Tổng hợp kiến thức ôn tập giữa kỳ

Bài toán tương ứng là tìm y để phương trình (*) có nghiệm... Note: TXĐ không đối xứng  hàm không chẵn, không lẻ..[r]

A HÀM SỐ

1) Dạng 1: Bài tập tìm tập xác định tập giá trị hàm số Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm

 

2

4

ln

y x x

x

   

 Giải:

Ta có:   

2

3

4

0 4

x x

x x

x x

  

     

 

     

 

3

4

1

4

x

x x

x   

    

   

x5

Vậy TXĐ: D4;  \ Ví dụ 2: Tìm tập giá trị hàm

2

1 x x y

x x   

  Giải:

TXĐ: Dℝ

Note: Ln xác định TXĐ trước tìm TGT Ta có:

2

1 x x y

x x   

  mà

1 0,

x     x x ℝ

Nên: yx2yx y x2  x y1x2y1x  y (*) Bài tốn tương ứng tìm y để phương trình (*) có nghiệm Khi đó:

 Nếu y1, x0

 Nếu y1, ta có:

 2  2

1

y y

    

  2  2  

1 2 3

y y y y

        

1

3 y   

Vậy TGT: 1;3

S   

 

Tóm tắt lý thuyết:

1 Hàm số f x  gọi chẵn

   

,

x TXD x TXD

f x f x

  



   

 Đồ thị đối xứng qua trục tung Hàm số f x  gọi lẻ

   

,

x TXD x TXD

f x f x

  



   



 Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ hàm  2

ln

y x x

Giải:

TXĐ: Dℝ., x ℝ  x ℝ

 TXĐ đối xứng

Ta có: f   x ln x 1  x 2

 

2

ln ln

1 x x

x x

 

     

 

  (liên hợp)

 2  

ln x x f x

     

Vậy y hàm lẻ

Note: TXĐ không đối xứng  hàm khơng chẵn, khơng lẻ

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: hàm số f x  xác định khoảng đối xứng a a;  biểu diễn dạng tổng hàm số chẵn hàm số lẻ

Giải:

Giả sử: f x     h x g x (1)

Với h x g x   , hàm số chẵn, lẻ xác định a a;  Khi đó:

         

f    x h x g  x h x g x (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:            

h x g x f x

h x g x f x

 

 

  

 Hệ phương trình cho ta nghiệm

           

1 2

h x f x f x g x f x f x

     

 

 

      

(chứng minh tính nhất)

         

2

f x f x f x f x f x

         

(chẵn) (lẻ)

3) Dạng 3: Hàm tuần hoàn.

Định nghĩa: Một hàm số f x  gọi tuần hoàn  T R 0 cho

   

f x  f x T x TXD  

Ví dụ: Xét tính tuần hồn tìm chu kì hàm số sau (nếu có) f x Acos x Bsinx Giải:

 Trường hợp 1: A B

 

f x

  , hàm nên tuần hồn khơng có chu kì sở

 Trường hợp 2: 2

0

A B 

+ Trường hợp 2.1: Nếu   0 f x A hàm khơng có chu kì sở + Trường hợp 2.2: Nếu  0 Giả sử T số dương nhỏ thỏa mãn

   ,

f x  f x T  x ℝ

   

sin cos sin cos

A x B x A x T B x T

         

   

sin sin cos cos

A x T x B x T x

            

2  2 

2 cos sin sin sin

2 2

x T T x T T

A    B   

  

2  2 

cos sin sin

2 2

x T x T T

A   B  

  

   

 

 

sin

2

T T

n n

 

     Z

 

2 n

T  n

  

min

T 

 

 n1

 

f x

 tuần hồn với chu kì sở T  2  4) Dạng 4: Hàm hợp.

Cho hai hàm số f g, Hàm hợp f g, kí hiệu fog hàm số định nghĩa: fog x  f g x  

Ví dụ: Tìm f x  biết: 2

1

f x x

x x

   

 

 

Giải:

TXĐ: DR\ 0 

Đặt: 2

2

1

2

t x t x

x x

      (cauchy)

2 2

2

1

2 2

t x x

x x

     

2

4

t t

   

 

2 f t t

   với t 2 Vậy  

2

f x x  với x 2 5) Dạng 5: Hàm ngược.

Ví dụ cấp 3: ye yx, ln x hàm ngược, đối xứng qua đường thẳng yx Ví dụ: Tìm hàm ngược hàm số sau: 1 

2

x x

y e e

Giải:

Ta có:   1  0,

x x

f x  e e   x ℝ  

f x

 đơn điệu tăng

 

1 f x

  ℝ

Mặt khác: 1 

2

2

x x x x

 2

2

x x

e ye

   

 

 

2

1

x x

e y y thoa man

e y y loai

    

 

    



 

ln

x y y

   

Đổi vai trò x y, ta hàm ngược:  

ln

y x x 

Chú ý: Chúng ta làm quen hàm lượng giác ngược arcsin , arccos , arccot , arctanx x x x B GIỚI HẠN

1 Dãy số Ví dụ 1:

 

1 lim

1

n

I

n n n





 

 

2 2

2

1

1

1

lim lim

1

n n

n n n

n n n

 

 

 

   



 

Ví dụ 2:

1

1 lim

n n

n

n I

n 

   



Ta có:

2

1

1

n n n

n n n

n n n n n

n n n

      

  

 

1

1 1

n n

n n

n n n n n

n n n n n

  

  

  

Mà lim 1

1

n

n

I n

     (Đ/l kẹp) 2 Hàm số

 Vô bé (VCB):  x 0 xx0

 Vô lớn (VCL):  x   xx0

 dạng vô định: 0

, , , , , , 0



     



Ví dụ 1:

2

4

lim

4

x

x x x

I

x x



  



 

3

lim

2

x

x x



 

Ví dụ 2:

3

0

sin sin1 lim

1 ln cos

x

x I

x x



  

 

Khi x0, ta có:

 ln cos  ~ 1. ln cos 

x x x x

  

 

 

   

2 2

ln cos ~ cos ~

5 5

x x x

x x x   x

        

 



3

3 3

3 1 1 1

sin sin1 cos sin ~ cos1 ~ cos1 cos1

2 2 2

x

x x x

x       x

   

3

0 3

1 cos1

5

lim cos1

1 2

5

x

x I

x 

  

Ở vận dụng VCB tương đương x0

 x~ sin ~ arcsin ~ tan ~ arctan ~x x x x ex1 ~ ln 1 x

 1x1 ~x, đặc biệt m1 ~

x x

m

   

 cos ~ 2 x x



3 Hàm số liên tục

Cho hàm số f x  xác định lân cận x0 Nó gọi là: (+) liên tục phải x0:    

0

0

lim

xx f x  f x

() liên tục trái x0:    

0

0

lim

xx f x  f x

(=) liên tục x0:    

0

0 lim

xx f x  f x

Ví dụ: Tìm a để hàm số liên tục x0:  

1,

cos sin ,

ax bx neu x f x

a x b x neu x

   

 

 

Ta có:  

0 0 1

f a b  

(+)  

0

lim lim 1

x x

f x ax bx

 

      ()  

0

lim lim cos sin

x x

f x a x b x a

 

    

Để hàm số liên tục x0

     

0

0 lim lim

x x

f  f x  f x

 

  

1 a  

C ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Dạng 1: Đạo hàm theo định nghĩa.

     

0

0

0 lim

x x

f x f x f x

x x 



 



Đặt:   x x x0  x x0 x      0

0

0 lim

x

f x x f x f x

x  

   

 



Ví dụ 1: Cho hàm số f x  khả vi 1, biết    

1

lim

x

f x f x

x 

  

 Tính f 1 Giải:

Ta có:    

0

1

2 lim

x

f x f x

x 

  



       

1 1

lim

7

x

f x f f x f

x x



   

 

   

 

     

7f 2f 5f

  

 

5

f

 

Ví dụ 2: Cho hàm số  

,

0 ,

x

e x

f x

x



   

 



Tính f 0

Giải:

Ta có:      

1

0

0

0 lim lim

0

x

x x

f x f e

f

x x

 



  



  

 

1

lim lim

L

t t

t t

t t

x e e

   

Dạng 2: Đạo hàm theo cơng thức. Ví dụ: Cho   sin

,

2

x

f x x  x  Xác định f x Ta có:   sinx sin lnx  x

f x x e   sin ln  

sin ln

x x

f x e x x 

 

sin sin

cos ln

x x

x x x

x

 

   

 

Dạng 3: Đạo hàm cấp cao. + uv n  u  n  v  n

+ Công thức Leibniz:  uv  n C unk   k vn k





Đạo hàm cấp cao bản:

1   n  1   1 n

x         n x

2 1 2    1   1 

n n

x n x 

            

 

3

 

 

 

1 !

1

1 1

n

n

n

n

x x 

   

  

  

4

 

 

1 !

1

n

n

n

x x 

  

  

  

5 sin   sin

2

n n

x  x 

 

6 cos   cos

2

n n

x  x 

 

7  ax  n axlnan

8          1 !

ln 1

1

n n

n

n x

x

 

  



Ta có: 3

sin sin sin

4

x x x

   3   1  

sin sin

4

n n

n

y x x x

  

3

sin sin

4

n

n n

x  x 

   

      

   

D CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: Định lý Rolle

Nếu hàm số f x :

i) Liên tục khoảng đóng  a b; ii) Có đạo hàm khoảng mở  a b; iii) Thỏa mãn f a  f b 

  có điểm c a b; cho f c 0

Ví dụ: Cho số thực a b c, , thỏa mãn a b c  0 CMR:

3ax 4bx5c0 có nghiệm thuộc khoảng 1;

Giải:

Xét hàm số  

f x cx bx ax thỏa mãn điều kiện định lý Rolle  0;1 Do đó:    

0 0;1 \ 0

x f x cx bx ax

     

2

0

1

3x 4b 5c

x x

   

         

Vậy phương trình

3ax 4bx5c0 có nghiệm  

1 1;

x  

Dạng Định lý Lagrange Nếu hàm số f x :

i) Liên tục khoảng đóng  a b; ii) Có đạo hàm khoảng mở  a b;

thì tồn điểm c a b; cho f  c f b  f a  b a



 

Ví dụ: Cho 0 a b CMR: 2 arccot arccot 2

1

a b a b

b a

a b

    

 

Giải:

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f x arccotx  a b; ta có:

 

arccot arccot

1

b

f c

b a c

    

  với c a b; , đó:

2 2

1 arccot arccot 1

1 1

b a

a b a c b



     

     ĐPCM

E KHAI TRIỂN MACLAURINT

1 Một số khai triển Maclaurint quan trọng

1)    1    1  

1

2! !

n n

n

x x x x x

n

         

       

2)    

1

1

n n n

x x x x

x       



3)  

1

1

n n

x x x x

x      



4)  

2

1

2! !

n

x x x n

e x x

n

     

5)   

  

3

2

sin

3! 5! !

n

n n

x x x

x x x

n





     



6)      

2

2

cos

2! 4! !

n

n n

x x x

x x

n

      

7)      

2

1

ln

2

n

n n

x x x

x x x

n 

       

2 Ứng dụng

Ví dụ 1: Tìm khai triển Maclaurint   2

x

f x e 

Ta có:  

2

2

0

2 !

x x n

e k n

k k

e

e e e x x

k 



  

Ví dụ 2:

2

4

cos lim

x

x x I

x



 



Giải: Khai triển Maclaurint cosx tới bậc

2

cos

2

4

1

2

lim

x

x x x

I

x 

    

 

 

 

4

4

1

4! lim

4! 24

x

x

x



  

Ví dụ 3: Xác định y 10  0 với  2

sin

y x

Ta có:  

3

5

sin

3! 5! x x

x x   x

 

6 10

2 10

sin

3! 5! x x

x x x

    

  

 

   10 10 10

2

0

10!

sin 6.7.8.9.10 30240

5! 5!

x

x  

     

 

F TIỆM CẬN Dạng 1: y f x 

Ví dụ: Tìm đường tiệm cận đường cong

sin

y x

x



Giải: TXĐ: D \ 0 

Ta có: 2

0 x sin x

x

   x0

0

1 lim sin

x x x

 

 Đường cong khơng có TCĐ

Ta lại có:

1 sin

lim sin lim

x x

x

x x

x

x

    

 Đường cong khơng có TCN Gọi yax b a  0 TCX

1 sin

lim lim

1

x x

y x

a

x

x  

  

 

lim lim sin

x x

b y x x x

x

 

 

     

 

2

1 sin

lim

t

t t

t

x  t



 Đường cong có TCX yx Dạng 2:

 

2 arctan

x t

y t t

    



Ta có: lim lim arctan

x t

y t t

a

x t

 



   

Khi đó:

   

1 lim lim 2arctan

t t

b y ax t t

 

         y x TCX phải

   

2 lim lim 2arctan

t t

b y ax t

 

       y x TCX trái G TÍCH PHÂN

Dạng 1: Khai triển Ví dụ:

 

1 2 2

1 1

arctan

1 dx

I dx x C

x x x

x x

 

        



  

 

 

2 2

2

4

2 3

5

I  x x x dx x dx x dx x  x C Dạng 2: Biến đổi biểu thức vi phân

   

1

tan

1 tan tan tan

cos

dx x

I x d x x C

x

     

   3

2 2

2

1

1 3 3

6

I x  x dx   x d  x   x C

Dạng 3: Đổi biến

2 x

I dx

x 





Đặt:

2sin , 0;

x t t  

 

Ta có: dx4sin cost tdt

 

2

2sin

tan

2 sin

x t

t

x  t 

 

2

4 sin sin

I tdt t t C

     

Mà

2 arcsin

2 x

I x x C

    

Dạng 4: Từng phần

 

2

sin cos

I x xdxx d  x  x2cosx2x.cosxdx

 

cos sin

x x xd x

   

cos sin sin x x x x xdx

     

2

cos sin cos

x x x x x C

    

Dạng 5: Hệ số bất định    

2

2

1

x x

I dx

x x x

 



  



Phân tích:

   

2

1 4

x x A B C

x x x x x x

    

     

Đồng thức ta giải

3 A B C

        

3

1

dx dx dx

I

x x x

   

  

   3ln x 1 ln x 2 5ln x 4 C      

3

7

1

ln

2

x x

C x

 

 