VECTO. 1. Vectơ Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ rõ điểm mút nào là điểm đầu (gốc), điểm mút nào là điểm cuối (ngọn), được đặc trưng bởi các yếu tố: (*) Phương (**) Hướng (chiều) (***) Độ lớn (độ dài) A B Hướng từ điểm đầu tới điểm cuối của vectơ được gọi là hướng của vectơ. Kí hiệu: Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là AB * Ngoài ra, vectơ còn được kí hiệu bởi các chữ in thường như , , , , , , .a b c x y u v đối với các vectơ tự do. Độ dài của vectơ AB là AB AB Vectơ-không là vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối. Do đó độ dài của vectơ-không bằng 0 và vectơ-không có hướng tùy ý. Vectơ-không được kí hiệu là 0 chứ không phải 0. Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó, ví dụ giá của vectơ AB là đường thẳng AB. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Ví dụ hai vectơ AB và CD là hai vectơ cùng phương (vì AB // CD) và được kí hiệu là // AB CD A B D C Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng, có thể ngược hướng. // AB CD AB CD AB CD * Vectơ-không cùng hướng với mọi vectơ. Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài: AB CD AB CD AB CD 2. Các phép toán trên vectơ a. Phép cộng hai vectơ Cho hai vectơ a và b . Tổng của hai vectơ này được xác định như sau: (1) Lấy một điểm A bất kì. (2) Dựng các vectơ AB a , BC b . Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b : AC AB BC a b Từ đó, ta có các quy tắc sau đây: Quy tắc ba điểm (Quy tắc chèn điểm) Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có: MN MP PN Mở rộng ra, ta có quy tắc n điểm: 1 1 2 2 3 1 . n n n A A A A A A A A Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành MNPQ bất kì, ta có: MP MN MQ Các tính chất của phép cộng vectơ: (1) Tính giao hoán: a b b a (2) Tính kết hợp: a b c a b c (3) Cộng với vectơ-không: 0aa Ta cũng có một bất đẳng thức khá quan trọng sau đây: a b a b (Dấu “=” xảy ra ab ) b. Phép trừ hai vectơ: Vectơ đối: Vectơ a được gọi là vectơ đối của vectơ b khi a và b là hai vectơ ngược hướng và có cùng độ dài: ab ab ab Hiệu của hai vectơ a và b là tổng của vectơ a với vectơ đối của vectơ b : a b a b Các quy tắc: Quy tắc ba điểm: Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có: MN PN PM Quy tắc chuyển vế: Với ba vectơ ,ab và c ta có: a b c a c b 3. Phép nhân một vect ơ với một số thực Tích của số thực k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là ka , được xác định như sau: Nếu 0k hoặc 0a thì 0ka Nếu 0k và 0a thì ka a và ka k a Nếu 0k và 0a thì ka a và ka k a Từ đó ta có các hệ quả sau đây: 0 0 0 k ka a ka k a Các tính chất của phép nhân một vectơ với một số thực: 1aa ; 1aa k ma km a k m a ka ma k a b ka kb Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng 0: , : 0k AB k AC AB AC 4. Hệ thức trung điểm - trọng tâm a. Hệ thức trung điểm: Cho đoạn thẳng AB, M là trung điểm của đoạn AB và O là một điểm bất kì. Ta có: M là trung điểm của AB AM = MB và AM MB AM MB MA MB 0MA MB (1) 0MI IA MI IB (theo quy tắc ba điểm) 2IM IA IB (theo quy tắc chuyển vế) 2 IA IB IM (2) Từ các hệ thức (1) và (2) ta suy ra: Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của AB là 0MA MB Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của AB là tồn tại một điểm I sao cho 2 IA IB IM * Chú ý: Khi cho điểm I M, ta có hệ thức (2) hệ thức (1) b. Hệ thức trọng tâm: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác, ta có: G là trọng tâm tam giác ABC 0GA GB GC (3) (Chứng minh: Bạn đọc có thể sử dụng quy tắc hình bình hành hoặc hệ thức (2)). Với điểm O bất kì, ta có hệ thức (1) được biến đổi như sau: (3) 0GO OA GO OB GO OC 30GO OA OB OC 3OA OB OC OG 3 OA OB OC OG (4) Từ các hệ thức (3) và (4) ta suy ra: Điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm tam giác ABC là 0GA GB GC Điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm tam giác ABC là tồn tại một điểm O sao cho 3 OA OB OC OG * Chú ý: Khi cho điểm O G, ta có hệ thức (4) hệ thức (3) II. CÁC DẠNG BÀITẬP CƠ BẢN 1. Dạng 1: Chứng minh hai vectơ bằng nhau: Phương pháp giải: - Dùng định nghĩa hai vectơ bằng nhau: ab ab ab - Sử dụng tính chất của hình bình hành Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn AB, AC, CD và BD. Chứng minh rằng: MN QP Giải. Ta thấy: MN // AC và MN = 1 2 AC (tính chất đường trung bình) QP // AC và QP = 1 2 AC (tính chất đường trung bình) Do đó MN // QP và MN = QP MN QP và MN QP MN QP (đccm) Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP PN . Chứng minh rằng: AD BC Giải. Ta thấy: MP // DC và MP = 1 2 DC 1 2 MP DC PN // AB và PN = 1 2 AB 1 2 PN AB Mặt khác, theo giả thiết MP PN AB DC Suy ra ABCD là hình bình hành. Vậy AD BC (đccm) 2. Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức vectơ: Phương pháp giải: - Biến đổi vế trái thành vế phải hoặc biến đổi vế phải thành vế trái. - Biến đổi tương đương. - Sử dụng tính chất bắc cầu. Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AD và BC. O là trung điểm của MN. Chứng minh các đẳng thức sau: a. AB DC AC DB b. 11 22 MN AB DC AC BD c. 0OA OB OC OD d. 4 IA IB IC ID IO với I là một điểm bất kì. Giải. a. AB DC AC CB DC AC DC CB AC DB b. Ta có: = 2 2 0 0 2 11 22 AB DC AM MN NB DM MN NC MN AM DM NB NC MN MN MN AB DC AC DB c. Ta thấy: = 2 2 2 0 OA OB OC OD OA OD OB OC OM ON OM ON d. Từ kết quả câu c. ta có: 0 0 4 OA OB OC OD OI IA OI IB OI IC OI ID IO IA IB IC ID * Chú ý: Điểm O như trên được gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD. Trọng tâm này là duy nhất và luôn thỏa mãn các hệ thức ở phần c. và d. Ta có thể chứng minh ba đường thẳng MN, PQ, EF đồng quy tại O là trung điểm mỗi đường, trong đó M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn AD, BC, AB, CD, AC và BD. O luôn nằm trên đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác với trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại. Ví dụ 4. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F bất kì trên mặt phẳng. Chứng minh: a. AB CD AD CB b. AB CD EA ED CB c. AD BE CF AE BF CD AF BD CE d. AB CD EF GA CB ED GF Giải. a. AB CD AD CB AB AD CB CD DB DB (đúng) b. 00AB CD EA ED CB AB BC CD DE EA AA (đúng) c. 0AD BE CF AE BF CD AD AE BE BF CF CD 00ED FE DF EE (đúng) d. AB CD EF GA CB ED GF 00AB BC CD DE EF FG GA AA (đúng) Ví dụ 5. Cho tam giác ABC, AM, BN, CP là các trung tuyến. D, E, F là trung điểm của AM, BN và CP. Chứng tỏ rằng: 34OA OB OC OD OE OF với O là một điểm bất kì. Giải. Ta có: 2 2 2 2 2.2 4OA OB OC OA OM OA OM OD OD Tương tự: 24OA OB OC OE và 24OA OB OC OF Cộng vế các bất đẳng thức trên, ta thu được đccm. 3. Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải: Ba điểm A, B, C thẳng hàng 0: , : 0k AB k AC AB AC Ví dụ 6. Cho tam giác ABC. O, G, H thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác. Chứng minh: a. 2HA HB HC HO b. OA OB OC OH c. O, G, H thẳng hàng Giải. a. Gọi M là trung điểm của BC. Ta thấy: AH // MO (cùng vuông góc với BC) 2 AH AG MO MG (định lí Ta-lét) AH = 2MO Từ đó suy ra 2HA MO (1) Mặt khác, vì M là trung điểm của BC nên theo hệ thức trung điểm ta có: 2HB HC HM (2) Cộng vế (1) và (2) ta suy ra 2 2 2HA HB HC MO HM HO b. Ta có 2OA OB OC OA OM OA AH OH c. G là trọng tâm tam giác ABC nên 3OA OB OC OG Do đó 3OH OG . Vậy O, G, H thẳng hàng. Ví dụ 7. Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AD, BC sao cho AM CN AD CB . Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh I luôn chuyển động trên đoạn EF. Giải. Đặt 0 1 AM CN kk AD CB Vì E là trung điểm của AC, I là trung điểm của MN nên theo Ví dụ 3. ta có 1 1 1 2 2 2 EI AM CN kAD kCB k AD CB (1) Mặt khác do E và F là trung điểm của AC và BD Nên 1 2 EF AD CB (2) Từ (1) và (2) suy ra EI kEF . Ta có đccm. 4. Dạng 4: Chứng minh hai điểm trùng nhau Phương pháp giải: - A trùng B 0AB - A trùng B :M MA MB Ví dụ 8. Chứng minh rằng 0AD BE CF là điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm. Giải. Gọi G và G’ thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC và DEF. Vì G’ là trọng tâm nên ta có: ' ' ' 0G D G E G F ' ' ' 0 3 ' 0 3 ' 0 G G GA AD G G GB BE G G GC CF G G GA GB GC AD BE CF G G AD BE CF Do đó hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm '0GG 0AD BE CF Ví dụ 9. Cho M, N, P, Q. R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA của lục giác ABCDEF. Chứng minh rằng các tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Giải. Xét 1 1 1 2 2 2 MN PQ RS AC CE EA 1 0 2 AC CE EA Mặt khác, theo Ví dụ 8. ta có đccm. 5. Dạng 5: Tìm tập hợp các điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước Phương pháp giải: - OM a với O cố định và a không đổi thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm O bán kính a - MA MB với A, B cố định thì tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB - OM ka với O cố định, a không đổi và k R thì tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua O và có cùng phương với a - OM ka với O, A cố định và k R thì tập hợp điểm M là đường thẳng OA Ví dụ 10. Cho tứ giác ABCD a. Xác định điểm O sao cho 42OB OC OD b. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức 4 2 3MB MC MD MA Giải. a. Ta có: 4 2 3 2 4 2 3 2 2 32 OB OC OD OB OD OC OB OB OD CO CO OB OB CD CB Gọi I là trung điểm của BD. Khi đó 2CD CB CI Vậy 34OB CI hay 4 3 OB CI Từ đó suy ra vị trí của điểm O b. 4 2 3MB MC MD MA 2 4 2 3 3 4 2 3 MO OB MO OC MO MD MA MO OB OC DO MA Mà theo câu a. thì 4 2 4 2 0OB OC OD OB OC DO Do đó 33MO MA MO = MA Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của OA III. BÀITẬP TỰ LUYỆN 1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). a. Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn các hệ thức sau: OM OA OB , ON OB OC , OP OC OA b. Chứng minh: 0OM ON OP 2. Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng với A qua C. O là một điểm bất kì. Chứng minh ' ' 'OA OB OC OA OB OC 3. Cho tam giác ABC đều tâm O, M là một điểm nằm trong tam giác. Chứng minh 3 2 MH MK ML MO với H, K, L thứ tự là hình chiếu của M trên AB, BC và CA. 4. Cho tam giác ABC, BC = a, AC = b, AB = c. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh 0aIA bIB cIC 5. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểm I, J thỏa mãn 1 4 BI BC , 2 3 JA JC . Phân tích các vectơ IG , IJ theo các vectơ BA và BC . Từ đó suy ra ba điểm I, J, G thẳng hàng. 6. Cho đường thẳng d và tam giác ABC. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho: a. MA MB MC nhỏ nhất b. 2MA MB MC nhỏ nhất 7. Cho tam giác ABC. a. Xác định điểm I sao cho 3 2 0IA IB IC b. Chứng minh rằng đường thẳng nối hai điểm M, N xác định bởi hệ thức 22MN MA MB MC luôn đi qua một điểm cố định c. Tìm tập hợp các điểm H sao cho 32HA HB HC HA HB d. Tìm tập hợp các điểm K sao cho 23KA KB KC KB KC 8. Cho điểm M nằm trên cạnh BC của tam giác ABC. Chứng minh rằng: MC MB AM AB AC BC BC 9. Cho tam giác ABC và ba số ,, thỏa mãn điều kiện 0 . Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm M sao cho 0MA MB MC . với các vectơ tự do. Độ dài của vectơ AB là AB AB Vectơ-không là vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối. Do đó độ dài của vectơ-không bằng 0 và vectơ-không. “=” xảy ra ab ) b. Phép trừ hai vectơ: Vectơ đối: Vectơ a được gọi là vectơ đối của vectơ b khi a và b là hai vectơ ngược hướng và có cùng độ dài: