Tài liệu tham khảo Toán học cấp 2

cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn.. Xét hình chữ nhật MNPQ sao cho M và N thuộc cạnh BC, P thuộc cạnh AC, Q thuộc cạnh AB. a) Cho hình bình hành ABCD, các điểm M và N theo[r]

(1)

Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2008 – 2009)

1.1.Cho hình vng ABCD tâm O Một đường thẳng d di động qua O Chứng minh tổng bình phương khoảng cách từ đỉnh hình vng đến đường thẳng d số.

1.2.Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB cố định Điểm C di chuyển nửa đường tròn Trên tia CA lấy điểm E cho CE = CB Tìm quỹ tích điểm E.

2.1 Cho hình vng ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA hình vng

a) Chứng minh SABCD AC

4 

(MN + NP + PQ + QM)

b) Xác định vị trí M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ

2.2.Cho đường trịn (O) nội tiếp hình vng PQRS OA OB hai bán kính thay đổi vng góc với Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP Tìm quỹ tích giao điểm M Ax By

3.1.Cho tam giác ABC, dựng hai đường trịn đường kính AB AC cắt D Một đường thẳng qua D cắt đường trịn đường kính AB E cắt đường trịn đường kính AC F cho D nằm hai điểm E F ( E F khác A, B, C) Gọi M, N trung điểm tương ứng BC EF Chứng minh AN vng góc với NM

3.2.Gọi AB đoạn thẳng cho trước Tìm tất điểm C mặt phẳng chứa AB cho: trong tam giác ABC đường cao kẻ từ A đường trung tuyến kẻ từ B có độ dài

4.1.Cho tam giác ABC thỏa mãn AB.AC = BC(AB+AC), có G trọng tâm BD, CE đường phân giác Chứng minh điểm D, E, G thẳng hàng.

4.2 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O Một điểm D di động cung nhỏ AC Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DC Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng BE D di chuyển cung nhỏ AC.

Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)

5.1.Cho tam giác ABC có AC = 3AB số đo góc A 600 Trên cạnh BC lấy điểm D cho

·

30

ADB= Trên đường thẳng vng góc với AD D lấy điểm E cho DE = DC (E A phía với BC) Chứng minh AE//BC.

5.2.Cho tam giác ABC cân A Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB B, tiếp xúc AC C Gọi D, E lần lượt trung điểm AB, AC; F điểm di động đường thẳng DE Đường trịn đường kính OF cắt đường tròn (O) hai điểm M, N

Xác định vị trí F để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nhỏ nhất. Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

6.1.Cho tam giác ABC cạnh a Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm D, E, F cho D không trùng với A, B ·EDF=600

a) Chứng minh AF.BE = AD.DB. b) Chứng minh

2

4

a AF BE 

(2)

6.2.Cho đường trịn (O;R), đường kính AB Gọi C trung điểm OB, O’ tâm đường tròn đường kính AC Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) D (DA) cắt đường tròn (O’) K (K A). BK cắt CD H

a) Tính tỷ số HC CD.

b) Khi d quay quanh A, điểm H chạy đường nào? Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

7.1 Cho tam giác ABC Gọi Q điểm cạnh BC (Q khác B, C) Trên AQ lấy điểm P (P khác A, Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB cắt AB, AC M, N.

a) Chứng minh rằng:

1

AM AN PQ AB  AC  AQ  b) Xác định vị trí điểm Q để

27

AM AN PQ AB AC AQ  .

7.2 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vng góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD Gọi E tiếp điểm AC với đường tròn (I)

Chứng minh BD = BE.

8.1.Cho hình thoi ABCD có O giao điểm hai đường chéo Lấy E điểm OC cho CE = 2EO và M giao điểm DE cạnh BC Trên đoạn thẳng DE lấy điểm F cho EFC ODC Chứng minh rằng:

a) OMD đồng dạng với FDC . b) EFA 2OBA .

8.2.Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định Một đường thẳng a tiếp xúc với (O) A Gọi M ( khác A,B) điểm thuộc đường tròn (O) Tiếp tuyến đường tròn (O) M cắt a C Gọi I tâm đường tròn tiếp xúc với a C qua M, giả sử CD đường kính đường trịn tâm I Gọi J giao điểm của OC đường tròn (I) Chứng minh rằng:

a) J trung điểm đoạn thẳng OC.

b) Đường thẳng qua D vuông góc với BC ln qua điểm cố định M thay đổi trên đường tròn (O).

Bài 9: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014) 9.1.Cho tam giác ABC cân A



A 900

, có BH đường cao, BD phân giác góc ABH H D AC ,  

Chứng minh rằng: BH CD 

9.2.Cho tam giác ABC có AD đường phân giác góc A D BC  Gọi ka khoảng cách từ D đến AB ( AC) Tương tự, gọi BE phân giác góc B E AC và k khoảng cách từ b E đến BA ( BC), gọi CF phân giác góc C FABvà kc khoảng cách từ F đến CA ( CB) Gọi , ,h h h tương ứng chiều cao kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác cho Tìm giá trịa b c bé biểu thức

a b c a b c

k k k

h h h

(3)

10.1.Từ M ngồi đường trịn tâm O kẻ tiếp tuyến MA, MB ( A, B tiếp điểm) Trên cung lớn AB lấy điểm C, D cho AC = CD Gọi I giao điểm AD BC Qua M, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AC E Chứng minh:

a) Tam giác MEA cân

b) Đường thẳng MC qua trung điểm đoạn thẳng AI

10.2.Cho tam giác ABC vuông cân A, đường cao AH, điểm M di động đoạn thẳng AH Gọi D, E hình chiếu vng góc M lên AB, AC F hình chiếu vng góc D EH

a) Chứng minh điểm B, M, F thẳng hàng

b) Xác định vị trí điểm M AH để diện tích tam giác AFB lớn Bài 11: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015)

11.1.Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Tia Mx song song với AB cắt BC D, tia My song song với BC cắt AC E tia Mz song song với AC cắt AB F Chứng minh 3SDEF SABC (SABC: diện tích tam giác ABC, SDEF: diện tích tam giác DEF).

11.2.Cho đường tròn (O;R), dây cung AB cách tâm O khoảng d (0< d < R) Hai đường tròn (O1) , (O2) tiếp xúc M, tiếp xúc với AB C, D tiếp xúc với đường tròn (O) lần lượt điểm E, F (O1, O2 O nằm nửa mặt phẳng bờ AB)

a) Gọi N trung điểm cung nhỏ AB Chứng minh NC.NE = ND.NF. b) Khi hai đường tròn (O1) , (O2) thay đổi, điểm M chạy đường nào? Bài 12: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)

12.1.Cho đường tròn (O;R) Gọi B, C hai điểm đường trịn (O) cho BC = R; A một điểm cung lớn BC (A B A C ,  ); D, E điểm dây cung AC cho

3

2

AC AE AD Đường thẳng qua D vng góc với AB cắt AB F.

a) Chứng minh tam giác ACF cân.

b) Chứng minh EF qua điểm cố định.

12.2Cho tam giác ABC cố định Gọi E điểm di động đường trịn tâm B, bán kính BC Dựng hình thoi BCDE Từ D vẽ DFAB (FAB) Từ E vẽ EGAC (GAC) Các đường thẳng DF EG cắt nhau tại K Khi hình thoi BCDE thay đổi, điểm K chạy đường nào?

13.1.Cho hình bình hành ABCD có A 900 Dựng tam giác vng cân A BAM DAN (B N cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD, D M thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Chứng minh AC vng góc với MN.

13.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, G trọng tâm Tiếp tuyến B (O) cắt CG tại M Tiếp tuyến C (O) cắt BG N Gọi X, Y theo thứ tự giao điểm CN, AN đường thẳng qua B song song với AC; Z, T theo thứ tự giao điểm BM, AM đường thẳng qua C song song với AB Chứng minh rằng:

a) AB CZ AC BX .

b) MAB NAC  .

14.1.Cho tam giác ABC vuông cân A, nội tiếp đường tròn tâm O M điểm di động cung nhỏ AB. Kẻ AD vuông góc với MC (DMC) Gọi P, Q giao điểm thứ hai đường tròn tâm A, bán kính AB với đường thẳng CM, CA.

a) Chứng minh PQ = 2MD.

(4)

14.2.Trên đoạn thẳng AB cho trước lấy điểm M Trên tia Mt vng góc với AB lấy điểm C, D cho

1

AM MD

MC MB  Các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AMC BMD cắt điểm thứ hai N Chứng minh rằng:

a) Các đường thẳng AD BC qua N.

b) Khi M chuyển động đoạn thẳng AB MN qua điểm cố định. Bài 15: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)

15.1.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D điểm cung BC khơng chứa A Vẽ đường tròn tâm O’ qua A, D đường tròn cắt AB E (E ≠ A, B), cắt AC G (G ≠ A, C) Gọi trung điểm BC, EG theo thứ tự H, K Chứng minh rằng:

a) Tam giác OBH đồng dạng với tam giác O’EK. b) HK vng góc với AD.

15.1.Cho tam giác ABC thay đổi, cân A, nội tiếp đường tròn (O; R) cho trước Kẻ BD vng góc với

AC D Chứng minh rằng: BD

8

9 R 

16.1Cho tam giác MNP, có cạnh NP = 6cm cố định, điểm M di động cho MP=3MN Gọi ME, MF lần lượt tia phân giác xuất phát từ đỉnh M tam giác MNP (E, F nằm đường thẳng NP).

a) Tính độ dài đoạn thẳng EN, FN. b) Tìm tập hợp điểm M.

16.2.Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi M, N, P tiếp điểm cạnh AB, AC, BC với đường trịn (I) Kẻ PE vng góc với đường thẳng MN (EMN) Chứng minh EP tia phân giác góc BEC

17.1.Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vuông góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD = BA, tia Cy lấy điểm E cho CE = CA Gọi G giao điểm BE CD, K L giao điểm AD, AE với cạnh BC.

a) Chứng minh CA = CK ; BA = BL.

b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự I, J Gọi H hình chiếu vng góc G lên BC Chứng minh IHJ tam giác vuông cân.

17.2Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M chuyển động cạnh BC (M khác B, C) Gọi H, K lần lượt hình chiếu vng góc M lên AB, AC Vẽ đường tròn (H; HM) (K; KM)

a) Chứng minh hai đường trịn (H) (K) ln cắt nhau.

b) Gọi N giao điểm thứ hai hai đường trịn (H) (K) Chứng minh MN ln qua điểm cố định

18.1.Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R), cho AD = BC = R Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD, G trung điểm cạnh AB.

a) Chứng minh O, I, G thẳng hàng.

b) Gọi M, N trung điểm OC, OD Chứng minh tam giác GMN tam giác đều. 18.2 Cho đường tròn (O;R), dây AB < 2R Vẽ đường trịn đường kính AB Trên cung AB (phần nằm trong đường tròn (O)) lấy điểm C, D cho C thuộc cung BD Tia đối tia CB, DB cắt đường tròn (O) theo thứ tự điểm E, F Gọi G, H trung điểm cạnh CD, EF

(5)

b) Tính số đo góc AGH

19.1.Cho đường trịn tâm O bán kính R M điểm cố định nằm bên đường tròn Qua điểm M, vẽ hai dây lưu động AB CD vng góc với

a) Chứng tỏ AC2BD2 AD2BC2 Chứng minh AD2BC2 không đổi.

b) Gọi I trung điểm BC Chứng minh IO2 + IM2 = R2 Suy quỹ tích trung điểm I 19.2.Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi E F trung điểm AC BD Gọi G giao điểm đường thẳng qua E vng góc với AD với đường thẳng qua F vng góc với BC So sánh GA GB

20.1 (Dự phịng) Cho tam giác ABC vng A Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD BA Gọi M N trung điểm ,, AC AD Đường thẳng qua B song song với AD cắt MN E

a) Chứng minh tứ giác NAEB hình chữ nhật b) Chứng minh ACE DCN .

20.3 Cho tam giác ABC cân , A D hình chiếu C lênAB Đường trịn tâm Bbán kính BDvà đường trịn tâm C bán kính CD cắt E E D Đường thẳng AC cắt đường trịn tâm C bán kính CD Pvà Q Đường thẳng QD cắt đường trịn tâm Bbán kính BDtạiM .

a) Tính số đo góc QDE

b) Chứng minh P M E, , thẳng hàng

Bài 21: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)

21.1.Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH (H thuộc BC) Đường trịn đường kính AH cắt AB, AC E, F Chứng minh rằng: EF3EB BC CF .

21.2.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R M điểm thay đổi nửa đường tròn (khác A B) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến A B đường tròn (O) điểm C D Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BDM

Bài 22: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đờng tròn (C) tâm I Đờng tròn (C) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lợt D, E, F

22.1.Gọi ha, hb, hc r lần lợt chiều cao ABC xuất phát từ A, B, C bán kính đờng trịn (C). Chứng minh rằng:r ha hb hc

1 1

  

22.2.Trong trêng hỵp AB = 12, BC = 18, CA = 24 G trọng tâm tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng: IG // BC

22.3.Các đờng thẳng BI, CI lần lợt cắt EF M N M không trùng với E, N không trùng với F Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp đờng tròn.

(6)

23.1 Chứng minh tam giác MNK tam giác cân.

23.2 Tính diện tích tam giác ABD theo R, K trung điểm đoạn thẳng CI.

23.3 Chứng minh K chuyển động đoạn thẳng CI tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AKD ln nằm đường thẳng cố định

Cho tam giác ABC vng A (AB < AC), có đường cao AH O trung điểm cạnh BC Đường trịn tâm I đường kính AH cắt AB, AC thứ tự M N OA MN cắt D

24.1.Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp.

24.2.Chứng minh :

1 1

AD HBHC .

24.3.Cho AB = AC = Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BMN. Bài 25: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường trịn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, Ax lấy M cho AM > R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường trịn, từ C vẽ CH vng góc với AB, CE vng góc với AM Đường thẳng vng góc với AB O cắt BC N Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH Q, K, P

25.1.Chứng minh MNCO hình thang cân

25.2.MB cắt CH I Chứng minh KI son song với AB

25.3.Gọi G F trung điểm AH AE Chứng minh PG vng góc với QF

Cho đoạn thẳng OA = R, vẽ đường tròn (O;R) Trên đường tròn (O;R) lấy H kỳ cho AH < R, qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R) Trên đường thăng a lấy B C cho H nằm B C AB = AC = R Vẽ HM vng góc với OB ( MOB), vẽ HN vng góc với OC ( NOC).

26.1.Chứng minh OMOB = ONOC MN qua điểm cố định. 26.2.Chứng minh OBOC = 2R2 .

26.3.Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi. Bài 27: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)

27.1.Cho hai đường tròn  O O' cắt hai điểm phân biệt A B ( AB khơng đường kính O' ) Các tiếp tuyến A B O' cắt C Các đường thẳng AC BC cắt  O tại điểm thứ hai D E Lấy điểm Gdi chuyển cung AB đường tròn O' (phần nằm bên  O , điểm G không trùng với điểm A B ) Các đường thẳng AG BG cắt  O điểm thứ hai H K Hai đường thẳng DK HE cắt I

a Chứng minh điểm I nằm cung tròn cố định G thay đổi b Chứng minh ba điểm C, G I thẳng hàng.

27.2 Cho ABC có điểm M N trung điểm hai cạnh , CA CB Gọi P giao điểm tia

MN với đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh

(7)

Bài 28: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2008 – 2009)

Cho tam giác ABC, điểm M tam giác, đường thẳng AM, BM, CM cắt cạnh BC, CA, AB P, Q, R Kí hiệu SABC diện tích tam giác ABC

28.1.Chứng minh rằng: MA.BC + MB.AC + MC.AB ≥ 4SABC 28.2.Xác định vị trí M để diện tích tam giác PQR lớn nhất. Bài 29: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2004 – 2005)

29.1 Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có cạnh BC trung bình cộng cạnh AB AC Gọi G trọng tâm I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC

Chứng minh: IG // BC

29.2.Cho tam giác ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn tâm I Đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC M Đường thẳng AD cắt đường tròn (I) N (khác D) Chứng minh MN tiếp tuyến đường trịn (I) Bài 30: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017)

30.1.Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R M điểm di động cung nhỏ BC đường trịn

a) Chứng minh MB + MC = MA

b) Gọi H, I, K chân đường vng góc hạ từ M xuống AB, BC, CA Gọi

S, S’ diện tích tam giác ABC, MBC Chứng minh rằng: Khi M di động ta ln có đẳng

thức: MH + MI + MK =

  S + 2S'

3R

30.2.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF đường cao Lấy M đoạn FD, lấy N trên tia DE cho MAN = BAC Chứng minh MA tia phân giác góc NMF  

31.1.Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF trực tâm H. a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH

b) Gọi I, J trung điểm AH BC Đường tròn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ K Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M cắt đoạn thẳng BC P Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Q Chứng minh tứ giác AQDP nội tiếp

31.2.Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D E cho:

a) DE có độ dài nhỏ

b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ

32.1 Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi D trung điểm cạnh BC Lấy điểm M đoạn AD (M không trùng với A) Gọi N, P theo thứ tự hình chiếu vng góc M cạnh AB, AC H hình chiếu vng góc N lên đường thẳng PD

a) Chứng minh AH vng góc với BH

b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực AB I Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng

32.2.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH Gọi M giao điểm của AO BC Chứng minh

HB MB AB

2

(8)

Bài 33: ( HSG TỈNH BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013)

33.1.Cho tam giác ABC, có AB < AC, kẻ trung tuyến AM, đường cao AH phân giác AD. a) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB, Chứng minh DEC ACB 

b) Chứng minh CD > CM

c) Chứng minh điểm D nằm điểm H M

33.2.Cho góc nhọn xMy điểm A cố định ( khác M) thuộc tia Mx Vẽ đường tròn (O), tâm O cho tiếp xúc với Mx A cắt My B, C theo thức tự M, B, C

a)Gọi D trung điểm cung BC không chứa A (O), E giao đểm AD BC Chứng minh E điểm cố định đường tròn (O) thay đổi

b)Gọi H chân đường cao AH tam giác AOM Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp đường tròn

Bài 34: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018 – 2019)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn  O điểm D cạnh AB Gọi M N trung điểm cạnh BC CA Gọi P Q giao điểm MN với đường tròn  O (điểm P thuộc cung nhỏ BC điểm Q thuộc cung nhỏ CA) Gọi I giao điểm khác B BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP Gọi K giao điểm DI với AC

34.1.Chứng minh tứ giác CIPK nội tiếp đường tròn. 34.2.Chứng minh PK.QC QB.PD

34.3.Gọi G giao điểm khác P AP với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP Đường thẳng IG cắt

BA E Chứng minh D di chuyển cạnh AB tỉ số

AD

AE không đổi.

Bài 35: ( HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010 – 2011)

Cho đường tròn (C) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) điểm thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F

35.1.Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng. 35.2 Chứng minh tích AMAN khơng đổi.

35.3.Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn. Bài 36: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2010 – 2011)

36.1.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), có BC R 3và AB < AC Gọi H trực tâm tam giác ABC, nối AH cắt đường tròn điểm D khác A

a) Tính góc BAC Suy tam giác OAH cân; b) Chứng minh AD.BC = AB.CD + AC.BD

36.2.Chứng minh lục giác lồi ABCDEF có góc có EF

AB DE BC CD FA

Bài 37: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2012 – 2013)

(9)

qua P cắt tia Oy Q khác O Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN E Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN F

37.1 Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ. 37.2 Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp đường tròn.

37.3 Gọi D trung điểm đoạn PQ Chứng minh tam giác DEF tam giác đều. Bài 38: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho tam giác ABC có đường cao AH, biết góc BCA < góc ABC < góc CAB < 900 Gọi đường trịn (O) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi D giao điểm tia AI với đường tròn (O), biết D khác A Gọi E F giao điểm đường thẳng AH với hai đường thẳng BD CI, biết E nằm hai điểm B D

38.1.Chứng minh BH = AB.cos góc ABC Suy BC = AB.cos góc ABC + AC.cos góc BCA. 38.2.Chứng minh bốn điểm B, E, I, F thuộc đường tròn.

38.3.Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. Bài 39: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016 – 2017) 39.1 Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7.

a) Gọi G, I trọng tâm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: IG//BC

b) Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh: A, M, I, N nằm đường trịn

39.2.Cho tam giác vng có độ dài ba cạnh số nguyên Chứng minh rằng: Bán kính đường tròn nội tiếp số nguyên

Bài 40: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018 – 2019)

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D, E hai tiếp điểm AB, AC với đường trịn (I) Biết ba góc BAC , ABC BCA,  , góc nhọn Gọi M N trung điểm hai đoạn BC AC

40.1.Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC

40.2.Chứng minh ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy. Bài 41: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009 – 2010)

Cho tam giác ABC vng A Đường trịn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với CA CB M N Đường thẳng MN cắt đường thẳng AI P Chứng minh góc IPB vng

Bài 42: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2008 – 2009)

42.1.Từ điểm A ngồi đờng trịn tâm O, vẽ tiếp tuyến AD, AE (D, E tiếp điểm). Tia AO cắt đờng tròn tâm O B,C (B A C), kẻ DH vng góc với CE H Gọi P trung điểm DH Tia CP cắt đờng tròn tâm O Q (Q ≠ C).Gọi giao điểm AC DE I

a) Chứng minh tứ giác DQIP tứ giác nội tiếp đờng tròn

b) Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn qua điểm A, D, Q

42.2.Cho đờng thẳng d nằm ngồi đờng trịn tâm O Vẽ OA vng góc với d A Từ A, kẻ các cát tuyến d1, d2 lần lợt cắt đờng tròn (O) B, C D, E (B A C, D A Và E) Gọi M, N thứ tự giao điểm đờng thẳng BE DC với đờng thẳng d Chứng minh tam giác OMN tam giác cân

Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R, dây cung MN = R di chuyển nửa đ ờng tròn Qua M kẻ đờng thẳng song song ON cắt đờng thẳng AB E Qua N kẻ đờng thẳng song song OM cắt đờng thẳng AB F

a) CMR: MNE  NFM

(10)

44.1.Tam giác ABC có chu vi 1, cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:

1

1     c 

c b b a a

Chứng minh tam giác ABC

44.2.Cho tam giác ABC vuông cân A, gọi D trung điểm cạnh BC Lấy điểm M đoạn thẳng AD (M không trùng với A) Gọi N, P theo thứ tự hình chiếu vng góc M xuống cạnh AB, AC H hình chiếu vng góc N xuống đường thẳng PD

a) Chứng minh AH vng góc với BH

b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực AB I Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có cạnh đối không song song Gọi F giao điểm của AB CD, E giao điểm AD BC; H, G theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AC BD Đường phân giác góc BED cắt GH điểm I.

a) Chứng minh IH BD IG AC

b) Cho độ dài CD = 2AB Tìm tỉ số diện tích IAB ICD S S   Bài 46: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2008– 2009)

Cho đường tròn tâm O dây AB cố định (O không thuộc AB) P điểm di động đoạn AB (P khác A, B) Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với (O) A Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với (O) B Hai đường tròn (C) (D) cắt N (khác P)

a) Chứng minh: ANP BNP b) Chứng minh: PNO 90

c) Chứng minh P di động N ln nằm cung trịn cố định Bài 47: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2011– 2012)

Cho điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Vẽ đường trịn tâm O thay đổi ln qua B C (O không nằm đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC, AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q (P nằm A O), BC cắt MN K

a) Chứng minh điểm O, M, N, I nằm đường tròn b) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi

c) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME

Bài 48: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) H điểm di động đoạn OA (H khác A) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt cung nhỏ AB M Gọi K hình chiếu M OB

a) Chứng minh HKM 2AMH.

b) Các tiếp tuyến (O, R) A B cắt tiếp tuyến M (O, R) D E OD, OE cắt AB F G Chứng minh OD.GF = OG.DE

(11)

Cho đường tròn (O;R) đường kính BC Gọi A điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn AB, AC cắt đường tròn điểm thứ hai tương ứng E D Trên cung BC không chứa D lấy F(F  B, C) AF cắt BC M, cắt đường tròn (O;R) N(N  F) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE P(P  A)

a) Giả sử BAC 600, tính DE theo R. b) Chứng minh AN.AF = AP.AM

c) Gọi I, H thứ tự hình chiếu vng góc F đường thẳng BD, BC Các đường thẳng

IH CD cắt K Tìm vị trí F cung BC để biểu thức

BC BD CD

FH  FI FK đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 50: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016 – 2017)

50.1.Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O,R) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB) Tia EF cắt tia CB P, AP cắt đường tròn (O,R) M (M khác A)

a) Chứng minh rằng: PE.PF = PM.PA AM vng góc với HM.

b) Cho cạnh BC cố định, điểm A di chuyển cung lớn BC Xác định vị trí A để diện tích  BHC đạt giá trị lớn nhất.

50.2.Cho tam giác ABC có góc A nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O Một điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A (I khơng trùng với B C) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vng góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định

Bài 51: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018 – 2019)

Cho tam giác nhọn ABC, gọi H E K, , chân đường cao kẻ từ đỉnh A B C, , Gọi diện tích tam giác ABC HEK SABC SHEK Biết

4

ABC HEK

S  S , chứng minh

2 2

sin sin sin

4 A B C 

Bài 52: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho ba điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (điểm B nằm điểm A điểm C) Vẽ đường trịn tâm O thay đổi ln qua điểm B điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M N tiếp điểm) Đường thẳng BC cắt MN điểm K Đường thẳng AO cắt MN điểm H cắt đường tròn điểm P điểm Q (P nằm A Q)

a) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi

b) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME

Bài 53: ( HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)

53.1.Hình chữ nhật MNPQ có I, K trung điểm cạnh MN, PQ Trên tia đối tia PN lấy điểm S QN cắt SK R cắt IK O Đường thẳng qua O song song với MN cắt RI H

a) Chứng minh HI = HK

b) Chứng minh IK phân giác góc RIS

53.2.Cho nửa đường trịn (O, R) đường kính AB EF dây cung di động nửa đường tròn cho E thuộc cung AF EF = R AF cắt BE H AE cắt BF C CH cắt AB I

a) Tính góc CIF

(12)

Bài 54: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm A C Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB Gọi I điểm nằm O B (I O, I B), EF dây cung (O) qua I (E A) Vẽ đường thẳng d AC C, đường thẳng AE cắt d P, đường thẳng AF cắt d Q Đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ cắt AC M khác A

a) Chứng minh rằng: Tứ giác PEFQ tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng: AIF đồng dạng với AQM c) Chứng minh rằng: AI AM AB AC

Bài 55: ( HSG TỈNH HUẾ NĂM HỌC 2006 – 2007)

Cho đờng trịn (O; R) đờng thẳng d khơng qua O cắt đờng tròn (O) hai điểm A B Từ điểm M tùy ý đờng thẳng d ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN MP với đ-ờng tròn (O) (M, N hai tiếp điểm)

a) Chøng minh r»ng MN2 MP2 MA MB

b) Dựng vị trí điểm M đờng thẳng d cho tứ giác MNOP hình vng

c) Chứng minh tâm đờng tròn nội tiếp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP lần lợt chạy hai đờng cố định M di động đờng thẳng d

Bài 56: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) có đường cao BD CE cắt H

( D thuộc cạnh AC, E thuộc cạnh AB) Gọi I trung điểm cạnh BC Các đường tròn ngoại tiếp tam giác BEI tam giác CDI cắt K ( K khác I ) Gọi M giao điểm DE BC Chứng minh rằng:

a) Các điểm A, E, H, K, D thuộc đường tròn b) A, K, I thẳng hàng

c)  MEC =  MKC ( Kí hiệu  ABC số đo góc ABC) Bài 57: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB5a AD2a (a > 0) M điểm cạnh AB (M khác A khác B) Gọi H, K hình chiếu vng góc M AC DC

a) Chứng minh điểm B, C, K, H, M thuộc đường tròn Xác định tâm O đường trịn

b) Tính

AH MK MH



theo a

c) Khi AK tiếp tuyến đường tròn (O) Tính AM theo a Bài 58: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho đường tròn (O; R) hai đường kính phân biệt AB CD cho tiếp tuyến A đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC BD hai điểm E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF

a) Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA

b) Hai đường kính AB CD có vị trí tương đối tam giác BPQ có diện tích nhỏ

(13)

Cho đường trịn tâm O đường kính AB cố định M, N hai điểm thay đổi đường trịn (O), nằm hai phía AB cho MAN  600 Đường thẳng BN cắt AM P, đường thẳng BM cắt AN Q Gọi I trung điểm đoạn thẳng PQ

a) Chứng minh tứ giác IMON nội tiếp

b) Chứng minh 3

PQ

AB  .

c) Trong trường hợp MAB NAB  300, gọi điểm C điểm di động cung nhỏ AN (C không trùng A N) Đường thẳng qua M vng góc với AC cắt NC D Xác định vị trí điểm C để diện tích tam giác MCD lớn

Bài 60: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2017 – 2018)

Cho tam giác nhọn ABC có AC AB nội tiếp đường trịn (O) Kẻ phân giác AI tam giác

ABC (I BC ) cắt (O) E Tại E C kẻ hai tiếp tuyến với (O) cắt F, AE cắt CF N, AB cắt

CE M.

a) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh

1 1 1

CN CI CF .

c) Gọi AD trung tuyến tam giác ABC, kẻ DK//AI (KAC) Chứng minh

2AK AC AB .

Bài 61: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2011 – 2012)

61.1.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O), đường cao AD, BE, CF (DỴ BC, AC, FỴ AB) cắt H cắt đường tròn (O) theo thứ tự M, N, K Chứng minh rằng:

a) BH.BE + CH.CF = BC2. b) AH.AD + BH.BE + CH.CF =

2 2

2

AB BC CA

c)

AM BN CK AD  BE CF  .

61.2.Cho đoạn thẳng CD = cm, I điểm nằm C D ( IC > ID) Trên tia Ix vng góc với CD lấy hai điểm M N cho IC = IM, ID = IN, CN cắt MD K (K MD ), DN cắt MC L

(L MC ) Tìm vị trí điểm I CD cho CN.NK có giá trị lớn nhất. Bài 62: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018 – 2019)

62.1.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB AC ) nội tiếp đường tròn O;R Vẽ đường trịn tâm K đường kính BC cắt cạnh AB, AC điểm F ,E Gọi H là giao điểm BE CF

a) Chứng minh OA vng góc EF

b)Từ A dựng tiếp tuyến AM , AN với đường tròn  K (M,N là tiếp điểm N thuộc cung nhỏ EC ) Chứng minh rằng: M ,H ,N thẳng hàng.

62.2.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O; R, điểm M di động cung nhỏ BC Xác định vị trí M để S MA MB MC   đạt giá trị lớn tính S

62.3.Cho đường trịn  O đường kính AB Từ điểm C thuộc đường tròn  O kẻ CH vng gócAB (C khác A B; H thuộcAB) Đường trịn tâm C bán kính CH cắt đường trịn  O D E Chứng minh DEđi qua trung điểm CH

(14)

Cho tam giác nhọn ABC có ABAC, nội tiếp đường trịn  O ngoại tiếp đường tròn  I Điểm D

thuộc cạnh AC cho ABD ACB Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC điểm thứ hai E cắt đường tròn  O điểm thứ hai Q Đường thẳng qua E song song với AB cắt BD P.

a) Chứng minh tam giác QBI cân; b) Chứng minh BP BI BE BQ  ;

c) Gọi J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K trung điểm JE Chứng minh PK/ /JB Bài 64: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2009 – 2010)

64.1.Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R r bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD ABC

a) Chứng minh : 2

1

R r a b) Chứng minh :

3 2

( )

ABCD

R r S

R r



 ; ( Kí hiệu SABCD diện tích tứ giác ABCD ) 64.2.Cho tam giác ABC cân A có BAC 1080.Chứng minh :

BC

AC số vô tỉ.

Bài 65: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2010 – 2011)

65.1.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm tam giác Gọi M là điểm cung BC không chứa điểm A (M không trùng với B C) Gọi N P điểm đối xứng M qua đường thẳng AB AC

a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng

b) Khi BOC 1200, xác định vị trí điểm M để

1 1

MB  MC đạt giá trị nhỏ

65.2.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B C) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC E, đường thẳng vuông góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định

66.1.Cho đờng trịn ( O,R) đờng kính AB Qua điểm C thuộc đờng tròn kẻ tiếp tuyến d đờng tròn Gọi I, K lần lợt chân đờng vng góc kẻ từ A B đến đờng thẳng d Gọi H chân đờng vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh:

a) CI = CK b) CH2 = AI BK

c) AB tiếp tuyến đờng trịn đờng kính IK

66.2.Cho (O,R) hai m A,B c ể ố đ nh n m ị ằ ngồi đư ng trịn cho OA = R Tìm m M ể đư ng tròn cho t ng MA+ổ MB đ t GTNN?ạ

Từ điểm M nằm ngồi đường trịn tâm (O; R) Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm), cát tuyến MPQ không qua O (P nằm M, Q) Gọi H giao điểm OM AB

(15)

b) Tìm điểm E thuộc cung lớn AB cho tổng

1 1

EA EB có giá trị nhỏ nhất.

68.1.Cho tam giác ABC có BAC 135 ,  BC = 5cm đường cao AH = 1cm Tính độ dài cạnh AB AC

68.2.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, D điểm cung BC khơng chứa A Dựng hình bình hành ADCE Gọi H, K trực tâm tam giác ABC, ACE ; P, Q hình chiếu vng góc K đường thẳng BC, AB I giao điểm EK với AC

a) Chứng minh ba điểm P, I Q thẳng hàng

b) Chứng minh đường thẳng PQ qua trung điểm đoạn HK

Bài 69: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018 - 2019)

69.1.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C tam giác Đường thẳng EF cắt đường trịn (O) điểm thứ M (M khác phía với O so với đường thẳng AB), đường thẳng BM cắt đường thẳng DF N Chứng minh rằng:

a) EF  OA. b) AM = AN

69.2.Cho tam giác nhọn ABC, D điểm tam giác cho ADB = ACB 90   AC.BD =

AD.BC Chứng minh

AB.CD

AC.BD  .

Bài 70: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 - 2012)

70.1.Cho (O; R) Đường thẳng d không qua O cắt (O) hai điểm A B từ điểm tùy ý d (O), vẽ hai tiếp tuyến MN MP với (O), (M, N hai tiếp điểm)

a) Dựng vị trí điểm M d cho tứ giác MNOP hình vng

b) Chứng minh tâm đường tròn qua ba điểm M, N, P chạy đường thẳng cố định M di động d

70.2.Cho ABC thay đổi, có AB = CA = 2CB Tìm GTLN diện tích ABC Bài 71: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 - 2015)

Cho đường tròn O, dây cung BC cố định.Điểm A cung nhỏ BC, A không trùng với B, C điểm cung nhỏ BC.Gọi H hình chiếu A đoạn thẳng BC;E,F thứ tự hình chiếu B C đường kính AA′.Chứng minh rằng:

a) Hai tam giác HEF ABC đồng dạng với b) Hai đường thẳng HE AC vng góc với

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm cố định A chuyển động cung nhỏ BC

Bài 72: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 - 2009)

Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC = 2R Từ điểm P tia tiếp tuyến đờng tròn B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A tiếp điểm) với đờng tròn Gọi H hình chiếu A lên BC, E giao điểm PC AH

a) Chøng minh E trung điểm AH b) Tính AH theo R khoảng cách d = PO Bi 73: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009 - 2010)

(16)

tròn qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) B Hai đờng tròn (C; R1) (D; R2) cắt điểm thứ hai M

a) Trong trờng hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD điểm C, D, O, M thuộc đờng tròn

b) Chứng minh P di động dây AB điểm M di động đờng trịn cố định đờng thẳng MP qua điểm cố định N

c) Tìm vị trí P để tích PM.PN lớn ? diện tích tam giác AMB lớn nhất? Bài 74: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 - 2013)

74.1.Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC đường trịn (O) thay đổi ln vng góc cắt BD H Gọi P,Q,R,S chân đường vng góc hạ từ H xuống

AB,AD,CD,CB

a) CMR:HA2 HB2HC2HD2 không đổi. b) CMR :PQRS tứ giác nội tiếp

74.2 Cho hình vng ABCD MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q thuộc cạnh AB,BC,CD,DA hình vng CMR:SABCD ≤

MN NP PQ QM

AC   

Cho đường tròn (O; R) dây cung BC khơng qua tâm Gọi A điểm cung nhỏ BC Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A có số đo  khơng đổi cho E, F khác phía với điểm A so với BC; AF AE cắt đường thẳng BC M N Lấy điểm D sao cho tứ giác MNED hình bình hành.

a) Chứng minh MNEF tứ giác nội tiếp.

b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A I chuyển động đường thẳng cố định.

c) Khi  600 BC  , tính theo R độ dài nhỏ đoạn thẳng OI.R Bài 76: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 - 2015)

Cho BC dây cung cố định đường tròn (O; R) ,( BC < 2R), A điểm di động cung lớn BC,( A không trùng B,C) Gọi AD, BE, CF đường cao tam giác ABC;EF cắt BC P ,qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC Q cắt AB R

a) Chứng minh tứ giác BQCR tứ giác nội tiếp

b) Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM hai tam giác đồng dạng c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua điểm cố định

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = R Gọi M điểm thuộc đường tròn (O) (M khác A, khác B) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) A M cắt E Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB) Vẽ MQ vng góc với AE (Q thuộc AE)

a) Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp APMQ hình chữ nhật b) Chứng minh PQ, OE, MA đồng qui

c) Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh K trung điểm MP

(17)

Bài 78: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 - 2018) 78.1.Hai vị trí A B cách 615 m nằm một phía bờ sơng Khoảng cách từ A B, đến bờ sông 118 m 487 m (tham khảo hình vẽ bên) Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn nhất mà người mét (làm tròn đến đơn vị mét).

78.2.Cho đường tròn  O điểm A nằm  O Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC, với  O ( ,B C tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua A cắt  O tại D E AD AE (  ). Tiếp tuyến  O tại D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N

a) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh bốn điểm M E N I, , , thuộc đường tròn  T

b) Chứng minh hai đường tròn  O  T tiếp xúc c) Chứng minh đường thẳng IT qua điểm cố định Bài 79: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 - 2014)

Cho tam giác ABC vuông A (AB<AC) Gọi H, D lượt chân đường cao chân đường phân giác kẻ từ đỉnh A tam giác (H, DBC) Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AD cắt đường trịn đường kính AB đường trịn đường kính AC M, N; đường thẳng BN cắt AD P cắt đường tròn đường kính AC điểm thứ hai Q (khác N) Chứng minh rằng:

a) NAC vuông cân MA NC MB NA.  . b) P trung điểm AD.

c) PQD  PDH

Bài 80: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 - 2016)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ngoại tiếp đường tròn (I), AI cắt (O) M(khác A), J điểm đối xứng với Iqua M Gọi N điểm cung ABM, NIvà NJ cắt (O) tại

E F

a) Chứng minh MI MB Từ suy BIJ CIJ tam giác vuông

b) Chứng minh I J E F, , , nằm đường tròn Bài 81: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 - 2019)

81.1.Cho đường trịn  O dây cung BC a khơng đổi (tâm O không thuộc BC) Điểm A di động trên

cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H D BC,E CA,F  AB

a) Trong trường hợp BHC BOC , tính AH theo a.

(18)

81.2 Cho tam giác ABC có AB3;CA 4;BC 5 Xét hình chữ nhật MNPQ cho M N thuộc cạnh BC, P thuộc cạnh AC, Q thuộc cạnh AB Hãy xác định kích thước hình chữ nhật MNPQ để có diện tích lớn

Bài 82: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 - 2014)

82.1 a) Cho hình bình hành ABCD, điểm M N theo thứ tự thuộc cạnh AB BC cho AN = CM Gọi K giao điểm AN CM Chứng minh KD tia phân giác góc AKC

b) Cho ∆ABC vuông A (AB < AC) Biết BC = 4 3 bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC Tính số đo góc B góc C ∆ABC

82.2.Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy điểm D tùy ý (D khác B C) Đường tròn tâm O1 qua D tiếp xúc với AB B; đường tròn tâm O2 qua D tiếp xúc với AC C; hai đường tròn cắt điểm thứ hai E

a) Chứng minh D di động cạnh BC đường thẳng DE ln qua điểm cố định. b) Giả sử ∆ABC cân A, chứng minh tích AD.AE khơng phụ thuộc vào vị trí điểm D cạnh BC

Bài 83: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 - 2018)

83.1.Cho hình vng ABCD cạnh cm E điểm nằm cạnh BC (E khác B C) Một đường thẳng qua B, vng góc với đường thẳng DE H cắt đường thẳng CD F. Gọi K giao điểm AH BD

a) Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn ba điểm K E F, , thẳng hàng b) Khi E trung điểm cạnhBC, tính diện tích tứ giácBKEH

83.2.Cho hai đường tròn   C1 , C2 cắt hai điểmA B, Tiếp tuyến A (C2) cắt  C1 tại

(

M M khác A) Tiếp tuyến A  C1 cắt C2tại điểm N(NkhácA) Đường thẳng MB cắt

C2 P P( khác B) Đường thẳng NB cắt (C1) Q Q( khác B).

a) Chứng minh tam giác AMP ANQ , đồng dạng b) Chứng minh MB NA. NB MA. 2.

Bài 84: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2013- 2014)

Cho đường tròn (O; R) A điểm nằm ngồi đường trịn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C hai tiếp điểm) Trên tia đối tia BC lấy điểm D (D  B) Từ D kẻ tiếp tuyến DE (E  cung nhỏ BC) Từ E hạ EF vng góc với DO ( F DO) Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BFOC tứ giác nội tiếp b) Ba điểm A, E, F thẳng hàng

c) Từ D kẻ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn tâm O (Điểm K tiếp điểm)

Tính độ dài đoạn thẳng AK theo R α biết độ dài đoạn OD = R số đo EAOα Bài 85: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008- 2009)

85.1 Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B C cắt O.

(19)

85.2 Cho hai đường tròn (O; R) (O’; r) tiếp xúc với A Trên đường tròn (O; R) vẽ dây AB = R Trên cung lớn AB lấy điểm M, đường thẳng MA cắt đường tròn (O’; r) N (N khác A) Đường thẳng qua N song song với AB cắt đường thẳng MB E

a) Chứng minh độ dài đoạn thẳng NE không phụ thuộc vị trí điểm M cung lớn AB; b) Tìm vị trí điểm M cung lớn AB để tam giác MNE có diện tích lớn tính giá trị lớn

Bài 86: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2009- 2010)

86.1.Cho tam giác cân ABC (AB = AC; Â < 900), đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC B C. Trên cung BC nằm tam giác ABC lấy điểm M M B;C  Gọi I; H; K hình chiếu M BC; CA; AB P giao điểm MB với IK, Q giao điểm MC với IH

a) Chứng minh tia đối tia MI phân giác góc HMK b) Chứng minh PQ // BC

c) Gọi (O1) (O2 ) đường tròn ngoại tiếp  MPK  MQH Chứng minh PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn (O1) (O2 )

d) Gọi D trung điểm BC; N giao điểm thứ hai (O1),(O2 ) Chứng minh M,N,D thẳng hàng

86.2.Cho tam giác ABC nhọn O điểm nằm tam giác Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB M, N, P Chứng minh :

AM BN CP

+ +

OM ON OP 

87.1.Cho hình thang ABCD (AB//CD) Một đường thẳng d song song với đáy, cắt cạnh bên AD P và cắt cạnh bên BC Q Cho biết đường thẳng d chia hình thang ABCD thành hai phần có diện tích nhau.Tính độ dài cạnh PQ; với AB = 9cm CD = 15cm

87.2 Cho đường trịn (O; R), đường kính BC điểm A di động đường trịn (với A khác B và C) Đường phân giác góc BAC cắt đường trịn (O) K (với K khác A) Biết độ dài đường cao tam giác ABC AH = h

a) Tính diện tích tam giác AHK theo R h

b) Tìm giá trị h để diện tích tam giác AHK đạt giá trị lớn

c) Tính số đo góc ABC tam giác ABC

AH

HK  . Bài 88: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013- 2014)

88.1 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB cố định EF dây cung di động nửa đường trịn đó, cho E thuộc cung AF

AB

EF= R

2  Gọi H giao điểm AF BE; C giao điểm AE BF; I giao điểm CH AB

a) Tính số đo ·CIF

b) Chứng minh biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị khơng đổi EF di động nửa đường tròn

c) Xác định vị trí EF nửa đường trịn để tứ giác ABFE có diện tích lớn Tính diện tích lớn theo R

(20)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, I trung điểm CH, J trung điểm DH

a) Chứng minh CIJ· =CBH·

b) Chứng minh DCJH đồng dạng với DHIB

c) Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD = HC2

d) Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn Bài 90: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2012- 2013)

90.1.Cho ∆ ABC vuông A Trên BC lấy điểm M, AB lấy điểm N, AC lấy điểm P cho BM=BN, CM = CP Tính số đo góc PMN

90.2.Gọi A hai giao điểm hai đường tròn (O) (O’) Hãy xác định vị trí đường thẳng d qua A, cho tổng khoảng cách từ O O’ đến d đạt giá trị lớn

90.3.CMR tờ giấy kẽ ô vuông nhau, dựng tam giác có đỉnh đỉnh ô vuông

Bài 91: ( HSG TP HCM NĂM HỌC 2016- 2017)

91.1 Cho tam giác nhọn ABC có H trực tâm.Gọi M, N trung điểm BC AH

Đường phân giác góc A cắt MN K Chứng minh AK vng góc với HK 91.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi AH, AD đường cao, đường

phân giác tam giác ABC (H, DBC) Tia AD cắt (O) E, tia EH cắt (O) F

tia FD cắt (O) K Chứng minh AK đường kính (O)

Bài 92: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012- 2013)

92.1.Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Trên đường thẳng d qua trung điểm AB song song với BC, lấy điểm P Đường trịn đường kính OP cắt đường trịn (O) M, N Chứng minh: PM = PN = PA

92.2 Cho tam giác ABC vng C, có BAC  300 Trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC Chứng minh rằng: 3BD2 5AD25CD2  DC 2DA.

Bài 93: ( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2011- 2012)

Cho ABC có góc nhọn Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếpABC; R, r theo thứ tự độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp đường trịn nội tiếp ABC; M, N, P hình chiếu vng góc O AB, BC AC

a) Chứng minh: BN OM + BM ON = BO MN

b) Đặt ON = d1 ; OM = d2 ; OP = d3 Tính R + r theo d1 , d2 , d3 ? Bài 94: ( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2012 - 2013)

Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh OECD

Bài 95: ( HSG HUYỆN TĨNH GIA NĂM HỌC 2013 - 2014)

95.1.Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn tâm O, đường kính BC = 2R Lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm B Gọi điểm H hình chiếu vng góc điểm A BC điểm I trung điểm HC

(21)

b) Đường thẳng MH cắt đường tròn (O) E F (điểm E nằm điểm M điểm F); đường thẳng AI cắt đường tròn (O) G (điểm G khác điểm A) Chứng minh tổng bình phương độ dài cạnh tứ giác AEGF không đổi

95.2 Cho tam giác vng có số đo ba cạnh số nguyên, số đo hai cạnh hai số nguyên tố hiệu chúng 50 Tính số đo nhỏ cạnh thứ ba đạt

Bài 96: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 - 2011)

96.1 Cho tam giác ABC, điểm D, E thuộc cạnh AC, AB,

sao cho BD, CE cắt P diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác BPC.Tính BPE 96.2 Cho đường tròn tâm O dây cung AB cố định (O AB ) P điểm di động đoạn thẳng AB (P A B , P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) A Đường tròn tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) B Hai đường tròn (C) (D) cắt N (N P).

a) Chứng minh ANP BNP bốn điểm O, D, C, N nằm đường tròn. b) Chứng minh đường trung trực đoạn ON qua điểm cố định P di động

Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC Gọi M trung điểm BC; H trực tâm; AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Kí hiệu (C1) (C2) đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF DKE, với K giao điểm EF BC Chứng minh rằng:

a) ME tiếp tuyến chung (C1) (C2) b) KH  AM

Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A C khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AO cắt nửa đường trịn cho D Trên cung BD lấy điểm M (M khác B M khác D) Tiếp tuyến nửa đường tròn cho M cắt đường thẳng CD E Gọi F giao điểm AM CD

a) Chứng minh tam giác EMF tam giác cân

b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng c) Chứng minh góc ABI có số đo khơng đổi M di chuyển cung BD

Cho điểm A , B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C)

Vẽ đường trịn tâm O thay đổi ln qua B C (O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC, AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q (P nằm A O), BC cắt MN K

a) Chứng minh điểm O, M, N, I nằm đường tròn b) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi

c) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) AB < AC Các tiếp tuyến B C (O) cắt D Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC AC M, N.

(22)

b) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) I, BI cắt DM K Chứng minh K là trung điểm DM.

c) Trên đoạn thẳng BD lấy điểm P cho IP // DN, AP cắt BC Q Gọi G là trung điểm DK Chứng minh ba điểm Q, I, G thẳng hàng.

Cho tam giác ABC có ( ),( ),( )O I Ia theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnhAcủa tam giác với tâm tương ứng O I I, , a GọiD tiếp điểm ( )I với BC , P điểm cung BAC ( )O ,PIa cắt ( )O điểmK GọiM là giao điểm PO BC, N điểm đối xứng với Pqua O

a) Chứng minhIBI Ca tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh NIa tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác I MPa . c) Chứng minhDAI KAI a.

Cho đường tròn O R; và điểm Acố định bên ngồi đường trịn,OA2R Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn  O (B,C tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt dây BC tạiI Gọi M là điểm di động cung nhỏ BC Tiếp tuyến Mcủa đường tròn  O cắtAB, AC ởE,F Dây BC cắt OE , OF điểmP,Q.

a) Chứng minhABI 600 tứ giác OBEQnội tiếp b) Chứng minh EF 2PQ

c) Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC cho tam giác OPQcó diện tích nhỏ Tính diện tích nhỏ theoR

Bài 103: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 - 2018)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O)và có AB<AC Lấy điểm M thuộc cung BC khơng chứa điểm A đưởng trịn (O) Vẽ MH vng góc với BC, MK vng góc với CA, MI vng góc với AB ( H thc BC, K thuộc AC, I thuộc AB) Chứng minh:

BC AC AB

MH MK MI Bài 104: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 - 2008)

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH Gọi M,N tương ứng trung điểm cạnh AB, AC

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác HBM, HCN AMN qua điểm K. b) Chứng minh MN tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBM.

c) Gọi I giao điểm HK MN, chứng minh I trung điểm MN. Bài 105: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008 - 2009)

105.1 Cho tam giác ABC đường trịn ( )O có đường kính EF nằm cạnh BC(E nằm B F, F nằm E C) tiếp xúc với hai cạnh AB AC, Q P, theo thứ tự Các đường thẳng

,

EP FQ cắt K Chứng minh AK BC

(23)

Bài 106: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2009 - 2010)

106.1 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) AD BE CF ba đường cao , , D BC E CA F ,  , AB

Đường thẳng EF cắt BC ,G đường thẳng AG cắt lại đường tròn ( )O tại điểm M

a) Chứng minh bốn điểm ,A M E F nằm đường tròn., ,

b) Gọi N trung điểm cạnh BC H trực tâm tam giác ABC Chứng minh GH AN 106.2 Mỗi ô vuông đơn vị bảng kích thước 10 10 (10 dòng, 10 cột) ghi số nguyên dương không vượt 10 cho hai số ghi hai ô chung cạnh hai ô chung đỉnh bảng hai số nguyên tố Chứng minh có số ghi 17 lần

107.1 Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Đường thẳng vng góc với BC C cắt đường thẳng BH D, đường thẳng vng góc với BC B cắt đường thẳng CH E. Gọi M N, theo thứ tự trung điểm BE CD, .

a) Chứng minh H M N, , thẳng hàng

b) Đường thẳng MN cắt trung tuyến AL tam giác ABC

b +c= x c +a = y a +b= z

¿

{¿{¿ ¿¿ ¿

Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác a=y+z−x

2,b=

x+z−y

2,c=

x+y−z

2 tiếp xúc với

a 1−a+ b 1−b+ c 1−c= a b+c+ b c+a+ c a+b= y+z−x 2x+ x+z−y 2y+ x+y−z 2z

107.2 Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh tồn hai điểm =1

2(

y z+ x y)+

1 2(

z x+ x z)+

1 2(

z y+ y z)−

3 2≥1+1+1−

3 2=

2 tô màu mà độ dài ⇔x=y=z

108.1 Cho ba đường tròn ∠NBE=∠NHE=900 ∠NHB=∠NEB=450 (kí hiệu ∠AHN=∠APN=450 đường trịn có tâm điểm X) Giả sử ∠AHB=900 tiếp xúc với điểm I AH ⊥ BH tiếp xúc với

∠AIB=900 ∠AHB Tiếp tuyến đường tròn ∠AHB điểm I cắt đường tròn  O

điểm , 'A A Đường thẳng AM cắt lại đường tròn 1  O1 điểm N , đường thẳng 1 AM cắt lại đường 2 tròn O2 điểm N 2

a) Chứng minh tứ giác M N N M nội tiếp đường thẳng 1 2 OA vng góc với đường thẳng

N N

b) Kẻ đường kính PQ đường trịn  O cho PQ vng góc với AI (điểm P nằm cung 

1

AM không chứa điểm M ) Chứng minh 2 PM1, QM khơng song song đường thẳng2

,

(24)

108.2.Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đơi khác màu

Bài 109: ( HSG TP VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012 - 2013)

Cho đường tròn O R; , R 0 dây cung AB không qua O Hai đường tròn   O1 , O2 nằm hai phía đường thẳng AB cho hai đường tròn tiếp xúc với đường thẳng AB C, D tiếp xúc với đường tròn O R;  E, F Đường thẳng CE cắt đường tròn O R;  điểm thứ hai M đường thẳng DF cắt đường tròn O R;  điểm thứ hai N.

a) Chứng minh đường thẳngO C1 song song với đường thẳng OM. b) Chứng minh MBN 900.

c) Tính độ dài đoạn thẳng MB, biết R4,AB4 Bài 109: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003 - 2004)

109.1.Cho hai đường thẳng xx’ yy’ vng góc với A Đường trịn bán kính R khơng đổi có tâm là điểm O di động xx’ Một đường trịn thứ hai có tâm điểm C di động yy’, bán kính CA, đường trịn tiếp xúc ngồi với đường trịn tâm O T

a) Chứng minh tiếp tuyến chung hai đường tròn kẻ từ T qua điểm cố định

b) Đặt OA = d Hãy tính giá trị d theo R để hai đường tròn Trong trường hợp hai đường trịn tính diện tích hình giới hạn hai đường trịn với đường thẳng xx’

109.2 Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác ABC cho trước Đỉnh M di động cạnh AB, đỉnh N cạnh AC, đỉnh P Q theo thứ tự cạnh BC Tam giác ABC có đường cao AH = h, cạnh đáy BC = a.

a) Tính giá trị lớn diện tích hình chữ nhật MNPQ theo h a. b) Xác định vị trí M để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Bài 110: ( HSG TP VINH NĂM HỌC 2016 - 2017)

Cho đường tròn (O;R) đường thẳng d khơng có điểm chung với đường trịn Trên d lấy điểm M bất kỳ, qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với đườn tròn (A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến (O) C cắt AB E

a) Chứng minh tam giác BCM đồng dạng với tam giác BEO b) Chứng minh CM vng góc với OE