Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán lớp 7 năm 2018-2019

Vậy I là trực tâm của tam giác KBC (đpcm). Cho ΔABC vuông tại B,  ACB CAB. Điểm K là trung điểm của AB. a) Chứng minh ΔABM cân. c) Vẽ BH là đường cao của ΔABC; BH cắt MK tại I. Chứng mi[r]

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ LỚP

I Bài tập trắc nghiệm

Câu Cho dãy giá trị dấu hiệu:

4 8

1 8

Tần số giá trị là:

A B C D

Câu Đơn thức đồng dạng với đơn thức 2x y3 là: A 2xy3 B 21 x y2

2 C

3

1 x y

2 D  

3

5xy Câu Bậc đơn thức 5x22yx3 là:

A Bậc B Bậc C Bậc D Bậc

Câu Những số sau nghiệm đa thức 3x23x?

A B –1 C –3 D –1

Câu Cho ΔMNP có M 60  o, N 55  o So sánh sau đúng?

A NP>MP>MN B MN>MP>NP C NM>NP>MP D NP>MP>MN Câu Cho hình bên, biết G trọng tâm ΔABC Tìm câu sai:

A GD GM GN 1

GA  GB  GC 2

B GA GB GC 2

GD GM GN 

C AD BM CN 3

AG  BG CG 2

D GD GM GN 

Câu Tập hợp nghiệm đa thức 4x29 là: A

2

     

B

2

 



 

 

C 3;

2

 



 

 

D 

G

D

N M

C B

Câu Với đoạn thẳng có số đo sau đây, cạnh tam giác:

A 3cm, 4cm, 5cm B 6cm, 9cm, 12cm

C 2cm, 4cm, 6cm D 5cm, 8cm, 10cm

Câu Trong tam giác ABC đường cao AE góc A BF góc B cắt H Khi điểm H:

A trọng tâm tam giác ABC B cách cạnh tam giác ABC C cách đỉnh tam giác ABC D trực tâm tam giác ABC

Câu 10 Cho tam giác ABC cân đỉnh có góc A 120 o Hai đường phân giác

trong góc B góc C tam giác ABC cắt I Số đo góc BIC là: A 140o B 160o C 150o D Một kết khác +) Với hai đa thức: P x  x32x2 x Q x x3x2 x trả lời câu hỏi 11, 12, 13:

Câu 11 P(x) + Q(x) đa thức:

A x21 B x33x21 C x2 1 D 3x23 Câu 12 Biết P(x) + R(x) = Q(x) Vậy đa thức R(x) là:

A 2x22x 3 B 2x33x22x 3 C 2x33x22x 3 D 2x22x 3

Câu 13 Nghiệm đa thức P(x) + Q(x) là:

A B C – D Vô nghiệm Câu 14 Bậc đa thức 2x4 x 4x32x45 là:

A B C D

Câu 15 Thu gọn đơn thức 4x y 2x y xy3  3  3 ta được:

A 8x y5 B 8x y 6 C 8x y6 D 8x y Câu 16 Nghiệm đa thức x2x21 là:

A 2; -1; B 2; -1 C D 2;

A B C D Câu 18 Cho ABC vng B có AB = cm; AC = 17cm Số đo cạnh BC là:

A 13 cm B 25 cm C 19 cm D 15 cm

Câu 19 Điểm O cách ba đỉnh tam giác ABC Khi O giao điểm của:

A Ba đường cao B Ba đường trung trực

C Ba đường trung tuyến D Ba đường phân giác

Câu 20 Cho tam giác ABC cân B, trực tâm H Thêm điều kiện để H trọng tâm tam giác này?

A AB > AC B AB AC C A 60  o D B 90  o

Câu 10

Đáp án D D C D C D C C D C

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án A B D C B C A D B C

II Bài tập tự luận

Dạng 1: Thống kê

Bài Điều tra điểm thi học kì học sinh lớp 7A ghi lại bảng sau 10 8 10 8 10 8

8 7 9 10 8 10

a) Dấu hiệu điều tra gì? Có đơn vị điều tra b) Lập bảng tần số, tính số trung bình cộng tìm mốt c) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng nêu nhận xét

Hướng dẫn:

a) Dấu hiệu: điểm thi học kì học sinh lớp 7A b) Bảng tần số:

Điểm thi học kỳ II (x) 10

Tần số n 3 15 N=40

,

X 875 , mốt Mo 8

Bài Để đánh giá lượng nước (tính theo m3) tiêu thụ gia đình tháng 30 hộ xóm, người ta lập bảng sau:

9 11 9 10 14

5 14 10 10 12

6 11 10 10 10 12

Hãy cho biết:

a) Dấu hiệu mà người ta cần quan tâm gì?

b) Lập bảng tần số giá trị dấu hiệu Tìm mốt dấu hiệu?

c) Qua bảng ‘tần số’, em rút nhận xét lượng nước tiêu thụ gia đình?

d) Tính số trung bình cộng?

f) Vẽ biểu đồ biểu diễn lượng nước tiêu thụ gia đình xóm?

Hướng dẫn:

a) Dấu hiệu: lượng nước (tính theo m3) tiêu thụ gia đình tháng 30 hộ xóm

b) Bảng tần số :

Lượng nước (x) 10 11 12 14

Tần số (n) 6 2 N=30

Mốt Mo 10

c) Học sinh tự nhận xét d) X9

f) Học sinh tự vẽ biểu đồ

Bài Một giáo viên theo dõi thời gian giải xong tập (tính theo phút) học sinh 7A sau:

9 8 7

8 8 11 11

7 11 8

a) Dấu hiệu dấu hiệu có tất giá trị? b) Lập bảng “tần số”

Hướng dẫn:

b) Bảng tần số:

Thời gian (x) 11

Tần số (n) 10 N=30

c) X 4 ,

Mốt dấu hiệu Mo 8 Dạng Thực phép tính Bài Thực phép tính sau:

a) 333 55

444 22 5  b)

1 13

4 :

3

 

  

 

 

c) 5: 5:

9 11 22 15

   

  

   

   

d)    

2

0 3

2 1 2 5

0,1 :

7 49                         Hướng dẫn:

a) 23 20

 b) 2

c) 5 d)

Bài Tìm x, biết:

a) x :3 1

    b) 2x 3

  

c) 1x 2,7

3    d)    

2

x 1  2x 1 0

Hướng dẫn:

a) x4 b) x4

c) x 10 d) khơng có giá trị x

Dạng Đơn thức

Bài Hãy thu gọn tìm bậc đơn thức: M 3x y.2 9x y2

 

  

 

4 27

M x y

2

 , đơn thức M có bậc 10

Bài Tính tích hai đơn thức: 0,5x y2 2x y2 Tính giá trị đơn thức vừa tìm x = 0,25 y =

Hướng dẫn:

 ,   3 4 A 0 5x y 2x y x y

Tại x = 0,25 y = A0 25, 4.44 1

Bài Thu gọn đơn thức tìm bậc phần hệ số chúng (với a, b số)

a)   

2

2 1

M 2axy 4axy ab

16



     

  b)

 2  

16. 2x y axy N

5b

  

Hướng dẫn:

a) M a b x y4 32

  có bậc 5, hệ số a b4 32



b) N 64ax y5 5b

  có bậc 8, hệ số 64a 5b



Bài Cho đơn thức A ab x y ;B ax y ;C b x y   Những đơn thức đồng dạng với :

a) a, b số; x, y biến b) a số; b, x, y biến c) b số; a, x, y biến

Hướng dẫn:

a) Các đơn thức đồng dạng với là: A, B, C b) Các đơn thức đồng dạng với là: A, C c) Các đơn thức đồng dạng với là: A, B

Bài 10 Cho đơn thức: A 2x y2 15xy2  x y3 2

5

  

   

  

Biết x y

32và x 3y 3  Tính giá trị đơn thức A

Ta có x y 3y x 3y

3 6



    

 (Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau)

x y        

Ta có:

5

6

3

A x y

4 81

         

 

Vậy A

81

 

Bài 11 Cho hai đơn thức A 3xy3 2x y3

4

  

   

  

; B  xy 25x y2



a) Thu gọn đơn thức A, đơn thức B

b) Tìm phần hệ số, phần biến bậc đơn thức

c) Hai đơn thức có hai đơn thức đồng dạng khơng? Vì sao?

Hướng dẫn:

a) A 1x y4

 , B 5x y4



b) Học sinh tự làm

c) Hai đơn thức có đồng dạng có phần biến x y

Bài 12 Cho hai đơn thức: A 2xy z3 x yz3

3 10             ; B x yz

4



a) Tính giá trị biểu thức B x y, 1,z

    b) Tìm hệ số, phần biến bậc đơn thức M A B

Hướng dẫn:

a) B

 x y, 1,z

   

b) 5

M x y z

4



Đơn thức M có hệ số

4, phần biến

6 5

Dạng Đa thức

Bài 13 Cho đa thức P(x)7x33x4 x2 5x2 6x3 2x4 2019 x

a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm biến b) Viết hệ số P(x) Nêu rõ hệ số có bậc cao hệ số tự P(x) c) Chứng tỏ đa thức P(x) khơng có nghiệm

Hướng dẫn:

a) P x( )x4 4x22019

b) Các hệ số P(x) 1; 4; 2019 Hệ số có bậc cao 1, hệ số tự 2019 c) Ta có x44x20 x x44x22019 0 x

Vì P(x) > x nên đa thức P(x) khơng có nghiệm Bài 14 Cho đa thức A 4x2 5xy 2x 5y 3y2

     ; B 3x2 2xy 5y y2

     ;

2

C x 3xy 2x 2y 

Hãy tính A + B + C; A – B – C; A – B + C; 2A + 3B – 5C

Hướng dẫn:

A + B + C =6y210y 4x A – B – C8x210xy

A – B + C6x24xy 4x 4y 

2

2A 3B 5C 4x   19xy 6x 25y y   Bài 15 Cho hai đa thức:

 

A x 8x 3x 3x 2x 4 B x  2x4 4x 3x3 x2 4x 4x4

      

a) Tính A(x) + B(x) A(x) – B(x)

b) Tìm nghiệm đa thức M(x) Biết

M(x) A(x) B(x) 2x   2

Hướng dẫn:

a) A x( )B x( )14x46x3 x213x 6 A x( )B x( )2x4 x2 3x 2

b) M x( )x23x

Bài 16 Cho đa thức:A(x) x 33x24x; B(x) 2x33x24x 1

Chứng tỏ x = nghiệm đa thức A(x) không nghiệm đa thức B(x)

Hướng dẫn:

Ta có: A 0( )033 24 0  nên x = nghiệm đa thức A(x)

Mặt khác, B 0( ) 2 33 24   nên x = nghiệm đa thức B(x)

Bài 17 Tìm nghiệm đa thức sau:

a) 2x + b) – 2x c) x3 4x

 d) x20188x2015

Hướng dẫn:

a) x

2

  b) x 3

c) x 2; x 0; x2 d) x 2 x; 0

Bài 18 Cho đa thức

D(x) 2x ax 7a 3  , tìm a biết D(x) có nghiệm –

Hướng dẫn:

Ta có: 2 1 2a.17a 0 

  2 8a 0  a

 

Vậy a



Bài 19 Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện x f x ( 2)(x4) ( )f x Chứng minh đa thức f(x) có hai nghiệm

Hướng dẫn:

Cho x = ta được: ( 2)f   4 (0)f  f(0) = Cho x = ta được: (2)f 0 (4)f f(2) = Ta thấy f(0) = f(2) =

a) A x 22xy y x 1;y 2 b) B 3xy x y  2x y 2x y3 2 5

     biết x y 0 

Hướng dẫn:

a) A = A = b) B =

Bài 21 Tìm đa thức M, N biết:

a) M5x22xy6x29xy y b) 3xy 4y 2N x 27xy 8y

Hướng dẫn:

a) M x 211xy y b) N x2 10xy 12y2

   

Bài 22 Cho hai đa thứcA(x) 2x x 2  5 x 3 7x3

    

     

B(x) x x 5  2x 3 x 3x 2x

a) Thu gọn A(x) B(x)

b) Tìm nghiệm đa thức P x A x B x x 4x 52  

Hướng dẫn:

a) A x( )7x32x29x 15 ; B x( )3x33x2 7x 3 b) P x( ) 2x 18

Ta có P x( )  0 2x 18 0  x 9 Vậy x 9 nghiệm đa thức P(x)

Bài 23 Chứng tỏ đa thức sau khơng có nghiệm:

a) 10x23 b) x 1  2 x 2 25

Hướng dẫn:

Bài 24 Cho hai đa thức f x( )x x 3   và g x( )x3ax2bx 3 Xác định hệ số a; b đa thức g(x) biết nghiệm đa thức f(x) nghiệm đa thức g(x)

Hướng dẫn:

Đa thức f(x) có nghiệm x = 1, x = -3

Vì nghiệm đa thức f(x) nghiệm đa thức g(x) nên ta có:

     

3

3

1 a b a b a

3a b 10 b

3 a b 3

           



 

  

    

        

 

Vậy a = - 3; b = -1

Bài 25 Cho đa thức biến

  5

5

2

Q x  x x  x x ax bx  c x 

Tìm a, b, c biết Q(x) có bậc 4, hệ số cao hệ số tự – 10

Hướng dẫn:

Trước hết ta thu gọn Q(x) xếp Q(x) theo lũy thừa giảm x

   

5

1

( ) 5

2

Q x a x  b x x  x  x  c

 

Vì Q(x) có bậc nên 1

2

a  a

Hệ số cao nên b  4 b9 Hệ số tự – 10 nên    c 10 c

Vậy ta có

( ) 10

Q x  x x  x  x Dạng Hình học

Bài 26 Cho ΔABC vuông A, đường phân giác BE Kẻ EH BC (HBC) Gọi K giao điểm AB HE Chứng minh rằng:

a) ΔABE = ΔHBE

b) BE đường trung trực đoạn thẳng AH c) EK = EC

Hướng dẫn:

a) ΔABE = ΔHBE (cạnh huyền – góc nhọn) b) Theo câu a suy AE = HE; BA = BH

 BE đường trung trực đoạn thẳng AH c) Chứng minh ΔAEK = ΔHEC (g.c.g)  EK = EC

d) Xét tam giác AEK vng A có: AE < EK (quan hệ đường xiên đường vng góc), mà EK = EC (cmt) Vậy AE < EC (đpcm)

Bài 27 Cho ΔABC vng C có A 60  o Tia phân giác góc BAC cắt BC E  Kẻ BD vng góc với tia AE (D  AE)

a) Chứng minh AD = BC

b) Kẻ EK vng góc với AB (KAB) Chứng minh ΔAEB cân, từ suy AK = KB

c) Chứng minh: ba đường thẳng AC, EK, DB đồng qui

Hướng dẫn:

K

H

E

C B

A

K D

E B

a) Vì tam giác ABC vuông C A 60  oB 30  o

Vì AE tia phân giác góc BAC nên  CAE EAB 30  o

 

Từ ta chứng minh ΔABC = ΔBDA (cạnh huyền – góc nhọn) Suy BC = AD (đpcm)

b) Ta có: EBA EAB 30   o Tam giác EAB cân E

Trong tam giác cân EAB có EK AB nên EK đường cao suy EK đường trung tuyến ΔEAB

Vậy BK = AK (đpcm)

c) Xét tam giác EAB có: EK AB, AC BE, BD EA suy EK, AC, BD đường cao tam giác EAB nên chúng đồng quy với điểm (đpcm)

Bài 28 Cho ΔEMN cân E E 90  o, đường cao MA, NB cắt I Tia EI cắt MN H

a) Chứng minh ΔAMN = ΔBNM

b) Chứng minh EH đường trung tuyến ΔEMN c) Tính độ dài đoạn thẳng MA biết AN = 3cm, AE = 2cm d) Chứng minh I cách ba cạnh ΔABH

Hướng dẫn:

a) ΔAMN = ΔBNM (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Vì hai đường cao MA NB cắt I nên I trực tâm  EI MN

 EH MN

Xét tam giác cân EMN có EH MNEH đường trung tuyến ΔEMN (đpcm)

H I

B A

N M

c) Ta có: EM = EN = AN + AE = 5cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào ΔEAM vng A có 2 2

AM EM EA 5 2 21

AM 21

d) Chứng minh BA//MN (hs tự chứng minh)

ΔBMN vuông B, H trung điểm MNBH = MH = NH

ΔHBN cân H HBN HNB 

Mặt khác, BA//MNABN BNH  (hai góc so le trong)

ABN NBH  BI phân giác gócABH 

Chứng minh tương tự có AI phân giác góc BAH 

Suy I giao điểm đường phân giác tam giác ABH Vậy I cách ba cạnh ΔABH (đpcm)

Bài 29 Tam giác ABC vuông A Vẽ đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD = BA

a) Chứng minh rằng: Tia AD tia phân giác HAC  b) Vẽ DK AC (K  AC ) Chứng minh rằng: AK = AH c) Chứng minh rằng: AB + AC < BC + AH

Hướng dẫn:

a) Ta có BD = BA ΔBAD cân BBAD BDA   Xét ΔAHD vng H có HDA HAD 90   o

Mặt khác BAD DAC 90   o, mà BAD BDA  suy HAD DAC  Vậy AD tia phân giác HAC 

b) Chứng minh ΔADH = ΔADK (cạnh huyền – góc nhọn) AH = AK (đpcm)

K

D

H C

B

c) Xét ΔKDC vng K có: KC < DC (quan hệ đường xiên hình chiếu) Ta có: AB + AC = AB + AK + KC

BC + AH = BD + DC + AH

Vì AB = BD (gt), AK = AH (cmb), KC <DC (cmt) Suy AB + AC < BC + AH (đpcm)

Bài 30 Cho ΔABC nhọn, đường cao AH Vẽ điểm D, E cho đường thẳng AB, AC trung trực đoạn thẳng HD, HE

a) Chứng minh AD = AE

b) Gọi M, N giao điểm đường thẳng DE với AB, AC Chứng minh HA tia phân giác MHN 

c) Chứng minh DAE 2MHB  

Hướng dẫn:

a) Vì AB đường trung trực HD nên AD = AH (tính chất đường trung trực đoạn thẳng)

Vì AC đường trung trực HE nên AH = AE (tính chất đường trung trực đoạn thẳng)

Suy AD = AE (đpcm)

b) Vì M A thuộc đường trung trực AB DH nên ta chứng minh được:

 

MDAMHA

Tương N A thuộc đường trung trực AC HE nên ta chứng minh được:NHA NEA

Mà ADEAED(vì ΔADE cân A)MHAAHN Vậy HA tia phân giác MHN (đpcm) 

c) Xét ΔADE cân A có DAE 180 o 2ADE

  (1)

N M

E

D

H C

B

Mặt khác MHB 90  oMHA 90  oMDA(2) Từ (1) (2) suy DAE 2MHB  

Bài 31 Cho ΔABC vng A có AB = 6cm, AC = 8cm; đường phân giác BI

Kẻ IH BC (HBC) Gọi K giao điểm AB IH a) Tính BC

b) Chứng minh ΔABI = ΔHBI

c) Chứng minh BI đường trung trực đoạn thẳng AH

d) Chứng minh IA < IC

e) Chứng minh I trực tâm ΔKBC

Hướng dẫn:

a) BC = 10cm

b) ΔABI = ΔHBI (cạnh huyền – góc nhọn) c) Từ câu b suy AB = HB  ΔABH cân B

mà BI phân giác góc ABH   BI phân giác ΔABH Suy BI đường trung trực ΔABH

Vậy BI đường trung trực đoạn thẳng AH(đpcm) d) Ta có IA = IH Mà tam giác IHC có: IC > IH

 IA < IC (đpcm)

e) Xét tam giác KBC có: CA KB; KH BC, mà AC  KH = I K

H I

C B

Vậy I trực tâm tam giác KBC (đpcm)

Bài 32 Cho ΔABC vuông B,ACB CAB Điểm K trung điểm AB Đường 

trung trực AB cắt AC M a) Chứng minh ΔABM cân b) Chứng minh MBC MCB  

c) Vẽ BH đường cao ΔABC; BH cắt MK I Chứng minh BM AI d) BM cắt AI E Chứng minh HE // AB

e) Cho ACB 60  o, AC = 12cm Tính độ dài đoạn AH

Hướng dẫn:

a) Vì M thuộc đường trung trực AB nên MA = MB (tính chất)

 ΔABM cân M

b) Vì ΔABM cân M nên MBA MAB

Xét ΔABC vng B ta có: BCA CAB 90   o Lại có CBM MBA 90   o

Suy MBC MCB (đpcm)

c) Xét tam giác IAB có AH BI, IK AB, IK  AH = M

 M trực tâm tam giác IAB  BM IA

d) Chứng minh ΔIBA cân I  IK đường phân giác ΔIBA Chứng minh ΔIHE cân I có IK phân giác góc HIE   IK HE Mặt khác có IK BA  HE//AB (đpcm)

e) Từ kết câu b  ΔMBC cân M

E I

H

K M

A C

mà ACB 60  onên ΔMBC tam giác  MC = MB = BC =MA = AB

2  cm

Tam giác MBC có BH MC  BH đường trung tuyến ΔMBC

 CH = HM =MC

2  2

Vậy AH = HM + MA =3 + = 9cm

Bài 33 Cho ABC vuông B có A 60  o Vẽ đường phân giác AD (D  BC) Qua D dựng đường thẳng vng góc với AC M cắt đường thẳng AB N Gọi I giao điểm AD BM Chứng minh:

a) BAD = MAD

b) AD đường trung trực đoạn thẳng BM c) ANC tam giác

d) BI ND

Hướng dẫn:

a) BAD = MAD (cạnh huyền – góc nhọn) b) Từ câu a  AB = AM  ΔABM cân A

Mà AD phân giác BAM   AD đường trung trực ΔABM Vậy AD đường trung trực đoạn thẳng BM (đpcm)

c) Chứng minh D trực tâm tam giác ANC AD NC Mà AD phân giác Asuy ΔANC cân A, 

I

N

M

D

C B

Lại có A 60  o ΔANC tam giác (đpcm) d) Tam giác ABM  AB = 2BI

Lại có B trung điểm AN  AB = BN = 2BI

Xét tam giác BND vuông B có: BN < ND (quan hệ đường vng góc đường xiên)  2BI < ND  BI < ND (đpcm)

Bài 34 Cho tam giác ABC cân A, kẻ AH vng góc với BC (H  BC) Gọi M trung điểm BH Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho MN = MA

a) Chứng minh rằng: AMH = NMB NB  BC b) Chứng minh rằng: AH = NB, từ suy NB < AB

c) Chứng minh rằng: BAM MAH 

d) Gọi I trung điểm NC Chứng minh rằng: Ba điểm A, H, I thẳng hàng

Hướng dẫn:

a) AMH = NMB (c.g.c)  AHM NBM 90  o  NB BC b) Từ câu a  AH = NB

Xét tam giác ABH vuông H có AH < AB (quan hệ đường vng góc đường xiên)  NB < AB (đpcm)

c) Từ câu a  MAH BNM  

Xét ΔABN có NB < AB (cmt)  BNM BAM  Vậy MAH BAM   (đpcm)

I

N M

H C

B

d) Vì H trung điểm BC, M trung điểm BH  CH 2CM



Lại có CM trung tuyến ΔANC  H trọng tậm ΔANC

 AH đường trung tuyến ΔANC (1)

Mà I trung điểm NC  AI đường trung tuyến ΔANC (2) Từ (1) (2) suy A, H, I thẳng hàng (đpcm)

Bài 35 Cho tam giác ABC có AB<AC Từ trung điểm D BC vẽ đường vng góc với tia phân giác góc A H Đường thẳng cắt tia AB E AC F Vẽ tia BM song song với EF (MAC)

a) Chứng minh ΔABM cân b) Chứng minh: MF = BE = CF

c) Qua D vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt tia AH I Chứng minh: IF AC

Hướng dẫn:

a) Ta có: AH EF mà BM // EF  AH BM Lại có AH đường phân giác góc BAM  Vậy ΔABM cân A (đpcm)

b) Học sinh tự chứng minh

c) Chứng minh IC = IM ΔIMC cân I

Theo câu b, MF = FC  IF đường trung tuyến ΔIMC

 IF MC  IF AC

I M

E

F

H D

C B

Bài 36 Cho ΔABC cân C Gọi D, E trung điểm cạnh AC, BC Các đường thẳng AE, BD cắt M Các đường thẳng CM, AB cắt I a) Chứng minh AE = BD

b) Chứng minh DE // AB

c) Chứng minh IM AB Từ tính IM biết BC = 15cm, AB = 24cm d) Chứng minh AB+2BC > CI + 2AE

Hướng dẫn:

a) Chứng minh ΔCAE = ΔCBD (c.g.c)  AE = BD

b) Chứng minh CDE CAB  , mà hai góc vị trí so le  DE // AB

c) Ta chứng minh M trọng tâm tam giác ABC  CI đường trung tuyến ΔABC

Mà ΔABC cân C  IM AB Ta tính IM = 3cm

d) Lấy F điểm đối xứng với A qua E  AE = EF Ta chứng minh ΔCEF = ΔBEA (c.g.c)  AB = CF

Xét ΔACF có AC+ CF > AF (bất đẳng thức tam giác)

 AC + AB > AF, mà AC = BC (gt)  AB + BC > 2AE (1)

Mặt khác ta lại có CB > CI (2) (quan hệ đường xiên đường vng góc) Từ (1) (2)  AB+2BC > CI + 2AE (đpcm)

Bài 37 Cho ΔADE cân A Trên cạnh DE lấy điểm B C cho:

DB EC DE

2

 

a) ΔABC tam giác gì? Chứng minh

F

I M

E D

B A

b) Kẻ BM AD, CN AE Chứng minh BM = CN

c) Gọi I giao điểm MB NC ΔIBC tam giác gì? Chứng minh d) Chứng minh AI phân giác BAC 

Hướng dẫn:

a) Ta chứng minh ΔADB = ΔAEC (c.g.c)  AB = AC (hai cạnh tương ứng)

 ΔABC cân A

b) Từ câu a ΔADB = ΔAEC  MAB NAC 

Ta chứng minh ΔABM = ΔACN (cạnh huyền – góc nhọn)  BM = CN c) Tam giác IBC tam giác cân I (học sinh tự chứng minh) IBC ICB  d) Chứng minh ΔABI = Δ ACI (c.c.c)

 

BAI CAI

   AI là phân giác BAC (đpcm) 

Bài 38 Cho ΔABC vuông A có AM đường trung tuyến Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA

a) Chứng minh ΔMAB = ΔMDC

b) Gọi K trung điểm AC Chứng minh KB = KD

c) KD cắt BC I KB cắt AD N Chứng minh ΔKNI cân

Hướng dẫn:

I

N M

C B

E D

a) ΔMAB = ΔMDC (c.g.c)

b) Ta có ABM DCM (vì ΔMAB = ΔMDC)

Suy AB // CD (có cặp góc vị trí so le nhau) Mà AB AC  CD AC hay tam giác ACD vuông C

Chứng minh ΔABK = ΔCDK (c.g.c)  KB = KD (hai cạnh tương ứng) c) Chứng minh N trọng tâm tam giác ABC KN 1KB

3

 

Chứng minh I trọng tâm tam giác ACD KI 1KD

 

Mà KB = KD (cma) KN = KI ΔKNI cân K (đpcm) Dạng Một số tập nâng cao

Bài 39

a) Tìm x biết x 2  2x 2x 1

b) Tìm giá trị nguyên x y biết: 5y 3x 2xy 11  

Hướng dẫn:

a) Ta có x 2  2x 3 2x 1

Xét x

 ta có:   x 2x 2x 1  

x

 (không thỏa mãn)

N I

K

D

M

C B

Xét x

2  ta có:   x 2x 2x 1  

x 2 (không thỏa mãn) Xét x 2 ta có: x 2x 2x 1    

x 6 (thỏa mãn) Vậy x = giá trị cần tìm

b) Ta có: 5y 3x 2xy 11   10y 6x 4xy 22   2x 2y 3   7

Từ ta tìm cặp giá trị nguyên (x; y) (3; - 2); (2;-5); (6;-1); (-1;-2) Bài 40 Cho số không âm x, y, z thỏa mãn 8x 3y 29  9x 1008z 9  Tìm giá trị lớn biểu thức A 26x 3y 2015z  

Hướng dẫn:

Ta có 9x 1008z 9  18x 2016z 18  (1) 8x 3y 29  (2) Cộng theo vế (1) (2) ta được:

26x 3y 2016z 47   A 26x 3y 2015z 47 z 47

       z 0 Dấu “=” xảy z = 0, x = 1, y =

Vậy giá trị lớn A 47 x = 1, y = 7, z =

Bài 41 Cho A = 2009 Chứng minh ba số: 2A – 1; 2A; 2A +

khơng phải số phương

Hướng dẫn:

Ta có 2A chia hết cho 2A không chia hết 2A không số phương

2A – = (2A – 3) + 2 2A – chia cho dư  2A – khơng số phương

Giả sử

Vậy số 2A – 1; 2A; 2A +1 không số phương

Bài 42 Cho đa thức f(x) x 8101x7101x6101x5  101x2101x 1 Tính f(100)

Hướng dẫn:

Ta có:

( )

f 100 100 101 100 101 100 101 100  101 100 101 100 1

       

8

100 100 100 100 100 100 100 100 100

          

       

8 7 2

100 100 100 100 100 100 100 100 100

          

99

 

Bài 43 Tam thức bậc hai đa thức có dạng f x( )ax2 bx c , với a, b, c số, a khác Tìm tam thức bậc hai biết f(1) =4, f(-1) = a c  4

Hướng dẫn:

Với f 1( )4   a b c 4(1) Với f 1( )   a b c (2)

Cộng theo vế (1) (2) ta a c 6  Lại có a c   4 a =1; c = 5; b = - Vậy tam thức cần tìm f x( )x22x 5

Bài 44 Cho f(x) 2x +ax+4 (a số); g(x) x 25x b Tìm hệ số a, b cho f(1) = g(2) f(-1) = g(5)

Hướng dẫn:

Ta có f(1) a  ; g(2)  6 b; f( 1) a   ; g(5) b

Theo đề ta có: a b a b 12 a

6 a b a b b



        

 

 

  

      

  

Bài 45 Cho đa thứcA x 8x2 5x 14  99 3x310x26x 2 50 Sau thu gọn tổng hệ số A(x) bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Giả sử A x  a xn n an 1xn 1 a x2 a x a1 0



     

Tổng hệ số anan 1   a2a1a0 A(1)8 14   99 10 2   50  1 Vậy tổng hệ số A(x) –

Bài 46 Cho đa thức  27 2002

( )

Q x  x x  Tìm tổng hệ số lũy thừa bậc lẻ đa thức sau khai triển đa thức

Hướng dẫn:

Ta thấy bậc đa thức Q(x) 27.2002 với hệ số lũy thừa cao Suy đa thức có bậc chẵn

Giả sử 27.2002

1

Q( )x x a xn n a x a x a



     

1

(1) n n

Q  a  a   a a

1

( 1) n n

Q   a  a   a a

 1

(1) ( 1) n n

Q Q a  a  a

      

Đặt San1an3 a1 (tổng hệ số lũy thừa bậc lẻ) Mặt khác Q(1)1 1  2002 1 ; Q  1    1 12002 32002

Vậy

2002

2002

1

2

S S 

   

Bài 47 Chứng minh rằng: Tồn số có dạng 111…111chia hết cho 31

Hướng dẫn:

Xét 32 số: 1, 11, 111, 1111,……

32

111 111 chia cho 31 chắn tồn số có số dư Giả sử m

m

a 111 111 n

n

a 111 111có số dư chia cho 31

(m > n)

Xét m n

m n m n n

a a 111 111 111 111 111 111000 000



Suy n

m n

111 111 10 31







Mà 10 31n,  1

m n

111 111 31



 

Vậy tồn số có dạng 111…111 chia hết cho 31 (đpcm)

Bài 48 Cho ba số dương a b c 1  Chứng minh rằng:

a b c

2 bc 1 ac 1 ab 1  Hướng dẫn:

Vì a b c 1  nên: a b 1    0 ab a b  

1 c c

ab a b ab a b

   

    (1)

Tương tự: a a

bc 1  b c (2);

b b

ac 1 a c (3)

Từ (1), (2), (3) suy a b c a b c

bc 1 ac a ab 1  b c a c a b (4)

Mà a b c 2a 2b 2c a b c 

b c a c a b a b c a b c a b c a b c

 

      

           (5)

Từ (4) (5) suy a b c

bc 1 ac 1 ab 1  (đpcm)

Bài 49 Cho x, y, z, t thỏa mãn: x y z t

y z t  z t x  t x y   x y z 

Tính

2017 2018 2019 2020

x y y z z t t x

P

z t x t x y z y

                   

   

       

Hướng dẫn:

Ta có: x y z t

y z t  z t x  t x y   x y z 

 x y z t

x y z t x y z t x y z t x y z t

y z t z t x t x y x y z

                       Xét TH1:        

x y z t

y z t x

x y z t

z t x y

t x y z

                           

Khi P  12017  12018  12019  12020 0 Xét TH2: x y z t   0

y z t z t x t x y x y z x y z t

               

Khi P 1 2017 1 2018 1 2019 1 2020 4 Vậy P = P =

Bài 50 Cho

 

2 2

B 1 1

6 12 20 n n

                       

Chứng minh  n n,  B



Hướng dẫn:

Ta có:  

 

.n n

4 10 18 B

6 12 20 n n

        

n n

2 3 4 n n

         

1 n n n n

2 n n n 3n

   

    



Với n N, n 2

n 2

B

3n 3

 

    

Vậy B