Bổ đề chặn tích trong chứng minh Bất đẳng thức

Đó là “ bổ đề chặn tích” – một công cụ rất mạnh để chứng mính bất đẳng thức với các bài toán ba biến đối xứng.. Mỗi công cụ phương pháp đều có ưu và nhược điểm riêng.[r]

(1)

BỔ ĐỀ CHẶN TÍCH TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC *******

https://thuvientoan.net/ Bất đẳng thức vấn đề học sinh yêu thích, câu hỏi phân loại số kỳ thi học sinh cấp Trong viết, thuvientoan.net xin giới thiệu đến bạn đọc tính chất thú vị biểu thức ba biến đối xứng thầy Võ Quốc Bá Cẩn phát Đó “bổ đề chặn tích” – cơng cụ mạnh để chứng mính bất đẳng thức với tốn ba biến đối xứng Mỗi cơng cụ phương pháp có ưu nhược điểm riêng Bổ đề chặn tích khơng thể tránh khỏi số hạn chế tính tốn phức tạp áp dụng phạm vi đinh Hi vọng với toán nho nhỏ này, bạn học tập thêm nhiều điều bổ ích Chúc bạn học tốt!

I Giới thiệu bổ đề Bổ đề

Cho số thực khơng âm x x1, 2, , xn có tổng n

a) Chứng minh tồn t0 cho x12x22  xn2 n n n 1t2 b) Chứng minh 1 n 1t   xi n 1t với i1, 2, , n

Chứng minh

a) Áp dung bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

 2  2 2 2 2 2

1 n 1 n

x   x x    x x  x

Suy

2

2 2

1 n

n

x x x n

n

    

Mặt khác với 1 i n, ta có: x xi i  n xi2nxi Suy x12x22  xn2n x 1  x2 xnn2

Do 2 2

1 n

nx x  x n

Suy tồn t 0;1 cho 2  

1 n

x x  x  n n n t

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

 

   

2

2 2

1

2

1

n n

i

x x

x x x x

n n x n n n t x

n  

    

 

    

(2)

Bổ đề

Với a b c, , không âm thỏa mãn a  b c Giả sử tồn t 0;1 cho 2 2

3

a b c   t

a) Tính abbcca theo t

b) Chứng minh 1t 2 12tabc 1 t 2 12 t Chứng minh

a) Ta có    

2 2 2 2

2

3

2

a b c a b c

abbcca        t

b) Cho n3 ta 1 2t a b c, ,  1 t Suy ra:

   

  3   2  

1 2

t a t b t c

abc t a b c t ab bc ca t

      

          

Thay a  b c

3

abbcca  t vào vế phải bất đẳng thức thu gọn, ta được:   2 

1

abc t  t

Xét 1 2 t a1 2 t b1 2  t c 0, ta được:

  2 

1t 12t abc

Từ suy 1t 2 12tabc 1 t 2 12 t Tóm lại:

Với a b c, , không âm a  b c 3, t 0;1

 2 2

3

a b c   t

 abbcca 3 t2

 1t 2 12tabc 1 t 2 12 t II Các toán áp dụng

Bài Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn a  b c Chứng minh rằng:

 

3abc125 abbcca

Lời giải

Đặt a2b2c2 3 6t2 với t 0;1 abbcca 3 t2

Ta có abc 1 t 2  t Do bất đẳng thức ta chứng minh được:

 2   2

(3)

Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

 

3 2

2t 2t  0 t t 1 Do t 0;1 nên bất đẳng thức cuối Suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy t0 hay a  b c

2 2

1 1

a b c

a b c   

Lời giải

Đặt 2 2

3

a b c   t với t 0;1

3

abbcca  t

Kết hợp với a  b c 3, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:  2 2 2 2 2

6

abbcca a b c a b c  abc

Hay 33t22a b c2 236t26abc Do abc 1 t 2 12 ,t nên ta có:

    4 2    2 

2 2 2

3 6 1 6 1

a b c  t  abc t  t  t  t  t

Do ta cần chứng minh   4 2 2   2   22

1t 12t 36t 6 1t 12t  3 3t Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

 2 2 4 3 2 

6 1t t 4t 4t   t Mà t 0;1 nên bất đẳng thức cuối Suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy chi t0 hay a  b c

 2 2

1 1

8 10 a b c

a b c

 

      

 

 

Lời giải

Đặt a2b2c2 3 6t2 với t 0;1 abbcca 3 t2

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

       

   

2

2 2

2

24

9 10 30

8

3 10

t ab bc ca

a b c t

abc abc

t

t abc



 

       



(4)

Do abc 1 t 2 12t nên ta có              2

8 8 1

1

t t t

abc t t t t

  

 

 

Ta cần chứng mnh  

    

2

3 10

1

t t t t      

Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 2t1210t2  5t 1 Do t 0;1 nên bất đẳng thức cuối Đẳng thức xảy

2

t hay 2,

2

a b c

Suy điều phải chứng minh

Bài Cho a b c, , số thực đương thỏa mãn a  b c Chứng minh rằng:

2 2

3

2 2

a b c

a b c abbcca

Lời giải

Ta có   

       

2

2 2 2 2 2

4 2

2 2 2 2

a b c

a a a bc a b a c

a a b c a b c

                 Mà:                  

2 2

2 2 4 2 2 2

4 2

2 2

a b c abc a b c ab a b bc c a ca c a

a a bc a b a c

a b c a b c ab bc ca abc

          

  



         



Ta có 2ab a  b 2ab3 c 6ab2abc nên:

   

 

2 2

2 4 6 3

2 20

a b c ab bc ca abc

a

a ab bc ca abc

     



    



Đặt a2b2c2 3 6t2 với t 0;1 abbcca 3 t2 Do ta cần chứng minh:

   

 

2

4 6 3 3

3 20 3

t t abc

t t abc         

Ngoài abc 1 t 2 2 t nên bất đẳng thức cần chứng minh ta được:

              2 2 2

4 6 3 1 3

3

20 3 1

t t t t

t

t t t

     

 

    

Khai triển thu gọn biểu thức thức ta được:

  

5 2

15 3

(5)

Do t 0;1 nên bất đẳng thức cuối Suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy t0 hay a  b c

Bài Cho a b c, , số thực không âm thỏa mãn abbcca0 Chứng minh rằng:

   

2 2

8

2

a b c abc

ab bc ca a b b c c a

   

    

Khi thay a b c; ;  ma mb mc; ;  bất đẳng thức khơng đổi nên khơng tính tổng qt, giả sử:

3

a  b c

Khi tồn t 0;1 cho 2 2

3

a b c   t

3

abbcca  t

Ta có ab b c c a  a b c ab bccaabc3 3 3t2abc

Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

 

2

3

2

3 3 3

t abc t t abc

  

  

Mà abc 1 t 2 2 t nên ta cần chứng minh:    

     

2

8 1

3

2

3 3 3 1

t t

t

t t t t

 

  

    

Bằng biên đổi tương đương ta thu được: 3t22t120

Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Đ

ẳng thức xảy t0

2

t hay a b c a0,bc hoán vị

III Bài tập rèn luyện

 

1 1

48 ab bc ca 25

a  b c   

Bài Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn abc1 Chứng minh rằng:

2 2 1

3

a b c

 



         Bài Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c 1

a b c

     Chứng minh rằng:

3

4

ab bc ca

a b c

   