Tứ giác điều hòa và ứng dụng

Ta có một cách đơn giản để tìm đường đối trung của tam giác thông quatìm giao điểm của hai tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp như sau.. Do P là giao điểm của các tiếp tuyến kẻ từ các đỉnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THU TRANG

TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 10/2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THU TRANG

TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS TRẦN VIỆT CƯỜNG

Thái Nguyên, 10/2018

Mục lục

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1.1 Hàng điểm điều hòa 3

1.1.2 Chùm điều hòa 5

1.1.3 Đường đối trung 6

1.1.4 Đường tròn Apollonius 11

1.1.5 Một số định lý cơ bản 12

1.2 Tứ giác điều hòa 14

1.2.1 Định nghĩa 14

1.2.2 Một số tính chất 15

Chương 2 Một số ứng dụng của tứ giác điều hòa 23 2.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 23

2.2 Chứng minh đồng quy 28

2.3 Chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định 32

2.4 Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau 37

2.5 Chứng minh hai góc bằng nhau 45

2.6 Một số bài toán khác 49

Danh sách ký hiệu

CA(A, B, C, D) = −1 A, B, C, D là hàng điểm điều hòa

(OA, OB, OC, OD) = −1 OA, OB, OC, OD là chùm điều hòa

4ABC ∼ 4BP M Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BP M

I(O, r2) Phép nghịch đảo tâm O tỉ số r2

Danh sách hình vẽ

1.1 A, B, C, D là hàng điểm điều hòa 3

1.2 I là trung điểm đoạn AB 4

1.3 OD là phân giác ngoài của ∠AOB 4

1.4 I là trung điểm của EF 4

1.5 OA, OB, OC, OD là một chùm điều hòa 5

1.6 E, F, G, K là hàng điểm điều hòa 5

1.7 AQ là đường đối trung 9

1.8 Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A 11

1.9 Định lý Ceva 13

1.10 Định lý Menelaus 13

1.11 AP BQ là tứ giác điều hòa 14

1.12 E, G, D, C là hàng điểm điều hòa 15

1.13 BK là đường đối trung của tam giác ABC 17

1.14 ABCD là tứ giác điều hòa 19

1.15 DP và BP giao nhau trên đường thẳng AC 20

2.1 K, M, N thẳng hàng 24

2.2 A, E, F, C thẳng thàng 24

2.3 A, R, S, L thẳng hàng 25

2.4 A, H, S thẳng hàng 26

2.5 K, F, B, D thẳng hàng 27

2.6 EN, F M, AO đồng quy 28

2.7 BY, CZ và AD đồng quy 29

2.8 M D, N E, P F đồng quy 30

2.9 KN luôn đi qua một điểm I cố định 32

2.10 M N đi qua J cố định 33

2.11 P Q luôn đi qua một điểm cố định I 34

2.12 T là điểm cố định khi A thay đổi 35

2.13 I là trung điểm AH 37

2.14 B là trung điểm GH 38

2.15 T B = T C 39

2.16 D1E1 = D2E2 39

2.17 CF = F G 40

2.18 Q là trung điểm KV 41

2.19 DH = HK 42

2.20 P Q = QR 43

2.21 P C đi qua trung điểm BD 44

2.22 K là trung điểm của BD 44

2.23 T H là phân giác của góc M HN 45

2.24 ∠BP A = ∠CP M 46

2.25 ∠BAQ = ∠CAP 47

2.26 IB là phân giác góc AIC 48

2.27 BM CN là tứ giác điều hòa 49

2.28 C1P song song với AA1 50

2.29 F D·HKF H·DK = 3 51

Mở đầu

Từ xưa đến nay hình học luôn được xem là một môn học thú vị bởi nhữngkhám phá mới mẻ từ những định lý, tính chất và những ứng dụng đẹp của nó.Hình học là một phân môn quan trọng trong toán học, đã gắn bó với chúng tatrong quá trình học toán từ bậc tiểu học đến trung học phổ thông Sự kì diệucủa hình học nằm trong cả phát biểu của định lý, tính chất cũng như nhữngchứng minh của chúng, tiềm ẩn những thử thách sâu sắc để thách thức trí tuệcủa con người

Tứ giác điều hòa là một tứ giác đẹp và có nhiều ứng dụng trong hình họcphẳng Các bài toán liên quan đến tứ giác điều hòa là những bài toán hay vàkhó Nó có ứng dụng khá lớn trong các bài toán như chứng minh thẳng hàng,đồng quy, song song, vuông góc, trung điểm, chứng minh đi qua điểm cố định

và các bài toán về chứng minh hệ thức hình học

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của tứ giác điều hòa, tôi lựachọn đề tài nghiên cứu “Tứ giác điều hòa và ứng dụng” dưới sự hướng dẫn củaPGS TS Trần Việt Cường

Để giải quyết được vấn đề này, trước tiên chúng tôi tìm hiểu về định nghĩacũng như những tính chất của tứ giác điều hòa Tiếp đó, chúng tôi tìm hiểuviệc vận dụng các tính chất của tứ giác điều hòa vào việc giải một số dạng toán

cụ thể trong hình học phẳng

Nội dung của đề tài luận văn gồm hai chương

Chương 1 Một số vấn đề về tứ giác điều hòa Trong chương này, ngoài trìnhbày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến đề tài, chúng tôi trình bày địnhnghĩa và tính chất về tứ giác điều hòa Các nội dung của chương được tổnghợp từ các tài liệu [1, 3, 11]

Chương 2 Một số ứng dụng của tứ giác điều hòa Trong chương này, chúngtôi áp dụng các tính chất của tứ giác điều hòa vào giải một số dạng toán trong

hình học phẳng như: chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứngminh song song, chứng minh vuông góc, chứng minh hệ thức trong hình học,chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định Các nội dung của chương sẽtham khảo từ các tài liệu [4, 9, 10].

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Trần Việt Cường, ngườithầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoànthành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các thầy

cô giáo giảng dạy chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, Trường Đại họcKhoa học, Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tậptại trường

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học K10Q Trường Đại học Khoahọc, Đại học Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập vàlàm luận văn này

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đãtạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018

Người viết luận văn

Nguyễn Thị Thu Trang

Chương 1

Một số vấn đề về tứ giác điều hòa

Trong chương này, ngoài trình bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quanđến đề tài, chúng tôi trình bày định nghĩa và tính chất về tứ giác điều hòa.Các nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1, 3, 11]

1.1.1 Hàng điểm điều hòa

Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Trên một đường thẳng lấy bốn điểm A, B, C, D Khi

đó, A, B, C, D được gọi là hàng điểm điều hòa nếu chúng thỏa mãn hệ thức

Hình 1.1: A, B, C, D là hàng điểm điều hòa.

Nhận xét 1.1.2 Từ hệ thức (1.1), ta suy ra ngay trong hai điểm C và D phải

có một điểm nằm bên trong đoạn thẳng AB và điểm còn lại nằm ngoài đoạnthẳng AB

Tính chất 1.1.3 ([3]) Bốn điểm được gọi là hàng điểm điều hòa khi và chỉkhi một trong các hệ thức sau được thỏa mãn:

2 IA2 = IB2 = IC · ID (với I là trung điểm AB) (hệ thức Newton).

Hình 1.2: I là trung điểm đoạn AB.

3 Gọi J là trung điểm CD, ta có AC · AD = AB · AJ (hệ thức Maclaurin)

Hệ thức (1.1) và hệ thức Newton là hai dấu diện phổ biến nhất để chứngminh bốn điểm là một hàng điểm điều hòa

Định lý 1.1.4 ([3]) Cho (A, B, C, D) = −1 và điểm O sao cho OC là phângiác góc trong của ∠AOB thì OD là phân giác ngoài của ∠AOB

Hình 1.3: OD là phân giác ngoài của ∠AOB.

Định lý 1.1.5 ([3]) Cho (A, B, C, D) = −1 và điểm O nằm ngoài hàng điểmđiều hòa trên Một đường thẳng d cắt ba tia OC, OB và OD lần lượt tại E, I

và F Khi đó, I là trung điểm của EF khi và chỉ khi d song song với OA

Hình 1.4: I là trung điểm của EF

1.1.2 Chùm điều hòa

Định nghĩa 1.1.6 ([3]) Cho hàng điểm điều hòa (A, B, C, D) = −1 và O nằmngoài hàng điểm điều hòa trên Khi đó, ta gọi bốn tia OA, OB, OC, OD là mộtchùm điều hòa và kí hiệu (OA, OB, OC, OD) = −1

Hình 1.5: OA, OB, OC, OD là một chùm điều hòa.

Định lý 1.1.7 ([3]) Cho (OA, OB, OC, OD) = −1 Một đường thẳng d bất kìcắt các cạnh OA, OB, OC, OD lần lượt tại E, F, G, K Khi đó, ta có (F, F, G, K) =

−1

Hình 1.6: E, F, G, K là hàng điểm điều hòa.

Nhận xét 1.1.8 Qua định lí trên chúng ta có thể thấy từ một hàng điểmđiều hòa ban đầu sẽ “có” vô số chùm điều hòa xung quanh (cứ một điểm ngoàihàng điểm điều hòa nói trên sẽ cho ta một chùm điều hòa tương ứng) Và cứmỗi chùm điều hòa như vậy lại cho ta vô số hàng điểm điều hòa

Hệ quả 1.1.9 ([3]) Cho chùm điều hòa (Ox, Oy, Oz, Ot) = −1 Khi đó nếugóc zOt = 90◦ thì Oz là phân giác trong của góc xOy và Ot là phân giác ngoàixOy

Nhận xét 1.1.10 Từ Hệ quả 1.1.9, ta có nếu Oz là phân giác trong hoặc

Ot là phân giác ngoài thì góc zOt = 90◦ Mặt khác nếu 4 tia Ox, Oy, Oz, Otbất kì mà có góc zOt = 90◦ và Oz, Ot lần lượt là phân giác trong và phângiác ngoài của xOy thì (Ox, Oy, Oz, Ot) = −1 Đây là dấu hiệu quan trọng đểchứng minh 4 tia xuất phát từ một đỉnh là một chùm điều hòa

Hệ quả 1.1.11 ([3]) Cho chùm điều hòa (Ox, Oy, Oz, Ot) = −1 và một đườngthẳng d bất kì cắt Oz, Ot, Oy lần lượt tại A, B, I Khi đó d song song Ox khi

và chỉ khi I là trung điểm của AB

Nhận xét 1.1.12 Từ Hệ quả 1.1.11 ta có nếu d song song Ox và I là trungđiểm của AB thì đây cũng là một dấu hiệu quan trọng để chứng minh 4 tiaxuất phát từ một đỉnh là một chùm điều hòa

1.1.3 Đường đối trung

Định nghĩa 1.1.13 ([1]) Cho góc ∠xOy Ta nói hai đường thẳng d1 và d2 làcác đường đẳng giác trong góc đã cho nếu chúng cùng đi qua đỉnh O và đốixứng với nhau qua phân giác của góc đó

Ví dụ 1.1.14 Một trường hợp tầm thường là đường phân giác là đường đẳnggiác với chính nó

Định nghĩa 1.1.15 ([1]) Trong một tam giác, đường thẳng đẳng giác vớitrung tuyến xuất phát từ một đỉnh được gọi là đường đối trung của tam giác.Chú ý 1.1.16 Trong tam giác vuông, đường cao xuất phát từ đỉnh chính làđường đối trung

Ta có một cách đơn giản để tìm đường đối trung của tam giác thông quatìm giao điểm của hai tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp như sau

Bổ đề 1.1.17 ([1]) Cho tam giác ABC và (O) là đường tròn ngoại tiếp tamgiác ABC có tâm O Cho D là giao điểm của hai đường tiếp tuyến của (O) tạiđiểm B và C Khi đó AD trùng với đường đối trung của tam giác ABC.Chứng minh Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và kýhiệu ω là đường tròn có tâm tại D với bán kính BD Gọi P và Q lần lượt làgiao điểm của AB và AC với ω Trong tam giác ABQ, do ∠P BQ là góc ngoàicủa ∠ABQ nên ta có

∠P BQ = ∠BQC + ∠BAC

Từ (1.2) và (1.3), suy ra

∠ABC = ∠AQP

Tương tự, ta có

∠ACB = ∠AP Q

Do đó, ta có hai tam giác ABC và AQP đồng dạng Nếu M là trung điểm của

BC, vì D là trung điểm của QP , tính đồng dạng kéo theo ∠BAM = ∠QAD,

từ đó suy ra AM là phản xạ của AD qua đường phân giác Nói cách khác, AM

sin ∠DAC =

AB

AC.iv) DH

DK =

AB

AC (H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC).

v) A, D, P thẳng hàng, trong đó P là giao điểm của các tiếp tuyến kẻ từ cácđỉnh B và C của đường tròn (O)

Chứng minh Tính chất ii) phát biểu rằng đường đối trung chia trong cạnh đốidiện thành những phần tỉ lệ với bình phương các cạnh kề Áp dụng định lýSteiner cho trường hợp E là trung điểm của BC ta suy ra sự tương đương củai) và ii)

sin ∠ABCsin ∠ACB

DBDC

= ACAB

DB

DC =

ACAB

AB2

AC2 =

AB

AC.

Ta suy ra sự tương đương của ii) và iii).

Với H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC, ta có

sin ∠DAB = DH

AD, sin ∠DAC = DK

AD.Suy ra

DH

DK =

sin ∠DABsin ∠DAC =

AB

AC.Vậy iii) và iv) là tương đương nhau

Do P là giao điểm của các tiếp tuyến kẻ từ các đỉnh B và C của đường trònngoại tiếp (O) nên theo Bổ đề 1.1.17, ta có AP trùng với đường đối trung củatam giác AD cũng là đường đối trung của tam giác Tức là hai đường thẳngnày trùng nhau Suy ra A, D, P thẳng hàng

Chú ý 1.1.19 ([1]) Cho tam giác ABC Đường đối trung AE chia trong cạnh

Nhận xét 1.1.20 Cho tam giác ABC, gọi AE, AD lần lượt là đường đốitrung và đường đối trung ngoài của tam giác với E, D nằm trên cạnh BC Khi

Chứng minh Gọi P là một điểm của quỹ tích, tức là một điểm mà các khoảngcách P I, P H đến hai cạnh AB, AC thỏa mãn điều kiện

P I

P H =

c

b.Gọi Q là giao điểm của AP với BC Từ Q kẻ những đường thẳng QM vuônggóc với AB, QN vuông góc với AC Ta có

SABQ

SAQC =

BQ

QC.Vậy, ta có

BQ

QC =

c2

b2.Điều này chứng tỏ AQ là một đường đối trung

Đảo lại, lấy một điểm P0 bất kì trên đường đối trung AQ Kẻ P0I0 ⊥ AB

và P0H0 ⊥ AC Ta phải chứng minh

P0I0

P0H0 =

c

b.Thật vậy, vì AQ là một đường đối trung, nên ta có

SABQ

SAQC

= AB · QM

AC · QNnên

Hình 1.8: Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A

Nhận xét 1.1.23 Nếu tam giác ABC là tam giác cân với AB = AC, thìđường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A không xác định

Mệnh đề 1.1.24 ([9]) Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A của tamgiác ABC có tâm là chân đường đối trung ngoài của đỉnh A

Chứng minh Gọi Oalà giao điểm của đường đối trung ngoài của tam giác ABCvới cạnh BC Giả sử∠ABC > ∠ACB, ta được ∠EAB = 1

cùng với EAD là tam giác vuông tại A, ta thu được

OaA = OaD

Do đó Oa là tâm của đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A

Mệnh đề 1.1.25 ([9]) Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A của tamgiác ABC giao với đường tròn ngoại tiếp tam giác theo đường đối trung từ đỉnhA

Chứng minh Gọi S là giao điểm thứ hai của đường tròn Apollonius với đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC Do OaA là tiếp tuyến của đường trong ngoạitiếp tam giác ABC Do tính đối xứng, OaS cũng là tiếp tuyến của đường trònngoại tiếp tam giác Với tam giác ACS, OaA và OaS là đường đối trung ngoàicủa tam giác Suy ra COa là đường đối trung trong của tam giác ACS Ngoài

ra, ta thu được tứ giác ABSC là tứ giác điều hòa Do đó AS là đường đốitrung trong của tam giác ABC và mệnh đề được chứng minh

Nhận xét 1.1.26 Từ đây, theo Hình 1.15 suy ra đường tròn tâm Q đi qua

A và C là đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A của tam giác ABD.Đường tròn này (tâm Q, bán kính QC) cũng là đường tròn Apollonius tươngứng với đỉnh C của tam giác BCD

Tương tự, các đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh B và D của tamgiác ABC và ADC trùng nhau

1.1.5 Một số định lý cơ bản

Định lý 1.1.27 (Định lý Ceva, [1]) Cho tam giác ABC và ba đường thẳng

AA0, BB0, CC0 xuất phát từ các đỉnh của tam giác và cắt đường thẳng chứacạnh đối diện tại A0, B0, C0 sao cho: hoặc cả ba điểm A0, B0, C0 đều nằm trên

ba cạnh của tam giác hoặc một trong ba điểm đó nằm trên một cạnh của tamgiác còn hai điểm kia nằm trên phần kéo dài của hai cạnh còn lại Điều kiệncần và đủ để AA0, BB0, CC0 đồng quy hoặc song song với nhau là ta có hệ thức

Hình 1.9: Định lý Ceva

Định lý 1.1.28 (Định lý Menelaus, [1]) Cho tam giác ABC và ba điểm

A0, B0, C0 trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB sao cho hoặc cả

ba điểm A0, B0, C0 đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh, hoặc một trong bađiểm đó nằm trên phần kéo dài của một cạnh còn hai điểm kia nằm trên haicạnh của tam giác Điều kiện cần và đủ để A0, B0, C0 thẳng hàng là ta có hệthức

Định lý 1.1.29 (Định lý Pascal, [11]) Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F không

kể đến, thứ tự cùng thuộc một đường tròn Xét đường gấp khúc khép kín

AB, BC, CD, DE, EF, F A Gọi H, K, I lần lượt là giao điểm của các cặp đườngthẳng AB và ED, BC và EF, AF và CD Khi đó H, K, I thẳng hàng

Định lý 1.1.30 (Định lý Ptoleme, [11]) Nếu A, B, C và D là bốn đỉnh của tứgiác nội tiếp đường tròn thì

AC · BD = AB · CD + BC · AD

Định lý 1.1.31 (Đường thẳng Simson, [11]) Cho tam giác ABC nội tiếp trongđường tròn tâm O Giả sử S là một điểm nằm trên (O) sao cho S không trùngvới ba đỉnh của tam giác Khi đó hình chiều vuông góc A0, B0, C0 của S lầnlượt trên BC, CA, AB cùng nằm trên một đường thẳng Đường thẳng này đượcgọi là đường thẳng Simson của S đối với tam giác ABC.

Định lý 1.1.32 (Định lý Desargues, [11]) Trong mặt phẳng, cho hai tam giácABC và A0B0C0 Đặt A1 = BC ∩ B0C0, B1 = CA ∩ C0A0 và C1 = AB ∩ A0B0.Các đường thẳng AA0, BB0, CC0 đồng qui khi và chỉ khi A1, B1, C1 thẳng hàng.Định lý 1.1.33 (Định lý Braichon, [11]) Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếpđường tròn Khi đó các đường chéo AD, BE, CF đồng quy

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1 ([3]) Tứ giác ABCD nội tiếp và thỏa mãn AB

AD =

CBCDđược gọi là tứ giác điều hòa

Định lý 1.2.2 ([4]) Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn

M A và M B là tiếp tuyến vẽ từ M đến (O) Một cát tuyến qua M cắt (O) tại

P và Q Khi đó AP BQ là tứ giác điều hòa (Hình 1.11)

Hình 1.11: AP BQ là tứ giác điều hòa.

Chứng minh Ta có 4QAM ∼ 4AP M vì ta có AM2 = P M · M Q (theo địnhnghĩa phương tích của đường tròn) Do đó, ta có

AQ

AP =

AM

Do đó, theo định nghĩa ta có AP BQ là tứ giác điều hòa.

Nhận xét 1.2.3 Định lý trên cho ta cách dựng tứ giác điều hòa một cách

dễ dàng Để dựng một tứ giác điều hòa, ta vẽ một đường tròn, lấy một điểmbên ngoài đường tròn Từ điểm này xác định hai tiếp điểm với đường tròn và

vẽ một cát tuyến cắt đường tròn tại hai điểm Khi đó bốn điểm thu được tạothành một tứ giác điều hòa Ta cũng có điều ngược lại, tức là nếu AP BQ là tứgiác điều hòa thì tiếp tuyến tại A, tiếp tuyến tại B và P Q đồng quy tại mộtđiểm Ta sẽ chứng minh định lý đảo này ở phần sau

1.2.2 Một số tính chất

Tính chất 1.2.4 ([3]) Cho tứ giác điều hòa BDF C nội tiếp đường tròn tâm

O (BF khác đường kính) Gọi G là giao điểm của hai đường chéo Tiếp tuyếntại B và F của (O) giao nhau tại E Khi đó E, G, D, C là hàng điểm điều hòa

Hình 1.12: E, G, D, C là hàng điểm điều hòa.

Chứng minh Theo giả thiết BDF C là tứ giác điều hòa ta có E, G, D, C thẳnghàng Vì 4BGD đồng dạng với 4CGF nên ta có

CG : BG = CF : BD

Tương tự, vì 4BGC đồng dạng với 4DGF nên ta có

CE

CG =

DE

DG.Vậy E, G, D, C là hàng điểm điều hòa

Nhận xét 1.2.5 Từ tính chất trên ta thấy BE, BG, BD, BC là chùm điềuhòa, trong đó BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác điều hòaBDF C, G là giao điểm của hai đường chéo

Tính chất 1.2.6 ([3]) Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O), gọi M làgiao của hai tiếp tuyến của (O) tại B và D Gọi I là giao điểm của OM và

BD Khi đó IB là phân giác của góc AIC

Chứng minh Ta có AC cắt BD tại K thì (M, K, A, C) = −1 Ta có IM, IK,

IA, IC là chùm điều hòa và IM vuông góc IK nên IM, IK lần lượt là phângiác trong và phân giác ngoài của góc ∠AKC

Tính chất 1.2.7 ([3]) Cho ABCD là tứ giác điều hòa thì AC · BD = 2AB ·

Mặt khác, do ABCD nội tiếp nên theo định lý Ptoleme, ta có

AC · BD = AB · CD + AD · BC

Do đó AC · BD = 2AB · CD = 2BC · AD

Mệnh đề 1.2.8 ([9]) Trong tứ giác điều hòa, các đường chéo là đường đốitrung của tam giác xác định bởi các cạnh liên tiếp của tứ giác cùng với đườngchéo của nó

Hình 1.13: BK là đường đối trung của tam giác ABC

Chứng minh Xét tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa và K là giao điểm của haiđường chéo (Hình 1.13) Từ tính đồng dạng của tam giác ABK và DCK, tacó

Thay (1.14) vào (1.13) ta có



ABBC

2

= AK

CK.Suy ra BK là đường đối trung của tam giác ABC Tương tự, ta cũng chứngminh được AK là đường đối trung của tam giác ABD, CK là đường đối trungcủa tam giác BCD và DK là đường đối trung của tam giác ADC

Mệnh đề 1.2.9 ([9]) Nếu trong một tứ giác nội tiếp, đường chéo là đường đốitrung của tam giác tạo bởi đường chéo còn lại và hai cạnh liên tiếp thì tứ giác

là tứ giác điều hòa

Chứng minh Xét tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và K là giao điểm của haiđường chéo (Hình 1.13) Do BK là đường đối trung của tam giác ABC, ta có

AB

BC =

AD

DC.Vậy ABCD là tứ giác điều hòa

Nhận xét 1.2.10 Từ Mệnh đề 1.2.8 và Mệnh đề 1.2.9, ta có thu được mộtcách để dựng tứ giác điều hòa Trong một hình tròn, cho ABC là tam giác nộitiếp; ta xây dựng đường đối trung AK, ký hiệu D là giao của AK với đườngtròn Khi đó, ABCD là tứ giác điều hòa

Mệnh đề 1.2.11 ([9]) Trong tứ giác điều hòa, giao điểm của hai đường chéo

có khoảng cách đến hai cạnh của tứ giác tỉ lệ với độ dài hai cạnh đó

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.2.9, giao điểm của hai đường chéo nằm trênđường đối trung Áp dụng Mệnh đề 1.1.21 ta có khoảng cách từ giao điểm đếnhai cạnh của tứ giác tỉ lệ với độ dài hai cạnh đó

Mệnh đề 1.2.12 ([9]) Giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác điều hòacực tiểu tổng bình phương khoảng cách từ một điểm trong tứ giác đến các cạnh

Hình 1.14: ABCD là tứ giác điều hòa

Chứng minh Xét tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa và M là điểm bất kỳ bêntrong tứ giác Ký hiệu x, y, z, u lần lượt là khoảng cách từ M tới các cạnh

AB, BC, CD, DA Gọi a, b, c, d lần lượt là độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA(Hình 1.14) Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD Ta có

ax + by + cz + du = 2S

Điều này đúng với mọi x, y, z, u và a, b, c, d là số thực

Theo bất đẳng thức Cauchy - Buniakowski - Schwarz, ta được

Trong bất đẳng thức Cauchy - Buniakowski - Schwarz, dấu bằng xảy ra khi

Mệnh đề 1.2.13 ([9]) Hai tiếp tuyến tại hai đỉnh đối diện của môt tứ giácđiều hòa với đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó và đường thẳng đi qua hai đỉnhđối diện còn lại đồng quy

Hình 1.15: DP và BP giao nhau trên đường thẳng AC

Chứng minh Gọi P là giao điểm của đường tiếp tuyến tại D với đường trònngoại tiếp tứ giác điều hòa ABCD với cạnh AC (xem Hình 1.15)

Tương tự, nếu ta ký hiệu P0 là giao của tiếp tuyến tại B của đường trònngoại tiếp với cạnh AC, ta được

P A

P C =

P0A

P0Chay P = P0

Tương tự, ta chứng minh được tiếp tuyến tại A và C giao nhau tại điểm Qtrên đường chéo BD

Nhận xét 1.2.14 Từ mệnh đề trên ta suy ra ngay được định lý đảo của Định

lý 1.2.2, tức là nếu ABCD là tứ giác điều hòa thì tiếp tuyến tại A, tiếp tuyếntại C và BD đồng quy tại một điểm

Mệnh đề 1.2.15 ([9]) Cho ABCD là tứ giác điều hòa nội tiếp trong đườngtròn tâm O và gọi P là giao điểm của các tiếp tuyến tại B và D, và Q giaođiểm của các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn ngoại tiếp tứ giác Nếu K

là giao điểm của AC với BD, thì trực tâm của tam giác P KQ là O

Chứng minh Từ các tính chất của tiếp tuyến từ một điểm của đường tròn,

ta kết luận P O ⊥ BD và QO ⊥ AC Các hệ thức này chỉ ra trong tam giác

P KQ, P O và QO là các đường cao nên O là trực tâm của tam giác

Mệnh đề 1.2.16 ([9]) Trong tứ giác điều hòa, các đường tròn Apolloniustương ứng với các đỉnh của đường chéo ứng với hai tam giác xác định bởi cácđỉnh này và đường chéo còn lại là trùng nhau

Mệnh đề 1.2.17 ([12]) Giả sử ABCD là tứ giác điều hòa và O là điểm bất

kỳ trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác Khi đó OA, OB, OC, OD là chùm điềuhòa

Chứng minh Xét phép nghịch đảo I(O, r2) tâm O, tỉ số r2 (xem định nghĩaphép nghịch đảo trong [8]) Tính chất của phép đảo ngược đó là đoạn bất kỳ P Q

dưới phép đảo ngược I biến thành đoạn P0Q0 sao cho P0Q0 = r

2

OP · OQP Q Xétphép đảo ngược I (và vì tâm phép đảo ngược nằm trên đường tròn) bốn điểmđồng viên A, B, C, D sẽ được biến thành bốn điểm thẳng hàng A0, B0, C0, D0sao cho các đoạn tuân theo hệ thức trên Vì tứ giác ABCD điều hòa, ta cóBA

r 2 OB·OCBC =

r 2 OD·OADA

Bài toán 2.1.1 ([2]) Cho đường tròn (O) Lấy một điểm A ngoài đường tròn(O) Từ A ta kẻ hai tiếp tuyến AK, AN và một cát tuyến ACD bất kì đối vớiđường tròn trên Hai tiếp tuyến qua C và D cắt nhau tại M Khi đó, ta có

Hình 2.1: K, M, N thẳng hàng

Bài toán 2.1.2 ([2]) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O),

M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm của AB, BC, CD, CA với đường tròn Gọi

K là giao điểm của M Q với N P Gọi E và F là hai tiếp tuyến của K với (O).Chứng minh rằng

a) A, E, F, C thẳng thàng

b) OK vuông góc với AC

Hình 2.2: A, E, F, C thẳng thàng

Lời giải a) Gọi E0 và F0 là hai giao điểm của AC với (O) Hai tiếp tuyến qua

E0 và F0 cắt nhau tại K0 Áp dụng Bài toán 2.1.1 với hai tiếp tuyến CN, CP

và cát tuyến CF0E0 suy ra K0, N, P thẳng hàng

Tương tự, K0, M, Q thẳng hàng hay K0 là giao điểm của M Q với N P hay

K0 ≡ K