14 BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2000 - 2010 doc

14 BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2000-2010 trang 1 Trong các đề thi chọn học sinh giỏi vòng quốc gia hàng năm, bài toán hình học phẳng được xem là bài toán cơ bản, bắt buộc. Để giải chúng, đòi hỏi người học nắm vững các kiến thức căn bản về hình học và năng lực tổng hợp các kiến thức đó. Nhằm phục vụ kỳ thi sắp đến, tôi xin giới thiệu với các em một số bài toán trong các kỳ thi vừa qua, giúp các em có cái nhìn tổng quan về mức độ và kiến thức đòi hỏi trong các bài thi. Bài 1. (Bảng B - năm 2000) Trên mặt phẳng cho trước cho hai đường tròn (O 1 ; r 1 ) và (O 2 ; r 2 ). Trên đường tròn (O 1 ; r 1 ) lấy một điểm M 1 và trên đường tròn (O 2 ; r 2 ) lấy một điểm M 2 sao cho đường thẳng O 1 M 1 cắt đường thẳng O 2 M 2 tại điểm Q. Cho M 1 chuyển động trên đường tròn (O 1 ; r 1 ), M 2 chuyển động trên đường tròn (O 2 ; r 2 ) cùng theo chiều kim đồng hồ và cùng với vận tốc góc như nhau. 1) Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng M 1 M 2 . 2) Chứng minh rằng giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác M 1 QM 2 với đường tròn ngoại tiếp tam giác O 1 QO 2 là 1 điểm cố định. Giải 1) Gọi O là trung điểm của O 1 O 2 . Hiển nhiên O là điểm cố định. Lấy các điểm M’ 1 , M’ 2 sao cho: 1 1 1 2 1 2 OM' O M , OM' O M = =     . Vì M 1 , M 2 tương ứng chuyển động trên (O 1 ; r 1 ), (O 2 ; r 2 ) theo cùng chiều và với cùng vận tốc góc nên M’ 1 , M’ 2 sẽ quay quanh O theo cùng chiều và với vận tốc góc (*). Ta có : M là trung điểm M 1 M 2 ⇔ 1 2 1 1 2 2 1 1 OM (OM OM ) OM (O M ' O M' ) 2 2 = + ⇔ = +       ⇔ M là trung điểm của M’ 1 , M’ 2 (**). Từ (*), (**) suy ra: quỹ tích của M là đường tròn tâm O và bán kính 2 2 2 1 2 1 R 2r 2r d 2 = + − , trong đó d = M 1 M 2 = const. 2) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác M 1 QM 2 và đường tròn ngoại tiếp tam giác O 1 QO 2 . Dễ dàng chứng minh được: ∆ PO 1 M 1 đồng dạng ∆ PO 2 M 2 . Suy ra 1 1 2 2 PO r PO r = . Do đó, P thuộc đường tròn Apôlôniut dựng trên đoạn O 1 O 2 cố định, theo tỷ số không đổi 1 2 r r (1). Dễ thấy 1 2 (PO , PO ) const = α =   . Suy ra, P thuộc cung chứa góc định hướng không đổi α dựng trên đoạn O 1 O 2 cố định (2). Từ (1), (2) suy ra P là điểm cố định (đpcm). Q O 1 O 2 O M 1 ’ M 2 ’ M 1 M 2 M Q O 1 O 2 M 1 M 2 P www.VNMATH.com trang 2 Bài 2. (Bảng B - năm 2001) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại hai điểm A, B và P 1 , P 2 là một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó (P 1 ∈ (O 1 ), P 2 ∈ (O 2 )). Gọi Q 1 và Q 2 tương ứng là hình chiếu vuông góc của P 1 và P 2 trên đường thẳng O 1 O 2 . Đường thẳng AQ 1 cắt (O 1 ) tại điểm thứ hai M 1 , đường thẳng AQ 2 cắt (O 2 ) tại điểm thứ hai M 2 . Hãy chứng minh M 1 , B, M 2 thẳng hàng . Giải Gọi R 1 và R 2 tương ứng là bán kính của (O 1 ) và (O 2 ). 1) Trường hợp 1 : R 1 = R 2 . Khi đó Q 1 ≡ O 1 và Q 2 ≡ O 2 ⇒   0 1 2 M BA M BA 90 = = ⇒ M 1 , B, M 2 thẳng hàng . 2) Trường hợp 2 : R 1 ≠ R 2 . Giả sử R 1 > R 2 . Khi đó Q 1 nằm trên đoạn O 1 O 2 và Q 2 nằm trên tia đối của tia O 2 O 1 . Do đó :     0 1 1 2 2 1 2 M O A M O A M BA M BA 180 2 2 + = − + (*) trong đó  0 1 1 M O A 180 < Gọi S = P 1 P 2 ∩ Q 1 Q 2 thì S là tâm của phép vị tự V S biến (O 1 ) thành (O 2 ). Gọi A 1 là giao điểm thứ hai của SA và (O 1 ). Ta có V S : A 1 → A ; O 1 → O 2 ; Q 1 → Q 2 nên   1 1 1 2 2 O A Q O AQ = Mà SP 1 .SQ 1 = SA.SA 1 (= SP 1 2 ) ⇒ A, Q 1 , O 1 , A 1 cùng thuộc một đường tròn ⇒   1 1 1 1 1 O A Q O AQ = . Suy ra   1 1 2 2 O AQ O AQ = ⇒   1 1 2 2 M O A M O A = . Từ (*) ⇒   0 1 2 M BA M BA 180 + = ⇒ M 1 , B, M 2 thẳng hàng . P 1 P 2 O 1 ≡ Q 1 O 2 ≡ Q 2 M 1 M 2 B A P 1 P 2 O 1 O 2 M 1 M 2 B A Q 2 Q 1 A 1 S www.VNMATH.com trang 3 Bài 3. (Bảng B - năm 2002) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cố định (O, R 1 ) và (O, R 2 ) có R 1 > R 2 . Một hình thang ABCD (AB // CD) thay đổi sao cho bốn đỉnh A, B, C, D nằm trên đường tròn (O, R 1 ) và giao điểm của hai đường chéo AC, BD nằm trên đường tròn (O, R 2 ). Tìm quỹ tích giao điểm P của hai đường thẳng AD và BC . Giải 1) Phần thuận : Gọi I = AC ∩ BD. Vì ABCD là hình thang nội tiếp nên nó là hình thang cân. Suy ra OI là trục đối xứng của hình thang ABCD và O, I, P thẳng hàng. Vì      0 0 1 1 POD (DOI IOC) 180 DOC 180 DAC 2 2 = + = − = − ⇒   0 POD DAC 180 + = ⇒ tứ giác AIOD nội tiếp ⇒ PA.PD = PI.PO = OP(OP – OI) = OP 2 – OP.OI. Mặt khác : PA.PD = P P/(O) = OP 2 – R 1 2 Suy ra : OP.OI = R 1 2 ⇒ 2 2 1 1 2 R R OP OI R = = = hằng số ⇒ P chuyển động trên đường tròn tâm O, bán kính 2 1 2 R R . 2) Phần đảo : Lấy điểm P bất kỳ trên đường tròn (O; 2 1 2 R R ). Gọi I là giao điểm của OP và (O, R 2 ). Dễ dàng dựng được hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O, R 1 ), nhận I làm giao điểm của hai đường chéo và và nhận P là giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên. 3) Kết luận : Tập hợp các điểm P là đường tròn tâm O, bán kính 2 1 2 R R . A B C D O I P www.VNMATH.com trang 4 Bài 4. (Bảng B - Năm 2003) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên đường thẳng AC lấy các điểm M, N sao cho MN AC =   . Gọi D là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng BC; E là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng AB. 1) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên đường tròn tâm O’ ngoại tiếp tam giác BED. 2) Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn thẳng AN đối xứng với B qua trung điểm của đoạn thẳng OO’. Giải 1) Gọi K = MD ∩ NE. Vì   0 BEK BDK 90 = = nên đường tròn đường kính BK ngoại tiếp tam giác BED. Ta có : AH // MK và CH // NK nên   HAC KMN = và   ACH MNK = . Mặt khác AC = MN, suy ra : ∆AHC = ∆MKN. Do đó : d(H, AC) = d(K, AC). Mà H và K nằm cùng phía đối với AC nên KH // AC ⇒ BH ⊥ KH ⇒ H nằm trên đường tròn tâm O’, đường kính BK ngoại tiếp tam giác BED. 2) Gọi I 1 và I 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên AB và BC thì I 1 là trung điểm AE, I 2 là trung điểm DC. Do đó : * Hình chiếu vuông góc của O'I  trên BA và BC lần lượt bằng 1 BA 2  và 1 BC 2  * Hình chiếu vuông góc của BO  trên BA và BC lần lượt bằng 1 BA 2  và 1 BC 2  Vậy : O'I BO =   ⇒ BO’IO là hình bình hành ⇒ B và I đối xứng nhau qua trung điểm của OO’. A B C M N H E D K I 1 I 2 I O’ O www.VNMATH.com trang 5 Ghi chú : Cho hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 cắt nhau. Xét hai vectơ u  và v  . Hình chiếu vuông góc của u  trên ∆ 1 và ∆ 2 lần lượt bằng a  và b  Hình chiếu vuông góc của v  trên ∆ 1 và ∆ 2 cũng lần lượt bằng a  và b  Giả sử ∆ 1 và ∆ 2 cắt nhau tại O. Đặt u OM =   , v ON =   . Gọi M 1 , M 2 lần lượt là hình chiếu của M trên ∆ 1 và ∆ 2 thì 1 a OM =   và 2 b OM =   Gọi N 1 , N 2 lần lượt là hình chiếu của N trên ∆ 1 và ∆ 2 thì 1 a ON =   và 2 b ON =   Vì u  và v  có cùng điểm gốc O, có cùng hình chiếu trên ∆ 1 là a  nên N nằm trên đường thẳng MM 1 . Tương tự u  và v  có cùng hình chiếu trên ∆ 2 là b  nên N nằm trên đường thẳng MM 2 . Suy ra N ≡ M hay u  = v  . ∆ 1 ∆ 2 O M 1 N M M 2 N 1 N 2 u  v  www.VNMATH.com trang 6 Bài 5. (Bảng B - năm 2004) Trong mặt phẳng, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Trên cung BC không chứa điểm A của đường tròn (O), lấy điểm P sao cho P không trùng với B và C. Lấy điểm D sao cho AD PC =   và gọi K là trực tâm của tam giác ACD. Gọi E và F tương ứng là hình chiếu vuông góc của K trên các đường thẳng BC và AB. Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của HK. Giải Từ AD PC =   ⇒ APCD là hình bình hành ⇒   APC ADC = ⇒   0 APC AKC 180 + = ⇒ K ∈ (ABC) Gọi N = AH ∩ EF, M = AH ∩ (ABC) với M ≠ A. Vì MN và KE cùng vuông góc với BC nên MN // KE. Vì   0 KEB KFB 90 = = nên tứ giác KFBE nội tiếp ⇒    NEK ABK NMK = = ⇒ MEKN là tứ giác nội tiếp ⇒ tứ giác MEKN là hình thang cân ⇒ HE // NK ⇒ HEKN là hình bình hành ⇒ EF đi qua trung điểm I của HK. Ghi chú : EF là đường thẳng Simson A B C M N H E D K P K 1 I F www.VNMATH.com trang 7 Bài 6. (Bảng B - năm 2005) Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Gọi M, N và P lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp gócA, đường tròn bàng tiếp gócB và đường tròn bàng tiếp gócC của tam giác đó. Gọi O 1 , O 2 , O 3 tương ứng là tâm của các đường tròn (INP), (IPM) và (IMN). Chứng minh rằng : 1) Các đường tròn (INP), (IPM) và (IMN) có bán kính bằng nhau. 2) Các đường thẳng MO 1 , NO 2 , PO 3 cắt nhau tại một điểm. Giải 1) Vì phân giác trong và phân giác ngoài xuất phát từ cùng một đỉnh của tam giác vuông góc nhau nên suy ra I là trực tâm tam giác MNP. Do đó các đường tròn (INP), (IPM) và (IMN) đối xứng với đường tròn (MNP) tương ứng qua các đường thẳng NP, PM, MN. Vì vậy bán kính của các đường tròn đó bằng nhau. Ghi chú : Có thể áp dụng định lý hàm sin để chứng minh bán kính các đường tròn (INP), (IPM), (IMN) và (MNP) bằng nhau. 2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (MNP) thì O 1 , O 2 , O 3 đối xứng với O tương ứng qua các đường thẳng PN, PM, MN. Từ đó suy ra trung điểm M 1 của OO 1 cũng là trung điểm của NP. Lập luận tương tự cho M 2 và M 3 . Do đó: 1 2 1 2 O O 2M M NM = =    và 1 3 1 3 O O 2M M PM = =    . Suy ra : O 1 NMO 2 và O 1 PMO 3 là các hình bình hành. Dùng tính chất hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường để suy ra MO 1 , NO 2 , PO 3 cắt nhau tại một điểm. A B C M N P I O M 2 M 3 M 1 O 3 O 2 O 1 www.VNMATH.com trang 8 Bài 7. (Bảng B - năm 2006) Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn. Xét một điểm M di động trên đường thẳng CD sao cho M không trùng với C và với D. Gọi N là giao điểm thứ hai khác M của đường tròn (BCM) và (DAM). Chứng minh rằng : 1) Điểm N di động trên một đường tròn cố định ; 2) Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Giải 1) Nếu M nằm trên cạnh CD thì M và N ở cùng phía đối với đường thẳng AB. Từ các tứ giác nội tiếp ANMD và BNMC, ta có :      ANB 2 (ANM BNM) C D = π − + = + Nếu M nằm ngoài cạnh CD thì M và N ở khác phía đối với đường thẳng AB. Từ các tứ giác nội tiếp ANMD và BNMC, ta có :    ANB (C D) = π − + Vậy N thuộc đường tròn cố định đi qua A và B. 2) Gọi P = AD ∩ BC thì P cố định và PA.PD = PB.PC, suy ra P thuộc trục đẳng phương của 2 đường tròn (BCM) và (DAM) ⇒ P ∈ MN. A B C D M N P A B C D M N P www.VNMATH.com trang 9 Bài 8. (Bảng B - năm 2006) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O và có BC > AB > AC. Đường thẳng OA cắt đường thẳng BC tại điểm A 1 ; đường thẳng OB cắt đường thẳng CA tại điểm B 2 . Gọi B 1 , C 1 , C 2 và A 2 tương ứng là tâm các đường tròn (AA 1 B), (AA 1 C), (BB 2 C) và (BB 2 A). Chứng minh rằng : 1) Tam giác A 1 B 1 C 1 đồng dạng với tam giác A 2 B 2 C 2 ; 2) Tam giác A 1 B 1 C 1 bằng với tam giác A 2 B 2 C 2 khi và chỉ khi góc C của tam giác ABC bằng 60 0 . Giải 1) Ta có :        0 0 1 1 AA B A AC C 90 AB'C C 90 B C = + = − + = − + Theo định lý hàm sin trong tam giác AA 1 B thì :  1 1 1 AB 2sin AA B 2cos(C B) A B = = − Tương tự :    1 1 1 1 1 AC 2sin AA C 2sin( AA B) 2sin AA B 2cos(C B) A C = = π − = = − Suy ra : 1 1 1 1 AB AC A B A C = . Mặt khác :       0 0 1 1 1 1 1 1 1 B A C B A A C A A (90 B) (90 C) A = + = − + − = Suy ra : ∆A 1 B 1 C 1 ∼ ∆ABC theo tỉ số 2cos(C – B) Tương tự : ∆A 2 B 2 C 2 ∼ ∆ABC theo tỉ số 2cos(A – C) Do đó : ∆A 1 B 1 C 1 ∼ ∆A 2 B 2 C 2 . 2) ∆A 1 B 1 C 1 = ∆A 2 B 2 C 2 ⇔ cos(C – B) = cos(A – C) ⇔  0 C 60 = . A B C O A 1 B 2 B 1 C 1 • • • • • C 2 A 2= A B C O A 1 B 2 B 1 C 1 • • • • C 2 A 2= • B’ www.VNMATH.com [...]... = BC2 + BM2 – 2 BC.BM.cosϕ = BC2 + AC2 – 2BC.AC.cosϕ ACB + ϕ ACB − ϕ = AB2 + 2BC.AC.cos ACB - 2BC.AC.cosϕ = AB2 – 4BC.AC sin sin (*) 2 2 ACB + ϕ (β + ECB) + (ECB − β) = = ECB và - N u M n m ngoài o n EC (Hình 1) thì : 2 2 ACB − ϕ β + ECB − ϕ β + β = = =β 2 2 2 trang 13 www.VNMATH.com - N u M n m trong o n EC (Hình 2) thì : ACB + ϕ β + ECB + ϕ β + β = = = β và 2 2 2 ACB − ϕ (β + ECB) − (β − ECB) = =... K c a AB v i K c nh 1) MIN = AIB = 1800 − trang 16 www.VNMATH.com Bài 14 (Năm 2010) Trong m t ph ng, cho ư ng tròn (O) và hai i m c nh B, C n m trên ư ng tròn ó sao cho dây BC không là ư ng kính Xét m t i m A di ng trên (O) sao cho AB ≠ AC và A không trùng v i B, C G i D và E l n lư t là giao i m c a ư ng th ng BC v i ư ng phân giác trong và ư ng phân giác ngoài c a góc BAC G i I là trung i m c a... = = h 1 + k2 trang 12 www.VNMATH.com (Còn n u ch n A(a ; 0), B(-a, 0) v i a >0 thì c − m = Do ó : MC 2 = (1 + k 2 ) 2a 2a = ) h 1 + k2 4a 2 4a 2 = (1 + k 2 ) 2 1 + k 2 2 MC 1  MC  ⇒ = cos 2 α ⇒ = cos α  = 2 AB  2a  1 + k Cách 2 A A E α β B M E α C ϕ β β C ϕ B β M Hình 1 Hình 2 MC = 0 = cos α AB N u α < 900 thì M n m ngoài o n EC (Hình 1) Th t v y, t α < 900 ta suy ra AC > AB Gi s ngư c l i, M...www.VNMATH.com Bài 9 (Năm 2007) Cho tam giác ABC có hai nh B, C c nh và nh A thay i G i H, G l n lư t là tr c tâm và tr ng tâm c a tam giác ABC Tìm qu tích i m A, bi t r ng trung i m K c a HG thu c ư ng th ng BC Gi i y A G C B O x K H Ch n h tr c Oxy v i O là trung i m BC và tr c Ox là ư ng th ng BC (hình v ) t BC = 2a > 0 thì B(-a ; 0), C(a ; 0) Gi s A(x0 ; y0) v i y0 ≠... quy t i i m M V y M, N, A’ th ng hàng trang 11 www.VNMATH.com Bài 11 (Năm 2008) Cho tam giác ABC G i E là trung i m c a c nh AB.Trên tia EC l y i m M sao cho BME = ECA Kí hi u α là s MC theo α AB o c a góc BEC , hãy tính t s Gi i M(m ; km) β y C(c ; kc) β α E≡O A(-a ; 0) B(a ; 0) x Cách 1 MC = 0 = cos α AB N u α ≠ 900 Ch n h to Oxy v i A(-a ; 0), B(a, 0) v i a >0 t k = tanα ≠ 0, thì phương trình ư... − (β − ECB) = = ECB 2 2 V y t (*) ta có : MC2 = AB2 – 4BC.AC sin β sin ACB = AB2 – 4.(AC sin β )(BC sin ACB ) = AB2 – 4(EAsinα)(EBsinα) = AB2 – (ABsinα)2 = AB2cos2α MC ⇒ = cos α AB trang 14 www.VNMATH.com Bài 12 (Năm 2008) Cho tam giác ABC, trung tuy n AD Cho ư ng th ng d vuông góc v i ư ng th ng AD Xét i m M n m trên d G i E, F l n lư t là trung i m c a MB, MC ư ng th ng i qua E và vuông góc v i d... ng PQ luôn i qua 1 i m c i m M di ng trên ư ng th ng d Gi i y P M d A F E C D≡O Q x B Ch n h tr c Oxy có O≡ D, tr c Oy ≡ DA Khi ó Ox //d (hình v ) Vì A ∈ Oy nên A(0 ; a) v i a ≠ 0 (do A ≠ D) Gi s B(b ; c) Do B ∉ Oy nên b ≠ 0 Vì B và C i x ng nhau qua O nên C(-b ; -c) Suy ra : AB : (a – c)x + by – ab = 0 và AC : (a + c)x – by + ab = 0 Do M ∈ d nên M(xM ; h) v i h là h ng s x +b x −b G i d1 , d2 là các...  b2  2  − b(x − x M ) + (y − h) = 0 hay b  x −  − (ax M − bc)  y − h +  = 0 a  a  b    bc b2  V y ∆ i qua i m c nh R  ; h −  khi M di ng trên d a   a trang 15 www.VNMATH.com Bài 13 (Năm 2009) Trong m t ph ng cho hai i m c nh A, B (A ≠ B) M t i m M di ng trên m t ph ng sao 0 0 cho ACB = α không i (0 < α < 180 ) ư ng tròn tâm I n i ti p tam giác ABC và ti p xúc v i AB, BC, CA l n lư... 3  2 2 K thu c ư ng th ng BC ⇔ 3a − 3x 0 + y0 V y qu tích các i m A là hypebol 2 x 0 2 y0 2 = 0 ⇔ 2 − 2 = 1 v i y0 ≠ 0 a 3a x 2 y2 − = 1 tr a 2 3a 2 i hai i m B, C trang 10 www.VNMATH.com Bài 10 (Năm 2007) Cho hình thang ABCD có áy l n BC và n i ti p ư ng tròn (O) tâm O G i P là m t i m thay i trên ư ng th ng BC và n m ngoài o n BC sao cho PA không là ti p tuy n c a ư ng tròn (O) ư ng tròn ư ng kính... n EC Do M ≠ E, nên M n m gi a E và C ⇒ ECA = BME = ECB + CBM ⇒ ECA > ECB Vì th , n u g i D là giao c a ư ng N u α = 900 thì M ≡ C ⇒ phân giác trong góc ACB và c nh AB thì D n m gi a E và A CA DA Suy ra 1 < = < 1 Vô lý CB DB N u α > 900 thì M n m gi a E và C (Hình 2) (Ch ng minh tương t như trên) t BME = ECA = β và MBC = ϕ Áp d ng nh lý hàm sin l n lư t cho các tam giác ACE và BME, ta ư c : AC EA EB . 14 BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 200 0- 2010 trang 1 Trong các đề thi chọn học sinh giỏi vòng. hàng năm, bài toán hình học phẳng được xem là bài toán cơ bản, bắt buộc. Để giải chúng, đòi hỏi người học nắm vững các kiến thức căn bản về hình học và