bài tốn khơng khó cách làm chưa ngắn