BÀI 1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác | 1.. Hãy so sánh các cạnh của tam giác ABC.. So sánh góc BAH và góc CAH. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AB = AE. Quan hệ giữ[r]
(1)(2)MỤC LỤC
1 Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác
A Tóm tắt lý thuyết
B Bài tập dạng toán
2 Quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu
A Tóm tắt lý thuyết
B Bài tập dạng toán
3 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác
A Tóm tắt lý thuyết
(3)CHƯƠNG CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
BÀI 1. QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT
TAM GIÁC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
BÀI Cho tam giác ABC có AB = 10 cm, BC = cm, AC = cm Hãy so sánh góc tam giác ABC
- LỜI GIẢI
Từ đề bài, xét4ABC có BC < AC < AB Do đó, A <b B <“ Cb A
B C
BÀI Cho tam giác DEF có DE = cm, EF = cm, DF = cm Hãy so sánh góc tam giác ABC
- LỜI GIẢI
Từ đề bài, xét4DEF cóDE < EF < DF Do đó, F <b D <“ E“ E
D F
BÀI Cho tam giác M N P vng tạiM cóM N = cm,N P = cm Hãy so sánh gócM N P với góc
M P N
- LỜI GIẢI
Vì 4M N P vng M nên theo định lí Pytago, ta tính M P = cm
Suy M P > M N, đóM N P >÷ M P N÷ BÀI Cho tam giácABC cân tạiAcóAB = 5cm, BC = 8cm Hãy so sánh gócABC’ với gócBAC’ - LỜI GIẢI
Cách Vì4ABC cân tạiA nên AC =AB= cm Do đó,AC < BC nên ABC <’ BAC’ Cách Từ đề bài, ta dễ dàng suy AB < BC nên BCA <’ BAC’
Mà4ABC cân A nên BCA’ =ABC’ Do ABC <’ BAC’
BÀI Cho tam giác ABC cóAb= 40◦, B“= 60◦ Tính số đo gócCb
a) b) So sánh cạnh tam giác ABC - LỜI GIẢI
(4)Vì tổng ba góc tam giác 180◦ nên ta tính Cb = 80◦
a)
Xét 4ABC có A <b B <“ Cb Vậy BC < AC < AB
b)
BÀI Cho tam giác M N E cóMc= 50◦, N“= 70◦ Tính số đo góc E
a) b)So sánh cạnh tam giác M N E - LỜI GIẢI
Vì tổng ba góc tam giác 180◦ nên ta tính E“= 60◦ a)
Xét 4M N E cóM <c E <“ N“vì (50◦ <60◦ <70◦) Vậy N E < M N < M E b)
BÀI Cho tam giác DEF cân D có góc ngồi đỉnh E 140◦ Hãy so sánh cạnh tam giác DEF
- LỜI GIẢI
Từ giả thiết, tính đượcDEF’ =DF E’ = 40◦ Do đó, EDF’ = 100◦ Xét4DEF cóDEF’ =DF E <’ EDF’ Do đó, DF =DE < F E
D
E F
140◦
BÀI Cho tam giác ABC cân A cóB“= 50◦ Hãy so sánh cạnh tam giácABC - LỜI GIẢI
Vì4ABC cân A nên suy raAB =AC B“=Cb = 50◦
Xét4ABC có Ab+B“+Cb= 180◦ mà B“=Cb= 50◦ nên suy Ab= 80◦
Xét4ABC có B“=C <b Ab Do đó, AB =AC < BC
A
B C
50◦
BÀI Cho tam giác ABC có A >b 90◦, lấy điểm M thuộc cạnh AB
So sánh AC M C
a) b)Chứng minh tam giác BM C tam giác tù Chứng minh AC < M C < BC
c)
- LỜI GIẢI
Xét 4M AC tù tạiA nên M C cạnh lớn Do đó, AC < M C
a)
Xét 4M AC có ÷BM C góc ngồi đỉnh M nên ÷
BM C >A >b 90◦ Do đó, góc BM C góc tù
Vậy 4BM C tam giác tù M b)
A
M
B C
c) Từ câu b, ta suy BC cạnh lớn 4BM C nên M C < BC Kết hợp với câu a, ta có
(5)
BÀI 10 Cho tam giác M N P có N >“ 90◦ Trên tia đối tia P N lấy điểm Q So sánhM N M P
a) b) Chứng minh tam giácM P Q tam giác tù Chứng minhM N < M P < M Q
c)
- LỜI GIẢI
Xét4M N P tù tạiN nên M P cạnh lớn Do đóM N < M P
a)
Xét4M N P có÷M P Qlà góc ngồi đỉnhP nên÷M P Q >N >“ 90◦ Do đó, góc M P Qlà góc tù
Vậy 4M P Qlà tam giác tù P b)
Từ câu b, ta suy M Q cạnh lớn 4M P Q nên
M P < M Q Kết hợp với câua, ta có M N < M P < M Q c)
M
N P Q
BÀI 11 Cho tam giác ABC cóAB = cm, AC = cm So sánh góc B với góc C
a)
HạAH vng góc với BC H So sánh góc BAH gócCAH b)
- LỜI GIẢI
Xét4ABC có AB < AC (3cm < cm) nên C <b B“ a)
Ta có BAH’ + B“ = CAH’ +Cb = 90◦ Mà B >“ Cb nên
’
BAH <CAH’ b)
A
B C
H
BÀI 12 Cho tam giác ABC cóAB = cm, AC = cm So sánh góc B với góc C
a)
So sánh hai góc ngồi đỉnhB vàC tam giác ABC b)
- LỜI GIẢI
Xét4ABC có AB > AC nên C >b B“ a)
Gọi ABx‘ góc ngồi đỉnh B ACy‘ góc ngồi đỉnh C
Ta cóABx‘ +ABC’ =ACy‘ +ACB’ = 180◦ (hai góc kề bù), mặt khácABC <’ ACB’ nên ABx >‘ ACy‘ b)
A
x B C y
BÀI 13 Tam giác ABC vuông A có AC = 2AB Lấy điểm E cạnh AC cho AB = AE Trên tia đối tiaEB lấy điểm D cho EB =ED
(6)Chứng minh 4ABE =4CDE
a) b)So sánh ABE’ CBE’ - LỜI GIẢI
Dễ dàng chứng minh 4ABE =4CDE (c.g.c) a)
Từ câu a, ta suy ABE’ =D“ vàAB =CD
Vì 4ABC vuông A nên AB < BC (cạnh huyền cạnh lớn nhất) Do CD < BC Suy D <“ CBE’ Vậy ABE <’ CBE’ b)
B
A E
D C
BÀI 14 Cho tam giác ABC có AB < AC GọiM trung điểm BC Trên tia đối tiaM A lấy điểmN cho M A=M N
Chứng minh 4BAM =4N CM
a) b)So sánh ÷BAM ÷M AC - LỜI GIẢI
Xét 4AM B 4N M C có
M A=M N (gt) ÷
AM B =N M C÷ (đối đỉnh)
M B =M C (gt)
⇒ 4BAM =4CM N (c.g.c) a)
Vì 4BAM =4CM N ⇒AB=N C (hai cạnh tương ứng) Xét 4ACN có AC > CN = AB nên AN C >’ CAN’ suy ÷
BAM >÷M AC b)
A
B
N
M C
BÀI 15 Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt BC D Trên cạnh AC lấy điểmE cho AB =AE
Chứng minh BD=DE
a) b)So sánh BD DC
- LỜI GIẢI
Ta chứng minh 4ABD=4AED (c.g.c) Do đó, BD=DE
a)
Từ câu a, ta có DEA’ =B“mà ’
DEC+DEA’ =Cb+B“+BAC’ (= 180◦) Nên DEC’ =Cb+BAC’ Từ DEC >’ Cb
Xét 4DEC, suy DE < DC Kết hợp với câu a, BD < DC b)
A
E B D C
(7)
Chứng minhAM =M H
a) b) So sánhAM M C - LỜI GIẢI
Xét4ABM 4HBM có
÷
BAM =BHM÷ = 90◦ CạnhBM chung ÷
ABM =HBM÷
⇒ 4ABM = 4HBM (cạnh huyền - góc
nhọn)
Suy AM =HM a)
Trong 4M HC vuông tạiH nên cạnh M C cạnh lớn suy
M C > M H, mà M H =M A M A < M C b)
B
H
A M C
BÀI 2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG
XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
A TĨM TẮT LÝ THUYẾT
B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
BÀI Cho tam giác ABC nhọn có AB > AC Kẻ AH vng góc với BC H Hãy so sánh độ dài
HB HC - LỜI GIẢI
Dễ thấy HB, HC hình chiếu AB, AC lên đường thẳng BC, mà AB > AC Do HB > HC
A
H
B C
BÀI Tam giác GHK vuông H có HG < HK Kẻ HI vng góc với GK I Hãy so sánh độ dài IG IK
- LỜI GIẢI
Dễ thấy IG, IK hình chiếu HG, HK lên đường thẳng GK, mà HG < HK Do IG < IK
G I
H K
BÀI Cho tam giác DEF vuông D Trên tia đối tia ED lấy điểm P, Q cho EP < EQ So sánh độ dài F P F Q
a)
Sắp xếp đoạn thẳngF E, F P,F Q theo thứ tự có độ dài tăng dần b)
(8)- LỜI GIẢI
Vì EP < EQ nên DP < DQ Mà DP, DQ hình chiếu F P,F Q lên đường thẳngDQ Do F P < F Q a)
Dễ thấy DE < DP Mà DE, DP hình chiếu
F E, F P lên đường thẳng DP Do F E <F P Vậy F E < F P < F Q
b)
F
Q P
D E
BÀI Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho AD < AE So sánh độ dài BD BE
a)
Sắp xếp đoạn thẳng BC, BD, BE theo thứ tự có độ dài giảm dần b)
- LỜI GIẢI
Vì AD < AE Mà AD, AE hình chiếu BD, BE lên đường thẳng AC Do đó, BD < BE
a)
Dễ thấy AE < AC Mà AE, AC hình chiếu BE,
BC lên đường thẳngAC Do đóBE <BC VậyBD < BE < BC b)
B
A D E C
BÀI Cho tam giác ABC vuông A Trên tia đối tia BA tia CA lấy điểmP, Q So sánh CP P Q
a) b)Chứng minh BC < P Q - LỜI GIẢI
Từ giả thiết, ta có AC < AQ Mà AC, AQlần lượt hình chiếu P C, P Qlên đường thẳng AQ Do đó, P C < P Q
a)
Ta có AB < AP Mà AB,AP hình chiếu củaBC,P C
lên đường thẳng AP Do đóBC < P C Kết hợp ý trên, ta suy
BC < P Q b)
Q
C
A B P
BÀI Cho tam giác M N P vuông tạiM Trên tia đối tia N M lấy điểm D So sánh P N P D
a)
Lấy điểm E cạnh M P Chứng minh EN < P D b)
- LỜI GIẢI
Từ giả thiết, ta cóM N < M D MàM N,M D hình chiếu P N, P D lên đường thẳngM D Do đó, P N < P D
a)
Ta có M E < M P Mà M E, M P hình chiếu EN,
P N lên đường thẳng M P Do đóEN < P N Kết hợp ý trên, ta suy EN < P D
b)
D
N
(9)
BÀI Tam giác nhọn ABC cóB >“ Cb Gọi H hình chiếu A cạnh BC
So sánhHB HC a)
Lấy điểm E cạnh AH Chứng minh EB < EC b)
- LỜI GIẢI
Xét tam giác ABC có B >“ Cb nên AC > AB Mà HB, HC
lần lượt hình chiếu AB, AC lên đường thẳng BC Do đóHB < HC
a)
Từ ý vàHB,HC hình chiếu EB,EC lên đường thẳngBC nên ta có EB < EC
b)
A
E
B H C
BÀI Tam giác DEF cóDE > DF QuaD kẽ đường thẳng vng góc với EF cắt EF K So sánhKE KF
a)
Trên tia đối tiaDK lấy điểm H Chứng minh HE > HF b)
- LỜI GIẢI
Theo giả thiết DE > DF Mà KE, KF hình chiếu DE, DF lên đường thẳng EF Do KE > KF
a)
Ta có KE, KF hình chiếu HE, HF lên đường thẳngEF Mà KE > KF (Chứng minh trên) Vậy HE > HF b)
H D
F K E
BÀI Cho tam giác ABC, điểmE nằm B C (AE khơng vng góc với BC) Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ B C đến đường thẳngAE
So sánhBH BE
a) b) Chứng minhBC > BH+CK - LỜI GIẢI
Dễ thấy BH đường vng góc, BE đường xiên kẻ từ điểm B
đến đường thẳngAK Do đó, BE > BH a)
Ta thấy CK đường vng góc, CE đường xiên kẻ từ điểm C
đến đường thẳngAK Do đóCE > CK VậyBE+EC > BH+CK
hay BC > BH+CK b)
A
E
B C
K H
BÀI 10 Cho tam giác nhọnM N P VẽM D vng góc với N P (D∈N P), vẽN E vng góc với M P
(E ∈M P)
So sánhM N M D
a) b) Chứng minh2M N > M D+N E
(10)- LỜI GIẢI
Dễ thấy M D đường vng góc, M N đường xiên kẻ từ điểm
M đến đường thẳng N P Do đó, M N > M D a)
Ta thấy N E đường vng góc, M N đường xiên kẻ từ điểmN
đến đường thẳng M P Do M N > N E
Vậy M N+M N > M D+N E hay 2M N > M D+N E b)
M
N D P
E
BÀI 11 Cho tam giác ABC vuông tạiA Lấy điếm M, N cạnh AB,AC So sánh M N M C
a) b)Chứng minh M N < BC - LỜI GIẢI
Từ giả thiết, ta có AN < AC MàAN, AC hình chiếu
M N, M C lên đường thẳng AC Do đó, M N < M C a)
Ta có AM < AB Mà AM, AB hình chiếu M C, BC
lên đường thẳng AB Do M C < BC Kết hợp ý trên, ta suy
M C < BC b)
C
N
A M B
BÀI 12 Cho tam giác ABC Gọi H chân đường vuông góc kẻ từA đến BC
So sánh HB AB
a) b)Chứng minh BC < AB+AC - LỜI GIẢI
Dễ thấy HB đường vng góc, AB đường xiên kẻ từ điểm B
đến đường thẳng AH Do đó, HB < AB a)
Ta thấy HC đường vng góc, AC đường xiên kẻ từ điểm C
đến đường thẳngAH Do đóHC < AC VậyHB+HC < AB+AC
hay BC < AB+AC b)
A
B H C
BÀI 3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC BẤT
ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
BÀI Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem ba đoạn thẳng có độ dài cho sau tạo thành tam giác hay không?
3 cm, cm, cm
a) b)2 m,4 m,8 m c) 1cm, 3cm, cm
(11)Ta có 6<3 + nên ba đoạn thẳng ba cạnh tam giác a)
Khơng vì8>2 + b)
Khơng vì4 = + c)
BÀI Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem ba ba đoạn thẳng có độ dài cho sau ba cạnh tam giác
3cm, cm, cm
a) b)6 m,10 m,8 m c)2 m,6 m,8 m
- LỜI GIẢI
Khơng vì7>3 + a)
Ta có 10<6 + nên ba đoạn thẳng ba cạnh tam giác b)
Khơng vì8 = + c)
BÀI Độ dài hai cạnh tam giác bằng7 cm và2cm Tính độ dài cạnh cịn lại biết số đo cạnh theo cm số tự nhiên lẻ
- LỜI GIẢI
Giả sử 4ABC cóAB= cm, AC = cm
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB−AC < BC < AB+AC Suy 5< BC <9 MàBC có độ dài theo cm số tự nhiên lẻ
Do đó, BC = cm
BÀI Cho tam giác ABC cóAB= cm, AC = cm Hãy tìm độ dài cạnh BC biết độ dài số nguyên (cm)
- LỜI GIẢI
Ta có AB= cm, AC = cm
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB−AC < BC < AB+AC Suy 3< BC <5 MàBC có độ dài theo cm số nguyên
Do đó, BC = cm
BÀI Tính chu vi tam giác cân có hai cạnh m và8 m - LỜI GIẢI
Giả sử 4ABC cóAB= m,AC = m
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có |AB−AC|< BC < AB+AC Do đó, 4< BC <12
Mà4ABC cân nên suy raBC = m
Vậy chu vi tam giácABC 20m
BÀI Tính chu vi tam giác cân có hai cạnh cm cm - LỜI GIẢI
Giả sử 4ABC cóAB= cm, AC = cm
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có |AB−AC|< BC < AB+AC Do đó, 4< BC <10
Mà4ABC cân nên suy raBC = cm
Vậy chu vi tam giácABC 17cm BÀI Cho tam giác ABC, cạnhBC lấy điểm M
(12)So sánh M A với AB+BM
a) b)Chứng minh M A+M C < BA+BC Lấy điểm Dthuộc cạnhAM Chứng minh rằngDA+DC < M A+M C, từ suy raDA+DC < BA+BC
c)
- LỜI GIẢI
Xét tam giác BAM, theo bất đẳng thức tam giác, ta có
M A < AB+BM
a)
Từ câu a) ta suy
M A+M C < AB+BM +M C
Do đó, M A+M C < BA+BC b)
Tương tự câu a), ta có
DC < M D+M C
Từ đó, suy DA+DC < M A+M C
Kết hợp với câu b), ta có DA+DC < BA+BC c)
M D
B
A
C
BÀI Cho tam giác ABC, cạnh AC lấy điểm N So sánh N B với N C +CB
a) b)Chứng minh N A+N B < CA+CB Trên tia đối tia CB lấy điểm E Chứng minh rằngCA+CB < EA+EB, từ suy N A+N B < EA+EB
c)
- LỜI GIẢI
Xét tam giácBN C, theo bất đẳng thức tam giác, ta có
N B < BC+CN
a)
Từ câu a) ta suy
N B+N A < BC+CN +N A
Do đó, N B+N A < CA+CB b)
Tương tự câu a), ta có
CA < CE+EA
Từ đó, suy CA+CB < EA+EB Kết hợp với câu b), ta có N A+N B < EA+EB c)
N
E B
A
C
(13)BÀI Cho tam giác ABC, điểmD nằm B C
So sánhAD với AB+BD
a) b) Chứng minh rằng2AD < AB+AC+BC
Chứng minh rằngAD nhỏ nửa chu vi tam giác ABC c)
- LỜI GIẢI
Xét4ABD, theo bất đẳng thức tam giác ta có
AD < AB+BD (1) a)
Tương tự câu a), ta có
AD < AC+CD (2) Từ (1) (2), ta suy
2AD < AB+AC+BC
b)
Từ câu b) suy AD < AB+AC+BC
2
Vậy AD nhỏ nửa chu vi tam giác ABC c)
D B
A
C
BÀI 10 Cho điểm M nằm tam giác ABC
So sánhAB với M A+M B a)
Chứng minh rằngAB+AC+BC <2(M A+M B+M C) b)
Chứng minh rằngM A+M B+M C lớn nửa chu vi tam giác ABC c)
- LỜI GIẢI
(14)Xét 4ABM, theo bất đẳng thức tam giác ta có
AB < M A+M B (1) a)
Tương tự câu a), ta có
AC < M A+M C (2)
BC < M B+M C (3) Từ (1), (2) (3) suy
AB+AC+BC <2(M A+M B+M C)
b)
Từ câu b), suy AB+AC+BC
2 < M A+M B+M C Vậy M A+M B+M C lớn nửa chu vi tam giác ABC c)
B
A
C M