Là học sinh khi tiếp cận với môn toán thì tất yếu phải hình thành một kỹ năng giải toán đối với một kiến thức nhất định. Có được kỹ năng giải toán nghĩa là đã khẳng định được mình vận dụ[r]
(1)Phần thứ ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀILà học sinh tiếp cận với mơn tốn tất yếu phải hình thành kỹ giải toán kiến thức định Có kỹ giải tốn nghĩa khẳng định vận dụng lý thuyết vào tập cách có tư duy, sáng tạo Đối với chương trình tốn viết SGK lượng kiến thức khơng nhiều tập áp dụng kiến thức phong phú đa dạng có dạng tốn chia hết Thực tế cho thấy,dạng toán chia hết bắt gặp xun suốt chương trình tốn THCS Chính giáo viên cần rèn cho em kỹ giải dạng tốn kiến thức cịn tảng dạng tốn chia hết trong chương trình tốn Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh mình cịn yếu dạng tốn chí khơng biết giải biết giải lập luận chưa chặt chẽ Nếu lớp em không làm quen với lập luận chặt chẽ lên lớp em cảm thấy kiến thức áp đặt,từ khơng tạo tị mị, hứng thú mơn học Vì cần có giải pháp lâu dài rèn em biết giải toán từ phép biến đổi Có tốn học thực lơi em vào dòng say mê chiếm lĩnh tri thức, tốn lại mơn chủ đạo Chính lẽ tơi nghiên cứu đề tài “ Một số biện pháp nhằm rèn kỹ giải toán chia hết cho học sinh lớp 6” II/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
“ Một số biện pháp nhằm rèn kỹ giải toán chia hết cho học sinh lớp 6” III/ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
(2)Thời gian: chia làm giai đoạn
Giai đoạn 1: Nghiên cứu làm kết qua khảo sát chất lượng đầu năm
Giai đoạn 2: Đưa biện pháp rèn kỹ giải toán chia hết qua kết khảo sát học kì
Giai đoạn 3: Áp dụng đề tài sau học chuẩn bị thi học kì
IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Đọc tài liệu SGK, tài liệu mạng
- Đàm thoại trực tiếp
(3)Phần thứ hai NỘI DUNG
I/ CƠ SỞ LÝ LUẬNChúng ta dạy học theo đổi dạy học theo chuẩn kiến thức kỹ , gọi chuẩn – cần phải nắm vững. Rèn kỹ giải toán chia hết chuẩn mà học sinh cần phải nắm Hệ thống tập thể dạng toán chia hết có vai trị quan trọng giúp cho học sinh phát triển khả tư duy, khả vân dụng kiến thức cách linh hoạt vào giải tốn, trình bày lời giải xác logic Đó kỹ cần thiết học sinh cịn ngơi ghế nhà trường Có phù hợp với cải tiến dạy học phát huy hết tính tích cực, tư sáng tạo học sinh trường học.
II/ CƠ SỞ THỰC TIỂN
Trong q trình giảng dạy tơi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ giải tốn “chia hết” em chưa biết tốn cần áp dụng phương pháp để giải cho kết nhất, nhanh đơn giản Vì để nâng cao kỹ giải tốn “chia hết” em phải nắm dạng tốn, phương pháp gỉải, kiến thức cụ thể hố bài, chương Có thể nói dạng tốn “chia hết” ln dạng tốn khó học sinh khơng học sinh cảm thấy sợ học dạng toán
(4)hệ thống tập áp dụng này, điều giúp em hứng thú học tập nhiều
Hiện tại, học sinh lớp 6A1 dạy năm cịn khó khăn
dạng toán chia hết, em cảm thấy lạ ngại làm dạng tốn nghĩ khó Vì thế, thiết yếu phải rèn kỹ giải toán chia hết lớp 6 để làm hành trang kiến thức vững cho em gặp lại dạng toán này lớp
III/ NỘI DUNG VẤN ĐỀ 1.Vấn đề đặt ra:
Hệ thống hóa lý thuyết chia hết tập vận dụng tương ứng, từ dạng đến tương đối khó Trong q trình giải nhiều dạng bài tập hình thành khắc sâu cho em kỹ giải dạng toán chia hết.Giáo viên nêu dấu hiệu chia hết phương pháp chứng minh chia hết SGK ,ngoài bổ sung thêm số phương pháp cần thiết để vận dụng vào nhiều dạng tập khác Giải vấn đề
2.1 LÝ THUYẾT:
a) Tính chất chia hết tổng, hiệu, mơt tích -Nếu a + b , a – b ,
- Nếu
- Nếu đặc biệt
b) SKG toán giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, giáo viên cần bổ sung thêm dấu hiệu chia hết cho 4, 6, 8, 25 125.
(5)Chia hết cho Dấu hiệu Số có chữ số tận chữ số chẵn Số có tổng chữ số chia hết cho
4(hoặc 25) Số chia hết cho 4(hoặc 25) hai chữ số tận lập thành số chia hết cho 4(hoặc 25)
5 Số có chữ số tận Là số đồng thời chia hết cho
8(hoặc 125) Số chia hết cho 8(hoặc 125) ba chữ số tận lập thành số chia hết cho 8(hoặc 125)
9 Số có tổng chữ số chia hết cho 10 Số có chữ số tận
11 Số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số đứng vị trí lẻ tổng chữ số đứng vị trí chẵn(kể từ trái sang phải) chia hết cho 11
c) Nguyên tắc Đirichlê:
Ngay từ lớp giáo viên giới thiệu sơ lược nguyên tắc Đirichlê có nội dung phát biểu dạng toán:
“Nếu nhốt n thỏ vào m lồng (m> n) có lồng nhốt khơng hai thỏ”
d) Phương pháp chứng minh quy nạp:
Muốn khẳng định An với n= 1,2,3,… ta chứng minh sau:
- khẳng định A1
- Giả sử Ak với k>=1 ta suy khẳng định Ak+1
- Kết luận An với n=1,2,3…
Thực ra, dạy tập áp dụng phương pháp giáo viên không cần phải nói cầu kỳ, trừu tượng khó hiểu, mà cần xét trường hợp cho học sinh dễ hiểu không thiết phải dùng từ ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp
(6)Muốn chứng minh khẳng định P có bước: - Giả sử P sai
- Nhờ tính chất biết từ giả sử sai suy điều vô lí - Vậy điều giả sử sai , chứng tỏ P
f) Để chứng minh a chia hết cho b ta biểu diễn b = m.n
Nếu (m,n) = tìm cách chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n a chia hết cho m.n hay a chia hết cho b
Nếu (m,n) khác ta biểu diễn a = a1.a2 chứng minh a1 chia hết
cho m, a2 chia hết cho n ngược lại a1.a2 chia hết cho m.n hay a
chia hết cho b
2.2 CÁC DẠNG TỐN:
Trong phần tơi đưa dạng toán từ đến mở rộng hơn, Có rèn hình thàng kỹ giải tốn chia hết cho em cách có tảng
a) Dạng 1: Dạng toán điền vào * để số chia hết cho số. Bài toán 1: Điền vào * để số 35*
a) chia hết cho b) chia hết cho
c) chia hết cho
Đây dạng toán gặp dạng tốn đương nhiên giáo viên phải cho học sinh tái lại dấu hiệu chia hết cho 2, cho số chia hết cho
a)
b)
c)
(7)a) b)
Tương tự tốn học sinh vận dụng trực tiếp dấu hiệu chia hết cho cho để làm
a) b)
b) Dạng 2: Tìm chữ số chưa biết số:
Bài tốn 3: Tìm chữ số a, b cho chia hết cho đồng thời 2,3,5,9 Lập luận: Đầu tiên phải đề cập đến chia hết cho liên quan đến chữ số tận
Sau đó, có chữ số tận cùng, ta xét tổng chữ số liên quan đến chia hết cho Ở ta không cần quan tâm đến chia hết cho 3, số chia hết cho đương nhiên chia hết cho
(8)
Lập luận
Mà điều kiện a – b = nên ta loại a + b = Từ a –b = a + b = 12 ta tìm a = 8; b =
Bài tốn 5: cho số a) Tìm a để
b) Trong số vừa tìm a có giá trị làm cho số khơng ?
Hướng dẫn
a) Tính tổng chữ số ta
b) với a = số 76023 có
(7 + + 3) – (6 + ) = 11 Tương tự với a = ta có
(7 + + 3) – ( + 2) = 11 11 Vậy a=
Bài tốn 6: Tìm a, b cho chia hết 4 Hướng dẫn
Lập luận chia hết cho trước ta a = a =
(9)
Lập luận tương tự với a = ta
Bài toán 7: Thay chữ số x, y chữ số thích hợp a) Số chia hết cho 5, cho 25, cho 125
b) Số chia hết cho 2, cho 4, cho 8 Hướng dẫn
b) chữ số tận số chẵn
Hoặc
Bài tốn 8:Tìm chữ số a b cho 19 ab chia hết cho 8
Để tìm a b ta phải thấy hai dấu hiệu số chia hết cho
Vì 19 ab chia hết b=0 b=5 19 abchia hết suy b=0
Mặt khác , 19a0 chia hết 19a0chia hết cho a0chia hết cho suy a {0;2;4;6;8} Ta có 19a0 chia hết cho 9a0chia hết a=2 a=6 Vậy a=2 b=0 a=6 b=0 nên số cần tìm 1920 1960
Bái toán 9: Chữ số a để aaaaa 96 chia hết cho 8 aaaaa 96⋮8 ↔ a96⋮8 ↔100a + 96 ⋮8 suy 100a⋮8
vậy a số chẵn→a 2, 4, 6, 8} (1)
(10)mà (5, 3) =
Suy a ⋮ a 3, ,9} (2) Từ (1) (2 ) suy a =
KL: Vậy số phải tìm 6666696 Bài tốn 10: Tìm chữ số a để 1 aaa1⋮11
HD: tổng chữ số hàng lẻ + a Tổng chữ số hàng chữ 2a * Nếu 2a a + a 2a – (a + 2) = a -2 – =
mà (a - 2) ⋮11 nên a - = a =
* Nếu 2a a + a (a + 2) - 2a = - a mà không chia hết cho 11.Vậy a=2
Bài tốn 11:Tìm x để chia hết cho không chia hết cho 9 Hướng dẫn
Vì nên
Từ ta x = 24; x = 30
c) Dạng 3: Chứng minh chia hết biểu thức số Bài tốn 12: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho không?
a) 1251+5316 b) 5436-1234 c) 1.2.3.4.5.6 + 27
Hướng dẫn: dựa vào dấu hiệu chia hết cho để lập luận Bài toán 13: Cho M = 7.9.11.13 + 2.3.4.7
N = 16 354 + 675 41
(11)Ta có: 7.9.11.13 3( ) 2.3.4.7 (vì 3) 7.9.11.13 + 2.3.4.7
Vậy M chia hết cho
Ta có giá trị tổng 16 354 + 67 541 có chữ số tận nên chia hết cho
Vậy N chia hết cho
Bài toán 14: Cho A= 2.4.6.8.10 + 40 Chứng tỏ rằng: a) A chia hết cho b) A chia hết cho
Hướng dẫn
a) Dựa vào tính chất chia hết tổng ta lập luận 2.4.6.8.10 ( tích có chứa thừa số 8)
Vậy A chia hết cho
b) Tương tự ( 10 chia hết cho 5)
Bài toán 15: Chứng minh
Hướng dẫn: Theo đề ta suy chữ số tận (CSTC) lũy thừa
995 – 984 + 973 – 962 =…9 - …6 +…3 – …6 =…
Biểu thức cho có giá trị chứa CSTC nên chia hết cho
(12)d) Dạng 4: Chứng minh tổng, tích số liên tự nhiên liên tiếp chia hết cho số
Để làm dạng toán ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp Tuy nhiên, dạy lớp ta khơng cần phải nói khó hiểu mà dạy cho em xét trường hợp bẳng mệnh đề: “ Nếu…thì …” Mặt khác lớp em làm dạng tập thuận tiện để em làm dạng toán chia hết lớp Nếu không, em cảm thấy kiến thức chia hết lạ, xa vời lên lớp 7,8,9 gặp toán mà sử dụng kiến thức phải chứng minh lớp
Bài toán 16: Chứng tỏ tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2. Gv cần gợi mở rằng: ta chứng minh toán với cặp giá trị liên tiếp N, cần hai cặp giá trị đủ mà phải chứng minh dạng tổng quát
Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1
Nếu a tốn giải Nếu a a chia dư
Ta có a= 2k +
a + = 2k + + = 2k + 2
Vậy hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho 2.Cho nên tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho
Bài toán 17: Chứng minh tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a, a+1, a+2
Nếu a tốn giải
Nếu a = 3k+1(nghĩa a chia dư 1) lúc
(13) Nếu a= 3k+2 (nghĩa a chia dư 2) lúc
Ta có a+1= 3k+2+1 = 3k+3
Vậy ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Cho nên tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho
Bài toán 18: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho 4
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2
Tống chúng là: n + n+1 + n+2 = 3n +3
Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho
Tương tự tổng bốn số tự nhiên liên tiếp là: 4n + 4(vì 4)
Vậy tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Bài tốn 19: Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 Gọi hai số chẵn liên tiếp 2n, 2n+2 (n N)
Tích 2n.(2n+2) = 2.n.2.(n+1) = 4.n.(n+1)
Ta có n.(n+1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2( theo toán 16)
Vì 4.n.(n+1)
Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho
Bài toán 20: Chứng minh tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 Gọi ba số chẵn liên tiếp 2n, 2n +2, 2n +4 ((n N)
(14)Ta có n.(n+1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2( theo tốn 16)
Ta có n.(n+1).(n+2) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3(theo toán 17)
Mà (2,3) = nên n.(n+1).(n+2) chia hết cho Vì 8.n.(n+1).(n+2) 48
Vậy tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48
e) Dạng 5: Dạng tốn vận dụng ngun lí Đirichlê
Đối với dạng tốn vận dụng ngun lí Đirichlê giáo viên không sâu mà giới thiêu cho học sinh biết tập áp dụng dạng suy luận dễ hiểu Bài toán 21: Cho ba số lẻ chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho 8
Một số lẻ chia cho số dư bốn số sau: 1;3;5;7 ta chia số dư ( thỏ) thành nhóm (2 lồng)
Nhóm 1: dư dư Nhóm 2: dư dư
Có số lẻ (3 thỏ) mà có hai nhóm số dư nên tồn hai số thuộc nhóm
- Nếu số dư hiệu chúng chia hết cho - Nếu số dư khác tổng chúng chi hết cho Bài tập tương tự:
Cho ba số nguyên tố lớn 3.Chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho 12
Hướng dẫn: Một số nguyên tố lớn chia cho 12 số dư số 1; 5; 7; 11
Chia làm hai nhóm:
(15)Nhóm 2: dư dư Giải tiếp toán 18
f) Dạng 6: Tìm điều kiện để biểu thức chia hết cho số, chia hết cho biểu thức
Bài toán 22: Chứng minh Nếu a m, b m, a+b+c m c m. Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng
Giả sử c m
Ta có nên a + b + c m (tính chất sgk tốn tr 35) Điều trái với đề
Vậy điều giả sử sai.Suy
Đối với này, dạy giáo viên không thiết khắc sâu phần chứng minh Yêu cầu học sinh cần vận dụng kiến thức chứng minh vào tập cụ thể
Bài tốn 23: Tìm n N để: a) n+4 n
b) 3n + n c) 27- 5n n Giải:
a) n ( theo toán 22)
Vậy n
b) n
Vậy n
(16)Vậy n 5n < 27 hay n<6 Vậy n
3 Kết quả:
Kết so sánh số liệu với thời điểm bắt đầu nghiên cứu Giai đoạn TS
HS
Tổng số SH đạt từ TB trở lên
Tổng số học sinh trung
bình
Chi chú
TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ %
Giai đoạn 50 33 66 17 34
Giai đoạn 50 40 80 10 20
Giai đoạn 50 44 88 12
Kết cho thấy việc vận dụng phương pháp vào giảng dạy toán giúp học sinh có kết cao học tập
(17)Thông qua phương pháp học sinh xác định hướng giải toán nên kỹ giải tốn “chia hết” nói chung khả tự học nhà học sinh tăng lên rõ rệt Kết đáng tin cậy điểm kiểm tra tiết điểm thi HKI vừa qua đồng thời kỹ giải toán chia hết đạt 80% trung bình, cao so với trước thử nghiệm Hơn nữa, HKII chất lượng đạt 88% trung bình, tạo cho học sinh hứng thú say mê với mơn Tốn
Phần thứ ba KẾT LUẬN
I/ KẾT LUẬN1/ Đối với giáo viên:
-Để rèn kỹ giải toán chia hết cho học sinh đạt hiệu qua cao ta cần lưu ý số nội dung sau:
-Thường xuyên kiểm tra miệng phần tập nhà học nhằm giúp em nắm vững kiến thức học
- Lồng ghép nhiều dạng tập chia hết vào tiết luyện tập , tự chọn -Cần xây dựng hệ thống tập đặc trưng nêu tính chất nội dung mà ta cần rèn luyện Bên cạnh đưa tập tương tự tập mà em làm
-Việc rèn luyện kỹ tính tốn cho học sinh phải thực thường xun, lâu dài xuyên suốt trình giảng dạy năm học
(18)2/ Đối với học sinh:
Để làm tốt dạng toán chia hết học sinh cần phải nắm kiến thức như: tính chất chia hết tổng, hiệu, tích….Bên cạnh cịn hiểu vả nắm phương pháp chứng minh quy nạp toán học, phương pháp phản chứng, … số phương pháp khác Tuy nhiên trình làm học sinh cần vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức vào cho phù hợp, có đạt kết tốt Trong trình làm dạng tốn tơi đặc biệt ý đến nội dung tốn có xếp theo trình tự từ dễ đến khó, dạng đa dạng phong phú Nhằm cung cấp cho học sinh lượng kiến thức phù hợp với khả nhận thức có phát triển khả tư lơgíc
Đây sáng kiến thuộc dạng dạy học nên hy vọng không người dạy quan tâm tới việc nâng cao kỹ giải toán chia hết cho học sinh mà học sinh cần tham khảo để tự nâng cao kỹ giải tốn chia hết cho riêng áp dụng để giải dạng tập có liên quan
Người dạy học muốn có hiệu cao việc áp dụng sáng kiến để nâng cao kỹ giải tốn chia hết người dạy học cần nhiệt tình nắm rõ bước sau Đối với người dạy cần vận dụng trình tự sơ đồ sau:
Người dạy cần:
Nắm rõ kiến thức học liên quan toán chia hết
Áp dụng kiến thức học cách linh hoạt để giải toán hoạt
(19)Đối với học sinh cần vận dụng theo trình tự sơ đồ hoá sau:
II KHUYẾN NGHỊ
Để cho học sinh học tập có kết cao, tơi có số ý kiến đề xuất sau:
- Giáo viên phải nghiên cứu sâu sắc rõ ràng nội dung dạy, tìm hiểu phân loại đối tợng học sinh để có kế hoạch giảng dạy thích hợp, từ dự kiến việc cần hớng dẫn học sinh
Đặc biệt giáo viên phải nghiên cứu nắm vững nội dung sách giáo khoa, đa phơng pháp truyền thụ hiệu nhất, giáo viên phải thờng xuyên rút kinh nghiệm qua giảng, xem xét chỗ học sinh hiểu nhanh, tốt nhất, chỗ cha thành công để rút kinh nghiệm tìm phơng pháp khác có hiệu
- Xây dựng nề nếp học tập cho học sinh có thói quen chuẩn bị sách đồ dùng học tập, tập nhà cha giải đợc phải hỏi bạn phải báo cáo với thầy trớc vào lớp Khi giảng giáo viên đặt câu hỏi cần phù hợp với đối tợng học sinh, câu hỏi phải ngắn gọn dễ hiểu câu hỏi phải trực tiếp giải vấn đề lớp nghiờn cu
- Giáo viên hớng dẫn học sinh phơng pháp học tập phát triển t rèn luyện kỹ
- Đứng trớc vấn đề giáo viên cần cho học sinh phân biệt qua hệ
thống câu hỏi, hiểu đâu điều cho, đâu điều phải tìm….từ học
sinh tù m×nh t×m câu trả lời
(20)Trờn vài biện pháp nhằm giúp học sinh khắc phục khó khăn giải tốn đại số Rất mong thơng cảm góp ý cấp bạn đồng nghiệp
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Phương pháp dạy học Toán THCS_NXB GD 2/ Thực hành giải toán_Nhà xuất GD
3/ Nâng cao phát triển toán tập tác giả Vũ Hữu Bình _Nhà xuất GD
(21)MỤC LỤC
Phần thứ MỞ ĐẦU
Trang
1 Lý chọn đề tài :
2 Đối tượng nghiên cứu:
3 Phạm vi nghiên cứu:
4 Phương pháp nghiên cứu:
Phần thứ hai NỘI DUNG : Cơ sở lý luận :
2 Cơ sở thực tiễn: .3
3 Nội dung vấn đề:
Phần thứ ba KẾT LUẬN: Kết luận 17