Bài toán tương ứng là tìm y để phương trình (*) có nghiệm... Note: TXĐ không đối xứng hàm không chẵn, không lẻ..[r]
(1)A HÀM SỐ
1) Dạng 1: Bài tập tìm tập xác định tập giá trị hàm số Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm
2
4
ln
y x x
x
Giải:
Ta có:
2
3
4
0 4
x x
x x
x x
3
4
1
4
x
x x
x
x5
Vậy TXĐ: D4; \ Ví dụ 2: Tìm tập giá trị hàm
2
1 x x y
x x
Giải:
TXĐ: Dℝ
Note: Ln xác định TXĐ trước tìm TGT Ta có:
2
1 x x y
x x
mà
1 0,
x x x ℝ
Nên: yx2yx y x2 x y1x2y1x y (*) Bài tốn tương ứng tìm y để phương trình (*) có nghiệm Khi đó:
Nếu y1, x0
Nếu y1, ta có:
2 2
1
y y
2 2
1 2 3
y y y y
1
3 y
Vậy TGT: 1;3
S
(2)Tóm tắt lý thuyết:
1 Hàm số f x gọi chẵn
,
x TXD x TXD
f x f x
Đồ thị đối xứng qua trục tung Hàm số f x gọi lẻ
,
x TXD x TXD
f x f x
Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ hàm 2
ln
y x x
Giải:
TXĐ: Dℝ., x ℝ x ℝ
TXĐ đối xứng
Ta có: f x ln x 1 x 2
2
ln ln
1 x x
x x
(liên hợp)
2
ln x x f x
Vậy y hàm lẻ
Note: TXĐ không đối xứng hàm khơng chẵn, khơng lẻ
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: hàm số f x xác định khoảng đối xứng a a; biểu diễn dạng tổng hàm số chẵn hàm số lẻ
Giải:
Giả sử: f x h x g x (1)
Với h x g x , hàm số chẵn, lẻ xác định a a; Khi đó:
f x h x g x h x g x (2)
Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:
h x g x f x
h x g x f x
(3) Hệ phương trình cho ta nghiệm
1 2
h x f x f x g x f x f x
(chứng minh tính nhất)
2
f x f x f x f x f x
(chẵn) (lẻ)
3) Dạng 3: Hàm tuần hoàn.
Định nghĩa: Một hàm số f x gọi tuần hoàn T R 0 cho
f x f x T x TXD
Ví dụ: Xét tính tuần hồn tìm chu kì hàm số sau (nếu có) f x Acos x Bsinx Giải:
Trường hợp 1: A B
f x
, hàm nên tuần hồn khơng có chu kì sở
Trường hợp 2: 2
0
A B
+ Trường hợp 2.1: Nếu 0 f x A hàm khơng có chu kì sở + Trường hợp 2.2: Nếu 0 Giả sử T số dương nhỏ thỏa mãn
,
f x f x T x ℝ
sin cos sin cos
A x B x A x T B x T
sin sin cos cos
A x T x B x T x
2 2
2 cos sin sin sin
2 2
x T T x T T
A B
2 2
cos sin sin
2 2
x T x T T
A B
sin
2
T T
n n
Z
2 n
T n
(4)min
T
n1
f x
tuần hồn với chu kì sở T 2 4) Dạng 4: Hàm hợp.
Cho hai hàm số f g, Hàm hợp f g, kí hiệu fog hàm số định nghĩa: fog x f g x
Ví dụ: Tìm f x biết: 2
1
f x x
x x
Giải:
TXĐ: DR\ 0
Đặt: 2
2
1
2
t x t x
x x
(cauchy)
2 2
2
1
2 2
t x x
x x
2
4
t t
2 f t t
với t 2 Vậy
2
f x x với x 2 5) Dạng 5: Hàm ngược.
Ví dụ cấp 3: ye yx, ln x hàm ngược, đối xứng qua đường thẳng yx Ví dụ: Tìm hàm ngược hàm số sau: 1
2
x x
y e e
Giải:
Ta có: 1 0,
x x
f x e e x ℝ
f x
đơn điệu tăng
1 f x
ℝ
Mặt khác: 1
2
2
x x x x
(5) 2
2
x x
e ye
2
1
x x
e y y thoa man
e y y loai
ln
x y y
Đổi vai trò x y, ta hàm ngược:
ln
y x x
Chú ý: Chúng ta làm quen hàm lượng giác ngược arcsin , arccos , arccot , arctanx x x x B GIỚI HẠN
1 Dãy số Ví dụ 1:
1 lim
1
n
I
n n n
2 2
2
1
1
1
lim lim
1
n n
n n n
n n n
Ví dụ 2:
1
1 lim
n n
n
n I
n
Ta có:
2
1
1
n n n
n n n
n n n n n
n n n
1
1 1
n n
n n
n n n n n
n n n n n
Mà lim 1
1
n
n
I n
(Đ/l kẹp) 2 Hàm số
Vô bé (VCB): x 0 xx0
Vô lớn (VCL): x xx0
dạng vô định: 0
, , , , , , 0
(6)Ví dụ 1:
2
4
lim
4
x
x x x
I
x x
3
lim
2
x
x x
Ví dụ 2:
3
0
sin sin1 lim
1 ln cos
x
x I
x x
Khi x0, ta có:
ln cos ~ 1. ln cos
x x x x
2 2
ln cos ~ cos ~
5 5
x x x
x x x x
3
3 3
3 1 1 1
sin sin1 cos sin ~ cos1 ~ cos1 cos1
2 2 2
x
x x x
x x
3
0 3
1 cos1
5
lim cos1
1 2
5
x
x I
x
Ở vận dụng VCB tương đương x0
x~ sin ~ arcsin ~ tan ~ arctan ~x x x x ex1 ~ ln 1 x
1x1 ~x, đặc biệt m1 ~
x x
m
cos ~ 2 x x
3 Hàm số liên tục
Cho hàm số f x xác định lân cận x0 Nó gọi là: (+) liên tục phải x0:
0
0
lim
xx f x f x
() liên tục trái x0:
0
0
lim
xx f x f x
(=) liên tục x0:
0
0 lim
xx f x f x
Ví dụ: Tìm a để hàm số liên tục x0:
1,
cos sin ,
ax bx neu x f x
a x b x neu x
(7)Ta có:
0 0 1
f a b
(+)
0
lim lim 1
x x
f x ax bx
()
0
lim lim cos sin
x x
f x a x b x a
Để hàm số liên tục x0
0
0 lim lim
x x
f f x f x
1 a
C ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Dạng 1: Đạo hàm theo định nghĩa.
0
0
0 lim
x x
f x f x f x
x x
Đặt: x x x0 x x0 x 0
0
0 lim
x
f x x f x f x
x
Ví dụ 1: Cho hàm số f x khả vi 1, biết
1
lim
x
f x f x
x
Tính f 1 Giải:
Ta có:
0
1
2 lim
x
f x f x
x
1 1
lim
7
x
f x f f x f
x x
7f 2f 5f
5
f
Ví dụ 2: Cho hàm số
,
0 ,
x
e x
f x
x
Tính f 0
Giải:
Ta có:
1
0
0
0 lim lim
0
x
x x
f x f e
f
x x
(8)
1
lim lim
L
t t
t t
t t
x e e
Dạng 2: Đạo hàm theo cơng thức. Ví dụ: Cho sin
,
2
x
f x x x Xác định f x Ta có: sinx sin lnx x
f x x e sin ln
sin ln
x x
f x e x x
sin sin
cos ln
x x
x x x
x
Dạng 3: Đạo hàm cấp cao. + uv n u n v n
+ Công thức Leibniz: uv n C unk k vn k
Đạo hàm cấp cao bản:
1 n 1 1 n
x n x
2 1 2 1 1
n n
x n x
3
1 !
1
1 1
n
n
n
n
x x
4
1 !
1
n
n
n
x x
5 sin sin
2
n n
x x
6 cos cos
2
n n
x x
7 ax n axlnan
8 1 !
ln 1
1
n n
n
n x
x
(9)Ta có: 3
sin sin sin
4
x x x
3 1
sin sin
4
n n
n
y x x x
3
sin sin
4
n
n n
x x
D CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: Định lý Rolle
Nếu hàm số f x :
i) Liên tục khoảng đóng a b; ii) Có đạo hàm khoảng mở a b; iii) Thỏa mãn f a f b
có điểm c a b; cho f c 0
Ví dụ: Cho số thực a b c, , thỏa mãn a b c 0 CMR:
3ax 4bx5c0 có nghiệm thuộc khoảng 1;
Giải:
Xét hàm số
f x cx bx ax thỏa mãn điều kiện định lý Rolle 0;1 Do đó:
0 0;1 \ 0
x f x cx bx ax
2
0
1
3x 4b 5c
x x
Vậy phương trình
3ax 4bx5c0 có nghiệm
1 1;
x
Dạng Định lý Lagrange Nếu hàm số f x :
i) Liên tục khoảng đóng a b; ii) Có đạo hàm khoảng mở a b;
thì tồn điểm c a b; cho f c f b f a b a
(10)Ví dụ: Cho 0 a b CMR: 2 arccot arccot 2
1
a b a b
b a
a b
Giải:
Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f x arccotx a b; ta có:
arccot arccot
1
b
f c
b a c
với c a b; , đó:
2 2
1 arccot arccot 1
1 1
b a
a b a c b
ĐPCM
E KHAI TRIỂN MACLAURINT
1 Một số khai triển Maclaurint quan trọng
1) 1 1
1
2! !
n n
n
x x x x x
n
2)
1
1
n n n
x x x x
x
3)
1
1
n n
x x x x
x
4)
2
1
2! !
n
x x x n
e x x
n
5)
3
2
sin
3! 5! !
n
n n
x x x
x x x
n
6)
2
2
cos
2! 4! !
n
n n
x x x
x x
n
7)
2
1
ln
2
n
n n
x x x
x x x
n
2 Ứng dụng
Ví dụ 1: Tìm khai triển Maclaurint 2
x
f x e
Ta có:
2
2
0
2 !
x x n
e k n
k k
e
e e e x x
k
Ví dụ 2:
2
4
cos lim
x
x x I
x
Giải: Khai triển Maclaurint cosx tới bậc
2
cos
(11)2
4
1
2
lim
x
x x x
I
x
4
4
1
4! lim
4! 24
x
x
x
Ví dụ 3: Xác định y 10 0 với 2
sin
y x
Ta có:
3
5
sin
3! 5! x x
x x x
6 10
2 10
sin
3! 5! x x
x x x
10 10 10
2
0
10!
sin 6.7.8.9.10 30240
5! 5!
x
x
F TIỆM CẬN Dạng 1: y f x
Ví dụ: Tìm đường tiệm cận đường cong
sin
y x
x
Giải: TXĐ: D \ 0
Ta có: 2
0 x sin x
x
x0
0
1 lim sin
x x x
Đường cong khơng có TCĐ
Ta lại có:
1 sin
lim sin lim
x x
x
x x
x
x
Đường cong khơng có TCN Gọi yax b a 0 TCX
1 sin
lim lim
1
x x
y x
a
x
x
lim lim sin
x x
b y x x x
x
2
1 sin
lim
t
t t
t
x t
(12) Đường cong có TCX yx Dạng 2:
2 arctan
x t
y t t
Ta có: lim lim arctan
x t
y t t
a
x t
Khi đó:
1 lim lim 2arctan
t t
b y ax t t
y x TCX phải
2 lim lim 2arctan
t t
b y ax t
y x TCX trái G TÍCH PHÂN
Dạng 1: Khai triển Ví dụ:
1 2 2
1 1
arctan
1 dx
I dx x C
x x x
x x
2 2
2
4
2 3
5
I x x x dx x dx x dx x x C Dạng 2: Biến đổi biểu thức vi phân
1
tan
1 tan tan tan
cos
dx x
I x d x x C
x
3
2 2
2
1
1 3 3
6
I x x dx x d x x C
Dạng 3: Đổi biến
2 x
I dx
x
Đặt:
2sin , 0;
x t t
Ta có: dx4sin cost tdt
2
2sin
tan
2 sin
x t
t
x t
2
4 sin sin
I tdt t t C
Mà
(13)2 arcsin
2 x
I x x C
Dạng 4: Từng phần
2
sin cos
I x xdxx d x x2cosx2x.cosxdx
cos sin
x x xd x
cos sin sin x x x x xdx
2
cos sin cos
x x x x x C
Dạng 5: Hệ số bất định
2
2
1
x x
I dx
x x x
Phân tích:
2
1 4
x x A B C
x x x x x x
Đồng thức ta giải
3 A B C
3
1
dx dx dx
I
x x x
3ln x 1 ln x 2 5ln x 4 C
3
7
1
ln
2
x x
C x