SỬ DỤNG MAY TÍNH CASIO LỚP 9 - Website Trường THCS Phan Bội Châu - Đại Lộc - Quảng Nam

Nhaän xeùt:  Daïng toaùn naøy laø daïng toaùn khoù, thöôøng raát ít xuaát hieän trong caùc kyø thi “Giaûi toaùn baèng maùy tính boû tuùi Casio”, nhöng söû duïng phöông phaùp heä cô soá[r]

CHƯƠNG I: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI

“GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO”

Quy định:

 Nếu khơng qui định thêm kết ví dụ tập tài liệu phải viết đủ 10 chữ số hình máy tính

 Các dạng tốn sau có sử dụng tài liệu TS.Tạ Duy Phượng – Viện toán học số tập trích từ đề thi (đề thi khu vực, đề thi tỉnh, huyện) từ năm 1986 đến nay, từ tạp chí Tốn học & tuổi trẻ, Toán học tuổi thơ

A SỐ HỌC - ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH

I Dạng : KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TỐN THỰC HAØNH

Yêu cầu: Học sinh phải nắm kỹ thao tác phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, thức, phép toán lượng giác, thời gian Có kỹ vận dụng hợp lý, xác biến nhớ máy tính, hạn chế đến mức tối thiểu sai số sử dụng biến nhớ

Bài 1: (Thi khu vực, 2001) Tính:

a    

2

2

A 649 13.180 13 2.649.180 b    

2

1986 1992 1986 3972 1987

B

1983.1985.1988.1989

  



c

7 6,35 : 6,5 9,8999  12,81

C : 0,125

1

1,2 : 36 : 0,25 1,8333

5             

  d

 

 

 

 

3: 0,2 0,1 34,06 33,81 4

D 26 : :

2,5 0,8 1,2 6,84 : 28,57 25,15 21

   

   

 

 

e.Tìm x biết:

1

x : 0,003 0,3

1

4 20 :62 17,81: 0,0137 1301

1 20

3 2,65 : 1,88

20 25

                                         

f Tìm y biết:

13 : 21 11

15,2.0,25 48,51:14,7 44 11 66

1

y 3,2 0,8 5 3,25

2                  

Bài 2: (Thi khu vực, 2002) Tính giá trị x từ phương trình sau:

a

3 4

0,5 x 1,25.1,8 :

4 5,2 : 2,5

3

15,2.3,15 : 1,5.0,8

4

                                 

  b

   

 

 

2

0,15 0,35 : 3x 4,2

1

4 3 : 1,2 3,15

2 12

12,5 : 0,5 0,3.7,75 :

7 17

                     

Bài 3: (Thi khu vực, 2001, đề dự bị)

a Tìm 12%

3a b

4 3 bieát:

 

   

2

3 : 0,09 : 0,15:

5

a

0,32.6 0,03 5,3 3,88 0,67 2,1 1,965 : 1,2.0,045 1: 0,25 b

0,00325 : 0,013 1,6.0,625

b Tính 2,5% cuûa

7

85 83 :

30 18

0,004

 



 

 

c Tính 7,5% cuûa

7 17

8

55 110 217

2 :17

5 20

             

d Tìm x, neáu:

2,3 : 6,25 7

4

5 : x :1,3 8,4

7 8.0,0125 6,9 14

                 

Thực phép tính:

e

1

A : : 1,5 3,7

3 4

     

         

      f

5 3

B 12 :1 :

7 11 121

 

   

 

g

1 12 10

10 24 15 1,75

3 7 11

C

5 0,25 60 194

9 11 99

                     

  h

1

1

1 1,5 0,25

D : 0,8: 3 50 46

3 .0,4. 6

1

2 1: 2,2.10

2        i 1

7 2 3 90

F 0,3(4) 1,(62) :14 :

11 0,8(5) 11



  

k

 

4

0,8: 1.25 1,08 :

4

5 25

E 1 1,2.0,5 :

5

0,64 25

9 17

                       

Bài 4: (Thi khu vực 2003, đề dự bị) Tính: a A 3 5  32 20325 b

3

3

3

54 18

B 200 126

1 2

    

 

Bài 5: a Hãy xếp số sau theo thứ tự tăng dần: a)

17 10

5 16 26 245 45

a ,b ,c ,d

5 125 247 46

 

     

 

b Tính giá trị biểu thức sau:  

1 33

0,(5).0,(2) : : :

3 25 3

   



   

   

c Tính giá trị biểu thức sau: 23344  889

Nhận xét:  Dạng kiểm tra kỹ tính tốn thực hành dạng toán nhất, tham gia vào đội tuyển bắt buộc thí sinh phải tự trang bị cho khả giải dạng tốn Trong kỳ thi đa số thí sinh làm tốt dạng này, nhiên nên lưu ý vấn đề thiếu sót sau: Viết đáp số gần cách tùy tiện Để tránh vấn đề yêu cầu trước dùng máy tính để tính cần xem kỹ biến đổi không, sử dụng biến nhớ cần chia cụm phép tính phù hợp để hạn chế số lần nhớ

Ví dụ: Tính T = 9999999996 0,9999999996

- Dùng máy tính trực tiếp cho kết là: 9,999999971 x 1026

- Biến đổi: T=  

6

6 6

61 999999999 0,999999999

,

Như thay kết qủa nhận số ngun trực tiếp vào máy tính ta nhận kết số dạng a.10n (sai số sau 10 chữ số a).

 Trong kỳ thi cấp tỉnh dạng thường chiếm 40% - 60% số điểm, kỳ thi cấp khu vực dạng chiếm khoảng 20% - 40%

 Trong dạng thí sinh cần lưu ý: số thập phân vơ hạn tuần hồn (ví dụ: 0, (4); 0,1(24); 9,895862…; … thí sinh cần biết cách biến đổi số sang số thập phân làm việc với số

II.

DẠNG 2: ĐA THỨC

Dạng 2.1 Tính giá trị đa thức

Bài tốn: Tính giá trị đa thức P(x,y,…) x = x0, y = y0; …

Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp giá trị x, y vào đa thức để tính. Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đa thức biến)

Viết P(x) a x na x1 n 1  a ndưới dạng P(x) ( (a x a )x a )x )x a     n

Vaäy P(x ) ( (a x0  0a )x1 0a )x2 0 )x0an Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …; bn =

bn-1x0 + an Suy ra: P(x0) = bn

Từ ta có cơng thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ Giải máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M

- Thực dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak Ví dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính

  



  

5

3

3x 2x 3x x

A

4x x 3x x = 1,8165

Kết quả: 1.498465582 Nhận xét:  Phương pháp dùng sơ đồ Horner áp dụng hiệu máy fx-220 fx-500A, máy fx-500 MS fx-570 MS nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS giá trị biến x nhanh cách bấm CALC , máy hỏi X? khai báo giá trị biến x ấn phím  xong Để kiểm tra lại kết sau tính nên gán giá trị x

0 vào biến nhớ khác biến Ans để tiện kiểm tra đổi giá trị

Ví dụ: Tính

  



  

5

3

3x 2x 3x x

A

4x x 3x x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321

 Trong kỳ thi dạng tốn ln có, chiếm đến điểm thi Khả tính tốn dẫn đến sai số thường khơng nhiều biểu thức phức tạp nên tìm cách chia nhỏ toán tránh vượt giới hạn nhớ máy tính dẫn đến sai kết (máy tính tính kết thu kết gần đúng, có trường hợp sai hẳn)

Bài tập: Tính giá trị biểu thức: a Tính x4 5x 3x3 x 1

    x = 1,35627

b Tính P(x) 17x 5x 5 48x 13x 11x 3573 2  x = 2,18567

Dạng 2.2 Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta P(x)=Q(x)(ax+b) + r, r số (khơng chứa biến x) Thế

b x

a



ta P(

b a



Như để tìm số dư chia P(x) cho nhị thức ax+b ta cần tính r = P(

b a



), lúc dạng tốn 2.2 trở thành dạng tốn 2.1

Ví dụ: Tìm số dư phép chia: P=

14

x x x x x x 723

x 1,624

     



Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723

Kết quả: r = 85,92136979 Bài tập

Bài 1: Tìm số dư phép chia

5

x 6,723x 1,857x 6,458x 4,319

x 2,318

   



Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho  

4

x

P x 5x  4x 3x 50 Tìm phần dư r

1, r2 chia P(x) cho x – vaø x-3 Tìm BCNN(r1,r2)?

Dạng 2.3 Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r Muốn P(x) chia hết cho x – a m + r = hay m = -r = - P(

b a



) Như toán trở dạng tốn 2.1

Ví dụ: Xác định tham số

1.1 Tìm a để x4 7x3 2x 13x a2

    chia heát cho x+6

Kết quả: a = -222 1.2 Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3?

Kết quả: a = 27,51363298

Chú ý: Để ý ta thấy P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757 Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) a2 = 757 => a = 27,51363298 a = - 27,51363298

Dạng 2.4 Tìm đa thức thương chia đa thức cho đơn thức

Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta thương đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 số dư r Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2) (x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c) Ta lại có cơng thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3

Tương tự cách suy luận trên, ta có sơ đồ Horner để tìm thương số dư chia đa thức P(x) (từ bậc trở lên) cho (x-c) trường hợp tổng qt

Ví duï : Tìm thương số dư phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – cho x – 5. Giaûi

Ta coù: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = Qui trình ấn máy (fx-500MS vaø fx-570 MS)

( ) SHIFT STO M ALPHA M ALPHA M

ALPHA M ( ) ALPHA M ALPHA M

ALPHA M ALPHA M ( )1

      

         

      

(-5) (23)

(-118) (590) (-2950)

(14751) (-73756)

Áp dụng n-1 lần dạng tốn 2.4 ta phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n

Ví dụ: Phân tích x4 – 3x3 + x – theo bậc x – 3. Giải

Trước tiên thực phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để q1(x) r0 Sau lại tiếp tục tìm qk(x) rk-1 ta bảng sau:

1 -3 -2 x4-3x2+x-2

3 0 1 q1(x)=x3+1, r0 = 3 28 q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28 27 q3(x)=x+6, r0 = 27 q4(x)=1=a0, r0 = Vậy x4 – 3x3 + x – = + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4. Dạng 2.6 Tìm cận khoảng chứa nghiệm dương đa thức

Nếu phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri  với i = 0, 1, …, n nghiệm thực P(x) khơng lớn c

Ví dụ: Cận nghiệm dương đa thức x4 – 3x3 + x – c = (Đa thức có hai nghiệm thực gần 2,962980452 -0,9061277259)

Nhận xét: Các dạng toán 2.4 đến 2.6 dạng toán (chưa thấy xuất kỳ thi) dựa vào dạng tốn giải dạng tốn khác phân tích đa thức thừa số, giải gần phương trình đa thức, …

 Vận dụng linh hoạt phương pháp giải kết hợp với máy tính giải nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả nhẩm nghiệm không sử dụng công thức Cardano phức tạp Do yêu cầu phải nắm vững phương pháp vận dụng cách khéo léo hợp lí làm

Bài tập tổng hợp

Bài 1: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m. a Tìm m để P(x) chia hết cho 2x +

b Với m vừa tìm câu a tìm số dư r cia P(x) cho 3x-2 phân tích P(x) tích thừa số bậc

c Tìm m n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n P(x) chia hết cho x-2. d Với n vừa tìm phân tích Q(x) tích thừa số bậc

Bài 2:

a Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Bieát P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15 Tính P(6), P(7), P(8), P(9)

a Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Bieát Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11 Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13)

Bài 3: (lớp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n. a Tìm giá trị m, n để đa thức P(x) Q(x) chia hết cho x –

b Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm

Bài 4: (lớp 9) a Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m.

2 Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 P(x) có nghiệm x = Tìm m?

b Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Bieát P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11)

Baøi 5: Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c Bieát

1 89

f( ) ;f( ) ;f( )

3 108   500 Tính f( )

3 ?

Bài 6:

1 Phân tích biểu thức sau ba thừa số: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32.

2 Từ kết câu suy biểu thức n4 – 6n3 + 272 – 54n + 32 số chẵn với số nguyên n

Bài 7: Có xác số nguyên dương n để

2 (n 1)

n 23



 số nguyên Hãy tính số lớn

Bài 8: Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + cho x – số dư Chia P(x) cho x – số dư -4 Hãy tìm cặp (M,N) biết Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hết cho (x-1)(x-2)

Bài 9: Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m. a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm 0,3648

b Với m vừa tìm được, tìm số dư chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)

c Với m vừa tìm điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

x -2,53 4,72149

34 36,15 567

P(x)

Bài 10: 1.Tính E=7x -12x +3x -5x-7,175 với x= -7,1254

2.Cho x=2,1835 y= -7,0216 Tính

5 3 2

7x y-x y +3x y+10xy -9 F=

5x -8x y +y

3.Tìm số dư r phép chia :

5

x -6,723x +1,658x -9,134 x-3,281

4.Cho P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m7

Tìm m để P(x) chia hết cho đa thức x+2

Bài 11:

a Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7 b Cho P(x)=ax5+bx4+cx3+dx2+ ex+f biết P(1)=P(-1)=11; P(2)=P(-2)=47; P(3)= 107 Tính P(12)?

Bài 12: Cho P(x) đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33 Biết P(N) = N + 51 Tính N?

Bài 13: Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính: a Các hệ số b, c, d đa thức P(x)

Bài 13: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41 Tính: a Các hệ số a, b, c đa thức P(x)

b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x + c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 5x +7

d Tìm số dư r3 chia P(x) cho (x+4)(5x +7) Bài 15:

a Cho P(x)=x4+ax3 +bx2 +cx+d Biết P(1)=0; P(2)=4; P(3)=18; P(4)=48 Tính P(2002)? b Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – ta thương đa thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x)?

III.

Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ghi nhớ: Trước thực giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dạng tắc để đưa hệ số vào máy khơng bị nhầm lẫn

Ví duï: Dạng tắc phương trình bậc có dạng: ax2 + bx + c = 0 Dạng tắc phương trình bậc có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = 0 Dạng tắc hệ phương trình bậc có dạng:

1 1

2 2

a x b y c a x b y c

 

 

 



Dạng tắc hệ phương trình bậc có dạng:

1 1

2 2

3 3

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

  

 

  



   



Dạng 3.1 Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0)

Ví dụ: Giải phương trình: a) 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0 b) 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0

Dạng 3.2 Giải phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ 0)

Ví dụ: Tìm tất nghiệm gần với chữ số thập phân pt: x3– 5x + 1= 0. Giải

( ) 1    (x1 = 2, 128419064) (x2 = -2, 33005874) (x3 = 0,201639675) 

Chú ý: Khi giải chương trình cài sẵn máy góc trái hình máy hiện

R I nghiệm nghiệm phức, chương trình Trung học sở nghiệm này

chưa học khơng trìn bày nghiệm giải

Dạng 3.3 Giải hệ phương trình bậc ẩn Ví dụ: Nếu x, y thỏa mãn hệ phương trình

83249x 16751y 108249 16751x 83249y 41715

 

 

 



x

y (chọn một

trong đáp số): A.1 B.2 C.3 D.4 E.5

Chú ý: Nếu hệ phương trình vơ nghiệm vơ định máy tính báo lỗi Math ERROR

Dạng 3.4 Giải hệ phương trình ba ẩn

Ví dụ: Giải hệ phương trình

3x y 2z 30 2x 3y z 30 x 2y 3z 30

  

 

  



   

Chú ý: Cộng phương trình vế theo vế ta x + y + z = 15 suy x = y = z = 5. Nhận xét:  Dạng toán dạng dễ đòi hỏi biết sử dụng thành thạo máy tính chương trình cài sẵn máy tính Do kỳ thi dạng tốn chúng thường xuất dạng toán thực tế (tăng trưởng dân số, lãi suất tiết kiệm, …) mà q trình giải địi hỏi phải lập phương trình hay hệ phương trình với hệ số số lẻ

Bài tập tổng hợp

Baøi 1: Giải phương trình:

a) 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 0 b) 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581 = 0 c) x3 + x2 – 2x – =0 d) 4x3 – 3x + = 0

Bài 2: Giải hệ phương trình sau: a)

1,372x 4,915y 3,123 8,368x 5,214y 7,318

 

 

 

 b)

13,241x 17,436y 25,168

23,897x 19,372y 103,618

       c)

1,341x 4,216y 3,147

8,616x 4,224y 7,121

 

 

 

 d)

2x 5y 13z 1000 3x 9y 3z 5x 6y 8z 600

              IV.

Dạng 4: LIEÂN PHÂN SỐ

Liên phân số (phân số liên tục) cơng cụ tốn học hữu hiệu nhà toán học sử dụng để giải nhiều toán khó

Bài tốn: Cho a, b (a>b)là hai số tự nhiên Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, phân số

a

b viết dạng:

0

0

0 b

a a a

b

b b

b

   

Vì b0 phần dư a chia cho b nên b > b0 Lại tiếp tục biểu diễn phân số

1 1 0 b

b a a

b

b b

b

   

Cứ tiếp tục trình kết thúc sau n bước ta được:

0 0 n n b

a a a

1

b b a

1 a a       

Cách biểu diễn gọi cách biểu diễn số hữu tỉ dạng liên phân số Mỗi số hữu tỉ có biểu diễn dạng liên phân số, viết gọn a ,a , ,a0 n Số vô

tỉ biểu diễn dạng liên phân số vơ hạn cách xấp xỉ dạng gần số thập phân hữu hạn biểu diễn số thập phân hữu hạn qua liên phân số

Vấn đề đặt ra: biểu diễn liên phân số

0 n n a 1 a 1 a a     dạng a b

Ấn an 1 1 ab/ c an an 2 1 ab/ c Ans  a0 1 ab/ c Ans 

Ví dụ 1: Biết

15

1

17 1

a b

 



trong a b số dương Tính a,b? KQ: a = 7, b =

Ví dụ 2: Tính giá trị

1

A 1

2 1

3

  



KQ: A=23/16

Nhận xét:  Dạng toán tính giá trị liên phân số thường xuất nhiều kỳ thi thuộc dạng tốn kiểm tra kỹ tính tốn thực hành Trong kỳ thi

gần đây, liên phân số có bị biến thể đôi chút ví dụ như:

8,2

A 2,35 6,21

2 0,32

3,12

 

 

với dạng lại thuộc dạng tính tốn giá trị biểu thức Do cách tính máy tính liên phân số (tính từ lên, có sử dụng biến nhớ Ans)

Bài tập tổng hợp

Bài 1: (Thi khu vực lớp 9, 2002) Tính viết kết dạng phân số:

5

A 4 B 1

2 5 1

2 4 1

2 5

4

3

   

 

 

 



Bài 2: (Thi khu vực lớp 9, 2003)

a Tính viết kết dạng phân số:

20

A 1 B 1

2 1 1

3 1 1

4

5

 

 

 

 

b Tìm số tự nhiên a b biết:

329

1

1051 1

5 1

a b

 

 

Bài 3: (Thi khu vực 2004, lớp 9) Tìm giá trị x, y từ phương trình sau:

a

x x

4 1 1

1 1 1

2 1 1

3

4

 

 

 

 

b

y y

1

1 1 1

3

5



 

 

Bài 4: (Thi khu vực, 2001) Lập qui trình bấm phím để tính giá trị liên phân số sau

 

M 3,7,15,1,292 tính   M?

a Lập qui trình bấm phím để tính giá trị liên phân số sau M 1,1,2,1,2,1,2,1  tính M ?

b Tính viết kết dạng phân số:

1

A 1 1

5 1 1

4 1 1

3

2

 

 

 

 

Baøi 6: Cho

12

A 30 5

10

2003

 



Hãy viết lại A dạng Aa ,a , ,a0 n?

Bài 7: Các số 2, 3,  có biểu diễn gần dạng liên phân số sau:

 

2 1,2,2,2,2,2 ; 1,1,2,1,2,1 ;  3,17,15,1,292,1,1,1,2,1,3 Tính liên phân số só sánh với số vơ tỉ mà biểu diễn?

Bài 8: Tính viết kết dạng phân số

4 D=5+

4 6+

4 7+

4 8+

4 9+

10

V.

Dạng 5: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ ĐẾM

5.1 Tính chất chia hết

- Một số chia hết cho (cho 9) tổng chữ số chia hết cho (cho 9) - Một số chia hết cho (cho 5) chữ số tận chia hết cho (cho 5) Chú ý: Tính chất chia hết hệ số cụ thể.

Ví dụ: Xét hệ đếm với số 12, ta có:

1 Một số viết hệ đếm số 12 chi hết cho (3, 4, 6) chữ số cuối chia hết cho (3, 4, 6)

2 Soá aa a a a an n 1 2 12 chia heát cho (cho 9) neáu a a1 12 chia heát cho (cho 9) Soá aa a a a an n 1 2 12 chia heát cho 11 neáu anan 1  a a 1 chia heát cho 11

Mở rộng: Số aa a a a an n 1 2 12 chia hết cho q – an an 1  a a 1 chia hết cho q

5.2 Hệ số 2

Bài toán mở đầu: Chỉ cần 10 câu hỏi đốn số cho trước (nhỏ hơn 1000) sau:

- Số có chia hết cho khơng?(Nếu có ghi 0, khơng ghi 1) - Thương số chia hết cho 2? (Nếu có ghi 0, khơng ghi 1)

Nếu tiếp tục ta dãy số Dãy biểu diễn số cần tìm số Vì số nhỏ 1000 có nhiều 10 chữ số biểu diễn số nên 10 câu hỏi đủ để biết số cho Đổi qua số 10 ta số cần tìm

Ví dụ: Số cho trước 999

5.3 Ứng dụng hệ số giải toán

Trong nhiều tốn khó sử dụng hệ đếm để giải Nói cách khác, hệ đếm sử dụng phương pháp giải toán

Ví dụ: Giả sử f:N -> N thỏa mãn: f(1)= 1; f(2n) = f(n) f(2n+1) = f(2n) + với n nguyên dương Tìm giá trị lớn n ≤ n ≤1994

Giaûi

Ta coù: f(102) = f(2) = f(1) = 1; f(112) = f(3) = f(2.1 + 1) = f(2)+1 = 2; f(1002) =1; f(1012) =2; f(1102) =2; f(1112) =3; f(10002) =1; f(10012) =2; …

Bài toán dẫn đến phải tìm số có chữ số lớn biểu diễn số số nhỏ 1994 Vì 1994 < 211 – nên f(n) có nhiều 10 chữ số Ta có f(1023) = f(11111112) = 10 Vậy giá trị lớn 10

Lưu ý: Ta phải chứng minh quy luật: f(n) số chữ số biểu diễn số n.

Chứng minh:

1) n chẵn n = 2m = 102.m Vì m n = 102.m có số chữ số biểu diễn số (trong hệ số 2, nhân số với = 102, ta thêm số vào cuối số đó) Theo quy nạp (vì m < n), f(m) chữ số m, mà f(n) = f(2m) = f(m) nên f(n) chữ số m, tức n

2) n lẻ n = 2m + = 102.m + n có số chữ số nhiều m Ta có: f(n) = f(2m + 1) = f(m) + Áp dụng quy nạp ta có, f(m) số chữ số m nên f(n) số chữ số m cộng 1, tức số chữ số n

Nhận xét:  Dạng tốn dạng tốn khó, thường xuất kỳ thi “Giải toán máy tính bỏ túi Casio”, sử dụng phương pháp hệ số giúp phân tích số tốn từ sử dụng phương pháp chứng minh toán học nguyên lý để giải Nói cách khác, phương pháp giải tốn

Bài tập tổng hợp

Bài 1: Tìm số q (2 ≤ q ≤ 12) biết số a = (3630)q chia hết cho Biểu diễn số a với q tìm số 10 (HD: áp dụng tính chất chia hết)

Bài 2: Hai người chơi lấy số viên sỏi từ ba đống sỏi Người nhặt viên sỏi cuối thắng Người trước thường thắng Vì sao? (HD: sử dụng hệ số 2)

Bài 3: Cho f: N -> N thỏa mãn f(1) = f(2n) < 6f(n), 3f(n).f(2n+1) = f(2n).(1+3f(n)) với n nguyên dương Tìm nghiệm phương trình f(k) + f(n) = 293 (HD: Vì 3f(n)+1 3f(n) nguyên tố nên f(2n) = 3pf(n), suy p nguyên dương f(2n) = 3f(n) f(2n + 1) = 3f(n)+1 dẫn đến: Với số n viết hệ số f(n) có chữ số n viết hệ số 3)

Baøi 4: Xác định tất hàm số f: N -> R thỏa mãn f(1) = 1;

n f(n) f

2



 

   

  neáu n chaün,

n f(n) f

2

     

  n lẻ (HD: Dùng qui nạp chứng minh: f(n) số chữ số n viết số 2)

VI Dạng 6: DÃY TRUY HỒI

Dạng 6.1 Dãy Fibonacci

6.1.1 Bài tốn mở đầu: Giả sử thỏ đẻ theo quy luật sau: Một đôi thỏ tháng để đôi thỏ con, đôi thỏ sau tháng lai sinh đôi thỏ nữa, sau tháng lại sinh đôi thỏ khác v.v… giả sử tất thỏ sống

Hỏi có đơi thỏ ni từ tháng giêng đến tháng đẻ đơi thỏ đến cuối năm có đơi thỏ?

Giải

- Tháng (giêng) có đôi thỏ số

- Tháng đơi thỏ số đẻ đơi thỏ số Vậy có đôi thỏ tháng

- Tháng đôi thỏ số đẻ đôi thỏ số 3, đôi thỏ số chưa đẻ Vậy có đơi thỏ tháng

- Tháng đôi thỏ số đẻ đôi thỏ số 4.1, đôi thỏ số để đôi thỏ số 4.2, đôi thỏ số chưa đẻ Vậy tháng có đơi thỏ

Tương tự ta có tháng có đơi thỏ, tháng có 13 đơi thỏ, …

Như ta có dãy số sau: (ban đầu)1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233 (tháng 12) Đây dãy số có quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ ba tổng hai số hạng trước đó

Nếu gọi số thỏ ban đầu u1; số thỏ tháng thứ n un ta có cơng thức: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n  2) Dãy  un có quy luật dãy Fibonacci u

n gọi số (hạng) Fibonacci

6.1.2 Công thức tổng quát số Fibonacci: Nhờ truy hồi ta chứng minh số hạng thứ n dãy Fibonacci tính theo cơng thức sau:

n n

n

1 5

u

2

5

      

 

     

    

  (*)

Chứng minh

Với n =

1 5

u

2

5

            

   

  ; Với n =

2

1

1 5

u

2

5

      

 

      

    

  ;

Với n =

3

1

1 5

u

2

5

      

 

      

    

  ;

Giả sử công thức tới n  k Khi với n = k + ta có:

k k k k

k k k

k k

1 5 1 5

u u u

2 2

5

1 1 1

2

5 5

 

 

             

   

             

         

   

         

 

          

     

       

k k

k k

1 5 5

2

5 5

1 5

2

5

 

           

 

        

         

       

 

      

 

     

   

    

 

Theo nguyên lý quy nạp công thức (*) chứng minh 6.1.3 Các tính chất dãy Fibonacci:

1 Tính chất 1: um = uk.um+1-k + uk-1.um-k hay un+m = un-1um + unum+1

Ví dụ: Để tính số thỏ sau 24 tháng ta chọn n = m = 12 thay vào công thức ta có: u24 = u12 + u12 = u11.u12 + u12.u13 = 144(89 + 233)

2 Tính chất 2: u2n+1 = u(n+1)+n= unun + unun+1 =

2

n n

u  u

Ví dụ: Để tính số thỏ sau 25 tháng ta làm sau: u25 =

2

13 12

u u = 2332 + 1442 = 7502. Tính chaát 3: u2n u un n  1n

 

  

4 Tính chaát 4: u u1 3u u5  2n 1 u2n

5 Tính chất 5: n tacó: u un n 2   u un n 3

6 Tính chất 6: nsố 4u u u un 2 n n 4   9là số phương

7 Tính chất 7: n số 4u u un n k n k n 2k 1   u   u u số phương2 2k k 1 Tính chất 8:

n n

1

n n

n n

u u

lim vaø lim

u u

    

 

trong  1; 2là nghiệm phương trình x2 – x

– = 0, tức 1

1 1,61803 ; 0,61803

2

 

     

Nhận xét:  Tính chất cho phép tính số hạng dãy Fibonacci mà không cần biết hết số hạng liên tiếp dãy Nhờ hai tính chất mà tính số hạng q lớn dãy Fibonacci tay (dùng giấy bút để tính) mà máy tính điện tử khơng thể tính (kết khơng hiển thị hình) Các tính chất từ đến có tác dụng giúp việc chứng minh tốn có liên quan đến dãy Fibonacci thường gặp thi, tính chất giúp tìm số hạng khơng dãy Fibonacci mà số hạng dãy biến thể Fibonacci có tính hội tụ (bị chặn) khoảng Dạng tốn thường gặp kỳ thi tỉnh kỳ khu vực

6.1.4 Tính số hạng dãy Fibonacci máy tính điện tử 6.1.4.1 Tính theo cơng thức tổng qt

Ta có công thưc tổng quát dãy:

n n

n

1 5

u

2

5

      

 

     

   

    

  Trong công thức tổng

quát số hạng un phụ thuộc n, n thay đổi nên ta dùng biến nhớ Ans để thay giá trị n phép tính

b/ c

1 a ( ( ( 1 ) 2 ) ) ^ Ans ( ( 1  ) 2 ) ) ^ Ans ) 

Muốn tính n = 10 ta ấn 10, dùng phím  lần để chọn lại biểu thức vừa nhập ấn 

6.1.4.2 Tính theo dãy

Ta có dãy Fibonacci: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n  2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

Ấn phím: SHIFT STO A > gán u2 = vào biến nhớ A

1 SHIFT STO B

 > lấy u

2+ u1 = u3 gán vào B Lặp lại phím:  ALPHA A SHIFT STO A > laáy u

3+ u2 = u4 gán vào A

ALPHA B SHIFT STO B

 > laáy u

4+ u3 = u5 gán vào B Bây muốn tính un ta  lần , liên tục n – lần

Ví dụ: Tính số hạng thứ dãy Fibonacci? Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

Ấn phím: SHIFT STO A 1 SHIFT STO B  ALPHA A SHIFT STO A

ALPHA B SHIFT STO B

      (21)

Chú ý:  Có nhiều qui trình ấn phím để tính số hạng un dãy qui trình qui trình tối ưu số phím ấn Đối với máy fx-500 MS ấn  , đối với máy fx-570 MS ấn   ấn thêm  SHIFT COPY  để tính số hạng từ thứ trở

Daïng 6.2 Daõy Lucas

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1(với n  a, b hai số tùy ý đó)

Nhận xét: Dãy Lucas dãy tổng quát dãy Fibonacci, với a = b = dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

Ấn phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A

a SHIFT STO B

 > laáy u

2+ u1 = u3 (u3 = b+a) gán vào B Lặp lại phím:  ALPHA A SHIFT STO A > laáy u

3+ u2 = u4 gán vào A

ALPHA B SHIFT STO B

 > laáy u

4+ u3 = u5 gán vào B Bây muốn tính un ta  lần , liên tục n – lần

Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n  2) a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?

b Sử dụng qui trình tính u13, u17? Giải

a Lập qui trình bấm phím

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: 13 SHIFT STO A

8 SHIFT STO B

Lặp lại phím:  ALPHA A SHIFT STO A

ALPHA B SHIFT STO B



b Sử dụng qui trình để tính u13, u17

Ấn phím:                (u

13 = 2584)

        (u

17 = 17711)

Kết qủa: u13 = 2584; u17 = 17711 Dạng 6.3 Dãy Lucas suy rộng dạng

Tổng qt: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1(với n  a, b hai số tùy ý đó)

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

Ấn phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A

a SHIFT STO B

A B > tính u

3 (u3 = Ab+Ba) gán vào B Lặp lại phím: A ALPHA A B SHIFT STO A > Tính u

4 gán vào A

ALPHA B SHIFT STO B

A  B > laáy u

5 gán vào B Bây muốn tính un ta  lần , liên tục n – lần

Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n  2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?

Giải

Lập qui trình bấm phím

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: 13 SHIFT STO A

3 SHIFT STO B

  

Laëp lại phím:  3 ALPHA A 2 SHIFT STO A

3 ALPHA B SHIFT STO B

  

Dạng 6.4 Dãy phi tuyến dạng Cho Cho u1 = a, u2 = b,

2

n n n

u  u u  (với n  2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

Ấn phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A

2 a SHIFT STO B



x x > laáy u22+ u

12= u3 (u3 = b2+a2) gán vào B Lặp lại phím: x2  ALPHA A x2 SHIFT STO A > laáy u

32+ u22= u4 gán vào A

2 ALPHA B SHIFT STO B



x x > laáy u42+ u

32= u5 gán vào B Bây muốn tính un ta  lần , liên tục n – lần

Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2,

2

n n n

u  u u  (n  2) a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Tính u7?

Giải

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: SHIFT STO A

2 1 SHIFT STO B

 x x

Lặp lại phím: x2  ALPHA A x2 SHIFT STO A

2 ALPHA B SHIFT STO B



x x

b Tính u7

Ấn phím:   (u

6 =750797)

Tính u7 =u62 + u52 = 7507972 + 8662 = 563 696 135209 + 749956 = 563 696 885165 Kết qủa: u7 = 563 696 885165

Chú ý: Đến u7 máy tính hiển thị đầy đủ chữ số hình phải tính tay giá trị giấy nháp có sử dụng máy tính hỗ trợ tính Ví dụ: 7507972 = 750797.(750.1000+797) = 750797.750.1000 + 750797.797 = 563097750.1000 + 598385209 = 563097750000 + 598385209= 563 696 135209

Dạng 6.5 Dãy phi tuyến daïng Cho Cho u1 = a, u2 = b,

2

n n n

u  Au Bu  (với n  2).

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

Ấn phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A

2 a SHIFT STO B

  

x A x B > Tính u3 = Ab2+Ba2 gán vào B Lặp lại phím: x2 A  ALPHA A x2 BSHIFT STO A > Tính u

4 gán vào A

2 ALPHA B SHIFT STO B

  

x A x B > Tính u5 gán vào

B

Bây muốn tính un ta  lần , liên tục n – lần Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2,

2

n n n

u  3u 2u  (n  2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?

Giải

Lập qui trình bấm phím

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

Ấn phím: SHIFT STO A

2 3 1 2 SHIFT STO B

  

x x

Lặp lại phím: x2  3 ALPHA A x2 2 SHIFT STO A

2 3 ALPHA B 2 SHIFT STO B

  

x x

Daïng 6.6 Dãy Fibonacci suy rộng dạng

Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2 (với n  3) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

Ấn phím: SHIFT STO A > gán u2 = vào biến nhớ A

2 SHIFT STO B > gaùn u

ALPHA A  ALPHA B SHIFT STO C > tính u

4 đưavào C Lặp lại phím:  ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A > tính u5 gán biến nhớ A

ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B

  > tính u

6 gán biến nhớ B

ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C

  > tính u

7 gán biến nhớ C Bây muốn tính un ta   , liên tục n – lần

Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2? Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

Ấn phím: SHIFT STO A SHIFT STO B

ALPHA A  ALPHA B SHIFT STO C

ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A

   ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B

ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C

           (u

10 = 149)

Dạng 6.7 Dãy truy hồi dạng

Tổng qt: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1+ f(n) (với n  2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

Ấn phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A

a f(n) SHIFT STO B

A B + > tính u

3 (u3 = Ab+Ba+f(n)) gán vào B

Lặp lại phím: A  ALPHA A B + f(n) SHIFT STO A > Tính u

4 gán vào A

ALPHA B f(n) SHIFT STO B

A  B + > tính u

5 gán vào B Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 +

1

n(n  2)

a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Tính u7? Giải

a Lập qui trình bấm phím

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: SHIFT STO A

13 SHIFT STO B SHIFT STO X

Lặp lại phím: ALPHA X SHIFT STO X

b/ c

3 ALPHA B 2 ALPHA A 1 a ALPHA X SHIFT STO A

 3 ALPHA A  ALPHA B a b/ c ALPHA X SHIFT STO B

b Tính u7 ?

Ấn phím:                  (u

7 = 8717,92619)

Kết qủa: u7 = 8717,92619 Dạng 6.8 Dãy phi tuyến daïng

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = F (u ) F (u )1 n  n 1 (với n  2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

b SHIFT STO B

Lặp lại phím: F ( ALPHA B ) F ( ALPHA A ) SHIFT STO A1 

1

F ( ALPHA A ) F ( ALPHA B ) SHIFT STO B

Ví dụ: Cho u1 = 4; u2 = 5,

2

n n

n

5u u

u

3 5



 

 

Lập qui trình ấn phím tính un+1? Giải

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: SHIFT STO A

5 SHIFT STO B

Lặp lại phím: ( ( ALPHA B ) a ) ( ALPHA A x b/ c  2 ) a ) SHIFT STO Ab/ c

b/ c b/ c

( ( ALPHA A ) a )  ( ALPHA B x 2 ) a ) SHIFT STO B

Dạng 6.9 Dãy Fibonacci tổng quát

Tổng quát:

k

n i i

i

u  F (u )

 

u1, u2, …, uk cho trước Fi(ui) hàm theo biến u

Dạng toán tùy thuộc vào mà ta có qui trình lập dãy phím riêng

Chú ý: Các qui trình ấn phím qui trình ấn phím tối ưu (thao tác nhất) xong có nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) áp dụng qui trình khơng cẩn thận dẫn đến nhầm lẫn sai xót thứ tự số hạng Do đó, ta sử dụng qui trình ấn phím theo kiểu diễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm lẫn, vấn đề khơng ảnh hưởng đến đánh giá kết giải

Ví duï: Cho u1 = a, u2 = b,

2

n n n

u  Au Bu  (với n  2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

Ấn phím: a SHIFT STO A > gán u1 = a vào biến nhớ A

b SHIFT STO B > Tính u

2 = b gán vào B Lặp lại phím: A ALPHA B x2  B ALPHA A x2 SHIFT STO A >Tính u

3 gán vào A A ALPHA A x2 BALPHA B x2 SHIFT STO B > Tính u

4 gán vào B Bây muốn tính un ta  lần , liên tục n – lần

Nhận xét:  Lập qui trình theo kiểu tất dạng tốn làm được, nhầm lẫn tính tối ưu khơng cao Chẳng hạn với cách lập dạng 6.5 để tính un ta cần ấn   liên tục n – lần, cịn lập phải ấn n – lần.

 Nhờ vào máy tính để tính số hạng dãy truy hồi ta phát quy luật dãy số (tính tuần hồn, tính bị chặn, tính chia hết, số phương, …) giúp lập công thức truy hồi dãy dãy số

 Đây dạng toán thể rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử học tốn theo hướng đổi Trong hầu hết kỳ thi tỉnh, thi khu vực có dạng tốn

Bài tập tổng hợp

a Lập qui trình bấm phím để tính un+1

b Tính xác đến chữ số sau dấu phẩy tỉ số

3

2

1

u u

u ; ;u ; u u u u

Baøi 2: Cho daõy u1 = 2; u2 = 20; un+1 = 2un + un-1

a Tính u3;u4; u5; u6; u7 b Viết qui trình bấm phím để tính un c Tính giá trị u22; u23; u24; u25

Bài 3: Cho dãy số

  n n

n

2 3

u

2

  



a.Tính số hạng dãy b.Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 un c Lập qui trình tính un d Tìm số n để un chia hết cho

Baøi 4: Cho u0 = 2; u1 = 10; un+1 = 10un – un-1

a Lập quy trình tính un+1 b Tính u2; u3; u4; u5, u6 c Tìm cơng thức tổng qt un

Bài 5: Cho dãy u1 = u2 = 1;

2

n n n

u  u u  Tìm số dư un chia cho

Bài 6: Cho u1=1; u2=3, un+2=2un+1–un+1 Chứng minh: A=4un.un+2+1 số phương Bài 7: Cho a1 = 2000, a2 = 2001 an+2 = 2an+1 – an + với n = 1,2,3… Tìm giá trị a100? Bài 8: Cho dãy số un xác định bởi: u1 = 5; u2 = 11 un+1 = 2un – 3un-1 với n = 2, 3,… Chứng minh rằng:

a Dãy số có vơ số số dương số âm b u2002 chia hết cho 11 Bài 9: Dãy un xác định bởi:

u0 = 1, u1 = vaø un+2 =

n n

n n

u 9u ,n 2k

9u 5u ,n 2k

 

 

 

  

 với n = 0, 1, 2, 3, … Chứng minh rằng: a

2000 k k 1995

u

 chia hết cho 20 b u2n+1 số phương với n Bài 10: Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12 Tính u7=?

Bài 11: Cho dãy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 =







 

2

n n

n n

5u u

3 u u với n3 a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy?

b Tìm số hạng u8 dãy?

Bài 12: Cho dãy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n2)

a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm số hạng u14 dãy? Bài 13: (Phòng GD Bảo Lâm, 2005)

a.Cho u =1,1234 ; u =1,0123.u (n N; n 1)1 n+1 n   Tính u50? b Cho

2 n n+1 n

3u +13

u =5 ; u = (n N; n 1)

u +5   Tính u15?

c Cho u0=3 ; u1= ; un = 3un-1 + 5un-2 (n2) Tính u12 ? Bài 14: Cho dãy số xác định công thức

2 n

n

n

4x

x

x



 

VII Dạng 7: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP

Phương trình sai phân dạng tốn khó phức tạp, khơng nhắc đến sách giáo khoa phổ thông (cả sách cấp cấp 3) mà nguyên cứu trường đại học, cao đẳng Đối với tốn phổ thơng viết dạng toán thực tế lý thuyết dãy, lãi kép – niên khoản, cấp số … kỳ thi HSG gần dạng toán thường xuyên xuất hiện, kỳ thi cấp khu vực Trong phần trình bày kiến thức đơn giản phương trình sai phân bậc hai dạng tốn có liên quan đến kỳ thi HSG bậc THCS

Yêu cầu: Các thí sinh phải nắm vững kiến thức dãy truy hồi, phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhấc hai ẩn số, phương pháp tuyến tính hóa

7.1 Phương trình sai phân tuyến tính bậc 2:

Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai với hệ số hằng số có dạng: axn 2 bxn 1 cxn 0 (*); với n 0;1;2;  a0; b, c số

Nghiệm tổng quát:

 Nếu c = phương trình (*) có dạng: n n n n n

b

ax bx x x x

a

          có nghiệm tổng quát xn+1 = xn 1

 Nếu phương trình (*) có phương trình đặc trưng a + b + c = 02  có hai nghiệm  1,

thì việc tìm nghiệm dựa vào mệnh đề sau:

Mệnh đề 1: Giả sử hai nghiệm phương trình đặc trưng phân biệt ( 1 2)

phương trình (*) có nghiệm tổng qt là: x = Cn 1 1n+ C2 2n C1, C2 số gọi số tự xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1

Ví dụ 1: Tìm nghiệm phương trình sai phân: u0 7;u16;un 2 3un 1 28un

Giải

Phương trình đặc trưng 2-3 28 = 0

   coù hai nghiệm  1 4; 2 Vậy nghiệm tổng quát

có dạng: u = C (-4) + C 7n n n

Với n = ta có: C + C1 7( x )

Với n = ta có: -4.C + 7C1 6( x )

Giải hệ

1

1

C + C

-4.C + 7C

 





 =>

1

C

C

  

 

Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: u = 5.(-4) + 2.7n n n

Mệnh đề 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép b a

  

nghiệm tổng qt phương trình (*) có dạng: x = Cn 1 1n+ C n2 1n C + C n1 2 1n C

1, C2 số tự xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1

Ví dụ 2: Tìm nghiệm phương trình sai phân: u0 1;u1 2;un 2 10un 1  25un

Phương trình đặc trưng 2 -10 25 = 0 có hai nghiệm   1 Vậy nghiệm tổng

quát có daïng: u = (C + C n)5n n

Với n = ta có: C11

Với n = ta có: 2

(C + C ).5 C

5

  

Vậy nghiệm tổng quát phương trình có daïng:

n n

7 u = (-1+ n)5

5

Mệnh đề 3: Nếu phương trình đặc trưng khơng có nghiệm thực nghiệm tổng qt của phương trình (*) có dạng: x =n r C cosnn  C sin n2 

2 B

r A B ; arctg ;

A

   

b

A ;B

2a 2a



 

; C1, C2 số tự xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1 Ví dụ 3: Tìm nghiệm phương trình sai phân: n n n

1

u 1;u ;u u u

2  

   

Giải

Phương trình đặc trưng 2- 1= 0

   có hai nghiệm phức 1,2

1 i



 

Ta coù:

1

A ;B ;r 1;

2



    

Vậy nghiệm tổng quát có dạng: n

n n

u = C cos C sin

3

 



Với

1

u 1;u

2

 

C1 =

1

1

C cos C sin

3

 

 

=> C2 = Vậy nghiệm tổng quát có dạng: n

n u = cos

3



Bài tập Tìm nghiệm un phương trình sau:

a u0 8;u 3;u1  n 2 12un  un 1 b u0 2;u18;un 2 8un 1  9un 0

c u0 1;u 16;u1  n 2  8un 1 16un 0

7.2 Phương trình sai phân phi tuyến bậc 2: 7.2.1 Mở đầu:

Dạng tổng quaùt: F(xn+2, xn+1, xn) = 0; n = 0; 1; 2; … Dạng tắc: xn+2 =f( xn+1, xn) ; n = 0; 1; 2; … Ví dụ: Tính giá trị dãy: u0 u 1;u1 n 1 un2 u ; n 2n 12   7.2.2 Phương pháp tuyến tính hoùa:

7.2.2.1 Phương pháp biểu diễn nghiệm dạng tuyến tính:

Ví dụ 1: Cho dãy

2 n

0 n

n

u

u u 1;u ; n

u 



    

Tìm dạng tuyến tính dãy cho? Giải

Thay vào (*) ta hệ:

a b c 3a b c 11 11a 3b c 41

   



   

   

 =>

a

b

c

  

     Vaäy un 4un 1  un 2

Chú ý: Ta dùng phương pháp qui nạp để chứng minh công thức trên. 7.2.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ:

Ví dụ 2: Cho daõy

n n

0 n

n n

u u

1

u ;u ;u ; n

2 3u   2u 

    

 Tìm cơng thức tổng qt dãy. Giải

Ta thấy un 0(với n) un = un-1 = un-2 = u2 = u1 =

Vô lí Đặt n n

1 v

u



khi aáy 3vn 1  2vn 2 có phương trình đặc trưng     2 có nghiệm

1 1; 2

    .

Công thức nghiệm tổng quát: C C 21 n Với n = 0; ta có: C 1;C

2

 

Vaäy  1 2n 1 hay n n

1 u

1  



7.2.2.3 Phương pháp biến đổi tương đương:

Ví dụ 3: Cho dãy u0 2;u1  6 33;un 1  3un  8u 1; n 2n2    Tìm cơng thức tổng qt

dãy Giải

Bình phương hai vế phương trình cho ta có: u2n 1  6u un 1 n un2 1

Thay n + n ta được: un2  6u un n 1 un 42 1

Trừ vế hai phương trình ta được: un 1  un 1  un 1  6un un 1  0 Do un 1  3un  8u 1n2 nên un 1 3un 9un 1 un 1

Suy un 1  6unun 1 0 có phương trình đặc trưng     2 có nghiệm 1,2  3 Công thức nghiệm tổng quát    

n n

n

u C 3 C 3

Từ giá trị ban đầu suy ra: 1,2

8 66

C

8

 

Vậy số hạng tổng quaùt:

    n   n

n

8 66 8 66

u

8

    



Bài tập

Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình sau: u0 0;un 1 5un  24u 12n

Bài 2: Xác định số hạng tổng quát dãy số:

n

1 n 2

n u u 1;u

2 u



 

 

7.3 Một số dạng toán thường gặp:

Ví dụ 1: (Thi khu vực 2005) Cho dãy số

     



n n

n

3

u

2 Lập công thức truy hồi

để tính un 2 theo un 1 , un Giải

 Caùch 1:

Giả sử un 2 aun 1 bun c (*)

Với n = 0, 1, 2, ta tính u0 0;u 1;u1 6;u3 29;u4 132

Thay vào (*) ta hệ phương trình :

a c 6a b c 29 29a 6b c 132

             => a b c         Vaäy un 2 6un 1  7un

Chú ý: Với ta giả sử un 2 aun 1 bunthì tốn giải nhanh

 Cách 2:

Đặt   1 2;  2    1   1 chứng tỏ  1, nghiệm phương

trình đặc trưng 6 7 0 6 7

          ta có:    12    22

Suy ra: 1n 2  6 1n 1  7 1n

n n n

2 2

    

Vaäy n 21  2n 2  (6 1n 1  7 ) (61n  2n 1  7 ) 6n2  1n 1  2n 1  7  1n 2n

hay            

n n n n n n

3   3  6 3    3    3   3 

   

   



3 2n 3 2n 3 2n 3 2n 3 2 n 2n

6

2 2 2 2 2 2

                                  

tức un 2 6un 1  7un

7.3.2 Tìm cơng thức tổng qt từ cơng thức truy hồi:

Ví dụ 2: (Thi khu vực 2002) Cho dãy sốu0 2;u 10 u1  n 1 10un un 1 (*) Tìm cơng thức tổng qt un dãy?

Giải

Phương trình đặc trưng phương trình (*) là: 10 1 0

     có hai nghiệm 1,2  5

Vaäy    

n n

n n

n 1 2

u   C C  C 6 C 6

Với n = 0; ta có hệ phương trình sau:    

1

1

C C

5 C C 10

           => C C     

Vậy số hạng tổng quát    

n n

n

u  6  6

7.3.3 Tính số hạng thứ n dãy biết công thức truy hồi:

Giaûi

 Cách 1:

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: SHIFT STO A

10 SHIFT STO B

Lặp lại phím: 10 ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A 10 ALPHA A  ALPHA B SHIFT STO B Bây muốn tính u100 ta   96 lần

 Cách 2:

Tìm cơng thức tổng qt    

n n

n

u  6  6 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

( 2 ) 100 ( 2   ) 100 

Nhận xét: Như cách nhanh xác nhiều so với cách mất thời gian để tìm cơng thức tổng qt Do số hạng cần tính nhỏ ta dùng cách 1, cịn lớn ta dùng cách

VIII Dạng 8: MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ TRỢ GIÚP GIẢI TỐN

Với máy tính điện tử, xuất dạng đề thi học sinh giỏi toán mới: kết hợp hữu suy luận tốn học với tính tốn máy tính điện tử Có tốn khó khơng địi hỏi phải nắm vững kiến thức tốn (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trình giải cịn phải xét loại trừ nhiều trường hợp Nếu khơng dùng máy tính thời gian làm lâu Như máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, dạng tốn thích hợp kỳ thi học sinh giỏi tốn kết hợp với máy tính điện tử (Trích lời dẫn Tạ Duy Phượng - Viện tốn học)

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất số tự nhiên n (1010n2010) cho an  20203 21n

số tự nhiên Giải

Vì 1010  n  2010 neân 203,5  41413  an  62413  249,82

Vì an nguyên nên 204  n  249 Ta coù an2 = 20203 + 21n = 21.962 + + 21n Suy ra: an2 – = 21(962+n), hay (an - 1)(an + 1) = 3.7.(962+n)

Do đó, a 12n a a 1n   n   chia hết cho

Chứng tỏ (an - 1) (an + 1) chia hết cho Vậy an = 7k + an = 7k –

* Neáu an = 7k – thi 204  n =7k-1 249 => 29,42  k  35,7 Do k nguyeân neân

 

k  30;31;32;33;34;35 Vì

n

a 7k(7k 2)   chia hết cho 21 nên k là: 30; 32; 33; 35 Ta coù:

k 30 32 33 35

n 1118 140

an 209 223 230 244

* Neáu an = 7k + thi 204  n =7k-1 249 => 29,14  k  35,57 Do k nguyeân neân

 

k 30;31;32;33;34;35 Vì a 7k(7k 2)2n    chia heát

cho 21 nên k là: 30; 31; 33; 34 Ta có:

Như ta có tất đáp số

Ví dụ 2: Tính A = 999 999 9993 Giải

Ta có: 93=729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(1000-1)= 999700029999

Từ ta có quy luật:   

3

n chữsố n chữ số nchữ số nchữ số

99 99 00 299

 

   

Vậy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999. Bài tập tổng hợp

Baøi 1:

a Tìm số tự nhiên n nhỏ cho n3 số có ba chữ số đầu bốn chữ số cuối 1, tức n3 = 111 1111.

b Tìm số tự nhiên n cho (1000  n  2000) cho an  57121 35n số tự nhiên

c Tìm tất số tự nhiên n cho n2 = 2525******89, dấu * vị trí khác có thể số khác

d Tìm tất số n có ba chữ số cho n69 = 1986 , n121 = 3333 Bài 2: (Thi khu vực 2003, lớp 9, dự bị)

a Tìm chữ số a, b, c để ta có: a5 bcd 7850 

b Tìm số có khơng q 10 chữ số mà ta đưa chữ số cuối lên vị trí số tăng lên gấp lần

c Hãy tìm chữ số cuối số 224

2 1 (Số Fecma thứ 24)

d Giải phương trình x2 – 2003 x + 2002 = với  x là phần nguyên x. Bài 3: Tìm số dư chia 20012010 cho số 2003.

Baøi 4:

a Tìm ước số nguyên tố nhỏ lớn số 2152 + 3142.

b Tìm số lớn nhỏ số tự nhiên dạng 1x2y3z4 chia hết cho

Bài 5: Số 312 – chia hết cho hai số tự nhiên nằm khoảng 70 đến 79 Tìm hai số đó?

Bài 6: Tìm UCLN hai soá sau: a = 24614205; b = 10719433

k 30 32 33 35

n 1118 1406 1557 1873

Bài 7: Kiểm nghiệm máy tính số dạng 10n + hợp số với n = 3, …, 10 Chứng minh rằng, số dạng 10n + số nguyên tố n có dạng n = 2p (Giả thiết: 10n + số nguyên tố n = n = 2).

Bài 8: Tìm tất cặp số ab cdsao cho đổi ngược hai số tích khơng đổi,

tức là: ab cd ba dc   (Ví dụ: 12.42 = 21.24 = 504) Bài 9: Tìm phân số

m

n xấp xỉ tốt nhaát   m

2 ( m,n

n

  

nhỏ nhất), m, n số có hai chữ số

Bài 10: Cho số tự nhiên n (5050 n 8040) cho a

n = 80788 7n số tự nhiên a an phải nằm khoảng nào?

b Chứng minh an dạng sau: an = 7k + an = 7k – (với kN)

Baøi 11: Cho k = a1 + a2 + a3 + … + a100 vaø

k 2

2k a

(k k)  

 Tính k?

Nhận xét:  Dạng thực chất thi học sinh giỏi tốn, nâng cao ý nghĩa mục đích đưa máy tính vào trường phổ thơng, phù hợp với nội dung tốn SGK đổi Nhờ máy tính bỏ túi giúp cho ta dẫn dắt tới giải thuyết, quy luật toán học, nghiên cứu toán học nghiêm túc

 Trong kỳ thi tỉnh dạng chiếm khoảng 20% - 40%, kỳ thi khu vực khoảng 40% - 60% số điểm thi Có thể nói dạng tốn định thí sinh tham dự kỳ thi có đạt giải hay khơng Như vậy, yêu cầu đặt phải giỏi toán trước, giỏi tính

IX.

Dạng 9: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Trong nhiều trường hợp để giải phương trình ta tìm nghiệm gần (nghiệm thường số thập phân vô hạn), phương trình ứng dụng sống thực tế phần lớn thuộc dạng phương trình này, phương trình có nghiệm nguyên hữu hạn mà

Phương pháp lặp: Giả sử phương trình đa thức f(x) = có nghiệm a,b

Ta biến đổi f(x) thành dạng x = g(x) (1) Lấy giá trị x1 (đủ lớn) tùy ý khoảng nghiệm a,b Thay x1 vào (1) ta được: x2 = g(x1) (2) Thay x2 vào (2) ta được: x3 = g(x2) (3), …, tiếp tục bước n + mà cho giá trị liên tiếp … = xn-1 = xn = xn+1 giá trị x nghiệm gần phương trình f(x) =

Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần phương trình:x16 + x – = 0. Giải

Ta coù: x16 + x – = <=> x = 168 x

 Choïn x1 = Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

Ấn phím: 16 SHIFT x ( Ans )     Kết quả: 1,128022103

Ví dụ 2: Tìm nghiệm gần x x 1 Giải

Ta coù: x = + x Choïn x1 = 2.

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Dùng phép lặp: x = + x

Ấn phím:  Ans 1    

Kết quả: 2,618033989

Nhận xét:  Phương pháp lặp để tìm nghiệm gần phương trình, xét cách làm tương đối đơn giản, cần thay vị trí có x g(x) biến nhớ Ans, sau ấn phím  giá trị theo lại thay vào g(x) Nhưng dạng toán mà hay bị sai đáp số nhất, lý cách biến đổi để nhận biểu thức x = g(x) không hợp lý, biểu thức g(x) phức tạp sai số lớn dẫn đến đáp số khơng xác, có trường hợp chọn biểu thức x = g(x) thực phép lặp làm tràn nhớ máy tính tải

Ví duï: Ở ví dụ biến đổi x = – x16, cho x = giá trị ban đầu sau ba lần thực phép lặp máy tính báo lỗi Math ERROR Ở ví dụ 2, biến đổi xx 1 2 chọn x = giá trị ban đầu có hai nghiệm số nguyên, chọn x = 15 sau số lần lặp máy báo lỗi Math ERROR Nhưng x = + x thì

x ban đầu lớn máy cho nghiệm 2,618033989 sau số lần lặp hiển nhiên chọn x ban đầu âm

 Như dùng phép lặp để tìm nghiệm gần x = g(x), việc hội tụ dãy  xn g x n 1  (các giá trị x

1 > x2 >… > xn-1 = xn = xn+1)tùy thuộc vào điều kiện hội tụ hàm x = g(x) giá trị ban đầu x1 đoạn a,b chứa nghiệm có thỏa mãn có kết Một phường trình đa thức tìm nhiều nghiệm gần đúng, làm cần ghi rõ dùng phép lặp cẩn thận biến đổi hàm x = g(x) cho phù hợp

X.

Dạng 10: THỐNG KÊ MỘT BIẾN

Đây dạng tốn nói đến nhiều cách sách tham khảo Yêu cầu thành viên đội tuyển tự nghiên cứu phương pháp giải dạng tốn vấn đề có liên quan đến nhớ máy tính giải dạng tốn

Ví dụ: Một vận động viên bắn súng, có số điểm lần bắn số lần bắn theo bảng sau:

Điểm số

0

5 Hãy tính x;x; n; ;n 2n?

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

MODE MODE

10 SHIFT ; 25 DT SHIFT ; 42 DT

………

6 SHIFT ; DT

Đọc số liệu

SHIFT S.VAR 1 (x= 8,69)

AC SHIFT S.SUM 2 (x 869 )

AC SHIFT S.SUM 3 (n 100 )

AC SHIFT S.VAR 2 ( n 1,12)

SHIFT S.VAR 1 ( 2n 1,25)

Chú ý: - Trước nhập toán thống kê khác nên xóa liệu cũ máy. - Nếu số liệu cho chưa lập dạng bảng tần số cần lập bảng tần số giải - Không để máy nhận số liệu không rõ ràng từ số nhớ, thống kê hai biến, hồi quy

XI.

Dạng11: LÃI KÉP – NIÊN KHOẢN

Bài toán mở đầu: Gởi vào ngân hàng số tiền a đồng, với lãi suất hàng tháng r% n tháng Tính vốn lẫn lãi A sau n tháng?

Giải

Gọi A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có: Tháng (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)

Thaùng (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2 ………

Thaùng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n Vaäy A = a(1 + r)n(*)

Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.

Từ công thức (*) A = a(1 + a)n ta tính đại lượng khác sau: 1)

A ln

a n

ln(1 r)



 ; 2)

n A

r

a

 

; 3)

n a(1 r) (1 r) A

r

 

    



; 4) n

Ar a

(1 r) (1 r)



 

    

(ln công thức Lôgarit Nêpe)

Giải Ta có: A = 58000000(1 + 0,7%)8

Qui trình ấn máy (fx-500MS vaø fx-570 MS)

58000000 ( 007 ) ^ 8  Kết quả: 61 328 699, 87

Ví dụ 2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để 70 021 000đ Hỏi phải gởi tiết kiệm với lãi suất 0,7% tháng?

Giaûi

Số tháng tối thiểu phải gửi là:  

70021000 ln

58000000 n

ln 0,7%

 

Qui trình ấn máy: ln 70021000 a 58000000 ln ( 007 )b/ c    KQû: 27,0015 tháng Vậy tối thiểu phải gửi 27 tháng

(Chú ý: Nếu khơng cho phép làm trịn, ứng với kết số tháng tối thiểu 28 tháng)

Ví dụ 3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm tháng lãnh 61 329 000đ. Tìm lãi suất hàng tháng?

Giải

Lãi suất hàng tháng:

61329000

r

58000000

 

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

b/ c x

8 ^ 61329000 a 58000000 SHIFT %   Kết quả: 0,7%

Ví dụ 4: Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng Hỏi sau 10 tháng thì lãnh vốn lẫn lãi bao nhiêu?

Giải Số tiền lãnh gốc lẫn lãi:

 10 

10 580000.1,007 1,007 1

580000(1 0,007) (1 0,007)

A

0,007 0,007

  

    

 

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

580000 007 ( 007 ^ 10 )    007

Kết quả: 6028055,598

Ví dụ 5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng phải gửi quỹ tiết kiệm mỗi tháng Với lãi suất gửi 0,6%?

Giaûi

Số tiền gửi hàng tháng:      

10 10

100000000.0,006 100000000.0,006

a

1,006 1,006

1 0,006 0,006

 

  

  

 

Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)

Nhận xét:  Cần phân biệt rõ cách gửi tiền tiết kiệm:

+ Gửi số tiền a lần -> lấy vốn lẫn lãi A + Gửi hàng tháng số tiền a -> lấy vốn lẫn lãi A

 Cần phân tích tốn cách hợp lý để khoảng tính đắn  Có thể suy luận để tìm công thức từ 1) -> 4) tương tự toán mở đầu  Các toán dân số áp dụng cơng thức

………

CHƯƠNG II: MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

“GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO”

Đề 1:

(Thi chọn đội tuyển thi vòng huyện trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên năm 2004) Bài 1:

1.1 Thực phép tính (kết viết dạng hỗn số)

A = 5322,666744 : 5,333332 + 17443,478 : 0,993 1.2 Tính giá trị biểu thức (làm tròn với chữ số thập phân)



     

  



 

  

3

3

2

2

1

8,9543 981,635 : 7

113 : 3 4 5 6 7

815

1 6

589,43111 3,5:1 : 3,9814 7

173 9

513 B

1.3 Rút gọn biểu thức (kết viết dạng phân số)

      



      

4 4 4 4

4 4 4 4

(1 4)(5 4)(9 4)(13 4)(17 4)(21 4)(25 4)

(3 4)(7 4)(11 4)(15 4)(19 4)(23 4)(27 4)

C

1.4 Cho cotg = 0,06993 (00 <  < 900) Tính:

      



    

4

3

tg (1 cos ) cot g (1 tg )

(sin tg )(1 3sin )

D

1.5 Tính:

 



h ph gi h ph gi h ph gi

h ph gi h ph gi h ph gi

(8 47 57 51 ).3

18 47 32 : 27

E

Baøi 2:

2.1 Cho đa thức P(x) = 5x7 + 8x6 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m. a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm 0,1394

b Với m vừa tìm được, tìm số dư chia P(x) cho nhị thức (x + 2,312)

x -2,53 4,72149

34 36,15 67

P(x)

2.2 Giải hệ phương trình sau:

  

 

 



2

x y 55,789

x 6,86

y

2.3 Tìm góc  hợp trục Ox với đường thẳng y=ax+b qua A(0;-4) B(2;0)

Bài 3:

3.1 Cho ABC có ba caïnh a = 17,894 cm; b = 15,154 cm; c = 14,981 cm

Kẻ ba đường phân giác ABC cắt ba cạnh A1, B1, C1 Tính phần diện tích giới hạn ABC A1B1C1?

3.2 Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường trịn bán kính R, có cạnh a = 3,657 cm; b = 4,155 cm; c = 5,651 cm; d = 2,765 cm Tính phần diện tích giới hạn đường trịn tứ giác ABCD?

3.3 Cho bảng số liệu sau Hãy tính Tổng số trứng (x); số trứng trung bình gà (x); phương sai (x2) độ lệch tiêu chuẩn (x)?

Số lượng

trứng 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Số gà meï 10 14 25 28 20 14 12

3.4 Dân số tỉnh Lâm Đồng năm tăng từ 30 000 000 người lên đến 30 048 288 người Tính tỉ lệ tăng dân số hàng năm tỉnh Lâm Đồng năm đó?

3.5 Một người hàng tháng gửi ngân hàng số tiền 000 000đ với lãi suất 0,45%/ tháng Hỏi sau năm người nhận tiền lãi? (làm trịn đến hàng đơn vị)

Bài 4:

4.1 Cho ABC vuông A, có AB = c, AC = b

a Tính k/cách d từ chân đường phân giác góc vng đến cạnh góc vng? b Với b = 5,78914 cm; c = 8,911456 cm Tính khoảng cách đó?

4.2 Tìm số tự nhiên a nhỏ mà a2 bắt đầu chữ số 15 kết thúc 56? Bài 5:

5.1 Cho daõy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n2)

a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm số hạng u14 dãy? 5.2 Cho số tự nhiên n (5050 n 8040) cho a

n = 80788 7n số tự nhiên a an phải nằm khoảng nào?

Đề 2: Bài 1:

1.1 Thực phép tính: A = 6712,53211 : 5,3112 + 166143,478 : 8,993 1.2 Tính giá trị biểu thức (làm tròn với chữ số thập phân)



 

  



 

  

3

2

9

8,9 91,526 : 6

113

5

1 6

635,4677 3,5 : : 3,9 7

183 11

513 B

1.3 Rút gọn biểu thức (kết viết dạng phân số)

      



      

4 4 4 4

4 4 4 4

(1 6)(7 6)(13 6)(19 6)(25 6)(31 6)(37 6)

(3 6)(9 6)(15 6)(21 6)(27 6)(33 6)(39 6)

C

1.4 Cho cotg = 0,05849 (00 <  < 900) Tính:

       



    

4 3

3

tg (sin cos ) cot g (sin tg )

(sin tg )(1 3sin )

D

1.5 Tính:

 

h ph gi h ph gi h ph gi h ph gi h ph gi

(8 45 23 12 56 23 ).3

16 47 32 :

E Baøi 2:

2.1 Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m. a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm 0,3648

b Với m vừa tìm được, tìm số dư chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)

c Với m vừa tìm điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

x -2,53 4,72149

34 36,15 67

P(x)

2.2 Giải hệ phương trình sau:

  

 

 



2

x y 66,789

x 5,78

y

2.3 Tìm góc  hợp trục Ox với đường thẳng y = ax + b qua A(0;-8) B(2;0)

Bài 3:

3.1 Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Cho biết AB = 0,5 , BC = 1,3 Tính AC , AH , BH , CH gần với chữ số thập phân?

3.2 Cho tam giác ABC có AB = 1,05 ; BC = 2,08 ; AC = 2,33

a)Tính độ dài đường cao AH b)Tính độ dài trung tuyến AM c)Tính số đo góc C d) Tính diện tích tam giác ABC

3.3 Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền 10 000 000đ với lãi suất 0,55% tháng.Hỏi sau năm người nhận tiền lãi?

Bài 4:

4.1 Cho dãy u1 = 3; u2 = 11; un +1 = 8un - 5un-1 (n2)

a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm số hạng u1 đến u12 dãy?

4.2 Cho daõy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 =







 

2

n n

n n

5u u

a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm số hạng u8 dãy?

Đề 3: Bài :

1.Tính A=

123 581 521

3

52   28 2.Tính B=( 3+1) 6-2 2+ 12+ 18- 128

3.Tính

3

1,6: 1,25 1,08- :

2

5 25

C= + +0,6.0,5:

1 5

0,64- -2

25 17

   

   

   

 

 

  4.Tính

4 D=5+

4 6+

4 7+

4 8+

4 9+

10 5.Giaûi hệ phương trình sau :

1,372 4,915 3,123

8,368 5,124 7,318

x y

x y

 

 

 



6.Cho M=12 +25 +37 +54 +67 +892 2 2

vaøN=21 +78 +34 +76 +23 +Z2 2 2

Tìm Z để 3M=2N Bài :

1.Tìm h biết : 3 3

1 1

= + +

h 3,218 5,673 4,815

2.Tính E=7x -12x +3x -5x-7,175 với x= -7,1254

3.Cho x=2,1835 y= -7,0216 Tính

5 3 2

7x y-x y +3x y+10xy -9 F=

5x -8x y +y

4.Tìm số dư r phép chia :

5

x -6,723x +1,658x -9,134 x-3,281

5.Cho P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m7 Tìm m để P(x) chia hết cho đa thức x+2

Bài : Tính P=

o o o

o o

sin25 12'28''+2cos45 -7tg27 cos36 +sin37 13'26''

2 Cho cosx = 0,81735 (góc x nhọn) Tính : sin3x cos7x Cho sina = 0,4578 (góc a nhọn) Tính: Q=

2

cos a-sin a tga

4 Cho cotgx = 1,96567 (x góc nhọn) Tính

2 3

3

tg x(1+cos x)+cotg x(1+sin x) S=

(sin x+cos x)(1+sinx+cosx)

5 Cho u =1,1234 ; u =1,0123.u (n N; n 1)1 n+1 n   Tính u50 Cho

2 n n+1 n

3u +13

u =5 ; u = (n N; n 1)

u +5   Tính u15

1.Cho tam giác ABC vuông A với AB=4,6892 cm ; BC=5,8516 cm Tính góc ABC (bằng đơn vị đo độ), tính độ dài đường cao AH phân giác CI 2.Cho cánh hình bên

Các khoảng cách hai đỉnh không liên tiếp AC=BD=CE= … = 7,516 cm Tìm bán kính R đường trịn qua đỉnh

3.Cho tam giác ABC vuông cân A Trên đường cao AH, lấy điểm D, E cho AE=HD=

1

4AH Các đường thẳng BE BD cắt cạnh AC F G Biết

BC=7,8931 cm

a)Tính diện tích tam giác ABE b) Tính diện tích tứ giác EFGD

Đề 4: Bài 1: Thực phép tính:

1.1 Tính 4x6 + 3x4 – 2x3 +7x2 + 6x – 11 với x = -3,1226 1.2 Tính 4x6 + 3x4 – 2x3 +7x2 + 6x – 11 với x =

2

3 5

1

 

1.3 Tính

2 2

2 2

x y z 2xy

x z y 2xz

  

   với x=

3 

; y= 1,5; z = 13,4 1.4 Cho cotg = 0,05849 (00 <  < 900) Tính:

2

3

tg (sin cos ) cot g

sin tg

    



  

D

1.5

 

h ph gi h ph gi h ph gi

h ph gi h ph gi

(8 45 23 12 56 23 ).3

16 47 32 : E

1.6 Tính (1,23456789)4 + (0,76543211)4 – (1,123456789)3.(0,76543211)2 – - (1,23456789)2 (0,76543211)3 + 16 (1,123456789).(0,76543211) 1.7 Tính (999 995)2

1.8 Tính tổng 12 chữ số thập phân sau dấu phẩy

12

1 11

 

 

 

1.9 Tính

6 6

1 999999999 0,999999999 999999999

 

1.10 Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7 Bài 2:

1 Tính I 999999999 0,9999999992

Baøi 3:

1 Cho k = a1 + a2 + a3 + … + a100 vaø

k 2

2k a

(k k)  

 Tính k=?

2 Cho tam giác ABC với cạnh BC = 5,1123; AB = 3,2573; AC = 4,7428 Tính đường phân giác AD?

3 Tia phân giác chia cạnh huyền thành hai đoạn 135

7 vaø 222

7 Tính hai cạnh góc vuông?

Bài 4:

1 Tính H = (3x3 + 8x2 + 2)12 với  

317 38

x

5 14 

 

 

2 Cho tam giác ABC với cạnh BC = 14; AB = 13; AC = 15 Gọi D, E, F trung điểm BC, AC, AB  Q BE FD; R   DF FC; P   AD EF. Tính:

2 2 2

2 2

AQ AR BP BR CP CQ

m

AB BC AC

    



 

3 Cho hình thang vng ABCD, đường cao AB Cho góc BDC = 900;Tìm AB, CD, AC với AD=3,9672; BC=5,2896

4 Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12 Tính u7=? Đề 5:

Bài 1) Tìm số nhỏ có 10 chữ số biết số chia cho dư chia cho 619 dư 237

Bài 2) Tìm chữ số hàng đơn vị số : 172002

Bài 3) Tính : a) 214365789 897654 (ghi kết dạng số tự nhiên)

b) (ghi kết dạng hỗn số )

c) 5322,666744 : 5,333332 + 17443,478 : 17,3913 (ghi kết dạng hỗn số )

Bài 4) Tìm giá trị m biết giá trị đa thức f(x) = x4 - 2x3 + 5x2 +(m - 3)x + 2m- x = - 2,5 0,49

Bài 5) Chữ số thập phân thứ 456456 sau dấu phẩy phép chia 13 cho 23 :

Bài 6)Tìm giá trị lớn hàm số f(x) = -1,2x2 + 4,9x - 5,37 (ghi kết gần

chính xác tới chữ số thập phân)

Bài 7) Cho u1 = 17, u2 = 29 un+2 = 3un+1 + 2un (n ≥ 1) Tính u15

Bài 8) Cho ngũ giác ABCDE có độ dài cạnh 1.Gọi I giao điểm đường chéo AD BE Tính : (chính xác đến chữ số thập phân)

a) Ðộ dài đường chéo AD

b) Diện tích ngũ giác ABCDE : c) Ðộ dài đoạn IB :

d) Ðộ dài đoạn IC :

Bài 9) Tìm UCLN BCNN số 2419580247 3802197531 Đề 6:

Bài 1 Tính giá trị x từ phương trình sau:

Câu 1.2

Bài 2 Tính giá trị biểu thức viết kết dạng phân số hỗn số:

Bài 3

Câu 3.1 Cho biết sin = 0,3456 ( ) Tính:

Câu 3.2 Cho biết cos2 = 0,5678 ( ) Tính:

Câu 3.3 Cho biết ( ) Tính:

Bài 4 Cho hai đa thức:

Câu 4.1 Tìm giá trị m, n để đa thức P(x) Q(x) chia hết cho (x-2)

Câu 4.2 Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x) với giá trị m, n vừa tìm được, chứng tỏ đa thức R(x)chỉ có nghiệm

Bài 5 Cho dãy số xác định công thức , n số tự nhiên, n >=

Câu 5.1. Biết x 1 = 0,25 Viết qui trình ấn phím liên tục để tính giá trị xn

Câu 5.2 Tính x100

Bài 6

Câu 6.1 Cho biết thời điểm gốc đó, dân số quốc gia B a người ; tỉ lệ tăng dân số trung bình năm quốc gia m%

Hãy xây dựng cơng thức tính số dân quốc gia B đến hết năm thứ n

Câu 6.3 Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người tỉ lệ tăng dân số trung bình năm bao nhiêu?

Bài 7 Cho hình thang vng ABCD có:

AB = 12,35 cm, BC =10,55cm, (Hình 1)

Câu 7.1 Tính chu vi hình thang ABCD

Câu 7.2 Tính diện tích hình thang ABCD

Câu 7.3.Tính góc cịn lại tam giác ADC

Bài 8 Tam giác ABC có góc B = 120 0, AB = 6,25 cm,

BC = 12,50 cm Đường phân giác góc B cắt AC D ( Hình 2)

Câu 8.1 Tính độ dài đoạn thẳng BD

Câu 8.2 Tính tỉ số diện tích tam giác ABD ABC

Câu 8.3 Tính diện tích tam giác ABD

Bài 9 Cho hình chữ nhật ABCD Qua đỉnh B, vẽ đường vng góc với đường chéo AC H Gọi E, F, G thứ tự trung điểm đoạn thẳng AH, BH, CD (xem hình 3)

Câu 9.1 Chứng minh tứ giác EFCG hình bình hành

Câu 9.2 Góc BEG góc nhọn, góc vng hay góc tù? sao?

Câu 9.3 Cho biết BH = 17,25 cm, Tính diện tích hình chữ nhật ABCD

Câu 9.4 Tính độ dài đường chéo AC

Bài 10

P(1)=1, P(2)=4, P(3)=9 , P(4)=16, P(5)=15 Tính giá trị P(6), P(7), P(8), P(9)

Câu 10.2 Cho đa thức cho biết Q(1)=5, Q(2)=7, Q(3)=9, Q(4)=11 Tính giá trị Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13)

Đề 7:

Bài 1: Tìm tất số N có dạng N = 1235679x4y chia hết cho 24

Bài 2: Tìm cặp hai số tự nhiên nhỏ có tổng bội 2004 thương 5.

Bài 3: Giải phương trình  

3

31 2 3 x 1  855

      

     

Bài 4: Cho P(x) đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33, biết P(N) = N + 51 Tính N?

Bài 5: Tìm số bình phương có tận chữ số Có hay khơng số bình phương có tận chữ số 4?

Bài 6: Có số tự nhiên ước N = 1890.1930.1945.1954.1969.1975.2004 nhưng không chia hết cho 900?

Bài 7: Cho dãy số tự nhiên u0, u1, …, có u0 = un+1.un-1 = kun.k số tự nhiên 7.1 Lập quy trình tính un+1

7.2 Cho k = 100, u1 = 200 Tính u1, …, u10 7.3 Biết u2000 = 2000 Tính u1 k?

Bài 8: Tìm tất số có chữ số thỏa mãn:

1 Số tạo thành ba chữ số cuối lớn số tạo thành ba chữ số đầu đơn vị Là số phương

Bài 9: Với số nguyên dương c, dãy số un xác định sau: u1 = 1; u2 = c;

2

n n-1 n-2

u =(2n+1)u -(n -1)u , n2 Tìm c để u

i chia hết cho uj với i  j  10

Bài 10: Giả sử f : N -> N Giả sử f(n+1) > f(n) f(f(n)) = 3n với n nguyên dương Hãy xác định f(2004)

Đề 8:

Bài 1: Tính kết tích sau: M = 2222255555.2222266666 N = 20032003.20042004

Bài 2: Tìm giá trị x, y dạng phân số (hoặc hỗn số) từ phương trình sau:

x x

2.1 1 1

1 1 1

2 1 1

3

4

 

 

 

 

y y

2.2 1 1

1 1 1

3

5

 

 

 

Bài 3:

3.1 Giải phương trình (với a > 0, b > 0): a b x 1    a b x  3.2 Tìm x biết a = 250204; b = 260204

Bài 4: Dân số xã Hậu Lạc 10000 người Người ta dự đoán sau năm dân số xã Hậu Lạc 10404 người

Bài 5: Cho AD BC vng góc với AB, AED BCE  , AD = 10cm, AE = 15cm, BE = 12cm Tính:

5.1 Tính diện tích tứ giác ABCD (SABCD) diện tích tam giác DEC (SDEC) 5.2 Tính tỉ số phần trăm SDEC SABCD

Bài 6: Hình thang ABCD (AB // CD) có đường chéo BD hợp với BC góc DAB Biết AB = a = 12,5cm; DC = b = 28,5cm Tính:

6.1 Độ dài đường chéo BD

6.2 Tỉ số phần trăm diện tích tam giác ABD diện tích tam giác BDC

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A với AB = a = 14,25cm; AC = b = 23,5cm; AM, AD thứ tự đường trung tuyến đường phân giác tam giác ABC Tính:

7.1 Độ dài đoạn thẳng BD CD 7.2 Diện tích tam giác ADM

Bài 8: Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính: 8.1 Các hệ số b, c, d đa thức P(x)

8.2 Tìm số dư r1 chia P(x) cho x – 8.3 Tìm số dư r2 chia P(x) cho 2x + Bài 9: Cho dãy số

  n n

n

5 7

u

2

  



với n = 0, 1, 2, 3, … 9.1 Tính u0, u1, u2, u3, u4

9.2 Chứng minh un+2 = 10un+1 – 18un 9.3 Lập quy trình ấn phím liên tục tính un+2 Bài 10: Cho dãy số

n n

n

3 5

u

2

     

    

   

    , với n = 0, 1, 2, … 10.1 Tính u0, u1, u2, u3, u4

10.2 Lập công thức tính un+1

10.3 Lập quy trình ấn phím liên tục tính un+1

Đề 9: Bài 1: Giải phương trình

x 71267162 52408 x 26022004     x 821431213 56406 x 26022004    1

Bài 2: Một người gửi tiết kiệm 1000 đôla 10 năm với lãi suất 5% năm Hỏi người nhận số tiền nhiều (hay hơn) ngân hàng trả lãi suất

5 12%

tháng (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) Bài 3: Kí hiệu

n q(n)

n

 

 



   

  với n = 1, 2, 3, …  x phần nguyên x Tìm tất số nguyên dương n cho q(n) > q(n + 1)

4.1 Lập qui trình tính số Phiboânacci u0 = 1; u1 = 1; un+1 = un + un+1

4.2 Từ hình chữ nhật 324cm x 141cm cắt hình vng có cạnh 141cm cịn hình chữ nhật có cạnh 141cm cạnh ngắn Sau lại cắt từ hình chữ nhật cịn lại hình vng có cạnh cạnh nhỏ hình chữ nhật Tiếp tục qúa trình khơng cắt Hỏi có loại hình vng kích thước khác độ dài cạnh hình vng

4.3 Với số tự nhiên n, tìm hai số tự nhiên a b để cắt hình chữ nhật a x b ta n hình vng kích thước khác

Bài 5: Điền số từ đến 12 lên mặt đồng hồ cho ba số a, b, c ba vị trí kề (b nằm a c) thỏa mãn tính chất: b2 – ac chia hết cho 13.

Bài 6: Dãy số un xác định sau: u0 = 1; u1 = 1; un+1 = 2un – un-1 + với n = 1, 2, 3, …

6.1 Lập qui trình tính un

6.2 Với n  tìm số k để tính uk = un.un+1

Bài 7: Tìm tất cặp số nguyên dương (m,n) có bốn chữ số thỏa mãn:

7.1 Hai chữ số m hai chữ số n vị trí tương ứng Hai chữ số lại m nhỏ hai chữ số tương ứng n đơn vị

7.2 m n số phương

Bài 8: Dãy số  un tạo theo qui tắc sau: số sau tích hai số trước cộng với 1,

bắt đầu từ u0 = u1 =

8.1 Lập qui trình tính un

8.2 Có hay khơng số hạng dãy  un chia hết cho 4?

Bài 9: Tìm nghiệm nguyên phương trình x y 1960 .

Bài 10: Một số có chữ số gọi số vng (squarish) thỏa mãn ba tính chất sau:

1 Khơng chứa chữ số 0; Là số phương;

3 Hai chữ số đầu, hai chữ số hai chữ số cuối số phương có hai chữ số

Hỏi có số vng? Tìm số Đề 10:

Bài 1: Biết

20032004 a

2

243 b

1

c 1

d e

  

 

Tìm chữ số a, b, c, d, e?

Bài 2: Tính độ dài cạnh a, b, c bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác a, b, c tỉ lệ với 20, 21, 29 chu vi tam giác 49,49494949(m)

Bài 3: Cho tam giác ABC (AB < AC) có đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc

b Biết độ dài BC  54,45 cm, AD phân giác tam giác ABC Kí hiệu

S0 S diện tích hai tam giác ADM ABC Tính S0 tỉ số phần trăm S0 S? Bài 4: a Cho

1 sin x

5

 ,

1 sin y

10



Tính A = x + y? b Cho tg 0,17632698 Tính

1

B

sin x cosx

 

? Baøi 5: Cho

2 3

x

2 2

 

 

   

a Tính giá trị gần x0? b Tính x = x0 - cho nhận xét>

c Biết x0 nghiệm phương trình x3 + ax2 + bx – 10 = Tìm a,b  Q? d Với a, b vừa tìm được, tìm nghiệm cịn lại phương trình câu c? Bài 6: Cho

  n n

n

1 5

u

2

    



a Tìm u1, u2, u3, u4, u5

b Tìm cơng thức truy hồi tính un+2 theo un+1 un? c Viết qui trình bấm phím liên tục tính un?

Bài 7: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(-3) = -41. a Tìm hệ số a, b, c đa thức P(x)

b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x + c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 5x +

d Tìm số dư r3 chia P(x) cho (x + 4)(5x + 7)

Bài 8: Cho hình thang ABCD có cạnh đáy nhỏ AB Độ dài cạnh đáy lớn CD, đường chéo BD, cạnh bên AD p Cạnh bên BC có độ dài q

a Viết cơng thức tính AC qua p q

b Biết p  3,13cm, q3,62cm Tính AC, AB đường cao h hình thang

Đề 11: Bài 1: Cho

 

317 38 2

x

5 14

 



 

a Tìm x

b Tính A = (3x8 + 8x2 + 2)25.

Bài 2: Có 480 học sinh dự trại hè ba địa điểm khác 10% số học sinh địa điểm một, 8,5% số học sinh địa điểm hai 15% số học sinh địa điểm ba tham quan địa danh lịch sử Địa danh lịch sử cách địa điểm 60km, cách địa điểm hai 40km, cách địa điểm ba 30km Để trả đủ tiền xe với giá 100đ/1người/1km, người tham quan phải đóng 4000đ Hỏi có người địa điểm tham quan di tích lịch sử

Bài 3: Cho tam giác ABC có đường cao BD = 6cm, độ dài trung tuyến CE = 5cm Khoảng cách từ giao điểm BD với CE đến AC 1cm Tìm độ dài cạnh AB?

Bài 4: Hình thang ABCD (AB//CD) có AB  2,511cm; CD  5,112cm; C  29015'; D 

60045' Tính:

a Cạnh bên AD, BC b Đường cao h hình thang c Đường chéo AC, BD

Bài 5: Hai hình chữ nhật cắt nhau:

a Kí hiệu S1 = k2 diện tích tứ giác ANCQ; S2 diện tích tứ giác BPDM Tính tỉ số

1 S S

b Bieát AB = 5cm; BC = 7cm; MQ = 3cm; MN = 9cm Tính k?

B

N

Q P

D C

M

A

Bài 6: Người ta phải làm kèo sắt Biết AB  4,5cm;

CD

BD 3 ; AM = MD =

DN = NB Viết cơng thức tính độ dài sắt làm kèo biết hao phí sản xuất 5% (làm tròn đến mét)

Q P

D

A B

C

M N

Baøi 7: Cho

1 B

1 1 1 1 1 2 2 2 2



  

a Tính gần B b Tính B

 

2 a Tính  2

2,0000004 C

1,0000004 2,0000004



 ;  2

2,0000002 D

1,0000002 2,0000002



 .

b Tính C D

Bài 9: Biết phương trình x4 – 18x3 + kx2 – 500x – 2004 = coù tích hai nghiệm -12 Hãy tìm k?

Đề 12:

Bài 1: a Viết quy trình tính

3

A 17 12 5

1 1 23 1

1 12 1

17

2003 2003

  

 

 

 

b Tính giá trị A

Bài 2: Tìm x bieát:

13 : 2,5 7

15,2.0,25 48,51:14,7 14 11 66

11

x 3,2 0,8. 3,25

2

 

 

 

  



 

   

 

Bài 3: Tính A, B biết:

0

0 '' '

sin34 36' tan18 43' A

cos78 12 cos1317''

 

 ;

0

0

tan 26'36'' tan 77 41' B

cos67 12' sin 23 28'

 



Bài 4: Cho dãy số xác định công thức

3 n n

x x

3



 

a Biết x1 = 0,5 Lập qui trình bấm phím liên tục để tính xn b Tính x12, x51

Bài 5: Tìm UCLN của: a 100712 68954 b 191 473

Bài 6: Một tam giác có ba cạnh với độ dài 30,735cm; 40,980cm; 51,225cm Tính diện tích tam giác

Bài 7: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d coù P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48 Tính P(2002)

Bài 8: Khi chia đa thức P(x) = 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức (x - 2) ta thương đa thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x).

Bài 9: Viết qui trình bấm phím tìm thương số dư phép chia 123456789 cho 23456 Tìm giá trị thương số dư

Bài 10: Tìm tất ước số – 2005.

Đề 13: Bài 1: Tính

2 2

A

0,19981998 0,019981998 0,0019981998

  

Bài 3: Phần nguyên x (là số nguyên lớn không vượt x) kí hiệu  x Tìm  B biết:

2

2 2

B 1 1 1

1

2 10

 

   

Bài 4: Phương trình sau gọi phương trình Fermat: x x x1 n x1n xn2 x nn

Phát biểu lời: Tìm số có n chữ số cho tổng lũy thừa bậc n chữ số bằng số ấy

Trong số sau đây, số nghiệm phương trình: 157; 301; 407; 1364; 92727; 93064; 948874; 174725; 4210818; 94500817; 472378975

Bài 5: Một người muốn sau hai năm phải có 20 000 000đ (hai mươi triệu đồng) để mua xe máy Hỏi phải gửi vào ngân hàng khoản tiền hàng tháng bao nhiêu, biết lãi suất tiết kiệm 0,075% tháng

Bài 6: Tìm tất nghiệm phương trình x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0.

Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường vng góc với đường chéo CA H. Biết BH = 1,2547cm; BAC 37 2850 ' ''

 Tính diện tích ABCD Bài 8: Cho tam giác ABC có B 120

 , BC = 12cm, AB = 6cm Phaân giác B cắt cạnh AC D Tính diện tích tam giác ABD

Bài 9: Số 211 – số nguyên tố hay hợp số? Bài 10: Tìm UCLN hai số 7729 11659.

Đề 14: Bài 1: Tính:

a A = 1,123456789 – 5,02122003 b B = 4,546879231 + 107,356417895

Bài 2: Viết số sau dạng phân số tối giản. a C = 3124,142248

b D = 5,(321) Bài 3: Giả sử  

100

0 200

1 x x  a a x a x a x   Tính E a 0a a1  200? Bài 4: Phải loại số tổng

1 1 1 1

2 12 12 14 16       để kết

1

Bài 5: Cho tam giác nội tiếp đường tròn Các đỉnh tam giác chia đường trịn ba cung có độ dài 3, 4, Tìm diện tích tam giác?

Bài 6: Tìm số tự nhiên a lớn để chia số 13511; 13903; 14589 cho a ta số dư

Bài 7: Cho số nguyên, cộng ba số ta số 180; 197; 208; 222 Tìm số lớn số nguyên đó?

Đề 15:

Bài 2: Tìm chữ số thập phân thứ 2004 sau dấu phẩy kết phép chia cho 53?

Bài 3: Tính 20120032.

Bài 4: Tìm số hạng nhỏ tất số hạng dãy n 2003

u n

n

 

Baøi 5: Tính

3

3

54 200 126

1

M

5

 

 



Bài 6: Cho sin 2x 15 22'  với 00 < x < 900 Tính sin2x cos5x tan 7x : cos3x  

Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = 3,14; BC = 4,25; CA = 4,67 Tính diện tích tam giác có đỉnh chân ba đường cao tam giác ABC

Đề 16:

(Tạp chí Tốn học & tuổi trẻ năm 2005) Bài 1: Tìm UCLN BCNN hai số A = 1234566 B = 9876546. Bài 2: Tính GT biểu thức

   

 

2 2

2

x 3y 5z 2x y x 2y z

A

x x 5y z

      



    taïi

9

x ;y ;z

4

  

Bài 3: Tìm số nguyên dương x y cho x2 + y2 = 2009 vaø x > y.

Bài 4: Tính gần (độ, phút, giây) góc A tam giác ABC biết AB = 15cm, AC = 20cm BC = 24cm

Bài 5: Tính gần diện tích tam giác ABC biết   

1

A B C

2

 

vaø AB = 18cm

Bài 6: Tính gần giá trị biểu thức M = a4 + b4 + c4 a + b + c = 3, ab = -2, b2 + c2 = 1.

Bài 7: Đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị 5, 4, 3, 1, -2 x = 1, 2, 3, 4, Tính giá trị a, b, c, d, e tính gần nghiệm đa thức Bài 8: Cho bốn điểm A, B, C, D, E đường trịn tâm O bán kính 1dm cho AB đường kính, OC AB CE qua trung điểm OB Gọi D trung điểm OA Tính diện tích tam giác CDE tính gần góc CDE (độ, phút, giây).

Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có cạnh AB = 5dm, BC = 6dm, CD = 8dm, DA = 7dm Tính gần bán kính đường trịn nội tiếp, bán kính đường trịn ngoại tiếp góc lớn (độ, phút, giây) tứ giác

Bài 10: Dãy số  an xác định sau: n n n

1

a 1,a 2,a a a

3

 

   

với n N*



Tính tổng 10 số hạng dãy số

Bài 11: Tính gần giá trị nhỏ lớn phân thức

2

2x 7x

A

x 4x

 



 

Bài 12: Tìm nhóm ba chữ số cuối (hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị) số:

2 15 16

1 14    15

Bài 14: Điểm E nằm cạnh BC hình vng ABCD Tia phân giác góc EBD, EAD cắt cạnh BC, CD tương ứng M, N Tính gần giá trị nhỏ tỉ số

MN

AB Tính gần (độ, phút, giây) góc EAB

MN AB 7 .

Bài 15: Hai đường trịn bán kính 3dm 4dm tiếp xúc với điểm A Gọi B C tiếp điểm hai đường trịn với tiếp tuyến chung ngồi Tính gần diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC hai cung nhỏ AB, AC

Đề 17:

Bài 1: Tính giá trị biểu thöc    

3

M 12 3 2 4

14

       

 Baøi 2:

2.1 Tìm gần (đến 10 chữ số) tất nghiệm thực phương trình bậc ba:

3 3

a)8x 6x 0   b)x x  2x c)16x 12x    10 0 

2.2 Trong phương trình trên, phương trình có nghiệm hữu tỉ Chứng minh? 2.3 Tính xác nghiệm phương trình dạng biểu thức chứa

Baøi 3:

3.1 Dãy số a ,a , ,a , k xây dựng sau: Chữ số an 1 tổng chữ số số 10 an Hãy chọn số (có số chữ số 6, 7, 8, 9, 10)

thực quy trình Điều xảy ra? Hãy chứng minh nhận định ấy?

3.2 Dãy số a ,a , ,a , k có tính chất: Chữ số an 1 tổng bình phương chữ số số 10 an Hãy chọn số (có số chữ số 6, 7, 8, 9, 10)

thực quy trình Điều xảy ra? Hãy chứng minh nhận định ấy? Bài 4:

4.1 Tìm 11 số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương chúng số phương 4.2 Có hay khơng n số tự nhiên liên tiếp (2< n < 11) có tổng bình phương chúng số phương?

Bài 5: Tìm số tự nhiên có tính chất: Nếu viết liên tiếp bình phương lập phương nó, sau đảo ngược số nhận ta nhận số lũy thừa bậc sáu số ban đầu

Bài 6: Một hàm f: N > N cho số tự nhiên n giá trị f(n) số tự nhiên, theo công thức f(f(n)) = f(n) + n

6.1 Hãy tìm hai hàm số f: R -> R cho f(f(x)) = f(x) + x với x 6.2 Chứng minh khơng có hàm số khác thỏa mãn

Đề 18: Bài 1: Cho

3 847 847

A 6

27 27

   

Bài 2: Một người mua nhà trị giá hai trăm triệu đồng theo phương thức trả góp Mỗi tháng trả ba triệu đồng

2.1 Sau trả hết số tiền treân

2.2 Nếu phải chịu lãi suất số tiền chưa trả 0,04% tháng tháng kể từ tháng thứ hai trả ba triệu thi sau trả hết số tiền

Bài 3: 4.1 Tìm chín số lẻ dương khác n ,n , ,n1 9thỏa maõn

1 1

n n  n 

4.2 Tồn hay không sáu, bảy, tám số lẻ dương có tính chất trên?

Bài 4: 5.1 Chứng minh phương trình Pell x2 – 2y2 = có nghiệm nguyên dạng: xn = 3xn-1 + 4yn-1; yn = 2xn-1 + 3yn-1 với n = 1, 2, … x0 = 3; y0 =

5.2 Lập qui trình tính (xn; yn) tính với n = 1, 2, … tràn hình Bài 5: Cho ngũ giác có cạnh độ dài a1 Kéo dài cạnh ngũ giác để ngơi năm cánh có mười cạnh có độ dài b1 Các đỉnh ngơi lại tạo thành đa giác Tiếp tục trình dãt ngũ giác lồng Xét dãy: Sa ,b ,a ,b , 1 2   c ,c ,c , 

6.1 Chứng minh phần tử dãy S tổng hai phần tử đứng trước

6.2 Chứng minh cn u a u bn 1  n 1 với un số hạng dãy Phibonacci, tức dãy F1,1,2,3,5, ,un 1 un un 1 

6.3 Biết a1 = Lập quy trình máy Casio tính an bn Tính an bn tràn hình

Đề 19: Bài 1: Cho hai số a = 3022005 b = 7503021930

1.1 Tìm UCLN BCNN hai số a, b

1.2 Lập qui trình bấm phím liên tục tính UCLN(a,b) 1.3 Tìm số dư chia BCNN(a,b) cho 75

Bài 2: Cho x1000 + y1000 = 6,912 x2000 + y2000 = 33,76244 Tính x3000 + y3000. Bài 3: Tính viết kết qủa dạng phân số:

1

3.1 A 2

2 3

3 4

4 5

5

  

 



1

3.2 B 1

1 1

4 1

3 1

8 1

2

  

 

 

Bài 4: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: y318 x 1 318 x 1 . Bài 5: Cho dãy số  bn xác định sau: b

n+2 = 4bn+1 – bn; b1 = 4, b2 = 14

5.1 Chứng minh diện tích tam giác với cạnh bk-1, bk, bk+1 số nguyên 5.2 Chứng minh bán kính đường trịn nội tiếp tam giác tính theo cơng thức

  k k

k

r 3

2 3 

   

 

Bài 6: 6.1 Bao nhiêu số có tám chữ số tạo thành từ chữ số mà hai chữ số 2 khơng đứng cạnh

6.2 Bao nhiêu số có chín chữ số tạo thành từ chữ số mà hai chữ số không đứng cạnh

6.3 Bao nhiêu số có mười chữ số tạo thành từ chữ số mà hai chữ số không đứng cạnh

Đề 20:

Bài 1: Tìm x với x =

4

7

2,3144 3, 785



Bài : Giải phương trình : 1,23785x2 +4,35816x – 6,98753 = 0

Baøi : Tính A biết : A =

22g25ph18gix2,6 7g47ph35gi 9g28ph16gi



Bài :

Bài 4.1. Tìm góc C ( độ phút ) tam giác ABC biết a = 9,357m; b =

6,712m; c = 4,671m

Bài 4.2. Tìm độ dài trung tuyến AM tam giác ABC

Bài 4.2. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 5. Đơn giản biểu thức sau : 39 5 39 5

  

Bài : Số tiền 58000đ gửi tiết kiệm theo lãi kép ( Sau tháng tiền lãi

nhập thành vốn) Sau 25 tháng vốn lẫn lãi 84155đ Tính lãi suất / tháng (tiền lãi 100đ tháng)

Baøi : Cho số liệu :

Biến lượng

135 642 498 576 637

Tần số 12 23 14 11

Tính tổng số liệu, số trung bình phương sai n2 ( n

 lấy số lẻ).

Bài : Cho tam giác ABC có B 49 72 '

 ; C 73 52  ' Caïnh BC = 18,53 cm Tính diện

tích

Bài : Tìm nghiệm gần ( lấy hai số lẻ thập phân) phương trính :

x2 + sinx – = 0

Bài 10 : Tìm nghiệm gần phương trình : x2 + 5x – = 0.

Bài 11 : Tính khoảng cách hai đỉnh không liên tiếp cánh nội

tiếp đường tròn bán kính R = 5,712

Bài 12 : Cho cosA = 0,8516; tgB = 3,1725; sinC = 0,4351 (A, B, C nhọn) Tính sin (A +

B – C)

Bài 13 : Tìm n để n!  5,5 1023  (n + 1!)

Đề 21:

Bài 1: Tính A =

5

3x 2x 3x x

3

4x x 3x

   

Baøi :

Bài 2.1 : Cho tam giác ABC có a = 8,751m; b = 6,318m; c = 7,624m Tính đường cao

AH bà bán kính r đường trịn nội tiếp

Bài 2.2 : Tính đường phân giác AD tam giác ABC

Baøi : Cho tgx = 2,324 ( 00 < x < 900) Tính A =

3

8cos x 2sin x cos x

3

2cos x sin x sin x

 

 

Bài : Cho tam giác ABC có chu vi 58cm, B 5718  ' '; C 82 35  ' ' Tính độ dài cạnh

AB, BC, AC

Baøi : Cho cosx = 0,81735(0 < x < 90) Tính : sin3x cos7x

Bài : Tính ( độ phút) góc hợp hai đường cheo tứ giác lồi nội tiếp

được đường trịn có cạnh : a = 5,32 ; b = 3,45 ; c = 3,69 ; d = 4,68

Bài : Có 100 người đắp 60m đê chống lũ, nhóm đàn ơng đắp 5m/người, nhóm đàn

bà đắp 3m/người, nhóm học sinh đắp 0,2m/người Tính số người nhóm

Bài : Tìm nghiệm gần phương trình x2 – tgx – = ( lấy số lẻ)

Bài : Tìm nghiệm gần phương trình x2 - 5 x

- =

Bài 10 : Tìm nghiệm gần phương trình x6 - 15x – 25 = 0

Bài 11 : Hai vectơ v1



v2



có v1



= 12,5 ; v2 

= vaø

1 2

v v

v v

2



 

 

 

Tính góc(v1 

,

2

v



) độ phút

Bài 12 : Tìm nghiệm gần phương trình : x9 + x –10 = 0

Bài 13 : Tìm nghiệm gần phương trình : x3 – cosx = 0

Bài 14 : Tìm nghiệm gần phương trình x – cotgx = ( < x <

 )

Đề 22:

Baøi :

1.1 : Cho tam giác ABC vuông A với AB = 3,74, AC = 4,51 Tính đường cao AH

1.2 : Tính góc B tam giác ABC độ phút

1.3 : Kẻ đường phân giác góc A tam giác ABC cắt BC I Tính AI

Bài : Cho hàm số y = x4 + 5x3 – 3x2 + x – Tính y x = 1,35627.

Bài : Cho Parabol (P) có phương trình : y = 4,7x2 – 3,4x – 4,6 Tình tọa độ (x

o ; yo) đỉnh S Parabol

Bài : Tính B =

3h47ph55gi 5h11ph45gi 6h52ph17gi



Bài : Tính A =

5

3

3x 2x 3x x

4x x 3x

   

   Khi x = 1,8156

Baøi : Cho sinx = 0,32167 (0o < x < 900 ) Tính A = cos2x – 2sinx- sin3x

Baøi 7: Cho tgx = 2,324 Tính A =

3

3

8cos x 2sin x cos x 2cos x sin x sin x

 

 

Baøi 8: Cho sinx =

3

5 Tính A =

2

2

2cos x 5sin 2x 3tg x 5tg 2x 6c otgx

 

Bài 9: Tính a để x4 + 7x3 + 13x + a chia hết cho x6.

Bài 10 : Giải phương trình : 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 0

Bài 13 : Tìm nghiệm gần phương trình : x - x = 1

Bài 14 : Giải hệ phương trình :

Bài 15 : Dân số nước 65 triệu Mức tăng dân số năm 1,2% Tính dân số nước sau 15 năm

Đề 23:

Baøi :

1.1 : Cho tam giaùc ABC ( 900 < x < 1800) vaø sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6

Tính BC

1.2 : Tính độ dài trung tuyến AM tam giác ABC

1.3 : Tính góc B tam giác ABC độ phút

Bài : Cho Parabol (P) có phương trình : y = 4,7x2 – 3,4x – 4,6 Tìm tọa độ (x

o; yo) đỉnh S Parabol

Bài : Tính A =

3

7

1,815.2,732 4,621

Baøi 4: Cho cosx = 0,7651 (00 < x < 900) Tính A =

3

2

cos x sin x cos x sin x

 



Baøi 5: Cho sinx =

3

5 Tính A =

2

2

2cos x 5sin 2x 3tg x 5tg 2x 6c otgx

 



Baøi 6: Cho x =

3

5 Tính A =

2

3

2

4

5log x 2(log x) 3log 2x 12(log 2x) 4log 2x

 



Bài : Tính A để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6

Bài : Dân số nước 65 triệu Mức tăng dân số năm 1,2% Tính dân số

nước sau 15 năm

Bài 9: Giải hệ phương trình : 2

x

0,681 y

x y 19,32

   

  



Bài 10 : Tìm nghiệm phương trình :x - x 13 

Bài 11 : Tìm nghiệm gần phương trình : 8x3 + 32x – 17 = 0 Bài 12 : Cho < x <



Tìm nghiệm gần phương trình cosx – tgx =

Đề 24:

Bài : Giải p/trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân) : 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0 Bài : Giải hệ phương trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân) :

x2 + y2 = 19,32x, y >

Baøi : Tìm số dư phép chia :

3

x 6,723x 1,875x 6, 458x 4,319

x 2,318

   



Bài : Một ngơi năm cánh có khoảng cách hai đỉnh không liên tiếp 9,651

Tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp qua đỉnh )

Bài : Cho  góc nhọn có sin = 0,813 Tìm cos 5

Bài 6: Tìm thời gian để động tử di chuyển hết đoạn đường ABC dài 127,3 Km biết

AB = 75,5km di chuyển với vận tốc 26,3km/giờ đoạn BC di chuyển vận tốc 19,8km/giờ

Bài : Cho x, y làhai số dương, giải hệ phương trình

Bài : Cho tam giác ABC vuông A với AB = 15, BC = 26(cm) Kẻ đường phân

giaùc BI ( I nằm AC) TÍnh IC

Bài : Tính (Kết ghi phân số vàsố thập phân) : A =

123 581 521

3

52   23

Bài 10 : Cho số liệu :

Số liệu 173 52 81 37

Tần số

Tìm số trung bình X, phương sai  2x( )2n ( Kết lấy số lẻ)

Câu 11 : Tính B =

3

17

816,13 712,35



Câu 12 : Tìm nghiệm gần phương trình : x3 + 5x – = 0

Caâu 13: Tính C =

g ph gi g ph gi g ph gi

6 47 29 58 38 31 42



Câu 14 : Tìm nghiệm gần phương trình : x + x 0

 

Câu 15 : Cho hình thang cân có hai đường cheo vng góc với Đáy nhỏ dài

15,34, cạnh bên dài 20,35cm Tìm độ dài đáy lớn

Đề 25

Bài : Giải p/trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân) : 2,354x2 - 1,542x - 3,141 = 0

Bài : Giải hệ phương trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân) :

1,372x 4,915y 3,123 8,368x 5, 214y 7,318

 

 

 



Bài : Tìm số dư pheùp chia :

3

x 6,723x 1,875x 6,458x 4,319 x 2,318

   



Bài : Một năm cánh có khoảng cách hai đỉnh khơng liên tiếp 9,651

Tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp qua đỉnh )

Baøi : Cho  góc nhọn có sin = 0,813 Tìm cos 5

Bài : Cho tam giác ABC có ba caïnh a = 8,32 ; b = 7,61; c = 6,95 (cm) Tính góc A

bằng độ, phút, giây:

Bài : Cho x, y làhai số dương, giải hệ phương trình

Bài : Cho tam giác ABC vuông A với AB = 15, BC = 26(cm) Kẻ đường phân giác BI ( I nằm AC) Tính IC

Bài : Tìm nghiệm gần phương trình : x9 + x – = 0

Baøi 10. Cho số liệu :

Số liệu 173 52 81 37

Tần số

Tìm số trung bình X, phương sai  2x( )2n ( Kết lấy số lẻ)

Câu 11 : Tính B =

3

17

816,13 712,35



Câu 12 : Tìm nghiệm gần phương trình : x3 + 5x – = 0

Câu 13 : Cho tam giác ABC có ba cạnh a = 15,637 ; b = 13,154; c = 12,981 (cm) Ba đường phân giác cắt ba cạnh A1, A2, A3 Tính diện tích tam giác A1A2A3

Câu 14 : Tìm nghiệm gần phương trình : x + 2 0

 

Câu 15 : Cho hình thang cân cóa hai đường cheo vng góc với Đáy nhỏ dài

15,34, cạnh bên dài 20,35cm Tìm độ dài đáy lớn

Đề 26

Bài : Tìm số dư phép chia : (Kết lấy số lẻ ) :

11

x x x x x 723

x 1, 624

    



Bài : Giải Phương trình (ghi kết số lẻ): 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0518 = 0 Baøi :

Bài 3.1 : Cho tam giác ABC có cạnh a = 12,357; b= 11,698; c = 9,543 (cm) Tính độ dài đường trung tuyến AM

Bài 3.2 : Tính sinC

Bài : Cho cosx = 0,8157 Tính sin3x (00 < x < 900) Baøi : Cho 00 < x < 900 vàsinx = 0,6132 Tính tgx.

Bài : Tìm nghiệm gần phương trình : 3x - x 0 

Bài : Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1,678, công bội q =

8

9 Tính tổng Sn

17 số hạng (kết qủa lấy số lẻ)

Bài : Qua kỳ thi, 2105 học sinh xếp theo điểm số sau Hãy tính tỷ lệ phần trăm (lấy số lẻ) học sinh theo loại điểm Phải ấn lần phím chia để điền xong bảng với máy tính Casio có K

Điểm 10

Soá

h/s 27 48 71 293 308 482 326 284 179 52 35

Tỉ lệ

Bài : Cho hình thang cân có hai đường cheo vng góc với Đáy nhỏ dài 13,72 Cạnh bên dài 21,867cm Tính diên tích S (S lấy số lẻ)

Bài 11 : Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp 3,9017 1,8225 (cm) Tìm khoảng cách hai tâm hai đường tròn

Bài 12 : Cho tam giác ABC có cạnh a = 7,615; b = 5,837; c = 6,329 (cm) Tính đường cao AH

Đề 27

Bài : Giải phương trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân)

2,3541x 7,3249x 4, 2157 0 

Bài 2: Giải hệ phương trình (ghi kết qủa đủ số lẻ thập phân):

3,6518x 5,8426y 4, 6821 1, 4926x 6,3571y 2,9843

 

 

 



Bài 3: Giải phương trình (tìm nghiệmgần đúng) : x3 + 2x2 – 9x + = 0

Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , biết trung đoạn d = 3,415(cm) Góc hai cạnh bên đáy 42017’ Tính thể tích.

Bài :

5.1 : Cho tam giác ABC có cạnh a = 12,758; b = 11,932; c = 9,657(cm) Tính độ dài đường phân giác AD

5.2 : Vẽ đường phân giác CE, CF Tính diện tích S1 tam giác DEF Bài : Tìm nghiệm gần phương trình : x3 – 2xsin(3x-1) + = 0. Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn bán kính R với cạnh a = 3,657; b= 4,155; c = 5,651; d = 2,765(cm) Tính R

Bài : Tìm nghiệm âm gần phương trình :x10 – 5x3 + 2x – = 0 Bài : Tìm nghiệm gần phương trình :

Bài 10 : Cho tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R = 7,268 (cm) góc B = 48030’; C = 63042’ Tính diện tích tam gác ABC.

Bài 11 : Cho tứ giác lồi ABCD có cạnh 18, 34, 56, 27 (cm) B D  = 2100 Tính diện tích tứ giác

Đề 28

Bài : Tính x =

4 2.3

(1,345) (3,143) (189,3)

Bài : Giải phương trình : 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0

Bài : Tính A =

5

3

3x 2x 3x x

4x x 3x

   

   Khi x = 1,8156

Bài : Hai lực F1 = 12,5N F2 = 8N có hợp lực trung bình cộng chúng Tìm góc hợp hai lực (Tính độ phút)

Bài 6: Một viên đạn bắn từ nịng súng theo góc 40017’ phương nằm

ngang với vận tốc 41,7m/s Cho g = 9,81m/s2, tính khoảng cách từ nơi bắn đến chỗ đạn rơi

Bài : Tính độ cao viên đạn đạt câu

Bài : Cho cosA = 0,8516; tgB = 3,1725; sinC = 0,4351 ( ba góc nhọn) Tính sin(A+ B-C)

Bài 10 : Một số tiền 580000đ gửi tiết kiệm theo lãi kép (sau tháng tiền lãi cộng thành vốn) sau 25 tháng vốn lẫn lãi 84155đ Tính lãi suất /tháng (tiền lãi 100đ tháng)

Bài 11 : 11.1 : Cho tam giác ABC có a = 8,751m; b = 6,318m; c = 7,624m Tính

đường cao AH bà bán kính r đường trịn nội tiếp

11.2 : Tính đường phân giác AD tam giác ABC

Bài 12 : Tìm nghiệmgần phương trình : x2 + sinx – = 0

Bài 13 : Tìm nghiệmgần phương trình : 2x3 + 2cosx + = 0

Bài 14 : Tính khoảng cách hai đỉnh không liên tiếp cánh nội

tiếp đường tròn bán kính R = 5,712

Bài 15 : Cho tam giác ABC có B 49 72 '

 ; C 73 52  ' Caïnh BC = 18,53 cm Tính diện

tích

Bài 16 : Một viên đạn buộc chặt vào sợi dây dài 0,87m Một người cầm đầu

dây dây phải quay vòng phút sợi dây vẽ nên hình nón có đường sinh tạo với phương thẳng đứng góc 52017’ Biết g = 9,81m/s2.

Đề 29

Bài : Giải phương trình tìm nghiệm gần : x3 – 7x + = 0

Baøi : Cho tam giác ABC có chu vi 58cm, B 57 18 '

 ; C 82 35  ' Tính độ dài

cạnh AB, BC, AC

Bài : Một hình vng chia thành 16 (mỗi cạnh ơ) Ơ thứ đặt

hạt thóc, thứ hai đặt hạt , ô thứ ba đặt hạt, đặt liên tiếp đến cuối cùng(Ơ gấp đơi trước) Tính tổng hạt thóc đặt vào 16 hình vng

Bài : Một vật trượt có ma sát mặt phẳng nghiêng góc 43025’ so với mặt nằm

ngang với gia tốc 3,248m/s2 cho g= 9,81m/s2 Tính hệ số ma sát.

Bài : Có 100 người đắp 60m đê chống lũ, nhóm đàn ơng đắp 5m/người, nhóm đàn

bà đắp 3m/người, nhóm học sinh đắp 0,2m/người Tính số người nhóm

Baøi : Cho cosx = 0,81735(0 < x < 90) Tính : sin3x cos7x

Bài : Tìm nghiệm gần phương trình x2 – tgx – = ( lấy số lẻ)(

x



  

)

Bài : Tính gia tốc rơi tự độ cao 25km biết bán kính trái đất R = 64000km gia

toác g = 9,81m/s2.

Bài : Cho –1 < x < Tìm nghiệm gần phương trình : cosx + tg3x =

Bài 10 : Tìm nghiệm gần phương trình : 2cos3x – 4x – =

Baøi 11 : Cho tgx = 2,324 Tính A =

3

3

8cos x 2sin x cos x 2cos x sin x sin x

 

 

Bài 12 : Tìm nghiệm phương trình : x 34  3x 1 

Bài 14 : Tìm nghiệm gần phương trình x2 - x2 +7x + = 0

Bài 12 : Tính ( độ phút) góc hợp hai đường cheo tứ giác lồi nội tiếp

được đường tròn có cạnh : a = 5,32 ; b = 3,45 ; c = 3,69 ; d = 4,68

Bài 14 : Tìm nghiệm gần phương trình x2 - 5 x

- =