Tứ giác điều hòa và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THU TRANG TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THU TRANG TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRẦN VIỆT CƯỜNG Thái Nguyên, 10/2018 i Mục lục Danh sách ký hiệu ii Danh sách hình vẽ iv Mở đầu Chương Một số vấn đề tứ giác điều hòa 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Hàng điểm điều hòa 1.1.2 Chùm điều hòa 1.1.3 Đường đối trung 1.1.4 Đường tròn Apollonius 1.1.5 Một số định lý 1.2 Tứ giác điều hòa 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Một số tính chất Chương Một số ứng dụng tứ giác điều hòa 2.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 2.2 Chứng minh đồng quy 2.3 Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định 2.4 Chứng minh hai đoạn thẳng 2.5 Chứng minh hai góc 2.6 Một số toán khác 3 11 12 14 14 15 23 23 28 32 37 45 49 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 ii Danh sách ký hiệu ∠AOB Góc AOB CA −→ Độ dài đại số vécto CA (A, B, C, D) = −1 A, B, C, D hàng điểm điều hòa (OA, OB, OC, OD) = −1 OA, OB, OC, OD chùm điều hòa (O) Đường tròn tâm O △ABC Tam giác ABC △ABC ∼ △BP M Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BP M AB ⊥ CD Đoạn AB vng góc CD const Hằng số I(O, r2 ) Phép nghịch đảo tâm O tỉ số r2 iii Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 A, B, C, D hàng điểm điều hòa I trung điểm đoạn AB OD phân giác ∠AOB I trung điểm EF OA, OB, OC, OD chùm điều hòa E, F, G, K hàng điểm điều hòa AQ đường đối trung Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A Định lý Ceva Định lý Menelaus AP BQ tứ giác điều hòa E, G, D, C hàng điểm điều hòa BK đường đối trung tam giác ABC ABCD tứ giác điều hòa DP BP giao đường thẳng AC 4 5 11 13 13 14 15 17 19 20 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 K, M, N thẳng hàng A, E, F, C thẳng thàng A, R, S, L thẳng hàng A, H, S thẳng hàng K, F, B, D thẳng hàng EN, F M, AO đồng quy BY, CZ AD đồng quy M D, N E, P F đồng quy KN qua điểm I cố định M N qua J cố định P Q qua điểm cố định I T điểm cố định A thay đổi 24 24 25 26 27 28 29 30 32 33 34 35 iv 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 I trung điểm AH B trung điểm GH T B = T C D1 E1 = D2 E2 CF = F G Q trung điểm KV DH = HK P Q = QR P C qua trung điểm BD K trung điểm BD T H phân giác góc M HN ∠BP A = ∠CP M ∠BAQ = ∠CAP IB phân giác góc AIC BM CN tứ giác điều hòa C1 P song song với AA1 F D·HK F H·DK = 37 38 39 39 40 41 42 43 44 44 45 46 47 48 49 50 51 Mở đầu Từ xưa đến hình học ln xem mơn học thú vị khám phá mẻ từ định lý, tính chất ứng dụng đẹp Hình học phân mơn quan trọng tốn học, gắn bó với q trình học tốn từ bậc tiểu học đến trung học phổ thơng Sự kì diệu hình học nằm phát biểu định lý, tính chất chứng minh chúng, tiềm ẩn thử thách sâu sắc để thách thức trí tuệ người Tứ giác điều hòa tứ giác đẹp có nhiều ứng dụng hình học phẳng Các tốn liên quan đến tứ giác điều hịa tốn hay khó Nó có ứng dụng lớn toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy, song song, vng góc, trung điểm, chứng minh qua điểm cố định toán chứng minh hệ thức hình học Với mong muốn tìm hiểu sâu ứng dụng tứ giác điều hịa, tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu “Tứ giác điều hòa ứng dụng” hướng dẫn PGS TS Trần Việt Cường Để giải vấn đề này, trước tiên chúng tơi tìm hiểu định nghĩa tính chất tứ giác điều hịa Tiếp đó, chúng tơi tìm hiểu việc vận dụng tính chất tứ giác điều hịa vào việc giải số dạng tốn cụ thể hình học phẳng Nội dung đề tài luận văn gồm hai chương Chương Một số vấn đề tứ giác điều hịa Trong chương này, ngồi trình bày số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến đề tài, chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất tứ giác điều hòa Các nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1, 3, 11] Chương Một số ứng dụng tứ giác điều hịa Trong chương này, chúng tơi áp dụng tính chất tứ giác điều hòa vào giải số dạng tốn hình học phẳng như: chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh song song, chứng minh vng góc, chứng minh hệ thức hình học, chứng minh đường thẳng qua điểm cố định Các nội dung chương tham khảo từ tài liệu [4, 9, 10] Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Trần Việt Cường, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Phịng Đào tạo, thầy giáo giảng dạy chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học K10Q Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên động viên giúp đỡ trình học tập làm luận văn Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Thị Thu Trang Chương Một số vấn đề tứ giác điều hòa Trong chương này, ngồi trình bày số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến đề tài, chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất tứ giác điều hịa Các nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1, 3, 11] 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Hàng điểm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Trên đường thẳng lấy bốn điểm A, B, C, D Khi đó, A, B, C, D gọi hàng điểm điều hòa chúng thỏa mãn hệ thức CA DA =− CB DB (1.1) Ký hiệu (A, B, C, D) = −1 Hình 1.1: A, B, C, D hàng điểm điều hòa Nhận xét 1.1.2 Từ hệ thức (1.1), ta suy hai điểm C D phải có điểm nằm bên đoạn thẳng AB điểm lại nằm ngồi đoạn thẳng AB Tính chất 1.1.3 ([3]) Bốn điểm gọi hàng điểm điều hòa hệ thức sau thỏa mãn: 1 = + (hệ thức Descarter) AB CA DA IA2 = IB = IC · ID (với I trung điểm AB) (hệ thức Newton) Hình 1.2: I trung điểm đoạn AB Gọi J trung điểm CD, ta có AC · AD = AB · AJ (hệ thức Maclaurin) Hệ thức (1.1) hệ thức Newton hai dấu diện phổ biến để chứng minh bốn điểm hàng điểm điều hòa Định lý 1.1.4 ([3]) Cho (A, B, C, D) = −1 điểm O cho OC phân giác góc ∠AOB OD phân giác ngồi ∠AOB Hình 1.3: OD phân giác ∠AOB Định lý 1.1.5 ([3]) Cho (A, B, C, D) = −1 điểm O nằm hàng điểm điều hòa Một đường thẳng d cắt ba tia OC, OB OD E, I F Khi đó, I trung điểm EF d song song với OA Hình 1.4: I trung điểm EF 41 Lại có (B, E, C, T ) = −1 nên ta có (DB, DE, DC, DT ) = −1 (2.3) Từ (2.2) (2.3) suy điều phải chứng minh Bài toán 2.4.6 ([2]) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P điểm cạnh BC, M trung điểm BC AP cắt (O) điểm thứ hai P ′ Đường tròn ngoại tiếp tam giác P P ′ M cắt (O) điểm thứ hai N AN cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác P P ′ M Q Đường thẳng P Q cắt đường thẳng AB, AC V, K Chứng minh Q trung điểm KV Hình 2.18: Q trung điểm KV Lời giải Gọi giao điểm N P ′ với đường BC G Dùng phương tích ta thu GM · GP = GP ′ · GN = GB · GC Do đó, ta có (B, C, G, P ) = −1 hay (P ′ B, P ′ C, P ′ G, P ′ P ) = −1 Suy ABN C tứ giác điều hòa Ta có ∠P QN + ∠P P ′ N = 180◦ ∠ACN + ∠P P ′ N = 180◦ ∠ACN = ∠xAN 42 Do ∠P QN = ∠xAN Do P Q song song với tiếp tuyến Ax (O) Mà ABN C tứ giác điều hòa nên (Ax, AN, AB, AC) chùm điều hòa Do P Q Ax nên Q trung điểm KV Bài tốn 2.4.7 ([6]) Từ điểm A nằm ngồi (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) cát tuyến ADE Qua D kẻ đường thẳng vng góc OB cắt BC, BE H, K Chứng minh DH = HK Hình 2.19: DH = HK Chứng minh Gọi I giao điểm BC ED, ta có ECDB tứ giác điều hịa nên (BE, BD, BI, BA) = −1 Mặt khác, ta có DK AB (cùng vng góc với OB) nên H trung điểm DK Bài toán 2.4.8 (IMO–2003,[6]) Giả sử ABCD tứ giác nội tiếp Gọi P, Q, R chân đường vng góc hạ từ D đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh P Q = QR phân giác góc ∠ABC ∠ADC cắt AC 43 Hình 2.20: P Q = QR Lời giải Ta biết P, Q, R thẳng hàng (đường thẳng Simson) Qua B vẽ đường thẳng song song với P R cắt AC M Phân giác góc B D cắt BA DA điểm AC = QP = QR BC DC (M, Q, A, C) = −1 Vậy ta cần chứng minh tứ giác ABCD điều hòa AB CM CB AM = = Mặt khác (M, Q, A, C) = −1 Ta có AQ AR CQ CP △DAR ∼ △DCP (g.g), suy ta có AR DA = CP DC Do ta có CM AM = AQ CQ AB CB ⇔ = AR CP AR AB = ⇔ CB CP AB DA ⇔ = CD DC (M, Q, A, C) = −1 ⇔ Bài tốn 2.4.9 ([5]) Từ điểm P ngồi đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến P A, P B với đường trịn Từ B vẽ BD vng góc với đường kính AC D Chứng minh P C qua trung điểm BD 44 Hình 2.21: P C qua trung điểm BD Lời giải Cách Gọi I, K giao điểm P C với (O) BD Gọi H giao điểm P O AB Dễ thấy H trung điểm AB hay HA = HB Ta có P O ⊥ AB hay ∠P HA = 90◦ Mặt khác, ∠P IA = 90◦ Suy P IHA tứ giác nội tiếp Từ ∠KIH = ∠P AH bù với ∠P IH Hơn nữa, P A BD (vì vng góc với AC) Do ∠P A = ∠KBH (hai góc so le trong) Cho nên ta có ∠KIH = ∠KBH Hay tứ giác KBIH nội tiếp Do ∠BHK = ∠BIK chắn cung BK Mặt khác, ∠BIK = ∠BAC chắn cung nhỏ BC (O) Do ∠BHK = ∠BAC Mà hai góc vị trí đồng vị nên HK AC, hay HK AD Xét tam giác BAD có HK AD, HB = HA nên KB = KD hay K trung điểm BD Hình 2.22: K trung điểm BD 45 Cách Gọi I, K giao điểm P C với (O) BD Từ C vẽ tiếp tuyến Cx với (O) Dễ thấy Cx BD Ta có AIBC tứ giác điều hòa nên (C, B, I, A) = −1, kéo theo (Cx, CB, CI, CA) = −1 Mặt khác BD Cx, suy KB = KD hay K trung điểm BD Nhận xét 2.4.10 Có thể thấy với tốn, việc sử dụng tính chất tứ giác điều hịa cho ta lời giải ngắn gọn, xúc tích 2.5 Chứng minh hai góc Bài tốn 2.5.1 ([2]) Từ điểm A nằm (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) Lấy T thuộc cung nhỏ BC Kẻ T H vng góc với BC (tại H) Chứng minh T H phân giác góc M HN (M, N giao điểm tiếp tuyến T (O) với AB, AC) Hình 2.23: T H phân giác góc M HN Lời giải Gọi S giao điểm M N BC Kẻ tiếp tuyến ST ′ (O) (T khác T ′ ), P giao điểm SC T T ′ Khi đó, ta có BT CT ′ tứ giác điều hòa Suy A, T, T ′ thẳng hàng Ta có (HS, HT, HM, HN ) = (AS, AT, AM, AN ) = (AS, AP, AB, AC) = −1 Mà HT ⊥ SC nên HT phân giác góc M HN Bài toán 2.5.2 ([2]) Cho tam giác ABC (AB < AC) Gọi AM trung tuyến N điểm cạnh BC cho ∠N AB = ∠M AC Đường AN 46 cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC P Chứng minh ∠BP A = ∠CP M Hình 2.24: ∠BP A = ∠CP M Lời giải Do giả thiết ∠N AB = ∠M AC nên ABP C tứ giác điều hòa Do vậy, ta có AB ·P C = AC ·BP Áp dụng định lý Ptoleme ta có AB ·P C = AP ·BC hay AB · P C = AP · CM Suy ra, ta có AB CM = AP CP Do △ABP ∼ △CM P Do ∠BP A = ∠CP M Bài toán 2.5.3 ([8]) Cho ABC tam giác xét đường thẳng song song với BC cắt AB AC M N Ký hiệu P giao điểm BN CM Nếu đường tròn ngoại tiếp tam giác BM P CP N cắt P Q, chứng minh ∠BAQ = ∠CAP 47 Hình 2.25: ∠BAQ = ∠CAP Lời giải Áp dụng định lý Thales ta có AP qua trung điểm M N BC Gọi D giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với AQ Ta có ∠QDB = ∠N CB ∠BQD = 180 − ∠BQA = 180 − ∠AN B = ∠BN C Do đó, ta có △BQD ∼ △BCN Tương tự, ta có △CQD ∼ △CM B Do BD QD CD QD = = BC NC BC MB Chia hai hệ thức cho nhau, ta thu BD MB AB = = CD NC AC Bài toán 2.5.4 ([5]) Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi M giao điểm hai tiếp tuyến (O) B D Gọi I giao điểm OM BD Chứng minh IB phân giác góc AIC 48 Hình 2.26: IB phân giác góc AIC Lời giải Cách (Sử dụng hình học sơ cấp) Dễ thấy M B = M C · M A Mặt khác M B = M O · M I Suy M C · M A = M O · M I Vậy tứ giác AOIC nội tiếp Do ∠M IC = ∠OAC bù với ∠OIC, ∠OCA = ∠OIA chắn cung OA Từ suy ∠M IC = ∠OIA (2.4) ∠BIM = ∠BIO = 90◦ (2.5) Lại có Từ (2.4) (2.5) suy ∠BIM − ∠M IC = ∠BIO − ∠OIA Hay ∠BIC = ∠BIA Suy IB phân giác ∠AIC Cách (sử dụng tính chất tứ giác điều hịa chùm điều hòa) Gọi K giao điểm M A với BD Dễ thấy ABCD tứ giác điều hòa nên (DA, DC, DK, DM ) = −1 hay (A, C, K, M ) = −1, hay (IA, IC, IK, IM ) = −1 (2.6) IK ⊥ IM (2.7) Mặt khác, Từ (2.6) (2.7) suy IK IM phân giác ∠AIC Vậy IB phân giác ∠AIC 49 2.6 Một số toán khác Bài toán 2.6.1 ([5]) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Trên trung BAC (O) lấy điểm D Phân giác góc BDC cắt đường trịn đường kính AE M, N Chứng minh BM CN tứ giác điều hịa Hình 2.27: BM CN tứ giác điều hịa Lời giải Ta có AM EN tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính AE nên ∠AM E = ∠AN E = 90◦ (2.8) Ta lại có ABCD nội tiếp (O) nên ∠CDE = ∠ABC, ∠M DC = ∠BDC = BAC Từ ∠CDE + ∠M CD = ∠ABC + ∠BAC = 90◦ Hay ∠M DE = 90◦ (2.9) M A2 = AD · AE = N A2 (2.10) Từ (2.8) (2.9) suy Dễ thấy ∠ADC = 180◦ − ∠ABC ABCD nội tiếp, ∠ACE = 180◦ − ∠ACB chúng kề bù Từ ∠ADC = ∠ACE hay △ADC ∼ △ACE Cho nên CA2 = AD · AE (2.11) 50 Tương tự, ta có BA2 = AD · AE (2.12) Từ (2.10), (2.11) (2.12) suy M A = N A = AB = AC Vậy tứ giác M BN C nội tiếp đường trịn (A, AB) tâm A bán kính AB Hơn nữa, ta có N E ⊥ N A, M E ⊥ M A Suy M A, N A tiếp tuyến M N đường tròn (A, AB) Mặt khác, B, C, E thẳng hàng suy M N BC tứ giác điều hòa Bài tốn 2.6.2 ([2]) Cho đường trịn (I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tam giác ABC không cân A1 , B1 , C1 Gọi M, N trung điểm B1 C1 , C1 A1 Đường thẳng M N cắt BC P Chứng minh C1 P song song với AA1 Hình 2.28: C1 P song song với AA1 Lời giải Gọi giao điểm thứ hai AA1 (I) R, Q trung điểm RA1 Ta có ∠N A1 P = C1 RQ Do P N A1 B1 nên ∠N P A1 = ∠B1 A1 C = ∠A1 C1 B1 Do A1 C1 RB1 tứ giác điều hòa nên C1 B1 đường đối trung tam giác C1 A1 R, ∠A1 C1 B1 = ∠RC1 Q Do △P A1 N ∼ C1 RQ, suy ta có △C1 P A1 ∼ △A1 C1 R Suy ∠P C1 A1 = ∠C1 A1 R Suy C1 P AA1 51 Bài tốn 2.6.3 ([2]) Đường trịn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc BC D AB F , cắt lại đường thẳng AD H đường thẳng CF K F D · HK = Chứng minh F H · DK Hình 2.29: F D·HK F H·DK = Lời giải Gọi E tiếp điểm (I) với AC E Ta thấy F HED F EKD tứ giác điều hịa Sử dụng tính chất tứ giác điều hịa, ta có 2EK · F D = 2F E · DK = ED · F K; 2HF · DE = 2HE · DF = HD · F E Nhân đẳng thức theo vế ta 4(HF · DE) · (F E · DK) = (HD · F E) · (DE · F K) Hay HD · F K = 4F H · DK Sử dụng định lý Ptoleme cho tứ giác F HDK ta có F D · HK = 3F H · DK Do đó, ta có F D · HK = F H · DK Bài toán 2.6.4 Cho tứ giác nội tiếp ABCD Đặt E = AC ∩ BD, F = AD ∩ BC M trung điểm CD EF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác M AB N (M, N thuộc hai nửa mặt phẳng khác bờ AB) Chứng minh NA MA = MB NB 52 Lời giải Gọi (O′ ) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM Đặt J = EF ∩ BC, I = EF ∩ CD, K = AB ∩ CD Ta có (K, J, A, B) = −1 ⇒ (K, I, D, C) = −1 Do M trung điểm CD, theo hệ thức Maclaurin, ta có KM · KI = KC · KD Mặt khác, KC · KD = KA · KB Từ suy I thuộc (O′ ) Ta có (IM, IN, IA, IB) = (IK, IJ, IA, IB) = −1, suy AM BN tứ giác điều MA NA hịa Do đó, ta có = MB NB Bài tốn 2.6.5 ([7]) Từ điểm A nằm (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) Lấy T thuộc cung nhỏ BC Kẻ T H vng góc với BC (tại H) Chứng minh T H phân giác góc M HN với M, N giao điểm tiếp tuyến T (O) với AB, AC Lời giải M N BC cắt S Kẻ tiếp tuyến ST ′ (O) (T khác T ′ ), P giao điểm SC T T ′ Do BT CT ′ tứ giác điều hòa nên A, T, T ′ thẳng hàng Ta có (HS, HT, HM, HN ) = (AS, AT, AM, AN ) = (AS, AP, AB, AC) = −1 Mà HT ⊥ SC, suy HT phân giác góc M HN Bài tốn 2.6.6 ([7]) Từ A nằm (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) AO cắt (O) D Kẻ BX vng góc với CD (X thuộc CD) Gọi Y trung điểm XB, Y D cắt (O) điểm thứ hai Z Chứng minh ∠AZC = 90◦ Lời giải Gọi AZ giao với (O) điểm thứ hai E Vì ZBEC tứ giác điều hòa nên (DZ, DB, DE, DC) = −1 Với lưu ý Y ∈ DZ, X ∈ DC, Y B = Y X, ta có XB DE, nên ∠EDC = 90◦ , kéo theo ∠CZE = ∠CDE = 90◦ Từ đó, ta có ∠AZC = 90◦ 53 Kết luận Với mục đích giới thiệu tứ giác điều hịa tính chất, vài ý tưởng vận dụng tính chất tứ giác điều hịa vào việc giải số tốn hình học, luận văn đạt kết ban đầu sau: Tổng hợp, trình bày cách có chọn lọc kiến thức liên quan đến hàng điểm điều hòa, đường đối trung, số định lý hình học phẳng Trình bày định nghĩa tứ giác điều hịa số tính chất làm sở cho việc vận dụng vào việc tìm lời giải số tốn hình học chương Luận văn cố gắng đưa lời giải chi tiết, tường minh so với tốn mà tài liệu tham khảo có lời giải vắn tắt gợi ý hướng giải Ngoài ra, luận văn phân dạng số dạng tốn liên quan đến tứ giác điều hịa như: chứng minh ba điểm thẳng hàng, đồng quy, chứng minh đường thẳng qua điểm cố định, chứng minh hai đoạn thẳng nhau, chứng minh hai góc 54 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Ban Hồng Chúng (1997), Hình học tam giác, NXB Giáo dục [2] Lê Phúc Lữ Phan Đức Minh (2011), Hình học phẳng đề thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố năm học 2010–2011, mathscope.org [3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyên Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình (2011), Tài liệu giáo khoa chun Tốn 10 (hình học), NXB Giáo dục [4] Lê Anh Vinh (chủ biên) (2018), Định hướng bồi dưỡng học sinh khiếu toán, NXB Giáo dục [5] https://www.slideshare.net/NgoQuangViet1/chuyn-v-t-gic-iu-ha [6] https://diendantoanhoc.net/index.php?app=core&module=attach§io n=attach&attach_id=17128 [7] https://vi.scribd.com/doc/113363567/T%E1%BB%A9-giac-%C4%91i%E 1%BB%81u-hoa Tiếng Anh [8] D Djukic (2007), “Inversion”, The IMO Compendium Group, https://www.imomath.com [9] I Patrascu, F Smarandache (2014), “Some properties of the harmonic quadrilateral”, International Frontier Science Letters, 1, pp 12–17 55 [10] P Pamfilos (2014), “The associated harmonic quadrilateral”, Forum Geometricorum, 14, pp 15–29 [11] R A Johnson (1964), Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications [12] N Rapanos (2009), “The harmonic quadrilateral and its properties”, HMSPreparation Notes for I.M.O 2009 ... Trong tứ giác điều hòa, đường chéo đường đối trung tam giác xác định cạnh liên tiếp tứ giác với đường chéo Hình 1.13: BK đường đối trung tam giác ABC Chứng minh Xét tứ giác ABCD tứ giác điều hòa. .. tiểu tổng bình phương khoảng cách từ điểm tứ giác đến cạnh Hình 1.14: ABCD tứ giác điều hòa Chứng minh Xét tứ giác ABCD tứ giác điều hòa M điểm bên tứ giác Ký hiệu x, y, z, u khoảng cách từ M... để thách thức trí tuệ người Tứ giác điều hòa tứ giác đẹp có nhiều ứng dụng hình học phẳng Các tốn liên quan đến tứ giác điều hịa tốn hay khó Nó có ứng dụng lớn toán chứng minh thẳng hàng, đồng