Cho đường tròn (O) đường kính AB. M là một điểm trên đoạn OB. AB cắt PQ tại I. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi O là trung điểm AC, Đường thẳng OH cắt đường thẳng AC tạ[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN (Lớp HKI)
PP1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính đầu mút bán kính.
Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB D, đường trịn tâm J đường kính CH cắt AC E Chứng minh DE tiếp tuyến chung (I) (J)
Giải.
Để chứng minh DC tiếp tuyến đường tròn (J), ta chứng minh DE vng góc JE, tức chứng minh JED 900.
Vì E thuộc đường trịn đường kính CH nên CEH 900
Vì D thuộc đường trịn đường kính BH nên BDH 900
Do tứ giác AEHD hình chữ nhật (tứ giác có góc vng hình chữ nhật)
DEH EHA
Mà JEH JHE (vì tam giác EJH cân J)
900
JED JEH HED JHE EHA JHA
(2)Vậy DE tiếp tuyến đường trịn (J)
Chứng minh tương tự ta có DE tiếp tuyến đường trịn (I)
Ví dụ Cho tam giác ABC có góc A nhọn Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB, AC F, E BE CF cắt H Gọi I trung điểm AH Chứng minh IE, IF tiếp tuyến (O)
Giải.
Ta có H trực tâm tam giác ABC nên AH vng góc với BC D Ta có điểm A, F, H, E nằm đường trịn tâm I đường kính AH
AI = IE AIE cân I IAE IEA
Mặc khác OCE cân O OEC OEC
Mà OCE EAI 900 (ADC vng D) IEA OEC 900
Do
0
180 90
OEI IEA OEC IE OE
(3)Chứng minh tương tự ta có IF tiếp tuyến (O)
PP2 Chứng minh khoảng cách từ tâm tới đường thẳng với bán kính. Ví dụ Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi H trung điểm OA, qua H vẽ đường thẳng d vng góc với OA, d cắt (O) E, F Chứng minh FA tiếp tuyến đường tròn (E, EH)
Giải.
Để chứng minh đường thẳng AF tiếp tuyến đường tròn (E; EH), ta hạ EK vng góc với đường thẳng AF (K thuộc AF), ta chứng minh EK = EH. Ta có EF trung trực OA EA EO OA R AEO đều
Do tứ giác AEOF hình thoi có FAE 1200 KAE 600 Khi hai tam giác KEA HEA nên EK = EH Vậy đường thẳng AF tiếp tuyến (E)
Ví dụ Cho tam giác ABC có AB AC a ,
0
0 90
ABC ACB
(4)a) Tính tích BE CF theo a .
b) Đặt R khoảng cách từ M tới AB Chứng minh EF tiếp tuyến đường
trịn M R;
c) Tìm vị trí ,E F cho SAEF lớn
Giải. a)Vì ABC EMF nên ta có
1800 1800
BEM ABC EMB EMB FMC
Do tam giác BME đồng dạng với tam giác CFM
Suy
2
4
BM CF BC
BE CF BM CM
BE CM
Mà ta có: cos cos 2 cos
MC MC
MC a BC MC a
AC a
Vậy BE CF a 2cos2.
b)Vì
ME BE BE BME CFM
MF MC BM
(5)ta suy BME MFE MEB MEF hay EM tia phân giác BEF
Gọi H, P hình chiếu vng góc M lên EF AB, ta có
MH MK R, EF tiếp tuyến M R; .
c)Tương tự ta có FM tia phân giác EFC MH MK MP , với P hình chiếu vng góc M lên AC
Ta có: EH EK FP FK, AE EF FA AH AP2AH nghĩa chu vi tam giác AEF khơng đổi
Ta có SMHEFP 2SMEF SAHMP MH AH (khơng đổi)
Vì SAEF SAHMP 2SMEF SAEF lớn SMEF nhỏ
Mà
1 MEF
S R EF
nhỏ EF nhỏ nhất
Mà AE AF EF không đổi EF nhỏ AF AF lớn BE CF nhỏ
Ta có: BE CF 2 BE CF 2 cosa (không đổi)
Do BE CF min 2 cosa BE CF a cos Bài tập.
Bài Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BE CF cắt H Gọi O là trung điểm BC Chứng minh OE, OF tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF
Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB C thuộc nửa đường tròn Vẽ
CH AB HAB M trung điểm CH, BM cắt tiếp tuyến Ax (O) P Chứng minh PC tiếp tuyến đường tròn (O)
(6)Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB Trên đoạn AB lấy điểm M, gọi H trung điểm AM Đường thẳng qua H vng góc với AB cắt (O) C Đường trịn đường kính MB cắt CB I Chứng minh HI tiếp tuyến đường trịn đường kính MI
Bài Cho đoạn thẳng AB2a Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, vẽ hai tia Ax, By vng góc với AB Gọi O trung điểm AB Góc
900
uOt quay quanh O cho tia Ou, Ot cắt Ax, By E, F. a) Tính AE BF theo a
b) Chứng minh EF tiếp tuyến đường tròn O a,
c) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính EF d) Tìm vị trí EF cho SAEFB nhỏ
Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB M điểm đoạn OB Đường thẳng qua M vng góc AB M cắt (O) C D AC cắt BD P, AD cắt BC Q AB cắt PQ I Chứng IC ID tiếp tuyến (O)
Bài Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Gọi O trung điểm AC, Đường thẳng OH cắt đường thẳng AC D Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ADH cắt đường thẳng AC E
a) Chứng minh EH tiếp tuyến đường trịn đường kính AC
b) EH cắt AD F, K trung điểm OF Chứng minh KH tiếp tuyến đường tròn (I)