Bài 2 Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm của BC.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA Định nghĩa và số tính chất 1.1 Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp ABCD gọi là tứ giác điều hòa tồn điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác cho M (ACBD) = −1, tức là (ACBD) = −1 1.2 Một số tính chất tứ giác điều hòa Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O) Khi đó ta có các tính chất sau: a, Với điểm M nằm trên (O) thì ta luôn có M (ABCD) = −1 AB CB b, = ⇔ AB.CD = CB.AD AD CD c, Tiếp tuyến A và C (O) và BD đồng quy đôi song song 2 2 IA BA DA d, Gọi {I} = AC ∩ BD Khi đó ta có: = = IC BC DC e, Tiếp tuyến A, C và BD đồng quy P Khi đó (P IBD) = −1 [ và ADC \ cắt trên AC f, Phân giác ABC \=M \ g, Gọi M là trung điểm AC thì ta có ADB DC (2) Nguyễn Hoàng Phi CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA Một số ví dụ tứ giác điều hòa Ví dụ Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), AB ∩ CD = {P }; AD ∩ BC = {Q}; AC ∩ BD = {M } Chứng minh O là trực tâm 4M P Q (Định lý Brocard) Qua Q kẻ hai tiếp tuyến QE, QF với (O) EF cắt AD và BC I, K Khi đó ta có tứ giác AEDF và BECF là tứ giác điều hòa ⇔ (QIAD) = (QKBC) = −1 ⇒ DC, AB, IK và AC, BD, IK đồng quy Mà OQ ⊥ EF ⇔ P M ⊥ OQ Chứng minh tương tự ta có: QM ⊥ OP Suy M là trực tâm 4P OQ Bài tập đề xuất (Sử dụng định lý Brocard): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có phân giác AD (ACD) ∩ AB = {A, E}; (ABD) ∩ AC = {A, F } Chứng minh: DO ⊥ EF (Đề xuất Nguyễn Đăng Khoa) (3) Nguyễn Hoàng Phi CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA Ví dụ Cho tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa Gọi M là trung điểm BD Đường thẳng qua C song song với AD cắt AM P Chứng minh 4P CD cân Lời giải Cách 1(Nguyễn Hoàng Phi): Gọi N là giao tiếp tuyến A, C và BD [ \ = BAC [ =N \ Ta có: AC là đường đối trung 4BAD ⇒ CP A = DAM DC.(1) \ = ADC \ = DCP \ ⇒ 4ACP ∼ 4N CD(g.g) ⇒ 4DCP ∼ 4N CA(c.g.c) Mặt khác ta có: ACN Suy DC = DP nên ta có đpcm (4) Nguyễn Hoàng Phi CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA Cách 2(Nguyễn Đăng Khoa): [ \ Ta có: CP A=M DC(1) ⇒ M CP D nội tiếp \ \ \ = DCP \ ⇒ DC = DP Từ đó ta có đpcm Suy ra: CP D = BM C = ADC Ví dụ Cho 4ABC có đường cao AH E là trung điểm AH Đường tròn (I) tiếp xúc với BC D \ DE ∩ (I) = {D, F } Chứng minh F D là phân giác BF C (Tài liệu chuyên toán hình 10) Gọi M, N là các tiếp điểm (I) trên AB và AC AD ∩ (I) = {D, P } Kẻ đường kính DQ (I) Vì DQ k AH; AE = EH ⇒ D(HAEQ) = −1 ⇔ D(DP F Q) = −1 ⇒ tứ giác DF P Q là tứ giác điều hòa (1) Mặt khác ta có tứ giác DM P N là tứ giác điều hòa (2) Từ (1) và (2) ta có: QF, M N và tiếp tuyến P, D đồng quy L LB MB BD = = ⇒ (LDBC) = −1 Áp dụng Menelaus ta có: LC NC DC \ Ta lại có F D ⊥ F L ⇒ F D là phân giác BF C (5) Nguyễn Hoàng Phi CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA Ví dụ Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (w1 ); (w2 ) cắt A và B Một tiếp tuyến chung ngoài hai đường tròn tiếp xúc với (w1 ) P và (w2 ) Q Các tiếp tuyến (AP T ) P, T cắt S Gọi H là điểm đối xứng B qua P T Chứng minh: A, H, S thẳng hàng (Vietnam TST 2001) [ [ ; BT [ [ ⇒ P[ \ Gọi C = AB ∩ P T Ta có: BP T = BAP P = BAT AT = 180◦ − P[ BT = 180◦ − P HT ⇒ H ∈ (AP T ) Mặt khác ta có: 4CBP ∼ 4CP A và 4CBT ∼ 4CT A PB BC BC BT AP AT Suy ra: P C = CB.CA = CT ⇒ CP = CT và = = = ⇔ = AP PC CT AT PH TH Vậy suy tứ giác AP HT là tứ giác điều hòa nên A, H, S thẳng hàng (6) Nguyễn Hoàng Phi CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA Ví dụ Cho tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp Gọi P, Q, R là chân đường vuông góc kẻ [ = ADC \ từ D xuống BC, CA, AB Chứng minh P Q = QR và phân giác ABC cắt trên AC (IMO 2003) Ta có: P, Q, R thẳng hàng (đường thẳng Simson) Ta có hai cặp tam giác: 4DQP ∼ 4DAB và 4DQR ∼ 4DCB QR QP BC AB Suy ra: QR = QP ⇔ = ⇔ = ⇔ ADBC là tứ giác điều hòa QD QD CD AD [ và ADC \ cắt trên AC Điều này tương đương với phân giác ABC (7) Nguyễn Hoàng Phi CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường cao AD, BE, CF đồng quy H HI là đường đối trung 4HBC Kẻ AK ⊥ HI Tia AH cắt (O) L, tia M H cắt (O) P Chứng minh: a, Tứ giác P BLC là tứ giác điều hòa b, (M IK) tiếp xúc (O) (Đề thi đội tuyển tỉnh Bắc Ninh) a, Ta dễ có: P, F, H, E, K, A đồng viên và L đối xứng với H qua BC Từ đó ta có: 4HM B ∼ 4BM P và 4M HC ∼ 4M CP (g.g) Làm tương tự ví dụ thì ta có tứ giác P BLC là tứ giác điều hòa b, Tiếp tuyến P , L (O) và BC đồng quy T Ta có: HP.HM = HA.HD = HI.HK ⇒ P ∈ (M IK) \ \ Mà BHI [ =M \ Ta lại có: T H = T L2 = T B.T C ⇒ T HB = HCB HC ⇒ T[ HI = T\ MH Suy T P = T H = T I.T M ⇒ T P là tiếp tuyến (M IP K) Suy (M IK) và (O) tiếp xúc P (8) Nguyễn Hoàng Phi CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA Ví dụ [ < 180◦ Lấy K ∈ OC Cho đường tròn (O) có đường kính AB C ∈ (O) thỏa mãn 90◦ < AOC Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD, AE tới (K, KC) Chứng minh rằng: DE, AC, BK đồng quy (Đề thi chọn đội tuyển VMO Hà nội 2015-2016) Gọi L, T là giao điểm AC với DE và (O) Gọi J = IK ∩ T C Từ đó ta có tứ giác T DCE là tứ giác điều hòa Suy tiếp tuyến T, C (K, KC) và DE đồng quy I Ta có: IL ⊥ AK; AL ⊥ IK ⇒ KL vuông góc với AI Q Khi đó ta có: IQ.IA = IJ.IK = IC Mà IC là tiếp tuyến (O) nên Q ∈ (O) ⇒ BQ ⊥ AI Suy điều phải chứng minh Ví dụ Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC 6= 2R Lấy A thuộc cung lớn BC D, K, J là trung điểm BC, CA, AB E, M, N là chân đường cao hạ từ A, B, C xuống BC, DJ, DK Chứng minh tiếp tuyến M, N (EM N ) cắt điểm T cố định (9) Nguyễn Hoàng Phi CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA Kẻ đường cao BU và lấy H là trực tâm 4ABC T D, T E cắt (O) điểm thứ là X, S Ta có: H, M, N, D, E đồng viên nên tứ giác M DN X là tứ giác điều hòa ⇒ H(M N XD) = −1 ⇒ H(BCXD) = −1 ⇒ HX k BC (do BD = CD) Suy T thuộc trung trực BC Mặt khác ta có: D(M EN S) = −1 mà DN k AB ⇒ A, S, D thẳng hàng Ta dễ có: S ∈ (AP HU ) ⇒ DS.DA = DU = DC và AH.AE = AS.AD TD DS DS DS.AD DC Theo định lý Thales ta có: = = ⇒ TD = = (không đổi) AH.AE AE AS AH 2OD AD Vậy T cố định hay ta có đpcm Ví dụ Cho 4ABC cân A, đường tròn (O) tiếp xúc AB, AC và cắt BC hai điểm phân biệt là K, L AK cắt (O) M Gọi P, Q là điểm đối xứng K qua B, C Chứng minh M, O và tâm (M P Q) thẳng hàng (THTT: T12/437) (10) Nguyễn Hoàng Phi CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA Gọi D, E là điểm tiếp xúc (O) với AB, AC Kéo dài M D cắt BC P Ta có: D(DEM K) = −1 mà DE k BC ⇒ BP = BK ⇒ P ≡ P Suy M, D, P thẳng hàng Tương tự ta có: M, E, Q thẳng hàng Xét VMK : D → P ; E → Q ⇒ (M DE) → (M P Q) Từ đó ta có đpcm Ví dụ 10 Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Lấy M, N thuộc E, F cho BN k AD k CN DM, DN cắt (I) điểm thứ là P và Q Chứng minh rằng: BP, CQ, AD đồng quy (Đề thi Olympic KHTN 2017) 10 (11) Nguyễn Hoàng Phi CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA Gọi S = EF ∩ BC AD cắt EF, P Q T, R AD ∩ (I) = {D, G} Ta dễ có: DG là tiếp tuyến (I) DF GE là tứ giác điều hòa Ta có: (SDBC) = −1 ⇒ (ST N M ) = −1 ⇒ D(ST N M ) = −1 ⇒ D(DGQP ) = −1 ⇒ DQGP là tứ giác điều hòa nên P Q qua S Suy ra: (SRQP ) = (SDBC) = −1 ⇒ QC, BP, RD đồng quy Ví dụ 11 Cho (O1 ) và (O2 ) cắt A, B Tiếp tuyến A, B (O1 ) cắt K Lấy M ∈ (O1 ) M A ∩ (O2 ) = {P, A}; M K ∩ (O1 ) = {C, M }; CA ∩ (O2 ) = {A, Q} Gọi H là trung điểm P Q Chứng minh rằng: a, M, H, C thẳng hàng b, Giao điểm tiếp tuyến P, Q (O2 ) thuộc đường thẳng cố định M di động (Vietnam TST 2002) 11 (12) Nguyễn Hoàng Phi CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA BC CQ = MB MP CQ AC Mặt khác tứ giác ACBM là tứ giác điều hòa nên = Áp dụng định lý Menelaus ta có MP AM điều phải chứng minh a, Ta có: 4BCQ ∼ 4BM P (g.g) ⇒ b, Kéo dài AK cắt (O2 ) N Ta có: 4BQN ∼ 4BCA và 4BN P ∼ 4BAM → P N QB là tứ giác điều hòa Suy giao điểm hai tiếp tuyến P, Q (O2 ) thuộc đường thẳng BN cố định Ví dụ 12 Cho 4ABC và điểm P nằm tam giác Lấy D, E là điểm đối xứng với P qua AC, AB I, K là hình chiếu P trên AC và AB (ADE) cắt đường tròn đường kính AP X Chứng minh tứ giác P IXK là tứ giác điều hòa 12 (13) Nguyễn Hoàng Phi CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA Cách 1(Nguyễn Đăng Khoa): Kẻ tia Xx là tia đối tia XS [ = AT [ [ = AXT \ Mà AX ⊥ XP ⇒ XP là phân giác Ta có: AP = AS = AT ⇒ AXx S = AST [ SXT [ = SAT [ = 2BAC [ ⇒ KXI [ =P \ [ Mặt khác: SXT XT = BAC XK XI XI ⇒ 4XKP ∼ 4XIT (g.g) ⇒ = = ⇒ XIP K là tứ giác điều hòa KP IT IP Cách 2(Nguyễn Hoàng Phi): 13 (14) Nguyễn Hoàng Phi CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA KP cắt AC Q, IP cắt AB R AP ∩ QR = T [ = AT [ [ ⇒ Q ∈ (AST ) Chứng minh tương tự ta có: R ∈ (AST ) Ta có: AQS S = 90◦ − BAC Theo định lý trục đẳng phương thì ta có: AX, IK, QR đồng quy L Mặt khác ta có: (LT RQ) = −1 ⇒ A(LT RQ) = −1 ⇒ A(XP KI) = −1 ⇒ XKP I là tứ giác điều hòa Bài tập rèn luyện Bài Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) Đường tròn (I) tiếp xúc với BC D Qua D kẻ đường vuông góc với AD cắt BI, CI E, F Chứng minh: DE = DF (Nguyễn Minh Hà) Bài Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm BC Các điểm N, P thuộc đoạn BC cho N đối xứng với P qua M Các đường thẳng AM, AN, AP theo thứ tự cắt (O) X, Y, Z Chứng minh rằng: BC, Y Z và tiếp tuyến X (O) đồng quy Bài Đường tròn nội tiếp (I) tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA D, E AD \ cắt lại (I) P Giả sử BP C = 90◦ Chứng minh rằng: EA + AP = P D Bài Cho tam giác ABC, D là trung điểm cạnh BC và E, Z là hình chiếu D trên AB, AC Gọi T là giao điểm các tiếp tuyến E, Z đường tròn đường kính AD Chứng minh rằng: T B = T C Hỗ trợ soạn thảo, chỉnh sửa: Nguyễn Đăng Khoa - Khóa 36 THPT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ 14 (15)