2.. Tìm tập xác định của các hàm số sau:.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mũ và lôgarit 6. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1.. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. 3.[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP 12
I GIẢI TÍCH
VẤN ĐỀ TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
Dạng Tìm tập xác định hàm số Nêu định nghĩa tập xác định hàm số Tìm tập xác định hàm số
a)
y
=
1
x−
1
+
√
−x
2
+
5
x
Đs: D =
[0;5]{1
¿ ¿
b)
y
=
√
x
+
√
x
2−
x
+
1
Đs: D =c)
y
=
√
|
x
|−
1
2
−|
x
|
Đs: D =(−
2
;
1
]∪[
1
;
2
)
d)y
=
√
cos
x
−
1
Đs: D = { 2kπ , k¿ ∈¿ } e)y
=
tan
x
sin
x
+
√
3
cox
−
1
3* Tìm a để hàm số
y
=
√
ax
2
−
2
(
a
−
2
)
x
+
3
a
−
7
xác định4* Biện luận theo m tập giá trị hàm số
y
=
1
√
mx
2−
4
x
+
m
−
3
Dạng Tim tâp giá trị hàm số (2)a)
y
=
2
x
−
3
x
x
2−
3
x
+
3
Đs:M
=
[
−
1
;
3
]
b)
y=
2
+
cos
x
sin
x
+
cos
x
−
2
Đs:M
=
[
−
5
−
√
19
2
;
−
5
+
√
19
2
]
7*.Tìm miền giá trị hàm số
y
=
sin
4x
+
sin
3x
cos
x
+
sin
2x
cos
x
+
sin
x
cos
3x
+
cos
4x
8*.Tìm miền giá trị hàm số y=sinx+cosx
sin 2x với 0<¿¿
x
<
π
2
Đs:M
=(
√
2
;
+∞]
Dạng Xét tính chẵn lẻ hàm số9 Nêu định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ?Nêu phương pháp xét tính chẵn, lẻ hàm số 10 Xét tính chãn lẻ hám số
a)
y
=
x
1
+|
x
|
Đs: Lẻb)
y
=
2
x
1
−|
x
|
Đs: Lẻ {±1¿ ¿c)
y
=
√
1
−
x
2 Đs: Chẵn [-1;1] d)y
=
x
+
sin
x
+
tan
x
Đs: Lể \{
π
2
+
kπ , k
∈Z
}
e)
y
=
x
+
cos
x
VẤN ĐỀ SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
(3)
* Cho hàm số
y=f
(
x
)
có tập xác định la khoảng (a;b)+ Nếu
f '
(x
)≥
0
∀
x
∈
(
a;b
)
dấu băng xảy hữu hạn điểm hàm số đồng biến (a;b)+ Nếu
f '
(x
)≤
0
∀
x
∈
(
a;b
)
dấu xảy rại điểm hữu hạn hàm số nghịch biến (a;b)* Cách tìm khoảng đồng biến nghịch biến Bước Tìm điểm giới hạn
Bước Xác định dấu
f '
(
x
)
Bước Lập bảng biến thiên suy khoảng đồng biến nghịch biến
2 Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số a)
y=
3
x+
1
x+
1
Đs: Đồng biến(
−∞
;
1
)
và(
−
1
;
−∞
)
b)
y
=
√
x
(
x
−
3
)
Đs: Đồng biến (0;1), nghịch biến (1;+∞ )
c)
y
=
√
4
x
−
x
2 Đs: Đồng biến (0;2) , nghịch biến (2;4)d)
y
=
x
x
2+
4
(4)Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số a)
y
=
x
−
2
x
2+
x
+
1
Đs: Đồng biến
(
2
−
√
7
;
2
+
√
7
)
, nghịch biến(
−∞
;
2
−
√
7
)
,(
2
+
√
7
;
+∞
)
4 *Tìm khoảng đơn điệu hàm số
a)
y
=
x
+
cos
2x
Đs: Đồng biếnb)
y=x
+
2 cos
x , x
∈
(
π
6
;
5
π
6
)
Đs: Đồng biến(
π
6
;
5
π
6
)
c) y=cosx , x
¿
(
π
2
;
2
π
)
Đs: Đồng biến(
0
;
π
2
)
(
3
π
2
;
2
π
)
, nghịch biến(
π
2
;
3
π
2
)
Dạng Ứng đụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức
5 Chưng minh bất đẳng thức sau
a) tan x > sin x , < x <
π
2
Hd: Xétf
(
x
)
=
tan
x
−
sin
x
[
0
;
π
2
)
b)
x+
1
x
≥
2,
∀
x>
0
c)
(5)d)
tan
x
>
x+
x
3
3
,
0
<
x<
π
2
6 Tìm m để hàm số
a)
y=
x
+m
x−m
nghịch biến(
1
,
+∞
)
. Đs:0
<
m
≤
1
b)
y=
x
2
+
5
x+
6
+m
2x
+
3
đồng biến khoảng(
1
;
+∞
)
Đs:−
4
≤
m
≤
4
c)
y
=
3sin
x
−
4cos
x
−
mx
+
1
đồng biến toàn trục số Đs: m¿
−
5
Dạng Ứng dụng đạo hàm để biện luận số nghiệm phương trình
7 Tìm m để phương trình
a)
x
4−
2
x
2−m=
0
có nghiệm phân biệt Đs: < m < b)−x
3+
3
x+
1
−m=
0
có nghiệm phân biệt Đs – < m < (6)vấn đề 3: cực trị hàm Số
1 Nêu định nghĩa điểm cực đại, cực tiểu hàm số?
2 Nêu phơng pháp tìm điểm cực trị hàm số? Nêu phơng pháp để tìm điểm cực trị hàm số?
4 Tìm điều kiện cần đủ để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, (a # 0) có cực trị?
5 Tìm điều kiện cầm đủ để hàm số =
ax
2+
bx
+
c
mx
+
n
, (a.m # 0) cã cùc trÞ?6 Tìm điều kiện cần đủ để hàm số y = ax4 + bx2 + c, (a # 0) có cực trị?
7 Chøng minh r»ng nÕu hµm sè y
f
(
x
)
g
(
x
)
đạt cực trị x = x0 (y (x0 ) =f '
(
x
0)
g'
(
x
0)
HÃy áp dụng vớihàm số y =
ab
2+bx
+c
mx
+n
, (a m # 0).8 Chứng minh hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, (a # 0) đạt cực trị x = x
0 th× y (x0) = mx0 + n víi
ax3 + bx2 + cx + d = (ex + g) (3ax2+2bx+c)+ (mx+n).
9 Tìm điểm cc trị hàm số tập 5, tập
10 Chøng minh r»ng hµm sè y =
x
2−m
(
m+
1
)
x+m
3+
1
x
−m
ln có cực đại cực tiu vi mi m.11 Tìm điểm cực trị hàm số y = sin2x Đs: X C§ =
π
2
+k, xCT=k12 Tìm hệ số a, b, c cho hàm số y = x3+ ax2+ bx + c đạt cực trị điểm x = - 2, v th
hàm số qua điểm A (1,0) §s: a=3, b=0, c =-4
13 Tìm hệ số a, b, c, d cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu điểm x = 0, f (0) = và
đạt cực đại x = 1, f (1) = Đs: a =-2, b=3, c=0, d=0
(7)15 Xác định m để hàm số x =
x
2+
mx
+
1
x
+
m
đạt cực đại x = 2.16 Gọi (Cm) đồ thị hàm số y =
x
2+
mx
+
m
+
1
x
+
1
(Cm) chứng minh với m bất kỳ; đồ thị (Cm)ln ln có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách hai điểm
√
20
17 Tìm a, b để cực trị hàm số y =
5
3
a2x3 + 2ax2 - 9x + b số dơng x =5
9
lµđiểm cực đại Đs: a =
81
25
,
b
=
400
243
18 Tìm m để hàm số
a) y = m3 - 3mx3 + (m2- 1) x - (m2- 1) đạt cực đại x = 1 Đs: m = 2
b y = (x - m)2 - 3x đạt cực tiểu x = 0 Đs: m = - 1
19 Tìm m để hàm số sau có cực trị
a) y = m3 - 6m3 + (m2 + 2) x - m - cã cùc trị Đs: -
2
< m <2
) y =
x
2−mx−
5
mx+
1
cã cực trị Đs: -1
2
< m <1
2
20 Tìm m để hàm số sau có cực trị thoả mãn điều kiện cho trớc
a) y = x4 + (m - 1)m2 + m + cã cùc trị Đs: m < 1
b) y =
1
3
x3 - x + m cã hai cực trị trái dấu Đs: -2
3
< m <2
3
c) y = - x3 + (m+1)x2 - (3m + 7m-1) x + m2 - đạt cực tiểu điểm có hồnh độ nhỏ 1
§s: m <
e y = x3 + (m - 1)x2 + (m2-4m+1) x - 2m2- có hai cực trị x
1, x2 thoả m·n ®iỊu kiƯn
1
x
1+
1
x
2=
1
(8)g) y =
x
2+
mx
- x
+
1
cã hai cùc trị (x1, y1) cho khoảng cách chúng 10§s: m > - 1, m =
h y=
−
x
2+
2mx
+
5
x
- 1
có hai cực trị nằm phía so với đờng thẳng 2x-y=0§s: m < 3, -2 -
√
6
< m < -2 +√
6
h1) y = x3-3x2 + m2 + m có hai cực trị đối xứng qua đờng thẳng x-2y-5=0.
§s: m =
i) y =
1
3
x3 + (m - 2) x2 + (5m + 4) x + m2 + đạt cực trị x1, x2, cho x1 < -1 < x2
§s: m < -
k) y =
1
3
x3 + mx2 - x + m + cã hai ®iĨm cùc trÞ (x1, y1), (x2, y2) cho khoảng cách chúng nhỏ
nhất Đs: dmm=
2
√
13
3
m = 0d) y = sin2 x -
√
3
cos x, x [0; ] §s: C§ (5
π
6
;
7
4
)e) y = sin2 x - sin x víi x [0,2)
§s: §B trªn
(
π
6
,
π
2
)
,
(
5
π
6
,
3
π
2
)
, NB trªn(
0,
π
6
)
,
(
π
2
,
5
π
6
)
,
(
3
π
2
,
2
π
)
VẤN ĐỀ ĐIỂM CỐ ĐỊNH TÂM ĐỐI XỨNG VÀ TRỤC ĐỐI XỨNG Dạng Tìm điểm cố định họ đường cong
Định nghĩa: Cho họ đường cong
(
C
m)
:y
=
f
(
x; m
)
phụ thuộc tham số m Điểm gọi điểm cố định họ đường cong Cách giải: Để tìm điểm cố định họ đường cong ta có
)
;
(
x
0y
0M
(C
m)
y
0
f(x
0;
m),
m
(9)Bước 1: Gọi điểm cố định Suy
Bước 2: Sắp xếp theo phương trình ẩn m bậc giảm dần, chẳng hạn bậc có dạng
Bước 3: Khi Điều xảy tất
cả hệ số ẩn m
Bước 4: Kết luận
1. Tìm điểm cố định họ đường cong
a) (Cm) : Đs: M (1; 2)
b) (Cm) : Đs: M (2; 0)
2. Tìm điểm cố định họ đường cong a) (Cm) : Đs:
b) (Cm) : Đs:
3. * Chứng minh đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định Đs: (-1;-2), f’(-1) =1
Dạng Tìm tâm đối xứng trục đối xứng 4. Tìm tâm đối xứng đồ thị hàm số
a) Đs:
b) Đs:
)
;
(
x
0y
0M
y
0
f(x
0;
m),
m
m)
;
f(x
y
0
00
Am
2
Bm
C
m
C
Bm
f(x
;
m),
m
Am
0
,
y
0
?
?
0
0
0
0y
x
C
B
A
1
)
1
2
(
m
x
mx
m
y
m
m
x
m
m
x
m
x
y
(
1
)
(
2
3
2
)
4
2
m
x
mx
y
4
2
m
-2),
:
(-2
M
(2;2),
M
1 2
1
1
)
2
(
m
mx
m
x
m
x
y
3
1
m
1;
m
(2;1),
M
(-1;-2),
M
(0;1),
M
1 2 3
1
m
x
m
m
x
m
x
y
2
(
1
)
1
2
4
3
x
x
y
I
(
1
;
1
),
Y
X
33
X
(10)c) Đs:
5. Tìm trục đối xứng đồ thị hàm số
a) Đs:
b) Đs:
6. Chứng minh d: trục đối xứng đồ thị hàm số
VẤN ĐỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
¿ Quy trình khảo sát vẽ đồ thị hàm số
y=f
(
x
)
Bước 1: Tìm tập xác định hàm sốBước 2: Sự biến thiên a) Chiều biến thiên o Tính
y'
o Tìm nghiệm
y'
=
0
điểm làm choy'
không xác định o Xét dấuy'
suy chiều biến thiên hàm sốb) Tìm cực trị
c) Tìm giới hạn tiệm cận d) Lập bảng biến thiên
Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên yếu tố xác định để vẽ đồ thị
Dạng Khảo sát vẽ đồ thị hàm đa thức
1. a) Khảo sát vẽ đồ thị
(C
)
hàm sốy
=
x
3+
3
x
2−
4
1
6
3
x
x
x
y
X
X
Y
I
(
1
;
1
),
4
2
3
2
x
x
y
0
:
x
d
4
6
7
4
4
x
x
x
x
y
d
:
x
1
(11)b) Từ đồ thị
(
C
)
hàm sốy
=
x
3+
3
x
2−
4
biện luận số nghiệm phương trìnhy
=
x
3+
3
x
2−
4
=m theo tham số m2. a) Khảo sát vẽ đồ thị
(C
)
hàm sốy
=
x
4−
2
x
2+
2
b) Từ đồ thị
(
C
)
hàm sốy
=
x
4−
2
x
2+
2
, biện luận số nghiệm phương trìnhx
4−
2
x+
m
=
0
theo tham số mDạng Khảo sát vẽ đồ thị hàm phân thức
3. a) Khảo sát vẽ đồ thị
(C
)
hàm sốy=
3
x+
3
x−
2
b) Viết phương trình đường thẳng qua
O
tiếp xúc với(C
)
c) Tìm tất điểm(C
)
có toạ độ số nguyên4. a) Khảo sát vẽ đồ thị
(C
)
hàm sốy=
x
2
−
3
x
+
4
2
x−
2
b) * Gọi M điểm
(C
)
Tiếp tuyến(C
)
M cắt tiệm cận đứng A , tiệm cận xiên B Chứng minh M trung điểm AB tam giác IAB có diện tích khơng đổi, với I giao điểm hai tiệm cậnHướng dẫn: Gọi
M
(
x
0, y
0)
¿
(C
)
⇒ Tiếp tuyếnd:y=x0
−2x0−1
2(x0−1)2 (x−x0)+
x02−3x0+4
2(x0−1)
Gọi
A
=(
x
−
1
)∩(
C
)⇒
A
(
1
;
−
x
0+
5
2
x
0−
2
)
⇒
IA
=
2
|
x
0−
1
|
B
=
(
y
=
1
2
x
−
1
)
∩
d
⇒
B
(
2
x
0−
1
;
2
x
0−
3
2
)
⇒
BH
=|
2
x
0−
2
|
(12)5. Cho hàm số
y=
mx
−
1
2
x
+m
a) Chứng minh hàm số đồng biến khoảng xác định
Hd
:
y'=
m
2
+
2
(
2
x+
m
)
2b) Tìm m để đường tiệm cận đứng đồ thị qua A
(−
1
;
√
2
)
.
Đs:m
=
2
c) Khảo sát vẽ đồ thị hàm sốm
=
2
6. Cho hàm số
y=
2
x
2
−(
6
+m
)
x+
4
mx
+
2
a) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm
M
(−
1
;
1
)
b) Khảo sát vẽ đồ thị hàm sốm
=
1
7. Cho hàm số
y=
3
x+
2
x+
2
có đồ thị(C
)
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
(C
)
b) Tìm điểm đồ thị
(C
)
có toạ độ số nguyên Đs:(−
6
;
4
),(−
4
;
5
),(−
3
;
7
),(
0
;
1
),(−
1
;−
1
),(
2
;
2
)
c) Dựa vào
(C
)
vẽ đồ thị(
C '
)
:
y
=|
3
x
+
2
x
+
2
|
Trong tập 8, 9, 10, 11, chọn đáp án giải thích.
8. Cho hàm số
y
=
x
2
−
x
+
7
2
−
x
có đồ thị(C
)
Chọn mệnh đề sai. (13)c) Đồ thị
(C
)
có hai tiệm cậnx
=
2
, y
=−
x
−
1
d) Đồ thị(C
)
có tâm đối xứngI(
2
;−
3
)
9. Cho hàm số
y=
2
x−
3
3
−x
có đồ thị(C
)
Chọn mệnh đề sai.a) Hàm số đồng biến khoảng
(−∞;
3
)
(
3
;+∞)
b) Đồ thị(C
)
có tiệm cậnx=
3
; y=
2
3
c) Hàm số cực trị
d) Đồ thị
(C
)
có tâm đối xứngI(
3
;−
2
)
10. Cho hàm số
y
=
x
3−
3
x
2+
1
có đồ thị(C
)
Chọn mệnh đề sai a) Đồ thị(C
)
có điểm cực trị(
0
;
1
),(
2
;−
3
)
b) Đồ thị
(C
)
cắt trục Ox điểm phân biệt c) Đồ thị(C
)
có tâm đối xứngI
(
1
;−
2
)
d) Hàm số có khoảng đơn điệu11. Cho hàm số
y
=
x
4−
2
x
2−
1
có đồ thị(C
)
Chọn mệnh đề sai a) Đồ thị(C
)
có điểm cực trị(
0
;−
1
),(±
1
;−
2
)
b) Đồ thị
(C
)
có điểm uốn(
±
√
3
3
;
−
14
9
)
c) Đồ thị
(C
)
không cắt trục Oxd) Đồ thị
(C
)
có ba khoảng đơn điệu(14)
Dạng 1.Vị trí tương đối hai đường cong
Số giao điểm hai đồ thị (C1): y = f (x) (C2): y = g (x) số nghiệm phương trình
hồnh độ giao điểm: f (x) = g (x)
1. Cho đường cong (C) :
y=
−
2
x−
4
x
+
1
đường thẳng dm : y = 2x + m Tìm m để:a) (C), dm khơng có giao điểm Đs: −4 < m <
b) (C), dm có giao điểm Đs: m = ±4
c) (C), dm có giao điểm
Đs: m
¿
[−
4
;
4
]
d) (C), dm tiếp xúc Tìm tiếp điểm Đs: m = ±4, (−2;0), (0;−4)
2. Cho hàm số
y=
mx
2+
x
+m
x−
1
Tìm m để hàm số cắt trục hồnh hai điểm phân biệt haiđiểm có hoành độ dương Đs:
−
1
2
< m < 03. Cho hàm số (Cm) : y = –x3 + 3mx2 +3(1– m2)x + m3 –m2
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (Cm) m =1
b) Tìm k để phương trình –x3 + 3x2 + k3 − 3k2 = có ba nghiệm phân biệt
4. Tìm m để hàm số y = −x4 +2mx2 −2m + cắt trục hoành bốn điểm phân biệt lập thành cấp số
cộng Xác định cấp số cộng ứng với m tìm Đs:
1
2
< m ≠ 1,m =5, m =5
9
.Dạng 2.Quỹ tích
5. Cho hàm số
y=
x+
3
x+
1
có đồ thị (C).a) Chứng minh đường thẳng d : y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt M, N Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng MN
Hd: Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d g(x) = x2 + (m+1)x + m−3 = Phương trình
này ln có hai nghiệm phân biệt ∆ = (m− 3)2 + 16 > 0, g(−1) = −2 ≠ 0.
(15)x
M; x
N⇒ x1=
xM+xN
2 =
−m−1
4 y1=2 x1+m
⇒ y1=−2x1−1
¿
¿{¿ ¿ ¿
Vậy quý tích I đường thẳng y = −2x −1 b) Xác định m để đoạn MN ngắn
Hd: MN =
1
2
√
5
[(
m−
3
)
2
+
16
]≥
2
√
5
Do MN min
=
2
√
5
⇔
m
=
3
.6. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + có đồ thị (C) Gọi d đường thẳng qua A( −1; −2) có hệ số góc k.
a) Tìm k để d cắt (C) ba điểm phân biệt A, M, N Đs:
( x+1)(x2−4 x+4−k)=0⇔
¿ [ x=−1
[ g(x)=x2−4 x+4−k=0 [ ⇒0<k≠9¿
b) Với điều kiện câu a), tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN k thay đổi
Đs: ∆:x = 2, −2< y ≠ 25
7. Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x tìm m để đường thẳng d: y = mx (C) ba điểm phân biệt O, A, B
Chứng minh m thay đổi, trung điểm I AB nằm đường thẳng song song với trục Oy
8. Cho hàm số y =
−
1
3
x3 + 3x có đồ thị (C) đường thẳng d: y = m(x – 3) A(3:0) Tìm m để d cắt(C) ba điểm A, B, C Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng BC Đs: −6 ≠ m <
3
4
, (∆) : x =−
3
2
,−
9
2
< y ≠ 36Dạng Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
9. Cho hàm số y = f(x)= 2x3 − 3x2 +1có đồ thị (C).
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Từ suy đồ thị đường cong:
(C1): y =
|
f
(
x
)|
(C2): y = f(|
x
|)
(C3): y =|
f
(|
x
|)|
(C4):|
y
|=
f
(
x
)
(C5): y = │u(x)│v(x), với f(x) = u(x).v(x); u(x) = x − 1, v(x) = 2x2 – x – 1
(16)a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Từ đồ thị (C) suy đồ thị
(C1): y =│x3│−3x2 + 4, (C2): y =│x3 – 3x2 + 4│, (C3):│y│= x3 – 3x2 + 4
Vấn đề Phơng trình tiếp tuyến
D¹ng Phơng trình tiếp điểm.
* Chn hm số y = f (x) có đồ thị (C) điểm M (x0; y0) thuộc (C) Khi phơng trình tiếp tuyến
t¹i M cã d¹ng y = f’ (x0)(x-x0) + y0
Cho hàm số y = x3 + 3x2 – có đồ thị (C) Viết phơng trình tiếp (C) biết
a Tiếp điểm có hồnh độ x0 = -1 Đs: y = -3x -
b Tiếp điểm có tung độ y0 = Đs: y = 2, y = 9x
Dạng Phơng trình tiếp qua ®iĨm
Để lập phơng trình tiếp tuyến hàm số y = f(x) có đồ thị (C) qua điểm A(x1;y1), ta có hai cách:
C¸ch 1:
Bớc 1: Gọi tiếp điểm M(x0; f (x0)) Phơng trình tiếp tuyến M
y = f’ (x0)(x=x0) + f (x0)
Bíc 2: V× ®iĨm tiÕp tun ®i qua ®iĨm A (xA; yA) nªn yA = f’(x0)(xA-x0) + f (x0)
Bớc 3: Từ tìm đợc x0 suy đợc phơng trình tip tuyn
* Chú ý: Đồ thị hai hàm sè y = f(x) vµ y = g (x) tiÕp xóc hƯ
f (x)=g(x) f '(x)=g '(x)
¿ {¿ ¿ ¿
¿
cã nghiÖm C¸ch 2:
Bớc 1: Gọi đờng thẳng qua điểm A d: y = k (x-x1) +yA
Bíc 2: d lµ tiÕp tun cđa (C) hƯ sau cã nghiÖm
f (x)=k(x−xA)+yA(1)
f '(x)=k(2)
¿ {¿ ¿ ¿
¿
Bíc 3: Thay (2) (1) x k Phơng trình tiếp tuyÕn
2 Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3-3x+2, biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;4)
(17) Để lập phơng trình tiếp tuyến hàm số y = f(x) có đồ thị (C) có hệ số góc k, ta có hai cách: Cách 1:
Bíc 1: Gäi tiÕp ®iĨm lµ M (x0;f(x0)) Suy f’(x0) = k
Bớc 2: Từ tìm đợc x0
Bớc 3: áp dụng dạng ta tìm đợc tiếp tuyến Cách 2:
Bớc 1: Gọi đờng thẳng có hệ số góc k d: y = kx + b
Bớc 2: Để d tiếp tuyến (C) th× hƯ sau cã nghiƯm
f(x)=kx+b(1) f '(x)=k(2)
¿ {¿ ¿ ¿
¿
Bớc 3: Từ (2) x Thay vào (1) suy b Từ viết đợc phơng trình tiếp tuyến Chú ý: Cho đờng thẳng : ax + by + c = 0, (a2 + b2 0) Khi đó
NÕu d song song với d có dạng d: ax + by + m = 0, (m c)
Nếu d vuông góc với d có d¹ng d: bx = ay + m =
3 Cho hµm sè
y
3
x−
2
x−
1
có đồ thị (C) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C)tr-êng hỵp:
a TiÕp tuyÕn song song víi : x + y - = §s: y = -x+6, y = -x+2
b Tiếp tuyến vuông góc với : 4x-y-7=0 Đs: y = -
1
4
x+
17
4
, y
=−
1
4
x+
9
4
Dạng Hai đờng cong tiếp xúc nhau
4 tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - x2+ đồ thị hàm số y = 2x2 + m tiếp xúc Xác định toạ
độ tiếp điểm Đs: m=1:A(2;9);m=5:B(0;5)
5 Tìm a, b để đồ thị hàm số
y=
a+
b
x−
1
qua điểm A(3;1) tiếp xúc với đờng thẳng2x-y-4=0 §s: a=10, b =-28; a=2; b =-4
6 Tìm m để hai đờng cong
y=
mx
−
1
x
vµ y = 4x2 + tiÕp xóc §s: m=4:M(
1
2
;
2
)
.7 Tìm m để hai đờng cong
y
=
x
2
+
2
x+
2
x
+
1
vµ y = -x2 + a tiÕp xóc §s: a = 2: M(0;2).Bài nâng cao tiếp tuyến.
(18)9 Tìm trục Ox điểm từ kẻ đợc tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y = -x3 + 3x + 2
§s: a
¿
(
−∞;−23
)
∪(2;∞ ){−1¿ ¿.¿
10 Tìm điểm đờng thẳng y = cho từ kẻ đợc mt tip tuyn n
thị hàm số (C):y =
2
x
2+
x
x
+
1
§s: a = 1, a = 1
√
2
11 Cho đồ thị hàm số (C): y = x -
1
x
+
1
a Chứng minh (C) tồn vơ số cặp điểm mà tiếp tuyến song song với
b Tìm m để đờng thẳng d: y = m cắt (C) hai điểm A, B cho OA vng góc với OB
Hớng dẫn: Tìm m để d cắt (C) hai điểm phân biệt Đs: m =
1
±
√
5
2
12 Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =
x
+
2
2
x
+
3
, biết tiếp tuyến cắt trục hồnh,trục tung lần lợt điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB cân gốc toạ độ O Hớng dẫn: Gọi M (x0; y0) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Đs: y = -x -
1 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
1.
Không dùng máy tính, thực phép tính sau
a)
A = 81
-0,75+
(
1
125
)
−1
3
−
(
1
32
)
−3
5
b)
B
=
0
,
001
−13
−(−
2
)
−2.64
−
8
−11
3
+(
9
0)
2c)
C
=
27
3+
(
16
1
)
−0,75
−
25
0,52.
Rút gọn biểu thức
a)
A
=
a
√
2.
(
1
a
)
√
2−1 (19)c)
C
=
√
(
a
−
5
)
4d)
D
81
a b b
4 2,
0
e)
(4
).
,
4
4
x
E
x
x
x
3.
Rút gọn biểu thức sau:
a)
C
=
(
4
a
−
9
a
−12
a
1
−
3
a
−+
a
−
4
+
3
a
−1
a
1
−
a
−)
b)
D=
a
−n+
b
−na
−n−b
−n−
a
−n−b
−na
−n+
b
−n(ab ≠0; a ≠ ±b)
4.
Trục mẫu số biểu thức sau:
a)
1
√
a
3b
,
(a>0, b>0)
b)
1
√
3
+
√
2
c)
5
4
−
√
11
d)
1
√
5
−
3√
2
5.
Tìm số thực α cho:
a)
1
2
(
a
α
+
a
−α)=
1
(
a
>
0
)
b)
3
|α|<
27
6.
So sánh số:
a)
√
2
và
3√
3
b*)
√
3
+
3√
30
và
√
363
c*)
√
15
+
3√
7
và
√
10
+
3√
28
7.
Viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ biểu thức sau:
a)
5
√
2
√
32
√
2
b)
√
a
√
a
√
a
√
a
:
a
11 16
,
a > 0
c)
√
x
2 3√
x , x
>
0
d)
√
b
a
√
b
a
(ab > 0)
8 (*)
Chứng minh rằng:
a)
3
√
7
+
5
√
2
+
3√
7
−
5
√
2
=
2
b)
3 2 3
a
a b
b
a b
a
b
ĐÁP SỐ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC1a)
−
80
27
1b)29
(20)2a) a 2b) b √3−4 2c) (a - 5)2 2d) -9a2b 2e) -
√
x
(
x
−
4
)
3a) 9a 3b)
4
a
nb
nb
2n−
a
2n4a)
√
a
3b
5ab
4b)√
3
−
√
2
4c) +√
11
4d)1
3
(
3
√
25
+
√
310
+
√
34
)
5a) a ≠ : α = 0, a = : α R 5b) α (-3; 3)
6a) < 6b) > 6c) <
7a)
3 10
7b)
a
1
7c) x
7 12
7d)
(
b
a
)
2 15
8a) ±
(21)BÀI KIỂM TRA LŨY THỪA
Rút gọn biểu thức từ 1-9 sau đây:
1 (1 điểm) A=
a
4 3b+ab
4 3
3
√
a+√
3b , a>0, b>02 (1 điểm) B=
1
a+
1
+
1
b+
1
với a=1
2
+
√
3
, b=1
2
−
√
3
.3 (1 điểm) C=
√
3 2 5
5 3:2−
7
16 :
(
51 3.2
1 4 3
1 2
)
4 (1 điểm) D=
1
4
(
xa
−1
−ax
−1)
(
a
−1
−x
−1a
−1+
x
−1+
a
−1+x
−1a
−1−x
−1)
(
ax
≠
0
,x
≠±
a
)
5 (1 điểm) E=
a
2√2−b
2√3(
a
√2−b
√3)
2+
1
6 (1 điểm) F=
√
(
x
π+
y
π)
2
−
(
4
1
π
xy
)
π
7 (1 điểm) G=
(
a
+
b
√
a
+
√
3b
−
3
√
ab
)
:
(
√
3a
−
3√
b)
28 (1 điểm) H=
a−1
a +a
.
√
a+4
√
a√
a+1 a1
+1
9 (1 điểm) I=
√
4
+
2
√
3
+
(22)10 (1 điểm) Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, tức đến kì hạn người khơng rút lãi tiền lãi tính vào vốn kì kế tiếp, kì hạn năm với lãi suất 7,56% năm Giả sử lãi suất khơng thay đổi, hỏi số tiền người thu sau năm triệu đồng? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
2 LÔGARIT
Dạng : Sử dụng định nghĩa để tính lơgarit
1 a) Nêu định nghĩa lơgarit
b) Cho < a ≠ , b > Chứng minh :
I) II) III) IV)
2 Sử dụng định nghĩa lơgarit tính giá trị sau : a)
log 4
2 b)1
log 2
c)
1
log
25
d)log 9
273 Tìm x biết :
a)
log
0,1x
2
b) 811
log
2
x
c)
log 7
x
1
d)log 3
x
4 Tính giá trị biểu thức sau :
a)
3
2log 53 b)1
log 8
c)
21
log
4 d)
5
1 log
3
1
25
Dạng : Sử dụng qui tắc để tính lơgarit
5 Cho
3
2 ,
2
b
b
Tính
log
2 1b
log
2b
2 ;log
2 1b
log
2b
2 ;log (
2b b
1 2)
2
log
b
b
Từsuy
đẳng thức chúng
6 Cho < a 1 ,
b
1 > ,b
2 > Chứng minh cơng thức tính lơgarit sau:log
aa
=1log
ba
a
= blogab
a
= blog 1
a = 01
1
2
loga b logab logab
b
1 2
(23)a) b)
7 Tính giá trị biểu thức sau : a)
log log 4
6
b)1 1
2 2
1
3
log 2log
log
3
8
c)
log 49 log 343
7
8 Khẳng định “
log (
ax
2
1) log (
ax
1) log (
ax
1)
(
, 1),0
a
1
”đúng hay sai? Vìsao?
9 Tìm x biết :
a)
log (1
3
x
) 2
b)3
log
log
2
x
x
10 Cho < a ≠ , b > Chứng minh Từ suy
a) b)
11 Tính giá trj biểu thức sau: a)
1
log 4
b) 51
log
3
log 15
2
c) 7log 16
log 15 log 30
d)5 5
1
log
3
log 12 log 50
2
12 a) Cho a > 0, b > 0, c > 0, d > Tính
2
4
log
ab c
d e
b) Cho b + c > 0, d – e > Tính
2
(
)
log
(
)
ab c
d e
Dạng : Sử dụng công thức đổi số để tính lơgarit
13 Cho < a ≠ 1, b > Chứng minh với
0
c
1,
Từ suy cơng thức đổi số sau:: logab log ab
1
log
alog
ab
b
*
1
,log
nlog
a a
n
b
b
n
(24)a) b) c)
14 Áp dụng trên, tính giá trị biểu thức sau: a)
2
log 154 b)1 27
log
3 c) 14
log (log 4.log 3)
15 Rút gọn biểu thức a)
1
3
1
log 2log 49 log
7
A
b)
1 125
5
1 log 27 log 81
25
B
Dạng : So sánh hai lôgarit cùngcơ số
16 Cho < a ≠ 1, b > 0, c > Chứng minh :
a) Khi a > b) Khi < a <
17 Từ suy :
a) Khi a <
log
ab
0
b
1
b) Khi < a <log
ab
0
b
1
c)
log
ab
log
ac
b c
18 Các lôgarit sau âm hay dương?
a)
log 5
2 b)log 2
5 c)log 0,8
0,2 d)log
7
19 So sánh số sau a)
log 4
31
log
3
b)log
0,132
log 0,34
0,2 c)2
log
5
523
log
4
d)2
log 36
61
log
3
20 Cho < a ≠ Tìm giá trị biểu thức a)
3
log
aa
.
b)1
log
aa
c)7
log
a
a
a
1
log
ab
log
ab
1
log
,
1
log
a bb
b
a
log
log
log
a c ab
b
c
log
ab
log
ac
b c
(25)21 Tìm giá trị số biểu thức a)
4
log 32b)
27
log 29 c)2
log
9
d)4
log 27822 Cho < a ≠ Tìm giá trị số biểu thức a) log a
a
b) log(2 )
a
ac)
4log
a
a
Dạng : Bài tập tổng hợp23 Tìm
log 32
49 ,log 14
2
a
.24 Giả sử biểu thức cho có nghĩa Chứng minh :
a)
log
log
log ( )
1 log
a a ax ab
x
bx
x
b)
1
1
1
(
1)
log
alog
alog
ak2 log
ak k
x
x
x
x
25 Kí hiệu Cho biết
lg 0, 477
Hãy tính :a) lg9000 b) lg0.000027 c) 81
1
log 100
ĐÁP SỐ VẤN ĐỀ : LÔGARIT
2a) 2b)
1
2
2c) -2 2d)
2
3
3a) x = 100 3b) x = 3c) x =1
7
3d) x = 44a) 25 4b) -3 4c)
1
49
4d) 7a) 2 7b) 121
2 log
3
7c) -1 9a) x = -8 9b) x = 11a)
2
7
11b)1
2
11c) -4 11d) 12a)
2
3
4
5
log
log
log
log
7
ab
7
ac
7
ad
7
ae
12b)
2
3
log (
)
log (
)
5
ab c
5
ad e
10
(26)14a)
15
14b)1
2
14c)1
2
15a)
log 343
3 15b)5 9
81
.18a) dương 18b) dương 18c) dương 18d) âm
19a) lớn 19b) bé 19c) lớn 19d) lớn 20a)
1
3
20b) 22
20c)16 20d) 9 21a)1
3
21b) 22
21c) 16 21d) 922a) 16 22b) 22c) 2523)
5
2(
a
1)
25a) 3,954 25b) -4.569 25c) 0.954BÀI KIỂM TRA 2.LÔGARIT
Thang điểm : 15 điểm
1. (1điểm) Trình bày trí nhớ công thức mũ lôgarit học
2. (3điểm) Tính lơgarit sau đây:
a)
log 8
2 b) log139 c) log3
1
27
d)
3
2 log 53 e)4
log 72 g)51
log
1 25
3. (3điểm) Tính giá trị biểu thức sau a)
log 49 log 343
7
b) 51
log
3
log 15
2
c)
1
3
1
log log 49 log
7
d)
log 6.log 9.log 2
3 e)2
log
ab
log
ab
(27)4. (1điểm) Cho a b số dương Tìm x biết a)
3
3
log
x
12log
a
7 log
b
b)
2
1
2 2
3 3
1
4
log
log
log
2
7
x
a
b
5. (2điểm) Tính giá trị biểu thức sau a)
3
7 7
1
log 36 log 14 3log
21
2
b)5
5
log 36 log 12
log 9
c)
6
log lg12
2
36
10
8log 3
d)
4 1
3
9
lg
lg 36
lg
9 2
2
2
6. (2điểm) So sánh cặp số sau a)
3
2
log
3
323
log
5
b)log 10
2log 30
57. (3điểm) a) Cho
log 5
2
a
.
Hãy tínhlog 1250
4 theo a.b) Cho
log
ax
p
,log
bx q
,log
abcx r
Hãy tínhlog
cx
theo p , q , r.c) Cho
log 18
12
a
,
log 54
24
b
Chứng minh ab+5(a-b)=1.3 HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT
Dạng Tìm tập xác định hàm số lôgarit
Hàm số lơgarit hàm số có dạng y = loga x với điều kiện < a
¿
1
Hàm số lôgarit y = loga x xác định x >
(28)a) y = log8 (x2 – 3x – ); b) y = log √3 (-x2 + 5x + 6); c) y = log
1
x
−
4
x
+
5
;d) y = log0,7
x
2−
8
x
+
3
. e) y = log2 (3x – 1 – 9); g) y =2
log
4x−
3
Đs: a) D = (– ∞ ;–1) ¿ ( 4; + ∞ ) ; b) D = (–1;6 ); c) D = (– ∞ ;–5) ¿ (4;+
∞ )
d) D = (–3; –2
√
2
) ¿ (2√
2
;+ ∞ ); e) D = (3; + ∞ ); g) D = (0;64) ¿ (64;+∞ ).
Dạng : Xét đồng biến nghịch biến hàm số
Hàm số mũ hàm số có dạng y =
a
x với điều kiện < a¿
1
Hàm số mũ y =
a
x hàm số lôgarit y = loga x đồng biến a > 1,nghịch biến < a <
Chú ý loge x := ln x đọc lốc-nê-pe x, với số e ¿ 2,718
2 Trong hàm số sau đây, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến khoảng xác định nó? Vì sao?
a) y =
(
π
3
)
x
b) y = log
2
e x c) y =
(
3
√
2
+
√
3
)
x
d) y = log
1 3(√3−√2) x
Đs: a) Đồng biến b) Nghịch biến c) Nghịch biến d) Đồng biến
Dạng Tìm giới hạn hàm số mũ lôgarit
Phương pháp: Sử dụng công thức
lim
t→ ∞
Chú ý ln x := loge x, với e ¿ 2,718
3 Tìm giới hạn sau:
lim
x→0
e
x−
1
x
=
1
lim
x→0
ln
(
1
+
x
)
x
=
1
lim
t→ ∞
(
1
+
1
t
)
t (29)a)
lim
x→0
e
2−
e
3x+2x
b)lim
x→0e
2x−
e
5xx
c) xlim
→0ln
(
1
+
3
x
)
x
d)
lim
x→0
ln
(
1
+
x
2)
x
e) xlim
→0e
x−
1
sin
x
Đs: a) -3e b) – c) d) e)
Dạng Tìm đạo hàm hàm số mũ, hàm số logarit hàm số lũy thừa
Ta có cơng thức tính đạo hàm số mũ:
a) (e x ) ' = e x ; b) (e u
)
' = e u.
u'
; c) (a x)
' = a x ln a; d) (a u ) ' = a u u’.ln a Ta có cơng thức tính đạo hàm hàm số lôgarit: a) (ln x)’ =
1
x
; b) (ln u)’ =1
u
⋅
u'
; c) (loga x)’ =1
x
ln
a
; d) (loga u)’ =1
u
ln
a
⋅
u'
; Đạo hàm hàm số mũ:
a) (x a )’ = a.x a−1 ; b) (u a )’ = a.u a−1 u’ Chú ý
Tìm đạo hàm hàm số mũ:
a) y = (x 2
+
1
)e 2x b) y = e √xsin
2x
c) y = ln(2x 2−
x
) d) y = x 2√
e
4x+
1
e) y =e
x−
e
−x2
g) y =√
x
2+
1
ln(x)
h) y = (3x – 2)ln 2
x
i) y = x ln1
1
+
x
k) y =ln
(
x
2+
1
)
x
Đs: a) 2(x 2
+
x
+
1
)e 2x b)e
√xsin
2x
2
√
x
+
e
√x
sin2x c)
4
x
−
1
2
x
2−
x
d)
2
x
2e
4x+
2
xe
4 x+
2
x
√
e
4x+
1
e)e
x+e
−x2
g)x
ln
x
2√
x
2+
1
+
2
√
x
2+
1
(30)h) ln
2
x+(
6
x−
4
)
ln
x
x
i)ln
1
x
+
1
−
x
x+
1
k)2
x
2−(
x
2+
1
)
ln
(
x
2+
1
)
x
2(
x
2+
1
)
Dạng Tìm đạo hàm hàm số lũy thừa
Phương pháp : Sử dụng công thức
5. Tính đạo hàm hàm số sau đây:
a)
y
2
x a
b) y =
√
ln
35
x
c) y =3
√
1
+
x
31
−
x
3d) y =
√
√
cos
x
e) y =(
x
b
)
a
(
a
x
)
b, a
>
, b
>
0
Dạng Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số mũ lôgarit 6 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau đây:
a) y = (
√
2
) x b) y =(
2
3
)
x
c) y = log √2 x d) y = log
2
x
Bài tập tổng hợp
7 Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = ln(2
−
sin
x
) b) y = log1
(
x
2−
x
+
1
)
c) y =
x
e
x
3
)
2
(
d) y =
e
1−xx
2e) y = ln
(
x
+
√
1
+
x
2
)
g) y =2
3x−4x2h) y = 10 1−sin
2x
i)
x
lnx
4 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng Phương trình mũ bản
(31) Phương trình mũ là phương trình có dạng ax=b a>0, a ¿ 0
Cách giải: nếu b ¿ 0 phương trình ax=b vơ nghiệm, Nếu b>0 phương trình có nghiệm
duy
1 Giải phương trình a)
2
x2−x−4
=
4
; Đáp số: x =3; x = -2 b) 5x =100; Đáp số: x =2 +log, c) 2.3x -6.3x-1=9 Đáp số: x¿
∅
.Dạng Sử dụng phương pháp đưa số
Chú ýrằng ax=ay ⇔ x = y, a>0, a ¿ 1.
2. Giải phương trình
a) 9x+1 =272x+1; Đáp số: x=
−
1
4
b) 0.125.42x-3 =(
√
2
8
)
2
; Đáp số: x =6 Dạng Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
3. Giải phương trình
a) 32x+5 = 3x+2 + 2; HD Đặt t =3x >0 ĐS x = -2; b) 27x + 12x = 2.8x HD: Chia hai vế cho 27x Đáp số: x= 0
Dạng Sử dụng phương pháp lơgarit hóa (lấy lơgarit hai vế)
X ét pt ax =by đ ó a>0, a ¿ 1; b>0, b ¿ 1 Lấy lôgarit số a hai vế pt ta x=y
log a b.
4. Giải phương trình a)
2
x2
=3-x ( Hướng dẫn: lôgarit số hai vế.) b) 3x-1
2
x2
= 8.4x-2 Đáp số: x = 1, x = 1-log
2 3.
Dạng Sử dụng tính đơn điệu hàm số mũ
Nếu a>1 ax > ay ⇔ x > y Nếu < a < ax>ay ⇔ x < y.
5. Giải phương trình
(32)Dạng Bất phương trình mũ 6. Giải bất phương trình
a)
(
1
2
)
x2−5x+4
>4 ( Đáp số: 2<x<3) b) 4x - 2.5 2x <10x HD: Chia hai vế cho 10x
Dạng Hệ phương trình mũ 7. Giải bất phương trình
a)
3−x+3−y=4
x+y=3
¿
{¿ ¿ ¿
¿ ; ĐS: (1;2) ; (2;1) b)(TSĐH, D, 2002)
4x+2x+1
2x+2 =y
23x=5 y2−4 y
¿
{¿ ¿ ¿
¿ ; Đáp số: (0;1) ; (2;4)
BÀI KIỂM TRA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1.
Giải phương trìnha)
(
2
+
√
3
)
2x=
2
−
√
3
; b)(
1
7
)
x2−2x−3
=
7
x+1 ;c)
5
x2
−5x−6
=
1
.2.
Giải phương trìnha)
32
x+5x−7
=
0
,
25.128
x+17
x−3
; b)
(
0
,
75
)
2x−3=
(
1
1
3
)
5−x
;
(33)a)
5
x−1+
5
3−x=
26
; b)3 4
x−
2.6
x=
9
x ;c)
(
√
7
+
√
48
)
x
+
(
√
7
−
√
48
)
x
=
14
;
4. Giải phương trình
a)
2
x2
−4
=
3
x−2; b)
3 4
x−
2 6
x=
9
x ;5. Giải phương trình
a)
3
x+
x
−
4
=
0
b)2
x.5
x=
1
5
.
(
10
x−1
)
5 ;6. Giải bất phương trình
a)
6
2x+3<
2
x+7.3
3x−1 ; b)4
x4
x−
3
x<
4
;7. Giải hệ phương trình
a)
x+y=1 3x
+3y =4
¿
{¿ ¿ ¿
¿ ; b)
2x+5x+y=7 2x−1.5x+y=5
¿
{¿ ¿ ¿
¿
(34)
5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT NÂNG CAO
A Các dạng tốn phương trình mũ
Dạng Phương pháp biến đổi tương đương
1
Nêu cách giải phương trình mũ dạng sau
a) a
f(x)= b với < a ≠ 1
b) a
f(x)= a
g(x_)với < a ≠ 1
Giải phương trình sau:
2.
5
x+ 5
x+1+ 5
x+2= 3
x+ 3
x+3– 3
x+1Đáp số:
3.
2
x+ 2
x-1+ 2
x-2= 3
x– 3
x-1+ 3
x-2Đáp số: x = 2
4.
Đáp số: x
5.
Đáp số: x = 3
6.
Đáp số:
7.
Đáp số:
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
8
Đáp số: x=-1; x=2.
9.
Cho phương trình
a) Giải phương trình m = 6
Đáp số:
5
25
log
31
x
2
3 ( ) sin
sin
8
8.8
x cos x x
3
(
x
1)
x1
2
2
(
x
2
x
2)
x
1
x
1; 2;2
2
8
36.3
x
x
x
x
4; log 18
3
2
2
2
xx2
x x3
(3 2)
tgx
(3 2)
tgx
m
4
(35)b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Đáp số:
m > 2.
10.
Tìm a để phương trình sau có nghiệm
Đáp số:
11.
Tìm m để
có nghiệm Đáp số:
Dạng 3: Bất phương trình mũ
12.
Đáp số: < x ≤
13.
Đáp số: x ≥ 2.
14.
Đáp số:
15.
1
3
10 3
10 3
0
x x
x x
Đáp
số:
16.
Đáp số: x ≤ 2.
B Các dạng toán phương trình lơgarit
Dạng Phương pháp biến đổi tương đương
17.
Nêu cách giải phương trình dạng log
af(x) = log
ag(x).
Giải phương trình sau:
18
log
2(25
x+3-1)=2+log
2(5
x+3+1)
Đáp số: x=-2.
;
.
2 2
2
1
9
l t(
a
2)3
l t2
a
1 0.
64
4
7
a
2
( 1)
x( 1)
xm
0
m
2 1
2.
1
8 2
x4
x2
x5.
2
1
2
log (4
x4) log (2
x3.2 );
x
2 2
2
4
x
x
.2
x 3.2
xx
.2
x8
x
12;
2
x
3;
2
x
1.
3
x
5;1
x
5.
1
15.2
x1
2
x1 2
x (36)19.
Đáp số: x=1
20.
Tìm m để pt
có nghiệm thuộc (0;1)Đáp số:
1
4
t
21.
Cho f(x) = xlog
22 với < x ≠ Tính f’(x) gbpt: f’(x) ≤ Đáp số:
Dạng 5: Phương pháp đặt ẩn phụ
Giải phương trình sau:
23.
log
x-1= = + log
2(x-1) ĐS:
24.
(x+1).(log
3x)
2+4x.log
3x - 16=0 ĐS:
25.
log
2(2
x+1).log
2(2
x+1+2)=6
Đáp số: x=log
23
26.
Cho phương trình
a) Giải phương trình m = 2.
Đáp số:
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn
Đáp số: ≤
m ≤ 2
Dạng Đoán nghiệm chứng minh nghiệm nhất
Giải phương trình sau:
27.
lg(x
2+x-6)+x
2+x-3=lg(x+3)+3x ĐS: x=3
Dạng Bất phương trình logarit
Giải phương trình sau:
3
2 27
16 log
0
x
x
2
2
2
4(log
x
)
log
x m
0
(0; \ 1
x
e
5
3;
4
x
x
1
;
3
81
x
x
2
3
log
x
log
x
1 2
m
1 0
3
3
x
3
1;3
.
(37)28.
Đáp số: x≥3
29.
Đáp số:
30
2
1
2
log 4
x4
log 2
x3.2
x
Đáp số: x≥2
Dạng Hệ phương trình mũ logarit
Giải hệ phương trình sau:
31.
Đáp số: (0;1); (2;4)
32.
Đáp số: (4;4)
33.
Đáp số: (4;4)
34.
Đáp số: (1;1), (9;3)
35.
2
2
3
y x
x y
loy
xy loy y
Đáp số:
23
3
log
;log
2
2
1
2
2log
x
2 log (
x
1) log 0
1
5
log
log 3
2
xx
0
x
1; 3
x
9
1
3
4
2
2
2
5
4
x x x x
x
y
y
y
2log (
) 5
2log
log
4
x
y
x
y
3log (
2
3
5 ) 3
log (
2
3
5 ) 3
x y
x
x
x
y
y
y
y
x
4
3
log
log
0
(38)HÌNH HỌC
VẤN ĐỀ 1.HỆ TOẠ ĐỘ,TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM,
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN.
1.
Định nghĩa hệ toạ độ Đêcac vng góc không gian ?
2.
Nêu định nghĩa tính chẩt toạ độ vectơ khơng gian ?
3.
Nêu định nghĩa tính chất toạ độ điểm không gian ?
4.
Nêu phương pháp xét tính thẳng hàng ba điểm A,B,C không
gian ?
Dạng tìm toạ độ vectơ
5.
Viết toạ độ vectơ
⃗
a
=
−
2
⃗
i
+⃗
j
;
⃗
b
=
7
⃗
i
−
8
⃗
k ;
⃗
c
=−
9
⃗
k
;
⃗
d
=
3
⃗
i
−
4
⃗
j
+
5
⃗
k
.
6.
Viết dạng
x
⃗
i
+
y
⃗
j
+
z
⃗
k
vectơ
1
0;
; 2
2
a
;
⃗
b
=(
4
;
−
5
;
0
)
;
4
1
;0;
3
3
c
;
d
(0; 3;0).
7.
Cho vectơ
⃗
a=(
2
;−
5
;
3
)
,
⃗
b
=(
0
;
2
;
−
1
)
,
⃗
c=(
1
;
7
;
2
)
Tìm tọa độ vectơ
1
4
3
3
x
a
b
c
y a
4
b
2
c
⃗
⃗
⃗
.
8.
Tìm tọa độ vectơ
⃗
x
biết
a)
⃗
a=(
0
;−
2
;
1
),
⃗
a
+ ⃗
x
=
4
⃗
a
; b)
⃗
a
=(
5
;
4
;
−
1
)
,
⃗
b
=(
2
;
−
5
;
3
)
,
⃗
a
+
2
⃗
x
=⃗
b
.
(39)9.
Cho ba vectơ
⃗
a
=(
1
;
−
1
;
1
)
,
⃗
b
(
4
;
0
;
−
1
)
,
⃗
c
(
3
;
2
;
−
1
)
Tìm tọa độ vectơ
⃗
x
=
(
⃗
a
.
⃗
b
)
⃗
c
và
3
2( )
y
a
a b b
2
c b
⃗
.
10.
Tính góc hai vectơ
⃗
a=(
4
;
3
;
1
)
⃗
b
=(−
1
;
2
;
3
)
.
Dạng Tìm tọa độ điểm
11.
Cho điểm
M
(−
1
;
2
;−
3
)
.
a) Biểu diễn điểm
M
trong hệ tọa độ
Oxyz
.
b) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm
M
mặt phẳng tọa
độ.
c) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm
M
trục tọa độ.
d) Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm
M
qua gốc tọa độ
e) Tìm toạ độ điểm đối xứng với điểm
M
qua mặt phẳng
Oxy
.
f) Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm
M
qua trục
Oy
.
12.
Cho hình hộp
ABCD A’B’C’D’
biết
A
(1;0;1),
B
(2;1;2),
D
(
1
;−
1
;
1
)
,
C’
(
4
;
5
;−
5
)
Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình hộp
Dạng Xét tính thẳng hàng ba điểm
13.
Xét tính thẳng hàng hai ba điểm sau đây:
a)
A
(1;3;1),
B
(0;1;2),
C
(0;0;1); b)
A
(1;1;1),
B
(
−
4
;
3
;
1
),
C
(
−
9
;
5
;
1
).
Dạng Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số
k
(40)chia đoạn thẳng
AB
theo tỷ số
k
=
−2.
15.
Cho điểm
A
(
2
;−
1
;
7
)
,
B
(
4
;
5
;−
2
)
.Đường thẳng
AB
cắt mặt phẳng
Oyz
tại
điểm
M.
hỏi điểm
M
chia đoạn thẳng
AB
theo tỷ số tìm toạ độ điểm
M
.
Dạng Bài toán liên quan đến tam giác
16
Cho ba điểm
A
(1;0;1) ,
B
(0;0;1) ;
C
(2;1;1).
a) Tính chu vi tam giác
ABC
;
b) Tìm toạ độ trọng tâm
G
tam giác
ABC
;
c) Tính góc tam giác
ABC
;
d) Tính diện tích tam giác
ABC
;
e) Tìm toạ độ đỉnh
D
để tứ giác
ABCD
hình bình hành;
g) Tính độ dài đường trung tuyến tam giác
ABC
qua
A
;
h) Tính độ dài đường cao tam giác
ABC
hạ từ đỉnh
A
;
i) Tính độ dài đường phân giác góc
A
tam giác
ABC
.
Dạng Bài toán liên quan đến độ dài đoạn thẳng
17.
Cho điểm
A
(3;1;0),
B
(
−
2
;
4
;
1
)
Tìm điểm
C
¿Oy
sao cho
CA
=
CB
.
18.
Cho điểm
A
(1;1;1),
B
(
−
1
;
1
;
0
)
,
C
(3;1;
−
1
)
.Tìm điểm
M
¿Oxz
cho
MA
=
MB
=
MC.
(41)1 55
11; ;
,
(0; 27;3)
3 3
x
y
⃗
a) (
0
;−
6
;
3
)
, b)
(
−
3
2
;−
9
2
;
2
)
.
a) (9;6;
−
3
)
, b) (35;
−
3
;−
5
)
.
10
arc cos
5
2
√
91
11 b) (
−
1
;
2
;
0
),(−
1
;
0
;−
3
),(
0
;
2
;−
3
),
c) (
−
1
;
0
;
0
),(
0
;
2
;
0
),
(
0
;
0
;−
3
),
d) (
1
;−
2
;
3
)
,
e) (
−
1
;
2
;
3
),
g) (1;2;3).
12
C
(2;0;2),
A’
(
3
;
5
;−
6
)
,
B’
( 4;6;
−
5
)
,
D’
(3;4;
−
6
)
13 a) Không thẳng hàng , b) Thẳng hàng
14
M
(
1
;
0
;
5
3
)
.
15
k
=
1
2
;
M
(0;
−
7
;
16
)
16 a)
b)
(
1
;
1
3
;
2
3
)
;
c)
A
=
90
°
, cos
B
=
√
10
5
, cos
C
=
√
15
5
;
d)
√
6
2
;
e) (1;1;2); g)
√
5
2
;
h)
√
30
5
;
i)
D
(
2
√
6
3
+
√
6
;
√
6
3
+
√
6
;
1
)
,
AD
=
√
12
5
+
2
√
6
.
17
0
;
6
11
;
0
18
(
5
6
;
0
;−
7
6
)
BÀI KIỂM TRA VẤN ĐỀ
HỆ TỌA ĐỘ, TỌA ĐỘC CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM
;
(42)1 Cho vectơ
⃗
a
= (1;2;3),
⃗
b
= (2;2;-1),
⃗
c
= (4;0;-4) Tìm tọa độ của
vectơ
⃗
x=
5
⃗
a−
3
⃗
b−
1
2
⃗
c
2 Cho vectơ
⃗
a
= (1;2;3),
⃗
b
= (2;2;-1),
⃗
c
= (4;0;-4) Tìm tọa độ của
vectơ
⃗
y
cho 2
⃗
a
+
⃗
b
-
⃗
c
+ 3
⃗
y
=
0
⃗
3 Chỉ ba điểm A, B, C thẳng hàng sau:
a) A(1;3;1), B (0;1;2), C (0;0;1);
b) A (0;-2;5), B (3;4;4), C (2;2;1)
4 Trong vectơ
⃗
a
= (6;4;10),
⃗
b
= (2;
3
10
;
3
4
),
⃗
c
= (1;-4;2),
⃗
d
=
(-6;-4;10), vectơ phương với vectơ
⃗
x
= (3;2;-5)
5 Trong vectơ sau
⃗
a
= -6
⃗
i
+ 8
⃗
j
+ 4k,b = 4
⃗
j
+ 2k,c =
⃗
i
- 4
⃗
j
+ 2k, vectơ phương với vectơ x có điểm đầu A (1;-1;3) điểm cuối là
B (-2;3;5).
6 Cho vectơ
⃗
a
(3;-5;6) có tọa độ điểm đầu (0;6;2) Tìm tọa độ điểm
cuối vectơ
⃗
a
7 Cho vectơ
⃗
b
(1;1;1) có tọa độ điểm cuối (2;1;4) Tìm tọa độ điểm
đầu vectơ
⃗
b
.
8 Tìm m để hai vectơ
⃗
x
= (1;m;-1) = (1;2;3) vng góc với nhau
9 Cho tọa độ bốn điểm A (5;2;-1), B (1;-3;4), C (-2,1;3), D (2;6;-2) Tứ giác
ABCD hình gì?
10 Cho tọa độ bốn điểm M (4;2;-6), N (5;-3;1), P (12,4;5), Q (11;9;-2) Tứ
giác MNPQ hình gì?
11 Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD hình bình hành biết A (1;0;0), B
(0;0;1), C (2;1;1).
y
(43)12 Tính góc B tam giác ABC biết tọa độ ba đỉnh A (1;0;0), B (0;0;1), C
(2;1;1).
13 Tính góc hai cạnh đối AB CD tứ diện ABCD có A (1;1;0), B
(0;2;1), C (1;0;2), D (1;1;1).
14 Tìm tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD biết A (1;1;0), B (0;2;1), C
(1;0;2), D (1;1;1).
15 Trong không gian cho ba vectơ
a⃗(3;-2;4),
⃗
b
(5;1;6),
⃗
c
(-3;0,2).
Tìm vectơ x
⃗
x
thỏa mãn
⃗
a
.
⃗
x
= 4,
b
⃗
.
⃗
x
= 35,
⃗
c
.
⃗
x
= 0.
16 Tính góc hai đường thẳng AB CD biết A (1;1;0), B (0;2;1), C
(1;0;2), D (1;1;1).
17 Cho tứ diện ABCD với A (2;3;1), B (4;1;-2), C (6;3;7), D (-5;-4;8) Tìm tọa
độ điểm I cách bốn điểm A,B,C,D.
18 Cho
⃗
a
= (-1;2;3),
⃗
b
= (2;-3;4),
⃗
c
= (3;4;-5)
⃗
x
= (-4;5;-1) Hay
phân tích vectơ
⃗
x
theo ba vectơ
⃗
a,
⃗
b ,
⃗
c
.
19 Cho điểm A (1;-1;0), B (0;-2;3) Tìm tọa độ điểm M biết M chia
đoạn thẳng AB theo tỷ số k =-3.
20 Tìm vectơ
⃗
u
có độ dài 2, tạo với vectơ
⃗
a
(1;1;1) góc 30
0, tạo
(44)VẤN ĐỀ TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ
1.
Nêu định nghĩa tích có hướng hai vectơ?
Giải:
Cho hai vec tơ
⃗u=(
x
1;y
1;z
1)
,
⃗v=(
x
2;y
2;z
2)
Khi tích có hướng của
⃗
u
⃗
v
, ký hiệu
[
⃗
u;
⃗
v
]
, xác định sau:
[⃗u;⃗v]=
(
|y
1y
2z
1z
2|;|
z
1z
2x
1x
2|;|
x
1x
2y
1y
2|
)
=(
y
1z
2−y
2z
1;z
1x
2−z
2x
1;x
1y
2−x
2y
1)
.
2.
Nêu tính chất tích có hướng hai vectơ?
Giải:
Nếu
⃗
u
⃗
v
phương
[
⃗
u
;
⃗
⃗
v
]
=⃗
0
;
[
⃗
u;
⃗
v
]
⊥⃗
u
[
⃗
u;
⃗
v
]
⊥⃗
v ;
|
[
⃗
u,
⃗
v
]
|=|⃗
u
|
.
|⃗
v
|
.sin
(
u,
⃗
⃗
v
)
.
3.
Nhắc lại khái niệm ba vectơ đồng phẳng? Nêu điều kiện cần đủ ba
vectơ đồng phẳng?
Giải:
ba vec tơ
⃗
u,
⃗
v
⃗
w
đồng phẳng
u v w
,
0
⃗ ⃗
4.
Nêu cơng thức tính diện tích tam giác ABC việc sử dụng tích có hướng?
Giải:
S
Δ ABC=
1
2
|
[
⃗
AB ;
⃗
AC
]
|
.
5.
Nêu cơng thức tính thể tích tứ diện ABCD?
Giải:
V
ABCD=
1
(45)6.
Nêu cơng thức tính thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’?
Giải:
V
ABCD.A ' B' C ' D'=|
[
⃗
AB;
⃗
AD
]
⃗
 '
|
.
7.
Tính tích có hướng hai vectơ
a)
⃗
a
=(
0
;
1
;
−
2
)
,
⃗
b
=
(
3
;
0.
−
4
)
.
Đs:
(
−
4
;
−
6
;
−
3
)
b)
⃗
x
=
4
⃗
i
+⃗
k ,
⃗
y
=
2
i
⃗
−⃗
j
.
Đs:
(
1
;
2
;
−
4
)
8.
Cho
⃗
a
=(
2
;
−
5
;
3
)
,
⃗
b
=
(
−
4
;
10
;
−
6
)
Chứng minh rằng:
a)
Hai vectơ
⃗
a
và
⃗
b
phương.
b)
Tích có hướng hai vectơ
⃗
a
⃗
b
⃗
0.
9.
Tính tích hỗn tạp
[⃗
a,
⃗
b
]
⃗
c
biết
⃗
á
=
(
4
;
2
;
5
)
,
b
⃗
=
(
3
;
1
;
3
)
,
c
⃗
=
(
2
;
0
;
1
)
.
Đs: 0
10.
Cho hai vectơ
⃗
a
=
(
−
2
;
5
;
3
)
,
b
⃗
=
(
−
4
;
1
;
−
2
)
.
Chứng minh rằng:
a)
Tích có hướng hai vectơ
⃗
a
⃗
b
vng góc với vectơ thành
phần.
b)
|
[
⃗
a,
b
⃗
]
|=|⃗
a
|
.
|⃗
b
|
.sin
(
⃗
a,
⃗
b
)
.
Đs:
|
[
⃗
a,
b
⃗
]
|=
(
−
13
;
−
16
;
18
)
⇒|
[
⃗
a;
b
⃗
]
|=
√
749
11.
Xét đồng phẳng ba vectơ
⃗
a
⃗
b
⃗
c
trường hợp sau
đây:
a)
⃗
a
=
(
1
;
−
1
;
1
)
,
b
⃗
=
(
0
;
1
;
2
)
,
c
⃗
=
(
4
;
2
;
3
)
.
Đs: Không
b)
⃗
a
=
(
4
;
3
;
4
)
,
⃗
b
=
(
2
;
−
1
;
2
)
,
c
⃗
=
(
1
;
2
;
1
)
.
Đs: Có
(46)a)
⃗
a
=
(
2
;
−
1
;
1
)
,
b
⃗
=
(
1
;
2
;
1
)
,
⃗
c
=
(
m;
3
;
−
1
)
.
Đs: m
=
−
8
3
b)
⃗
a
=
(
1
;
2
;
3
)
,
⃗
b
=
(
2
;
1
;m
)
,
⃗
c
=
(
2
;m ;
1
)
.
Đs: m
=1, m
=
9
13.
Cho
ba
điểm A
(
1
;
0
;
0
)
, B
(
0
;
0
;
1
)
, C
(
2
;
1
;
1
)
.
a)
Chứng minh
A, B, C
ba đỉnh tam giác.
b)
Tính diện tích tam giác
ABC.
14.
Cho hình hộp
ABCD.A’B’C’D’
biết A
(
1
;
0
;
1
)
, B
(
2
;
1
;
2
)
, D
(
1
;
−
1
;
1
)
, C’
(
4
;
5
;
−
5
)
Tính thể tích hình hộp
Đs: V
=
9
15.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A
(
1
;
0
;
1
)
, B
(
−
1
;
1
;
2
)
, C
(
−
1
;
1
;
0
)
, D
(
2
;
−
1
;
−
2
)
.
a)
Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện Đs:
[
⃗
AB ;
⃗
AC
]
⃗
AD
≠
0
Hướng dẫn:
Chứng minh ba vectơ
⃗
AB
,
⃗
AC
,
⃗
AD
không đồng phẳng.
b)
Tính diện tích tam giác BCD Đs: S(BCD)
=
√
13
c)
Tính đường cao tam giác BCD hạ từ đỉnh D
Đs: DK
=
√
13
d)
Tính cosin góc
∠CBD
Đs:
=
4
√
29
e)
Tính cosin góc hai đường thẳng AB CD
Đs:
cos
(
AB ,CD
)=
10
√
102
g) Tính thể tích tứ diện ABCD
Đs: V
ABCD=
1
3
h) Tính độ dài đường cao tứ diện qua đỉnh A
Đs: AH
=
1
(47)16.
Cho bốn điểm A
(
1
;
0
;
0
)
, B
(
0
;
1
;
0
)
, C
(
0
;
0
;
1
)
, D
(
−
2
;
1
;
−
1
)
a) Chứng minh bốn điểm A, B C D lập thành tứ diện.
b) Tìm góc tạo cạnh đối diện AC BD tứ diện Đs:
cos
(
AC ,BD
)=
1
√
10
c) Tính thể tích tứ diện
Đs: V
ABCD=
1
2
(48)BÀI KIỂM TRA VẤN ĐỀ TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1 Tính tích có hướng hai vectơ
⃗
a
=(1;2;
-
3),
⃗
b
=
(-
4;1;2).
2 Tính tích có hướng hai vectơ
⃗
x
= 3
⃗
i
+ 2
⃗
j
-
⃗
k
,
⃗
y
=-
⃗
i
- 3
⃗
j
+
⃗
k
.
3 Tính tích hỗn tạp [
⃗
a,
⃗
b
]
⃗
c
, biết
⃗
a
=(-3;1;-2),
⃗
b
=(1;1;1),
⃗
c
=(-2;2;1).
4 Xét tính đồng phẳng vectơ
⃗
a
,
⃗
b
,
⃗
c
, biết
⃗
a
=(1;2;3),
⃗
b
=(3;-1;2),
⃗
c
=(2;3;-1).
5 Tính thể tích tứ diện
ABCD,
biết rằng
6.
Tính chiều cao
DH
của tứ diện
ABCD
kẻ từ đỉnh
D,
biết
A
(2;3;1),
B
(4;1;-2),
C
(6;3;7),
D
(-5;-4;8).
7.
Tìm
mđể ba vectơ
⃗
x
,
⃗
y
,
⃗zđồng phẳng,
⃗
x
=(1;
m
;2),
⃗
y
=(
m
+1;2;1),
⃗z=(0;m-2;2).
8.
Tính diện tích tam giác
ABC
, biết
A
(1;2;-1),
B
(2;-1;3),
C
(-4;7;5).
9.
Tính độ dài đường cao
AH
tam giác
ABC
, biết
A
(1;2;-1),
B
(2;-1;3),
C
(-4;7;5).
10.
Tính thể tích hình hộp
ABCD
.
A
'B
'C
'D
',
biết
A(1;0;1),
B'(2;1;2),
D'(1;-1;1),
(49)[
⃗
u
;
⃗
v
] =
(
|
y
1z
1y
2z
2|;|
z
1x
1z
2x
2|;|
x
1y
1x
2y
2|
)
= (
y
1z
2-
y
2z
1;
z
1x
2-
z
2x
1;
x
1y
2-
x
2y
1).
Ba vectơ
⃗
u
,
⃗
v
w
⃗
đồng phẳng
⇔[
⃗
u
;
⃗
v
]
w
⃗
=0.
Cho tam giác
ABC
Khi ta có
S
Δ ABC=
1
2
| [ ⃗
AB;
⃗
AC
]|
.
Cho hình hộp
ABCD.A'B'C'D'Khi
V
ABCD.A'B'C'D'=
|[ ⃗
AB;
⃗
AD
]⃗
A A
'
|
.
Tính thể tích tứ diện
V
ABCD=
1
6
|[ ⃗
AB;
⃗
AC
] ⃗
AD
|
.
(50)VẤN ĐỀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Tự đọc SGK trả lời câu hỏi sau:
1. Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ? Vectơ
n
⃗
0
⃗
gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng (
)n
⃗
(
).2. Cặp vectơ phương mặt phẳng ? Cặp vectơ
u
⃗
,
v
⃗
gọi cặp vectơ phương (
)
u
⃗
,
v
⃗
không phương
u
⃗
,
v
⃗
song song nằm (
)3. Nếu
u
⃗
,
v
⃗
cặp vectơ phương (
) vectơ pháp tuyến (
) xác định ? Nếuu
⃗
,
v
⃗
cặp vectơ phương mặt phẳng (
)n
⃗
=
u v
;
⃗ ⃗
vectơ pháp tuyến (
)4. Phương trình mặt phẳng qua điểm M( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ pháp tuyến
n
⃗
= ( a; b; c) có dạng ?
Phương trình mặt phẳng (
) qua điểm M( x0; y0; z0 ) có vectơ pháp tuyếnn
⃗
= ( a; b; c) có dạng
a( x – x0 ) + b( y – y0 ) + c( z – z0 ) =
5. Phương trình mặt phẳng qua điểm A (a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), (abc
0) có dạng ? Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(a; 0; 0),B(0; b; 0),C(0; 0; c), (abc
0) có dạngPhương trình gọi phương trình theo đoạn chắn
6. Nêu vị trí tương đối hai mặt phẳng cách xác định ? Xem dạng
7. Nêu phương trình chùm mặt phẳng ? Xem dạng 3*
8. Nêu công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng? Xem dạng
9. Nêu cơng thức tính góc hai mặt phẳng ? Xem dạng (
)
a1a2+b1b2+c1c2=0DẠNG Viết phương trình mặt phẳng
Loại Viết phương trình mặt phẳng (
) qua điểm M(x0; y0; z0) vectơ pháp tuyếnn
⃗
= ( a; b; c) Cách giải:
Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến
n
⃗
(nếu chưa cho sẵn).
Bước 2: Sử dụng công thức
10 Viết phương trình mặt phẳng (
) qua điểm M(2; -3; 4) thỏa mãn điều kiện sau:1
x y z a b c
(51)a) Có vectơ pháp tuyến
n
⃗
=(2; -3; 1) Đs: -2x + 3y + z + = b) Vng góc với trục Oy Đs: y + =
c) Vng góc với NP với N(0; 2; -3),P( 2; -1; 3) Đs: 2x – 3y +6z – 37 = d) Song song với mặt phẳng(P):2x – y + 3z + = Đs: 2x – y + 3z – 19 =
Loại Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Cách giải:
Bước 1: Tìm tọa độ điểm I trunng điểm AB theo công thức
1
2
A B
x x x
,
A B
y y y
,
A B
z z z
Bước 2: Mặt phẳng trung trực AB qua I nhận AB
làm vectơ pháp tuyến. 11. Viết phương trình mặt phẳng trung trực AB trường hợp sau a) A( 2; 3; -4), B( 4; -1; 0) Đs: x – 2y + 2z + = b) A( -1; 2; 3), B(0; 3; -1) Đs: x + y – 4z +2 =
Loại Viết phương trình mặt phẳng (
) qua điểm A có cặp vectơ phươngu
⃗
,
v
⃗
Cách giải:
Bước 1: tính vectơ
n
⃗
=
u v
;
⃗ ⃗
làm vectơ pháp tuyến.
Bước 2: Mặt phẳng (
) qua điểm A nhậnn
⃗
=
u v
;
⃗ ⃗
làm vectơ pháp tuyến. 12. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A có cặp vectơ phương
u
⃗
,
v
⃗
trong trường hợp:
a) A( 1; -2; 1),
u
⃗
= ( 1; 0; 1),
v
⃗
= ( 2; 1; 0) Đs: x – 2y – z – = b) A( -2; 3; -2),
u
⃗
= ( -2; 4; 3),
v
⃗
= ( 2; -4; -5) Đs: 2x + y +1 =
Loại Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Cách giải:
Bước 1.Tính AB
,
AC
Từ tính
n
⃗
=
AB AC
;
(52)Bước Mặt phẳng (ABC) qua điểm A nhận
n
⃗
=
AB AC
;
⃗ ⃗
làm vectơ pháp tuyến. 13. Viết phương trình mặt phẳng qua ban điểm A, B, C trường hợp: a) A(3; -1; 5), B(4; 2; -1), C(1; -2; 3) Đs: 12x – 14y – 5z – 25 = b) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6) Đs: 6x + 3y - 13z + 39 = c) A(2; 0; 0), B(0; -1; 0),C(0; 0; 3) Đs: 3x – 6y + 2z – =
14. Cho điểm A(2; 3; 4) Hãy viết phương trình mặt phẳng qua hình chiếu A trên:
a) Các trục tọa độ Đs: 6x + 4y + 3z -12 =
b) Các mặt tọa độ Đs: 6x + 4y - 3z - 24 =
Loại Viết phương trình mặt phẳng (
) qua điểm A vng góc với hai mặt phẳng ( P ), ( Q ). Cách giải:Bước 1: Tính vectơ pháp tuyến
n
P
,
n
Q
hai mặt phẳng ( P ), ( Q ). Bước 2: Vì mặt (
) vng góc với hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) nênn
P
,
n
Q⃗
cặp vectơ phương (
)Bước 3: Áp dụng loại 3.
15. Viết phương trình mặt phẳng (
) qua điểm A vng góc với hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) trường hợp :a)A(-1; -2; 5),(P): x + 2y - 3z + = 0,(Q): 2x – 3y + z + = Đs: x + y + z – =
b)A(1; 0; -2),(P): 2x + y – z – = 0,(Q):x – y – z – = Đs: 2x- y + 3z + =
Loại Viết phương trình mặt phẳng (
) qua điểm A, B vng góc với hai mặt phẳng ( P ). Cách giải:Bước 1: Vì mặt (
) qua điểm A, B vng góc với hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) nên (
) có cặp vectơ phương AB
,
n
P
. Bước 2: Áp dụng loại 3.
16. Viết phương trình mặt phẳng (
) qua điểm A, B vng góc với hai mặt phẳng ( P ) trường hợp sau: (53)17. Hãy viết ptmp qua M( 2; -1; 2), song song với Oy vng góc với (P): 2x – y + 3x + = Đs: 3x – 2z – =
DẠNG Xét vị trí tương đối hai mặt phẳng Cách giải:
Cho hai mặt phẳng (
): a1x + b1y + c1z + d1 = 0,
a2x+ b2y + c2z + d2 = Khi đó:
a)
cắt
a1 : b1 : c1
a2 : b2 : c2.b)
song song
1 1 2 2
a b c d a b c d .
c)
trùng
1 1 2 2
a b c d a b c d .
18. Xét tính tương đối cặp mặt phẳng cho phương trình sau a)
: x + 2y – 7z – = 0,
: 2x + 3y – 7z – =b)
: x – 2y + z + = 0,
: 2x – 4y + 2z + = c)
: x + y + z – = 0,
: 2x + 2y + 2z + =19. Tìm a b để mặt phẳng sau song song với
a)
: 2x + ay + 2z + = 0,
: bx + 2y – 4z + = Đs: a = -1, b = -4 b)
: 2x + y + az - = 0,
:x + by + 2z + = Đs: a = 4, b =1
20. Biện luận theo m vị trí tương đối hai măt phẳng
: 2x – my + 3z - =
: ( m+ 3)x - 2y + ( 5m + 1)z - 10 = Đs: m = 1:
, m
1:
DẠNG 3* Chùm mặt phẳng ứng dụng để giải toán Cách giải:
Cho hai mp (
): a1x + b1y + c1z + d1 = 0,
a2x+ b2y + c2z + d2 = cắt nhau, tức a1 : b1 : c1
a2 : b2 :c2 Khi mặt phẳng qua giao tuyến (
)
gọi chùm mặt phẳng.
(54)21. Viết phương trình mặt phẳng trưởng hợp sau
a) Đi qua A( 2; 1; -1) qua giao tuyến (
): x – y +z – = 0
: 3x – y + z – = Đs: 15x – 7y + 7z – 16 = b) Qua giao tuyến (
): y + 2z – = 0,
: x + y – z = song song với
: x + y + z – = 0.Đs:Khơng có
c)Qua giao tuyến
: 3x - y + z - = 0,
: x + 4y – =
: 2x – z + = 0.Đs: x – 22y + 2z + 21 =22. Viết ptmp trìn qua giao tuyến
:2x –y +z +1= 0,
: x + 3y – z + = thỏa mãn điều kiện sau:a) Đi qua điểm A( 1; 2; 1) Đs: 7x – 7y + 5z + = b) Song song với trục Oy Đs: 7x + 2z + = c) Vng góc với
:-2x + 2y + 3z + = Đs: 5x + 8y – 2z + =23. Tìm a b để ba mặt phẳng sau qua đường thẳng:
: 3x – 7y + z – =
: x – 9y – 2z + = 0,
: 5x + ay + 4z + b = Đs: a = -5, b = -16DẠNG Tính khoảng cách
Loại 1.Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Cách giải: Sử dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm M( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng
: ax + by + cz + d =
24. Cho phương trình mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 10 = 0.Tính khoảng cách từ a) Điểm A(1; -1; 2) đến mặt phẳng (P) Đs: d (A; (P)) =
7
3.b) Điểm B ( -2; 3; 3) đển mặt phẳng (P) Đs: d (B; (P)) = 0.
25. Tìm điểm M trục Oz cách A( 2; 3; 4) (
) : 2x + 3y +z – 17 = Đs: M ( 0; 0; 3)26. Tìm điểm M trục Oy cách (
): x + y – z + = 0,
: x – y + z – = Đs: M ( 0; -3; 0)Loại Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song
02 2
ax
;
by
cz
d
d M a
a
b
c
(55)Cách giải:
Bước 1: Chọn điểm M có tọa độ cụ thể nằm mặt phẳng (
). Bước 2: Khi d ((
);
) = d (M;
).Bước 3: Áp dụng loại
27. Tính khoảng cách (
): x +2y+2z+11 =
: x+2y+2z+2 = Đs: d =28. Tìm tập hợp điểm M cách (
): 2x – y + 4z + =0,
: 3x + 5y –z -1 = Đs:
2 3
x +
5 3
y +
4 5
3
z +5 5
3
=DẠNG Tính góc mặt phẳng
Cách giải: Cho hai mặt phẳng (
):a1x +b1y +c1z +d1 = 0,
:a2x +b2y +c2z +d2 =0 tạo với góc
.Khi1 2 2 2 2 1 2
os
a b a b
n n a a b b c c c
n n a b c a b c
⃗ ⃗
29. Tính góc mặt phẳng (
): x + y – z + = 0,
: x – y + z – = Đs: cos
=1
3
DẠNG Sử dụng phương pháp tọa độ giải tập hình học khơng gian
30. Cho tứ diện OABC có mặt OAB, OBC, OCA tam giác vuông đỉnh O Gọi
,
,
góc hợp mp (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng (ABC) Bằng phương pháp tọa độ chứng minh rằng:a) Tam giác ABC tam giác nhọn b) cos2
+ cos2
+ cos2
= 1.c) Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh 2 2
1 1
(56)